Fisica SubatomicaCalcoli – 2004-2010 (Luigi E. Zanotti)

Isospin: determinare contributi a stati di singoletto e di tripletto (protone-neutrone) di un eventuale termine di potenziale

Partiamo da , che proviene da . Risolvendo per si ottiene:

e, sostituendo gli autovalori:

Se ora sostituiamo i valori,

Le relazioni appena scritte sono utili per comprendere la differenza tra stato di singoletto (n e p legati) e di tripletto (n e p non legati):

che, invertendo le equazioni, da':

Calcolo dell'energia di soglia per la reazione

Sia B il bersaglio fermo nel Sistema di riferimento del Laboratorio (Lab): occorre trovare l'energia di A tale che C e D siano prodotti in soglia (ossia con nel CM). Definiamo:

Poiche' , si ottiene:

e sviluppando:

Cinematica del decadimento a due corpi nel CM

Solitamente una particella stabile (secondo le tabelle del PDG) decade a riposo nel Lab, per cui Lab e CM coincidono.

ricordando che in notazione covariante.Esempio , con stato iniziale a riposo (atomo pionico). La situazione e' quella di un decadimento in cui quindi:

Cinematica Relativistica (D. Perkins - vecchia edizione)

Trasformazione degli angoli dal sistema del CM al sistema Lab .

Definiamo S' un sistema di riferimento (CM) in moto rispetto ad un sistema S, solidale con l'osservatore (Lab), con velocita' . Gli assi z dei due sistemi di riferimento sono paralleli, assumiamo quindi . Consideriamo ora una particella, prodotta per esempio in un decadimento nell'origine di S', in moto con un angolo rispetto a z; allora si puo' decomporre il suo momento in due componenti e , e, dato che le trasformazioni di Lorentz influiscono solo sulla componente ,

ove e' l'angolo che la particella forma con l'asse z' del sistema di riferimento S'., e e sono rispettivamente le velocita' in S ed S'. Invertendo l'equazione:

tg (J )=sin(J ' )

g [co (J ' )+( β¿ /β ' ) ]

Le formule suddette, se , cioe' se si tratta di moto di particelle di massa nulla, descrivono l'"aberrazione ottica".Sempre se , per trasformazione di Lorentz si ha:

Il decadimento .

Sappiamo che, nel CM, , ove e' la massa del .1) La simmetria del problema richiede che il minimo angolo tra i due fotoni nel

sistema Lab si abbia quandi i due fotoni sono emessi (ovviamente "back to back") a

rispetto all'asse z', coincidente con z (minima apertura). Da:

tg (J )=sin(J ' )

g [co (J ' )+( β¿ /β ' ) ]

con , si ottiene:

2) Se invece uno dei fotoni e' emesso a nel Lab, allora si ha , e . L'altro fotone sara' emesso con , per cui

ma , per cui

tg(J )= 12 β¿g¿2

Vediamo ora le componenti di p nel Lab,nel caso di minima apertura. Da

si ottiene, quadrando e risolvendo per :

ma

per cui il momento totale nel Lab e':

p=2 pgz=β¿ g¿12

mc

p=mh

ove la seconda equazione da' il modulo del momento in funzione della velocita' propria del pione nel Lab.

Scattering 1+2 -> 3+4+....+n, spazio delle fasi relativistico (D. Griffiths, prob. 6.7)

Al denominatore del termine moltiplicativo dell'integrale dello spazio delle fasi, nel processo di scattering citato, compare il termine (derivante dalla piu' generale espressione relativistica che e' introdotta da D. Griffiths nell'ultima edizione del libro, del 2008):

in cui p1 e p2 son quadrivettori. Nel sistema del CM (p1 = p2 = p) lo si sviluppa come segue:

per cui

Spinori, normalizzazione e ortogonalita' di ( )

1) Normalizzazione di

Se si vuole normalizzare gli spinori a , occorre procedere come segue:

2) Normalizzazione con spinore aggiunto:

Analoga dimostrazione vale per , e per .

Spinori, completezza di

l'equazione di Dirac e':

con

con bispinore (4 componenti a 2 a 2, vd. D. Griffiths).

Partiamo dalla verifica che e' soluzione dell'equazione di Dirac,

con

da cui si ottengono le soluzioni

Le stesse soluzioni si ottengono anche da:

ove e' il coniugato trasposto di (si prova scrivendo in modo esplicito la matrice ).

Se ora consideriamo l'equazione , e la moltiplichiamo a destra per , si ottiene, per i due possibili stati di spin,

occorre quindi calcolare le relazioni di completezza

Scriviamo in modo esplicito i calcoli per e , con la notazione semplificata:

e, sommando le due matrici,

che e' il secondo fattore nella decomposizione di Dirac di . Allo stesso modo si calcolano anche i termini .Quindi si ha:

che e' la decomposizione di Dirac di .

Fotoni e completezza dei vettori polarizzazione

Ricordiamo che per la gauge di Lorentz e per la gauge di Coulomb (o gauge trasversa, o gauge di radiazione) si ottengono le condizioni

quindi e' identicamente nullo e detta z (oppure (3)) la direzione di , si deduce che e' ortogonale a , quind con le sole componenti e diverse da 0, ossia:

La normalizzazione e' banale; ricordando che

Se ne deduce che i quadrivettori polarizzazione sono nelle funzioni d'onda che sono soluzioni dell'equazione , che per le gauge di Lorentz e di Coulomb si riduce a:

Inserendo le funzioni nelle equazioni di moto si ottiene:

si moltiplica ora da destra per e si somma su s, ricordando che:

ottenendo

Da cui, in forma compatta:

Invarianza di Lorentz per spinori (1)(D. Griffiths, prob. 7-11)

La trasformazione e':

Verifichiamo ora che :

ricordando che

Si noti che , e che

Da e ricordando , complemento algebrico, si ottiene

, da cui

Dato che

Inoltre , come provato prima.

Invarianza di Lorentz per spinori (2)(D. Griffiths, prob. 7-11)

Definiamo ora come spinore aggiunto . Ora dimostriamo che:

ove si fa nuovamente uso della proprieta'

Quindi e' un invariante di Lorentz.

Invarianza di Lorentz per spinori (3)(D. Griffiths, prob. 7-14)

Proviamo che la forma pseudoscalare e' un invariante di Lorentz.

Ricordiamo che:

g0 g5=¿ (1 0 ¿ )¿¿

¿¿

Rappresentiamo e in forma compatta come:

Si ha allora:

S+ g0 g5=¿ (a b ¿ )¿¿

¿¿

Quindi:

S+ g0 g5 S=¿ (−b a ¿ )¿¿

¿¿

e, per le definizioni di si ottiene:

Il modello GSW

Alla base del modello GSW vi e' la rappresentazione di cio' che avviene ai vertici dei diagrammi di Feynman in termini di spinori "left-handed", e "right handed" .Si definiscono quindi (vedi D. Griffiths per i dettagli):

Nell'ultimo caso l'accoppiamento non e’ completo, dato che questa corrente debole

"neutra" contiene solo correnti deboli "left-handed", mentre nel mondo reale vi sono

anche le correnti deboli "right-handed".

Ricordando pero' la definizione di "ipercarica" Y=2Q-2I3, possiamo anche definire la

corrente:

detta "ipercarica debole". E' evidente l'analogia di

con gli stati di "tripletto" e di "singoletto" dell'isospin, in cui dalla simmetria SU(2) si

genera la decomposizione

Per GSW si ha:

con

In questo modo, esplicitando ad esempio

−igW

√2jm− W m−

(e−⇒ ν e+W− )=- igW

2√2[ ν gm (1−g5 ) e ]W m

si riottiene l'espressione del fattore di vertice per le correnti cariche da cui siamo partiti.

Abbiamo ora due campi neutri (W3 e B), linearmente indipendenti, che si possono

combinare linearmente, alla Cabibbo. La procedura e' suggerita dal fatto che tali campi

sono di massa nulla in partenza, e dal loro "mixing" si ottengono due campi (particelle)

che risulteranno avere masse quasi uguali, MW=MZcosW. Si ottiene quindi

ossia

Invertendo il sistema, si ha:

da cui, inserendo W3 e B cosi' ottenuti in

si ottiene

Ora, il primo addendo, se associamo A al campo elettromagnetico, deve essere, in

analogia con l'elettrodinamica classica

Ne risulta

quindi il primo addendo corrisponde all'interazione fotone-elettrone.

Per il secondo addendo si ha:

(gw cos JW jm3 −g '

2sin J W jm

Y ) Zm=((gw cosJ W+g 'sin JW ) jm3 −g 'sin J W jm

em ) Zm=(ricordando gW =g 'cos JW

'sin J W)

¿((g 'cos2 JW+g 'sin2 JW

sin J W) jm

3 −g ''sin2J W

sin JWjmem) Zm

e , moltiplicando edividendo per cos J W eusando g 'cosJ W=ge

¿gZ ( jm3 − 'sin2J W jm

em )Zm con gZ=ge

sin JW cos JW

Quindi, per esempio, il vertice dello scattering di neutrino per corrente debole neutra e'

e se ne deduce che CV=1/2 e CA=1/2. Con la stessa procedura si ricavano gli altri

coefficienti CV e CA che compaiono nel fattore di vertice

gia' usato in precedenza per i calcoli di corrente debole neutra. Si noti che tutti i

coefficienti CV relativi ad accoppiamenti di fermioni carichi dipendono da sin2W che

rappresenta il "mixing" elettrodebole.

Handedness e elicita’

Dimostrazione che

g5=¿( s · pE+m

0 ¿)¿¿

¿¿ (Griffiths, new ed. 2008, p.339)

Sia con a= 1

E+m; b= 1

E−m; m=0⇒a=b= 1

E= 1

p . Allora si ha:

e inoltre:

( s · pE+m

0¿)¿¿

¿¿

Ora, detta la matrice di spin formata dalle matrici di Pauli i,

S=¿ ( s 0 ¿ )¿¿

¿¿

la matrice

( s · pE+m

0 ¿)¿¿

¿¿ si riduce a

1p

S · p per m=0 ; quindi g

5u ( p )=( S · p )u ( p ) se

u( p )=u1 ( p ) ossia se e’ equiverso a p, intendendo con cio’ che sta nello stesso semispazio, posto p = pz come asse di quantizzazione. Nel caso opposto,

u( p )=u2 ( p )=¿ (0 ¿ ) (1 ¿ ) (a ( px−ip y ) ¿)¿¿

¿¿, il risultato e’

(a( px−ip y ) ¿) (a (− pz )¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿ e di nuovo g

5u ( p )=( S · p )u ( p ) .

Pongo ora m = 0; si ottiene:

g5u1 ( p )=¿ (1 ¿) (0 ¿ ) (1¿ )¿¿

¿¿ se p e’ parallelo a , (p > 0), e

g5u2( p)=¿ (0 ¿ ) (−1 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿ se

p e’ antiparallelo a , (p< 0).

Quindi:

g5 u1 ( p )=¿ (1 ¿ ) (0 ¿ ) (1¿ )¿¿

¿¿Si noti che nel caso di massa nulla, p puo’ solo essere parallelo o antiparallelo a , per invarianza di Lorentz, e quindi anche:

( S · p )u1 ( p )=¿ (1 ¿ ) (0 ¿ ) (1¿ )¿¿

¿¿

¿¿

Ma ( s · p ) ( s · p )=p2, quindi

S · p|p| diviene

( s · p ) con ( p= p|p|

), che e’ l’operatore

elicita’, e per quanto detto prima ha autovalori ±1. Ne consegue che:

e

uL( p)=12

( 1−g5 )u1( p)=¿ (0 ¿ ) (0¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿

¿¿

Il calcolo e’ identico per il caso

uR( p )=12

(1+g5 ) u1( p )=¿ (1 ¿ ) (0¿ ) (1 ¿ ) ¿¿

¿¿

¿¿

ma a ruoli scambiati.

In generale quindi si ha:

u−( p )=12

(1−g5) u1( p )=12

¿ (1−apz ¿ ) (−a( px+ip y )¿ ) (apz−1 ¿)¿¿

¿

¿¿

che, per m << E, e tenendo conto che:

a=1E+m

»1E (1−m

E )=1E (1−1

g ) (g=1√1−β2

)

b=1E−m

»1E (1+m

E )=1E (1+1

g )diviene, scegliendo p parallelo o antiparallelo a :

u−( p )=12

(1−g5) u1( p )=12

¿(1−pE

(1−mE

) ¿) (0 ¿ )( pE

(1−mE

)−1 ¿)¿¿

¿

¿

¿

Si noti che il peso della componente R. H. e’ ~1- p/E = 1- per cui u_(1,p) ≠ uL(p).Viene comunque indicato come uL(p) nel testo (Griffiths), ma con debita avvertenza!

Nel

caso opposto, m >> E, per tutte le componenti degli spinori vale

pE+m

» pm

» pE

Em

» β; quindi per esempio

u( p )=u2 ( p )=¿ (0 ¿ ) (1 ¿ ) (0¿ )¿¿

¿¿

Neutron decay

Prova che il calcolo “alla Fermi” (K. Krane, “Introductory nuclear Physics”) e’ identico al calcolo “alla Feynman” (D. Griffiths, “Introduction to Elementary Particles”).

A) Krane dΓ K= c3

2π3 ℏ ( g( ℏc )3 )

2|M fi|

2 p2 (Q−T e )2 dp Q=mn−mp−me

B) Griffiths dGG= 1

16 p3h ( gW

M W c2)4

E√ E2−m2 c4 ( (mn−mp )−E )2dE

Per rendere uguale l’espressione delle forma dello spettro, notiamo che in B) si ha EdE=c2 pdp ; √ E2−m2 c4=cp ; ( (mn−mp)−E )2=((mn−mp−me )c2−T e )2=(Q−T e )2Con queste sostituzioni in B) si ricava:

C) Griffiths dGG= c3

16 p3h ( gW

M W c2 )4

p2 (Q−T e )2 dp

Quindi, definite CK= c3

2 p3h ( g(hc )3 )

2|M fi|

2 : CG= c3

16 p3 h ( gW

MW c2 )4

basta provare che le due costanti sono uguali.

Riscrivo CG in funzione di GF=

√28 ( gW

M W c2 )2

(hc )3

, secondo la definizione di Griffiths;

quindi: CG= 2c3

p3 h ( GF

(hc )3 )2

, e definisco (vd. Segre’, “Nuclei and Particles”) |M fi|

2=(1 CV2 +3 C A

2 ) ; |M F|2=1 ; |M GT|

2=3 per il caso del decadimento del neutrone (Fermi e Gamow-Teller). Per semplicita’ supponiamo CV=1 ; C A=1 (per dettagli su cosa accade con C A=1 .25 si vedano Segre’ e Griffiths, ma la sostanza non cambia); si

ottiene: CK= 2c3

p3 h ( g( hc )3 )

2=CG= 2c3

p3 h ( GF

(hc )3 )2

, da cui segue, come era prevedibile, che i due calcoli sono identici: g= GF .

Calcolo “ab initio” del decadimento p−→ l−+ νl

Si intende calcolare direttamente il tasso di decadimento G ( p−→ l−+ ν l) e provare che G ( p−→ l−+ ν l )→0 per ml→0 ; Griffiths usa il teorema della traccia, noi calcoleremo ciascun addendo per ciascuno dei possibili stati finali. Non occorre mediare sugli stati iniziali dato che (2 Sp+1 )=1 ; S p=0 .Premessa: il decdimento avviene nel C. M., quindi antineutrino e leptone sono emessi “back to back”, e la conservazione dello spin impone che, essendo l’antineutrino di elicita’ destra (R. H.), il leptone pure sia emesso con spin parallelo alla direzione di moto.Tuttavia il leptone negativo, nel limite ml→0 , deve avere la stessa elicita’ del

corrispondente neutrino; lo spinore corrispondente deve essere

u2 (l−)=¿ (0 ¿ ) (1¿ )( ( px−ip y )E+m

¿)¿¿

¿¿

(L. H.)

Quest’ultimo, per ml→0 e per px=p y=0 ; pz=E , diviene uguale allo spinore per il

corrispondente neutrino

u2 (ν l )=¿ (0 ¿ ) (1¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿ del doppietto

(l− ¿ )¿¿

¿¿ ossia autostato dell’elicita’

H u2 (ν l )=( s · p )u2 (ν l )=hu2 (ν l ) ; h=−1 . Nel calcolo si vedra’ che l’ultimo elemento

dello spinore (−pz

E+m ) e’ decisivo per garantire l’esistenza di una componente destrorsa dello spin e rendere il risultato non nullo. Tale termine e’ infatti minore di 1 fintantoche’

ml ¹ 0 ; l’importanza e’ ovvia, dato che il risultato e’ ¸(1−

pl

E l+ml) .

L’altro spinore (R. H., associato all’antileptone m+ ) vedremo che automaticamente non contribuisce al calcolo del tasso di decadimento. Nel calcolo si assume inoltre che l’asse z

coincida con pν , quindi dalla conservazione del momento p (l− )=−p ν=−p e lo spinore

veramente efficace del leptone carico diviene

u2 (l−)=¿ (0 ¿ ) (1¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿¿.

Cominciamo scrivendo l’elemento di matrice del processo, alla Griffiths: M=

gW2

8 M W2 [u (l− ) gm (1−g5) v ( νl )] F p

m

dove F pm=f pcos (J C) pp

mcome in Griffiths.

Siamo nel C. M. quindi F pm=f p cos (J C) pp

m=f p cos (JC ) pp0= f p cos (J C )mp dato che

ppm=(mp , 0 ) .

L’elemento di matrice si riduce quindi a M=

gW2 f p cos (JC )mp

8 M W2 [u (l−) g0 (1−g5 ) v ( νl )]

.

Calcoliamo ora u (l− ) g0 (1−g5) v ( ν l ) ; lo spinore dell’antineutrino e’

v1 ( ν l )=¿ (0 ¿ ) (−1 ¿ ) (0¿ )¿¿

¿¿ e

g5 v1 (ν l )=g5 ¿ (0¿ ) (−1 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿ quindi

(1−g5) v1 ( ν l)=2¿ (0 ¿ ) (−1¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿. A questo punto

M=gW

2 f p cos (JC )mp

4 M W2 [u (l−) g0 v (ν l )]

e ci resta da calcolare u (l− ) g0 v ( ν l ) usando sia lo spinore u1

sia lo spinoreu2 . Ora, definendo a=1

(El+ml ) si ottiene (ricordando che p (l− )=−p ):

u1 (l−) g0 v (ν l )=(10−apz 0 )¿ (10 ¿ )¿¿

¿

u2 (l−) g0 v (ν l )=( 01 0−ap ) ¿ (1 0¿ )¿¿

¿

Quindi M=−

gW2 f p cos (J C)m p

4 M W2

(1−ap ) a meno dei fattori di normalizzazione degli spinori;

gia’ ora si puo’ notare che M ( p−→ l−+ν l )→0 per ml→0 .

Infatti a=1

( E+m )→1

E ; p

E→1 ; (1−ap )→0

.Solo quando ml ¹ 0 puo’ esistere una componente R. H. ossia di elicita’ sbagliata, che rende il decadimento possibile per conservazione del momento angolare! (in effetti il risultato dipende da ap<1 quandoml ¹ 0 ). Si noti che tutto cio’ avviene in modo automatico; il formalismo si prende cura dello spin corretto.Al calcolo ora manca l’espressione esplicita di (1−ap ) e la normalizzazione dei due spinori N (l− )=√E l+ml ; N ( ν l )=√ Eνl . Dalla cinematica relativistica si ottiene:

pl=(mp

2−ml2)

2 mp ; El=

(mp2+ml

2)2mp ; quindi

(1−ap )=(1− (mp2−ml

2 )(mp

2 +ml2)+2 ml mp

)=(1− (mp2−ml

2)(mp+ml )2 )

e N (l− )=√E l+ml =

(mp+ml )√2mp

; N ( ν l )=√ E νl=√ (mp

2 −ml2 )

2 mp . Quindi

N (l− ) N ( ν l ) (1−ap )=N ( l− ) N ( ν l ) (1−(m p2−ml

2)(mp+ml )2 )=N (l− ) N ( ν l )

2ml

(m p+ml )=

¿ N ( νl )2ml

√2 mp=

2 ml

2 m p√ (m p

2−ml2 )=

ml

mp√ (mp

2−ml2 )

Mettiamo tutto assieme:

M=−gW

2 f p cos ( J C)mp

4 M W2

(1−ap ) N ( l− ) N ( ν l )=−gW

2 f p cos (JC )4 M W

2 ml√ (mp2−ml

2 )

|M|2=gW

4 f p2 cos2 (J C)

16 M W4 ml

2 (mp2−ml

2 )

e inseriamo il modulo quadrato dell’elemento di matrice nella formula per il tasso di

decadimento a due corpi G=

|M|2

8 phmp2 p f

, in cui pf =p l precedentemente calcolato (cinematica). Quindi:

G=18 phmp

2

(m p2−ml

2)2 m p

gW4 f p

2 cos2 (JC )16 M W

4 ml2 (mp

2−ml2)

G=f p

2 cos2 (J C)phm p

3 (gW

4 M w )4

ml2 (mp

2−ml2)2