ESISTE UN POLIEDRO CON 7 SPIGOLI?

Scuola Media

O. Tabacchi

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Ecco il problema:

La ricercatrice è venuta a presentarci la seguente questione: “Esiste un poliedro con sette spigoli?”

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Le facce sono i poligoni che delimitano il poliedro;

I vertici di ogni poligono vengono detti vertici del poliedro;

I lati di ogni poligono vengono detti spigoli del poliedro.

Poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi, in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi

Prima di rispondere bisogna aver chiari i seguenti termini: poliedro, facce, vertici e

spigoli.

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Quando esiste un poliedro?Per avere un poliedro occorrono come minimo 4 vertici: 3 giacciono in un piano a formare il poligono triangolare ( che è il poligono con il minimo numero di lati) e 1 sta fuori del piano; da esso partono gli altri spigoli che terminano nei vertici del poligono di base.

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Costruzione dei poliedri

Abbiamo provato a costruire vari poliedri in modi diversi:

disegnandoli, ma era difficile vederli nello spazio,

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utilizzando il Geo-mag, ma gli spigoli erano tutti uguali,

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intagliando le patate,

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utilizzando cannucce e stecchini

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Abbiamo dunque disegnato, costruito ed esaminato tanti poliedri ed abbiamo raccolto i dati dei solidi analizzati in una tabella, ordinandoli a seconda del numero di vertici:

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Poliedri costruiti

A B C

D E F

HG G 10

POLIEDRI VERTICI FACCE SPIGOLI

A 4 4 6

B 5 5 8

C 5 6 9

D 6 5 9

E 6 6 10

F 7 7 12

G 7 10 15

H 7 9 14 11

SCOPRIAMO LA FORMULA!

Abbiamo osservato la tabella dei poliedri per cercare una relazione matematica tra i numeri V di vertici, F di facce e S di spigoli, e, provando varie possibilità e facendo tante prove e molti calcoli, abbiamo scoperto la formula, che vale per tutti i poliedri da noi considerati:

V+F=S+212

Verifica della validità della formula

Se togliessimo un vertice ad un poliedro, come si modificano i numeri di vertici, facce, spigoli? Quanti ne aggiungiamo?

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Prendiamo come esempio una piramide a base quadrata.

Se togliamo il vertice in cui convergono 4 spigoli,

cosa otteniamo?

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Dalla situazione iniziale si aggiungono vertici, facce e spigoli e si ottiene un

poliedro finale con:

  vertici facce spigoli

Iniziali 5 5 8

Aggiunte 3 1 4

Finali 8 6 12

Verifichiamo che V+F =S+2

Vi+Fi =Si+2 ossia 5+5 = 8+2

Vf+Ff =Sf+2 ossia 8+6 = 12+215

Ora prendiamo come esempio un’altra figura,un cubo.

Togliamo un vertice

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Dalla situazione iniziale si aggiungono vertici, facce e spigoli e si ottiene un

poliedro finale con:

  vertici facce spigoli

Iniziali 8 6 12

Aggiunte 2 1 3

Finali 10 7 15

Verifichiamo che V+F =S+2

Vi+Fi =Si+2 ossia 8+6 = 12+2

Vf+Ff =Sf+2 ossia 10+7 = 15+2

Per cui la formula è valida17

Torniamo alla questione posta inizialmente: esiste un poliedro con

sette spigoli?

Partendo dalla formula V + F = S + 2 ,se presupponiamo che gli spigoli siano 7, allora deve essere: S+2 = 7+2 = 9

per cui V + F = 9

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Quali sono le coppie di numerila cui somma è 9?

Sono 10 coppie, associamole ai vertici e alle facce del poliedro:

Vertici Facce Esiste il poliedro?0 9 non è possibile perché i vertici devono essere almeno 41 8 non è possibile perché i vertici devono essere almeno 42 7 non è possibile perché i vertici devono essere almeno 43 6 non è possibile perché i vertici devono essere almeno 44 5 potrebbe essere possibile5 4 potrebbe essere possibile6 3 non è possibile perché le facce devono essere almeno 47 2 non è possibile perché le facce devono essere almeno 48 1 non è possibile perché le facce devono essere almeno 49 0 non è possibile perché le facce devono essere almeno 4

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Tra queste coppie di numeri, solo due potrebbero corrispondere alla quantità di vertici e facce di un poliedro:

sono (4; 5) e (5; 4)

Esiste solo un poliedro con 4 vertici: la piramide a base triangolare che ha 6 spigoli e solo 4 facce,

per cui escludiamo la coppia (4 V ; 5 F)

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Con 5 vertici si possono costruire 2 poliedri

Allora escludiamo entrambi21

Quindi non esiste un poliedro con 7 spigoli!!

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Ringraziamo:

La ricercatrice Roberta Dusi

per la collaborazione e l’aiuto,

la professoressa Santolini per averci seguito e stimolato nella nostra ricerca,

tutto il pubblico per averci ascoltato durante la presentazione

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gli alunni della Tabacchi:

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