Il trasformatore

FUNZIONAMENTO IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE

In presenza di una alimentazione alternata sinusoidale tutte le grandezzeelettriche saranno alternate sinusoidali.

Le equazioni di funzionamento in regime comunque variabile diventano leequazioni di regime alternato sinusoidale sostituendo ai valori istantanei legrandezze vettoriali e alle derivate il termine jω.

1110m11111 EIZIjXIjXIRV +=++= l

2 2 2 2 2 2 2 2 2V R I jX I E Z I E= + + = +l

24

Il trasformatore

Si introduce una resistenza R0 in parallelo a Xm che tiene conto delle perdite nelferro (le perdite nel ferro dipendono dal flusso e il flusso dipende dalla tensione aicapi di Xm).

Per i diversi funzionamenti (a vuoto, in corto circuito, a carico) è sempre possibilecostruire dei diagrammi vettoriali di funzionamento.

I0

V1R0

I2

V2

I1

Xm

I’2

E1 E2

Z1 Z2

25

Il trasformatore

Per lo studio di particolari condizioni di funzionamento è conveniente utilizzaredei circuiti equivalenti ridotti ottenuti trasferendo le impedenze da una parteall’altra del trasformatore ideale.

Il trasferimento avviene sulla base della costanza della potenza.

k

1

i

i

N

N

e

e

a

b

b

a

b

a ===

CIRCUITI EQUIVALENTI RIDOTTI

ia

ea

ib

ebNa Nb

26

Relazioni valide per il trasformatore ideale:

Il trasformatore

2ab

2bb i'RiR =

Rb R’b

2b

2

b

ab

2

a

bbb

k

R

N

NR

i

iR'R =

=

=

2ab

2bb i'XiX =

L’b

2b

2

b

ab

2

a

bbb

k

X

N

NX

i

iX'X =

=

=

Lb

27

TRASFORMAZIONI A POTENZA COSTANTE:

ia

ea

ib

eb

ia

ea

ib

eb

Il trasformatore

L’impedenza vista dai morsetti di alimentazione nel funzionamento in corto

circuito è:

02

021cc Z'Z

Z'ZZZ

+∗

+=

Poiché 02 Z'Z << 21cc ZZZ '' +≅

Z1 Z’2

Zcc è l’IMPEDENZA DI CORTO CIRCUITO DEL TRASFORMATORE

28

Z1 Z’2

Z0

Il trasformatore

Altri possibili circuiti equivalenti sono i seguenti:

con approssimazione

Z1 Z’2

Z0

Z1 Z’2

Z0

Z’1 Z2

Z0

con approssimazione

29

Il trasformatore

POTENZA NOMINALE DI UN TRASFORMATORE

Per giungere alla definizione della potenza nominale, si noti che:

• le perdite nel trasformatore sono funzione del flusso (e quindi della f.e.m. E)

(PERDITE NEL FERRO) e della corrente (PERDITE NEL RAME).

• il rapporto tra le tensioni primaria e secondaria è definito in modo univoco solo

a vuoto.

• si introduce la TENSIONE NOMINALE DEL PRIMARIO (avvolgimento

alimentato) V1n e si deduce la tensione nominale secondaria V2n (avvolgimento

su cui è collegato il carico) come tensione secondaria a vuoto V20.

kV

V

V

V

n1

20

n1

n2 ==Risulta:

30

Il trasformatore

POTENZA NOMINALE DI UN TRASFORMATORE

• si introduce la CORRENTE NOMINALE SECONDARIA (avvolgimento

chiuso sul carico) I2n e si deduce la corrente nominale primaria I1n mediante il

rapporto spire (relazione valida solo in corto circuito).

kI

I

n2

n1 =Risulta:

kI

I

V

V

V

V

n2

n1

n1

20

n1

n2 ===

n1n1n220n2n2 IVIVIV ==

31

Il trasformatore

POTENZA NOMINALE DI UN TRASFORMATORE

Si definisce POTENZA NOMINALE DI UN TRASFORMATORE (potenza

resa al secondario espressa in [VA]) il prodotto della corrente secondaria

nominale I2n per la tensione secondaria a vuoto (V20= V2n ).

Per la relazione già introdotta tra le grandezze primarie e secondarie risulta

inoltre:

n1n1n2n2n IVIVA ==

e cioè le potenze nominali primarie e secondarie sono uguali.

32

Il trasformatore

TRASFORMATORI TRIFASE

L’esistenza di linee di trasmissione di energia elettrica trifase imporrebbe la

presenza di 3 trasformatori monofase ogni qualvolta si intendesse realizzare una

trasformazione delle grandezze elettriche tensione e corrente.

In questo caso si giungerebbe ad un sistema del tipo indicato in figura (si

suppone un collegamento a ∆ e di essere in regime alternato sinusoidale).

33

Il trasformatore

v12

Φ1 Φ 2

v23

Φ 3

v31

12

3

123

0VVV 312312 =++

34

Il trasformatore

Nell’ipotesi di trascurare le cadute di tensione nei circuiti equivalenti risulta:

1212 EV ≅ si associa

2323 EV ≅

3131 EV ≅

01Φ

02Φ

03Φ

si associa

si associa

01 02 03 0Φ + Φ + Φ =

Sfruttando la relazione precedente si può arrivare ad una semplificazionecostruttiva:

35

01 02 03 0Φ + Φ + Φ =

Il trasformatore

Nella colonna centrale circola un flusso risultante nullo e quindi la colonna

centrale comune ai tre trasformatori può essere eliminata.

N.B.: Ciò è vero se il sistema di tensioni è simmetrico, se i tre trasformatori

sono uguali e se il carico è ripartito in modo uniforme sulle tre fasi.

Se il carico è squilibrato, le cadute di tensione sono diverse, così pure le E, e

quindi la loro somma (e quella dei flussi) non è più nulla.

Esiste quindi una differenza di potenziale magnetico ∆U tra il nodo superiore e

quello inferiore.

La stessa cosa accade se, a pari flusso, le riluttanze dei tronchi di circuito

magnetico sono diverse tra loro.

36

Il trasformatore

Con ∆U ≠ 0 ci sarà un flusso in aria tra il nodo superiore e quello inferiore pari

alla somma dei tre flussi:

a 01 02 03Φ = Φ + Φ + Φ

Tale flusso è generalmente piccolo perché la riluttanza del tronco in aria è

elevata.

In pratica si utilizzano circuiti magnetici a 3 colonne:

b.t.

A.T.

N.B.: Esistono anche trasformatori speciali a 5 colonne.37

Il trasformatore

=

ΨψΨψΨψ

*

*

*

**

*

**

*

**

*

*

*

*

3

3

2

2

1

1

333

333

222

222

111

111

3

3

2

2

1

1

i

i

i

i

i

i

LM0000

ML0000

00LM00

00ML00

0000LM

0000ML

Ipotesi: si trascurano le mutue tra avvolgimenti di fasi diverse, in quanto si è

supposto nullo il flusso nella colonna centrale.

EQUAZIONI DI FUNZIONAMENTO DEI

TRASFORMATORI TRIFASE

ove: 1 1* avvolgimento primario e secondario della fase 1

2 2* avvolgimento primario e secondario della fase 2

3 3* avvolgimento primario e secondario della fase 338

Il trasformatore

Lo studio di un trasformatore trifase si riconduce quindi a quello di un sistema

di tre trasformatori monofasi indipendenti (per ciascuno dei quali vale il circuito

equivalente già introdotto).

Ogni fase è indipendente e il suo comportamento è uguale a quello delle altre

fasi con forzanti sfasate di 2π/3 nel tempo.

M11* mutua tra l’avvolgimento primario e quello secondario della fase 1

EQUAZIONI DI FUNZIONAMENTO DEI TRASFORMATORI TRIFASE

39

Il trasformatore

Gli avvolgimenti di fase possono essere collegati tra di loro a stella o a

triangolo.

Si indica generalmente con la maiuscola l’A.T. e con la minuscola la b.t.:

A.T.

Esempi di collegamenti:

COLLEGAMENTI TRA AVVOLGIMENTI DI FASE NEITRASFORMATORI TRIFASE

b.t.

D Y

d y

stella-stella triangolo-stella

stella-triangolotriangolo-triangolo

COLLEGAMENTI OMONIMI COLLEGAMENTI ETERONIMI

Y y

D d

D y

Y d

40

Il trasformatore

Si definisce:

RAPPORTO DI TRASFORMAZIONE KT =

tensione concatenata a vuoto S E C O N D A R IA

tensione concatenata a vuoto P R IM A R IA=

RAPPORTO SPIRE KS

spire avvolg im ento S E C O N D A R IO

spire avvolg im ento P R IM A R IO=

f.e.m . d i fase S E C O N D A R IA

f.e.m . d i fase P R IM A R IA=

Risulta:

per collegamenti Y d

per collegamenti D y

per collegamenti OMONIMI

ST K3K =

3

KK S

T =

ST KK =

41

Il trasformatore

Le tensioni primarie e secondarie, oltre che differire in valore numerico,

risultano anche sfasate tra di loro.

L’entità dello sfasamento dipende dal tipo di collegamento.

Per definire lo sfasamento si introduce il GRUPPO o INDICE ORARIO.

L’unità base (v. norme CEI) è lo sfasamento di 30° (uno sfasamento di 180°

corrisponde a un indice orario 6).

SFASAMENTI - INDICE ORARIO

42

Il trasformatore

Per valutare l’indice orario si procede nel seguente modo:

• si considera una circonferenza suddivisa in archi di π/6 e numerata come ilquadrante di un orologio;

• si dispone il vettore di tensione di fase PRIMARIA sulla posizione 0

(equivalente alle ore 12);

• si dispone il vettore di tensione di fase SECONDARIA riferita al centro della

stella reale (collegamento a stella) o teorico (baricentro del triangolo delle tensioni

concatenate nel caso di collegamento a triangolo);

SFASAMENTI - INDICE ORARIO

0

2

3

4

1

76

5

8

9

10

11

v*f

vf

• l’indice orario si identifica con l’ora su cui

è puntato il vettore di tensione di fase

SECONDARIA.

Esempio: INDICE ORARIO 6

42

Il trasformatore

Si noti che:

• a collegamenti OMONIMI corrispondono indici orari PARI;

• a collegamenti ETERONIMI corrispondono indici orari DISPARI.

A.T.

SFASAMENTI - INDICE ORARIO

Esempi:

b.t.

Y y 0

1 2 3

1’ 2’ 3’

A.T.

b.t.

Y y 6

1 2 3

1’ 2’ 3’

43

Il trasformatore

A.T.

SFASAMENTI - INDICE ORARIO

Esempi:

b.t.

Y d 11

1 2 3

1’ 2’ 3’

1

23

A.T.

b.t.

Y

d

3’

1’

2’

44

Il trasformatore

SFASAMENTI - INDICE ORARIO

Esempi:

11v1’3’

vf1

vf2vf3

v*f1

1’

2’

3’

v2’1’

v3’2’

vf1

v*f1

Y d 11

45