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Problemi sulla probabilità 1 Battaglia navale Giochiamo a battaglia navale! Per semplicità prendiamo una tabella più piccola di quella usuale, con 5 colonne (numerate da 1 a 5) e 7 righe (contrassegnate con le lettere dell’alfabeto, da a fino a g). La tabella si può vedere come un prodotto cartesiano: {1,2,3,4,5 }× {a,b,c,d,e,f,g } Una casella è individuata da una coppia, come ( 3 ,e) , ( 2 ,b) , ecc. Consideriamo ora una “portaerei” piazzata come in figura. Evidentemente si ha: N={3,4 } × {b,c,d } Supponiamo che un giocatore “spari a caso”, tentando di colpire la portaerei; evidentemente la probabilità di colpirla è 6/35 2 . Vogliamo però seguire un procedimento che ci permetta di ottenere il risultato in modo più ragionato e più interessante. Supponiamo che il giocatore proceda attraverso due scelte successive, fissando la prima coordinata estraendo a sorte 3 un numero nell’insieme {1,2,3,4,5 } e poi estragga a sorte la seconda coordinata fra le lettere {a,b,c,d,e,f,g }. Nella prima scelta (in orizzontale) ha probabilità 2/5 di centrare il bersaglio, perché i casi favorevoli sono 2 su 5. Nella seconda scelta (in verticale) ha probabilità 3/7 di centrare il bersaglio, perché i casi favorevoli sono 3 su 7. Dunque passando dalla prima alla seconda scelta, i casi possibili diventano 5 ∙ 7=35 (perché ad ogni scelta in orizzontale corrispondono 7 possibili scelte verticali di uguale probabilità), mentre i casi favorevoli diventano 2 ∙ 3=6, (perché alle 2 1 Esempi e problemi tratti da Giovanni Prodi Matematica come scoperta Casa editrice G. D’Anna Firenze 1994 pag. 35 - 36. 2 Cioè il rapporto fra il numero di caselle occupato dalla portaerei (che sono 6) e il totale caselle su cui si gioca (che sono 35) 3 Quindi con uguale probabilità. 1
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Problemi sulla probabilità1
Battaglia navaleGiochiamo a battaglia navale! Per semplicità prendiamo una tabella più piccola di quella usuale, con 5 colonne (numerate da 1 a 5) e 7 righe (contrassegnate con le lettere dell’alfabeto, da a fino a g).La tabella si può vedere come un prodotto cartesiano:
{1,2,3,4,5 }× {a ,b , c , d , e , f , g }
Una casella è individuata da una coppia, come (3 , e ) , (2 , b ) , ecc.Consideriamo ora una “portaerei” piazzata come in figura. Evidentemente si ha:
N= {3,4 }× {b , c ,d }
Supponiamo che un giocatore “spari a caso”, tentando di colpire la portaerei; evidentemente la probabilità di colpirla è 6/352.
Vogliamo però seguire un procedimento che ci permetta di ottenere il risultato in modo più ragionato e più interessante.Supponiamo che il giocatore proceda attraverso due scelte successive, fissando la prima coordinata estraendo a sorte3 un numero nell’insieme {1,2,3,4,5 } e poi estragga a sorte la seconda coordinata fra le lettere {a ,b , c , d , e , f , g }.Nella prima scelta (in orizzontale) ha probabilità 2/5 di centrare il bersaglio, perché i casi favorevoli sono 2 su 5.Nella seconda scelta (in verticale) ha probabilità 3/7 di centrare il bersaglio, perché i casi favorevoli sono 3 su 7.Dunque passando dalla prima alla seconda scelta, i casi possibili diventano 5 ∙7=35 (perché ad ogni scelta in orizzontale corrispondono 7 possibili scelte verticali di uguale probabilità), mentre i casi favorevoli diventano 2 ∙3=6, (perché alle 2 possibili scelte in orizzontale con le quali si può colpire la portaerei, corrispondono 3 possibili scelte verticali di uguale probabilità).
Quindi la probabilità è:2∙35∙7
=25∙ 37= 635
Concludendo, in questo caso la probabilità che si verifichi A e B è data dal prodotto della probabilità di A per la probabilità di B.
1 Esempi e problemi tratti da Giovanni Prodi Matematica come scoperta Casa editrice G. D’Anna Firenze 1994 pag. 35 - 36.
2 Cioè il rapporto fra il numero di caselle occupato dalla portaerei (che sono 6) e il totale caselle su cui si gioca (che sono 35)
3 Quindi con uguale probabilità.1
