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Universita degli studi di Trento Corsi di Meccanica razionale 1 e 2

Elementi di teoria dei sistemi olonomiDispense per i corsi di Meccanica Razionale 1 e 2di Stefano Siboni

1. Sistemi olonomiUn sistema olonomo composto da N punti materiali

Pi , i = 1, . . . , N

e caratterizzato da una parametrizzazione

(t, q) ∈ R × A −−−−−−→ P (t, q) ∈ R3N

che soddisfa le seguenti condizioni:

(i) la parametrizzazione e definita per tutti i tempi, ossia ∀ t ∈ R;

(ii) q = (q1, . . . , qn) ∈ A, con A sottoinsieme non vuoto di Rn contenuto nella chiusuradel proprio interno

∅ = A ⊆ int(A) ⊆ Rn .

Le variabili q1, . . . , qn sono i c.d. parametri lagrangiani, o coordinate lagrangia-ne, o coordinate generalizzate del sistema. Il loro numero — n — costituisce ilnumero di gradi di liberta del sistema;

(iii) P (t, q) e una funzione di classe C2 nel proprio dominio di definizione R × A. Ciovarra ad assicurare la possibilita di studiare i moti regolari del sistema olonomo econsentira inoltre di scrivere le equazioni di Lagrange nella forma standard, in terminidi energia cinetica e binomio di Lagrange;

(iv) ∀ (t, q) ∈ R × A i vettori di R3N

∂P

∂q1(t, q) ,

∂P

∂q2(t, q) , . . . . . . ,

∂P

∂qn(t, q)

devono risultare linearmente indipendenti. Questa richiesta consentira di provare,in particolare, il carattere definito positivo della parte quadratica in q dell’energiacinetica, e la conseguente riducibilita delle equazioni di Lagrange alla forma normale.

La parametrizzazione specifica la configurazione del sistema, ossia la posizione di tutti ipunti Pi, assegnati che siano l’istante t ∈ R e il valore dei parametri lagrangiani q ∈ A.

Stefano Siboni 1


Per t ∈ R comunque assegnato, l’insieme

Vt = P (t, q) , q ∈ Adefinisce le configurazioni del sistema compatibili con i vincoli olonomi all’istantet, ognuna delle quali sara individuata fissando un particolare valore del parametri la-grangiani q ∈ A.

2. Configurazioni ordinarie e di confineLe configurazioni per le quali q ∈ int(A) si dicono configurazioni ordinarie del sistema:

P = P (t, q) , q ∈ int(A) configurazione ordinaria ;

quelle corrispondenti a punti di frontiera di A sono note come configurazioni di confine:

P = P (t, q) , q ∈ fr(A) configurazione di confine .

3. Sistemi reonomi e scleronomiIl sistema si dice reonomo o a vincoli dipendenti dal tempo nel caso — generale —che la parametrizzazione dipenda esplicitamente dal tempo:

P = P (t, q) , (t, q) ∈ R × A,

mentre si parla di sistema scleronomo o a vincoli indipendenti dal tempo qualoratale dipendenza esplicita non ricorra e la configurazione del sistema sia specificata comple-tamente assegnando le sole coordinate lagrangiane e non anche l’istante t:

P = P (q) , q ∈ A.

4. Sistemi olonomi a vincoli bilateralie unilaterali

Un sistema olonomo si dice a vincoli bilaterali se l’insieme A di definizione dei parametrilagrangiani e aperto, coincidendo percio con il proprio interno

A = int(A) .

In caso contrario, qualora cioe l’insieme A contenga almeno parte della propria frontiera

A ∩ fr(A) = ∅ ,

si parla di sistema a vincoli unilaterali.

Dalla definizione e evidente che in un sistema a vincoli bilaterali tutte le configurazioni sonoordinarie, mentre in un sistema a vincoli unilaterali coesistono configurazioni ordinarie edi confine.

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5. Esempi notevoli di sistemi olonomiVale la pena di illustrare il concetto generale di sistema olonomo presentando alcuni esem-pi notevoli, per ciascuno dei quali si individua un insieme di parametri lagrangiani e sidetermina, di conseguenza, il numero di gradi di liberta.

5.1 Punto materiale liberoLa posizione di un punto materiale libero rispetto ad una terna di riferimento cartesianaortogonale puo essere individuata mediante le relative coordinate cartesiane (x1, x2, x3);poiche il punto e completamente libero, esso puo assumere qualsiasi posizione nello spazioe le coordinate cartesiane risultano definite nell’intero R3. Un’ovvia parametrizzazione delsistema e allora data da:

P (x1, x2, x3) = x1e1 + x2e2 + x3e3 (x1, x2, x3) ∈ R3 .

I parametri lagrangiani si identificano con le tre coordinate cartesiane, per cui il numerodi gradi di liberta del sistema e ovviamente 3. Il dominio di definizione dei parametrilagrangiani A coincide con l’intero R3. Tale dominio e aperto. La parametrizzazionee di classe C∞ in R3 e presenta quindi una regolarita ben superiore a quella prescritta— l’appartenenza alla classe C2 nel proprio dominio. Infine, la parametrizzazione nondipende esplicitamente dal tempo, il che qualifica il sistema come scleronomo. Si concludeche il punto materiale libero costituisce un sistema scleronomo a 3 gradi di liberta evincoli bilaterali. A stretto rigore si renderebbe necessario verificare anche la condizionedella lineare indipendenza, per ogni scelta dei parametri lagrangiani in A, delle derivateparziali prime della parametrizzazione:

∂P

∂x1,

∂P

∂x2,

∂P

∂x3;

nel caso specifico la condizione e certamente verificata, in quanto:

∂P

∂x1= e1 ,

∂P

∂x2= e2 ,

∂P

∂x3= e3

con i versori e1, e2, e3 linearmente indipendenti perche costituenti una base dello spazio deivettori posizione.

Si osservi che lo stesso sistema potrebbe essere facilmente — sebbene irragionevolmente— descritto come reonomo. Si potrebbero ad esempio considerare come parametri la-grangiani le coordinate di P relative ad una terna ausiliaria in moto arbitrario, ma pre-assegnato, rispetto alla terna assoluta. Cosı, in particolare, se la terna ausiliaria ha origineQ ed e animata da un puro moto traslatorio (regolare) rispetto al riferimento assoluto, laparametrizzazione di P assume la forma dipendente dal tempo:

P (t, x1, x2, x3) = x1e1 + x2e2 + x3e3 + Q(t) − O (x1, x2, x3) ∈ R3

essendo Q(t) il moto regolare preassegnato dell’origine Q. E immediato verificare, comeprima, che la parametrizzazione ottenuta soddisfa a tutti i requisiti richiesti dalla defini-zione di sistema olonomo.

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5.2 Punto materiale vincolato ad una curva regolareLa posizione di un punto materiale vincolato a restare sul supporto di una curva regolarefissa puo essere individuata per mezzo di una parametrizzazione regolare della curva:

P = φ(ξ) , ξ ∈ I

di classe C2 sull’intervallo reale I e con derivata φ′(ξ) = 0 ∀ ξ ∈ I — si ricorda che, ingenerale, la definizione di regolarita della curva richiede la sola appartenenza alla classeC1 nell’intervallo di esistenza.La maggiore regolarita viene richiesta, al solito, per poter assicurare esistenza e continuitadelle velocita ed accelerazioni istantanee lungo i moti del sistema. La parametrizzazionenon dipende dal tempo e il suo unico argomento e il parametro ξ, che dunque costituiscel’unica coordinata lagrangiana del sistema. Il sistema e scleronomo, ad un grado diliberta e con vincoli bilaterali o unilaterali, secondo che l’intervallo I di definizionedella parametrizzazione sia aperto o meno. Tale intervallo coincide, beninteso, con il do-minio A della parametrizzazione. La condizione di regolarita della curva vale ad assicurarela lineare indipendenza dell’unica derivata parziale prima:

∂P

∂ξ= φ′(ξ) = 0 ∀ ξ ∈ I .

Qualora la curva sia variabile nel tempo, e sufficiente assumere una parametrizzazione C2

del tipo:

P = P (t, ξ) (t, ξ) ∈ R × I

con I intervallo reale. Si dovra richiedere che:

∂P

∂ξ(t, ξ) = 0 ∀ (t, ξ) ∈ R × I

al fine di soddisfare la solita condizione di lineare indipendenza della derivata prima. Leconclusioni sono le stesse del caso di curva fissa, salvo che la parametrizzazione presentauna dipendenza esplicita dal tempo e individua percio il sistema come reonomo.

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5.3 Punto materiale vincolato ad una superficie regolareLa posizione di un punto materiale vincolato a rimanere su una superficie regolare fissaviene individuata per mezzo della parametrizzazione:

P = ϕ(u, v) , (u, v) ∈ Ω ,

di classe C2 sul dominio Ω ⊆ R2 e soddisfacente la condizione — di regolarita —:

∂ϕ

∂u(u, v) ∧ ∂ϕ

∂v(u, v) = 0 ∀ (u, v) ∈ Ω (5.1)

che consente di definire in ogni punto della superficie un appropriato versore normale:

n =∂ϕ

∂u∧ ∂ϕ

∂v

∣∣∣∣∂ϕ

∂u∧ ∂ϕ

∂v

∣∣∣∣−1

.

Identificati i parametri lagrangiani con le variabili u, v, e il dominio A di definizione dellaparametrizzazione con il sottoinsieme Ω, si riconosce che il sistema e scleronomo condue gradi di liberta, a vincoli bilaterali o unilaterali secondo che Ω si assuma apertoo meno. Si osservi come la condizione di regolarita (5.1) valga ad assicurare la lineareindipendenza delle derivate prime

∂ϕ

∂u(u, v) ,

∂ϕ

∂v(u, v)

della parametrizzazione. Nell’ipotesi che la superficie vincolare sia mobile nel tempo, sidovra considerare una parametrizzazione del tipo:

P = ϕ(t, u, v) , (u, v) ∈ Ω ⊆ R2

di classe C2 in R × Ω e regolare ad ogni t ∈ R fissato:

∂ϕ

∂u(t, u, v) ∧ ∂ϕ

∂v(t, u, v) = 0 ∀ (t, u, v) ∈ R × Ω .

Il sistema sara allora reonomo e a due gradi di liberta.

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5.4 Sistema rigido liberoSi tratta di un sistema a 6 gradi di liberta. Un insieme di coordinate lagrangiane naturali ecostituito dalle coordinate cartesiane xG, yG, zG del baricentro G del sistema e dagli angolidi Eulero φ, θ, ψ che specificano l’orientazione di una terna solidale di origine G rispettoalla terna assoluta. In luogo del baricentro G e dato, ovviamente, di assumere un qualsiasipunto del sistema o dello spazio a questo solidale. A queste conclusioni si puo perveniresenza scrivere esplicitamente l’espressione della parametrizzazione P (xG, yG, zG, φ, θ, ψ).Per verificare le proprieta formali di regolarita tale espressione esplicita si renderebbenecessaria. Per semplicita, si omette la discussione di questo aspetto del problema.

5.5 Sistema rigido con punto fissoIl sistema e a 3 gradi di liberta. La costruzione di un sistema di coordinate lagrangianeavviene come nel caso precedente, salvo il fatto che conviene identificare il punto di riferi-mento dello spazio solidale al sistema con il relativo punto fisso. Le coordinate generalizzatesi riducono pertanto ai soli tre angoli di Eulero della terna solidale rispetto alla terna fissa,terne che e consentito di assumere con origine nel punto fisso. Come nel caso precedente,una analisi particolareggiata delle proprieta di regolarita renderebbe necessaria la deter-minazione esplicita della parametrizzazione P (φ, θ, ψ).

Si osservi che nel caso il sistema rigido sia costituito da un’asta rettilinea passante per ilpunto fisso O, il moto di imperniamento dell’asta attorno alla propria retta di giacitura nonha alcun significato fisico dal momento che non comporta lo spostamento di alcun puntomateriale del sistema. Il corrispondente parametro lagrangiano — l’angolo di rotazionepropria ψ — diventa dunque irrilevante nel determinare la configurazione del sistema, chesi presenta pertanto a due soli gradi di liberta.

5.6 Sistema rigido con asse fissoPer specificare la configurazione del sistema occorre e basta assegnare l’angolo di rotazioneθ che un piano solidale al sistema e passante per l’asse fisso forma con un piano di riferi-mento passante per lo stesso asse fisso ed assegnato nella terna di riferimento assoluta. Ilsistema risulta pertanto ad un solo grado di liberta. In questo caso la parametrizzazionedel sistema olonomo assume la forma P (θ), che per semplicita si omette di scrivere inmodo esplicito. L’angolo di rotazione θ variera su un intervallo, che potra risultare apertoo meno. Si puo facilmente immaginare la situazione in cui ostacoli collocati conveniente-mente impediscano al solido di compiere una rotazione completa attorno all’asse fisso, nel

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qual caso l’intervallo di definizione di θ sara un intervallo chiuso.

5.7 Sistema rigido con asse scorrevole su se stessoQualora il sistema ammetta un asse scorrevole su se stesso, l’angolo di rotazione θ definitocome al punto precedente non individua univocamente la configurazione del sistema, ameno che preventivamente non si assegni l’ascissa s di un punto preassegnato del sistemaubicato sull’asse in questione. Tale ascissa verra computata a partire da una convenienteorigine dell’asse, individuabile a piacere. Un insieme naturale di coordinate lagrangiane edunque costituito da s e θ, ed il sistema risulta a 2 gradi di liberta.

5.8 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su unacurva regolare

La configurazione del sistema viene completamente specificata assegnando l’ascissa curvi-linea s del punto del solido costretto a rimanere sulla curva preassegnata, e specificandoquindi gli angoli di Eulero φ, θ, ψ che definiscono l’orientamento di una terna solidalerispetto alla terna assoluta. Il numero complessivo di gradi di liberta e quindi 4.

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5.9 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su unasuperficie regolare

Il punto del solido che e vincolato a rimanere sulla superficie assegnata viene individuatoper mezzo di due coordinate curvilinee u, v; a queste si aggiungono i consueti angoli eule-riani φ, θ, ψ che posizionano completamente la terna solidale rispetto alla terna assoluta.Complessivamente il sistema presenta 5 gradi di liberta.

6. Moti possibili e virtualiUn moto possibile di un sistema olonomo e un moto P (t), t ∈ I, I intervallo reale, chesoddisfa i vincoli olonomi ad ogni istante in cui risulta definito:

P (t) ∈ Vt ∀ t ∈ I .

Per ogni t ∈ I deve dunque esistere un insieme di valori dei parametri lagrangiani, q =q(t) ∈ A, tale che il moto del sistema possa scriversi in termini della parametrizzazione

P (t) = P (t, q(t)) ∀ t ∈ I .

q(t) si presenta come una funzione del tempo t ∈ I a valori in A e allo scopo di considerarei soli moti regolari del sistema si assume che q(t) sia una funzione di classe C2 in I.In tal modo il moto possibile risulta regolare in quanto composizione di funzioni C2, laparametrizzazione del sistema olonomo e la q(t) stessa:

P (t) = P (t, q(t)) di classe C2 nell’intervallo I

ed e assicurata l’esistenza e la continuita di velocita ed accelerazione istantanee:

P (t) =∂P

∂t(t, q(t)) +

n∑h=1

∂P

∂qh(t, q(t)) qh(t)

P (t) = . . .

Qualsiasi moto possibile e dunque esprimibile nella forma:

P (t) = P (t, q(t)) t ∈ I

con q(t) funzione arbitraria dell’intervallo I a valori in A e di classe C2.

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Un moto virtuale del sistema e relativo ad un istante di riferimento t ∈ R, scelto apiacere, e ad una configurazione di riferimento P compatibile con i vincoli olonomi allostesso istante:

P ∈ Vt

esprimibile dunque nella forma

P = P (t, q) , q ∈ A.

Un moto virtuale si ottiene:

(i) assumendo i vincoli olonomi congelati all’istante t — il sistema viene arbitraria-mente convertito in un sistema scleronomo;

(ii) imponendo che il moto soddisfi ai vincoli olonomi cosı ottenuti su tutto l’intervallo ditempo I = [t, t + ε], ε > 0, in cui il moto e definito;

(iii) richiedendo che all’istante di riferimento t la configurazione assunta dal sistema lungoil moto sia P — condizione di passaggio per la configurazione di riferimento all’istantedi riferimento.

Tutti i moti virtuali relativi alla coppia (t, P ) si esprimono nella forma

P (t) = P (t, q(t)) t ∈ I

con q(t) funzione arbitraria C2 dell’intervallo I a valori in A, sottoposta alla condizionesupplementare:

q(t) = q

in modo che si abbia P (t) = P .

7. Atti di moto/velocita possibili e virtualiUn atto di moto possibile del sistema e l’atto di moto di un moto possibile; si determinaconsiderando un arbitrario moto possibile:

P (t) = P (t, q(t)) , t ∈ I ,

e calcolandone la derivata rispetto al tempo:

P (t) =∂P

∂t(t, q(t)) +

n∑h=1

∂P

∂qh(t, q(t)) qh(t) .

A tale atto di moto sono associate le velocita possibili dei singoli punti del sistema:

Pi =∂Pi

∂t(t, q(t)) +

n∑h=1

∂Pi

∂qh(t, q(t)) qh(t) ∀ i = 1, . . . , N .

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Un atto di moto virtuale del sistema, relativo alla coppia (t, P ), e l’atto di motoall’istante t di un generico moto virtuale relativo alla stessa coppia; e ricavato considerandoun arbitrario moto virtuale:

P (t) = P (t, q(t)) , t ∈ I = [t, t + ε] , ε > 0 ,

e calcolandone la derivata rispetto al tempo all’istante t = t:

ν =d

dtP (t, q(t))

∣∣∣∣t=t

=n∑

h=1

∂P


∣∣∣∣t=t

=

=n∑

h=1

∂P

∂qh(t, q(t)) qh(t) =

n∑h=1

∂P

∂qh(t, q) qh(t) . (7.1)

All’atto di moto virtuale si associano le velocita virtuali dei punti del sistema:

νi =n∑

h=1

∂Pi

∂qh(t, q) qh(t) ∀ i = 1, . . . , N .

8. Esempio di moto/atto di moto possibile evirtuale

Per meglio illustrare il concetto di moto/atto di moto/velocita possibile e virtuale, con-sideriamo un semplice esempio. Sia dato un punto materiale P vincolato a restare su unacirconferenza di centro fissato O, che si mantiene in un piano fisso π ma con raggio variabilenel tempo secondo una legge preassegnata R(t), t ∈ R. Sia γ(t) la circonferenza vincolareall’istante t.Un moto possibile P (t), definito su un intervallo reale I, rispetta i vincoli istantanei adogni istante t in cui esso e definito. Cio significa che al generico istante t ∈ I la posizioneP (t) del punto deve collocarsi sulla circonferenza γ(t). La velocita possibile del punto Pall’istante t e la derivata rispetto al tempo del moto P (t) all’istante t e in generale avrauna componente tangente alla circonferenza γ(t) ed una normale, diretta radialmente:

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Viceversa, per definire un moto virtuale, occore specificare preliminarmente un istante diriferimento t e selezionare quindi — a piacere — una configurazione P compatibile con ivincoli olonomi a quello stesso istante, vale a dire una posizione P lungo la circonferenzavincolare γ(t). Un moto virtuale relativo alla coppia (t, P ) si ottiene considerando unqualsiasi moto P (t) definito su un certo intervallo di tempo I, in modo che ad ogni istantesiano rispettati i vincoli olonomi “congelati” al tempo t, per cui il punto P (t) appartienea γ(t) ∀ t ∈ I; inoltre, si impone che all’istante di riferimento il sistema transiti per laconfigurazione di riferimento, ossia che P (t) = P . Per definizione, la corrispondentevelocita virtuale ν relativa a (t, P ) e la velocita istantanea del moto virtuale valutataall’istante t, quando il sistema transita per la posizione P . Si tratta pertanto di unvettore tangente alla circonferenza γ(t) in P :

Evidente e la differenza fra i moti possibili e virtuali, come pure fra le velocita possi-bili e virtuali. E altresı evidente che nel caso di sistemi scleronomi i vincoli olonomi simantengono fissi e viene meno qualsiasi distinzione fra moti/velocita possibili e virtuali.

9. Atti di moto virtuali invertibili e noninvertibili

Un atto di moto virtuale si dice invertibile o reversibile se il suo opposto e anch’essoun atto di moto virtuale relativo alla stessa coppia (t, P ):

ν atto di moto virtuale =⇒ −ν atto di moto virtuale

Si dice non invertibile o irreversibile in caso contrario, se cioe l’essere ν un atto dimoto virtuale esclude che il vettore opposto −ν costituisca a propria volta un atto di motovirtuale relativo alla stessa coppia (t, P ).

10. Espressione generale dell’atto di motovirtuale

Ogni atto di moto virtuale relativo a (t, P ) e dato dall’espressione (7.1) e puo quindiscriversi nella forma

ν =n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q) (10.1)

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per opportuni coefficienti α1, . . . , αn ∈ R — basta porre αh = qh(t) ∀h = 1, . . . , n. Unatto di moto virtuale relativo a (t, P ) e sempre una combinazione lineare dei vettorilinearmente indipendenti

∂P

∂q1(t, q) ,

∂P

∂q2(t, q) , . . . . . . ,

∂P

∂qn(t, q) .

11. Caratterizzazione degli atti di moto virtualinelle configurazioni ordinarie

Nelle configurazioni ordinarie di un sistema olonomo, tutte le combinazioni lineari (10.1),per ogni scelta dei coefficienti α1, . . . , αn ∈ R individuano un atto di moto virtuale relativoa (t, P ).E sufficiente osservare che un moto virtuale per (t, P ) puo sempre essere ottenuto fissandoun vettore α = (α1, . . . , αn) ∈ Rn a piacere e ponendo:

q(t) = q + (t − t)α (11.1)

su un intervallo I = [t, t + ε] per ε > 0 abbastanza piccolo. La funzione (11.1) e infattidi classe C∞ in t e per t = t soddisfa la condizione di passaggio per la configurazione diriferimento:

q(t) = q ;

l’essere poi q(t) continua in t e q interno ad A assicura che

q(t) = q + (t − t)α ∈ A ∀ t ∈ I = [t, t + ε]

a patto di scegliere ε > 0 sufficientemente piccolo.

Il corrispondente atto di moto virtuale diventa allora:

ν =d

dtP (t, q(t))

∣∣∣∣t=t

=n∑

h=1

∂P


∣∣∣∣t=t

=n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q)

in termini delle arbitrarie componenti αh di α ∈ Rn.In definitiva, gli atti di moto virtuali relativi a (t, P ) sono tutti e soli i vettori

ν =n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q) ∀α1, . . . , αn ∈ R .

Si osservi che nelle configurazioni di confine la scelta di una funzione del tipo (11.1) conα ∈ Rn arbitrario non assicura il rispetto del requisito

q(t) = q + (t − t)α ∈ A ∀ t ∈ I

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per un opportuno intervallo I = [t, t + ε] ed ε > 0 abbastanza piccolo. In generale,non tutte le scelte del vettore α sono compatibili con i vincoli, ne di conseguenza qualsiasiscelta dei coefficienti α1, . . . , αn ∈ R individua un atto di moto virtuale secondo la (10.1).

Il risultato precedente implica, in particolare, che nelle configurazioni ordinarie diun sistema olonomo tutti gli atti di moto virtuale sono invertibili. Se infattil’espressione

ν =n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q)

definisce per qualsiasi α1, . . . , αn ∈ R un atto di moto virtuale relativo a (t, P ), e evidenteche il vettore opposto:

−ν = −n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q) =

n∑h=1

(−αh)∂P

∂qh(t, q)

e una combinazione lineare degli stessi vettori secondo i coefficienti:

−α1 , . . . , −αn

che, arbitrari quanto gli α1, . . . , αn, permettono di riconoscere in −ν un altro atto dimoto virtuale in (t, P ) del sistema. L’affermazione e falsa nelle configurazioni diconfine.

12. Postulato delle reazioni vincolariIl postulato delle reazioni vincolari estende ai sistemi vincolati di N punti materiali ilsecondo principio della dinamica, che e ancora applicabile ai singoli punti materiali costi-tuenti il sistema a patto pero di includere, nel computo delle forze applicate, non soltantoil risultante Fi delle forze attive agenti sull’i-esimo punto Pi, di massa mi, ma anche unrisultante Φi di forze imputabili all’azione dei vincoli e note come reazioni vincolari.L’effetto dinamico dei vincoli si assume quindi determinabile scrivendo ancora la secondalegge della dinamica per ogni punto materiale del sistema, ma considerando accanto alleforze attive Fi anche le relative reazioni vincolari Φi:

miPi = Fi + Φi ∀ i = 1, . . . , N . (12.1)

Le equazioni precedenti sono, formalmente, le equazioni del moto del sistema. Non sitratta, tuttavia, di equazioni pure, in quanto le reazioni vincolari risultano a prioricompletamente sconosciute e vanno riguardate come incognite del problema dinamico.In questo le reazioni vincolari si differenziano nettamente dalle sollecitazioni attive Fi,che sono sempre descritte da funzioni note del tempo t, della configurazione P =(P1, . . . , PN ) e dell’atto di moto P = (P1, . . . , PN ) allo stesso istante t:

Fi = Fi(t, P, P ) i = 1, . . . , N .

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Dal postulato delle reazioni vincolari segue che, assegnato un qualsiasi moto possibileP (t) = P (t, q(t)), t ∈ I, del sistema, le reazioni vincolari possono essere determinate perdifferenza ad ogni istante t ∈ I e per ogni punto materiale Pi:

Φi(t) = miPi(t) − F [t, P (t), P (t)] ∀ t ∈ I , i = 1, . . . , N .

Nondimeno, il problema di eliminare dalle equazioni (12.1) le reazioni vincolari Φi perottenere equazioni pure del moto non e in generale risolvibile, se non a prezzo di ipotesiausiliarie sulla tipologia delle reazioni vincolari esplicabili dai vincoli. A questa esigenzarisponde il principio delle reazioni vincolari.

13. Principio delle reazioni vincolariIl principio delle reazioni vincolari pone una condizione sul tipo di reazioni vincolari cheun sistema — olonomo di parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈ R × A, nel caso considerato— e in grado di esercitare.Precisamente, ∀ t ∈ R e per ogni configurazione P compatibile con i vincoli olonomiall’istante t:

P ∈ Vt ⇐⇒ P = P (t, q) , q ∈ A,

le reazioni vincolari esplicabili dal sistema all’istante t = t nella configurazione P = P

sono tutte e soltanto quelle Φ1, . . . , ΦN soddisfacenti la condizione:

Π =N∑

i=1

Φi · νi ≥ 0 (13.1)

per ogni atto di moto virtuale ν = (ν1, . . . , νN ) relativo alla coppia (t, P ).

L’espressione Π e nota come potenza virtuale delle reazioni vincolari:

potenza in quanto somma di potenze, prodotti scalari di forze e velocita;

virtuale perche le velocita utilizzate nel calcolo delle potenze sono virtuali e noneffettive o possibili;

delle reazioni vincolari, essendo calcolata per il sistema delle reazioni vincolariapplicate ai vari punti Pi, i = 1, . . . , N .

Il principio delle reazioni vincolari assume pertanto che le reazioni vincolari esplicabilidai vincoli ad ogni istante t e in ogni configurazione P , compatibile con i vincoli aquell’istante, siano tutte e soltanto quelle la cui potenza virtuale risulta non negativa perogni atto di moto virtuale relativo alla coppia (t, P ).

Si osservi che la diseguaglianza in (13.1) puo sostituirsi con una eguaglianza per tutti gliatti di moto virtuali ν invertibili. Se ν e un atto di moto virtuale invertibile deve aversi

N∑i=1

Φi · νi ≥ 0

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e allo stesso tempoN∑

i=1

Φi · (−νi) ≥ 0

per cui deve essere simultaneamente verificata la doppia diseguaglianza:

N∑i=1

Φi · νi ≥ 0N∑

i=1

Φi · νi ≤ 0

che implica l’eguaglianza a zero della potenza virtuale Π, come affermato.

14. Sistemi a vincoli idealiIl principio delle reazioni vincolari appena illustrato non costituisce una legge fonda-mentale della meccanica, ma soltanto un assunto che puo essere soddisfatto in partico-lari condizioni oppure non esserlo affatto. Sovente costituisce una buona approssimazione.I sistemi per i quali si puo ritenere o assumere valido il principio delle reazioni vincolari sidicono, per definizione, sistemi a vincoli ideali.

Un sistema a vincoli ideali e dunque un sistema — olonomo, nella fattispecie — capacedi esercitare tutte e sole le reazioni vincolari compatibili con il principio delle reazionivincolari.

15. Esempi notevoli di sistemi olonomi a vincoliideali

Il principio delle reazioni vincolari non e necessariamente soddisfatto e quindi l’ipotesi deivincoli ideali pone una specifica condizione sulle reazioni vincolari esplicabili da un sistemaolonomo. Il significato meccanico di questa condizione non e immediato, in generale;tuttavia, in casi particolari e notevoli e possibile scrivere la condizione in una forma piuesplicita, suscettibile di una piu immediata interpretazione fisica.

15.1 Punto materiale liberoNel caso del punto materiale libero, le velocita virtuali relative ad un istante t ∈ R e aduna configurazione P0 ∈ R3 comunque fissata sono vettori arbitrari di R3:

ν ∈ R3

e la condizione dei vincoli ideali diventa:

Φ · ν ≥ 0 ∀ν ∈ R3

Stefano Siboni 15


per cui le reazioni vincolari esplicabili dal sistema sono tutte e soltanto quelle identicamentenulle a tutti i tempi ed in ogni configurazione:

Φ = 0 .

Cio e conforme all’idea fisica che in un sistema costituito da un unico punto materiale nonvincolato i vincoli sono assenti e le reazioni vincolari non possono che risultare identica-mente e costantemente nulle. Il punto materiale libero costituisce sempre, pertanto, unsistema a vincoli ideali.

15.2 Punto materiale vincolato ad una curva regolareSi osservi preliminarmente che il caso della curva fissa e quello della curva mobile si trat-tano esattamente allo stesso modo, in quanto la definizione di moto virtuale impone che ivincoli vengano congelati all’istante di riferimento prescelto e che, di conseguenza, la curvavincolare sia comunque riguardata come fissa agli effetti della determinazione delle velocitavirtuali. Ad ogni modo, la parametrizzazione del sistema olonomo e della forma:

P (t, ξ) , ξ ∈ A,

con A intervallo reale. Assegnato un istante t ∈ R, le configurazioni compatibili con ivincoli olonomi a quell’istante saranno tutti e soli i punti del supporto della curva vincolareallo stesso istante. Se P e una di tali configurazioni, essa si esprimera nella forma:

P = P (t, ξ)

per un ξ ∈ A opportuno. Conviene esaminare separatamente le configurazioni ordinariee quelle di confine (se del caso).

Configurazioni ordinarieIl generico moto virtuale relativo al tempo t ∈ R e alla configurazione ordinaria P =P (t, ξ), ξ ∈ int(A), si rappresenta nella forma:

P (t) = P (t, ξ(t)) t ∈ I

essendo ξ(t) una qualsiasi funzione C2(I,A) dell’intervallo reale I contenente t, sottopostaalla condizione ξ(t) = ξ. La velocita virtuale corrispondente e allora data da:

ν =d

dtP (t)

∣∣∣∣t=t

=d

dtP (t, ξ(t))

∣∣∣∣t=t

=∂P

∂ξ(t, ξ) ξ(t)

e per l’arbitrarieta di ξ(t) ∈ R rappresenta un qualsiasi vettore tangente al supporto dellacurva P (t, ξ) nella configurazione P . La condizione dei vincoli ideali si riduce pertantoa:

Φ · ν ≥ 0

Stefano Siboni 16


ovvero, data l’invertibilita di tutte le velocita virtuali, alla corrispondente equazione

Φ · ν = 0

per qualsiasi vettore ν ∈ R3 tangente alla curva vincolare nella configurazione assegnata.Se ne conclude che le reazioni vincolari esplicabili dai vincoli all’istante t nellaconfigurazione P sono tutte e sole quelle ortogonali alla curva in quella config-urazione. Per quanto concerne le configurazioni ordinarie, quindi, assumere che il sistemasia a vincoli ideali equivale a richiedere che la curva sia liscia, ossia incapace di esercitareforze di attrito radente.

Configurazioni di confineAd un istante t ∈ R assegnato, le configurazioni di confine del sistema sono gli estremidella curva vincolare, purche compresi nell’immagine della parametrizzazione. Per fissarele idee, si assuma A = [a, b] e si consideri la configurazione di confine per ξ = a. I motivirtuali relativi all’istante t ∈ R e alla configurazione di confine P = P (t, a) sono definitida:

P (t) = P (t, ξ(t)) , ξ(t) ∈ A ∀ t ∈ [t, t + ε] , ε > 0 , ξ(t) = a ,

e le relative velocita virtuali risultano di conseguenza esprimibili nella forma:

ν =d

dtP (t)

∣∣∣∣t=t

=∂P

∂ξ(t, a)ξ(t) , ξ(t) ≥ 0 .

Le reazioni vincolari esplicabili dai vincoli nella configurazione considerata sono quinditutte e sole quelle soddisfacenti la relazione:

Φ · ν ≥ 0 ∀ν = α∂P

∂ξ(t, a) , α ≥ 0 ,

hanno cioe una arbitraria componente ortogonale alla curva in ξ = a e componente tan-genziale nulla o diretta secondo il supporto della curva. Si osservi che la componentetangenziale della reazione vincolare e orientata in modo da precludere al punto materialela possibilita di abbandonare la curva vincolare attraversando l’estremo ξ = a. Considera-

Stefano Siboni 17


zioni analoghe valgono per il secondo estremo ξ = b.

Un vincolo ideale e facilmente realizzabile assumendo la curva perfettamente liscia e munitadi pareti rigide ed impenetrabili in corrispondenza degli (eventuali) estremi. Vale la penadi sottolineare che la condizione dei vincoli ideali viene violata se si ammette che anche inun solo punto del supporto della curva si possano esercitare delle forze di attrito radente,ovvero che in corrispondenza di uno degli estremi le pareti delimitanti il supporto dellacurva possano esercitare una azione attrattiva sul punto materiale (si immagini, ad esempio,una parete cosparsa di una sostanza adesiva).

15.3 Punto materiale vincolato ad una superficie regolareIn questo caso la parametrizzazione della superficie regolare e del tipo:

P = P (t, u, v) , (t, u, v) ∈ R × A, A ⊆ R2 ,

senza la dipendenza esplicita dal tempo t qualora la superficie sia fissa. L’ipotesi di rego-larita si traduce nella condizione:

∂P

∂u(t, u, v) ∧ ∂P

∂v(t, u, v) = 0 ∀ (t, u, v) ∈ R × A,

la quale assicura l’esistenza del piano tangente alla superficie nella configurazione data,passante per P (t, u, v) e individuato dalle combinazioni lineari arbitrarie dei vettori linear-mente indipendenti:

∂P

∂u(t, u, v)

∂P

∂v(t, u, v) .

Configurazioni ordinarieI moti virtuali relativi all’istante t ∈ R e alla configurazione ordinaria

P = P (t, u, v) , (u, v) ∈ int(A) ,

sono dati dalla relazione:P (t) = P (t, u(t), v(t))

Stefano Siboni 18


con (u(t), v(t)) funzione C2 di un intervallo I in A, soddisfacente la condizione di passaggiot ∈ I, (u(t), v(t)) = (u, v). Le velocita virtuali corrispondenti diventano:

ν =d

dtP (t)

∣∣∣∣t=t

=∂P

∂u(t, u, v) u(t) +

∂P

∂v(t, u, v) v(t)

e data l’arbitrarieta delle derivate u(t), v(t), la condizione per le reazioni vincolari espli-cabili diventa:

Φ ·(

∂P

∂u(t, u, v)α +

∂P

∂v(t, u, v)β

)≥ 0 ∀ (α, β) ∈ R

2

e quindi, per l’evidente invertibilita di tutte le velocita virtuali,

Φ · ∂P

∂u(t, u, v)α + Φ · ∂P

∂v(t, u, v)β = 0 ∀ (α, β) ∈ R

2

dalla quale si deduce la condizione equivalente:

∂P

∂u(t, u, v) · Φ = 0

∂P

∂v(t, u, v) · Φ = 0

che esprime l’ortogonalita delle reazioni vincolari esplicabili rispetto al piano tangentealla superficie nella configurazione considerata. In definitiva, le reazioni vincolari chepossono essere esercitate dal sistema all’istante t ∈ R in una configurazione ordinariaP = P (t, u, v) sono tutte e sole quelle normali alla superficie in tale configurazione.La condizione dei vincoli ideali e verificata se e soltanto se la superficie e priva di attrito.

Configurazioni di confineSi supponga, per fissare le idee, che il dominio A di definizione della parametrizzazionesia chiuso e regolare. Sia (u, v) un punto di frontiera, corrispondente alla configurazionedi confine P = P (t, u, v) all’istante t ∈ R. Trattandosi di punto regolare, in P edefinito non soltanto il piano tangente T

Σ(P ) alla superficie vincolare Σ, ma anche la

tangente t∂Σ

(P ) al bordo di questa. I moti virtuali sono individuati da parametrizzazionidella forma:

P (t, u(t), v(t))

Stefano Siboni 19


con u(t) e v(t) funzioni C2 dell’intervallo [t, t + ε], ε > 0, a valori in A e u(t) = u,v(t) = v. Le velocita virtuali corrispondenti sono tutti e soli i vettori tangenti allasuperficie in P , contenuti nel semipiano individuato dalla retta tangente in P al contornodella superficie e rivolto verso il supporto di questa. Le reazioni vincolari esplicabili in P

all’istante t possono quindi avere componente arbitraria secondo la normale alla superficiein quel punto, mentre la componente tangente deve risultare ortogonale alla retta tangenteal bordo della superficie in quello stesso punto e diretta secondo il supporto della superficie.

Si osservi che nell’ipotesi dei vincoli ideali, le reazioni vincolari agenti nelle configurazionidi confine sono tese ad impedire l’attraversamento del bordo da parte del punto vincolato,ma non ad ostacolare lo scivolamento di questo lungo il bordo, o a maggior ragione versol’interno della superficie. L’andamento tipico dei moti virtuali relativi ad una configu-razione ordinaria e ad una configurazione di confine e illustrato nella figura seguente.

15.4 Sistema rigido liberoIn assenza di vincoli diversi da quelli di semplice rigidita, il sistema rigido libero si puoassumere un sistema scleronomo a vincoli bilaterali e a 6 gradi di liberta. Il genericoatto di moto virtuale relativo ad un istante arbitrario t ∈ R e ad una configurazione P

compatibili con i vincoli a quell’istante si identifica con il generico atto di moto rigido,relativamente a quella stessa configurazione; le velocita virtuali dei singoli punti Pi si

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scriveranno nella forma:

νi = νO + ω ∧ (Pi − O) ∀ i = 1, . . . , N (15.1)

per νO ∈ R3 e ω ∈ R3 vettori arbitrari. Data l’arbitrarieta dei vettori νO e ω, gli atti dimoto virtuali sono tutti invertibili. Il principio delle reazioni vincolari impone allora che lereazioni vincolari Φi esplicabili dai vincoli sul punto Pi all’istante t e nella configurazioneP dati, siano tutte e soltanto quelle la cui la potenza virtuale risulta non negativa perogni atto di moto virtuale relativo alla coppia (t, P ):

N∑i=1

νi · Φi ≥ 0 ⇐⇒N∑

i=1

[νO + ω ∧ (Pi − O)] · Φi ≥ 0 ∀νO, ω ∈ R3

ossia, separando le sommatorie e applicando la proprieta di circolarita del prodotto misto:

νO ·N∑

i=1

Φi + ω ·N∑

i=1

(Pi − O) ∧ Φi ≥ 0 ∀νO, ω ∈ R3.

L’arbitrarieta di ν e ω, ovvero l’invertibilita delle velocita virtuali, consente di porre lacondizione precedente nella forma equivalente:

νO ·N∑

i=1

Φi + ω ·N∑

i=1

(Pi − O) ∧ Φi = 0 ∀νO, ω ∈ R3

ossia:νO · R φ + ω · M φ

O = 0 ∀νO, ω ∈ R3 (15.2)

in cui si sono indicati con:

R φ =N∑

i=1

ΦiM φ

O =N∑

i=1

(Pi − O) ∧ Φi

rispettivamente il risultante ed il momento risultante in O delle reazioni vincolari. Dallarelazione (15.2), posto νO = R φ e ω = 0 si deduce:

|R φ|2 = 0 ⇐⇒ R φ = 0

e analogamente, ponendo ω = M φO nell’equazione residua:

| M φO |2 = 0 ⇐⇒ M φ

O = 0 .

La condizione affinche il sistema rigido libero possa considerarsi un sistemaa vincoli ideali e che quindi le reazioni esplicabili siano tutte e sole quelle arisultante e momento risultante nulli:

R φ = 0 M φO = 0

Stefano Siboni 21


rispetto ad un polo O che puo scegliersi a piacere: un sistema rigido cosiffatto si dice corporigido perfetto.E importante sottolineare come, trattandosi di sistema rigido libero, le reazioni vincolariesterne saranno identicamente nulle; le sole reazioni vincolari agenti sul sistema avrannonatura interna e l’annullarsi del loro risultante e momento risultante sara assicurato dalprincipio di azione e reazione

R φ = R φ,int = 0 M φO = M φ,int

O = 0 .

Per contro, il fatto che il sistema rigido sia capace di esercitare tutte le reazioni vincolariinterne con risultante e momento risultante nulli non e una conseguenza banale del principiodi azione e reazione e costituisce, in generale, soltanto un’utile approssimazione. Per megliocomprendere il significato di tale condizione, conviene anticipare un risultato che verrastabilito rigorosamente nel seguito a proposito degli equilibri; si provera infatti che perun sistema rigido libero, nell’ipotesi dei vincoli ideali, condizione necessaria e sufficienteperche una configurazione P sia di equilibrio e che risultante e momento risultante dellesollecitazioni attive, calcolate ad ogni istante t ∈ R, nella configurazione data e con atto dimoto nullo, siano costantemente nulli. Per un qualsivoglia sistema di sollecitazioni attiveFi(t, P , 0), con risultante e momento risultante nulli a tutti i tempi

N∑i=1

Fi(t, P , 0) = 0N∑

i=1

(Pi − O) ∧ Fi(t, P , 0) = 0 , ∀ t ∈ R ,

la configurazione e di equilibrio. Cio significa che su ogni punto materiale Pi del sistemai vincoli sono in grado di esercitare una reazione vincolare Φi capace di equilibrare lesollecitazioni attive conformemente al secondo principio della dinamica:

Φi = −Fi(t, P , 0)

quale che sia l’intensita di tali sollecitazioni. Se ad esempio il sistema di sollecitazioniFi(t, P , 0) fosse intensificato di un fattore 103, si perverrebbe ancora ad un sistema dirisultante e momento risultante nulli che dovrebbe assicurare comunque l’equilibrio, mentrei vincoli dovrebbero essere in grado di sviluppare le reazioni vincolari necessarie allo scopo.Nella realta, come ben noto, in presenza di sollecitazioni troppo intense il modello delsistema rigido ideale mostra i propri limiti: le sollecitazioni applicate determinano delledeformazioni, che possono diventare irreversibili e tradursi in fenomeni di snervamento,insorgenza e propagazione di cricche, frattura del solido.

15.5 Sistema rigido con punto fissoUn solido con punto fisso O, se non soggetto ad ulteriori vincoli, puo sempre assumersi unsistema scleronomo a vincoli bilaterali con 3 gradi di liberta. Il piu generale atto di motovirtuale potra scriversi sempre nella forma (15.1), con l’avvertenza di identificare O conil punto fisso e di richiedere che si abbia νO = 0. Le velocita virtuali dei singoli punti Pi

saranno percio:νi = ω ∧ (Pi − O) i = 1, . . . , N , ∀ ω ∈ R

3

Stefano Siboni 22


e la condizione dei vincoli ideali diventera:

N∑i=1

ω ∧ (Pi −O) · Φi ≥ 0 ∀ ω ∈ R3

ossia:ω · M φ

O = 0 ∀ ω ∈ R3 .

Le reazioni vincolari esplicabili dai vincoli saranno tutte e sole quelle con momento risul-tante nullo rispetto al punto fisso:

M φO = 0 . (15.3)

La condizione che il solido con punto fisso sia un sistema a vincoli ideali e quindi equiva-lente ad assumere il punto fisso privo di attrito. Usualmente la condizione si assumeverificata distinguendo reazioni vincolari interne ed esterne: per le prime si richiede che siaesplicabile dai vincoli qualunque sistema di reazioni agenti sul corpo con risultante e mo-mento risultante nulli (solido rigido perfetto), mentre per le seconde si assume ammissibilequalsiasi sistema di vettori applicati di momento nullo rispetto al polo fisso O.

15.6 Sistema rigido con asse fissoE sempre possibile identificare il solido con asse fisso con un sistema scleronomo a ungrado di liberta, a vincoli bilaterali se non sono presenti ulteriori limitazioni al moto —tipo ostacoli che impediscano al solido di compiere una rotazione arbitraria attorno all’assefisso. La potenza virtuale delle reazioni vincolari, per un arbitrario atto di moto virtualerelativo ad una data configurazione, si esprime sempre per mezzo della (15.2), avendo curapero di identificare O con un punto dell’asse fisso e ricordando che la velocita angolare delmoto virtuale con asse fisso e sempre diretta secondo l’asse. Se n e il versore associatoall’asse di rotazione, si ha dunque:

νO = 0 ω = α n , α ∈ R ,

e la condizione dei vincoli ideali diventa:

α MO · n = 0 ∀α ∈ R .

Le reazioni vincolari esplicabili dal sistema saranno tutte e sole quelle il cui momentorisultante rispetto all’asse fisso e identicamente nullo:

MO · n = 0 , (15.4)

condizione equivalente ad assumere l’asse fisso privo di attrito. Anche in questo caso,nessuna condizione sulle reazioni vincolari interne e imposta se non quella di avere risul-tante e momento risultante uguali a zero, secondo la nozione di solido rigido perfetto; lereazioni vincolari esterne potranno costituire cosı un qualsiasi sistema di vettori applicaticon momento risultante nullo rispetto all’asse fisso.

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15.7 Sistema rigido con asse scorrevole su se stessoIl sistema si puo intendere scleronomo a due gradi di liberta. L’atto di moto virtualerelativo ad una data configurazione si scrive nella forma usuale:

νi = νO + ω ∧ (Pi − O) i = 1, . . . , N

con le condizioni:

νO = α n , α ∈ R ω = β n , β ∈ R

essendo O un punto del solido appartenente all’asse scorrevole e n il versore associato atale asse. La condizione (15.2) dei vincoli ideali diventa allora:

α n · R φ + β n · M φO = 0 ∀α, β ∈ R

e si riduce alle condizioni:

n · R φ = 0 n · M φO = 0

che specificano tutte le reazioni vincolari che i vincoli del sistema possono esercitare in con-dizioni ideali. Le condizioni precedenti devono intendersi imposte sulle reazioni vincolariesterne, mentre quelle interne possono consistere in qualsiasi sistema di vettori applicaticon risultante e momento risultante nulli.


Indicato con O il punto del solido che e vincolato a rimanere sulla curva regolare γ, l’attodi moto virtuale relativo ad una configurazione arbitraria si scrive nella forma:

νi = νO + ω ∧ (Pi − O) i = 1, . . . , N

con ω ∈ R3 arbitrario e νO vettore tangente alla curva γ in O. Se il sistema e a vincolibilaterali, tutti gli atti di moto virtuali sono invertibili e la condizione dei vincoli idealidiventa percio:

νO · R φ + ω · M φO = 0 ∀ ω ∈ R

3 , ∀νO tangente a γ in O

e si riduce a richiedere che si abbia M φO = 0 e che il risultante R φ delle reazioni vincolari

sia ortogonale alla curva γ in O. Tali requisiti competono alle sole reazioni esterne, poichequelle interne possono consistere in qualsiasi sistema di vettori applicati con risultante emomento risultante nulli.

Stefano Siboni 24



Sia O il punto del solido che e vincolato a rimanere sulla superficie regolare Σ, fissa omobile. Ad un dato istante t ∈ R e per una certa configurazione P del sistema, ungenerico atto di moto virtuale del sistema e dato dall’espressione:

νi = νO + ω ∧ (Pi − O) i = 1, . . . , N

nella quale, se i vincoli sono bilaterali, ω e un vettore arbitrario di R3 e νO un qualsiasivettore tangente alla superficie Σ in O. Dalla condizione dei vincoli ideali si deduce percio:

νO · R φ + ω · M φO = 0 ∀ ω ∈ R

3 , ∀νO tangente a Σ in O

e quindi la condizione necessaria e sufficiente perche un sistema di reazioni vincolari siaeffettivamente esplicabile in condizioni ideali:

M φO = 0 R φ normale alla superficie Σ nel punto O.

Al solito, le condizioni predette devono essere soddisfatte dalle sole reazioni vincolari e-sterne, mentre si intende esplicabile dai vincoli qualsiasi sistema di reazioni interne conrisultante e momento risultante nulli.

16. Moti naturali di un sistema olonomo a vincoliideali

La condizione che un sistema olonomo sia a vincoli ideali impone delle restrizioni ai motipossibili che il sistema puo effettivamente seguire in condizioni dinamiche. La ragione edovuta al fatto che per un arbitrario moto possibile P (t) = P (t, q(t)), t ∈ I, il postulatodelle reazioni vincolari consente sempre di calcolare le reazioni vincolari ad ogni istante eper ogni punto:

Φi(t) = miPi(t) − Fi[t, P (t), P (t)] , i = 1, . . . , N , t ∈ I , (16.1)

ma dette reazioni non necessariamente soddisfano il principio delle reazioni vin-colari.Per un sistema a vincoli ideali saranno dinamicamente ammissibili soltanto quei parti-colari moti possibili per i quali risulti verificato il principio delle reazioni vincolari, si abbiacioe, ∀ t ∈ I:

N∑i=1

Φi(t) · νi ≥ 0 (16.2)

per ogni atto di moto virtuale ν = (ν1, . . . , νN ) relativo alla coppia (t, P (t)). Questiparticolari moti possibili si definiscono moti naturali del sistema.

Stefano Siboni 25


I moti naturali di un sistema olonomo a vincoli ideali si possono intendere come queiparticolari moti possibili che si accompagnano a reazioni vincolari effettivamente esplicabilidal sistema, essendo questo a vincoli ideali.

Mentre i moti possibili rispettano i vincoli olonomi ad ogni istante e quindi possono in-tendersi soltanto cinematicamente ammissibili, i moti naturali sono consentiti anchedinamicamente, considerate le sollecitazioni attive agenti sul sistema e le reazioni vin-colari che questo e in condizione di esercitare in quanto a vincoli ideali. Le reazioni inquestione sono quelle permesse dal principio delle reazioni vincolari.

17. Relazione simbolica della dinamicaLa relazione simbolica della dinamica caratterizza i moti naturali, fra tutti i moti possibili,senza fare esplicito riferimento alle reazioni vincolari. Si ricava sostituendo l’espressione(16.1) nella condizione (16.2) e risulta percio esprimibile nella forma seguente.

P (t) = P (t, q(t)), t ∈ I intervallo reale, e un moto naturale del sistema se e soltanto se∀ t ∈ I vale

N∑i=1

miPi(t) − Fi[t, P (t), P (t)]

· νi ≥ 0 (17.1)

per ogni atto di moto virtuale ν = (ν1, . . . , νN ) relativo alla coppia (t, P (t)).

La relazione simbolica caratterizza i moti naturali del sistema nel senso che specifica tuttee sole le possibili scelte della funzione q(t) che corrispondono ad un moto naturale.Si ricorda che una generica q(t) individua un generico moto possibile del sistema, nonnecessariamente naturale.

Poiche tutti gli atti di moto virtuali relativi alla coppia (t, P (t)) possono essere espressinella forma:

ν =n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q(t)) (17.2)

per α1, . . . , αn ∈ R opportuni, la relazione simbolica puo anche porsi in forma lagrangianacon una semplice sostituzione:

N∑i=1


·

n∑h=1

αh∂Pi

∂qh(t, q(t)) ≥ 0

e scambiando l’ordine delle sommatorie:

n∑h=1

αh

N∑i=1


· ∂Pi

∂qh(t, q(t)) ≥ 0 .

Basta allora introdurre i simboli:

Mh =N∑

i=1

miPi ·∂Pi

∂qh(t, q) h = 1, . . . , n (17.3)

Stefano Siboni 26


e le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive:

Qh =N∑

i=1

Fi(t, P, P ) · ∂Pi

∂qh(t, q) h = 1, . . . , n (17.4)

per ottenere la relazione simbolica nella forma lagrangiana richiesta:

n∑h=1

αh(Mh − Qh) ≥ 0 .

In questa forma il moto possibile P (t) = P (t, q(t)), t ∈ I, viene individuato come motonaturale del sistema se e soltanto se ∀ t ∈ I si ha che

n∑h=1

αh(Mh − Qh) ≥ 0 (17.5)

per tutti gli α1, . . . , αn ∈ R che specificano tramite la (17.2) un atto di moto virtuale relativoalla coppia (t, P (t)).

18. Equazione simbolica della dinamicaSi e gia sottolineato come nelle configurazioni ordinarie tutti gli atti di moto virtuali sonoinvertibili. Ne segue che nella relazione simbolica della dinamica e possibile sostituire ladiseguaglianza con una eguaglianza. Nell’ipotesi che il moto naturale P (t) = P (t, q(t)), t ∈I, sia individuato da una funzione q(t) con immagine in int(A) e quindi coinvolga soltantoconfigurazioni ordinarie del sistema, la (17.1) si riduce ad una equazione simbolica delladinamica, che caratterizza il moto in questione come naturale.Si avra pertanto che il moto P (t) = P (t, q(t)), q(t) ∈ int(A), t ∈ I, e naturale se e soltantose ∀ t ∈ I risulta

N∑i=1


· νi = 0 (18.1)

per ogni atto di moto virtuale ν = (ν1, . . . , νN ) relativo alla coppia (t, P (t)).

La stessa equazione pue essere presentata in forma lagrangiana, come gia visto per larelazione simbolica, ricordando che per le configurazioni ordinarie i coefficienti α1, . . . , αn

sono completamente arbitrari. Si ha cosı che condizione necessaria e sufficiente affinche ilmoto P (t) = P (t, q(t)), q(t) ∈ int(A), t ∈ I, sia naturale e che ∀ t ∈ I e ∀α1, . . . , αn ∈ R

risultin∑

h=1

αh(Mh − Qh) = 0 . (18.2)

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19. Equazioni di LagrangeL’equazione simbolica della dinamica (18.1), che caratterizza i moti naturali costituiti dasole configurazioni ordinarie, e equivalente alle equazioni di Lagrange:

Mh = Qh h = 1, . . . , n . (19.1)

E sufficiente osservare, in primo luogo, che se le n equazioni (19.1) sono soddisfatte allorarisulta banalmente verificata anche l’equazione simbolica (18.2). Viceversa, l’arbitrarietadei coefficienti αh nella (18.2) consente di porre per esempio:

(α1, α2, . . . , αn) = (1, 0, . . . , 0)

implicando cosı:n∑

h=1

αh(Mh − Qh) = M1 − Q1 = 0 M1 = Q1 .

In modo analogo, ponendo a zero tutti i coefficienti αh salvo uno, si perviene alle restantiequazioni di Lagrange:

Mh = Qh h = 1, . . . , n .

Le equazioni di Lagrange sono le equazioni pure del moto del sistema, nel senso cheesse non contengono alcuna traccia delle reazioni vincolari — rimosse grazie alla condizionedei vincoli ideali. Esse caratterizzano tutti i moti naturali del sistema che coinvolgono lesole configurazioni ordinarie.

Giova sottolineare che qualora un moto naturale transiti per una qualche configurazionedi confine, tale moto non e caratterizzabile mediante le equazioni di Lagrange,ma soltanto in termini della relazione simbolica (17.1) o (17.5). In tal caso infatti, datala generale non invertibilita degli atti di moto virtuali, non e lecito sostituire la relazionesimbolica della dinamica con la corrispondente equazione. In altri termini, le equazioni diLagrange non sono applicabili in corrispondenza delle configurazioni di confine.

La natura delle equazioni di Lagrange e evidente alla luce delle espressioni (17.3) e (17.4).Poiche infatti P = P (t, q), le velocita ed accelerazioni istantanee dei singoli punti sonofunzioni di t, q, q le prime e di t, q, q, q le seconde:

Pi =∂Pi

∂t(t, q) +

n∑h=1

∂Pi

∂qh(t, q) qh

Pi =dPi

dt=

n∑h=1

∂Pi

∂qh(t, q) qh + termini in t, q e q

e di conseguenza i termini Mh sono funzioni del tempo, dei parametri lagrangiani q e delleloro derivate prime e seconde:

Mh =N∑

i=1

miPi ·∂Pi

∂qh(t, q) =

N∑i=1

mi

n∑h=1

∂Pi

∂qh(t, q) qh · ∂Pi

∂qh(t, q) + termini in t, q e q

Stefano Siboni 28


mentre le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive sono funzioni note di t, q, q:

Qh =N∑

i=1

Fi(t, P, P ) · ∂Pi

∂qh(t, q)

per via della dipendenza delle forze attive da tempo t, configurazione P e atto di moto P .Le equazioni di Lagrange del moto si presentano quindi come un sistema di nequazioni differenziali ordinarie del secondo ordine nelle n funzioni incogniteq = (q1, . . . , qn).

Le (19.1) non costituiscono la forma standard delle equazioni di Lagrange del moto.Di solito si preferisce riesprimerle in una forma equivalente ma piu comoda, per mezzodell’energia cinetica del sistema e in termini del cosiddetto binomio di Lagrange.

Questa scelta trova giustificazione nel fatto che, volendo estendere l’uso delle equazionidi Lagrange anche a sistemi costituiti da un numero finito di parti rigide continue,oltre che di punti materiali, il calcolo diretto dei termini Mh risulterebbe estremamentelaborioso e richiederebbe lo sviluppo di procedure di calcolo apposite, procedure che invecesono gia disponibili e standard per il calcolo dell’energia cinetica di corpi rigidi continuiqualsivoglia — solidi, superfici, curve.

20. Energia cineticaL’energia cinetica del sistema olonomo di parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈ R × A, edefinita come la somma delle energie cinetiche di tutti i punti materiali costituenti, ossia:

T =12

N∑i=1

miP2i .

Una espressione piu esplicita si deduce sostituendo a Pi la relazione:

Pi =∂Pi

∂t+

n∑h=1

∂Pi

∂qhqh

la quale porge:

T =12

N∑i=1

mi

(∂Pi

∂t+

n∑h=1

∂Pi

∂qhqh

)2

=

=12

N∑i=1

mi

(∂Pi

∂t+

n∑h=1

∂Pi

∂qhqh

)·(

∂Pi

∂t+

n∑k=1

∂Pi

∂qkqk

)=

=12

n∑h,k=1

ahk(t, q)qh qk +n∑

h=1

bh(t, q)qh + T0(t, q)

Stefano Siboni 29


essendosi posto:

ahk(t, q) =N∑

i=1

mi∂Pi

∂qh(t, q) · ∂Pi

∂qk(t, q) ∀h, k = 1, . . . , n

bh(t, q) =N∑

i=1

mi∂Pi

∂qh(t, q) · ∂Pi

∂t(t, q) ∀h = 1, . . . , n

T0 =12

N∑i=1

mi∂Pi

∂t(t, q) · ∂Pi

∂t(t, q) .

L’energia cinetica puo quindi scriversi come la somma di tre termini:

T2 =12

n∑h,k=1

ahk(t, q)qh qk

T1 =n∑

h=1

bh(t, q)qh

T0 = T0(t, q) ,

rispettivamente quadratico, lineare e costante nelle velocita generalizzate q.

E importante sottolineare che ∀ (t, q) ∈ R×A fissato i coefficienti ahk costituiscono gli ele-menti di una matrice n×n [A], reale, simmetrica e definita positiva. Il carattere realedegli ahk e evidente dalla definizione, come pure immediata e la verifica della simmetria:

ahk =N∑

i=1

mi∂Pi

∂qh· ∂Pi

∂qk=

N∑i=1

mi∂Pi

∂qk· ∂Pi

∂qh= akh ∀h, k = 1, . . . , n

grazie alla proprieta commutativa del prodotto scalare. Quanto all’essere [A] una matricedefinita positiva, si tratta di provare che(o)

uT [A]u =n∑

h,k=1

ahkuhuk ≥ 0 ∀u = (u1 . . . un)T ∈ Rn

e cheuT [A]u = 0 =⇒ u = 0 .

La forma quadratica uT [A]u si calcola sostituendo l’espressione esplicita dei coefficientiahk:

uT [A]u =n∑

h,k=1

ahkuhuk =n∑

h,k=1

N∑i=1

mi∂Pi

∂qh· ∂Pi

∂qkuhuk =

=N∑

i=1

mi

n∑h=1

∂Pi

∂qhuh ·

n∑k=1

∂Pi

∂qkuk =

N∑i=1

mi

∣∣∣∣n∑

h=1

∂Pi

∂qhuh

∣∣∣∣2

≥ 0 ∀u ∈ Rn

(o)Si conviene di indicare con uT la trasposta di una generica matrice u

Stefano Siboni 30


dal che si stabilisce il suo carattere semidefinito positivo. Imponendo poi l’annullarsi dellaforma quadratica, si perviene all’equazione

N∑i=1

mi

∣∣∣∣n∑

h=1

∂Pi

∂qhuh

∣∣∣∣2

= 0

che, causa i valori positivi delle masse e la definizione del modulo vettoriale, equivale alsistema di equazioni in u:

n∑h=1

∂Pi

∂qhuh = 0 i = 1, . . . , N

peraltro compendiabile nell’unica equazione vettoriale:

n∑h=1

∂P

∂qhuh = 0 .

La definizione di sistema olonomo assicura tuttavia la lineare indipendenza, per qualsiasicoppia (t, q) ∈ R ×A, delle derivate prime:

∂P

∂q1(t, q) ,

∂P

∂q2(t, q) , . . . . . . ,

∂P

∂qn(t, q)

dal che si conclude l’annullarsi di tutti i coefficienti della combinazione lineare:

u1 = u2 = . . . = un = 0

e dunque del vettore u. La dimostrazione e completa.

In conclusione, il termine T2 dell’energia cinetica di un sistema olonomo e sempre identifi-cabile come una forma quadratica definita positiva delle velocita generalizzate q,con coefficienti funzioni di (t, q).

21. Binomio di LagrangeL’energia cinetica T consente di riesprimere i primi membri Mh delle equazioni di Lagrangein una forma particolarmente comoda per le applicazioni. A questo scopo, si conviene ditrattare le variabili t, q e q come indipendenti. In virtu di tale convenzione, si hal’identita:

∂Pi

∂qh=

∂

∂qh

[∂Pi

∂t(t, q) +

n∑k=1

∂Pi

∂qk(t, q) qk

]

e dovendo riguardare i termini in (t, q) come costanti nella derivazione parziale rispetto aqk:

∂Pi

∂qh= 0 +

n∑k=1

∂Pi

∂qk(t, q)

∂qk

∂qh=

n∑k=1

∂Pi

∂qk(t, q) δkh =

∂Pi

∂qh. (21.1)

Stefano Siboni 31


In modo analogo si ricava la relazione:

d

dt

(∂Pi

∂qh

)=

∂Pi

∂qh(21.2)

per mezzo dell’identita:

d

dt

(∂Pi

∂qh

)=

∂

∂t

(∂Pi

∂qh

)+

n∑k=1

∂

∂qk

(∂Pi

∂qh

)qk =

∂2Pi

∂t∂qh+

n∑k=1

∂2Pi

∂qk∂qhqk

che grazie al lemma di Schwartz si riduce a:

d

dt

(∂Pi

∂qh

)=

∂2Pi

∂qh∂t+

n∑k=1

∂2Pi

∂qh∂qkqk =

∂

∂qh

[∂Pi

∂t+

n∑k=1

∂Pi

∂qkqk

]=

∂Pi

∂qh

in quanto la parametrizzazione del sistema olonomo e, per definizione, di classe C2 nelproprio dominio.

Premesso questo, dall’espressione dell’energia cinetica si ha:

∂T

∂qh=

∂

∂qh

(12

N∑i=1

miP2i

)=

N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh

e in forza dell’identita (21.1):

N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh,

per cui una derivazione rispetto al tempo porge:

d

dt

( ∂T

∂qh

)=

d

dt

[ N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh

]=

N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh+

N∑i=1

miPi ·d

dt

(∂Pi

∂qh

)=

= Mh +N∑

i=1

miPi ·∂Pi

∂qh= Mh +

∂

∂qh

[12

N∑i=1

miP2i

]= Mh +

∂T

∂qh

essendosi fatto uso della definizione (17.3) di Mh e della relazione (21.2). Si perviene cosıalla seguente espressione alternativa per il primo membro Mh delle equazioni di Lagrangein termini dell’energia cinetica:

Mh =d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qhh = 1, . . . , n .

L’espressione e nota come binomio di Lagrange.

Stefano Siboni 32


22. Forma standard delle equazioni di LagrangeLa forma standard delle equazioni di Lagrange viene ottenuta sostituendo ai termini Mh icorrispondenti binomi di Lagrange:

d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh= Qh(t, q, q) h = 1, . . . , n . (22.1)

23. Riduzione a forma normale delle equazionidel moto di Lagrange

Le equazioni di Lagrange costituiscono un sistema di n equazioni differenziali del secondoordine nelle funzioni incognite q1, . . . , qn. E molto facile scriverle come un sistema delprimo ordine, ad esempio introducendo le funzioni incognite ausiliarie:

uh = qh h = 1, . . . , n

e riscrivendo le equazioni lagrangiane nella forma:

d

dt

( ∂T

∂uh

)− ∂T

∂qh= Qh(t, q, u) h = 1, . . . , n .

Le equazioni del moto del sistema diventano allora

qh = uh

d

dt

( ∂T

∂uh

)− ∂T

∂qh= Qh(t, q, u) h = 1, . . . , n

(23.1)

e costituiscono un sistema di 2n equazioni differenziali del primo ordine nelle 2n variabili(q, u) ∈ int(A) × Rn — si intende che le velocita generalizzate possano assumere qualsiasivalore reale, visto che in meccanica classica non esistono limiti al modulo della velocita.

Una notazione alternativa e piu compatta per il sistema (23.1) e quella vettoriale:

q = u

d

dt

(∂T

∂u

)− ∂T

∂q= Q(t, q, u)

in cui le derivate parziali indicano i relativi gradienti:

∂T

∂u=

(∂T

∂u1,

∂T

∂u2, . . . . . . ,

∂T

∂un

)

∂T

∂q=

(∂T

∂q1,

∂T

∂q2, . . . . . . ,

∂T

∂qn

)

Stefano Siboni 33


e Q e il vettore delle componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive:

Q = (Q1 , Q2 , . . . . . . , Qn) .

La riducibilita delle equazioni di Lagrange — del tipo (23.1) ad esempio — alla formanormale consiste nel poter esprimere le derivate prime delle funzioni incognite (q, u) infunzione della variabile indipendente t e delle (q, u) stesse. Le prime n equazioni, q = u,sono gia in forma normale, per cui il problema si pone soltanto per le altre n — le equazionilagrangiane in senso stretto. Vale, in effetti,

d

dt

(∂T

∂u

)= Q +

∂T

∂q

e posto T = T2 + T1 + T0:

d

dt

(∂T2

∂u

)+

d

dt

(∂T1

∂u

)= Q +

∂T

∂q

ossia:d

dt

(∂T2

∂u

)= Q +

∂T

∂q− d

dt

(∂T1

∂u

).

Un semplice calcolo mostra allora che:

d

dt

(∂T2

∂u

)= [A](t, q)u + termini in t, q, u

mentre i termini a secondo membro sono funzioni di (t, q, u). Le equazioni di Lagrangepossono percio scriversi nella forma:

[A](t, q)u = X (t, q, u)

e sono sempre riconducibili alla forma normale:

u = [A](t, q)−1X (t, q, u)

per il fatto che la matrice [A](t, q) e reale simmetrica definita positiva, i suoi autovalorisono percio tutti reali e positivi, e di conseguenza essa ammette sempre inversa [A](t, q)−1.

La possibilita di porre le equazioni di Lagrange in forma normale e estremamente impor-tante dal punto di vista delle applicazioni. Sotto ipotesi ragionevoli circa la regolaritadelle componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive e dunque dei secondi membri delleequazioni normali:

q = uu = [A](t, q)−1X (t, q, u) (t, q, u) ∈ R × int(A) × R

n ,

e infatti garantita la validita del teorema di esistenza e unicita delle soluzioni mas-simali — o complete — per ogni problema di Cauchy.

Stefano Siboni 34


Se la funzione (t, q, u) → [A](t, q)−1X (t, q, u) e ad esempio di classe C1 nell’aperto R ×int(A) × Rn, per ogni condizione iniziale (t0, q0, u0) ∈ R × int(A) × Rn il problema diCauchy:

q = uu = [A](t, q)−1X (t, q, u)q(t0) = q0

u(t0) = u0

ammette una ed una sola soluzione completa, definita su un intervallo aperto. Perun sistema olonomo a vincoli ideali, sia pure limitatamente alle configurazioni ordinarie,assegnare la condizione iniziale (t0, q0, u0) significa specificare completamente il compor-tamento dinamico del sistema, nel passato — t ≤ t0 — come nel futuro — t ≥ t0. Inquesto senso si parla di determinismo della meccanica classica, nella formulazionelagrangiana.

Si osserva, per inciso, che assegnare il dato iniziale (t0, q0, u0) significa imporre i valoriiniziali delle posizioni e delle velocita istantanee di tutti i punti del sistema, vale a dire laconfigurazione e l’atto di moto:

P0 = P (t0, q0) P0 =∂P

∂t(t0, q0) +

n∑h=1

∂P

∂qh(t0, q0) (u0)h .

Esistenza ed unicita della soluzione massimale consentono di ricorrere abbastanza sere-namente ad algoritmi numerici per la soluzione del problema di Cauchy, in quanto talialgoritmi andranno ad approssimare una soluzione la cui esistenza ed unicita sono a prioricerte.

A cio si aggiunga che tutti i piu comuni algoritmi numerici per l’integrazione delle equazionidifferenziali ordinarie presuppongono la stesura in forma normale del sistema diequazioni.

24. Quiete di un sistema olonomoData una configurazione P0 di un sistema di punti materiali, si definisce quiete in P0 ilmoto P (t) che vede il sistema mantenersi costantemente, per tutti i tempi, nella configu-razione assegnata, ossia:

P (t) = P0 ∀ t ∈ R .

Il sussistere di stati di quiete in un sistema olonomo e una questione cinematica non banale,in quanto lo stato di quiete deve risultare compatibile con i vincoli olonomi ad ogni istantet ∈ R e deve dunque costituire un moto possibile per il sistema.Per un sistema reonomo cio significa che deve esistere una funzione q(t) ∈ C2(R, A) taleche:

P (t, q(t)) = P0 ∀ t ∈ R ,

ma l’esistenza di una funzione cosiffatta e in generale tutt’altro che ovvia. Si possonoimmaginare numerosi esempi di sistemi reonomi che non ammettono stati di quiete, non

Stefano Siboni 35


risultando possibile bloccare la configurazione del sistema e allo stesso tempo soddisfare ivincoli olonomi ad ogni stante t.

Si osservi, in particolare, come non ci si possa aspettare di realizzare uno stato di quietedel sistema reonomo semplicemente fissando il valore q0 ∈ A dei parametri lagrangiani:

q(t) = q0 , costante ∀ t ∈ R

in quanto la dipendenza esplicita dal tempo della parametrizzazione P (t, q) comporta co-munque, di regola, una variazione nel tempo della configurazione:

P (t) = P (t, q0) = costante ∀ t ∈ R .

Il problema non si pone, viceversa, per i sistemi scleronomi. In tal caso infatti la parame-trizzazione P (q) non dipende dal tempo e per specificare uno stato di quiete e sufficientebloccare la funzione q(t) ad un qualsiasi valore costante q0 ∈ A:

P (t) = P (q(t)) = P (q0) = P0 , costante ∀ t ∈ R .

Se ne conclude che per i sistemi scleronomi e possibile considerare uno stato diquiete in ogni configurazione P0, mentre nel caso reonomo gli stati di quieterappresentano soltanto una fortunata eccezione e possono non sussistere.

25. Equilibrio di un sistema olonomoUna configurazione P0 di un sistema di punti materiali si dice un equilibrio per il sistemase la quiete in P0:

P (t) = P0 ∀ t ∈ R

costituisce un moto naturale del sistema nell’accezione piu generale del termine, vale adire un moto compatibile con i vincoli al quale corrispondono reazioni vincolari del tipoeffettivamente esplicabile dal sistema.

Nel caso di un sistema olonomo a vincoli ideali, si avra pertanto che la configurazioneP0 e un equilibrio se e soltanto se

(i) la quiete in P0 costituisce un moto possibile, esprimibile cioe nella forma

P (t, q(t)) = P0 ∀ t ∈ R

per una opportuna scelta della funzione q(t) ∈ C2(R, A);

(ii) le reazioni vincolari associate a tale stato di quiete soddisfano il principio delle reazionivincolari ad ogni istante t ∈ R.

In altri termini, la configurazione P0 e di equilibrio se la quiete in P0 e compatibile con i vin-coli ad ogni tempo e puo essere realizzata per mezzo di reazioni vincolari effettivamenteesercitabili dal sistema, in quanto a vincoli ideali.

Stefano Siboni 36


I concetti di quiete ed equilibrio non vanno confusi, essendo completamente diversi. Infatti:

(i) la quiete e un particolare tipo di moto che il sistema puo eseguire;

(ii) l’equilibrio e una particolare configurazione del sistema;

(iii) la definizione di equilibrio fa uso della nozione di quiete, ma non viceversa;

(iv) un sistema collocato in una sua configurazione di equilibrio, non necessariamente vistaziona, in quiete. Il sistema puo infatti trovarsi in una configurazione di equilibrioma con atto di moto non nullo, nel qual caso il moto corrispondente non ha nulla ache vedere con la quiete in quella stessa configurazione;

(v) di regola, data una configurazione ordinaria P0 di un sistema olonomo a vin-coli ideali, assegnare la configurazione iniziale P = P0 con atto di moto nulloP = 0 determina lo stato di quiete in P0 del sistema. Il sistema olonomo e avincoli ideali, collocato nella configurazione di equilibrio ordinaria P0 con atto di motoiniziale nullo, permane in quiete in quella configurazione. Questo asserto, benche fisi-camente ragionevole, e una conseguenza del teorema di esistenza e unicita dellesoluzioni massimali del problema di Cauchy per le equazioni di Lagrange. Qualora ilteorema di esistenza e unicita non sia applicabile, l’affermazione potrebbe essere falsa:ci si potrebbe trovare nella imbarazzante situazione di collocare il sistema olonomoin una configurazione di equilibrio ordinaria con atto di moto nullo e, cio nonostante,vederlo “scivolare via” dalla configurazione iniziale. In questo caso, tuttavia, si avreb-bero ben altri e piu gravi problemi: la perdita del carattere deterministico delladescrizione dei sistemi meccanici, l’assegnazione delle condizioni iniziali non varrebbepiu a fissare univocamente l’evoluzione del sistema e la meccanica lagrangiana diven-terebbe inutilizzabile.

26. Teorema dei lavori virtualiPer i sistemi olonomi a vincoli ideali, il teorema dei lavori virtuali caratterizza tutte leconfigurazioni di equilibrio, ordinarie e di confine. Esso stabilisce che condizione necessariae sufficiente affinche P0 sia una configurazione di equilibrio per un sistema olonomo avincoli ideali e che

(i) la quiete in P0 sia un moto possibile;

(ii) ∀ t ∈ R la potenza virtuale delle forze attive, calcolate al tempo t, nella configurazioneP0 e con atto di moto nullo, sia non positiva:

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) · νi ≤ 0

per ogni atto di moto virtuale ν = (ν1, . . . , νN ) relativo alla coppia (t, P0).

La condizione (i) consente di riconoscere la quiete in P0 come moto compatibile con ivincoli olonomi ad ogni istante t ∈ R, e costituisce la necessaria premessa alla condizione

Stefano Siboni 37


(ii), che qualifica ulteriormente quello stato di quiete come moto naturale del sistemae dunque la configurazione P0 come equilibrio, per definizione.

Questa seconda condizione non e altro che la forma particolare assunta dalla relazionesimbolica della dinamica per la quiete in P0, allorquando:

P (t) = P0 , P (t) = 0 e P (t) = 0 ∀ t ∈ R .

In tal caso la relazione simbolica (17.1) diventa:

N∑i=1

mi 0 − Fi[t, P0, 0]

· νi ≥ 0

e, rimossi i termini nulli ed il comune segno meno, si riduce alla condizione:

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) · νi ≤ 0 (26.1)

che dovra essere soddisfatta ad ogni istante t ∈ R per ogni atto di moto virtuale ν =(ν1, . . . , νN) relativo alla coppia (t, P0), come affermato.

Quello ottenuto e l’enunciato del teorema in termini di velocita e potenze virtuali dellesollecitazioni attive.

Come gia osservato per la relazione/equazione simbolica della dinamica, l’aspetto notevoledel teorema e il fatto che esso non fa uso delle reazioni vincolari, e consente quindi diriconoscere le configurazioni di equilibrio del sistema fidando sulla conoscenza delle soleforze attive.

Cruciale e l’ipotesi che il sistema sia a vincoli ideali, poiche in caso contrario i motinaturali non sono caratterizzabili per mezzo della relazione simbolica della dinamica e ilteorema perde di significato.

27. Forma lagrangiana del teorema dei lavorivirtuali

Il teorema dei lavori virtuali puo essere enunciato anche in forma lagrangiana, ricor-dando che ogni atto di moto virtuale si caratterizza nella forma (10.1). Si ha cosı l’assertoseguente.

Condizione necessaria e sufficiente perche la configurazione P0 sia di equilibrio per unsistema olonomo a vincoli ideali e che:

(i) la quiete in P0 sia un moto possibile, esista cioe una funzione q(t) ∈ C2(R, A) taleche

P (t, q(t)) = P0 ∀ t ∈ R ;

Stefano Siboni 38


(ii) ∀ t ∈ R risultin∑

h=1

αhQh(t, q(t), q(t)) ≤ 0 (27.1)

per tutti gli α1, . . . , αn ∈ R che individuano tramite la (10.1) un atto di moto virtualerelativo a (t, P0).

La dimostrazione e immediata. Accertato che la quiete in P0 possa scriversi nella formaP (t, q(t)), con una funzione q(t) ∈ C2(R, A) conveniente, basta sostituire l’espressione delgenerico atto di moto virtuale relativo a (t, P0) = (t, P (t, q(t))):

ν =n∑

h=1

αh∂P

∂qh(t, q(t))

nella condizione (26.1) sulle potenze virtuali. Si ottiene in tal modo la diseguaglianza:

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) ·n∑

h=1

αh∂Pi

∂qh(t, q(t)) ≤ 0

che scambiando le sommatorie diventa:

n∑h=1

αh

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) · ∂Pi

∂qh(t, q(t)) ≤ 0

e si riduce alla (27.1) a patto di riconoscere nella sommatoria:

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) · ∂Pi

∂qh(t, q(t)) =

N∑i=1

Fi

[t, P (t, q(t),

d

dtP (t, q(t))

]· ∂Pi

∂qh(t, q(t))

la componente lagrangiana h-esima delle sollecitazioni attive calcolata nel punto (t, q, q)= (t, q(t), q(t)):

Qh(t, q(t), q(t)) .

28. Spostamenti virtuali e lavoro virtualeIl teorema dei lavori virtuali, sia in forma cartesiana che in forma lagrangiana, e statoenunciato facendo uso dei concetti di atto di moto virtuale e di potenza virtuale dellesollecitazioni attive. Tant’e che il teorema si sarebbe potuto legittimamente denominareteorema delle potenze virtuali, a tutti gli effetti.

Esiste tuttavia una formulazione equivalente del teorema in termini di spostamenti vir-tuali e di lavoro virtuale.

Stefano Siboni 39


Un generico spostamento virtuale δP relativo alla coppia (t, P ) si definisce moltipli-cando un atto di moto virtuale ν = (ν1, . . . , νN ) relativo allo stesso istante t e alla stessaconfigurazione P per un prefissato intervallo di tempo positivo δt:

δP = δt ν .

A tale spostamento virtuale del sistema sono associati gli spostamenti virtuali deisingoli punti Pi:

δPi = δt νi ∀ i = 1, . . . , N .

E evidente che il termine spostamento viene sostituito a quello di atto di moto — o velocita— per ragioni dimensionali.

Posto P = P (t, q), con q ∈ A opportuno, gli spostamenti virtuali del sistema possonoessere rappresentati in forma lagrangiana:

δP =n∑

h=1

∂P

∂qh(t, q) δqh

con la notazione:

δqh = δtαh ∀h = 1, . . . , n

suggerita dall’idea di poter intendere i prodotti δtα come piccole variazioni delle coordinatelagrangiane — cosa non del tutto corretta e non necessaria, sebbene di aiuto all’intuizione.

Rimpiazzando gli atti di moto con gli spostamenti virtuali, la potenza virtuale viene sosti-tuita dal lavoro virtuale, in forma cartesiana:

δL =N∑

i=1

Fi(t, P0, 0) · δtνi =N∑

i=1

Fi(t, P0, 0) · δPi

o lagrangiana:

δL =n∑

h=1

δtαh Qh(t, q(t), q(t)) =n∑

h=1

Qh(t, q(t), q(t)) δqh .

Poiche spostamenti e atti di moto, ovvero lavori e potenze virtuali, differiscono soltanto perun comune fattore positivo δt, le diseguaglianze che esprimono le condizioni del teoremadei lavori virtuali non vengono modificate. A parte la predetta sostituzione, gli enunciati— cartesiano e lagrangiano — del teorema rimangono quindi inalterati.

Stefano Siboni 40


29. Caratterizzazione degli equilibri nei sistemia vincoli ideali con il teorema dei lavorivirtuali

29.1 Punto materiale liberoIl punto materiale libero si puo sempre ritenere un sistema scleronomo a tre gradi diliberta. Scelta una qualsiasi configurazione P0, la quiete in P0 rappresenta sempre unmoto possibile del sistema, vale a dire che il moto:

P (t) = P0 ∀ t ∈ R

e compatibile con i vincoli ad ogni istante t. L’ulteriore caratterizzazione di tale motocome naturale, e quindi l’individuazione di P0 come configurazione di equilibrio, si ot-tiene per mezzo del teorema dei lavori virtuali imponendo che il risultante F (t, P, P ) dellesollecitazioni attive applicate al punto P soddisfi la condizione:

∀ t ∈ R F (t, P0, 0) · ν ≤ 0 per ogni velocita virtuale ν relativa a (t, P0) .

Poiche le velocita virtuali relative a (t, P0) sono comunque tutti i vettori di R3, se ne deduceche la condizione per l’equilibrio si riduce a:

F (t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R ,

ossia a richiedere che il risultante delle sollecitazioni attive al tempo t, nella configurazionedata P0 e con velocita nulla P = 0 , si mantenga costantemente nullo ∀ t ∈ R.

29.2 Punto materiale vincolato ad una curva regolareSupponiamo che la parametrizzazione del sistema olonomo sia P (t, ξ), (t, ξ) ∈ R × I,con I intervallo reale. Per stabilire se la configurazione P0 e di equilibrio, la condizionepreliminare da verificare e che la quiete P (t) = P0 ∀ t ∈ R sia compatibile con i vincoliolonomi ad ogni istante. La condizione e banalmente verificata se la curva e fissa — sistemascleronomo — mentre potrebbe non essere soddisfatta nel caso di curva variabile. In questocaso, la condizione necessaria e sufficiente perche la quiete in P0 sia un moto possibile eche l’intersezione Γ dei supporti delle curve vincolari a tutti i tempi sia non vuota:

Γ =⋂t∈ R

γ(t) =⋂t∈ R

P (t, ξ) , ξ ∈ I = ∅

e che beninteso P0 ∈ Γ.

Stefano Siboni 41


Si osserva, al solito, come nel caso scleronomo tutti gli stati di quiete siano moti possibilidel sistema, mentre nel caso reonomo gli stati di quiete che siano anche moti possibilicostituiscono una remota eccezione. Conviene esaminare separatamente il caso della curvafissa e della curva mobile, nonche lo configurazioni ordinarie e di confine.

Configurazioni ordinarie per la curva fissaLa quiete in P0 e un moto naturale, e la configurazione P0 e un equilibrio, se e soltanto se∀ t ∈ R risulta:

F (t, P0, 0) · ν ≤ 0 per ogni velocita virtuale ν relativa a (t, P0)

e poiche le velocita virtuali in questione sono, indipendentemente da t, tutti e soli i vettoritangenti al supporto della curva vincolare nella posizione P0, si conclude che la condizionenecessaria e sufficiente per l’equilibrio in P0 e che il risultante F (t, P0, 0) delle forze attivesi mantenga ortogonale alla curva nella posizione P0 a tutti i tempi. Non e imposto cheF (t, P0, 0) sia uguale a zero o che si conservi costante ∀ t ∈ R; occorre e basta che talevettore sia costantemente ortogonale al supporto della curva vincolare in P0.

Configurazioni di confine per la curva fissaLa configurazione di confine P0 viene caratterizzata come equilibrio in modo analogo,imponendo la condizione del teorema dei lavori virtuali:

∀ t ∈ R F (t, P0, 0) · ν ≤ 0 per ogni velocita virtuale ν relativa a (t, P0) .

Le velocita virtuali relative alla configurazione P0 sono indipendenti dal tempo t e con-sistono di tutti i vettori che abbiano componente tangente alla curva vincolare in P0

nulla o diretta secondo il supporto della curva. Se ne conclude che la sollecitazione at-tiva F (t, P0, 0) deve avere, a tutti i tempi, componente tangenziale alla curva diretta insenso avverso al supporto di questa. Nessuna condizione e richiesta sulla componenteortogonale, che quindi puo essere arbitraria.

Stefano Siboni 42


La seconda, eventuale, configurazione di confine viene analizzata allo stesso modo.

Configurazioni ordinarie per la curva mobile

La configurazione ordinaria P0 e di equilibrio, in virtu del teorema dei lavori virtuali, se esoltanto se ∀ t ∈ R vale:

F (t, P0, 0) · ν ≤ 0 per ogni velocita virtuale ν relativa alla coppia (t, P0) .

Si sottolinea che, in generale, le velocita virtuali sono tutti e soltanto i vettori tangentialla curva vincolare all’istante t nella posizione P0 e che questi vettori tangenti possonocambiare al variare di t, al pari della curva vincolare. Perche in P0 si realizzi l’equilibriosara quindi necessario e sufficiente che ad ogni t ∈ R il risultante F (t, P0, 0) sia ortogonalealla curva vincolare a quell’istante e nella configurazione fissata P0.

Configurazioni di confine per la curva mobile

Sono caratterizzate come nel caso scleronomo, con la sola differenza che ora la curvavincolare dipende dal tempo e che di conseguenza le velocita virtuali dipendono dall’istantet considerato.

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio in P0 e allora che la componente diF (t, P0, 0) tangenziale alla curva vincolare all’istante t sia nulla o diretta in senso avversoal supporto della stessa curva, per ogni t ∈ R.

Stefano Siboni 43


29.3 Punto materiale vincolato ad una superficie regolareIndicata con P (t, u, v), t ∈ R, (u, v) ∈ A ⊆ R2, la quiete nella configurazione P0 e semprecompatibile con i vincoli olonomi se il sistema e scleronomo — superficie vincolare fissa —mentre la condizione e soddisfatta se e soltanto se non vuota risulta l’intersezione fra i

supporti delle superfici vincolari Σ(t) a tutti i tempi:

Σ =⋂t∈ R

Σ(t) =⋂t∈ R

P (t, u, v) , (u, v) ∈ A

con P0 ∈ Σ. Per le configurazioni ordinare l’equilibrio ricorre se e soltanto se il risultanteF (t, P0, 0) delle forze attive si mantiene costantemente normale alla superficie vincolareall’istante t nella posizione P0, ∀ t ∈ R.(o) Nelle configurazioni di confine e inoltre toller-ata una componente di F (t, P0, 0) tangente alla superficie, purche ortogonale alla rettaτ∂Σ(t)

(P0) tangente al bordo ∂Σ(t) della superficie vincolare Σ(t) in P0 e orientata in sensoavverso al supporto della stessa superficie.

(o) Con TΣ(t) (P0) si indica il piano tangente alla superficie Σ(t) in P0

Stefano Siboni 44


29.4 Sistema rigido liberoTrattandosi di sistema scleronomo, la quiete in una qualsivoglia configurazione P0 e semprecompatibile con i vincoli olonomi a tutti i tempi. La condizione per l’equilibrio, nell’ipotesidei vincoli ideali, e espressa dal teorema dei lavori virtuali:

∀ t ∈ R νO · R a(t, P0, 0) + ω · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀νO, ω ∈ R

3 (29.1)

e si riduce pertanto alle relazioni:

R a(t, P0, 0) = 0 M aO(t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R ,

in cui R a(t, P0, 0) e M aO(t, P0, 0) sono rispettivamente il risultante ed il momento risultante

in un polo arbitrario O delle sollecitazioni attive applicate al solido, considerate all’istantet, nella configurazione P0 e con atto di moto nullo. La condizione necessaria e sufficienteaffinche P0 sia una configurazione di equilibrio e quindi che risultante e momento risultantedelle sollecitazioni attive calcolate nello stato di quiete in P0 siano costantemente nulli:

R a(t, P0, 0) = 0 M aO(t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R .

29.5 Sistema rigido con punto fissoIdentificato con O il punto fisso — privo di attrito, nell’ipotesi che il sistema sia a vincoliideali — la condizione (29.1) per l’equilibrio nella configurazione P0 si riduce a:

∀ t ∈ R ω · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀ ω ∈ R

3

per il fatto che νO = 0. La configurazione P0 sara percio di equilibrio se e soltanto seil momento risultante delle forze attive in (t, P0, 0) rispetto al punto fisso si mantienecostantemente nullo:

M aO(t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R .

29.6 Sistema rigido con asse fissoSe O si identifica con un punto dell’asse fisso ed n e il versore associato a tale asse, lavelocita virtuale di O risulta costantemente nulla, mentre la velocita angolare istantaneadi un qualsiasi atto di moto virtuale e parallela ad n:

νO = 0 ω = α n , α ∈ R .

La condizione (29.1) del teorema dei lavori virtuali diventa pertanto:

∀ t ∈ R α n · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀α ∈ R

ed equivale a richiedere l’annullarsi del momento risultante delle forze attive rispettoall’asse fisso a tutti i tempi:

∀ t ∈ R n · M aO(t, P0, 0) = 0

Stefano Siboni 45


nell’ipotesi che il sistema sia a vincoli bilaterali.

Nel caso di vincoli unilaterali, con θ ∈ [θ1, θ2], due sono le configurazioni di confine acces-sibili al sistema:

θ = θ1 , θ = θ2 .

Per la prima configurazione le velocita angolari relative ad un qualsiasi atto di moto virtualesono le seguenti:

ω = α n , ∀α ≥ 0

in modo che la condizione di equilibrio diventa:

∀ t ∈ R α n · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀α ≥ 0

e si riduce alla nonpositivita del momento risultante delle forze attive rispetto all’asse fisso:

n · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀ t ∈ R .

Per la seconda configurazione di confine la velocita angolare di qualsiasi atto di motovirtuale e data dall’espressione:

ω = α n , ∀α ≤ 0 ,

per cui la condizione di equilibrio si scrive:

∀ t ∈ R α n · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀α ≤ 0

ed equivale alla nonnegativita del momento risultante delle forze attive rispetto all’assefisso a tutti i tempi:

n · M aO(t, P0, 0) ≥ 0 ∀ t ∈ R .

Stefano Siboni 46


29.7 Sistema rigido con asse scorrevole su se stessoSe O e un qualsiasi punto del solido posto sull’asse e n indica il versore associato a taleasse, il generico atto di moto virtuale del sistema assume la forma:

νi = α n + β n ∧ (Pi − O) ∀ i = 1, . . . , N

con α e β parametri reali arbitrari — se non sono presenti vincoli unilaterali. La condizionenecessaria e sufficiente perche una configurazione P0 sia di equilibrio diventa allora:

α n · R a(t, P0, 0) + β n · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀α, β ∈ R , ∀ t ∈ R ,

ed equivale ad annullare simultaneamente la componente lungo l’asse On del risultante edil momento risultante rispetto allo stesso asse delle forze attive, a tutti i tempi:

n · R a(t, P0, 0) = 0 n · M aO(t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R .


Si supponga per semplicita che la curva vincolare γ sia fissa e priva degli estremi, comepure che non esistano ostacoli al moto del solido, in modo che il sistema si possa considerarea vincoli bilaterali. Per una data configurazione P0 del sistema, sia O il punto del solidovincolato a restare su γ. Il generale atto di moto virtuale relativo alla configurazioneprescelta sara dato dall’espressione:

νi = νO + ω ∧ (Pi − O) i = 1, . . . , N

per ogni vettore νO tangente a γ in O e per ω ∈ R3 arbitrario. Nell’ipotesi di vincoli ideali,il teorema dei lavori virtuali porge allora per l’equilibrio in P0 la condizione necessaria esufficiente:

∀ t ∈ R νO · R a(t, P0, 0) + ω · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀νO tangente a γ in O , ∀ ω ∈ R

3

che equivale a:

τ · R a(t, P0, 0) = 0 M aO(t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R

dove τ · R a(t, P0, 0) e la componente del risultante R a(t, P0, 0) lungo la tangente a γ in O.

Stefano Siboni 47



Si assuma per semplicita che la superficie vincolare Σ sia fissa e priva del bordo, e cheinoltre non siano presenti ostacoli capaci di limitare il moto del solido: il sistema e avincoli bilaterali e tutte le eventuali configurazioni di equilibrio sono ordinarie. Per unadata configurazione P0 del sistema, si indichi con O il punto del solido costretto a restaresu Σ. Il piu generale atto di moto virtuale relativo alla configurazione in esame sara allora:

νi = νO + ω ∧ (Pi − O) i = 1, . . . , N

per qualsiasi ω ∈ R3 e ogni vettore νO tangente a Σ in O. Nell’ipotesi di vincoli ideali,il teorema dei lavori virtuali esige allora per l’equilibrio in P0 la condizione necessaria esufficiente:

∀ t ∈ R νO · R a(t, P0, 0) + ω · M aO(t, P0, 0) ≤ 0 ∀νO tangente a Σ in O , ∀ ω ∈ R

3,

che equivale a:

τ · R a(t, P0, 0) = 0 M aO(t, P0, 0) = 0 ∀ t ∈ R

essendo τ · R a(t, P0, 0) la componente del risultante R a(t, P0, 0) lungo il piano tangente aΣ in O.

30. Condizione necessaria e sufficiente perl’equilibrio ordinario di un sistema olonomo

Dato il sistema olonomo di parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈ R × A, A ⊆ Rn, si considerila configurazione P0. Se la quiete in P0 e compatibile con i vincoli olonomi ad ogni istantet — ossia P (t) = P0 ∀ t ∈ R costituisce un moto possibile del sistema — deve esistere unafunzione q(t) ∈ C2(R, A) per la quale:

P (t, q(t)) = P0 ∀ t ∈ R . (30.1)

Per il teorema dei lavori virtuali, condizione necessaria e sufficiente perche la configurazioneP0 predetta sia di equilibrio e che il lavoro virtuale delle forze attive calcolate al tempot, nella configurazione data e con atto di moto nullo sia minore o uguale a zero per ognispostamento virtuale e per ogni t. La condizione puo essere espressa in forma cartesiana:

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) · δPi ≤ 0 ∀ spostamento virtuale δPi relativo a (t, P0) e ∀ t ∈ R

o lagrangiana:

n∑h=1

Qh(t, q(t), q(t)) δqh ≤ 0 ∀ spostamento virtuale δq relativo a (t, P0) e ∀ t ∈ R .

Stefano Siboni 48


In ambo i casi, l’essere P0 una configurazione ordinaria assicura l’arbitrarieta delle com-ponenti lagrangiane δqh degli spostamenti virtuali e dunque la condizione di equilibrio:

Qh(t, q(t), q(t)) = 0 ∀h = 1, . . . , n , ∀ t ∈ R

in cui q(t) e la funzione che verifica la (30.1).

Pertanto condizione necessaria e sufficiente affinche una configurazione ordinaria P0 siadi equilibrio e che a tutti i tempi t ∈ R le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive,calcolate per lo stato di quiete in P0, si mantengano identicamente nulle:

Q(t, q(t), q(t)) = 0 ∀ t ∈ R . (30.2)

La condizione di equilibrio appena stabilita e suscettibile di una interpretazione notevo-le. In effetti, trattandosi di configurazione ordinaria, lo stato di quiete in P0 puo esserecaratterizzato come moto naturale anche per mezzo delle equazioni di Lagrange: affincheP0 sia un equilibrio ordinario e dunque necessario e sufficiente che q(t) sia soluzione delleequazioni di Lagrange. L’equivalenza della condizione si verifica immediatamente, par-tendo dall’equazione simbolica della dinamica — che, si ricordi, equivale alle equazioni diLagrange:

N∑i=1

[miPi − F (t, P, P )] · δPi = 0 ∀ sp. virt. δPi relativo a (t, P0) e ∀ t ∈ R

e sostituendo la condizione P (t) = P (t, q(t)) = P0 ∀ t ∈ R:

N∑i=1

F (t, P0, 0) · δPi = 0 ∀ sp. virt. δPi relativo a (t, P0) e ∀ t ∈ R

per cui, passando a coordinate e componenti generalizzate, si ottiene:

N∑i=1

F (t, P0, 0) ·n∑

h=1

∂Pi

∂qh(t, q(t)) δqh = 0 ∀ δq ∈ R

n, ∀ t ∈ R

ossia:n∑

h=1

Qh(t, q(t), q(t)) δqh = 0 ∀ δq ∈ Rn, ∀ t ∈ R

che equivale alla condizione stabilita sopra:

Qh(t, q(t), q(t)) = 0 ∀h = 1, . . . , n , ∀ t ∈ R .

Per i sistemi scleronomi la quiete in P0 viene rappresentata assegnando a q(t) un valorecostante:

q(t) = q0 ∈ int(A) ∀ t ∈ R

Stefano Siboni 49


in modo che risulti P (q0) = P0. La condizione di equilibrio (30.2) diventa percio:

Q(t, q0, 0) = 0 ∀ t ∈ R

e si traduce nel richiedere che q(t) = q0 sia soluzione statica — ossia costante — delleequazioni di Lagrange.

Di particolare interesse e il caso dei sistemi posizionali e conservativi, sistemi scle-ronomi nei quali tutte le sollecitazioni attive applicate hanno natura posizionale e conser-vativa, potendosi derivare da un potenziale U :

Q(t, q, q) =∂U

∂q(q) ∀ (t, q, q) ∈ R × A × R

n .

Per tali sistemi la condizione di equilibrio in P0 = P (q0) si riduce a imporre che q0 sia unpunto critico del potenziale:

∂U

∂q(q0) = 0 .

Un altro caso interessante e quello dei sistemi scleronomi soggetti a sollecitazioni inparte posizionali conservative e in parte di potenza non positiva:

Q(t, q, q) =∂U

∂q(q) + D(t, q, q) , D · q ≤ 0 ∀ (t, q, q) ∈ R ×A × R

n .

Se infatti la sollecitazione a potenza non positiva e funzione continua dei suoi argomenti(t, q, q), le sue componenti si annullano a velocita generalizzata nulla:

D(t, q, 0) = 0 ∀ (t, q) ∈ R × A.

Di conseguenza, la condizione per l’equilibrio in P0 = P (q0) rimane inalterata rispetto alcaso puramente posizionale conservativo:

∂U

∂q(q0) + D(t, q0 , 0) =

∂U

∂q(q0) = 0 .

Le eventuali sollecitazioni a potenza non positiva, continue nei loro argomenti, non hannoalcun effetto sugli equilibri, nel senso che ne modificano gli equilibri che si determinerebberoin assenza di tali sollecitazioni, ne comportano l’insorgere di ulteriori configurazioni diequilibrio. Le configurazioni di equilibrio si identificano con tutti e soltanto i punti criticidel potenziale del sistema.

Il risultato si formalizza nel seguente teorema.

30.1 Teorema delle sollecitazioni di potenza non positivaSia data una sollecitazione (D1,D2, . . . ,Dn) = D(t, q, q) continua nei propri argomenti(t, q, q) ∈ R × A × Rn e di potenza non positiva

D(t, q, q) · q =n∑

h=1

Dh(t, q, q) qh ≤ 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn .

Stefano Siboni 50


Allora ∀ (t, q) ∈ R × A fissato le componenti della sollecitazione si annullano a velocitageneralizzata nulla

Dh(t, q, 0) = 0 ∀h = 1, . . . , n .

La dimostrazione del teorema procede per assurdo. Si supponga infatti che sia possibileindividuare un istante t0 ∈ R ed una configurazione q0 ∈ A tali che D(t0, q0, 0) = 0.Cio significherebbe che almeno una delle componenti di D(t0, q0, 0) risulterebbe diversa dazero. Senza perdita di generalita si puo assumere che non nulla sia la prima componente,e che il suo segno sia positivo

D1(t0, q0, 0) > 0 .

In modo analogo si tratta il caso che non nulla sia una qualsiasi componente di D(t0, q0, 0)diversa dalla prima, e/o che il segno di tale componente risulti negativo. Si consideri allorauna velocita generalizzata della forma

q = u = (u1, 0, . . . , 0) ∈ Rn , u1 ∈ R

il cui scopo e quello di ricondurre la potenza della sollecitazione D in (t0, q0, q) ad un solotermine in D1

π =n∑

h=1

Dh(t0, q0, u)uh = D1(t0, q0, u)u1 = D1(t0, q0, (u1, 0, . . . , 0))u1

eliminando tutte le altre componenti generalizzate, sul cui segno non si dispone a prioridi alcuna informazione. La condizione di non positivita della potenza della sollecitazionediventa percio

D1(t0, q0, (u1, 0, . . . , 0))u1 ≤ 0 ∀u1 ∈ R .

D’altra parte, la continuita di D implica che per |u1| < ε, positivo e abbastanza piccolo,la funzione u1 → D1(t0, q0, (u1, 0, . . . , 0)) debba assumere in u1 lo stesso segno che essaassume per u1 = 0

D1(t0, q0, (u1, 0, . . . , 0)) > 0

come conseguenza del teorema di permanenza del segno. Per la non positivita della potenzadeve aversi pertanto

D1(t0, q0, (u1, 0, . . . , 0))u1 ≤ 0 ∀u1 ∈ R , |u1| < ε

ed e sufficiente considerare valori positivi ed abbastanza piccoli di u1

u1 > 0 , |u1| < ε

per giungere ad una contraddizione

D1(t0, q0, (u1, 0, . . . , 0))u1 > 0 !

Stefano Siboni 51


Qualora si supponga diversa da zero una qualsiasi altra componente Dk(t0, q0, 0), la di-mostrazione precedente e ancora applicabile salvo considerare velocita generalizzate le cuicomponenti siano tutte nulle tranne la k-esima

u = (u1, . . . , uk, . . . , un) = (0, . . . , uk, . . . , 0)

e nell’ipotesi che sia Dk(t0, q0, 0) < 0 in luogo di Dk(t0, q0, 0) > 0 si perviene comunque aduna contraddizione con l’ipotesi di potenza non positiva considerando velocita generalizzatedella forma

u = (0, . . . , uk, . . . , 0) , uk < 0 , |uk| < ε .

La dimostrazione e completa.

Vale la pena di sottolineare che nella dimostrazione precedente in realta si rendono ne-cessarie condizioni molto piu deboli di quelle inserite nell’enunciato formale del teorema.Infatti:

(i) il risultato rimane valido — e la prova pressoche identica — nell’ipotesi che la sol-lecitazione abbia potenza non negativa, π ≥ 0, anziche non positiva. Cio che servee il segno definito della potenza, sia esso positivo o negativo, indifferentemente;

(ii) la precedente dimostrazione conserva la propria validita se si ipotizza la continuita inq = 0 dell’applicazione

q −−−−−−−−−→ D(t, q, q)

per ogni (t, q) ∈ R×A fissati. Si noti che, di regola, nell’applicazione del teorema nonsi pongono problemi di regolarita delle eventuali sollecitazioni a potenza non positiva,visto che per queste si ammette comunque l’appartenenza alla classe C1, in modo daassicurare la validita del teorema di esistenza ed unicita della soluzione massimale delproblema di Cauchy per ogni condizione iniziale.

31. Equilibri di confine nel caso scleronomoPer un sistema scleronomo di parametrizzazione P (q) la configurazione P0 = P (q0), q0 ∈ A,e un equilibrio se e soltanto se ∀ t ∈ R si ha

n∑h=1

αhQh(t, q0, 0) ≤ 0

per ogni α1, . . . , αn ∈ R che individuano tramite la (10.1) un atto di moto virtuale relativoa P (q0). Per le configurazioni di confine, corrispondenti a q0 ∈ A \ int(A), i coeffici-enti α1, . . . , αn non sono arbitrari, e la condizione di equilibrio non si riduce pertantoall’annullarsi delle componenti lagrangiane delle sollecitazioni Qh(t, q0, 0) ∀h = 1, . . . , n e∀ t ∈ R, ovvero all’essere q(t) = q0 ∀ t ∈ R soluzione delle equazioni di Lagrange. Si illustrala situazione con un paio di esempi significativi — e relativamente generali.

Stefano Siboni 52


31.1 Esempio a un grado di libertaIl sistema scleronomo e descritto dalla parametrizzazione P (q), con q ∈ A = [qmin, qmax]intervallo reale limitato e chiuso. Le configurazioni di confine si hanno per q = qmin e perq = qmax. In questa classe di sistemi scleronomi ricadono il punto materiale vincolato arimanere su una curva fissa e liscia munita degli estremi, ovvero il sistema rigido con assefisso privo di attrito la cui rotazione completa sia impedita da ostacoli opportunamentecollocati.

• Per q = qmin i moti virtuali all’istante generico t ∈ R sono della forma

P (q(t)) , t ∈ I = [t, t + ε) , ε > 0 ,

con q(t) ∈ A ∀ t ∈ I, q(t) di classe C2 in I e q(t) = qmin, in modo che deve risultarenecessariamente

α1 = q(t) ≥ 0 .

Se infatti fosse q(t) < 0, per continuita lo stesso dovrebbe avvenire in un certo intervallodi tempo successivo a t, nel quale la q(t) risulterebbe percio strettamente decrescente.Ma q(t) = qmin e quindi nello stesso intervallo dovrebbe aversi q(t) < qmin, ossia q(t) /∈ A,una evidente contraddizione. Il teorema dei lavori virtuali stabilisce pertanto che P (qmin)sia un equilibrio se e soltanto se ∀ t ∈ R vale

α1 Q1(t, qmin, 0) ≤ 0 ∀α1 ≥ 0 ,

condizione che equivale evidentemente alla disequazione

Q1(t, qmin, 0) ≤ 0 ∀ t ∈ R .

• Il caso q = qmax si tratta in modo analogo, notando che nella fattispecie

α1 = q(t) ≤ 0

per cui il teorema dei lavori virtuali diventa

α1 Q1(t, qmax, 0) ≤ 0 ∀α1 ≤ 0 , ∀ t ∈ R

Stefano Siboni 53


e porge la condizioneQ1(t, qmax, 0) ≥ 0 ∀ t ∈ R .

La figura riassume i risultati ottenuti.

31.2 Esempio a due gradi di libertaSi considera un sistema scleronomo di parametrizzazione P (q1, q2), con (q1, q2) ∈ A, ret-tangolo chiuso di R2 — prodotto cartesiano di intervalli chiusi, secondo la figura seguente:

I valori q0 dei parametri lagrangiani che individuano le configurazioni di confine si collocanolungo il perimetro del rettangolo.

• In una configurazione P (q0) del tipo (1), e ad un generico istante t ∈ R, gli atti di motovirtuali sono individuati da

ν = α1∂P

∂q1(q0) + α2

∂P

∂q2(q0)

∀α1 = q1(t) ≥ 0 e ∀α2 = q(t) ∈ R. Il teorema dei lavori virtuali si legge percio

α1Q1(t, q0, 0) + α2Q2(t, q0, 0) ≤ 0 ∀α1 ≥ 0 , ∀α2 ∈ R , ∀ t ∈ R

ed equivale al sistema Q1(t, q0, 0) ≤ 0Q2(t, q0, 0) = 0

∀ t ∈ R .

• Per le configurazioni P (q0) del tipo (2) gli atti di moto virtuali si scrivono

ν = α1∂P

∂q1(q0) + α2

∂P

∂q2(q0) ∀α1 ∈ R , ∀α2 ∈ R

Stefano Siboni 54


ed il teorema dei lavori virtuali diventa pertanto

α1Q1(t, q0, 0) + α2Q2(t, q0, 0) ≤ 0 ∀α1 ∈ R , ∀α2 ≥ 0 , ∀ t ∈ R ,

riducendosi alla condizione di equilibrio

Q1(t, q0, 0) = 0Q2(t, q0, 0) ≤ 0

∀ t ∈ R .

• In una configurazione P (q0) del tipo (3) — vertice del dominio rettangolare — la celtadei coefficienti (α1, α2) e limitata a

α1 ≤ 0 e α2 ≤ 0

per cui il teorema dei lavori virtuali conduce alla condizione di equilibrio

Q1(t, q0, 0) ≥ 0Q2(t, q0, 0) ≥ 0

∀ t ∈ R .

Lungo i restanti lati e negli altri vertici si stabiliscono condizioni di equilibrio analoghe,che non si esaminano nel dettaglio. La figura seguente riassume i risultati ottenuti.

32. Equazioni cardinali della statica comecondizioni necessarie per l’equilibrio

Sia P0 una configurazione di equilibrio per un sistema di N punti materiali Pi, i = 1, . . . , N ,soggetto alle sollecitazioni attive Fi(t, P, P ) e ad appropriate reazioni vincolari Φi, espli-cabili dai vincoli. La quiete in P0 deve allora costituire un moto naturale del sistema, chesoddisfa la seconda legge della dinamica per ogni singolo punto materiale Pi:

miPi = Fi(t, P, P ) + Φi ⇐⇒ 0 = Fi(t, P0, 0) + Φi (32.1)

Stefano Siboni 55


e si accompagna a reazioni vincolari Φi = −Fi(t, P0, 0) effettivamente esplicabili dai vincoli.Una somma su tutti i punti materiali costituenti il sistema conduce alla relazione:

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) +N∑

i=1

Φi = 0

che puo esprimersi in termini dei risultati delle sollecitazioni attive e di reazione vincolare:

R a(t, P0, 0) + R φ = 0 .

Ricordando poi che il risultante delle sollecitazioni interne e sempre nullo in virtu del terzoprincipio della dinamica, si perviene alla prima equazione cardinale della statica:

R a,est(t, P0, 0) + R φ,est = 0 ,

dove si indica con R a,est(t, P0, 0) il risultante delle sollecitazioni attive esterne applicateal sistema e calcolate all’istante considerato, nella configurazione data e con atto di motonullo, mentre R φ,est e il risultante delle reazioni vincolari esterne — che devono essereeffettivamente esplicabili dai vincoli.

In modo analogo, scelto un polo O a piacere, dall’equazione (32.1) si deduce:

(Pi − O) ∧ Fi(t, P0, 0) + (Pi −O) ∧ Φi = 0 ∀ i = 1, . . . , N

e quindi, sommando sull’indice i,

N∑i=1

(Pi − O) ∧ Fi(t, P0, 0) +N∑

i=1

(Pi −O) ∧ Φi = 0

si ottiene la condizione di equilibrio in termini dei momenti risultanti di forze attive evincolari:

M aO(t, P0, 0) + M φ

O = 0

che puo anche esprimersi per mezzo dei soli momenti esterni:

M a,estO (t, P0, 0) + M φ,est

O = 0

per via del terzo principio della dinamica, che assicura l’annullarsi del momento risultantedelle forze interne rispetto a qualsivoglia polo. Quella ottenuta rappresenta la cosiddettaseconda equazione cardinale della statica.

In conclusione, condizione necessaria affinche P0 sia una configurazione di equilibrio delsistema e che per ogni t ∈ R si abbia

R a,est(t, P0, 0) + R φ,est = 0

M a,estO (t, P0, 0) + M φ,est

O = 0

Stefano Siboni 56


con un risultante R φ,est ed un momento risultante M φ,estO delle reazioni vincolari che i

vincoli del sistema possano effettivamente produrre.

32.1 Esempio. Sistema rigido liberoNel caso di un sistema rigido libero le reazioni vincolari esterne esplicabili dai vincolisono identicamente nulle su ogni punto materiale del sistema, per cui i loro risultante edmomento risultante sono uguali a zero per tutti i tempi:

R φ,est = 0 M φ,estO = 0

e le equazioni cardinali della statica si riducono a:

R a,est(t, P0, 0) = 0

M a,estO (t, P0, 0) = 0

∀ t ∈ R .

32.2 Esempio. Sistema rigido con punto fisso privo diattrito

Per un sistema rigido con punto fisso O privo di attrito le reazioni vincolari esterne espli-cabili sono tutte e sole quelle con momento risultante in O uguale a zero — e risultantearbitrario

M φ,estO = 0 .

Di conseguenza, le equazioni cardinali della statica diventano:

R a,est(t, P0, 0) + R φ,est = 0

M a,estO (t, P0, 0) = 0

∀ t ∈ R

delle quali la seconda e pura, mentre la prima fornisce il risultante R φ,est delle reazionivincolari esterne noto che sia quello delle sollecitazioni attive esterne:

R φ,est = −R a,est(t, P0, 0) ∀ t ∈ R .

32.3 Esempio. Sistema rigido con asse fisso privo di attritoNel caso di un sistema rigido con asse fisso privo di attrito On le reazioni vincolari esterneammesse sono tutte e soltanto quelle che rispetto a tale asse presentano momento risultantenullo:

M φ,estO · n = 0

e le equazioni cardinali della statica si scrivono pertanto:

R a,est(t, P0, 0) + R φ,est = 0

M a,estO (t, P0, 0) · n = 0

M a,estO (t, P0, 0) · τ + M φ,est

O · τ = 0

∀ t ∈ R

Stefano Siboni 57


essendo τ un generico versore ortogonale all’asse fisso. Delle tre equazioni ottenute soltantola seconda e pura, mentre la prima e la terza consentono di determinare risultante emomento risultante — necessariamente ortogonale all’asse fisso — delle reazioni vincolariesterne:

R φ,est = −R a,est(t, P0, 0)

M φ,estO · τ = − M a,est

O (t, P0, 0) · τ∀ t ∈ R , ∀ τ ⊥ n .

33. Equazioni cardinali della statica comecondizioni sufficienti per l’equilibrio

nel caso di un sistema rigidoE importante rilevare che nel caso di un solido rigido a vincoli ideali le equazioni cardinalidella statica non sono soltanto condizioni necessarie per l’equilibrio, ma anche sufficienti.Esaminiamo uno ad uno i casi notevoli di solido rigido variamente vincolato.

33.1 Solido liberoLe equazioni cardinali della statica nella configurazione P0 sono

R a,est(t, P0, 0) = 0

M a,estO (t, P0, 0) = 0

∀ t ∈ R .

Tale configurazione e di equilibrio se e soltanto se lo stato di quiete P (t) = P0, ∀ t ∈ R,costituisce un moto naturale del sistema e si accompagna pertanto a reazioni vincolari cheil sistema sia in grado di esercitare. Nell’ipotesi di vincoli ideali dette reazioni vincolarisono tutte e soltanto quelle interne con risultante e momento risultante nulli:

Φ esti = 0 ∀ i = 1, . . . , N R φ,int = 0 M φ,int

O = 0 .

Si verifica che la quiete nella configurazione P0 viene ottenuta con reazioni vincolari deltipo permesso. Per il generico punto Pi si ha infatti:

0 = miPi = Fi(t, P0, 0) + Φ esti + Φ int

i

e poiche l’assenza di vincoli esterni impone Φ esti = 0, se ne deduce:

Φ inti = −Fi(t, P0, 0) ∀ i = 1, . . . , N , ∀ t ∈ R

in modo che per ogni t ∈ R:

R φ,int =N∑

i=1

Φ inti = −

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) = −R a(t, P0, 0) = −R a,est(t, P0, 0) = 0

M φ,intO =

N∑i=1

(Pi − O) ∧ Φ inti = −

N∑i=1

(Pi − O) ∧ Fi(t, P0, 0) =

= − M aO(t, P0, 0) = − M a,est

O (t, P0, 0) = 0

Stefano Siboni 58


in virtu delle equazioni cardinali. La verifica e completa.

33.2 Solido con punto fisso privo di attritoIn un solido con punto fisso privo di attrito possono esercitarsi tutte e sole le reazionivincolari interne con risultante e momento risultante nulli:

R φ,int = 0 M φ,intO = 0

mentre le reazioni vincolari esterne esplicabili sono tutte e soltanto quelle con momentorisultante nullo rispetto al punto fisso:

M φ,estO = 0 .

Si assuma allora che le equazioni cardinali della statica siano soddisfatte nella configu-razione P0:

R a,est(t, P0, 0) + R φ,est = 0

M a,estO (t, P0, 0) = 0

∀ t ∈ R .

Per lo stato di quiete in P0 il postulato delle reazioni vincolari porge:

0 = Fi(t, P0, 0) + Φ esti + Φ int

i ∀ i = 1, . . . , N , ∀ t ∈ R ,

ossia:Φ est

i = −Φ inti − Fi(t, P0, 0) ∀ i = 1, . . . , N , ∀ t ∈ R ,

per cui, assumendo un qualsiasi sistema di reazioni vincolari interne Φ inti di risultante

e momento risultante nulli, le reazioni vincolari esterne Φ esti verificano ∀ t ∈ R le con-

dizioni:

R φ,est =N∑

i=1

Φ esti = −

N∑i=1

Φ inti −

N∑i=1

Fi(t, P0, 0) = (33.1)

= −N∑

i=1

Fi(t, P0, 0) = −R a(t, P0, 0) = −R a,est(t, P0, 0)

M φ,estO =

N∑i=1

(Pi − O) ∧ Φ esti = −

N∑i=1

(Pi − O) ∧ Φ inti −

N∑i=1

(Pi − O) ∧ Fi(t, P0, 0) =

= − M φ,intO − M a

O(t, P0, 0) = − M aO(t, P0, 0) = − M a,est

O (t, P0, 0) . (33.2)

La (33.1) e equivalente alla prima equazione cardinale della statica, mentre la (33.2) e laseconda equazione cardinale della statica implicano l’annullarsi del momento risultante inO delle reazioni vincolari esterne:

M φ,estO = − M a,est

O (t, P0, 0) = 0 .

Stefano Siboni 59


Le reazioni vincolari sono quindi della forma effettivamente esplicabile dai vincoli e laconfigurazione P0 e di equilibrio.

33.3 Solido con asse fisso privo di attritoIn questo caso le reazioni vincolari esterne che il sistema puo esercitare sono tutte e solequelle con momento risultante nullo rispetto all’asse fisso, fermo restando che qualsiasiinsieme di reazioni vincolari interne e accettabile a patto che siano nulli il loro risultante eil relativo momento risultante. Le equazioni cardinali della statica nella configurazione P0

sono date da:

R a,est(t, P0, 0) + R φ,est = 0

M a,estO (t, P0, 0) · n = 0

M a,estO (t, P0, 0) · τ + M φ,est

O · τ = 0

∀ t ∈ R

essendo O un punto dell’asse, n il versore associato allo stesso asse e τ un generico versoreortogonale a n. Per lo stato di quiete in P0 le reazioni vincolari soddisfano

Φ esti = −Φ int

i − Fi(t, P0, 0) ∀ i = 1, . . . , N , ∀ t ∈ R ,

e assumendo un qualsiasi sistema di reazioni vincolari interne a risultante e momento risul-tante nulli si perviene alle espressioni (33.1) e (33.2) per risultante e momento risultantedelle reazioni esterne. Le equazioni cardinali della statica implicano allora che:

M φ,estO · n = − M a,est

O (t, P0, 0) · n = 0 ∀ t ∈ R

per cui P0 e effettivamente una configurazione di equilibrio.

Si osservi come in tutti i casi esaminati l’assegnazione delle reazioni vincolari interneall’equilibrio sia ampiamente arbitraria, dovendo rispondere soltanto ai requisiti di risul-tante e momento risultante nulli: le reazioni vincolari esterne vengono calcolate di con-seguenza. Le reazioni vincolari non sono quindi determinabili in maniera univoca ed ilproblema risulta comunque staticamente indeterminato.

34. Sistemi ideali costituiti da un numero finitodi parti rigide

Si consideri un sistema olonomo a n gradi di liberta costituito da un certo numero M diparti rigide Ω1,Ω2, . . . ,ΩM . Una configurazione del sistema viene individuata assegnandole configurazioni di tutte le parti Ωj , j = 1, . . . ,M , in termini di appropriati parametrilagrangiani q1, . . . , qn ed eventualmente del tempo — se il sistema e reonomo. Per unagenerica parte rigida Ωj un qualsiasi spostamento virtuale a partire da una data configu-razione viene espresso per mezzo della relazione

δP = δCj + δθj ∧ (P − Cj) ∀P ∈ Ωj

Stefano Siboni 60


nella quale i vettori δCj e δθj dipendono linearmente dagli spostamenti δq1, . . . , δqn dellecoordinate lagrangiane:

δCj =n∑

h=1

Γjh(t, q) δqh δθj =n∑

h=1

Θjh(t, q) δqh

in termini di appropriati vettori Γjh(t, q) e Θjh(t, q). Il lavoro virtuale delle reazioni vinco-lari applicate a Ωj si scrive in funzione del risultante R φ,j e del momento risultante M φ,j

Cj

in Cj delle reazioni vincolari:

δLj =∑

P∈Ωj

[δCj + δθj ∧ (P − Cj)] · ΦP = δCj ·∑

P∈Ωj

ΦP + δθj ·∑

P∈Ωj

(P −Cj) ∧ ΦP =

= δCj · R φ,j + δθj · M φ,jCj

=n∑

h=1

[Γjh(t, q) · R φ,j + Θjh(t, q) · M φ,j

Cj

]δqh

per cui il lavoro virtuale delle reazioni vincolari per una configurazione ed uno spostamentovirtuale generico del sistema e la somma dei lavori virtuali relativi alle singole parti rigidee si riduce ad una combinazione lineare dei δqh:

δL =M∑

j=1

δLj =M∑

j=1

n∑h=1


Cj

]δqh =

=n∑

h=1

M∑j=1


Cj

]δqh .

La condizione dei vincoli ideali richiede che si abbia

n∑h=1

M∑j=1


Cj

]δqh ≥ 0 (34.1)

per ogni (δq1, . . . , δqn) ∈ Rn che individua uno spostamento virtuale del sistema a partiredalla configurazione P (t, q) all’istante t; da cio si conclude che il requisito dei vincoliideali si traduce in una condizione sui risultanti e sui momenti risultanti dellereazioni vincolari applicate alle singole parti rigide.Le reazioni vincolari esplicabili dal sistema sono tutte e soltanto quelle che soddisfanola relazione (34.1). Per generare i risultanti e momenti risultanti consentiti alle reazionivincolari agenti sulle singole parti rigide non e necessario che tali reazioni siano applicatea tutti i punti delle parti rigide: si puo sempre ritenere che le reazioni vincolari esterneagiscano in un numero finito e piccolo di punti, purche tali da produrre tutte le reazionipermesse. E per questo motivo che nella maggior parte delle applicazioni si assume che lereazioni vincolari esterne siano concentrate in alcuni punti particolari e che nonsi esercitino sull’intero corpo delle parti rigide componenti il sistema. Si illustra questoconcetto con alcuni esempi notevoli.

Stefano Siboni 61


34.1 Sistema rigido con punto fisso privo di attritoSi e gia visto che un sistema rigido S con punto fisso O costituisce un sistema a vincoliideali se e soltanto se le reazioni vincolari esplicabili sono tutte e sole quelle con momentorisultante in O uguale a zero — condizione del punto fisso privo di attrito. In virtu delprincipio di azione e reazione, cio equivale a richiedere che le reazioni vincolari internepossano essere tutte e sole quelle con risultante e momento risultante nulli, mentre lereazioni vincolari esterne avranno momento risultante in O uguale a zero e risultantearbitrario. Per il sistema si puo allora introdurre il modello semplificato nel quale lereazioni vincolari esterne consistono in un’unica sollecitazione agente nel punto fisso O. Lereazioni che il sistema puo esercitare sono percio:

ΦP = Φ intP + Φ est

P ∀P ∈ S

con le reazioni vincolari interne Φ intP qualsiasi purche di risultante e momento risultante

nulli:R φ,int = 0 M φ,int

O = 0

e reazioni vincolari esterne del tipo:

Φ estP =

0 se P = O

qualsiasi se P = O .

Si tratta di un modello particolare, nel quale le reazioni vincolari esterne si assumonoapplicate al solo punto fisso mentre in generale esse potrebbero agire su tutto il solido. Lereazioni vincolari esplicabili producono comunque, ed e questa la proprieta fondamentale,tutti i valori di R φ e M φ

O previsti nel caso ideale:

R φ =∑P

Φ intP +

∑P

Φ estP =

∑P

Φ intP + Φ est

O = R φ,int + Φ estO = Φ est

O arbitrario

M φO =

∑P

(P − O) ∧ Φ intP +

∑P

(P − O) ∧ Φ estP = M φ,int

O + (O −O) ∧ Φ estO = 0

per cui i moti naturali di questo modello semplificato risultano esattamente gli stessi delmodello generale. Agli effetti dinamici e statici nulla cambia considerando il modelloparticolare in luogo di quello generale.

34.2 Sistema rigido con asse fisso privo di attritoIl sistema rigido S con asse fisso Oe3 privo di attrito e in grado di esercitare tutte e solele reazioni vincolari il cui momento risultante e3 · M φ,est

O rispetto all’asse sia nullo. Persemplificare il modello si puo assumere, in virtu del principio di azione e reazione, che lereazioni vincolari interne costituiscano un qualsiasi sistema di vettori applicati a risultantee momento risultante nulli e che le reazioni vincolari esterne agiscano in due soli puntidistinti O e A dell’asse fisso:


P ∀P ∈ S

Stefano Siboni 62


R φ,int =∑P

Φ intP = 0 , M φ,int

O =∑P

(P − O) ∧ Φ intP = 0 ,

Φ estP =

0 se P = O, A

qualsiasi se P = O, A .

Anche per questo modello semplificato il risultante ed il momento risultante assumonotutti i valori compatibili con il principio delle reazioni vincolari:

R φ =∑P

Φ intP +

∑P

Φ estP = R φ,int + ΦO + ΦA = ΦO + ΦA

M φO =

∑P

(P − O) ∧ Φ intP +

∑P

(P − O) ∧ Φ estP =

= M φ,intO + (O − O) ∧ ΦO + (A − O) ∧ ΦA =

= M φ,intO + (A − O) ∧ ΦA = (A − O) ∧ ΦA

in quanto ΦA puo preventivamente scegliersi in modo che M φO = (A − O) ∧ ΦA sia un

qualsiasi vettore ortogonale all’asse fisso Oe3 e quindi ΦO in modo che R φ = ΦO + ΦA

assuma un valore arbitrario in R3. Il sistema generale e quello semplificato condividonogli stessi moti naturali e gli stessi equilibri.

34.3 Sistema rigido con un punto vincolato a scorrere suuna curva regolare priva di attrito

Il sistema rigido S il cui punto O sia vincolato a restare su una curva fissa e regolare γcostituisce un sistema a vincoli ideali se e soltanto se il sistema delle reazioni vincolariesplicabili dai vincoli ha momento risultante in O uguale a zero e risultante ortogonale aγ in O. Un modello semplificato si ottiene assumendo un’unica reazione vincolare esternaapplicata nel solo punto O ortogonalmente a γ, ossia:


P ∀P ∈ S

R φ,int =∑P

Φ intP = 0 , M φ,int

O =∑P

(P − O) ∧ Φ intP = 0 ,

Φ estP =

0 se P = O

Φ estO tale che τ · Φ est

O = 0 se P = O

essendo τ il versore tangente alla curva γ in O. Risultante e momento risultante dellereazioni vincolari prendono tutti i valori compatibili con l’ipotesi dei vincoli ideali:

R φ =∑P

Φ intP +

∑P

Φ estP = R φ,int + Φ est

O = Φ estO ortogonale a γ in O

M φO =

∑P

(P − O) ∧ Φ intP +

∑P

(P − O) ∧ Φ estP = M φ,int

O + (O − O) ∧ Φ estO = 0

per cui i moti naturali del sistema generale e di quello semplificato sono identici.

Stefano Siboni 63


35. Teorema dei lavori virtuali per i sistemiideali costituiti da parti rigide

Con le stesse notazioni del n. 33, se la configurazione P0 di un sistema ideale costituito daun numero finito di parti rigide e un equilibrio per il sistema se e soltanto se:

(i) la quiete in PO e un moto possibile del sistema, potendosi rappresentare nella forma

P0 = P (t, q(t)) ∀ t ∈ R

in termini della parametrizzazione P (t, q) del sistema olonomo e di una funzione q(t)di classe C2 su tutto l’asse dei tempi;

(ii) ∀ t ∈ R risulta soddisfatta la condizione

n∑h=1

M∑j=1

[Γjh(t, q(t)) · R a,j(t, P0, 0) + Θjh(t, q(t)) · M a,j

Cj(t, P0, 0)

]δqh ≤ 0 (35.1)

per ogni spostamento virtuale relativo a (t, P0), convenientemente descritto dagli in-crementi δq1, . . . , δqn. I vettori R a,j(t, P, P ) e M a,j

Cj(t, P, P ) indicano qui, rispetti-

vamente, il risultante ed il momento risultante in Cj ∈ Ωj delle sollecitazioni attiveagenti sulla parte rigida Ωj del sistema, all’istante t, nella configurazione P e con attodi moto P .

Nel caso che P0 sia una configurazione ordinaria, allora gli incrementi δq1, . . . , δqn sonoarbitrari ed indipendenti per cui la condizione di equilibrio (ii) diventa:

M∑j=1


Cj(t, P0, 0)

]= 0 (35.2)

∀h = 1, . . . , n e ∀ t ∈ R.

36. Equazioni cardinali della statica per ladeterminazione degli equilibri nei sistemi

ideali composti di parti rigidePer le configurazioni ordinarie del sistema a vincoli ideali le reazioni vincolari esplicabilisono quelle i cui risultanti e momenti risultanti sulle singole parti rigide soddisfano larelazione (34.1).

Si conviene di considerare un sistema semplificato in cui le reazioni vincolari interne co-stituiscono un arbitrario sistema di vettori applicati con risultante e momento risultantenullo, mentre quelle esterne sono concentrate in un numero finito di punti discreti, in modopero da poter produrre tutti e soltanto i risultanti e momenti risultanti soddisfacenti la(34.1). Le reazioni vincolari che si introducono soddisfano percio, automaticamente, ilrequisito dei vincoli ideali.

Stefano Siboni 64


Le equazioni cardinali della statica per una generica parte rigida Ωj in una configurazioneP0, corrispondente allo stato di quiete P0 = P (t, q(t)) ∀ t ∈ R, del sistema si scrivono:

R a,j(t, P0, 0) + R φ,j(t, P0, 0) = 0 (36.1)

M a,jCj

(t, P0, 0) + M φ,jCj

(t, P0, 0) = 0 (36.2)

per ogni t ∈ R. Le equazioni sussistono per ogni parte rigida del sistema, dunque ∀ j =1, . . . ,M .

Trovare una soluzione delle equazioni cardinali della statica in corrispondenza della con-figurazione P0 significa determinare un insieme di reazioni vincolari:

(i) i cui risultanti e momenti risultanti verificano le precedenti equazioni (36.1)-(36.2) perogni t ∈ R e per ogni j = 1, . . . ,M ;

(ii) effettivamente esplicabili in condizioni ideali, soddisfacendo dunque le relazioni

n∑h=1

M∑j=1

[Γjh(t, q(t)) · R φ,j(t, P0, 0) + Θjh(t, q(t)) · M φ,j

Cj(t, P0, 0)

]δqh ≥ 0

per ogni (δq1, . . . , δqn) che individui uno spostamento virtuale del sistema a partiredalla configurazione P0 all’istante t e ∀ t ∈ R.

Per ogni soluzione delle equazioni cardinali della statica si ha percio

n∑h=1

M∑j=1


Cj(t, P0, 0)

]δqh ≤ 0

per ogni (δq1, . . . , δqn) che specifichi uno spostamento virtuale del sistema relativo allacoppia (t, P0) e ∀ t ∈ R. Questa condizione coincide con la (35.1), il che per il teorema deilavori virtuali equivale a riconoscere in P0 una configurazione di equilibrio.

In altri termini, se nella configurazione P0 le equazioni cardinali della statica per tuttele singole parti rigide del sistema ammettono una soluzione, allora esiste un insieme direazioni vincolari concentrate che (1) soddisfano la condizione dei vincoli ideali e (2) re-alizzano la quiete in P0. P0 e percio un equilibrio. D’altra parte, il fatto che le reazionivincolari concentrate possano produrre tutti i risultanti e momenti risultanti sulle partirigide previsti dalla condizione dei vincoli ideali, assicura che le soluzioni delle equazionicardinali statiche individuino tutti gli equilibri del sistema ideale.

Per quanto detto sopra, ad ogni soluzione delle equazioni cardinali della statica corrispondeuna configurazione di equilibrio, e viceversa. Tuttavia l’insieme di reazioni vincolari chesoddisfa le equazioni cardinali della statica in una configurazione di equilibrio puo essereunico o meno: nel primo caso le reazioni vincolari sono univocamente determinate esi dice che il problema di equilibrio e statisticamente determinato; nel secondo casol’insieme delle reazioni vincolari non e individuabile in modo univoco e si parla di problemadi equilibrio staticamente indeterminato.

Stefano Siboni 65


L’indeterminatezza statica di un problema di equilibrio dipende dal numero di reazionivincolari in relazione al numero di equazioni cardinali disponibili — 6M equazioni scalariper un sistema di M corpi rigidi. Se il numero di reazioni esterne incognite e troppo elevato,il problema statico puo diventare indeterminato. Tale e il caso, ad esempio, di un elementorigido cui risultino applicate tre reazioni vincolari esterne in 3 punti distinti: le 6 equazionicardinali della statica non saranno in generale sufficienti a determinare univocamente le 9componenti cartesiane delle tre reazioni vincolari incognite.

Si osservi che il sistema ideale e quello semplificato a reazioni esterne concentrate condivi-dono tutti i moti naturali, non soltanto gli stati di quiete, e dunque devono intendersidinamicamente equivalenti.

36.1 Esempio che illustra l’equivalenza fra un sistema idealee il sistema semplificato a reazioni vincolari esterne“concentrate”

Si consideri un sistema a vincoli ideali composto da due parti rigide Ω1 e Ω2, la primadelle quali ha il punto O fissato nell’origine della terna di riferimento assoluta. I due corpirigidi sono inoltre incernierati nel punto A = O, come illustrato nella figura seguente:

Il sistema e olonomo a 6 gradi di liberta ma non conviene introdurre alcun sistema dicoordinate lagrangiane, che nella discussione seguente non e necessario. Per ogni puntoP di Ω1 il generico spostamento virtuale si esprime per mezzo del teorema di Poisson,considerato il punto fisso O:

δP = δω1 ∧ (P −O) ∀δω1 ∈ R3

mentre per un qualsiasi punto P ∈ Ω2 lo stesso teorema di Poisson porge:

δP = δω1 ∧ (A − O) + δω2 ∧ (P − A) ∀δω1, δω2 ∈ R3 .

La condizione dei vincoli ideali diventa percio:

δLφ =∑

P∈Ω1

δω1 ∧ (P −O) · ΦP +∑

P∈Ω2

[δω1 ∧ (A −O) + δω2 ∧ (P − A)] · ΦP =

= δω1 ·∑

P∈ Ω1

(P − O) ∧ ΦP + δω1 · (A − O) ∧∑

P∈Ω2

ΦP + δω2 ·∑

P∈ Ω2

(P − A) ∧ ΦP =

Stefano Siboni 66


= δω1 · M φ,1O + δω1 · (A −O) ∧ R φ,2 + δω2 · M φ,2

A =

= δω1 · [ M φ,1O + (A − O) ∧ R φ,2] + δω2 · M φ,2

A ≥ 0 ∀δω1, δω2 ∈ R3

e si riduce al sistema di equazioni vettoriali:

M φ,1O + (A − O) ∧ R φ,2 = 0

M φ,2A = 0

il cui numero di componenti scalari — 6 — coincide con il numero di gradi di liberta delsistema, come deve essere conformemente alle relazioni (34.1). In condizioni di vincoliideali le reazioni vincolari esplicabili dal sistema sono tutte e soltanto quelle i cui risultantiR φ,1, R φ,2 e momenti risultanti M φ,1

O , M φ,2A appartengono all’insieme:

V =(

R φ,1, R φ,2, M φ,1O , M φ,2

A

)=

(R φ,1, R φ,2,−(A−O)∧ R φ,2, 0

)∀ R φ,1, R φ,2 ∈ R

3

che nella fattispecie presenta la struttura di un sottospazio vettoriale di dimensione 12−6 =6 in R12.Un sistema dinamicamente equivalente si ottiene assumendo reazioni vincolari interne ar-bitrarie, purche di risultanti e momenti risultanti nulli sulle parti rigide Ω1 e Ω2, e perquanto riguarda le reazioni esterne:

− sulla parte rigida Ω1 una reazione concentrata Φ1 applicata in O e una seconda reazioneΦ2 agente in A, entrambe arbitrarie;

− sulla parte rigida Ω2 una reazione −Φ2 applicata in A. La scelta del vettore e suggeritadal principio di azione e reazione, considerato che in questo modello Φ2 rappresental’azione del punto A ∈ Ω2 sul punto corrispondente di Ω1, mentre −Φ2 esprime lareazione che il punto A di Ω1 esercita su A ∈ Ω2.

In questo modello semplificato, a reazioni esterne concentrate, risultanti e momenti risul-

Stefano Siboni 67


tanti assumono la forma:

R φ,1 = Φ1 + Φ2

R φ,2 = −Φ2

M φ,1O = (A −O) ∧ Φ2

M φ,2A = 0

per cui le reazioni esplicabili dai vincoli sono tutte e soltanto quelle i cui risultanti emomenti risultanti appartengono al sottoinsieme di R12:

V =(

R φ,1, R φ,2, M φ,1O , M φ,2

A

)=

(Φ1 + Φ2,−Φ2, (A − O) ∧ Φ2, 0

)∀ Φ1, Φ2 ∈ R

3

che con il cambiamento di variabili (R φ,1, R φ,2) → (α, β) definito dalla biiezione di R6 inse:

α = Φ1 + Φ2

β = −Φ2

⇐⇒

Φ1 = α + β

Φ2 = −β

si riduce a:

V =(

R φ,1, R φ,2, M φ,1O , M φ,2

A

)=

(α, β,−(A −O) ∧ β, 0

)∀ α, β ∈ R

3

e si riconosce quindi coincidere con il sottospazio V . I risultanti e i momenti risultantidelle reazioni vincolari sulle singole parti rigide sono tutte e soltanto quelle compatibili conla condizione dei vincoli ideali: il sistema ideale e quello semplificato a reazioni concentratesono percio equivalenti agli effetti dinamici, condividendo tutti i moti naturali.

36.2 Esempio di inequivalenza fra equazioni cardinali eteorema dei lavori virtuali

Si considera un semplice esempio che illustra come la mancata equivalenza fra sistema idealee sistema semplificato a reazioni concentrate possa invalidare l’equivalenza fra equazionicardinali e teorema dei lavori virtuali per la determinazione degli equilibri.E dato una lamina piana Ω vincolata a muoversi nel piano coordinato Oxy di una ternadi riferimento cartesiana ortogonale, con il punto A ∈ Ω costretto a scorrere sull’asse Oyed un secondo punto B ∈ Ω vincolato a rimenere sull’asse coordinato Ox.

Stefano Siboni 68


Il sistema si suppone a vincoli ideali e la sua configurazione viene individuata per mezzodell’angolo θ indicato in figura. I vettori posizione dei punti A e B si scrivono in funzionedi θ:

A − O = |A − B| cos θ e2 B − O = |A − B| sin θ e1

e i loro spostamenti virtuali valgono percio:

δA = −|A − B| sin θ e2 δθ δB = |A − B| cos θ e1 δθ

per cui lo spostamento virtuale di un arbitrario punto P ∈ Ω si calcola usando il teoremadi Poisson:

δP = −δθ |A − B| sin θ e2 + δθ e3 ∧ (P −A) = [−|A − B| sin θ e2 + e3 ∧ (P − A)] δθ .

Dall’espressione degli spostamenti virtuali segue la condizione dei vincoli ideali:

δLφ =∑P∈Ω

δP · ΦP =∑P∈ Ω

[−|A − B| sin θ e2 + e3 ∧ (P − A)] δθ · ΦP =

=(−|A − B| sin θ e2 · R φ + e3 · M φ

A

)δθ ≥ 0 ∀ δθ ∈ R

che per l’arbitrarieta di δθ si riduce all’equazione:

−|A − B| sin θ e2 · R φ + e3 · M φA = 0 . (36.3)

Nella configurazione individuata da un assegnato valore di θ le reazioni vincolari esercitabilidal sistema sono tutte e sole quelle il cui risultante R φ e momento risultante M φ

A soddisfanol’equazione (36.3) e dunque appartengono all’insieme:

V =(

R φ, M φA · e1, M φ

A · e2, M φA · e3

)=

(R φ, M φ

A · e1, M φA · e2, |A − B| sin θ e2 · R φ

)

∀ R φ ∈ R3, ∀ M φ

A · e1 ∈ R , ∀ M φA · e2 ∈ R

che costituisce un sottospazio vettoriale di dimensione 5 dello spazio R6. Si potrebbepensare di introdurre un sistema equivalente a reazioni vincolari esterne concentrate as-sumendo reazioni interne arbitrarie, salvo che per l’annullarsi di risultante e momentorisultante, una reazione vincolare esterna in A ortogonale a Oy:

Φ1 = ΦAxe1 + ΦAz e3 ∀ΦAx, ΦAz ∈ R

e una reazione vincolare esterna in B ortogonale a Ox:

Φ2 = ΦBy e2 + ΦBz e3 ∀ΦBy, ΦBz ∈ R .

Stefano Siboni 69


Nondimeno, il risultante delle reazioni vincolari vale:

R φ = ΦAxe1 + ΦBy e2 + (ΦAz + ΦBz)e3

mentre per il momento risultante in A si ha:

M φA = |A − B|(sin θ e1 − cos θ e2) ∧ (ΦBy e2 + ΦBz e3) =

= |A − B|(−ΦBz cos θ e1 − ΦBz sin θ e2 + ΦBy sin θ e3)

sicche risultante e momento risultante delle reazioni vincolari si collocano nel sottoinsiemedi R6:

V =(

R φ, M φA · e1, M φ

A · e2, M φA · e3

)=

(ΦAx,ΦBy,ΦAz + ΦBz,−|A −B|ΦBz cos θ,

−|A −B|ΦBz sin θ, |A − B|ΦBy sin θ,)

∀ΦAx,ΦAz,ΦBy,ΦBz ∈ R

,

sottospazio vettoriale di dimensione 4. V e strettamente incluso in V , dal momento che laquarta e la quinta componente dei suoi vettori non sono arbitrarie come in V :

−|A − B|ΦBz cos θ − |A − B|ΦBz sin θ .

Cio esprime il fatto che il momento assiale rispetto alla retta AB delle reazioni vincolaririsulta nullo:

M φA · (B − A) = M φ

A · |A − B|(sin θ e1 − cos θ e2) =

= |A − B| (sin θ M φA · e1 − cos θ M φ

A · e2) = 0

Il sistema semplificato non e dinamicamente equivalente a quello ideale. Se ilsistema fosse a vincoli ideali e soggetto esclusivamente ad una coppia di momento:

α(B − A) (α = 0)

tutte le configurazioni sarebbero di equilibrio, ma nessuna risulterebbe calco-labile secondo il modello semplificato. In effetti, con R a = 0 e M a

A = α(B − A) lacomponente lagrangiana Qθ delle sollecitazioni attive e definita da:

Qθ δθ = (−|A − B| sin θ e2 · R a + e3 · M aA ) δθ

Stefano Siboni 70


e risulta quindi identicamente nulla:

Qθ = −|A − B| sin θ e2 · R a + e3 · M aA = −|A − B| sin θ e2 · 0 + e3 · α(B − A) = 0

dal che, per il teorema dei lavori virtuali, si riconosce che tutte le configurazioni sono diequilibrio se i vincoli si assumono ideali. Per contro, l’equazione cardinale del momentoangolare in A proiettata lungo l’asse AB porge, in condizioni statiche:

[(B −A) ∧ ΦB + α(B − A)

]· (B − A) = 0

ossia:α |B − A|2 = 0

e non e mai soddisfatta!

37. Vincoli con attrito radenteIl problema dell’equilibrio in presenza di attrito e piuttosto complesso e deve essere af-frontato ricorrendo all’esperienza. I risultati dell’osservazione conducono alla cosiddettalegge di Coulomb-Morin dell’attrito radente statico, che per semplicita verranno consider-ate nel caso particolare di un punto materiale vincolato a rimanere su una curva o su unasuperficie regolare — senza potersene distaccare.

37.1 Attrito radenteSi e visto che un punto materiale vincolato a restare su una curva regolare γ costituisceun sistema a vincoli ideali se e soltanto se la curva e liscia, per cui le reazioni vincolariesplicabili dal sistema nella configurazione che vede il punto materiale occupare la posizioneP ∈ γ sono tutte e sole quelle la cui componente tangenziale a γ in P risulta uguale a zero.Nel caso generale, non ideale, la reazione vincolare Φ applicata al punto constera di unacomponente Φτ tangenziale alla curva e di una componente ortogonale Φo:

Φ = Φτ + Φo . (37.1)

La componente tangenziale alla curva, Φτ , e nota come forza di attrito radente; l’esperienzainsegna che le caratteristiche dell’attrito radente sono ben diverse nel caso in cui la velocitadel punto P sulla curva sia nulla (caso statico) e nel caso in cui tale velocita sia diversada zero (caso dinamico). Si hanno cosı una legge dell’attrito radente statico e una leggedell’attrito radente dinamico, entrambe stabilite da Coulomb e Morin.

37.2 Legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente staticoSe il punto P ha velocita nulla sulla curva vincolare — se cioe la velocita di P e quella delcorrispondente punto della curva sono uguali — le reazioni vincolari esplicabili dal sistema

Stefano Siboni 71


sul punto materiale P sono tutte e sole quelle espresse dalla (37.1) le cui componentitangenziale e ortogonale soddisfano la condizione:

|Φτ | ≤ µs|Φo| (37.2)

dove µs e un coefficiente non negativo che dipende dallo stato della regione di contatto frail punto e il supporto della curva

Il fattore adimensionale µs e noto come coefficiente di attrito radente statico e ilsuo valore numerico riflette la natura e lo stato del contatto fra il punto e la curva: valorigrandi di µs sono caratteristici di curve scabre, mentre contatti lisci, ben puliti e lubrificaticorrispondono a µs 0. L’esperienza insegna che il coefficiente di attrito radente staticotipicamente non eccede il valore 1. Per µs = 0 la condizione (37.2) equivale a richiedereche si abbia Φτ = 0 identicamente, e si ritrova la condizione di curva liscia. E importantesottolineare che le reazioni vincolari esplicabili dai vincoli in presenza di attrito costituisco-no un ampliamento dell’insieme delle reazioni consentite nel caso ideale, dal momento cheΦτ = 0 soddisfa sempre la (37.2), quale che sia Φo. In generale puo verificarsi la circostanzache il coefficiente di attrito statico µs sia funzione della posizione lungo la curva — si pensiad un supporto curvilineo con un grado di pulizia e/o lubrificazione diverso da punto apunto — ma per semplicita si conviene di ritenere µs costante in tutti i punti di γ.Stante la definizione generale di moto naturale, di quiete e di equilibrio, e allora facilecaratterizzare le configurazioni di equilibrio del sistema in presenza di attrito radente.

37.3 Caratterizzazione degli equilibriCome nel caso ideale, per moto naturale del sistema si intende un qualsiasi moto possibilecui si accompagnino reazioni vincolari effettivamente esplicabili dal sistema. La configu-razione P0 si definira di equilibrio per il sistema se la quiete in P0 e un moto naturale,associato quindi a reazioni vincolari permesse. La novita rispetto al caso ideale e che orale reazioni vincolari esplicabili non sono semplicemente quelle ortogonali alla curva nelpunto considerato, ma tutte e sole quelle compatibili con la (37.2). Vale allora il risultantoseguente.

Sia P (t) = P0 ∀ t ∈ R un moto possibile per il sistema. Allora la configurazione P0 e diequilibrio se e soltanto se:

|Fτ (t, P0, 0)| ≤ µs|Fo(t, P0, 0)| ∀ t ∈ R

essendosi indicato con F (t, P, P ) il risultante delle forze attive agenti sul punto nella po-sizione P ∈ γ, con velocita P all’istante t, e con Fτ (t, P, P ) e Fo(t, P, P ) rispettivamentela componente tangente e quella ortogonale alla curva nella stessa posizione P ∈ γ, con lastessa velocita P ed allo stesso istante t ∈ R.

Stefano Siboni 72


La dimostrazione del teorema di caratterizzazione e immediata. La quiete in P0:

P (t) = P0 ∀ t ∈ R

e per ipotesi un moto possibile del sistema, dunque compatibile con i vincoli ad ogni istantet: cio permette di trattare anche il caso di una curva γ variabile nel tempo. Per dimostrareil risultato basta provare che la quiete in P0 e un moto non soltanto possibile ma anchenaturale. Per P (t) = P0 ∀ t ∈ R, il postulato delle reazioni vincolari porge:

mP = F (t, P, P ) + Φ =⇒ 0 = F (t, P0, 0) + Φ

e conduce alla seguente espressione per la reazione vincolare applicata al punto durante ilmoto:

Φ = −F (t, P0, 0) ∀ t ∈ R .

Per le componenti tangenziale e ortogonale della reazione vincolare in P all’istante t valeallora:

Φτ = −Fτ (t, P0, 0) Φo = −Fo(t, P0, 0) ∀ t ∈ R

e la condizione necessaria e sufficiente per il moto naturale si ottiene sostituendo questeespressioni nella legge (37.2).

37.4 Punto vincolato a restare su una superficie regolareLa definizione di attrito radente, la legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente staticoed il teorema di caratterizzazione degli equilibri si estendono immediatamente al caso diun punto materiale vincolato a rimanere su una superficie regolare S. Basta considerarela componente Φn della reazione vincolare lungo il versore normale alla superficie nellaposizione P in esame e la componente Φτ secondo il piano tangente alla superficie nellostesso punto:

Φ = Φτ + Φn

in modo che la legge di Coulomb-Morin caratterizza le reazioni vincolari esplicabili incondizione di quiete relativa fra P e la superficie come tutte e sole quelle per le quali valga:

|Φτ | ≤ µs |Φn|

e il teorema di caratterizzazione dell’equilibrio individua la configurazione P0, nella qualela quiete sia un moto possibile del sistema, come equilibrio se e solo se:

|Fτ(t, P0, 0)| ≤ µs |Fn(t, P0, 0)| ∀ t ∈ R

in termini delle componenti rispettivamente tangenziale Fτ(t, P, P ) e normale Fn(t, P, P )alla superficie della sollecitazione attiva F (t, P, P ) all’istante t, nella posizione P e per lavelocita P del punto materiale.

Stefano Siboni 73


37.5 Principio di sicurezza

Dalla discussione precedente appare chiaro che nel caso di un punto materiale vincolato arestare su una curva/superficie regolare con attrito, se una configurazione viene riconosciu-ta di equilibrio assumendo il vincolo ideale, allora la configurazione risulta effettivamenteun equilibrio anche tenendo conto dell’attrito. Per contro possono sussistere degli equilibridefiniti in forza dell’attrito radente, vale a dire grazie all’azione di componenti tangenzialidi reazione vincolare: tali equilibri cesserebbero di esistere nel momento in cui gli attritiradenti venissero rimossi. La condizione segue dal fatto che le reazioni vincolaricompatibili con il principio delle reazioni vincolari sono anche compatibili conla legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente statico, ma non viceversa. Perun sistema di questo tipo la condizione espressa dal teorema dei lavori virtuali constituisceancora una condizione sufficiente per l’equilibrio, ma non e piu, in generale, necessaria.

Questa proprieta si postula sia estendibile a qualsiasi sistema olonomo con attrito radente(che in generale non sara a vincoli ideali). Si assume percio che:

in condizioni statiche l’insieme delle reazioni vincolari esplicabili da un sistema olonomocon attrito include l’insieme delle reazioni vincolari esercitabili dallo stesso sistema riguar-dato come a vincoli ideali.

Conseguentemente, vale il cosiddetto principio di sicurezza:

La condizione espressa dal teorema dei lavori virtuali per i sistemi a vincoli ideali, nelcaso dei sistemi olonomi con attrito costituisce ancora una condizione sufficiente, ma ingenerale non necessaria, per l’equilibrio.

Le configurazioni di equilibrio che vengono identificate applicando il teorema dei lavori vir-tuali, dunque assumendo i vincoli ideali, sono certamente degli equilibri anche per il siste-ma con attrito; esisteranno, tuttavia, configurazioni di equilibrio che non sottostanno allacondizione del teorema dei lavori virtuali, configurazioni a determinare le quali gli attritiradenti concorrono in modo essenziale — si pensi, ad esempio, alle configurazioni di equi-librio di un pendolo semplice nell’ipotesi che la circonferenza vincolare abbia coefficientedi attrito radente statico diverso da zero.

38. Integrali primi delle equazioni di LagrangeIn quest’ultimo paragrafo vengono presentati e discussi, in modo abbastanza ampio, iprincipali risultati riguardanti gli integrali primi delle equazioni di Lagrange per i sistemiolonomi a vincoli ideali. Poiche il concetto di integrale primo e riferito all’equazione delmoto del sistema, nella discussione seguente — benche applicabile, in linea di principio, siaai vincoli unilaterali che a quelli bilaterali — si fara sempre riferimento alle configurazioniordinarie del sistema, le sole per le quali le equazioni lagrangiane del moto risultano definite.

Stefano Siboni 74


38.1 Potenza di una sollecitazioneData una sollecitazione di componenti lagrangiane Qh, h = 1, . . . , n, si definisce potenzadella sollecitazione l’espressione

π = Q · q =n∑

h=1

Qh qh .

E facile verificare che nel caso scleronomo la potenza di una sollecitazione coincide conla familiare nozione di potenza gia introdotta per i sistemi di punti materiali liberi. Se Fi

sono le forze attive applicate ai punti Pi del sistema scleronomo, si ha infatti:

π =n∑

h=1

Qh qh =n∑

h=1

N∑i=1

Fi ·∂Pi

∂qhqh

e scambiando le sommatorie

π =N∑

i=1

n∑h=1

Fi ·∂Pi

∂qhqh =

N∑i=1

Fi ·n∑

h=1

∂Pi

∂qhqh

in modo che la potenza della sollecitazione diventa

π =N∑

i=1

Fi ·(Pi −

∂Pi

∂t

)=

N∑i=1

Fi · Pi , (38.1.1)

essendo ∂Pi/∂t = 0 per via dei vincoli indipendenti dal tempo.

38.2 Classificazione energetica delle sollecitazioniLe sollecitazioni agenti su un sistema olonomo vengono classificate secondo vari criteri.Fra questi uno dei piu significativi e quello energetico, in base al quale si distinguonosollecitazioni:

− posizionali− posizionali conservative− a potenza non positiva− non energetiche (e girostatiche)− dissipative− completamente dissipative

Si definiscono questi diversi tipi di sollecitazione, fornendo anche gli esempi di maggiorerilevanza per le applicazioni.

Stefano Siboni 75


38.2.1 Sollecitazioni posizionaliUna sollecitazione attiva si dice posizionale se le sue componenti lagrangiane dipendonounicamente dai parametri lagrangiani

Qh = Qh(q) ∀h = 1, . . . , n .

Si osservi che il giudizio circa la natura posizionale di un sistema di forze attive applicatedeve essere espresso, per definizione, sulle componenti lagrangiane di detto sistema e nonpuo, in generale, essere stabilito direttamente sulla forma cartesiana (Fi, Pi) del sistemadi forze applicate. Una importante eccezione e offerta da un qualsiasi sistema di forzeposizionali

Fi = Fi(P ) ∀ i = 1, . . . , N

applicate ai punti materiali Pi, i = 1, . . . , N di un sistema scleronomo di parametriz-zazione P (q). In questo caso e infatti evidente che le componenti lagrangiane delle sol-lecitazioni dipendono soltanto dalle coordinate generalizzate e non anche dal tempo e dallevelocita generalizzate:

Qh =N∑

i=1

Fi ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

Fi(P (q)) · ∂Pi

∂qh(q) = Qh(q) ∀h = 1, . . . , n .

38.2.2 Sollecitazioni posizionali conservativeUna sollecitazione si dice posizionale conservativa se le sue componenti lagrangiane pos-sono rispettivamente identificarsi con le derivate parziali prime rispetto alle coordinategeneralizzate q di una funzione scalare U delle sole q

Qh =∂U

∂qh(q) ∀ q ∈ A, ∀h = 1, . . . , n .

La funzione scalare U e nota come potenziale del sistema di forze posizionali conser-vative considerato. Per questo motivo, si dice anche che le sollecitazioni posizionali con-servative ammettono potenziale. Come la denominazione suggerisce, una sollecitazioneposizionale conservativa e anche posizionale: il carattere posizionale e quindi condizionenecessaria ma non sufficiente per la natura posizionale conservativa della sollecitazione,ovvero per l’esistenza del potenziale.

Come gia visto per il punto materiale libero, un semplice criterio fornisce una condizionenecessaria per l’esistenza di un potenziale nel caso che il campo di sollecitazioni sia suffi-cientemente regolare.

Stefano Siboni 76


38.2.3 Condizione necessaria per la conservativita di una sollecitazione

posizionale

Un campo di sollecitazioni posizionali conservative (Q1 , . . . , Qn) di classe C1 in un do-minio aperto e non vuoto A ⊆ Rn risulta ivi chiuso, intendendosi con cio identicamentesoddisfatte in A le condizioni:

∂Qh

∂qk(q) − ∂Qk

∂qh(q) = 0 ∀h, k = 1, . . . , n .

La condizione di chiusura e una condizione necessaria affinche un campo posizionaleC1 sia conservativo: le derivate incrociate delle componenti lagrangiane del campo disollecitazioni rispetto alle coordinate generalizzate devono risultare identicamente nulle.Della correttezza dell’asserto ci si convince facilmente osservando che se la sollecitazione eposizionale conservativa deve aversi, ∀ q ∈ A e ∀h, k = 1, . . . , n fissato,

∂Qh

∂qk(q) =

∂

∂qk

( ∂U

∂qh

)(q) =

∂2U

∂qk∂qh(q) =

∂2U

∂qh∂qk(q) =

∂

∂qh

( ∂U

∂qk

)(q) =

∂Qk

∂qh(q)

in virtu del lemma di Schwarz.

Non e consentito, in generale, invertire l’asserto precedente: la chiusura del campo disollecitazioni C1 non costituisce una condizione sufficiente per l’esistenza del potenziale,a meno che non si introducano delle ipotesi supplementari che riguardano la strutturageometrica del dominio di definizione A del campo. Come gia rilevato nello studio del puntomateriale libero, se si assume che il dominio A sia stellato, vale il teorema di Poincare.

38.2.4 Teorema di Poincare

Il campo di sollecitazioni Qh(q), h = 1, . . . , n, chiuso e di classe C1 sul dominio stellato Adi Rn risulta ivi posizionale conservativo.

Per campi di sollecitazioni C1 su un dominio A ⊆ Rn stellato la condizione di chiusura edunque necessaria e sufficiente per l’esistenza del potenziale in A della sollecitazione, enon soltanto necessaria.

Vale la pena di ricordare che un risultato analogo vale sostituendo alla condizione che ildominio A sia stellato quella piu generale di A semplicemente connesso in Rn, ovveroquella piu particolare — ma anche piu facilmente verificabile e frequente nella pratica —di A convesso in Rn. Per i concetti di insieme convesso, stellato e semplicemente connessoin R

n si rimanda alla trattazione gia sviluppata a proposito del punto materiale libero.

Stefano Siboni 77


38.2.5 Esempi notevoli di sollecitazioni posizionali conservativeNelle applicazioni hanno grande interesse alcuni casi particolari di sollecitazioni per le qualie possibile stabilire direttamente, ed in modo molto generale, l’esistenza del potenziale,nonche la forma esplicita di questo. Tutti questi esempi speciali si riferiscono a sistemiscleronomi; per i sistemi reonomi si stabiliscono relazioni analoghe salvo che il “potenziale”deve in generale recare una dipendenza esplicita dal tempo e non puo riguardarsi, diconseguenza, come un potenziale nel senso proprio del termine.

• Forze che ammettono un potenziale in forma cartesianaSi tratta di sistemi di forze della forma

Fi =∂U∂Pi

(P ) ∀ i = 1, . . . , N .

Il vettore delle forze applicate Fi si identifica con il gradiente di una funzione potenzialeU , C2, delle coordinate cartesiane dei punti del sistema, e dunque della configurazioneP = (P1, . . . , PN):

(F1, . . . , Fn) =∂U∂P

(P ) .

Le componenti lagrangiane delle sollecitazioni si scrivono allora

Qh =N∑

i=1

Fi ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

∂U∂Pi

(P ) · ∂Pi

∂qh

e se il sistema e scleronomo si riducono a

Qh =N∑

i=1

∂U∂Pi

(P (q)) · ∂Pi

∂qh(q) =

∂

∂qhU(P (q)) ∀h = 1, . . . , n

per via del teorema di derivazione delle funzioni composte. Il sistema di sollecitazionirisulta pertanto posizionale conservativo, con potenziale dato dalla composizione del poten-ziale “cartesiano ” U con la parametrizzazione P (q) del sistema scleronomo

U(q) = U(P (q)) ∀ q ∈ A.

Si osservi che nel caso reonomo, con parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈ R × A varrebbesostanzialmente lo stesso risultato

Qh =∂

∂qhU(P (t, q)) ∀h = 1, . . . , n

se non fosse per il fatto che la funzione U(P (t, q)) dipende esplicitamente dal tempo enon puo assumersi come potenziale della sollecitazione — la quale non risulta neppureposizionale.

Stefano Siboni 78


• Forze pesoUn caso particolarmente interessante, e frequente nelle applicazioni, e quello della forzapeso. Il punto Pi del sistema, di massa mi, subisce la forza peso mig. Il sistema delle forzepeso ha quindi componenti lagrangiane

Qh =N∑

i=1

Fi ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

mig · ∂

∂qh(Pi − O)

che data la costanza di g, delle masse mi e dell’origine O, possono porsi nella formaequivalente

Qh =∂

∂qh

[g ·

N∑i=1

mi(Pi − O)]

=∂

∂qh

[mg · 1

m

N∑i=1

mi(Pi − O)]

e ricordata la definizione del baricentro G del sistema, diventano

Qh =∂

∂qh

[mg · (G − O)

],

in cui, come sempre, si e indicata con m la massa del sistema. Si intende che per un sistemascleronomo, cosı come le posizioni dei singoli punti Pi sono completamente individuate daisoli parametri lagrangiani q, anche il baricentro G e funzione G(q) degli stessi parametri,per cui

Qh =∂

∂qh

[mg · (G(q) − O)

]

ed il sistema delle forze peso agente su un sistema scleronomo si rivela essere, non inaspet-tatamente, posizionale conservativo con potenziale

U(q) = Ug(q) = mg · (G(q) − O) .

Di solito uno degli assi coordinati, per esempio l’asse Ox3 si assume diretto verticalmenteverso l’alto, in modo che risulta

g = −|g| e3 = −g e3 , g = |g| > 0 ,

e il potenziale delle forze peso si riduce alla piu semplice espressione

Ug(q) = −mg e3 · (G(q) − O) = −mg zG(q)

in cui compare la sola quota zG del baricentro.

Stefano Siboni 79


• Forze di interazione elastica fra due puntiSi supponga che due punti A e B di un sistema scleronomo — uno dei punti potrebbeessere in realta fisso e non appartenere necessariamente al sistema — interagiscano fra loroper mezzo di una sollecitazione elastica di costante k > 0, rappresentabile per mezzo diuna molla ideale di estremi A e B e di uguale costante elastica k. Per definizione di forzaelastica, le sollecitazioni agenti sui punti A e B sono date rispettivamente da:

FA = −k(A − B) FB = k(A − B)

e le componenti lagrangiane di tale interazione si calcolano per mezzo della definizionegenerale, ristretta ai soli punti interagenti

Qh =N∑

i=1

Fi ·∂Pi

∂qh= FA · ∂A

∂qh+ FB · ∂B

∂qh= −k(A − B) · ∂A

∂qh+ k(A − B) · ∂B

∂qh.

Raccogliendo il fattore comune −k(A − B) l’espressione si semplifica in

Qh = −k(A − B) ·( ∂A

∂qh− ∂B

∂qh

)= −k(A − B) · ∂

∂qh(A − B) =

= −k

2

[(A − B) · ∂

∂qh(A −B) +

∂

∂qh(A − B) · (A − B)

]=

= −k

2∂

∂qh

[(A − B)2

]=

∂

∂qh

[−k

2(A − B)2

].

Per un sistema scleronomo si deve intendere che le posizioni dei punti A e B siano funzioniassegnate dei soli parametri lagrangiani — o che eventualmente una di esse sia costante— per cui

Qh =∂

∂qh

[−k

2[A(q) − B(q)]2

]∀h = 1, . . . , n

e l’interazione elastica si riconosce essere una sollecitazione posizionale conservativa dipotenziale

U(q) = Uel(q) = −k

2[A(q) − B(q)]2 .

Eventuali ulteriori interazioni — ciascuna con la propria costante elastica — fra altrecoppie di punti si tratterebbero in modo del tutto analogo e, dato il carattere additivodella loro definizione, le componenti lagrangiane delle sollecitazioni elastiche sarebberodate dalla somma delle componenti lagrangiane relative alle singole interazioni — ovverodelle singole molle. Conseguentemente, il potenziale delle interazioni elastiche risulterebbedalla somma dei potenziali elastici calcolati per le singole coppie di punti elasticamenteinteragenti.

Stefano Siboni 80


• Forze centrifugheIn un sistema di riferimento rotante con velocita angolare costante ω attorno ad un assepassante per la sua origine O, rispetto ad una terna inerziale, la forza centrifuga agente suun punto Pi di massa mi e dato dalla seguente, ben nota, espressione

Fi = mi|ω|2[Pi − O −

((Pi − O) · ω

|ω|) ω

|ω|

].

Le componenti lagrangiane del sistema di forze centrifughe diventano percio

Qh =N∑

i=1

mi|ω|2[Pi − O −

((Pi − O) · ω

|ω|

) ω

|ω|

]· ∂

∂qh(Pi − O)

ossia, distribuendo il prodotto scalare sulla somma entro parentesi quadre,

Qh =N∑

i=1

mi|ω|2[(Pi −O) · ∂

∂qh(Pi − O) −

((Pi −O) · ω

|ω|) ω

|ω| ·∂

∂qh(Pi − O)

]

e quindi, in modo analogo a quanto gia visto nel caso elastico,

Qh =N∑

i=1

mi|ω|2[

∂

∂qh

[12(Pi − O)2

]− ∂

∂qh

[12

((Pi − O) · ω

|ω|

)2]].

Le componenti lagrangiane delle forze centrifughe sono cosı date dall’espressione

Qh =∂

∂qh

[|ω|22

N∑i=1

mi

[(Pi − O)2 −

((Pi − O) · ω

|ω|)2]]

nella quale e immediato riconoscere la distanza al quadrato del punto Pi dall’asse di ro-tazione Oω

δ2i = (Pi − O)2 −

((Pi − O) · ω

|ω|)2

ed il momento d’inerzia del sistema rispetto allo stesso asse

IOω =N∑

i=1

miδ2i =

N∑i=1

mi(Pi − O)2 −((Pi − O) · ω

|ω|)2

che per un sistema scleronomo deve intendersi funzione dei soli parametri lagrangiani, alpari della configurazione P

IOω = IOω(q) .

Il sistema delle forze centrifughe agenti su un sistema scleronomo e dunque posizionaleconservativo ed il suo potenziale assume la forma

U(q) = Ucf(q) =|ω|22

IOω(q)

Stefano Siboni 81


definita, al solito, a meno di una costante additiva arbitraria.

38.2.6 Potenza delle sollecitazioni posizionaliSi verifica agevolmente che, eccettuato il caso banale di sollecitazioni identicamente nulle,

una sollecitazione posizionale non ha potenza di segno definito.

Se infatti la sollecitazione non e identicamente nulla deve esistere un q ∈ A tale cheQ(q) = 0. La potenza della sollecitazione assume allora segno positivo per q = Q(q) ∈ R

n

π =n∑

h=1

Qh(q) qh =n∑

h=1

Qh(q)2 > 0

e negativo per q = −Q(q)

π =n∑

h=1

Qh(q) qh =n∑

h=1

Qh(q)[−Qh(q)] = −n∑

h=1

Qh(q)2 < 0

come affermato.

38.2.7 Sollecitazioni a potenza non positivaSi dicono sollecitazioni a potenza non positiva tutte le sollecitazioni la cui potenza assumevalore negativo o nullo ad ogni istante e per qualsiasi scelta dei parametri lagrangiani edelle velocita generalizzate

Q(t, q, q) · q =n∑

h=1

Qh(t, q, q) qh ≤ 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn .

Per l’osservazione fatta nel paragrafo precedente, circa il segno non definito della potenzadelle sollecitazioni posizionali diverse da quella identicamente nulla, e evidente che una sol-lecitazione a potenza non positiva non puo essere puramente posizionale, ne puo dipendereunicamente dal tempo e dai parametri lagrangiani.

Una sollecitazione di potenza non positiva dipende sempre esplicitamente, se non identi-camente nulla, dalle velocita generalizzate,

in modo che non puo aversi

Q = Q(t, q) se Q(t, q, q) · q ≤ 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn .

Stefano Siboni 82


38.2.8 Esempi notevoli di sollecitazioni a potenza non positivaNel caso scleronomo e facile individuare esempi notevoli di sollecitazioni a potenza nonpositiva, di grande interesse per le applicazioni.

• Forze di CoriolisLa forza di Coriolis agente su un punto Pi di massa mi in una terna di riferimento postain rotazione uniforme con velocita angolare costante ω rispetto ad un riferimento inerzialee data dalla nota relazione

Fi = −2miω ∧ Pi .

Se il sistema e scleronomo la potenza π delle sollecitazioni coincide con quella calcolatadirettamente in forma cartesiana — equazione (38.1.1) — e risulta percio identicamentenulla

π =N∑

i=1

Fi · Pi =N∑

i=1

(−2miω ∧ Pi) · Pi =N∑

i=1

0 = 0

in virtu del fatto che la forza di Coriolis si presenta costantemente ortogonale alla velocitaistantanea del punto cui e applicata.

• Forze di LorentzLa forza di Lorents agente su una carica elettrica puntiforme ei, di massa mi e posizionePi si esprime per mezzo della legge

Fi = eiPi ∧ B(t, Pi)

in cui B(t, Pi) indica il vettore di induzione magnetica nella posizione Pi all’istante t. Lapotenza delle sollecitazioni applicate ad un sistema scleronomo vale percio, come nel casoprecedente

π =N∑

i=1

Fi · Pi =N∑

i=1

eiPi ∧ B(t, Pi) · Pi = 0

per qualsivoglia scelta di (t, q, q).

• Forze di resistenza viscosaLa resistenza viscosa agente su un punto Pi si esprime come

Fi = −βiPi

in termini della costante di frizione βi > 0 — diversa, in generale, da punto a punto. Se ilsistema e scleronomo, la potenza delle sollecitazioni vale percio

π =N∑

i=1

(−βiPi) · Pi = −N∑

i=1

βiP2i = −

N∑i=1

βi|Pi|2

ed assume valori negativi o nulli — precisamente si annulla se e soltanto se tutte le velocitaistantanee Pi risultano simultaneamente uguali a zero.

Stefano Siboni 83


• Forze di resistenza idraulicaLe forze di resistenza idraulica applicate ai punti materiali del sistema sono del tipo

Fi = −βi|Pi|Pi

con βi > 0. Se il sistema e scleronomo, la potenza delle sollecitazioni si calcola in modoanalogo al caso viscoso

π =N∑

i=1

(−βi|Pi|Pi) · Pi = −N∑

i=1

βi|Pi|P 2i = −

N∑i=1

βi|Pi|3

e risulta comunque non positiva.

38.2.9 Sollecitazioni non energeticheSi definisce non energetica una sollecitazione la cui potenza risulta identicamente nulla aqualsiasi istante e per qualsivoglia scelta dei parametri lagrangiani e delle velocita genera-lizzate

Q(t, q, q) · q =n∑

h=1

Qh(t, q, q) qh = 0 ∀ (t, q, q) ∈ R ×A × Rn .

Rimane valida anche per le sollecitazioni non energetiche l’affermazione che le vuole dipen-dere sempre esplicitamente dalle velocita generalizzate. Il caso di maggiore interesse praticoe quello delle cosiddette sollecitazioni girostatiche.

• Sollecitazioni girostaticheSi dice girostatica una sollecitazione non energetica le cui componenti lagrangiane dipen-dono linearmente dalle velocita generalizzate

Qh(t, q, q) =n∑

k=1

Γhk(t, q) qk (38.2.1)

in cui la matrice Γ dei coefficienti Γhk e una matrice n × n indipendente da q.

Per la matrice di rappresentazione Γ della sollecitazione non energetica vale il risultatoseguente.

• Teorema di rappresentazione delle sollecitazioni girostaticheLa matrice di rappresentazione Γ di una sollecitazione girostatica e antisimmetrica ad ogniistante e per ogni scelta delle coordinate lagrangiane

Γhk(t, q) = −Γkh(t, q) ∀h, k = 1, . . . , n , ∀ (t, q) ∈ R × A.

Viceversa, la sollecitazione della forma (38.2.1) per la quale la matrice Γ(t, q) risulta an-tisimmetrica ∀ (t, q) ∈ R × A e girostatica.

Stefano Siboni 84


Per dimostrare il teorema si osserva preliminarmente che la potenza della sollecitazione(38.2.1) e una forma quadratica delle velocita generalizzate

π =n∑

h=1

Qh qh =n∑

h=1

n∑k=1

Γhk(t, q) qk =n∑

h,k=1

Γhk(t, q) qh qk

e ovviamente deve rimanere invariata per lo scambio degli indici di somma h e k

π =n∑

h,k=1

Γhk(t, q) qh qk =n∑

h,k=1

Γkh(t, q) qh qk . (38.2.2)

Nell’ipotesi che la matrice Γ(, q) sia antisimmetrica per ogni (t, q) la (38.2.2) permette diconcludere immediatamente che per qualsiasi scelta delle velocita generalizzate la potenzaπ deve coincidere con il proprio opposto

π =n∑

h,k=1

Γhk(t, q) qh qk =n∑

h,k=1

Γkh(t, q) qh qk = −n∑

h,k=1

Γhk(t, q) qh qk = −π

e quindi annullarsi identicamente

π = 0 ∀ (t, q) ∈ R × A, ∀ q ∈ Rn .

Viceversa, assunta la sollecitazione non energetica, deve risultare

π =n∑

h,k=1

Γhk(t, q) qh qk = 0 ∀ q ∈ Rn

e quindi per la (38.2.2)

π =12

[ n∑h,k=1

Γhk(t, q) qh qk +n∑

h,k=1

Γkh(t, q) qh qk

]= 0 ∀ q ∈ R

n

ovveron∑

h,k=1

Γhk(t, q) + Γkh(t, q)2

qhqk = 0 ∀ q ∈ Rn .

Posto per brevita

Shk(t, q) =Γhk(t, q) + Γkh(t, q)

2∀h, k = 1, . . . , n ,

la relazione precedente si puo esprimere nell’equivalente forma matriciale

qT S(t, q)q = 0 ∀ q ∈ Rn

Stefano Siboni 85


mentre l’evidente simmetria della matrice S(t, q) implica l’identita(o)

uT S(t, q)v =12[(u + v)T S(t, q)(u + v) − uT S(t, q)u − vT S(t, q)v

]∀u, v ∈ R

n

e conduce alla condizione

uT S(t, q)v = 0 ∀u, v ∈ Rn ,

la quale esprime il fatto che per ogni (t, q) e v fissati il vettore S(t, q)v e ortogonale aqualsiasi u ∈ Rn, dovendo risultare percio nullo

S(t, q)v = 0 ∀ v ∈ Rn .

L’arbitrarieta di v ∈ Rn impone allora che si abbia

S(t, q) = 0 ∀ (t, q) ∈ R × A

e che la matrice di rappresentazione Γ(t, q) sia antisimmetrica per ogni scelta di t e q

Γhk(t, q) + Γkh(t, q) = 0 ∀h, k = 1, . . . , n .

La dimostrazione e completa.

• Esempi di sollecitazioni non energetichePer quanto detto in precedenza e evidente che le sollecitazioni di Coriolis e di Lorentz, seapplicate ai punti di un sistema scleronomo, rappresentano dei sistemi di sollecitazioni nonenergetiche. In effetti, si tratta di sollecitazioni girostatiche. Per verificarlo e sufficienteconstatare che le componenti lagrangiane della sollecitazione, di Coriolis ad esempio, siesprime nella forma

Qh = −2N∑

i=1

miω ∧ Pi ·∂Pi

∂qh= −2

N∑i=1

mi∂Pi

∂qh∧ ω · Pi =

= −2N∑

i=1

mi∂Pi

∂qh∧ ω ·

n∑k=1

∂Pi

∂qkqk =

n∑k=1

2N∑

i=1

miω ∧ ∂Pi

∂qh· ∂Pi

∂qkqk

chiaramente lineare nelle velocita generalizzate q, con matrice di rappresentazione

Γ(t, q)hk = 2N∑

i=1

miω ∧ ∂Pi

∂qh· ∂Pi

∂qk= 2ω ·

N∑i=1

mi∂Pi

∂qh∧ ∂Pi

∂qk

la cui antisimmetria e peraltro evidente dall’antisimmetria del prodotto vettoriale. Analogae la verifica per il caso delle forze di Lorentz.

(o) nota in algebra lineare come “identita di polarizzazione” o “identita polare”

Stefano Siboni 86


38.2.10 Sollecitazioni dissipativeSi definisce dissipativa una sollecitazione a potenza non positiva la cui potenza risultaeffettivamente negativa per almeno una qualche scelta di t q e q

Q(t, q, q) · q ≤ 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn

∃ (t, q, q) ∈ R × A × Rn : Q(t, q, q) · q < 0 .

Appare chiaro dalla definizione che tutte le sollecitazioni a potenza non positiva risultanoo non energetiche o dissipative, come pure e altrettanto evidente che le definizioni disollecitazione non energetica e di sollecitazione dissipativa sono mutuamente esclusive.

• Esempi di sollecitazioni dissipativeSi riconosce che le sollecitazioni di resistenza viscosa e idraulica, applicate ad un sistemascleronomo, hanno natura dissipativa. E infatti sufficiente che la velocita anche di un solopunto del sistema sia diversa da zero per dare luogo ad una potenza strettamente negativa.

38.2.11 Sollecitazioni completamente dissipativeUna sollecitazione di potenza non positiva si dice completamente dissipativa se la suapotenza si annulla soltanto per velocita generalizzate tutte nulle

Q(t, q, q) · q ≤ 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn , Q(t, q, q) · q = 0 =⇒ q = 0 .

Come la denominazione suggerisce, le sollecitazioni completamente dissipative sono par-ticolari sollecitazioni dissipative. Si osservi che la potenza di una sollecitazione e semprenulla per velocita generalizzate nulle, per cui la definizione potrebbe riformularsi in mododel tutto equivalente imponendo la condizione che la potenza si annulli se e soltanto se levelocita generalizzate sono tutte uguali a zero.

• Esempi di sollecitazioni completamente dissipativeIn realta gli esempi considerati delle sollecitazioni di resistenza viscosa e idraulica, ap-plicate ai punti di un sistema scleronomo, corrispondono a sollecitazioni completamentedissipative. Per verificarlo, si consideri ad esempio il caso delle sollecitazioni di resistenzaviscosa e si imponga l’annullarsi della relativa potenza

π = −N∑

i=1

βi|Pi|2 = 0 .

Condizione necessaria e sufficiente a che cio avvenga e che tutte le velocita istantanee sianonulle e che quindi, dati i vincoli indipendenti dal tempo, si abbia

Pi =n∑

h=1

∂Pi

∂qhqh = 0 ∀ i = 1, . . . , N ⇐⇒

n∑h=1

∂P

∂qhqh = 0

Stefano Siboni 87


da cui si deduce che, necessariamente,

qh = 0 ∀h = 1, . . . , n

a causa della lineare indipendenza dei vettori ∂P/∂qh, h = 1, . . . , n, assicurata dalladefinizione di sistema olonomo. La potenza π si annulla pertanto se e soltanto se q = 0,come affermato.

38.3 Equazioni di Lagrange in presenza di sollecitazioniposizionali conservative

Qualora un sistema olonomo a vincoli ideali sia soggetto a sollecitazioni attive posizio-nali e conservative, le equazioni di Lagrange vengono convenientemente riscritte in unaforma equivalente, molto comoda per le applicazioni. Le componenti lagrangiane delle sol-lecitazioni consisteranno nella somma di due contributi, l’uno relativo alle forze posizionaliconservative e l’altro pertinente alle sollecitazioni che non ammetto potenziale. Si avrapertanto

Qh(t, q, q) =∂U

∂qh(q) + Dh(t, a, q) ∀h = 1, . . . , n , ∀ (t, q, q) ∈ R × A × R

n

essendo U il potenziale delle sollecitazioni posizionali conservative. Le equazioni di La-grange si riscrivono percio nella forma

d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh=

∂U

∂qh(q) + Dh(t, a, q) h = 1, . . . , n . (38.3.1)

D’altra parte, le ovvie identita

∂U

∂qh= 0

d

dt

( ∂U

∂qh

)= 0 ∀h = 1, . . . , n

valgono per la convenzionale indipendenza delle variabili (t, q, q) e per l’essere il potenzialefunzione delle sole q. Sostituite nelle (38.3.1), queste diventano

d

dt

( ∂L

∂qh

)− ∂L

∂qh= Dh(t, q, q) h = 1, . . . , n

in cui si e introdotta la cosiddetta funzione di Lagrange o semplicemente lagrangianadel sistema

L = T + U .

La lagrangiana, in quanto somma del potenziale e dell’energia cinetica del sistema, e an-che nota come potenziale cinetico, espressione che comunque non risulta di uso moltofrequente. Un caso di particolare interesse e quello puramente posizionale conservativo,allorquando Dh(t, q, q) = 0 identicamente e le equazioni lagrangiane si riducono a

d

dt

( ∂L

∂qh

)− ∂L

∂qh= 0 h = 1, . . . , n

Stefano Siboni 88


38.4 Integrale primo dell’energia meccanicaPer i sistemi scleronomi e possibile ottenere una semplice generalizzazione del teoremadell’energia cinetica, gia stabilito nel caso di un punto materiale libero e per un sistema dipunti materiali liberi. Vale infatti il seguente:

38.4.1 Teorema dell’energia cineticaSia dato un sistema scleronomo soggetto alle sollecitazioni

Qh(t, q, q) ∀h = 1, . . . , n , ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn .

Allora, lungo tutte le soluzioni delle equazioni di Lagrange

d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh= Qh h = 1, . . . , n (38.4.1)

la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica coincide con la potenza π delle sol-lecitazioni attive applicate:

dT

dt= Q · q = π . (38.4.2)

Per dimostrare il teorema si considerano le equazioni di Lagrange (38.4.1) e le si moltiplicamembro a membro per la corrispondente componente qh della velocita generalizzata

qhd

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qhqh = Qh qh h = 1, . . . , n .

Si riscrive quindi il primo termine del binomio di Lagrange per mezzo dell’ovvia identita

qhd

dt

( ∂T

∂qh

)=

d

dt

(qh

∂T

∂qh

)− ∂T

∂qhqh

ottenendod

dt

(qh

∂T

∂qh

)− ∂T

∂qhqh − ∂T

∂qhqh = Qh qh h = 1, . . . , n

per poi sommare tutte le equazioni cosı determinate

d

dt

( n∑h=1

∂T

∂qhqh

)−

( n∑h=1

∂T

∂qhqh +

n∑h=1

∂T

∂qhqh

)=

n∑h=1

Qhqh . (38.4.3)

Nell’ipotesi che il sistema sia scleronomo, l’indipendenza dal tempo della parametrizzazioneP (q) del sistema implica che l’energia cinetica sia una forma quadratica delle velocitageneralizzate qh, secondo coefficienti che sono funzione dei soli parametri lagrangiani

T = T2 =12

n∑h,k=1

ahk(q) qh qk .

Stefano Siboni 89


Da cio segue che:

(i) l’energia cinetica e funzione C1 dei soli argomenti q e q, e non anche esplicitamentedel tempo, per cui

dT

dt=

dT

dt(q, q) =

n∑h=1

∂T

∂qhqh +

n∑h=1

∂T

∂qhqh (38.4.4)

come conseguenza immediata del teorema della derivata di funzione composta. Sinoti che per la validita della relazione e cruciale l’ipotesi dei vincoli indipendenti daltempo, che assicura l’annullarsi della derivata ∂T/∂t altrimenti presente a secondomembro in (38.4.4);

(ii) la derivata prima dell’energia cinetica rispetto a qh si riduce a quella del solo terminequadratico T2, gia calcolata nella dimostrazione della riducibilita a forma normaledelle equazioni di Lagrange

∂T

∂qh=

n∑k=1

ahk qk

e di conseguenza la sommatoria nel primo termine della (38.4.3) diventa

n∑h=1

∂T

∂qhqh =

n∑h,k=1

ahk qhqk = 2T2 = 2T . (38.4.5)

Anche in questa circostanza e fondamentale l’ipotesi che il sistema sia scleronomo,data l’assunta identificazione fra T e T2.

Basta allora sostituire le relazioni (38.4.4) e (38.4.5) nella formula (38.4.3), e riconoscereche il secondo membro della (38.4.3) stessa si identifica con la potenza delle sollecitazioniattive applicate, per concludere che

d

dt(2T ) − dT

dt= π

e quindi, semplificando il primo membro, provare la (38.4.2).

Vale la pena di sottolineare che la derivata dell’energia cinetica viene calcolata immagi-nando di sostituire al vettore q dei parametri lagrangiani una funzione q(t) che sia soluzionearbitraria delle equazioni di Lagrange. Si tratta percio della usuale definizione di derivatadi una funzione lungo le soluzioni di una equazione differenziale, nella fattispeciedell’energia cinetica lungo le soluzioni delle equazioni lagrangiane del moto. Cio autoriz-zerebbe a riscrivere il teorema dell’energia cinetica nella forma equivalente

T = π

sebbene, di regola, si preferisca non utilizzare questo tipo di notazione ed esplicitare ilpunto come una derivata rispetto al tempo, dando per sottintesa la sostituzione q = q(t).

Stefano Siboni 90


La piu importante conseguenza del teorema dell’energia cinetica riguarda i sistemi scle-ronomi soggetti a sollecitazioni che siano, almeno in parte, posizionali e conservative. Sistabilisce il seguente

38.4.2 Teorema dell’energia meccanicaDato un sistema scleronomo soggetto alle sollecitazioni

Qh =∂U

∂qh(q) + Dh(t, q, q) ∀h = 1, . . . , n , ∀ (t, q, q) ∈ R × A × R

n , (38.4.6)

si definiscano l’energia potenziale del sistema

−U(q)

e l’energia meccanica H del sistema(o)

H(q, q) = T (q, q) − U(q) .

Lungo le soluzioni delle equazioni di Lagrange

d

dt

( ∂L

∂qh

)− ∂L

∂qh= Dh h = 1, . . . , n (38.4.7)

la derivata rispetto al tempo dell’energia meccanica si identifica allora con la potenza dellesole sollecitazioni non posizionali conservative

dH

dt= D · q = πD . (38.4.8)

La dimostrazione segue immediatamente dal teorema dell’energia cinetica, separando lepotenze delle sollecitazioni posizionali e conservative e di quelle residue

dT

dt= π =

n∑h=1

∂U

∂qhqh +

n∑h=1

Dh qh .

Notato che la prima delle sommatorie a secondo membro e la derivata in t del potenziale— sempre con il solito criterio di sostituire a q una arbitraria soluzione q(t) delle equazionidi Lagrange —

dU

dt=

n∑h=1

∂U

∂qhqh ,

si ricava perciodT

dt− dU

dt=

n∑h=1

Dh qh = D · q

(o) nota anche come “hamiltoniana” del sistema, da cui il simbolo H

Stefano Siboni 91


per concludere infine chedH

dt= πD .

Dal teorema dell’energia meccanica si deduce il

38.4.3 Teorema di conservazione dell’energia meccanicaIn un sistema scleronomo soggetto a sollecitazioni posizionali conservative, ed eventual-mente a sollecitazioni non energetiche, l’energia meccanica e un integrale primo delleequazioni di Lagrange — ovvero una costante del moto.

Il risultato e una immediata conseguenza del teorema dell’energia meccanica, dal momentoche per sollecitazioni D nulle o non energetiche la relativa potenza πD risulta identicamenteuguale a zero, sicche

dH

dt= D · q = 0

lungo tutte le soluzioni delle equazioni di Lagrange.

I sistemi scleronomi soggetti esclusivamente a sollecitazioni posizionali e conservative —D = 0 nella (38.4.6) — conservano l’energia meccanica e le componenti lagrangiane delleforze attive hanno natura posizionale e conservativa. Essi sono detti percio sistemiposizionali conservativi. Viceversa, nei sistemi scleronomi soggetti a sollecitazioni po-sizionali conservative e a sollecitazioni non energetiche si conserva sı l’energia meccanica,ma le sollecitazioni non hanno natura puramente posizionale, dal momento che le sol-lecitazioni non energetiche dipendono sempre esplicitamente dalle velocita generalizzate q.Tali sistemi si dicono per questo motivo conservativi non posizionali. Si hanno quindile definizioni di seguito riportate.

38.4.4 Sistemi posizionali conservativiSi dice posizionale conservativo un sistema scleronomo soggetto esclusivamente a sol-lecitazioni posizionali conservative.

38.4.5 Sistemi conservativi non posizionaliSi dice conservativo non posizionale un sistema scleronomo soggetto a sollecitazioni nonenergetiche e ad eventuali sollecitazioni posizionali conservative.

Per quanto detto sopra, tanto i sistemi posizionali conservativi quanto quelli conservativinon posizionali ammettono l’energia meccanica come integrale primo — o costante delmoto.

E notevole il fatto che per un sistema reonomo l’esclusiva presenza di sollecitazioni po-sizionali conservative agenti sul sistema non assicura la conservazione dell’energia mec-canica. Questa apparente contraddizione si risolve tenendo nel debito conto la potenzadelle reazioni vincolari.

Stefano Siboni 92


38.4.6 Potenza delle reazioni vincolari nel caso idealeLa potenza delle reazioni vincolari Φi applicate ai punti Pi di un sistema olonomo a vincoliideali, di parametrizzazione P (t, q), assume una forma particolarmente semplice e signi-ficativa nelle configurazioni ordinarie. Tale potenza e data infatti dall’espressione generale:

πφ =N∑

i=1

Φi · Pi =N∑

i=1

Φi ·[∂Pi

∂t+

n∑h=1

∂Pi

∂qhqh

]

e consta percio della somma di due termini:

πφ =N∑

i=1

Φi ·∂Pi

∂t+

N∑i=1

Φi ·n∑

h=1

∂Pi

∂qhqh .

Nel secondo di essi, per ogni scelta dei coefficienti scalari qh, h = 1, . . . , n, la relazione

n∑h=1

∂Pi

∂qh(t, q) qh

individua una generica velocita virtuale relativa all’istante t e alla configurazione P (t, q),velocita rispetto alla quale la potenza delle reazioni vincolari esplicabili dai vincoli risultanulla

N∑i=1

Φi ·n∑

h=1

∂Pi

∂qhqh = 0

grazie all’ipotesi dei vincoli ideali — ossia al principio delle reazioni vincolari applicatoalle configurazioni ordinarie del sistema. Ne segue, per la potenza delle reazioni vincolari,l’espressione

πφ =N∑

i=1

Φi ·∂Pi

∂t

dalla quale si conclude che:

in un sistema scleronomo a vincoli ideali la potenza delle reazioni vincolari esplicabili eidenticamente nulla.

Questo risultato spiega la singolare circostanza che vede assenti le reazioni vincolari neiteoremi energetici (38.4.2) e (38.4.8). Nei sistemi scleronomi a vincoli ideali le reazionivincolari hanno sempre potenza nulla e quindi non entrano in gioco nel determinare leeventuali variazioni dell’energia cinetica lungo i moti del sistema.

Nei sistemi reonomi, per quanto soggetti soltanto a sollecitazioni posizionali e conservative,viceversa l’energia meccanica non e in generale conservata in quanto ∂Pi/∂t = 0. Diquesta circostanza ci si convince facilmente considerando semplici esempi. Cosı il puntomateriale vincolato ad un piano fisso e liscio presenta sempre una velocita istantaneatangente al piano e percio ortogonale alla reazione vincolare, che allo stesso piano e invece

Stefano Siboni 93


normale; ma se il piano si assume variabile nel tempo, il punto potra presentare unacomponente di velocita istantanea normale al piano vincolare e parallela alla reazionevincolare, determinando in tal modo una potenza di reazione vincolare diversa da zero.

38.5 Integrale primo di JacobiSi consideri un sistema reonomo a vincoli ideali soggetto alle sollecitazioni (38.4.6). Indi-cata con L la lagrangiana T + U del sistema, le equazioni di Lagrange si scrivono nallaforma (38.4.7). Si introduce la

38.5.1 Funzione di JacobiLa funzione di Jacobi e definita in termini della lagrangiana L per mezzo dell’espressione

J =( n∑

h=1

∂L

∂qhqh

)− L . (38.5.1)

L’interpretazione fisica della funzione di Jacobi non e immediata e richiede un poco didiscussione. Evidenziando i termini quadratico, lineare e costante in q dell’energia cinetica,la lagrangiana assume la forma standard

L = T2 + T1 + T0 + U

e la funzione di Jacobi diventa

J =n∑

h=1

∂T2

∂qhqh +

n∑h=1

∂T1

∂qhqh +

n∑h=1

∂

∂qh(T0 + U) qh − T2 − T1 − T0 − U . (38.5.2)

Si e gia rilevato in (38.4.5) chen∑

h=1

∂T2

∂qhqh = 2T2

mentre e immediato verificare che per T1, lineare in q, vale

n∑h=1

∂T1

∂qhqh =

n∑h=1

∂

∂qh

[ n∑k=1

bk(t, q) qk

]qh =

n∑h=1

n∑k=1

bk(t, q) δhk qh =n∑

h=1

bh(t, q) qh = T1

Stefano Siboni 94


e che infinen∑

h=1

∂

∂qh(T0 + U) qh =

n∑h=1

0 qh = 0 .

L’espressione (38.5.2) si riduce pertanto alla forma

J = 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 − U = T2 − T0 − U

che costituisce la definizione esplicita della funzione di Jacobi. Si riconosce, cosa peraltrogia evidente dalla definizione (38.5.1), che J ha le dimensioni fisiche di una energia, al paridella lagrangiana e ovviamente dell’energia meccanica H. Non e tuttavia identificabile,in generale, con l’energia meccanica del sistema

H = T − U = T2 + T1 + T0 − U = J .

Nel caso scleronomo, essendo T1 = T0 = 0, si ha identificazione fra funzione di Jacobied energia meccanica

J = T2 − 0 − U = T2 − U H = T2 + 0 + 0 − U = T2 − U

e questa circostanza giustifica la denominazione di energia meccanica generalizzata(o)con la quale la funzione di Jacobi e altrimenti nota. Il seguente risultato fornisce unacondizione sufficiente affinche la funzione di Jacobi sia un integrale primo delle equazionidi Lagrange.

38.5.2 Teorema di JacobiDato un sistema olonomo soggetto a sollecitazioni posizionali conservative e ad eventualisollecitazioni non energetiche, e la cui lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo,la funzione di Jacobi J e un integrale primo delle equazioni di Lagrange.

Tale costante del moto e nota come integrale primo di Jacobi.

La dimostrazione del teorema si ottiene calcolando la derivata di J lungo le soluzioni delleequazioni di Lagrange. Si ha infatti:

dJ

dt=

d

dt

( n∑h=1

∂L

∂qhqh

)− dL

dt=

n∑h=1

∂L

∂qhqh +

n∑h=1

d

dt

( ∂L

∂qh

)qh − dL

dt

e poiche le equazioni di Lagrange impongono che si abbia

d

dt

( ∂L

∂qh

)=

∂L

∂qh+ Dh ∀h = 1, . . . , n ,

ne segue che

dJ

dt=

n∑h=1

∂L

∂qhqh +

n∑h=1

( ∂L

∂qh+ Dh

)qh − dL

dt=

n∑h=1

∂L

∂qhqh +

n∑h=1

∂L

∂qhqh +

n∑h=1

Dh qh − dL

dt.

(o) o “hamiltoniana” generalizzata.

Stefano Siboni 95


D’altra parte e L = L(t, q, q), per cui:

dL

dt=

∂L

∂t+

n∑h=1

∂L

∂qhqh +

n∑h=1

∂L

∂qhqh

e sostituendo nella precedente relazione si perviene al risultato richiesto

dJ

dt=

n∑h=1

Dh qh − ∂L

∂t= πD − ∂L

∂t

dal quale appare evidente che se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo∂L

∂t(t, q, q) = 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × R

n

e le sollecitazioni D hanno carattere non energetico

πD = D(t, q, q) · q = 0 ∀ (t, q, q) ∈ R × A × Rn

la funzione di Jacobi si mantiene costante lungo qualsiasi soluzione delle equazioni diLagrange, delle quali costituisce percio un integrale primo.

Si illustra l’uso dell’integrale di Jacobi con un esempio notevole.

38.5.3 Esempio illustrativoIn una terna di riferimento inerziale Oxyz si considera una lamina piana D di punto fissoO e vincolata a restare in un piano π che passa per l’asse coordinato Oz e ruota attornoallo stesso asse con velocita angolare costante ω. La lamina non e soggetta ad alcuna forzaattiva. Si introduca anche una terna di riferimento Ox′y′z′ in modo che l’asse Oz′ coincidain direzione e verso con Oz e che l’asse Oy′ sia l’intersezione fra π ed il piano coordinatoOxy — vedi figura. La nuova terna si presenta in moto rotatorio uniforme attorno all’assefisso Oz della terna galileiana Oxyz, e risulta pertanto non inerziale. Rispetto ad essa ilpiano vincolare π appare fisso. Si supponga che la configurazione della lamina D rispettoa Ox′y′z′ sia descritta da una parametrizzazione indipendente dal tempo: nella terna diriferimento co-rotante con il piano π il sistema appare scleronomo e la configurazione dellalamina potra essere specificata completamente per mezzo del solito angolo di rotazione θ,compreso fra una direzione fissa sulla lamina e una direzione fissa sul piano π.

Stefano Siboni 96


Poiche ω e3 e la velocita angolare di trascinamento della terna rotante rispetto a quellainerziale e θ e′2 quella della lamina rispetto alla terna rotante, la velocita angolare dellalamina relativamente alla terna fissa sara data dal teorema dei moti rigidi composti

θ e′1 + ω e3 .

Si vuole procedere al calcolo della lagrangiana, dell’energia meccanica e dell’integrale diJacobi nelle due terne di riferimento.

Terna inerzialeIn questo riferimento non sono presenti forze attive e la lagrangiana del sistema si riducealla sola energia cinetica. Questa viene calcolata con la solita formula per il sistema rigidocon punto fisso

T =12(θ e′1 + ω e3) · LO(θ e′1 + ω e3) .

Applicando la linearita dell’operatore d’inerzia LO e distribuendo i prodotti scalari rispettoalle somme vettoriali l’espressione precedente diventa

T =12

[θ e′1 · LO(θ e′1) + ω e3 · LO(θ e′1) + θ e′1 · LO(ω e3) + ω e3 · LO(ω e3)

]

e grazie alla condizioneθ e′1 · LO(ω e3) = ω e3 · LO(θ e′1) ,

dovuta alla simmetria di LO, si riduce a

T =12

[θ e′1 · LO(θ e′1) + 2ω e3 · LO(θ e′1) + ω e3 · LO(ω e3)

]. (38.5.3)

Ad una ulteriore semplificazione si perviene osservando che K ′O = LO(θ e′1) rappresenta

il momento angolare in O della lamina rispetto alla terna rotante, momento che risultapercio ortogonale al piano π di giacitura della lamina stessa

ω e3 · LO(θ e′1) = ω e3 · K ′O = 0 ,

mentre l’ultimo termine della (38.5.3) e legato al momento d’inerzia del sistema rispettoall’asse di rotazione Oz

ω e3 · LO(ω e3) = ω2e3 ·LO(e3) = ω2IOz .

La lagrangiana rispetto alla terna assoluta assume pertanto la forma

L = T =12e′1 · LO(e′1) θ2 +

ω2

2IOz

in cui si intende che il momento d’inerzia IOz va espresso come funzione del parametrolagrangiano θ, mentre e′1 · LO(e′1) e il momento d’inerzia, costante, della lamina rispettoall’asse Ox′ della terna rotante. Si hanno cosı le ovvie identificazioni

T2 =12e′1 · LO(e′1) θ2 e T0 =

ω2

2IOz

Stefano Siboni 97


dalle quali si deducono le espressioni dell’energia meccanica e dell’integrale di Jacobi

H ′ = T2 + T0 =12e′1 · LO(e′1) θ2 +

ω2

2IOz

J ′ = T2 − T0 =12e′1 · LO(e′1) θ2 − ω2

2IOz .

Solo la funzione di Jacobi costituisce un integrale primo, in quanto la lagrangiana nondipende esplicitamente dal tempo e non esistono sollecitazioni dissipative applicate. Non sihanno elementi per poter affermare che anche l’energia meccanica rappresenti un integraleprimo del sistema, ed in effetti non puo esserlo. Se cosı fosse, infatti, tale dovrebbe risultareanche la differenza

H − J = 2T0 = ω2IOz(θ)

il che implicherebbe la bizzarra e palesemente falsa conclusione che lungo tutti i moti delsistema si mantengano costanti il momento d’inerzia IOz(θ) ed il parametro lagrangiano θda cui esso dipende.

Terna rotanteRispetto alla terna di riferimento rotante il piano vincolare π appare fisso ed il sistemaviene percio descritto come scleronomo. L’energia cinetica e quadratica nella velocitageneralizzata θ

T ′ =12θ e′1 · LO(θ e′1) =

12e′1 · LO(e′1) θ2

e si identifica con il solo termine T2 dell’energia cinetica T relativa alla terna di riferimentoassoluta Oxyz. La terna rotante e pero animata da un moto rotatorio uniforme rispettoalla terna inerziale Oxyz e risulta dunque sede di forze fittizie, centrifughe e di Coriolis. Leforze centrifughe sono notoriamente posizionali conservative, potendosi ad esse associare ilpotenziale

Ucf =ω2

2IOz(θ)

che coincide peraltro con il termine T0 dell’energia cinetica relativa alla terna di riferimentoassoluta Oxyz. Quanto alle forze di Coriolis, e facile stabilire che la sua unica componentelagrangiana QCor

θ deve annullarsi identicamente. Siccome infatti i punti Pi del sistemasono vincolati a rimanere nel piano π, e evidente che a questo stesso piano si mantengonotangenti i vettori

∂Pi

∂θPi =

∂Pi

∂θθ

ed essendo anche e3 tangente a π, risultano nulli tutti i prodotti misti

e3 ∧ Pi ·∂Pi

∂θ.

Ne segue pertanto che

QCorθ =

N∑i=1

− 2miω e3 ∧ Pi ·∂Pi

∂θ=

N∑i=1

− 2miω 0 = 0

Stefano Siboni 98


come si voleva verificare. Le forze di Coriolis, pur agendo sul sistema, si mantengonocostantemente ortogonali al piano vincolare e vengono percio controbilanciate dalle reazionivincolari lungo qualsiasi moto naturale del sistema, sul quale non hanno alcun effetto. Leforze di Coriolis non compaiono nelle equazioni di Lagrange.La lagrangiana del sistema assume pertanto la forma

L′ = T ′ + Ucf =

12e′1 · LO(e′1) θ2 +

ω2

2IOz

e coincide con la lagrangiana calcolata nella terna di riferimento assoluta, salvoche il termine

ω2

2IOz

deve ora essere interpretato come potenziale delle forze centrifughe e non piu come contrib-uto T0 all’energia cinetica, che per contro si riduce al solo termine T2. Dal momento chetutte le sollecitazioni attive sono posizionali e conservative — le sole forze centrifughe — ela lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo — il sistema e addirittura scleronomo— il sistema ammette ancora l’integrale primo di Jacobi

J = T ′ − 0 − Ucf = T ′ − Ucf

che nella fattispecie coincide con l’energia meccanica relativa alla terna rotante

H ′ = T ′ − Ucf .

La funzione di Jacobi e comunque un integrale primo del sistema, tanto rispetto alla ternadi riferimento assoluta, quanto relativamente a quella rotante, ma soltanto nella ternarotante l’integrale di Jacobi si identifica con l’energia meccanica, che, al contrario, non siconserva affatto nel riferimento assoluto.

38.6 Integrale primo di PoissonSi consideri un sistema olonomo soggetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali con-servative e si supponga che la lagrangiana L del sistema non dipenda esplicitamente dalparametro lagrangiano q1, risultando percio della forma

L = L(t, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) .

Allora la derivata prima della lagrangiana rispetto alla velocita generalizzata q1

p1 =∂L

∂q1

costituisce un integrale primo delle equazioni di Lagrange.

Tale integrale e usualmente indicato come integrale di Poisson.

Stefano Siboni 99


Una coordinata lagrangiana q1 che non compaia esplicitamente nella lagrangiana del sis-tema si dice coordinata ciclica, o ignorabile. La corrispondente derivata prima di L

rispetto a q1 e nota come momento canonicamente coniugato a q1.

Che il momento coniugato ad una coordinata ciclica sia un integrale primo segue immedi-atamente dalle equazioni di Lagrange scritte per il caso posizionale conservativo

d

dt

( ∂L

∂qh

)− ∂L

∂qh= 0 ∀h = 1, . . . , n .

Per h = 1 si ha infattid

dt

( ∂L

∂q1

)− ∂L

∂q1= 0

e l’indipendenza da q1 di L implica

d

dt

( ∂L

∂q1

)= 0

in modo chedp1

dt= 0

lungo tutte le soluzioni delle equazioni di Lagrange, come affermato.

Si intende che un sistema olonomo puo presentare piu di una coordinata ciclica, e dunquepiu di un integrale di Poisson.

Un esempio notevole di integrale poissoniano e offerto dal classico problema del moto diun punto materiale in un campo di forze centrali.

38.6.1 Integrale di Poisson per il moto di un punto in un campo centraleNel piano coordinato Oxy di una terna di riferimento inerziale Oxyz si considera un puntomateriale P , di massa m, soggetto ad una sollecitazione posizionale della forma

F = f(|P −O|) P − O

|P − O| ∀P = O (38.6.1)

in cui f indica una funzione scalare e C1 dei reali positivi e |P −O| rappresenta la distanzadel punto P dall’origine O. Un campo di forze del tipo (38.6.1) e detto campo di forzecentrali o semplicemente campo centrale: la forza risulta diretta secondo la congiun-gente il punto P con il cosiddetto centro O del campo, mentre la sua intensita ed il suoverso dipendono unicamente dalla distanza fra P e lo stesso centro O. Centrali sono molticampi di forze di grande interesse scientifico, quali il campo gravitazionale prodotto dalsole o dai pianeti, o il campo elettrostatico generato da una carica elettrica — ad esempioun nucleo atomico. A priori i campi centrali sono definiti in tutto lo spazio tridimensionaleR3, salvo al piu il centro dove possono essere presenti delle singolarita — tale e il casodel campo gravitazionale newtoniano o del campo elettrostatico coulombiano. E possibiledimostrare, tuttavia, che il moto di un punto materiale in un qualsiasi campo centrale

Stefano Siboni 100


avviene sempre in un piano passante per il centro. Nell’esempio che segue si assumeraquindi, allo scopo di semplificare i calcoli e senza nessuna perdita di generalita, che ilpiano del moto si identifichi con il piano coordinato Oxy.

Conviene introdurre un sistema di coordinate polari piane (ρ, θ), legate alle coordinatecartesiane (x, y) del punto dalle relazioni

x = ρ cos θ y = ρ sin θ .

Le coordinate (ρ, θ) costituiscono i parametri lagrangiani del sistema e consentono di scri-vere la parametrizzazione di questo nella forma

P − O = ρ (cos θ e1 + sin θ e2) (ρ, θ) ∈ R+ × R .

Con questa rappresentazione il sistema si riconosce essere scleronomo a due gradi di lib-erta. Poiche il dominio di definizione A = R+×R della parametrizzazione e aperto in R2, ivincoli hanno carattere bilaterale. La condizione dei vincoli ideali risulta banalmente veri-ficata dal momento che il punto materiale e libero e la reazione vincolare deve mantenersicostantemente nulla. Il moto del sistema viene percio descritto per mezzo delle equazioni diLagrange. Le componenti lagrangiane della forza attiva si ricavano agevolmente applicandola definizione

Qρ = F · ∂P

∂ρ= f(ρ) (cos θ e1 + sin θ e2) · (cos θ e1 + sin θ e2) = f(ρ)

Qθ = F · ∂P

∂θ= f(ρ) (cos θ e1 + sin θ e2) · ρ (− sin θ e1 + cos θ e2) = 0

e da esse si deduce l’esistenza di un potenziale, identificabile con una qualsiasi primitivadella funzione f(ρ)

U =∫

f(ρ)dρ = U(ρ) .

Si constata che il potenziale dipende unicamente dalla distanza ρ e non anche dalla variabileangolare θ — l’“anomalia” del sistema di coordinate polari. Il sistema e quindi posizionaleconservativo. Per l’energia cinetica si ha infine l’espressione

T =m

2P 2 =

m

2

(∂P

∂ρρ +

∂P

∂θθ)2

=

=m

2

(∂P

∂ρ· ∂P

∂ρρ2 + 2

∂P

∂ρ· ∂P

∂θρ θ +

∂P

∂θ· ∂P

∂θθ2

)=

m

2ρ2 +

m

2ρ2θ2

Stefano Siboni 101


che, in quanto forma quadratica delle velocita generalizzate (ρ, θ), conferma il caratterescleronomo del sistema. La lagrangiana diventa pertanto

L =m

2ρ2 +

m

2ρ2θ2 + U(ρ) . (38.6.2)

La variabile angolare θ, che non compare esplicitamente nella (38.6.2), rappresenta unacoordinata ciclica o ignorabile del sistema ed il momento canonicamente coniugato

pθ =∂L

∂θ= mρ2θ

individua un integrale primo — di Poisson — del sistema. Dell’integrale di Poisson e pos-sibile fornire una interpretazione fisica notevole. Se infatti si calcola il momento angolarein O del sistema si ottiene

KO = (P − O) ∧ mP = ρ(cos θ e1 + sin θ e2) ∧(∂P

∂ρρ +

∂P

∂θθ)

= mρ2θ e3 = pθ e3

per cui l’integrale di Poisson esprime la conservazione del momento angolare rispetto alcentro del campo, proprieta generale dei campi centrali

d KO

dt=

d

dt[(P − O) ∧ mP ] = P ∧ mP + (P − O) ∧ mP =

= (P − O) ∧ f(|P − O|) P −O

|P −O| = 0 .

Vale la pena di sottolineare che dalla conservazione di pθ segue anche quella di

pθ

2m=

12ρ2θ

che rappresenta l’area spazzata nell’unita di tempo dal raggio vettore congiungente il puntoP con il centro O del campo, la cosiddetta velocita areolare

A =12ρ2θ .

Il moto nel campo centrale soddisfa pertanto alla seconda legge di Keplero — o delle areeuguali: lungo qualsiasi moto del sistema il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali.

Stefano Siboni 102


38.6.2 Lagrangiana ridotta o funzione di RouthLa presenza di uno o piu integrali di Poisson consente di semplificare le equazioni del motodi un sistema olonomo mediante l’introduzione della cosiddetta lagrangiana ridotta ofunzione di Routh. Si supponga che la lagrangiana di un sistema olonomo a n gradi diliberta abbia la forma:

L = L(t, q1, . . . , qr, q1, . . . , qn)

ammettendo percio gli n − r < n integrali di Poisson:

ph =∂L

∂qh(t, q1, . . . , qr, q1, . . . , qn) ∀h = r + 1, . . . , n , (38.6.3)

che risultano polinomi di primo grado nelle velocita generalizzate q1, . . . , qn.(1) La defini-zione di sistema olonomo richiede che ∀ (t, q) ∈ R × A la matrice delle derivate parzialiseconde rispetto alle velocita generalizzate:

(∂2L

∂qh∂qk(t, q1, . . . , qr, q1, . . . , qn)

)h,k=1,...,n

sia invertibile, identificandosi con la matrice rappresentativa della parte quadratica T2

dell’energia cinetica del sistema olonomo. Di conseguenza, comunque si assegnino lecostanti ph, il sistema lineare (38.6.3) e sempre risolvibile univocamente rispetto allevelocita generalizzate qr+1, . . . , qn, che si esprimono come funzioni di t, delle coordi-nate lagrangiane q1, . . . , qr, delle velocita generalizzate residue q1, . . . , qr e delle costantipr+1, . . . , pn:

qh = fh(t, q1, . . . , qr , q1, . . . , qr , pr+1, . . . , pn) ∀h = r + 1, . . . , n .

Posto per brevita:q = (q1, . . . , qr) q = (q1, . . . , qr)

p = (pr+1, . . . , pn) f(t, q, q, p) =(fr+1(t, q, q, p), . . . , fn(t, q, q, p)

),

si introduce la funzione di Routh definita da:

R(t, q, q, p) =n∑

h=r+1

∂L

∂qhqh−L

∣∣∣∣∣ qh=fh(t,q,q,p)

h=r+1,...,n

=n∑

h=r+1

phfh(t, q, q, p)−L(t, q, q, f(t, q, q, p)) .

Per ogni α = 1, . . . , r si ha allora:

∂R

∂qα(t, q, q, p) =

n∑h=r+1

ph∂fh

∂qα(t, q, q, p) − ∂L

∂qα(t, q, q, f(t, q, q, p))−

−n∑

h=r+1

∂L

∂qh(t, q, q, f(t, q, q, p))

∂fh

∂qα(t, q, q, p) =

(1) Si ricordi che la lagrangiana e un polinomio di secondo grado delle velocita generalizzate

Stefano Siboni 103


=n∑

h=r+1

ph∂fh

∂qα(t, q, q, p) − ∂L

∂qα(t, q, q, f(t, q, q, p)) −

n∑h=r+1

ph∂fh

∂qα(t, q, q, p) =

= − ∂L

∂qα(t, q, q, f(t, q, q, p))

mentre:

∂R

∂qα(t, q, q, p) =

n∑h=r+1

ph∂fh

∂qα(t, q, q, p) − ∂L

∂qα(t, q, q, f(t, q, q, p))−

−n∑

h=r+1

∂L

∂qh(t, q, q, f(t, q, q, p))

∂fh

∂qα(t, q, q, p) =

=n∑

h=r+1

ph∂fh

∂qα(t, q, q, p) − ∂L

∂qα(t, q, q, f(t, q, q, p)) −

n∑h=r+1

ph∂fh

∂qα(t, q, q, p) =

= − ∂L

∂qα(t, q, q, f(t, q, q, p))

in modo che:

d

dt

( ∂R

∂qα

)= − d

dt

( ∂L

∂qα

)e

∂R

∂qα= − ∂L

∂qα.

Di conseguenza:

d

dt

( ∂R

∂qα

)− ∂R

∂qα= − d

dt

( ∂L

∂qα

)+

∂L

∂qα= 0 ∀α = 1, . . . , r .

Si conclude cosı che le equazioni del moto, per assegnati valori delle costanti pr+1, . . . , pn,sono quelle di Routh:

d

dt

( ∂R

∂qα

)− ∂R

∂qα= 0 ∀α = 1, . . . , r

nelle sole variabili dipendenti q1, . . . , qr . Le equazioni cosı riformulate non contengono lecoordinate qr+1, . . . , qn. Questa circostanza giustifica la denominazione di coordinateignorabili che viene talora riservata alle coordinate qr+1, . . . , qn che non compaiono nellalagrangiana.

39. Funzione di Rayleigh per le componentigeneralizzate delle forze viscose

Una strategia molto efficiente per calcolare le componenti generalizzate di un insieme diforze viscose agenti su un sistema olonomo e offerta dalla cosiddetta funzione ausiliariadi Rayleigh. Si supponga che un sistema olonomo di parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈R × A ⊆ R × Rn, sia soggetto ad un sistema di forze viscose

F vi = −βiPi i = 1, . . . , N

Stefano Siboni 104


agenti sui vari punti Pi che compongono il sistema stesso, secondo costanti di frizioneβi > 0 variabili da punto a punto. La funzione ausiliaria di Rayleigh e allora definita da:

R(t, q, q) = −12

N∑i=1

βiP2i

e derivata parzialmente rispetto alle velocita generalizzate, con l’intesa che queste (alsolito) vengano riguardate come variabili indipendenti rispetto ai parametri lagrangiani eal tempo, porge:

∂R

∂qh= −1

2

N∑i=1

2βiPi ·∂Pi

∂qh= −

N∑i=1

βiPi ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

(−βiPi) ·∂Pi

∂qh. (39.1)

E immediato riconoscere nell’ultimo membro della (39.1) la componente generalizzata Qvh

del sistema delle forze viscose. Si conclude pertanto che:

Qvh =

∂R

∂qh∀h = 1, . . . , n .

Di massima, l’uso della funzione di Rayleigh in alternativa al calcolo diretto per la deter-minazione delle componenti generalizzate Qv

h risulta particolarmente vantaggioso quandoil numero di sollecitazioni applicate e grande.

39.1 Funzione di Rayleigh generalizzataL’approccio di Rayleigh puo essere applicato a qualsiasi sistema di forze parallele alla ve-locita istantanea e la cui intensita e verso dipendano unicamente dal modulo della velocitaistantanea stessa. Si consideri un sistema di forze attive della forma:

Fi = gi(|Pi|2)Pi ∀ i = 1, . . . , N

in cui le gi sono funzioni arbitrarie di R+ in R. Introdotte le primitive Gi : R

+ → R

definite daGi(ρ) =

∫gi(ρ)dρ ∀ i = 1, . . . , N ,

si considera la funzione di Rayleigh generalizzata:

R(t, q, q) =12

N∑i=1

Gi(P 2i )

per la quale si ha:

∂R

∂qh=

∂

∂qh

[12

N∑i=1

Gi(P 2i )

]=

12

N∑i=1

G′i(P

2i )2Pi ·

∂Pi

∂qh=

N∑i=1

gi(P 2i )Pi ·

∂Pi

∂qh

e quindi:∂R

∂qh=

N∑i=1

Fi ·∂Pi

∂qh= Qh ∀h = 1, . . . , n .

Il caso di Rayleigh classico ricorre per gi(ρ) = −βi, con Gi(ρ) = −βiρ ∀ i = 1, . . . , N .

Stefano Siboni 105


40. Potenziale generalizzatoNell’analisi di alcuni sistemi meccanici e di notevole interesse il concetto di potenzialegeneralizzato. Si e visto che il potenziale ordinario U di una sollecitazione posizionaleconservativa Q(q) viene definito per mezzo delle relazioni:

Qh(q) =∂U

∂qh(q) ∀ q ∈ A ∀h = 1, . . . , n .

Per potenziale generalizzato di una sollecitazione non posizionale D(t, q, q) si intendeuna funzione scalare V (t, q, q) tale che:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh= Dh(t, q, q) ∀h = 1, . . . , n . (40.1)

Per mezzo di essa le equazioni di Lagrange standard:

d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh=

∂U

∂qh(q) + Dh(t, q, q) ∀h = 1, . . . , n

si riducono alla forma

d

dt

( ∂L

∂qh

)− ∂L

∂qh= 0 ∀h = 1, . . . , n

in termini della lagrangiana

L = T (t, q, q) + U(q) + V (t, q, q)

che include cosı il contributo del potenziale generalizzato oltre a quello del potenzialeordinario. L’esistenza di un potenziale generalizzato per una sollecitazione e un problemadi non ovvia soluzione. Dal primo membro dell’equazione (40.1) appare evidente che lederivate parziali ∂V/∂qh devono essere funzioni delle sole variabili t, q, poiche in casocontrario la derivata totale (d/dt)(∂V/∂qh) conterrebbe anche termini di accelerazione qh

che non potrebbero essere cancellati dalle derivate residue ∂V/∂qh, a loro volta funzionidelle sole variabili t, q, q: l’equazione non potrebbe quindi essere soddisfatta rispetto allevariabili indipendenti t, q, q. Il potenziale generalizzato deve essere percio un polinomio diprimo grado delle velocita generalizzate:

V (t, q, q) = V0(t, q) +n∑

k=1

Vk(t, q) qk

per una scelta appropriata delle funzioni C2 Vh(t, q), h = 0, 1, . . . , n. Si ha allora che:

Dh(t, q, q) = − d

dt

( ∂V

∂qh(t, q)

)+

∂V

∂qh(t, q) = −dVh

dt+

∂V0

∂qh(t, q) +

n∑k=1

∂Vk

∂qh(t, q)qk =

=∂V0

∂qh(t, q) − ∂Vh

∂t(t, q) +

n∑k=1

[∂Vk


∂qk(t, q)

]qk ∀h = 1, . . . , n .

Stefano Siboni 106


L’applicazione di maggiore interesse e quello delle sollecitazioni non-energetiche, perle quali deve risultare:

n∑h=1

Dh(t, q, q) qh = 0 ∀(t, q, q) ∈ R × A × Rn

vale a dire:n∑

h=1

[∂V0


∂t(t, q)

]qh +

n∑h,k=1

[∂Vk


∂qk(t, q)

]qkqh = 0

e quindi, data l’antisimmetria dei coefficienti nella seconda sommatoria:n∑

h=1

[∂V0


∂t(t, q)

]qh = 0 ∀(t, q, q) ∈ R × A × R

n .

Ne deriva che:

∂V0


∂t(t, q) = 0 ∀(t, q) ∈ R × A ∀h = 1, . . . , n

e che:

Dh(t, q, q) =n∑

k=1

[∂Vk


∂qk(t, q)

]qk ∀h = 1, . . . , n ∀(t, q, q) ∈ R × A × R

n .

Una sollecitazione non energetica puo non ammettere un potenziale generalizzato. Si e giaprovato infatti che le sollecitazioni girostatiche sono tutte e sole le forze generalizzate dellaforma (38.2.1):

Qh(t, q, q) =n∑

k=1

Γhk(t, q) qk ∀h = 1, . . . , n

in cui la matrice Γ(t, q) dei coefficienti Γhk(t, q) e indipendente da q. Se esiste un potenzialegeneralizzato deve aversi percio:

∂Vk


∂qk(t, q) = Γhk(t, q) ∀(t, q) ∈ R × A ∀h, k = 1, . . . , n . (40.2)

Tale condizione non puo essere verificata, in generale, dal momento che le n funzioni scalariVh(t, q) dovrebbero soddisfare le n(n − 1)/2 equazioni indipendenti (40.2), ma purtroppoper n > 3 il numero di equazioni da soddisfare e maggiore del numero di funzioni incognite:

n(n − 1)2

> n ∀n ∈ N , n > 3,

e ci si aspetta pertanto che non sia definita alcuna soluzione. Solo per n = 3 il numerodi funzioni incognite coincide con quello delle equazioni (40.2), ed e sperabile determinareuna soluzione. Per n = 2 si devono determinare due funzioni incognite relativamente aduna sola equazione. Due casi notevoli di potenziale generalizzato riguardano le forze diCoriolis e quelle di Lorentz.

Stefano Siboni 107


40.1 Potenziale generalizzato delle forze di CoriolisSi supponga che su un sistema olonomo a n gradi di liberta e di parametrizzazione P (t, q),(t, q) ∈ R × A, sia descritto rispetto ad un sistema di riferimento di origine O in motorotatorio uniforme con velocita angolare costante ω rispetto ad una terna inerziale. Suipunti Pi del sistema agiscono allora le forze di Coriolis:

FCori = −2mi ω ∧ Pi ∀ i = 1, . . . , N

dove Pi sono le velocita istantanee relative alla terna rotante. E immediato verificare cheal sistema delle forze di Coriolis puo associarsi il potenziale generalizzato:

V (t, q, q) =N∑

i=1

mi ω ∧ (Pi −O) · Pi (40.1.1)

dove le velocita istantanee sono espresse al solito in termini delle velocita generalizzate edelle derivate parziali prime della parametrizzazione:

Pi =∂Pi

∂t(t, q) +

n∑h=1

∂Pi

∂qh(t, q) qh .

Si ha infatti:

∂V

∂qh=

N∑i=1

mi ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh=

N∑i=1

mi ω ∧ (Pi −O) · ∂Pi

∂qh

e quindi:

d

dt

( ∂V

∂qh

)=

N∑i=1

mi ω ∧ Pi ·∂Pi

∂qh+

N∑i=1

mi ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh

mentre:

∂V

∂qh=

N∑i=1

mi ω ∧ ∂Pi

∂qh· Pi +

N∑i=1

mi ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh

in modo che:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh=

N∑i=1

−2mi ω ∧ Pi ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

FCori · ∂Pi

∂qh= QCor

h ∀h = 1, . . . , n ,

come affermato.

Stefano Siboni 108


40.2 Potenziale generalizzato delle forze inerzialiSi consideri una terna cartesiana ortogonale Ox1x2x3 in moto arbitrario rispetto ad unriferimento inerziale Ωξ1ξ2ξ3. Siano O(t) il moto dell’origine O rispetto alla terna inerziale,O(t) la corrispondente velocita istantanea e ω(t) il vettore velocita angolare istantanea dellaterna Ox1x2x3 rispetto a Ωξ1ξ2ξ3. Nel sistema di riferimento non inerziale si consideri unsistema olonomo a vincoli ideali di parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈ R×A ⊆ R×Rn. Oltrealle eventuali forze attive reali e alle reazioni vincolari compatibili con la condizione deivincoli ideali, sui vari punti Pi del sistema agiscono una forza fittizia di trascinamento:

FTi = −miP

Ti = −mi

[O + ω ∧ [ω ∧ (Pi −O)] + ω ∧ (Pi − O)

](40.2.1)

e una forza di Coriolis:

FCori = −miP

Cori = −2mi ω ∧ Pi , (40.2.2)

entrambe dipendenti dal tempo tramite O(t) e ω(t), essendo Pi e Pi la posizione e la velocitaistantanee dell’i-esimo punto rispetto alla terna Ox1x2x3, e PT

i , PCori le accelerazioni di

trascinamento e complementare dello stesso punto. A questi sistemi di forze fittizie siassociano le componenti generalizzate:

QTh =

N∑i=1

FTi · ∂Pi

∂qh= −

N∑i=1

mi

[O + ω ∧ [ω ∧ (Pi − O)] + ω ∧ (Pi − O)

]· ∂Pi

∂qh

QCorh =

N∑i=1

FCori · ∂Pi

∂qh= −2

N∑i=1

mi ω ∧ Pi ·∂Pi

∂qh∀h = 1, . . . , n

che possono essere calcolate ricorrendo al potenziale generalizzato:

V (t, q, q) =N∑

i=1

mi

[[O + ω ∧ (Pi −O)] · Pi +

12[ω ∧ (Pi −O)]2 + O · ω ∧ (Pi −O)

](40.2.3)

nel quale si distinguono i seguenti contributi parziali:

V1(t, q, q) =N∑

i=1

miO · Pi

V2(t, q, q) =N∑

i=1

mi ω ∧ (Pi − O) · Pi

V3(t, q) =N∑

i=1

mi O · ω ∧ (Pi − O)

V4(t, q) =N∑

i=1

mi12

[ω ∧ (Pi −O)]2 .

(40.2.4)

Stefano Siboni 109


Per ogni h = 1, . . . , n si hanno allora le relazioni:

− d

dt

(∂V1

∂qh

)+

∂V1

∂qh=

=N∑

i=1

mi

[− d

dt

(O · ∂Pi

∂qh

)+ O · ∂Pi

∂qh

]= −

N∑i=1

mi O · ∂Pi

∂qh

− d

dt

(∂V2

∂qh

)+

∂V2

∂qh=

=N∑

i=1

mi

[− d

dt

(ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh

)+ ω ∧ ∂Pi

∂qh· Pi + ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh

]=

=N∑

i=1

mi

[−ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh− ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh− ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh+

+ ω ∧ ∂Pi

∂qh· Pi + ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh

]=

=N∑

i=1

mi

[−2 ω ∧ Pi ·

∂Pi

∂qh− ω ∧ (Pi − O) · ∂Pi

∂qh− O ∧ ω · ∂Pi

∂qh

]

− d

dt

(∂V3

∂qh

)+

∂V3

∂qh=

=N∑

i=1

mi

[− d

dt

(0)

+ O · ω ∧ ∂Pi

∂qh

]=

N∑i=1

mi O ∧ ω · ∂Pi

∂qh

− d

dt

(∂V4

∂qh

)+

∂V4

∂qh=

=N∑

i=1

mi

[− d

dt

(0)

+ ω ∧ (Pi − O) · ω ∧ ∂Pi

∂qh

]=

=N∑

i=1

mi [ω ∧ (Pi − O)] ∧ ω · ∂Pi

∂qh= −

N∑i=1

mi ω ∧ [ω ∧ (Pi − O)] · ∂Pi

∂qh

dalle quali segue che:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh=

N∑i=1

mi

[−O−2 ω∧Pi−ω∧(Pi−O)−O∧ω+O∧ω−ω∧[ω∧(Pi−O)]

]·∂Pi

∂qh

ossia, semplificando e riordinando i termini nella sommatoria:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh=

N∑i=1

mi

[−O − ω ∧ [ω ∧ (Pi −O)] − ω ∧ (Pi − O) − 2 ω ∧ Pi

]· ∂Pi

∂qh

Stefano Siboni 110


ed infine:− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh= QT

h + QCorh ∀h = 1, . . . , n ,

essendo V = V1 + V2 + V3 + V4. Si osservi che, sebbene indipendenti dalle velocita genera-lizzate q, le funzioni V3 e V4 non possono riguardarsi come potenziali in senso ordinario inquanto dipendono esplicitamente dal tempo e non dalle sole coordinate lagrangiane q. Danotare inoltre come non sia definito un potenziale generalizzato delle sole forze di Corioliso delle sole forze di trascinamento, ma unicamente per l’intero sistema delle forzed’inerzia. Cio segue dal fatto che mentre i termini V1, V3 e V4 concorrono alle componentigeneralizzate delle sole forze di trascinamento, la funzione V2 fornisce contributi tanto aQT

h quanto a QCorh . Un caso speciale e quello della terna Ox1x2x3 in moto rotatorio

uniforme rispetto al riferimento inerziale Ωξ1ξ2ξ3, discusso nella sezione precedente. Nellafattispecie si ha infatti O = 0 e ω = 0, per cui i potenziali (40.2.4) si riducono a:

V1(t, q, q) = 0 V2(t, q, q) =N∑

i=1

mi ω ∧ (Pi − O) · Pi

V3(t, q) = 0 V4(t, q) =N∑

i=1

mi12

[ω ∧ (Pi − O)]2.

Diventati V1 e V3 costanti, per un sistema scleronomo la funzione V2 risulta indipen-dente dal tempo e si identifica con il potenziale generalizzato (40.1.1) delle sole forze diCoriolis. Analogamente, il potenziale generalizzato V4 diviene indipendente dal tempo mapuo essere interpretato come potenziale in senso ordinario, quale funzione delle sole vari-abili q. Il potenziale V4 e associato esclusivamente alle forze di trascinamento che per unmoto rotatorio uniforme si riducono alle forze centrifughe: la funzione si interpretacome potenziale centrifugo. Si ha infatti:

V4(q) =12

N∑i=1

mi [ω∧(Pi−O)]2 =|ω|22

N∑i=1

mi

[ω

|ω| ∧(Pi−O)]2

=|ω|22

IOω(q) = Ucf(q) ,

essendo IOω(q) il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse di rotazione Oω.

40.2.1 Interpretazione del potenziale generalizzato per le forze inerzialiIl potenziale generalizzato (40.2.3) e suscettibile di una interpretazione notevole dal puntodi vista fisico, che peraltro ne suggerisce e giustifica la definizione. Si supponga, senzaperdita di generalita, che sul sistema olonomo non agiscano forze attive reali. Poiche,come e immediato verificare, la nozione di vincolo ideale risulta indipendente dalla sceltadel sistema di riferimento,(1) rispetto alla terna inerziale Ωξ1ξ2ξ3 le equazioni del moto delsistema olonomo assumono la forma lagrangiana

d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh= 0 ∀h = 1, . . . , n , (40.2.5)

(1) i moti virtuali sono infatti definiti immaginando il tempo fissato, e quindi ignorando l’eventuale moto

di trascinamento di una terna rispetto all’altra: soltanto i parametri lagrangiani vengono variati

Stefano Siboni 111


nella quale T indica l’energia cinetica del sistema relativamente alla terna Ωξ1ξ2ξ3. Lavelocita vi del generico punto Pi rispetto a Ωξ1ξ2ξ3 e legata alla velocita Pi dello stessopunto relativamente alla terna non inerziale Ox1x2x3 dal teorema dei moti relativi e dallaformula di Poisson:

vi = O + ω ∧ (Pi −O) + Pi

dove O e ω sono funzioni assegnate del tempo e Pi = Pi(t, q) viene individuato dallaparametrizzazione del sistema olonomo in Ox1x2x3. L’energia cinetica in Ωξ1ξ2ξ3 puodunque esprimersi nella forma:

T =12

N∑i=1

miv2i =

12

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi]2 . (40.2.6)

Si vuole verificare che le equazioni (40.2.5), con la lagrangiana (40.2.6), forniscono le cor-rette equazioni del moto per il sistema olonomo a vincoli ideali rispetto al riferimento noninerziale Ox1x2x3. Risulta infatti, per ogni h = 1, . . . , n assegnato:

∂T

∂qh=

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·∂Pi

∂qh=

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·∂Pi

∂qh

per cui:

d

dt

( ∂T

∂qh

)=

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi −O) + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·∂Pi

∂qh+

+N∑

i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·d

dt

(∂Pi

∂qh

)=

=N∑

i=1

mi[O + ω ∧ (Pi −O) + ω ∧ Pi − ω ∧ O + Pi] ·∂Pi

∂qh+

+N∑

i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·∂Pi

∂qh

mentre:

∂T

∂qh=

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi −O) + Pi] ·(ω ∧ ∂Pi

∂qh+

∂Pi

∂qh

)=

=N∑

i=1

mi[O + ω ∧ (Pi −O) + Pi] · ω ∧ ∂Pi

∂qh+

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·∂Pi

∂qh=

=N∑

i=1

mi[O ∧ ω + (ω ∧ (Pi − O)) ∧ ω + Pi ∧ ω] · ∂Pi

∂qh+

+N∑

i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi] ·∂Pi

∂qh

Stefano Siboni 112


e quindi:

d

dt

( ∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh=

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + ω ∧ Pi − ω ∧ O + Pi] ·∂Pi

∂qh−

−N∑

i=1

mi[O ∧ ω + (ω ∧ (Pi − O)) ∧ ω + Pi ∧ ω] · ∂Pi

∂qh=

=N∑

i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + ω ∧ (ω ∧ (Pi − O)) + 2 ω ∧ Pi + Pi] ·∂Pi

∂qh.

Le equazioni pure del moto diventano percio:

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + ω ∧ (ω ∧ (Pi − O)) + 2 ω ∧ Pi + Pi] ·∂Pi

∂qh= 0

ossia:

N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh= −

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + ω ∧ (ω ∧ (Pi − O)) + 2 ω ∧ Pi] ·∂Pi

∂qh

e poiche il primo membro si puo esprimere in termini dell’energia cinetica relativa aOx1x2x3

T ′ =12

N∑i=1

miP2i

per mezzo del binomio di Lagrange:

d

dt

(∂T ′

∂qh

)− ∂T ′

∂qh=

N∑i=1

miPi ·∂Pi

∂qh∀h = 1, . . . , n ,

le stesse equazioni si riducono alla forma lagrangiana:

d

dt

(∂T ′

∂qh

)− ∂T ′

∂qh= −

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + ω ∧ (ω ∧ (Pi − O))] · ∂Pi

∂qh−

−N∑

i=1

mi2 ω ∧ Pi ·∂Pi

∂qh(40.2.7)

con il secondo membro che e giusto la somma delle componenti lagrangiane QTh e QCor

h delleforze di trascinamento e di Coriolis. Le (40.2.7) sono dunque le equazioni lagrangianedel moto scritte nel riferimento non inerziale Ox1x2x3. Sottraendo membro amembro le equazioni (40.2.5) dalle (40.2.7) si ottiene allora:

d

dt

( ∂

∂qh(T ′ − T )

)− ∂

∂qh(T ′ − T ) = QT

h + QCorh ∀h = 1, . . . , n

Stefano Siboni 113


e risultando

T − T ′ =12

N∑i=1

mi[O + ω ∧ (Pi − O) + Pi]2 −12

N∑i=1

miP2i =

=N∑

i=1

mi

[O2

2+

[ω ∧ (Pi − O)]2

2+ O · ω ∧ (Pi − O) + O · Pi + ω ∧ (Pi − O) · Pi

]

lineare nelle velocita generalizzate, quest’ultima funzione puo identificarsi con il potenzialegeneralizzato delle forze inerziali:

V (t, q, q) = T − T ′ . (40.2.8)

Il potenziale generalizzato delle forze inerziali si puo interpretare come ladifferenza fra l’energia cinetica del sistema olonomo in una terna inerziale el’energia cinetica nel riferimento non inerziale assegnato. Da notare che l’espres-sione (40.2.8) differisce da quella introdotta in (40.2.3) per il termine additivo:

12

N∑i=1

miO2

che non dipendendo da q, q e pero del tutto irrilevante.

40.3 Potenziale generalizzato delle forze elettromagneticheUn sistema olonomo a n gradi di liberta, costituito da N punti materiali Pi ed a vincoliideali, sia descritto da una parametrizzazione P (t, q), (t, q) ∈ R × A ⊆ R × Rn rispettoad una terna cartesiana Ox1x2x3 con base associata e1, e2, e3. In presenza di un campoelettrico E(t, P ) e di un campo di induzione magnetica B(t, P ), entrambe funzioni C1 in(t, P ) ∈ R × R3, la forza elettromagnetica agente su un generico punto materiale Pi, dicarica ei, e data dalla formula di Lorentz:

F emi = ei

E(t, Pi) + eiPi ∧ B(t, Pi) ∀ i = 1, . . . , N . (40.3.1)

E ben noto che i campi elettromagnetici sono governati dalle equazioni di Maxwell:

∇ · E = 4πkρ

∇ · B = 0

∇ ∧ E = −∂ B

∂t

∇ ∧ B = µ0J + µ0ε0

∂ E

∂t

dove la densita di carica ρ e di corrente elettrica J costituiscono le sorgenti dei campi, ∇e l’operatore differenziale vettoriale nabla:

∇ = e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ e3

∂

∂x3:=

∂

∂P

Stefano Siboni 114


e ε0, µ0 indicano rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilita magnetica delvuoto. Dalla condizione di solenoidalita dell’induzione magnetica:

∇ · B(t, P ) = 0 ∀ (t, P ) ∈ R × R3

si trae la definizione del potenziale vettore A(t, P ):

B(t, P ) = ∇∧ A(t, P ) ∀ (t, P ) ∈ R × R3 , (40.3.2)

funzione di classe C2 nel proprio dominio di definizione. Sostituita nella forma differenzialedella legge di Faraday-Neumann-Lenz

∇ ∧ E(t, P ) +∂ B

∂t(t, P ) = 0 ∀ (t, P ) ∈ R × R

3 ,

la definizione (40.3.2) fornisce:

∇∧ E(t, P ) +∂

∂t∇ ∧ A(t, P ) = ∇ ∧ E(t, P ) + ∇ ∧ ∂ A

∂t(t, P ) =

= ∇ ∧[

E(t, P ) +∂ A

∂t(t, P )

]= 0 ∀ (t, P ) ∈ R × R

3

da cui si deduce che ad ogni t ∈ R il campo vettoriale entro parentesi quadrate deve essereconservativo e quindi scriversi come gradiente di un potenziale scalare(1) dipendente daltempo:

E(t, P ) +∂ A

∂t(t, P ) = −∇ϕ(t, P )

e a sua volta di classe C2 nel dominio R × R3. I campi elettrico e induzione magneticapossono cosı esprimersi in termini dei potenziali scalare e vettore:

E(t, P ) = −∇ϕ(t, P )− ∂ A

∂t(t, P )

B(t, P ) = ∇ ∧ A(t, P )∀ (t, P ) ∈ R × R

3 . (40.3.3)

Le forze elettromagnetiche (40.3.1) agenti sui punti del sistema diventano pertanto:

F emi = ei

[−∇ϕ(t, Pi) −

∂ A

∂t(t, Pi)

]+ eiPi ∧

[∇ ∧ A(t, Pi)

]∀ i = 1, . . . , N

e le relative componenti generalizzate sono definite da:

Qemh (t, q, q) =

N∑i=1

F emi · ∂Pi

∂qh(t, q) ∀h = 1, . . . , n .

(1) Va ricordato che la definizione di potenziale scalare in elettromagnetismo e diversa da quella che sida in meccanica: il potenziale scalare dell’elettromagnetismo ha il significato di un’energia potenziale per

unita di carica elettrica. Di qui il segno negativo nel secondo membro dell’equazione.

Stefano Siboni 115


Il potenziale generalizzato che descrive le sollecitazioni elettromagnetiche si scrive:

V (t, q, q) =N∑

i=1

ei

[−ϕ(t, Pi) + A(t, Pi) · Pi

]. (40.3.4)

Per verificarlo e opportuno adottare la convezione di somma sugli indici ripetuti, utilizzarele componenti cartesiane del potenziale vettore:

A(t, P ) =3∑

j=1

Aj(t, P ) ej = Aj(t, P ) ej ∀ (t, P ) ∈ R × R3

e introdurre le coordinate cartesiane dei punti materiali:

Pi − O =3∑

j=1

xi,j ej = xi,j ej ∀ i = 1, . . . , N .

Si ottiene allora che:

V (t, q, q) =N∑

i=1

ei

[−ϕ(t, Pi) + Aj(t, Pi) xi,j

]

e che di conseguenza per ogni h = 1, . . . , n vale:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)= − d

dt

N∑i=1

eiAj(t, Pi)∂xi,j

∂qh= − d

dt

N∑i=1

eiAj(t, Pi)∂xi,j

∂qh=

= −N∑

i=1

eid

dt

[Aj(t, Pi)

∂xi,j

∂qh

]=

= −N∑

i=1

ei

[∂Aj

∂t(t, Pi)

∂xi,j

∂qh+

∂Aj

∂xi,k(t, Pi) xi,k

∂xi,j

∂qh+ Aj(t, Pi)

∂xi,j

∂qh

]

mentre:

∂V

∂qh=

N∑i=1

ei

[− ∂ϕ

∂xi,k(t, Pi)

∂xi,k

∂qh+

∂Aj

∂xi,k(t, Pi)

∂xi,k

∂qhxi,j + Aj(t, Pi)

∂xi,j

∂qh

]

in modo che:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh=

N∑i=1

ei

[− ∂ϕ

∂xi,k(t, Pi)

∂xi,k

∂qh− ∂Aj

∂t(t, Pi)

∂xi,j

∂qh−

− ∂Aj

∂xi,k(t, Pi) xi,k

∂xi,j

∂qh+

∂Aj

∂xi,k(t, Pi)

∂xi,k

∂qhxi,j

].

Stefano Siboni 116


I primi due termini entro le parentesi quadrate si possono riesprimere nella forma compatta:

− ∂ϕ

∂xi,k(t, Pi)

∂xi,k

∂qh− ∂Aj

∂t(t, Pi)

∂xi,j

∂qh= − ∂ϕ

∂Pi(t, Pi) ·

∂Pi

∂qh− ∂ A

∂t(t, Pi) ·

∂Pi

∂qh.

Per gli altri due si ha invece, scambiando gli indici j e k nel secondo addendo,

− ∂Aj

∂xi,k(t, Pi) xi,k

∂xi,j

∂qh+

∂Aj

∂xi,k(t, Pi)

∂xi,k

∂qhxi,j =

= − ∂Aj

∂xi,k(t, Pi) xi,k

∂xi,j

∂qh+

∂Ak

∂xi,j(t, Pi)

∂xi,j

∂qhxi,k =

∂xi,j

∂qhxi,k

[∂Ak

∂xi,j(t, Pi) −

∂Aj

∂xi,k(t, Pi)

].

D’altra parte, introdotti il simbolo di Kronecker δij e quello di Ricci εijk, e facile verificareche:

∂Ak

∂xi,j(t, Pi) −

∂Aj

∂xi,k(t, Pi) = (δkaδjb − δkbδja)

∂Aa

∂xi,b(t, Pi) =

= εkjc εabc∂Aa

∂xi,b(t, Pi) = εjkc εcba

∂Aa

∂xi,b(t, Pi) = εjkc Bc(t, Pi)

essendo Bc(t, Pi), c = 1, 2, 3, le componenti cartesiane dell’induzione magnetica B(t, Pi).In forza di questo risultato si perviene alla relazione:

∂xi,j

∂qhxi,k

[∂Ak

∂xi,j(t, Pi) −

∂Aj

∂xi,k(t, Pi)

]= εjkc

∂xi,j

∂qhxi,k Bc(t, Pi) =

∂Pi

∂qh· Pi ∧ B(t, Pi)

dalla quale si deduce:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh=

N∑i=1

ei

[− ∂ϕ

∂Pi(t, Pi) ·

∂Pi

∂qh− ∂ A

∂t(t, Pi) ·

∂Pi

∂qh+

∂Pi

∂qh· Pi ∧ B(t, Pi)

]

ed infine:

− d

dt

( ∂V

∂qh

)+

∂V

∂qh=

N∑i=1

ei

[− ∂ϕ

∂Pi(t, Pi) −

∂ A

∂t(t, Pi) + Pi ∧ B(t, Pi)

]· ∂Pi

∂qh=

=N∑

i=1

ei

[E(t, Pi) + Pi ∧ B(t, Pi)

]· ∂Pi

∂qh= Qem

h (t, q, q) ∀h = 1, . . . , n .

La correttezza del potenziale generalizzato (40.3.4) risulta cosı provata.

Stefano Siboni 117


Indice degli argomenti

1. Sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Configurazioni ordinarie e di confine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Sistemi reonomi e scleronomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Sistemi olonomi a vincoli bilaterali e unilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5. Esempi notevoli di sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.1 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2 Punto materiale vincolato ad una curva regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3 Punto materiale vincolato ad una superficie regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.4 Sistema rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.5 Sistema rigido con punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.6 Sistema rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.7 Sistema rigido con asse scorrevole su se stesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.8 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una curva regolare . . . . . . . . . . . . 75.9 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una superficie regolare . . . . . . . . 8

6. Moti possibili e virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7. Atti di moto/velocita possibili e virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8. Esempio di moto/atto di moto possibile e virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9. Atti di moto virtuali invertibili e non invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

10. Espressione generale dell’atto di moto virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

11. Caratterizzazione degli atti di moto virtuali nelle configurazioni ordinarie . . . . . . 12

12. Postulato delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

13. Principio delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

14. Sistemi a vincoli ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

15. Esempi notevoli di sistemi olonomi a vincoli ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.1 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2 Punto materiale vincolato ad una curva regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.3 Punto materiale vincolato ad una superficie regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.4 Sistema rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.5 Sistema rigido con punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.6 Sistema rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.7 Sistema rigido con asse scorrevole su se stesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.8 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una curva regolare . . . . . . . . . . . . 2415.9 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una superficie regolare . . . . . . . . 25

16. Moti naturali di un sistema olonomo a vincoli ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

17. Relazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Stefano Siboni i


18. Equazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

19. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

20. Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

21. Binomio di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

22. Forma standard delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

23. Riduzione a forma normale delle equazioni del moto di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 33

24. Quiete di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

25. Equilibrio di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

26. Teorema dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

27. Forma lagrangiana del teorema dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

28. Spostamenti virtuali e lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

29. Caratterizzazione degli equilibri nei sistemi a vincoli idealicon il teorema dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

29.1 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4129.2 Punto materiale vincolato ad una curva regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4129.3 Punto materiale vincolato ad una superficie regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4429.4 Sistema rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529.5 Sistema rigido con punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529.6 Sistema rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529.7 Sistema rigido con asse scorrevole su se stesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4729.8 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una curva regolare . . . . . . . . . . . . 4729.9 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una superficie regolare . . . . . . . . 48

30. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio ordinariodi un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

30.1 Teorema delle sollecitazioni di potenza non positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

31. Equilibri di confine nel caso scleronomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5231.1 Esempio a un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5331.2 Esempio a due gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

32. Equazioni cardinali della statica come condizioni necessarie per l’equilibrio . . . . . 5532.1 Esempio. Sistema rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5732.2 Esempio. Sistema rigido con punto fisso privo di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5732.3 Esempio. Sistema rigido con asse fisso privo di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

33. Equazioni cardinali della statica come condizioni sufficienti per l’equilibrionel caso di un sistema rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

33.1 Solido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5833.2 Solido con punto fisso privo di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5933.3 Solido con asse fisso privo di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

34. Sistemi ideali costituiti da un numero finito di parti rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6034.1 Sistema rigido con punto fisso privo di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6234.2 Sistema rigido con asse fisso privo di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Stefano Siboni ii


34.3 Sistema rigido con punto vincolato a scorrere su una curva regolarepriva di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

35. Teorema dei lavori virtuali per i sistemi ideali costituiti da parti rigide . . . . . . . . 64

36. Equazioni cardinali della statica per la determinazione degli equilibrinei sistemi ideali composti di parti rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

36.1 Esempio che illustra l’equivalenza fra un sistema ideale e il sistemasemplificato a reazioni vincolari esterne “concentrate” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

36.2 Esempio di inequivalenza fra equazioni cardinali e teorema dei lavori virtuali . . . 68

37. Vincoli con attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.1 Attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.2 Legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.3 Caratterizzazione degli equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7237.4 Punto vincolato a restare su una superficie regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7337.5 Principio di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

38. Integrali primi delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7438.1 Potenza di una sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7538.2 Classificazione energetica delle sollecitazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7538.2.1 Sollecitazioni posizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7638.2.2 Sollecitazioni posizionali conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7638.2.3 Condizione necessaria per la conservativita di una sollecitazione posizionale . . . . 7738.2.4 Teorema di Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7738.2.5 Esempi notevoli di sollecitazioni posizionali conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7838.2.6 Potenza delle sollecitazioni posizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8238.2.7 Sollecitazioni a potenza non positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8238.2.8 Esempi notevoli di sollecitazioni a potenza non positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8338.2.9 Sollecitazioni non energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8438.2.10 Sollecitazioni dissipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8738.2.11 Sollecitazioni completamente dissipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8738.3 Equazioni di Lagrange in presenza di sollecitazioni posizionali conservative . . . . . 8838.4 Integrale primo dell’energia meccanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8938.4.1 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8938.4.2 Teorema dell’energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9138.4.3 Teorema di conservazione dell’energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9238.4.4 Sistemi posizionali conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9238.4.5 Sistemi conservativi non posizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9238.4.6 Potenza delle reazioni vincolari nel caso ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9338.5 Integrale primo di Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9438.5.1 Funzione di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9438.5.2 Teorema di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9538.5.3 Esempio illustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9638.6 Integrale primo di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9938.6.1 Integrale di Poisson per il moto di un punto in un campo centrale . . . . . . . . . . . . . 10038.6.2 Lagrangiana ridotta o funzione di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Stefano Siboni iii


39. Funzione di Rayleigh per le componenti generalizzate delle forze viscose . . . . . . . 10439.1 Funzione di Rayleigh generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

40. Potenziale generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10640.1 Potenziale generalizzato delle forze di Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10840.2 Potenziale generalizzato delle forze inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10940.2.1 Interpretazione del potenziale generalizzato per le forze inerziali . . . . . . . . . . . . . . . 11140.3 Potenziale generalizzato delle forze elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Stefano Siboni iv

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