Vincoli Olonomi e Anolonomi

Basilio Bona∗

Dipartimento di Automatica e Informatica

Politecnico di Torino

Ultima rev. 26 settembre 2003

Nella trattazione della dinamica dei sistemi meccanici ed elettromeccanici si incontrano vincoligeometrici che ricadono in due categorie generali: i vincoli olonomi (holonomic constraints) e i vincolianolonomi (nonholonomic constraints).

I termini “olonomo” e “anolonomo” furono introdotti nella dinamica intorno al 1894 dal fisicotedesco H.R. Hertz (1857-1894), pur non essendo egli stato il primo a formulare problemi dinamicicon questo tipo di vincoli.

Questo breve lavoro ha lo scopo di fare chiarezza su questi termini e sulle implicazioni che questivincoli hanno in numerosi problemi di meccanica applicata, di modellistica e controllo di sistemimeccanici e di robotica.

La caratterizzazione dei vincoli olonomi e anolonomi appare in numerosi testi di meccanica e dicinematica. Vengono esaminati alcuni di questi, che lo scrivente ha avuto occasione di utilizzare nelcorso degli anni. La scelta e del tutto personale e lo scrivente si scusa se altri testi interessanti nonsono stati inclusi nel presente lavoro.

Si e voluto di proposito riportare per larghi tratti il testo originale in lingua inglese, per consentiredi apprezzare meglio le sfumature di linguaggio che accompagnano la definizione dei concetti espressi.1

I testi verranno esaminati in ordine di data, partendo dal piu vecchio per finire con il piu recente.Per i concetti di base e le notazioni utilizzate, il lettore puo fare riferimento a [11].

1 Caratterizzazione di Schultz-Melsa

Nel testo [1, pag. 90] appare la seguente definizione:

In a practical system, (. . .) one finds that there may exist many relations among the statesof the elements. Such relations are known as constraints.

Often these constraints take the form of either algebraic equations of the form

f(x1, x2, . . . , xNu) = 0 (1)

or integrable differential equations of the form

g(x1, x2, . . . , xNu, x1, x2, . . . , xNu

) = 0 (2)

Constraints of this type are referred to as holonomic constraints.

∗www.ladispe.polito.it/robotica/Curriculum/bben.htm1Ho cercato, ove possibile, di mantenere la simbologia e la punteggiatura originali dei testi, cosı come le parti indicate

in corsivo e le costruzioni lessicali, che talvolta possono apparire un po’ complesse; di questo lo scrivente non si ritieneresponsabile. Ho invece modificato la numerazione delle formule, rendendola uniforme nel testo, in modo che sia piuagevole al lettore trovare i riferimenti incrociati.

1

A pag. 91 poi prosegue:

Constraints which cannot be expressed as either algebraic or integrable differential equa-tions are known as nonholonomic constraints. In particular, one encounters two types ofnonholonomic constraints in practical problems.

The first type is the inequality constraint of the form

f(x1, x2, . . . , xNu) ≤ 0

An example (. . .) isx − xmax ≤ 0

All physical systems are subject to nonholonomic constraints in one form or another.Lagrange’s equation applies only as long as these constraints are not violated (. . .)

The second type of nonholonomic constraints is the nonintegrable differential equation.

Il testo prosegue poi affermando che questo secondo tipo di vincoli anolonomi si incontra raramentenella pratica e occorre trattarlo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

2 Caratterizzazione di Crandall et al.

Crandall [2, pagg. 52, 115-124] caratterizza fisicamente i due tipi di vincoli partendo da una prospettivadifferente. In primo luogo definisce le coordinate generalizzate di un sistema come quelle coordinateche permettono di caratterizzare o localizzare un sistema rispetto ad un riferimento. Successivamenteintroduce il concetto di completezza e indipendenza dell’insieme delle coordinate generalizzate. Uninsieme di coordinate e completo se esso e in grado di localizzare tutte le parti del sistema ad ognipossibile istante di tempo, ed e indipendente se, quando tutte le coordinate meno una sono fissate,esiste un insieme continuo di valori per quest’ultima.

Definisce quindi le variabili variazionali (variational variables) δx, che noi di solito identifichiamocon il termine di spostamenti virtuali ; si tratta di piccole variazioni delle coordinate generalizzate, talida essere ammissibili relativamente ai vincoli geometrici imposti dal problema.

Le definizioni di completezza e indipendenza, viste per le coordinate generalizzate si applicanoparimenti alle variazioni δx.

Il numero di variabili variazionali indipendenti in un insieme completo di variazioni ammissibilidefinisce i gradi di liberta.

Successivamente egli discute approfonditamente il concetto di vincolo geometrico, con parole chee interessante riportare (quasi) per intero:

A geometric constraint is any requirement which acts to reduce the number of degrees offreedom of a system. These requirements can take many forms. (. . .) consider the rolling

constraint illustrated in Fig. 2-57 (Figura 1).

The disk of radius b is constrained to remain on the plane of the sketch and in contact withthe horizontal roadbed. The coordinates x and θ constitute a complete set of generalizedcoordinate in both cases. In case (a) it is supposed that the disk is free to roll or slide, sothat x and θ are also independent. In case (b) an additional constraint requires that thedisk roll without slipping, so that any change in θ requires a change in x, and vice versa.(. . .) the relation between x and θ can be written

x = bθ

This relation is an analytical statement of the rolling constraint. Note that it relatesgeneralized coordinates of a complete set, but is independent of time and also does notcontain infinitesimal variational variables. Note also that it implies the following restrictionon the infinitesimal variations:

δx = bδθ

2

Figura 1: Esempio di vincolo geometrico: a) scivolamento ammesso, b) scivolamento non ammesso.

(. . .)

A geometric constraint which can be expressed analytically as an equation relating genera-lized coordinates and time is said to be holonomic. (. . .). The most important property ofa holonomic constraint is that there is a one-to-one correspondence between a restrictionon the generalized coordinates and a restriction on the infinitesimal variations. (. . .). If allthe constraints in a system are holonomic, this correspondence implies that the numberof independent generalized coordinates in a complete set is the same as the number ofdegrees of freedom.

Nonholonomic constraints

Any geometric constraint which cannot be expressed analytically as an equation relatinggeneralized coordinates and time is nonholonomic. The most important type of nonholo-nomic constraint is one which can only be expressed as an equation relating infinitesimalvariations to generalized coordinates. In systems which have such constraints, the numberof degrees of freedom is less than the number of independent generalized variables in acomplete set.

Example 2-12. In Fig. 2-59 (Figura 2) we show a boat on a body of water whose surface isin the plane of the sketch. The boat has a keel which offers little resistance to longitudinaltranslation but offers very great resistance to transverse translation. (. . .) In such a modelthe translation of the point C on the boat must always be parallel to the instantaneousheading of the keel. We do, however, admit that the heading angle θ may vary during themotion.

If we consider the two-dimensional motion of the boat in the plane, the generalized coordi-nate x, y and θ constitute a complete set. The variations δx, δy and δθ are a complete setof infinitesimal variational variables. These variations are not, however, independent. Therequirement that any translation must be in the heading direction implies the constrainingrelation

δy − δx tan θ = 0 (3)

Thus there are only two independent infinitesimal variations, and the boat has only two

degrees of freedom.

3

Figura 2: Esempio di vincolo anolonomo.

The three generalized coordinates x, y and θ are, however, independent. To demonstratedthis it is necessary to show that if any two of them are fixed, there still remains a range ofvalues for the third which corresponds to a range of admissible configurations. If x and y

are fixed in Fig. 2-59 (Figure 2), the angle θ can be varied continuously without violatingthe constraints. If y and θ are fixed, there also remains a continuous range of admissiblevalues of x, as indicated in Fig. 2-60 (Figura 3), even though it is no longer possible topass from one admissible configuration and another by simply varying x alone.

Figura 3: Coordinate indipendenti e traiettorie per arrivarci.

A similar argument applies when x and θ are fixed. Thus, as a result of the constraintrepresented by (3), the system has three independent coordinates but only two degrees offreedom.

4

Fino ad ora la trattazione si basa su argomenti di tipo fisico e intuibili attraverso semplici esempi.L’autore continua, caratterizzando meglio la proprieta di olonomicita dal punto di vista analitico,facendo sempre riferimento all’esempio illustrato nelle Figure 2 e 3:

To demonstrate that the constraint here is nonholonomic, it is necessary to show that itis not possible to express the constrain in the form

h(x, y, θ, t) = 0, (4)

where h is is an arbitrary function of the arguments listed. If a relation of the form (4)did exist, its variation δh would have the form

Xδx + Y δy + Θδθ = 0, (5)

where

X =∂h

∂xY =

∂h

∂yΘ =

∂h

∂θ. (6)

Because of (6) it will be necessary for the coefficients of (5) to satisfy the integrabilityrequirements [2, pag. 16]

∂Y

∂x=

∂X

∂y

∂Y

∂θ=

∂Θ

∂y

∂Θ

∂x=

∂X

∂θ(7)

Now the constraint relation (3) can be put in the form of (5) with coefficients

X = − tan θ Y = 1 Θ = 0

but these coefficients do not satisfy the integrability requirements (6). Therefore theconstraint here cannot be expressed in holonomic form (4), and thus must be nonholonomic.

Abbiamo visto nella trattazione [1] che sono nonolonomici anche i vincoli di diseguaglianza. Eccocome li introduce il Crandall:

Example 2-13. To illustrate another type of nonholonomic constraint, consider theproblem of the mass particle m in Fig. 2-61 (Figura 4), which is constrained to remain inthe plane of the sketch when it is off the cylinder.

The cartesian coordinates x and y of the particle constitute a complete set of generalizedcoordinates in this case. The requirement that the particle stay on the cylinder or on theoutside of the cylinder can be expressed analytically in the following form:

x2 + y2 ≥ r2 (8)

This relation involves only the coordinates, but since it involves an inequality rather thanan equality, it must be considered to represent a nonholonomic constraint.

(. . .)

The nonholonomic constraint (8) may be considered to be piecewise holonomic. As longas a trajectory remains entirely in either regime, the constraint is holonomic, but when atrajectory includes portions in both regimes, there is a sudden change (during the courseof the motion) from one holonomic constraint to another.

5

Figura 4: Esempio di vincoli anolonomi per disuguaglianza.

3 Caratterizzazione di Meirovitch

Meirovitch, nel suo testo [3, pagg. 48-51] definisce i vincoli in modo analitico. Anche qui distingue travincoli di eguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Nel primo caso, la loro forma piu generale (dettaforma pfaffiana) e la seguente

axdx + aydy + azdz + a0dt = 0 (9)

dove ax, ay, az e a0 sono funzioni della classe C1, dipendenti da x, y, z e t. Mentre le variazioniammissibili devono soddisfare (9), le variazioni virtuali soddisfano

axδx + ayδy + azδz = 0. (10)

A ragione di questo vincolo si genera una forza vincolare F . La forza vincolare e le altre forze datedeterminano il moto effettivo, cioe uno dei possibili moti che soddisfano la (9). Ma la forza vincolaree tale da non produrre lavoro lungo gli spostamenti virtuali (lavoro virtuale nullo = il vincolo nonproduce lavoro) e quindi essa deve essere proporzionale ai coefficienti ax, ay e az

F = λ

ax

ay

az

.

I vari tipi di vincoli si caratterizzano in rapporto alla (9): se a0 = 0 il vincolo e catastatico, altrimentie acatastatico.

Se la forma pfaffiana (9) e integrabile, in modo da poter ridurre il vincolo in una delle forme

f(x, y, z) = 0, (11)

ef(x, y, z, t) = 0, (12)

il sistema e olonomo. Ne sono esempi le relazioni

∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz = 0

6

e∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz +

∂f

∂tdt = 0

perche rappresentano differenziali esatti che possono essere integrati per giungere, a meno di unacostante additiva, alle relazioni (11) e (12).

Se la forma pfaffiana non puo essere integrata, il vincolo ed il sistema relativo sono anolonomi.Inoltre, se il vincolo non contiene in modo esplicito la variabile tempo t, come in (11), si dice che

il sistema e scleronomo, invece se lo contiene esplicitamente come in (12), il sistema si dice reonomo.

4 Caratterizzazione di Arnold

Arnold, nel suo classico testo, dedica ai vincoli soltanto una pagina [4, pagg. 77]; egli scrive:

Definition. Let γ be a m-dimensional surface in the 3n-dimensional configuration spaceof the points r1, . . . , rn with masses m1, . . . ,mn. Let q = (q1, . . . , qm) be some coordinateson γ : ri = ri(q). The system described by the equations

d

dt

∂L

∂q=

∂L

∂qL =

1

2

∑

mir2

i + U(q)

is called a system of n points with 3n − m ideal nonholonomic constraints2.

If the surface γ is given by k = 3n − m functionally independent equations f1(r) =0, . . . , fk(r) = 0, then we say that the system is constrained by the relations f1 =0, . . . , fk = 0.

Holonomic constraints also could have been defined as the limiting case of a system witha large potential energy. The meaning of these constraints in mechanics lies in the experi-mentally determined fact that many mechanical systems belong to this class more or lessexactly.

Conclude scrivendo che nel testo verranno considerati solo vincoli olonomi.

5 Caratterizzazione di Goldstein

Il libro [5] tratta i vincoli in numerose parti del testo; noi ci limiteremo a riportare le definizioniprincipali.

A pag. 12 appare la seguente trattazione, con riferimento alla dinamica di particelle puntiformi,

Constraints may be classified in various ways and we shall use the following system. If theconditions of constrains can be expressed as equations connecting the coordinates of theparticles (and possibly the time) having the form

f(r1, r2, r3, . . . , t) = 0, (13)

then the constraints are said to be holonomic. Perhaps the simplest example of holonomicconstraints is the rigid body, where the constraints are expressed by equations of the form

(ri − rj)2 − c2

ij = 0

(. . .)

2U(q) e l’energia potenziale, e quindi non si capisce il segno + nella definizione di L.

7

Constraints not expressible in this fashion are called nonholonomic (. . .). The constraintinvolved in the example of a particle placed on the surface of a sphere is also nonholonomic,for it can be expressed as an equality

r2 − a2 = 0,

which is not in the form of (13).

Piu oltre, alle pagg. 14 e 15, introduce il seguente concetto

If the constrain is nonholonomic the equations expressing the constraints cannot be usedto eliminate the dependent coordinate.

L’Autore introduce quindi l’esempio del disco che rotola senza scivolamento su un piano, ma ladiscussione e piuttosto criptica. Alla fine afferma quanto segue:

Combining these conditions, we have two differential equations of constraints:

dx − a sin θdφ = 0,dy + a cos θdφ = 0.

(14)

Neither of Eqs. (14) can be integrated without in fact solving the problem; that is, onecannot find an integrating factor f(x, y, θ, φ) that will turn either of the equations intoperfect differentials. Hence the constraints cannot be reduced to the form of Eq. (13) andare therefore nonholonomic.

(. . .)

Nonintegrable differential constraints of the form of Eqs. (14) are of course not the onlytype of nonholonomic constraints. The constraint condition may involve higher orderderivatives, or may appear in the form of inequalities, as we have seen.

6 Caratterizzazione di Meisel

In [6, pag. 52] Meisel e molto sintetico nella definizione dei vincoli. Facendo riferimento alle relazioni

xa = xb = x (15)

exa = xb = x (16)

afferma semplicemente che , essendo in grado di integrare (15) per ottenere (16), il vincolo e integrabilee prende il nome di olonomo

The term “holonomic” means that the differential relationship between the coordinatescan be integrated to give an algebraic equation (not a differential equation) between thecoordinates.

Piu oltre, a pag. 59, parlando dei gradi di liberta e delle coordinate generalizzate, scrive

If the n elements are now connected together in a particular configuration, the originaln coordinates are no longer free to vary independently. Connecting the lumped elementstogether establishes equations of constraint between the coordinates. If the constraintequations involve only relationships between the coordinates, then these are called holo-

nomic constraints. If the constraint equations involve nonintegrable relationship betweencoordinate differentials, then the system has nonholonomic constraints. The number ofthe degrees of freedom possessed by a system is defined as the number of coordinates minusthe number of constraints between the coordinates. For a system having n coordinatesand m constraint equations, there are (n − m) degrees of freedom.

8

Quest’ultima definizione di gradi di liberta puo trarre in inganno, in quanto sappiamo che, piu esatta-mente, i gradi di liberta di un sistema sono pari al numero delle variazioni ammissibili indipendenti inun insieme completo di variazioni ammissibili e non, semplicemente determinati dal numero di vincolisulle coordinate, come traspare sopra.

Si consideri, ad esempio, un insieme piano di 5 punti geometrici rigidamente interconnessi; ciascunodi essi possiede 2 gradi di liberta, per un totale di n = 10 gdl; i vincoli di distanza tra i punti sono intutto m = 10 (il numero di elementi indipendenti fuori dalla diagonale della matrice simmetrica 5× 5delle distanze reciproche): se ne dovrebbe dedurre che in totale i gradi di liberta sono n − m = 0,mentre sappiamo che un tale corpo rigido possiede 3 gdl (2 di posizione e 1 di rotazione).

7 Caratterizzazione di Angeles

Il testo di Angeles ([7, pagg. 102-105]) riguarda in particolare lo studio delle catene cinematiche e inquesto contesto egli definisce i vincoli cinematici.

Holonomic constraints owe their name to the greek word holos, which means integer, anddenotes constraints that can be described in integral form, i.e., in terms of displacements,as opposed to differential forms, i.e., in terms of velocities – including angular velocities.From the results of Chapter 3 it is apparent that the angular-velocity vector is not a totalderivative, i.e., no vector exists whose time derivative is the angular-velocity vector.3

The foregoing is true, unless the angular velocity takes place about a fixed axis, whichhappens when the motion is constrained to take place in a plane, thereby reducing itselfto planar motion. As a consequence, unless the motion is planar, any kinematic constraintof the differential type that involves the angular velocity of a rigid body is nonholonomic.For instance, consider a rigid sphere rolling without slipping on a certain plane. Let c

and q denote the position vectors of its centroid C and of the contact point Q betweenthe sphere and the plane. The non-slip conditions can thus be established by relating thevelocity of C, c with the angular velocity ω of the sphere, which can be stated as

c = ω × (c − q)

The foregoing equation cannot be written in integral form for, although its left-hand sidecan be integrated to produce c+k where k is an integration constant vector, the right-handside cannot be integrated to yield an expression in the rotation tensor and the positionvector of C and Q, free of time derivatives.

Mechanical couplings that produce holonomic constraints other than the lower kinematicpair4 are, among others, pulley-belt, sprocket-chain, and cam-follower transmissions, aswell as gear trains.

Il testo poi prosegue caratterizzando i vincoli in funzione dei twist dei vari corpi connessi nella catenacinematica. Anche se la trattazione va oltre lo scopo della presente analisi sui vincoli olonomi, puoessere interessante riportare un’ultimo paragrafo:

3Ricordiamo la forma esatta della velocita angolare ω

ω(t) = θ(t)u(t) + sin θ(t)u(t) + (1 − cos θ(t)) S (u(t)) u(t) (17)

4“A kinematic pair is the coupling of two rigid bodies, which thus produces a constrained relative motion of one bodywith respect to the other. Basically two different types of kinematic pairs exist, namely, lower and upper kinematicpairs. A lower kinematic pair exists when the coupling between the two bodies takes place along a surface; an upperkinematic pair exists when the coupling takes place along a line or a point. The basic lower kinematic pairs are thefollowing: i) rotational, ii) prismatic, iii) screw, iv) cylindrical, v) spherical, and vi) planar.” [7, pagg. 79]

9

These coupling, and those associated with the lower kinematic pairs, produce constraintson the twist of the coupled bodies, say ti−1 and ti, of the following form:

Ai,i−1ti−1 + Ai,iti = 0 (18)

where the twists are now defined as follows:

ti ≡

(

ωi

ci

)

(19)

and ci is the velocity of the center of mass of the ith rigid body of the system. Theforegoing concepts are next illustrated with a few examples.

For instance, if the two bodies are coupled by a revolute pair, then the 6 × 6 matricesAi,i−1 and Ai,i of eq. (18), are the following:5

Ai,i−1 =

(

S(ei) O

S(ρ) I

)

, Ai,i =

(

S(ei) O

S(ai + ρ) I

)

(20)

where ai, ei and ρi denote the vector directed from a point Oi−1 of the axis of the (i−1)stR pair to a point Oi of the axis of the ith R pair, a unit vector parallel to the axis of theith R pair, and the vector directed from Oi to the center of mass of the ith link. MoreoverO and I denote the 3 × 3 zero and identity Cartesian tensors.

8 Caratterizzazione di Hestenes

Dopo una brevissima trattazione [8, pag. 185] collegata al moto di una particella su una superficiedefinita dall’equazione scalare

φ(x, t) = 0,

Hestenes approfondisce la trattazione [8, pagg. 351, 354] quando descrive il metodo di Lagrange persistemi a molte particelle:

It may happen that the position variables xi are related to holonomic constraints specifiedby K scalar equations

φJ(x1,x2, . . . ,xN ; t) = 0, (21)

where J = 1, 2, . . . ,K. We saw in Section 3-10 that a holonomic constraint on a sin-gle particles confines the particle trajectory to a 2-dimensional surface in position space.Similarly, for an N -particle system each equation of constraint (21) determines a (3N −1)-dimensional surface in configuration space and confines the trajectory qq(t) of the systemto that surface. The set of K constraints confines the system to a (3N − K)-dimensionalsurface. Consequently, we can use the equations of constraint to eliminate K variablesand specify the system by n = 3N − K independent generalized coordinates q1, . . . , qn.Such independent coordinate are sometimes called degrees of freedom of the system, son = 3N − K is the number of degrees of freedom of the system.

Di fatto, l’autore dedica spazio soltanto ai vincoli olonomi e, anche successivamente quando tratta delmoto di rotazione su superfici, con e senza scivolamento, non fa cenno ai vincoli anolonomi.

5La simbologia usata dall’Autore e stata modificata per renderla coerente con [11]. Ricordiamo che

S(v) =

0 −v3 v2

v3 0 −v1

−v2 v1 0

e una matrice antisimmetrica e S(v) = v×

10

9 Caratterizzazione di Williams

Williams, nel suo testo [9], caratterizza i due tipi di vincoli seguendo strettamente l’impostazionedi Crandall. Rispetto a Crandall, Williams segue un approccio piu didattico e tende a presentare iconcetti con una maggior quantita di parole e numerosi esempi.

Anch’egli definisce coordinate generalizzate di un sistema quelle coordinate che permettono dicaratterizzare o localizzare un sistema rispetto ad un riferimento (reference frame); queste coordinateegli le chiama ξi; successivamente introduce il concetto di completezza e indipendenza dell’insiemedelle coordinate generalizzate. Un insieme di coordinate e completo se esso e in grado di localizzaretutte le parti del sistema ad ogni possibile istante di tempo, ed e indipendente se, quando tutte lecoordinate meno una sono fissate, esiste un insieme continuo di valori per quest’ultima.

Introduce poi le variazioni ammissibili (che sono quelle che il Crandall definisce “variabili varia-zionali”) δξi, che noi chiamiamo spostamenti virtuali ; si tratta di piccole variazioni ammissibili dellecoordinate ξi che rispettano i vincoli geometrici imposti dal problema. L’uso del simbolo δ, dovutoa Lagrange, ha lo scopo di differenziare questo concetto di variazione ammissibile δξi dal concetto divariazione infinitesima dξi. Nel primo caso la variazione e sostanzialmente fittizia e ipotetica e puoavvenire in ogni istante temporale, indipendentemente dalle leggi del moto imposto, purche rispet-tino i vincoli geometrici, mentre dξi denota l’effettivo moto differenziale che avviene nell’intervalloinfinitesimo dt, in dipendenza delle leggi del moto imposto.

Le definizioni di completezza e indipendenza, viste per le coordinate generalizzate si applicanoparimenti alle variazioni ammissibili.

Il numero di variazioni ammissibili indipendenti in un insieme completo di variazioni ammissibilidefinisce i gradi di liberta.

Un vincolo geometrico e ogni “esigenza” o “richiesta” che riduce i gradi di liberta.I vincoli che riducono contemporaneamente e con una relazione biunivoca (one-to-one) il numero

delle variabili generalizzate ξi e il numero delle variazioni ammissibili δξi prendono il nome di vincoliolonomi. I vincoli che non impongono una riduzione biunivoca tra numero di variabili generalizzate enumero di variazioni ammissibili, prendono il nome di vincoli anolonomi.

In conclusione, se il numero delle coordinate generalizzate e uguale al numero delle variazioniammissibili, il sistema e olonomo, altrimenti, se il numero delle coordinate generalizzate e diverso alnumero delle variazioni ammissibili, il sistema e anolonomo. In un sistema anolonomo, il numero deigradi di liberta e sempre inferiore al numero delle coordinate generalizzate in un insieme completo eindipendente.

Questo modo di definire i vincoli, pur essendo meno formalizzato e non trattando esplicitamentei vincoli di disuguaglianza, ha un carattere operativo e con un significato fisico piu immediatamentepercepibile.

L’Autore riporta poi, con una certa dovizia di particolari, l’esempio del disco sottile che ruota sulpiano, sia con, sia senza possibilita di scivolamento [9, Example 5-10, pagg. 196-198].

10 Caratterizzazione di Udwadia e Kalaba

Recentemente e stato pubblicato un interessante volumetto [10], che si caratterizza per un trattamentoagile ed approfondito della meccanica analitica e, in particolare, dei vincoli dinamici sia olonomi siaanolonomi, che tratta con il principio di Gauss.

... Continuare ...

11 Conclusioni

In conclusione, siamo ora in grado di riassumere il senso di quanto abbiamo esaminato a partire daitesti presentati.

11

Dato un sistema meccanico caratterizzato da n coordinate generalizzate, raccolte nel vettore q =(

q1 · · · qn

)T

, indipendenti e costituenti un insieme completo, e da n variazioni ammissibili δq =(

δq1 · · · δqn

)T

, anch’esse indipendenti e complete, detto sistema puo venire assoggettato a:

a) m′ vincoli di eguaglianza, definiti in forma algebrica, che coinvolgono solo le “posizioni”

h′

i(q(t), t) = 0, i = 1, . . . ,m′

b) m′′ vincoli di eguaglianza, definiti in forma differenziale, che coinvolgono sia le “posizioni” siale “velocita”

h′′

i (q(t), q(t), t) = 0, i = 1, . . . ,m′′

c) r vincoli di disuguaglianza, definiti in forma algebrica o differenziale

gi(q(t), q(t, )t) ≤ 0, i = 1, . . . , r.

I vincoli di tipo c) sono sicuramente anolonomi, mentre i vincoli di tipo a) sono sempre olonomi.Occorre concentrarsi sui vincoli di tipo b), che possono essere sia olonomi sia anolonomi.

Il modo piu diretto per definire l’olonomicita del vincolo e considerare la forma pfaffiana del vincolo

h′′

i (q(t), q(t), t) = 0 ⇒ a(q)Tdq + a0dt = 0

e verificare se essa e integrabile, ossia puo essere ricondotta ad un vincolo di tipo a)

a(q)Tdq + a0dt = 0 ⇒ h′

i(q(t), t) = 0;

se questo e possibile, allora il vincolo e olonomo, altrimenti e anolonomo. Questa procedura ci faimmediatamente constatare il motivo per cui i vincoli di tipo a) sono olonomi; infatti

h′

i(q(t), t) = 0 ⇔ a(q)Tdq + a0dt = 0.

Se il vincolo non dipende direttamente dal tempo t, ossia esso e scleronomo (contrapposto a reonomo sedipende direttamente anche dal tempo), e possibile caratterizzare meglio le condizioni di olonomicita.

In questo caso, la forma pfaffiana si riduce a

a(q)Tdq =

n∑

k

ak(q)dqk = 0

e sarebbe sufficiente accertarsi che∑n

k ak(q)dqk fosse un differenziale esatto; in tale caso ci si potrebbericondurre alla forma integrale hi(q(t)) = 0 e l’i-esimo vincolo sarebbe olonomo; in caso contrario essosarebbe anolonomo.

Ricordiamo percio brevemente la definizione e quali sono le condizioni per avere un differenzialeesatto.

La forma differenzialedf = a(q)Tdq

e esatta in Rn se

∫

df e indipendente dal cammino. Cio e verificato quando

df = (∇f)Tdq

dove (∇f)T =

(

∂f

∂q1

· · ·∂f

∂qn

)

. Quindi i coefficienti a(q) devono soddisfare la relazione

ai(q) =∂f

∂qi

, i = 1, . . . , n

12

Inoltre deve valere la seguente relazione tra le derivate parziali seconde

∂2

∂qjqi

=∂2

∂qiqj

, ∀i,∀j = 1, . . . , n

che implica∂ai(q)

∂qj

−∂aj(q)

∂qi

= 0, ∀i,∀j = 1, . . . , n

In generale, se l’insieme dei vincoli definiti in a), b) e c) e indipendente, i gradi di liberta ρ del sistemaobbediscono alla relazione ρ ≤ n − (m′ + m′′ + r). Il segno di disuguaglianza dipende dal fatto chenegli m′′ vincoli di tipo b) vi possono essere anche vincoli anolonomi, il che riduce ulteriormente ilnumero dei gradi di liberta.

Coordinate e velocita generalizzate. Se in un sistema con n variabili generalizzate indipendentiq(t), definito rispetto al riferimento R, non esistono vincoli, i gradi di liberta sono n, come pure le

velocita generalizzate indipendenti v =(

v1(t) · · · vn(t))T

. Queste ultime sono legate alle derivatedelle coordinate generalizzate dalla relazione

v(t) = Y (q(t), t) q(t) + d(q(t), t)

dove la matrice Y ∈ Rn×n e non singolare.

Se all’interno dell’insieme di vincoli, caratterizzati da un sistema di m equazioni nelle n velocitageneralizzate

C(q(t), t)v + a(q(t), t) = 0

dove C ∈ Rm×n e a ∈ R

m×1, esistono alcuni vincoli anolonomi, possiamo individuare p velocitaindipendenti u(t) e riscrivere l’insieme dei vincoli in termini di queste p velocita

v(t) = A (q(t), t) u(t) + b(q(t), t)

dove u ∈ Rp×1 sono le p velocita generalizzate indipendenti A ∈ R

m×p e b ∈ Rm×1.

Il numero dei gradi di liberta risultera ora pari a p.

Riferimenti bibliografici

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