Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria ... · L’esempio classico sulla base...

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di Ingegneria – A/A 2004-2005Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – Prof. F. Paolacci

LEZIONE N° 2 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA’

Posizione del problemaIl problema della stabilità dell’equilibrio

aste perfette: Il carico critico eulerianoinfluenza delle imperfezioniinfluenza dei vincoli

Aste in c.a.: Il diagramma Momento-Curvatura (M-χ)cenni alla sua determinazione numericapunti caratteristici del diagramma (M-χ)

Aste in c.a.: il metodo esattosoluzione numerica: Il metodo delle differenze finite

Aste in c.a.: il metodo della colonna modelloEsempio: calcolo sforzo normale ultimo di un pilastro in c.a. snello.Prescrizioni Normative (D.M. 9.1.96, EC2)


Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema)

Il problema della valutazione della capacità portante di pilastri tozzi (pilastri con rapporto tra lunghezza e minima dimensione in sezione è sufficientemente piccola) si riduce al calcolo della capacità portante della sua generica sezione (se di sezione costante). In tal caso le sollecitazioni sono determinate con la teoria del primo ordine, in quanto si ritiene che le sollecitazioni non siano influenzate dalla configurazione deformata essendo gli spostamenti piccoli (teoria del I° ordine)

Può però accadere che l’entità degli spostamenti non sia così piccola da poter trascurare le sollecitazioni aggiuntive che nascono imponendo l’equilibrio nella configurazione deformata. In tal caso si parla di teoria del II° ordine.Nel caso ad esempio di una mensola soggetta a compressione la possibilità che l’asta non sia inizialmente rettilinea potrebbe comportare effetti del II° ordine non trascurabili in presenza di snellezza elevata.

P P

vI° o

rdin

e

II° o

rdin

e


Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema)

Ci si chiede allora quale sia l’influenza (in genere deleteria) degli effetti del II° ordine sulla capacità portante delle strutture. In particolare ci si chiede quale sia l’influenza degli effetti delsecondo ordine sulla capacità portante di pilastri in cemento armato.

PuI

I° o

rdin

e PuII < Pu

I

vII° o

rdin

e


Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.)

ASTE PERFETTE (Asta di Eulero)L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dell’asta di Eulero.In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale.

PL

E J

v

Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea)

Car

ico

criti

co E

uler

iano

Comportamentoreale

0vEJP''vEJM =−⇒= χ


PL

E J

v


ASTE PERFETTE (Asta di Eulero)L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dell’asta di Eulero.In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale.

Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea)

0vEJP''vEJM =−⇒= χ

Il carico critico Euleriano è il più piccolo carico per il quale sussiste l’equilibrio nella configurazione deformata. In corrispondenza di esso sussiste quella che in gergo viene definita biforcazione dell’equilibrio.

2LEJ

crP π=

P

v

Biforcazione dell’Equilibrio



INFLUENZA DELLE IMPERFEZIONIDal momento che le condizioni di asta perfetta non sono in genere verificate occorre considerare anche l’influenza delle imperfezioni, in genere rappresentate da una eccentricità iniziale e.

Equazione di equilibrio(Eq. diff. non omogenea)

0eEJPv

EJP''v

)ve(P''EJvEJM

=++

+=−⇒= χ

P

L0

E J

v

P

e

20L

EJcrP π=

Comportamento reale

I

cr

cM

PP1

PeM =−

=

Le imperfezioni eliminano il fenomeno della biforcazione dell’equilibrio

Asta diEulero conImperfezioniPu

Lo sforzo Normale massimo è inferiore al carico critico di Eulero

P

Pyv



INFLUENZA DEI VINCOLILa formulazione del problema di Eulero riguardava l’asta semplicemente appoggiata. In realtà le condizioni di vincolo che possono presentarsi sono in genere diverse e hanno notevole influenza sulla valutazione della stabilità dell’equilibrio di elementi strutturali compressi. Per tener conto di ciò l’idea è quella di ridursi attraverso condizioni di natura geometrica all’asta di Euleromodificando opportunamente la lunghezza della trave con un coefficiente β.

P

LL0=2L

L0=βLL0=0.8 L

P

L

Esempi

L0=0.7 L

P

L


Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)

DEFINIZIONE DEL PROBLEMASi consideri ora un’asta in cemento armato. Poiché il materiale considerato è a comportamento non lineare la ricerca di posizioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale comporta, oltre a non linearità di natura geometrica, anche non linearità meccaniche. In particolare il momento dipende non linearmente dalla curvatura alla quale la sezione considerata è soggetta.

III MM)fe(P)(M +=+=χ f

v(x)

L

PeOsservazione

Occorre quindi valutare il massimo valore di P che soddisfi l’equazione di equilibrio nella sezione più sollecitata tenendo conto della non linearità della legge M(χ)

Nella generica sezione la riserva di resistenza flessionale M(χ) è in parte assorbita dal momento esterno del I° ordine MI=Pe e in parte dal momento del II° ordine MII=Pf.



VALUTAZIONE DELLA CURVATURA

xv

ϕ

y

y

uy

dxd

dxdu

xϕε ==

ϕDeformazione della fibra a livello y dx

dx+εxdx

dϕr

dxdxrd xεϕ +=

χϕ==

r1

dxd

yxεχ =

Modello Cinematico

Lega

me

curv

atur

a-de

form

azio

ne

trascurabile



Il DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURAPoiché siamo interessati alla valutazione della capacità ultima dell’elemento strutturale il diagramma M-χ può essere ragionevolmente approssimato con una trilatera i cui punti caratteristici sono rappresentati rispettivamente dal punto di prima fessurazione del CLS (I° Stadio), dal punto di primo snervamento dell’armatura (II° Stadio) e dal punto di rottura allo SLU della sezione (III°Stadio).

M

χ

(χf , Mf)

(χy , My) (χu , Mu)

N=cost

DiagrammaMomento-CurvaturaSemplificato

I° Stadio

II° Stadio

III° Stadio



PUNTI CARATTERISTCI DEL DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA

I° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione interamente reagente omogeneizzata a CLS

II° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione elastica ma parzializzata.

Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti si valutano considerando per la sezione le condizioni di stato limite ultimo.

III° Stadio



ESEMPIO DI DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (codice VCASLU)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (k

Nm)

(χf , Mf)

(χy , My)(χu , Mu)

N=374 kN DATI SEZIONE:

Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm

Armatura 3φ22 inferiore e superiore.



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO ESATTO

L0

vi vi+1

∆xP Pxi

[ ])x(veP)(M +=χe

Sistema lineare con incognita vi

[ ])x(veP)(M iii +=χ

21ii1i

2i

2

i xvv2v

dxvd

∆+−

=−≅ +−χ

Metodo delle differenze finite Sviluppo in serie di Taylor della legge M(χ)

)ve(P)(d

)(dM)(M ikii

kiik

iikii

+=−+=

χχχχχ

χχ

K)(MPe(xvKv)xPK2( kii

21i

kii

2ki χ +−∆=−∆− + )vK k

iki1i

ki χ+− −



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (D.M. 9.1.96)

La verifica del pilastro si esegue calcolando il massimo valore dello sforzo normale Pu per cui sia ancora possibile l’equilibrio nella sezione maggiormente sollecitata. Esso deve risultare minore dello sforzo normale applicato.

( )feP)(M +=χ

( )

+=

10LePM max2

uχχ du PPcon >ef P

Soluzione approssimata

22

2

max Lf10f

L≅=

πχ

==

Lxsinf

Ldx)x(vd)x( 2

2

2

2

ππχv(x)

=

Lxsinf)x(v π

L

Curvatura Massima



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO

Soluzione del sistema

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (k

Nm

)

MI= Pue

PuL2/10

(χy , My)

χ

MII

P=Pu

( ) χχ10

LPePM2

uu +=

IIIy

2u

uy MM10

LPePM +=+= χ

10)P(L

e

)P(MP

uy

uyu χ

+=

Soluzione Iterativa



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO

SOLUZIONE ITERATIVA

Lo sforzo normale ultimo Pu si valuta in 5 passi:

1) si sceglie un Pu di primo tentativo1) si valuta il diagramma M-χ3) si valuta il momento del II° ordine MII

4) si valuta MI

5) se Pu×e ≅ MI il procedimento iterativo termina, altrimenti si

utilizza il valore Pu=MI/e come ulteriore Pudi tentativo.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (k

Nm

)MI

(χy , My)

χ

P=Pu

y

2uII

10LPM χ=



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO)

Nel caso dell’esempio considerato sono state necessarie 6 iterazioni per raggiungere la convergenza, ottenendo per lo sforzo normale ultimo il valore Pu = 374.2 kN che corrisponde al momento MI=112.26 kNm

MaterialiCls Rck 30 MpaAcciaio FeB44K

DATI:Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3φ22 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cmAltezza pilastro H=700 cm

N.B. il valore di Pu in assenza di fenomeni del II° ordine vale 482 kN, valore maggiore del 22% rispetto al caso nel quale gli effetti del II° ordine siano messi in conto



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (k

Nm

)

MI= 112.2 kNm

(χy , My)

χ

MII=261.8 kNm

P=Pu= 374 kN

MaterialiCls Rck 30 MpaAcciaio FeB44K

DATI:Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3φ22 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cmAltezza pilastro H=700 cm



PRESCRIZIONI NORMATIVE (D.M. 9.1.96)

Limiti di snellezza



PRESCRIZIONI NORMATIVE (D.M. 9.1.96)

Eccentricità (incertezze geometriche)

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