Momento di una forza (Momento meccanico o momento torcente)
Il momento M della forza F è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (definito dal
punto in cui è applicata la forza rispetto alla stessa origine, detto polo) e la forza stessa.
M è perpendicolare al piano determinato da r (punto di applicazione rispetto ad O) ed F.
b = r sinα è il braccio della forza, e corrisponde alla distanza dell´asse di rotazione dalla retta su cui giace
F.
FrM
forza della braccioαsin r b dove
bFαsin rFM
Il momento di una forza descrive la capacità della forza stessa di mettere un corpo in rotazione
rispetto ad un punto.
Esempio esplicativo: porta incardinata
Se pensiamo a quest'ultima e al gesto che compiamo più volte al giorno per aprirla, possiamo assumere il
luogo dove sono posizionati i cardini come nostro asse di rotazione (A); la distanza tra questo e la
maniglia come braccio (b)( se spingiamo o tiriamo ortogonalmente alla porta); la stessa maniglia come
punto d'applicazione (P) e lo sforzo che eseguiamo per tirare (o spingere) la porta verso di noi come forza
(F).
A
b P
F
Dato che la forza ed il braccio corrispondente sono grandezze inversamente
proporzionali, all'aumentare dell'una diminuirà l'altra:
Tanto più vicino sarà la maniglia all'asse di rotazione, tanto maggiore
sarà la forza da applicare alla maniglia e viceversa.
a
r
F M
a
A
P
Se volete bloccare una porta, dove mettete il peso?
Lontano o vicino ai cardini?
dt
Ld
dt
vrdm
dt
vdrm
dt
vdmr
dt
pdrFrM
dt
LdM
Il momento della forza M è pari
alla variazione del momento
angolare nel tempo
Esercizio4:
Immaginate di non voler far uscire una persona da una stanza.
Questa persona imprime una forza F=500 N sulla maniglia, posta a 70 cm dal cardine della porta,
ortogonalmente alla superficie della porta stessa.
Avete a disposizione una peso di piombo (assimilabile ad un oggetto puntiforme) di massa m=100 Kg,
che presenta un attrito statico con il suolo m=0.7. Dove devo porre il peso per impedire alla persona di
aprire la porta?
1sin90
222peso2
2
190sin
111111
θsin rFMFrM
m N350m N5001070θsin FrM FrM
N N 9.81000.7mgμ staticoattrito di forzaF speso 685
Affinchè la persona non riesca ad aprire la porta il momento della
forza F deve essere minore o uguale a quello generato dalla forza
di attrito statico del peso. Naturalmente la forza applicata per aprire
la porta e la forza di attrito sono opposte in verso
NB: Due momenti della forza diretti in senso opposto corrispondono a
due rotazioni in verso opposto
F
F
r1 r
Fp
M1 uscente dal foglio
x
M2 entrante dal foglio
Poichè la porta non ruota se M2>=M1 devo scegliere r (cioè la posizione del peso rispetto al cardine
della porta) opportunatamente:
cmm 51 0.510.7685
500r
F
FrFrrF:se,MM 1
peso
1peso12
Quindi, se il peso si trova a 51 cm dal cardine o più lontano, la persona non riesce a ruotare la
porta.
Se il peso si trova ad una distanza inferiore, la forza esercitata dalla persona è sufficiente ad
aprire la porta.
Forza esercitata dal peso:
FORZE CENTRALI:
Una forza è detta centrale di centro O se è sempre diretta come la congiungente r tra un punto
materiale P, che si muove nello spazio sotto l'azione della forza, e il centro fisso O.
In un campo di forze centrali, il momento di una forza rispetto al polo O è ovunque nullo, dato
che il vettore posizione r e il vettore forza F sono tra loro paralleli, dunque
r rFF
r
F
r
F
00sinrFFrM
F//r
Forze centrali
0dt
dM
si conserva
Esercizio2:
Il momento angolare di un satellite:
1)è proporzionale all'area dell'orbita
2)è proporzionale alla velocità areolare
3)è nullo
4)è proporzionale al periodo dell'orbita
Un satellite è sottoposto ad una forza centrale, la forza gravitazionale, che lo fa ruotare su un’orbita
circola che giace su un piano.
Infatti le forze centrali conservano il momento angolare in quanto:
F//r e quindi il loro momento delle forze è nullo. Se si conserva il momento angolare L che è pari a:
dt
dA2mωr
2
12mωr mr ω m rrmvL
costanteprL
22
0 centraliext FrM
Dove: è la velocità areolare:
Esercizio1:
Nel moto di un corpo soggetto a una forza centrale il momento angolare:
1)si conserva sempre
2)si conserva solo se la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro
3)si conserva solo se la forza è inversamente proporzionale al cubo della distanza dal centro
4)si conserva solo se la forza è proporzionale al quadrato della distanza
Le forze centrali conservano il momento angolare in quanto:
F//r e quindi il loro momento della forza M è nullo.
00
0
sinrFM
FrM
centraliext
centraliext
costanteLdt
LdM ext
0Ma il momento della forza M è dato
dalla variazione del momento angolare
2ω2
1r
dt
dA
Esercizio3:
Una bilancia a stantera (vedi figura) di massa trascurabile ha la massa scorrevole (m) di 500g, il
braccio del piatto (a) di 40 cm. Quando una certa massa M è posta sul piatto, l’equilibrio richiede che
la massa m venga posta a 20 cm dal punto di sospensione. Quanto segna la bilancia?
Equilibrio 0MMM Mmext
g 25040
20g 500
a
bmM0aMgbmgMMM Mm
Esercizio4:
Se la risultante delle forze esterne di un sistema di punti materiali è diversa da zero ed ha momento
diverso da zero, quali delle seguenti affermazioni non corrisponde alla verità:
1)il centro di massa del sistema si muove con accelerazione vettoriale non nulla.
2)il momento angolare totale del sistema non si conserva.
3)la quantità di moto totale ed il momento angolare si conservano.
4)la quantità di moto totale del sistema varia nel tempo
Fext≠0, Mext≠0 => M=dL/dt≠0
Il centro di massa si muove con accelerazione: acm=Fext/mtot
Fext= dP/dt≠0
La 1) è vera
La 2) è vera
La 4) è vera e la 3) è falsa
Il momento della forza peso di m e quello della forza peso
di M hanno versi opposti in quanto tendono a far ruotare
l’asta della bilancia in verso opposto (il peso m tende a far
ruotare l’asta in senso antiorario, il peso M tende a farla
ruotare in senso orario) Segni opposti
Esercizio5:
Una bilancia, per difetto di fabbricazione, ha un braccio leggermente più lungo dell’altro: d1 = 10.0 cm e
d2 = 10.1 cm. Se la bilancia è in equilibrio quando sul piatto appeso a d1 vi sono pesetti per 50.0 g, qual
è in realtà la massa sul piatto appeso a d2?
d1 d2
All’equilibrio i momenti delle forze applicate in A e B
Si annullano:
A B
g 549 050110
010
0
12
1222112211
21
.g..
.m
d
dmgdmgdmdFdF
MM
g 5.49m2
Esercizio1:
Su una piccola superficie posta all’interno di un fluido la pressione:
1)dipende solo dall’area della superficie
2)dipende solo dall’orientazione della superficie
3)dipende sia dall’area che dalla orientazione della superficie
٧4)non dipende nè dall’area nè dalla orientazione della superficie
)z(z gρ)P(zP(z) 00 Legge di stavino:
La legge di stavino esprime la pressione che un liquido esercita sul fondo di un recipiente in funzione
della densità del liquido, dell'accelerazione di gravità e dell'altezza del liquido.
Esercizio2:
Quale è la forza esercitata dall’ aria sul pavimento di una stanza di 12 m2
(Pressione atmosferica=1.01·105 N/m2 )?
1.2·106 Pa
1.2·106 N
1.2·106 kg
1.2·105 N
F=P·S= 1.01·105 N/m2 ∙ 12 m2 =12·105N= 1.2·106 N
La pressione risulta essere direttamente proporzionale alla densità ed all'altezza del liquido e non dipende
in alcun modo né dalla forma del recipiente né dalla sua sezione.
Osservando la formula, notiamo che la pressione non dipende dalla superficie della base del recipiente.
Questo significa che uguali colonne di liquido di superficie diversa, esercitano sul fondo la stessa
pressione!!
Del resto la pressione e definita come P=F/S forze per unità di superficie!
Se poi sul liquido agisce qualche altra pressione, per la legge di Pascal, essa deve essere sommata alla
pressione del liquido. Spesso, nei casi particolari, sul liquido agisce la pressione atmosferica.
FLUIDI
dS
dFP S
Proprio per come è definita la
pressione non dipende dall’area
della superficie nè dalla sua
orientazione.
Esercizio3:
Due canne di sezioni A1=2.5 cm2 e A2=5 cm2 sono riempite di mercurio fino all’altezza di h1=10 cm e
h2 =20 cm, rispettivamente. Il rapporto tra le differenze di pressione rispetto a quella atmosferica (p1-
p0)/(p2-p0) esercitate sulle basi delle canne è:
1)4
2)2
٧3)1/2
4)1/4 h1
h2 2
1
20
10
h
h
PP
PP
ρ ghPP
ρ ghPP
2
1
02
01
merc202
merc101
Esercizio4:
Un corpo galleggia sulla superficie di un fluido avendo ¾ del suo volume sommerso. La densità del corpo,
rispetto a quella del fluido è:
1)1/2
2)4/3
٧3)3/4
4)1/4
Principio di Archimede: la forza esercitata dal fluido sul corpo è pari al peso del
fluido spostato
zFFF ArcVrisˆ Vρρg corpofluido
fluidocorpo
V4
3
spostato fluidofluidocorpocorpo
spostato fluidofluidocorpocorpo
ρ43ρVρ gVρ g
Vgρ Vgρ
corpo
zFzF ArcV
Esercizio5:
Un tubo ad U contenente mercurio è in collegamento con un recipiente di gas ad un estremo e con
l’atmosfera all’atro estremo. Se nel tubo ad U il livello del mercurio è più alto nel ramo aperto
all’atmosfera, la pressione all’interno del recipiente è:
٧1)maggiore della pressione atmosferica
2)minore della pressione atmosferica
3)pari alla pressione atmosferica
4)nulla
gas
h1
h2
h1
Principio di pascal+ stevino
)z(z gρ)P(zP(z) 00 Legge di stevino
ρΔh gPPP
)hρ(h gP)P(h ariagas
gas
12aria
1
0h Δ Quindi Pgas>Paria
PASCAL: la pressione esercitata sulla superficie di
un fluido si trasmette inalterata su tutte le superfici
a contatto con il fluido
Esercizio6:
Per alzare in aria un corpo di 50 kg occorre sospenderlo ad un pallone pieno di elio (he= 0.18 kg/m3
aria= 1.3 kg/m3 ) del volume di:
1)39 m3
2)3.9 m3
٧3)45 m3
4)4.5 m3
Principio di Archimede:
la forza esercitata dal fluido sul corpo è pari al peso del
fluido spostato
Nel nostro caso la forza che ci porta su è la spinta di archimede che l’aria esercita sul pallone di
elio+nostro corpo.
Talle forza deve vincere la forza peso generata dal peso del nostro corpo+peso del volume di
elio.
Trascuriamo il peso dell’elio nel conto del peso totale ed il nostro volume nel conto
complessivo
zFFF ArcVris Vρρg corpofluido
33
3mm
Kg/m
Kg 45 6.44
0.181.3
50
ρρ
MV
MρρVVgρFVgρMgF
elioaria
elioariaariaseliov
Equazione di Continuità Tubo di sezione variabile
La quantità di fluido che entra da un’estremità del tubo è uguale alla quantità di fluido che esce
nello stesso intervallo di tempo.
Per un fluido ideale e stazionario che scorre in tubo di sezione variabile si conserva la massa e la
densità è costante quindi, se DV1 e DV2 sono i volumi della quantità di liquido che entra nella sezione
A1 ed in quella A2 nell’intervallo di tempo Dt, si ha:
2222222222
1111111111
22
11
222
111
ΔtvAρΔxAρΔVρΔm
ΔtvAρΔxAρΔVρΔm
ΔtvΔx
ΔtvΔx dove
ΔxAΔV
ΔxAΔV
2121 ρρ e ΔmΔm
2211222111 vAvAΔtvAρΔtvAρ
2211 vAvA
La quantità P=A·v è definita Portata (volumetrica) del fluido che transita
attraverso la superficie A con una velocità v. Le dimensioni della portata (volumetrica) sono [P]=[L]3[T]-1
Equazione di continuità
Se un fluido scorre da un condotto largo ad uno stretto: il modulo della
velocità nel tubo stretto è maggiore che nel tubo largo
ESEMPIO:
Stringendo il tubo dell’acqua riduciamo la
sezione di uscita dell’acqua ed aumentiamo la
velocità del flusso
Applicazione dell’equazione di continuità
Esercizio1:
Per un fluido ideale che scorre in un condotto, quando il raggio della sezione raddoppia, a parità di altre
condizioni, la portata:
1)diminuisce di un fattore ½
2)aumenta di un fattore 4
٧3)non varia
4)diminuisce di un fattore 4
Portata: Av
2211 vAvA Per un fluido ideale però vale l’equazione di continuità:
Se raddopia il raggio della sezione, la sezione A=pR2, quadruplica: i
222ff
2i
A4ππ2RππRA
πRA
Quindi la portata non varia. Ciò che varia è la velocità del fluido che, affinchè la portata non vari
diventa quattro volte più piccola.
L’equazione di continuità ci dece infatti che per un fluido ideale se la sezione aumenta la velocità
diminuisce
Esercizio2:
La portata di un fluido attraverso un condotto ha equazione dimensionale:
1)[P]= L0M1T1
٧2)[P]= L3M0T-1
3)[P]= L3M0T1
4)[P]= L1M0T-1
1312TLTLLPAvP
Esercizio3:
Per un fluido ideale che scorre in un condotto, quando il raggio raddoppia a parità di altre condizioni,
la portata:
dimezza
raddoppia
٧non cambia
diventa pari ad un quarto
Esercizio3:
Quale di queste unità è associata alla portata di un fluido?
1)N/m
2)Kg/s
٧3)m3/s
4)m/s
LA PRESSIONE di un fluido in movimento
attraverso un tubo di sezione variabile VARIA
Il lavoro compiuto dalle forze di pressione è dato da:
Spinge
il fluido
Si oppone al
moto del
fluido
Il lavoro della forza peso è dato da:
Il lavoro netto compiuto dal sistema è: L=Lp+Lg=DW (variazione di energia cinetica)
Conservazione
dell’energia meccanica
per un fluido ideale
In una linea di corrente è costante la somma di Pressione (p), energia cinetica per unità di volume
(1/2 v2) ed energia potenziale gravitazionale per unità di volume (gh)
Teorema di Bernoulli
Teorema di Bernoulli
Lungo una linea di flusso orizzontale se aumen ta la velocità
Diminuisce la pressione
Linee di flusso vicine:
Alta velocità bassa pressione
Esempi di applicazione del teorema di Bernoulli
Esempio numerico: A2= 1.2 cm2, A1=0.35 cm2, h=45 mm.
Qual’è il flusso dell’acqua che esce dal rubinetto?
121
22
221
22
21
21
22
22
22
222
1
22
2
1
212211
22
21
AAA
gh2v
AA
ghA2
1A
A
gh2v
vvA
A
2
1gh
vA
AvvAvA
vv2
1gh
scmscm
scm
28.6100.3532.1
8829
0.350.351.2
4.59812v
2
222
scmscmscm 333 3428.61.228.61.2vAP 22
Esercizio2:
Una pompa immette acqua in un condotto alla pressione p e a velocità v. E’ vero che:
٧1)se la sezione del condotto è costante la pressione dell’acqua si riduce con la quota
2)la velocità dell’acqua nel condotto non dipende dalla sezione del condotto
3)la pressione p rimane costante in tutti i punti del condotto, indipendentemente dalla sezione e dalla
quota del condotto
4)Pressione e velocità dell’acqua rimangono costanti in tutti i punti del condotto, indipendentemente dalla
quota
costgy ρ vρ2
1p 2
Poichè la portata è costante, se la sezione del tubo non varia: v1=v2
bernoulli
Avrempo quindi che:
1221
2112
22
212
1
ppyy se
)y-g(y ρΔppp
gy ρ vρ2
1pgy ρ vρ
2
1p
se la sezione del condotto è costante la pressione dell’acqua si riduce con la quota,
quindi è giusta la 1)
Poichè la portata A·v è costante, se la sezione del tubo varia, varia la velocità dell’acqua=> La 2
non è giusta.
Dall’equazione di bernoulli, si ha che se varia la sezione (e quindi la velocità del fluido) o la quota,
affinchè la somma
resti costante, la pressione deve poter cambiare.
La 3 non è giusta. Per la stessa legge anche la 4 non è giusta
gy ρ vρ2
1p 2
Esercizio1:
Quale di queste unità è associata all’equazione di Bernoulli?
1)N/m
2)Ns/m
٧3)J/m3
4)J
La legge di bernoulli contiene pressioni ed energie per unità di volume. L’energia ha come unità di
misura il joule, quindi l’unità associata a tale legge è J/m3
Esercizio3:
Se un’arteria si trova a 30 cm sotto il cuore, per effetto della gravità la pressione in quell’arteria risulta,
rispetto alla pressione cardiaca:
1)identica
٧2)più grande
3)più piccola
4)dati non sufficienti per il calcolo
costgy ρ vρ2
1p 2
cuoreartartcuorecuoreart
cuore2
cuoreart2
art
pp030cmg ρy-yg ρpp
gy ρ vρ2
1pgy ρ vρ
2
1p
Esercizio4:
In un condotto scorre acqua, considerata come un fluido ideale, in regime stazionario. Se la sezione del
condotto si dimezza e la quota del condotto aumenta, per il teorema di Bernulli la pressione al suo
interno:
٧1)diminuisce
2)aumenta
3)rimane invariata
4)non abbiamo dati sufficienti per rispondere
1221
0
122121
12
vAvA
12
12
1222
22122221
21
ppppy-yg ρ vρ2
3pp
2vv2AA
yy
y-yg ρv- vρ2
1ppgy ρ vρ
2
1pgy ρ vρ
2
1p
2211
11
La pressione diminuisce
Esercizio5:
Quali delle seguenti ipotesi non è utilizzata per poter applicare il teorema di Bernoulli ?
1)fluido incompressibile
2)moto stazionario
3)viscosità nulla
٧4)moto laminare
Per poter applicare la legge di bernoulli si fanno le suenti assunzioni:
1) Densità costante => il fluido deve essere incompressibile
2) La velocità in ogni punto delle linee di corrente deve essere costante nel tempo
=> moto stazionario
3) Gli unici lavori devono essere quelli di pressione e di gravità=> assenza di attriti interni
=> viscosità nulla
In fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto del fluido avviene con
scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su
scala microscopica.Il flusso è governato dalle forze viscose ed è costante nel tempo.
Esercizio6:
Indicando con A1 ed A2 (A1>A2) due sezioni di un condotto percorso da un fluido ideale, con v1 e v2 le
velocità con cui il liquido attraversa le due sezioni, con p1 e p2 le pressioni nelle due sezioni ed infine
con h1 ed h2 (h1<h2) le altezze delle due sezioni, risulta:
٧1) v1<v2 e p1 > p2
2) v1<v2 e p1 < p2
3) v1>v2 e p1 > p2
4) v1>v2 e p1 <p2
21
0
12
0
22221
21
vAvA
21
21
pph-hg ρv- vρ2
1pp
vvAA
hh
1
2211
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