I SISTEMI LINEARIE’ più facile quadrare un cerchio checonvincere un matematico.
Augustus De Morgan
LA RETTAUna equazione di primo grado in due incognite, del tipo
1 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
geometricamente configurata in un piano cartesiano ortogonale, rappresenta una retta.L’equazione 1 è chiamata equazione implicita della retta.Risolviamo tale equazione rispetto all’incognita y
𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐dividendo per b
𝑦 = −𝑎𝑏 𝑥 −
𝑐𝑏
posto −,- = 𝑚 𝑒 − 0
- = 𝑞l’equazione diventa
2 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞detta equazione esplicita della retta.
Particolarmente importante è
𝑚 = −𝑎𝑏
detto coefficiente angolare.Geometricamente rappresenta l’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse 𝑥.
𝛼
Indicato con 𝛼 tale angolo, che indica anche la pendenza della retta, si ha:
𝑚 > 0 ⟺ 0 < 𝛼 < 90°
𝑚 < 0 ⟺ 90° < 𝛼 < 180°𝛼
CASI PARTICOLARI DELLA RETTA
i) se 𝑐 = 0 la retta ha equazione 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑦 = 𝑚𝑥 la retta passa per l’origine degli assi cartesiani.
ii) se 𝑎 = 0 la retta ha equazione 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.Risolvendo rispetto alla lettera y si ottiene 𝑦 = − 0
- ; posto −0- = 𝑦? si ha 𝑦 = 𝑦? retta
parallela all’asse 𝑥.
iii) se 𝑏 = 0 la retta ha equazione 𝑎𝑥 + 𝑐 = 0.Risolvendo rispetto alla lettera 𝑥 si ottiene 𝑥 = − 0
, ; posto −0, = 𝑥? si ha 𝑥 = 𝑥?
retta parallela all’asse 𝑦.
La retta di equazione 𝑦 = 0 è l’asse delle 𝑥;La retta di equazione 𝑥 = 0 è l’asse delle 𝑦.
ESEMPI𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 1
𝑦 = 𝑥 bisettrice del I e III quadrante
𝑦 = −𝑥 bisettrice del II e IV quadrante
𝑥 =32
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UNA RETTA
Euclide, in uno dei suoi postulati, affermava che per due punti distinti del piano passa una ed una sola retta.Questo significa che se vogliamo rappresentare graficamente una retta nel piano cartesiano, occorrono due punti. Supponiamo di voler rappresentare la retta di equazione
2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0Si potrebbero attribuire due valori arbitrari alla 𝑥 (variabile indipendente) e di conseguenza calcolare i rispettivi valori di 𝑦 (variabile dipendente); però può risultare più agevole (questo quando il termine noto è diverso da zero) assegnare il valore zero prima ad una variabile e determinare l’altra variabile e viceversa, diversamente si segue il percorso canonico.
𝒙 𝒚0 23 0
Riportando le coordinate dei punti in un piano cartesiano ortogonale si ha:
(0; 2)
(3; 0)𝑂(0; 0)
Il coefficiente angolare della retta
𝑚 = −23
è negativo. Graficamente si rileva che l’angolo 𝛼 formato dalla retta e dalla direzione positiva dell’asse 𝑥, è ottuso.
𝛼
RECIPROCA POSIZIONE DI DUE RETTE NEL PIANO
Cosa accade se di rette nel piano ne abbiamo due? Ritorniamo al nostro amico Euclide che a tal proposito ci ha insegnato:-‐ Due rette, r ed s, appartenenti ad uno stesso piano, si dicono incidenti quando hanno un solo punto in comune (detto punto d’intersezione – la perpendicolarità tra due rette è un caso particolare di incidenza);
-‐ Due rette, r ed s, appartenenti ad uno stesso piano, si dicono parallele quando non hanno nessun punto in comune eccetto il punto all’infinito ovvero è costante la loro distanza;
-‐ Due rette, r ed s, appartenenti ad uno stesso piano, si dicono coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.
Vediamone una rappresentazione grafica.
P
r
s
Incidenti 𝑟 ∩ 𝑠 = 𝑃
P
𝑟 ⊥ 𝑠 = 𝑃
r
s
r
s
𝑟 ∥ 𝑠 = ∅
rs
𝑟 ∩ 𝑠 = ∀𝑃O ∈ 𝑟, 𝑠 con 𝑖 = 1, 2, …………𝑛. .parallele
coincidenti
perpendicolari
SISTEMI LINEARI
Si definisce sistema di equazioni un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente.Si definisce grado di un sistema l’esponente maggiore espresso da una delle variabili presenti (o il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono). Tali definizioni valgono indipendentemente dal numero di incognite presenti nelle equazioni del sistema.Per indicare le equazioni che compongono un sistema si usa, a sinistra di esse, il simbolo della parentesi graffa.
Poiché l’oggetto del nostro studio sono i sistemi lineari, opereremo con due equazioni di primo grado in due incognite.Di solito le incognite saranno indicate con 𝑥 ed 𝑦.Sia ben chiaro che nel corso degli studi una incognita può essere indicata con una qualsiasi lettera, ma ciò che rimarrà inalterato sarà il processo risolutivo di un sistema lineare.
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si dice rappresentato in forma canonica, quando è del tipo:
U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎V, 𝑏V, 𝑐V ∈ ℝ
In chiave algebrica individua la soluzione (ogni soluzione è espressa da una coppia), se esiste,che verifica contemporaneamente sia la prima che la seconda equazione;
In chiave geometrica, poiché ogni equazione rappresenta una retta, ci fornisce informazionicirca la reciproca posizionenel piano delle due rette rappresentate.
L’aspetto più sorprendente e più attraente è che una struttura di questo tipo è in grado dicontribuire a risolvere una vasta gamma di problemi, siano essi di natura algebrica,geometrica, fisica, reali e di vita quotidiana.
RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEAREAssegniamo il sistema
U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
Possiamo stabilirne, già dalla forma canonica, la natura algebrica e geometrica (delle retterappresentate).
-‐ Se ,,X ≠
--X il sistema si dice determinato, ovvero ha una soluzione; geometricamente: le
rette rappresentate sono incidenti;-‐ Se ,
,X =--X ≠
00X il sistema si dice impossibile, ovvero non ammette soluzione;
geometricamente: le rette rappresentate sono parallele;-‐ Se ,
,X =--X =
00X il sistema si dice indeterminato, ovvero ammette infinite soluzioni;
geometricamente: le rette rappresentate sono coincidenti.
Un’equazione in due incognite è un’identità, se qualunque coppia ordinata di numeri reali èuna soluzione, escludendoquelle che fanno perdere significato all’equazione stessa.
Un esempio lo forniscono alcuni prodotti notevoli come il quadrato di binomio, il cubo dibinomio, il prodottodi una somma per la propria differenza ecc…….
𝑥Z + 𝑦Z + 2𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Z
Oppure
𝑥 + 𝑦 [ = 𝑥[ + 3𝑥Z𝑦+ 3𝑥𝑦Z + 𝑦[
Qualunque sia la coppia numerica che utilizziamo come soluzione, si ha avrà sempre il primomembro uguale al secondomembro.
METODO DI SOSTITUZIONE
Sia dato il sistema
U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
Il metodo di sostituzione consiste nell’isolare una delle due incognite da una delle dueequazioni e sostituirla nella rimanente equazione.Abbiate l’accortezza, qualora il sistema lo riporta, di isolare l’incognita che ha coefficiente1 (𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 − 1) in modo da evitare possibili frazioni.
Isoliamo 𝑥 dalla prima equazione
\ 𝑥 =𝑐 − 𝑏𝑦𝑎
𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
sostituendonella 2^ equazione si ha
𝑥 =𝑐 − 𝑏𝑦𝑎
𝑎V𝑐 − 𝑏𝑦𝑎 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
L’equazione così ottenuta𝑎V 0]-^, + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
è di primo grado nell’incognita 𝑦.Risolviamola come di solito si risolve una semplice equazione di primo grado ad una incognitae supponiamo di pervenire al valore 𝑦 = 𝑘.Sostituendo tale vale nella prima equazione (ovvero dove abbiamo isolato la 𝑥), otteniamo
𝑥 =𝑐 − 𝑏 ∗ 𝑘
𝑎Attraverso semplici calcoli determiniamo il valore di 𝑥, supponiamo sia 𝑥 = ℎ.La coppia (h; k) si dice soluzione del sistema.
ESEMPIO
Risolvere, applicando il metodo di sostituzione, il seguente sistema lineare:
U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑐 = 17; 𝑎V = 1, 𝑏V = −9, 𝑐V = −2
Osserviamo:
-‐ Il sistema è già in forma canonica;
-‐ Il rapporto ,,X =Zc = 2 è diverso dal rapporto --X = − [
d = − c[ ovvero il sistema è
determinato;
-‐ La seconda equazione offre 𝑎V = 1;
Dalla 2^ equazione isoliamo 𝑥
U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 = 9𝑦 − 2
e sostituendo nella prima equazione si ha
U2 9𝑦 − 2 + 3𝑦 = 17𝑥 = 9𝑦 − 2
Ora, la prima equazione risulta essere di primo grado nella sola incognita y; risolviamola:18𝑦 − 4 + 3𝑦 = 1718𝑦 + 3𝑦 = 4+ 17
21𝑦 = 21 𝑦 = 1
sostituendo nell’equazione dove abbiamo isolato la 𝑥𝑥 = 9 1 − 2
𝑥 = 7La coppia 7, 1 è la soluzione del sistema proposto.
METODO DI CONFRONTOSia dato il sistema
U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
Il metodo di confronto consiste nell’isolare la stessa incognita da entrambe le equazioni e utilizzare la proprietà transitiva delle uguaglianze.Isoliamo, per esempio, la 𝑥 da entrambe le equazioni
𝑥 =𝑐 − 𝑏𝑦𝑎
𝑥 =𝑐V − 𝑏V𝑦𝑎V
applicando la proprietà transitiva delle uguaglianze𝑐 − 𝑏𝑦𝑎 =
𝑐V − 𝑏V𝑦𝑎V
L’equazione così ottenuta è di 1° grado nell’incognita 𝑦; risolviamola e supponiamo di pervenire al valore 𝑦 = 𝑘.
Sostituiamo tale valore in una delle due equazioni (il buon senso vuole la più semplice) dove abbiamo isolato la 𝑥 , supponiamo di scegliere la prima
𝑥 = 0]-∗f,
Attraverso semplici calcoli determiniamo il valore di 𝑥, supponiamo sia 𝑥 = ℎ.La coppia (h; k) si dice soluzione del sistema.
ESEMPIORisolviamo con ilmetodo di confronto l’esercizio precedente.
U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑐 = 17; 𝑎V = 1, 𝑏V = −9, 𝑐V = −2
Isoliamo la 𝑥 da entrambe le equazioni
g𝑥 =17 − 3𝑦
2𝑥 = 9𝑦 − 2
applicando la proprietà transitiva delle uguaglianze, si ha
17 − 3𝑦2 = 9𝑦 − 2
17− 3𝑦 = 18𝑦 − 417+ 4 = 18𝑦 + 3𝑦
21 = 21𝑦𝑦 = 1
Sostituendo nella 2^ equazione (se si sostituisce nella 1^ è lo stesso, solo che la 2^ è piùsemplice) si ha
𝑥 = 9 1 − 2𝑥 = 7
La coppia 7, 1 è la soluzione del sistema proposto.
METOTO DI RIDUZIONE O ELIMINAZIONE
Questo metodo utilizza la costruzione di equazioni equivalenti in cui si rendono opposti prima i coefficienti della 𝑥 e poi quelli della 𝑦, o viceversa.
Sia dato il sistema
U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
E’ importante osservare che se si vuole calcolare la 𝑥 occorre eliminare la 𝑦, se si vuole calcolare la 𝑦 occorre eliminare la 𝑥.
Calcoliamo 𝑥.Moltiplichiamo la prima equazione del sistema per −𝑏V e la seconda per 𝑏 (oppure la prima per 𝑏V e la seconda per −𝑏)
U−𝑎𝑏V𝑥 − 𝑏𝑏V𝑦 = −𝑏V𝑐
𝑎V𝑏𝑥 + 𝑏V𝑏𝑦 = 𝑏𝑐Vsommando membro a membro si ha
−𝑎𝑏V𝑥 + 𝑎V𝑏𝑥 = −𝑏V𝑐 + 𝑏𝑐V
raccogliendo a fattor comune 𝑥 al primo membro, abbiamo
𝑎V𝑏 − 𝑎𝑏V 𝑥 = 𝑏𝑐V − 𝑏V𝑐
Risolvendo rispetto ad 𝑥, troviamo
𝑥 =𝑏𝑐V − 𝑏V𝑐 𝑎V𝑏 − 𝑎𝑏V
Posto
-0X]-X0 ,X-],-X = ℎ con ℎ ∈ ℝ
𝑥 = ℎProcesso analogo per calcolare 𝑦.Moltiplichiamo la prima equazione del sistema per −𝑎V e la seconda per 𝑎 (oppure la prima per 𝑎V e la seconda per −𝑎)
U−𝑎V𝑎𝑥 − 𝑎V𝑏𝑦 = −𝑎V𝑐𝑎V𝑎𝑥 + 𝑎𝑏V𝑦 = 𝑎𝑐V
sommando membro a membro si ha
−𝑎V𝑏𝑦 + 𝑎𝑏V𝑦 = −𝑎V𝑐 +𝑎𝑐V
raccogliendo a fattor comune 𝑦 al primo membro, abbiamo
𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏 𝑦 = 𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐
Risolvendo rispetto ad 𝑦, troviamo
𝑦 =𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐 𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏
Posto𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐 𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏 = 𝑘 con k ∈ ℝ
𝑦 = 𝑘
ESEMPIORisolviamo con ilmetodo di riduzione o eliminazione l’esercizio precedente.
U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑐 = 17; 𝑎V = 1, 𝑏V = −9, 𝑐V = −2
Per calcolare la 𝑥, eliminiamo la 𝑦.Il m.c.m. tra 3 e 9 (coefficienti della 𝑦) è 9, per cui moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda la lasciamo invariata
U6𝑥 + 9𝑦 = 51𝑥 − 9𝑦 = −2
Sommando membro a membro abbiamo7𝑥 = 49
Da cui 𝑥 = 7
Per calcolare la 𝑦, eliminiamo la 𝑥.
Il m.c.m. tra 2 e 1 (coefficienti della 𝑥) è 2, per cui lasciamo invariata la prima equazione e moltiplichiamo la seconda per −2
U 2𝑥 + 3𝑦 = 17−2𝑥 + 18𝑦 = +4
sommando membro a membro abbiamo
21𝑦 = 21
da cui
𝑦 = 1
METODO DI CRAMER
Per applicare questo metodo dobbiamo ricorrere ai determinanti.
In questo ciclo di studi risulta difficile aprire una finestra sui determinanti; ma poiché l’applicazione è molto semplice ne acquisiremo solo l’aspetto meccanico, peraltro molto comodo (rispetto agli altri tre) nello studio di sistemi lineari letterali.
Sia dato il sistema
U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V
Calcoliamo:
∆= 𝑎 𝑏𝑎V 𝑏V = 𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏
∆𝑥 = 𝑐 𝑏𝑐V 𝑏V = 𝑐𝑏V − 𝑐V𝑏
∆𝑦 = 𝑎 𝑐𝑎V 𝑐V = 𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐
𝑥 = ∆n∆; 𝑦 = ∆^
∆
ESEMPIORisolviamo con ilmetodo di Cramer l’esercizio iniziale.
U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑐 = 17; 𝑎V = 1, 𝑏V = −9, 𝑐V = −2
∆= 2 31 − 9 = −18 − 3 = −21
∆𝑥 = 17 3−2 − 9 = −153 + 6 = −147
∆𝑦 = 2 171 − 2 = −4 − 17 = −21
𝑥 =∆𝑥∆ 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 𝑥 =
−147−21 = 7; 𝑦 =
∆𝑦∆ 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 𝑦 =
−21−21 = 1
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