Universit`a degli studi di Padova a.a. 2012/2013 · 2012-12-22 · di Halle, George Cantor...

Universita degli studi di Padovaa.a. 2012/2013

La costruzione dei numeri reali

Conte Greta

Indice

Introduzione 3

1 Costruzione degli interi e dei razionali 71.1 Gli interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 I razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Costruzione dei reali di Dedekind 132.1 Cenni sulla vita e opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 La continuita dei numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Campi ordinati, densi e archimedei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Corrispondenza tra numeri razionali e punti della retta . . . . . . . 162.2.3 Continuita della retta e costruzione dei reali . . . . . . . . . . . . . 18

3 Costruzione dei reali di Cantor 233.1 Cenni sulla vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Gli irrazionali di Eudosso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Unicita del campo ordinato completo 33

Conclusioni 40

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4 INDICE

Introduzione

Fino alla meta dell’Ottocento il concetto di numero reale coincideva con il concetto dimisura di grandezze ed era fondato sull’intuizione geometrica della continuita della retta.

Si fa risalire a Pitagora (500 a.C.) la scoperta che esistono grandezze, come ad esempiola diagonale e il lato del quadrato, che sono incommensurabili, cioe che non possono esserecontemporaneamente multipli interi di una terza grandezza che venga usata come unita dimisura.

Non ci furono progressi significativi nella conoscenza dei numeri reali fino al Cinquecen-to, quando, con l’introduzione del formalismo algebrico per opera di R. Bombelli (Algebra,1572), fu possibile definire i rapporti di grandezza e le operazioni algebriche mediantesimboli.

La costruzione dei numeri reali fu uno dei progressi piu importanti del pensiero matem-atico del XIX secolo. Uno dei fatti piu sorprendenti nella storia della matematica fu proprioche la fondazione logica del sistema dei numeri reali non fu costruita prima del tardo XIXsecolo. Prima non erano state logicamente definite nemmeno le semplici proprieta dei nu-meri razionali positivi e negativi e dei numeri irrazionali.Di fronte allo sviluppo dell’algebra e dell’analisi, entrambe le quali usavano i numeri re-ali, la mancanza delle proprieta e di una precisa struttura di tali numeri mostro come lamatematica progrediva illogicamente e quanto fosse necessaria una chiarezza nel sistemanumerico. Il 1872 fu un anno molto importante per l’analisi infatti in quell’anno furonodati contributi decisivi all’aritmetizzazione dell’analisi da parte di cinque matematici: ilfrancese H.C.R. (Charles) Meray (1835-1911), originario della Borgogna, i tedeschi KarlWeierstrass (1815-1897) dell’Universita di Berlino, il suo allievo H.E. Heine (1821-1881)di Halle, George Cantor (1845-1918) anch’egli di Halle, e J.W.R. Dedekind (1831-1916)di Braunschweig. Essi rappresentano il culmine di mezzo secolo di ricerche sulla naturadella funzione e del numero in quanto si erano manifestate due principali cause di insoddis-fazione: la mancanza di fiducia nelle operazioni fatte su serie infinite e la mancanza di unadefinizione precisa di “numero reale” che sta al centro del programma di aritmetizzazione.

L’obbiettivo di definire in modo preciso la costruzione dei reali fu raggiunto con lapubblicazione tra il 1872 e il 1886 di alcuni lavori in cui venivano esposte tre diverse teorie:la costruzione di Dedekind che fa appello alla continuita della retta; la costruzione di

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6 INDICE

Cantor, in cui i reali sono classi di equivalenza di successioni di Cauchy a valori razionali ela teoria di Weierstrass in cui i numeri reali sono definiti attraverso successioni monotonedi intervalli.

In queste note illustreremo la costruzione degli interi e dei razionali, quindi la costruzionedei reali di Dedekind e di Cantor per provare infine il teorema di unicita del campo ordinatocompleto.

Capitolo 1

Costruzione degli interi e deirazionali

Per comprendere piu a fondo la costruzione dei reali e interessante studiare come sonostati costruiti altri insiemi numerici, in particolare gli interi e i razionali per capire qualisono state le motivazioni e la procedura.

1.1 Gli interi

Sia N l’insieme dei numeri naturali, su N sono definite le operazioni di somma e prodottoche godono delle proprieta commutativa, associativa e vale la distributivita del prodottorispetto alla somma.Indichiamo con 0 l’elemento neutro della somma, la struttura (N, +, 0) dal punto di vistaalgebrico e piuttosto “povera”, nel senso che non e un gruppo ma solo un semigruppo,infatti manca l’opposto di ogni elemento.

Si puo dire che gli interi si ottengono da N “aggiungendo” dei numeri in modo chel’equazione:

a+ x = b a, b ∈ N (1.1)

sia sempre risolubile, cio equivale a dire che la sottrazione b−a sia definita per ogni a, b ∈ N.Si noti che in questa definizione non si fa uso del concetto di numero negativo.Se b < a, b− a non e definito in N, pero se poniamo y = a− b si ha b+ y = b+ (a− b) = a,da cui b+y+x = a+x = b. Allora y+x = 0, quindi la ricerca delle soluzioni dell’equazione(1.1) equivale alla ricerca dell’opposto, infatti basta “aggiungere” a N un numero x = a− btale che:

(a− b) + (a− b) = 0 (1.2)

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8 CAPITOLO 1. COSTRUZIONE DEGLI INTERI E DEI RAZIONALI

Definiamo quindi per ogni numero naturale n il suo opposto n ed estendiamo le oper-azioni di + e · :

1. Somma:

• n+m = n+m

• n+m = m+ n =m− n se m ≥ n

m− n m < n

2. Prodotto:

• n ·m = n ·m

• n ·m = n ·m

Inoltre estendiamo la relazione d’ordine di N

• n ≥ 0 per ogni n.

• n < m se e solo se m < n

L’insieme cosı ottenuto, cioe {n : n ∈ N} ∪ N, si indica con Z.Algebricamente Z = (Z, +, ·, 0, 1,≥) e un anello commutativo, integro (cioe m · n = 0implica m = 0 oppure n = 0, per ogni m, n ∈ Z), unitario e l’ordine sopra definito e totale.Con anello ordinato intendiamo una coppia (K,≥) che soddisfi le seguenti proprieta:

• K e un anello.

• ≥ e un ordine totale su K: x < y oppure x > y oppure x = y, per ogni x, y ∈ K.Inoltre:

1. x < y implica x+ z < y + z

2. x > 0, y > 0 implica x · y > 0

Gli elementi di K maggiori di zero si dicono positivi, quelli minori negativi.

Proposizione 1. In ogni anello ordinato (K,≥) valgono le seguenti proprieta:

1. Se x+ z < y + z allora x− y < 0.

2. x < y se e solo se 0 < y − x se e solo se x− y < 0 se e solo se −y < −x.

3. Per ogni x, x > 0 oppure x = 0 oppure x < 0.

4. x > 0, y > 0 implica x+ y > 0.

1.1. GLI INTERI 9

5. x < y, z > 0 implica xz < yx.

6. x < 0, y < 0 implica xy > 0.

7. x < 0, y > 0 implica xy < 0.

8. x2 > 0

Un anello ordinato che soddisfi le proprieta elencate non e detto che sia isomorfo a Z,ma:

Proposizione 2. Due anelli integri che soddisfino la proprieta: per ogni x, o x = 0 oppurex = m·1 , oppure −x = m·1 per qualche m ∈ N, (dove · non e la moltiplicazione dell’anello,ma si intende m · 1 = 1 + · · · + 1, m volte) sono isomorfi. (Cioe c’e un isomorfismo dianelli che rispetta l’ordine).

Z soddisfa questa proprieta, quindi ogni altro anello che la soddisfi e isomorfo a Z,possiamo quindi descrivere gli interi in modo piu formale.

Un modo e definire l’insieme N× N con la relazione:

(a, b) ∼ (c, d) ↔ a+ d = b+ c (1.3)

Si verifica facilmente che e una relazione di equivalenza. (L’idea e che (m− n) “esprime”m− n, e quindi varie coppie “esprimono” lo stesso intero).

Si pone Z = N× N/∼.

Definizione 3. In Z = N× N/∼ si definiscono le operazioni nel seguente modo:

• [(a, b)] + [(c, d)] = [(a+ c, b+ d)]

• [(a, b)] · [(c, d)] = [(ac+ bd, ad+ bc)]

• [(a, b)] = [(−b,−a)]

• [(a, b)] ≥ [(c, d)] ↔ a+ d ≥ c+ d

Si dimostra che sono delle buone definizioni.Posto poi 0 = [(0, 0)] e 1 = [(1, 0)] si ha che (Z,+, ·, 0, 1,≥) e un anello ordinato.Ora basta provare l’ipotesi del teorema precedente. Sia [(m,n)] ∈ Z, se m > n esiste htale che m = n + h e percio (m,n) ∼ (h, 0), ossia [(m,n)] = h · 1. Similmente, se n < m,(m,n) ∼ (0, k) per qualche k, allora − [(m,n)] = k · 1 .


1.2 I razionaliI motivi che hanno portato alla costruzione dei razionali, a partire dagli interi, sono

analoghi a quelli che hanno spinto alla definizione degli interi. Si tratta del desiderio ditrovare sempre una soluzione per l’equazione:

a · x = b con a, b ∈ Z (1.4)

Per risolvere tutte le equazioni di questo tipo e sufficiente risolvere quelle del tipo a ·y = 1.Infatti ay = 1 implica ayb = b e, rinominando x = yb, ritroviamo l’equazione (1.4), esimilmente vale il viceversa.

Costruire intuitivamente i razionali non e facile come per gli interi, in quanto una volta“aggiunti” gli inversi degli interi (cioe le soluzioni di ax = 1), le operazioni di somma eprodotto ci “obbligano” (se vogliamo conservare le usuali proprieta) a introdurre ulteriorielementi. Basta pensare che ad esempio 1

3 + 13 non puo essere un intero, infatti, se 1

3 + 13 = m,

allora

1 + 1 = 3(13 + 1

3) = 3m (1.5)

cioe 2 = 3m che e falso se m e un intero; ne 13 + 1

3 = 1m

, altrimenti

m · 3(13 + 1

3) = 1m·m · 3 (1.6)

che da 2m = 3.Inoltre ogni frazione puo essere scritta in molti (infiniti) modi, ad esempio: 1

4 = 28 .

Formalmente si defisce una relazione di equivalenza su Z× (Z \ 0) in questo modo:

(m,n) ∼ (p, q) ⇔ m · q = n · p (1.7)

(che e la solita definizione di uguaglianza tra rapporti leggendo (m,n) come mn

).Si verifica subito che e una relazione di equivalenza e si pone Q = [Z× (Z \ 0)]∼.

Si definiscono le operazione nel seguente modo:

• Somma [(m,n)] + [(p, q)] = [(mq + pn, nq)]. (Proprio come si fa il denominatorecomune)

• Prodotto [(m,n)] · [(p, q)] = [(mp, nq)].

• [(1, 1)] e l’elemento unita del prodotto.

• E poi − [(m,n)] = [(−m,n)].

• [(0, 1)] e l’elemento zero della somma.

1.2. I RAZIONALI 11

Si verifica facilmente che tali operazioni sono ben definite.Infine si prova facilmente che (Q,+, ·, 0, 1) e un campo.

Questo procedimento (costruzione delle frazioni) e ripetibile su ogni anello integro K e inogni caso si ottiene un campo QK , il campo dei quozienti su K. Q e il minimo campoche estende Z, cioe il minimo anello contente Z in cui ax = b ha sempre soluzione, comevediamo subito:

Proposizione 4. Valgono le seguenti:

1. Ogni anello integro K si immerge in QK. (Ossia esiste un monomorfismo f : K →QK)

2. Tale monomorfismo e unico da Z in Q

3. Ogni campo F in cui K e immergibile contiene QK. (Ossia se esiste un monomor-fismo h : K → F , esiste anche un monomorfismo da QK a F )

Dimostrazione. Dimostriamo che valgono tutte le precedenti affermazioni:

1. Il monomorfismo e f : a 7−→ a1 . (Chiaramente e un omomorfismo iniettivo)

2. E unico nel caso di Z, infatti se g fosse un altro monomorfismo allora g(1) = g(1 ·1) =g(1) ·g(1) da cui: g(1) = 1. Se n > 0, g(n) = g(1+ · · ·+1) = n

n+ · · ·+ n

n= n

1 = f(n).Inoltre f(0) = g(0) = 0 per definizione di omomorfismo.Infine, se n < 0, g(n) = g(−(−n)) = −g(−n) = −f(−n) e quindi f(n) = g(n) perogni n.

3. Ancora h(1) = h(1 · 1) = h(1) · h(1) e quindi h(1) = 1F , allora anche h(−1) = −1F .Definiamo f ponendo: f

(ab

)= h(a) · (h(b))−1 per a, b ∈ K.

f e ben definita: se

a

b= a′

b′⇔ ab′ = a′b ⇔ h(ab′) = h(a′b)⇔

h(a)h(b′) = h(a′)h(b) ⇔ h(a)h(b)−1 = h(a′)h(b′)−1(1.8)

Usando ripetutamente il fatto che h e un omomorfismo e che che F e campo, si provache f conserva le operazioni.

Abbiamo dimostrato il teorema nel caso generale, anche se ci interessava solo per Z eQ, perche non richiede nessuna fatica in piu.

Non e difficile estendere a Q l’ordine di Z. Osserviamo innanzitutto che basta definirequali sono i razionali positivi. In ogni anello ordinato, infatti, x ≤ y ⇔ y − x ≥ 0.


Ora se vogliamo che l’ordine ≤ su Q renda (Q,≤) un campo ordinato (ossia un campo chesia un anello ordinato) dobbiamo porre m

n> 0 ⇔ m · n > 0.

Infatti se m · n > 0 segue:

1. m > 0, n > 0

2. −m > 0, −n > 0

Studiamo caso per caso:

1. n > 0 ⇒ 1n> 0 ⇒ m

n> 0

2. −n > 0 ⇒ 1−n > 0 ⇒ −m

−n > 0

Viceversa, se mn> 0, allora

1. n > 0 e allora nmn

= m > 0, quindi m · n > 0

2. n < 0 e allora nmn

= m < 0, quindi m · n > 0

In questo modo la definizione e obbligatoria, cioe, se esiste un’ordine che estenda quellodegli interi e che renda Q ordinato, e unico.

Capitolo 2

Costruzione dei reali di Dedekind

2.1 Cenni sulla vita e opere

Figura 2.1: Julius Wilhelm Richard Dedekind nel 1850 (circa)

Julius Wilhelm Richard Dedekind nasce a Brunswick nel 1831 da una famiglia di reli-gione luterana, egli fu uno di quattro fratelli e non si sposo ma visse con la sorella Juliafino alla morte di lei nel 1914.

Dedekind si affermo nel campo della matematica ad una eta molto giovane: a 19 annientra nell’Universita di Gottinga e partecipa al Seminario di Matematica e Fisica fondatoda M.A. Stern. Lı conosce Reimann e Dirichlet e consegue a soli 22 anni il dottorato conuna tesi dal titolo: “Sugli elementi della teoria degli integrali di Eulero” con relatore Gauss.Nel 1858 viene nominato professore ordinario di matematica al Politecnico di Zurigo dovetiene dei corsi sul calcolo differenziale e integrale e dove concepisce la sua teoria sui numerireali. Nel 1862 inizia l’insegnamento presso il Politecnico di Gottinga. Nel 1888 e eletto

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14 CAPITOLO 2. COSTRUZIONE DEI REALI DI DEDEKIND

membro dell’Accademia delle Scienze di Berlino e nel 1900 viene eletto membro anchedell’Accademia delle Scienze di Parigi.

Nel 1872 pubblica Stetigkeit und irrationale Zahlen, ovvero La continuita dei numeriirrazionali, e nel 1888 Was sind und was sollen die Zahlen?, tradotto Che cosa sono e a checosa servono i numeri?. Nei due lavori espone, come noto, la sua teoria sui numeri reali e suinumeri naturali. La loro origine e molto precedente alla data di pubblicazione: Dedekindstesso ci conferma che la teoria da lui esposta compiutamente in Continuita risale al primoanno del suo periodo di insegnamento al Politecnico di Zurigo, precisamente all’ottobre del1858. Un tale scarto tra il momento di concepimento e quello di pubblicazione si spiega solotenendo presente la novita della problematica dei Reali di Dedekind e la sua convinzioneche tali ricerche non potessero interessare realmente i matematici.

Numeri e Continuita si possono collocare secondo diverse prospettive storiche: comeuna tappa iniziale della nascita della concezione fondazionale, che verra poi chiamata logi-cismo, e come un momento cruciale della tendenza all’assiomatizzazione che si e sviluppatapienamente dalla meta dell’Ottocento, a partire dall’assiomatizzazione dell’aritmetica peropera di Frege, Grassmann, Schroder ecc., per culminare nell’assiomatizzazione hilbertianadella geometria. In particolare la seconda opera, Numeri, andrebbe collocata come capitoloimportante della storia della nascita della Teoria degli Insiemi.

2.2 La continuita dei numeri irrazionali

Stetigkeit und irrationale Zahlen

“Io considero l’intera aritmetica come una conseguenza necessaria, o al-meno naturale, dell’atto aritmetico piu semplice, quello di contare, il quale,a sua volta, non e altro che la creazione sequenziale della successione infinitadei numeri interi positivi, in cui ogni elemento e definito mediante l’elementoimmediatamente precedente. L’atto piu semplice e il passaggio da un elementogia creato all’elemento successivo, ancora da creare. La catena di questi nu-meri costituisce gia uno strumento utilissimo per lo spirito umano e fornisceun tesoro inesauribile di leggi notevoli che si ottengono con l’introduzione dellequattro operazioni fondamentali dell’aritmetica. L’addizione e una qualsivogliaripetizione del suddetto atto semplice concepita come un singolo atto e nellostesso modo dall’addizione proviene la moltiplicazione. Mentre e sempre pos-sibile eseguire queste due operazioni, per le operazioni inverse, la sottrazionee la divisione, vi sono dei limiti. Quale sia stata l’occasione immediata, qualii confronti o le analogie con esperienze o intuizioni, che hanno introdotto lasottrazione e la divisione, qui basta osservare che la vera causa di un nuovoatto creativo e sempre appunto la limitazione della possibilita di eseguire le

2.2. LA CONTINUITA DEI NUMERI IRRAZIONALI 15

operazioni indirette; cosı lo spirito umano ha creato i numeri negativi e quellifrazionari, e col sistema di tutti i numeri razionali ha acquisito uno strumentoinfinitamente piu perfetto. Questo sistema e anzitutto chiuso [...] Ma ancorapiu importante e che questo sistema costituisce un dominio ben ordinato.”

Dedekind aveva rivolto la sua attenzione al problema dei numeri irrazionali sin dal1858, in un corso di lezioni universitarie sul calcolo infinitesimale. Egli si chiese in checosa una grandezza geometrica continua si distinguesse dai numeri razionali e giunse allaconclusione che

“... l’essenza della continuita di un segmento non e dovuta ad una vaga com-pattezza dei suoi punti, ma a una proprieta esattamente contraria, ossia allapeculiare natura della divisione del segmento in due parti mediante un puntogiacente sul segmento stesso. In qualsiasi divisione dei punti del segmento indue classi, tali che ciascun punto appartenga ad una e una sola classe, e cheogni punto di una classe si trovi a sinistra di ogni punto dell’altra classe ,v’euno ed un solo punto che determina la divisione.” [1]

Dedekind stesso scrivera che “con questa osservazione banale si e svelato il segreto dellacontinuita”, tale osservazione potra anche essere stata banale ma sembra che egli abbiaavuto piu di qualche dubbio su si essa visto che esito alcuni anni prima di pubblicarla.

Per riuscire ad esprimere in maniera dettagliata la concezione di Dedekind dobbiamoprima ricordare alcuni concetti fondametali che stanno alla base.

2.2.1 Campi ordinati, densi e archimedei

Ricordiamo alcune definizioni e proprieta.

Definizione 5. Un campo K e una struttura < K,+, ·, 0K, 1K > dove K e un insieme,+ e · sono operazioni binarie su K, 0K e 1K sono elementi distinti di K, in cui valgono leseguenti proprieta:

• Associativita di + e · : ∀x, y, z [x+ (y + z) = (x+ y) + z e x · (y · x) = (x · y) · z];

• Commutativita di + e ·: ∀x, y [x+ y = y + x e x · y = y · x];

• Distributivita di · rispetto a +: ∀x, y, z [x · (y + z) = x · y + x · z];

• Proprieta degli elementi neutri: i) ∀x, x+ 0K = x, ii) ∀x, x · 1K = x;

• Esistenza dell’opposto e del reciproco: i) ∀x∃y, x+y = 0K, ii) ∀x 6= 0K ∃y, x·y = 1K.


Definizione 6. Un campo totalmente ordinato e una struttura K =< K,+, ·,≤, 0K, 1K >

in cui < K,+, ·, 0K, 1K > e un campo e ≤ e una relazione d’ordine su K che verifica leseguenti proprieta:

• Riflessivita: ∀x, x ≤ x;

• Antisimmetria: ∀x, y, x ≤ y ∧ y ≤ x→ x = y;

• Transitivita: ∀x, y, z, x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z;

• Totalita: ∀x, y, x ≤ y ∨ y ≤ x;

• Compatibilita dell’ordine con l’addizione: ∀x, y, z, x ≤ y → x+ z ≤ y + z;

• Compatibilita dell’ordine con la moltiplicazione: ∀x, y, ∀z ≥ 0, x ≤ y → x · z ≤ y · z.

Definizione 7. Un campo e denso se ∀a, b con a ≤ b, esiste un elemento c tale chea ≤ c ≤ b.

Proposizione 8. Ogni campo ordinato e denso.

Dimostrazione. Da a ≤ b⇒ a+a ≤ a+ b ≤ b+ b⇒ a+a2 ≤

a+b2 ≤

b+b2 (dato che K e campo

qualunque 2 e inteso come 1 + 1) ⇒ a ≤ a+b2 ≤ b.

Definizione 9. Un campo ordinato K e archimedeo se ∀a, b ∈ K con a > 0 ∃n ∈ N taleche an > b.

2.2.2 Corrispondenza tra numeri razionali e punti della rettaDedekind si rese conto che il campo dei numeri razionali puo essere esteso fino a formare

un continuo di numeri reali se si ammette che i punti di una retta possono essere messi incorrispondenza biunivoca con i numeri reali.

Infatti i numeri razionali per Dedekind hanno le seguenti proprieta:

1) se a, b, c ∈ Q con a > b e b > c allora a > c;

2) se a, b ∈ Q sono due numeri diversi, allora esistono infiniti numeri tra a e c;

3) Dato un numero razionale a, tutti i numeri razionali si ripartiscono in due classi A1 eA2 contenenti ciascuna infiniti individui; A1 contiene gli elementi a1 < a, A2 contienegli elementi a2 > a. Il numero a stesso puo essere assegnato alla prima classe o allaseconda, nel primo caso a sara il massimo di A1, nel secondo caso sara il minimo diA2. In ogni caso la suddivisione del sistema Q in due classi e tale che ogni numerodella prima classe A1 e minore di ogni numero della seconda classe A2.


Le proprieta dei numeri razionali appena viste ricordano le relazioni di posizione re-ciproca che sussistono tra i punti di una retta L. Chiamiamo destra e sinistra i due versiopposti sulla retta, quindi dati due punti diversi p e q allora p giace a destra di q, e altempo stesso q giace a sinistra di p, o inversamente q giace a destra di p e al tempo stesso pgiace a sinistra di q. Un terzo caso e impossibile se p e q sono effettivamente punti diversi.Per queste relazioni di posizione sussistono le seguenti leggi:

1) dati tre punti p, q, r sulla retta L, se p e a destra di q e q e a destra di r, allora p ea destra di r;

2) se p e r sono due punti distinti sulla retta, allora ci sono infiniti punti tra p e r;

3) Dato un punto p di L, tutti i punti di L si ripartiscono in due classi P1 e P2 contenenticiascuna infiniti elementi. P1 contiene tutti i punti p1 a sinistra di p e P2 contienetutti i punti p2 a destra di p. Il punto p stesso puo appartenere a una delle due classie in ogni caso la suddivisione della retta L in due classi e tale che ogni punto di P1 ea sinistra di ogni punto di P2.

Questa analogia dei numeri razionali con i punti della retta e una vera e propria cor-rispondenza quando prendiamo sulla retta L un origine O e un unita di misura U , alloraad ogni numero razionale a corrisponde un punto P sulla retta L tale che le lunghezzeOP e OU siano commensurabili; ma non vale il viceversa, cioe nella retta L esistono puntiche non corrispondono a nessun numero razionale. Gia i Greci avevano dimostrato checi sono grandezze non commensurabili, per esempio la diagonale del quadrato che ha perlato la lunghezza unitaria, ed esistono infinite lunghezze incommensurabili come mostra laseguente:

Proposizione 10. Per ogni p primo allora √p e irrazionale.

Dimostrazione. Se per assurdo √p con p primo e razionale, allora√p = m

ncon MCD(m,n) = 1, m,n ∈ N

quindi p = m2

n2 ⇒ n2p = m2, cioe p divide m2, ma p e primo quindi p divide anche m, allorapm1 = m e p2m2

1 = m2

sostituendo quest’ultima in n2p = m2 si ha n2p = p2m21 ⇒ n2 = pm2

1, cioe p divide n2,quindi p divide n. Si deduce che p divide sia m che n ed assurdo perche MCD(m,n) = 1.

Dall’infinita delle grandezze incommensurabili si ricava il carattere incompleto, discon-tinuo di Q rispetto alla continuita della retta. Ma in che cosa consiste questa continuitadella retta?


2.2.3 Continuita della retta e costruzione dei reali

Nel paragrafo precedente abbiamo ricordato che ogni punto p della retta determina unasuddivisione di essa in due parti, in modo tale che ogni punto di una parte giace a sinistradi ogni altro punto dell’altra parte. Dedekind vede l’essenza della continuita della rettanell’inversione di questa proprieta, ossia nel principio seguente:

“Se tutti i punti della retta si ripartiscono in due classi tali che ogni puntodi una classe giace a sinistra di ogni punto dell’altra, allora esiste uno e unsolo punto che determina questa partizione di tutti i punti in due classi, questascomposizione della retta in due parti.”

Dedekind stesso commenta:

“Credo di non sbagliare nel presumere che ognuno riconoscera subito pervero il principio enunciato. La maggior parte dei miei lettori rimarra alquantodelusa nell’apprendere che il mistero della continuita dovra essere svelato dauna banalita come questa. A questo proposito voglio fare un’osservazione: sonocontentissimo che ognuno trovi quel principio tanto evidente e tanto in accordocon la propria rappresentazione della retta, perche ne a me ne ad altri e possibiledimostrarlo in qualche modo. L’assunzione di questa proprieta della retta altronon e che un assioma mediante il quale anzitutto riconosciamo alla retta la suacontinuita, mediante il quale noi pensiamo la continuita nella retta.”

Quindi per eliminare la discontinuita dei razionali Dedekind adotta il metodo seguente:

Definizione 11. Sia A ⊂ Q, B ⊂ Q con A,B 6= ∅, allora (A,B) e una sezione se:

• A ∪B = Q;

• A ∩B = ∅;

• ∀a ∈ A, ∀b ∈ B si ha a < b.

Dato un razionale a possiamo costruire una sezione di Q, (A1, A2) mettendo in A1 tuttii razionali a1 < a e in A2 tutti i razionali a2 > a. Quindi per ogni numero razionalea corrisponde una sezione di cui a e l’elemento separatore, e puo essere a1 < a ≤ a2 oa1 ≤ a < a2 (dalla definizione di sezione segue immediatamente che l’elemento separatoree unico).


Pero non tutte le sezioni di Q hanno un elemento separatore in Q, per esempio dati

A ={x ∈ Q|x2 < 2

}B =

{x ∈ Q|x2 > 2

}(A,B) e una sezione perche A e B non sono vuoti (1 ∈ A e 2 ∈ B) e A < B, pero l’elementoseparatore ξ dev’essere tale che ξ2 = 2, ma sappiamo benissimo che un tale numero nonpuo essere razionale.

Nel fatto che non tutte le sezioni siano determinate da numeri razionali consiste l’in-completezza o la discontinuita di Q e per superarla dobbiamo “creare” un nuovo numero,un numero “irrazionale” α, che consideriamo come completamente definito dalla sezionestessa.

“Quando abbiamo a che fare con una sezione prodotta da un numero nonrazionale, quindi, ne creiamo uno nuovo, un numero irrazionale, che consid-eriamo come completamente definito da questa sezione... . D’ora in poi,di conseguenza, per ogni sezione definita corrisponde un numero razionale oirrazionale definito...” da Stetigkeit und irrationale Zahlen, Section IV.

Quindi ad ogni sezione corrisponde uno e un solo determinato numero razionale o ir-razionale, e due numeri saranno diversi se e solo se essi determinano due sezioni diverse.Attraverso l’uso di questo strumento, si considera esserci un numero reale, che sia razionaleo irrazionale, in ogni punto nel continuum della linea numerica, senza discontinuita.

Per ottenere una base su cui fondare l’ordinamento di tutti i numeri reali, cioe di tuttii razionali e gli irrazionali, dobbiamo prima studiare le relazioni tra due sezioni (A1, A2) e(B1, B2) prodotte da due numeri α e β.E’ chiaro che una sezione (A1, A2) e gia completamente determinata se e nota una soladelle due classi, per esempio la prima classe A1, perche la seconda classe A2 consta di tuttii razionali non contenuti in A1. Confrontando tra loro le classi A1 e B1 otteniamo tre casi:

1) A1 e B1 sono identiche, cioe ogni numero appartenente a A1 e contenuto in B1 eviceversa. In tal caso anche A2 e identica a B2 e le due sezioni sono identiche; questolo esprimiamo dicendo che α = β.

2) A1 e B1 non sono essenzialmente diverse, quando a′1 e l’unico elemento di A1 non

contenuto in B1, cioe e contenuto in B2 e come elemento di questa classe lo chiamer-emo b′2. In questo caso tutti gli elementi a1 appartenenti ad A1 sono contenuti anchein B1 e sono tutti minori di a′1, cioe a′1 e il numero massimo della classe A1, pertanto


la sezione (A1, A2) e determinata dal numero α = a′1 = b

′2. Dell’altra sezione (B1, B2)

gia sappiamo che tutti i numeri b1 contenuti in B1 sono contenuti anche in A1 e sonominori di a′1 = b

′2 che e contenuto in B2, e ogni altro numero b2 contenuto in B2

e maggiore di b′2; percio b′2 e il minimo numero di B2, quindi la sezione (B1, B2) e

determinata dal numero β = b′2 = a

′1 = α.

Le due sezioni non sono essenzialmente diverse perche sono determinate dallo stessonumero α = β pero nella sezione (A1, A2) α e il massimo di A1, mentre nella sezione(B1, B2) β e il minimo di B2.

3) A1 e B1 sono essenzialmente diverse, quando ci sono almeno due numeri diversi diA1, a′1 e a′′1 , che non sono contenuti in B1, ma sono contenuti in B2; quindi avremoa′1 = b

′2 e a′′1 = b

′′2 . Pero sappiamo che tra due numeri diversi ce ne sono infiniti,

quindi ci saranno infiniti numeri compresi tra a′1 e a′′1 che non sono contenuti in B1.In questo caso le due sezioni (A1, A2) e (B1, B2) sono essenzialmente diverse e anchei numeri corrispondenti α e β sono diversi; in particolare se B1 ⊂ A1 diremo cheα > β, o β < α. Si osservi che sarebbe potuto essere anche il viceversa, cioe α < β

nel caso in cui in A1 ⊂ B1.

Possiamo dunque definire numero reale una sezione (A,B) di razionali e R divental’insieme di tutte le sezioni, che risulta ben ordinato per quanto appena detto. Valgonoinoltre le seguenti leggi:

• se α > β e β > γ ⇒ α > γ;

• se α 6= β ⇒ esistono infiniti numeri tra α e β;

• dato un numero α, tutti i numeri di R si dividono in due sezioni A1 e A2;

E pero necessario definire su R delle operazioni e verificare che R sia un campo completoben ordinato.

• Somma: se α = (A,B) e β = (C,D) allora

α + β := (A+ C,B +D)

dove H + K = {q ∈ Q : q = h + k , h ∈ H , k ∈ K}. L’elemento neutro e la sezionedefinita dal numero razionale 0 e l’opposto di α = (A,B) e −α = (−B,−A).

• Prodotto: se α = (A,B) e β = (C,D) sono positivi, cioe tutti i numeri in B e in D

sono positivi, alloraα · β := (Q\BD,BD)

dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈ H , k ∈ K}. Se α e β sono entrambi negativi,allora α · β := (−α) · (−β) e se α < 0 e β > 0 allora α · β := − (−α) · β. L’unita e


la sezione definita dal numero razionale 1 e l’inverso di α e 1α

:= (Q\A−1+ , A−1

+ ) doveA−1

+ = {q ∈ Q : q = 1a, a ∈ A , a > 0} se α > 0, 1

α:= − 1

−α se α < 0.

E facile verificare che con queste operazioni R e un campo ordinato. Per mostrare che ecompleto, introduciamo la seguente

Definizione 12. Un campo ordinato K si dice Dedekind-continuo se ogni sezione (A,B)di K ammette un unico separatore in K.

Vedremo in seguito che per un campo ordinato essere completo e equivalente a essereDedekind-continuo, pertanto e sufficiente ora mostrare che R cosı costruito e Dedekind-continuo.

Proposizione 13. R e Dedekind-continuo.

Dimostrazione. (Esistenza) Sia (A ,B) una sezione di R. Gli elementi di A e di B sonoa loro volta sezioni di Q. Poniamo

A0 = ⋃(A,B)∈A A B0 = ⋂

(A,B)∈B B

e dimostriamo che (A0, B0) e una sezione di Q (e quindi un numero reale) che e l’elementoseparatore di (A ,B).

1. A0 ∪ B0 = Q, infatti se r /∈ B0 esiste una sezione (A,B) ∈ A con r /∈ B, pertantor ∈ A e quindi r ∈ A0.

2. A0 ∩B0 = ∅, infatti se r ∈ A0, r appartiene ad almeno un A e quindi non appartieneal corrispondente B, percio r /∈ B0.

3. Siano p ∈ A0 e q ∈ B0; p appartiene ad almeno un A e q a tutti i B. Allora esisteuna sezione (A,B) ∈ A con p ∈ A e q ∈ B per cui p < q.

Quindi (A0, B0) e una sezione di Q e definisce un numero λ ∈ R che e ≥ di ogni elementodi A0 e ≤ di ogni elemento di B0. Vediamo che λ e l’elemento separatore di (A ,B). Perogni α ∈ A , α = (A,B), risulta A ⊂ A0 e quindi α ≤ λ. Sia ora β = (A′, B′) ∈ B; poicheogni elemento di A e < β, risulta A ⊂ A′ per ogni (A,B) ∈ A e quindi anche A0 ⊂ A′,dunque λ ≤ β.

(Unicita) Con la divisione di R nella sezione (A1,A2), e data anche la divisione di Rnella sezione (A1, A2), che e una sezione di Q definita cosı: A1 contiene tutti i razionali diA1 e A2 contiene tutti i razionali non contenuti in A1, ossia tutti i razionali contenuti inA2. Sia α l’elemento separatore di (A1, A2), dobbiamo provare che e unico.Prendiamo un altro numero β diverso da α; sappiamo che esistono infiniti numeri compresitra α e β e si distinguono due casi:


• se β < α, allora tra gli infiniti numeri compresi tra α e β considero un numeroqualunque c, quindi c < α, allora c ∈ A1, quindi c ∈ A1. Ma dato che β < c alloraanche β ∈ A1.

• se β > α, allora preso un elemento c compreso tra i due, sara c > α, allora c ∈ A2,quindi c ∈ A2. Ma dato che β > c allora anche β ∈ A2.

Abbiamo mostrato che per ogni β, β ∈ A1 o β ∈ A2, quindi α e il massimo di A1 o ilminimo di A2, cioe α e l’unico elemento separatore della sezione (A1,A2).

Il metodo delle sezioni di Dedekind puo essere generalizzato, cioe partendo da unqualunque campo ordinato archimedeo F si puo costruire un campo ordinato F che contieneF ed e Dedekind-continuo.

Diamo ora una definizione che ci sara utile in seguito. Poiche una sezione e comple-tamente determinata quando e data una delle due classi, si puo introdurre il concetto disemiretta.

Definizione 14. Una semiretta in Q e un sottoinsieme S ⊂ Q tale chei) S 6= ∅, S 6= Qii) ∀x ∈ S , y < x⇒ y ∈ S.

Ogni semiretta S determina la sezione (S,Q\S) e viceversa ogni sezione (A,B) deter-mina la semiretta aperta A.

Capitolo 3

Costruzione dei reali di Cantor

3.1 Cenni sulla vita

Figura 3.1: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Georg Cantor nasce a Pietroburgo nel 1845, figlio di Georg Woldemar Cantor, unoperatore di borsa danese, e di Marie Anna Bohm, una musicista nata in Russia, ma diorigini austriache. Egli trascorre la maggior parte della vita in Germania poiche la suafamiglia si era trasferita a Francoforte quando aveva 11 anni a causa delle condizioni disalute del padre.

Studia a Zurigo, Gottinga, Berlino e qui, nel 1867, consegue il dottorato con una tesisulla teoria dei numeri. Dal 1872 al 1905 e professore all’universita di Halle, le sue ideerivoluzionano concezioni tradizionali della matematica e della filosofia e per questo hannoincontrato molti oppositori. Muore nel 1918. A lui si deve la teoria dei numeri razionali,

23

24 CAPITOLO 3. COSTRUZIONE DEI REALI DI CANTOR

la teoria dei numeri cardinali transfiniti (fondata sulla trattazione matematica dell’infinitoattuale), ma soprattutto a lui si deve la fondazione della teoria degli insiemi.

3.2 Reali come classi di equivalenza di successioni diCauchy

Come anticipa il titolo, Cantor studia le successioni di Cauchy e i campi completi sec-ondo Cauchy, ossia i campi in cui queste successioni di Cauchy convergono. Non essendo ilcampo dei Razionali completo secondo Cauchy, Cantor trova un completamento per questocampo, che sara il campo dei Reali, in modo che diventi completo secondo Cauchy e lodefinisce partendo dalle successioni di Cauchy a valori razionali. Introduce delle operazioni,una relazione di equivalenza e una relazione d’ordine, in modo che il campo quoziente dellesuccessioni di Cauchy su Q modulo la relazione di equivalenza introdotta sia un campoordinato e completo secondo Cauchy.

3.2.1 Gli irrazionali di Eudosso

Prima di vedere i dettagli, facciamo alcune osservazioni e vediamo alcuni risultati checi permetteranno di arrivare a capire l’idea intuitiva da cui e partito Cantor per talecostruzione.

Partiamo dalla definizione di Eudosso di irrazionali, non molto diversa da quella diDedekind.

Definizione 15. Dati A,B,C,D,

A

B= C

D⇐⇒ qualsiasi siano gli interim ed n , mA Q nB ⇒ mC Q nD .

La differenza principale con la definizione di Dedekind sta nel fatto che in questo caso enecessario presupporre di avere gia i numeri; aggiungendo pero il postulato dell’esistenza,segue subito che A

BQ

n

m⇐⇒ C

DQ

n

m, quindi la classe dei numeri razionali n

mviene

separata in due categorie. Possiamo pertanto dire che due rapporti saranno uguali quandodeterminano la stessa sezione di Dedekind.

La definizione di Eudosso da un metodo per trovare il rapporto tra due segmenti;proviamo ad applicarlo per due segmenti dati AB < CD, che supponiamo commensurabili.Si deve trovare un segmento che stia un numero intero di volte in entrambi; tale segmentostara un numero finito di volte anche nella differenza CD − AB, pertanto il problemasi riduce a trovare il rapporto tra AB e CD − AB. Se con la differenza riusciamo amisurare AB allora abbiamo finito; altrimenti proseguiamo considerando la differenza tra

3.2. REALI COME CLASSI DI EQUIVALENZA DI SUCCESSIONI DI CAUCHY 25

i due nuovi segmenti e cosı via, finche non troviamo il segmento che risolve il problema,che esiste poiche abbiamo supposto AB e CD commensurabili.

Vediamo che in effetti il procedimento ha un termine: sia 1n

il segmento che misura i duesegmenti, cioe l’unita di lunghezza. Supponiamo che AB = m 1

ne CD = p 1

ne consideriamo

m e p: sottraiamo ripetutamente il piu piccolo, ovvero m, dal piu grande, finche otteniamoun resto r1 inferiore ad m per cui p = q1m + r1. Sottraiamo ora ripetutamente r1 da m

fino ad ottenere m = q2r1 +r2, r2 < r1. Iterando il procedimento, si osserva che ha termineperche m > r1 > r2 > r3 > . . . e una successione decrescente che dovra arrivare all’unitadi misura, rappresentata dall’ultimo resto rm = MCD(p,m).Nel caso in cui i due segmenti non siano commensurabili, non ci sara invece un termine.

Osserviamo che possiamo scrivere p

m= q1 + r1

me m

r1= q2 + r2

r1, da cui segue p

m=

q1 + 1q2 + r2

r1

. Procedendo cosı troveremo una successione di frazioni finita nel caso di

segmenti commensurabili, infinita nel caso contrario. Quindi possiamo scrivere p

mcome

frazione continua:p

m= q1 + 1

q2 + 1q3+...

.

Possiamo quindi dire che il rapporto tra due numeri e un razionale se la successione difrazioni e finita, sara invece un nuovo numero se non lo e.

Se pensiamo un numero reale a con la consueta notazione decimale, a = n, a0a1a2a3 · · · =n+ a0

10 + a1

100 + . . . , possiamo notare che ricorda la frazione continua.L’idea di Cantor consiste nell’identificare un numero reale con la successione di sommeparziali di elementi di Q

n, n+ a0

10 , n+ a0

10 + a1

100 , . . .

e sfruttera il fatto che in R ogni successione di Cauchy ammette limite.Vediamo ora la trattazione rigorosa.

3.2.2 Successioni di Cauchy

Definizione 16. Una successione a valori nell’insieme A e una funzione f : N→ A. Ivalori f(0), f(1), f(2),... verranno indicati con a0, a1, a2,... e scriveremo (an) invece di f .

Definizione 17. Una successione (an) e convergente nell’insieme A e converge ad unelemento λ se esiste un elemento λ ∈ A tale che per ogni ε positivo ∃nε tale che ∀n > nεsi ha:

|λ− an| < ε .

Diremo che il limite di (an) e λ e scriveremo L(an) = λ.


Definizione 18. Una successione (an) a valori in A e di Cauchy se ∀ε > 0, ∃nε taleche ∀m,n > nε si ha:

|am − an| < ε .

Proposizione 19. Sia K un campo ordinato. Ogni successione convergente di elementi inK e una successione di Cauchy.

Dimostrazione. Sia (an) successione convergente, sia λ il limite, allora per ogni ε piccolo apiacere e per ogni m,n > nε si ha

|λ− an| <ε

2e

|λ− am| <ε

2da cui

|an − am| = |an − λ+ λ− am| ≤ |an − λ|+ |λ− am| <ε

2 + ε

2 = ε

cioe|an − am| < ε .

Definizione 20. Un campo ordinato K e completo secondo Cauchy, o Cauchy-completo,se tutte le successioni di Cauchy a valori in K hanno limite in K.

Le successioni di Cauchy sono quelle che “si addensano sempre di piu”; se le rappresen-tassimo in una retta avremmo che preso un ε > 0 da un certo valore di nε in avanti, tuttii punti an si trovano in un intervallo I di ampiezza ε. Preso un altro ε′ diverso dal primoavro un altro intervallo I ′ di ampiezza ε′ in cui per opportuni n i punti della successione(an) si “addenseranno sempre di piu”.

Intuitivamente si capisce che l’intersezione di tutti gli intervalli I dovrebbe essere unsolo punto appartenente al sistema che si sta considerando e questo punto sara il limitedella successione, a cui dovrebbe corrispondere una coordinata nel sistema numerico chesi sta considerando. Ma se consideriamo successioni di Cauchy sui razionali, allora questonumero non sempre esiste in Q, mentre nei reali esiste. Cioe Q non e Cauchy-completo,per esempio la successione delle somme ∑∞n=0

1n! , che ha valori in Q, converge ad e /∈ Q.

Quindi si introducono i Reali per superare questa limitatezza dei razionali.

Chiamiamo C(Q) le successioni di Cauchy su Q e considero le seguenti operazioni suC(Q):

• Somma: (an) + (bn) = (an + bn)

• Prodotto: (an) · (bn) = (an · bn)


Definizione 22. La successione (an) e una zero-successione, o infinitesima, se L(an) = 0.L’insieme delle zero-successioni a valori in Q lo indicheremo con Z(Q).

Definizione 23. Due successioni (an) e (bn) sono equivalenti se ∀ε > 0 ∃n tale che∀n > n si ha |an − bn| < ε. Scriveremo che (an) ≡ (bn) e indicheremo con [an]≡ la classedi equivalenza di (an).

Vediamo che la relazione ≡ e davvero una relazione di equivalenza:

• riflessiva: (an) ≡ (an), ovvio perche |an − an| < ε ∀n;

• simmetrica: (an) ≡ (bn) ⇒ (bn) ≡ (an), ovvio perche |an − bn| = |bn − an|;

• transitiva: se (an) ≡ (bn) e (bn) ≡ (cn) ⇒ (an) ≡ (cn). Devo mostrare che ∀ε > 0 ∃ntale che ∀n > n si ha

|an − cn| < ε .

Per ipotesi (an) ≡ (bn) quindi ∀ε > 0 ∃n0 tale che ∀n > n0 si ha |an − bn| < ε2 e

(bn) ≡ (cn) quindi ∀ε > 0 ∃n1 tale che ∀n > n1 si ha |bn − cn| < ε2 ; considero n =

max {n0, n1}, allora ∀n > n si ha

|an − cn| = |an − bn + bn − cn| ≤ |an − bn|+ |bn − cn| <ε

2 + ε

2 = ε.

Definiamo ora le seguenti operazioni su (C(Q)/ ≡):

• Somma: [an]≡ + [bn]≡ = [an + bn]≡. L’elemento neutro e la classe delle successioniequivalenti a (O) e −[an]≡ = [−an]≡.

• Prodotto: [an]≡ · [bn]≡ = [an · bn]≡. L’elemento neutro e la classe delle successioniequivalenti a (1) e [an]−1

≡ = [ 1an

]≡, se [an]≡ 6= [0]≡.

Sono ben definite e lo proviamo per la somma: da (an) ≡ (cn) segue che ∀ ε2 > 0 ∃n taleche ∀n > n si ha |an − cn| < ε

2 ; da (bn) ≡ (dn) segue che ∀ ε2 > 0 ∃m tale che ∀n > m si ha|bn − dn| < ε

2 . Si ha[an]≡ + [bn]≡ = [an + bn]≡

[cn]≡ + [dn]≡ = [cn + dn]≡

Per mostrare che la somma e ben definita devo mostrare che e indipendente dai rappresen-tanti scelti cioe che

[an + bn]≡ = [cn + dn]≡

cioe devo mostrare che(an + bn) ≡ (cn + dn)


ossia che ∀ε > 0, ∃n0 tale che ∀n > n0 si ha |(an + bn)− (cn + dn)| < ε.Considero n0 = max {n,m}, allora ∀n > n0

|(an + bn)− (cn + dn)| = |(an − cn) + (bn − dn)|

≤ |an − cn|+ |bn − dn| <ε

2 + ε

2 = ε .

Con queste operazioni sulle classi di equivalenza possiamo dire che (C(Q)/ ≡) e unanello e lo possiamo indicare con (C(Q)/Z(Q)).

Definizione 24. Una successione di Cauchy (an) e positiva, o (an) � 0, se ∃ q > 0 e unopportuno n∗ tali che an > q ∀n > n∗.

Sull’anello (C(Q)/Z(Q)) possiamo definire la seguente relazione d’ordine:

[an]≡ ≤ [bn]≡ ⇐⇒ (bn − an) � 0 .

La proprieta riflessiva e la proprieta transitiva sono ovvie.Dimostriamo l’antisimmetrica: basta far vedere che se [an]≡ ≥ 0 e [an]≡ ≤ 0, allora[an]≡ = 0. Siano (an) e (bn) due rappresentanti di [an]≡ con an ≥ 0 ∀n > n e bn ≤ 0∀n > ¯n. Allora ∀n > max{n, ¯n} si ha 0 ≤ an ≤ an − bn. Ma (an) e (bn) sono equivalentiquindi limn→∞(an − bn) = 0 e per il teorema del confronto segue che limn→∞ an = 0, cioe[an]≡ = [0]≡. Si verifica inoltre che si tratta di un ordine totale.

Quindi con le operazioni di somma e prodotto e con la relazione d’ordine, (C(Q)/Z(Q))e un campo ordinato e Cantor lo identifica con i Reali:

(C(Q)/Z(Q)) = R

quindi un numero reale e una classe di equivaleza di successioni di Cauchy in Q.Essendo Q archimedeo, segue facilmente che anche R e archimedeo.

Verifichiamo ora che si tratta di un campo Cauchy-completo.

Lemma 25. Ogni successione di Cauchy di razionali converge in R e il limite e la classedi equivalenza della successione stessa.

Dimostrazione. Definiamo l’applicazione η : Q → R che ad ogni razionale q associa laclasse di equivalenza di q, η(q) = [q]≡.Dobbiamo dimostrare che data (an) ∈ C(Q), (η(an)) converge in R e LR(η(an)) = [an]≡.Prendiamo ε > 0 ∈ R e δ > 0 ∈ Q tali che η(δ) < ε in R.


da cui segue |am − an| < ε. Quindi possiamo concludere che (an) e di Cauchy su Q e per ilLemma precedente LR(η(an)) = [an]≡. Ma (ξn− η(an)) e una zero successione in R, quindiLR(ξn) = [an]≡.

Vedremo in seguito che un campo ordinato archimedeo e Cauchy completo e anchecompleto, quindi R cosı definito e un campo ordinato completo.

Capitolo 4

Unicita del campo ordinato completo

In quest’ultima parte vogliamo dimostrare che i campi ordinati completi sono unici ameno di isomorfismi; prima di arrivare a questo diamo alcune definizioni.

Definizione 27. In un insieme ordinato (X,≤)

• un maggiorante per A ⊆ X e un elemento x tale che a ≤ x per ogni a ∈ A;

• un minorante per A ⊆ X e un elemento x tale che x ≤ a per ogni a ∈ A;

• l’estremo superiore di A ⊆ X e il minimo dei maggioranti e si indica con SupX(A);

• l’estremo inferiore di A ⊆ X e il massimo dei minoranti e si indica con InfX(A).

Definizione 28. Il campo ordinato K e completo se per ogni sottoinsieme non vuoto X diK, se X ha un maggiorante, allora X ha estremo superiore (o, equivalentemente, per ognisottoinsieme non vuoto X di K, se X ha un minorante, allora X ha estremo inferiore).

Teorema 29. In ogni campo ordinato K sono equivalenti le seguenti asserzioni:

a) K e Dedekind-continuo;

b) K e completo.

Dimostrazione. Vediamo che le due asserzioni sono equivalenti:(a)⇒ (b). Sia X ⊆ K, X non vuoto, e supponiamo che l’insieme Y dei maggioranti di Xnon sia vuoto. Quindi x ≤ y per ogni x ∈ X e y ∈ Y . K e Dedekind-continuo e quindiesiste uno z ∈ K tale che x ≤ z ≤ y. Osserviamo che z ∈ Y perche x ≤ z, ma z ≤ y quindiz e il minimo dei maggioranti, cioe e l’estremo superiore.

(b) ⇒ (a). Supponiamo che X, Y siano sottoinsiemi di K non vuoti tali che x ≤ y

per ogni x ∈ X e y ∈ Y . Ogni elemento di Y e un maggiorante di X, quindi per (b) possi-amo considerare l’estremo superiore di X: z ∈ Y , cioe x ≤ z per ogni x ∈ X. Pero poichez e il minimo dei maggioranti si ha anche che z ≤ y per ogni y ∈ Y . Quindi x ≤ z ≤ y.

33

34 CAPITOLO 4. UNICITA DEL CAMPO ORDINATO COMPLETO

Sia K un campo e X ⊆ K non vuoto, vediamo le proprieta caratteristiche di SupK(X)e InfK(X):

• β ∈ K e SupK(X) se e solo se

i) ∀x ∈ X x ≤ β, (β e maggiorante)ii) ∀β ′ ∈ K con β

′< β, ∃x ∈ X : β ′ < x, (β e il migliore)

• α ∈ K e InfK(X) se e solo se

i) ∀x ∈ X α ≤ x, (α e minorante)ii) ∀α′ ∈ K con α < α

′ , ∃x ∈ X : x < α′ , (α e il migliore)

Proposizione 30. Ogni campo ordinato completo e archimedeo.

Dimostrazione. Sia K un campo ordinato completo. Supponiamo per assurdo che non siaarchimedeo, cioe che esistano due elementi a, b, con a > 0, tali che na ≤ b per ogni naturalen. Quindi l’insieme

Na = {na|n ∈ N}

e superiormente limitato perche b e un suo maggiorante, quindi l’insieme Na avra unestremo superiore che indichiamo con a∗.Essendo a > 0 allora a∗ − a < a∗ e per la proprieta del Sup esiste un na tale che

a∗ − a < na

a∗ < na+ a

a∗ < a(n+ 1) ∈ Na

quindi a∗ non e un maggiorante, che e assurdo dato che lo avevamo definito tale. L’assurdonasce dall’aver supposto na ≤ b, quindi segue che na > b, cioe K archimedeo.

Questa proposizione da una condizione necessaria, cioe se un campo ordinato non earchimedeo allora non e completo.

Per mostrare che un campo ordinato e completo se e solo se e archimedeo e Cauchy-completo, dobbiamo introdurre una nuova definizione.

Definizione 31. Un campo ordinato K e Cantor-completo se ogni successione di inter-valli chiusi In = [an, bn] tali che I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ . . . e limn→∞(bn − an) = 0 ha comeintersezione un unico punto.

35

Teorema 32. Per ogni campo ordinato K sono equivalenti le seguenti asserzioni:

a) K e completo;

b) K e archimedeo e Cantor-completo;

c) K e archimedeo e Cauchy-completo.

Dimostrazione. Vediamo che le asserzioni precedenti sono equivalenti:(a) ⇒ (b). Sia K completo e sia In = [an, bn] una famiglia di intervalli chiusi inscatolatit.c. limn→∞(bn − an) = 0. Gli estremi degli intervalli formano due successioni an e bnrispettivamente crescente e decrescente. L’insieme {an : n ∈ N} e superiormente limitato,quindi per ipotesi ammette un Sup che chiamiamo a. Vediamo che a e l’elemento cercato,ossia ⋂n In ≡ a. Osserviamo che ∀ j, aj ≤ bj e bj ≤ bi se i < j e pertanto aj ≤ bi ∀ i, j ∈ N;in particolare si ha che aj ≤ a ≤ bi e quindi a ∈ ⋂n In. Supponiamo che esista c ∈ K, c 6= a

e c ∈ ⋂n In. Allora aj ≤ c ≤ bi e |c−a| > 0. Per ipotesi K e archimedeo quindi ∃n ∈ N t.c.0 < 1

n< |c− a|; inoltre per ipotesi ∀n ∈ N ∃ i t.c. bi − ai < 1

nquindi bi − ai < 1

n< |c− a|.

Questo ci dice che esiste almeno un intervallo Ii con ampiezza minore di [a, c] e pertantotale intervallo non puo contenere contemporaneamente a e c. Quindi c ≡ a.

(b) ⇒ (c). Sia (an) una successione di Cauchy, t.c. ∀ i ∈ N ∃ni : ∀m,n > ni risulta|am − an| < 1

i. Considero la successione di intervalli chiusi inscatolati I1 = [a1 − 1, a1 + 1],

I2 = [an1− 12 , an1 + 1

2 ], . . . In = [ann−1− 1n, ann−1 + 1

n]. Ora limn→∞(ann−1 + 1

n−(ann−1− 1

n)) =

limn→∞2n

= 0 perche K e archimedeo ed essendo K Cantor-completo esiste un unicoK 3 a = ⋂

i Ii. Per ogni i, tutti i termini di (an) che hanno indice maggiore di ni ap-partengono a [ai − 1

i, ai + 1

i]. Poiche K e archimedeo (e quindi denso)1, dato ε

2 > 0 esistei t.c. 1

i< ε

2 ; allora preso nε = ni per ogni m > ni risulta |am − a| < 2i< ε. Pertanto

limn→∞ an = a ossia K e Cauchy-completo.

(c) ⇒ (a). Sia X ⊂ K limitato, mostriamo che ammette Sup. X ha almeno un mag-giorante a; se a − 1 non e maggiorante di X2 allora costruisco la seguente successione,ponendo a− 1 = a0:

an ={an−1 + 1

2n se an−1 + 12n ∈ X

an−1 se an−1 + 12n /∈ X

Ho potuto costruire tale successione, che e di Cauchy, perche K e archimedeo; osserviamoche an ∈ X ∀n ∈ N. Sia c il suo limite, si ha |an − c| < 1

2n . Allora c e un maggiorante diX, infatti se esistesse x ∈ X t.c. x > c allora x− c > 1

2n per qualche n, in contraddizionecon la definizione di (an). Inoltre c e proprio il minimo dei maggioranti, poiche se c fosse

1vale infatti che ogni campo archimedeo e denso in se stesso. Non ne daremo qui una dimostrazione.2se invece lo e, considero a− 2, etc. . .


un maggiorante t.c. c < c, allora c > ai ∀ i ∈ N, ma questo e assurdo. Percio c = SupX equindi K e completo.

Teorema 33. Ogni campo ordinato archimedeo K e completabile, cioe esiste un campo Kcompleto che contiene K.

Un esempio di costruzione del completamento di un campo ordinato archimedeo sonoi metodi di Dedekind e Cantor per costruire Q = R.

Dimostrazione. K sara l’insieme di tutte le semirette sinistre aperte di K.Mostriamo che in tale insieme si possono definire delle operazioni e un ordine che lo rendonoun campo completo. Notiamo che ogni elemento a di K determina una semiretta apertaSa = {x ∈ K : x < a}. Vedremo poi che la funzione

ψ : K→ K

ψ(a) = Sa

e l’immersione di K in K.Cominciamo col dare un ordine: poniamo

S ≤ T ⇐⇒ S ⊂ T ∀S, T ∈ K.

Vediamo che l’ordine definito e tale che ogni sottoinsieme X superiormente limitato di Kha un estremo superiore, cioe che K e completo. Sia X = (Si)i∈I un insieme di semirettesuperiormente limitato, cioe tale che esiste una semiretta T ∈ K con Si ⊆ T ∀i ∈ I. Segueche ⋃i Si ⊆ T . Poiche questo vale per ogni semiretta maggiorante, ⋃i Si sara l’estremosuperiore. Vediamo che e una semiretta (definizione 14):i) ⋃i Si 6= ∅ poiche Si 6= ∅ ∀i ∈ I e ⋃i Si 6= K poiche ⋃i Si ⊆ T per qualche T ;ii) se x ∈ ⋃i Si allora x ∈ Si ∃i ∈ I e se y < x allora y ∈ Si e quindi y ∈ ⋃i Si.Inoltre ⋃i Si e aperta, cioe non ha massimo; infatti se x ∈ ⋃

i Si allora x ∈ Si ∃i ∈ I esiccome Si e aperta per ipotesi ∃y ∈ Si t.c. x < y quindi y ∈ ⋃i Si e x non puo essere ilmassimo.Introduciamo ora le operazioni che rendono K campo.

• Somma: per ogni S, T ∈ K, S + T = {x+ y : x ∈ S, y ∈ T}.E immediato verificare che tale somma gode delle proprieta commutativa e associa-tiva, valendo esse in K. L’elemento neutro si dimostra essere 0 = {x : x < 0} e sidefinisce l’opposto (−S) = {x : x < −y per qualche y non appartenente a S}3.

3Si dimostra facilmente che −S e effettivamente una semiretta e che S + (−S) = 0.

37

• Prodotto: per ogni S, T ∈ K, S, T ≥ 0, poniamoS · T = {x · y : x ∈ S, y ∈ T, x, y > 0} ∪ 0 ∪ {0}. In generale

S · T =

come sopra se S, T ≥ 0−(S · (−T )) se S ≥ 0, T ≤ 0−((−S) · T )) se S ≤ 0, T ≥ 0−((−S) · (−T )) se S ≤ 0, T ≤ 0

In ogni caso S · T e una semiretta aperta. Il prodotto cosı definito gode delle propri-eta associativa e commutativa, poiche ne gode il prodotto su K. Definiamo l’elementoneutro 1 = {x : x < 1} e l’inverso S−1 = {x : x < y−1 per qualche y non appartenente a S}4.

Si puo provare che tali operazioni rispettano la proprieta distributiva e che conservanol’ordine. Con cio abbiamo costruito un campo ordinato completo K.Resta da vedere che K si immerge in K.Vediamo che la funzione ψ definita sopra e un omomorfismo iniettivo che conserva l’ordine.

• omomorfismo: Per essere un omomorfismo deve conservare le operazioni, cioe- ψ(a+ b) = ψ(a) + ψ(b)- ψ(ab) = ψ(a)ψ(b)- ψ(a) = ψ(−a).Dimostriamo la prima, ovvero che Sa + Sb = Sa+b, esaminando le due inclusioni:

– ⊆: se si prendono due elementi rispettivamente di Sa e Sb, la loro somma eminore di a+ b percio sta in Sa+b;

– ⊇: sia c ∈ Sa+b, allora c < a+ b e c− b < a e, per la densita di K, esiste x ∈ Kt.c. c − b < x < a. Da c − b < x segue che c − x < b e quindi c − x ∈ Sb e dax < a segue x ∈ Sa. Quindi c = (c− x) + x e pertanto c ∈ Sa + Sb.

Analogamente si dimostrano le altre relazioni.

• iniettiva: Se a 6= b allora, poiche l’ordine su K e totale, vale a < b o b < a. Sea < b allora b /∈ Sa , /∈ Sb e a ∈ Sb , /∈ Sa percio Sa 6= Sb. Analogo se b < a. Dunqueψ(a) 6= ψ(b).

• conserva l’ordine: Se a < b allora a e tutti gli elementi minori di a stanno in Sb, cioeSa ⊂ Sb che significa Sa < Sb e ψ(a) < ψ(b).

4Si dimostra facilmente che S−1 e effettivamente una semiretta e che S · S−1 = 1.


Ora vediamo l’unicita del campo ordinato completo:

Teorema 34. Tutti i campi ordinati completi sono isomorfi, quindi son isomorfi al com-pletamento di Q.

Dimostrazione. Sia K campo ordinato completo, esiste un omomorfismo iniettivo (immer-sione):

i : Q→ K

tale che per ogni mn∈ Q si ha i

(mn

)= m1K

n1K.

D’altra parte Q e contenuto nel suo completamento Q = R, cioe Q ↪→ Q.Vogliamo dimostrare che esiste un isomorfismo

ϕ : Q→ K.

Sia S ∈ Q, S una semiretta aperta di Q e

i(S) = {i(q) : q ∈ S} .

Per ogni S ∈ Q definiamo:ϕ : Q→ K

cosı:ϕ(S) = Sup i(S)

e vediamo che ϕ e un isomorfismo, cioe che conserva le operazioni e l’ordine e che e iniettivae suriettiva.

a) ϕ conserva le operazioni: dobbiamo provare che

ϕ(S + T ) = ϕ(S) + ϕ(T )

cioeSup i(S + T ) = Sup i(S) + Sup i(T ).

Vediamo cheSup i(S + T ) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ).

Sia x ∈ i(S+T ), allora ∃s ∈ S, t ∈ T tali che x = i(s+ t) e dato che i e omomorfismosi ha

i(s+ t) = i(s) + i(t)

inoltrei(s) ≤ Sup i(S)

39

i(t) ≤ Sup i(T )

quindii(s+ t) ≤ Sup i(S) + Sup i(T )

e per l’arbitrarieta di x

Sup i(S + T ) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ).

Ora proviamo cheSup i(S) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ).

Sia x ∈ (i(S) + i(T )), allora ∃s ∈ S, t ∈ T tali che x = i(s) + i(t), dato che i eomomorfismo si ha

i(s) + i(t) = i(s+ t)

inoltre ∀s ∈ S e ∀t ∈ Ti(s+ t) ≤ Sup i(S + T )

cioei(s) + i(t) = i(s+ t) ≤ Sup i(S + T )

i(t) ≤ Sup i(S + T )− i(s)

e dato che Sup i(T ) e il piu piccolo dei maggioranti di i(t) otteniamo:

Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T )− i(s)

i(s) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ).

Facendo variare s ∈ S abbiamo

Sup i(S) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ).

Analogamente per il prodotto.

b) ϕ conserva l’ordine: se S ⊆ T allora i(S) ⊆ i(T ) quindi

Sup i(S) ≤ Sup i(T ).

c) ϕ e iniettiva: dobbiamo provare che da Sup i(S) = Sup i(T ) segue i(S) = i(T ). Evero perche se gli estremi superiori di due semirette sono uguali lo sono anche lesemirette.

d) ϕ e suriettiva: preso un x ∈ K dobbiamo dimostrare che x e l’estremo superiore


dell’immagine di una semiretta S secondo i; cioe che x = Sup i(S). Prendo

S = {q : q ∈ Q, i(q) < x}

ovviamente Sup i(S) ≤ x.Non puo essere Sup i(S) < x perche Q e denso in K e quindi ci sarebbe un elementotra Sup i(S) e x che e in contraddizione con la definizione di estremo superiore, quindiSup i(s) = x.

Conclusioni

Quest’ultimo teorema ci garantisce che possiamo parlare de il campo ordinato comple-to, per questo motivo i numeri Reali vengono spesso presentati in modo assiomatico (vediG. De Marco, Analisi Uno) e le loro proprieta sono quelle deducibili da questi assiomi.Possiamo quindi vedere i Reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy suiRazionali o come sezioni di Dedekind, quello che ci assicura questo teorema e che le pro-prieta della somma, del prodotto o della relazione d’ordine rimangono sempre le stesse.Dobbiamo pero osservare che questo teorema afferma l’unicita, a meno di isomorfismi,del campo ordinato completo, ma non dice nulla riguardo all’esistenza e il senso dellecostruzioni veste e appunto mostrare che esiste almeno un campo ordinato completo.

La costruzione della struttura dei numeri reali sulla base dei numeri razionali costituiscela conclusione del processo dell’aritmetizzazione dell’analisi il quale mirava alla definizionedella struttura dei numeri reali attraverso operazioni insiemistiche sulla struttura deinumeri naturali.

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Bibliografia

[1] Boyer C. B. ’Storia della matematica’, Oscar studio mondadori.

[2] Dirk J. Struik ’Matematica: unn profili storico’, Universale Paperbacks il Mulino.

[3] Morris Kline ’Mathematical thought from Ancient to Modern Times (volume3), OxfordUniversity Press.

[4] Federigo Enriques ’Questioni riguardanti le matematiche elementari - Parte prima’,Zanichelli, 1982.

[5] J. W. Dedekind ’Scritti sui fondamenti della matematica’ Bibliopolis, 1982.

[6] Alberto Zanardo ’Costruzione della struttura dei numeri Reali’, 2010.

[7] Informazioni ricavate in rete.

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Universit`a degli studi di Padova a.a. 2012/2013 · 2012-12-22 · di Halle, George Cantor...

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