UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA FACOLTÀ DI ... gestione tecnico... · premi, affinché...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA

FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE

Corso di laurea in Scienze Statistiche ed Economiche

Corso in

ECONOMIA DELLE ASSICURAZIONI

ProfessoressaProfessoressaChiara Chiara ParriniParrini

[email protected]

LL’’art. 1882 del Codice Civile definisce il art. 1882 del Codice Civile definisce il contratto di contratto di assicurazioneassicurazione come come ““il contratto con il quale lil contratto con il quale l’’assicuratore, assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere ll’’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umanarendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana””..

Considerazioni generali sulle imprese di assicurazione (1/2)

Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita

Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita

- Breve durata contrattuale(in genere un anno)

- Medio/lunga durata contrattuale(ad esempio alcune fanno riferimento all’intera

durata residua della vita umana)

- Le prestazioni sono prevalentemente a carattere risarcitorio

- Le prestazioni sono importi prefissati(o comunque determinabili in modo prefissato)

- Ripetibilità dell’evento dannoso - Non ripetibilità dell’evento

Considerazioni generali sulle imprese di assicurazione (2/2)

Le assicurazioni contro i danni (1/2)CLASSIFICAZIONE

Con riferimento alle coperture che prevedono una prestazione avente carattere di risarcimento

assicurazioni di danni assicurazioni di danni a beni di proprieta beni di proprietàà

(ad esempio rischio credito, furto, incendio e trasporti )

assicurazioni di assicurazioni di responsabilitresponsabilitàà civilecivile(ad esempio l’assicurazione

di responsabilità civile autoveicoli)

Nelle assicurazioni contro i danni si collocano inoltre alcune coperture riguardanti i danni alla persona

Rischio Rischio infurtunioinfurtunio Rischio malattiaRischio malattia

Le assicurazioni contro i danni alla personapossono non avere carattere di risarcimentopossono non avere carattere di risarcimento e prevedere,

analogamente alle assicurazioni sulla vita, una prestazione di importo prefissato

in conseguenza di un infortunio o di una malattia.

Le assicurazioni contro i danni (2/2)CLASSIFICAZIONE

Rami Danni in Italia

(1) infortuni (compresi infortuni sul lavoro e malattie professionali);(2) malattia;(3) corpi di veicoli terrestri (esclusi quelli ferroviari);(4) corpi di veicoli ferroviari;(5) corpi di veicoli aerei;(6) corpi di veicoli marittimi, lacustri e fluviali;(7) merci trasportate (compresi merci, bagagli ed ogni altro bene);(8) incendio ed elementi naturali (in particolare, i danni causati da un incendio, da un’esplosione e da una tempesta);(9) altri danni ai beni (in particolare, i danni causati dalla grandine, dal gelo e dal furto);(10) responsabilità civile autoveicoli terrestri;(11) responsabilità civile aeromobili;(12) responsabilità civile veicoli marittimi, lacustri e fluviali;(13) responsabilità civile generale;(14) credito (compresi credito all’esportazione, vendite a rate, credito agricolo e perdite patrimoniali derivanti da insolvenze);(15) cauzione (diretta o indiretta);(16) perdite pecuniarie di vario genere (in particolare, i rischi relativi all’occupazione e la perdita di fitti o di redditi);(17) tutela giudiziaria;(18) assistenza.

(decreto legislativo 17 marzo 1995, n. 175)

Le assicurazioni sulla durata vita

• Contratto mediante il quale l’assicurato versa, anticipatamente, uno o piùpremi, affinché la Compagnia di Assicurazione si impegni a pagare uno o più capitali, al verificarsi di eventi legati alla sopravvivenza o alla premorienza di un individuo o gruppo di individui.

• Nella polizza si individuano:– Assicuratore: impresa (autorizzata) che si impegna ad erogare il

capitale assicurato al verificarsi dell’evento/i considerati,– Contraente: soggetto che stipula il contratto e paga il premio,– Assicurato/i: testa/e a cui si riferiscono gli eventi assicurati,– Beneficiario: soggetto a cui verranno pagate le somme assicurate.

Le assicurazioni sulla durata vitaCLASSIFICAZIONE DEI CONTRATTI

Una prima classificazione di base è prevista dal decreto legislativo 174 del 1995 il quale classifica i contratti in 6 rami:

• I - Le assicurazioni sulla durata della vita umana.

• II - Le assicurazioni di nuzialità, le assicurazioni di natalità.

• III - Le assicurazioni di cui ai punti I e II connesse con fondi di investimento.

• IV - L'assicurazione malattia di cui all'art. 1, numero 1, lettera d), della direttiva CEE n. 79/267 del 5 marzo 1979.

• V - Le operazioni di capitalizzazione di cui all'art. 40 del presente decreto.

• VI - Le operazioni di gestione di fondi collettivi costituiti per l'erogazione di prestazioni in caso di morte, in caso di vita o in caso di cessazione o riduzione dell'attività lavorativa.

Le assicurazioni sulla durata vitaI TIPI DI POLIZZA

• Polizze TRADIZIONALI:Prestazioni e premi monetariamente predeterminati (livelli costanti o variabili in modo prefissato) alla stipulazione del contratto.

• Polizze FLESSIBILI:non c’è predeterminazione monetaria degli importi assicurati, si fissano delle regole di determinazione degli stessi.

Le assicurazioni sulla durata vitaLE POLIZZE TRADIZIONALI

• Assicurazione di capitale in caso di vita:• Capitale differito

• Rendite in caso di vita:• Rendita vitalizia:

– Anticipata/posticipata– Temporanea– Differita– Frazionata– Con rate in progressione aritmetica

• Assicurazioni di capitale in caso di morte:• Assicurazione a vita intera• Assicurazione temporanea e differita• Assicurazione di annualità

• Assicurazioni miste:• Mista semplice• Mista doppia• Mista a capitale raddoppiato• Semi-mista

Le assicurazioni sulla durata vitaLE POLIZZE FLESSIBILI (1/3)

• Connessione ad indicatori economico-finanziari “interni” o “esterni”alla Compagnia:

• Rendimento delle investimenti collegati alle riserve matematiche,

• Inflazione,• Indici di borsa.

• Opportunità fornita al contraente di variare le condizioni contrattuali:• Livello dei premi,• Sospensione del pagamento dei premi,• Eventuali prelevamenti di quote della riserva matematica.

Tipi di flessibilità nelle prestazioni


MOTIVAZIONI

• Inflazione• Rendimento investimenti/tasso tecnico• Partecipazione degli assicurati all’utile della Compagnia• Concorrenza sul mercato finanziario

Assicurazioni indicizzate:

Assicurazionirivalutabili:

ALCUNI ESEMPI

Garantisce la protezione totale del potere d’acquisto

delle somme assicurate

Viene retrocesso agli assicurati parte dell’utile finanziario

della Compagnia dietro adeguamento del premio


• Forme assicurative caratterizzate da una diretta dipendenza dalle prestazioni al valore di un fondo o di un indice azionario o altro valore di riferimento.

UNIT e INDEX LINKED

POLIZZA UNIT-LINKED

POLIZZAINDEX-LINKED

Condizioni Contrattuali di Copertura (1/4)

V: massimo danno possibilemassimo danno possibile, distribuzione totale del bene.

V°: valore del bene all’epoca di stipulazione del contratto.

Assicurazioni di danni a beni di proprietà

V V°>=<

L: massimo danno massimo danno probabile (probabile (““maximummaximum probableprobable lossloss””))estremo superiore degli importi ai quali viene soggettivamente

attribuita una probabilità positiva di verificarsi.

L ≤ V

Le assicurazioni contro i danni

Assicurazioni di danni a beni di proprietà

Copertura totaleCopertura totale Copertura parzialeCopertura parzialel’assicurato decide di assicurare il

bene per l’intero valore, V°l’assicurato decide di assicurare il bene per un valore, V', inferiore

all’intero valore

Sottoassicurazione

la scelta è fatta dall’assicurato in base allo stato di informazione a sua disposizione

all’epoca di stipulazione del contratto

ad esempio il massimo

danno probabile

Le assicurazioni contro i danniCondizioni Contrattuali di Copertura (2/4)

Assicurazioni di responsabilità civile

1) assicurazione a garanzia illimitata

2) assicurazione con massimale di garanzia

risarcimentorisarcimento del danno stabilito stabilito nei limiti di un importo, nei limiti di un importo, MM,

prefissato, denominato massimale di garanziamassimale di garanzia

Non essendo specificato un bene di riferimento, non risulta individuabile un valore in grado di rappresentare il massimo danno possibile……

risarcimentorisarcimento del danno senza alcuna limitazionesenza alcuna limitazione

Copertura totale Copertura totale del rischiodel rischio

Copertura parziale Copertura parziale del rischiodel rischio


Assicurazioni di responsabilità civile

L’introduzione del massimalemassimale didi garanziagaranzia(eventualmente posto eguale al massimo danno probabile) sisi prefiggeprefigge didi contenerecontenere, entro un limite ragionevole,ll’’esposizioneesposizione monetariamonetaria alal rischiorischio dell’assicuratore.

Obiettivo importante per il rapporto assicurativo,Obiettivo importante per il rapporto assicurativo,in assenza di un valore rappresentativo in assenza di un valore rappresentativo

del massimo danno possibile.del massimo danno possibile.


Clausole Contrattuali di CoperturaFRANCHIGIA (1/2)

Clausola frequentemente utilizzata sia nelle assicurazioni di danni a beni di proprietà che nelle assicurazioni di responsabilità civile

• Franchigia di valoreFranchigia di valoredi importo fdi importo f

i danni di importo non superiore a f non vengano risarciti, mentre i danni di importo superiore a f, vengano risarciti:

Parzialmente,Parzialmente,per l’eccedenza rispetto ad f,

FRANCHIGIA ASSOLUTAIntegralmente,Integralmente,

FRANCHIGIA RELATIVA


NellNell’’assicurazione di danni a beni di proprietassicurazione di danni a beni di proprietàà, risulta frequentefrequenteesprimere la franchigiafranchigia in percentuale del valore del bene assicuratopercentuale del valore del bene assicurato

(soprattutto nelle assicurazioni contro il rischio di incendio e nelle assicurazioni delle merci trasportate).

• Franchigia di valoreFranchigia di valore

• Franchigia temporaleFranchigia temporale

Una franchigiafranchigia di di duratadurata t (giorni)t (giorni) indica il fissato fissato numeronumero didi giornigiorni, a partire dalla data di accadimento del sinistro, durante i quali ladurante i quali la garanziagaranzia nonnon èè operanteoperante.

generalmente espressa in numero di giorni

(assicurazioni contro il rischio di incendio, assicurazioni dei danni indiretti da guasti alle macchine, assicurazioni sulla salute)

Clausole Contrattuali di CoperturaFRANCHIGIA (2/2)


Clausola utilizzata soprattutto nelle coperture contro il rischio di insolvenza dei crediti commerciali

Viene fissata unfissata un’’aliquotaaliquota ξξ (0 < (0 < ξξ < 1) del rischio< 1) del rischio(quindi del risarcimento relativo ad un sinistro)

posta a posta a caricocarico delldell’’assicuratoassicuratoOSSERVAZIONE:OSSERVAZIONE:

In unun’’assicurazione di danni a beni di proprietassicurazione di danni a beni di proprietàà, la clausola di scoperto corrispondecorrisponde formalmente ad una copertura assicurativa a valore parziale.copertura assicurativa a valore parziale.

In questo caso, peròperò, la situazione di sottoassicurazionesottoassicurazionederivaderiva da una decisionedecisione delldell’’assicuratoreassicuratore

e nonnon da una scelta delldell’’assicuratoassicurato

Le assicurazioni contro i danniClausole Contrattuali di Copertura

SCOPERTO

1.1. LL’’obiettivo obiettivo prioritarioprioritario èè ridurre il valore atteso dei risarcimentiridurre il valore atteso dei risarcimenti

2.2. La franchigia, eliminando i La franchigia, eliminando i piccoli sinistripiccoli sinistri ((““smallsmall claimsclaims””),),generalmente numerosigeneralmente numerosi, , èè in grado di realizzare una riduzione in grado di realizzare una riduzione delle spese di gestione connesse alla liquidazione dei sinistri delle spese di gestione connesse alla liquidazione dei sinistri

Sostanzialmente le clausole contrattuali producono una (talvolta rilevante)

diminuzionediminuzione del del prezzoprezzo della della coperturacopertura assicurativaassicurativa


OBIETTIVI

Le clausole contrattuali corresponsabilizzanocorresponsabilizzano l’assicuratoassicuratosollecitandolosollecitandolo ad adottareadottare tutte le precauzioniprecauzioni possibili

ai finiai fini della prevenzione dei sinistriprevenzione dei sinistri

rischio, per l’assicuratore, di un aumento della sinistrositàderivante da un imprudente comportamento dell’assicurato.

riduconoriducono il Fenomeno del “Moral Hazard”


EFFETTO PSICOLOGICO

Le assicurazioni contro i danniULTERIORI CLAUSOLE CONTRATTUALI

a) Periodo di carenza iniziale (“waiting period”)

Assicurazioni sulla salute:rischio infortunio e rischio malattia

b) Periodo di qualificazione (in genere breve: qualche settimana)(in genere breve: qualche settimana)

arco di tempoarco di tempo, susseguente la stipula del contratto,

che escludeesclude dalla copertura assicurativa le malattie che in esso si manifestanomalattie che in esso si manifestano

Contiene i costiContiene i costi e contrastacontrasta, almeno parzialmente,

gli effetti del fenomeno di “antiselezioneantiselezione”

arco di tempoarco di tempo, a partire dal verificarsi della malattia o

dall’insorgere dell’incapacità lavorativa, necessarionecessario affinchaffinchéé ll’’assicuratoassicurato sia

titolato a percepire il beneficiotitolato a percepire il beneficio

Tale periodo opera come opera come ““franchigia relativafranchigia relativa””..

Può essere incluso nel periodo di franchigia

(rendite o diarie)

LE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI

La base tecnica del rischio

Sinistri, danni e risarcimenti (1/2)

Nel periodo di copertura, in genere un anno, il contratto di assicurazione è colpito da un numero aleatorio, N, numero aleatorio, N, didi sinistrisinistri..

Ciascun sinistro determina un danno di importo aleatoriodi importo aleatorio.Sia ZZii il danno derivante dalldall’’ii--esimoesimo (i=1,2,…) sinistrosinistro

in ordine cronologico.

N:N: variabile aleatoria che rappresenta il numero di sinistri, le cui possibili determinazioni sono i numeri naturalile cui possibili determinazioni sono i numeri naturali

ZZii:: variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo allrelativo all’’ii--esimo sinistroesimo sinistro, le cui possibili determinazioni sono i numeri realile cui possibili determinazioni sono i numeri reali

Sinistri, danni e risarcimenti (2/2)

In corrispondenza del danno Zi l’assicuratore effettua, a beneficio dell’assicurato,

il pagamento dellpagamento dell’’importo aleatorioimporto aleatorio YYii , denominato risarcimento.

• Relazione tra il Danno ed il Risarcimento

)( ii ZY ϕ=

Funzione di risarcimento:Funzione di risarcimento:rappresentativa delle condizioni contrattuali di copertura

(ovviamente 0 ≤ Yi ≤ Zi )

Funzione di risarcimento (1/6)ESEMPIO (1/6)

copertura a valore intero, nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà

copertura a garanzia illimitata, nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile

ZY =

Funzione di risarcimento rappresentativarappresentativa di una coperturacoperturache garantisce il risarcimentorisarcimento delldell’’intero importointero importo

del dannodel danno determinato da un sinistro


copertura a primo rischio assoluto, nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà

copertura con massimale di garanzia, nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile

Funzione di risarcimento rappresentativarappresentativa di una coperturacoperturache garantisce il risarcimentorisarcimento del danno

nei limiti di un importo prefissato Mnei limiti di un importo prefissato M

⎩⎨⎧

>≤

=MZseMMZseZ

Yo,

equivalente mente ,)M,Z(minY =


Funzione di risarcimento rappresentativa, rappresentativa, sia nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà

sia nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con franchigia assoluta (di importo f).

o, anche

⎩⎨⎧

>−≤

=fZsefZfZse0

Y

,)fZ,0(maxY −=



sia nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con franchigia relativa (di importo f).

⎩⎨⎧

>≤

=fZseZfZse0

Y


copertura a primo rischio assoluto con franchigia assoluta, nel caso di un’assicurazione di danni a beni di proprietà

copertura con massimale di garanzia e franchigia assoluta, nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile.

Funzione di risarcimento rappresentativarappresentativa di una coperturacopertura che, in in presenza di presenza di una franchigia assoluta franchigia assoluta (di importo ff),,garantisce garantisce il risarcimento risarcimento del danno nei limiti nei limiti

di un importo prefissato Mdi un importo prefissato M

o,⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤<−

≤=

MZsefMMZfsefZ

fZse0Y ,]fM,)fZ,0(max[minY −−=



sia nel caso di un’assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con scoperto (di aliquota ξ).

,Z)1(Y ξ−=

con 0 < ξ < 1

Il risarcimento globale

⎩⎨⎧

≥+⋅⋅⋅++=

=1NseYYY0Nse0

XN21

o, anche,

,YXN

0ii∑

== dove Y0 è l’importo certo nullo.

X:X: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento globale, le cui possibili determinazioni sono i numeri reali non negativile cui possibili determinazioni sono i numeri reali non negativi..

NOTANOTA:: Si evidenzia che è trascuratatrascurata la componente finanziaria relativa alla diversa collocazione temporale dei sinistri e dei conseguenti risarcimenti

posti a carico dell’assicuratore. Ciò si giustifica con l’usuale brevitbrevitàà del periodo di coperturadel periodo di copertura.

La Base Tecnica del Rischio (1/7)IPOTESI (1/3)

Si consideri un portafoglio di contrattiportafoglio di contratti di assicurazione riferitiriferiti ad un medesimo tipo di rischiomedesimo tipo di rischio

IPOTESIIPOTESI:1. I contratti siano tutti contemporaneamente stipulati

2. I contratti siano contraddistinti da un eguale periodo di copertura

3. Il portafoglio sia composto da rischi analoghirischi analoghi, con riferimento:

1)1) alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, allall’’epoca di stipulazione del contratto, da parte dellepoca di stipulazione del contratto, da parte dell’’assicuratore;assicuratore;

2)2) alle condizioni contrattuali di coperturaalle condizioni contrattuali di copertura3)3) ai valori monetari di esposizione al rischioai valori monetari di esposizione al rischio

(ad esempio i valori dei beni assicurati o i massimali di garanz(ad esempio i valori dei beni assicurati o i massimali di garanzia) ia)


In tali ipotesi i rischirischi del portafoglio sono tra loro :

-qualitativamente e quantitativamente omogenei rispetto ai suddetti rispetto ai suddetti elementielementi ;

--eterogeneieterogenei rispettorispetto ad eventuali caratteristiche noncaratteristiche non adeguatamente valutabili allvalutabili all’’epoca di stipulazione del contrattoepoca di stipulazione del contratto

(ad esempio, nell’assicurazione di responsabilità civile autoveicoli: il comportamento alla guida, la conoscenza del codice, i chilometri annui percorsi,…..)


Si scelga a caso un rischio nel portafoglio e sia

,YXN

0ii∑

==

il risarcimento globale a carico dell'assicuratore, con Yi = φ(Zi).

ULTERIORI IPOTESIIPOTESI (semplificatrici della realt(semplificatrici della realtàà))::

1. il numero di sinistri, N, e il danno Zi (e quindi, il risarcimento (e quindi, il risarcimento YYii) ) relativo all’i-esimo (i=0,1,(i=0,1,……; Z; Z00≡≡0)0) sinistro, in ordine cronologico, siano tra loro indipendenti;

2. per ogni determinazione k (k (k ≠≠ 0)0) della v.a. N, i danni Z1, Z2, …, Zk(e quindi, i risarcimenti Y(e quindi, i risarcimenti Y11,Y,Y22,,……,,YYkk)) siano tra loro indipendenti ed identicamente distribuiti

Indicato con:- FZ (rispettivamente, FY) la funzione di ripartizione del danno Z

(rispettivamente, del risarcimento Y) - FN la funzione di ripartizione del numero di sinistri N

funzione di ripartizione del risarcimento globalefunzione di ripartizione del risarcimento globale

per ogni x ≥ 0∑+∞

=

=0

* ,)()(k

kYkX xFpxF

ppkk = Pr{N = k}= Pr{N = k}⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤= ∑=

k

ii

kY xYxF

0

* Pr)(

La Base Tecnica del Rischio (4/7)FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEL

RISARCIMENTO GLOBALE

La Base Tecnica del Rischio (5/7)CONVOLUZIONE

•• ConvoluzioneConvoluzione kk--esima di Fesima di FYY

con FY0* = 1 per ogni x ≥ 0,Pr)(

0

*

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤= ∑=

k

ii

kY xYxF

è la funzione di ripartizionefunzione di ripartizione delladella somma di k importi aleatori somma di k importi aleatori non negativi, indipendenti e identicamente distribuiti non negativi, indipendenti e identicamente distribuiti

La Base Tecnica del Rischio (6/7)

Le distribuzioni di probabilitdistribuzioni di probabilitàà del numero di sinistri Ndel numero di sinistri Ne del danno Zdel danno Z costituiscono la base tecnica del rischio.

La BaseBase TecnicaTecnica deldel RischioRischioè la distribuzione di probabilitdistribuzione di probabilitàà del risarcimento globale Xdel risarcimento globale X

La Base Tecnica del Rischio (7/7)FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEL RISARCIMENTO

In forza della relazione esistente tra danno e risarcimento, la funzione di ripartizione Ffunzione di ripartizione FYY (quindi, la (quindi, la FFYY

k*k* per k per k ≥≥ 1) 1) è costruita a partire:

dalla funzione di risarcimento, φ

dalla funzione di ripartizione del danno, FZ

LE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI

I modelli probabilistici per le variabili aleatorie

La distribuzione di probabilitàdel numero di sinistri

N:N: variabile aleatoria che rappresenta il numero di sinistri, le cui possibili determinazioni sono i numeri naturalile cui possibili determinazioni sono i numeri naturali

Individuare i modelli probabilisticimodelli probabilistici più adeguatiadeguati per descrivere la distribuzione di probabilità

del numero di sinistri NN

NN èè rappresentata da una distribuzione di probabilitrappresentata da una distribuzione di probabilitàà discretadiscreta

{{k, k, ppkk ; k = 0,1,2,; k = 0,1,2,……}}

possibili determinazionipossibili determinazioni probabilitprobabilitàà

La distribuzione del numero di sinistriMODELLI PROBABILISTICI

(1) distribuzione di Poisson;

(2) distribuzione di Poisson doppia;

(3) distribuzione mistura finita di Poisson;

(4) distribuzione binomiale negativa;

(5) distribuzione mistura di Poisson:a)a) modello modello PoissonPoisson--gammagammab) modello b) modello PoissonPoisson--gaussianagaussiana inversainversa

Modelli piModelli piùù frequentemente adottatifrequentemente adottati


• Distribuzione di Distribuzione di PoissonPoisson di parametro positivo di parametro positivo λλ

!kep

k

kλλ−= Propensione al sinistro:Propensione al sinistro:

numero atteso di sinistri che colpiscono il rischio nel

periodo di copertura

PROPRIETPROPRIETÀÀ delladella distribuzione di distribuzione di PoissonPoisson

la distribuzione di la distribuzione di PoissonPoisson soddisfa la soddisfa la formula ricorrenteformula ricorrente

,...,2,1,1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= − kp

kp kk

λcon p0 = e-λ


INCONVENIENTEINCONVENIENTE delladella distribuzione di distribuzione di PoissonPoisson

E(N) = var(N) = E(N) = var(N) = λλ

Mentre le usuali evidenze empiricheevidenze empiriche mostrano varianza varianza pipiùù elevata del valor medio elevata del valor medio

DISTRIBUZIONE DI POISSON DOPPIADISTRIBUZIONE DI POISSON DOPPIA


• Distribuzione di Distribuzione di PoissonPoisson doppia doppia di parametri positivi di parametri positivi εε, , λλ11 e e λλ2 2 , con 0 < , con 0 < εε < 1< 1

.!k

e)1(!k

epk2

k1

k21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λε−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λε= λ−λ−

PROPRIETPROPRIETÀÀ:: Valore atteso e VarianzaValore atteso e Varianza

E(N) = ε λ1 + (1-ε) λ2

var(N) = ε λ1 + (1-ε) λ2 + εε (1(1--εε) () (λλ11 + + λλ22))22

E(N)Componente positiva Componente positiva

che fa risultare la varianza che fa risultare la varianza superiore alla mediasuperiore alla media

Combinazione lineare di 2 variabili di Combinazione lineare di 2 variabili di PoissonPoisson


La distribuzione di PoissonPoisson doppiadoppia è adatta a rappresentare il numero di sinistri nell’ipotesi che il portafoglio sia costituito

da rischi caratterizzati da 2 diverse propensione al sinistrorischi caratterizzati da 2 diverse propensione al sinistro

ESEMPIOESEMPIOPortafoglio costituito: - da una percentuale ε di rischi “buoni”

(vale a dire, con propensione al sinistro λ1) - da una percentuale 1-ε di rischi “cattivi”

(con propensione al sinistro λ2, essendo λ2 > λ1).Dove la differenza tra i primi ed i secondi è dovuta ad alcune caratteristiche del

rischio non adeguatamente valutabili all’epoca di stipulazione dei contratti.


• Distribuzione mistura finita di Distribuzione mistura finita di PoissonPoissondi parametri positivi di parametri positivi εεjj e e λλjj (j=1,2,(j=1,2,……,m), con ,m), con .1j j =ε∑

Generalizziamo il ragionamento precedente considerando una ““misturamistura””di m distribuzioni m distribuzioni poissonianepoissoniane, con mm numero intero non inferiore a due

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

!...

!1

11

ke

kep

km

m

k

km

λελε λλ

∑=

λε=m

1jjj)N(E .)Nvar(

2m

1jj

m

1jj

m

1jjj ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+λε= ∑∏∑

===

MEDIA E VARIANZAMEDIA E VARIANZA

;

Componente aggiuntivaComponente aggiuntiva


PROPRIETPROPRIETÀÀ delladella distribuzione di distribuzione di PoissonPoisson

la distribuzione la distribuzione Binomiale NegativaBinomiale Negativa soddisfa la soddisfa la formula ricorrenteformula ricorrente

con p0 = qr

• Distribuzione Binomiale Negativa Distribuzione Binomiale Negativa di parametri positivi r e q, con 0 < q < 1 di parametri positivi r e q, con 0 < q < 1

,)q1(qk

1krp kr

k −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

,!k)r(

k1kr k=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+dove dove èè con (r)con (r)kk = r(r+1)= r(r+1)……(r+k(r+k--1) e, in particolare, (r)1) e, in particolare, (r)00 = 1= 1

,...,2,1k,pk

)1kr)(q1(p 1kk =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

= −



• Distribuzione Binomiale Negativa Distribuzione Binomiale Negativa

,q

)q1(r)N(E −= .

q)q1(r)Nvar( 2

−=

(Ricordiamo che 0 < q < 1)(Ricordiamo che 0 < q < 1)

var(N) > E(N)var(N) > E(N)


• Distribuzione mistura di Distribuzione mistura di PoissonPoisson di parametro di parametro aleatorioaleatorio positivo positivo ΛΛ

,)(dF)(pp0

kk ∫∞+

Λ λλ=

{ } ,!k

e|kNPr)(pk

kλ

=λ=Λ==λ λ−Funzione peso (della mistura)Funzione peso (della mistura)

funzione di ripartizione Ffunzione di ripartizione FΛΛdel parametro del parametro ΛΛ, con F, con FΛΛ(0) = 0(0) = 0

Λ : variabilevariabile aleatoriaaleatoria che rappresenta la diversa propensione dei rischidiversa propensione dei rischipresenti nel portafoglio assicurativo

FFΛΛ si prefiggesi prefigge di descrivere ldescrivere l’’eterogeneiteterogeneitàà dei rischi del portafoglio attribuibile ad alcune caratteristiche non adeguatamente valutabili

all’epoca di stipulazione del contratto


OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE: rappresenta l’estensioneestensione, al caso al caso continuocontinuo, della della misturamistura finitafinita di di PoissonPoisson.

• Distribuzione mistura di Distribuzione mistura di PoissonPoisson


E(N) = E[E(N|E(N) = E[E(N|ΛΛ)] = E()] = E(ΛΛ) ) var(N) = E(var(N) = E(ΛΛ) + var() + var(ΛΛ) )

e la differenza e la differenza èè data da var(data da var(ΛΛ), ), aspetto aspetto positivopositivo per ilper il modellomodello



Scelta delle Funzione Peso: Scelta delle Funzione Peso:

MODELLOMODELLO POISSONPOISSON--GAMMAGAMMA


Se il parametro Λ è rappresentato da una distribuzione gammadi parametri positivi α e β, con densità (per λ > 0):

,e)(

)(f 1 λβ−−αα

Λ λαΓ

β=λ

∫+∞

−−=Γ0

1)( dxexu xu

Funzione gammaFunzione gamma

integrale finito per u > 0


MODELLO POISSONMODELLO POISSON--GAMMAGAMMA

.1

11k

1k

de!k)(

p

k0

)1(1kk

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+β

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ββ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+α=

λλαΓβ

=

α

∞+λ+β−−+α

α

∫

equivale ad assumereequivale ad assumere che il numero di sinistri, NN, abbia distribuzione binomiale negativa

di parametri r e q, con r = α e q = 1+β

β


MODELLO POISSONMODELLO POISSON--GAMMAGAMMA

OSSERVAZIONE Differenza tra il Modello Poisson-gamma e la distribuzione

Binomiale Negativa:nel modello PoissonPoisson--gammagamma il numero dei sinistrinumero dei sinistri (aleatorio) è

rappresentatorappresentato da un parametro aleatorioparametro aleatorio in grado di dare maggioremaggiore flessibilitflessibilitàà

(possibilit(possibilitàà di scelta dei parametri della funzione peso)di scelta dei parametri della funzione peso)


,)(βα

=NE .)1()var( 2ββα +

=N



MODELLOMODELLO POISSONPOISSON--GAUSSIANAGAUSSIANA INVERSAINVERSA


Se il parametro Λ è rappresentato da una distribuzione gaussiana inversa

di parametri positivi ν e ς, con densità (per λ > 0):

.e2

)(f 2)(

3

2

ζλν−λ

−

Λπζλ

ν=λ

MODELLO POISSONMODELLO POISSON--GAUSSIANA INVERSAGAUSSIANA INVERSA


,)21(2!j)!j1k(

)!j1k(!k

pp 2jkj1k

0j

k

0k

+−−

=ζ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

νζ

−−+−ν

= ∑

.)211(

0ζ

ζν +−

= epcon

per k=1,2,per k=1,2,……



• PROPRIETÀ

La distribuzione La distribuzione PoissonPoisson--gaussianagaussiana inversa inversa soddisfa (per k = 2,3,soddisfa (per k = 2,3,……) la formula ricorrente) la formula ricorrente

,p)1k(k)21(

p)1k)(21(

)3k2(p 2k

2

1kk −− −ς+ν

+−ς+

−ς=

ς+ν

=21

pp 01con




E(N) = ν var(N) = ν (1+ς) .


La distribuzione del numero di sinistriASIMMETRIE DELLE DISTRIBUZIONI

• Coefficiente di asimmetria

2/3

3

)][var(]))([()(

NNENEN −

=γ

Le distribuzionidistribuzioni del numero di numero di sinistrisinistri osservateosservate in pratica, seppur con differenze non

trascurabili tra i vari rami danni, sono tipicamente caratterizzate

da asimmetria positiva.

I modellimodelli presipresi inin considerazioneconsiderazioneper descrivere la distribuzione

del numero di sinistri presentano un coefficiente di asimmetriapositivopositivo per qualunque valoreper qualunque valore

possa essere assunto dai assunto dai parametriparametri del modello

La distribuzione del numero di sinistriASIMMETRIE A CONFRONTO

• Coefficienti di asimmetria a confronto

distribuzione di distribuzione di PoissonPoissonλ

=γ1)N(

distribuzione Binomiale negativadistribuzione Binomiale negativa)1(

2)(qr

qN−

−=γ

distribuzione distribuzione Mistura di Mistura di PoissonPoisson,)(231)N(

222

3 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

μμ−σψ

+μ−σσ

=γ

- con μ = E(N), σ = [var(N)]½ ; - mentre la costante reale ψ dipende dalla distribuzione del parametroΛ



distribuzione distribuzione Mistura di Mistura di PoissonPoisson,)(231)N(

222

3 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

μμ−σψ

+μ−σσ

=γ

con μ = E(N), σ = [var(N)]½

e

ψψ = 2= 2

MODELLO MODELLO POISSONPOISSON--GAMMA GAMMA

ψψ = 3= 3

MODELLO MODELLO POISSONPOISSON--GAUSSIANA INVERSAGAUSSIANA INVERSA


Il modello modello PoissonPoisson--gaussianagaussiana inversainversa presenta (a parità di valore atteso e di varianza) una maggiore asimmetriamaggiore asimmetria (positiva) rispetto al modello Poisson-gamma.

Il modello modello PoissonPoisson--gaussianagaussiana inversainversa realizza frequentemente un migliore adattamento ai dati osservati

La distribuzione di probabilitàdel danno

Individuare i modelli probabilisticimodelli probabilistici più adeguatiadeguati per descrivere la distribuzione di probabilità

del danno ZZ

IPOTESIIPOTESI: :

ZZ èè rappresentata da una rappresentata da una distribuzionedistribuzione di probabilitdi probabilitàà continuacontinua e e dotata di dotata di densitdensitàà ffZZ(x) (x) continuacontinua per ogni x > 0per ogni x > 0

ZZii:: variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo allrelativo all’’ii--esimo sinistroesimo sinistro, le cui possibili determinazioni sono i numeri realile cui possibili determinazioni sono i numeri reali

La distribuzione del dannoMODELLI PROBABILISTICI

(1)(1) distribuzione Esponenziale;

(2)(2) distribuzione di Weibull;

(3)(3) distribuzione Gamma;

(4)(4) distribuzione Lognormale;

(5)(5) distribuzione di Pareto:(6)(6) distribuzione mistura di Esponenziali

a)a) modello Esponenzialemodello Esponenziale--gammagamma


La distribuzione del danno

• DISTRIBUZIONE ESPONENZIALEDISTRIBUZIONE ESPONENZIALEdi parametro positivo di parametro positivo vv

Reciproco del danno attesoReciproco del danno attesorelativo a un sinistro che colpisce il contratto nel

periodo di copertura

vxZ evxf −=)(


vZE 1)( = 2

1)var(v

Z =


La distribuzione del dannoDISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

PROPRIETPROPRIETÀÀ delladella distribuzione Esponenzialedistribuzione Esponenziale

Proprietà di mancanza di memoria:

se ZZ ha distribuzione esponenziale esponenziale di

parametro v v

anche (Z (Z –– c) | Z > cc) | Z > c ha distribuzione esponenzialeesponenziale

di parametro vv

OSSERVAZIONE: La proprietproprietàà di mancanza di memoria risulta utileutile inin coperture assicurative caratterizzate dalla

presenzapresenza di una franchigia assolutafranchigia assoluta

La distribuzione del danno• DISTRIBUZIONE DI WEIBULLDISTRIBUZIONE DI WEIBULL

di parametri positivi di parametri positivi vv e e δδ

δδδ vxZ exvxf −−= 1)(

OSSOSS: Posto Posto δδ = 1 si ha la distribuzione esponenziale di = 1 si ha la distribuzione esponenziale di parametro vparametro v


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

δ

δ 111)(/1

vZE

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/1 11211)var(δδ

δ

vZ

La distribuzione del danno• DISTRIBUZIONE GAMMADISTRIBUZIONE GAMMA

di parametri positivi di parametri positivi αα e e vv

OSSOSS: Posto Posto αα = 1 si ha la distribuzione esponenziale di = 1 si ha la distribuzione esponenziale di parametro vparametro v


vxZ exvxf −−

Γ= 1

)()( α

α

α

vZE α

=)(

2)var(v

Z α=

La distribuzione del danno• DISTRIBUZIONE LOGNORMALEDISTRIBUZIONE LOGNORMALE

di parametri di parametri μμ e e σσ, con , con σσ > 0 > 0

2

2

2)(log

21)( σ

μ

σπ

−−

=x

Z ex

xf


2

2

)(σμ+

= eZE ( )( )12 22

)var( −+= σσμ eeZ

OSSERVAZIONE

In base al teorema centrale del limite, la distribuzione lognormale è adatta a rappresentare il danno

nell’ipotesiipotesi (poco realistica)(poco realistica) che esso sia generato da un numero sufficientemente grande di caratteristichecaratteristiche deldel rischiorischio::

-- indipendenti,indipendenti,

- identicamente distribuiteidenticamente distribuite

- operanti in senso moltiplicativo

La distribuzione del dannoLA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE

La distribuzione del danno• DISTRIBUZIONE DI PARETODISTRIBUZIONE DI PARETO

di parametri positivi di parametri positivi ηη e e θθ

1)()( ++

= η

η

θθηx

xfZ


1,1

)( >−

= ηη

θ seZE

2,)2()1(

)var( 2

2

>−−

= ηηη

ηθ seZ

La distribuzione del dannoLA DISTRIBUZIONE DI PARETO

PROPRIETPROPRIETÀÀ delladella distribuzione di distribuzione di ParetoPareto

se ZZ ha distribuzione didi ParetoPareto

di parametri ηη e e θθ

(Z (Z –– c) | Z > cc) | Z > c ha distribuzione didi ParetoParetodi parametri ηη e θθ + c+ c

OSSERVAZIONE: Ancora una volta (analogamente al caso della distribuzione Esponenziale),(analogamente al caso della distribuzione Esponenziale),

è evidente l’utilitutilitàà di tale proprietproprietàà inin coperture assicurative caratterizzate dalla presenzapresenza di una franchigia assolutafranchigia assoluta


Funzione peso (della mistura)Funzione peso (della mistura)funzione di ripartizione Ffunzione di ripartizione FVV

del parametro V, con Fdel parametro V, con FVV (0) = 0(0) = 0

• DISTRIBUZIONE MISTURA DISTRIBUZIONE MISTURA DI ESPONENZIALIDI ESPONENZIALI

di di parametroparametro aleatorioaleatorio positivo V positivo V

∫+∞

=0

| )()|()( vdFvxfxf VVZZ

vxVZ evvxf −=)|(|

La distribuzione del dannoMISTURA DI ESPONENZIALI (1/5)

V : variabilevariabile aleatoriaaleatoria che rappresenta il reciproco del danno attesoreciproco del danno attesorelativo a un sinistro che colpisce il contratto

nel periodo di copertura

FFVV (funzione peso) si prefiggesi prefigge di descrivere ldescrivere l’’eterogeneiteterogeneitààdei rischi del portafoglio relativarelativa allall’’importoimporto dei sinistri

ed attribuibile ad alcune caratteristiche del rischio non adeguatamente valutabili all’epoca

di stipulazione del contratto



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==V

EVZEEZE 1)]|([)(

2

2112)var( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

VEE

VEZ

Forte dipendenzadipendenza dalla scelta della distribuzionedistribuzioneche rappresenta la variabile aleatoria

relativa al parametro VV



Se il parametro V è rappresentato da una distribuzione gammadi parametri positivi α e β, con densità (per λ > 0):

,e)(

)(f 1 λβ−−αα

Λ λαΓ

β=λ

∫+∞

−−=Γ0

1)( dxexu xu

Funzione gammaFunzione gamma

integrale finito per u > 0

MODELLOMODELLOESPONENZIALEESPONENZIALE--GAMMAGAMMA


MODELLO ESPONENZIALEMODELLO ESPONENZIALE--GAMMAGAMMA

.)x(

dvev)(

)x(f

1

0

v)x(Z

+α

α

∞+β+−α

α

+βαβ

=

αΓβ

= ∫

equivale ad assumereequivale ad assumere che il danno abbia distribuzione di Pareto di parametri η e θ,

con η = α e θ = β


MODELLO ESPONENZIALEMODELLO ESPONENZIALE--GAMMAGAMMA


1,1

)( >−

= αα

β seZE

2,)2()1(

)var( 2

2

>−−

= ααα

αβ seZ

La distribuzione del dannoASIMMETRIE DELLE DISTRIBUZIONI

• Coefficiente di asimmetria

2/3

3

)][var(]))([()(

ZZEZEZ −

=γ

Le distribuzionidistribuzioni del dannodanno osservatoosservato ,

seppur con differenze non trascurabili tra i vari rami danni, sono tipicamente caratterizzate

da asimmetria positiva.

I modellimodelli presipresi inin considerazioneconsiderazioneper la distribuzione del danno,

(ad (ad eccezioneeccezione della distribuzione di della distribuzione di WeibullWeibull::coefficiente di asimmetria positivo solo coefficiente di asimmetria positivo solo

per valori di v inferiori a v* per valori di v inferiori a v* ≈≈ 3,63,6 ))presentano un coefficiente di

asimmetria positivopositivoper qualunque valoreper qualunque valore possa essere

assunto dai parametriassunto dai parametri

La distribuzione del dannoASIMMETRIE A CONFRONTO


γγ(Z) = 2 distribuzione Esponenziale (Z) = 2 distribuzione Esponenziale

distribuzione Gammadistribuzione Gamma

distribuzione distribuzione LognormaleLognormale

α=γ

2)Z(

1ee)Z(22 2 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=γ σ+σ

)3()1(22

)Z(−ηη

+η−η=γ distribuzione di distribuzione di ParetoParetose η>3,

)3()1(22

)Z(−αα

+α−α=γ se α >3,

modello Esponenzialemodello Esponenziale--gammagamma

La distribuzione del dannoCODA (DESTRA) DELLA DISTRIBUZIONE (1/3)

•• ProbabilitProbabilitàà relativa all’eventoevento {Z > x},{Z > x}, per ogni x > 0per ogni x > 0

)(1)( xFxF ZZ −=

DISTRIBUZIONIDISTRIBUZIONI

a CODA LEGGERA

((““light light tailtail””))a CODA PESANTE

((““heavyheavy tailtail””))(ad esempio quelle riguardanti (ad esempio quelle riguardanti

le coperture del ramo le coperture del ramo responsabilitresponsabilitàà civile aeromobili)civile aeromobili)

(ad esempio quelle riguardanti (ad esempio quelle riguardanti varie coperture varie coperture

per il rischio infortunio o malattia) per il rischio infortunio o malattia)

distribuzione Esponenziale distribuzione Esponenziale

distribuzione di distribuzione di WeibullWeibull

distribuzione di distribuzione di ParetoPareto


• Code delle distribuzioni:Code delle distribuzioni:vx

Z e)x(F −=

δ−= vxZ e)x(F

η

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+θθ

=x

)x(FZ

OSSERVAZIONE:OSSERVAZIONE:

In genere la distribuzione esponenziale In genere la distribuzione esponenziale èè adottata come adottata come ““benchmarkbenchmark””ai fini della classificazione delle distribuzioni del danno ai fini della classificazione delle distribuzioni del danno

in in distribuzioni con coda leggeradistribuzioni con coda leggera e e distribuzioni con coda pesante.distribuzioni con coda pesante.


0lim =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

−

+∞→ η

θθ

x

e vx

x

• Confronto tra distribuzioniConfronto tra distribuzionila distribuzione esponenzialeesponenziale ha

una codacoda menomeno pesantepesanterispetto alla distribuzione

di di ParetoPareto(la coda dell(la coda dell’’esponenziale tende esponenziale tende

pipiùù rapidamente a 0)rapidamente a 0)

La coda della distribuzione di coda della distribuzione di WeibullWeibull risulta: - compresa tra le altre due per 0 < δ < 1

- addirittura più leggera della coda della distribuzione esponenziale per δ > 1

La distribuzione distribuzione GammaGamma presenta una coda leggeracoda leggera

La distribuzione distribuzione LognormaleLognormale presenta una coda pesantecoda pesante

La distribuzione del dannoANALISI DEI GRANDI SINISTRI (1/3)

• Grandi Sinistri (“Large Claims”):sinistri caratterizzaticaratterizzati da un dannodanno ben ben pipiùù elevatoelevato

rispetto ai restanti sinistri osservatirispetto ai restanti sinistri osservati.

Carenza di dati statisticiCarenza di dati statistici Effetti negativiEffetti negativi(per l’assicuratore)

derivantiderivanti dada un’eventuale sottovalutazionesottovalutazione

Utilizzare una base statistica riferita ad un più ampio orizzonte temporale

• Reale praticabilitReale praticabilitàà

•• Soddisfazione nei risultatiSoddisfazione nei risultati


Risulta opportuno adottare MISURE PRUDENZIALI

In particolare adottare un modello probabilisticomodello probabilisticocaratterizzato da una coda sufficientemente pesantecoda sufficientemente pesante

La distribuzione di Pareto è particolarmente adatta a tale scopo: essa consente anche di ottenere un’espressione

analiticamente semplice per la probabilità ZF


ÈÈ possibile generalizzare la distribuzione di possibile generalizzare la distribuzione di ParetoPareto

DISTRIBUZIONE DI BURRDISTRIBUZIONE DI BURR

dHZ /1=

distribuzione di distribuzione di ParetoParetodi parametri di parametri ηη e e θθ

d > 0d > 0

distribuzione di distribuzione di BurrBurrdi parametri di parametri ηη, , θθ e de d

con densitcon densitàà

1

1

)()( +

−

+= η

η

θθη

d

d

Z xxdxf

La distribuzione del dannoDISTRIBUZIONE DI BURR (1/2)


1,)(

111

)(

/1

>Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ

= ηη

ηθdseddZE

d

2,)(

111

)(

212

)var(

2/1

/2

>

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ

−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ

=

ηη

ηθ

η

ηθ

dsedd

ddZ

d

d

La distribuzione del dannoDISTRIBUZIONE DI BURR (2/2)

CODA DELLA DISTRIBUZIONECODA DELLA DISTRIBUZIONEη

θθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= dZ x

xF )(

Rispetto alla coda della distribuzione di Pareto, la coda della distribuzione di Burr risulta:

- pipiùù pesante per 0 < d < 1pesante per 0 < d < 1(utilmente impiegabile ai fini della descrizione del danno, (utilmente impiegabile ai fini della descrizione del danno,

ad esempio, nelle assicurazioni di responsabilitad esempio, nelle assicurazioni di responsabilitàà civile aeromobili)civile aeromobili)

CASO DI INTERESSECASO DI INTERESSE

- pipiùù leggera per d > 1leggera per d > 1

Distribuzioni normalizzate (1/2)

• Nelle applicazioni assicurative le determinazionideterminazioni relative alle distribuzioni di probabilità sia del numero di sinistri che del danno

sono di norma contenute in uncontenute in un intervallo limitato I

N:N: NUMERO DI SINISTRINUMERO DI SINISTRI

Intervallo di riferimentoIntervallo di riferimentoI={0,1,I={0,1,……,,nnmaxmax}}

massimo numero massimo numero di sinistri probabile:di sinistri probabile:

massimo numero di sinistri al quale massimo numero di sinistri al quale viene soggettivamente attribuita una viene soggettivamente attribuita una probabilitprobabilitàà positiva di accadimentopositiva di accadimento

Z:Z: DANNODANNO

Intervallo di riferimentoIntervallo di riferimentoI=(0,I=(0,zzmaxmax) )

- valore del benevalore del bene nel caso di nel caso di unun’’assicurazione a beni di proprietassicurazione a beni di proprietàà;;- massimo dannomassimo danno probabilenel caso di unnel caso di un’’assicurazione di assicurazione di responsabilitresponsabilitàà civile. civile.

Distribuzioni normalizzate (2/2)Per descrivere la base tecnica del rischio vanno considerate

le distribuzioni distribuzioni (sia del danno che del numero dei sinistri)(sia del danno che del numero dei sinistri) condizionatecondizionateall'ipotesi di appartenenza ai relativi intervalli di riferimento.

N:N: NUMERO DI SINISTRINUMERO DI SINISTRI

Z:Z: DANNODANNO

Ikp

pINkN

Iii

k ∈=∈=∑∈

,}|Pr{

Ixdxxf

xfxf

IZ

ZIZZ ∈=

∫∈ ,

)()()(|

a partire dalla probabilita partire dalla probabilitàà, , ppkk

a partire dalla densita partire dalla densitàà, , ffZZ

La distribuzione di probabilitàdel risarcimento (1/5)

La distribuzione di probabilitdistribuzione di probabilitàà del risarcimentodel risarcimento èottenibileottenibile a partire dalla distribuzione di probabilitdalla distribuzione di probabilitàà del dannodel dannotenutotenuto anche conto delle condizioni contrattuali di coperturaconto delle condizioni contrattuali di copertura

riassunte dalla funzione di risarcimento, φφ(che individua la (che individua la relazione tra danno e risarcimento) relazione tra danno e risarcimento)

YYii:: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento relativo allrelativo all’’ii--esimo sinistroesimo sinistro.

Ad esempio la distribuzione del risarcimento può essere ottenuta mediante TRONCAMENTOTRONCAMENTO

(metodologia tipica in presenza di una limitazione (metodologia tipica in presenza di una limitazione superiore al risarcimento del danno)superiore al risarcimento del danno)

ESEMPIOESEMPIO di DISTRIBUZIONE TRONCATADISTRIBUZIONE TRONCATACopertura di responsabilitCopertura di responsabilitàà civile con massimale di garanziacivile con massimale di garanzia

(di importo M)(di importo M)

Risarcimento: Y = min (Z, M)Risarcimento: Y = min (Z, M)

⎩⎨⎧

≥<

=Mxse1Mxse)x(F

)x(F ZY

FFunzione di ripartizione del risarcimento: unzione di ripartizione del risarcimento:

viene concentrata in M tutta viene concentrata in M tutta la restante massa di probabilitla restante massa di probabilitàà

Tale funzione di ripartizione è valida anche nel caso di una copertura a primo rischio assoluto


Copertura con franchigia assolutaCopertura con franchigia assoluta (di importo f)(di importo f)

Risarcimento:Risarcimento: FFunzione di ripartizione unzione di ripartizione del risarcimento: del risarcimento:

)()( fxFxF ZY +=

Copertura con franchigia relativaCopertura con franchigia relativa (di importo f)(di importo f)

RRisarcimento: isarcimento: FFunzione di ripartizione unzione di ripartizione del risarcimento: del risarcimento:

⎩⎨⎧

>≤

=fZseZfZse0

Y⎩⎨⎧

≥<

=fxse)x(Ffxse)f(F

)x(FZ

ZY

Y = Y = maxmax (0, Z (0, Z -- f)f)


Copertura di responsabilitCopertura di responsabilitàà civile con massimale di civile con massimale di garanzia e franchigia assolutagaranzia e franchigia assoluta(rispettivamente, di importo M e f)(rispettivamente, di importo M e f)

Risarcimento:Risarcimento:

Y = min [ max (0, Z Y = min [ max (0, Z -- f), M f), M -- f]f]


⎩⎨⎧

−≥−<+

=fMxse1fMxse)fx(F

)x(F ZY


Copertura con scopertoCopertura con scoperto (di aliquota (di aliquota ξξ))

Risarcimento:Risarcimento:

Y = (1 - ξ) Z


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ξ1

)( xFxF ZY

OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE: In conclusione, si osserva come ai fini dei calcoli : In conclusione, si osserva come ai fini dei calcoli (relativi ad ogni tipo di copertura assicurativa) (relativi ad ogni tipo di copertura assicurativa) èè sufficiente sufficiente esprimere la esprimere la

variabile aleatoria risarcimento in funzione della variabile alevariabile aleatoria risarcimento in funzione della variabile aleatoria dannoatoria dannoseguendo la relazione esistente tra le due entitseguendo la relazione esistente tra le due entitàà..


La distribuzione di probabilitàdel risarcimento globale (1/2)

X:X: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento globale.

Ricavare i modelli probabilisticimodelli probabilistici più frequentemente adottati adottati per descrivere la distribuzione di probabilità

del risarcimento globale X X sulla base delle scelte effettuate con riferimento alle variabili aleatorie

numero di sinistri e danno (risarcimento)

IPOTESIIPOTESI: :

La funzione di ripartizione di X La funzione di ripartizione di X èè definita, per ogni x definita, per ogni x ≥≥ 0, da: 0, da:

∑+∞

=

=0

* ,)()(k

kYkX xFpxF con Fcon FXX(0) = p(0) = p00 se se èè Y = ZY = Z

Se il risarcimento Y ha distribuzione esponenzialedi parametro v

• ConvoluzioneConvoluzione kk--esima:esima:

∑−

=

−

−=1

0

*

!)(1)(

k

i

vxik

Y ievxxF

.!ie)vx(p1

!ie)vx(1pp)x(F

1k

0i

vxi

1kk

1k

0i

vxi

1kk0X

∑∑

∑∑

−

=

−∞+

=

−

=

−∞+

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

• Funzione di ripartizione del risarcimento globale:Funzione di ripartizione del risarcimento globale:

La distribuzione di probabilitàdel risarcimento globale (2/2)

La distribuzione del risarcimento globaleMODELLI PROBABILISTICI

(1)(1) distribuzione di Poisson composta;

(2)(2) distribuzione Binomiale negativa composta;

(3)(3) distribuzione mistura di Poisson composta;


La distribuzione del risarcimento globale

• DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTADISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTAIl numero di sinistri N ha distribuzione di Poisson

di parametro λ

∑+∞

=

−=0

* )(!

)(k

kY

k

X xFk

exF λλ

Distribuzione di Poisson composta di parametri λ e FY

Distribuzione Distribuzione di N (di N (PoissonPoisson))

La distribuzione del risarcimento globaleDISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA (1/3)

Nel caso in cui risarcimento Y ha distribuzione esponenziale Nel caso in cui risarcimento Y ha distribuzione esponenziale di parametro v di parametro v

∑∑−

=

+∞

=

+−−=1

01

)(

!)(

!1)(

k

i

i

k

kvx

X ivx

kexF λλ

• ESEMPIOESEMPIO

•• PROPRIETPROPRIETÀÀ


Se X1, X2, …, XS sono S v.a. indipendenti e

(h=1,2,(h=1,2,……,S),S)ha distribuzione di ha distribuzione di PoissonPoisson composta di parametri composta di parametri λλhh e e FFYYhh

∑=

=S

1hh

TOT XX

ha distribuzione di ha distribuzione di PoissonPoisson composta composta di parametri di parametri λλ e Fe FYY , con, con

∑ == hN0i h,ih YX

∑=

=S

hh

1

λλ

)()(1

xFxFhY

S

h

hY ∑

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

λλ


Se X1, X2, …, XS sono anche identicamente distribuiteanche identicamente distribuitecon distribuzione di Poisson composta

di parametri λ e FY, allora

OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE::

i parametri di Xi parametri di XTOTTOT sono rispettivamentesono rispettivamente

λλ = S= Sλλ e Fe FY Y = F= FYY

La distribuzione del risarcimento globale• DISTRIBUZIONE BINOMIALE DISTRIBUZIONE BINOMIALE

NEGATIVA COMPOSTANEGATIVA COMPOSTAIl numero di sinistri N ha distribuzione Binomiale

negativa di parametri r e q

Distribuzione Binomiale negativa compostadi parametri r, q e FY

Distribuzione di N Distribuzione di N (Binomiale negativa)(Binomiale negativa)

∑+∞

=

−=0

* )()1(!)()(

k

kY

krkX xFqq

krxF

•• PROPRIETPROPRIETÀÀ

La distribuzione del risarcimento globaleDISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA COMPOSTA

Se XSe X11, X, X22, , ……, X, XSS sono S v.a. sono S v.a.

∑=

=S

1hh

TOT XXha distribuzione ha distribuzione

Binomiale negativa composta Binomiale negativa composta di parametri Sr, q e Fdi parametri Sr, q e FYY

-- indipendentiindipendenti-- identicamente distribuite con distribuzione binomiale identicamente distribuite con distribuzione binomiale

negativa composta di parametri r, q e Fnegativa composta di parametri r, q e FYY

La distribuzione del risarcimento globale• DISTRIBUZIONE MISTURA DI DISTRIBUZIONE MISTURA DI

POISSON COMPOSTAPOISSON COMPOSTAIl numero di sinistri N ha distribuzione mistura di Poisson

di parametro aleatorio Λ

Distribuzione mistura di Poisson compostadi parametri Λ e FY

Distribuzione di N Distribuzione di N (Mistura di (Mistura di PoissonPoisson))

∑ ∫+∞

=

+∞

Λ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

*

0

)()(!

)(k

kY

k

X xFdFk

exF λλλ

Calcolo dei principali momenti del risarcimento globale (1/13)

Le principali valutazioni attuariali (calcolo del premio, (calcolo del premio, valutazione delle riserve tecniche, valutazione delle riserve tecniche, ……)) di norma richiedonorichiedono la

conoscenzaconoscenza di almeno i primi due momentidel risarcimento globale X risarcimento globale X

• Nelle ipotesi classiche della teoria del rischio Nelle ipotesi classiche della teoria del rischio

VALORE ATTESOVALORE ATTESO)()()]|([)( YENENXEEXE ==

Fattorizzazione del valore atteso Fattorizzazione del valore atteso nel numero di sinistri e nel nel numero di sinistri e nel

risarcimentorisarcimento

(indipendenza tra numero di sinistri e danni, risarcimenti indip(indipendenza tra numero di sinistri e danni, risarcimenti indipendenti endenti ed identicamente distribuiti) ed identicamente distribuiti)


MOMENTO SECONDOMOMENTO SECONDO

222 )]([)()var()()( YENEYNEXE +=

VARIANZAVARIANZA

2)]([)var()var()()var( YENYNEX +=


MOMENTI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDOMOMENTI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO

• Funzione generatrice dei momentiFunzione generatrice dei momenti

( ) ,)()( ∫+∞

∞−

== xdFeeEM XxX

Xτττ

posto che il valore atteso esista finito in un intorno dell'origine (vale a dire, per |τ| ≤ τ0)

• Il momento r-esimo (r = 1,2,(r = 1,2,……)) di X

0

)()(=

=τ

ττ

μ Xr

r

r MddX Ricordiamo che Ricordiamo che

μμrr(X) = E((X) = E(XXrr) )


FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTIFUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI

• Nelle date ipotesi probabilistiche Nelle date ipotesi probabilistiche

)]([log]))([()]|([)(τ

ττ τ

YN

NY

XX

MMMENeEEM

===

funzione generatrice funzione generatrice dei momenti dei momenti

del numero di sinistridel numero di sinistri

funzione generatrice funzione generatrice dei momenti dei momenti

del risarcimentodel risarcimento

La funzione generatrice dei momenti del risarcimento globale La funzione generatrice dei momenti del risarcimento globale si ricava a partire dalle funzione generatrice dei momenti si ricava a partire dalle funzione generatrice dei momenti

-- del numero di sinistri del numero di sinistri -- del risarcimentodel risarcimento


FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTIFUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI

• PROPRIETPROPRIETÀÀ


-- indipendentiindipendenti

∑=

=S

1hh

TOT XX

-- con funzioni generatrici dei momenti:con funzioni generatrici dei momenti:

( ) ∫+∞

∞−

== )()( xdFeeEMh

h

h XxX

Xτττ per Mper MXX11

, M, MXX22, , ……, M, MXXSS

∏=

=S

hXX hTOT MM

1

)()( ττ dovedove


FUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTIFUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTI(o, anche, (o, anche, funzione generatrice dei cumulantifunzione generatrice dei cumulanti) )

)]([)(log)(

τττ

YN

XX MΨΨ=

=Ψ

funzione generatrice funzione generatrice dei dei seminvariantiseminvarianti

del numero di sinistridel numero di sinistri

funzione generatrice funzione generatrice dei dei seminvariantiseminvariantidel risarcimentodel risarcimento

La funzione generatrice dei seminvarianti:

--si ricavasi ricava a partirea partire dalla funzione generatrice dei momentidalla funzione generatrice dei momenti

-- si esprime mediante si esprime mediante la la funzione generatricefunzione generatrice dei dei seminvariantiseminvariantideldel numero dei sinistrinumero dei sinistri e del e del risarcimentorisarcimento..


FUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTIFUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTI

• Seminvariante (oo cumulante) r-esimo (r = 1,2,(r = 1,2,……)) di Xdi X

0

)()(=

Ψ=τ

ττ

κ Xr

r

r ddX

)()()( 11 XEXX == μκ

)var()]([)()( 2122 XXXX =−= μμκ

)()]([2)()(3)()( '3

312133 XXXXXX μμμμμκ =+−=

]))([( 3XEXE −momento centrale terzomomento centrale terzo di X,di X,)('3 Xμ


FUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTIFUNZIONE GENERATRICE DEI SEMINVARIANTI

• PROPRIETPROPRIETÀÀ


-- indipendentiindipendenti

∑=

=S

1hh

TOT XX

-- con funzioni generatrici dei con funzioni generatrici dei seminvariantiseminvarianti::

per per ΨΨXX11, , ΨΨXX22

, , ……, , ΨΨXXSS

dovedove

,)(Mlog)(hh XX τ=τΨ

∑=

Ψ=ΨS

hXX hTOT

1

)()( ττ


SeminvariantiSeminvarianti e Coefficiente di asimmetriae Coefficiente di asimmetria

2/32

32/3

3

)]([)(

)][var(]))([()(

XX

XXEXEX

κκγ =

−=

Dalla proprietDalla proprietàà della funzione generatrice dei della funzione generatrice dei seminvariantiseminvarianti

SEMINVARIANTISEMINVARIANTI

)()(1

h

S

hr

TOTr XX ∑

=

= κκ

i i seminvariantiseminvarianti di v.a. indipendenti godonodi v.a. indipendenti godono delladella proprietproprietàà additivaadditiva


(1)(1) distribuzione di Poisson composta;

(2)(2) distribuzione Binomiale negativa composta;

(3)(3) distribuzione mistura di Poisson composta;

Valore atteso, varianza e funzione generatrice dei momentiValore atteso, varianza e funzione generatrice dei momentinel caso in cui il risarcimento globale, nel caso in cui il risarcimento globale, XX, abbia:, abbia:

• DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTADISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTAdi parametri di parametri λλ e Fe FYY


)()( YEXE λ=

)()var( 2YEX λ=

]1)(log[)( −= τλτ YMX eM

VALORE ATTESOVALORE ATTESO

VARIANZAVARIANZA

FUNZIONE GENERARICE DEI MOMENTIFUNZIONE GENERARICE DEI MOMENTI

• DISTRIBUZIONE BINOMIALE DISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA COMPOSTANEGATIVA COMPOSTA

di parametri r, q e Fdi parametri r, q e FYY



VARIANZAVARIANZA


)()1()( YEq

qrXE −=

22 )]([)1()var()1()var( YE

qqrY

qqrX −

+−

=

rY

r

X MqqM

)](log)1(1[)(

ττ

−−=

• DISTRIBUZIONE MISTURA DI DISTRIBUZIONE MISTURA DI POISSON COMPOSTAPOISSON COMPOSTA

di parametri di parametri ΛΛ e Fe FYY



VARIANZAVARIANZA


)()()( YEEXE Λ=

22 )]([)var()()()var( YEYEEX Λ+Λ=

]1)(log[)( −= Λ ττ YX MMM

Calcolo dei principali momenti del risarcimento globaleOSSERVAZIONI

1)1) ASIMMETRIA DELLE DISTRIBUZIONIASIMMETRIA DELLE DISTRIBUZIONI:- la distribuzione di PoissonPoisson compostacomposta e la distribuzione Binomiale Binomiale negativanegativa composta hanno un coefficiente di asimmetria positivocoefficiente di asimmetria positivo per per qualunque valore possa essere assunto dai parametri del modello;qualunque valore possa essere assunto dai parametri del modello;-- tale tale risultatorisultato, in generale, , in generale, nonnon èè invece invece validovalido nel caso della distribuzione nel caso della distribuzione mistura di mistura di PoissonPoisson composta.composta.

2)2) DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA E MISTURA DI DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA E MISTURA DI POISSON COMPOSTA A CONFRONTO:POISSON COMPOSTA A CONFRONTO:- a parita paritàà di valore atteso, E(di valore atteso, E(λλ)= )= λλ,, la distribuzionela distribuzione mistura di mistura di PoissonPoissoncomposta composta haha varianza superiorevarianza superiore;- il termine aggiuntivotermine aggiuntivo, , dipende dipende dalla dalla varianzavarianza del del parametro aleatorio parametro aleatorio ΛΛ..

2)]([)var( YEΛ

Maggiore Maggiore flessibilitflessibilitàà del modello del modello mistura di mistura di PoissonPoisson CompostaComposta rispetto rispetto

al modello di al modello di PoissonPoisson compostacomposta

LE ASSICURAZIONI SULLA DURATA VITA


• Le basi tecniche rappresentano le ipotesi fissate al momento della stipula del contratto e che non possono essere variate nel corso del contratto.


l’ipotesi demografica: tale ipotesi esprime la probabilità di verificarsi dell’evento. Può essere calcolata o definendo apposite leggi analitiche in grado di rappresentare la durata di vita oppure costruendo delle tavole di sopravvivenza (strada adottata nella pratica).

l’ipotesi finanziaria: tale ipotesi si basa sulla determinazione di un tasso (pari alle aspettative di rendimento future) sulla base del quale viene calcolato il premio. In realtà con l’introduzione di polizze rivalutabili prima e delle nuove tipologie (index e unit linked) tale ipotesi viene riformulata in modo differente.

Aspetti demografici

• Una testa alla nascita (x = 0)• durata aleatoria di vita della testa x• La funzione di ripartizione della variabile aleatoria:

• La funzione di sopravvivenza è quindi:

0T

( ) { }tTtF ≤Ρ= 00

( ) { } ( )tFtTtS 00 1−=>Ρ=

La funzione di sopravvivenza……..

Aspetti demografici…..in generale per una testa di età x

• Per l’età

• La funzione di ripartizione per la generica età x:

1,...,2,1,0 −= ωx

( ) xTxTTx >−= 00

( ) { } { }{ }

{ }( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( )xStxS

xStxSxS

xFxFtxF

xTtxTx

xTtxTtTtF xx

+−=

+−=

=−

−+=

>Ρ+≤≤Ρ

=

=>+≤Ρ=≤Ρ=

1

1 0

00

0

0

00

Aspetti demografici

Probabilità di vita e di morte

( )( ) ⇒+

−=xS

txSqxt 1

⇒= +

x

txxt S

Sp

• Probabilità che la testa di etàattuale x deceda entro t anni.

• Probabilità che la testa di etàattuale x sopravviva t anni.

Aspetti demografici

Tavola di sopravvivenza

• Nella pratica attuariale si usa costruire un modello probabilistico discreto, partendo dall’osservazione di una tavola (numero probabile di viventi all’età x) ricavata da osservazioni statistiche;

• Si suppone che la collettività sia chiusa a nuovi ingressi e che l’unica causa d’uscita sia il decesso.

• Si stabilisce un’età estrema ω, intesa come un’età che concretamente non èraggiungibile da un individuo.

• Si definisce tavola di sopravvivenza, il numero dei viventi per ogni età intera a, a+1, a+2,…, ω-1,

xl

11,...,, −+ ωlll aa

Aspetti demografici

Elementi della tavola

• Probabilità di decesso tra l’età x e l’età x+1

• Probabilità di sopravvivenza tra l’età x e l’età x+1

• Soggetti deceduti in età x

• Soggetti sopravvissuti all’età x

xq

xx qp −= 1

xxx qld ⋅=

xxx pll ⋅=+1

Aspetti demografici

Costruzione della tavola

• Ad una popolazione fittizia di 100.000 unità vengono applicate le probabilità di sopravvivenza ricavate dai dati di censimento:

( )

9912199121,0100000100000

99121,0100879,0

001

0

000

=⋅=⋅==

==−⇒=

plll

pqq

Aspetti demografici

La tavola di mortalità

19989370,9998079590,000192820989570,9997978920,000202720989770,9997979330,000202620989970,9997979740,000202521990180,9997879170,000212425990430,9997475840,000252333990760,9996669220,000333245991210,9995460090,0004541

8791000000,991210,008790

età xq xx qp −= 1 xl xd

Aspetti demograficiLa tavola di mortalità

Eta' Sopravviventi Decessi Probabilità di morte (per mille) Speranza di vita0 100000 521 5,20828 76,5411 99479 28 0,28554 75,9392 99451 22 0,2247 74,9613 99428 18 0,17836 73,9784 99411 15 0,14676 72,9915 99396 14 0,13678 72,0016 99383 13 0,12822 71,0117 99370 13 0,12666 70,028 99357 12 0,12132 69,0299 99345 12 0,11581 68,037

10 99334 12 0,12307 67,04511 99321 14 0,13802 66,05312 99308 17 0,17028 65,06213 99291 23 0,2267 64,07314 99268 29 0,29334 63,08815 99239 37 0,37697 62,10616 99202 49 0,49352 61,12917 99153 60 0,60776 60,15918 99093 73 0,73771 59,19619 99019 85 0,85959 58,23920 98934 92 0,92733 57,289

Breve estratto dalle Tavole Istat 2000 per la popolazione maschile

• La tavola di sopravvivenza indica per una collettività chiusa a nuovi ingressi il numero di viventi alle diverse età x.

• Tali tavole, poi utilizzate nel mercato assicurativo vengono costruite con rilevazioni per contemporanei nel corso delle indagini censuarie.

Dal momento che i contratti di assicurazione sulla vita, possono avere una durata particolarmente rilevante occorre:

una scelta opportuna delle tavole di sopravvivenza

una costante revisione nei nuovi contratti da parte delle imprese delle basi demografiche alla luce degli scenari evolutivi

Aspetti demografici

L’invecchiamento della popolazione italiana

7,833,653,712,72050

5,832,055,612,42040

4,727,060,812,22030

3,923,263.713,22020

2,820,565,514,02010

2,019,566,414,22005

1,214,768,516,81990

%85+%65+%15-64%0-14

Struttura per età della popolazione italiana 1990-2050anno

Aspetti demograficiL’effetto longevity

88,886,683,3Donne

83,681,077,4Uomini

Vita media

205020302005

LONGEVITY RISK:LONGEVITY RISK:PossibilitPossibilitàà che lche l’’evoluzione della mortalitevoluzione della mortalitàà sia diversa rispetto a quella prevista: sia diversa rispetto a quella prevista: in particolare possibilitin particolare possibilitàà che la mortalitche la mortalitàà sia inferiore a quella attesasia inferiore a quella attesa..


Le analisi dell’andamento della curva di sopravvivenza (probabilità di sopravvivenza alle diverse età) nel corso degli anni hanno mostrato un:

- processo di espansione

- processo di rettangolarizzazione

Curve di sopravvivivenza popolazione maschile italiana

0

0,25

0,5

0,75

1

0 20 40 60 80 100

sim51sim61sim71sim81sim91istat98istat99

Aspetti demograficiL’effetto longevity: CONSEGUENZE

• Importanza della valutazione accurata dei costi e della scelta delle basi tecniche nei prodotti che erogano prestazioni previdenziali e assicurative

• Possibilità di incorrere in un rischio sistematico (longevity risk)

• Tentativo di trasferimento del rischio verso gli assicurati:

- coefficienti di conversione non garantiti

- erogazione di rendite esclusivamente finanziarie (rendite certe)

• Facoltà di ricorso alla riassicurazione

• Costruzione di tavole proiettate


Le principali forme assicurative soggette al rischio Longevity sono le seguenti:

- Rendite vitalizie immediate

- Rendite in corso di godimento derivanti da opzioni

- Rendite differite

- Tariffe con opzione di rendita

- Fondi pensionistici individuali (FIP)

Aspetti demograficiL’effetto longevity: POSSIBILI RIMEDI (1/2)

Per la gestione del Longevity Risk, si agisce:

- a priori, adottando opportune politiche di:

tariffazione: utilizzo di tavole demografiche proiettate e selezionate, porre limitazioni rispetto all’epoca in cui verranno riconosciute le garanzie o rispetto alla portata della garanzia offerta

riassicurazione: Non è di uso comune per la difficoltà di trovare riassicuratori disposti a coprire questo rischio, anche per le difficoltà di valutazione. Sempre più spesso i riassicuratori preferiscono offrire il loro supporto in fase di pricing delle garanzie (studio

delle dinamiche della mortalità, revisione delle basi demografiche, ecc.)

- a posteriori

in sede di calcolo della riserva: L’utilizzo di tavole proiettate non elimina completamente il longevity risk e comunque le compagnie hanno in portafoglio molti contratti di rendita stipulati precedentemente all’entrata in vigore delle tavole proiettate .

E’ pertanto necessario, in sede di bilancio, provvedere ad una integrazione di riserva per tener conto della sopravvivenza reale degli assicurati rispetto a quella prevista dalle basi di primo ordine.

Un obbligo in tal senso è attualmente previsto dall’articolo 26 del decreto legislativo 174 del 17/3/95, successivamente precisato dal provvedimento ISVAP n° 1380 del 22/12/1999.

Aspetti demograficiL’effetto longevity: POSSIBILI RIMEDI (2/2)

Un netto miglioramento nella tariffazione deriva dall’utilizzo di tavole demografiche costruite in base ai concetti di proiezione e di selezione.

Proiezione:

Una tavola proiettata è una tavola costruita in modo tale da tener conto della previstaevoluzione della mortalità entro un certo periodo. Un metodo per realizzare questo è costruire una tavola demografica “per generazioni”, con quozienti di mortalità variabili non soltanto in base all’età, ma anche alla generazione di appartenenza.

Selezione:

Una tavola selezionata è una tavola applicabile a particolari gruppi di assicurati ottenuta variando la mortalità di tavole “standard” in funzione dell’effettiva mortalità rilevata in precedenza per tali gruppi.

A partire dal 1999 il mercato italiano,recependo le disposizioni della circolare ISVAP n°343 del 1998, utilizza, per le assicurazioni di rendita, la tavola RG48.Il monitoraggio eseguito dall’ANIA su un campione rappresentativo di alcune compagnie italiane ha evidenziato alcuni problemi di “tenuta” della base demografica RG48 nelle etàanziane.

Aspetti demograficiL’effetto longevity: LE TAVOLE A CONFRONTO

Tavole Istat 2000: Tavole di sopravvivenza pubblicate dall’Istat

Tavole RG48sel: tavole selezionate e proiettate costruite dalla Ragioneria Generale dello Stato

Tavole IPPsel: tavole proiettate e selezionate, recentemente presentate dall’Ania

Confronto Tavole Maschili

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

IPPselM rg48selM Istat00M

Confronto Tavole Femminili

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

IPPselF rg48selF Istat00F

Aspetti finanziari

• L’altro aspetto fondamentale nel vita riguarda la scelta del tasso tecnico a cui valutare i contratti di assicurazione.

• Il tasso tecnico risulta di fondamentale importanza sia per il calcolo del premio sia per il calcolo delle riserve.

• A differenza dei contratti di assicurazione contro i danni, i contratti di assicurazione sulla vita presentano una durata di medio lungo periodo e non è quindi possibile trascurare l’aspetto finanziario.

• È dunque opportuno effettuare una adeguata scelta del tasso tecnico anche in relazione ai possibili investimenti delle riserve con iconseguenti rendimenti prevedibili

Aspetti finanziariIL TASSO TECNICO

• Il tasso tecnico viene fissato al momento della sottoscrizione del contratto.

• La scelta del tasso tecnico risulta particolarmente delicata in quanto l'assicuratore garantisce tale rendimento all'assicurato già nel calcolo del premio e della prestazione (dunque alla stipula del contratto e per tutta la durata contrattuale).

• Il tasso tecnico deve comunque essere inferiore ad un tasso massimo garantibile fissato, a tutela degli assicurati, dalla normativa e variabile in funzione dei rendimenti dei titoli obbligazionari (tale tasso massimo è determinato con regolamento dell'ISVAP ma non può superare il 60% del tasso medio dei prestiti obbligazionari – art. 33 Codice delle Assicurazioni).


• Il tasso tecnico e la tavola di mortalità (i, q) rappresentano la base tecnica del rischio

• Occorre distinguere in:

BASE TECNICA DEL BASE TECNICA DEL PRIMO ORDINEPRIMO ORDINE

BASE TECNICA DEL BASE TECNICA DEL SECONDO ORDINESECONDO ORDINE

Il calcolo del premio viene effettuato sulla base delle basi tecniche scelte, delle caratteristiche dell’assicurato (età e sesso) e delle

caratteristiche contrattuali (tipologia di premio e prestazione, durata)

IL PREMIO

considerazioni generali

• Il premio assicurativo:- premio equo: basato sul principio di “equità finanziaria e attuariale”.

• Il valore atteso della perdita L deve essere nullo alla stipula del contratto:

)()()(0)~( )()()( ax

ax

cx IEPUIEIELE =→=→=

- premio netto: pari ad un premio equo più un caricamento di sicurezza (implicito o esplicito). Il caricamento ha lo scopo sia di far fronte ad eventuali scostamenti in negativo delle realtà rispetto alle ipotesi fatte (basi tecniche), sia di garantire un margine di profitto alla compagnia.

• In altre parole: il valore attuale atteso delle prestazioni dell’assicuratore deve coincidere con il valore attuale atteso delle prestazioni dell’assicurato

- premio di tariffa: pari al premio netto più i caricamenti per spese.

La scomposizione del premio

per spese di acquisizionespese di acquisizione (provvigioni d’acquisto,spese di emissione polizza, spese per visite mediche ed accertamenti). Si tratta di spese sostenute generalmente al momento della stipula del contratto o comunque nel primo anno di durata contrattuale

per spese di gestionespese di gestione: si tratta di spese non direttamente imputabili al singolo contratto. Generalmente a ciascun contratto viene assegnata una quota annua di spese pari a una fissata aliquota del capitale assicurato

Esistono generalmente tre tipi di caricamenti per spese:

per spese di incassospese di incasso (provvigioni di incasso, diritti di quietanza, contabilizzazione dell’introito). Si tratta di spese che vengono sostenute in corrispondenza dell’incasso della rata di premio. Di conseguenza avranno le stessa tempistica del pagamento premi

I caricamenti

• Le imprese di assicurazione sono caratterizzate da un inversione del ciclo produttivo: infatti viene pagato anticipatamente un premio a fronte di una prestazione futura collegata al verificarsi di un determinato evento.

• Di conseguenza l’ipotesi più semplice è la seguente:

• Premio Unico o sequenza di premi

Pagamento del Capitale Assicurato

Non vi è alcuna prestazione

Non si verifica l’evento assicurato

Si verifica l’evento assicurato

Quindi fissato il capitale assicurato, per il calcolo del premio occorrerà tener conto della probabilità di verificarsi dell’evento e dei rendimenti finanziari derivanti dal fatto che intercorre un orizzonte temporale tra il momento di incasso del premio e l’istante in cui viene erogata la prestazione.

Premio equo e base tecnica del rischio

IL PREMIO

nelle assicurazioni contro i danni

Il premio:premio equo, premio puro, premio di tariffa

• Un contratto di assicurazione contro i danni prevede il pagamento di un premiopremio

in unin un’’unica soluzioneunica soluzione(all(all’’epoca di stipulazione del contratto)epoca di stipulazione del contratto)

rateizzato nel periodo di coperturarateizzato nel periodo di copertura(supposto di durata annuale)(supposto di durata annuale)

Premio equoPremio equo: valore atteso del risarcimento globale a carico dell’assicuratore nel periodo di copertura

Premio puroPremio puro (o, anche,(o, anche, premio nettopremio netto)): corrispettivo del risarcimento globale trasferito a carico dell’assicuratore

Premio di tariffaPremio di tariffa (o, anche,(o, anche, premio commercialepremio commerciale)): importo richiesto dall’assicuratore a fronte della stipulazione del contratto

Caricamento di sicurezza e premio puro

-- introdotto per fronteggiare la rischiositintrodotto per fronteggiare la rischiositààdelldell’’operazione assicurativa operazione assicurativa

-- eguale al valore atteso del eguale al valore atteso del guadagnoguadagno che che ll’’assicuratore consegue in relazione al contrattoassicuratore consegue in relazione al contratto

PremioPremioequoequo

PremioPremiopuropuro

CaricamentoCaricamentodidi

sicurezzasicurezza++ ==

Caricamento per spese e premio di tariffa

-- introdotto allo scopo di coprire le varie introdotto allo scopo di coprire le varie spesespesesostenute dallsostenute dall’’assicuratore in relazione al assicuratore in relazione al

contratto contratto

PremioPremiopuropuro

PremioPremiodi tariffadi tariffa

CaricamentoCaricamentoperper

spesespese++ ==

Il premio effettivamente pagatopremio effettivamente pagato dal contraente (prezzo della copertura assicurativa)(prezzo della copertura assicurativa)

è ottenuto sommando al premio di tariffa le tasse e gli eventuali altri contributi che gravano sul contratto

Il calcolo del premio equo

• METODOLOGIE DI CALCOLOMETODOLOGIE DI CALCOLO

APPROCCIO TEORICO: fondato sull’individuazioneindividuazione di un opportunoopportuno modellomodello per la descrizione della base tecnica del rischiobase tecnica del rischio(distribuzione di probabilit(distribuzione di probabilitàà del risarcimento globale X)del risarcimento globale X) nell’ambito di un portafoglio di rischi analoghi

APPROCCIO EMPIRICO: fondato sull’osservazioneosservazione di un opportunoopportuno portafoglio di contrattiportafoglio di contratti assicurativiassicurativi registrando, per ciascuno di essi, i sinistri accaduti (e denunciati)(e denunciati) ed i relativi danni e risarcimenti

Il calcolo del premio equoLL’’APPROCCIO TEORICO (1/2)APPROCCIO TEORICO (1/2)

)()()( YENEXEP ==

valore atteso del risarcimento globale a carico dell’assicuratore nel periodo di copertura

(nelle ipotesi classiche della teoria del rischio precedentement(nelle ipotesi classiche della teoria del rischio precedentemente formulate)e formulate)

in media si ottiene l’equilibrioequilibrio tra le entrateentrate (introito del premio equo)(introito del premio equo)e le usciteuscite (pagamento dei risarcimenti per sinistri)(pagamento dei risarcimenti per sinistri)

EFFETTO MUTUALISTICO:

trasferimento di risorse finanziarie, alltrasferimento di risorse finanziarie, all’’interno di un dato interno di un dato portafoglio di rischi analoghi, tra rischi sinistrati e portafoglio di rischi analoghi, tra rischi sinistrati e

rischi non sinistrati rischi non sinistrati

- Aspetto Aspetto caratteristicocaratteristico delldell’’attivitattivitàà assicurativaassicurativa

Permette di realizzare, in media, l’equilibrio tra le entrate e le uscite

Il calcolo del premio equoLL’’APPROCCIO TEORICO (2/2)APPROCCIO TEORICO (2/2)

Il premiopremio equoequo viene valutatovalutato mediante un’opportuna osservazione statistica

Portafoglio di rischi analoghi (a quello in esame) (a quello in esame) con riferimentocon riferimento:

a) alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, all’epoca di stipulazione del contratto, da parte dell’assicuratore

b) alle condizioni contrattuali di copertura

c) ai valori monetari di esposizione al rischio (ad esempio i valori (ad esempio i valori dei beni assicurati o i massimali di garanzia)dei beni assicurati o i massimali di garanzia)

In riferimento ad una durata annualeIn riferimento ad una durata annuale

Il calcolo del premio equoLL’’APPROCCIO EMPIRICO (1/2)APPROCCIO EMPIRICO (1/2)

Quota risarcimentiQuota risarcimenti (impropriamente detta quota danniquota danni)

RyyyQ m+++

=...21

numero (sufficientemente grande) numero (sufficientemente grande) di rischi presenti nel portafogliodi rischi presenti nel portafoglio

singoli risarcimenti relativi ad ognuno degli msinistri che si suppone avere osservato nel periodo di riferimento

Premio equo osservatoPremio equo osservato

myyy ,...,, 21

Il calcolo del premio equoLL’’APPROCCIO EMPIRICO (2/2)APPROCCIO EMPIRICO (2/2)

La scomposizione del premio equo osservato

yRmQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

INDICE DI SINISTROSITINDICE DI SINISTROSITÀÀ(impropriamente detto (impropriamente detto frequenza di sinistrofrequenza di sinistro): ): numero medio di sinistri relativi ad un rischionumero medio di sinistri relativi ad un rischio

risarcimento risarcimento medio relativo medio relativo ad un sinistroad un sinistro

Q: Q: IMMAGINE STATISTICA DEL PREMIO EQUOIMMAGINE STATISTICA DEL PREMIO EQUO

indice di sinistrositindice di sinistrositàà, , ψψ, , stimastima del del valore attesovalore atteso, , E(N), E(N),

deldel numero di sinistrinumero di sinistri

risarcimento medio relativo ad un sinistrorisarcimento medio relativo ad un sinistro,,stimastima del del valore attesovalore atteso, , E(Y), E(Y), del del

singolo risarcimentosingolo risarcimento

,y

La scomposizione dell’indice di sinistrosità

ξϕψ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

=R

RRRRRhRRR

h

h 0

21

21

...

...2

RRii (i=0,1,(i=0,1,……,h):,h): numero di rischi colpiti da ‘ii’’ sinistri

h:h: numero massimo di sinistri rilevati in relazione ad almeno uno dei rischi osservati

indice di ripetibilitindice di ripetibilitàà::numero medionumero medio di di

sinistrisinistri relativi ad un relativi ad un rischio sinistratorischio sinistrato

frequenza dei rischi frequenza dei rischi sinistratisinistrati

Esposizione monetaria al rischio e tasso medio di premio (equo)

Nel caso piNel caso piùù realistico di diverse esposizioni monetarie al rischio:realistico di diverse esposizioni monetarie al rischio:

R21

m21w...wwy...yy

++++++

=τ

esposizioni monetarie relative esposizioni monetarie relative ad ognuno degli ad ognuno degli ‘‘RR’’ rischi rischi

osservatiosservati

Tasso medio di premioTasso medio di premioin breve dettoin breve detto

Tasso di premioTasso di premio

Premio equo osservatoPremio equo osservatoIn riferimento ad In riferimento ad

unun’’unitunitàà monetaria di monetaria di esposizioneesposizione

La scomposizione del tasso medio di premio

Indice di Indice di sinistrositsinistrositàà

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

wy

Rmτ

grado medio di risarcimento grado medio di risarcimento (impropriamente detto(impropriamente detto grado medio di dannogrado medio di danno):):

rapporto (adimensionale)rapporto (adimensionale) esprimente il esprimente il risarcimento medio per unitrisarcimento medio per unitàà monetaria di monetaria di

esposizioneesposizione

RELAZIONE TRA PREMIO EQUO E TASSO MEDIO DI PREMIO:RELAZIONE TRA PREMIO EQUO E TASSO MEDIO DI PREMIO:

Nel caso in cui Nel caso in cui ww1 = w= w2 = = …… = = wwR = w= w èè immediata la relazione immediata la relazione P = P = ττww

tra il premio equo, tra il premio equo, PP, ed il tasso di premio,, ed il tasso di premio,ττ(copertura assicurativa caratterizzata da eguale esposizione mon(copertura assicurativa caratterizzata da eguale esposizione monetaria al rischio)etaria al rischio)

Caricamento di sicurezza e premio puro

• Guadagno:Guadagno:XG −Π=

importo aleatorio eguale alla differenza importo aleatorio eguale alla differenza tra il premio incassato, tra il premio incassato, ΠΠ, ed il risarcimento globale X, ed il risarcimento globale X

Il premio equopremio equo, P = E(X), è quel particolare premio che rende nullo il guadagno attesorende nullo il guadagno atteso per l’assicuratore

0)()( =−=⇒=Π XEPGEP

Principio di calcolo del premio detto principio di equitprincipio di equitàà

Il principio di equitàprivo di interesse economico:

non consente allnon consente all’’assicuratore di conseguire un guadagno atteso positivo assicuratore di conseguire un guadagno atteso positivo al momento della stipulazione del contratal momento della stipulazione del contrattoto

LL’’assicuratore assicuratore èè disponibile ad accettare la copertura del rischio solo se disponibile ad accettare la copertura del rischio solo se ΠΠ > E(X)> E(X)

rXE +=Π )(

r = E(G) > 0 r = E(G) > 0 caricamento di sicurezza

Il premio puro• Premio ottenuto sommando al premio equo un caricamento di sicurezzacaricamento di sicurezza

• Anche detto premio netto poiché determinato al nettoal nettodel corrispettivo per le spesespese che l’assicuratore sostiene in relazione al contratto.

GIUSTIFICAZIONE TEORICAGIUSTIFICAZIONE TEORICA:

a) criterio della probabilità di rovina, nell’ambito della teoria del rischio

b) criterio dell’utilità attesa, nell’ambito della teoria del comportamento di un soggetto economico in condizioni di incertezza

Il criterio della probabilità di rovina• Teorema della rovina del giocatore:

i. se un giocatoreun giocatore (ad esempio l(ad esempio l’’assicuratore)assicuratore)dispone di una data ricchezza inizialedata ricchezza inizialeed affronta, in condizioni di equitin condizioni di equitàà,

una sequenza potenzialmente infinita di partitesequenza potenzialmente infinita di partite contro un avversario infinitamente ricco (ad esempio la massa degli assicurati),(ad esempio la massa degli assicurati),

essendo i risultati delle singole partite indipendenti risultati delle singole partite indipendenti ed identicamente distribuitied identicamente distribuiti,

allora èè certa la rovina del giocatorecerta la rovina del giocatore

(vale a dire, la perdita della ricchezza iniziale).(vale a dire, la perdita della ricchezza iniziale).

ii. se invece, ceterisceteris paribusparibus, le singole partite prevedono partite prevedono un guadagnoun guadagno atteso positivo per il giocatoreatteso positivo per il giocatore,

allora la rovinala rovina non non èè un evento certoun evento certo(probabilit(probabilitàà di rovina del giocatore funzione decrescente di rovina del giocatore funzione decrescente -- in particolare, in particolare,

di tipo esponenziale di tipo esponenziale -- del guadagno relativo alla singola partita) del guadagno relativo alla singola partita)

Il criterio dell’utilità attesal’assicuratore, soggetto economico tipicamente avverso al rischio,

giudica vantaggiosa l’operazione assicurativa soltantosoltanto nell’ipotesi che il premio sia maggiore del valore atteso di X

l’assicurato, anch’egli soggetto economico tipicamente avverso al rischio, giudica vantaggiosa l’operazione assicurativa malgradmalgrado la non equità del relativo prezzo

LL’’operazione assicurativaoperazione assicurativa può cospuò cosìì essere essere vantaggiosavantaggiosa per entrambe per entrambe le parti contraentile parti contraenti

per l’assicuratoreassicuratore, graziegrazie al caricamento

di sicurezza

per l’assicuratoassicurato, malgradomalgrado il caricamento

di sicurezza

Il caricamento di sicurezza

ll’’adozione di un caricamento di sicurezza nel premio ha lo scopo dadozione di un caricamento di sicurezza nel premio ha lo scopo di i fronteggiarefronteggiare la la rischiositrischiositàà delldell’’operazione assicurativaoperazione assicurativa

la dimensione del caricamento è legatalegata ad un’opportuna misura di questa rischiositmisura di questa rischiositàà (varianza, scarto quadratico medio, (varianza, scarto quadratico medio, ……))

•• Caricamento di sicurezzaCaricamento di sicurezza

implicitoimplicito

esplicitoesplicito

IL caricamento di sicurezza implicito

Generalmente praticato nelle assicurazioni sulla vita

Introdotto mediante lIntrodotto mediante l’’adozione, ai fini del calcolo del premio equo, adozione, ai fini del calcolo del premio equo, di una base tecnica favorevole alldi una base tecnica favorevole all’’assicuratore assicuratore

((base tecnica prudenzialebase tecnica prudenziale))Essa Essa èè anche detta anche detta base tecnica di primo ordinebase tecnica di primo ordine.

E′(X) < E(X)

valutazione realistica che valutazione realistica che ll’’assicuratore attribuisce assicuratore attribuisce al risarcimento globale X al risarcimento globale X il premio (equo) P il premio (equo) P èè in grado in grado

di garantire alldi garantire all’’assicuratore assicuratore un guadagno atteso positivo un guadagno atteso positivo

0)()()( >′−=′ XEXEGE

Il caricamento di sicurezza esplicito

Usuale nelle assicurazioni contro i danni

Commisurato ad uno o piCommisurato ad uno o piùù valori caratteristici valori caratteristici (varianza, percentili, (varianza, percentili, ……) della distribuzione di probabilit) della distribuzione di probabilitàà

del risarcimento globale X del risarcimento globale X

Talvolta al caricamento esplicito si aggiunge un caricamento implicito ottenuto mediante l’adozione, ai fini del calcolo del premio equo,

di una base tecnica prudenziale (relativa al numero di sinistri e/o al danno).

Il calcolo del premio puro (1/2)

)( XH=Π

principio di calcolo del premio puro:funzionalefunzionale che associa un numero reale (il premio puro)(il premio puro)

alla distribuzione di probabilità di X (rappresentativa del rischio oggetto della copertura assicurativ(rappresentativa del rischio oggetto della copertura assicurativa)a)

il premio puro dipende, in generale, dalla funzione di ripartiziil premio puro dipende, in generale, dalla funzione di ripartizione di Xone di X

Scarsità di basi statistiche attendibili

adottare un principio di calcolo che non richieda la adottare un principio di calcolo che non richieda la conoscenza dei momenti di ordine superiore al secondo conoscenza dei momenti di ordine superiore al secondo

relativamente alla distribuzione di probabilitrelativamente alla distribuzione di probabilitàà di X di X

I piI piùù importanti principi di calcolo del premio puro sono importanti principi di calcolo del premio puro sono funzione solamente dei principali valori caratteristici della funzione solamente dei principali valori caratteristici della distribuzione di probabilitdistribuzione di probabilitàà di X di X

Rischi assicurabili:il funzionale H può non essere definito o può assumere valore inil funzionale H può non essere definito o può assumere valore infinito per finito per alcuni rischi alcuni rischi in questin quest’’ottica la scelta del principio di calcolo ottica la scelta del principio di calcolo

del premio purodel premio puro gioca un ruolo chiavegioca un ruolo chiave

Il calcolo del premio puro (2/2)

I principi di calcolo del premio puro

(1) principio del valore atteso;(2) principio della varianza;(3) principio dello scarto quadratico medio;(4) principio dell’utilità attesa;(5) principio del percentile;(6) principio del massimo danno probabile;(7) principio di Esscher;(8) principio di Orlicz;(9) principio di Wang.

Il principio del valore atteso

)()1( XEα+=Π

αα > 0 > 0 adimensionale adimensionale

inadeguatezza rispetto all’obiettivo prefissato (la rischiosit(la rischiositàà del contratto non del contratto non èè opportunamente sintetizzata dal valore atteso di X )opportunamente sintetizzata dal valore atteso di X )

semplicità di calcolo (talvolta utilizzato nella pratica assicurativa)(talvolta utilizzato nella pratica assicurativa)

PROPRIETPROPRIETÀÀ::

Il principio della varianza

ββ > 0 > 0 di dimensione eguale al di dimensione eguale al reciproco di un importo reciproco di un importo

il caricamento di sicurezza è proporzionale alla rischiosità del contratto misurata mediante la varianza di X (la varianza (la varianza èè un buon indicatore della rischiositun buon indicatore della rischiositàà di una variabile aleatoria)di una variabile aleatoria)

frequentemente impiegato nella pratica assicurativa

PROPRIETPROPRIETÀÀ::

)var()( XXE β+=Π

Le spese vengono imputate all’assicurato mediante un caricamento per spese

Caricamento per spese e premio di tariffa

Premio di tariffa(o, anche, premio commerciale)

sC +Π=Al premio puro si aggiunge ilAl premio puro si aggiunge il

caricamento per spesecaricamento per spese

LL’’incidenza percentuale del caricamento per spese sul premio di incidenza percentuale del caricamento per spese sul premio di tariffa tariffa ((““expenseexpense ratioratio””)) dipende fortemente dalle caratteristiche del dipende fortemente dalle caratteristiche del rischio assicurato rischio assicurato

Caricamento per spese •• Decomposizione del caricamento per speseDecomposizione del caricamento per spese

21 sss +=

caricamento globale relativo caricamento globale relativo alle spese di acquisizione del alle spese di acquisizione del contratto e di incasso premicontratto e di incasso premi

(a) e (b) (a) e (b)

caricamento relativo alle caricamento relativo alle spese generali di gestionespese generali di gestione

(c) (c)

Nel caso in cui il caricamento per spese venga quantificato mediNel caso in cui il caricamento per spese venga quantificato mediante il ante il principio di equitprincipio di equitàà, l, l’’ammontare del caricamento, (per ciascuna categoria di ammontare del caricamento, (per ciascuna categoria di spese), spese), èè eguale al valore atteso delle spese medesime, determinato seconeguale al valore atteso delle spese medesime, determinato secondo do una valutazione realistica.una valutazione realistica.

Nella pratica assicurativa viene in genere adottato un Nella pratica assicurativa viene in genere adottato un margine implicito di margine implicito di caricamento per spesecaricamento per spese a favore della favore dell’’assicuratore (ipotesi prudenziale sulle spese) assicuratore (ipotesi prudenziale sulle spese) La dimensione La dimensione èè generalmente modesta (per lo pigeneralmente modesta (per lo piùù, non superiore al 3, non superiore al 3--4%). 4%). La giustificazione risiede nellLa giustificazione risiede nell’’aleatorietaleatorietàà connessa alle spese che lconnessa alle spese che l’’assicuratore assicuratore sostiene in relazione al contratto (usualmente modesta)sostiene in relazione al contratto (usualmente modesta)

IL PREMIO

nelle assicurazioni sulla vita

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+Ε ∑

=

−ΡT

t

tt iF

01

RISCHIO DEMOGRAFICORISCHIO FINANZIARIO

Base tecnica e premio equo (1/2)

( ) ( )∑∑=

−

=

−Ρ ⋅+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+Ε=

T

tt

tt

T

t

tt piFiFVAA

0011

• Il calcolo del valore attuale atteso (VAA) richiede l’introduzione di un modello probabilistico. Nel caso delle assicurazioni sulla vita, il modello riguarda la durata aleatoria della vita dell’assicurato.

Base tecnica e premio equo (2/2)

Il calcolo dei premi assicurativi è determinato in funzione di due elementi unilateralmente fissati dalla Compagnia di Assicurazione:

– Un modello probabilistico;– Una struttura dei tassi.

( ) PREMIOpiFVAAT

tt

tt =⋅+= ∑

=

−

01

Il premio assicurativo

• Il premio calcolato con un tasso i, pari a quello ottenuto dall’investimento del premio, e con una probabilità p, pari alla probabilità di sopravvivenza che la Compagnia attribuisce all’assicurato, porta alla determinazione del premio equo.

• Il premio equo, secondo la base tecnica di primo ordine deve risultare “favorevole” all’assicuratore.

• La coppia (i, p) va rivista in termini (i*, p*), con l’obiettivo di analizzare il guadagno atteso.

( )[ ] 0>ΠΕ iP

Il guadagno atteso

• La coppia (i, p), impiegata per il calcolo del premio, è detta base tecnica di primo ordine

• La nuova coppia (i*, p*), che esprime uno scenario demografico-finanziario più realistico, è detta base tecnica di secondo ordine

• Il tasso di interesse adottato nella base tecnica può essere estratto da una struttura per scadenze piatta o dinamica.

• La probabilità deriva da un modello probabilistico a tempo discreto o continuo.

• Ipotesi semplificatrice: tasso costante e tempo discreto.

La scelta della base tecnica

Il valore attuariale delle prestazioni corrisponde al PREMIO UNICO PURO

[ ] PUY =Ε ~

Il concetto di equità è strettamente legato alla base tecnica adottata. L’uso di una base tecnica “realistica” comporterebbe un guadagno atteso nullo e un significativo rischio di perdite.

Premi unici o premi periodiciIL PRINCIPIO DI EQUITÀ

Premi periodici• Controprestazione ripartita tra più rate, costanti o variabili,

pagate ad intervalli regolari (anni, mesi,…).

• Pagamento anticipato, con inizio all’epoca di stipulazione e per un tempo non superiore alla scadenza del contratto.

• L’importo assicurato e i premi periodici rappresentano le rate di ammortamento demografico-finanziario del premio unico.

• Il pagamento di premi periodici, al contrario del premio unico, è subordinato alla sopravvivenza del soggetto assicurato.

-- Premi variabiliPremi variabili-- Premi costantiPremi costanti-- Premi unici ricorrentiPremi unici ricorrenti

POSSIBILI ESEMPI: POSSIBILI ESEMPI:

Premi unici ricorrenti

• Tipici dei contratti assicurativi a prestazioni differite (capitale differito, rendite differite, caso morte differita).

• Costituiscono una forma di “piano previdenziale” a medio-lungo termine.

• I versamenti periodici garantiscono l’acquisto di una quota di polizza.

• Il capitale assicurato è noto solo alla fine di tutti i versamenti.

• Obiettivo: il frazionamento del premio unico deve, in ogni periodo, garantire la copertura degli impegni assunti dalla Compagnia.

• Analisi: confronto tra l’introito dei premi (in genere costanti) e il profilo temporale dei costi annui attesi.

• Problema: sottofinanziamento.• Strumento: PREMIO NATURALE

Singolo premio commisurato al valore atteso degli impegni della Compagnia,

in ciascun periodo del frazionamento preso in esame.

Premi naturali

Differenza tra il premio puro adottato e il premio equo calcolato con la base realistica.

Il caricamento può essere:• IMPLICITO: determinato dall’uso di basi tecniche più

“favorevoli” all’assicuratore• ESPLICITO: dato da una specifica maggiorazione applicata al

premio equo.

Caricamento di sicurezza

• Rappresenta l’esborso effettivo del contraente, cioè copre il premio puro e le spese: di acquisizione, di incasso, di gestione,…

• Il caricamento può essere:– Proporzionale al capitale assicurato, hC,– Proporzionale al premio puro, HP, o al premio di tariffa HPT,– Parte in percentuale del capitale assicurato e parte in

percentuale del premio puro o di tariffa.

TT

T

HPhCPP

HPhCPP

++=

++=oppure Analogamente per

il premio unico

Premio di tariffa

Le riserve tecniche

considerazioni generali

• Le riserve tecniche servono a far fronte allo sfasamento temporale delle prestazioni tipico del ciclo assicurativo.

• Con i premi incassati l’assicuratore deve gestire il contratto nel corso della sua durata………..

• ………. per farlo deve accantonare risorse da cui poter attingere al momento di necessità.

• Tali accantonamenti sono imposti per legge (dal Codice Civile) al fine di tutelare gli assicurati dal rischio di insolvenza dell’assicuratore.

• Le riserve tecniche sono vincolate, regolarmente valutate e controllate dagli organi di Vigilanza e non possono essere liberamente investite sul mercato.

Le riserve tecniche

Le riserve tecniche

nelle assicurazioni contro i danni

Le riserve tecniche

Le riserve tecniche, con il cui termine vengono indicate Le riserve tecniche, con il cui termine vengono indicate sia la sia la riserva premiriserva premi che la che la riserva sinistririserva sinistri, costituiscono un , costituiscono un

debito delldebito dell’’assicuratore nei confronti dellassicuratore nei confronti dell’’assicurato assicurato

CONTRADDISTINDE DALLERISERVE PATRIMONIALI

fondi liberifondi liberi da impegnida impegni gestionali e pertanto gestionali e pertanto quantitquantitàà a disposizione della disposizione dell’’impresaimpresa

Sostanzialmente si formano mediante accantonamento di utili e sSostanzialmente si formano mediante accantonamento di utili e sono ono utilizzate per fronteggiare altri obblighi di gestione e non queutilizzate per fronteggiare altri obblighi di gestione e non quelli tecnicilli tecnici

Quadro legislativo italiano (1/2)D.L. 175/D.L. 175/’’9595

LL’’articolo 23 articolo 23 del D.L. 175/del D.L. 175/’’95 dichiara: 95 dichiara: 1.1. ““Le imprese di assicurazioni che svolgono la loro attivitLe imprese di assicurazioni che svolgono la loro attivitàà nei rami danni nei rami danni

devono costruire la riserva dei premi per i rischi che sono in cdevono costruire la riserva dei premi per i rischi che sono in corso alla fine orso alla fine di ogni esercizio, iscrivendo nel bilancio ldi ogni esercizio, iscrivendo nel bilancio l’’importo delle frazioni di premio importo delle frazioni di premio di competenza degli esercizi successivi e quello delle annualitdi competenza degli esercizi successivi e quello delle annualitàà dei premi dei premi pagati anticipatamente per gli anni futuripagati anticipatamente per gli anni futuri…”…” (Relativamente alla riserva (Relativamente alla riserva premi).premi).

2.2. Le imprese debbono inoltre costruire alla fine di ogni anno di eLe imprese debbono inoltre costruire alla fine di ogni anno di esercizio la sercizio la riserva sinistri, iscrivendo nel bilancio lriserva sinistri, iscrivendo nel bilancio l’’ammontare complessivo delle ammontare complessivo delle somme che, da una prudente valutazione effettuatasomme che, da una prudente valutazione effettuata……, risultino necessarie , risultino necessarie per far fronte al pagamento dei sinistri avvenutiper far fronte al pagamento dei sinistri avvenuti……e non ancora e non ancora liquidatiliquidati…”…” (Relativamente alla riserva sinistri).(Relativamente alla riserva sinistri).

3.3. La riserva per rischi in corso deve essere calcolata con il metoLa riserva per rischi in corso deve essere calcolata con il metodo prodo pro--ratarata--temporistemporis…”…” (Relativamente alla valutazione della riserva premi).(Relativamente alla valutazione della riserva premi).

Quadro legislativo italiano (2/2)

Con Con ll’’articolo 26articolo 26 viene introdotta lviene introdotta l’’obbligatorietobbligatorietàà di di costituire anche la riserva per sinistri IBNRcostituire anche la riserva per sinistri IBNR

D.L. 175/D.L. 175/’’9595

““le imprese di assicurazione hanno lle imprese di assicurazione hanno l’’obbligo di obbligo di costituirecostituire……una riserva per i sinistri avvenuti una riserva per i sinistri avvenuti

nellnell’’esercizio, ma non ancora denunciati al termine esercizio, ma non ancora denunciati al termine delldell’’esercizio stessoesercizio stesso…”…”

Con il successivo Con il successivo decreto legislativo 173/decreto legislativo 173/’’9797 sono poisono poiapportate apportate alcune modifichealcune modifiche………………

La riserva premi

utilizzata per coprire quei utilizzata per coprire quei rischi i cui premi sono rischi i cui premi sono

gigiàà stati incassati, ma la stati incassati, ma la cui durata va oltre la cui durata va oltre la chiusura dichiusura di esercizioesercizio

considera il rapporto considera il rapporto sinistri/premi (loss ratio) ed sinistri/premi (loss ratio) ed èèutilizzata a valutarne la sua utilizzata a valutarne la sua

capacitcapacitàà di far fronte al rischio di far fronte al rischio assicurato durante lassicurato durante l’’intera intera

copertura contrattualecopertura contrattuale

Riserva per frazioni di premioRiserva per frazioni di premio Riserva per rischi in corsoRiserva per rischi in corso

La gestione del premio (1/2)Si consideri un portafoglio di Si consideri un portafoglio di contratticontratti

sufficientemente sufficientemente omogeneiomogenei in base a quanto sia in base a quanto sia possibile affermare al tempo 0 possibile affermare al tempo 0

-- Tutti i contratti vengono stipulati al tempo 0Tutti i contratti vengono stipulati al tempo 0-- Tutti i contratti sono di durata annualeTutti i contratti sono di durata annuale

-- Il tempo 0 coincide con lIl tempo 0 coincide con l’’epoca di avvio dellepoca di avvio dell’’attivitattivitàà assicurativaassicurativa

Al tempo 0 lAl tempo 0 l’’assicuratore incassa un premio (somma dei assicuratore incassa un premio (somma dei premi di tariffa complessivi) comprensivo dei vari caricamentipremi di tariffa complessivi) comprensivo dei vari caricamenti

CCC 21 εε +=

caricamento per spese caricamento per spese di acquisizionedi acquisizione

caricamento per spese caricamento per spese di gestione di gestione

La terza componente La terza componente (spese di liquidazione dei sinistri), (spese di liquidazione dei sinistri), si considera compresa nellsi considera compresa nell’’entitentitàà

dei risarcimenti, Xdei risarcimenti, X

La gestione del premio (2/2)

Con lCon l’’ulteriore condizione di spese di gestione uniformemente ulteriore condizione di spese di gestione uniformemente distribuite nel corso delldistribuite nel corso dell’’anno anno

)()()( tXtCtd −= DisponibilitDisponibilitàà allall’’epoca tepoca t

ammontare complessivo ammontare complessivo dei premi che restano a dei premi che restano a disposizione alldisposizione all’’epoca tepoca t

importo dei risarcimenti importo dei risarcimenti complessivamente complessivamente cumulato da 0 a tcumulato da 0 a t

=−−−=−= )()()()( 21 tXCtCCtXtCtd εε

).()1( 21 tXtC −−−= εε

La gestione del premio: riserva premiLa La disponibilitdisponibilitàà allall’’epoca t epoca t non rappresentanon rappresenta il il

guadagnoguadagno delldell’’assicuratore al tempo tassicuratore al tempo t

Tra t ed 1, infatti, la compagnia di assicurazione dovrTra t ed 1, infatti, la compagnia di assicurazione dovràà sostenere sostenere ulteriori uscite, sia per spese di gestione che per i relativi ulteriori uscite, sia per spese di gestione che per i relativi

risarcimenti; mentre le entrate saranno pari a 0risarcimenti; mentre le entrate saranno pari a 0

AllAll’’epoca t, ci sono ancora epoca t, ci sono ancora impegni futuriimpegni futuri che lche l’’assicuratore assicuratore detiene nei confronti degli assicurati e che devono essere calcodetiene nei confronti degli assicurati e che devono essere calcolati lati

sulla base della suddetta disponibilitsulla base della suddetta disponibilitààRISERVA PREMI

Riserva premi

Se si assume che anche gli oneri avvengano con continuitSe si assume che anche gli oneri avvengano con continuitàà ed ed uniformituniformitàà nel corso dellnel corso dell’’annoanno

CttRp )1)(1()( 1ε−−=RISERVA PREMI

Si osservi che, al tempo 0, allSi osservi che, al tempo 0, all’’assicuratore resta a disposizione assicuratore resta a disposizione C (1C (1-- εε11)) per fare fronte alle spese di gestione e di liquidazione per fare fronte alle spese di gestione e di liquidazione sinistri poichsinistri poichéé il caricamento C il caricamento C εε11 èè interamente utilizzato in 0 interamente utilizzato in 0

per le spese di acquisizione dei contrattiper le spese di acquisizione dei contratti

•• GuadagnoGuadagno al tempo tal tempo t

)()()( tRtdtg p−=

Guadagno


)()()( tRtdtg p−=

•• GuadagnoGuadagno alla scadenza dei contrattialla scadenza dei contratti

)1()1()1()1( 21 XCdg −−−== εε

Ovviamente il guadagno in 1 può essere maggiore, minore, Ovviamente il guadagno in 1 può essere maggiore, minore, o uguale a 0, a seconda che gli esborsi complessivi, X(1) , o uguale a 0, a seconda che gli esborsi complessivi, X(1) , risultino, rispettivamente, inferiori, superiori, o uguali al risultino, rispettivamente, inferiori, superiori, o uguali al

premio puro al tempo 1, dato da premio puro al tempo 1, dato da C (1C (1-- εε1 1 -- εε22))

Metodi di valutazione per la riserva premi

La La valutazionevalutazione della riserva premi avviene della riserva premi avviene allall’’epoca di epoca di bilanciobilancio (che in genere coincide con la fine dall(che in genere coincide con la fine dall’’anno solare)anno solare)

La La stima stima si basa sulla si basa sulla durata media residuadurata media residua dei dei contratti assicurativicontratti assicurativi

•• Ai fini dei calcoli, esistono Ai fini dei calcoli, esistono due approcci:due approcci:

a)a) Metodo sintetico o forfettarioMetodo sintetico o forfettario

b)b) Metodo individuale o Metodo individuale o propro--ratarata--temporistemporis

Metodi di valutazione per la riserva premiMETODO SINTETICO O FORFETTARIO

Esso consiste nellEsso consiste nell’’individuare unindividuare un’’unica durata residua unica durata residua media a partire dalle media a partire dalle ‘‘mm’’ durate residue, durate residue, ttjj + 1 + 1 -- t, t,

relative ai singoli contrattirelative ai singoli contratti

•• Per farlo si sintetizza gli Per farlo si sintetizza gli ‘‘mm’’ valori effettuandone una mediavalori effettuandone una media

Ipotizzando uniforme distribuzione nellIpotizzando uniforme distribuzione nell’’incasso premiincasso premi

≈−= ∑=

m

jjjp CtR

11 )1()1( ε

jC)1(21

1ε−≈

Sostanzialmente, le Sostanzialmente, le ‘‘mm’’ durate durate residue sono state sintetizzate in residue sono state sintetizzate in unun’’unica durata media residua unica durata media residua

posta pari a metposta pari a metàà annoanno

21

=t

Metodi di valutazione per la riserva premiMETODO INDIVIDUALE O PRO-RATA-TEMPORIS

(1/2)Se si utilizza questo metodo vengono invece considerate Se si utilizza questo metodo vengono invece considerate

tutte le durate residue relative ad ogni singolo contratto tutte le durate residue relative ad ogni singolo contratto stipulato dallstipulato dall’’assicuratoreassicuratore

sono esaminati tutti gli sono esaminati tutti gli ‘‘mm’’ contratti senza alcuna aggregazionecontratti senza alcuna aggregazione

•• Nello specifico, Nello specifico, viene individuata unviene individuata un’’unitunitàà di misura di tempodi misura di temporispetto alla quale calcolare la durata residua relativamente adrispetto alla quale calcolare la durata residua relativamente ad

ognuno degli ognuno degli ‘‘mm’’ contratticontratti


(2/2)

LL’’unitunitàà di misura presa a riferimento può essere:di misura presa a riferimento può essere:

a)a) Il meseIl mese

b)b) Il mezzo meseIl mezzo mese

c)c) Il giornoIl giorno

Metodo dei 12Metodo dei 12--esimiesimi




a) Metodo dei 12-esimi

Se lSe l’’unitunitàà di misura di misura èè il mese, nellil mese, nell’’anno che si anno che si èè appena appena concluso e per un concluso e per un contratto stipulatocontratto stipulato il il 22 ottobre22 ottobre

risultano essere state risultano essere state coperte 3 unitcoperte 3 unitàà (mesi);(mesi);mentre mentre ne restano fuori le rimanenti 9ne restano fuori le rimanenti 9

ESEMPIOESEMPIO

PostoPosto 100)1( 1 =− jCε

129100)1( ⋅=pR


b) Metodo dei 24-esimi

Se lSe l’’unitunitàà di misura di misura èè il mezzo mese, nellil mezzo mese, nell’’anno che si anno che si èèappena concluso e per un appena concluso e per un contratto stipulatocontratto stipulato il il 22 ottobre22 ottobre

risultano essere state risultano essere state coperte 5 unitcoperte 5 unitàà (mezzo mese);(mezzo mese);mentre mentre ne restano fuori le rimanenti 19ne restano fuori le rimanenti 19

ESEMPIOESEMPIO


2419100)1( ⋅=pR


c) Metodo dei 365-esimi

Se lSe l’’unitunitàà di misura di misura èè il giorno, nellil giorno, nell’’anno che si anno che si èè appena appena concluso e per un concluso e per un contratto stipulatocontratto stipulato il il 22 ottobre22 ottobrerisultano essere state risultano essere state coperte 70 unitcoperte 70 unitàà (giorni);(giorni);

mentre mentre nene restano fuori le rimanenti 295restano fuori le rimanenti 295

ESEMPIOESEMPIO


365295100)1( ⋅=pR

Metodi di valutazione per la riserva premiOSSERVAZIONI

1)1) Osserviamo che i 3 metodi ammettono risultati diversi: Osserviamo che i 3 metodi ammettono risultati diversi: in particolare si conseguono valori crescentiin particolare si conseguono valori crescenti

In genere, viene utilizzato il secondo metodo, quello In genere, viene utilizzato il secondo metodo, quello dei 24dei 24--esimiesimi

2)2) Il metodo individuale o Il metodo individuale o propro--ratarata--temporistemporis fornisce una fornisce una stima esattastima esatta della riserva premi nel caso di uniforme della riserva premi nel caso di uniforme distribuzione degli impegni nel corso del tempo; distribuzione degli impegni nel corso del tempo; mentre il metodo sintetico o mentre il metodo sintetico o forfetario forfetario èè in grado di in grado di fornire solo una fornire solo una stima molto approssimatastima molto approssimata

3)3) Il Il propro--ratarata--temporistemporis èè di di facile applicazionefacile applicazione con con ll’’utilizzo di calcolatori elettronici, sebbene implichi utilizzo di calcolatori elettronici, sebbene implichi un certo un certo costocosto

La riserva per rischi in corso

RISERVA PER RISCHI IN CORSORISERVA PER RISCHI IN CORSO

D.L. 173/D.L. 173/’’9797

consente una consente una visione globalevisione globale della posizione assicurativa della posizione assicurativa ed i ed i futuri risarcimentifuturi risarcimenti sono sono confrontati confrontati con le con le

quote di premio giquote di premio giàà incassate piincassate piùù le ratele rate che verranno che verranno corrisposte in seguitocorrisposte in seguito dalldall’’assicuratoassicurato

PS

×Riserva perRiserva per

frazioni di premiofrazioni di premio + Rate di premio Rate di premio a scaderea scadere

(-)

Riserva perRiserva perfrazioni di premiofrazioni di premio

+ Rate di premio Rate di premio a scaderea scadere

““loss ratioloss ratio””rapporto rapporto

sinistri/premisinistri/premi

L’evoluzione dei sinistri e la riserva sinistriPer quanto analizzato fino adesso, i sinistri risultano Per quanto analizzato fino adesso, i sinistri risultano

essere immediatamente denunciati, registrati e liquidati essere immediatamente denunciati, registrati e liquidati nel momento stesso in cui essi avvengononel momento stesso in cui essi avvengono

t + sepoca in cui è definito

l’ammontare del risarcimento

chiusot t + s + r

epoca diaccadimento

epoca didenuncia e

registrazione

non registrato aperto liquidato

EVOLUZIONE DI UN SINISTRO

L’evoluzione dei sinistri e la riserva sinistri

Esiste dunque un ulteriore debito che l’assicuratore detiene nei confronti degli assicurati.

È necessaria una ulteriore riserva tecnica

RISERVA SINISTRI

al fine di adempiere a quei risarcimenti relativi a al fine di adempiere a quei risarcimenti relativi a sinistri sinistri gigiàà avvenutiavvenuti, , mama per i quali per i quali non non èè stato effettuato stato effettuato

ancora alcun pagamento, o lo ancora alcun pagamento, o lo èè stato fatto solo in partestato fatto solo in parte

Riserva sinistri

Nello specifico, la riserva sinistri è costituita da due elementi:

- il primo attinente a quei sinistri registrati, ma non ancora pagati o pagati solo in parte, detta riserva IBNER

- il secondo relativo a quei sinistri non ancora registrati, detta riserva IBNR

Riserva SinistriRiserva Sinistri

IBNERIBNER((IncurredIncurred ButBut NotNot EnoughEnough ReservedReserved):):

sinistri registrati ma non ancora pagati sinistri registrati ma non ancora pagati o pagati solo in parteo pagati solo in parte

IBNRIBNR((Incurred But Not Reported):Incurred But Not Reported):

sinistrisinistri non non registratiregistrati

Riserva sinistri e guadagno

Considerando anche la riserva sinistriConsiderando anche la riserva sinistri


•• GuadagnoGuadagno alla scadenza dei contrattialla scadenza dei contratti

)()()()( tRtRtdtg sp −−=

)1()1()1( sRdg −=

ÈÈ interessante osservare che il interessante osservare che il guadagno in 1guadagno in 1 nonnon èè pipiùù un un valore certovalore certo, cos, cosìì come lo era in presenza della sola riserva premi: come lo era in presenza della sola riserva premi:

-- la la stima della riservastima della riserva sinistri lo rende infatti una sinistri lo rende infatti una quantitquantitàà stimata.stimata.

Metodi di valutazione per la riserva sinistriALCUNE CONSIDERAZIONI (1/2)

-- la la riserva IBNERriserva IBNER viene utilizzata viene utilizzata per risarcire quei per risarcire quei sinistri sinistri denunciati e registratidenunciati e registrati, , ma non ma non ancora definitivamente chiusiancora definitivamente chiusi. .

comprende i comprende i sinistri apertisinistri aperti ed ed

i i liquidatiliquidati

Analizziamo in dettaglio i due elementi che Analizziamo in dettaglio i due elementi che individuano la riserva sinistriindividuano la riserva sinistri

-- la la riserva IBNRriserva IBNR,, serve a risarcire serve a risarcire le cosiddette le cosiddette tardive denuncetardive denunce, ossia , ossia quei quei sinistrisinistri che allche all’’epoca di epoca di valutazione sono valutazione sono gigiàà avvenutiavvenuti, , ma ma nonnon sonosono ancoraancora stati stati denunciati denunciati

comprende i comprende i sinistri non sinistri non registratiregistrati

(TARDIVE DENUNCE)(TARDIVE DENUNCE)

Metodi di valutazione per la riserva sinistriALCUNE CONSIDERAZIONI (2/2)

1)1) Da un punto di vista assicurativoDa un punto di vista assicurativo, , èè facilmente facilmente comprensibile la comprensibile la maggiore importanza della maggiore importanza della componente IBNERcomponente IBNER. .

(La riserva IBNR riguarda infatti un numero piccolo di sinistri,(La riserva IBNR riguarda infatti un numero piccolo di sinistri,verificatisi in prossimitverificatisi in prossimitàà della data di valutazione)della data di valutazione)

2)2) Da un punto di vista Da un punto di vista riassicurativoriassicurativo, le , le tardive denuncietardive denuncieconseguonoconseguono non solonon solo da parte degli da parte degli assicurati assicurati nei confronti nei confronti deglidegli assicuratori direttiassicuratori diretti; bens; bensìì, , anche e soprattuttoanche e soprattutto, da parte , da parte degli degli assicuratori direttiassicuratori diretti nei confronti dei nei confronti dei riassicuratoririassicuratori

La La stimastima della riserva sinistri della riserva sinistri èè in genere effettuata in genere effettuata alla alla fine di un certo anno solarefine di un certo anno solare (ossia ad un 31/12)(ossia ad un 31/12)

•• Esistono Esistono due approcci due approcci di stimadi stima::

a)a) Metodo collettivo o sinteticoMetodo collettivo o sintetico

b)b) Metodo individuale o analiticoMetodo individuale o analitico

si basa su una collettivitsi basa su una collettivitàà di di rischirischi il piil piùù possibile possibile omogeneiomogenei tra lorotra loro

considera ogni singolo sinistro e lo segue nel considera ogni singolo sinistro e lo segue nel tempo in un ottica di tempo in un ottica di monitoraggiomonitoraggio

Metodi di valutazione per la riserva sinistri (1/2)

Metodi di valutazione per la riserva sinistri (2/2)

Vantaggi e svantaggi dei due approcciVantaggi e svantaggi dei due approcci

-- dipendono dalle caratteristiche del portafoglio dipendono dalle caratteristiche del portafoglio assicurativoassicurativo

1)1) Se lSe l’’assicuratore ha a disposizione un portafoglio con un assicuratore ha a disposizione un portafoglio con un numero numero sufficientementesufficientemente grande ed omogeneogrande ed omogeneo di di rischirischi, , caratterizzato da caratterizzato da risarcimentirisarcimenti di di importo medioimporto medio--bassobasso, , ll’’approccio collettivoapproccio collettivo èè in grado di dare buoni risultatiin grado di dare buoni risultati

2)2) LL’’approccio individualeapproccio individuale, invece, risulta opportuno in , invece, risulta opportuno in presenza di presenza di pochi sinistripochi sinistri ma molto ma molto onerosionerosi

a)a) necessitnecessitàà anche di anche di stabilitstabilitàà, ossia dovrebbero restare , ossia dovrebbero restare costanti nel tempo le modalitcostanti nel tempo le modalitàà di liquidazione dei sinistri, di liquidazione dei sinistri, coscosìì come i relativi costicome i relativi costi

Metodi di valutazione per la riserva sinistri APPROCCIO COLLETTIVO (1/5)

0 1 . . . . . k0 1 . . . . . k k + 1k + 1

00

11........

kk

ijγ

ijγ̂

ANNO DI DIFFERIMENTOANNO DI DIFFERIMENTO

ANNO ANNO DI DI

DENUNCIADENUNCIA

Base di partenzaBase di partenza


-- kk: : numero massimo di anni in cui si presuppone numero massimo di anni in cui si presuppone completare il pagamento di ogni singolo sinistrocompletare il pagamento di ogni singolo sinistro

coincide anche con lcoincide anche con l’’anno corrente, (al momento il 2007);anno corrente, (al momento il 2007);

-- il tempo 0il tempo 0 comprende anche tutti quei sinistri che non sono comprende anche tutti quei sinistri che non sono stati chiusi nel periodo k prestabilito, sebbene questi non stati chiusi nel periodo k prestabilito, sebbene questi non

siano molti (circa un 1%,2%), nel caso in cui il valore di k siano molti (circa un 1%,2%), nel caso in cui il valore di k sia stato scelto adeguatamentesia stato scelto adeguatamente

La loro entitLa loro entitàà complessiva complessiva èè supposta nota ed supposta nota ed èèespressa con Respressa con R0,k+10,k+1


Lettura della tabellaLettura della tabella

-- per rigaper riga troviamo ltroviamo l’’evoluzione di una generazione di evoluzione di una generazione di sinistri rispetto alle epoche in cui vengono effettuati i sinistri rispetto alle epoche in cui vengono effettuati i risarcimentirisarcimenti

-- per colonnaper colonna abbiamo il trend negli anni di differimento: come si abbiamo il trend negli anni di differimento: come si comportano le varie generazioni dei sinistri relativamente ad uncomportano le varie generazioni dei sinistri relativamente ad un dato dato anno di differimento. anno di differimento.

Ad esempio, un trend decrescente allAd esempio, un trend decrescente all’’interno di una colonna, interno di una colonna, corrisponde ad un anno in cui i risarcimenti diminuisconocorrisponde ad un anno in cui i risarcimenti diminuiscono nel corso del tempo nel corso del tempo

-- sulla diagonalesulla diagonale sono presenti i pagamenti relativi allsono presenti i pagamenti relativi all’’anno di anno di valutazionevalutazione


StimeStime

la diagonale suddivide la tabella in due triangolila diagonale suddivide la tabella in due triangoli

-- un un triangolo superioretriangolo superiore, dove si trovano gli elementi , dove si trovano gli elementi noti, la noti, la base statistica a disposizionebase statistica a disposizione-- un un triangolo inferioretriangolo inferiore, dove verranno inserite le , dove verranno inserite le stime futurestime futureLe stime, ed in conseguenza le quantitLe stime, ed in conseguenza le quantitàà a disposizione per a disposizione per

effettuarle, possono basarsi sueffettuarle, possono basarsi su

ijγYYijij risarcimenti non cumulati relativi alla risarcimenti non cumulati relativi alla generazione i, con j anni di differimentogenerazione i, con j anni di differimento

XXijij risarcimenti cumulati relativi alla generazione i, e risarcimenti cumulati relativi alla generazione i, e risarciti al massimo entro j anni di differimentorisarciti al massimo entro j anni di differimento


•• OSSERVAZIONIOSSERVAZIONI

1)1) Le considerazioni effettuate fanno riferimento ai sinistri liquiLe considerazioni effettuate fanno riferimento ai sinistri liquidati:dati:-- ll’’analisi esclude i sinistri aperti, che dovranno poi essere inseranalisi esclude i sinistri aperti, che dovranno poi essere inseriti iti nel costo complessivonel costo complessivo

2)2) I dati della base statistica derivano o proprio dalla compagnia I dati della base statistica derivano o proprio dalla compagnia di di assicurazione o da un gruppo di compagnie. assicurazione o da un gruppo di compagnie.

-- I problemi maggiori riguardano i riassicuratori, i quali sono cI problemi maggiori riguardano i riassicuratori, i quali sono costretti a ostretti a svolgere i loro calcoli sulla base di dati molto incompletisvolgere i loro calcoli sulla base di dati molto incompleti

3)3) Per avere una stima della riserva IBNR basterebbe considerare Per avere una stima della riserva IBNR basterebbe considerare ll’’anno di accadimento, anzichanno di accadimento, anzichéé quello di denunciaquello di denuncia

Approccio collettivoMETODI DI STIMA (1/4)

Le Le stime stime che devono essere individuate sonoche devono essere individuate sono

ijγ̂

1,ˆ

+kiR

--

--

che può rappresentare o i singoli risarcimenti o i risarcimenti che può rappresentare o i singoli risarcimenti o i risarcimenti cumulaticumulati

che determina quei sinistri che appartengono alla generazione che determina quei sinistri che appartengono alla generazione i e che non vengono risarciti in k anni di differimentoi e che non vengono risarciti in k anni di differimento

Le Le ipotesiipotesi delldell’’approccio collettivo sonoapproccio collettivo sono

a)a) una base statistica appropriatauna base statistica appropriata

b)b) la disponibilitla disponibilitàà di un modello di proiezionedi un modello di proiezione


Metodi di proiezioneMetodi di proiezione

a)a) Metodi deterministiciMetodi deterministici

forniscono una forniscono una stima puntualestima puntuale della riservadella riserva

b)b) Metodi stocasticiMetodi stocastici

permettono di considerare lpermettono di considerare l’’aleatorietaleatorietàà del portafoglio del portafoglio analizzato, creandone una analizzato, creandone una stima intervallarestima intervallare entro la entro la

quale la riserva sinistri si collocherquale la riserva sinistri si collocheràà

SonoSono evidenti i evidenti i vantaggivantaggi dei dei metodi stocasticimetodi stocastici, in grado , in grado di fornire misure di variabilitdi fornire misure di variabilitàà della stima individuata ed il della stima individuata ed il

conseguente livello di fiducia ad essa attribuitaconseguente livello di fiducia ad essa attribuita


Metodi deterministiciMetodi deterministici

-- possono basarsi su 2 tecniche di proiezione distintepossono basarsi su 2 tecniche di proiezione distinte

a)a) ““grossinggrossing upup””

fa riferimento alla proporzione di risarcimenti effettuati fa riferimento alla proporzione di risarcimenti effettuati nel corso degli anni di differimento in rapporto al totalenel corso degli anni di differimento in rapporto al totale

;00

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

∑j

ij

i

YYr ;1

1⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

∑j

ij

i

YYr ;

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

∑j

ij

ihh Y

Yr...... ......


Metodi deterministiciMetodi deterministici

b)b) ““link ratiolink ratio””

considera la proporzione dei risarcimenti effettuata nel corso considera la proporzione dei risarcimenti effettuata nel corso degli anni di differimento in rapporto alldegli anni di differimento in rapporto all’’anno precedenteanno precedente

...... ......;0

10 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

i

i

YYr ;

1

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

i

i

YYr ;1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

ih

ihh Y

Yr

La logica La logica èè poi quella di moltiplicare gli elementi che si poi quella di moltiplicare gli elementi che si trovano sulla diagonale, (valori pitrovano sulla diagonale, (valori piùù recenti a disposizione), recenti a disposizione),

per i coefficienti, rper i coefficienti, r00, r, r11,,……, , rrhh, a secondo della tecnica utilizzata, a secondo della tecnica utilizzata

Approccio collettivoRISERVA SINISTRI (1/2)

Una volta individuate le stime relative agli elementi del Una volta individuate le stime relative agli elementi del triangolo inferiore: triangolo inferiore:

-- ll’’entitentitàà della riserva sinistri della riserva sinistri èè determinata semplicemente determinata semplicemente sommando tutti questi valori; sommando tutti questi valori;

-- ed aggiungendo, inoltre, i termini aggiuntivi (anche questi stied aggiungendo, inoltre, i termini aggiuntivi (anche questi stimati), mati), RRii,k+1,k+1, (i =1,2,, (i =1,2,……,k), relativi alle riserve per i pagamenti effettuati ,k), relativi alle riserve per i pagamenti effettuati con picon piùù di k anni di differimentodi k anni di differimento

Approccio collettivoRISERVA SINISTRI (2/2)

1)1) Nel caso di singoli risarcimentiNel caso di singoli risarcimenti ijij Y=γ

1,01 1

1,)(ˆˆ

+= +−=

+ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑ ∑ k

k

i

k

ikjkiij

IBNERk RRYR

2)2) Nel caso di risarcimenti cumulatiNel caso di risarcimenti cumulati ijij X=γ

( )[ ] 1,01

1,)(ˆˆ

+=

+− ++−= ∑ k

k

ikiiikik

IBNERk RRXXR

Metodo della catena (Chain-Ladder) (1/4)

Il metodo si basa sugli importi cumulativamente pagati Il metodo si basa sugli importi cumulativamente pagati per sinistri della generazione i nei primi j anni di differimentper sinistri della generazione i nei primi j anni di differimento,o, XXijij

La tecnica di proiezione su cui si basa La tecnica di proiezione su cui si basa èè quella quella del del ““link ratiolink ratio””

IPOTESI:IPOTESI:esiste una esiste una ““legge di legge di smontamentosmontamento”” dei sinistri dei sinistri costante per ogni anno di generazionecostante per ogni anno di generazione

-- Tale legge rappresenta la progressione dei risarcimenti Tale legge rappresenta la progressione dei risarcimenti cumulati nel corso degli anni di differimentocumulati nel corso degli anni di differimento

......20

21

10

11

00

01 ===XX

XX

XX


I rapporti non dipendono, a meno di variazioniI rapporti non dipendono, a meno di variazioni

aleatorie, dallaleatorie, dall’’anno di denuncia i, ma solo dallanno di denuncia i, ma solo dall’’anno di anno di

generazione jgenerazione j

1−ij

ij

XX

Stima Stima dei rapportidei rapporti1−

=ij

ijj X

Xm

,

01

0

∑

∑−

=−

−

== jk

iij

jk

iij

j

X

Xm kj ,...,2,1=


Una volta individuati tutti i coefficienti mUna volta individuati tutti i coefficienti mii, (i =1,2,, (i =1,2,……k), k), le stime sono facilmente calcolabilile stime sono facilmente calcolabili

Cz

hkjjhhkhz mXX

1

ˆ+−=

−=kh ,...,2,1=

khkz ,...,1+−=

I termini aggiuntivi sono invece stimati conI termini aggiuntivi sono invece stimati con

11,ˆˆ

++ = kikki mXR

k

kkk X

RXm

0

1,001

++

+=dovedove


•• OSSERVAZIONIOSSERVAZIONI

1)1) In questo caso vengono considerati tutti i dati disponibili In questo caso vengono considerati tutti i dati disponibili relativi a due colonne consecutiverelativi a due colonne consecutive

-- esistono ulteriori versioni del metodo, le cui stime si esistono ulteriori versioni del metodo, le cui stime si basano solo su alcuni dei dati a disposizionebasano solo su alcuni dei dati a disposizione

2)2) Si può pensare di utilizzare i valori relativi solo agli Si può pensare di utilizzare i valori relativi solo agli ultimi 3 o 5 anni di generazione oppure assegnare ultimi 3 o 5 anni di generazione oppure assegnare ““pesipesi””diversi alle quantitdiversi alle quantitàà notenote

--il fine il fine èè quello di attribuire ai dati una importanza quello di attribuire ai dati una importanza diversa in base al loro riferimento temporale. diversa in base al loro riferimento temporale.

(Ad esempio, (Ad esempio, èè plausibile ritenere piplausibile ritenere piùù affidabili i dati piaffidabili i dati piùù recenti) recenti)

Varianti del metodo della catena (1/5)Le IpotesiLe Ipotesi

A fronte dei A fronte dei pochi dati richiestipochi dati richiesti ai fini dei calcoli, ai fini dei calcoli, -- il metodo presuppone anche lil metodo presuppone anche l’’ipotesi di ipotesi di costanzacostanza, , rispetto alle varie generazioni, della rispetto alle varie generazioni, della progressioneprogressione dei dei pagamenti cumulatipagamenti cumulati

LIMITELIMITE

-- la gestione amministrativa dellla gestione amministrativa dell’’impresa in ambito impresa in ambito della liquidazione dei sinistridella liquidazione dei sinistri

Nel tempo può variare Nel tempo può variare

-- il comportamento della magistratura ed in il comportamento della magistratura ed in conseguenza i tempi di indennizzoconseguenza i tempi di indennizzo-- ci sono poi gli effetti inflazionisticici sono poi gli effetti inflazionistici

Varianti del metodo della catena (2/5)

ÈÈ possibile possibile attutire attutire ll’’effettoeffetto dei cosiddetti dei cosiddetti fattori fattori ““esogeniesogeni””,,ossia esterni allossia esterni all’’attivitattivitàà assicurativa, assicurativa,

introducendo introducendo tassi tassi ““inflativiinflativi”” sulla base sulla base delle osservazioni passatedelle osservazioni passate

•• I I ““tassi inflativitassi inflativi”” non corrispondono a quelli non corrispondono a quelli ufficiali dellufficiali dell’’inflazione economica: inflazione economica:

-- considerano anche gli effetti, diretti ed indiretti, sulla considerano anche gli effetti, diretti ed indiretti, sulla gestione di impresa in ambito costi per risarcimentigestione di impresa in ambito costi per risarcimenti

FATTORI FATTORI ““ESOGENIESOGENI”” E E ““TASSI INFLATIVITASSI INFLATIVI””

Varianti del metodo della catena (3/5)Procedimento operativo Procedimento operativo

I.I. Il primo passo Il primo passo èè quello di decomporre i risarcimenti quello di decomporre i risarcimenti cumulati, per ogni anno di generazione, nei diversi cumulati, per ogni anno di generazione, nei diversi importi relativi ai singoli anni di differimento. importi relativi ai singoli anni di differimento.

Si considerano le quantitSi considerano le quantitàà 1−−= ijijij XXY

II.II. Si Si ““inflazionanoinflazionano”” poi questi valori prendendo come poi questi valori prendendo come anno di riferimento quello della generazione pianno di riferimento quello della generazione piùù recente recente (nel caso il 2007) e si ottengono pertanto importi (nel caso il 2007) e si ottengono pertanto importi ““inflazionatiinflazionati””, , in euro 2007, , in euro 2007*

ijY

III.III. Si ricostruiscono i risarcimenti cumulati, eSi ricostruiscono i risarcimenti cumulati, e si si

applica il classico metodo della catena a questi nuovi vapplica il classico metodo della catena a questi nuovi valori,alori,che, a questo punto, risultano espressi in euro 2007che, a questo punto, risultano espressi in euro 2007

,0

∑=

∗∗ =j

zizij YX

Varianti del metodo della catena (4/5)OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE

La stima non La stima non èè ancora completaancora completa

Occorre considerare anche lOccorre considerare anche l’’inflazioneinflazione presente negli presente negli anni futurianni futuri la valutazionela valutazione

Si utilizza un Si utilizza un procedimentoprocedimento analogoanalogo a quello a quello utilizzato per gli anni passati; utilizzato per gli anni passati;

mentre il mentre il tasso di inflazionetasso di inflazione èè ipotizzato essere ipotizzato essere costantecostantenel tempo ed nel tempo ed èè calcolato come una calcolato come una mediamedia

dei tassi riscontrati nel passatodei tassi riscontrati nel passato

Varianti del metodo della catena (5/5)Procedimento operativo per gli anni futuri la valutazioneProcedimento operativo per gli anni futuri la valutazione

IV.IV. Si costruisce la matrice triangolare inferiore dei Si costruisce la matrice triangolare inferiore dei pagamenti annuali previsti in futuro, che ricordiamo pagamenti annuali previsti in futuro, che ricordiamo essere espressi in euro 2007,essere espressi in euro 2007, ∗

−∗∗ −= 1

ˆˆˆijijij XXY

V.V. Si Si ““inflazionanoinflazionano”” questi valori sulla base questi valori sulla base delldell’’ipotesi di tasso costante precedentemente ipotesi di tasso costante precedentemente effettuataeffettuata

VI.VI. La somma delle righe, (senza eventualmente ritornare La somma delle righe, (senza eventualmente ritornare agli importi cumulati), rappresenta il valore della agli importi cumulati), rappresenta il valore della riserva globale che, pertanto, considera sia lriserva globale che, pertanto, considera sia l’’inflazione inflazione relativa agli anni passati, sia lrelativa agli anni passati, sia l’’inflazione relativa agli inflazione relativa agli anni futuri.anni futuri.

Metodo dei minimi quadrati di De Vylder (1/4)

Il metodo, creato da De Il metodo, creato da De VylderVylder nel 1978, si basa sul criterio nel 1978, si basa sul criterio dei minimi quadratidei minimi quadrati

I dati a disposizione sono i singoli importi relativi alla I dati a disposizione sono i singoli importi relativi alla generazione i risarciti con j anni di differimentogenerazione i risarciti con j anni di differimento YYijij

•• BASE STATISTICABASE STATISTICA

abbiamo a disposizione solo un insieme di informazioni parziali,abbiamo a disposizione solo un insieme di informazioni parziali,diciamo D, o per carenza di dati, o per loro inattendibilitdiciamo D, o per carenza di dati, o per loro inattendibilitàà

((i valori del triangolo superiore, quelli che costituiscono la bai valori del triangolo superiore, quelli che costituiscono la base se statistica, non sono necessariamente tutti disponibili, oppure lstatistica, non sono necessariamente tutti disponibili, oppure lo sono, o sono,

ma risultano inattendibilima risultano inattendibili ))

Aspetto Aspetto molto diffuso anche nella realtmolto diffuso anche nella realtàà assicurativaassicurativa

IPOTESI:IPOTESI:


il singolo risarcimento può essere fattorizzato inil singolo risarcimento può essere fattorizzato in

jiij rpY =

quantitquantitàà che dipende dallche dipende dall’’anno di anno di generazione i e ne esprime il generazione i e ne esprime il

risarcimento complessivorisarcimento complessivo

parametro adimensionale che dipende parametro adimensionale che dipende dalldall’’anno di differimento anno di differimento

e rappresenta lae rappresenta la““legge di legge di smontamentosmontamento dei sinistridei sinistri””

La fattorizzazione La fattorizzazione èè individuata a meno di una costante individuata a meno di una costante moltiplicativa ed moltiplicativa ed èè univocamente determinata nel caso si assuma launivocamente determinata nel caso si assuma lanormalizzazionenormalizzazione 1

0

=∑=

k

jjr


La tecnica di proiezione su cui si basa La tecnica di proiezione su cui si basa èè quella quella del del ““grossinggrossing upup””

Le Le stimestime si ottengono secondo il si ottengono secondo il criterio dei criterio dei minimi quadratiminimi quadrati

( )2

),(∑

∈

−Dji

jiij rpY

insieme delle coppie (i,j) insieme delle coppie (i,j) effettivamente disponibilieffettivamente disponibili


SoluzioniSoluzioni

la soluzione, normalizzata, si ottiene utilizzando un la soluzione, normalizzata, si ottiene utilizzando un processo iterativo sulle quantitprocesso iterativo sulle quantitàà

;2∑∑

=

jj

jjij

i r

rYp

;2∑∑

=

ii

iiij

j p

pYr

ki ,...,2,1=

kj ,...,2,1=

Si parte da valori arbitrari assegnati Si parte da valori arbitrari assegnati alle alle rrjj, (sotto la condizione ), , (sotto la condizione ), da sostituire nellda sostituire nell’’ espressione (a) espressione (a) per poi passare a calcolare la (b), per poi passare a calcolare la (b),

quindi ritornare alla (a), quindi ritornare alla (a), …………e cose cosìì via iterativamentevia iterativamente

a)a)

b)b)

10

=∑=

k

jjr

Alcune osservazioni sui metodi di stima (1/2)

1)1) La La sceltascelta dei dei metodi di stimametodi di stima da utilizzare ai fini dei calcoli da utilizzare ai fini dei calcoli della riserva sinistri dipende molto dalle della riserva sinistri dipende molto dalle ipotesi ipotesi su cui i su cui i criteri si basanocriteri si basano

-- Il realismo delle ipotesi Il realismo delle ipotesi èè spesso difficile da realizzare ed spesso difficile da realizzare ed èèquindi difficile stabilire il metodo di valutazione appropriatoquindi difficile stabilire il metodo di valutazione appropriato

2)2) Criteri diversiCriteri diversi possono apportarepossono apportare risultati risultati di gran di gran lunga lunga differentidifferenti

-- In genere la stima viene effettuata utilizzando piIn genere la stima viene effettuata utilizzando piùù metodi metodi di calcolo; di calcolo; -- il valore finale deriva poi da una media dei singoli il valore finale deriva poi da una media dei singoli risultati ottenutirisultati ottenuti

Alcune osservazioni sui metodi di stima (2/2)

3)3) I I modelli statisticimodelli statistici possono essere possono essere controllaticontrollati sfruttando, sfruttando, con il passare del tempo, le informazioni passate, efficaci con il passare del tempo, le informazioni passate, efficaci elementi di confronto con le elementi di confronto con le passate previsioni.passate previsioni.

-- Al riguardo, sarebbe invece auspicabile riferirsi ad uno stesso Al riguardo, sarebbe invece auspicabile riferirsi ad uno stesso modello di valutazione ed in conseguenza ai maggiori dati modello di valutazione ed in conseguenza ai maggiori dati disponibili nel corso del trascorrere dei diversi anni di esercidisponibili nel corso del trascorrere dei diversi anni di eserciziozio

4)4) Comprensibile necessitComprensibile necessitàà di utilizzare di utilizzare modelli diversimodelli diversi per per portafogli portafogli con caratteristiche con caratteristiche differentidifferenti..

5)5) LL’’importo finale della importo finale della riserva sinistririserva sinistri (alla chiusura di un (alla chiusura di un esercizio)esercizio) rappresenta una rappresenta una stimastima delldell’’impegnoimpegnocomplessivo dellcomplessivo dell’’impresa nei confronti dei rischi impresa nei confronti dei rischi assicurati e assicurati e non non un suo un suo valore attualevalore attuale

Altre riserve tecniche (1/2)Riserve di perequazioneRiserve di perequazione

devono essere accantonate allo scopo di: devono essere accantonate allo scopo di: -- perequare le perequare le fluttuazionifluttuazioni del del tassotasso dei dei sinistrisinistri negli negli annianni futurifuturi; ; -- coprire coprire rischirischi particolariparticolari..

•• Riserva di compensazioneRiserva di compensazione-- deve essere costituita dalle imprese che operano nel ramo creditdeve essere costituita dalle imprese che operano nel ramo credito, o, accantonando una percentuale dellaccantonando una percentuale dell’’eventuale saldo tecnico positivo del ramo eventuale saldo tecnico positivo del ramo secondo apposite modalitsecondo apposite modalitàà indicate nellindicate nell’’art. 80 del D.L. n.173 del 1997, art. 80 del D.L. n.173 del 1997, allo scopo di compensare i risultati (positivi e negativi) di piallo scopo di compensare i risultati (positivi e negativi) di piùù esercizi.esercizi.

•• Riserva di equilibrio per rischi di calamitRiserva di equilibrio per rischi di calamitàà naturalinaturali-- èè prevista per tutti i rami danni, ad eccezione dei rami credito prevista per tutti i rami danni, ad eccezione dei rami credito e cauzione, e cauzione, e deve essere accantonata (secondo modalite deve essere accantonata (secondo modalitàà stabilite con apposito decreto stabilite con apposito decreto ministeriale) allo scopo di compensare nel tempo lministeriale) allo scopo di compensare nel tempo l’’andamento della andamento della sinistralitsinistralitàà..

Altre riserve tecniche (2/2)Riserva di senescenzaRiserva di senescenza

-- deve essere accantonata per quei contratti di assicurazione contdeve essere accantonata per quei contratti di assicurazione contro ro le malattie con durata pluriennale e nei quali i premi sono calcle malattie con durata pluriennale e nei quali i premi sono calcolati olati in base allin base all’’etetàà delldell’’assicurato al momento della stipulazione del assicurato al momento della stipulazione del contratto stesso;contratto stesso;-- èè destinata a compensare ldestinata a compensare l’’aggravarsi del rischio dovuto al aggravarsi del rischio dovuto al crescere dellcrescere dell’’etetàà degli assicurati;degli assicurati;-- èè calcolata su basi attuariali ma può anche essere calcolata calcolata su basi attuariali ma può anche essere calcolata forfettariamente, in misura non inferiore al 10% dei premi lordiforfettariamente, in misura non inferiore al 10% dei premi lordidelldell’’esercizio relativi ai contratti considerati.esercizio relativi ai contratti considerati.

Riserve Riserve per partecipazioni agli utili e ristorniper partecipazioni agli utili e ristorni-- comprendono gli importi da attribuire agli assicurati o ai comprendono gli importi da attribuire agli assicurati o ai beneficiari dei contratti a titolo di partecipazioni agli utili beneficiari dei contratti a titolo di partecipazioni agli utili tecnici tecnici e di ristorni.e di ristorni.

Le riserve

nelle assicurazioni sulla vita

• L’articolo 36 del codice delle assicurazioni prevede per i contratti di assicurazione sulla vita l’obbligo di costituire riserve tecniche sufficienti a garantire le obbligazioni assunte e le spese future

• Secondo quanto previsto dall’art 25 del D.Lgs 174 l’impresa deve accantonare una riserva matematica, calcolata, secondo un metodo attuariale prospettivosufficientemente prudente, utilizzando le stesse basi tecniche (di primo ordine)adottate per il calcolo del premio.

• Per alcuni contratti assicurativi (collegati a fondi o a indici azionari) la riserva dev’essere calcolata facendo riferimento ai valori di mercato.

• Le riserve calcolate tenendo contro delle prestazioni e dei premi puri, senza considerare caricamenti di sicurezza e spese, vengono spesse definite riserve matematiche pure.

• Tale voce, registrata nel passivo dello stato patrimoniale, esprime la valutazione in un determinato istante dell’ammontare degli impegni futuri nei confronti degli assicurati

Le riserve matematiche

• Il decreto 174 prevede che la riserva venga calcolata con il metodo prospettivo: la riserva esprime, cioè, la differenza tra il valore attuale atteso, alla data di calcolo della riserva, degli impegni futuri dell’assicuratore e il valore attuale atteso degli impegni dell’assicurato.

• Il principio di equità richiede che al momento della stipulazione del contratto l’impegno del contraente e dell’assicuratore coincidano:

• Tale uguaglianza non sussiste necessariamente in epoche di valutazione diverse dal momento della stipulazione de contratto:

• Tale relazione può essere trasformata in uguaglianza introducendo la riserva matematica:

• Da cui si può ricavare la formulazione della riserva matematica prospettiva:la formulazione della riserva matematica prospettiva:

)()( )(0

)(0

ax

cx IEIE =

)()( )()( axt

cxt IEIE ≠

)()()( )()( pt

cxt

axt VIEIE +=

)()( )()()( cxt

axt

pt IEIEV −=

La riserva matematica prospettiva

• Accanto alla riserva matematica possono risultare necessari ulteriori accantonamenti per far fronte a particolari impegni che gravano sul contratto. In particolare possono essere previste, ad esempio, delle riserve spese di gestione per far fronte alle spese che si originano nei contratti.

• Inoltre, l’utilizzo di basi tecniche di primo ordine per il calcolo della riserva matematica potrebbe portare ad una sottostima dell’impegno rispetto all’effettiva realtà demografica e finanziaria.

• Alcune circolari Isvap hanno, così, previsto la necessità di effettuare accantonamenti nel caso di variazioni sfavorevoli di alcune ipotesi:

- la circolare 343 D prevede l’accantonamento di una riserva basi demografiche per i contratti di rendita o con opzione per tener conto del longevity risk

- la circolare 1801 prevede la stima della capacità delle riserve attuali di far fronte agli impegni futuri legati ai contratti rivalutabili sulla base dei rendimenti previdibili attesi.

Alcuni commenti

Il ruolo dell’attuario

e l’impatto del progetto Solvency II

Il ruolo dell’attuario incaricato

Principali Principali compiti compiti delldell’’attuario incaricato attuario incaricato nel nel settore dannisettore danni::

-- una una verifica preventiva delle basi tecniche, delle metodologie verifica preventiva delle basi tecniche, delle metodologie statistiche, delle ipotesi tecniche e finanziarie utilizzate ai statistiche, delle ipotesi tecniche e finanziarie utilizzate ai fini della fini della determinazione del fabbisogno tariffario e degli ulteriori elemedeterminazione del fabbisogno tariffario e degli ulteriori elementi nti considerati;considerati;

-- una una valutazione preventiva dei premi di tariffa in funzione dei valutazione preventiva dei premi di tariffa in funzione dei parametri di riferimento utilizzati; parametri di riferimento utilizzati;

-- la la stesura di una relazione tecnica sulla tariffe e sulle riserve;stesura di una relazione tecnica sulla tariffe e sulle riserve;

-- lo stabilire rapporti diretti con llo stabilire rapporti diretti con l’’Isvap, con la societIsvap, con la societàà di di revisione e con il collegio sindacale. revisione e con il collegio sindacale.

I principi IAS sono stati stabiliti al fine di I principi IAS sono stati stabiliti al fine di creare creare unaunacontabilitcontabilitàà internazionale uniformeinternazionale uniforme

per ciascuna attivitper ciascuna attivitàà economicaeconomica

•• In unIn un’’ottica di ottica di ““globalizzazioneglobalizzazione”” il il risultatorisultato delle delle imprese deve essere imprese deve essere confrontabileconfrontabile a livello internazionalea livello internazionale

A differenza di quanto stabilito dal Codice Civile A differenza di quanto stabilito dal Codice Civile nazionale, il cui principio cardine nazionale, il cui principio cardine èè quello della prudenza, quello della prudenza, i nuovi Principi Contabili Internazionali (IAS) tendono a i nuovi Principi Contabili Internazionali (IAS) tendono a

privilegiare il privilegiare il principio della competenzaprincipio della competenza. .

I Principi Contabili Internazionali (IAS) e la riserva sinistri (1/2)

Principio della competenzaPrincipio della competenza

I bilanci devono presentarsi senza alcuna asimmetria:I bilanci devono presentarsi senza alcuna asimmetria:

-- dovranno essere contabilizzati anche proventi non realizzati dovranno essere contabilizzati anche proventi non realizzati sotto la voce costi e ricavi;sotto la voce costi e ricavi;

-- verrverràà favorito il favorito il criterio del valore correntecriterio del valore corrente ( ( ““fair fair valuevalue””), ), anzichanzichéé quello del quello del ““costo storicocosto storico”” per quanto riguarda le voci per quanto riguarda le voci attivitattivitàà e passivite passivitàà..

Sono richiesti metodi di valutazione capaci di assicurare Sono richiesti metodi di valutazione capaci di assicurare una maggioreuna maggiore armonizzazione armonizzazione delle pratiche nazionalidelle pratiche nazionali

I Principi Contabili Internazionali (IAS) e la riserva sinistri (2/2)

Sia nellSia nell’’ottica di introduzione dei nuovi principi contabili ottica di introduzione dei nuovi principi contabili internazionali, sia nellinternazionali, sia nell’’ottica dellottica dell’’individuazione di un requisito di individuazione di un requisito di solvibilitsolvibilitàà secondo i principi di Solvency II, appare necessaria una secondo i principi di Solvency II, appare necessaria una

valutazione valutazione ““Market Market ConsistentConsistent”” delle riserve tecniche.delle riserve tecniche.

Tale valutazione, definita anche al Tale valutazione, definita anche al ““fair valuefair value””, prevede la , prevede la quantificazione non solo del valore puntuale della riserva tecniquantificazione non solo del valore puntuale della riserva tecnica ma ca ma

una descrizione una descrizione della variabilitdella variabilitàà della stessadella stessa ed eventualmente ed eventualmente delldell’’intera distribuzione di probabilitintera distribuzione di probabilitàà della riservadella riserva

In questIn quest’’ottica assumono particolare rilevanza metodi che ottica assumono particolare rilevanza metodi che permettono la determinazione non solo del valore puntuale ma permettono la determinazione non solo del valore puntuale ma

anche una stima della variabilitanche una stima della variabilitàà (metodi stocastici)(metodi stocastici)

La necessità di modelli stocastici

Una valutazione “market consistent”

Una rilevante fonte di rischio per le compagnie di assicurazionUna rilevante fonte di rischio per le compagnie di assicurazione contro i e contro i danni danni èè costituita dalla possibile costituita dalla possibile sottostimasottostima degli degli impegni impegni di rimborso in di rimborso in essere, da cui la conseguente essere, da cui la conseguente insufficienzainsufficienza della della riserva sinistririserva sinistri

•• In tale ambito uno degli argomenti piIn tale ambito uno degli argomenti piùù dibattuti negli ultimi anni riguarda dibattuti negli ultimi anni riguarda ll’’impiego di metodologie di calcolo di tipo deterministico o stocaimpiego di metodologie di calcolo di tipo deterministico o stocastico per la stico per la valutazione della riserva sinistri valutazione della riserva sinistri

•• A seguito del progetto A seguito del progetto SolvencySolvency II, lII, l’’impiego di impiego di metodologie stocastichemetodologie stocastichedovrdovràà diffondersi sempre di pidiffondersi sempre di più…………ù…………

-- Tra i vari aspetti il CEIOPS (Tra i vari aspetti il CEIOPS (CommitteeCommittee of of EuropeanEuropean InsuranceInsurance and and OccupationalOccupational PensionPension SupervisorsSupervisors), su richiesta della Commissione Europea, ), su richiesta della Commissione Europea, ha posto come obiettivo il raggiungimento di un benchmark armoniha posto come obiettivo il raggiungimento di un benchmark armonizzato in zzato in

chiave probabilistica quale requisito regolamentare per la riserchiave probabilistica quale requisito regolamentare per la riserva sinistri va sinistri

Questo obiettivo può essere raggiunto solamente mediante lQuesto obiettivo può essere raggiunto solamente mediante l’’utilizzo di un utilizzo di un modello di valutazione di tipo stocastico alla serie storica deimodello di valutazione di tipo stocastico alla serie storica dei sinistri sinistri

L’impatto del progetto Solvency II

Il nuovo sistema di calcolo delle riserve dovrebbe basarsi sullIl nuovo sistema di calcolo delle riserve dovrebbe basarsi sulla somma a somma di due distinte componenti: di due distinte componenti: -- la la best estimatebest estimate, quale valore medio atteso dei futuri impegni nei confronti , quale valore medio atteso dei futuri impegni nei confronti degli assicurati; degli assicurati;

-- il il riskrisk marginmargin, quale margine addizionale predisposto per formalizzare , quale margine addizionale predisposto per formalizzare quantitativamente lquantitativamente l’’incertezza degli impegni futuri, generata da fattori di rischio incertezza degli impegni futuri, generata da fattori di rischio esogeni esogeni

•• Mentre la definizione della best estimate come valore atteso deMentre la definizione della best estimate come valore atteso della distribuzione dei lla distribuzione dei futuri impegni nei confronti degli assicurati futuri impegni nei confronti degli assicurati èè condivisa da molti, vi condivisa da molti, vi èè in corso un in corso un ampio dibattito per quel che riguarda la definizione quantitativampio dibattito per quel che riguarda la definizione quantitativa del a del riskrisk marginmargin

•• ÈÈ prassi comune che il prassi comune che il riskrisk marginmargin debba rappresentare un margine prudenziale debba rappresentare un margine prudenziale destinato a compensare ldestinato a compensare l’’incertezza attinente gli importi futuri delle prestazioni incertezza attinente gli importi futuri delle prestazioni secondo una impostazione coerente con una secondo una impostazione coerente con una valutazione di mercato valutazione di mercato

In questa ottica il In questa ottica il riskrisk marginmargin rappresenterebbe il rappresenterebbe il premio per il rischiopremio per il rischioche un altro assicuratore richiederebbe per rilevare gli impegniche un altro assicuratore richiederebbe per rilevare gli impegni in essere in essere

del portafoglio considerato in una libera trattativa di mercato del portafoglio considerato in una libera trattativa di mercato

I nuovi requisiti di riserva

NellNell’’ambito del progetto ambito del progetto SolvencySolvency II sono stati presi in esame due II sono stati presi in esame due metodi per il calcolo del metodi per il calcolo del riskrisk marginmargin: :

-- il il quantile quantile approachapproach, secondo il quale il , secondo il quale il riskrisk marginmargin èè definito come definito come la differenza tra il valore degli obblighi futuri scelto ad un pla differenza tra il valore degli obblighi futuri scelto ad un prefissato refissato livello di probabilitlivello di probabilitàà, tipicamente uguale al 75, tipicamente uguale al 75--esimo o 90esimo o 90--esimo esimo quantile, e la best estimate; quantile, e la best estimate;

-- il il costcost--ofof--capitalcapital approachapproach, secondo il quale il , secondo il quale il riskrisk marginmargin èè dato dal costo dato dal costo del patrimonio di vigilanza (del patrimonio di vigilanza (reservereserve riskrisk capital) richiesto dalla normativa per capital) richiesto dalla normativa per coprire il rischio di insolvenza fino allcoprire il rischio di insolvenza fino all’’estinzione completa della riserva sinistri.estinzione completa della riserva sinistri.

Il risk margin (1/2)

-- il il quantile quantile approachapproach, secondo il quale , secondo il quale il risk margin il risk margin èè definito come la definito come la differenza tra il valore degli obblighi differenza tra il valore degli obblighi futuri scelto ad un prefissato livello di futuri scelto ad un prefissato livello di probabilitprobabilitàà, tipicamente uguale al 75, tipicamente uguale al 75--esimo quantile, e la best estimate; esimo quantile, e la best estimate;

-- il il costcost--ofof--capitalcapital approachapproach, secondo il , secondo il quale il risk margin quale il risk margin èè dato dal costo del dato dal costo del patrimonio di vigilanza (patrimonio di vigilanza (reservereserve risk risk capital) richiesto dalla normativa per capital) richiesto dalla normativa per coprire il rischio di insolvenza fino coprire il rischio di insolvenza fino allall’’estinzione completa della riserva estinzione completa della riserva sinistri.sinistri. CoC_factor = 6%

Il risk margin (2/2)

(SCR):(SCR): èè il il livello di capitalelivello di capitale che un assicuratore dovrebbe disporre, che un assicuratore dovrebbe disporre, in un approccio di tipo in un approccio di tipo goinggoing--concernconcern, prefissato un certo livello , prefissato un certo livello

di confidenza ed un certo orizzonte temporale di confidenza ed un certo orizzonte temporale

Un aspetto di interesse nella pratica attuariale è quello di ottenere l’errore di previsione della riserva totale

Data la correlazione nella procedura di stima, presente sia tra le righe (anni di generazione) che tra le colonne

(anni di bilancio),

la varianza di previsione non può essere determinata sommando semplicemente le varianze di previsione delle riserve delle

singole generazionianche se i pagamenti cumulati corrispondenti a differenti

generazioni sono indipendenti per ipotesi

Il prediction error (1/2)

La variabilità totale del processo deve includere sia la variabilitàinsita nei dati stimati (varianza del processo),(varianza del processo), sia l’incertezza nella

stima dei parametri (varianza della stima)(varianza della stima)• Sotto la tipica assunzione di indipendenza tra le osservazioni passate e quelle future ed ipotizzando la correttezza…….

Scomposizione dellScomposizione dell’’errore quadratico medio di previsioneerrore quadratico medio di previsione(RMSEP, dall’inglese Root Mean Squared Error of Prediction)

( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

2X̂XERMSEP

( )( )[ ]2XEXE −=

( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

2ˆˆ XEXE

+

varianza del processo varianza del processo

varianza della stimavarianza della stima((la cui radice quadrata la cui radice quadrata èè lo lo

standard error) standard error)

rappresenta la variabilitrappresenta la variabilitààpresente nei dati iniziali presente nei dati iniziali

rappresenta la variabilitrappresenta la variabilitààdovuta alla stima dovuta alla stima

varianza di previsione varianza di previsione

PREDICTION ERROR = PREDICTION ERROR = RMSEP

Il prediction error (2/2)

La riassicurazione

La riassicurazioneLL’’attivitattivitàà concernente le assicurazioni contro i danni concernente le assicurazioni contro i danni èè

tipicamente basata sulla gestione di un tipicamente basata sulla gestione di un portafoglioportafoglio di di rischirischi sufficientemente sufficientemente omogeneiomogenei, in base allo stato di , in base allo stato di

informazione disponibile allinformazione disponibile all’’epoca di stipulazione dei contrattiepoca di stipulazione dei contratti

aspetti che non emergono nel caso laspetti che non emergono nel caso l’’interesse interesse sia focalizzato sul singolo rapporto sia focalizzato sul singolo rapporto

assicurativo assicurativo

Quantificazione dellaQuantificazione dellarischiositrischiositàà del portafogliodel portafoglio

Limitazione della Limitazione della rischiositrischiositàà del portafoglio del portafoglio

Quantificazione della rischiositàdel portafoglio

Avviene Avviene mediante opportuni valori sintetici del portafogliomediante opportuni valori sintetici del portafoglio

1)1) ll’’indice di fluttuazioneindice di fluttuazione

2)2) ll’’indice di rischioindice di rischio

3)3) ll’’indice di stabilitindice di stabilitàà relativarelativa

Indici sintetici che consentono di avere una visione Indici sintetici che consentono di avere una visione globale dellglobale dell’’attivitattivitàà assicurativaassicurativa

-- ll’’ambito di riferimento ambito di riferimento èè ll’’intero portafoglio intero portafoglio assicurativo, non il singolo contrattoassicurativo, non il singolo contratto

Limitazione della rischiositàdel portafoglio

Avviene Avviene mediante opportuni strumenti mediante opportuni strumenti

1)1) la la coassicurazione coassicurazione

mediante la quale lmediante la quale l’’assicuratore assume ciascun rischio in assicuratore assume ciascun rischio in compartecipazionecompartecipazione con altri assicuratori, detti con altri assicuratori, detti coassicuratoricoassicuratori, , e ciascuno di essi diviene e ciascuno di essi diviene responsabileresponsabile, in caso di sinistro, , in caso di sinistro, per la per la frazione di rischio assuntafrazione di rischio assunta

2)2) la la riassicurazione riassicurazione

mediante la quale lmediante la quale l’’assicuratore assicuratore trasferiscetrasferisce ad un altro ad un altro soggetto, detto soggetto, detto riassicuratoreriassicuratore, (almeno) una parte , (almeno) una parte (di alcuni) dei rischi assunti(di alcuni) dei rischi assunti

Valutazione della rischiosità di un portafoglio di assicurazioni contro i danni (1/2)

Si consideri un Si consideri un portafoglioportafoglio costituito da n contratti di costituito da n contratti di assicurazione contro i danni riferiti a un medesimo tipo di riscassicurazione contro i danni riferiti a un medesimo tipo di rischio hio

Tali contratti siano: Tali contratti siano:

-- contemporaneamente stipulaticontemporaneamente stipulati-- contraddistinti da un eguale periodo di copertura (annuale)contraddistinti da un eguale periodo di copertura (annuale)-- relativi a relativi a rischi analoghirischi analoghi con riferimento con riferimento

a.a. alle caratteristiche del rischio adeguatamente alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, allvalutabili, all’’epoca di stipulazione del contratto, epoca di stipulazione del contratto, da parte dellda parte dell’’assicuratore;assicuratore;

b.b. alle condizioni contrattuali di copertura, ma non alle condizioni contrattuali di copertura, ma non necessariamente anche ai valori monetari di necessariamente anche ai valori monetari di esposizione al rischioesposizione al rischio

Valutazione della rischiosità di un portafoglio di assicurazioni contro i danni (2/2)

In relazione al jIn relazione al j--esimo esimo (j=1,2,(j=1,2,……,n),n) contratto si hacontratto si ha

risarcimento globalerisarcimento globale posto a carico posto a carico delldell’’assicuratore per il assicuratore per il singolo contrattosingolo contratto

del portafogliodel portafoglio∑

=

=jN

ijij YX

0,

∑ ∑∑= ==

==n

1j

N

0ij,i

n

1jj

jYXX risarcimento globalerisarcimento globale a carico a carico

delldell’’assicuratoreassicuratore(considerando l(considerando l’’intero portafoglio) intero portafoglio)

numero di sinistrinumero di sinistri che che colpiscono il contrattocolpiscono il contratto

risarcimentorisarcimento a carico della carico dell’’assicuratore in relazione assicuratore in relazione allall’’ii--esimo sinistro in ordine cronologico (i=0,1,esimo sinistro in ordine cronologico (i=0,1,……;Y;Y0,j0,j≡≡0) 0)

Guadagno di portafoglio (1/2)

jjj XG −Π=

premio puro premio puro relativo al jrelativo al j--esimo esimo contratto del dato portafogliocontratto del dato portafoglio

GuadagnoGuadagno relativo al jrelativo al j--esimo esimo contratto del dato portafogliocontratto del dato portafoglio

Principali valori caratteristici della distribuzione di probabilPrincipali valori caratteristici della distribuzione di probabilititàà di di GGjj

jjjj rP)G(E =−Π=

2)var()var( jjj XG σ==

••

••

dove dove PPjj e e rrjj indicano, indicano, rispettivamente, il premio equo rispettivamente, il premio equo

(vale a dire, (vale a dire, PPjj=E=E((XXjj)) )) ed il caricamento di sicurezza ed il caricamento di sicurezza

per il dato contrattoper il dato contratto

Guadagno di portafoglio (2/2)

XGGn

jj −Π== ∑

=1

Guadagno Guadagno di portafoglio di portafoglio

∑∑==

+=+=Π=Πn

jjj

n

jj rPrP

11)(

rrGEn

jj == ∑

=1)(

2

1

2)var()var( σσ === ∑=

n

jjXG

nellnell’’ipotesi che i ipotesi che i risarcimenti globali risarcimenti globali

XX11, X, X22, , ……, , XXnn siano tra siano tra loro indipendentiloro indipendenti

Probabilità annuale di perdita (1/3)

ProbabilitProbabilitàà delldell’’eventoevento

“l’onere aleatorio per risarcimenti supera l’ammontare globale dei premi puri”

Pr{G < 0} = Pr{X > P + r} = Pr{G < 0} = Pr{X > P + r} = ηη

probabilitprobabilitàà per lper l’’assicuratore di non riuscire a assicuratore di non riuscire a fronteggiare lfronteggiare l’’onere di sinistrositonere di sinistrositàà impiegando le sole impiegando le sole

risorse provenienti dai premirisorse provenienti dai premi

probabilità annuale di perdita

LL’’obiettivo obiettivo èè quello quello di mantenere sufficientemente bassa, in particolare di mantenere sufficientemente bassa, in particolare eguale ad una data soglia eguale ad una data soglia ηη* ritenuta accettabile, tale probabilit* ritenuta accettabile, tale probabilitàà

Si può convenientemente considerare la Si può convenientemente considerare la variabile variabile aleatoria standardizzataaleatoria standardizzata


σPX −

σσ = = σσ(X) (X) scarto quadraticoscarto quadratico

medio di Xmedio di X

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

−=

σσση rrPX 1Pr

ΦΦ : funzione : funzione di ripartizione di ripartizione

di (Xdi (X--P)/P)/σσ

Obiettivo dellObiettivo dell’’assicuratore assicuratore èè ““controllarecontrollare”” la probabilitla probabilitàà ηηmediante il caricamento di sicurezza (globale) rmediante il caricamento di sicurezza (globale) r

Non formulando alcuna ipotesi sulla distribuzione Non formulando alcuna ipotesi sulla distribuzione di probabilitdi probabilitàà di Xdi X


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

−=

σσση rrPX 1Pr

)1(1 ησ

−Φ= −r dove dove ΦΦ--11(1(1--ηη) ) èè il percentile di il percentile di ordine (1ordine (1--ηη) della distribuzione ) della distribuzione

di probabilitdi probabilitàà di (Xdi (X--P)/P)/σσ

Fissato un livello, Fissato un livello, ηη* (ad esempio * (ad esempio ηη* = 0.005), che l* = 0.005), che l’’assicuratore assicuratore ritiene accettabile per la probabilitritiene accettabile per la probabilitàà annuale di perdita si ricava il annuale di perdita si ricava il valore (r/valore (r/σσ))* di r/* di r/σσ che consente di raggiungere il dato obiettivoche consente di raggiungere il dato obiettivo

Probabilità annuale di perditaOSSERVAZIONI

1)1) Nella particolare ipotesi che il portafoglio sia costituito da Nella particolare ipotesi che il portafoglio sia costituito da un numero sufficientemente grande di contratti, si può un numero sufficientemente grande di contratti, si può opportunamente assumere lopportunamente assumere l’’approssimazione normaleapprossimazione normale per per la distribuzione di probabilitla distribuzione di probabilitàà di X di X (con valore medio P e (con valore medio P e scarto quadratico medio scarto quadratico medio σσ). ).

-- In tal caso In tal caso ΦΦ èè la funzione di ripartizione della la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzatadistribuzione normale standardizzata

2)2) Posto Posto σ

μ r=

èè immediato rilevare come il caricamento di sicurezza, r, da immediato rilevare come il caricamento di sicurezza, r, da applicare (globalmente) al portafoglio sia proporzionale allo applicare (globalmente) al portafoglio sia proporzionale allo scarto quadratico medio, scarto quadratico medio, σσ, del risarcimento globale X, del risarcimento globale X

)1(1 ημ −Φ= −

Indice di fluttuazione e indice di rischioIndice di fluttuazione

PPr σμξ ==

Indice di rischio

Aliquota di caricamento di sicurezza (per unitAliquota di caricamento di sicurezza (per unitàà di di premio equo) da applicare in corrispondenza di premio equo) da applicare in corrispondenza di

ciascun contratto del portafoglio ciascun contratto del portafoglio

Pσρ = coefficiente di variazione di Xcoefficiente di variazione di X

A differenza dellA differenza dell’’indice di fluttuazione, indice di fluttuazione, ξξ, il quale dipende dal , il quale dipende dal fissato livello di caricamento di sicurezza fissato livello di caricamento di sicurezza μμ, il rapporto , il rapporto ρρ

costituisce una costituisce una misura oggettiva di rischiomisura oggettiva di rischio del portafogliodel portafoglio

Probabilità annuale di rovina (1/2)ProbabilitProbabilitàà delldell’’eventoevento

“l’onere aleatorio per risarcimenti supera la somma dell’ammontare globale dei premi puri e del margine di solvibilità inizialmente a disposizione dell’assicuratore

in relazione al portafoglio”

εε = Pr{G < = Pr{G < --W} = Pr{X > W + P + r} W} = Pr{X > W + P + r}

Probabilità annuale di rovina

probabilitprobabilitàà per lper l’’assicuratore di non riuscire a fronteggiare assicuratore di non riuscire a fronteggiare ll’’onere di sinistrositonere di sinistrositàà pur impiegando tutte le risorse, pur impiegando tutte le risorse,

costituite dai premi e dai mezzi propri, a sua disposizionecostituite dai premi e dai mezzi propri, a sua disposizione

Probabilità annuale di rovina (2/2)

εε = Pr{G < = Pr{G < --W} = Pr{X > W + P + r} W} = Pr{X > W + P + r}

W W : margine di solvibilit: margine di solvibilitàà, costituito da mezzi propri , costituito da mezzi propri (capitale, riserve libere) dell(capitale, riserve libere) dell’’assicuratore non destinati,assicuratore non destinati,

a differenza delle riserve tecniche, alla copertura di a differenza delle riserve tecniche, alla copertura di specifici impegni in termini di valore attesospecifici impegni in termini di valore atteso

Altro obiettivo dellAltro obiettivo dell’’assicuratore consiste nel mantenere assicuratore consiste nel mantenere sufficientemente bassa, in particolare eguale ad una data sogliasufficientemente bassa, in particolare eguale ad una data soglia

εε* ritenuta accettabile, tale probabilit* ritenuta accettabile, tale probabilitàà

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Φ−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

>−

=σσσ

ε rWrWPX 1Pr

Indice di stabilità relativa di portafoglio

σrWs +

=

Fissato un livello, Fissato un livello, εε* (ad esempio * (ad esempio εε* = 0.001), che * = 0.001), che ll’’assicuratore ritiene accettabile per la probabilitassicuratore ritiene accettabile per la probabilitàà

annuale di rovinaannuale di rovina

Dalla Dalla s = s = ΦΦ--11(1(1--εε*)*)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Φ−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

>−

=σσσ

ε rWrWPX 1Prdovedove

si ottiene il valore s* dellsi ottiene il valore s* dell’’indice di stabilitindice di stabilitàà relativa, s, che relativa, s, che consente di raggiungere il dato obiettivoconsente di raggiungere il dato obiettivo

Indice di stabilità relativa di portafoglioOSSERVAZIONI (1/2)

1)1) Dalla Dalla s = s = ΦΦ--11(1(1--εε*)*) èè immediato rilevare come la immediato rilevare come la probabilitprobabilitàà annuale di rovina, annuale di rovina, εε, decresca al crescere , decresca al crescere delldell’’indice di stabilitindice di stabilitàà relativa, s, del portafogliorelativa, s, del portafoglio

2)2) Nella particolare ipotesi che il portafoglio sia costituito da Nella particolare ipotesi che il portafoglio sia costituito da un numero sufficientemente grande di contratti, si può un numero sufficientemente grande di contratti, si può opportunamente considerare lopportunamente considerare l’’approssimazione normaleapprossimazione normaleai fini della distribuzione di probabilitai fini della distribuzione di probabilitàà di Xdi X

3)3) LL’’indice di stabilitindice di stabilitàà relativa del portafoglio ha interesse relativa del portafoglio ha interesse anche quando, non formulando alcuna ipotesi sulla anche quando, non formulando alcuna ipotesi sulla distribuzione di probabilitdistribuzione di probabilitàà di (Xdi (X--P)/P)/σσ, si scelga di ricorrere , si scelga di ricorrere al calcolo di limitazioni superiori per la probabilital calcolo di limitazioni superiori per la probabilitàà di rovinadi rovina

Indice di stabilità relativa di portafoglioOSSERVAZIONI (2/2)

ProbabilitProbabilitàà di rovina e indice di stabilitdi rovina e indice di stabilitààrelativa di portafogliorelativa di portafoglio

211 tP-Pr{Xt+

≤ }≥ σ

Dalla Dalla disuguaglianza di disuguaglianza di CantelliCantelli

con t > 0con t > 0

Posto Posto ttσσ = W+r (quindi, t = s), si ottiene= W+r (quindi, t = s), si ottiene

211 W}- Pr{G s+

≤≤

LL’’indice di stabilitindice di stabilitàà relativa di portafoglio pone una relativa di portafoglio pone una limitazione superiorelimitazione superiore alla alla probabilitprobabilitàà di rovinadi rovina

Probabilità annuale di rovina e indice di stabilità relativa di portafoglio (1/2)

Al fine di ridurre la probabilitAl fine di ridurre la probabilitàà annuale di rovina, annuale di rovina, εε, , ll’’assicuratore può opportunamente operare sullassicuratore può opportunamente operare sull’’indice di indice di

stabilitstabilitàà relativa del portafoglio, srelativa del portafoglio, s

incrementando almeno una delle seguenti due incrementando almeno una delle seguenti due variabili decisionalivariabili decisionali

a)a) il il margine di solvibilitmargine di solvibilitàà, W, W

b)b) il il caricamento di sicurezzacaricamento di sicurezza, r, r

-- frequentemente ostacolata dallfrequentemente ostacolata dall’’effettiva situazione effettiva situazione patrimoniale dellpatrimoniale dell’’assicuratoreassicuratore

-- spesso resa problematica dalle condizioni di spesso resa problematica dalle condizioni di mercatomercato

Probabilità annuale di rovina e indice di stabilità relativa di portafoglio (2/2)

Nelle situazioni in cui Nelle situazioni in cui èè fortemente limitata la possibilitfortemente limitata la possibilitààdi intervento sulle precedenti variabilidi intervento sulle precedenti variabili decisionalidecisionali

ll’’assicuratore deve ricorrere a assicuratore deve ricorrere a strumentistrumenti che accrescano che accrescano ll’’indice di stabilitindice di stabilitàà relativa del portafoglio mediante una relativa del portafoglio mediante una

riduzione riduzione dellodello scarto quadratico medioscarto quadratico medio, , σσ, del , del risarcimento globale risarcimento globale XX

la la coassicurazionecoassicurazione la la riassicurazioneriassicurazione

Coassicurazione e riassicurazione (1/2)

CoassicurazioneCoassicurazione

RiassicurazioneRiassicurazione

ll’’assicuratore assume ciascun rischio in assicuratore assume ciascun rischio in compartecipazionecompartecipazionecon altri assicuratori, detti con altri assicuratori, detti coassicuratoricoassicuratori, ,

e ciascuno di essi diviene e ciascuno di essi diviene responsabileresponsabile, in caso di sinistro, , in caso di sinistro, per la per la frazione di rischio assuntafrazione di rischio assunta

ll’’assicuratore trasferisce ad un altro soggetto, detto assicuratore trasferisce ad un altro soggetto, detto riassicuratoreriassicuratore, (almeno) una parte (di alcuni) , (almeno) una parte (di alcuni)

dei rischi assuntidei rischi assunti

Coassicurazione e riassicurazione (2/2)

Si attua un Si attua un trasferimentotrasferimento del rischio su del rischio su base base orizzontaleorizzontale (vale a dire, riferito all(vale a dire, riferito all’’epoca di epoca di

stipulazione del contratto di assicurazione) stipulazione del contratto di assicurazione) e le l’’assicurato assicurato èè a conoscenza della conoscenza dell’’esistenza esistenza

del del rapporto rapporto coassicurativocoassicurativo

CoassicurazioneCoassicurazione

RiassicurazioneRiassicurazione

Si attua un Si attua un trasferimentotrasferimento del rischio su del rischio su base base verticaleverticale (vale a dire, successivo all(vale a dire, successivo all’’epoca di epoca di

stipulazione del contratto di assicurazione) stipulazione del contratto di assicurazione) e le l’’assicurato assicurato èè del tutto estraneo del tutto estraneo

al al rapporto rapporto riassicurativoriassicurativo

Rapporti e trattati di riassicurazione (1/6)

In generale, un In generale, un rapporto di riassicurazionerapporto di riassicurazione si instaura si instaura secondo una delle seguenti due modalitsecondo una delle seguenti due modalitàà

a)a) tratra ll’’assicuratoreassicuratore, detto , detto cedentecedente, ed un altro , ed un altro assicuratore, il quale opera come assicuratore, il quale opera come riassicuratore riassicuratore cessionariocessionario

b)b) tra ltra l’’assicuratore cedenteassicuratore cedente ed un ed un riassicuratore riassicuratore professionaleprofessionale, il quale non svolge , il quale non svolge lavoro direttolavoro diretto(vale a dire, non offre copertura ai rischi provenienti (vale a dire, non offre copertura ai rischi provenienti direttamente dagli assicurati)direttamente dagli assicurati)


a)a) La cessione dei rischi operata dallLa cessione dei rischi operata dall’’assicuratore assicuratore (cedente) (cedente) èè denominata denominata riassicurazione passivariassicurazione passiva

b)b) LL’’assunzione dei rischi operata dal riassicuratore assunzione dei rischi operata dal riassicuratore (sia egli cessionario o professionale) viene denominata (sia egli cessionario o professionale) viene denominata riassicurazione attivariassicurazione attiva (o, anche, (o, anche, lavoro indirettolavoro indiretto in in quanto questa attivitquanto questa attivitàà non deriva dalle acquisizioni non deriva dalle acquisizioni dirette dei rischi degli assicurati)dirette dei rischi degli assicurati)

Riassicurazione passivaRiassicurazione passiva e e riassicurazione attivariassicurazione attiva

•• EE’’ frequente il caso in cui il riassicuratore non accetti frequente il caso in cui il riassicuratore non accetti ll’’intera cessione dei rischi richiesta dallintera cessione dei rischi richiesta dall’’assicuratoreassicuratore

-- questquest’’ultimo ricorrerultimo ricorreràà ad un secondo riassicuratore ad un secondo riassicuratore (eventualmente ad un terzo, (eventualmente ad un terzo, ……) al quale ceder) al quale cederàà le parti le parti residue di rischio non accettate dal primo riassicuratoreresidue di rischio non accettate dal primo riassicuratore


Riassicurazione di secondo livelloRiassicurazione di secondo livello

Caso in cui il riassicuratore, dopo avere accolto la Caso in cui il riassicuratore, dopo avere accolto la richiesta dellrichiesta dell’’assicuratore, procede alla cessione ad assicuratore, procede alla cessione ad altro riassicuratore (di una parte) dei rischi accettatialtro riassicuratore (di una parte) dei rischi accettati

La La riassicurazione di secondo livelloriassicurazione di secondo livello èè denominata denominata retrocessioneretrocessione e i soggetti in essa coinvolti sono e i soggetti in essa coinvolti sono

chiamati, rispettivamente, chiamati, rispettivamente, retrocedenteretrocedente e e retrocessionarioretrocessionario

ÈÈ il riassicuratore ad attuare un nuovo rapporto di il riassicuratore ad attuare un nuovo rapporto di riassicurazione; e non lriassicurazione; e non l’’assicuratore direttoassicuratore diretto

Rapporti e trattati di riassicurazione (4/6)Il rapporto tra lIl rapporto tra l’’assicuratore ed il riassicuratore può inoltre assicuratore ed il riassicuratore può inoltre

avvenire secondo una delle seguenti tre modalitavvenire secondo una delle seguenti tre modalitààa)a) riassicurazione facoltativa;riassicurazione facoltativa;

-- la cessione la cessione èè effettuata contratto per contratto, secondo effettuata contratto per contratto, secondo le specifiche esigenze dellle specifiche esigenze dell’’assicuratoreassicuratore-- il riassicuratore può non accettare la cessione il riassicuratore può non accettare la cessione

b)b) riassicurazione obbligatoria riassicurazione obbligatoria e e riassicurazione riassicurazione ““facobfacob””(vale a dire,(vale a dire, facoltativafacoltativa--obbligatoria) obbligatoria)

-- il rapporto tra le parti il rapporto tra le parti èè regolamentato da regolamentato da un un trattato di riassicurazionetrattato di riassicurazione che ne disciplina i diversi che ne disciplina i diversi aspettiaspetti((date di inizio e fine rapporto, la forma date di inizio e fine rapporto, la forma riassicurativariassicurativa, i limiti di , i limiti di

ritenzione dellritenzione dell’’assicuratore, i limiti di accettazione del riassicuratore, assicuratore, i limiti di accettazione del riassicuratore, ll’’importo e le modalitimporto e le modalitàà di pagamento del premio di riassicurazionedi pagamento del premio di riassicurazione))

Rapporti e trattati di riassicurazione (5/6)b)b) riassicurazione obbligatoriariassicurazione obbligatoria

ll’’assicuratore assicuratore èè obbligato a cedere assegnate quote di obbligato a cedere assegnate quote di rischio ed il riassicuratore rischio ed il riassicuratore èè obbligato ad accettarle obbligato ad accettarle

(il trattato (il trattato èè pertanto anche detto pertanto anche detto automaticoautomatico))c)c) riassicurazione riassicurazione ““facobfacob””

il riassicuratore il riassicuratore èè obbligato ad accettare, entro obbligato ad accettare, entro limiti prestabiliti, le quote di rischio che limiti prestabiliti, le quote di rischio che

ll’’assicuratore decide di cedereassicuratore decide di cedere

1) Le 1) Le forme forme riassicurativeriassicurative facoltativefacoltative riguardano riguardano prevalentemente singoli rischi. prevalentemente singoli rischi.

-- Ad esse si rivolge di norma lAd esse si rivolge di norma l’’assicuratore per coprire nuovi rischi, assicuratore per coprire nuovi rischi, difficilmente inseribili alldifficilmente inseribili all’’interno di un collettivo preesistente e interno di un collettivo preesistente e

caratterizzato dal requisito dellcaratterizzato dal requisito dell’’omogeneitomogeneitàà

2) I 2) I trattati di riassicurazionetrattati di riassicurazione riguardano, per lo piriguardano, per lo piùù, gruppi di rischi, gruppi di rischi

OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE


Il rapporto di riassicurazione, qualunque sia la modalitIl rapporto di riassicurazione, qualunque sia la modalitààprescelta, può infine essere definito in base ad un prescelta, può infine essere definito in base ad un approccioapproccio

a)a) individualeindividuale (vale a dire, con riferimento al (vale a dire, con riferimento al singolo contratto): in questo caso si ha una singolo contratto): in questo caso si ha una riassicurazione individualeriassicurazione individuale

Riassicurazione individualeRiassicurazione individuale e e riassicurazione globaleriassicurazione globale

b)b) globaleglobale (vale a dire, con riferimento (vale a dire, con riferimento allall’’intero portafoglio): in questo caso si intero portafoglio): in questo caso si ha una ha una riassicurazione globaleriassicurazione globale

Forme di riassicurazione (1/2)Si distinguono le seguenti due Si distinguono le seguenti due forme di riassicurazioneforme di riassicurazione

a)a) riassicurazione proporzionale;riassicurazione proporzionale;ll’’assicuratore e il riassicuratore si accordano su una assicuratore e il riassicuratore si accordano su una

ripartizione di ciascun rischio del portafoglio. ripartizione di ciascun rischio del portafoglio.

-- Nella medesima proporzione viene ripartito il Nella medesima proporzione viene ripartito il risarcimento relativo a ciascun eventuale sinistrorisarcimento relativo a ciascun eventuale sinistro

b)b) riassicurazione non proporzionale;riassicurazione non proporzionale;

ll’’assicuratore e il riassicuratore si accordano assicuratore e il riassicuratore si accordano generalmente su un importo monetario generalmente su un importo monetario

corrispondente al massimo risarcimento che corrispondente al massimo risarcimento che ll’’assicuratore assicuratore èè disposto ad effettuare, secondo la disposto ad effettuare, secondo la

particolare modalitparticolare modalitàà riassicurativariassicurativa prescelta prescelta

Forme di riassicurazione (2/2)b)b) riassicurazione non proporzionale;riassicurazione non proporzionale;

LL’’importo monetario corrispondente al massimo importo monetario corrispondente al massimo risarcimento che lrisarcimento che l’’assicuratore assicuratore èè disposto ad disposto ad effettuare viene valutato in riferimento a: effettuare viene valutato in riferimento a:

-- ad un sinistro che colpisce un dato contratto del ad un sinistro che colpisce un dato contratto del portafoglio;portafoglio;

-- ai sinistri che, derivanti da un unico evento (il quale può ai sinistri che, derivanti da un unico evento (il quale può avere, in particolare, natura catastrofale), colpiscono avere, in particolare, natura catastrofale), colpiscono contemporaneamente picontemporaneamente piùù contratti del portafoglio;contratti del portafoglio;-- ai sinistri che, nel corso di un assegnato intervallo di ai sinistri che, nel corso di un assegnato intervallo di tempo (ad esempio, un anno), colpiscono il portafogliotempo (ad esempio, un anno), colpiscono il portafoglio

Con riferimento a questCon riferimento a quest’’ultima modalitultima modalitàà ll’’accordo tra le parti può, in alternativa, essere accordo tra le parti può, in alternativa, essere basato sul basato sul rapporto percentuale sinistri a premi di competenzarapporto percentuale sinistri a premi di competenza ((““loss ratioloss ratio””) del ) del

portafoglio, considerando quindi una limitazione espressa in terportafoglio, considerando quindi una limitazione espressa in termini percentuali (e non in mini percentuali (e non in termini monetari) ai fini della ripartizione del risarcimento gltermini monetari) ai fini della ripartizione del risarcimento globale tra le partiobale tra le parti

Forme di riassicurazione OSSERVAZIONI

1)1) La riassicurazione operante tra due assicuratori può La riassicurazione operante tra due assicuratori può prevedere una prevedere una clausola di reciprocitclausola di reciprocitàà, in base alla quale , in base alla quale i due assicuratori concordano la reciproca cessione, in i due assicuratori concordano la reciproca cessione, in unun’’assegnata misura, dei rischi direttamente acquisiti sul assegnata misura, dei rischi direttamente acquisiti sul mercatomercato

2)2) Nella pratica Nella pratica riassicurativariassicurativa le forme proporzionali e le forme proporzionali e non proporzionali sono frequentemente combinate tra non proporzionali sono frequentemente combinate tra loro, definendo in questo modo varie loro, definendo in questo modo varie riassicurazioni riassicurazioni mistemiste particolarmente efficaci per le diverse esigenze particolarmente efficaci per le diverse esigenze delldell’’assicuratore e del riassicuratoreassicuratore e del riassicuratore

La riassicurazione: obiettivi e ruoli (1/2) LL’’obiettivo principale della riassicurazione, obiettivo principale della riassicurazione,

considerando il punto di vista dellconsiderando il punto di vista dell’’assicuratore, assicuratore, èè evidentemente la evidentemente la riduzione della riduzione della

rischiositrischiositàà del portafogliodel portafoglio

-- In conseguenza si determina anche un In conseguenza si determina anche un aumento aumento della capacitdella capacitàà di assunzione dei rischidi assunzione dei rischi

-- La considerazione che la riassicurazione può La considerazione che la riassicurazione può determinare un significativo determinare un significativo rafforzamento della rafforzamento della

solvibilitsolvibilitàà delldell’’assicuratoreassicuratoread esempio misurata mediante il rapporto tra lad esempio misurata mediante il rapporto tra l’’ammontare ammontare dei mezzi propri ed il volume dei premi incassati, calcolati dei mezzi propri ed il volume dei premi incassati, calcolati

al netto delle cessioni in riassicurazioneal netto delle cessioni in riassicurazione

La riassicurazione: obiettivi e ruoli (2/2)

Il rapporto Il rapporto riassicurativoriassicurativo fa anche sfa anche sìì che lche l’’assicuratore assicuratore possa ricevere, nella fase di progettazione di nuovi prodotti possa ricevere, nella fase di progettazione di nuovi prodotti

assicurativi, unassicurativi, un’’adeguata adeguata assistenza tecnicaassistenza tecnica(innanzitutto, nella (innanzitutto, nella scelta delle basi tecnichescelta delle basi tecniche) )

da parte del riassicuratore.da parte del riassicuratore.

-- In special modo se il rapporto viene instaurato con un In special modo se il rapporto viene instaurato con un riassicuratore professionaleriassicuratore professionale

Dal Dal punto di vistapunto di vista del del riassicuratoreriassicuratore va invece va invece segnalato lsegnalato l’’obiettivo obiettivo di questdi quest’’ultimo di poter ultimo di poter parteciparepartecipare

alla alla totalittotalitàà (o, quanto meno, alla gran parte) degli (o, quanto meno, alla gran parte) degli impegni assuntiimpegni assunti dalldall’’assicuratoreassicuratore

•• OBIETTIVO DEL RIASSICURATOREOBIETTIVO DEL RIASSICURATORE

La riassicurazione: profili attuariali (1/2)

Si consideri un portafoglio costituito da n contratti di Si consideri un portafoglio costituito da n contratti di assicurazione contro i danni contemporaneamente stipulati, assicurazione contro i danni contemporaneamente stipulati,

aventi un eguale periodo (annuale) di copertura aventi un eguale periodo (annuale) di copertura e relativi a rischi analoghie relativi a rischi analoghi

-- La riassicurazione del portafoglio può essere La riassicurazione del portafoglio può essere opportunamente descritta tramite una opportunamente descritta tramite una nn--plapla di applicazionidi applicazioni

njXX Ajj ,...,2,1, =⎯→⎯

che che decrivonodecrivono, nei riguardi dei , nei riguardi dei singoli contrattisingoli contratti del portafoglio, del portafoglio, il il risarcimento globale conservatorisarcimento globale conservato dalldall’’assicuratore, assicuratore,

indicato con indicato con AjX

La riassicurazione: profili attuariali (2/2)Il Il risarcimento globale cedutorisarcimento globale ceduto al riassicuratore al riassicuratore

èè pertanto dato dallapertanto dato dalla

ed ed èè indicato con indicato con RjX

Ajj

Rj XXX −=

Con riferimento allCon riferimento all’’intero portafogliointero portafoglio si ha il si ha il risarcimento globale conservatorisarcimento globale conservato dalldall’’assicuratoreassicuratore

∑=

=n

j

Aj

A XX1

ed il ed il risarcimento globale cedutorisarcimento globale ceduto al riassicuratoreal riassicuratore

An

j

Rj

R XXXX −== ∑=1

Riassicurazioni proporzionali

NellNell’’ambito della riassicurazione proporzionale si ambito della riassicurazione proporzionale si hanno le seguenti forme hanno le seguenti forme riassicurativeriassicurative

1)1) riassicurazione in quotariassicurazione in quota;;

2)2) riassicurazione per eccedente di somma riassicurazione per eccedente di somma

Entrambe le garanzie prevedono che il rapporto tra Entrambe le garanzie prevedono che il rapporto tra ll’’assicuratore ed il riassicuratore sia definito a livello assicuratore ed il riassicuratore sia definito a livello

di singolo contratto di singolo contratto (riassicurazione individuale)(riassicurazione individuale)

Riassicurazione in quota

Nella Nella riassicurazione in quotariassicurazione in quota (o, anche, (o, anche, riassicurazione riassicurazione ““quotaquota--shareshare””) l) l’’assicuratore ed il riassicuratore fissano unassicuratore ed il riassicuratore fissano un’’unica unica

aliquota di conservazionealiquota di conservazione (o, anche, (o, anche, aliquota di ritenzionealiquota di ritenzione) ) che che èè applicata allapplicata all’’esposizione monetaria associata a esposizione monetaria associata a

ciascun contratto del portafoglio. ciascun contratto del portafoglio.

-- Tale esposizione monetaria Tale esposizione monetaria èè espressa in termini diespressa in termini di

a)a) valore (del bene) assicurato o valore del valore (del bene) assicurato o valore del massimo danno probabile, nel caso di massimo danno probabile, nel caso di assicurazioni di danni a beni di proprietassicurazioni di danni a beni di proprietàà;;

b)b) massimale di garanzia, nel caso di massimale di garanzia, nel caso di assicurazioni di responsabilitassicurazioni di responsabilitàà civilecivile

Riassicurazione in quotaESEMPIO (1/2)

In un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietIn un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietàà costituito costituito da n contratti, contemporaneamente stipulati, di durata annuale da n contratti, contemporaneamente stipulati, di durata annuale e con e con

valori assicurati Vvalori assicurati V11, V, V22, , ……, , VVnn, sia a (0<a<1) l, sia a (0<a<1) l’’aliquota di aliquota di conservazione concordata tra le parti e, quindi, (1conservazione concordata tra le parti e, quindi, (1--a) la) l’’aliquota aliquota

corrispondente alla cessione in riassicurazionecorrispondente alla cessione in riassicurazione

•• In relazione al jIn relazione al j--esimo contratto del portafoglio il valore assicurato esimo contratto del portafoglio il valore assicurato conservato dallconservato dall’’assicuratore assicuratore èè quindiquindi

jA

j aVV =

mentre il valore assicurato ceduto al riassicuratore mentre il valore assicurato ceduto al riassicuratore èè

jRj VaV )1( −=

Riassicurazione in quotaESEMPIO (2/2)

•• In relazione allIn relazione all’’intero portafoglio il risarcimento globale conservato intero portafoglio il risarcimento globale conservato dalldall’’assicuratore assicuratore èè

mentre il risarcimento globale ceduto al riassicuratore mentre il risarcimento globale ceduto al riassicuratore èè

∑ ∑∑= ==

==n

j

N

iji

n

j

Aj

Aj

YaXX1 0

,1

∑ ∑∑= ==

−==n

j

N

iji

n

j

Rj

Rj

YaXX1 0

,1

)1(

Riassicurazione in quotaOSSERVAZIONI

1)1) ÈÈ molto semplice a fini operativimolto semplice a fini operativi

2)2) Riesce ad aumentare significativamente la capacitRiesce ad aumentare significativamente la capacitàà di di assunzione dei rischi da parte dellassunzione dei rischi da parte dell’’assicuratoreassicuratore

3)3) Malgrado riduca la variabilitMalgrado riduca la variabilitàà (in termini assoluti) del (in termini assoluti) del risarcimento globale a carico dellrisarcimento globale a carico dell’’assicuratore, non assicuratore, non realizza unrealizza un’’efficace omogeneizzazione dei valori assicurati efficace omogeneizzazione dei valori assicurati e, quindi, non si ottiene una soddisfacente riduzione della e, quindi, non si ottiene una soddisfacente riduzione della rischiositrischiositàà del portafogliodel portafoglio

4)4) Dal punto di vista del riassicuratore va evidenziato Dal punto di vista del riassicuratore va evidenziato ll’’aspetto positivo derivante dalla sua partecipazione aspetto positivo derivante dalla sua partecipazione alla totalitalla totalitàà degli impegni assunti dalldegli impegni assunti dall’’assicuratoreassicuratore

Riassicurazione per eccedente di somma

Nella Nella riassicurazione per eccedente di sommariassicurazione per eccedente di somma(o, anche, (o, anche, riassicurazione riassicurazione ““surplussurplus””) l) l’’assicuratore assicuratore

ed il riassicuratore fissano un ed il riassicuratore fissano un pieno di conservazionepieno di conservazionecorrispondente alla massima esposizione al rischio, corrispondente alla massima esposizione al rischio,

in termini monetari, che lin termini monetari, che l’’assicuratore accetta di assicuratore accetta di conservare per ciascun contratto.conservare per ciascun contratto.

ESEMPIOESEMPIO

In un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietIn un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di proprietààcostituito da n contratti, contemporaneamente stipulati, costituito da n contratti, contemporaneamente stipulati, di durata annuale e con valori assicurati Vdi durata annuale e con valori assicurati V11, V, V22, , ……, , VVnn, , sia C il pieno di conservazione concordato tra le partisia C il pieno di conservazione concordato tra le parti

Riassicurazione per eccedente di sommaESEMPIO (1/3)

•• Il valore assicurato conservato dallIl valore assicurato conservato dall’’assicuratore assicuratore èè

( )CVV jA

j ;min=

mentre il valore assicurato ceduto al riassicuratore, detto mentre il valore assicurato ceduto al riassicuratore, detto eccedenteeccedente (o, anche, (o, anche, ““surplussurplus””), ), èè

( )0;max CVV jRj −=


•• In relazione al jIn relazione al j--esimo contratto del portafoglio la esimo contratto del portafoglio la riassicurazione per eccedente di somma individua lriassicurazione per eccedente di somma individua l’’aliquota aliquota di conservazionedi conservazione

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 1;min

;min

jj

jj V

CV

CVa

con 0 con 0 ≤≤ aajj ≤≤ 11

Nella riassicurazione per eccedente di somma i limiti di Nella riassicurazione per eccedente di somma i limiti di accettazione stabiliti dal riassicuratore, come il seguente accettazione stabiliti dal riassicuratore, come il seguente

esempio pone in evidenza, sono di norma espressi in esempio pone in evidenza, sono di norma espressi in multipli interi del pieno di conservazionemultipli interi del pieno di conservazione


•• In relazione allIn relazione all’’intero portafoglio il risarcimento globale intero portafoglio il risarcimento globale conservato dallconservato dall’’assicuratore assicuratore èè

∑ ∑∑= ==

==n

j

N

ijij

n

j

Ai

Aj

YaXX1 0

,1

mentre il risarcimento globale ceduto al riassicuratore mentre il risarcimento globale ceduto al riassicuratore èè

∑ ∑∑= ==

−==n

j

N

ijij

n

j

Ri

Rj

YaXX1 0

,1

)1(

Riassicurazione per eccedente di sommaOSSERVAZIONI (1/2)

1)1) La riassicurazione per eccedente di somma, La riassicurazione per eccedente di somma, èè contraddistinta contraddistinta da una maggiore complessitda una maggiore complessitàà operativa rispetto alla operativa rispetto alla riassicurazione in quotariassicurazione in quota

2)2) Realizza unRealizza un’’efficace omogeneizzazione dei valori assicurati efficace omogeneizzazione dei valori assicurati e, quindi, una significativa riduzione della rischiosite, quindi, una significativa riduzione della rischiositàà del del portafoglioportafoglio-- a parita paritàà di sacrificio per ldi sacrificio per l’’assicuratore in termini di valore atteso del assicuratore in termini di valore atteso del guadagno di portafoglio (vale a dire, in termini di caricamento guadagno di portafoglio (vale a dire, in termini di caricamento di sicurezza), di sicurezza), comporta una maggiore riduzione della comporta una maggiore riduzione della probabilitprobabilitàà di rovinadi rovina rispetto al rispetto al caso della riassicurazione in quotacaso della riassicurazione in quota

-- sotto opportune ipotesi, la riassicurazione per eccedente di somsotto opportune ipotesi, la riassicurazione per eccedente di somma ma rappresenta la garanzia rappresenta la garanzia riassicurativariassicurativa che ottiene la che ottiene la minima probabilitminima probabilitààdi rovinadi rovina per ogni assegnato livello di sacrificio fissato dallper ogni assegnato livello di sacrificio fissato dall’’assicuratoreassicuratore

3)3) Per quanto concerne la provvigione di riassicurazione Per quanto concerne la provvigione di riassicurazione riconosciuta allriconosciuta all’’assicuratore si osserva che in questo caso essa assicuratore si osserva che in questo caso essa èè di norma inferiore a quella prevista nella riassicurazione in di norma inferiore a quella prevista nella riassicurazione in quota quota

la cessione riguarda i rischi pila cessione riguarda i rischi piùù grandi (generalmente, i grandi (generalmente, i peggiori) e gli utili attesi trasferiti al riassicuratore sono peggiori) e gli utili attesi trasferiti al riassicuratore sono

pertanto sensibilmente ridottipertanto sensibilmente ridotti

Riassicurazione per eccedente di sommaOSSERVAZIONI (2/2)

Al riassicuratore viene trasferita la parte piAl riassicuratore viene trasferita la parte piùù elevata elevata delldell’’ammontare dei risarcimenti relativa ad ogni esborsoammontare dei risarcimenti relativa ad ogni esborso

Combinazioni di riassicurazioni proporzionali (1/2)

ESEMPIO 1ESEMPIO 1

Nei mercati riassicurativi sono talvolta applicate Nei mercati riassicurativi sono talvolta applicate combinazioni di coperture combinazioni di coperture riassicurativeriassicurative proporzionaliproporzionali

•• In In riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di danni a beni driferimento ad un portafoglio di assicurazioni di danni a beni di i proprietproprietàà costituito da n contratti contemporaneamente stipulati, di duracostituito da n contratti contemporaneamente stipulati, di durata ta annuale e con valori assicurati Vannuale e con valori assicurati V11, V, V22, , ……, , VVnn

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== a;

VCmin

VC;aVmin

ajj

j'j

assicuratore che conserva la quota a (0<a<1) di ciascun contrattassicuratore che conserva la quota a (0<a<1) di ciascun contratto o del portafoglio, con una massima esposizione monetaria eguale aldel portafoglio, con una massima esposizione monetaria eguale al

pieno di conservazione Cpieno di conservazione C

In riferimento al In riferimento al jj--esimo esimo contratto del portafogliocontratto del portafoglio

Combinazioni di riassicurazioni proporzionali (2/2)

ESEMPIO 2ESEMPIO 2

assicuratore che conserva la quota a (0<a<1) di ciascun contrattassicuratore che conserva la quota a (0<a<1) di ciascun contratto o del portafoglio per il quale ha in precedenza operato una del portafoglio per il quale ha in precedenza operato una

cessione cessione riassicurativariassicurativa per eccedente di somma con per eccedente di somma con pieno di conservazione Cpieno di conservazione C

•• Aliquota di conservazioneAliquota di conservazione in riferimento al in riferimento al jj--esimo contratto esimo contratto del portafogliodel portafoglio

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== a

VaC

VCVa

ajj

jj ;min

;min''

Riassicurazioni non proporzionali

NellNell’’ambito della riassicurazione non proporzionale si ambito della riassicurazione non proporzionale si hanno le seguenti forme hanno le seguenti forme riassicurativeriassicurative

1)1) riassicurazione riassicurazione ““excess of lossexcess of loss””;;

2)2) riassicurazione riassicurazione ““stopstop--lossloss””. .

Il rapporto tra lIl rapporto tra l’’assicuratore ed il riassicuratore può assicuratore ed il riassicuratore può essere definito a livello di singolo contratto essere definito a livello di singolo contratto

(riassicurazione individuale)(riassicurazione individuale)oppure a livello di portafoglio oppure a livello di portafoglio

(riassicurazione globale)(riassicurazione globale)

Riassicurazione “excess of loss”Nella Nella riassicurazione riassicurazione ““excessexcess of lossof loss”” ll’’assicuratore e assicuratore e

il riassicuratore fissano un importo monetario, denominato il riassicuratore fissano un importo monetario, denominato prioritprioritàà, corrispondente al massimo risarcimento che , corrispondente al massimo risarcimento che ll’’assicuratore assicuratore èè disponibile ad effettuare, secondo la disponibile ad effettuare, secondo la

particolare modalitparticolare modalitàà riassicurativariassicurativa presceltaprescelta

•• La La prioritprioritàà èè fissata fissata in relazione:in relazione:a)a) ad un sinistro che colpisce un dato contratto del ad un sinistro che colpisce un dato contratto del

portafoglio, portafoglio, riassicurazione riassicurazione ““per per riskrisk excessexcess of lossof loss””

b)b) ai sinistri che, derivanti da un unico evento, colpiscono ai sinistri che, derivanti da un unico evento, colpiscono pipiùù contratti del portafoglio contemporaneamente, contratti del portafoglio contemporaneamente, riassicurazione riassicurazione ““per per eventevent excessexcess of lossof loss””

c)c) ai sinistri che, nel corso di un assegnato intervallo di ai sinistri che, nel corso di un assegnato intervallo di tempo (ad esempio, un anno), colpiscono il portafogliotempo (ad esempio, un anno), colpiscono il portafoglio, , riassicurazione riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss””

Riassicurazione “per risk excess of loss” (1/3)

Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabiCon riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilitlitààcivile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati, dcivile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati, di durata i durata

annuale e con massimali di garanzia Mannuale e con massimali di garanzia M11,M,M22,,……,M,Mnn

Sia Sia LLjj la la prioritprioritàà fissata in corrispondenza fissata in corrispondenza del jdel j--esimo contrattoesimo contratto

Importo che rimane a carico Importo che rimane a carico delldell’’assicuratore assicuratore in relazione allin relazione all’’ii--esimo esimo

sinistro che colpisce il contratto sinistro che colpisce il contratto ( )jji

Aji LYY ;min ,, =

•• Se il trattato non prevede limiti di accettazione da parte Se il trattato non prevede limiti di accettazione da parte del riassicuratoredel riassicuratore

Importo che viene trasferito al Importo che viene trasferito al riassicuratore riassicuratore in relazione allin relazione all’’ii--esimo esimo

sinistro che colpisce il contratto sinistro che colpisce il contratto ( )0;max ,, jji

Rji LYY −=

È trasferita l’intera eccedenza rispetto alla priorità


La La massima esposizione del riassicuratore nei confronti massima esposizione del riassicuratore nei confronti di un sinistro di un sinistro èè definita definita portataportata

-- totaletotale (vale a dire, eguale alla differenza (vale a dire, eguale alla differenza MMjj--LLjj))

•• La La portataportata può essere:può essere:

-- parzialeparziale (vale a dire, inferiore alla differenza (vale a dire, inferiore alla differenza MMjj--LLjj))

•• Risarcimento globale conservato dallRisarcimento globale conservato dall’’assicuratoreassicuratore in relazione in relazione allall’’intero portafoglio intero portafoglio

( )∑ ∑∑ ∑= == =

==n

j

N

ijji

n

j

N

i

Aji

Ajj

LYYX1 0

,1 0

, ;min

risarcimento globale ceduto al riassicuratore risarcimento globale ceduto al riassicuratore (portata totale) (portata totale)

( )∑ ∑∑ ∑= == =

−==n

j

N

ijji

n

j

N

i

Rji

Rjj

LYYX1 0

,1 0

, 0;max


Nella pratica Nella pratica riassicurativariassicurativa la la portataportata prevista nella prevista nella copertura copertura ““per per riskrisk excessexcess of lossof loss”” èè generalmente generalmente parzialeparziale

•• Risarcimento ceduto al riassicuratore in relazione allRisarcimento ceduto al riassicuratore in relazione all’’ii--esimo sinistro esimo sinistro che colpisce il jche colpisce il j--esimo contratto del portafoglioesimo contratto del portafoglio

];)0;min[max( ,, jjjiRji QLYY −=

Portata parzialePortata parziale

ll’’assicuratore deve pertanto procurarsi ulteriori garanzie assicuratore deve pertanto procurarsi ulteriori garanzie riassicurativeriassicurative, usualmente articolate in , usualmente articolate in ““layerslayers”” (o, anche, (o, anche, ““fascefasce””))

Il riassicuratore che copre il primo Il riassicuratore che copre il primo ““layerlayer””, detto , detto ““working working layerlayer””, , èè evidentemente pievidentemente piùù esposto al rischio di risarcimenti a suo carico esposto al rischio di risarcimenti a suo carico

rispetto ai riassicuratori che coprono i rispetto ai riassicuratori che coprono i ““layerslayers”” successivisuccessivi

Riassicurazione “per event excess of loss”Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabiCon riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilitlitàà civile civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di duracostituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale, ta annuale,

sia Z il risarcimento globale relativo ai sinistri che, derivantsia Z il risarcimento globale relativo ai sinistri che, derivanti da un i da un unico unico eventoevento, colpiscono pi, colpiscono piùù contratti del portafogliocontratti del portafoglio

•• Sia Sia LLCC la la prioritprioritàà fissata in corrispondenza di tale eventofissata in corrispondenza di tale evento

);min( CA LZZ =

)0;max( CR LZZ −=

];)0;min[max( CCR QLZZ −=

Importo che rimane a carico Importo che rimane a carico delldell’’assicuratoreassicuratore

Importo trasferito al riassicuratore Importo trasferito al riassicuratore (portata parziale, Q(portata parziale, QCC))

Importo trasferito al Importo trasferito al riassicuratore riassicuratore (portata totale)(portata totale)

Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabiCon riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilitlitàà civile civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di duracostituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale, ta annuale,

-- sia sia LLGG la prioritla prioritàà fissata in corrispondenza del portafoglio, fissata in corrispondenza del portafoglio, anche denominata anche denominata prioritprioritàà globaleglobale

Riassicurazione “aggregate excess of loss”

Risarcimento globale conservato Risarcimento globale conservato dalldall’’assicuratore assicuratore

Importo trasferito al Importo trasferito al riassicuratore riassicuratore (portata totale)(portata totale)

Importo trasferito al riassicuratore Importo trasferito al riassicuratore (portata parziale, Q(portata parziale, QGG ))

);min( GA LXX =

)0;max( GR LXX −=

];)0;min[max( GGR QLXX −=

Riassicurazione “aggregate excess of loss”OSSERVAZIONI

1)1) La riassicurazione La riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss”” èè molto molto vantaggiosa vantaggiosa per lper l’’assicuratoreassicuratore, il quale ottiene in tal , il quale ottiene in tal modo la copertura dellmodo la copertura dell’’eventuale eccedenza positiva del eventuale eccedenza positiva del risarcimento globale nei confronti della sua previsione risarcimento globale nei confronti della sua previsione

2)2) Tale copertura non Tale copertura non èè altrettanto gradita dal riassicuratore altrettanto gradita dal riassicuratore a causa della causa dell’’elevata aleatorietelevata aleatorietàà connessa ai connessa ai risarcimenti risarcimenti trasferititrasferiti a suo caricoa suo cariconel premio di riassicurazione vi nel premio di riassicurazione vi èè un piun piùù consistente caricamento di consistente caricamento di

sicurezza rispetto ad altre forme di riassicurazionesicurezza rispetto ad altre forme di riassicurazione

3)3) EE’’frequente lfrequente l’’impiego di questa copertura in impiego di questa copertura in combinazione con una riassicurazione proporzionale, combinazione con una riassicurazione proporzionale, in quota o per eccedente di sommain quota o per eccedente di somma

Riassicurazione “stop loss” (1/2)Nella Nella riassicurazione riassicurazione ““stopstop--lossloss”” ll’’assicuratore ed il assicuratore ed il

riassicuratore stabiliscono un valore, corrispondente al riassicuratore stabiliscono un valore, corrispondente al massimo risarcimento che, espresso in percentuale dei premi, massimo risarcimento che, espresso in percentuale dei premi,

ll’’assicuratore assicuratore èè disponibile ad effettuare in relazione ai disponibile ad effettuare in relazione ai sinistri che colpiscono il portafoglio in un anno sinistri che colpiscono il portafoglio in un anno

•• Il valore concordato tra le parti Il valore concordato tra le parti èè denominato denominato prioritprioritàà globaleglobale

La riassicurazione La riassicurazione ““stopstop--lossloss”” èè definita a livello di definita a livello di portafoglio portafoglio (riassicurazione globale)(riassicurazione globale)

ed opera in modo analogo alla riassicurazione ed opera in modo analogo alla riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss””, con l, con l’’unica differenza che per la prioritunica differenza che per la prioritàà globale globale

viene ora considerato un valore percentuale viene ora considerato un valore percentuale anzichanzichéé un valore monetarioun valore monetario

Riassicurazione “stop loss” (2/2)Con riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabiCon riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilitlitàà civile civile

costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di duracostituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annuale, si ta annuale, si indichi con q il rapporto aleatorio sinistri a premi di competenindichi con q il rapporto aleatorio sinistri a premi di competenza del portafoglioza del portafoglio

•• Sia Sia qqSLSL la fissata la fissata prioritprioritàà globale globale

Percentuale dellPercentuale dell’’ammontare ammontare globale dei premi incassati globale dei premi incassati

nellnell’’anno conservata anno conservata dalldall’’assicuratoreassicuratore

Percentuale ceduta Percentuale ceduta (portata totale)(portata totale)

Percentuale ceduta Percentuale ceduta (portata parziale, (portata parziale, q*)q*)

)q;qmin(q SLA =

)0;qqmax(q SLR −=

*]q);0;qqmin[max(q SLR −=

Combinazioni di riassicurazioni non proporzionali (1/2)

Nei mercati riassicurativi vengono frequentemente Nei mercati riassicurativi vengono frequentemente applicate alcune applicate alcune combinazioni di forme combinazioni di forme riassicurativeriassicurative

non proporzionalinon proporzionali

In riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilIn riferimento ad un portafoglio di assicurazioni di responsabilititàà civile civile costituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di duracostituito da n contratti contemporaneamente stipulati e di durata annualeta annuale

ESEMPIOESEMPIO

Combinazione di una Combinazione di una riassicurazione riassicurazione ““per per riskrisk excessexcess of lossof loss””con una con una riassicurazione riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss””, ,

in linea con le seguenti ipotesi:in linea con le seguenti ipotesi:

a)a) la riassicurazione la riassicurazione ““per per riskrisk excessexcess of lossof loss”” èè caratterizzata, con caratterizzata, con riferimento al jriferimento al j--esimo contratto del portafoglio, da una prioritesimo contratto del portafoglio, da una prioritàà LLjje da una portata parziale e da una portata parziale QQjj

b)b) la riassicurazione la riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss”” èè caratterizzata da una caratterizzata da una prioritprioritàà LLGG e da una portata parziale Qe da una portata parziale QGG

Combinazioni di riassicurazioni non proporzionali (2/2)

•• Risarcimento globale conservato dallRisarcimento globale conservato dall’’assicuratoreassicuratore

);(min )1(GAA LXX =

risarcimento globale conservato risarcimento globale conservato dalldall’’assicuratore per effetto della sola assicuratore per effetto della sola componente componente ““per per riskrisk excessexcess of lossof loss””

∑ ∑= =

=n

j

N

ijji

Aj

LYX1 0

,)1( );(minconcon

•• Risarcimento globale ceduto al riassicuratore Risarcimento globale ceduto al riassicuratore

]);0;([maxmin )1(GGRR QLXX −=

∑ ∑= =

−=n

j

N

ijjji

Rj

QLYX1 0

,)1( ];)0;([maxmin

risarcimento globale ceduto risarcimento globale ceduto al riassicuratore per effetto al riassicuratore per effetto

della sola componente della sola componente ““per per riskrisk excessexcess of lossof loss””

concon

Riassicurazioni misteESEMPIOESEMPIO

Si considerino una Si considerino una riassicurazione riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss””ed una ed una riassicurazione in quotariassicurazione in quota

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−+

≤=

GGG

G

A

LXse)LX(aL

LXseXX

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−−

≤=

GG

G

R

LXse)LX)(a1(

LXse0X

Importo che rimane a carico Importo che rimane a carico delldell’’assicuratoreassicuratore

Importo trasferito al Importo trasferito al riassicuratoreriassicuratore

Riassicurazioni misteOSSERVAZIONI

1)1) Alcune Alcune riassicurazioni misteriassicurazioni miste, ottenute mediante combinazione , ottenute mediante combinazione di una forma di una forma riassicurativariassicurativa proporzionale con una forma proporzionale con una forma riassicurativariassicurativa non proporzionale, sono di notevole interesse non proporzionale, sono di notevole interesse teorico teorico oltrecholtrechèè applicativoapplicativo

•• SULLSULL’’ESEMPIO PROPOSTOESEMPIO PROPOSTOa)a) ÈÈ frequentemente in uso nei mercati riassicurativifrequentemente in uso nei mercati riassicurativi

b)b) ÈÈ pienamente rispondente alle esigenze dellpienamente rispondente alle esigenze dell’’assicuratoreassicuratore

c)c) ÈÈ preferita dal riassicuratore rispetto alle due garanzie preferita dal riassicuratore rispetto alle due garanzie che la compongonoche la compongono-- a differenza della riassicurazione a differenza della riassicurazione ““aggregate aggregate excessexcess of lossof loss””coinvolge lcoinvolge l’’assicuratore anche per i sinistri eccedenti la prioritassicuratore anche per i sinistri eccedenti la prioritàà-- a differenza della riassicurazione in quota non prevede la a differenza della riassicurazione in quota non prevede la partecipazione del riassicuratore alla copertura dei piccoli sinpartecipazione del riassicuratore alla copertura dei piccoli sinistriistri

Il premio di riassicurazione (1/2)

A fronte della cessione (parziale o totale) di rischi A fronte della cessione (parziale o totale) di rischi ll’’assicuratore deve corrispondere al riassicuratore un assicuratore deve corrispondere al riassicuratore un premio premio

di riassicurazionedi riassicurazione, prezzo della garanzia , prezzo della garanzia riassicurativariassicurativa

In generale, esso comprende sia un In generale, esso comprende sia un caricamento di caricamento di sicurezzasicurezza sia un sia un caricamento per spesecaricamento per spese ed ed èè inoltre inoltre

fortemente influenzato da diversi fattori di natura non tecnica:fortemente influenzato da diversi fattori di natura non tecnica:

-- le le condizioni del mercato condizioni del mercato riassicurativoriassicurativo;;

-- il il rapporto esistente tra le parti.rapporto esistente tra le parti.

•• Ai fini della Ai fini della determinazionedeterminazione del del premio equo di premio equo di riassicurazioneriassicurazione occorre distinguere tra riassicurazioni occorre distinguere tra riassicurazioni proporzionali e riassicurazioni non proporzionaliproporzionali e riassicurazioni non proporzionali

Il premio di riassicurazione (2/2)Nelle Nelle riassicurazioni proporzionaliriassicurazioni proporzionali

Nelle Nelle riassicurazioni non proporzionaliriassicurazioni non proporzionali

il premio equo il premio equo èè ricavato applicando la percentuale di ricavato applicando la percentuale di trasferimento del rischio al corrispondente premio della trasferimento del rischio al corrispondente premio della copertura assicurativa di basecopertura assicurativa di base

a)a) metodo dellmetodo dell’’““exposureexposure ratingrating””

il premio equo viene determinato il premio equo viene determinato ripartendo il premio della copertura ripartendo il premio della copertura

assicurativa di base tra assicurativa di base tra ll’’assicuratore e il riassicuratore in assicuratore e il riassicuratore in

misura proporzionalemisura proporzionaleallall’’esposizione al rischio esposizione al rischio delle partidelle parti

b)b) metodo dellmetodo dell’’““experienceexperience ratingrating””

il premio equo viene il premio equo viene determinato mediante determinato mediante

ll’’esperienzaesperienza di di sinistrositsinistrositàà, , concernente unconcernente un’’opportuna opportuna

collettivitcollettivitàà di rischi di rischi riassicuratiriassicurati

Il premio di riassicurazione:“EXPOSURE RATING” (1/4)

LL’’aliquota di premio riconosciuta al riassicuratore deve aliquota di premio riconosciuta al riassicuratore deve tenere conto della differenza esistente tra la tenere conto della differenza esistente tra la distribuzionedistribuzione

degli importidegli importi di un sinistro e la di un sinistro e la distribuzione dei distribuzione dei massimali di garanziamassimali di garanzia (nel caso di assicurazioni di (nel caso di assicurazioni di

responsabilitresponsabilitàà civile) civile) oppure della oppure della distribuzione dei valori distribuzione dei valori (dei beni) assicurati ((dei beni) assicurati (nel caso si consideri un portafoglio nel caso si consideri un portafoglio

di assicurazioni di danni a beni di proprietdi assicurazioni di danni a beni di proprietàà) )

Vi sarVi saràà prevalenza prevalenza di sinistri di importo inferiore al di sinistri di importo inferiore al massimalemassimale


Al riassicuratore che garantisce una copertura Al riassicuratore che garantisce una copertura ““per per riskrisk excessexcess of of lossloss”” con prioritcon prioritàà eguale al 50% del massimale di garanzia di ciascun eguale al 50% del massimale di garanzia di ciascun contratto va riconosciuta uncontratto va riconosciuta un’’aliquota del premio della copertura aliquota del premio della copertura assicurativa di base comunque inferiore al 50%assicurativa di base comunque inferiore al 50%………………....

ESEMPIOESEMPIO

Nella pratica Nella pratica riassicurativariassicurativa, la ripartizione dei premi , la ripartizione dei premi tra le parti tra le parti èè di norma ottenuta utilizzando una delle di norma ottenuta utilizzando una delle seguenti seguenti procedureprocedure::

a)a) si costruiscono apposite si costruiscono apposite tavoletavole, note , note come come ““first loss first loss scalesscales””

b)b) si costruiscono apposite si costruiscono apposite curvecurve, note , note come come ““exposureexposure curvescurves””


ProcedureProcedure::a)a) si costruiscono apposite si costruiscono apposite tavoletavole, , ““first loss first loss scalesscales””::

b)b) si costruiscono apposite si costruiscono apposite curvecurve, , ““exposureexposure curvescurves””::

esse stabiliscono lesse stabiliscono l’’aliquota di premio di pertinenza del aliquota di premio di pertinenza del riassicuratore per ogni valore della fissata prioritriassicuratore per ogni valore della fissata prioritààespresso in percentuale del massimale di garanzia (o del espresso in percentuale del massimale di garanzia (o del valore assicurato, valore assicurato, ……))

apposite curve tracciate nel primo quadrante di un piano apposite curve tracciate nel primo quadrante di un piano cartesiano con cartesiano con -- sullsull’’asse delle ascisse i valori percentuali del rapporto tra la asse delle ascisse i valori percentuali del rapporto tra la fissata prioritfissata prioritàà ed il massimale di garanzia (o il valore ed il massimale di garanzia (o il valore assicurato, assicurato, ……););-- mentre sullmentre sull’’asse delle ordinate le corrispondenti aliquote di asse delle ordinate le corrispondenti aliquote di premio di pertinenza dellpremio di pertinenza dell’’assicuratore assicuratore


•• OSSERVAZIONI OSSERVAZIONI

a)a) Le Le ““first loss first loss scalesscales””, costruite sulla base dei dati , costruite sulla base dei dati raccolti nel corso del tempo da parte degli assicuratori e raccolti nel corso del tempo da parte degli assicuratori e dei riassicuratori, variano per categorie di rischi dei riassicuratori, variano per categorie di rischi assicurati e, inoltre, da un riassicuratore ad un altroassicurati e, inoltre, da un riassicuratore ad un altro

b)b) Le Le ““exposureexposure curvescurves”” si trovano sempre al di sopra della si trovano sempre al di sopra della bisettrice del primo quadrante (nel caso di coincidenza si bisettrice del primo quadrante (nel caso di coincidenza si ha la ripartizione proporzionale dei premi in base al ha la ripartizione proporzionale dei premi in base al rischio assunto).rischio assunto).

-- PiPiùù elevata elevata èè ll’’incidenza di sinistri di importo inferiore al incidenza di sinistri di importo inferiore al massimale di garanzia (o al valore assicurato, massimale di garanzia (o al valore assicurato, ……) pi) piùùmarcata marcata èè la concavitla concavitàà verso il basso della curvaverso il basso della curva

Il premio di riassicurazione:“EXPERIENCE RATING” (1/3)

Nella pratica Nella pratica riassicurativariassicurativa èè frequentemente adottato il frequentemente adottato il metodo del metodo del ““burningburning costcost””

•• Il Il ““burningburning costcost”” èè definito come il rapporto percentuale definito come il rapporto percentuale sinistri a premi (annuali) di competenza del riassicuratoresinistri a premi (annuali) di competenza del riassicuratore

consiste nel calcolare unconsiste nel calcolare un’’opportuna media dei valori del opportuna media dei valori del ““burningburning costcost”” osservati dal riassicuratore, in un dato osservati dal riassicuratore, in un dato

intervallo di tempo (per lo piintervallo di tempo (per lo piùù, 3 o 5 anni), su un , 3 o 5 anni), su un portafoglio di rischi riassicuratiportafoglio di rischi riassicurati

METODO DEL METODO DEL ““BURNIG COSTBURNIG COST””

∑

∑

=

== k

j

Cj

k

j

Cj

P

S

1

1τ Tasso di premioTasso di premio


•• OSSERVAZIONI OSSERVAZIONI

1)1) Il tasso Il tasso ττ èè propriamente un tasso di premio equo se i premi propriamente un tasso di premio equo se i premi presi in considerazione sono i premi equi. presi in considerazione sono i premi equi. -- Nella pratica Nella pratica riassicurativariassicurativa èè tuttavia usuale il riferimento tuttavia usuale il riferimento ai premi di tariffa.ai premi di tariffa.

2)2) I valori del rapporto percentuale sinistri a premi di I valori del rapporto percentuale sinistri a premi di competenza osservati in anni diversi da parte del competenza osservati in anni diversi da parte del riassicuratore sono sottoposti ad unriassicuratore sono sottoposti ad un’’opportuna opportuna indicizzazioneindicizzazioneper poter essere confrontati tra loroper poter essere confrontati tra loro-- essi sono generalmente originati da portafogli raramente essi sono generalmente originati da portafogli raramente omogenei sia sotto il profilo dei rischi assicurati sia sotto ilomogenei sia sotto il profilo dei rischi assicurati sia sotto ilprofilo delle garanzie profilo delle garanzie riassicurativeriassicurative adottateadottate


Il metodo del Il metodo del ““burnigburnig costcost”” può essere utilmente può essere utilmente utilizzatoutilizzato::

a)a) in in modo retrospettivomodo retrospettivo, per adeguare nel tempo il , per adeguare nel tempo il tasso di premio relativo ad un rischio riassicuratotasso di premio relativo ad un rischio riassicurato

b)b) in in modo modo prospettivoprospettivo, per ottenere la stima iniziale del , per ottenere la stima iniziale del tasso di premio relativo ad un nuovo rischio riassicuratotasso di premio relativo ad un nuovo rischio riassicurato

Nella pratica Nella pratica riassicurativariassicurativa ll’’uso dei metodi uso dei metodi èè fortemente fortemente condizionato:condizionato:

-- dai dai dati a disposizionedati a disposizione del riassicuratore del riassicuratore -- dal dal ““layerlayer”” al quale il calcolo fa riferimentoal quale il calcolo fa riferimento

Il premio di riassicurazione:“EXPERIENCE RATING” E “EXPOSURE RATING”

A CONFRONTO

a)a) Il metodo dellIl metodo dell’“’“experienceexperience ratingrating”” èè largamente largamente adottato con riferimento al adottato con riferimento al ““working working layerlayer””, per il , per il quale le esperienze di sinistrositquale le esperienze di sinistrositàà sono pisono piùùnumerose ed affidabilinumerose ed affidabili

b)b) Il metodo dellIl metodo dell’“’“exposureexposure ratingrating”” èè frequentemente in frequentemente in uso con riferimento ai uso con riferimento ai ““layerslayers”” successivi, per i quali successivi, per i quali èèopportuno sfruttare le esperienze di sinistrositopportuno sfruttare le esperienze di sinistrositàà relative relative a portafogli pia portafogli piùù numerosinumerosi

Il premio di riassicurazione:ALTRI METODI DI CALCOLO

Metodi in uso Metodi in uso ai fini del calcolo del premio (equo) della ai fini del calcolo del premio (equo) della riassicurazione riassicurazione ““per per eventevent excessexcess of lossof loss”” e soprattutto nel e soprattutto nel

caso di evento catastrofalecaso di evento catastrofale

a)a) ilil ““rate on linerate on line””

b)b) ilil ““payback periodpayback period ”” reciprocoreciproco del del ““rate on linerate on line””::

ottenuto rapportando alla portata globale del trattato ottenuto rapportando alla portata globale del trattato (supposto di durata annuale) i relativi premi annui(supposto di durata annuale) i relativi premi annui

numero di anni necessari per recuperare, mediante lnumero di anni necessari per recuperare, mediante l’’introito introito di premi costanti di riassicurazione, il cosiddetto di premi costanti di riassicurazione, il cosiddetto ““sinistro sinistro totaletotale”” (vale a dire, un esborso per il riassicuratore eguale (vale a dire, un esborso per il riassicuratore eguale alla portata globale del trattato).alla portata globale del trattato).

Il premio di riassicurazione:CARICAMENTO DI SICUREZZA (1/2)

Il corrispondente margine applicato nella copertura Il corrispondente margine applicato nella copertura assicurativa di base costituisce soltanto un elemento di assicurativa di base costituisce soltanto un elemento di

riferimento per il calcolo di questa grandezza, anche nel riferimento per il calcolo di questa grandezza, anche nel caso delle garanzie caso delle garanzie riassicurativeriassicurative proporzionali:proporzionali:

a)a) la cessione dei rischi in riassicurazione determina il la cessione dei rischi in riassicurazione determina il trasferimento al riassicuratore di trasferimento al riassicuratore di utiliutili attesi dallattesi dall’’assicuratoreassicuratore

in conseguenza a questin conseguenza a quest’’ultimo (assicuratore) ultimo (assicuratore) èè riconosciuta riconosciuta una una provvigione di riassicurazioneprovvigione di riassicurazione pipiùù o meno o meno

consistente a seconda della forma consistente a seconda della forma riassicurativariassicurativa adottataadottata

Il premio di riassicurazione:CARICAMENTO DI SICUREZZA (2/2)

b)b) le diverse forme di riassicurazione sono caratterizzate da le diverse forme di riassicurazione sono caratterizzate da differenti livelli di differenti livelli di esposizione al rischio del riassicuratoreesposizione al rischio del riassicuratore

esigenza, da parte di questesigenza, da parte di quest’’ultimo (riassicuratore), di introdurre ultimo (riassicuratore), di introdurre differenti livelli di caricamento di sicurezza nel premio purodifferenti livelli di caricamento di sicurezza nel premio puro

c)c) la la base statisticabase statistica utilizzata dal riassicuratore per la utilizzata dal riassicuratore per la valutazione dei rischi riassicurati non necessariamente valutazione dei rischi riassicurati non necessariamente coincide con quella adottata dallcoincide con quella adottata dall’’assicuratore al momento assicuratore al momento delldell’’assunzione dei medesimi rischiassunzione dei medesimi rischi

Il premio di riassicurazione:PROVVIGIONE DI RIASSICURAZIONE

ÈÈ di norma ottenuta in percentuale dei premi e può essere di norma ottenuta in percentuale dei premi e può essere determinata:determinata:

a)a) a prioria priori: in tal caso si ha : in tal caso si ha una una provvigione fissaprovvigione fissa

b)b) a posterioria posteriori: in tal caso si : in tal caso si ha una ha una provvigione scalareprovvigione scalare

Le parti generalmente concordano una Le parti generalmente concordano una provvigione provvisoriaprovvigione provvisoriache viene inizialmente applicata e poi eventualmente adeguata che viene inizialmente applicata e poi eventualmente adeguata

alla fine del rapporto alla fine del rapporto riassicurativoriassicurativo•• Le Le formuleformule adottate per il adottate per il calcolocalcolo della della provvigione scalareprovvigione scalare sono sono basate tradizionalmente sullbasate tradizionalmente sull’’andamento del rapporto percentuale sinistri andamento del rapporto percentuale sinistri a premi di competenza del portafoglioa premi di competenza del portafoglio

( e consentono di premiare l( e consentono di premiare l’’assicuratore nel caso in cui lassicuratore nel caso in cui l’’onere per sinistri onere per sinistri osservato, in rapporto al volume dei premi incassati, sia stato osservato, in rapporto al volume dei premi incassati, sia stato inferiore alle attese)inferiore alle attese)

Riassicurazione ed inflazioneNelle forme di riassicurazione non proporzionali occorre Nelle forme di riassicurazione non proporzionali occorre

anche tenere conto delle conseguenze dellanche tenere conto delle conseguenze dell’’inflazioneinflazione

•• LL’’ inflazioneinflazione può far spuò far sìì che il risarcimento relativo ad un che il risarcimento relativo ad un sinistro che colpisce un contratto (o relativo ad una massa di sinistro che colpisce un contratto (o relativo ad una massa di sinistri che colpiscono un portafoglio) superi, al momento sinistri che colpiscono un portafoglio) superi, al momento

della liquidazione, la fissata prioritdella liquidazione, la fissata prioritàà

(in particolare, se la liquidazione dei sinistri (in particolare, se la liquidazione dei sinistri èè notevolmente notevolmente differita nel tempo)differita nel tempo)

Clausola di stabilitClausola di stabilitààimpegna limpegna l’’assicuratore ad indicizzare il livello della sua ritenzione assicuratore ad indicizzare il livello della sua ritenzione

adeguandolo nel tempo al potere dadeguandolo nel tempo al potere d’’acquisto della monetaacquisto della moneta

Riassicurazione ECOMOR(“Excedent du COut MOyen Relatif” )

Copertura Copertura riassicurativariassicurativa non proporzionale, introdotta da non proporzionale, introdotta da ThThéépautpaut (1950), che si prefigge di limitare le conseguenze (1950), che si prefigge di limitare le conseguenze

negative derivanti dallnegative derivanti dall’’inflazione inflazione

•• NellNell’’ipotesi che i risarcimenti siano ordinati in senso non ipotesi che i risarcimenti siano ordinati in senso non crescente, la riassicurazione crescente, la riassicurazione ““E.CO.MO.R.E.CO.MO.R.”” opera in modo opera in modo analogo alla riassicurazione analogo alla riassicurazione ““excessexcess of lossof loss””, con la differenza , con la differenza che lache la prioritprioritàà corrisponde ora al corrisponde ora al risarcimento relativo risarcimento relativo allall’’mm--esimo sinistroesimo sinistro, per importo, che colpisce il portafoglio, per importo, che colpisce il portafoglio

Al riassicuratore sono pertanto trasferiti i risarcimenti eccedeAl riassicuratore sono pertanto trasferiti i risarcimenti eccedenti nti tale priorittale prioritàà, riguardanti i primi (pi, riguardanti i primi (piùù grandi) mgrandi) m--1 sinistri1 sinistri

Riassicurazione ECOMORAPPLICABILITÀ

Ai fini della sua applicazione Ai fini della sua applicazione èè necessario necessario ordinareordinare i i sinistrisinistri in base allin base all’’ammontare del relativo risarcimentoammontare del relativo risarcimento

YY1:N1:N ≥≥ YY2:N2:N ≥≥ ... ... ≥≥ YYj:Nj:N ≥≥ ... ... ≥≥ YYN:NN:N

essendo i risarcimenti ordinati in senso non crescenteessendo i risarcimenti ordinati in senso non crescente

•• OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE

Il riferimento Il riferimento èè ll’’intero portafoglio e non il singolo intero portafoglio e non il singolo contratto del portafogliocontratto del portafoglio

(N: (N: numero di sinistri che colpiscono il dato portafoglio)numero di sinistri che colpiscono il dato portafoglio)

Impostazione collettiva della teoria del rischioImpostazione collettiva della teoria del rischio, alternativa , alternativa allall’’impostazione individuale della teoria del rischioimpostazione individuale della teoria del rischio

Riassicurazione ECOMOR:RISARCIMENTO TRATTENUTO E

RISARCIMENTO CEDUTO

Risarcimento globale conservato dallRisarcimento globale conservato dall’’assicuratoreassicuratore

Risarcimento globale ceduto al riassicuratore Risarcimento globale ceduto al riassicuratore

Nm

N

mjNj

A mYYX :1

: += ∑+=

Nm

m

jNj

R mYYX :1

: −= ∑=

La La prioritprioritàà corrispondecorrisponde al al risarcimento, risarcimento, YYmm:N:N

Riassicurazione ECOMOR:ESEMPIO (1/2)

•• In In riferimento ad un portafoglio di assicurazioni contro i danni riferimento ad un portafoglio di assicurazioni contro i danni contemporaneamente stipulate e di durata annuale si ipotizzi:contemporaneamente stipulate e di durata annuale si ipotizzi:

a) a) che i risarcimenti siano ordinati in senso non crescenteche i risarcimenti siano ordinati in senso non crescenteyy1:k1:k ≥≥ yy2:k2:k ≥≥ ... ... ≥≥ yyj:kj:k ≥≥ ... ... ≥≥ yyk:kk:k

si tiene conto, a posteriori, dei risarcimenti osservati: si tiene conto, a posteriori, dei risarcimenti osservati: k sinistri che nellk sinistri che nell’’anno di copertura anno di copertura riassicurativariassicurativa hanno colpito il dato portafogliohanno colpito il dato portafoglio

b) b) cheche la la prioritprioritàà corrispondacorrisponda al al risarcimento, risarcimento, yymm:k:k, m, m--esimo piesimo piùùgrande sinistro tra i k sinistri osservati, con m fissato allgrande sinistro tra i k sinistri osservati, con m fissato all’’inizio del inizio del rapporto rapporto riassicurativoriassicurativo

c) c) che la distribuzione di probabilitche la distribuzione di probabilitàà del risarcimento, Y, sia del risarcimento, Y, sia ben rappresentata da una ben rappresentata da una distribuzione di distribuzione di ParetoPareto di di parametro parametro ηη (con (con ηη > 1)> 1) e e θθ = 1= 1

1,1)( ≥−= − yyyFYη funzione di ripartizionefunzione di ripartizione

Riassicurazione ECOMOR:ESEMPIO (2/2)

Premio equo di riassicurazionePremio equo di riassicurazione

=>−== ]|[)1()( :kmRR yYYEmXEP

)(1)1(

:

:

kmY

y

yF

dyym km

−−=

∫+∞ −η

.1

)1( :

−−=

ηkmym

dipende anche dalldipende anche dall’’importo importo yymm:k:k(noto solo alla fine dell(noto solo alla fine dell’’anno di copertura anno di copertura riassicurativariassicurativa) )

Ai fini della determinazione del premio puro di riassicurazione,Ai fini della determinazione del premio puro di riassicurazione, ad esempio ad esempio mediante il principio della varianza, occorre evidentemente che mediante il principio della varianza, occorre evidentemente che si abbia si abbia ηη > 2> 2

Politiche ottimali di riassicurazioneUn fondamentale aspetto dei profili attuariali della Un fondamentale aspetto dei profili attuariali della

riassicurazione per le assicurazioni contro i danni riassicurazione per le assicurazioni contro i danni èè rappresentato rappresentato dalla ricerca di una dalla ricerca di una politica di ritenzione ottimale dei rischipolitica di ritenzione ottimale dei rischi

(o, anche, (o, anche, politica ottimale di riassicurazionepolitica ottimale di riassicurazione) con riferimento ) con riferimento ad un portafoglio assicurato (in forma proporzionale o non ad un portafoglio assicurato (in forma proporzionale o non

proporzionale, individuale o globale,proporzionale, individuale o globale,……))

•• Il problema può essere affrontato:Il problema può essere affrontato:

a)a) da un punto di vista dellda un punto di vista dell’’assicuratore, definendo cosassicuratore, definendo cosìì una una politica unilaterale di ritenzione ottimale dei rischipolitica unilaterale di ritenzione ottimale dei rischi;;

b)b) da un punto di vista dellda un punto di vista dell’’assicuratore e del assicuratore e del riassicuartoreriassicuartore, , definendo cosdefinendo cosìì una una politica bilaterale di ritenzione politica bilaterale di ritenzione ottimale dei rischiottimale dei rischi..

Politiche unilaterali ottimali di riassicurazione(1/3)

Criteri di valutazioneCriteri di valutazione(a)(a) Criterio dellCriterio dell’’utilitutilitàà attesa;attesa;(b)(b) Criterio della probabilitCriterio della probabilitàà di rovina.di rovina.

(a) Criterio dell(a) Criterio dell’’utilitutilitàà attesaattesaLL’’obiettivoobiettivo delldell’’assicuratore consiste nella assicuratore consiste nella massimizzazionemassimizzazione

delldell’’utilitutilitàà attesa attesa del del guadagno aleatorio di portafoglioguadagno aleatorio di portafoglio((exex--post la riassicurazionepost la riassicurazione) con riferimento ad un orizzonte ) con riferimento ad un orizzonte

temporale di durata annuale temporale di durata annuale

Ricerca dei valori delle Ricerca dei valori delle variabili decisionalivariabili decisionali ((aliquote di aliquote di conservazione, prioritconservazione, prioritàà) che massimizzano l) che massimizzano l’’utilitutilitàà attesa del attesa del

guadagno relativo al portafoglio riassicuratoguadagno relativo al portafoglio riassicurato


(b) Criterio della probabilit(b) Criterio della probabilitàà di rovinadi rovina

LL’’obiettivoobiettivo delldell’’assicuratore consiste nella assicuratore consiste nella minimizzazione minimizzazione della varianzadella varianza deldel guadagno aleatorio di portafoglioguadagno aleatorio di portafoglio((exex--post la riassicurazionepost la riassicurazione) condizionatamente ad una ) condizionatamente ad una

prefissata riduzione del guadagno atteso (di portafoglio) prefissata riduzione del guadagno atteso (di portafoglio) conseguente alla riassicurazione conseguente alla riassicurazione

((con i rischi lcon i rischi l’’assicuratore cede anche parte dei relativi utiliassicuratore cede anche parte dei relativi utili) )

Ricerca delle Ricerca delle aliquote di conservazionealiquote di conservazione ((non negative e non non negative e non superiori allsuperiori all’’unitunitàà), in accordo al ), in accordo al problema di ottimizzazioneproblema di ottimizzazione per per una politica unilaterale ottimale di riassicurazione (una politica unilaterale ottimale di riassicurazione (con ilcon il criterio criterio

della probabilitdella probabilitàà di rovinadi rovina) proposto da ) proposto da de de FinettiFinetti (1940)(1940)


In accordo al In accordo al problema di ottimizzazioneproblema di ottimizzazione proposto da proposto da de de FinettiFinetti

a)a) Problema dei pieni relativi (di conservazione)Problema dei pieni relativi (di conservazione)Ricerca delle Ricerca delle aliquote di conservazionealiquote di conservazione ((non negative e non non negative e non superiori allsuperiori all’’unitunitàà), che rendono ), che rendono minima la varianzaminima la varianza deldel guadagno guadagno aleatorio di portafoglioaleatorio di portafoglio ((exex--post la riassicurazionepost la riassicurazione) ) condizionatamente ad una prefissata riduzione del guadagno attescondizionatamente ad una prefissata riduzione del guadagno atteso o (di portafoglio) conseguente alla data garanzia (di portafoglio) conseguente alla data garanzia riassicurativariassicurativa

b)b) Problema dei pieni assoluti (di conservazione)Problema dei pieni assoluti (di conservazione)Ricerca delle Ricerca delle aliquote di conservazionealiquote di conservazione ((non negative e non non negative e non superiori allsuperiori all’’unitunitàà), condizionatamente ad una ), condizionatamente ad una prefissata prefissata probabilitprobabilitàà di rovinadi rovina, , εε*, che l*, che l’’assicuratore ritiene assicuratore ritiene accettabileaccettabile(e che determina anche la conseguente (e che determina anche la conseguente riduzione di guadagno atteso riduzione di guadagno atteso di portafoglio conseguente alla riassicurazione)di portafoglio conseguente alla riassicurazione)

Politiche bilaterali ottimali di riassicurazione(1/2)

In accordo al problema di ottimizzazione proposto da In accordo al problema di ottimizzazione proposto da BenktanderBenktander (1975)(1975)

•• In base al In base al criterio dellcriterio dell’’utilitutilitàà attesaattesa, se l, se l’’assicuratore assicuratore èè pipiùùavverso al rischio del riassicuratore, esiste un avverso al rischio del riassicuratore, esiste un intervallo di intervallo di trattativatrattativa (intervallo di valori) che rende (intervallo di valori) che rende vantaggiosovantaggioso il il

rapporto rapporto riassicurativoriassicurativo per per entrambe le partientrambe le parti. .

Intervallo di trattativaIntervallo di trattativa:

ÈÈ compreso tra il premio di indifferenza del riassicuratore, compreso tra il premio di indifferenza del riassicuratore, ΠΠ””, ed il premio di indifferenza dell, ed il premio di indifferenza dell’’assicuratore, assicuratore, ΠΠ’’

cheche èè pipiùù alto perchalto perchéé ll’’assicuratore assicuratore èè (per ipotesi realistica) (per ipotesi realistica) pipiùù avverso al rischio del riassicuratore avverso al rischio del riassicuratore

Politiche bilaterali ottimali di riassicurazione(2/2)

ΠΠ’’ΠΠ””

ΠΠRR

Premio di riassicurazionePremio di riassicurazione

ÈÈ realistico pensare che lrealistico pensare che l’’assicuratore ed il riassicuratore assicuratore ed il riassicuratore possano possano concordare concordare su una garanzia che su una garanzia che

-- massimizzi la differenza massimizzi la differenza ΠΠ’’ -- ΠΠ””; ; -- ripartisca al meglio la riduzione di varianza del risarcimento ripartisca al meglio la riduzione di varianza del risarcimento

globale conseguente alla decomposizione in risarcimento globale conseguente alla decomposizione in risarcimento trattenuto e risarcimento ceduto. trattenuto e risarcimento ceduto.

A cura di:

Chiara [email protected]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA FACOLTÀ DI ... gestione tecnico... · premi, affinché...

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