[2003, ORD] Quesito2 Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.

Indichiamo con ABCD il quadrato di base e con V il vertice della piramide. Il piano incontra tutti gli spigoli laterali e i punti di intersezione sono tutti distinti in modo da costituire i vertici di un quadrilatero, escludiamo pertanto che il piano passi per V e supponiamo che intersechi in A', B', C', D' rispettivamente gli spigoli AV, BV, CV, DV.La sezione è sempre un quadrilatero convesso (perché intersezione di figure convesse).(fig.1)

fig.1

I casi particolari di interesse sono:

a). Il piano è parallelo alla base della piramide(fig.2);

Fig.2

Osserviamo che A', B', C', D' si trovano tutti alla stessa quota e la sezione è un poligono simile a quello di base, quindi un quadrato.

b) il piano è parallelo ad un lato del quadrato di base, per fissare le idee al lato AB e. di conseguenza, anche al lato CD(fig3).

fig.3

Le rette A' B' e C' D' sono tra loro parallele, essendo la prima parallela alla retta AB e la seconda parallela alla retta CD Dalla congruenza dei due triangoli VA’D’ e VB’C’ deriva l’uguaglianza dei segmenti A’D’ e B’C’La sezione è un trapezio isoscele.

c). Il piano è parallelo ad una diagonale per fissare le idee alla diagonale D B (fig. 4);

fig.4

Osserviamo che:la retta DB è perpendicolare al piano VAC, essendo perpendicolare a CA e a VOIl segmento D’B’ è parallelo al segmento DB e quindi anche perpendicolare al piano VAC e, di conseguenza , alla retta C’A’

La sezione è un quadrilatero aventi le diagonali perpendicolari fra loro, costituito da due triangoli isosceli disuguali aventi la base in comune, denominato aquilone o anche deltoide