Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005 1 Modelli Finanziari nel...

Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

1

Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

6

Prodotti di Volatilità e Correlazione

Giovanni Della Lunga


2

Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati




3

Prodotti Path-Dependent

Il valore del prezzo di riferimento o dello strike da utilizzare per il

calcolo del pay-off dipendono dai prezzi del sottostante in un

periodo di tempo Asiatiche: usano il prezzo medio del sottostante come valore di

riferimento (average rate) o strike (average rate).

Lookback: lo strike è posto al massimo/minimo su un periodo di

riferimento

Ladder: lo strike è aggiornato su una griglia di valori prestabiliti ogni

volta che il sottostante oltrepassa il livello corrispondente in un periodo

di riferimento


4





5

Il metodo Monte Carlo

Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata

sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari

rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio

da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria;

Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore

atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la

media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni

effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui

essa dipende.


6

Il metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo e Integrazione

L’idea di base del metodo è del tutto generale; Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere

utilizzata come stimatore di un integrale

1

0

)( dxxfI 1

0

)( dxxfI

Questa espressione può essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [0, 1]

Questa espressione può essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [0, 1]


7


Spiegazione dell’affermazione precedente Il valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile

aleatoria con densita g(x) e dominio di valori in è dato da

Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1] otteniamo

dxxgxfxfE )()()]([

1

0

)()()()]([

]1,0[1

]1,0[0)(

dxxfdxxgxfxfE

xse

xsexg

1

0

)()()()]([

]1,0[1

]1,0[0)(

dxxfdxxgxfxfE

xse

xsexg


8


Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo affermare che la quantità

n

i

in xfn

I1

)(1~

n

i

in xfn

I1

)(1~

rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima risulta pari a:

n

dxIxfn

xfn

xfn

In

ii

n

iin

21

0

2

12

1

)(1

)(var1

)(1

var)~

var(

n

dxIxfn

xfn

xfn

In

ii

n

iin

21

0

2

12

1

)(1

)(var1

)(1

var)~

var(


9


l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce all’aumentare di n come

Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema.

E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce con l’aumentare del numero di dimensioni.

n/1 n/1


10


3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

Monte Carlo Standard

Black & Scholes


11


Passando dal problema generale al caso più specifico della

determinazione del valore delle opzioni, si consideri il

processo di pricing di un’opzione call di tipo europeo;

Il punto di partenza consiste nella definizione del processo

dinamico seguito dal sottostante;

Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune

assumere che il sottostante segua un processo di tipo

geometrico browniano.


12

SdwSdtdS SdwSdtdS

dwdtSd

2)ln(

2

dwdtSd

2)ln(

2

Lemma di ItoLemma di Ito

tzt2S

SSSS

2

00

ln)ln()ln()ln( tzt

2S

SSSS

2

00

ln)ln()ln()ln(

Un processo per i prezzi azionari


13

tzt2S

S 2

0

ln tzt

2S

S 2

0

ln

tzt

2SS

2

0 exp

tzt

2SS

2

0 exp


Nota: In queste formule z rappresenta una variabile aleatoria estratta da una distribuzione normale standard N(0,1).

Nota: In queste formule z rappresenta una variabile aleatoria estratta da una distribuzione normale standard N(0,1).


14


Processi per il Sottostante

Generazione Scenari

Distribuzione probabilistica dei premi

Calcolo della media e dell’errore


15

Esempio ProgrammazioneVBA


Calcolo del Prezzo di un’Opzione con il Metodo Monte Carlo Calcolo del Prezzo di un’Opzione con il Metodo Monte Carlo


16





17

Opzioni asiatiche

Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date predeterminate:

average price call:

Le opzioni asiatiche sono meno care delle opzioni ordinarie in quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del sottostante.

m

iiaverage

average

tSm

S

ESMax

1

)(1

0,off-Pay

m

iiaverage

average

tSm

S

ESMax

1

)(1

0,off-Pay


18

Opzioni asiatiche

Il problema di gran parte delle opzioni asiatiche è che sono scritte su medie aritmetiche del sottostante osservato a diverse date di rilevazione.

Nel modello di Black e Scholes, in cui la distribuzione dei prezzi è log-normale, questo crea un problema perché la distribuzione di probabilità di somme di variabili a distribuzione log-normale non è nota.

Tecniche di valutazione: Moment matching (Turnbull e Wakeman): la distribuzione della media è

approssimata con una distribuzione log-normale con uguale media e varianza. Metodo Monte Carlo: vengono generati scenari per le date di campionamento,

calcolati i pay-off per ogni sentiero e ne viene calcolata la media


19

Rilevazioni nel tempo discreto

Nella pratica dei prodotti di finanza strutturata troviamo che le

opzioni asiatiche utilizzano la rilevazione del sottostante su un

insieme discreto di date.

Spesso la frequenza del piano di campionamento cambia nel

corso della vita del prodotto. Possiamo avere rilevazioni

mensili il primo anno, trimestrali e negli anni successivi e

semestrali negli anni finali

L’aumento della frequenza delle rilevazioni riduce la volatilità

del sottostante e il valore dell’opzione.


20

Variabile di controllo

Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione di distribuzione campionata, il miglioramento dell’efficienza si ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z) correlata a k(z) di cui è noto esattamente l’integrale

Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando quest’ultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta quando vogliamo conoscere il prezzo di un’opzione asiatica se utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dell’opzione asiatica a media geometrica corrispondente.

Z

C zdFzv )()(Z

C zdFzv )()(


21

Variabile di controllo Definiamo W(, z) come

CzvzkzW )()(),(

E’ facile verificare che

)(),( zkEzWE

222 2, v(z)k(z),v(z)k(z) σββσσzWVar

Possiamo scegliere il parametro in modo da minimizzare la varianza della funzione W

2)(

)(),(*

zv

zvzk

nel qual caso

222 1, k(z)k(z),v(z)k(z) σ)ρ(σzWVar

Definiamo W(, z) come

CzvzkzW )()(),(

E’ facile verificare che

)(),( zkEzWE

222 2, v(z)k(z),v(z)k(z) σββσσzWVar

Possiamo scegliere il parametro in modo da minimizzare la varianza della funzione W

2)(

)(),(*

zv

zvzk

nel qual caso

222 1, k(z)k(z),v(z)k(z) σ)ρ(σzWVar


22

Variabile di Controllo

Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica

Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito in modo log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo europeo.

Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale.

Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi temporalmente equidistanziati...

mm

jt j

SG

/1

1

mm

jt j

SG

/1

1

)()(

2

1exp)exp( 21

2 dKNdNrTC GGG

)()(

2

1exp)exp( 21

2 dKNdNrTC GGG

è pari a ...


23


Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica dove

mThhT

qrSG / 22

1ln 2

0

mTh

hTqrSG /

22

1ln 2

0

m

mmhG 6

)1)(12(22 m

mmhG 6

)1)(12(22

G

GG Kd

2

1

)ln(

G

GG Kd

2

1

)ln(

Gdd 12 Gdd 12


24



Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione viene calcolato come

niKAEeC irTi ,,1 ,)0,max( )()( dove A(i) è la media aritmetica discreta campionata

m

j

tii

jSm

A1

)()( 1

calcolata su un insieme discreto di punti

mjtm

Thhtt jj ,,2,1 ,0 , , 01

ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore

n

i

iCn

C1

)(1ˆ

Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione viene calcolato come

niKAEeC irTi ,,1 ,)0,max( )()( dove A(i) è la media aritmetica discreta campionata

m

j

tii

jSm

A1

)()( 1

calcolata su un insieme discreto di punti

mjtm

Thhtt jj ,,2,1 ,0 , , 01

ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore

n

i

iCn

C1

)(1ˆ


25



Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media geometrica per ogni simulazione

mm

j

it

i

jSG

/1

1

)()(

e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica

)0,max()exp( )()( KGrTC iiG

Questa volta però utilizzeremo lo stimatore

n

iG

iG

i CCCn

C1

)()( )(1ˆ

Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media geometrica per ogni simulazione

mm

j

it

i

jSG

/1

1

)()(

e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica

)0,max()exp( )()( KGrTC iiG

Questa volta però utilizzeremo lo stimatore

n

iG

iG

i CCCn

C1

)()( )(1ˆ


26



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Volatilità Sottostante

Asiatica Aritmetica

Europea Black & Scholes

Asiatica Geometrica

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50


Asiatica Aritmetica


Asiatica Geometrica


27

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

Asiatica Aritmetica


Asiatica Geometrica

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

Asiatica Aritmetica


Asiatica Geometrica




28



0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50


MC Standard MC Controllo MC Antithetic

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50


MC Standard MC Controllo MC Antithetic


29



0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

MC Standard MC Controllo

MC Antithetic

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

MC Standard MC Controllo

MC Antithetic


30



Calcolo del Prezzo di un’Opzione AsiaticaCalcolo del Prezzo di un’Opzione Asiatica


31





32

Opzioni multivariate

Basket: il valore del sottostante è calcolato con una media ponderata di un insieme di titoli

Rainbow: utilizzano funzioni diverse per il calcolo del pay-off: opzioni sul massimo o sul minimo di un paniere dei titoli (option

on the max/min) opzioni che consentono di scambiare un’attività finanziaria con

un’altra (exchange option), opzioni scritte sulla differenza di valori tra due sottostanti

(spread option), opzioni con strike diversi per ogni titolo del paniere (multi-strike).


33

Opzioni basket

Per le opzioni basket si pone lo stesso problema che per le opzioni asiatiche. Da un lato se la media del basket fosse geometrica l’opzione potrebbe essere prezzata utilizzando la formula di Black e Scholes (medie geometriche di variabili log-normali sono log-normali). Dall’altro in gran parte dei casi si utilizzano medie aritmetiche, nel qual caso la non ne conosciamo la distribuzione.

Anche in questo caso le alternative sono due Moment matching Simulazione Monte Carlo


34

Misure di co-dipendenza

Distribuzioni Marginali Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la

funzione di densità marginale di x è definita come

E, analogamente,

)(

),()(yD

x dyyxx )(

),()(yD

x dyyxx

)(

),()(xD

y dxyxy )(

),()(xD

y dxyxy


35


Indipendenza Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro

funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle densità marginali

)()(),( , yxyxtiindipendenyx yx )()(),( , yxyxtiindipendenyx yx


36

Correlazione Lineare Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due

variabili x ed y


2222

,

)()()()(

)()(),(

)()(

),cov(

dyyydyyydxxxdxxx

dyyydxxxdxdyyxxy

yx

yx

yyxx

yx

yx

2222

,

)()()()(

)()(),(

)()(

),cov(

dyyydyyydxxxdxxx

dyyydxxxdxdyyxxy

yx

yx

yyxx

yx

yx


37

Correlazione Lineare Spesso si ritiene che la conoscenza del coefficiente di

correlazione lineare unitamente alla specificazione delle distribuzioni marginali, permetta di determinare la distribuzione di probabilità congiunta.

In realtà questo è vero solo per certe classi di distribuzioni tra cui la distribuzione normale.

In generale quindi l’inferenza

Non è valida


),(),(),( , yxyx yxyx ),(),(),( , yxyx yxyx


38

Oltre l’indice di correlazione lineare La correlazione lineare è un buona misura di co-dipendenza per variabili

normali. Per distribuzioni che non sia allontanano troppo dalla “normalità” continua a fornire indicazioni utili ma all’allontanarsi da queste condizioni (in molti casi soltanto ideali) l’indice di correlazione lineare fornisce risultati sempre più fuorvianti!

L’indice di correlazione lineare non è invariante rispetto a trasformazioni non lineari delle variabili.

A differenza degli stimatori non-parametrici, l’indice di correlazione lineare può non coprire l’intero range da – 1 a + 1, rendendo problematica l’interpretazione del grado di dipendenza



39

Variabili Normali Multivariate Cholescky Decomposition

Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata .

Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone

Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che

AXY AXY

tAA tAA


40

N

j

N

j kjkjikijjij

N

j kjkjikij

N

jjijii

N

jjiji

N

jjiji

ij

jij

ii

axxaaxa

xxaaxa

xayyyy

xayxay

1

2

1

22

1

22

2

1

2222

11

2

2

)(

0

Variabili Normali Multivariate

1)(22 jj xx 1)(22 jj xx

AXY AXY

0),cov( kjkj xxxx 0),cov( kjkj xxxx


41

Cholescky Decomposition

La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato . Se la matrice è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00


Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,


42

Cholescky Decomposition

Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative

Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

1 i

kjkikij

iiji aa

aa

1

1

1 i

kjkikij

iiji aa

aa

2

22

1

1

0

A

2

22

1

1

0

A



43



Cholesky Decomposition Cholesky Decomposition


44





45

Alberi Binomiali in più dimensioni

E’ relativamente semplice costruire un albero in tre dimensioni per rappresentare i movimenti di due variabili non correlate;

Dapprima si costruisce separatamente un albero a due dimensioni per ciascuna delle due variabili;

quindi si combinano i due alberi in un solo albero a tre dimensioni.

Le probabilità relative ai rami del nuovo albero sono pari al prodotto delle probabilità dei corrispondenti rami degli alberi a due dimensioni.


46


Si supponga ad esempio che le variabili siano date dai prezzi S1 ed S2.

Ciascuna di queste due variabili può essere rappresentata in due dimensioni da un albero binomiale CCR;

supponiamo che p1 sia la probabilità che S1 aumenti e 1-p1 la

probabilità che diminuisca, analogamente con p2 e S2;

nell’albero a tre dimensioni ci saranno quindi quattro rami che vengono generati da ciascun nodo con le seguenti probabilità p1p2 S1 aumenta, S2 aumenta

p1(1-p2) S1 aumenta, S2 diminuisce

(1-p1)p2 S1 diminuisce, S2 aumenta

(1-p1)(1-p2) S1 diminuisce, S2 diminuisce


47


Il caso più interessante è naturalmente quello in cui le variabili siano correlate;

Rubinstein ha suggerito un modo di costruire un albero a tre dimensioni disponendo i nodi secondo un approccio binomiale;

);(

);(

);(

);(

DSdS

CSdS

BSuS

ASuS

211

211

211

211

);(

);(

);(

);(

DSdS

CSdS

BSuS

ASuS

211

211

211

211 Dal nodo (S1, S2) si può passare ad uno dei seguenti nodi con probabilità 0.25 (albero con probabilità uguali lungo i rami, tipo JR):


48


22

222

22

222

22

222

22

222

1211

1211

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

tt2qr1

tt2qr1

eD

eC

eB

eA

ed

eu

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

22

222

22

222

22

222

22

222

1211

1211

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

tt2qr1

tt2qr1

eD

eC

eB

eA

ed

eu

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

Deriva dalla “Cholesky Decomposition”


49

Opzioni con due sottostanti: Alcuni Esempi

Spread Options call max(0, Q1S1-Q2S2-X) put max(0,X+Q2S2-Q1S1)

Opzione sul massimo call max(0,max(Q1S1,Q2S2)-X) put max(0,X-max(Q1S1,Q2S2))

Opzione sul minimo call max(0,min(Q1S1,Q2S2)-X) put max(0,X-min(Q1S1,Q2S2))

Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(Q2S2-X2)) put max(0,(X1-Q1S1),(X2-Q2S2))

Reverse Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(X2-Q2S2)) put max(0,(X1-Q1S1),(Q2S2-X2))

Portfolio Options call max(0, (Q1S1+Q2S2)-X) put max(0,X-(Q1S1+Q2S2))

Exchange Options max(0,Q2S2-Q1S1)


50



Albero Binomiale con CorrelazioneAlbero Binomiale con Correlazione

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