POSIZIONI TELECAMERE:

La nuova camera da vuoto vista dalla sala controllo (portEST (I soli 3 ports equatoriali evidenziati delineano tale posizione; dei 3 ports il centrale e’ situato a circa 72º30’, tra i bulloni a 70º e a 75º)La sequenza delle telecamere, rotazione antioraria vista dall’alto (da EST verso NORD), a maggio ‘19:

Camera 1, a sinistra del Port EST, 57º30’; Camera 2, antiorario di 60º, 117º30’; Camera 3, antiorario di 120º, 177º30’

Camera 4, antiorario di 180º, 237º30’; Camera 5, 240º antiorario, 297º30’; Camera 6, antiorario di 300º, 357º30’

VISTE RAVVICINATE, ma ancora dietro alle telecamere: Maggio ‘19

Camera 1 Camera 2

Camera 3 Camera 4

Camera 5 Camera 6

Per evitare riflessi dalle barre retrostanti (Cu) e dei sostegni delle bobine esterne (AISI304) occorre annerire tali sbarre (magari con cartoncino nero avvolto intorno a loro per tutta la distanza tra le due piastre del divertore).

VISTE in testa alle telecamere, limitata in verticale rispetto alla realta’: Maggio ‘19

Camera 1 Camera 2

Camera 3 Camera 4

Camera 5 Camera 6

Gli unici elementi di disturbo sono nella prima campagna (maggio ’19) le sbarre di ritorno corrente retrostanti e gli isolatori (verdi) predisposti per alloggiare le nuove mensole di sostegno per le bobine interne della Fase-1.5 (estate ’19).Inoltre vi saranno anche i riflessi dai ports retrostanti (qui mostrati solo in Fig. 3, 4 e 5).Infine i riflessi dalle luci della Sala, della Sala Controllo e dalle finestre Ovest e Nord (tendaggi di panno nero?).

Ben piu’ complessa si fara’ la situazione degli ostacoli e dei riflessi una volta montate le nuove bobine interne di Fase-1.5.

INVERSIONE TOMOGRAFICA DI ZERNIKE

Si premette che andra’ tentata in primo luogo una ricostruzione 3D degli elementi meccanici visti dalle 6 telecamere in assenza di plasma, anche solo per acquisire familiarita’ con il sistema.

Tuttavia il problema della tomografia visibile del plasma sara’ ben diverso e richiedera’ un metodo di inversione della brillanza, dato che le telecamere osserveranno non la brillanza puntuale del plasma, bensi’ la sua brillanza integrata sulle linee di vista.

Un metodo rapido ed efficace per invertire le quantita’ integrate sulle linee di vista attraverso un disco piano e’ quello dei polinomi di Zernike, di indice angolare m e di indice radiale l:

Vecchia definizione dei polinomi di Zernike 2D, usata 30 anni or sono:

Tali polinomi costituiscono una buona base per confrontare le quantita’ puntuali definite su

un cerchio unitario (in coordinate cilindriche ρ, η) con i loro integrali di linea (in coordinate azimuthali e di parametro d’impatto p).

Sistemi di coordinate per le quantita’ puntuali e per le quantita’ relative agli integrali di linea .

Se si espandono secondo Fourier le quantita’ puntuali (raggio per raggio) e i loro integrali

di linea (parametro d’impatto per parametro d’impatto), si puo’ scrivere:

I polinomi di Zernike stabiliscono una peculiare proprieta’ di corrispondenza tra le due serie di coefficienti di Fourier:

Ove i coefficienti sono identici in entrambe le espansioni. Essi dunque portano ad due espansioni ortogonali di funzioni sia nello spazio di Radon che in quello di Fourier .

La via piu’ semplice, quella di analizzare secondo Fourier in (per tutti i numeri m che

sono plausibili secondo Nyquist) a parametro d’impatto p dato per ricavare i coefficienti e

quindi ricavare gli con un sistema determinato in cui gli indici l dei coefficienti sono esattamente pareggiati da un numero equivalente di parametri di impatto, potrebbe non essere fattibile, sia perche’ non su tutte le 6 telecamere potrebbero essere di uso opportuno gli stessi parametri d’impatto (ostacoli o riflessi potrebbero farne eliminare alcuni) sia perche’ di solito le soluzioni piu’ adeguate a problemi inversi sono quelle di regolarizzare, ovvero di scrivere sistemi sopradeterminati in cui il numero delle equazioni (un’equazione per ogni linea di vista) e quindi il numero delle misure per ogni coppia di p e e’ piu’ grande che non tutte le coppie di indici m ed l

per cui si pensa di poter determinare la coppia e .

ovvero:

con i=1,2,…,12 le 6 camere con angoli positivi e negativi

pj con j=1,2, …,15 risoluzione 2 cm radiali circa 180 dati

m=0,1,…6

l=0,1,…6 98 incognite e , per m=0,1,…6 e l =0,1…,6

Definizione odierna dei polinomi di Zernike 2D, (variazione di indice), adottata da Wolfram’s

Mathematica e da Wikipedia , etc…

Se entro la definizione di

si conserva il numero angolare m, ma si cambia il numero radiale in n=m+2l si ottiene

, (che vien scritto usando l come indice muto in luogo di s).In vista dell’estensione alle funzioni 3D e’ necessario adottare l’odierna definizione, soprattutto poiche’ e’ usuale nelle armoniche sferiche usare come indici angolari (m,l)e quindi adottare n come indice radiale, in luogo di l

Si puo’ usare una notazione complessa:

Oppure una notazione reale:

Le funzioni sono non-nulle per m <n , n − m pari, mentre sono identicamente nulle per n − m dispari.

Le funzioni 2D

Ma rimane vero che Quindi se si vogliono usare le definizioni di Wolfram’s Mathematica e da Wikipedia basta ricordare che gli indici angolari e radiali sono scambiati alto/basso, che l’indice radiale di Wolfram’s Mathematica e da Wikipedia e’ n=m+2l ed infine che l’indice muto e’ l in luogo di s.

Andamento delle funzioni 2D = , , non-nulle solo per (n-m) pari.

Primi polinomi radiali di Zernike:

Ogni polinomio contiene potenze di ρ non inferiori a ρm e non superiori a ρn

Altre proprieta’:I polinomi radiali di Zernike godono delle seguenti proprieta’:

I polinomi di Zernike sono ortogonali sul cerchio unitario:

La stessa relazione per i polinomi radiali fornisce:

Vi e’ una relazione tra i polinomi radiali di Zernike e le funzioni di Bessel di primo tipo:

Una funzione continua puo’ venir espansa in polinomi di Zernike su base complessa:

Integrando su , si ottiene

O su base reale

per

per

per

Radon transform:

Si trattano 3 spazi: 1) quello reale Euclideo di dimensione n, 2) lo spazio di Radon e 3) lo spazio di Fourier

La trasformata di Radon di una funzione f si indica come e quella di Fourier come

In 2D la trasformata di Radon esprime integrali di linea

Si puo’ anche utilizzare la delta di Dirac:

con Lo spazio di Radon si puo’ rappresentare come un mezzo cilindro, infatti l’intervallo 0≤ ≤π basta;

Il valore di puo’ esser visto come una superficie disposta sopra il semicilindro spianato

In n dimensioni (x1,x2,…,xn) la trasformata di Radon esprime l’integrale non più su linee, bensì su iperpiani di dimensione n-1:

In 2D, la relazione tra quantita’ puntuali e integrali di linea:Per una funzione nello spazio reale (ρ,η), l’espansione si scrive, l= numero d’onda azimutale:

, con

Per una trasformata di Radon nello spazio (p, ), l’espansione si scrive:

, con

, con p>0 e Le relazione tra le due sono trasformate di Chebyshev:

La loro espressione si semplifica introducendo i Polinomi di Chebyshev:

del secondo tipo per 0<x<1

Si tratta ora di trovare le corrispondenze per i polinomi di Zernike, bastano quelli con l0:

, con p>0che fornisce

Tale relazione trasforma il set ortogonale dei polinomi di Zernike nello spazio reale (ρ,η) nel set ortogonale dei polinomi di Chebishev nello spazio di Radon (p, )Quindi per

Questa sopra e’ la relazione diretta che a partire dai coefficienti Als fornisce la trasformata di Radon

2D .

La relazione inversa, che fornisce i coefficienti Als a partire dalla trasformata di Radon 2D e’ invece:

Una relazione analoga esiste anche dallo spazio reale (ρ,η) nello spazio di Fourier (q,z):

Quindi per

Questa sopra e’ la relazione diretta che a partire dai coefficienti Als fornisce la trasformata di Fourier

2D

Quindi esistono in 2D espansioni ortogonali che trasformano tra di loro i tre spazi: spazio reale (ρ,η), spazio di Radon (p, ), spazio di Fourier (q,z); le relazioni di ortogonalita’ sono:

Reale: ; 0≤ρ≤1, con peso ρ;

Radon: ; -1≤p≤1, con peso ;

Fourier: ; 0≤p≤ con peso q-1.

Se si espandono secondo Fourier le quantita’ puntuali (raggio per raggio) e i loro integrali

di linea (parametro d’impatto per parametro d’impatto), si puo’ scrivere:

I polinomi di Zernike stabiliscono una peculiare proprieta’ di corrispondenza tra le due serie di coefficienti di Fourier:

Ove i coefficienti sono identici in entrambe le espansioni.

La via piu’ semplice, quella di analizzare secondo Fourier in (per tutti i numeri m che

sono plausibili secondo Nyquist) a parametro d’impatto p dato per ricavare i coefficienti e

quindi ricavare gli con un sistema determinato in cui gli indici m dei coefficienti sono esattamente pareggiati da un numero equivalente di parametri di impatto, potrebbe non essere fattibile, sia perche’ non su tutte le 6 telecamere potrebbero essere di uso opportuno gli stessi parametri d’impatto (ostacoli o riflessi potrebbero farne eliminare alcuni) sia perche’ di solito le soluzioni piu’ adeguate a problemi inversi sono quelle di regolarizzare, ovvero di scrivere sistemi sopradeterminati in cui il numero delle equazioni (un’equazione per ogni linea di vista) e quindi il numero delle misure per ogni coppia di p e e’ piu’ grande che non tutte le coppie di indici n ed m

per cui si pensa di poter determinare la coppia e .

ovvero:

con i=1,2,…,12 le 6 camere con angoli positivi e negativi

pj con j=1,2, …,15 risoluzione 4 cm radiali circa 180 dati

n=0,1,…7

m=0,1,…6 36 incognite e , per n=0,1,…6 ed m=0,1,…6

QUANTI PARAMETRI D’IMPATTO E QUANTI AZIMUTH CON 6 TELECAMERE?

ANGOLI DI VISTA IN DIREZIONE MERIDIANA

In 3D, la relazione tra quantita’ puntuali e integrali di linea:Per una funzione nello spazio reale (ρ,η),

usando le armoniche sferiche , che sono espresse in termine delle piu’ usuali :

l’espansione si scrive:

con

CORREZIONE PROSPETTICA?

INVERSIONE ZERNIKE FUORI PIANO EQUATORIALE?

CORREZIONE DEL PARAMETRO D’IMPATTO PER INDICE RIFRATTIVO PMMA