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Integrali tripli: esercizi svolti

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt` a mag-

giore.

Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali tripli sugli insiemi specicati:

a) xyz dx dy dz, = (x,y,z )R 3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 118

b) 2z dx dy dz, = (x,y,z )R 3 : 2 x 2 + y2 < z < x + 26427

3

c) x2

x 2 + z2dx dy dz ,

= (x,y,z )R 3 : 1 < x 2 + y2 + z2 < 2, x2 y

2 + z2 < 0, y > 0

6 5 2 6

d) x 2 + y2 + z 2 1 dx dy dz , = (x,y,z )

R3

: x2

+ y2

+ z2

< 2, x2

+ y2

< z 4

15 2 1960

e) (x + z) dx dydz, = (x,y,z )R 3 : x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 11

12

f ) x|z|dxdy dz, = (x,y,z )R 3 : x 2 + z2 < y 0, 0 < y < 2z + 1 , x 2 + y2 + 4 z 2 < 116 +

1

6

h) ydxdydz , = (x,y,z )

R 3 : x 2 + y2 2x < 0, 0 < z < x, x2 + y2 < 1, y > 0 548

i) y2

x 2 + y2dx dy dz, = (x,y,z )

R 3 : 1 < x 2 + y2 < 2x, 0 < z 0.

Quindi si ha che = ( ), dove

= (, , )R 3 : 1 < < 2, sin2 < cos2 , 0

2

4, x > 0

= (x, y )R 2 :

2

< y < 2

, 2

4 y2 < x < 2 4y2 .

x

y

0 /2

/2

0

/2

Fig. 27: Linsieme D (in azzurro).

Essendo D x -semplice, si ottiene

m (E ) = D x cos ydxdy = 2

2

2 4 y2

24 y2x cos y dx dy =

= 2

2

cos y12

x 2 2 4 y2

24 y2dy =

12

2

2

34

2 3y2 cos y dy =

=3

8 2

2

2cos y dy

3

2 2

2y2 cos y dy =

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32 Integrali tripli: esercizi svolti

integrando per parti il secondo integrale

=38

2

sin y

2

2

32 y

2

sin y

2

2 2

2

2

y sin y dy =

procedendo ancora con lintegrazione per parti

=34

2 34

2 + 3 y cos y2

2

+ 2

2

cos y dy = 3 sin y2

2

= 6 .

c) Consideriamo linsieme

E = (x,y,z )R 3 : x 2 + y2 < z < 3x 2 + 5 y2 , z < 8 x 2 3y2 .

Linsieme E e la parte dello spazio compresa fra i tre paraboloidi di equazione

z = x 2 + y2 , z = 3 x 2 + 5 y2 e z = 8 x 2 3y2 .

x

z

6 4 2 0 2 6

0

4

6

8

Fig. 28: Sezione dellinsieme E con il piano xz (in azzurro).

Osserviamo che E = E 1 \ E 2 , dove

E 1 = (x,y,z )R 3 : x 2 + y2 < z < 8 x

2

3y2 ,

E 2 = (x,y,z )R 3 : 3x 2 + 5 y2 z < 8 x

2

3y2 .

Ne segue che m (E ) = m (E 1 ) m (E 2 ). Calcoliamo separatamente i volumi di E 1ed E 2 . Consideriamo inizialmente E 1 .

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Integrali tripli: esercizi svolti 33

Integrando per li paralleli allasse z si ottiene

m (E 1 ) = D 1 dx dy dz = D 1 8x

2

3 y2

x 2 + y2 dz dxdy = 2 D 1 4 x2

2y2

dxdy,

dove D 1 = (x, y )R 2 : x 2 + 2 y2 < 4 . Essedo D 1 linsieme dei punti del piano

xy compresi nellellisse di equazione x2

4 +y22 = 1, passiamo in coordinate ellittiche

nel piano xy . Poniamo quindi

:x = 2 cos

y = 2 sin , 0, 0 2, |det J (,)| = 2 2.

Allora

(x, y )D 1 0 < 10 < 2.

Quindi si ha che D 1 = ( D 1 ), dove

D 1 = (,)R 2 : 0 < 1, 0 < 2 .

Ne segue che

m (E 1 ) = 2 D 1 4 x 2 2y2 dxdy = 16 2 D 1 1 2 dd =essendo D 1 un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda

prodotto di una funzione di e di una di , si ottiene

= 16 2 2

0d

1

0

3 d = 32 2 12

2 14

41

0= 8 2.

Consideriamo ora E 2 . Integrando per li paralleli allasse z si ottiene

m (E 2 ) = D 2 dx dy dz = D 2 8x

2

3 y2

3 x 2 +5 y2dz dxdy = 4 D 2 2 x 2 2y2 dxdy,

dove D 2 = (x, y )R 2 : x 2 + 2 y2 < 2 . Essedo D 2 linsieme dei punti del piano

xy compresi nellellisse di equazione x2

2 + y2 = 1, passiamo in coordinate ellittiche

nel piano xy . Poniamo quindi

:x = 2 cosy = sin ,

0, 0 2, |det J (,)| = 2.

Allora

(x, y )

D 2

0 < 10 < 2.

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34 Integrali tripli: esercizi svolti

Quindi si ha che D 2 = ( D 2 ), dove

D 2 = (,)R

2

: 0 < 1, 0 < 2 .Ne segue che

m (E 2 ) = 4 D 2 2 x 2 2y2 dxdy = 8 2 D 2 1 2 dd =essendo D 2 un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda

prodotto di una funzione di e di una di , si ottiene

= 8 2 2

0d

1

0 3 d = 16 2 122 144

1

0= 4 2.

In conclusione si ha che m (E ) = m (E 1 ) m (E 2 ) = 4 2.

d) Consideriamo linsieme

E = (x,y,z )R 3 : 0 < y < 3|z|, x

2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 +12 |z| .

Osserviamo che linsieme E e simmetrico rispetto al piano xy . Infatti, se ( x,y,z )E , allora anche ( x,y, z)E . Quindi m (E ) = 2 m (E 1 ), dove

E 1 = (x,y,z )R 3 : 0 < y < 3z, x 2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 +

12

z .

Integrando per li paralleli allasse y si ottiene

m (E ) = 2 m (E 1 ) = 2 E 1 dx dy dz = 2 D 3 z

0dy dxdz = 6 D z dx dz,

dove D = (x, z )R 2 : x 2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 +

12 z, z > 0 . Osserviamo

che D = D 1D 2D 3 , dove

D 1 = (x, z )R 2 : 2 < x 1 , 0 < z < x + 2 ,

D 2 = (x, z )R 2 : 1 < x < 1, 1 x 2 < z < x + 2 ,

D 3 = (x, z )

R 2 : 1

x < 2, 2x

2 < z < x + 2 .

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Integrali tripli: esercizi svolti 35

x

z

2 1 0 1 2

0

1

1.5

2

Fig. 29: Linsieme D = D 1D 2D 3 , con D 1 in rosso, D 2 in verde e D 3 in azzurro.

Quindi

m (E ) = 6 D z dx dz = 6 D 1 z dx dz + D 2 z dx dz + D 3 z dxdz =essendo D 1 , D 2 , D 3 z-semplici, si ottiene

= 6 1

2 x +2

0z dz dx +

1

1 x +2

1x2

z dz dx + 2

1 x +2

2 x2z dz dx =

= 6 1

212

z2 x +2

0dx +

1

112

z2 x +2

1x 2dx +

2

1

12

z2 x +2

2 x2dx =

= 3 1

2(x + 2) dx +

1

1x 2 + x + 1 dx +

2

1 4x2 + 9 x 2 dx =

= 312

(x + 2) 2 1

2+

13

x 3 +12

x 2 + x1

1+

43

x 3 +92

x 2 2x2

1= 16 .

e) Consideriamo linsieme

E = (x,y,z )R 3 : x 2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 2x < 0 .

Linsieme E e la parte dello spazio interna al cilindro di equazione ( x 1)2 + y2 = 1e alla sfera di equazione x 2 + y2 + z2 = 4. Osserviamo che linsieme E e simmetrico

rispetto al piano xy . Infatti, se ( x,y,z )E , allora anche ( x,y, z)E . Quindim (E ) = 2 m (E 1 ), dove

E 1= (

x,y,z)

R 3

: 0< z