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Modelli Finanziari nel Tempo Continuo
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Prodotti di Volatilità(prima parte)
Giovanni Della Lunga
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Il Principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho
appena comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.
Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo.
Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore.
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il
principio di arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis).
Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:
Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di
rischio.
E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio.
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di
arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione. La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter
ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;
Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio
per la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura.
L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati. Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore
denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L).
Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei due stati del mondo.
Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo rischioso è Y(t).
Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di arbitraggio.
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Un modello binomiale
Tempo t Tempo T Tempo T
Stato H L
Y(t) Y(H) Y(L)
X(t) X(H) X(L)
P(t,T) 1 1
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Relazioni di arbitraggio tra i prezzi Formiamo un portafoglio selezionando
Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X Una posizione corta (vendita, segno -) in unità di Y
Se scegliamo
Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a
)()(
)()(
LYHY
LXHX
)()(
)()(
LYHY
LXHX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXHY
LYHY
LXHXHXHYHX
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)()(
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LYHY
LYHXHYLXHY
LYHY
LXHXHXHYHX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXLY
LYHY
LXHXLXLYLX
)()(
)()()()()(
)()(
)()()()()(
LYHY
LYHXHYLXLY
LYHY
LXHXLXLYLX
)()( tYtXAttualeValore )()( tYtXAttualeValore
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Con questa scelta il valore del portafoglio è lo stesso sia in H che in L, indichiamolo con ;
Il portafoglio è quindi privo di rischio; infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo.
Come possiamo replicare questo portafoglio? Acquistando in t unità del titolo privo di
rischio. Per il principio di assenza di arbitraggio due
attività finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi.
Relazioni di arbitraggio tra i prezzi
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Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi
Indicando con il valore del portafoglio all’istante T, il principio di assenza di arbitraggio implica a t:
),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX
),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX
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Un esempio importante:
Put call parity
Consideriamo un’opzione call alla scadenza C(T) = max(0, S(T) -K) essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price (prezzo di
esercizio)
… che può essere scritta nella forma C(T) = S(T) – min(S(T),K)
È facile verificare che le due scritture sono perfettamente equivalenti!
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Dalla relazione precedente C(T) – S(T) = -min(S(T),K)
Allo stesso modo si può verificare per la put P(T) - K = -min(S(T), K)
Da questa relazione otteniamo C(T) + K = P(T) + S(T)
Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere valida anche oggi per cui
c(t) + K exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t)
Questa relazione è come put-call parity
Un esempio importante:
Put call parity
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi Riprendiamo la relazione di arbitraggio
X (t) = Y(t) + P(t,T)
Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo
scrivere X(H) = Y(H) + X(L) = Y(L) +
da cui: = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L))
= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L))
Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e
raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo...
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi
LYHY
TtPtYHYL
LYHY
LYTtPtYH
LXLHXHTtPtX
,/
,/
,
con
LYHY
TtPtYHYL
LYHY
LYTtPtYH
LXLHXHTtPtX
,/
,/
,
con
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La misura risk-adjusted Si noti che
Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H) *(H), *(L) > 0 *(H) + *(L) = 1 * è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è
Si può verificare agevolmente che Y(t) = P(t,T) E *[Y(T)]
N.B.: la misura * deriva dal non-arbitraggio
TXETtPLX1HXTtPtX ,, TXETtPLX1HXTtPtX ,,
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Per analizzare le proprietà della misura di probabilità è immediato osservare che
dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul periodo da t a T.
La misura risk-adjusted
fR1TtP
11TXE
tX
1
1tX
TXE
tX
tXTXE
,)]([
)(
fR1TtP
11TXE
tX
1
1tX
TXE
tX
tXTXE
,)]([
)(
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Sotto la misura di probabilità , quindi, il rendimento atteso del titolo rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio.
Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è pari al tasso privo di rischio!
Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità : sotto questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al rendimento del titolo privo di rischio.
E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere conto del loro livello rischio.
Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura aggiustata per il rischio".
La misura risk-adjusted
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Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile
Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso
dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1. In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando
la misura aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente. Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di
"martingala". Per questo la misura di probabilità è nota anche come misura di martingala
equivalente (equivalent martingale measure, o EMM).
TtP
tXtZ
,
TtP
tXtZ
,
TZE
TTP
TXE
TtP
tXtZ
,,
TZE
TTP
TXE
TtP
tXtZ
,,
La misura risk-adjusted
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Il Teorema Fondamentale della Finanza(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983)
Nel mercato non esistono possibilità di arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo privo di rischio come numerario, sono martingale.
Se questa misura è unica, il mercato è detto completo.
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Valutazione di un’opzione call
Tempo t Tempo T Tempo T
Stato H L
Y(t) Y(H) Y(L)
C (Y,t;T,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0)
P(t,T) 1 1
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi Consideriamo un portafoglio con
Una posizione lunga in una unità di C Una posizione corta in unità di Y
Calcoliamo
Al tempo T Max(Y(H) – K,0) - Y(H) = Max(Y(L) – K, 0) - Y(L) =
)()(
],)(max[],)(max[
)()(
)()(
LYHY
0KLY0KHY
LYHY
LCHC
)()(
],)(max[],)(max[
)()(
)()(
LYHY
0KLY0KHY
LYHY
LCHC
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Replica di un’opzione call Se K < Y(L) < Y(H)
= 1 e = - K
Se K > Y(H) > Y(L) = 0 e = 0
Se Y(L) < K < Y(H) 0 < < 1 e = -Y(H)
Replica di un’opzione call
C(Y,t;T,K) = Y(t) + P(t,T)
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Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)
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Alberi Binomiali
Una tecnica utile e diffusa nel pricing delle opzioni è rappresentata dagli alberi binomiali i quali definiscono in modo discreto il possibile percorso dell’attività finanziaria sottostante all’opzione durante la vita della stessa e consentono di derivare il valore del derivato in oggetto;
La modellizzazione della possibile evoluzione del titolo sottostante all’opzione avviene all’interno di un prefissato intervallo temporale;
Il periodo di tempo considerato è suddiviso in intervalli di tempo intermedi e il modello descrive il sentiero dei possibili movimenti del prezzo da un intervallo temporale all’altro.
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Alberi Binomiali
Il principio di base del modello binomiale è naturalmente la valutazione dell’opzione in un mondo neutrale rispetto al rischio;
Questo significa che disponendo di due attività finanziarie connesse come le opzioni e i relativi titoli sottostanti può essere realizzata dall’investitore una posizione coperta ossia priva di rischio nella quale ogni variazione di prezzo del titolo sottostane si riflette in una variazione del valore dell’opzione di pari entità ma di segno opposto in modo tale da determinare una compensazione fra utili e perdite.
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Alberi Binomiali
Un modello monoperiodale Consideriamo un solo periodo
temporale che inizia all’istante corrente e termina all’istante temporale T (scadenza dell’opzione);
assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni;
Conoscendo la tipologia di opzione (call o put) possiamo determinare il payoff a scadenza nei due stati del mondo finali fu e fd.
Sf
Su
fu
Sd
fd
0 T
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Alberi Binomiali Sia S il valore del sottostante e f il valore
dell’opzione scritta su di esso. Formiamo un portafoglio con una posizione
lunga in unità del sottostante e una corta in un’opzione call. Il valore del portafoglio nei due stati del
mondo sarà pari a
Sf
Sd
fd
Su
fu
d0
u0
fdS
fuS
d0
u0
fdS
fuS
Determiniamo il valore di che rende uguali questi due valori
dSuS
fffdSfuS
00
dud0u0
dSuS
fffdSfuS
00
dud0u0
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Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free.
Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero
Alberi Binomiali
rTu00
rTu00 efuSSfefuSfS rT
u00rT
u00 efuSSfefuSfS
sostituendo ...sostituendo ...
du
depfp1pfef
rT
durT
dove )( du
depfp1pfef
rT
durT
dove )(
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Alberi Binomiali
S = 5.414
f = 0.432
Su = 5.630
fu = 0.630
Sd = 5.2
fd = 0.2
Opzione CALL su ENEL
Data Valutazione 8/11/2003
Consegna 19/11/2003
Strike = 5.00
S = 5.414
Var% giornaliera = 1.18%
tasso risk free ~ 1%
Variazione a scadenza stimata al 4%
t = 11/365 ~ 0.03
Opzione CALL su ENEL
Data Valutazione 8/11/2003
Consegna 19/11/2003
Strike = 5.00
S = 5.414
Var% giornaliera = 1.18%
tasso risk free ~ 1%
Variazione a scadenza stimata al 4%
t = 11/365 ~ 0.03
4150fp1pfef durT .
2
0.20.630 )(
4150fp1pfef du
rT .2
0.20.630 )(
21080
040
080
960e
du
dep
030010rT
/.
.
.
...
21080
040
080
960e
du
dep
030010rT
/.
.
.
...
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Alberi Binomiali
L’estensione a più periodi 1a ipotesi: albero non ricombinante
Y(0)
Y(H)
Y(L)
Y(LH)
Y(LL)
Y(HL)
Y(HH)
1-
H
L
1-L
1-H
Y(0)
Y(H)
Y(L)
Y(LH)
Y(LL)
Y(HL)
Y(HH)
1-
H
L
1-L
1-H
Un movimento verso l’alto seguito da un movimento verso il basso non riporta il titolo al livello iniziale
L’albero non ricombinante ha una forma del tipo
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Alberi Binomiali
Problemi con gli Alberi non ricombinati
Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero solo dopo 100 steps genera
1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi
Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)
Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi
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Alberi Binomiali
Y(0)
Y(H)
Y(L)
Y(LL)
Y(HL)Y(LH)
Y(HH)
1-
H
L
1-L
1-HY(0)
Y(H)
Y(L)
Y(LL)
Y(HL)Y(LH)
Y(HH)
1-
H
L
1-L
1-H
Alberi Ricombinanti Sostituendo un albero a
cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo;
L’informazione può essere rilevante per
valutare opzioni con pay-off path-dependent
modelli della dinamica del tasso di interesse
Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees
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Generalizzazione a più livelli
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Strategie in Opzioni Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Strategie in Opzioni Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
Riprendiamo la definizione
di probabilità risk-neutral
Poniamo
Inoltre ricordiamo che
)()(
)(),(
)(
*LYHY
LYTtPtY
)()(
)(),(
)(
*LYHY
LYTtPtY
SdLY
SuHY
StY
)(
)(
)(
SdLY
SuHY
StY
)(
)(
)(
)(),( tTreTtP )(),( tTreTtP
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
Possiamo quindi scrivere
Come determiniamo i fattori u e d? In funzione della volatilità del sottostante
La scelta d = 1/u garantisce che l’albero si sviluppi attorno al prezzo corrente del sottostante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)
teu
ud
1
du
de tr
*du
de tr
*
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
22
2
0
T
0
T
2
2
0
T
2
0
T2
0
T22
0
T
d1uS
SE
d1uS
SE
tS
SE
S
SEr
S
Sr1
S
Sr
)(
)(
)(
)(
22
2
0
T
0
T
2
2
0
T
2
0
T2
0
T22
0
T
d1uS
SE
d1uS
SE
tS
SE
S
SEr
S
Sr1
S
Sr
)(
)(
)(
)(
La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a 2t
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tr2tr
trtr2trtr
222
22
2222222
euddue
eudedudu
eu
du
de
du1ud2du1
ud12d11u
ud12d1ud1ur
)(
))(()(
))(())((
)()()(
)()()()(
tr2tr
trtr2trtr
222
22
2222222
euddue
eudedudu
eu
du
de
du1ud2du1
ud12d11u
ud12d1ud1ur
)(
))(()(
))(())((
)()()(
)()()()(
Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...
))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr ))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
Verifichiamo che la posizione
porta al risultato desiderato. Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti
da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)
tt edeu ,tt edeu ,
t2
1t1dt
2
1t1u 22 , t
2
1t1dt
2
1t1u 22 ,
t2t2
1t1t
2
1t1tr1
2dutr1
222
)(
))((
t2t2
1t1t
2
1t1tr1
2dutr1
222
)(
))((
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40
Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
125.5
120.8
116.3 116.3
112 112
107.9 107.9 107.9
103.9 103.9 103.9
100 100 100 100
96.29 96.29 96.29
92.72 92.72 92.72
89.28 89.28
85.97 85.97
82.78
79.71
Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.
Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.
s(0, 0) = PrezzoSottostanteFor n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1)Next n
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41
Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
25.62125.5
21.12120.8
16.8 16.48116.3 116.3
12.86 12.33112 112
9.482 8.763 8.013107.9 107.9 107.9
6.766 5.975 5.054103.9 103.9 103.9
4.691 3.941 3.073 1.968100 100 100 100
2.53 1.821 1.00696.29 96.29 96.29
1.058 0.514 092.72 92.72 92.72
0.263 089.28 89.28
0 085.97 85.97
082.78
079.71
For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)Next j
For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto Next jNext n
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
Esercizio Anticipato Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di tipo
europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la
scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra
il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value)
il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)
For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next jNext n
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Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale
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Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)
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Opzioni con Barriera
Le opzioni con barriera sono opzioni il cui valore
finale dipende dall’eventualità che il prezzo
dell’asset finanziario sottostante raggiunga o meno
un certo livello (cosiddetto barriera) durante il
periodo di vita dell’opzione;
Le opzioni con barriera possono essere distinte in Opzioni barrier knock-in
Opzioni barrier knock-out
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Opzioni con Barriera
Opzioni barrier knock-in Sono opzioni che si attivano solamente nel caso in cui
il prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un determinato valore;
A seconda della posizione della barriera rispetto al prezzo del sottostante si distinguono: Opzioni down-and-in. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta
al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse iniziano a decorrere;
Opzioni up-and-in. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale.
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Opzioni con Barriera
Opzioni barrier knock-out Sono opzioni che cessano di esistere nel caso in cui il
prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un determinato valore;
A seconda della posizione della barriera rispetto al prezzo del sottostante si distinguono: Opzioni down-and-out. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta
al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse iniziano a decorrere;
Opzioni up-and-out. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale.
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Opzioni con Barriera: Knock-in
Opzione down-and-in
L’opzione si attiva
Opzione up-and-in
L’opzione si attiva
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Opzioni con Barriera: Knock-out
Opzione down-and-out
L’opzione cessa di esistere
Opzione up-and-out
L’opzione cessa di esistere
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Opzioni con Barriera
Le opzioni con barriera possono prevedere un compenso (il cosiddetto rebate) nel caso in cui il percorso del prezzo dell’attività finanziaria sottostante si riveli sfavorevole al detentore dell’opzione;
Ad esempio l’acquirente di un’opzione knock-in riceverà una somma fissa (il rebate appunto) se la barriera non si è attivata mentre il contrario è previsto per un’opzione knock-out;
La differenza fra le due tipologie di opzioni non risiede soltanto nella condizione di attaversamento o no della barriera ma anche nel fatto che nelle knock-out il rebate viene pagato appena c’è il raggiungimento della stessa mentre nelle knock-in occorre attendere la scadenza per essere certi del non attraversamento.
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Simmetria opzioni con barriera
E’ immediato verificare che per escludere possibilità di
arbitraggio deve essere verificata la seguente relazione
Opzione plain vanilla = Down(Up)-and-in + Down(Up)-and-out
Ogni opzione con barriera può quindi essere rappresentata
con
Una posizione lunga in un’opzione plain vanilla
Una posizione corta nell’opzione con simmetrica
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Barriere discrete
Mentre le formule per la valutazione di opzioni con barriera assumono che la barriera venga monitorata nel tempo continuo, il processo di monitoraggio è attuato a tempi discreti. In certi casi questa caratteristica può addirittura fare parte del contratto.
Tener conto di questa caratteristica conduce a valutazioni in forma chiusa, che però richiedono la stima di distribuzioni congiunte normali standard di dimensioni pari al numero delle volte in cui la barriera viene verificata (Heynen e Kat, 1996)
Broadie, Glasserman e Khou 1997 propongono un’approssimazione basata sullo spostamento della barriera, ponendo H* = exp(0.58261/2) per barriere up e H* = exp(– 0.58261/2) per barriere down, dove è il tempo tra una verifica della barriera e l’altra.
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Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)
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Alberi Binomiali e Barriere Se, per valutare un’opzione con barriera, si usa un albero
binomiale standard la convergenza è lenta; per ottenere un risultato accurato è necessario usare un numero
elevato di intervalli; la ragione di questa lenta convergenza è che la barriera
ipotizzata dall’albero è diversa da quella effettiva. Definiamo barriera interna la barriera formata dai nodi
immediatamente all’interno della barriera effettiva e barriera esterna la barriera formata dai nodi immediatamente all’esterno della barriera;
i calcoli standard assumono implicitamente che la barriera esterna coincida con la barriera effettiva;
Il problema può essere affrontato cercando di posizionare accuratamente i nodi nulle barriere.
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Alberi Binomiali e Barriere
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Alberi Binomiali e Barriere Una possibile soluzione è la seguente; Supponiamo di voler porre esattamente m livelli (per ogni intervallo
n) fra la barriera H e il valore iniziale S del prezzo; avremo
n
Tmtm
S
H
SeHeuSuH tmtm
2222
2
ln
,
2
22
SH
Tmn
ln
2
22
SH
Tmn
ln
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Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale
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Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)
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Alberi Trinomiali
In alternativa agli alberi binomiali, si possono usare gli alberi trinomiali
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Alberi Trinomiali
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Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Un Esempio di Albero Trinomiale Un Esempio di Albero Trinomiale
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Bibliografia
S. Benninga “Modelli Finanziari – La finanza con Excel”
McGraw-Hill (2001)
U. Cherubini, G. Della Lunga “Matematica Finanziaria –
Applicazioni con VBA per Excel” McGraw-Hill (2001)
U. Cherubini, G. Della Lunga “Il Rischio Finanziario”
McGraw-Hill (2000)
E. Gaarder Haug “The Complete Guide to Option
Pricing Formulas” McGraw-Hill (1998)
M. Jackson, M. Staunton “Advanced Modelling in
Finance using Excel and VBA” Wiley Finance (2001)
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