GEOMETRIA ED ALGEBRA LINEAREQuinta Facolta-Docenti:Dulio-Notari-Scapellato

TEMA D'ESAME DEL 12/07/2010 - Versione A

Tutti i calcoli devono essere riportati per la correzione, e le risposte devono esseregiusticate.

Esercizio 1. (1 + 7 + 3 punti) Si consideri l' endomorsmo T : R3 ! R3 denitocome

T (x; y; z) = (x y 2z; x+ y + 2z; 2x+ 2y + 2z):(a) Si calcoli la matrice A associata a T rispetto alla base canonica B di R3:(b) Si calcolino il polinomio caratteristico di T; gli autovalori di T; ed una base

per ogni suo autospazio. Stabilire inne se A e diagonalizzabile, ed in casoaermativo determinare una matrice invertibile P per cui P1AP sia unamatrice diagonale.

(c) Si calcoli il nucleo di T 2 = T T:Svolgimento.

(a) Con facili calcoli, ed usando la denizione della matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a delle basi ssate, si ha

A = MB;B(T ) =

0@ 1 1 21 1 22 2 2

1A :(b) Il polinomio caratteristico di T risulta pT (t) = det(A tI) = t2(2 t).

Visto che le sue radici sono t1 = 0; t2 = 2; entrambe reali, esse sono entrambeautovalori, e quindi abbiamo l'autovalore semplice = 2, e l'autovalore = 0, dimolteplicita algebrica 2. Ad essi corrispondono gli autospazi V (2) = L((1; 1; 1)di dimensione 1 e base B2 = ((1; 1; 1)); e V (0) = L((1; 10)) di dimensione 1e base B0 = ((1; 1; 0)): Poiche V (2) e V (0) hanno entrambi dimensione 1, ed inparticolare = 0 non e regolare, allora A non e diagonalizzabile.

(c) L'endomorsmo T 2 e rappresentato, rispetto alla base canonica B, dallamatrice A2, data da

A2 =

0@ 1 1 21 1 22 2 2

1A0@ 1 1 21 1 22 2 2

1A =0@ 4 4 44 4 4

4 4 4

1A ;e quindi ker(T 2) = L((1; 0;1); (0; 1;1)):

Esercizio 2. (5 + 3 + 3 punti) Sia data la sfera : x2 + y2 + z2 = 4:

(a) Si determini un piano contenente la retta r : x =p3 t; y = p3; z = t e

tangente a : Determinare poi un punto A di in modo che sia la sferadi raggio minimo passante per A e tangente ad :

(b) Sia il piano di equazione y z = 0. Calcolare la proiezione della circon-ferenza = \ , dal punto V (0; 0; 1); sul piano [xy].

(c) Dopo aver vericato che e una conica, classicarla, determinarne un'equazione canonica e determinare il cambio di riferimento che la riporta informa canonica.

1

2Svolgimento. (a) Un' equazione cartesiana di r e

x+ z p3 = 0y p3 = 0 e quindi i piani

che la contengono sono tutti e soli quelli di equazione a(x+zp3)+b(yp3) = 0al variare di a; b 2 R: Imponendo che uno di tali piani abbia distanza da O(0; 0; 0);centro di ; uguale a 2; raggio di ; otteniamo l' equazione

j p3ap3bjp2a2 + b2

= 2

le cui soluzioni sono b = 5a; b = a: I due piani contenenti r e tangenti a hannoallora equazioni 1 : x + 5y + z 6

p3 = 0 e 2 : x + y + z 2

p3 = 0: Scegliamo

2: Il punto in cui 2 incontra e B(2p3; 2p

3; 2p

3): Il punto A richiesto e allora l'

altro estremo del diametro di che contiene B: Visto che ha centro nell' origine,il punto A ha coordinate A( 2p

3; 2p

3; 2p

3):

(b) Sia P (x0; y0; z0) 2 : La retta per V e P ha equazione parametrica x =x0t; y = y0t; z = 1 + (z0 1)t; t 2 R: L' appartenenza di P a equivale alle dueequazioni y0 z0 = 0; x20 + y20 + z20 = 4: Eliminando i parametri x0; y0; z0; t tra le5 equazioni, si ricava l' equazione del cono di vertice V e direttrice : Svolgendo icalcoli, si ottiene C : x2 2y2 + 8yz 4z2 8y + 8z 4 = 0: La proiezione p() di sul piano [xy] si ottiene intersecando C con z = 0; e quindi

p() :

z = 0x2 2y2 8y 4 = 0 :

(c) p() e una conica, essendo intersezione di un piano e di un cono quadrico.Lavorando nel piano z = 0; possiamo dimenticare la prima equazione, e lavoraresolo con la seconda. Si nota che la parte quadratica dell' equazione, ossia x2 2y2;e gia in forma canonica. Per riportare la conica in forma canonica, basta allorausare il completamento dei quadrati, e si ha: x22(y2)2 = 4: Quindi, il cambiodi coordinate e x = X; y = Y + 2; ed e una traslazione, mentre la forma canonicarisulta X2 2Y 2 = 4: La conica p() e quindi un' iperbole.

Esercizio 3. (6 + 5 punti) Sia dato il sottospazio U = L((1; 1; 1); (1; 2; 2)) di R3.(a) Scrivere l' endomorsmo f di R3 che rappresenta la simmetria ortogonale

rispetto ad U; calcolando la matrice P ad esso associata rispetto alla basecanonica.

(b) Vericare che P e una matrice sia ortogonale, sia simmetrica, e determinareuna base ortonormale di R3 formata da autovettori di f:

Svolgimento. I due generatori di U sono indipendenti, quindi U ha dimensione2: L' endomorsmo f ha U come autospazio relativo all' autovalore 1; e U? comeautospazio relativo all' autovalore 1: Visto che UU? = R3; f e diagonalizzabile.Scriviamo allora f rispetto alla base ortonormale B = (

!e1;

!e2;

!e3) con

!e12 U?; e!

e2;!e32 U: Per ottenere un vettore di U? basta considerare !u ^ !v con !u= (1; 1; 1)

e!v= (1; 2; 2): Visto che la base canonica (

!i;!j;!k ) e una base ortonormale, abbiamo

!u ^ !v= det

0B@ 1 1!i

1 2!j

1 2!k

1CA = !j + !k= (0;1; 1):

3Normalizzando!u ^ !v otteniamo !e1= (0; 1p2 ; 1p2 ): Per ottenere

!e2; basta scegliere

un vettore in U e normalizzarlo. Osservando che (1; 0; 0) 2 U; allora !e2= (1; 0; 0):Usando ancora il prodotto vettoriale,

!e3=

!e1 ^ !e2= (0; 1p2 ; 1p2 ): Detta C la base

canonica, abbiamo che

P = MB;C(1R3) =

0@ 0 1 0 1p2

0 1p2

1p2

0 1p2

1A ;e che

MB;B(f) =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A :Usando la formula per il cambio base, abbiamo che

MC;C(f) = PMB;B(f)tP =

0@ 1 0 00 0 10 1 0

1A :E evidente allora che MC;C(f) e simmetrica. Essa e anche ortogonale perche C e

una base ortonormale, ed f trasforma la base B in ( !e1;!e2;!e3) che e ancora unabase ortonormale, ossia f conserva il prodotto scalare.

4GEOMETRIA ED ALGEBRA LINEAREQuinta Facolta-Docenti:Dulio-Notari-Scapellato

TEMA D'ESAME DEL 12/07/2010 - Versione B

Tutti i calcoli devono essere riportati per la correzione, e le risposte devono esseregiusticate.

Esercizio 4. (1 + 7 + 3 punti) Si consideri l' endomorsmo T : R3 ! R3 denitocome

T (x; y; z) = (2x+ y + z;2x y z; 2x+ 2y + 2z):(a) Si calcoli la matrice A associata a T rispetto alla base canonica B di R3:(b) Si calcolino il polinomio caratteristico di T; gli autovalori di T; ed una base

per ogni suo autospazio. Stabilire inne se A e diagonalizzabile, ed in casoaermativo determinare una matrice invertibile P per cui P1AP sia unamatrice diagonale.

(c) Si calcoli il nucleo di T 2 = T T:Esercizio 5. (5 + 3 + 3 punti) Sia data la sfera : x2 + y2 + z2 = 4:

(a) Si determini un piano contenente la retta r : x = p3t; y = p3; z = te tangente a : Determinare poi un punto A di in modo che sia la sferadi raggio minimo passante per A e tangente ad :

(b) Sia il piano di equazione x z = 0. Calcolare la proiezione della circon-ferenza = \ , dal punto V (0; 0; 1); sul piano [xy].

(c) Dopo aver vericato che e una conica, classicarla, determinarne un'equazione canonica e determinare il cambio di riferimento che la riporta informa canonica.

Esercizio 6. (6 + 5 punti) Sia dato il sottospazio U = L((1; 1; 1); (2; 2; 1)) di R3.(a) Scrivere l' endomorsmo f di R3 che rappresenta la simmetria ortogonale

rispetto ad U; calcolando la matrice P ad esso associata rispetto alla basecanonica.

(b) Vericare che P e una matrice sia ortogonale, sia simmetrica, e determinareuna base ortonormale di R3 formata da autovettori di f: