I  SISTEMI  LINEARIE’ più facile quadrare un cerchio checonvincere un matematico.

Augustus De  Morgan

LA  RETTAUna  equazione  di  primo  grado  in  due  incognite,  del  tipo

1                      𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

geometricamente configurata  in  un  piano  cartesiano  ortogonale,  rappresenta  una  retta.L’equazione   1 è  chiamata  equazione   implicita  della  retta.Risolviamo  tale  equazione  rispetto  all’incognita  y  

𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐dividendo  per  b  

𝑦 = −𝑎𝑏 𝑥 −

𝑐𝑏

posto                    −,- = 𝑚    𝑒     − 0

- = 𝑞l’equazione  diventa

2                                                      𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞detta  equazione esplicita  della  retta.

Particolarmente  importante  è

𝑚 = −𝑎𝑏

detto  coefficiente  angolare.Geometricamente   rappresenta   l’angolo  che  la  retta  forma  con  la  direzione  positiva  dell’asse  𝑥.

𝛼

Indicato  con  𝛼 tale  angolo,  che  indica  anche  la  pendenza  della  retta,  si  ha:

𝑚 > 0 ⟺ 0 < 𝛼 < 90°

𝑚 < 0 ⟺ 90° < 𝛼 < 180°𝛼

CASI  PARTICOLARI  DELLA  RETTA

i) se      𝑐 = 0 la  retta  ha  equazione    𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0        𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒      𝑦 = 𝑚𝑥 la  retta  passa  per                              l’origine  degli  assi  cartesiani.

ii)        se      𝑎 = 0   la  retta  ha  equazione    𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.Risolvendo  rispetto  alla  lettera  y   si  ottiene    𝑦 = − 0

- ;    posto  −0- = 𝑦? si  ha      𝑦 = 𝑦? retta                              

parallela  all’asse  𝑥.

iii) se        𝑏 = 0 la  retta  ha  equazione      𝑎𝑥 + 𝑐 = 0.Risolvendo  rispetto  alla  lettera  𝑥 si  ottiene      𝑥 = − 0

,  ; posto    −0, = 𝑥? si  ha    𝑥 = 𝑥?

retta  parallela  all’asse  𝑦.

La  retta  di  equazione  𝑦 = 0 è l’asse  delle  𝑥;La  retta  di  equazione  𝑥 = 0  è  l’asse  delle  𝑦.

ESEMPI𝑦 = 2𝑥

𝑦 = 1

𝑦 = 𝑥 bisettrice  del  I  e  III  quadrante

𝑦 = −𝑥 bisettrice  del  II  e  IV  quadrante

𝑥 =32

RAPPRESENTAZIONE  GRAFICA  DI  UNA  RETTA

Euclide,  in  uno  dei  suoi  postulati,  affermava  che  per  due  punti  distinti  del  piano  passa  una  ed  una  sola  retta.Questo  significa  che  se  vogliamo  rappresentare  graficamente  una  retta  nel  piano  cartesiano,  occorrono  due  punti.  Supponiamo  di  voler  rappresentare  la  retta  di  equazione  

2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0Si  potrebbero  attribuire  due  valori  arbitrari  alla  𝑥 (variabile  indipendente)  e  di  conseguenza  calcolare  i  rispettivi  valori  di  𝑦 (variabile  dipendente);  però  può  risultare  più  agevole  (questo  quando  il  termine  noto  è  diverso  da  zero)  assegnare  il  valore  zero  prima  ad  una  variabile  e  determinare  l’altra  variabile  e  viceversa,  diversamente  si  segue  il  percorso  canonico.

𝒙 𝒚0 23 0

Riportando  le  coordinate  dei  punti  in  un  piano  cartesiano  ortogonale  si  ha:

(0; 2)

(3; 0)𝑂(0; 0)

Il  coefficiente  angolare  della  retta

𝑚 = −23

è negativo.  Graficamente  si  rileva  che  l’angolo    𝛼    formato  dalla  retta  e  dalla  direzione  positiva  dell’asse  𝑥,  è  ottuso.

𝛼

RECIPROCA  POSIZIONE  DI  DUE  RETTE  NEL  PIANO

Cosa  accade  se  di  rette  nel  piano  ne  abbiamo  due?  Ritorniamo  al  nostro  amico  Euclide  che  a  tal  proposito  ci  ha  insegnato:-­‐ Due  rette,  r  ed  s,  appartenenti  ad  uno  stesso  piano, si  dicono  incidenti  quando  hanno  un  solo  punto  in  comune  (detto  punto  d’intersezione  – la  perpendicolarità  tra  due  rette  è  un  caso  particolare  di  incidenza);

-­‐ Due  rette,  r  ed  s,  appartenenti  ad  uno  stesso  piano, si  dicono  parallele  quando  non  hanno  nessun  punto  in  comune  eccetto  il  punto  all’infinito  ovvero  è  costante  la  loro  distanza;

-­‐ Due  rette,  r  ed  s,  appartenenti  ad  uno  stesso  piano, si  dicono  coincidenti  quando   hanno  tutti  i  punti  in  comune.

Vediamone  una  rappresentazione  grafica.

P

r

s

Incidenti      𝑟 ∩ 𝑠 = 𝑃

P

𝑟 ⊥ 𝑠 = 𝑃

r

s

r

s

𝑟 ∥ 𝑠 = ∅

rs

𝑟 ∩ 𝑠 = ∀𝑃O ∈ 𝑟, 𝑠 con  𝑖 = 1, 2, …………𝑛. .parallele

coincidenti

perpendicolari

SISTEMI  LINEARI

Si  definisce  sistema  di  equazioni  un  insieme  di  due  o  più  equazioni  considerate  contemporaneamente.Si  definisce  grado  di  un  sistema  l’esponente  maggiore  espresso   da  una  delle  variabili  presenti  (o  il  prodotto  dei  gradi  delle  equazioni  che  lo  compongono).  Tali  definizioni  valgono  indipendentemente  dal  numero  di  incognite  presenti  nelle  equazioni  del  sistema.Per  indicare  le  equazioni  che  compongono  un  sistema  si  usa,  a  sinistra  di  esse,  il  simbolo  della  parentesi  graffa.

Poiché  l’oggetto  del  nostro  studio  sono  i  sistemi  lineari,  opereremo  con  due  equazioni  di  primo  grado  in  due  incognite.Di  solito  le  incognite  saranno  indicate  con    𝑥  ed    𝑦.Sia  ben  chiaro  che  nel  corso  degli  studi  una  incognita  può  essere  indicata  con  una  qualsiasi  lettera,  ma  ciò  che  rimarrà  inalterato  sarà  il  processo  risolutivo  di  un  sistema  lineare.

Un  sistema  lineare  di  due  equazioni  in  due  incognite  si  dice  rappresentato  in  forma  canonica,  quando  è  del  tipo:

U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V con      𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎V, 𝑏V, 𝑐V ∈ ℝ

In chiave algebrica individua la soluzione (ogni soluzione è espressa da una coppia), se esiste,che verifica contemporaneamente sia la prima che la seconda equazione;

In chiave geometrica, poiché ogni equazione rappresenta una retta, ci fornisce informazionicirca la reciproca posizionenel piano delle due rette rappresentate.

L’aspetto più sorprendente e più attraente è che una struttura di questo tipo è in grado dicontribuire a risolvere una vasta gamma di problemi, siano essi di natura algebrica,geometrica, fisica, reali e di vita quotidiana.

RISOLUZIONE  DI  UN  SISTEMA  LINEAREAssegniamo  il  sistema

U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

Possiamo stabilirne, già dalla forma canonica, la natura algebrica e geometrica (delle retterappresentate).

-­‐ Se ,,X ≠

--X il sistema si dice determinato, ovvero ha una soluzione; geometricamente: le

rette rappresentate sono incidenti;-­‐ Se ,

,X =--X ≠

00X il sistema si dice impossibile, ovvero non ammette soluzione;

geometricamente: le rette rappresentate sono parallele;-­‐ Se ,

,X =--X =

00X il sistema si dice indeterminato, ovvero ammette infinite soluzioni;

geometricamente: le rette rappresentate sono coincidenti.

Un’equazione in due incognite è un’identità, se qualunque coppia ordinata di numeri reali èuna soluzione, escludendoquelle che fanno perdere significato all’equazione stessa.

Un esempio lo forniscono alcuni prodotti notevoli come il quadrato di binomio, il cubo dibinomio, il prodottodi una somma per la propria differenza ecc…….

𝑥Z + 𝑦Z + 2𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Z

Oppure

𝑥 + 𝑦 [ = 𝑥[ + 3𝑥Z𝑦+ 3𝑥𝑦Z + 𝑦[

Qualunque sia la coppia numerica che utilizziamo come soluzione, si ha avrà sempre il primomembro uguale al secondomembro.

METODO  DI  SOSTITUZIONE

Sia  dato  il  sistema  

U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

Il metodo di sostituzione consiste nell’isolare una delle due incognite da una delle dueequazioni e sostituirla nella rimanente equazione.Abbiate l’accortezza, qualora il sistema lo riporta, di isolare l’incognita che ha coefficiente1  (𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒   − 1) in modo da evitare possibili frazioni.

Isoliamo 𝑥  dalla prima equazione

\ 𝑥 =𝑐 − 𝑏𝑦𝑎

𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

sostituendonella 2^ equazione si ha

𝑥 =𝑐 − 𝑏𝑦𝑎

𝑎V𝑐 − 𝑏𝑦𝑎 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

L’equazione così ottenuta𝑎V 0]-^, + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

è di primo grado nell’incognita 𝑦.Risolviamola come di solito si risolve una semplice equazione di primo grado ad una incognitae supponiamo di pervenire al valore 𝑦 = 𝑘.Sostituendo tale vale nella prima equazione (ovvero dove abbiamo isolato la 𝑥), otteniamo

𝑥 =𝑐 − 𝑏 ∗ 𝑘

𝑎Attraverso semplici calcoli determiniamo il valore di 𝑥, supponiamo sia 𝑥 = ℎ.La coppia (h; k) si dice soluzione del sistema.

ESEMPIO

Risolvere,  applicando  il  metodo  di  sostituzione,  il  seguente  sistema  lineare:

U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2,  𝑏 = 3,      𝑐 = 17;    𝑎V = 1, 𝑏V = −9,       𝑐V = −2

Osserviamo:

-­‐ Il  sistema  è  già  in  forma  canonica;

-­‐ Il  rapporto      ,,X =Zc = 2 è  diverso  dal  rapporto         --X = − [

d = − c[ ovvero  il  sistema  è  

determinato;

-­‐ La  seconda  equazione  offre      𝑎V = 1;

Dalla  2^  equazione  isoliamo    𝑥  

U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 = 9𝑦 − 2

e sostituendo nella prima equazione si ha

U2 9𝑦 − 2 + 3𝑦 = 17𝑥 = 9𝑦 − 2

Ora,  la  prima  equazione  risulta  essere  di  primo  grado  nella  sola  incognita    y;  risolviamola:18𝑦 − 4 + 3𝑦 = 1718𝑦 + 3𝑦 = 4+ 17

21𝑦 = 21  𝑦 = 1

sostituendo  nell’equazione  dove  abbiamo  isolato  la  𝑥𝑥 = 9 1 − 2

𝑥 = 7La  coppia   7, 1 è  la  soluzione  del  sistema  proposto.

METODO  DI  CONFRONTOSia  dato  il  sistema

U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

Il  metodo  di  confronto  consiste  nell’isolare  la  stessa  incognita  da  entrambe  le  equazioni  e  utilizzare  la  proprietà  transitiva  delle  uguaglianze.Isoliamo,  per  esempio,  la  𝑥 da  entrambe  le  equazioni

𝑥 =𝑐 − 𝑏𝑦𝑎

𝑥 =𝑐V − 𝑏V𝑦𝑎V

applicando la proprietà transitiva delle uguaglianze𝑐 − 𝑏𝑦𝑎 =

𝑐V − 𝑏V𝑦𝑎V

L’equazione  così  ottenuta  è  di  1° grado  nell’incognita  𝑦; risolviamola  e  supponiamo  di  pervenire  al  valore  𝑦 = 𝑘.

Sostituiamo  tale  valore  in  una  delle  due  equazioni  (il  buon  senso  vuole  la  più  semplice)  dove  abbiamo  isolato  la    𝑥  , supponiamo  di  scegliere  la  prima

𝑥 = 0]-∗f,

Attraverso semplici calcoli determiniamo il valore di 𝑥, supponiamo sia 𝑥 = ℎ.La coppia (h; k) si dice soluzione del sistema.

ESEMPIORisolviamo con ilmetodo di confronto l’esercizio precedente.

U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2,  𝑏 = 3,      𝑐 = 17;    𝑎V = 1, 𝑏V = −9,       𝑐V = −2

Isoliamo  la  𝑥 da  entrambe  le  equazioni

g𝑥 =17 − 3𝑦

2𝑥 = 9𝑦 − 2

applicando  la  proprietà  transitiva  delle  uguaglianze,  si  ha

17 − 3𝑦2 = 9𝑦 − 2

17− 3𝑦 = 18𝑦 − 417+ 4 = 18𝑦 + 3𝑦

21 = 21𝑦𝑦 = 1

Sostituendo nella 2^ equazione (se si sostituisce nella 1^ è lo stesso, solo che la 2^ è piùsemplice) si ha

𝑥 = 9 1 − 2𝑥 = 7

La  coppia   7, 1 è  la  soluzione  del  sistema  proposto.

METOTO  DI  RIDUZIONE  O  ELIMINAZIONE

Questo  metodo  utilizza  la  costruzione  di  equazioni  equivalenti  in  cui  si  rendono  opposti  prima  i  coefficienti  della  𝑥 e  poi  quelli  della  𝑦,  o  viceversa.

Sia  dato  il  sistema

U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

E’  importante osservare  che  se  si  vuole  calcolare  la  𝑥 occorre  eliminare  la  𝑦, se  si  vuole  calcolare  la  𝑦 occorre  eliminare  la  𝑥.

Calcoliamo    𝑥.Moltiplichiamo  la  prima  equazione  del  sistema  per    −𝑏V e  la  seconda  per    𝑏 (oppure  la  prima  per  𝑏V e  la  seconda  per    −𝑏)

U−𝑎𝑏V𝑥 − 𝑏𝑏V𝑦 = −𝑏V𝑐

𝑎V𝑏𝑥 + 𝑏V𝑏𝑦 = 𝑏𝑐Vsommando  membro  a  membro  si  ha

−𝑎𝑏V𝑥 + 𝑎V𝑏𝑥 = −𝑏V𝑐 +  𝑏𝑐V

raccogliendo  a  fattor  comune  𝑥 al  primo  membro,  abbiamo

𝑎V𝑏 − 𝑎𝑏V 𝑥 = 𝑏𝑐V − 𝑏V𝑐

Risolvendo  rispetto  ad  𝑥,  troviamo

𝑥 =𝑏𝑐V − 𝑏V𝑐  𝑎V𝑏 − 𝑎𝑏V

Posto    

-0X]-X0  ,X-],-X = ℎ con    ℎ ∈ ℝ

𝑥 = ℎProcesso  analogo  per  calcolare  𝑦.Moltiplichiamo  la  prima  equazione  del  sistema  per    −𝑎V e  la  seconda  per    𝑎 (oppure  la  prima  per  𝑎V e  la  seconda  per    −𝑎)

U−𝑎V𝑎𝑥 − 𝑎V𝑏𝑦 = −𝑎V𝑐𝑎V𝑎𝑥 + 𝑎𝑏V𝑦 = 𝑎𝑐V

sommando  membro  a  membro  si  ha

−𝑎V𝑏𝑦 + 𝑎𝑏V𝑦 = −𝑎V𝑐 +𝑎𝑐V

raccogliendo  a  fattor  comune  𝑦 al  primo  membro,  abbiamo

𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏 𝑦 = 𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐

Risolvendo  rispetto  ad  𝑦,  troviamo

𝑦 =𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐  𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏

Posto𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐  𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏 = 𝑘                        con      k ∈ ℝ

𝑦 = 𝑘

ESEMPIORisolviamo con ilmetodo di riduzione o eliminazione l’esercizio precedente.

U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2,  𝑏 = 3,      𝑐 = 17;    𝑎V = 1, 𝑏V = −9,       𝑐V = −2

Per  calcolare  la  𝑥,  eliminiamo  la  𝑦.Il  m.c.m.  tra  3 e  9    (coefficienti  della  𝑦)  è  9,  per  cui  moltiplichiamo  la  prima  equazione  per  3  e  la  seconda   la  lasciamo  invariata

U6𝑥 + 9𝑦 = 51𝑥 − 9𝑦 = −2

Sommando  membro  a  membro  abbiamo7𝑥 = 49

Da  cui  𝑥 = 7

Per  calcolare  la  𝑦,  eliminiamo  la  𝑥.

Il  m.c.m.  tra  2 e  1    (coefficienti  della  𝑥)  è  2,  per  cui  lasciamo  invariata  la  prima  equazione  e  moltiplichiamo  la  seconda  per  −2

U 2𝑥 + 3𝑦 = 17−2𝑥 + 18𝑦 = +4

sommando  membro  a  membro  abbiamo

21𝑦 = 21

da  cui

𝑦 = 1

METODO  DI  CRAMER

Per  applicare  questo  metodo  dobbiamo  ricorrere  ai  determinanti.

In  questo  ciclo  di  studi  risulta  difficile  aprire  una  finestra  sui  determinanti;    ma  poiché  l’applicazione  è  molto  semplice  ne  acquisiremo  solo  l’aspetto  meccanico,  peraltro  molto  comodo  (rispetto  agli  altri  tre)    nello  studio  di  sistemi  lineari  letterali.

Sia  dato  il  sistema

U 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎V𝑥 + 𝑏V𝑦 = 𝑐V

Calcoliamo:

∆= 𝑎        𝑏𝑎V      𝑏V   = 𝑎𝑏V − 𝑎V𝑏

∆𝑥 = 𝑐        𝑏𝑐V      𝑏V   = 𝑐𝑏V − 𝑐V𝑏

∆𝑦 = 𝑎        𝑐𝑎V      𝑐V   = 𝑎𝑐V − 𝑎V𝑐

𝑥 = ∆n∆;                                                                                                              𝑦 = ∆^

∆

ESEMPIORisolviamo con ilmetodo di Cramer l’esercizio iniziale.

U2𝑥 + 3𝑦 = 17𝑥 − 9𝑦 = −2 𝑎 = 2,  𝑏 = 3,      𝑐 = 17;    𝑎V = 1, 𝑏V = −9,       𝑐V = −2

∆= 2        31   − 9 = −18 − 3 = −21

∆𝑥 = 17        3−2   − 9 = −153 + 6 = −147

∆𝑦 = 2        171       − 2   = −4 − 17 = −21

𝑥 =∆𝑥∆      𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜  𝑥 =

−147−21 = 7;                                              𝑦 =

∆𝑦∆    𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜  𝑦 =

−21−21 = 1