Funzioni Zero

SULLO STUDIO DI FUNZIONE Alcuni esercizi preliminari 1. Soluzione di alcuni esercizi pag. 183 - Funzioni pari, dispari, periodiche • esercizio 10 - funzioni pari o dispari a) -x 1+(-x) 2 = - x 1+ x 2 ⇒ funzione dispari; b) (-x) sin(-2x)= x sin 2x ⇒ funzione pari; c) cos((-x) 3 ) = cos(-(x) 3 ) = cos(x 3 ) ⇒ funzione pari; d) 2 (-x) 3 =2 -(x) 3 = 1 2 x 3 ⇒ funzione n` e pari n` e dispari; e) (-x) 2 +1 (-x) 4 +1 = x 2 +1 x 4 +1 ⇒ funzione pari; f) (-x) 3 +1 -x +4 = -x 3 +1 -x +4 ⇒ funzione n` e pari n` e dispari. • esercizio 11 - funzioni periodiche a) sin 2x ≡ sin 2(x + T 1 ) ⇔ 2x ≡ 2(x + T 1 )+2nπ ⇔ 2T 1 +2nπ =0 ⇔ T 1 = nπ, cos 3x ≡ cos 3(x + T 2 ) ⇔ 3x ≡ 3(x + T 2 )+2mπ ⇔ 3T 2 +2mπ =0 ⇔ T 2 = 2 3 mπ, per avere il periodo comune, poniamo KnT 1 = HmT 2 , con m, n ∈ Z,e H, K ∈ N; ponendo n = m = 1 si ha il periodo minimo con K = 2, e H = 3; cio` e T =2π; b) (sin x) 2 ≡ (sin(x+T )) 2 ⇔ sin(x + T ) ≡ sin x ⇔ T =2nπ sin(x + T ) ≡- sin x x + T ≡-x +2nπ assurdo x + T ≡ x + π +2nπ ⇔ T = 2nπ 2(n + 1)π , e quindi T multiplo pari, oppure dispari di π, cio` e T = nπ; c) cos(2x + 1) ≡ cos(2(x + T + 1)) ⇔ 2x +1 ≡ 2(x + T )+1+2nπ ⇔ T = nπ; d) sin(x 3 ) ≡ sin((x + T ) 3 ) ⇔ x 3 ≡ (x + T ) 3 +2nπ ≡ x 3 +3x 2 T +3xT 2 + T 3 +2nπ, assurdo ⇔ la funzione non ` e periodica; e) 2 sin x ≡ 2 sin(x+T ) ⇔ (per la monotonia dell’esponenziale) sin x ≡ sin(x + T ) ⇔ T =2nπ; f) tan x 2 ≡ tan x + T 2 ⇔ x 2 ≡ x + T 2 + nπ ⇔ T =2nπ; (cos x) 2 ≡ (cos(x+T )) 2 ⇔ cos(x + T ) ≡ cos x ⇔ T =2nπ cos(x + T ) ≡- cos x x + T ≡ π - x +2nπ assurdo x + T ≡ x + π +2nπ ⇔ T = 2nπ 2(n + 1)π , e quindi (vedi b)) T = nπ; g) considerare anche la funzione sin x + cos πx: sin x ≡ sin(x + T 1 ) ⇔ T 1 =2nπ, cos πx ≡ cos π(x + T 2 ) ⇔ T 2 =2m; per trovare il periodo comune, poniamo, come in a), 2Hnπ =2Km, con n, m ∈ Z,e H, K ∈ N, che ` e assurdo; la funzione considerata, somma di funzioni periodiche non ` e periodica; il motivo sta nel fatto che i due periodi delle funzioni addendi nan hanno tra loro rapporto razionale. 1

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SULLOSTUDIODIFUNZIONEAlcuniesercizipreliminari1. Soluzionedialcuniesercizipag. 183-Funzionipari,dispari,periodicheesercizio10-funzionipariodisparia)x1 + (x)2= x1 +x2 funzione dispari; b) (x) sin(2x) = xsin2x funzione pari;c) cos((x)3) = cos((x)3) = cos(x3) funzione pari;d) 2(x)3= 2(x)3=12x3 funzione nè pari nè dispari;e)(x)2+ 1(x)4+ 1=x2+ 1x4+ 1 funzione pari; f)(x)3+ 1x + 4= x3+ 1x + 4funzione nè pari nè dispari.esercizio11-funzioniperiodichea)sin2x sin2(x +T1) 2x 2(x +T1) + 2n 2T1 + 2n = 0 T1 = n,cos 3x cos 3(x +T2) 3x 3(x +T2) + 2m 3T2 + 2m = 0 T2 =23m,per avere il periodo comune, poniamoKnT1 = HmT2, conm, n Z, eH, K N; ponendon = m = 1 si hail periodo minimo conK = 2, eH = 3; cioèT= 2;b) (sinx)2 (sin(x+T))2

sin(x +T) sinx T= 2nsin(x +T) sinx

x +T x + 2n assurdox +T x + + 2nT= 2n2(n + 1),e quindiTmultiplo pari, oppure dispari di, cio`eT= n;c) cos(2x + 1) cos(2(x +T + 1)) 2x + 1 2(x +T) + 1 + 2n T= n;d) sin(x3) sin((x+T)3) x3 (x+T)3+2n x3+3x2T +3xT2+T3+2n, assurdo la funzionenon `e periodica;e) 2sin x 2sin(x+T)(per la monotonia dellesponenziale) sinx sin(x +T) T= 2n;f) tan x2 tan

x +T2

+n T= 2n;(cos x)2 (cos(x+T))2

cos(x +T) cos x T= 2ncos(x +T) cos x

x +T x + 2n assurdox +T x + + 2nT= 2n2(n + 1),e quindi (vedi b))T= n;g) considerare anche la funzione sinx + cos x:sinx sin(x +T1) T1 = 2n, cos x cos (x +T2) T2 = 2m;per trovare il periodo comune, poniamo, come in a), 2Hn = 2Km, con n, m Z, e H, K N, che `e assurdo;la funzione considerata, somma di funzioni periodiche non `e periodica; il motivo sta nel fatto che i due periodidelle funzioni addendi nan hanno tra loro rapporto razionale.1