UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA DIPARTIMENTO DI INFORMATICA E SISTEMISTICA NONLINEARITÀ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”

DIPARTIMENTO DI INFORMATICA E SISTEMISTICA

NONLINEARITÀ

ALESSANDRO DE CARLIANNO ACCADEMICO 2002-2003

NON LINEARITÀ

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

2

RUMORE

STRUMENTAZIONE

MODALITÀDI CONTROLLO

(t) m(t)

DISTURBO

SISTEMA DACONTROLLARE

u(t) y(t)d(t)

ATTUATOREREGOLATORE

P I D

TRASDUTTORE

r(t)

y*(t)

AZIONEDINAMICA DICONTROLLO

AMPLIFICATOREDI POTENZANONLINEARE

SORGENTEPRIMARIA DI

ALIMENTAZIONE

NON LINEARITÀ


3

NON LINEARITÀ TIPICHE DI UN ATTUATORE

SATURAZIONEE SATURAZIONE

SOGLIA ISTERESI

NON LINEARITÀ


4


ATTUATOREMODALITÀ

DI CONTROLLO

y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)

d(t)

ATTUATOREDIMENSIONATO

AL 120%

REGOLATOREDI TIPO

INTEGRALEG(s) =

KI

s

KI s1

DISPOSITIVODI MISURA

CONTROREAZIONEISTANTANEA

PROPORZIONALEH(s) = 1

P(s) =1

(1 + s)3

0 10 20 30 40 50tempo (sec)

KI = .95

0 10 20 30 40 50tempo (sec)

KI = .30

0 10 20 30 40 500

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)

KI = .21

EFFETTO DELLA SATURAZIONE

NON LINEARITÀ


5


ATTUATOREMODALITÀ

DI CONTROLLO

y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)

d(t)


CONTROREAZIONEISTANTANEA

PROPORZIONALEH(s) = 1

P(s) =1

s(1 + s)3

ATTUATORELINEAREG(s) = KP

REGOLATOREDI TIPO

PROPORZIONALE

KP

KP = .35

0 10 20 30 40 500

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)

1.4

-.2

KP = .35

0 10 20 30 40 500

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)

1.4

-.2

KP = .70 KP = 1.09

0 10 20 30 40 50tempo (sec)

0

-1

1

2

ATTUATOREZONA MORTA

15 %

EFFETTO DELLA SOGLIA

NON LINEARITÀ


6

Y*0 Y0U0M0E0


SOVRADIMENSIONATOATTUATORE

STRATEGIADI CONTROLLO


FUNZIONAMENTO CONTINUATIVOIN REGIME PERMANENTE

corsaotturatoreM0

U0VALVOLA DIREGOLAZIONE

CARATTERISTICA STATICA

NON LINEARITÀ


7

FUNZIONAMENTO PERTURBATO DA UN DISTURBO

CARATTERISTICASTATICA

Y*0


SOVRADIMENSIONATO

VALVOLA DIREGOLAZIONE

STRATEGIADI CONTROLLO


Y0U0M0E0

d(t) Y0+y(t)

U0+u(t)

M0+m(t)

E0 +e(t)

u

M0

corsaotturatore

U0

m


8

COMPORTAMENTO DINAMICONELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO

G(s)

d(t)

y(t)

u(t)m(t)

e(t)y*(t) P(s)

G(s) =m(s)e(s)

P(s) =y(s)u(s)


9

VERIFICA DI STABILITÀ

G(s)

(t)

y(t)

u(t)m(t)

e(t)y*(t) = 0 P(s)

RIPRISTINO DELLE CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO CONTINUATIVO A REGIME PERMANENTE DOPO LA PERTURBAZIONE PROVOCATA DA UN DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO

NON LINEARITÀ


10

VERIFICA DELLA STABILITÀ DI SISTEMI A CONTROREAZIONE

CON NONLINEARITÀ ISTANTANEAIPOTESI 1 SISTEMA DA CONTROLLARE SOVRA-

DIMENSIONATO

3 COMPORTAMENTO DINAMICO PROVOCATO DA DISURBI CASUALI

4 ATTUATORE NON LINEARE A DINAMICA PIÙ RAPIDA DI QUELLA DEL SISTEMA DA CONTROLLARE

2 FUNZIONAMENTO A REGIME PERMANENTE NELL’INTORNO DI UN PUNTO DI LAVORO

5 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ PARZIALMENTE NOTA, MA SEMPRE DI VALORE FINITO E CONTENUTA SOLO NEL PRIMO QUADRATE.

NON LINEARITÀ


11

IPOTESI

9 DISTURBO CASUALE DI TIPO IMPULSIVO

7 DISPOSITIVO DI MISURA LINEARE E DI TIPO ISTANTANEO

11 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ RELATIVA AL PUNTO DI LAVORO CONTENUTA SOLO NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRATE.

10 MASSIMA ESCURSIONE DELLE VARIABILI NOTA

6 COMPORTAMENTO DINAMICO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE LINEARE NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO

8 MODALITÀ DI CONTROLLO DI TIPO DINAMICO LINEARE A PARAMETRI COSTANTI

12 LA NON LINEARITÀ RELATIVA AL PUNTO DI LAVORO ASSUME VALORE NULLO SOLO IN CORRISPONDENZA DEL PUNTO DI LAVORO

NON LINEARITÀ


12

METODO VERIFICA CHE IL SISTEMA CONTROLLATO, UNA VOLTA PERTURBATO DA UN DISTURBO CASUALE DI TIPO IMPULSIVO, RITORNI NELLE STESSE CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO CHE SI AVEVANO PRIMA DELLA PERTURBAZIONE, OSSIA NELLE CONDIZIONI DI FUNZIONENTO DI TIPO CONTINUATIVO A REGIME PERMANRNTE

NON LINEARITÀ


13

STRUTTURA DI RIFERIMENTO

IPOTESI 7 VARIAZIONE DELLA VARIABILE DI RIFERIMENTO MANTENUTA AL VALORE NULLO, OSSIA y*(t) = 0

IPOTESI 6 DINAMICA DEL SISTEMA DA CONTROLLARE DESCRITTA DA P(s)

IPOTESI 8 DINAMICA DELLA MODALITÀ DI CONTROLLO DESCRITTA DA G(s)

IPOTESI 9 DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO, OSSIA d(t) = (t)

MODALITÀ

DI CONTROLLO

NON LINEARITÀ

ISTANTANEA

SISTEMA DA

CONTROLLARE

y*(t) y(t)

d(t)u(t) f(u(t))

y*(t)f(u(t))

(t)

G(s) P(s)

NON LINEARITÀ


14

IPOTESI 9 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ CONTENUTA NEL SETTORE ILLUSTRATO IN FIGURA

u

f(u)

u = 0 f(0) = 0

f(u)u0 < <

f(u(t)) u(t) dt <0

NON LINEARITÀ


SISTEMADA CONTROLLARE

u(t) y(t)

d(t)

u(t) y(t)

d(t)

1 1 0

1 10

10 0

0

11( )

3x(t) =•

x(t) + u(t)

y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)

u(t) y(t)

x0(t*) = [ (t*) 0 0 ]’

t*

(t)

IPOTESI 8 PERTURBAZIONE DI TIPO IMPULSIVO

10

MODELLO DINAMICO

LINEARE

NON LINEARITÀ


16

x(t) = A x(t) - b f(u(t))u(t) = c’ x(t)

y*(t) = 0 u(t)f(u(t))

d(t)x0

SCHEMA A BLOCCHI EQUIVALENTE

uf(

u)MODELLO

NONLINEARITÀ

ISTANTANEA

NON LINEARITÀ


17

CRITERIO DI LIAPUNOV PER LA VERIFICA DELLA STABILITÀ

FORMULAZIONE GENERALE

V(t) = x(t)T P x(t)SI DEFINISCE P MATRICE SIMMETRICA DEFINITA POSITIVA

SI RICAVA V (t)= x(t)T P x(t) + x(t) P x(t)• • •

TENUTO CONTO x(t) = A x(t) x(0) = x0•

= x(t)T (AT P + P A ) x(t) = x(t)T Q x(t)

Q > 0 DEFINITA POSITIVA INSTABILITÀ

Q = 0 SEMIDEFINITA POSITIVA STABILITÀ

Q < 0 DEFINITA NEGATIVA STABILITÀ ASINTOTICA

•V(t) = [x(t)T AT P x(t) + x(t)T P A] x(t) =


18

FORMULAZIONE ESTESA ALLA NONLINEARITÀISTANTANEA IN CONTROREAZIONE

V(t) = x(t)T P x(t)SI DEFINISCE

SI RICAVA V (t)= x(t)T P x(t) + x(t) P x(t)• • •

TENUTOCONTO x(t) = A x(t) - b f(e(t)) x(0) = x0

•

f(e(t)) e(t) dtt

0+

+ 2 f(e(t)) e(t)

x(t)T P [A x(t) - b f(e(t))] x(t) +

2 f(e(t)) cT x(t)

= x(t)T (AT P + P A ) x(t) + 2 f(e(t)) [bT P - cT] x(t)

V(t) = [ x(t)T AT - bT f(e(t)) ] P x(t) +•

[bT P - cT]

NON LINEARITÀ


19

PER LA CLASSE DI SISTEMI DINAMICI IN CUI È POSSIBILE INDIVIDUARE UNA MATRICE DEFINITA POSITIVA P TALE DA SODDISFARE LA SEGUENTE RELAZIONE

[bT P - cT] = 0 P b = cOSSIA

IL SISTEMA A CICLO CHIUSO MANTIENE IL FUNZIONAMENTO NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE È STABILE

ESEMPIO

x(t) =•0 1-2 -3

x(t) + 01

u(t)

1 x(t)y(t) = 1.5

MODELLO DINAMICODEL SISTEMA DA CONTROLLARE

P =1

LA MATRICE P SIA DEFINITA IN FORMA PARAMETRICA

È DEFINITA POSITIVA

SE - 2 > 0

s2 + 3 s + 2s + 1.5

G(s) = =

(s + 1)(s + 2)s + 1.5

NON LINEARITÀ

=P b c


20

- SE I VALORI DI e CHE VERIFICANO LA CONDIZIONE P b = c SONO TALI DA RENDERE LA MATRICE P DEFINITA POSITIVA

01

11.5

1

RISOLVENDO SI OTTIENE = 1 , = 1.5 PER CUI =P11

11.5

IL SISTEMA A CICLO CHIUSO È STABILE

- LA MATRICE Q = P A + AT P È DEFINITA NEGATIVA

P A + AT P =11

11.5

0-2

1-3

01

-2-3

11

11.5

+-2-3

-2-3.5

= +-2-3

-2-3.5

= -4-5

-5-7

q11 = -4 < 0q11 q22 - q12 q21 = -4 • -7 - (-5 • -5) = -3 < 0

Q DEFINITA

NEGATIVA

LA CONDIZIONE DI STABILITÀ È VERIFICATANON LINEARITÀ

NON LINEARITÀ


21

AT P + P A + j P - j P

= - [(-j I - AT) P + P (j I - AT) ] = - Q = Q’(j I - AT)

=

[(-j I - AT) P (j I - AT)-1 + P (j I - AT) (j I - AT)-1

= Q’ (j I - AT)-1

[ (-j I - AT) P (j I - AT)-1 + P ] = Q’ (j I - AT)-1

(-j I - AT)-1[ (-j I - AT) P (j I - AT)-1

+ (j I - AT)-1(-j I - AT)-1P ] = Q’(-j I - AT)-1

(-j I - AT)

FORMA QUADRATICA DEFINITA POSITIVA

PER ( j I - AT) NON SINGOLARE

NON LINEARITÀ


22

P (j I - AT)-1 +

(j I - AT)-1(-j I - AT)-1

P =

Q’

(-j I - AT)-1

P (j I - AT)-1 + P(-j I - AT)-1 > 0

P (j I - AT)-1 + P(-j I - AT)-1 > 0bT bTb bT

COMPLESSE CONIUGATE

2 Re [bTP (j I - A)-1 b ] > 0

= cT (j I - A)-1 b bTP

NON LINEARITÀ


23

G(j) = cT (j I - A)-1 b

cT = bTP

cT

2 Re [bTP (j I - A)-1 b ] > 0

Re [ G(j)] > 0

CONDUZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÈ IL SISTEMA A CICLO CHIUSO, COSTITUITO DA UN SISTEMA DINAMICO STABILE LINEARIZZATO INTORNO AD UN PUNTO DI LAVORO, E DA UNA NON LINEARITÀ ISTANTANEA, LA CUI CARATTERISTICA STATICA SIA COMPRESA NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRANTE E SIA NULLA SOLO NELL’ORIGINE, RITORNI NELLA CONDIZIONE DI FUNZIONAMENTO NOMINALE DOPO UNA PERTURBAZIONE DOVUTA AD UN DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO

NON LINEARITÀ


24

f(0) = 0

f(e)e <0 <

e

f(e)

Re [ G(j) ] > 0

y*(t) = 0 e(t) f[e(t)] y(t)

(t)

PER IL SISTEMA ILLUSTRATO IN FIGURA È VERIFICATA LA CONDIZIONE DI

STABILITÀ ASSOLUTA

NON LINEARITÀ


25

()k

* = - ()

k

e

f(e

) k e

()

(

)

*

()* f (

e)

e

k e

e(t) f[e(t)]

e(t) f[e(t)]

NON LINEARITÀ


26

t)

1

k

NON LINEARITÀ


27

y*t)=0 f[et)] y(t)G(j)

(t)

et)

e(t) f [e(t)]t)

1k

G(j)y*t)=0 yt)

NON LINEARITÀ


28

e(t) f [e(t)]t)

1k

G(j)y*t)=0 yt)

f [e(t)]G(j)

yt)

1k

e(t)y*t)=0

NON LINEARITÀ


29

f [e(t)]G(j)

yt)

1k

e(t)y*t)=0

yt)G(j) + 1

kf [e(t)]e(t)y*t)=0

Re [ G(j) + k ] > 01k

G( j )k1

NON LINEARITÀ


30

SISTEMA DA CONTROLLARE INCERTEZZE DOVUTE ALLE VARIAZIONI DEI PARAMETRI FISICI

G( j )

NONLINEARITÀCARATTERISTICA STATICA

COSTANTE

SISTEMA DA CONTROLLAREA PARAMETRI COSTANTI

G( j )

NONLINEARITÀCARATTERISTICA STATICAVARIABILE IN UN SETTORE

BEN DEFINITO

k 2

k1

e(t) f[e(t)]

NON LINEARITÀ


31

k2

k1

e(t) f[e(t)]

(k2- k1)

k1

NON LINEARITÀ


32

e(t) f[e(t)]

k1

k2 - k1

1

NON LINEARITÀ


33

e(t)y*(t)=0 f[e(t)]

G(j)y(t)

(t)

k1

k2 - k1

1

NON LINEARITÀ


34

y*(t)=0

G(j)y(t)

(t)

k1

k2 - k1

1

f[e(t)]e(t)y*(t)=0

G(j)y(t)

(t)

k1k2 - k1

1

e(t)y*(t)=0 y(t)

(t)

k2 - k1

1

e(t) G(j)1+k1G(j)

y*(t)=0 y(t)

(t)

e(t) G(j)1+k1G(j)

1k2 -k1

+

NON LINEARITÀ


35

y*(t)=0 y(t)

(t)

e(t) G(j)1+k1G(j)

1k2 -k1

+

G(j)1+k1G(j)

1k2 -k1

+Re > 0

NON LINEARITÀ


36

G(j)1+k1G(j)

1k2 -k1

+Re > 0

1

k2 -k1

1+k2G(j)-k1G(j)+k1G(j)

1+k1G(j)Re > 0

1+k2G(j)

1+k1G(j)Re > 0

NON LINEARITÀ


37

1+k2G(j)

1+k1G(j)Re > 0

Re > 0+G(j)1

k1

+G(j)1k2

Re[G(j)]+1k1

Re[G(j)]+1k2

Im[G(j)]+ > 02

XYX

NON LINEARITÀ


38

Re[G(j)]+1k1

Re[G(j)]+1k2

+ > 0Im[G(j)]2

Re[G(j)]2

Im[G(j)]2

Re[G(j)]+ +1k1

1k2

+ +1

k1 k2

> 0

+1k1

1k2

1k1 k2

> 0X 2 + Y 2 + X +

EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA

NON LINEARITÀ


39

Re[G(j)]Im

[G(j

)]

G(j)

- 1k2

- 1k1

+1k1

1k2

1k1 k2

> 0X 2 + Y 2 + X +


40

d(t)

MODALITÀ

DI CONTROLLO

SISTEMA DA

CONTROLLARE

y*(t) y(t)u(t) f(u(t))f(u(t))

ATTUATOREVALVOLA DI

REGOLAZIONEREGOLATORE

P D

y*(t)=0

(t)

P(s)KP + KD sk(1 + q s)

G(s) = 1 + q s

G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P(s)

1 + q sG(s)k

Re [ G(j) P(j) + ] > 01k

Re [ (1 + jq ) P(j) + ] > 01k

NON LINEARITÀ

Re[P(j) ] - q Im[P(j)] + > 01k

YX

NON LINEARITÀ


41

Re[P(j) ] - q Im[P(j)] + > 01k

EQUAZIONE DI UNA RETTA

Re[P(j)]

I

m[P

(j)]

1k

-

1q k

P*(j) = Re[P(j)] + j Im[P(j)]


42

d(t)

MODALITÀ

DI CONTROLLO

SISTEMA DA

CONTROLLARE

y*(t) y(t)u(t) f(u(t))f(u(t))

ATTUATOREVALVOLA DI

REGOLAZIONE

y*(t)=0

(t)

P(s)

G(s) = 1 + q s

G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P*(s)

Re [ G(j) P*(j) + ] > 01k

Re [ (1 + jq ) P*(j) + ] > 01k

NON LINEARITÀ

Re[P*(j) ] - q Im[P*(j)] + > 01k

G(s)REGOLATOREP I D

KP +KD s +KI

sK

s(1+1s)(1+2s)K(1+1s) P(s)(1+2s)

sk(1 + q s)P(s)

sP*(s)1 + q s

k

YX

NON LINEARITÀ


43

Re[P*(j) ] - q Im[P*(j)] + > 01k

EQUAZIONE DI UNA RETTA

Re[P(j)]

I

m[P

(j)]

Re[P*(j)] + j Im[P*(j)]

1k

-

1q k

1k

P(j

Re

ImIm

NON LINEARITÀ


44

Re[P(j)] - Im[P(j)] + > 01k*

Re[P(j) + ] > 01k

1k*

P*(jRe

Im

d (t)(t)

NON LINEARITÀ


45

G(s)NONLINEARITÀ

y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))

tempo

tempo

NON LINEARITÀ


46

EFFETTI DELLA NONLINAERITÀ SULL’ANDAMENTODELLE VARIABILI DI INGRESSO E DI USCITA VARIABILE

DI INGRESSOVARIABILEDI USCITA

SINUSOIDALE DISTORTA

NONLINEARITÀ

ARMONICA FONDAMENTALE DISTORSIONE

UTILIZZABILE AI FINI DEL CONTROLLO

QUASI TOTALMENTEATTENUATA DAL

SISTEMA DA CONTROLLARE

DALLA STRATEGIADI CONTROLLO

AL SISTEMADA CONTROLLARE

NON LINEARITÀ


47

VARIABILE DI INGRESSOSINUSOIDALE

NONLINEARITÀ VARIABILE DI USCITA

ARMONICAFONDAMENTALE

ARMONICHESUPERIORI

EFFETTO QUASI TRASCURABILE

SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE

CONTROLLATA

DINAMICAL’AMPIEZZA DIPENDE SIA DALL’AMPIEZZA

SIA DALLA PULSAZIONE DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.

ISTANTANEAL’AMPIEZZA DIPENDE SOLO

DALL’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.

IN UN SISTEMA A CONTROREAZIONE, LA NONLINAERITÀ PUÒ ESSERE VISTA COME UN ELEMENTO CARATTERIZZATO DA UN GUADAGNO VARIABILE SIA CON L’AMPIEZZA SIA CON LA PULSAZIONE DEL SEGNALE DI INGRESSO

NON LINEARITÀ


48

VARIABILE DI INGRESSOSINUSOIDALE

ARMONICAFONDAMENTALE

ARMONICHESUPERIORI

EFFETTO QUASI TRASCURABILE

SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE

CONTROLLATA

NONLINEARITÀISTANTANEASIMMETRICA

AD UN VALORE

NONLINEARITÀISTANTANEASIMMETRICA

A DUE VALORI

LO SFASAMENTO FRA L’ARMONICA FONDAMENTALEE LA SINUSOIDE DI INGRESSO DIPENDE DALL’AMPIEZZA DI

QUEST’ULTIMA

SFASAMENTO NULLO FRA SINUSOIDE DI INGRESSO E

ARMONICA FONDAMENTALE

VARIABILE DI USCITA

NON LINEARITÀ


49

FUNZIONAMENTO IN OSCILLAZIONE PERMANENTE

IN OSCILLAZIONE PERMANENTE LA NONLINEARITÀ È ASSIMILABILE AD UN GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE DELLA:

- PULSAZIONE * DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE;

- AMPIEZZA E* DELLA ARMONICA FONDAMENTALE.

d (t)(t)

y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))NON

LINEARITÀ P(j)

ARMONICA FONDAMENTALE E RESIDUO ARMONICO

OSCILLAZIONE PERMANENTE ASSIMILABILE AD UNA SINUSOIDE

NON LINEARITÀ


50

FUNZIONE DESCRITTIVA

IL GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE, CALCOLATO COME RAPPORTO FRA L’AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA DALLA NONLINEARITÀ E L’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO ALLA NONLINEARITÀ, È DETTA FUNZIONE DESCRIVA E INDICATA CON D(E*,* )

y(t)e(t) f(e(t))D(E*,*)FUNZIONE

DESCRITTIVAP(j)

y*(t) = 0

(t)

D(E*,*) =

AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA

AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO

NON LINEARITÀ


51

ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE

ef(

e)

e

D(e

)

e

f(e)

-1

-1

e

D(e

)

1

e

f(e)

1-1

e

D(e

)1

1

NON LINEARITÀ


52

ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE

ef(

e)

-1

-1.2

e

D(e

)

1

.2 1

e

f(e)

e

D(e

)

Re[D(e)]

Im[D(e)]

NON LINEARITÀ


53

d (t)(t)

G(s)y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))

k P(j)

W(j) =kP(j)

1 + kP(j)

CONDIZIONE DI OSCILLAZIONEPER UN SISTEMA LINEARE

ASSEGNATA LA P(j), INDIVIDUARE I VALORI DEL GUADAGNO k E DELLA PULSAZIONE RELATIVE ALLA OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ

GLI ALTRI POLICON PARTE REALE NEGATIVA

NON LINEARITÀ


54

W(j ) =kP(j)

1 + kP(j)=

k N(P(j))

D(P(j)) + k N(P(j))=

k N(P(j))

(j)• • • ((j)2 + 2)=

k N(P(j))

(j)• • • ( -2 +

2 )0

W(j ) =

CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ

j

j

-j

COPPIA DI POLI COMPLESSI CON PARTE REALE NULLA

CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A W(j)

NON LINEARITÀ


55

CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A G(j)

Re[P(j)]

Im[P

(j

)]

- 1

k P(j)

Re[P(j)] = - 1k

Im[P(j)] = 0

modulo |P(j)| = 1k

fase [P(j)] = -

y( t +T ) = y( t )

CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A y(t)

t t+T t+2T

y( t + ) = - y( t )T2 t t+T/2 t+T

NON LINEARITÀ


56

CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE PERMANENTE

OVVERO DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE SI DEFINISCE CICLO LIMITE UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI

PULSAZIONE COSTANTE E DI FORMA CHE SI RIPETE CICLICAMENTE

IN CORRISPONDENZA DEL FUNZIONAMENTO IN CICLO LIMITE SI HA:

W(j*) =D(E*,*) P(j*)

1 + D(E*,*) P(j*)=

OSSIA1 + D(E*,*) P(j*) = 0

CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITEPER SPECIFICI VALORI DI E* E DI *

SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE HA CARATTERISTICHE FILTRANTI TALI DA RENDERE TRASCURABILE IL RESIDUO ARMONICO

NON LINEARITÀ


57

SE LA NONLINEARITÀ È ISTANTANEA LA FUNZIONE DESCRITTIVA DIPENDE SOLO DALLA AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.

LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE RISULTA PERTANTO:

1 + D(E*) P(j*) = 0

VERIFICA DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE

VERIFICA SE ESISTONO ESISTONO VALORI DI E* E DI * PER CUI È VERIFICATA LA SEGUENTE RELAZIONE

P(j*) = -1

D(E*)

LA CONDIZIONE DI ESISTENZADEL CICLO LIMITE È VERIFICATA !

NON LINEARITÀ


58

I VALORI DI E* E DI * SONO INDIVIDUATI TRACCIANDO

SEPARATAMENTE IL LUOGO DI P(j) PER COMPRESO FRA 0 E

E IL LUOGO DI -1/D(e) PER e COMPRESO FRA 0 E

= = 0

P(j)

e

e 0D(e)1

SOLO SE I LUOGHI SI INTERSECANO LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE È VERIFICATA

= = 0

P(j)

e = 0 e

LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE NON È VERIFICATA

NON LINEARITÀ


59

-1

SE IL SISTEMA A CONTROREAZIONE FOSSE STATO LINEARE SAREBBE STATO STABILE

tempo

usci

tafo

rzam

ento

LA NON LINEARITÀ DEGRADALE PRESTAZIONI MA NON ALTERA LA STABILITÀ

e 0

LUOGO RELATIVO ALLAFUNZIONE DESCRITTIVA DI UNA NONLINEARITÀ DI TIPO A SATURAZIONE

1

D(e)

NON LINEARITÀ


60

-1

CICLO LIMITESTABILE

0 e

e

CICLO LIMITEINSTABILE

D(e)1

e

D(e

)

1

.2 1

FUNZIONE DESCRITTIVA

D E(e)d e

< 0PUNTI DI LAVORO STABILI

*

E*

y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))

(t)

NON LINEARITÀ


61

-1

D(e)1

e

D(e

)FUNZIONE DESCRITTIVA

= 0 = e = 0 e

* = E* = 0

RISULTATONON VALIDO

!! IL CICLO LIMITE HA PULSAZIONE EAMPIEZZA FINITI !!

CONDIZIONE DIESISTENZA DELCICLO LIMITE

y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))

(t)

= 0 =

RISULTATOVALIDO

NON LINEARITÀ


62

CALCOLO DIRETTO DELL’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE

VIENE APPLICATO QUANDO È ASSEGNATO :

- UN MODELLO AFFIDABILE DEL SISTEMA DA CONTROLLARE;

- LA CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ IN UNA FORMA ANALITICA DI TIPO POLINOMIALE

VIENE FISSATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ

x(t) = A x(t) + b u(t)y(t) = cT x(t)

•

u(t) = f(y(t))DAL MOMENTO CHE LA NON LINEARITÀ È INSERITA IN SISTEMA A CONTROREAZIONE, IL MODELLO RISULTA:

x(t) = A x(t) - b f [cT x(t)]•

y(T) = y(0)

NON LINEARITÀ


63

PROCEDURA:

- IN CORRISPONDENZA DI UN VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T VIENE RICAVATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA.

PER TRACCIARE L’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE OCCORRE DETERMINARE IL PERIODO T E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x(0) = x0

y(T) = cT x(T) = cT (T) x0 + cT (T)

- VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x0 IN FUNZIONE DEL VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T

x0 (T) = - [ I + (T) ] -1 + (T)

- VIENE INSERITA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ

x0 (T) = (T) x0 + (T)

- VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA y(T) RELATIVA ALLE CONDIZIONI INIZIALI x0 (T) PRECEDENTEMENTE RICAVATE

NON LINEARITÀ


64

- VIENE VERIFICATO SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È EFFETTIVAMENTE VERIFICATA

- SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ NON È VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T E LA PROCEDURA RIPARTE DALL’INIZIO

- SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È VERIFICATA VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA y(t) ALL’INTERNO DEL PERIODO.

- SE LA NONLINEARITÀ È SIMMETRICA VIENE FISSATO IL SEMIPERIODO T/2 E VIENE ADEGUATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ

ESEMPIO DI APPLICAZIONE

-1 1 00 -1 10 0 -1

x(t) = x(t) + u(t)001

•

È ASSEGNATO IL MODELLO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE

y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)

NON LINEARITÀ


65

È LA NONLINEARITÀ È COSTITUITA DA UN RELÈ. IL MODELLO ANALITICO RISULTA

u(t) = - sign [ y(t) ]

DAL MOMENTO CHE TALE NONLINEARITÀ È DEL TIPO ISTANTANEO E SIMMETRICO, IL METODO SARà APPLICATO FACENDO RIFERIMENTO AL SEMIPERIODO, OSSIA A T/2

PER INIZIALIZZARE IL METODO, UNA PRIMA STIMA DELLA DURATA DEL SEMIPERIODO VIENE EFFETTUATA DALLA DETERMINAZIONE DELLA PULSAZIONE IN CORRISPONDENZA DELLA QUALE LA PARTE IMMAGINARIA DELLA FUNZIONE DI TRASFERMENTO

NEL CASO IN ESAME SI HA:

PER = 1.73 SI HA Im[P(j *)] = 0 DA CUI T* = 3.6 E T*/2 = 1.8

VIENE CALCOLATO y0(T/2) = cT x0(T/2) PER T/2 VARIABILE FRA .8 (T*/2) E 1.2 (T*/2)

LA CODIZIONE DI PERIODICITÀ COINCIDE CON QUELLA DI COMMUTAZIONE E RISULTA

y(T/2) = 0

NON LINEARITÀ


66

1.6 1.8 2

-.4

-.2

0

.2

2.2 T/2y 0

(T/2

)

T*/2 =1.84

VIENE TRACCIATO L’ANDAMENTO DI y0(T/2) IN FUNZIONE DI T/2

IN CORRISPONDENZA DI y0(T/2) = 0 SI INDIVIDUA IL VALORE DI T*/2LE CORRISPONDENTI CONDIZIONI INIZIALI x0(T*/2) RISULTANO

x0(T*/2) = 0

-2.9-7.6

UNA VOLTA DETERMINATI T*/2 E x0(T*/2) SI CALCOLA L’ANDAMENTODELLA OSCILLAZIONE. NEL CASO PARTICOLARE SI HA

.1 .2 .3 t (sec)

1

0

-1

y(t)

T = 3.68

NON LINEARITÀ


67

P W MPULSE WIDTHMODULATION


ATTUATOREON-FF


y(t)y*(t) e(t) m(t) u(t)

p(t)

tempo

m(t)e(t)p(t)

NON LINEARITÀ


68



ATTUATOREON-FF


y(t)y*(t) e(t) m(t) u(t)

p(t)

tempo

e(t) m(t)

p(t)

NON LINEARITÀ


69

(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

•

y(t) = cT x(t)

x(t) = A x(t) + b u(t)

x(0)= x0

y(t)u(t)

tempo

u(t)

1

a 0 10 0

= 01

=0a

0 =

tempo

u(t)

0 - 0

= 01

=10

0 =

tempo

u(t)

Uo 0 = 1 = a0 =

NON LINEARITÀ


70

x(0)= x0(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

•

y(t) = cT x(t)

x(t) = A x(t) + b u(t)y(t)u(t)

(t) =x(t)

(t)S =

A

b T

0 =x0

0

A

B T

(t)cT

0 I0 y(t)

u(t)

NON LINEARITÀ


71

x(t) = (t) x0 + (t) 0

t1

t2a1

a2

ESEMPIO DI APPLICAZIONE PER IL CALCOLO DELL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA NEL FUNZIONAMENTO A REGIME PERMANENTE

•x0

•

y(t) = cT x(t)x(t) = A x(t) + b u(t)

y(t)u(t)

e S

t =e

A

t

e

t0

(e

A

te

t) b(t) A-1(e

A

t – I)b(t)

CONDIZIONE DIPERIODICITÀ

NON LINEARITÀ


72

t1

t2a1

a2

0a1

0 1 =0

-a2

0 2 =

(t1)

(t1)

(t2)

(t2)

x0 x(t1) x0

x(t1) = (t1) x0 + (t1) 01

x(t2) = (t2) x(t1) + (t2) 02 = x0

x0= (t2)((t1) x0 + (t1) 01 ) + (t2) 02

x0 = ((t2)(t1) – I)-1 ((t2)(t1) 01 + (t2) 02 ) PER 0 < t < t1

y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 01 )PER 0 < t < t2

y(t) = cTx(t) = cT((t) x(t1) + (t) 02 )



ATTUATOREON-FF

y(t)m(t) u(t)

NON LINEARITÀ


73

(s+1)(s+3)

2s+6s1

s2+.5s+1.5

1

METODO DIRETTO 2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI

2 TRACCIAMENTO

METODO INDIRETTO 18 ITERAZIONI:2 AGGIORNAMENTO DELLE

CONDIZIONI INIZIALI

1 TRACCIAMENTO

tempoT

NON LINEARITÀ


74

y(t) = cT x(t)

•x(t) = A x(t) + b u(t)

x0(0)= 0

(t)= (t)•

u(t)= T (t)

u(t) y(t)

(t)= (t) + y(t)•

0= 0

(1)

(2)

=

2 T

n

2 T

- n

0

0=

0

2T

1)=

0

T2 T

ncos( )t y(t) dt2T 2)

=

0

T2 T

nsin( )t y(t) dt2T

y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 0 )

NON LINEARITÀ


75

(t) =(t)

(t) =

S

cT 0]

0

0 =0

0

(t) = (t) • (0) = 0

x(t)

(t)

(t)

VARIABILI DI STATO

FORZAMENTO

COMPONENTIIN FASE E

IN QUADRATURA

A0

cT

00

b0

x(t)

(t)(t)

•

••

= 0

x0

0

x0 0

t

T

NON LINEARITÀ


76

0 10 20 30 40 50ordine delle armoniche

PROCEDURA:1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI x0 PER IL

TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI x0 NEL VETTORE (t)

PER IL CALCOLO DELLE CONPONENTE ARMONICHA DI ORDINE n3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE

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