Derivate di funzioni
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Variazione assolutaSia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispon-denza dei punti x0 e x0 +h, con h > 0.
Supponiamo di voler determinare di quanto varia il val-ore della funzione nell’intervallo [x0,x0+h], possiamo alloracalcolare la variazione assoluta della funzione
f (x0 +h)− f (x0).
Possiamo calcolare la variazione in relazione all’ampiezzadell’intervallo di variazione ottenendo il seguente tasso divariazione:
f (x0 +h)− f (x0)
(x0 +h)− x0
detto rapporto incrementale della funzione.2 / 40
Rapporto incrementale
Osserviamo che il rapporto incrementale rappresenta il co-efficiente angolare della retta passante per i due punti P0 =(x0, f (x0)) e Ph = (x0 +h, f (x0 +h)).Infatti ricordiamo che il coefficiente angolare di tale retta èdefinito come:
mh =f (x0 +h)− f (x0)
(x0 +h)− x0
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Rapporto incrementaleSupponiamo ora di diminuire il valore di h, allora la retta rh tendea sovrapporsi alla retta r0. Di conseguenza per valori di h chetendono al valore zero il coefficiente mh tende al coefficiente an-golare m0 della retta tangente r0.
Segue che m0 = limh→0
f (x0 +h)− f (x0)
h4 / 40
Derivata di una funzioneData una funzione f (x) continua in x0 la sua derivata nelpunto x0 è definita come
limh→0
f (x+h)− f (x0)
h
se questo limite esiste ed è finito.La derivata si indica indistintamente come:
f ′(x0) =ddx
f (x0) = limh→0
f (x0 +h)− f (x0)
h
La funzione derivata prima associa ad ogni punto di conti-nuità della funzione f , se esiste, la sua derivata nel punto:
f ′(x) : x 7→ f ′(x).
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Calcolo della derivata applicando ladefinizione
f ′(x0) = limh→0
f (x0 +h)− f (x0)
h
• f (x) = b costante =⇒ f ′(x0) = limh→0
b−bh
= 0
• f (x) = x retta =⇒ f ′(x0) = limh→0
x0 +h− x0
h= lim
h→0
hh= 1
• f (x) = x2 parabola =⇒
f ′(x0) = limh→0
(x0 +h)2− (x0)2
h= lim
h→0
2x0h+(h)2
h= lim
h→02x0 +h = 2x0
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Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f ′(x0) = 0• f (x) = x =⇒ f ′(x0) = 1• f (x) = x2 =⇒ f ′(x0) = 2x
possiamo allora generalizzare• f (x) = xβ =⇒ f ′(x0) = βxβ−1
Esempio.
f (x) =√
x = x12 =⇒ f ′(x) =
12
x12−1 =
12
x−12
Esercizi. Calcolare la derivata per le seguenti funzionipotenza
f (x) = x−2, f (x) = x5, f (x) =4√
x3, f (x) =1x6
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Proprietà delle derivate
• Derivata di una somma
(f (x)+g(x))′ = f ′(x)+g′(x)
• Derivata di una funzione per una costante
(cf (x))′ = cf ′(x)
Esempio.
f (x) = 4x3−√
5x−2 =⇒ f ′(x) = 4(3x3−1)−√
5(−2)x−2−1
= 12x2 +2√
5x−3
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Proprietà delle derivate
• Derivata del prodotto
(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x)+ f (x)g′(x)
Esempio.
h(x) = f (x)g(x) = (4x3−√
5x−2)(√
x) =⇒
h′(x) = (4x3−√
5x−2)′(√
x)+(4x3−√
5x−2)(√
x)′
= (12x2 +2√
5x−3)(√
x)+(4x3−√
5x−2)(12
x12−1)
= 12x2√x− x−3√
5x+2√
x5− 12
√5x−5
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Proprietà delle derivate
• Derivata di un rapporto(f (x)g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)(g(x))2
Esempio.
h(x) =f (x)g(x)
=x3
5x+1=⇒
h′(x) =(x3)′(5x+1)− (x3)(5x+1)′
(5x+1)2
=(3x2)(5x+1)− (x3)(5)
(5x+1)2 =10x3−3x2
(5x+1)2
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Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione sipossono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
• (ex)′ = ddx(e
x) = ex
• (ax)′ = ddx(a
x) = ax ln(a)
• (sin(x))′ = ddx(sin(x)) = cos(x)
• (cos(x))′ = ddx(cos(x)) =−sin(x)
• (ln(x))′ = ddx(ln(x)) =
1x
• (loga(x))′ = d
dx(loga(x)) =1x loga(e)
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Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
• f (x) = (3x5 +√
5x−3)(cos(x)+1)
• f (x) = x ln(x)
• f (x) = tan(x)
• f (x) = x+ sin(x)
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Derivata di funzioni composte
ddx
f (g(x)) = (f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x)
Esempi• d
dx(g(x))α = ((f (x))α)′ = α(g(x))α−1g′(x)
• ddx(e
g(x)) = (eg(x))′ = eg(x)g′(x)
• ddx cos(g(x)) = (cos(g(x)))′ =−sin(g(x))g′(x)
• ddx sin(g(x)) = (sin(g(x)))′ = cos(g(x))g′(x)
• ddx ln(g(x)) = (ln(g(x)))′ = 1
g(x)g′(x)
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Derivate di funzioni composte:esempi
ddx
f (g(x)) = (f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x)
Esempi• f (x) = ex2
=⇒ f ′(x) = ex22x
• f (x) = ex3+1 =⇒ f ′(x) = ex3+13x2
• f (x) =√
x3−2x = (x3−2x)12 =⇒
f ′(x) = 12(x
3−2x)12−1(3x2−2)
• f (x) = cos(x3−2x) =⇒ f ′(x) =−(sin(x3−2x))(3x2−2)
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Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
f (x) = e√
x, f (x) = 2x+ ex2, ln(tan(x))
f (x) = sin(x)sin(x), f (x) = ln 3√
(x+1)2− 1x+1
f (x) = log3(x2−1), f (x) = cos(x3−1)7
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Continuità e derivabilità
• Se una funzione è derivabile nel punto x0, allora è nec-essariamente continua in tale punto.
(Infatti, dall’identità
f (x0 +h) = f (x0)+f (x0 +h)− f (x0)
hh
essendo finito il limite che definisce la derivata f ′(x0) deduciamo
limh→0
f (x0+h)= f (x0)+ limh→0
f (x0 +h)− f (x0)
h= lim
h→0f (x0)+f ′(x0)0= f (x0)
che è appunto la definizione di funzione continua.)
Osservazione. Nei punti di discontinuità una funzione nonpuò ammettere derivata.
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Continuità e derivabilitàLa condizione di continuità è solamente necessaria per laderivabilità ma non sufficiente:• se una funzione è continua in un punto x0 NON È DETTOsia derivabile in quel punto.
Esempio. f (x) = |x−2|={
x−2 se x−2≥ 0−x+2 se x−2 < 0
è continua
in x = 2, ma non è derivabile in quel punto.Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite:
f ′(2) = limh→0
f (2+h)− f (2)h
ma si ha
limh→0+
|2+h−2|− |0|h
= limh→0+
hh= 1 6= lim
h→0−
|2+h−2|− |0|h
= limh→0−
−hh
=−1
non esiste il limite del rapportio incrementale nel puntox = 2 per cui f (x) non è derivabile,lo è in tutti gli altri punti.
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Continuità e derivabilità
Esempio 2. f (x) = 3√
x−1 è continua in x = 1, ma non èderivabile in quel punto.
Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite:
f ′(1) = limh→0
f (1+h)− f (1)h
ma si ha
limh→0+
3√
1+h−1− 3√
1−1h
= limh→0+
13√h2
=+∞
elim
h→0−
3√
1+h−1− 3√
1−1h
= limh→0−
13√h2
=+∞
per cui la funzione non è derivabile nel punto x = 1.
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Continuità e derivabilità
Esempio 3. f (x) =√|x| è continua in x = 0, ma non è
derivabile in quel punto.
Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite:
f ′(0) = limh→0
f (0+h)− f (0)h
ma si ha
limh→0+
√|0+h|−
√|0|
h= lim
h→0+
√|h|h
= limh→0+
√+hh
=+∞
limh→0−
√|0+h|−
√|0|
h= lim
h→0−
√|h|h
= limh→0−
√−hh
=−∞
per cui la funzione non è derivabile nel punto x = 0.
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Derivata e calcolo dei limiti: regola di DeL’Hôpital
Considerate due funzioni derivabili f (x) e g(x) tali che
limx→x0
f (x) = 0 e limx→x0
g(x) = 0
oppure
limx→x0
f (x) =±∞ e limx→x0
g(x) =±∞
se esiste il limite del rapporto delle derivate cioè esiste
limx→x0
f ′(x)g′(x)
allora
limx→x0
f (x)g(x)
= limx→x0
f ′(x)g′(x)
.
La regola di De L’Hôpital si usa per risolvere le forme in-
determinate 00 o ±∞
±∞.
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Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
• limx→1
sin(x)x
=00
, applicando De l’Hôpital si ha
limx→0
sin(x)x
= limx→0
(sin(x))′
x′= lim
x→0
cos(x)1
=11= 1
• limx→1
ln(x)x−1
=00
, applicando De l’Hôpital si ha
limx→1
ln(x)x−1
= limx→1
(ln(x))′
(x−1)′= lim
x→1
1x1= lim
x→1
1x=
11= 1
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Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
• limx→+∞
ex
x2−1=
+∞
+∞, applicando De l’Hôpital si ha
limx→+∞
ex
x2−1= lim
x→+∞
(ex)′
(x2−1)′= lim
x→+∞
ex
2x=
+∞
+∞
applicando di nuovo De l’Hôpital:
limx→+∞
ex
2x= lim
x→+∞
(ex)′
(2x)′= lim
x→+∞
ex
2=+∞
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Funzioni crescenti e decrescentiData una funzione f (x) definita in un dominio D
f (x) è crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2)
f (x) è strettamente crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)< f (x2)
f (x) è decrescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)≥ f (x2)
f (x) è strettamente decrescente nell’intervallo I ⊆ Dse
∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)> f (x2)
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Funzioni limitate
• Una funzione f (x) si dice limitata in tutto il suodominio D se la sua immagine è un insieme limitato(aperto o chiuso) sottoinsieme proprio di R.
• Una funzione f (x) si dice limitata superiormente(inferiormente) se la sua immagine è un insiemelimitato superiormente(inferiormente) in R.
Geometricamente, il grafico di una funzione limitata è con-tenuto in una striscia orizzontale del piano delimitata dallerette y = M e y =−M, dove M ∈ R tale che
|f (x)|< M ∀x ∈ D
.
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Massimo e minimo di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D⊆ R e x0 ∈ D.• Il valore max f = f (x0) è detto massimo assoluto di
f (x) sef (x0)≥ f (x) ∀x ∈ D
• Il valore min f = f (x0) è detto minimo assoluto di f (x)se
f (x0)≤ f (x) ∀x ∈ D
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Esempi massimi e minimi
1. f (x) =−(x+1)2 +2 ha massimo assoluto uguale a 2,assunto in x = 2. Non ha minimo assoluto.
2. f (x) = x+1 con x ∈ D = [−2,6] ha massimo assolutouguale a 7 assunto in x = 6 e minimo assoluto ugualea −1 assunto in x =−2
3. f (x) = sin(x) ha massimo assoluto uguale a 1, eminimo assoluto uguale a −1. Il massimo è assuntonegli infiniti punti π
2 +2kπ, con k ∈ R, mentre il minimonegli infiniti punti −π
2 +2kπ
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Massimi e minimi relativi
Data la funzione f (x) definita nel dominio D⊆R si dice che
• f (x) ha un punto di massimo locale in x0 ∈ I,I = [a,b]⊆ D se
f (x0)≥ f (x) ∀x ∈ I
questo valore max f = f (x0) ∈ f (D).• f (x) ha un punto di minimo locale in x0 ∈ I,
I = [a,b]⊆ D se
f (x0)≤ f (x) ∀x ∈ I
questo valore min f = f (x0) ∈ f (D).
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Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:• se f ′(x)> 0 ∀x ∈ I allora la funzione f è crescente in I;• se f ′(x)< 0 ∀x ∈ I allora la funzione f è decrescente
in I;• se f ′(x) = 0 ∀x ∈ I allora la funzione f non è ne’
crescente ne’ decrescente in I.
I punti in cui una funzione f ha derivata nulla si dicono puntistazionari.I punti in cui una funzione f ha derivata nulla oppure nonesiste la derivata si dicono punti critici.I punti stazionari sono punti critici.
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Esempio 1
• f (x) = x2−5x+6 =⇒ f ′(x) = 2x−5• f ′(x) = 2x−5≥ 0• x > 5
2 =⇒ f (x) è crescente• x < 5
2 =⇒ f (x) è decrescente
• x = 52 =⇒
(52
)è un minimo locale
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Esempio 2
• f (x) = x3 =⇒ f ′(x) = 3x2
• f ′(x) = 3x2 ≥ 0 ∀x ∈ R• f ′(x) = 0 se x = 0
• f (x) è sempre crescente, x = 0 non è nè massimo nèminimo locale
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Esempio 3
• f (x) = |x−2| =⇒ f ′(x) ={
1 se x−2 > 0−1 se x−2 < 0
• f ′(x) ={
> 0 se x−2 > 0< 0 se x−2 < 0
• f (x) non è derivabile per x = 2
• La funzione non è derivabile in x = 2, ma x = 2 è unminimo locale. Infatti f ′(x)< 0 per x < 2 e f ′(x)> 0 perx > 2.
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Esempio 4
• f (x) =√|x| =⇒ f ′(x) =
{12 x−
12 se x > 0
−12 x−
12 se x < 0
• f ′(x) ={
> 0 se x > 0< 0 se x < 0
• f (x) non è derivabile per x = 0
• La funzione non è derivabile in x = 0, ma x = 0 è unminimo locale. Infatti f ′(x)< 0 per x < 0 e f ′(x)> 0 perx > 0. 32 / 40
Esempio 5
• f (x) = 3√
x = x13 =⇒ f ′(x) = 1
3x−23 = 1
33√
1x2
• f ′(x) = 13
3√
1x2 > 0 ∀x ∈ R\{0}
• f (x) è sempre crescente e la funzione non èderivabile in x = 0. Infatti f ′(x)→+∞ per x→ 0 e x = 0non è nè massimo nè minimo locale.
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Riepilogando
• Nei punti di massimo e minimo locale la derivataprima, se esiste, è nulla
• La retta tangente in questi punti è parallela all’assedelle x
• Un punto critico può essere massimo o minimo localeanche quando non stazionario
• Un punto stazionario non è sempre un massimo o unminimo locale
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Derivata seconda
Sia data una funzione f (x). Se la sua funzione derivataprima f ′(x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata sichiama derivata seconda di f (x) e si indica con f ′′(x) od2
dx2 f (x).
La derivata seconda è la derivata della derivata, (ovverosial’incremento dell’incremento). Geometricamente la derivataseconda misura quindi l’incremento della pendenza; sela pendenza diminuisce la curva pende sempre più versoil basso e quindi abbiamo concavità verso il basso. Seviceversa la pendenza aumenta la curva pende semprepiù verso l’alto e quindi abbiamo concavità verso l’alto.
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Derivata seconda
Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo• ha concavità verso l’alto negli intervalli del dominio in
cui si ha f ′′(x)> 0;• ha concavità verso il basso negli intervalli del dominio
in cui si ha f ′′(x)< 0;• i punti del grafico in cui la funzione cambia concavità
si chiamano punti di flesso. In tali punti, se esiste,f ′′(x) = 0.
Osservazione. Si parla di flesso a tangente orizzontalese nel punto in cui f ′′ = 0 si aveva anche f ′ = 0. Altrimentisi parla di flesso a tangente obliqua.
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Esempio• f (x) = x3 f ′(x) = 3x2 f ′′(x) = 6x• f ′′(x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione è sempre
crescente, in x = 0 la tangente è orizzontale ma non ènè minimo nè massimo locale
• f ′′(x) = 6x > 0 per x > 0 concavità verso l’alto• f ′′(x) = 6x < 0 per x < 0 concavità verso il basso• f ′′(x) = 0 se x = 0 =⇒ (0, f (0)) è un flesso a tangente
orizzontale37 / 40
Riassunto punto critici
Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f haderivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esistela derivata prima.
A. Punti stazionari. f ′(x0) = 0. In talcaso il punto x0 è:1) un massimo o un minimo relativo;2) un punto di flesso a tangente orizzontale;
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Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendocontinua la funzione in x0). Ciò può avvenire per iseguenti motivi:
1) limh→0
f (x0 +h)− f (x0)
h= ∞ e si presentano i seguenti
casia) lim
x→x±0f ′(x) = +∞ il punto x0 è un punto di flesso a
tangente verticale ”ascendente”;b) lim
x→x±0f ′(x) =−∞ il punto x0 è un punto di flesso a
tangente verticale ”discendente”;c) lim
x→x±0f ′(x) =±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
verso il basso;d) lim
x→x±0f ′(x) =∓∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
verso l’alto;
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Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendocontinua la funzione in x0). Ciò può avvenire per iseguenti motivi:
2) f ′+(x0) 6= f ′−(x0)In tal caso si hanno i punti angolosi. Si hanno puntiangolosi anche quando f ′+(x0) è finita e f ′−(x0) non èfinita o viceversa
3) Non esiste in x0 il limite del rapporto incrementale.
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