Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

1

Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

4

Prodotti di Volatilità(prima parte)

Giovanni Della Lunga


2

Il Principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e

Rubinstein Opzioni con Barriera Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera Alberi Trinomiali

Il Principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e


Prodotti di Volatilità (Prima Parte)


3

Il Principio di Assenza di Arbitraggio Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho

appena comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.

Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo.

Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore.


4

Il Principio di Assenza di Arbitraggio Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il

principio di arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis).

Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:

Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di

rischio.

E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio.


5

Il Principio di Assenza di Arbitraggio Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di

arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione. La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter

ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;

Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.


6

Il Principio di Assenza di Arbitraggio Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio

per la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura.

L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati. Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore

denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L).

Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei due stati del mondo.

Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo rischioso è Y(t).

Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di arbitraggio.


7

Un modello binomiale

Tempo t Tempo T Tempo T

Stato H L

Y(t) Y(H) Y(L)

X(t) X(H) X(L)

P(t,T) 1 1


8

Relazioni di arbitraggio tra i prezzi Formiamo un portafoglio selezionando

Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X Una posizione corta (vendita, segno -) in unità di Y

Se scegliamo

Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a

)()(

)()(

LYHY

LXHX

)()(

)()(

LYHY

LXHX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXHY

LYHY

LXHXHXHYHX

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)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXHY

LYHY

LXHXHXHYHX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXLY

LYHY

LXHXLXLYLX

)()(

)()()()()(

)()(

)()()()()(

LYHY

LYHXHYLXLY

LYHY

LXHXLXLYLX

)()( tYtXAttualeValore )()( tYtXAttualeValore


9

Con questa scelta il valore del portafoglio è lo stesso sia in H che in L, indichiamolo con ;

Il portafoglio è quindi privo di rischio; infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo.

Come possiamo replicare questo portafoglio? Acquistando in t unità del titolo privo di

rischio. Per il principio di assenza di arbitraggio due

attività finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi.

Relazioni di arbitraggio tra i prezzi


10

Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi

Indicando con il valore del portafoglio all’istante T, il principio di assenza di arbitraggio implica a t:

),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX

),()()( TtPtYtX ),()()( TtPtYtX


11

Un esempio importante:

Put call parity

Consideriamo un’opzione call alla scadenza C(T) = max(0, S(T) -K) essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price (prezzo di

esercizio)

… che può essere scritta nella forma C(T) = S(T) – min(S(T),K)

È facile verificare che le due scritture sono perfettamente equivalenti!


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Dalla relazione precedente C(T) – S(T) = -min(S(T),K)

Allo stesso modo si può verificare per la put P(T) - K = -min(S(T), K)

Da questa relazione otteniamo C(T) + K = P(T) + S(T)

Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere valida anche oggi per cui

c(t) + K exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t)

Questa relazione è come put-call parity

Un esempio importante:

Put call parity


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Relazioni arbitraggio tra i prezzi Riprendiamo la relazione di arbitraggio

X (t) = Y(t) + P(t,T)

Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo

scrivere X(H) = Y(H) + X(L) = Y(L) +

da cui: = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L))

= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L))

Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e

raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo...


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Relazioni arbitraggio tra i prezzi

LYHY

TtPtYHYL

LYHY

LYTtPtYH

LXLHXHTtPtX

,/

,/

,

con

LYHY

TtPtYHYL

LYHY

LYTtPtYH

LXLHXHTtPtX

,/

,/

,

con


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La misura risk-adjusted Si noti che

Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H) *(H), *(L) > 0 *(H) + *(L) = 1 * è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è

Si può verificare agevolmente che Y(t) = P(t,T) E *[Y(T)]

N.B.: la misura * deriva dal non-arbitraggio

TXETtPLX1HXTtPtX ,, TXETtPLX1HXTtPtX ,,


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Per analizzare le proprietà della misura di probabilità è immediato osservare che

dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul periodo da t a T.

La misura risk-adjusted

fR1TtP

11TXE

tX

1

1tX

TXE

tX

tXTXE

,)]([

)(

fR1TtP

11TXE

tX

1

1tX

TXE

tX

tXTXE

,)]([

)(


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Sotto la misura di probabilità , quindi, il rendimento atteso del titolo rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio.

Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è pari al tasso privo di rischio!

Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità : sotto questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al rendimento del titolo privo di rischio.

E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere conto del loro livello rischio.

Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura aggiustata per il rischio".



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Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile

Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso

dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1. In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando

la misura aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente. Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di

"martingala". Per questo la misura di probabilità è nota anche come misura di martingala

equivalente (equivalent martingale measure, o EMM).

TtP

tXtZ

,

TtP

tXtZ

,

TZE

TTP

TXE

TtP

tXtZ

,,

TZE

TTP

TXE

TtP

tXtZ

,,



19

Il Teorema Fondamentale della Finanza(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983)

Nel mercato non esistono possibilità di arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo privo di rischio come numerario, sono martingale.

Se questa misura è unica, il mercato è detto completo.


20

Valutazione di un’opzione call

Tempo t Tempo T Tempo T

Stato H L

Y(t) Y(H) Y(L)

C (Y,t;T,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0)

P(t,T) 1 1


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Relazioni arbitraggio tra i prezzi Consideriamo un portafoglio con

Una posizione lunga in una unità di C Una posizione corta in unità di Y

Calcoliamo

Al tempo T Max(Y(H) – K,0) - Y(H) = Max(Y(L) – K, 0) - Y(L) =

)()(

],)(max[],)(max[

)()(

)()(

LYHY

0KLY0KHY

LYHY

LCHC

)()(

],)(max[],)(max[

)()(

)()(

LYHY

0KLY0KHY

LYHY

LCHC


22

Replica di un’opzione call Se K < Y(L) < Y(H)

= 1 e = - K

Se K > Y(H) > Y(L) = 0 e = 0

Se Y(L) < K < Y(H) 0 < < 1 e = -Y(H)

Replica di un’opzione call

C(Y,t;T,K) = Y(t) + P(t,T)


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Il principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e






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Alberi Binomiali

Una tecnica utile e diffusa nel pricing delle opzioni è rappresentata dagli alberi binomiali i quali definiscono in modo discreto il possibile percorso dell’attività finanziaria sottostante all’opzione durante la vita della stessa e consentono di derivare il valore del derivato in oggetto;

La modellizzazione della possibile evoluzione del titolo sottostante all’opzione avviene all’interno di un prefissato intervallo temporale;

Il periodo di tempo considerato è suddiviso in intervalli di tempo intermedi e il modello descrive il sentiero dei possibili movimenti del prezzo da un intervallo temporale all’altro.


25

Alberi Binomiali

Il principio di base del modello binomiale è naturalmente la valutazione dell’opzione in un mondo neutrale rispetto al rischio;

Questo significa che disponendo di due attività finanziarie connesse come le opzioni e i relativi titoli sottostanti può essere realizzata dall’investitore una posizione coperta ossia priva di rischio nella quale ogni variazione di prezzo del titolo sottostane si riflette in una variazione del valore dell’opzione di pari entità ma di segno opposto in modo tale da determinare una compensazione fra utili e perdite.


26

Alberi Binomiali

Un modello monoperiodale Consideriamo un solo periodo

temporale che inizia all’istante corrente e termina all’istante temporale T (scadenza dell’opzione);

assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni;

Conoscendo la tipologia di opzione (call o put) possiamo determinare il payoff a scadenza nei due stati del mondo finali fu e fd.

Sf

Su

fu

Sd

fd

0 T


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Alberi Binomiali Sia S il valore del sottostante e f il valore

dell’opzione scritta su di esso. Formiamo un portafoglio con una posizione

lunga in unità del sottostante e una corta in un’opzione call. Il valore del portafoglio nei due stati del

mondo sarà pari a

Sf

Sd

fd

Su

fu

d0

u0

fdS

fuS

d0

u0

fdS

fuS

Determiniamo il valore di che rende uguali questi due valori

dSuS

fffdSfuS

00

dud0u0

dSuS

fffdSfuS

00

dud0u0


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Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free.

Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero

Alberi Binomiali

rTu00

rTu00 efuSSfefuSfS rT

u00rT

u00 efuSSfefuSfS

sostituendo ...sostituendo ...

du

depfp1pfef

rT

durT

dove )( du

depfp1pfef

rT

durT

dove )(


29

Alberi Binomiali

S = 5.414

f = 0.432

Su = 5.630

fu = 0.630

Sd = 5.2

fd = 0.2

Opzione CALL su ENEL

Data Valutazione 8/11/2003

Consegna 19/11/2003

Strike = 5.00

S = 5.414

Var% giornaliera = 1.18%

tasso risk free ~ 1%

Variazione a scadenza stimata al 4%

t = 11/365 ~ 0.03

Opzione CALL su ENEL

Data Valutazione 8/11/2003

Consegna 19/11/2003

Strike = 5.00

S = 5.414

Var% giornaliera = 1.18%

tasso risk free ~ 1%

Variazione a scadenza stimata al 4%

t = 11/365 ~ 0.03

4150fp1pfef durT .

2

0.20.630 )(

4150fp1pfef du

rT .2

0.20.630 )(

21080

040

080

960e

du

dep

030010rT

/.

.

.

...

21080

040

080

960e

du

dep

030010rT

/.

.

.

...


30

Alberi Binomiali

L’estensione a più periodi 1a ipotesi: albero non ricombinante

Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LH)

Y(LL)

Y(HL)

Y(HH)

1-

H

L

1-L

1-H

Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LH)

Y(LL)

Y(HL)

Y(HH)

1-

H

L

1-L

1-H

Un movimento verso l’alto seguito da un movimento verso il basso non riporta il titolo al livello iniziale

L’albero non ricombinante ha una forma del tipo


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Alberi Binomiali

Problemi con gli Alberi non ricombinati

Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero solo dopo 100 steps genera

1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi

Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)

Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi


32

Alberi Binomiali

Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LL)

Y(HL)Y(LH)

Y(HH)

1-

H

L

1-L

1-HY(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LL)

Y(HL)Y(LH)

Y(HH)

1-

H

L

1-L

1-H

Alberi Ricombinanti Sostituendo un albero a

cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo;

L’informazione può essere rilevante per

valutare opzioni con pay-off path-dependent

modelli della dinamica del tasso di interesse

Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees


33

Generalizzazione a più livelli


34

Strategie in Opzioni Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e


Strategie in Opzioni Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e




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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein

Riprendiamo la definizione

di probabilità risk-neutral

Poniamo

Inoltre ricordiamo che

)()(

)(),(

)(

*LYHY

LYTtPtY

)()(

)(),(

)(

*LYHY

LYTtPtY

SdLY

SuHY

StY

)(

)(

)(

SdLY

SuHY

StY

)(

)(

)(

)(),( tTreTtP )(),( tTreTtP


36


Possiamo quindi scrivere

Come determiniamo i fattori u e d? In funzione della volatilità del sottostante

La scelta d = 1/u garantisce che l’albero si sviluppi attorno al prezzo corrente del sottostante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)

teu

ud

1

du

de tr

*du

de tr

*


37


22

2

0

T

0

T

2

2

0

T

2

0

T2

0

T22

0

T

d1uS

SE

d1uS

SE

tS

SE

S

SEr

S

Sr1

S

Sr

)(

)(

)(

)(

22

2

0

T

0

T

2

2

0

T

2

0

T2

0

T22

0

T

d1uS

SE

d1uS

SE

tS

SE

S

SEr

S

Sr1

S

Sr

)(

)(

)(

)(

La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a 2t


38

tr2tr

trtr2trtr

222

22

2222222

euddue

eudedudu

eu

du

de

du1ud2du1

ud12d11u

ud12d1ud1ur

)(

))(()(

))(())((

)()()(

)()()()(

tr2tr

trtr2trtr

222

22

2222222

euddue

eudedudu

eu

du

de

du1ud2du1

ud12d11u

ud12d1ud1ur

)(

))(()(

))(())((

)()()(

)()()()(


Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...

))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr ))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr


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Verifichiamo che la posizione

porta al risultato desiderato. Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti

da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)

tt edeu ,tt edeu ,

t2

1t1dt

2

1t1u 22 , t

2

1t1dt

2

1t1u 22 ,

t2t2

1t1t

2

1t1tr1

2dutr1

222

)(

))((

t2t2

1t1t

2

1t1tr1

2dutr1

222

)(

))((


40


125.5

120.8

116.3 116.3

112 112

107.9 107.9 107.9

103.9 103.9 103.9

100 100 100 100

96.29 96.29 96.29

92.72 92.72 92.72

89.28 89.28

85.97 85.97

82.78

79.71

Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.

Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.

s(0, 0) = PrezzoSottostanteFor n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1)Next n


41


25.62125.5

21.12120.8

16.8 16.48116.3 116.3

12.86 12.33112 112

9.482 8.763 8.013107.9 107.9 107.9

6.766 5.975 5.054103.9 103.9 103.9

4.691 3.941 3.073 1.968100 100 100 100

2.53 1.821 1.00696.29 96.29 96.29

1.058 0.514 092.72 92.72 92.72

0.263 089.28 89.28

0 085.97 85.97

082.78

079.71

For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)Next j

For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto Next jNext n


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Esercizio Anticipato Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di tipo

europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la

scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra

il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value)

il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)

For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next jNext n


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Esempio ProgrammazioneVBA


Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale


44







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Opzioni con Barriera

Le opzioni con barriera sono opzioni il cui valore

finale dipende dall’eventualità che il prezzo

dell’asset finanziario sottostante raggiunga o meno

un certo livello (cosiddetto barriera) durante il

periodo di vita dell’opzione;

Le opzioni con barriera possono essere distinte in Opzioni barrier knock-in

Opzioni barrier knock-out


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Opzioni barrier knock-in Sono opzioni che si attivano solamente nel caso in cui

il prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un determinato valore;

A seconda della posizione della barriera rispetto al prezzo del sottostante si distinguono: Opzioni down-and-in. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta

al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse iniziano a decorrere;

Opzioni up-and-in. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale.


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Opzioni barrier knock-out Sono opzioni che cessano di esistere nel caso in cui il

prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un determinato valore;

A seconda della posizione della barriera rispetto al prezzo del sottostante si distinguono: Opzioni down-and-out. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta

al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse iniziano a decorrere;

Opzioni up-and-out. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale.


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Opzioni con Barriera: Knock-in

Opzione down-and-in

L’opzione si attiva

Opzione up-and-in

L’opzione si attiva


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Opzioni con Barriera: Knock-out

Opzione down-and-out

L’opzione cessa di esistere

Opzione up-and-out

L’opzione cessa di esistere


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Le opzioni con barriera possono prevedere un compenso (il cosiddetto rebate) nel caso in cui il percorso del prezzo dell’attività finanziaria sottostante si riveli sfavorevole al detentore dell’opzione;

Ad esempio l’acquirente di un’opzione knock-in riceverà una somma fissa (il rebate appunto) se la barriera non si è attivata mentre il contrario è previsto per un’opzione knock-out;

La differenza fra le due tipologie di opzioni non risiede soltanto nella condizione di attaversamento o no della barriera ma anche nel fatto che nelle knock-out il rebate viene pagato appena c’è il raggiungimento della stessa mentre nelle knock-in occorre attendere la scadenza per essere certi del non attraversamento.


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Simmetria opzioni con barriera

E’ immediato verificare che per escludere possibilità di

arbitraggio deve essere verificata la seguente relazione

Opzione plain vanilla = Down(Up)-and-in + Down(Up)-and-out

Ogni opzione con barriera può quindi essere rappresentata

con

Una posizione lunga in un’opzione plain vanilla

Una posizione corta nell’opzione con simmetrica


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Barriere discrete

Mentre le formule per la valutazione di opzioni con barriera assumono che la barriera venga monitorata nel tempo continuo, il processo di monitoraggio è attuato a tempi discreti. In certi casi questa caratteristica può addirittura fare parte del contratto.

Tener conto di questa caratteristica conduce a valutazioni in forma chiusa, che però richiedono la stima di distribuzioni congiunte normali standard di dimensioni pari al numero delle volte in cui la barriera viene verificata (Heynen e Kat, 1996)

Broadie, Glasserman e Khou 1997 propongono un’approssimazione basata sullo spostamento della barriera, ponendo H* = exp(0.58261/2) per barriere up e H* = exp(– 0.58261/2) per barriere down, dove è il tempo tra una verifica della barriera e l’altra.


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Alberi Binomiali e Barriere Se, per valutare un’opzione con barriera, si usa un albero

binomiale standard la convergenza è lenta; per ottenere un risultato accurato è necessario usare un numero

elevato di intervalli; la ragione di questa lenta convergenza è che la barriera

ipotizzata dall’albero è diversa da quella effettiva. Definiamo barriera interna la barriera formata dai nodi

immediatamente all’interno della barriera effettiva e barriera esterna la barriera formata dai nodi immediatamente all’esterno della barriera;

i calcoli standard assumono implicitamente che la barriera esterna coincida con la barriera effettiva;

Il problema può essere affrontato cercando di posizionare accuratamente i nodi nulle barriere.


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Alberi Binomiali e Barriere


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Alberi Binomiali e Barriere Una possibile soluzione è la seguente; Supponiamo di voler porre esattamente m livelli (per ogni intervallo

n) fra la barriera H e il valore iniziale S del prezzo; avremo

n

Tmtm

S

H

SeHeuSuH tmtm

2222

2

ln

,

2

22

SH

Tmn

ln

2

22

SH

Tmn

ln


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Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale


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Alberi Trinomiali

In alternativa agli alberi binomiali, si possono usare gli alberi trinomiali


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Alberi Trinomiali


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Un Esempio di Albero Trinomiale Un Esempio di Albero Trinomiale


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Bibliografia

S. Benninga “Modelli Finanziari – La finanza con Excel”

McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Matematica Finanziaria –

Applicazioni con VBA per Excel” McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Il Rischio Finanziario”

McGraw-Hill (2000)

E. Gaarder Haug “The Complete Guide to Option

Pricing Formulas” McGraw-Hill (1998)

M. Jackson, M. Staunton “Advanced Modelling in

Finance using Excel and VBA” Wiley Finance (2001)

Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

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