Vettori VETTORE è un segmento orientato caratterizzato da: Direzione Se due segmenti orientati CD...

Vettori

VETTORE è un segmento orientato caratterizzato da:

• Direzione

Se due segmenti orientati CD hanno uguale

Modulo VersoDirezione

AB

EQUIPOLLENTI

Essi rappresentano lo stesso vettore

• Verso

• Modulo

allora si dicono

A

B

C

D

F

E

Segmenti orientati Segmenti orientati equipollenti:equipollenti:

hanno stessihanno stessi

modulo modulo (lunghezza), (lunghezza),

direzionedirezione, ,

verso verso

RappresentanoRappresentanogeometricamente geometricamente lo stesso lo stesso VETTOREVETTOREnello spazionello spazio

I vettorivettori rappresentati come segmenti orientati

(rappresentazione geometrica)

si intendono con l’origine coincidente con l’origine del sistema di riferimento (assi coordinati) eccetto nei casi in cui si parli di “vettori applicati” (fisica) per i quali si specifica la collocazione del punto origine (punto di applicazione)

Possono appartenere a uno spaziospazio:

monodimensionale (retta orientata, x),

bidimensionale (piano, xy)

o tridimensionale (spazio tridim., xyz),

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali

Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))

x

y

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali


x

y

Ad ogni segmento orientato si può associare una coppia ordinata di numeri reali (x;y), data dalle coordinate dell’estremo del segmento orientato

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può

quindi rappresentare come quindi rappresentare come

coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali

(rappresentazione algebrica o

analitica)


0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

uu

u =(-1;-3)u =(-1;-3)

Q (-1; -3)


Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può

quindi rappresentare come quindi rappresentare come

coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali

(rappresentazione algebrica o

analitica)

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3 T (2; 3)

w

w = (2;3)w = (2;3)

ii

i = (1;0)i = (1;0)

rr

r =(1;-3)r =(1;-3)

S (1; -3)


0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

i = (1;0)i = (1;0)

j = j = (0;1)(0;1)

uu

u =(1;-3)u =(1;-3)

Q (1; -3)

0 = (0;0)0 = (0;0)


I vettori

1 2 3-1

-2-3

Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))

-1-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

Ogni vettorevettore nello spazio nello spazio tridimensionale si può tridimensionale si può rappresentare come rappresentare come

terna ordinata terna ordinata di numeri reali di numeri reali

(rappresentazione algebrica/analitica)

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

i = i = (1;0;0)(1;0;0)j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)V

x

y

z

1 2 3-1-2-3-1

-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

I vettori di modulo unitario(lunghezza = 1)

si dicono versoriversori

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

V

i = (1;0;0)i = (1;0;0)

j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)

x

y

z

00

I versori lungo i tre assi coordinati i=(1;0;0), j= (0;1;0), k= (0;0;1)Sono i versori principali

Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))

Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori

In rappresentazione geometrica la somma di due vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla

“regola del parallelogramma”:

uu

vv

u + vu + v


In rappresentazione geometrica la differenza di due vettori si ottiene come indicato in figura:

(“La differenza di due vettori è uguale alla somma del primo con l’opposto del secondo” )

u - vu - v uu

vv

u - vu - v

(I due segmenti orientati gialli sono equipollenti e quindi rappresentano lo stesso vettoredifferenza u – vu – v))


In rappresentazione algebrica la somma (o la

differenza) di due vettori (di coordinate date) è un

terzo vettore che ha come coordinate la somma (o la

differenza) delle coordinate corrispondenti.

Es,:

dati: u = (1; -3; 2); v = (2; 0; 5)

u + v = (3; -3; 7) ; u - v = (-1; -3; -3)

Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo

la rappresentazione algebrica rappresentazione algebrica ( o( o analitica analitica)):

Un vettore è rappresentato da una

successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)

v = (x1; x2; x3; ….; xn)

Vettori delloVettori dello spazio n-dimensionale spazio n-dimensionale ((R R nn))

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

Esempi:Esempi:

u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4

v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5

w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

La sommaLa somma di due vettori nello spazio di due vettori nello spazio R R nn è un è un vettore che ha per coordinate la somma delle vettore che ha per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti (analogamente per la coordinate corrispondenti (analogamente per la differenza).differenza).

Se: Se: u = (x1; x2; x3; …xn) e v = (y1; y2; y3; …yn)

Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)Es,:

u = (1; -3; 2.5; 2); v = (2; 0; 5; -2)

u + v = (3; -3; 7.5; 0)

Dato il vettore Dato il vettore vv, il suo , il suo modulomodulo vv èè la la lunghezzalunghezza, in valore , in valore

assoluto, del segmento orientato che rappresenta il assoluto, del segmento orientato che rappresenta il

vettore (fino a tre dimensioni - spazio vettore (fino a tre dimensioni - spazio R R 33))

Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:

vv = (x; y; z) = (x; y; z) vv= =

L’espressione sotto radice (xL’espressione sotto radice (x22 + y + y22 + z + z22) è anche detta) è anche detta norma norma del vettoredel vettore vv. . Come si vedrà più avanti, essa è Come si vedrà più avanti, essa è uguale al uguale al prodotto scalareprodotto scalare del vettore per se stesso, del vettore per se stesso, vv vv = = vv22

222 zyx

E, in generale, per un vettore dello spazio R n

(vettore a n coordinate), il suo modulo è dato da:

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

ModuloModulo di un vettore di un vettore

Dato il vettore Dato il vettore vv sul piano (spazio sul piano (spazio R R 2 2 ), ), definito definito

analiticamente daanaliticamente da due due coordinate, coordinate, vv = (x;y), = (x;y), il suo il suo

modulomodulo vv è dato daè dato da::

vv= = 22 yx


v

x

y

Esso deriva dall’applicazione del Teorema di Pitagora nella rappresentazione geometrica, come facilmente si desume dalla figura


V

x

y

zLa precedente relazione per il modulo di un vettore dello spazio R 3

(vettore a tre coordinate):

vv = (x; y; z) = (x; y; z)

vv==

deriva dal Teorema di Pitagora generalizzato nello spazio.

222 zyx

Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a più di tre dimensioni, portando alla già citata relazione generale:

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

Dati due vettori: Dati due vettori:

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))

Il modulo della Il modulo della differenza differenza tra i due vettori tra i due vettori uu e e vv (in (in R R 2 2 o o

R R 33 u - u - vv è dato daè dato da::

u - u - vv= =

dove il terzo addendo (zdove il terzo addendo (z11-z-z22))2 2 è nullo nel caso che i vettori è nullo nel caso che i vettori siano siano

di di RR2 2 (vettori del piano x, y).(vettori del piano x, y).

Distanza tra due puntiDistanza tra due punti

221

221

221 )()()( zzyyxx

Dati due vettori: Dati due vettori:

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33); ); vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))

se consideriamose consideriamo i loro estremi Pi loro estremi P11 e P e P2 2 (le cui coordinate (le cui coordinate sono quelle indicate), il sono quelle indicate), il modulo della differenza dei due modulo della differenza dei due vettorivettori (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) corrisponde alla corrisponde alla distanzadistanza (numero assoluto!) tra i punti (numero assoluto!) tra i punti estremi Pestremi P11 e P e P22..

Distanza tra due puntiDistanza tra due punti

uu

vv

u - vu - v

P1

P2

Nell’ esempio in figura abbiamo:

P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)

La loro distanza, d(P1P2) è:

d(P1P2) =

x1

x2

y1

y2

221

221 )()( yyxx

Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il prodotto di un numero (reale) c per un vettore prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :v :

u = c vIl risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u) che ha:

- stessa direzione di v (u parallelo a v)

- verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia rispettivamente positivo o negativo

-modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v

u= cv

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore

Es.:Es.:

u = 3 v

v

u

v

u = -2 v

u

PRODOTTIPRODOTTI


In rappresentazione analitica (vettori rappres. In rappresentazione analitica (vettori rappres. mediante le coordinate), il prodotto di c per un mediante le coordinate), il prodotto di c per un vettore vettore vv si ottiene moltiplicando ciascuna si ottiene moltiplicando ciascuna coordinata per c.coordinata per c.

Es.: Es.: sia dato: sia dato: v v = (2; -3; 1)= (2; -3; 1)

uu = 3 = 3 v v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)= 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)

ww = -2 = -2 v v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)= -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)

PRODOTTIPRODOTTI


Quindi si può dare un Quindi si può dare un criterio di criterio di parallelismoparallelismo tra due tra due vettori:vettori:

PRODOTTIPRODOTTI


Due vettori u e v (non nulli) sono Due vettori u e v (non nulli) sono paralleliparalleli (o (o proporzionaliproporzionali) ) se se e solo see solo se uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono proporzionalivettori sono proporzionali

Ovvero: Ovvero: u || vu || v

se esiste un numero c tale che se esiste un numero c tale che v v = c= cuu

Es.:Es.: uu = (2; -1; 5) e = (2; -1; 5) e v v = (-8; -4; -20) = (-8; -4; -20)

sono paralleli, poiché sono paralleli, poiché v v = -4= -4uu

Le coordinate di u e v risultano Le coordinate di u e v risultano proporzionaliproporzionali (è costante il (è costante il rapporto tra le coordinate corrispondenti:rapporto tra le coordinate corrispondenti:

2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) 2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4= -4

Esso Esso nonnon è un vettore, ma un è un vettore, ma un numeronumero (o (o scalarescalare))

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori

In rappresentazione geometrica:In rappresentazione geometrica:

u vu v = = uuvvcos cos

uu

vv

Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell’angolo tra i vettori

ovvero: modulo di un vettore per la proiezione dell’altro sulla direzione del primo

Esempio 1:Esempio 1:

vv= 2; = 2; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 2 = 2 2.2 2.2 3/2 3/2 3.81 3.81

uu

vv

30°30°

= 30° = 30° cos cos = = 3/23/2


vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 (-1/2) = -1.1(-1/2) = -1.1

uu

vv

120°120°

= 120° = 120° cos cos = - = -1/21/2


vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 0 = 00 = 0

uu

vv90°90°

= 90° = 90° cos cos = 0 = 0

PRODOTTIPRODOTTI


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il Il prodotto scalare si può ottenere se sono date le si può ottenere se sono date le coordinate dei vettori :coordinate dei vettori :

uu = (x = (x11; y; y11; z; z11))

vv = (x = (x22; y; y22; z; z22))

Il loro prodotto scalare è:Il loro prodotto scalare è:

u vu v = x = x1 1 xx22 + y + y1 1 yy2 2 + z+ z1 1 zz22

Es.: u = (3; -1; 4) ; v = (2; 5; -3)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) = -11

PRODOTTIPRODOTTI


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-dimensionale dimensionale R R nn (n coordinate): (n coordinate):

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33; … ; y; … ; ynn ) )

Il loro Il loro prodotto scalareprodotto scalare è: è: u vu v = =

Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ; v = (2; 5; -3; 1; -2)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) + 0 1+5 (-2)= -21

ii

n

i yx1

PRODOTTIPRODOTTI


Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:

Condizione di perpendicolarità tra due vettori :

Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o ortogonali) se e solo se

Il loro prodotto scalare è nullo (uv=Il loro prodotto scalare è nullo (uv=00))

Es.: u = (3; -1; -1); v = (2; 5; 1)

u v = 32 + (-1)5 + (-1) (1) = 0 ;

i due vettori sono perpendicolari

PRODOTTIPRODOTTI


Il Il modulomodulo ( o ( o normanorma) di un vettore) di un vettore di uno spazio R n

(vettore a n coordinate):

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= =

si può esprimere come la radice quadrata del si può esprimere come la radice quadrata del prodotto prodotto scalare del vettore per se stessoscalare del vettore per se stesso ( (v v x x v = vv = v22):):

vv= = ((v v x x v)v)1/21/2 = = ((vv22))1/2. 1/2.

Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei suoi vettori si dice “norma dei suoi vettori si dice “normatonormato”.”.

n

ii x1

2

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