Università degli Studi di Bari “Aldo Moro”

Dipartimento Interateneo di Fisica “Michelangelo Merlin”

Corso di Laurea Triennale in Fisica

VETTORE DI POYNTING

Laureanda:

Viviana Viggiano

Docente referente:

Prof.ssa Giovanna Selvaggi

Anno Accademico 2017-2018

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Conservazione globale e locale dell’energia

La conservazione dell’energia è un principio fisico che si estende anche ai fenomeni elettromagnetici.

Se un sistema è soggetto all’azione di un campo elettromagnetico, quindi, si possono avere

trasferimenti di energia tra il campo e il sistema, purché la somma di tutte le forme di energia

possedute dal sistema e dal campo interagente si mantenga costante.

Tale formulazione della conservazione dell’energia ha natura globale e non pone vincoli né sulla

distribuzione dell’energia nello spazio né sulle modalità con cui essa si può trasferire da una regione

ad un’altra. Per ricavare informazioni su questi aspetti occorre una formulazione più restrittiva, ossia

una legge di conservazione locale dell’energia. Per comprendere il vantaggio della localizzazione, si

può stabilire un confronto con la conservazione della carica elettrica. Supponiamo di poter affermare

soltanto che la carica totale Q di un sistema si conservi. Allora, se in un certo istante tutta la carica Q

si trova nella regione 1 in figura 1, e successivamente una frazione Q2 si trasferisce nella regione 2,

la conservazione globale della carica impone che in ogni istante di tempo sia valida la relazione

Q =Q1 + Q2, dove Q1 è la frazione di carica rimasta nella regione 1. Nulla è detto sul trasferimento

di carica tra le due regioni, pertanto è possibile immaginare che la quantità di carica che scompare

dalla regione 1 appaia istantaneamente nella regione 2, senza attraversare lo spazio circostante. E’

questa l’interpretazione fornita dalla teoria dell’azione a distanza, che richiede un trasferimento

istantaneo, in quanto se così non fosse la conservazione globale della carica sarebbe violata in alcuni

istanti.

Fig.1 – Trasferimento di carica istantaneo da 1 a 2 senza attraversare lo spazio circostante

Tuttavia questa interpretazione pone seri problemi nell’ambito della teoria della relatività ristretta. In

primo luogo il concetto di simultaneità tra due eventi che hanno luogo in punti diversi dello spazio

non è relativisticamente invariante, dunque dipende dal sistema di riferimento considerato. Di

conseguenza anche il principio di conservazione globale della carica così formulato non risulta

invariante per trasformazioni di Lorentz. Inoltre una propagazione istantanea implicherebbe che la

carica venga trasferita con velocità infinita, il che è incompatibile con la massima velocità

raggiungibile fissata dalla relatività ristretta, pari alla velocità di propagazione c della luce nel vuoto.

La teoria dell’azione a distanza risulta quindi fallimentare e occorre stabilire una modalità di

propagazione locale. In effetti la formulazione matematica della conservazione della carica elettrica

comunemente usata è un’equazione di continuità:

𝑑𝑖𝑣𝑱 = −

𝜕𝜌

𝜕𝑡

(1)

secondo cui la riduzione della densità di carica 𝜌 in un volume V è possibile solo se la carica persa

fluisce verso l’esterno attraversando la superficie che delimita V con densità di corrente 𝑱 che soddisfi

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la (1). L’equazione di continuità, quindi, rappresenta una formulazione della conservazione della

carica più restrittiva di quella globale, poiché definisce la modalità con cui essa si trasferisce.

Nel caso in esame, infatti, non è più possibile che la carica si trasferisca istantaneamente tra le due

regioni senza attraversare lo spazio che le separa e si avrà pertanto una densità di corrente come

mostrato in figura 2.

Fig.2 – Trasferimento di carica attraverso lo spazio in accordo con l’equazione di contiuità

In questo modo si ottiene la conservazione locale della carica cercata. Analogamente, si comprende

la necessità di ricavare una formulazione locale della conservazione dell’energia elettromagnetica.

Per raggiungere questo obiettivo, occorre inanzitutto localizzare l’energia associata al campo

elettromagnetico in modo da avere un’espressione della sua densità analoga alla densità di carica 𝜌.

Tale localizzazione è necessaria anche per rendere la conservazione dell’energia compatibile con la

teoria della relatività, a causa dell’equivalenza tra massa ed energia. In secondo luogo, osservando la

forma dell’equazione di continuità (1), si comprende l’esigenza di definire un vettore corrispondente

a 𝑱 che rappresenti il flusso di energia per unità di tempo attraverso la superficie di contorno del

volume considerato.

Consideriamo il primo requisito, ossia la localizzazione dell’energia elettromagnetica. In

elettrostatica si localizza l’energia nel campo elettrico, sia perché è la grandezza che varia quando si

modifica una distribuzione di cariche sia perché si attribuisce al campo elettrico il significato fisico

di tramite per la propagazione delle azioni elettriche. Si dimostra quindi che la densità di energia

elettrostatica nello spazio vuoto in cui è attivo il campo elettrico è pari a:

𝑢𝐸 =

1

2𝜀0 𝐸2

(2)

Analogamente, la densità di energia magnetica nello spazio vuoto in cui è presente il campo

magnetico è pari a:

𝑢𝐵 =

1

2𝜇0 𝐵2

(3)

Si suppone che nei casi dinamici, in cui è presente un campo elettromagnetico variabile, la (2) e la

(3) siano ancora valide, sulla base della considerazione che l’energia potenziale è indipendente dallo

stato cinetico del sistema. Di conseguenza l’energia elettromagnetica è localizzata nello spazio vuoto

in cui ha sede il campo e ha densità:

4

𝑢 = 𝑢𝐸 + 𝑢𝐵 =

1

2𝜀0 𝐸2 +

1

2𝜇0 𝐵2

(4)

Resta ora da affrontare il secondo aspetto necessario alla formulazione della conservazione locale

dell’energia, ossia la definizione di un vettore che permetta di descrivere i trasferimenti di energia,

denominato vettore di Poynting, dal fisico che lo introdusse nel 1884, e ricavato nel paragrafo

successivo a partire dalle equazioni di Maxwell.

Derivazione del vettore di Poynting

Per un sistema fisico costituito da elementi dissipativi ohmici, alimentato da generatori e soggetto

all’azione di un campo elettromagnetico, vale la legge di Ohm generalizzata:

𝑱 = 𝜎(𝑬 + 𝑬′) (5)

dove 𝜎 è la conducibilità, 𝑱 la densità di corrente, 𝑬 + 𝑬′ il campo totale, ottenuto aggiungendo al

campo elettrico 𝑬 il contributo 𝑬′ del campo elettromotore non conservativo dei generatori.

L’obiettivo è ricavare un’equazione di bilancio energetico che permetta di formulare la conservazione

locale dell’energia del sistema. L’equazione (5) si può riscrivere in termini di densità di potenza,

rispettivamente quella erogata dai generatori, quella dissipata per effetto Joule e quella persa dalle

correnti che circolano contro il campo 𝑬 (da cui il segno meno):

𝑬′ ⋅ 𝑱 =

𝐽2

𝜎− 𝑬 ⋅ 𝑱

(6)

Un’interpretazione fisica della potenza spesa dalle correnti si può ottenere riscrivendo il

corrispondente termine −𝑬 ⋅ 𝑱 sfruttando due delle equazioni di Maxwell:

𝑟𝑜𝑡𝑬 = −

𝜕𝑩

𝜕𝑡

(7)

𝑟𝑜𝑡𝑩 = 𝜇0 (𝑱 + 𝜀0

𝜕𝑬

𝜕𝑡)

(8)

Moltiplicando scalarmente la (7) per il campo magnetico 𝑩 e la (8) per il campo elettrico 𝑬 e

sottraendo membro a membro si ottiene:

𝑩 ⋅ 𝑟𝑜𝑡𝑬 − 𝑬 ⋅ 𝑟𝑜𝑡𝑩 = −𝑩 ⋅

𝜕𝑩

𝜕𝑡− 𝜇0 𝑱 ⋅ 𝑬 − 𝜇0𝜀0 𝑬 ⋅

𝜕𝑬

𝜕𝑡

(9)

che può essere riscritta tenendo conto delle seguenti identità:

𝑩 ⋅ 𝑟𝑜𝑡𝑬 − 𝑬 ⋅ 𝑟𝑜𝑡𝑩 = 𝑑𝑖𝑣(𝑬 × 𝑩) (10)

5

𝑩 ⋅

𝜕𝑩

𝜕𝑡=

1

2 𝜕𝐵2

𝜕𝑡

(11)

La densità di potenza −𝑬 ⋅ 𝑱 nella (6) risulta quindi espressa in termini dei campi 𝑬 e 𝑩 presenti nella

regione considerata secondo la relazione:

−𝑬 ⋅ 𝑱 =

1

2𝜇0 𝜕𝐵2

𝜕𝑡+

1

2𝜀0

𝜕𝐸2

𝜕𝑡+

1

𝜇0𝑑𝑖𝑣(𝑬 × 𝑩)

(12)

Sostituendo nella (6) si ha infine:

𝑬′ ⋅ 𝑱 =

𝐽2

𝜎+

𝜕

𝜕𝑡 (

1

2𝜇0𝐵2 +

1

2𝜀0𝐸2) +

1

𝜇0𝑑𝑖𝑣(𝑬 × 𝑩)

(13)

dove 𝑢 =1

2𝜇0

𝐵2 +1

2𝜀0𝐸2 è proprio la densità di energia associata al campo elettromagnetico.

La (13) si può integrare su un volume V della regione in esame in modo da ottenere l’equazione di

bilancio energetico cercata:

∭ (𝑬′ ⋅ 𝐉) 𝑑𝑉

𝑉

= ∭𝐽2

𝜎𝑑𝑉

𝑉

+𝜕

𝜕𝑡∭ 𝑢 𝑑𝑉

𝑉

+ ∭1

𝜇0𝑉

𝑑𝑖𝑣(𝑬 × 𝑩) 𝑑𝑉 (14)

L’integrale al primo membro rappresenta la potenza fornita dai generatori nella regione V, che si

ritrova come somma di tre contributi. I primi due termini al secondo membro sono facilmente

interpretabili e rappresentano rispettivamente la potenza dissipata per effetto Joule e l’incremento nel

tempo della densità di energia elettromagnetica nella regione considerata. Il significato fisico del terzo

termine, invece, può essere compreso se lo si trasforma sfruttando il teorema della divergenza:

∭

1

𝜇0𝑉

𝑑𝑖𝑣(𝑬 × 𝑩) 𝑑𝑉 = ∯1

𝜇0(𝑬 × 𝑩) ⋅ 𝑑𝐀

𝐴

= ∯ 𝑺 ⋅ 𝑑𝐀𝐴

(15)

dove A rappresenta la superficie che delimita il volume V ed è stato definito il vettore

𝑺 =

1

𝜇0(𝑬 × 𝑩)

(16)

chiamato vettore di Poynting. Tale vettore, che ha dimensioni di un’energia per unità di superficie e

di tempo e si misura nel SI in W/m2, può essere interpretato osservando che il suo modulo rappresenta

l’energia che nell’unità di tempo fluisce attraverso una superficie unitaria perpendicolare alla

direzione di 𝑺. Infatti, in accordo con la (14), una parte della potenza erogata dai generatori

contribuisce al bilancio energetico come flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie A che

delimita la regione V in esame. Ciò significa che non tutta l’energia fornita dai generatori nel volume

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V resta confinata al suo interno, poiché una parte si trasferisce verso lo spazio esterno attraversando

la superficie di confine.

Si noti che il vettore di Poynting non risulta univocamente determinato dalla (14), poiché alla

definizione di S secondo la (16) si potrebbe aggiungere un termine a divergenza nulla, senza che ciò

comporti variazioni al bilancio energetico. Poiché tale termine aggiuntivo non può contribuire con il

suo flusso a trasferimenti di energia, si adotta la convenzione di definire il vettore di Poynting nella

sua espressione più semplice, in accordo con la (16).

Inoltre l’espressione (16) è stata ricavata nell’ipotesi che siano trascurabili i fenomeni di

polarizzazione dielettrica e magnetizzazione del mezzo contenuto nella regione V. Se tale condizione

non è soddisfatta, in presenza di mezzi lineari ed omogenei la relazione (16) diventa:

𝑺 =

1

𝜇(𝑬 × 𝑩)

(17)

dove 𝜇 è la permeabilità magnetica del mezzo.

L’introduzione del vettore di Poynting permette dunque di completare il bilancio energetico nei casi

dinamici e di descrivere le modalità con cui avvengono i fenomeni di propagazione. In particolare la

(13) in una regione di spazio vuoto, dove J=0, diventa:

𝑑𝑖𝑣𝑺 = −

𝜕𝑢

𝜕𝑡

(18)

che rappresenta la formulazione matematica della conservazione locale dell’energia elettromagnetica

nel vuoto.

Esempi di trasferimenti di energia

L’uso del vettore di Poynting può chiarire come avvengono i trasferimenti di energia in alcuni casi

pratici. Per esempio, si consideri il processo di carica di un condensatore, che avvenga a velocità non

elevate, in modo da poter essere considerato un processo quasi stazionario. Si assume che il

condensatore abbia armature piane circolari di raggio R, parallele e separate da una distanza h.

Trascurando gli effetti di bordo, il campo elettrico che si crea tra le armature risulta ortogonale ad

esse e uniforme. In ogni istante di tempo, l’energia elettromagnetica accumulata dal condensatore è

pari alla densità di energia elettrostatica per il volume racchiuso tra le armature:

𝑈𝐸(𝑡) =

1

2𝜀0 𝐸2(𝑡)𝜋𝑅2ℎ

(19)

Durante il processo di carica, l’energia immagazzinata aumenta con legge:

𝑑𝑈𝐸(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜀0𝜋𝑅2ℎ𝐸(𝑡)

𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝑡

(20)

7

Di conseguenza ci deve essere un flusso di energia entrante nella regione cilindrica compresa tra le

armature del condensatore. Per comprendere la modalità con cui l’energia raggiunge il condensatore

secondo il formalismo di Poynting è necessario valutare S e quindi calcolare il campo magnetico

generato nel processo di carica. Le linee di flusso di B per simmetria sono circolari e concentriche

con le armature del condensatore e dalla legge di Ampère-Maxwell, scegliendo come cammino di

circuitazione una linea di flusso di raggio r, si ha:

∮ 𝑩 ⋅ 𝑑𝐬 = 𝐵 2𝜋𝑟 = 𝜇0𝜀0

𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡= 𝜇0𝜀0𝜋𝑟2

𝑑E

𝑑𝑡

(21)

da cui si ricava il modulo di B:

𝐵 = 𝜇0𝜀0

𝑟

2

𝑑E

𝑑𝑡

(22)

Si vede allora che nei punti della superficie cilindrica A, che delimita il condensatore, il vettore di

Poynting è diretto radialmente verso l’interno, come mostrato in figura 3, e la variazione di energia

corrispondente al flusso di S risulta:

𝑑𝑈𝐸(𝑡)

𝑑𝑡= ∯ 𝑺 ⋅ 𝑑𝐀

𝐴

= − 𝐸𝐵

𝜇02𝜋𝑅ℎ = −𝜀0𝜋𝑅2ℎ𝐸

𝑑𝐸

𝑑𝑡

(23)

Fig.3 – Vettore di Poynting nel processo di carica di un condensatore

Il segno negativo indica che si tratta di un flusso entrante, in valore assoluto uguale alla (20): ciò

significa che l’aumento di energia del condensatore nell’unità di tempo corrisponde a un flusso di

energia entrante dallo spazio esterno parallelamente alle armature del condensatore. Secondo il

modello di Poynting, quindi, l’energia non proviene dai fili conduttori in cui scorre la corrente che

carica il condensatore, come ipotizzato da Maxwell, bensì dallo spazio esterno sede dei campi E e B.

Per comprendere questo risultato, si può pensare che il processo di carica avvenga con il trasporto di

coppie di cariche di segno opposto attraverso i conduttori fino alle armature. Queste coppie creano

un campo elettrico nel mezzo che circonda il condensatore e, man mano che si avvicinano alle piastre,

le linee del campo si concentrano sempre più all’interno del condensatore, passando attraverso la sua

superficie laterale e trasferendo così la loro energia, come mostrato in figura 4.

8

Rispetto alla visione maxwelliana, quindi, Poynting limita il ruolo dei conduttori: essi non sono più

responsabili del trasferimento di energia, ma solo del moto delle cariche, che trascinano le linee del

campo elettrico nello spazio, dove ha sede l’energia elettromagnetica. Questa energia non può essere

trasportata dai conduttori; nei conduttori ci può essere solo dissipazione di energia per effetto Joule.

Fig. 4 – Linee del campo elettrico che trasferisce energia al condensatore durante la carica

Consideriamo infatti un cilindro conduttore di raggio a e resistenza 𝑅0 per unità di lunghezza percorso

da una corrente stazionaria I, generata da una differenza di potenziale Δφ applicata alle sue estremità.

Nelle vicinanze del conduttore sono presenti un campo elettrico parallelo ad esso e un campo

magnetico con linee circolari concentriche con l’asse del cilindro, i cui moduli sono pari

rispettivamente a:

𝐸 = 𝑅0𝐼

(24)

𝐵 =

𝜇0𝐼

2𝜋𝑎

(25)

da cui si ricava che il vettore di Poynting è diretto radialmente verso l’interno del conduttore, come

mostrato in figura 5 (conduttore a sinistra), e vale in modulo:

𝑆 =

𝑅0𝐼2

2𝜋𝑎

(26)

Di conseguenza, il flusso di S attraverso un tratto unitario della superficie cilindrica che delimita il

conduttore risulta pari a:

∯ 𝑺 ⋅ 𝑑𝐀

𝐴

= −𝑆2𝜋𝑎 = −𝑅0𝐼2 (27)

dove il segno meno indica che l’energia sta fluendo dall’esterno verso il conduttore. Tale flusso di

energia è proprio pari alla potenza dissipata per effetto Joule dal tratto di conduttore di lunghezza

unitaria.

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Fig. 5 – Vettore di Poynting per un filo resistivo percorso da corrente stazionaria

Anche in questo caso, quindi, il modello energetico di Poynting prevede che il conduttore possa

esclusivamente dissipare l’energia proveniente dallo spazio esterno, piuttosto che trasferirla

all’elemento di filo adiacente. Se si considera invece un’analoga superficie cilindrica coassiale con il

tratto di conduttore in cui è attiva la forza elettromotrice del generatore (filo a destra in figura 5), i

versi di E e B sono quelli in figura, quindi S punta verso l’esterno della superficie, pertanto si ha un

flusso netto di energia dalle sorgenti di forza elettromotrice agli utilizzatori attraverso lo spazio vuoto

in cui sono presenti i campi E e B, come illustrato in figura 6.

Fig. 6 – Flusso dell’energia dalle sorgenti di forza elettromotrice

agli utilizzatori attraverso lo spazio esterno al conduttore

Anche in questo caso l’energia non fluisce attraverso il conduttore, come si avrebbe secondo la teoria

di Maxwell, ma si propaga nello spazio insieme ai campi e infine è trasferita al conduttore

perpendicolarmente alla sua superficie e all’interno viene dissipata per effetto Joule.

10

Infine, si può osservare che nei casi stazionari l’equazione di continuità nel vuoto (18) si riduce a

𝑑𝑖𝑣𝑺 = 0, pertanto il flusso del vettore di Poynting non contribuisce al bilancio energetico. Tuttavia,

anche in queste situazioni il formalismo energetico di Poynting può aiutare a comprendere i

trasferimenti di energia, poiché un flusso netto nullo non sta ad indicare necessariamente assenza di

fenomeni di propagazione. Può infatti corrispondere a un flusso entrante attraverso una regione della

superficie chiusa considerata bilanciato da un flusso di uguale valore uscente da un’altra regione della

stessa superficie.

E’ il caso, ad esempio, di un’onda piana che si propaga nello spazio vuoto con velocità c, trasportando

con sé energia elettromagnetica in accordo con il fatto che S è diretto parallelamente alla direzione di

propagazione dell’onda (si ricordi che in un’onda piana E, B e la direzione di propagazione formano

una terna destrorsa). Supponendo che la sorgente che ha prodotto l’onda sia stata attiva tra gli istanti

di tempo 𝑡1 e 𝑡2, i campi E e B risultano confinati tra due piani paralleli separati da una distanza

d=c(𝑡2 − 𝑡1), che si propagano con velocità c ortogonale ad essi. Calcoliamo quindi il flusso di S

attraverso una superficie cilindrica con le facce parallele ai due piani. Se tale superficie si trova a

cavallo tra la zona in cui è attiva l’onda e quella dove i campi sono nulli, si avrà un flusso netto

entrante o uscente a seconda che la superficie si affacci nella regione verso cui l’onda si sta

propagando o in quella da cui è già passata. Se invece si considera un’analoga superficie

completamente contenuta nella regione tra i due piani o completamente al di fuori di essa, il flusso

del vettore di Poynting risulta nullo. Nel secondo caso, però, ciò sta a significare che non c’è energia

che fluisce attraverso la superficie in quanto S è nullo, poiché E e B sono entrambi nulli. Nel primo

caso, invece, il flusso complessivo di S attraverso la superficie è nullo, ma S è diverso da zero. Si ha

infatti un flusso di energia entrante attraverso una base del cilindro, compensato da un uguale flusso

uscente dall’altra base. Sebbene quindi i campi siano stazionari nella regione in esame, il formalismo

del vettore di Poynting descrive anche in questo caso il fluire solenoidale dell’energia

elettromagnetica in accordo con il principio di conservazione locale. L’energia fornita dall’onda piana

non si trasferisce istantaneamente da un piano all’altro, ma attraversa tutta la regione intermedia in

modo tale che ogni volumetto nella zona in cui i campi sono stazionari trasmetta all’elemento

successivo tutta l’energia ricevuta da quello precedente.

Localizzazione e conservazione dell’energia: confronto tra le teorie di

Maxwell e Poynting

E’ chiaro che il contributo fondamentale di Poynting alla teoria elettromagnetica consiste nell’aver

descritto il fluire dell’energia elettromagnetica e formulato la sua conservazione locale. Sorge allora

il dubbio su quali siano i punti di distacco dalla visione energetica di Maxwell considerando che il

vettore di Poynting S è stato ricavato proprio a partire dalle equazioni di Maxwell. Occorre quindi

innanzitutto analizzare l’interpretazione di Maxwell del concetto di energia e della sua conservazione.

La teoria in cui il pensiero di Maxwell pone le sue radici è quella dell’azione a distanza, che si basa

sulla netta distinzione dell’energia cinetica e potenziale, in analogia con la meccanica. Tuttavia,

l’osservazione di Faraday di correnti indotte da variazioni del campo magnetico o della corrente

circolante in un altro circuito richiedeva di rivolgere particolare attenzione al mezzo interposto tra i

circuiti piuttosto che ai singoli conduttori. Sulla base di queste premesse, Maxwell si accorse della

necessità di localizzare l’energia nel mezzo. Tale energia era ancora considerata come somma di due

contributi nettamente distinti: un termine cinetico associato all’energia magnetica delle correnti e al

moto vibratorio del mezzo e un termine potenziale di natura elettrostatica, attribuito alle proprietà

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elastiche del mezzo. La localizzazione dell’energia rappresentò quindi un primo passo verso una

formulazione locale della conservazione dell’energia, sebbene Maxwell attribuisse la densità di

energia al mezzo materiale elastico (l’etere) piuttosto che al campo elettromagnetico. Tuttavia

Maxwell non sfruttò la localizzazione dell’energia per ricavare un’equazione di continuità, restando

quindi in una posizione intermedia tra l’azione a distanza e la propagazione contigua dell’energia in

termini di linee di forza suggerita da Faraday. L’esigenza della conservazione locale e del concetto

di energia come flusso attraverso lo spazio era quindi riconosciuta da Maxwell, come si legge nel

“Trattato sull’elettricità e il magnetismo” (1873):

“Ma se tutta l’apparente azione a distanza è il risultato dell’azione fra le parti di un mezzo interposto,

è concepibile che in tutti i casi di incremento o diminuzione dell’energia all’interno di una superficie

chiusa noi possiamo essere in grado, quando la natura di questa azione delle parti del mezzo sia

chiaramente compresa, di descrivere il passaggio dell’energia verso l’interno e verso l’esterno

attraverso quella superficie.” … “Infatti, ogni volta che l’energia è trasmessa da un corpo ad un

altro nel tempo, deve esserci un mezzo o una sostanza in cui l’energia esiste dopo che essa ha lasciato

un corpo e prima che essa raggiunga l’altro.”

Ciò che mancava a Maxwell, e che fu portato a termine da Poynting, è il passaggio dalla

localizzazione all’equazione di continuità. A tale scopo, Poynting superò la visione di Maxwell di

propagazione istantanea dell’energia alle correnti, che contrastava in effetti l’idea del mezzo come

sede dell’energia elettromagnetica. Si noti che Maxwell, pur avendo fissato con le sue equazioni la

velocità finita di propagazione delle onde elettromagnetiche, non estese tale velocità alla

propagazione dell’energia associata alle onde, restando così legato alla concezione dell’azione

istantanea a distanza. La novità dell’approccio di Poynting, come illustrato negli esempi sul fluire

dell’energia nella carica di un condensatore o nel passaggio di corrente in un filo, fu quindi l’idea che

le correnti in un conduttore, invece di trasportare energia, fossero piuttosto gli effetti delle

trasformazioni di energia nel mezzo. Tali trasformazioni possono manifestarsi come “convergenza”

dal mezzo alle correnti, come nel caso della carica del condensatore, oppure come “divergenza” verso

lo spazio esterno, come nell’esempio dell’energia erogata dai generatori. In ogni caso questi processi

avvengono con velocità finita e l’energia trasferita viene interpretata come energia di campo invece

che come somma di un termine cinetico e di un termine potenziale associati all’etere. La priorità passa

dalle cariche e dalle correnti, le sorgenti del campo, al campo stesso come sede dell’energia

elettromagnetica. Come infatti scrisse Poynting nel 1884:

“Prima d’ora una corrente veniva considerata come qualcosa che viaggiasse lungo un conduttore,

l’attenzione era principalmente rivolta al conduttore, e l’energia che appariva in una parte del

circuito, se considerato nel suo insieme, si supponeva essere convogliata in quel punto dalla corrente

attraverso il conduttore.” … “Io penso che sia necessario che noi ci rendiamo conto completamente

che se accettiamo la teoria di Maxwell dell’energia residente nel mezzo, non dobbiamo più

considerare una corrente come qualcosa che trasporti energia lungo il conduttore."

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Possibili verifiche sperimentali

Il modello energetico di Poynting, sebbene accetti pienamente le equazioni di Maxwell, suggerisce

una visione completamente diversa dei fenomeni di propagazione. Viene dunque da chiedersi quale

sia la corretta interpretazione del fluire dell’energia elettromagnetica. Una verifica sperimentale

diretta appare però complicata, poiché sono generalmente misurabili gli effetti del trasferimento di

energia più che il percorso compiuto dall’energia stessa. E’ stata oggetto di verifica sperimentale, ad

esempio, la proprietà delle onde elettromagnetiche di trasferire un impulso alla materia, parallelo al

versore n della direzione di propagazione e proporzionale all’energia U (energia e impulso sono

infatti componenti dello stesso quadrivettore) secondo la relazione:

𝒑 =

𝑈

𝑐 𝒏

(28)

dove si è assunto che l’onda si propaghi nel vuoto e abbia pertanto velocità di modulo pari a c. Dal

teorema dell’impulso si ricava quindi che l’onda elettromagnetica esercita su una superficie

assorbente unitaria A ortogonale alla direzione di propagazione una forza media pari a:

< 𝑭 >

𝐴=

1

𝐴 Δ𝒑

Δ𝑡=

1

𝑐𝐴<

𝑑𝑈

𝑑𝑡> 𝒏 =

𝑺

𝑐

(29)

detta pressione di radiazione. La (29) va raddoppiata nel caso in cui la superficie sia completamente

riflettente. Una forza uguale in modulo alla (29), ma diretta nel verso opposto, agisce su una sorgente

che emette onde elettromagnetiche con intensità I = S e prende il nome di pressione di rinculo.

Poiché in queste espressioni compare il vettore di Poynting, la misura dell’impulso trasferito dalle

onde o della pressione di radiazione può essere considerata una prova indiretta della validità del

formalismo energetico di Poynting.

Il fatto che le onde elettromagnetiche trasportino energia che può essere trasferita alla materia e

convertita in altre forme di energia è dunque ormai assodato non solo sperimentalmente, ma anche

dal punto di vista teorico. Trascurando l’energia trasferita dall’onda elettromagnetica, infatti, si hanno

apparenti violazioni della conservazione dell’energia, dell’impulso o del momento angolare, la cui

validità risulta ripristinata se si considera il contributo del flusso del vettore di Poynting nel bilancio

energetico. A titolo di esempio, si può analizzare il caso di un disco isolante capace di ruotare sul cui

bordo sono distribuite uniformemente delle sferette cariche dello stesso segno e su cui è fissato un

solenoide coassiale all’asse di rotazione. Supponendo il disco inizialmente in quiete, se in un certo

istante si fa partire una corrente nel solenoide senza agire meccanicamente sul sistema, per la legge

di Faraday si genera durante il transitorio un campo elettrico indotto dalla variazione del flusso

magnetico concatenato. Il campo elettrico risulta tangente al bordo del disco ed esercita una forza

sulle cariche con momento risultante non nullo che mette in rotazione il disco. In assenza di attrito, il

disco continua a ruotare anche quando la corrente diventa stazionaria. Tale variazione del momento

angolare è in apparente contrasto con la conservazione del momento angolare per sistemi isolati, che

si risolve se si considera oltre all’impulso meccanico del sistema anche il contributo del campo

elettromagnetico. Il flusso del vettore di Poynting appare quindi necessario in questo e in altri casi

affinché le leggi di conservazione fondamentali della fisica restino valide.

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Ciò che manca è la conferma che i trasferimenti di energia avvengano esattamente nelle modalità

indicate da Poynting piuttosto che, ad esempio, come suggerito nell’interpretazione di Maxwell. Si

legge infatti nell’articolo di Poynting “On the transfer of energy in the electromagnetic field”:

“Può sembrare a prima vista che noi dovremmo avere nuove indicazioni sperimentali di questo tipo

di moto dell’energia, se esso ha realmente luogo… Infatti, l’equazione fondamentale che descrive il

movimento di energia è soltanto una deduzione dalle equazioni di Maxwell, che sono strutturate in

modo da esprimere i fatti sperimentali per quanto sono fino ad ora noti… Possiamo allora

difficilmente sperare in qualche ulteriore prova della legge al di là della sua concordanza con gli

esperimenti già noti finché non venga scoperto qualche metodo per verificare che cosa avviene nel

dielettrico indipendentemente dal circuito secondario.”

Inoltre, la trattazione teorica di Poynting presenta un’ambiguità di fondo: oltre al fatto che S è definito

a meno di un arbitrario termine a divergenza nulla, la sua espressione deriva dall’assunzione che

l’energia elettromagnetica sia effettivamente localizzata nel campo con densità data dalla (4). Tale

espressione innanzitutto è stata estesa ai casi dinamici senza una rigorosa giustificazione, ma solo

sulla base della considerazione che l’energia potenziale deve essere indipendente dallo stato cinetico

del sistema. Inoltre, anche nei casi statici non si dimostra che sia l’unica possibile espressione della

densità compatibile con la teoria elettromagnetica, bensì soltanto la sua consistenza con i fenomeni e

le equazioni già note. Tra le infinite possibili espressioni di u e S, quindi, sono state scelte come di

consueto quelle matematicamente più semplici. Di conseguenza, sebbene la teoria elettromagnetica

non possa prescindere dalla localizzazione dell’energia, essa presenta comunque un’ambiguità

sull’effettiva distribuzione nello spazio dell’energia di campo. Una possibile verifica sperimentale a

tal proposito, come suggerito da Feynman, si basa sulla teoria gravitazionale e sull’equivalenza tra

massa ed energia. Poiché ogni forma di energia ha proprietà sia inerziali che gravitazionali, quindi

curva lo spaziotempo, anche l’energia associata al campo elettromagnetico deve essere in grado di

esercitare un’attrazione gravitazionale, la cui direzione dipende dalla distribuzione di tale energia

nello spazio. La possibilità che un puro campo elettromagnetico possa comportarsi come la sorgente

di un campo gravitazionale è inoltre supportata dalla conferma sperimentale della deflessione della

luce in prossimità di corpi celesti, che suggerisce la presenza di una forza di reazione esercitata sui

corpi massivi dalla radiazione elettromagnetica.

Di conseguenza, una possibile verifica diretta della validità della (4) si potrebbe basare sulla misura

della direzione in cui il campo elettromagnetico esercita la sua azione gravitazionale, da cui si

ricaverebbe l’effettiva localizzazione dell’energia associata al campo. Si tratterebbe comunque di un

effetto talmente debole, a causa della bassissima intensità delle interazioni gravitazionali, da rendere

la misura estremamente delicata e complessa.

Pertanto, ci si limita a considerare valido il modello energetico di Poynting in quanto

matematicamente coerente con l’elettromagnetismo classico e in accordo con tutti i risultati

sperimentali legati ai bilanci energetici nei fenomeni di scambio di energia elettromagnetica tra i

campi e la materia.

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Bibliografia

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tratto da una conferenza tenuta alla Domus Galileiana, Pisa, nell’aprile 1988

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