Invito alla Geometria
Renato Betti
Corso per studenti di Liceo Classici – Politecnico di Milano
29 gennaio 2013
Renato Betti – Politecnico di Milano
La geometria è la scienza del
ragionare corretto su figure
scorrette
(J.-H. Poincaré)
Invito alla Geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla Geometria – 27 marzo 2012
La geometria è la “misura della terra”
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Altezza di monumenti,
volumi di solidi
5
3
10
1
2
1
Frazioni egiziane: 1/2, 1/3, 1/4 ….
Aritmetica
Papiro Rhind
Circa 2000 aC
Renato Betti – Politecnico di Milano
Solstizio d’estate
Invito alla geometria
Astronomia
Orione
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla Geometria – 27 marzo 2012
Renato Betti – Politecnico di Milano
Matematica
forme dello spazio rapporti quantitativi
(aspetti qualitativi, geometria) (calcolo, aritmetica/algebra)
Eraclito (VI-V sec. aC):
“La natura ama nascondersi”
M. Kline: “La matematica è il tentativo più
profondo fatto dall’uomo per utilizzare la
propria ragione”
La geometria diventa una scienza razionale
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
La scuola di Atene Raffaello Sanzio 1509-10
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il metodo scientifico
Talete di Mileto
(VII-VI sec. aC)
''
''
DC
BA
CD
AB
tgABOB
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Un diametro divide
il cerchio in due
parti uguali
Il metodo scientifico
I teoremi di Talete
Angoli opposti al vertice sono uguali
Gli angoli alla base di un triangolo
isoscele sono uguali (pons asinorum)
Angoli inscritti in
una
semicirconferenza
sono retti
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Pitagora di Samo
(VI-V sec. aC)
“L’amore degli uomini per i numeri forse
è più antico della teoria dei numeri”
André Weil
Numeri figurati
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
2
)1(...321
nnnTn
2)12(...531 nn
tetractys
2
)1(
2
)1(
1
2
nnnn
TTn nn
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
I poliedri regolari convessi (solidi platonici)
terra
fuoco
acqua
aria
etere
(modello di universo)
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
“Quelli che affermano che le scienze matematiche
non parlano della bellezza sono in errore. Le
maggiori forme di bellezza sono ordine,
commensurabilità, precisione”.
Aristotele
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Bellezza dei poliedri
Luca Pacioli (1445 circa – 1517)
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Mysterium Cosmographicum
(Keplero 1596)
Johannes Kepler
(1571-1630)
Armonia del mondo
Invito alla geometria
Teorema di Morley
(Frank Morley, 1860-1937)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Teorema di Napoleone
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
.............
415,12414,1
42,1241,1
5,124,1
221
Dubbi e critiche
Incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato =
irrazionalità della radice di 2
Invito alla geometria
Dubbi e critiche
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla Geometria – 27 marzo 2012
Achille e la tartaruga
Zenone di Elea (V sec.aC)
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Euclide di Alessandria
(IV-III sec. aC)
Gli «Elementi» di Euclide
Definizioni
1. il punto è ciò che non ha parti,
2. La linea è lunghezza senza larghezza,
3. lasuperficie è ciò che ha soltanto lunghezza e
larghezza,
….…..
Nozioni comuni (o assiomi)
1. Cose uguali ad una stessa sono uguali tra loro
2. Aggiungendo quantità uguali a quantità uguali si ottengono quantità uguali
3. Sottraendo quantità uguali da quantità uguali si ottengono quantità uguali
4. Cose che coincidono sono uguali
5. Il tutto è maggiore delle parti
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Postulati
1. Una retta può essere disegnata per due punti qualsiasi
2. Una retta può essere estesa indefinitamente in entrambe le
direzioni
3. un cerchio può essere disegnato usando un segmento come
raggio ed un punto come centro
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro
5. Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela
Gli «Elementi» di Euclide
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
V postulato (delle parallele):
Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela
P
Invito alla geometria
r
.
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il problema delle parallele
V postulato (delle parallele):
Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela
Geometria euclidea
Esiste un’unica parallela a r passante per P
Invito alla geometria
P
r
.
Renato Betti – Politecnico di Milano
Postulato non euclideo iperbolico
Esistono almeno due parallele a r
passanti per P
Postulato non euclideo ellittico
Non esistono parallele ad r passanti per P
Geometria non euclidea
sfera
pseudosfera
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
I protagonisti della geometria non euclidea
N.I. Lobačevskij
(1792-1856)
J. Bolyai
(1802-1860)
Eugenio Beltrami
(1835-1900)
C.F. Gauss
(1777-1855)
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Costruzioni con riga e compasso
punto medio perpendicolare
parallela
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Costruzioni con riga e compasso
Operazioni aritmetiche a a+b a-b somma/sottrazione
prodotto e divisione
a
b
ab
1
abxx
b
a
1
a
1
b
b/a
a
bx
b
x
a
1
1 a
a
radice quadrata
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
3/
Costruzioni con riga e compasso
Problemi classici: quadratura del cerchio
duplicazione del cubo
trisezione dell’angolo
ciclotomia (poligoni regolari)
3 2ll
Teorema: Con riga e compasso si possono risolvere solo le
equazioni (irriducibili) che hanno come grado una potenza di 2
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Costruzioni con riga e compasso
Triangolo regolare Pentagono regolare
0)1)(1(1 23 XXXX 0)1)(1(1 2345 XXXXXX
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Costruzioni con riga e compasso
Ciclotomia: 3, 5… )
3
1
5
2(2
15
2
Gauss (1801): I poligoni regolari con un
numero primo di p lati che si possono
costruire con riga e compasso sono soltanto
quelli che hanno
lati
122 k
p
k = 0 p = 3
k = 1 p = 5
k = 2 p = 17
k = 3 p = 257
k = 4 p = 65.537
I numeri primi di Fermat
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
a
b ba
4
2
24
2 ab
ax
Algebra geometrica
baxx 2
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Quali forme?
Nel piano, poligoni, spezzate, circonferenze…. ma anche…
Nello spazio, poliedri, superfici
di rotazione … intersezioni ...
Spirale di Archimede
Cicloide
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
La geometria è lo studio delle proprietà delle forme
che sono “invarianti” rispetto alle trasformazioni di un
“gruppo” (Felix Klein, 1872)
Quali proprietà delle forme?
Le proprietà delle forme si possono classificare tenendo
conto delle trasformazioni dello spazio rispetto alle quali
non variano
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Proprietà delle forme
Lo spazio è omogeneo
e
isotropo
invarianza rispetto alla scelta
dell’unità di misura
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Ogni diametro divide la circonferenza
in due parti uguali
La somma degli angoli interni di un
poligono convesso di n lati vale
n
i
i n1
)2(
Proprietà delle forme
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
3n
3
1i
i
n
i
i nn1
)2(2
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Una proprietà dell’iperbole
L’area del triangolo OAB non
dipende dal punto di tangenza
1xy
200 yxxy
)0,/2( 0yA )/2,0( 0xB
224
2
1
0000
yxyx
S
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Geometria metrica
Gli invarianti metrici fondamentali sono:
la distanza di due punti (AB=A’B’):
l’angolo fra due direzioni (α=α’):
22 )()( BABA yyxxAB
coscoscoscos)cos(rs
Il gruppo delle trasformazioni piane generato da traslazioni,
rotazioni e riflessioni è il gruppo delle “isometrie”: dist(T(P),T(Q)=dist(P,Q)
)1(
'
'bdae
feydxy
cbyaxx
…… ……
Renato Betti – Politecnico di Milano
Geometria delle similitudini
l’incentro e il circocentro di un triangolo sono nozioni invarianti
per similitudine
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Geometria affine
Invarianza rispetto alle affinità:
feydxy
cbyaxx)0( bdae
L’invariante affine fondamentale è il rapporto semplice
di tre punti allineati:
BC
ACABC )(
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
In particolare è invariante il punto medio di un segmento:
Esempio:
la nozione di baricentro di un triangolo è una nozione affine
1)( BC
ACABC
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Esempio
Il teorema di Pitagora è una proprietà simile
2
'k
T
Sk
CB
BC
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
U=T+S
2
2
c
a
U
T
c
a
2
2
c
b
U
S
c
b
222
2
2
2
2
1 cbac
b
c
a
U
S
U
T
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due figure simili
costruite sui cateti è uguale all’area della figura, simile alle precedenti,
costruita sull’ipotenusa
Il teorema di Pitagora generalizzato
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Esempio
L’area dell’ellisse
feydxy
cbyaxx)0( bdae
bdaeed
badet )(' bdaeSS
con una affinità, l’area delle figure viene moltiplicata per una costante
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
222 ryx 12
2
2
2
b
y
a
x
yr
by
xr
ax
'
'
2det
r
abA
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
2det'
r
abSASS
L’area dell’ellisse di semiassi a e b è: S’=πab
Area dell’ellisse
πr2 πr2·ab/r2= π·ab
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
La nascita della prospettiva
Giotto (XIII-XIV sec.)
Piacemi il pittor sia dotto in
quanto e’ possa in tutte l’arti
liberali; ma in prima desidero
sappi geometria.
Leon Battista Alberti
De Pictura, 1435
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Ambrogio Lorenzetti
(1344)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
La Trinità,
di Masaccio,
1426-1428
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
La costruzione legittima
Leon Battista Alberti
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
La costruzione con punto di distanza
Piero della Francesca
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Paolo Uccello,
Il miracolo dell’ostia profanata,
1465-69
Piero della Francesca,
“De prospectiva pingendi”,
1475 circa
Paolo Uccello,
Studio di prospettiva
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il piano proiettivo è il piano esteso con i “punti impropri” in modo
che due rette parallele abbiano sempre esattamente un punto di
intersezione.
I punti del piano improprio si rappresentano analiticamente con tre
“coordinate omogenee”.
3332321313
3232221212
3132121111
'
'
'
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
0det
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
AD
BD
BC
AC
ABD
ABCABCD
)(
)()(Invariante proiettivo: il birapporto
Invito alla geometria
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Il teorema dei triangoli omologici
Desargues, 1636
Renato Betti – Politecnico di Milano
Invito alla geometria
Il modello di Poincaré
Top Related