UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di ...geotecnica.dicea.unifi.it/less_spi10.pdf ·...

“SPINTA DELLE TERRE”

UNIVERSITA’

DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011

Spinta delle terre

22/63/63

Dr. Dr. IngIng. Johann Facciorusso. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

SPINTA DELLE TERRELa

determinazione

della

spinta

esercitata

dal

terreno

contro

un’opera

di

sostegno

è un

problema

classico

di

ingegneria

geotecnica

che

viene

affrontato utilizzando due teorie “storiche”:

Entrambi le teorie, nel calcolo della spinta del terreno, si riferiscono agli stati limite

(ovvero

prossimi

alla

rottura)

ed

ipotizzano

superfici

di

scorrimento

piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee• i risultati che si ottengono applicando i metodi classici sono

spesso non

cautelativi.

la teoria di Rankine (1857) la teoria di Coulomb (1776).

È

pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot

e Kérisel

(1948) che è il più noto

e

applicato

metodo

fra

quelli

che

assumono

superfici

di

scorrimento

curvilinee.

Teoria di Rankine

33/63/63


TEORIA DI RANKINE (o DEGLI STATI LIMITE)

terreno omogeneo (γ costante con la profondità) superficie del p.c. piana, orizzontale ed infinitamente estesa (stato assial‐sim.)terreno incoerente (c’ = 0)assenza di falda (u = 0, σ = σ’)validità del criterio di rottura di Mohr‐ Coulomb (τf = σ’n tg ϕ’)perete verticale e liscia (assenza di attrito)

IPOTESI:

Stato tensionale assial‐simmetricoσ’v0

= σ’1

*

σ’h0

= σ’2

= σ’3

= k0

∙σ’v0

Z

Q

v0

v00h0

σ γ’ = Z

σ σ’ = K ’

1

γ

1

K0

γ

*per

K0

< 1

(terreni NC o debolmente OC)

Cerchio O

σ’

φ’

τ

σ’h0 σ’ v0

γZK0

γZ

Tens.orizzontali

Tens.verticali

σ’v0,σ’h0

Ipotesi rimovibili

Teoria di Rankine

44/63/63


SPINTA A RIPOSO

vengono inserite due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (assenza di attrito)

IPOTESI:

Stato tensionale a riposo (cerchio O)La

spinta

orizzontale

S0

(spinta

a riposo)

presente

sui

due

lati

di

ciascuna

parete

(risultante

delle tensioni

orizzontali

dalla

superficie

fino alla generica profondità

H) vale:

02

H

00h0 KH

21dZʹS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

ed è

applicata alla profondità

(baricentro del

triangolo

della

distribuzione

delle

tensioni orizzontali):

H32

S

dZZZ

0

H

0

ʹ0h

0 ⋅=⋅⋅σ

=∫

HS

K Hγ

A

h0σ’ h0

0

0

0

σ’ Z = 2/3 H

K Hγ0

Q

Teoria di Rankine

55/63/63


Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2

τ

τ

σ’ha σ’ v0

f

C

F

RO

SPINTA ATTIVA

Stato tensionale limite attivo (cerchio A)nel punto Q permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed orizzontale sono ancora principali);la tensione verticale σ’v0 = γ∙Z non variala tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente

Q

v0

ha

σ’ σ’

Si allontanano gradualmente le due pareti:IPOTESI:

Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

τ

τ

σ’ha

f

C

F

R

O σ’ v0

Teoria di Rankine

66/63/63


Il valore minimo della tensione orizzontale , σ’ha

, compatibile con l’equilibrio è

detto

tensione

limite

attiva,

e

corrisponde

alla

tensione

principale

minore

del cerchio di Mohr

tangente alla retta di inviluppo a rottura.

R = ½ (σ’v0

‐

σ’ha

)

Il raggio del cerchio di Mohr

a rottura

(A) vale:

OC = ½ (σ’v0

+ σ’ha

)

Considerando

il

triangolo (rettangolo) OFC:

( ) ( )

0v2

0vha

0vha

ha0vha0v

ʹ2ʹ

4tanʹ

ʹsen1ʹsen1ʹ

)ʹsen1(ʹ)ʹsen1(ʹ

ʹsenʹʹ21ʹʹ

21

ʹsenOCFCR

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=σ⋅φ+φ−

=σ

φ−⋅σ=φ+⋅σ

φ⋅σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

A

voAha ʹKʹ σ⋅=σ Coefficiente di

spinta attiva

e l’ascissa del centro:

Teoria di Rankine

77/63/63


Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2

τ

τ

σ’ha σ’ v0

f

C

F

R

O

Q

v0

ha

f

n

σ’

τ

σ’ σ’

π φ/4+ ’/2

In

condizioni

di

rottura

in

condizioni di

equilibrio

limite

inferiore

(spinta

attiva),

il

terreno

inizia

a

scorrere lungo questi piani.

σ’n

La

tensione

agente

sulla

superficie

di

scorrimento

(ipotizzata

piana)

è rappresentata

dal

punto

F

del

cerchio

di

Mohr,

ha

componente

normale

σn

e tangenziale τf

ed agisce su un piano forma un angolo di con la direzione orizzontale.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

2'

4

Z

Q

π φ/4+ ’/2

Teoria di Rankine

88/63/63


La

spinta

attiva

orizzontale

SA

(risultante

delle

tensioni

orizzontali

dalla superficie

fino

alla

generica

profondità

H)

che

agisce

sulla

parte

interna

di

ciascuna parete vale:

S

ha

A

σ’

A

K HγA

Z = 2/3 HA

H

A2

H

0hAA KH

21dZʹS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

0A ZH32Z =⋅=

ed

è

applicata

alla

profondità (baricentro

del

triangolo

della

distribuzione

delle


Teoria di Rankine

99/63/63


SPINTA PASSIVA

Si avvicinano gradualmente le due pareti:IPOTESI:

Stato tensionale limite passivo (cerchio P)

Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0

C

nel punto A permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed orizzontale sono ancora principali);la tensione verticale σ’v0 = γ∙Z non variala tensione orizzontale efficace cresce progressivamente

Q

v0

hp

σ’ σ’

Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0

C

Teoria di Rankine

1010/63/63


Il valore massimo della tensione orizzontale , σ’pa

, compatibile con l’equilibrio è

detto tensione limite passiva, e corrisponde alla tensione principale maggiore

del cerchio di Mohr

tangente alla retta di inviluppo a rottura.

R = ½ (σ’hp

‐

σ’v0

)

Il raggio del cerchio di Mohr

a rottura

(P) vale:

OC = ½ (σ’hp

+ σ’v0

)

Considerando

il

triangolo (rettangolo) OFC:

voPhp 'K' σ⋅=σ Coefficiente di

spinta passiva


( ) ( )

0v2

0vhP

0vhP

hP0v0vhP

ʹ2ʹ

4tanʹ

ʹsen1ʹsen1ʹ

)ʹsen1(ʹ)ʹsen1(ʹ

ʹsenʹʹ21ʹʹ

21

ʹsenOCFCR

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

=σ⋅φ−φ+

=σ

φ+⋅σ=φ−⋅σ

φ⋅σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅==

A

2P K

12'

4tan

'sen1'sen1K =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−+

=φπ

φφ

Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0

C

Teoria di Rankine

1111/63/63


In

condizioni

di

rottura

in

condizioni di

equilibrio

limite

superiore

(spinta

passiva),

il

terreno

inizia

a

scorrere lungo questi piani.

σ’n

La

tensione

agente

sulla

superficie

di

scorrimento

(ipotizzata

piana)

è rappresentata

dal

punto

F

del

cerchio

di

Mohr,

ha

componente

normale

σn

e tangenziale τf

ed agisce su un piano forma un angolo di con la direzione orizzontale.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

2'

4

Z

Q

π φ/4 - ’/2

A

v0

hp

f

n

σ’

τ

σ’

σ’

π φ/4 - ’/2

Teoria di RankineDr. Dr. IngIng. Johann Facciorusso. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

La

spinta

passiva

orizzontale

SP

(risultante

delle

tensioni

orizzontali

dalla superficie

fino

alla

generica

profondità

H)

che

agisce

sulla

parte

interna

di

ciascuna parete vale:

ed

è

applicata

alla

profondità (baricentro

del

triangolo

della

distribuzione

delle


P2

H

0hPP KH

21dZʹS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

0P ZH32Z =⋅=

S

hp

P

σ’

Q

K HγP

Z = 2/3 HP

H

N.B.

I

coefficienti

di

spinta

attiva,

KA

,

e

passiva,

KP

,

rappresentano

i

valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci

orizzontale e verticale:P

0v

hA K

ʹʹK ≤

σσ

≤

1212/63/63

Teoria di Rankine

1313/63/63


COEFFICIENTI DI SPINTA E DEFORMAZIONI

Rotazione del muro, Y/H

Stato passivo

Sabbia densa

Sabbia densaR

appo

rto tr

a pr

essi

one

oriz

zont

ale

e ve

rtica

le, K

Stato attivo

Sabbia sciolta

Sabbia scioltaSabbia compatta

K

K

K

0

a

p

Le

deformazioni

di

espansione necessarie

per

far

decadere

la

pressione

orizzontale

dal

valore

σ’h0

al

valore

limite

inferiore

σ’ha

,

sono piccole,

e

comunque

molto

inferiori

alle

deformazioni

di

compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale

dal

valore

σ’h0

,

al

valore limite superiore σ’hp

.

N.B.

In

genere

si

considera

l’angolo

di resistenza

al

taglio

di

picco

per

il

calcolo della spinta attiva, e l’angolo di resistenza

al

taglio

a

volume

costante

(≅

residuo)

per

il

calcolo

della

spinta passiva. Rotazione Y / H Terreno

Decompressione (Stato attivo)

Compressione (Stato passivo)

Incoerente denso 0,001 0,020 Incoerente sciolto 0,004 0,060 Coesivo consistente 0,010 0,020 Coesivo molle 0,020 0,040

Kp

K0Ka

Ka

persabbie dense

ΔY (attiva) ΔY (passiva)

Teoria di Rankine

1414/63/63


Si

suppone

che

il

deposito

sia

delimitato

superiormente

da

una

superficie piana, inclinata di un angolo β

< ϕ’

rispetto all’orizzontale (le tensioni verticale

ed orizzontali non sono più

principali, non essendovi più

simmetria).

Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito

b

l

β

ZWS

S

T

N

le risultanti, S, delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali (per ragioni di simmetria eguali ed opposte, aventi la stessa retta d’azione inclinata dell’angolo β sull’orizzontale)

il peso W = γ ∙Z∙ b

l = b/cosβ

Sul concio agiscono:

la risultante delle tensioni normali alla base del concio: N = W ∙cosβ

la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio: T = W ∙sen β

N.B.

In questo caso la spinta non è

più

orizzontale ma inclinata di β

Teoria di Rankine

1515/63/63


La tensione normale alla base del concio

vale:σn

= N/l = γ

∙Z ∙cos2

β

La tensione tangenziale alla base del concio

vale:τ

=T/l = γ

∙Z ∙

sen β

∙cos β

La

risultante,

per

ragioni

di

equilibrio,

agisce

in

direzione

verticale

e rappresenta

la

tensione

totale

verticale

agente

nel

pendio

alla

profondità

Z

e

vale:σv

= √(σn2

+ τ2) = W/l =

γ

∙Z ∙cos β

φ’

β

τ

σ’O

Q

σ γ β’ = Z cos n2

τ = γ β βZ sen cos

Nel piano di Mohr

il punto Q (σ’n

,τ) appartiene alla retta τ

= σ∙tgβ

Tutti

i

cerchi

di

Mohr passanti

per

il

punto

Q

e

sottostanti

alla

retta

di inviluppo

a

rottura

rappresentano

stati

di tensione

alla

profondità

Z

compatibili con l’equilibrio.

Teoria di Rankine

1616/63/63


φ’

β

τ

σ’O

Q

A

E

B

P

Cerchio P

Cerchio A

C

Lo

stato

di

tensione

limite

inferiore

(attivo)

e

lo

stato

di

tensione

limite superiore

(passivo)

alla

profondità

Z

sono

rappresentati

dai

cerchi

A

e

P

passanti per Q e tangenti all’inviluppo a rottura

I

segmenti

OA

e

OP

sono

rispettivamente

il

valore

minimo

(condizioni

di spinta

attiva),

ed

il

valore

massimo

(condizioni

di

spinta

passiva),

della

tensione,

inclinata

dell’angolo

β

sull’orizzontale,

agente

sulla

superficie verticale alla profondità

Z .

Teoria di Rankine

1717/63/63


Si

può

quindi

dimostrare

che

nel

caso

di

pendio

inclinato

di

un

angolo

β rispetto all’orizzontale le tensioni limite attiva e passiva (agenti su una parete verticale) sono parallele al pendio e valgono rispettivamente :

Aa KcosZʹ ⋅β⋅⋅γ=σ con⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−−=

22

22

A'coscoscos

'coscoscosK

φββ

φββ

e

A

2

A K2

ZcosS ⋅⋅⋅= βγ

Pp KcosZʹ ⋅β⋅⋅γ=σ con⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+=

22

22

P'coscoscos'coscoscos

Kφββ

φββ

eP

2

P K2

ZcosS ⋅⋅⋅= βγ

Per

la

condizione

di

spinta

a

riposo,

staticamente

indeterminata,

si

assume

in genere:

)sen1()ʹsen1()sen1(KK 0,0 β+⋅φ−=β+⋅=β

S

β

β

1818/63/63


Si

suppone

il

deposito

dotato

anche

di

coesione

oltre

che

di

attrito,

ovvero resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr‐Coulomb:

Effetto della coesione

'tan''c φ⋅σ+=τ

O

c’

φ’

τ

σ’C

R

F

σ’ σ’ 3 1

c’tan ’ϕ

σ σ’ + ’1 32

D

R = ½ (σ’1

‐

σ’3

)Il raggio del cerchio di Mohr

a rottura vale:

OC = ½ (σ’1

+ σ’3

)

Considerando il triangolo (rettangolo) OFC:


( ) ( )

( )ʹcosʹc2)ʹsen1(ʹ)ʹsen1(ʹ

ʹcosʹc2ʹsenʹʹ

ʹsenʹctgʹcʹʹ21ʹʹ

21

ʹsen)OCDO(ʹsenDCFCR

31

ʹ3

ʹ131

3131

φ⋅+φ+⋅σ=φ−⋅σφ⋅+φ⋅σ+σ=σ−σ

φ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ⋅+σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅+=φ⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅σ=σ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanʹʹ 2

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅σ=σ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanʹʹ 2

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅σ=σ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanʹʹ 2

13

Criterio di rottura in termini di σ’1

e σ’3

Teoria di Rankine

1919/63/63


Per un terreno coesivo, poiché

nel caso di stato di equilibrio limite attivo σ’1

= σ’ha

e

nel

caso

passivo

σ’3

=

σ’hp

,

le

tensioni

limite

attiva

e

passiva,

valgono rispettivamente:

AA0v2

0va,h K'c2K'2'

4tan'c2

2'

4tan'' ⋅⋅−⋅σ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅σ=σ

PP0v2

0vp,h K'c2K'2'

4tan'c2

2'

4tan'' ⋅⋅+⋅σ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅σ=σ

Cerchio A

Cerchio P

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2τ

τ

ha v0

f

C

F

R

O σ’σ’ v0 σ’ hp σ’

Cerchio O

c’

Teoria di Rankine

2020/63/63


Nelle

applicazioni

pratiche

si

assume σ’ha

= 0

(terreno

non

resistente

a trazione), tranne

che

nel

caso

in

cui

vi

sia

adesione

tra

parete

e

terreno

e

la spinta risulta:

Si

considera,

per

il

calcolo

della

spinta,

anche

un

triangolo

di

pressione idrostatica

di altezza Zc

e base γw

Zc

H

2c’γ K

2 c’ K

σ’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

C

Ca

a

2/3 (Z - Z )γ Ζcw

1/3 (Zc

+ 2 H)

La pressione limite attiva in un terreno coesivo

può

diventare

negativa

per

Z< Zc

, dove Zc

(profondità

critica) è la profondità

per cui σ’ha

= 0:

Ac K

'c2Z⋅γ

⋅=

N.B. 1)

Teoria di Rankine

OSS.

Nella

fascia

di

spessore

Zc

il terreno è

interessato da fessure verticali

di

trazione

che,

nel

caso

in

cui

la

falda sia

a

profondità

Zw

>

Zc

,

possono riempirsi d’acqua.

2A

cAAA

)'c2KH(21

)ZH()K'c2KH(21S

⋅−⋅⋅γ⋅γ

=−⋅⋅⋅−⋅⋅γ⋅=

AA0va,h K'c2K'' ⋅⋅−⋅σ=σ

applicata a profondità:

)ZH2(31)ZH(

32ZZ cccA +⋅=−⋅+=

2121/63/63


N.B. 2)

Teoria di Rankine

PPp,h K'c2KZ' ⋅⋅+⋅⋅γ=σ

P2

P2,P1,PP KH21HKʹc2SS)Z(S ⋅⋅γ⋅+⋅⋅⋅=+=

⋅⋅⋅+⋅

=)(

32

2)(2,1,

ZS

ZSZSSZ

P

PP

P

H

2 c’ K

σ’ (Z)

S’ (1)P

hp

p

2/3 HH/2

S’ (2)P

La pressione limite passiva è

sempre positiva.La spinta passiva

SP

vale dunque:

ed

è

applicata

alla

profondità (baricentro della distribuzione delle tensioni orizzontali):

σ’

ϕu = 0

π/4 π/4

τ

c

σha

u

O σv0σ h,a σ h,p

2222/63/63


Teoria di Rankine

Calcolo della spinta a breve termine (condizioni non drenate)

Nel

caso

di

terreni

coesivi,

la

spinta

può

anche

essere

determinata

con riferimento

a

condizioni

non

drenate

(ovvero

quelle

che

si

instaurano

a

breve

termine).

In

tal

caso,

non

potendo

conoscere

l’entità

delle

sovrappressioni interstiziali,

e

quindi

delle

tensioni

efficaci,

la

spinta

può

essere

solo

determinata in tensioni totali.

ua,h c2Z ⋅−⋅= γσ

up,h c2Z ⋅+⋅= γσ

I

cerchi

a

rottura

in condizione

di

equilibrio

limite

attivo

e

passivo hanno

in

tal

caso

raggio

cu

e quindi:

τ

= cu

τ

= cu

(Criterio di Tresca)

Sempre

con

riferimento

alle

ipotesi

di

Rankine

(parete

verticale

liscia),

il criterio di rottura di Mohr‐Coulomb

diventa (criterio di Tresca):

N.B.

I piani di rottura sono inclinati di 45°

rispetto all’orizzontale.

2323/63/63


H

2cuγ

2 cu

σ (Z)

Z =

S

S

A

W

ha

C

C

2/3 (Z - Z )γ Ζcw

1/3 (Zc

+ 2 Z)

In tal caso la

profondità

critica

vale:γ⋅

= uc

c2Z

Teoria di Rankine

La spinta attiva

SA

(risultante delle tensioni orizzontali

dalla superficie fino alla generica profondità

H > Zc

) vale dunque (limitatamente al tratto per cui σh

>0):

2u

cuA

)c2H(21

)ZH()c2H(21S

⋅−⋅γ⋅γ

=

−⋅⋅−⋅⋅γ⋅=

ed

è

applicata

alla

profondità

(baricentro della

distribuzione

delle

tensioni

orizzontali):

)ZH2(31)ZH(

32ZZ cccA +⋅=−⋅+=

2424/63/63


Teoria di Rankine

H

2 cu

σ (Z)

S (1)P

hp

2/3 HH/2

S (2)P

2u2,P1,PP H

21Hc2SS)Z(S ⋅γ⋅+⋅⋅=+=

⋅⋅⋅+⋅

=)(

32

2)(2,1,

ZS

ZSZSSZ

P

PP

P

La spinta passiva

SP

(risultante delle tensioni orizzontali

dalla superficie fino alla generica profondità

H ) vale dunque:

ed

è

applicata

alla

profondità

(baricentro

della

distribuzione

delle


2525/63/63


Teoria di Rankine

Si suppone che il deposito sia costituito da strati orizzontali omogenei.Effetto della eterogeneità

del deposito

La

spinta

risultante

esercitata

sulla

parete

verticale

è la

somma

dei

contribuiti di ciascuno strato.

i,Aii,A1i0v1iha Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅−⋅σ=σ −−

i,Aii,Ai0viha Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅−⋅σ=σ

∑−

=− ⋅γ=σ

1i

1jjj1i0v Hʹ)Z(ʹ

ii1i0vi0v Hʹ)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅γ+σ=σ −

Per ciascuno strato di spessore Hi

, peso di volume γi

e resistenza al taglio:'i

'i tan'c φ⋅σ+=τ

alle estremità

di ciascun strato, le tensioni efficaci verticali valgono :

le tensioni efficaci orizzontali limite in condizioni di spinta attiva e passiva valgono:

i,Pii,P1i0v1ihp Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅+⋅σ=σ −−

i,Pii,Pi0vihp Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅+⋅σ=σ

2626/63/63


Teoria di Rankine

H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

σ’ hp

Z

S’P,,i

σ’ (Z )hp i-1

σ’ (Z )hp i

N.B.

Nelle

zone

di

ciascun

strato

non

compresse

in

direzione

orizzontale

si dovrà

tenere

conto

eventualmente

della

spinta

esercitata

dall’acqua

di

percolazione.

e il diagramma delle pressioni orizzontali

può essere:nullo (se le pressioni orizzontali all’estremità sono entrambe nulle),triangolare (se le pressioni sono una negativa e l’altra positiva),trapezio (se le pressioni sono entrambe positive):

H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

σ’ ha

Z

S’A,i

σ’ (Z )ha i-1

σ’ (Z )ha i

c , ’i iϕ

c , ’2 2ϕ

c , ’1 1ϕ

2727/63/63


Teoria di Coulomb

TEORIA DI COULOMB

terreno omogeneo (γ costante con la profondità) superficie del terrapieno piana, orizzontale ed infinitamente estesaterreno incoerente (c’ = 0)assenza di falda (u = 0, σ = σ’)resistenza al taglio costante e validità del criterio di rottura di Mohr‐Coulomb (τ = σ’n ∙tg ϕ’) parete verticaleassenza di attrito tra parete e terrenosuperficie di scorrimento piana

IPOTESI ( ≡

teoria di Rankine):

Il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un’opera di

sostegno

è

stato

anche

affrontato

con

un

metodo

basato

sull’equilibrio

globale

delle

forze

in

gioco

agenti

sul

cuneo

di

terreno

delimitato

dalla superficie

piana

di

scorrimento

sempre

con

riferimento

agli

stati

limite

inferiore e superiore (METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE GLOBALE)

Ipotesi rimovibili

2828/63/63


Teoria di Coulomb

SPINTA ATTIVAIn condizioni di equilibrio limite attivo

(ovvero quando la parete si allontana

dal

terrapieno

fino

al

raggiungimento

della

condizione

di

equilibrio

limite inferiore), sul cuneo agiscono:

il peso proprio , che agisce in direzione verticale: η⋅⋅γ⋅= cotH21W 2

la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo ϕ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso l’alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr‐Coulomb)la spinta attiva PA, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi di

assenza di attrito tra parete e terreno).

η−φ’W

R

AP

EQUILIBRIO DELLE FORZE

H

H

η

φ’

W

RA

A’

B’

B

AP

tan ηC

C’

2929/63/63


Teoria di Coulomb

Per l’equilibrio è:

( ) )(f'tancotH21)'tan(WP 2

A η=φ−η⋅η⋅⋅γ⋅=φ−η⋅=

Tra

le

soluzioni

che

si

ottengono

al

variare

dell’angolo

d’inclinazione

η

del piano

di

rottura e

che

soddisfano

l’equazione

di

equilibrio,

si

considera

la

soluzione

massima

(trattandosi

di

uno

stato

di

equilibrio

limite

inferiore

è la prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione

di riposo, la

parete si allontana fino al raggiungimento della condizione di spinta attiva):

0PA =η∂

∂ 2'

4critφ

+π

=η

A222

A KH21

2'

4tanH

21P ⋅⋅γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅γ⋅=

COINCIDENTE CON LA SOLUZIONE DI RANKINE

K0

S0

δ

S

3030/63/63


Teoria di Coulomb

SPINTA PASSIVAIn condizioni di equilibrio limite passivo

(ovvero quando la parete si avvicina

al

terrapieno

fino

al

raggiungimento

della

condizione

di

equilibrio

limite superiore), sul cuneo agiscono:

il peso proprio , che agisce in direzione verticale: η⋅⋅γ⋅= cotH21W 2

la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo ϕ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr‐Coulomb)la spinta passiva PP, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi di

assenza di attrito tra parete e terreno).

EQUILIBRIO DELLE FORZE

η+φ’W

R

PP

H

H

ηφ’

WR

AA’

B’B

PP

tan η

C

C’

3131/63/63


Teoria di Coulomb

Per l’equilibrio è:

Tra

le

soluzioni

che

si

ottengono

al

variare

dell’angolo

d’inclinazione

η

del piano

di

rottura e

che

soddisfano

l’equazione

di

equilibrio,

si

considera

la

soluzione

minima

(trattandosi

di

uno

stato

di

equilibrio

limite

superiore

è la prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione

di riposo, la

parete si avvicina fino al raggiungimento della condizione di spinta passiva):

0PP =η∂

∂ 2'

4critφ

−π

=η

P222

P KH21

2'

4tanH

21P ⋅⋅γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅γ⋅=

COINCIDENTE CON LA SOLUZIONE DI RANKINE

K0

S0

δ

( ) )(f'tancotH21)'tan(WP 2

P η=φ+η⋅η⋅⋅γ⋅=φ+η⋅=

S

3232/63/63


Teoria di Coulomb

terrapieno delimitato da una superficie inclinata di un angolo βsull’orizzontaleparete inclinata di un angolo λ sulla verticalepresenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tanδ

IPOTESI:

Si rimuovono alcune delle ipotesi ma non quella di superficie di scorrimento piana:

H

η

β

λ

δ φ’

W

RAP

Per la condizione di spinta attiva:

A2

A KH21P ⋅⋅⋅= γ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

βλδλβφφδδλλ

λφ

Ipotesi non soddisfacibili

alla teoria di Rankine

dove:

3333/63/63


Teoria di Coulomb

Per la condizione di spinta passiva:

P2

P KH21P ⋅⋅γ⋅=

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

P

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅++⋅+

−⋅+⋅

+=

βλδλβφφδδλλ

λφ

H

η

β

λ

δ φ’

W

R

PP

dove:

3434/63/63


Teoria di Coulomb

terreno coesivo (c’ ≠ 0)presenza di adesione e attrito tra parete e terreno (τ = ca + σ’∙tgδ )

IPOTESI:Nel caso ancora più

generale di:

Per la condizione di spinta attiva:

W

A

F

E

B

C’ = c’ BCA a

D

Ca

Zc

C’

δAP

η

φ’

R

β

C = c BC

W

Ca

C’

AP

R

La soluzione non è

esprimibile in forma chiusa e si trova per via grafica o numerica

3535/63/63


Teoria di Coulomb

TEORIA DI RANKINE E DI COULOMBLa

teoria

di

Coulomb

è

più

versatile

della

teoria

di

Rankine,

ed

è alla

base

del

più

diffuso

metodo

pseudo‐statico

di

calcolo

della

spinta

in

condizioni sismiche.

Il

metodo

di

Coulomb

basato

sulle

equazioni

di

equilibrio

globale

alla traslazione,

non

consente

tuttavia

di

determinare

la

distribuzione

delle

tensioni

orizzontali,

ma

solo

la

risultante

(la

quota

di

applicazione

non

è ad esempio determinabile).

Entrambi

i

metodi

ipotizzano

superfici

di

scorrimento

piane,

ma

a

causa delle presenza di attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee•

i

risultati

che

si

ottengono

applicando

i

metodi

derivati

dalla

teoria

di

Rankine

e dalla teoria di Coulomb sono spesso non cautelativi

3636/63/63


Teoria di Coulomb

TEORIA DI RANKINE E DI COULOMBLa

teoria

di

Coulomb

è

più

versatile

della

teoria

di

Rankine,

ed

è alla

base

del

più

diffuso

metodo

pseudo‐statico

di

calcolo

della

spinta

in

condizioni sismiche.

Il

metodo

di

Coulomb

basato

sulle

equazioni

di

equilibrio

globale

alla traslazione,

non

consente

tuttavia

di

determinare

la

distribuzione

delle

tensioni

orizzontali,

ma

solo

la

risultante

(la

quota

di

applicazione

non

è ad esempio determinabile).

Entrambi

i

metodi

ipotizzano

superfici

di

scorrimento

piane,

ma

a

causa delle presenza di attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee•

i

risultati

che

si

ottengono

applicando

i

metodi

derivati

dalla

teoria

di

Rankine

e dalla teoria di Coulomb sono spesso non cautelativi

3737/63/63


Teoria di Caquot

e Kerisel

H

A

B

C

DH/3

A’ π φ/4 - ’/2

π φ/2+ ’

δ

PP

π φ/4 + ’/2

π φ/2 - ’

δH

H/3

AP

B

D

A CA’b)

δ

< 0δ

> 0

È

pertanto

opportuno

riferirsi

ad

altri

metodi

che

assumono

superfici

di scorrimento curvilinee, come ad esempio il metodo di Caquot

e Kérisel

(1948):

TEORIA DI CAQUOT E KERISEL

SPINTA PASSIVA SPINTA ATTIVA

3838/63/63


Teoria di Caquot

e Kerisel

È

stata ottenuta per via numerica

ed è

riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta attiva, KA

, e passiva, KP

, al variare dell’

angolo :

+β

+λ +δ

φ’ 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,26 0,22 0,19 0,16

1'

=φδ

1,26 1,66 2,20 3,04 4,26 6,56 10,7 18,2 35,0 75,0

0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

32

'=

φδ

1,24 1,59 2,06 2,72 3,61 5,25 8,00 12,8 21,0 41,0

0,82 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

31

'=

φδ

1,22 1,52 1,89 2,38 3,03 4,02 5,55 8,10 12,0 19,0

0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,27 0,22 0,17 0,13 0

'=

φδ

1,19 1,42 1,70 2,04 2,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50

Esempio: terrapieno orizzontale (β

= 0°) e parete verticale (λ

= 0°)

di resistenza al taglio ϕ’,di attrito parete‐terreno δ,di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all’orizzontale β

kakp

3939/63/63


Teoria di Caquot

e Kerisel

|δ| < ϕ’1.Effetto dell’angolo d’attrito δ tra parete e terreno

δ

> 0 (spinta attiva)δ

< 0 (spinta passiva)

Al crescere di |δ| (fissati β,

λ

e ϕ’) KA

varia poco e KP

cresce sensibilmente

2. Effetto dell’angolo d’inclinazione β del terrapieno |β| < ϕ’Al crescere di β (fissati δ,

λ

e ϕ’) KA

e KP

crescono (perché

cresce

il

volume

di

terreno

interessato

dalla rottura)β

> 0 (inclinato verso l’alto)

β

< 0 (inclinato verso il basso)

3. Effetto dell’angolo d’inclinazione λ della parete−(π/2 –

ϕ’) < λ

< (π/4 ‐

ϕ’/2)Al decrescere di λ (fissati δ,

β

e ϕ’) KA

decresce e KP

cresce

λ

> 0 (inclinata verso monte)

−(π/2) < λ

< (π/4 + ϕ’/2)

λ

< 0 (inclinata verso valle)

|β| < δ

+β

+λ +δ

(spinta attiva)

(spinta passiva)

4040/63/63


Confronti tra teorie

CONFRONTI TRA LE TEORIE DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL

Il metodo di Coulomb impone la forma della superficie di scorrimento piana: i valori di PA

e di PP

, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di

minimo

della

funzione

P(η) (η

angolo

tra

la

superficie

di

rottura

e

l’orizzontale) sono il massimo ed il minimo assoluti.

Ad esempio con il metodo di Caquot

e Kérisel:

PA

(Coulomb) < PA

(Caquot

e Kérisel)

PP

(Coulomb) > PP

(Caquot

e Kérisel)

PA

(Coulomb) non è

massimo assoluto

PP

(Coulomb) non è

minimo assoluto

Se

si

assume

una

forma

della

superficie

di

rottura

curvilinea,

il

metodo dell’equilibrio

limite

fornisce

soluzioni rispettivamente

maggiori

e

minori,

che variano con la forma della superficie di scorrimento.

4141/63/63


Confronti tra teorie

OSSERVAZIONI

2. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici (ovvero per β, λ,

δ

>0) le differenze sono modeste

3.

Nel

caso

di

spinta

passiva,

invece,

le

differenze

possono

essere

molto sensibili

4.

In

entrambi

i

casi,

essendo

in

genere

la

spinta

attiva

un’azione destabilizzante

e

la

spinta

passiva

un’azione

resistente,

il

metodo

di

Coulomb non è

conservativo

1.

Le

differenze

con

il

metodo

di

Coulomb,

in

termini

quantitativi,

sono tanto

più

rilevanti

quanto

più

la

superficie

ipotizzata

si

discosta

da

quella

piana

4242/63/63


Spinta dell’acqua

SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DELL’ACQUA Se

un

terreno

è

anche

solo

parzialmente

sotto

falda,

la

spinta

totale

STOT

esercitata contro una parete è la somma di due forze:

1.

la spinta S’

esercitata dal terreno

(valutata, come si è visto, utilizzando le tensioni verticali efficaci)

2.

la

spinta

SW

esercitata

dall’acqua

interstiziale

(che

si

calcola integrando il diagramma delle pressioni interstiziali)

Per

i

terreni

coesivi,

se

si

fa

riferimento

a

condizioni

non

drenate

(a

breve termine),

come

ad

esempio

nel

caso

di

uno

scavo

in

parete

verticale,

la

spinta

(attiva

e

passiva)

viene

determinata

in

termini

di

tensioni

totali,

S, ed è

quindi già

comprensiva della spinta idrostatica:

STOT

= S’

+ SW

STOT

= SN.B.

In

tal

caso,

nel

caso

di

spinta

attiva,

e limitatamente

allo

strato

al

di

sopra

della

profondità

critica

e

per

la

parte

sopra

falda,

si

considera

anche la

spinta

idrostatica

dell’acqua

di

infiltrazione,

sia

nel

caso

di

breve

che

lungo termine: STOT

= S’

+ SW

+ SW(inf) STOT

= S+

Sw(inf)

4343/63/63


Spinta dell’acqua

SPINTA IDROSTATICA

La spinta idrostatica

esercitata dall’acqua su una parete di altezza H vale:

In condizioni idrostatiche, nel caso di falda freatica a profondità

Zw

:

u(Z) = 0 per Z < Zwu(Z) = γw

(Z‐Zw

) per Z ≥

Zw

( )2www ZH

21)H(S −⋅γ⋅=

ed è

applicata alla profondità:H 3

γ (H-Z )

Sw

w

w

w

wZ

1 (Z + 2H)

)ZH2(31)ZH(

31H)S(Z www +⋅=−⋅−=

4444/63/63


Spinta dell’acqua

Se

vi

è

filtrazione

sotto

e

intorno

alla

parete

si

può

assumere

in

prima approssimazione

(se

il

terreno

è omogeneo)

che

il

carico idraulico

vari

linearmente

con

la

profondità

(altrimenti

si

deve

determinare

il

reticolo idrodinamico).

Δh = h + k – j

Percorso difiltrazione

Pressione dell’acqua totale

h

ub

k

d

j

ub

A monte la filtrazione è

discendente⇒ u

si riduce rispetto alla condizione idrostatica

A valle la filtrazione è

ascendente⇒ u

aumenta rispetto alla condizione idrostatica

)1()()1()( ikdijdhu wwb +⋅−⋅=−⋅−+⋅= γγ

Al piede della parete (trascurandone lo spessore):

SPINTA IDRODINAMICA

L = h + 2d –j – k

i = Δh/L = (h + k – j) / (h + 2d – j – k)

4545/63/63


Spinta dell’acqua

SPINTA DELL’ACQUA DI

INFILTRAZIONENel

caso

in

cui

si

consideri

la

spinta

idrostatica

prodotta

dall’acqua

di

infiltrazione al di sopra delle profondità

critica nei terreni coesivi (per la sola parte sopra falda):

2cw(inf)w Z

21S ⋅γ⋅=

ed è

applicata alla profondità:

C(inf)w Z32)S(Z ⋅=

H

2c’γ K

2 c’ K

σ’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

Ca

a

1/3 (2H+Z )cγ Ζcw

46/6346/63


Spinta dovuta a sovraccarichi

SPINTA DOVUTA A SOVRACCARICHI Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa

sulla superficie di

un

deposito

delimitato

da

un

piano

orizzontale

produce

in

ogni

punto

del semispazio

un

incremento

costante

della

tensione

verticale

Δσ’v0

= q

ed

un incremento costante della tensione orizzontale Δσ’h

= K∙qcon K coefficiente di spinta.

2q HK

21HqKSSS ⋅γ⋅⋅+⋅⋅=+= γ

N.B.

la profondità

di applicazione della componente S(q) è Z(Sq

) = H/2la profondità

di applicazione della componente S(γ) è Z(Sγ

) = 2H/3

q

z

σ’h

K∙q K∙γ∙z

H

La

spinta

orizzontale

S

fino

ad

una

generica profondità

H può essere calcolata come somma:

• dell’area rettangolare di base K∙q e altezza H, Sq• dell’area triangolare di base K∙γ∙H e altezza H, Sγ

− le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali,− il diagramma delle tensioni orizzontali è

trapezio,

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