UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIAFacoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea

TRANSIZIONI DI FASE

E IL MODELLO DI ISING

Relatore:

Prof. Gianluca Grignani

Laureando:

Giulio Capponi

� Anno Accademico 2014/2015 �

Alla mia famiglia

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Indice

Introduzione 4

1 Transizioni di fase 61.1 Classi�cazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Transizioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Transizioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Esponenti critici e universalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 La funzione di partizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 La funzione di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3 Gli esponenti critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Il modello di Ising 172.1 Il modello di Ising a spin-12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Il modello di Ising a spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Altri modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Il modello di Potts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Il modello di Heisenberg e X-Y . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Risoluzione del modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1 Metodo della matrice di trasferimento . . . . . . . . . . . 22

2.4.1.1 Energia libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.1.2 Magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Soluzione di Onsager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.3 Teorie di campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.3.1 Disuguaglianza di Bogoliubov . . . . . . . . . . . 272.4.3.2 Teoria di Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3.3 Validità delle teorie di campo medio . . . . . . . 33

Commenti �nali 34

3

Introduzione

Nel 1920, il professor Wilhelm Lenz introdusse un modello statistico elementa-re, spinto dall'esigenza teorica di sempli�care al massimo la natura degli spinin un materiale ferromagnetico e di ottenere un sistema risolvibile in manieraesatta. L'ipotesi che fornisce la maggiore sempli�cazione è considerare i dipolimagnetici, situati nei siti di un reticolo d-dimensionale, descritti da grandezzescalari si che possono assumere solo i valori +1 o −1. L'obiettivo era anchequello di studiare la transizione di fase ferromagnete-paramagnete, che avvienead una temperatura critica Tc. Nel 1922, Lenz chiese ad Ernst Ising, uno deisuoi studenti di dottorato all'Università di Amburgo, di analizzare il suo mo-dello. Ising trovò la soluzione esatta del caso unidimensionale ma mise in lucel'assenza di una transizione di fase. Da allora il modello è conosciuto in lettera-tura come modello di Ising, poiché Lenz non pubblicò mai nulla sull'argomento.In realtà la conclusione di Ising non era del tutto corretta in quanto, come saràmostrato più avanti, il modello unidimensionale ammette una transizione criti-ca a Tc nulla. Nel 1936, Peierls dimostrò che nel caso bidimensionale avvieneuna transizione critica a Tc non nulla, e il valore esatto di questa temperatu-ra critica fu calcolato da Kramers e Wannier nel 1941. Fu poi Lars Onsagernel 1944 a risolvere in maniera esatta il modello bidimensionale. Nonostante lasemplicità del modello possa sembrare eccessiva, fornisce una serie di risultatiutili, soprattutto per quanto riguarda i cosiddetti esponenti critici. Questi sonodei numeri caratteristici di un sistema in cui è prevista una transizione di fasecritica, che, tuttavia, dipendono solo da pochi parametri fondamentali, tra cuila dimensionalità d del sistema e non dipendono dal tipo di interazioni. Quindigli stessi esponenti critici possono essere comuni a diversi sistemi anche di na-tura molto diversa, nei quali però deve avvenire una transizione critica. Questisistemi con gli stessi esponenti critici si raggruppano in classi di universalità.La giusti�cazione teorica dell'universalità è fornita dalla teoria del gruppo dirinormalizzazione, che non sarà discusso in questa tesi. L'utilità del modellodi Ising, dunque, sta nel sempli�care lo studio dei fenomeni critici di sistemi(anche non magnetici) magari più complicati ma appertenenti alla stessa classedi universalità.

Nel Capitolo 1 si de�niranno e classi�cheranno le transizioni di fase, al �ne dicomprendere meglio cosa si intende per transizione del primo ordine e transizionecritica; poi si de�niranno gli esponenti critici, non prima di aver introdotto alcuniconcetti necessari della meccanica statistica.

Nel Capitolo 2 sarà �nalmente descritto il modello di Ising a spin- 12 , cioèquello originariamente pensato da Lenz, ed altri modelli classici (Ising a spin-1 e Potts) o quantistici (Heisenberg e X-Y) che generalizzano il primo; alla

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�ne saranno riproposti dei metodi risolutivi per il modello a spin- 12 : uno esat-to (la matrice di trasferimento) ed altri approssimati (teorie di campo medio).Per quanto riguarda la soluzione esatta di Onsager per il caso bidimensiona-le, sarà fornita solo la soluzione �nale e non il calcolo completo, in quantoparticolarmente complesso.

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Capitolo 1

Transizioni di fase

1.1 Classi�cazione

Una transizione di fase avviene quando è presente una singolarità nell'energialibera o in almeno una delle sue derivate. Ciò comporta un brusco cambiamentodelle proprietà �siche del sistema, come ad esempio la densità, la conducibilitàelettrica, la magnetizzazione, la struttura cristallina, ecc... Una prima classi�-cazione delle transizioni di fase consiste nel considerare la variazione di entropia∆S nel passaggio da una fase all'altra, mantenendo �ssa la temperatura. Inquesto caso si dicono transizioni del primo ordine quelle in cui ∆S 6= 0, quindiquelle in cui ad una certa temperatura è associato il calore latente, mentre sidicono continue quelle in cui ∆S = 0, quindi non c'è calore latente assorbitoo ceduto durante la transizione. Una classi�cazione più generale fa riferimentoai potenziali termodinamici, come ad esempio l'energia libera di Gibbs (G) cheha la forma G(T, P ) = U − TS + PV nel caso si consideri solo lavoro di vo-lume o G(T,H) = U − TS + µH nel caso si consideri il lavoro di un magnetein un campo magnetico H. Nelle precedenti espressioni di G si sono utilizzatele variabili intensive temperatura T, pressione P, campo magnetico H e le va-riabili estensive energia interna U, volume V, entropia S e momento di dipolomagnetico μ. Considerando una trasformazione reversibile, se si di�erenzia G esi tiene conto della prima legge della termodinamica dU = TdS − δL, dove δLsta ad indicare il lavoro in�nitesimo (PdV se di volume, µdH se magnetico), siottengono le seguenti espressioni : dG = −SdT + V dP e dG = −SdT + Hdµ.La classi�cazione di Ehrenfest consiste nel de�nire transizioni del primo ordine

quelle in cui l'energia libera di Gibbs ha una discontinuità �nita in una dellesue derivate prime, del secondo ordine quelle con la discontinuità nelle derivateseconde e così via. In sintesi se G1 e G2 sono rispettivamente le energie liberenella fase iniziale e nella fase �nale, per una trasformazione dell' n-esimo ordinesi ha

∂nG1

∂hn

∣∣∣∣P0

6= ∂nG2

∂hn

∣∣∣∣P0

(1.1)

dove h è una delle variabili termodinamiche intensive da cui dipende G e P0

è il punto di transizione. Questo schema è tuttavia incompleto in quanto non si

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considera la possibilità che una derivata seconda tenda a in�nito, cosa che inveceaccade, con modelli analitici esatti, in transizioni come quella ferromagnete-paramagnete. Uno schema più generale, dovuto a Fischer, de�nisce ancoratransizioni del primo ordine quelle con una discontinuità �nita nelle derivateprime dell'energia libera, de�nizione che comprende quella data inizialmenteper cui ∆S 6= 0: infatti l'entropia è de�nita come

S = − ∂G

∂T

∣∣∣∣H,P...

(1.2)

quindi è evidente da 1.1 che per questo tipo di transizione si ha ∆S 6= 0.Inoltre Fisher de�nisce transizioni continue o critiche quelle in cui le derivateprime dell'energia libera sono continue ma una delle derivate seconde risultaavere una discontinuità (�nita) oppure diverge in un certo punto. Sono chiamatecontinue proprio perché le derivate prime sono continue nel punto di transizione,quindi, ad esempio, la variazione di entropia avviene con continuità da unafase all'altra. In generale non è escluso che tutte le derivate prime e secondesiano continue e ci sia discontinuità nelle derivate terze o superiori, quindi side�niscono, richiamando lo schema di Ehrenfest, transizioni di ordine n quellecon tutte le derivate continue prima dell'n-esima che invece è discontinua. Talede�nizione può essere data anche mediante un altro potenziale termodinamicoche è l'energia libera di Helmholtz F (T, V ) = U − TS, con dF = −SdT − δL.

Al �ne di caratterizzare una transizione di fase è bene introdurre il concettodi parametro d'ordine . Si tratta di una grandezza �sica che rappresenta laprincipale di�erenza qualitativa tra una fase e l'altra. Inoltre rappresenta lavariazione della simmetria di un sistema a transizione avvenuta e può essereuna grandezza scalare, vettoriale o tensoriale. Nel caso di transizioni continue ocritiche si passa da una fase più simmetrica ad una meno simmetrica o viceversa.Data la continuità di queste transizioni, anche il parametro d'ordine risultacontinuo, quindi nel punto di transizione il sistema assume la simmetria di unadelle due fasi. Spesso la fase più simmetrica, in cui il parametro d'ordine ènullo, è quella che si presenta ad una temperatura maggiore di una certa Tc(detta appunto temperatura critica) mentre la fase meno simmetrica, in cui ilparametro d'ordine è diverso da zero, si presenta a temperature al di sotto diTc. Per le transizioni del primo ordine invece, anche se spesso si ha un cambio disimmetria tra le due fasi, queste simmetrie possono non avere nulla in comune,in quanto non ci sono vincoli di continuità nel punto di transizione. Un casoparticolare è rappresentato dalla transizione liquido-vapore, in cui non si ha unavariazione della simmetria nelle due fasi. È tuttavia utile de�nire un parametrod'ordine per questa transizione. Una grandezza che varia sensibilmente tra lafase liquida e quella di vapore è la densità ρ. Quindi si de�nisce il parametroΨ = ρliquido − ρvapore e nel gra�co 1.1 è mostrato l'andamento della densità diliquido e vapore nella curva della pressione di vapore nel diagramma delle fasidi un generico �uido.

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Figura 1.1

Nel punto critico Pc = (Tc, ρc) le due densità raggiungono lo stesso valo-re (ρc) e non è più possibile una distinzione tra fase liquida e fase di vapore.Un altro esempio di parametro d'ordine è la magnetizzazione media per unatransizione ferromagnete-paramagnete che è continua o critica. Infatti la ma-gnetizzazione è diversa da zero nella fase ferromagnetica (più simmetrica) eduguale a zero nella fase paramagnetica (meno simmetrica) che si osserva soprala temperatura critica. Ancora un altro esempio è la transizione continua �uido-super�uido nell'elio, in cui si sceglie come parametro d'ordine la funzione d'ondadel condensato, la quale è nulla nella fase di �uido e diversa da zero nella fasedi super�uido.

1.2 Transizioni del primo ordine

Esempi di transizione di fase del primo ordine sono le transizioni liquido-vapore,solido-liquido e solido-vapore. Questi fenomeni sono caratterizzati dall'assorbi-mento o il rilascio di calore latente durante la transizione, quindi, come giàdiscusso, da una discontinuità dell'entropia tra le due fasi. In �gura 1.2 è rap-presentato un generico diagramma di fase pressione-temperatura, dove sono in-dividuate delle curve in cui avvengono le varie transizioni (curva di sublimazione,curva di fusione e curva di pressione di vapore).

Figura 1.2

Le transizioni solido-liquido e solido-vapore sono sempre del primo ordine,mentre quella liquido-vapore presenta un punto critico nel quale le due fasi

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sono indistinguibili. Infatti in questo punto avviene una transizione critica,quindi l'entropia varia con continuità da una fase all'altra. Oltre la temperaturacritica (Tc), che è la temperatura corrispondente al punto critico, non avvengonotransizioni di fase. È interessante studiare l'andamento dell'energia libera diGibbs (G), ad esempio per il passaggio da liquido a vapore. La funzione G ècrescente se si incrementa la pressione P mantenendo costante la temperatura T,viceversa è decrescente con T a P costante. Inoltre, in entrambi i casi, presentauna cuspide nel punto di transizione, indice di discontinuità delle derivate prime.Quindi de�nendo P0 il punto di transizione, tenendo conto delle relazioni

S = −

(∂G

∂T

∣∣∣∣P0

)P

(1.3)

V =

(∂G

∂P

∣∣∣∣P0

)T

(1.4)

e mettendo il pedice 1 o 2 a tutte le grandezze relative rispettivamente allafase liquida e alla fase di vapore, si ricava che

S2 − S1 =

(∂G1

∂T

∣∣∣∣P0

)P

−

(∂G2

∂T

∣∣∣∣P0

)P

> 0 (1.5)

V2 − V1 =

(∂G2

∂P

∣∣∣∣P0

)T

−

(∂G1

∂P

∣∣∣∣P0

)T

> 0 (1.6)

quindi dalla fase liquida alla fase di vapore entropia e volume aumentano inmodo discontinuo.

È interessante vedere cosa succede nel punto critico. Se ad esempio si con-sidera una mole di argon, si osserva che l'andamento del calore speci�co molarea volume costante con il rapporto tra temperatura e temperatura critica è ilseguente

Figura 1.3

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Il calore speci�co diverge alla temperatura critica. Infatti, poichè Cv =T(∂S∂T

)Ve S = −

(∂F∂T

)Vcon F (T, V ) energia libera di Helmholtz, si avrà Cv =

−T(∂2F∂T 2

)V. Quindi il calore speci�co è proporzionale alla derivata seconda

dell'energia libera di Helmholtz e se questa diverge nel punto critico, si ha perde�nizione una transizione continua o critica.

1.3 Transizioni continue

Alcuni esempi di transizioni continue o critiche sono i passaggi ferromagnete-paramagnete, conduttore-superconduttore e �uido-super�uido nell'elio. In que-sta parte sarà analizzata la transizione ferromagnete-paramagnete. Come è notoi materiali ferromagnetici sottoposti ad un campo magnetico esterno H si ma-gnetizzano e presentano una magnetizzazione residua anche dopo che H vienespento. Oltre una certa temperatura critica Tc, anche detta temperatura diCurie, assumono un comportamento paramagnetico, cioè non presentano ma-gnetizzazione residua quando viene annullato H. Durante la fase ferromagneticasi osserva una transizione del primo ordine. Si vede bene dal seguente gra�coche esprime la variazione della magnetizzazione M con la temperatura T

Figura 1.4

La magnetizzazione residua è diversa se il campo H applicato viene portatoa 0 da sinistra, H → 0+, o da destra, H → 0−, questo signi�ca che c'è una di-scontinuità nella magnetizzazione, che è il parametro d'ordine della transizione.Infatti si ha che M = −NV

(∂F∂H

)Tdove N è il numero di particelle nel mate-

riale. La discontinuità della derivata prima dell'energia libera di Helmholtz inH = 0 indica appunto una transizione del primo ordine. A temperature maggio-ri di quella critica non si ha questa discontinuità e nemmeno alla temperaturacritica stessa, dove però ad H = 0 la magnetizzazione ha pendenza in�nita.L'andamento di M con H è mostrato nella �gura seguente

Figura 1.5

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La derivata della magnetizzazione M per T = Tc diverge in H = 0. Infattila suscettività isoterma χT che è

χT =

(∂M

∂H

)T

= −NV

(∂2F

∂H2

)T

per T = Tc diverge in H = 0, come mostrato in �gura

Figura 1.6

Poichè la derivata seconda dell'energia libera di Helmholtz diverge, questaè per de�nizione una transizione critica. Analizzando invece il comportamentodella suscettività al variare della temperatura con H �ssato si giunge alle stesseconclusioni, cioè per H = 0 si ha una transizione critica in T = Tc

Figura 1.7

Infatti il calore speci�co a campo esterno costante (CH) diverge per T = Tce poichè

CH = T

(∂S

∂T

)H

= −T(∂2F

∂T 2

)H

è evidente che anche la transizione dal comportamento ferromagnetico aquello paramagnetico e viceversa è per de�nizione continua o critica.

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1.4 Esponenti critici e universalità

Prima di introdurre gli esponenti critici delle transizioni di fase continue è impor-tante richiamare alcuni concetti e de�nizioni della meccanica statistica, poichè,volendo descrivere il comportamento delle funzioni termodinamiche durante unatransizione di fase, sia essa critica o del primo ordine, bisogna in primo luogoanalizzarne le caratteristiche microscopiche, quindi ricavarne quelle macroscopi-che con l'applicazione di modelli statistici. Si consideri ad esempio un materialeferromagnetico. È noto che alcuni atomi posseggono un piccolo dipolo magne-tico dovuto sia allo spin degli elettroni che al loro moto intorno al nucleo. Peri ferromagneti sotto la temperatura di Curie Tc, questi dipoli tendono ad al-linearsi per e�etto della loro interazione dando luogo ad un campo magneticopercepibile su scale macroscopiche. In questo caso i dipoli magnetici (che d'orain poi saranno chiamati semplicemente spin) tendono a formare una con�gura-zione di minima energia. Se quindi si considera un reticolo d-dimensionale nelquale a ciascuno spin, posto nel sito reticolare i-esimo, è associata una gran-dezza vettoriale

−→Si, l'Hamiltoniana scritta nella versione più semplice possibile

(interazione a primi vicini) avrà la forma

H = −J∑〈ij〉

−→Si−→Sj

dove 〈ij〉 indica che la somma è estesa ai primi vicini e J > 0 è la costantedi accoppiamento (�ssa la scala energetica dell'interazione). È evidente che laminima energia si ha quando tutti gli spin sono allineati, quindi nella fase fer-romagnetica domina questa tendenza. Per T > Tc, nella fase paramagnetica, ilsistema non tende a minimizzare l'energia interna, bensì a massimizzare l'entro-pia. Come già speci�cato, il parametro d'ordine della transizione ferromagnete-paramagnete è la magnetizzazione totale del sistema quindi

−→M =

∑i

−→Si. Da

questo punto in poi saranno utilizzati termini magnetici ma i modelli sarannospesso applicabili anche a sistemi non magnetici.

1.4.1 La funzione di partizione

La meccanica statistica che si utilizzerà è quella classica. Si indica con C unpossibile stato del sistema (in questo caso è una con�gurazione degli spin in cui

è nota ogni orientazione di−→Si). Sia anche il numero N di spin molto elevato

(N → ∞). Se il sistema è in equilibrio termico con l'ambiente, scambiandoenergia solo in forma di calore, si ha il cosiddetto insieme canonico. A questo èassociata la seguente probabilità per un generico stato C

P (C) =e−E(C)kBT

ZDove E(C) è l'energia del sistema nello stato C, kB è la costante di Boltz-

mann, T la temperatura assoluta e Z la funzione di partizione. Quest'ultima ède�nita così (è conveniente scegliere un insieme statistico in cui Z dipenda dallevariabili temperatura T e campo esterno H)

Z(T,H) =∑C

e−βE(C) (1.7)

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dove si è posto β = 1kBT

. La 1.7 assicura una corretta normalizzazione dellaprobabilità:

∑C P (C) = 1. Data una generica grandezza �sica O, il suo valore

di aspettazione 〈O〉 si ottiene con la media statistica pesata sui diversi statipossibili del sistema

〈O〉 =

∑C O(C)e−βE(C)

Z

La funzione di partizione contiene anche informazioni rilevanti sulle proprietàtermodinamiche del sistema all'equilibrio, infatti si ha che

Z(T,H) =∑C

e−βE(C) =∑E

ω(E)e−βE =∑E

e−β(E−TS) ≡ e−βF (T,H) (1.8)

dove si è utilizzata la formula di Boltzmann S(E) = kB lnω(E) in cui ω(E)rappresenta il numero di microstati che hanno energia E. Si può dimostrare chela F (T,H) è l'energia libera di Helmholtz F = U − TS. Invertendo la 1.8 si ha

F (T,H) = −kBT lnZ(T,H) (1.9)

L'importanza fondamentale della funzione di partizione sta proprio nel fattoche tutte le proprietà termodinamiche macroscopiche si possono ottenere dal-la derivazione dell'energia libera F (T,H). Ecco le principali per un sistemamagnetico

U = −∂ lnZ

∂β(1.10)

CH =

(∂U

∂T

)H

= T

(∂S

∂T

)H

(1.11)

S = −(∂F

∂T

)H

(1.12)

M = −(∂F

∂H

)T

(1.13)

χT =

(∂M

∂H

)T

(1.14)

1.4.2 La funzione di correlazione

Come già detto, per avere una piena comprensione delle transizioni di fase ènecessario capire cosa succede a livello microscopico. Per farlo in modo piùquantitativo si introduce la funzione di correlazione, in questo caso, la funzionedi correlazione tra due spin

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Γ (−→ri ,−→rj ) = 〈si − 〈si〉〉 · 〈sj − 〈sj〉〉

dove −→ri è la posizione dell'i-esimo spin nel reticolo. Se il sistema è invarianteper traslazione si ha che 〈si〉 = 〈sj〉 = 〈s〉 e che Γ(−→ri ,−→rj ) = Γij dipende solo da−→ri −−→rj . Quindi

Γij = 〈sisj〉 − 〈s〉2

Lontano dalla temperatura critica, per −→r = −→ri − −→rj → ∞ i due spin di-ventano non correlati, sia sopra che sotto Tc. Infatti, anche se per T < Tc siha che 〈s〉 6= 0 , la de�nizione data della funzione di correlazione considera le�uttuazioni degli spin dal loro valor medio. Quindi, lontano dal punto criticogli spin tendono ad essere correlati entro una certa lunghezza ξ, detta lunghezzadi correlazione (che supponiamo non dipendere dall'orientazione di −→r ). Questanon è altro che la dimensione tipica entro il quale le �uttuazioni degli spin −→si dalvalore medio risultano correlate. Per T 6= Tc la funzione di correlazione tende a0 esponenzialmente con −→r

Γ(−→r ) ∼ r−τe−rξ

con τ �ssato. In questo modo si è data una de�nizione un pò più rigorosa di ξ.Per T = Tc invece la lunghezza di correlazione diverge e infatti la funzione dicorrelazione decresce come una potenza e non più esponenzialmente

Γ(−→r ) ∼ 1

rd−2+η

dove d è la dimensione del sistema ed η è un esponente critico.

1.4.3 Gli esponenti critici

Prima di de�nire cosa siano gli esponenti critici conviene introdurre la tempe-ratura ridotta t = T−Tc

Tcche misura la deviazione del sistema dalla temperatura

critica. Se t→ 0 si è in prossimità di Tc. Sia R(t) una generica funzione termo-dinamica continua e positiva per piccoli valori di t. Si assume che esista e sia�nito il limite seguente

λ = limt→0

lnR(t)

|t|(1.15)

dove λ si de�nisce esponente critico della funzione R(t). In ogni transizionecritica, quasi ogni funzione termodinamica è caratterizzata da un certo espo-nente critico. La 1.15 si può scrivere λ ∼ lnR(t)

ln |t| quindi si ottiene, sfruttando le

proprietà dei logaritmi, che R(t) ∼ |t|λ. A seconda del valore di λ, la funzioneR(t) in corrispondenza del punto critico (t→ 0) può divergere (se λ < 0) o puòannullarsi (λ > 0). Gli esponenti critici sono numeri spesso positivi ed espressicome frazioni di interi, indicati con lettere greche. In Tabella 2.1 sono riportatigli andamenti delle più importanti grandezze termodinamiche per un sistemamagnetico.

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Tabella 1.1

Il calore speci�co CH a campo magnetico esterno H costante e nullo haesponente critico α ≥ 0. Se α > 0, CH diverge nel punto critico, mentre se α = 0presenta diversi comportamenti a seconda del modello utilizzato per il calcolo.La magnetizzazione M a campo magnetico esterno costante e nullo presentaβ > 0, quindi nel punto critico si annulla. In questo caso si scrive−t e non|t| perché l'andamento di M si ricava ponendosi nella fase ferromagnetica, conT < Tc quindi t < 0. La suscettività isoterma χT a campo H nullo ha esponenteγ > 0 quindi diverge nel punto critico, come visto in precedenza. Per quantoriguarda l'andamento del campo esterno in funzione della magnetizzazione M ,per l'isoterma critica T = Tc, la dipendenza da t è solo implicita (t = 0) el'esponente critico corrispondente è δ > 0. Nel punto critico la magnetizzazionesi annulla, e con essa il campo H per la positività di δ. Come già accennatoprima, nel punto critico, la lunghezza di correlazione ξ diverge e infatti haesponente critico ν > 0 ma che nella legge compare con il segno meno. In�ne lafunzione di correlazione a coppie Γ(−→r ), che nella tabella è chiamata G(−→r ), Hal'andamento mostrato precedentemente e si ha che η ≥ 0. Anche in questo casola dipendenza da t è solo implicita. La seguente Tabella 1.2, invece, mostra gliandamenti delle corrispondenti funzioni termodinamiche per un �uido, quindi ilparametro d'ordine è la di�erenza tra le densità invece della magnetizzazione,invece del campo magnetico esterno H si trova il volume V e al posto dellasuscettività isoterma χT si trova la compressibilità isoterma κT .

Tabella 1.2

Il motivo per cui si introducono gli esponenti critici è che, per modelli checonsiderino interazioni a corto raggio, dipendono solo dalla dimensionalità d delsistema e dalla simmetria del parametro d'ordine (cioè dal tipo di grandezza:scalare, vettoriale o tensoriale). Quindi non dipendono dal tipo di interazioniche descrivono il sistema. I sistemi in cui avviene una transizione di fase criticasi raggruppano in classi di universalità, a cui appartengono tutti i sistemi con lastessa dimensionalità e la stessa simmetria del parametro d'ordine, quindi congli stessi esponenti critici. Ad esempio, un magnete con anisotropia uniassialecome il di-�uoruro di manganese MnF2, può essere studiato con il modello diIsing tridimensionale, così anche la miscela CCl4 +C7F16, che è un sistema �ui-do, sempre tridimensionale, con parametro d'ordine che ha la stessa simmetria

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di quello del modello di Ising tridimensionale. Da misure sperimentali risultache per MnF2 si ha β = 0.335(5) dove la cifra tra parentesi è quella su cuiagisce l'incertezza, mentre per il secondo sistema risulta β = 0.33(2). Un altroesempio sono i sistemi cristallini nei quali una supe�cie di ferro può �sisorbireatomi di idrogeno. Il sistema può essere studiato con il modello di Ising bidi-mensionale (che sarebbe speci�co per il ferromagnetismo). L'universalità degliesponenti critici, dunque, comporta che per trattare una classe di universalitàbasta studiare il sistema più semplice, che può anche essere inventato e nonavere riscontro �sico.

Esistono delle relazioni tra gli esponenti critici che sono espresse in forma didisuguaglianze. La più semplice da dimostrare è dovuta a Rushbrooke e derivadalla relazione (nota) tra calore speci�co a campo esterno costante e nullo e amagnetizzazione costante

χT (CH − CM ) = T

(∂M

∂T

)2

H

(1.16)

Poichè CM ≥ 0 si ha che

χTCH ≥ T(∂M

∂T

)2

H

(1.17)

e dalla Tabella 1.1 si vede che per t→ 0−(si arriva a Tc dalla fase ferroma-gnetica, cioè da T < Tc) si hanno i seguenti andamenti asintotici: CH ∼ (−t)−α

, χT ∼ (−t)−γ e(∂M∂T

)H∼ − (−t)β−1. Quindi dalla 1.17 si ottiene che asintoti-

camente (−t)−(α+γ) ≥ (−t)2β−2 e visto che (−t) è positivo e piccolo la relazioneè rispettata se

α+ γ + 2β ≥ 2 (1.18)

Un'altra disuguaglianza tra esponenti critici è dovuta alla convessità dell'e-nergia libera ed è

α+ β (1 + δ) ≥ 2 (1.19)

e ancora, facendo assunzioni ragionevoli sul comportamento delle variabilitermodinamiche o della funzione di partizione nel punto critico

γ ≤ (2− η) ν (1.20)

dν ≥ 2− α (1.21)

γ ≥ β (δ − 1) (1.22)

Considerando ad esempio il modello di Ising bidimensionale, con il metodoanalitico esatto di Onsager ad H = 0, si ottengono gli esponenti α = 0, β =18 , γ = 7

4 , δ = 15, ν = 1 e η = 14 . È facile vedere che le disuguaglianze 1.18,

1.19, 1.20, 1.21 e 1.22 sono veri�cate come uguaglianze.

16

Capitolo 2

Il modello di Ising

Il modello di Ising fu ideato nel 1925 da Lenz ed Ising, inizialmente come mo-dello classico. Fu formulato in termini di un sistema magnetico, poi però ebbenotevole successo anche per lo studio di sistemi non magnetici, soprattutto peril calcolo degli esponenti critici, data l'universalità di questi ultimi e la sem-plicità del modello. La risoluzione del modello di Ising consiste nel trovare lafunzione di partizione del sistema, dalla quale è possibile ricavarsi l'energia li-bera di Helmholtz 1.9 e con questa studiare l'andamento della magnetizzazioneM con la temperatura T (1.13). L'obiettivo è studiare il comportamento criticodel modello di Ising a diverse dimensioni e quindi fornire una previsione teoricadegli esponenti critici. In realtà il modello di Ising a spin- 12 (che sarà discus-so a breve) è stato risolto esattamente solo in una dimensione, con il metododella matrice di trasferimento, e in due dimensioni, con il metodo di Onsager,solamente in assenza di campo magnetico H esterno. Per dimensioni superiorisi utilizza l'approssimazione di campo medio, che fornisce informazioni qualita-tive sul comportamento critico delle funzioni termodinamiche e sugli esponenticritici.

2.1 Il modello di Ising a spin-12

Si consideri un reticolo di una generica dimensione d. Il sistema ha complessi-vamente N atomi e ad ogni sito reticolare è associato un atomo. Nel modellodi Ising a spin- 12 ad ogni atomo è associata una variabile classica di spin si(con i = 1, 2...N) che può assumere solo due valori: +1 o -1. Se si pongono

questi spin in un campo magnetico esterno−→H , l'Hamiltoniana del sistema ha la

seguente forma

H = −N∑i=1

Hisi +∑〈ij〉

Jijsisj +∑〈ijk〉

Kijksisjsk + ... (2.1)

Il primo termine descrive l'interazione di ciascun atomo con il campo esterno−→H ,

che ha modulo H (e che per comodità si assume con le dimensioni di un'energia,così come Jij e Kijk). Gli altri termini esprimono le interazioni di scambio aprimi vicini: Jij è l'energia di scambio a coppie, Kijk l'interazione a tre spin e al

17

posto dei puntini andrebbero tutti i termini successivi. Tuttavia, il campo H siconsidera costante e interagisce allo stesso modo con tutti gli spin (Hi = H), poisi trascurano tutti i termini di interazione a tre o più spin. Inoltre si consideraisotropa l'interazione a coppie, quindi Jij = J è la stessa per ogni coppia dispin. La 2.1 diventa

H = −HN∑i=1

si − J∑〈ij〉

sisj (2.2)

È evidente che se J < 0 è favorita una con�gurazione a spin antiparalleli(sisj = −1), mentre per J > 0 un allineamento a spin paralleli (sisj = 1).Per J = 0 non si hanno interazioni tra spin, quindi il comportamento è para-magnetico. È importante far notare che il modello �n ora descritto prescindedalla dimensionalità d del sistema. Dall'Hamiltoniana 2.2 risulta evidente chequesto modello può rappresentare solamente un sistema magnetico che nellospazio degli spin ha una forte anisotropia lungo l'asse del campo

−→H , cosa che

nei sistemi magnetici reali accade raramente. Quindi, paradossalmente, questomodello risulta più utile per descrivere il comportamento critico di sistemi nonmagnetici ma che hanno un parametro d'ordine locale (che continuerà a chia-marsi spin si) capace di assumere solo i valori +1 o -1. Il primo esempio disistema descrivibile con l'Hamiltoniana di Ising a spin-12 è quello costituito daun reticolo tridimensionale (d = 3) di ottone (CuZn), cioè di una lega binariadi rame e zinco. Nell'ottone gli atomi di rame e zinco sono uguali in numero egiacciono sui siti di un reticolo cubico a corpo centrato (bcc). Alla temperaturaTc = 733K avviene una transizione di fase continua ordine-disordine. Il ramee lo zinco, infatti, a basse temperature tendono ad occupare separatamente idue diversi sottoreticoli cubici semplici che compongono il bcc (fase di ordine).A temperature alte (T > Tc), invece, tendono ad occupare i siti reticolari inmaniera del tutto casuale. È chiaro, dunque, che il termine disordine non siriferisce alla struttura cristallina bensì all'occupazione dei diversi siti (disordi-ne occupazionale). Assegnando ad ogni atomo la variabile si, con si = 1 se sitratta di Cu e si = −1 se si tratta di Zn e de�nendo JCuCu, JZnZne JCuZnle interazioni di scambio rispettivamente tra due atomi di rame, due atomi dizinco e uno di rame e uno di zinco, si può scrivere l'Hamiltoniana

H =1

4

∑〈ij〉

JCuCu(1 + si)(1 + sj) +1

4

∑〈ij〉

JZnZn(1− si)(1− sj)

+1

4

∑〈ij〉

JCuZn[(1 + si)(1− sj) + (1− si)(1 + sj)] (2.3)

Questa scittura è giusti�cata dal fatto che il singolo termine della sommatoriasi riduce a JCuCu se gli atomi vicini sono entrambi di rame (si = sj = 1), diventaJZnZn se sono entrambi di zinco (si = sj = −1) ed è JCuZn se gli atomi sonodiversi. Raccogliendo i termini

∑〈ij〉 sisj e

∑Ni=1 si in 2.3 si ottiene

H = −J∑〈ij〉

sisj −HN∑i=1

si + C (2.4)

18

dove J = 14 (−JCuCu−JZnZn+2JCuZn) , H = − 1

2JCuCu+ 12JZnZn e C è un

termine indipendente dallo spin. Poichè nel sistema ci sono complessivamente lostesso numero di atomi di Cu e di Zn, si ha che

∑i si = 0 e l'Hamiltoniana 2.4

assume la forma dell'Hamiltoniana di Ising a spin- 12 in assenza di campo esternoH. Si ha che JCuCu + JZnZn > 2JCuZn quindi J < 0, il che vuol dire che nellafase ordinata (a T < Tc, quindi in una con�gurazione degli spin che tendea minimizzare l'energia) gli spin tendono a disporsi in maniera antiparallela,come ci si aspettava visto che devono giacere sui due diversi sottoreticoli cubiciche compongono il bcc. A questo comportamento, che non ha nulla a che farecon l'antiferromagnetismo, si può associare un parametro d'ordine, in analogiacon la magnetizzazione, che è la di�erenza tra il numero di atomi di zinco edi carbonio in uno dei due sottoreticoli (Ψ = NZn − NCu). Poichè 2.4 ha lastessa simmetria rispetto al parametro d'ordine Ψ della 2.2 con J < 0 rispettoalla magnetizzazioneM , gli esponenti critici devono essere gli stessi del modellodi Ising a spin- 12 tridimensionale. Sperimentalmente per l'ottone si ottengonoβ = 0.305 ± 0.005 e γ = 1.24 ± 0.015 mentre da una stima per il modello diIsing β ≈ 0.33 e γ ≈ 1.24. La leggera discrepanza è dovuta anche al fatto chenon si considera la dipendenza di J dalla temperatura, dovuta alla dilatazionetermica.

Un altro esempio di sistema non magnetico descrivibile dal modello di Isinga spin- 12 è quello rappresentato dal gas reticolare. Si tratta di un altro modelloche è rappresentato da un reticolo in cui un sito può essere occupato da unatomo o vuoto. Si associa ad ogni sito la variabile t che può essere 0 se il sito èvuoto o 1 se il sito è pieno e l'Hamiltoniana corrispondente è

H = −JL∑〈ij〉

titj − µL∑i

ti (2.5)

dove JL > 0 è l'interazione a primi vicini che favorisce l'occupazione dei sitivicini ad uno occupato e µL è il potenziale chimico che regola il numero totaledi siti occupati: se è molto positivo si avranno molti siti occupati viceversa seè molto negativo. Con la semplice sostituzione ti = (1−si)

2 dove si = ±1 siottiene da 2.5 la stessa forma della 2.2 con il campo esterno H che dipende dalpotenziale chimico µL. Ad esempio il �sisorbimento dell'idrogeno da parte dellasuper�cie (110) del reticolo di ferro è descrivibile con questo modello. Le buchedi potenziale, tra un atomo di ferro e l'altro, fanno da gas reticolare e forma-no un reticolo triangolare. Il numero di atomi di idrogeno adsorbiti dipendedalla pressione sulla super�cie del ferro. Tuttavia gli atomi adsorbiti tendonoa formare diverse con�gurazioni (fasi) e le transizioni da una fase all'altra nonsono descrivibili dal semplice modello di Ising a primi vicini, ma necessitano ditermini di interazione a secondi vicini e anche a tre spin.

In generale, dal modello di Ising a spin- 12 , le transizioni di fase previstedipendono dalla dimensionalità d del sistema. Ad esempio per H → 0 si ha unatransizione critica con Tc 6= 0 se d > 1. Invece se d = 1 si ha una transizionecritica per Tc = 0.

19

2.2 Il modello di Ising a spin-1

Il modello di Ising a spin- 12 è appropriato per descrivere sistemi con un parame-tro d'ordine locale (si) che può assumere solo due possibili valori. Un modelloche consente un maggior numero di stati è il modello di Ising a spin-1, in cuisi può assumere i valori -1, 0 e 1. Questo è un modello classico rappresentatodall'Hamiltoniana

H = −J∑〈ij〉

sisj −K∑〈ij〉

s2i s2j −D

∑i

s2i − L∑〈ij〉

(s2i sj + sis2j )−H

∑i

si (2.6)

Questa forma deriva dall'aver scritto i prodotti tra tutte le possibili potenzedegli spin primi vicini. Non sono state considerate le potenze superiori allaseconda perchè se si = 0,±1 allora s3i = si. Le costanti di interazione K, D, Lhanno chiaramente le dimensioni di un'energia e J può essere positiva o negativacome per Ising a spin- 12 . K, D e L non compaiono nel modello a spin-12 perchèse si = ±1 si ha che s2i = si quindi è tutto contenuto in J e H. Per lamaggiore varietà di parametri presenti in questo modello, il comportamentocritico è di�erente da quelli visti �n ora: il diagramma di fase per K = L = 0,J > 0 e D 6= 0 mostra tre super�ci in cui avvengono transizioni di fase del primoordine che si intersecano in una linea tripla. Queste super�ci terminano in dellelinee nelle quali avvengono transizioni critiche (linee di punto critico). La lineatripla termina in un punto detto tricritico dal quale le tre transizioni diventanotutte critiche e inizia un'unica linea di punto critico. Chiaramente le tre fasisono rappresentate dalle tre porzioni di spazio delimitate dalle tre super�ci.

Figura 2.1

2.3 Altri modelli

Il modello discusso �no ad adesso è un modello classico e con il parametrod'ordine locale che può assumere al massimo tre valori. È utile citare altrimodelli che generalizzano quello di Ising. Di seguito si tratteranno il modellodi Potts, anch'esso classico, ma con la variabile di spin si che può assumereun generico numero q di stati distinti, il modello di Heisenberg e X-Y che sonoinvece modelli quantistici e non hanno più la simmetria dell'Hamiltoniana diIsing lungo la direzione del campo

−→H (che si assume essere diretto lungo l'asse

z).

20

2.3.1 Il modello di Potts

Si consideri H = 0 e il parametro d'ordine uno scalare a q componenti, quindisi = 1, 2, 3...q. L'Hamiltoniana è scritta in questo modo

H = −J∑〈ij〉

δsisj (2.7)

dove δsisj è una delta di Kronecker e J > 0. Da 2.7 si capisce che laminima energia si ha per si e sj uguali. In caso contrario l'interazione a primivicini risulta zero. De�nita in questo modo, l'Hamiltoniana di Potts ammetteq con�gurazioni di minima energia equivalenti e degeneri. Il modello di Pottsprevede una transizione di fase ferromagnete-paramagnete che è critica per d ≤4, e del primo ordine per d > 4. È evidente che l'Hamiltoniana di Potts 2.7 èequivalente all'Hamiltoniana di Ising a spin- 12 (2.2) se q = 2 ma non è ugualea quella a spin-1 (2.6) per q = 3. Infatti se si e sj sono entrambi 0 la 2.6 è 0mentre se sono entrambi 1 o -1 è diversa da zero. Un esempio di fenomeno �sicodescrivibile dalla 2.7 è il �sisorbimento degli atomi di kripton su una super�ciedi gra�te (reticolo esagonale di atomi di carbonio). In questo caso ci si servedel modello bidimensionale con q = 3. Infatti durante l'adsorbimento gli atomidi Kr si posizionano negli esagoni del reticolo ma le dimensioni del kripton sonotali da lasciare vuoti gli esagoni adiacenti. Questo fa si che si generino 3 diversecoperture del reticolo di carbonio (Fig.2.2) ognuna corrispondente ad un reticolotriangolare di atomi di Kr (sottoreticoli a,b oppure c) e ad ognuna delle quali èassociato si = 1, 2, 3.

Figura 2.2

2.3.2 Il modello di Heisenberg e X-Y

Il modello di Ising si rivela in realtà non adatto alla trattazione di fenomenimagnetici reali, in quanto è applicabile solo a quei magneti con una forte ani-sotropia lungo una sola direzione. Infatti da 2.2 si vede che gli spin possonogiacere solo parallelamente o antiparallelamente alla direzione del campo ester-no, si parla infatti di parametro d'ordine scalare a due o tre componenti. Più ingenerale, nei magneti, sono ammesse delle �uttuazioni degli spin dalla direzio-ne di

−→H e il parametro d'ordine è un vettore −→si . Quindi un'Hamiltoniana più

realistica per sistemi magnetici ha questa forma

H = −Jz∑〈ij〉

szi szj − J⊥

∑〈ij〉

(sxi sxj + syi s

yj )−H

∑i

szi (2.8)

21

Se si pone Jz = J⊥ si ottiene il modello di Heisenberg, completamenteisotropo, che descrive di�cilmente le interazioni in un magnete, poichè questoha sempre una qualche anisotropia. Tuttavia esprime l'Hamiltoniana microsco-pica che descrive l'interazione di scambio alla base del ferromagnetismo. Questoè un modello quantistico, quindi a di�erenza di Ising, gli spin sono operatori conle regole di commutazione dei momenti angolari, cioè [sxi , s

yi ] = i~szi (uguale per

tutte le permutazioni cicliche di x, y e z). Se invece si considera J⊥ 6= 0 e Jz = 0si ottiene l'Hamiltoniana del modello X-Y dove gli spin sono vettori bidimen-sionali. Nei sistemi reali rappresentati dalle Hamiltoniane di Heisenberg e X-Yavvengono delle transizioni di fase critiche sotto certe condizioni. Assumendoche il modulo del campo esterno H tenda a zero si ha che un sistema X-Y hauna transizione critica a Tc 6= 0 per d ≥ 2, ma per d = 2 il sistema transisce aduna fase ordinata anomala perchè presenta, a tutte le temperature, una funzionedi correlazione che decade, per r → ∞, come una potenza negativa (mentre disolito avviene solo alla temperatura critica). Per d = 1 invece si ha transizionecritica per Tc = 0. Per quanto riguarda i sistemi descritti dal modello di Hei-senberg, presentano una transizione critica a Tc 6= 0 per d > 2 e a Tc = 0 perd = 1, 2. È interessante che per d ≥ 4 gli esponenti critici per i modelli di Isinga spin- 12 , di Heisenberg e X-Y sono gli stessi, e inoltre per d ≥ 4 gli esponenticalcolati con l'approssimazione di campo medio sono uguali a quelli calcolatiesattamente (con metodi numerici).

2.4 Risoluzione del modello di Ising

Come anticipato, in questa parte della tesi si cercherà di risolvere, dove possibile,il modello di Ising a spin- 12 , cioè saranno descritti dei metodi per ottenere lafunzione di partizione e le principali funzioni termodinamiche di un sistema cheabbia Hamiltoniana del tipo 2.2. Sarà inoltre studiato il comportamento criticoprevisto dal sistema. Per il modello a d = 1 sarà utilizzato il metodo dellamatrice di trasferimento e si vedrà come il modello predice una transizione criticacon Tc = 0. La soluzione di Onsager fornirà la funzione di partizione per d = 2.Poichè non è possibile risolvere esattamente il modello per d > 2, si studieràl'approssimazione di campo medio, che permette di stimare il comportamentocritico del sistema a prescindere dalla dimensionalità d.

2.4.1 Metodo della matrice di trasferimento

Si consideri l'Hamiltoniana di Ising a spin- 12 per un sistema unidimensionale (d =1) nel caso semplice di interazione a primi vicini. Il sistema è fondamentalmenteuna catena di spin. La condizione per applicare il metodo della matrice ditrasferimento è avere un numero �nito di stati di spin (e in questo caso ce nesono due) e considerare l'interazione con un numero �nito di spin vicini (inquesto caso è uno, perchè è un sistema unidimensionale e si considerano i primivicini). L'Hamiltoniana è del tipo 2.2 con d = 1 quindi

H = −JN−1∑i=0

sisi+1 −HN−1∑i=0

si (2.9)

22

dove N è il numero totale di spin. Si suppone per comodità che il sistemasia periodico, cioè che sN ≡ s0 (è come se la catena si chiudesse ad anello), perN → ∞ la periodicità sarà irrilevante. La funzione di partizione 1.7 in questocaso è

Z =∑{s}

e−βEs =∑{s}

eβ(J∑N−1i=0 sisi+1+H

∑N−1i=0 si) (2.10)

dove {s} indica una generica con�gurazione degli spin (che possono assu-mere i valori +1 o −1) e Es è l'energia corrispondente, quindi è data dalla2.9. Svolgendo le sommatorie e sfruttando le proprietà degli esponenziali la 2.10diventa

Z =∑{s}

eβJs0s1+βHs0+s1

2 eβJs1s2+βHs1+s2

2 ...eβJs0sN−1+βHsN−1+s0

2

=∑{s}

T0,1T1,2...TN−1,0 (2.11)

dove compaiono gli elementi Ti,i+1 della matrice T (detta matrice ditrasferimento) che sono de�niti così

Ti,i+1 = eβJsisi+1+βHsi+si+1

2

e in questo caso (si, si+1 = ±1) si ha che

T =

(eβ(J+H) e−βJ

e−βJ eβ(J−H)

)(2.12)

La prima riga della 2.12 si riferisce a si = 1, la seconda a si = −1, la primacolonna a si+1 = 1 e la seconda a si+1 = −1. È da notare come la dimensionedella matrice (in questo caso 2× 2) sia data dal prodotto tra il numero di statipossibili per il singolo spin (cioè due: +1 e -1) e il numero di spin consideratiper l'interazione (in questo caso solo uno perchè consideriamo i primi vicini).Quindi se ad esempio si considerasse il modello di Potts (unidimensionale) aq stati con interazioni a primi vicini si avrebbe una matrice q × q. De�nitaT, la 2.11 diventa una serie di prodotti matriciali che saturano tutti gli indicicorrispondenti agli spin eccetto quello di s0

Z =∑{s}

T0,1T1,2...TN−1,0 =∑s0=±1

(TN)0,0

= Tr(TN)

Poichè s0 è l'unico spin rimasto, la sommatoria è solo sui possibili valori diquest'ultimo e la somma dei termini diagonali di TN è stata scritta come traccia.La traccia è invariante per cambiamento di base, quindi si può considerare laforma diagonale di TN e chiamando λ± i due autovalori corrispondenti a T èevidente che

Z =∑s0=±1

(TN)0,0

= (λ+)N

+ (λ−)N (2.13)

23

e si possono, a questo punto , calcolare alcune funzioni termodinamiche peril modello di Ising a spin- 12 a partire dagli autovalori della 2.12 che si ottengonodalla condizione di annullamento del determinante della matrice (T− λI2x2)(

eβ(J+H) − λ)(

eβ(J−H) − λ)− e−2βJ = 0

con un pò di passaggi diventa

λ2 − 2λeβJcosh (βH) + e2βJ − e−2βJ = 0

dalla quale si ottiene

λ± = eβJcosh (βH)±√e2βJsinh2 (βH) + e−2βJ (2.14)

Grazie all'espressione degli autovalori della matrice di trasferimento si ve-dranno alcuni risultati.

2.4.1.1 Energia libera

In generale la 2.13 si può scrivere (supponendo di avere una matrice n × n,quindi con n autovalori λi)

Z =∑s0=±1

(TN)0,0

=

n−1∑i=0

λNi (2.15)

Assumendo gli autovalori reali e ordinati in modo che il valore assoluto siadecrescente, si può applicare alla matrice 2.12 il teorema di Perron-Frobenius,valido per matrici con elementi reali non negativi, che a�erma che l'autovaloredi modulo massimo λ0 è reale, positivo e non degenere. Ora è facile calcolarel'energia libera per spin f = F

N , dove F è l'energia libera, sfruttando la 1.9 escrivendo la funzione di partizione come la 2.15

f = −kBTN

ln

n−1∑i=0

λNi

alla quale si applica il limite termodinamico N →∞

f = −kBT limN→∞

1

Nln

n−1∑i=0

λNi = −kBT limN→∞

1

Nln

(λN0 +

n−1∑i=1

λNi

)

= −kBT limN→∞

1

Nln

{λN0

(1 +

n−1∑i=1

[(λiλ0

)N])}e poiche per N →∞ si ha

−kBTN

ln

{λN0

(1 +

n−1∑i=1

[(λiλ0

)N])}∼ −kBT

NlnλN0 = −kBT lnλ0

segue che f = −kBT lnλ0 nel limite N →∞. Nel caso del modello di Isinga spin- 12 l'autovalore di modulo massimo è λ+ (da 2.14) quindi

24

f = −kBT ln

(eβJcosh (βH) +

√e2βJsinh2 (βH) + e−2βJ

)(2.16)

e da questa espressione ci si può ricavare l'energia per spin u tenendo presenteche f = u − Ts dove s non è altro che l'entropia per spin s = S

N , quindi bastafar tendere a zero la temperatura, cioè β → ∞. Sotto questo limite si ha chef ∼ u e

f = − 1

βln

(eβJcosh (βH) +

√e2βJsinh2 (βH) + e−2βJ

)= − 1

βln

[eβJ

(cosh (βH) +

√sinh2 (βH) + e−4βJ

)]∼ − 1

βln[eβJ (cosh (βH) + sinh(βH))

]quindi

u = − 1

βln

[eβJ

(eβH + e−βH

2+eβH − e−βH

2

)]= − 1

βln[eβJ+βH

]= − 1

β(βJ + βH)

= −J −H

2.4.1.2 Magnetizzazione

Per ricavare la magnetizzazione si potrebbe utilizzare la 1.13 e trovare la ma-gnetizzazione per spin M

N dalla derivazione dell'energia libera per spin 2.16.Tuttavia sarà utilizzato un altro metodo di calcolo che sfrutta gli autovalori egli autovettori della matrice di trasferimento. la magnetizzazione per spin, nelmodello di Ising a spin- 12 è il valor medio degli spin 〈s〉 e si può dimostrare che〈s〉 = 〈u0|s|u0〉 dove |u0〉 è l'autovettore relativo a λ0 = λ+ e s è la matricediagonale che ha come elementi i possibili stati di spin. Quindi

|u0〉 =

(a+a−

), 〈u0| =

(a+ a−

), s =

(+1 00 −1

)Si noti che a+ e a− sono reali, infatti risolvendo l'equazione agli autovettori

T |u0〉 = λ+|u0〉 si ottengono

a2± =1

2

(1± eβJsinh (βH)√

e2βJsinh2 (βH) + e−2βJ

)(2.17)

Segue da 2.17 che

〈s〉 = 〈u0|s|u0〉 =(a+ a−

)( +1 00 −1

)(a+a−

)= a2+ − a2− =

eβJsinh (βH)√e2βJsinh2 (βH) + e−2βJ

(2.18)

25

Si vede da quest'ultima espressione di 〈s〉 che non ci sono transizioni di fasecritiche a T 6= 0. Infatti se si fa tendere a zero il campo esterno H, sia da destrache da sinistra, la 2.18 si annulla per ogni temperatura non nulla. Si vede inveceche per T → 0 la magnetizzazione media per spin assume due diversi valori perH → 0+ o H → 0−. Infatti se si fa tendere la temperatura a 0+, cioè si fadivergere β, la 2.18 diventa

eβJsinh (βH)√e2βJsinh2 (βH) + e−2βJ

∼ sinh (βH)

|sinh (βH) |

e se successivamente si fa tendere a zero il campo esterno si ottiene

limH→0±

sinh (βH)

|sinh (βH) |=

{+1 se H → 0+

−1 se H → 0−

Ovviamente va notato che invertendo l'ordine dei limiti non si ottiene lo stes-so risultato: se si fa tendere a zero prima il campo esterno e poi la temperaturasi avrà sempre magnetizzazione nulla.

2.4.2 Soluzione di Onsager

Il modello di Ising unidimensionale presenta una transizione critica solo perTc → 0+. Quando il modello fu introdotto per la prima volta, vista l'assenzadi una transizione critica con Tc 6= 0 , non fu considerato utile alla trattazionedi materiali ferromagnetici. È dovuta a Peierls la dimostrazione che nel casobidimensionale esiste un punto critico con Tc 6= 0, e fu grazie a Kramers eWannier che questa temperatura critica fu calcolata. Essi riuscirono a far vedereche la funzione di partizione si può espandere in serie nella regione delle altee delle basse temperature, dimostrando anche la relazione di dualità tra le dueespansioni. Grazie all'esistenza di una singolarità in entrambe le serie e alladualità, fu calcolata esattamente la temperatura critica del modello su di unreticolo quadrato, che è data dall'equazione

sinh

(J

kBTc

)= 1

In�ne Lars Onsager calcolò esattamente, con una dimostrazione complicatae non banale, la funzione di partizione, quindi l'energia libera, per il caso H =0. Si riporta il risultato di Onsager per il limite termodinamico N → ∞ dellogaritmo naturale della funzione di partizione

limN→∞

ln (Z (T,H = 0)) = ln (2cosh (2βJ)) +

+1

2π

π

0

dφ ln

[1

2

(1 +

√1− κ2sin2φ

)](2.19)

dove κ ≡ 2sinh(2βJ)cosh2(2βJ) . Con il risultato 2.19 è possibile calcolare l'energia libera

grazie alla 1.9.

26

2.4.3 Teorie di campo medio

Si è già accennato all'impossibilità di risolvere in maniera analitica il modello diIsing oltre una certa dimensione. In questa parte saranno discusse due teorie dicampo medio che permettono di trattare in modo qualitativo il comportamentocritico di certi sistemi. Per teorie di campo medio si intendono dei metodi dirisoluzione, perlopiù classici, che grazie alla media termica di certe grandezzeforniscono un'espressione più o meno approssimata dell'energia libera. La mediatermica o media d'insieme di una generica grandezza statistica A è data da

〈A〉 =

∑{s}A (s) e−βEs∑{s} e

−βEs

dove {s} è uno stato del sistema e Es l'energia associata. La prima teoriache sarà trattata è quella basata sulla disuguaglianza di Bogoliubov, applicatadirettamente al modello di Ising a spin- 12 , con la quale ci si ricava l'energialibera da un principio variazionale. Poi sarà illustrata la teoria di Landau, laquale invece ipotizza e sfrutta lo sviluppo in serie di potenze dell'energia liberaintorno al punto critico. Alla �ne si confronteranno gli esponenti critici ottenutidalle due teorie.

2.4.3.1 Disuguaglianza di Bogoliubov

La teoria che sta per essere descritta sarà applicata all'Hamiltoniana di Ising aspin- 12 . La disuguaglianza di Bogoliubov è la seguente

F ≤ Φ = F0 + 〈H −H0〉0 (2.20)

ed è un principio variazionale. In 2.20 la F e la H sono l'energia liberavera e l'Hamiltoniana vera del sistema, la H0 è un'Hamiltoniana di prova eF0 la sua energia libera associata. La media termica 〈...〉0 viene fatta suglistati dell'Hamiltoniana di prova H0. L'Hamiltoniana di prova viene scelta privadi interazioni, quindi ha J = 0 se si considera H0 l'Hamiltoniana di Ising.L'Hamiltoniana di prova H0 dipende da un parametro variazionale H0 dettoparametro di campo medio, ed è chiaro dalla 2.20 che per ottenere la migliorestima dell'energia libera (detta Fmf energia libera di campo medio) è necessariominimizzare Φ rispetto a H0, cioè

Fmf = minH0

(Φ)

Risulta evidente che la scelta di H0 è fondamentale al �ne di ottenere lamigliore stima Fmf . Applichiamo questa teoria al modello di Ising a spin- 12 concampo esterno nullo H = 0. L'Hamiltoniana vera del sistema sarà quindi

H = −J∑〈ij〉

sisj (2.21)

e come Hamiltoniana di prova si sceglie

H0 = −H0

∑i

si (2.22)

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dove H0 è un'approssimazione del campo di scambio ottenuto con una mediatermica su tutte le variabili. Quindi nella 2.22 l'interazione di scambio J ècontenuta nel parametro di campo medio H0 e tutti gli spin interagiscono conquest'ultimo allo stesso modo. Praticamente la 2.22 non considera interazioni adue corpi e corrisponde all'Hamiltoniana di un paramagnete semplice. Quindil'energia libera F0 e la media statistica sugli spin per un paramagnete sono datida

F0 = −NkBT ln (2cosh (βH0)) , 〈s〉0 = tanh (βH0) (2.23)

e il termine 〈H −H0〉0 si calcola considerando che la media termica è fattanel sistema approssimato (campo medio) dove non vi è correlazione tra spine poichè nella 2.22 ci sono solo termini ad un singolo spin (si), la media delprodotto 〈sisj〉0 può essere fattorizzata quindi 〈sisj〉0 = 〈si〉0〈sj〉0. Inoltresi considera il sistema invariante per traslazioni, quindi 〈si〉0 = 〈sj〉0 = 〈s〉0.Chiamando z il numero di primi vicini di un sito reticolare si ha che

〈H −H0〉0 = −J∑〈ij〉

〈sisj〉0 +H0

∑i

〈si〉0 =

−J∑〈ij〉

〈si〉0〈sj〉0 +H0

∑i

〈si〉0 =

−J zN2〈s〉20 +NH0〈s〉0 (2.24)

dove con zN2 si esprime il numero di legami presenti nel reticolo (ad ogni sito

sono associati z legami, zN viene dimezzato per non contare due volte lo stessolegame). Ora sostituendo 2.23 e 2.24 in 2.20 si ottiene che

Φ = −NkBT ln (2cosh (βH0))− J zN2〈s〉20 +NH0〈s〉0 =

= −NkBT ln (2cosh (βH0))− J zN2tanh2 (βH0) +

+NH0tanh (βH0) (2.25)

Derivando Φ rispetto a H0 e ponendo uguale a zero (cioè minimizzando) siottiene l'equazione

H0 = zJ tanh (βH0) (2.26)

e dalla 2.23

H0 = zJ〈s〉0 (2.27)

〈s〉0 = tanh (βJz〈s〉0) (2.28)

Quindi sostituendo 2.27 e 2.28 in 2.25 si ottiene l'energia libera di campomedio

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Fmf = −NkBT ln (2cosh (βJz〈s〉0))− J zN2〈s〉20 + zJN〈s〉20 =

= −NkBT ln (2cosh (βJz〈s〉0)) + JzN

2〈s〉20 (2.29)

che rappresenta la migliore approssimazione possibile dell'energia libera ot-tenibile dalla teoria di campo medio di Bogoliubov, nella fase ferromagneticadi un sistema descrivibile dall'Hamiltoniana di Ising. Per ottenere la magnetiz-zazione di campo medio 〈s〉0 è necessario risolvere la 2.28. Con metodi gra�ci(Fig.2.3) si vede che per T maggiore di un certo valore Tc si ha che 〈s〉0 = 0 (faseparamagnetica) mentre per T < Tc vi sono due soluzioni di 〈s〉0, una nulla el'altra �nita e diversa da zero. Solo quest'ultima è un minimo per l'energia libe-ra. La temperatura critica Tc si calcola uguagliando le derivate delle due curve(y = 〈s〉0 e y = tanh (βJz〈s〉0)) perchè a T = Tc per de�nizione la y = 〈s〉0 ètangente alla y = tanh (βJz〈s〉0) nell'origine quindi si trova che kBTc = Jz.

Figura 2.3

La curva della magnetizzazione che si ottiene dalle considerazioni gra�che èquesta

Figura 2.4

È importante notare come la temperatura critica ottenuta Tc = zJkB

nondipende dalla dimensionalità del sistema ma solo dal numero dei primi vicini z.Inoltre Tc ottenuta con la teoria di campo medio è sempre strettamente positiva,e questo non coincide , ad esempio, con la temperatura critica calcolata con ilmetodo (esatto) della matrice di trasferimento per un sistema unidimensionale, ariprova del fatto che il campo medio non è che un'approssimazione. Si noti come

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la dimensionalità d del sistema non è mai stata considerata, quindi i risultatiottenuti dovrebbero valere per tutte le dimensioni, anche se più avanti si vedràche quella di campo medio è una buona approssimazione solo oltre una certadimensione. È interessante studiare il comportamento critico del sistema conl'energia Fmf appena ottenuta, quindi fornire una previsione degli esponenticritici delle principali grandezze di un sistema magnetico (si veda Tabella 1.1).Si consideri innanzitutto l'esponente β che descrive il comportamento criticodella magnetizzazione M ∼ (−t)β per T → Tc. Ricordandosi che t = T−Tc

Tce

che quindi la temperatura si può scrivere T = Tc (1 + t) la 2.28, sfruttando ilfatto che Tc = zJ

kB, diventa

〈s〉0 = tanh (βJz〈s〉0) = tanh

(TcT〈s〉0

)=

= tanh

(〈s〉01 + t

)(2.30)

Poichè come si vede in Fig.2.4 〈s〉0 → 0 per T → Tc, quindi 2.30 si puòespandere in serie per piccoli valori di 〈s〉0 e di t, trascurando i termini alsecondo ordine

〈s〉0 =〈s〉01 + t

− 〈s〉303 (1 + t)

3 +O

(〈s〉50

(1 + t)5

)=

= 〈s〉0 (1− t)− 〈s〉30

3+O

(t2, 〈s〉20t, 〈s〉40

)dalla quale si ottiene

〈s〉0 ∼ (−t)12

Quindi β = 12 , il che giusti�ca l'aver trascurato termini come 〈s〉20t e 〈s〉40

(sono entrambi dello stesso ordine di t2). L'esponente α che descrive il compor-tamento del calore speci�co cH a campo esterno H costante e nullo per t → 0,si calcola derivando due volte l'energia libera Fmf . Poichè 〈s〉0 → 0, si sviluppain serie la 2.29 per piccoli valori di 〈s〉0 e poi si deriva due volte. Per t→ 0+ siha che la magnetizzazione è proprio uguale a zero (〈s〉0 = 0) mentre per t→ 0−

tende a zero (〈s〉0 → 0). Questa di�erenza tra limite destro e sinistro fa si cheper T < Tc si ottiene

cH =3

2NkB +O(t)

mentre per T > Tc

cH = 0

C'è quindi una discontinuità nel punto critico. Poichè per questa appros-simazione il calore speci�co non diverge, nell'espressione cH ∼ |t|−α la α deveessere posta uguale a 0, quindi si ha α = 0. Gli esponenti γ e δ descrivono ilcomportamento rispettivamente della suscettività isoterma e del campo ester-no H in funzione della magnetizzazione per un'isoterma critica (t = 0). Per

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studiare i due andamenti è necessario aggiungere all'Hamiltoniana H (2.21) untermine che dipenda dal campo esterno H, cioè −H

∑i si. Si vede bene dalla

forma esplicita 2.24 di 〈H − H0〉0 che il campo esterno H si somma ad H0,quindi da 2.27 e 2.28 si ottiene

〈s〉0 = tanh (β (Jz〈s〉0 +H)) = tanh

(TcT

(〈s〉0 +

H

Jz

))e alla temperatura critica

〈s〉0 = tanh

(〈s〉0 +

H

Jz

)espandendo dunque per piccoli 〈s〉0

〈s〉0 ∼ 〈s〉0 +H

Jz− 〈s〉

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3+O

(〈s〉20H, 〈s〉0H2, H3, 〈s〉50

)dalla quale si ottiene che 〈s〉0 ∼ H

13 quindi δ = 3. Con calcoli analoghi si

ottiene che γ = 1. In sintesi i valori degli esponenti calcolati con questa teoriadi campo medio sono

α = 0, β =1

2, γ = 1, δ = 3 (2.31)

2.4.3.2 Teoria di Landau

Un altro esempio di teoria di campo medio che permette il calcolo approssimatodell'energia libera e degli esponenti critici è la teoria di Landau. L'ipotesi su cuisi basa la teoria è che l'energia libera F si possa sviluppare in serie di potenzedel parametro d'ordine (chiamato genericamente m) intorno al punto critico.In particolare si vedrà il caso ferromagnetico, quindi il parametro m sarà lamagnetizzazione. È una teoria di campo medio in quanto m è sempre unamedia termica e la si può vedere come un parametro di campo medio. Per ilferromagnete l'espansione in serie è la seguente

F = F0 + a2m2 + a4m

4 (2.32)

dove F0 è l'energia libera di ordine zero e ai è il coe�ciente della potenza mi.Gli ai hanno le dimensioni di un'energia, mentre m è presa adimensionale. Nella2.32 ci si ferma all'ordine 4, in quanto si sceglie a4 > 0 e con questa condizionei termini successivi non alterano il comportamento critico. Si noti che sonopresenti solamente i termini di ordine pari. Questo perchè l'energia libera di unferromagnete non dipende dal segno (verso) della magnetizzazione bensì dal suomodulo, quindi i termini dispari non rispettano questa simmetria. Sotto questeipotesi l'energia libera prevede un comportamento critico illustrato in Figura2.5 (dove è ra�gurato l'andamento di F −F0): per a2 > 0 ammette un minimoin m = 0 di molteplicità 2 (pannello a) perchè per piccoli valori di m il terminedominante è m2; per a2 = 0 il minimo è sempre in m = 0 ma ha molteplicità 4,infatti la curva è molto appiattita (pannello b); per a2 < 0 si iniziano ad averedue minimi in due valori opposti della magnetizzazione che con l'aumentaredel modulo di a2 diventano sempre più grandi in valore assoluto (pannello cper a2 < 0 e pannello b per a2 � 0), mentre per m = 0 si ha sempre un

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annullamento della derivata ma si può dimostrare che rappresenta un massimoper F (con la derivata seconda)

Figura 2.5

L'evoluzione del gra�co dell'energia libera per a2 decrescente mostra comee�ettivamente ci sia una transizione critica: la fase in cuim = 0 corrisponde allafase paramagnetica (campo esterno nullo), mentre quella in cui possono coesi-stere due valori non nulli e opposti di m corrisponde alla fase ferromagnetica.La comparsa di una magnetizzazione spontanea è una rottura della simmetriarotazionale del sistema. È quindi evidente che il coe�ciente a2 dipenda dallatemperatura del sistema (nella fase ferromagnetica con T < Tc si ha a2 < 0, pera2 = 0 si ha T = Tc e per a2 > 0 si ha T>Tc) quindi si considera direttamen-te proporzionale alla temperatura ridotta t: a2 = a2t. Potrebbe sorprendereche si trova un comportamento singolare da un espansione regolare della F ,ma la magnetizzazione che minimizza l'energia libera è una funzione del campoesterno e della temperatura che presenta un punto critico. Gli esponenti criticicalcolati con la teoria di Landau si ottengono dalla derivazione della F espressacome in 2.32 piuttosto che dall'espansione in serie delle grandezze considerate(come invece è stato fatto prima). L'esponente β si ottiene dalla minimizzazionedell'energia libera 2.32 per t < 0 (fase ferromagnetica). Si vede, infatti, che con-siderando a2 = a2t e ponendo uguale a zero la derivata rispetto ad m si ottienem ∼ (−t)

12 per t → 0−, quindi β = 1

2 . Per ottenere l'esponente α del calorespeci�co si deve derivare F due volte rispetto la temperatura ed è evidente chese m ∼ (−t)

12 i termini di secondo e quarto ordine in 2.32 andranno come t2

(tenendo conto ancora una volta che a2 = a2t), quindi il calore speci�co tenderàad un valore costante cH = a2

2Tca4per t→ 0−e cH = 0 per t→ 0+; quindi α = 0.

Come prima, per δ e γ è necessario introdurre il termine di campo esterno −hmdove appunto h è il campo esterno con le dimensioni di un'energia. Quindi la2.32 diventa

F = F0 + a2tm2 + a4m

4 − hm (2.33)

dalla quale si ricalcola la magnetizzazione all'equilibrio per una isotermacritica: si deriva la 2.33 e si pone t = 0, dall'annullamento della derivata siottiene che h = 4a4m

3, quindi h ∼ m3 e δ = 3. Per γ bisogna studiare lasuscettività isoterma χT =

(∂m∂h

)T

o meglio il reciproco χ−1T = ∂h∂m . Dalla

minimizzazione di 2.33 e dal comportamento critico della magnetizzazione m ∼(−t)

12 è evidente che χ−1T ∼ t quindi χT ∼ t−1 e γ = 1.È interessante notare che gli esponenti critici ottenuti con la teoria di Landau

sono gli stessi di quelli ottenuti con la disuguaglianza di Bogoliubov. In realtàè un risultato atteso in quanto l'Hamiltoniana di Ising è la stessa ed ha la

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stessa simmetria rispetto all'inversione della magnetizzazione. Inoltre anche lade�nizione di temperatura critica per la teoria di Landau è analoga a Tc = zJ

kB,

infatti se si sviluppa in serie il coseno e il logaritmo per piccoli valori di 〈s〉0nella 2.29 si ottiene

Fmf = F0 +NJz

2〈s〉20 (1− βJz) +O

(〈s〉40

)che confrontata con 2.32, ponendo m = 〈s〉0 dà a2 = NJz

2 (1− βJz). Daquest'ultima de�nizione di a2, dato che per la teoria di Landau a temperaturacritica si ha a2 = 0, segue che Jz

kBTc= 1 quindi Tc = zJ

kB.

2.4.3.3 Validità delle teorie di campo medio

I valori 2.31, ottenuti con la disuguaglianza di Bogoliubov e con la teoria di Lan-dau, non dipendono dalla dimensionalità d del sistema. Tuttavia, sfruttando larisoluzione esatta del modello di Ising a spin- 12 in assenza di campo esterno, siottengono dei valori che invece dipendono da d, ad esempio β = 1

8 per d = 1 eβ = 1

3 per d = 2, δ = 15 per d = 2 e δ = 4.8 per d = 3 o ancora γ = 74 per d = 2

e γ = 1.24 per d = 3. In generale si nota che con l'aumentare delle dimensionici si avvicina ai risultati di campo medio. Infatti, nelle teorie di campo medio,si trascurano le �uttuazioni del parametro d'ordine dal valor medio, e quan-do queste diventano importanti per l'energia libera, la teoria di campo medionon è quantitativamente corretta. Per capire quando le �uttuazioni incidonosigni�cativamente sull'energia libera si consideri che l'energia associata ad una�uttuazione è dell'ordine di kBT e la grandezza della �uttuazione è rappresen-tata dalla lunghezza di correlazione ξ. Quindi, volendo studiare l'energia liberaassociata alla �uttuazione ffluct (normalizzata al volume d-dimensionale) si hainnanzitutto che ffluct ≈ kBT

ξd. Poichè la lunghezza di correlazione ha un espo-

nente critico ξ ∼ |t|−ν allora la ffluct ha un comportamento critico ffluct ∼ |t|dν .Poichè il calore speci�co è proporzionale alla derivata seconda dell'energia liberarispetto alla temperatura ed ha un comportamento critico cH ∼ |t|−α, integran-do due volte si ottiene che F ∼ |t|2−α e vale lo stesso andamento anche sel'energia libera è normalizzata al volume f ∼ |t|2−α. La condizione a�nchèle teorie di campo medio descrivano in maniera quantitativamente corretta ilcomportamento critico del sistema è che l'energia della �uttuazione sia moltominore dell'energia libera totale: quindi |t|dν < |t|2−α ma poichè t→ 0 si consi-dera |t| < 1 e la condizione degli esponenti è dν > 2− α. Si può dimostrare cheν calcolato con la teoria di campo medio sia ν = 1

2 e poichè α = 0 come in 2.31si ottiene

d > 4

condizione sulla dimensionalità del sistema a�nchè gli esponenti di campomedio siano quantitativamente corretti. Quest'ultima condizione spiega il per-chè non ci si possa aspettare, per d = 1, 2, 3, 4, previsioni teoriche degli esponenticritici consistenti con quelle calcolate esattamente.

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Commenti �nali

La soluzione di Onsager costituì una pietra miliare nel campo delle transizionidi fase. Riguardo alla sua importanza è impossibile non citare il celebre scambioepistolare tra Hendrik Casimir e Wolgang Pauli subito dopo la Seconda GuerraMondiale; dopo che Casimir ebbe espresso la sua frustrazione nell'essere sta-to ignaro di quanto avvenuto in Fisica Teorica durante la guerra, Pauli, nellasua risposta, scrisse �Non e' successo niente di importante, tranne la soluzione

esatta del modello di Ising bidimensionale da parte di Lars Onsager�[5]. Neglianni successivi al lavoro di Onsager, si di�use, nella comunità dei ricercatori, lasperanza di poter estendere il suo metodo ai reticoli tridimensionali o bidimen-sionali con campo esterno non nullo. Tuttavia non furono fatti molti progressiin questa direzione.Per quanto riguarda il modello bidimensionale in presenza dicampo magnetico, notevoli progressi sono stati fatti dal 1990, grazie a Zamolo-dchikov, sfruttando la Teoria Quantistica dei Campi e la Teoria Analitica dellaMatrice S. Il modello di Ising tridimensionale, invece, benchè molte delle sueproprietà (come gli esponenti critici e le funzioni di stato) siano note grazie asimulazioni numeriche, trovarne una soluzione esatta cositituisce ad oggi uno deiproblemi aperti della Fisica Teorica, classi�cato come problema NP-completoper la teoria delle classi computazionali.

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Bibliogra�a

[1] J. M. Yeomans-�Statistical mechanics of phase transitions�, OxfordUniversity Press, 1992

[2] G. Mussardo-�Il modello di Ising, introduzione alla teoria dei campi e delletransizioni di fase�, Bollati Boringhieri, 2007

[3] N. Goldenfeld-�Lectures on phase transitions and critical phenomena�,Westview Press, 1992

[4] R. Zivieri- Fisica dei fenomeni critici, UNIFE, 2011/2012

[5] S. M. Bhattacharjee, A. Khare-�Fifty years of the exact solution of the two-dimensional Ising model by Onsager�, Institute of Physics, Sachivalaya Marg,2008

[6] B. A. Cipra-�The Ising model is NP-complete�, SIAM News, 2000

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