SULLOSTUDIODIFUNZIONEAlcuniesercizipreliminari1. Soluzionedialcuniesercizipag. 183-Funzionipari,dispari,periodicheesercizio10-funzionipariodisparia)x1 + (x)2= x1 +x2 funzione dispari; b) (x) sin(2x) = xsin2x funzione pari;c) cos((x)3) = cos((x)3) = cos(x3) funzione pari;d) 2(x)3= 2(x)3=12x3 funzione n`e pari n`e dispari;e)(x)2+ 1(x)4+ 1=x2+ 1x4+ 1 funzione pari; f)(x)3+ 1x + 4= x3+ 1x + 4funzione n`e pari n`e dispari.esercizio11-funzioniperiodichea)sin2x sin2(x +T1) 2x 2(x +T1) + 2n 2T1 + 2n = 0 T1 = n,cos 3x cos 3(x +T2) 3x 3(x +T2) + 2m 3T2 + 2m = 0 T2 =23m,per avere il periodo comune, poniamoKnT1 = HmT2, conm, n Z, eH, K N; ponendon = m = 1 si hail periodo minimo conK = 2, eH = 3; cio`eT= 2;b) (sinx)2 (sin(x+T))2

sin(x +T) sinx T= 2nsin(x +T) sinx

x +T x + 2n assurdox +T x + + 2nT= 2n2(n + 1),e quindiTmultiplo pari, oppure dispari di, cio`eT= n;c) cos(2x + 1) cos(2(x +T + 1)) 2x + 1 2(x +T) + 1 + 2n T= n;d) sin(x3) sin((x+T)3) x3 (x+T)3+2n x3+3x2T +3xT2+T3+2n, assurdo la funzionenon `e periodica;e) 2sin x 2sin(x+T)(per la monotonia dellesponenziale) sinx sin(x +T) T= 2n;f) tan x2 tan

x +T2

x2

x +T2

+n T= 2n;(cos x)2 (cos(x+T))2

cos(x +T) cos x T= 2ncos(x +T) cos x

x +T x + 2n assurdox +T x + + 2nT= 2n2(n + 1),e quindi (vedi b))T= n;g) considerare anche la funzione sinx + cos x:sinx sin(x +T1) T1 = 2n, cos x cos (x +T2) T2 = 2m;per trovare il periodo comune, poniamo, come in a), 2Hn = 2Km, con n, m Z, e H, K N, che `e assurdo;la funzione considerata, somma di funzioni periodiche non `e periodica; il motivo sta nel fatto che i due periodidelle funzioni addendi nan hanno tra loro rapporto razionale.1