Università di Cagliari Facoltà di Scienze MM.FF.NN. · Il rapporto tra il capitale iniziale e il...

Università di Cagliari Dipartimento di Scienze Economiche e

Aziendali CORSO DI LAUREA IN EF/EGA

MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2016/2017

Dott. Giovanni Masala, Prof. Marco Micocci,

Dott.ssa Laura Casula

MODULO 0

PRESENTAZIONE DEL CORSO

2

Libri di testo

Teoria. MICOCCI M., MASALA G. Manuale di

Matematica finanziaria. Carocci Editore, Roma, 2012.

Esercizi. COPPINI S.M., MICOCCI M., SPANDONARO F.,

MASALA G., GIORDANI C., FIORAVANTI L. Esercitazioni di Matematica Finanziaria.

CISU Editore, Roma, 2006.

3

Materiale didattico

Sul sito http://web.tiscali.it/gbmasala Lucidi, compiti con soluzioni e svolgimento.

4

MODULO 1

INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA FINANZIARIA - REGIMI FINANZIARI -

LA FORZA D’INTERESSE

5

Argomenti Obiettivi. Introduzione. Operazioni finanziarie elementari. Principali regimi finanziari: l’interesse semplice. Principali regimi finanziari: lo sconto

commerciale. Principali regimi finanziari: l’interesse composto. Confronto fra i principali regimi finanziari. Definizioni fondamentali: operazioni finanziarie.

7

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono :

• comprendere l’oggetto della matematica finanziaria;

• conoscere l’ambito di applicazione della materia; • identificare l’oggetto di osservazione con le

operazioni finanziarie; • risolvere semplici calcoli per trovare i valori

numerici delle variabili fondamentali; • comprendere il significato di operazione finanziaria.

8

Introduzione

La matematica finanziaria si occupa di “operazioni finanziarie”, ossia di contratti che, in sostanza, riguardano lo scambio di somme di denaro o di capitali, come si preferisce dire, disponibili in epoche diverse. La matematica finanziaria in senso stretto tratta le operazioni certe, ossia le operazioni che si effettuano indipendentemente dal verificarsi o dal non verificarsi di eventi aleatori, cioè di quegli eventi in tutto o in parte imprevedibili. Sono invece oggetto della matematica attuariale tutte quelle operazioni nelle quali i capitali, o l’epoca della loro riscossione, dipendono da fenomeni aleatori. Ad esempio, sono oggetto di studio della matematica attuariale i contratti di assicurazione sulla vita, i contratti di assicurazione contro i furti o gli incendi, la gestione dei fondi pensione, ecc…

9

Operazioni finanziarie elementari Investimento. Consideriamo la seguente operazione finanziaria: un soggetto investe C € all’epoca x per avere M € all’epoca y; M > C. C è il capitale iniziale, M è il capitale finale detto montante.

10

x y

M M > C C M

Operazioni finanziarie elementari

La differenza tra il montante prodotto all’epoca y ed il capitale iniziale, è il frutto dell’investimento e si denomina interesse, lo indicheremo con la lettera I. Il rapporto tra l’interesse generato ed

il capitale impiegato è il tasso d’interesse dell’operazione; rappresenta l’interesse prodotto su una unità di capitale investito. È un numero adimensionale.

11

I = M – C M = C + I Il montante dell’operazione a scadenza è pari alla somma

tra capitale investito e interesse

IiC

=


Il rapporto tra il montante e il capitale iniziale si indica con r(x,y), è denominato fattore di capitalizzazione. Il montante è proporzionale al capitale iniziale, il fattore di proporzionalità è rappresentato dal fattore di capitalizzazione.

12 x y

C M

( , ) Mr x yC

= ( , )M C r x y= ⋅


Se riferiamo tutto a una unità di capitale iniziale otteniamo: Abbiamo così dimostrato che il fattore di capitalizzazione è il montante prodotto da una unità di capitale iniziale

13

M C I= + 1M IC C

= + ( , ) 1 ( , )r x y i x y= +

0 1

1 1+i

14


Esempio. Il signor A (investitore) ha dato in prestito il capitale di € 1.000 al signor B il quale si è impegnato a restituire dopo un anno al signor A il capitale ricevuto in prestito ed un interesse di € 75. In altre parole si può dire che la somma C=1.000 dopo un anno diventa M = C+I=1.075. Il tasso di interesse di questa operazione finanziaria semplice è i=I/C=0,075. Nella pratica i tassi sono espressi in percentuale, per cui moltiplicando per 100 si ottiene un tasso d’interesse del 7,5%.

0 1

1.075 1.000


Attualizzazione (anticipazione). Consideriamo la situazione simmetrica alla precedente, un’operazione di finanziamento in cui un soggetto riceve oggi (epoca x) C € a fronte del pagamento M in un’epoca futura (y). L’individuo rinuncia ad una parte di capitale che gli è dovuto in futuro pur di entrarne in possesso anticipatamente; si tratta di quantificare il valore oggi di un importo disponibile in futuro. In questo contesto la quantità C si chiama valore attuale.

15

x y

C M C < M


La differenza tra il capitale M disponibile a scadenza (y) ed il capitale iniziale C è lo sconto, che indicheremo con D. Il rapporto tra lo sconto ed il capitale a

scadenza è indicato con d e rappresenta il tasso di sconto relativo all’operazione considerata. È un numero adimensionale.

16

D = M – C C = M – D Il valore attuale eguaglia la

differenza tra il capitale a scadenza e lo sconto

DdM

=


Il rapporto tra il capitale iniziale e il capitale a scadenza si indica con v(x,y), è denominato fattore di attualizzazione. La relazione appena descritta C = M⋅v(x,y) corrisponde ad un’operazione di sconto che si svolge tra il periodo x (di disponibilità del valore attuale) e il periodo y (di disponibilità del capitale a scadenza).

17 x y

C M

( , ) Cv x yM

= ( , )C M v x y= ⋅


Se riferiamo tutto a una unità di capitale a scadenza otteniamo: Il fattore di attualizzazione è il valore oggi di 1 euro disponibile in futuro.

18

C M D= − 1C DM M

= − ( , ) 1 ( , )v x y d x y= −

0 1

1 – d 1

Operazioni finanziarie elementari Se il risultato finale dipende solo dalla durata dell’operazione finanziaria, ovvero il periodo intercorso da x a y, poniamo t = y – x Riepilogando: Inoltre si fa notare che I e D sono due facce della stessa medaglia =

19

( )( )

( )( )

M C r tC M v tI C i tD M d t

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

I D

Operazioni finanziarie elementari Relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali. Le operazioni descritte stabiliscono una relazione tra somme disponibili ad epoche diverse. Considerando un investimento che impiega C euro oggi e permette di avere un montante M ad esempio fra 2 anni, da un certo punto di vista possiamo affermare che avere C oggi equivale ad avere M tra due anni, ancora, C può essere considerato il valore attuale di M. Arriviamo quindi a stabilire una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti diversi. Se M è il montante di C e C e il valore attuale di M, possiamo considerare accanto al fattore di capitalizzazione, il fattore di anticipazione. Di conseguenza:

20

1( )( )

Cv tM r t

= =1( )( )

Mr tC v t

= =


Dalle definizioni fornite, con passaggi algebrici elementari si ricavano le relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali che vengono qui riepilogate.

21

1 111

111

1 111 1 1

1

r iv d

d vi rd v

i rd vi r

v dr i

= = + =−

−= − = =

−−

= = = −+

= = = −+

Principali regimi finanziari: l’interesse semplice

In questo regime finanziario l’interesse prodotto è direttamente proporzionale al tempo. Capitalizzazione:

22

( ) 1 ( ) 1( ) ( )

r t i t i tI t C i t C i t

= + = + ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

( ) ( ) (1 )M t C r t C i t= ⋅ = ⋅ + ⋅

( )i t i t= ⋅


Attualizzazione. Per ricavare le grandezze inerenti le operazioni di anticipazione, ci basiamo sempre sulla regola che l’interesse prodotto è proporzionale al tempo.

23

1 1( )( ) 1

1 1( ) 1 1( ) 1 1

v tr t i t

i td tr t i t i t

= =+ ⋅

⋅= − = − =

+ ⋅ + ⋅


24

0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

6

C I(t)

M(t)

C

Graficamente.

Nel regime finanziario dell’interesse semplice, l’interesse ed il montante hanno un andamento lineare rispetto al tempo, i grafici delle funzioni I=I(t) e M=M(t) risultano due semirette.


L’elemento caratterizzante la legge (o regime) degli interessi semplici è che l’interesse I non entra a fare parte del capitale negli anni successivi: l’importo I è sempre calcolato sul capitale iniziale C.

25

I

I I

I

C

I I

I

C

I I

C

I

C C

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4…

I

I I

I

C

I I

I

C

I I

C

I

C C

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

I

I I

I

C

I I

I

C

I I

C

I

C C

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4


Esempio. Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di 1.000 euro, impiegati al tasso (annuo) e per il periodo indicati: al 3,75% per un anno; al 7% per 15 mesi.

26

(1 ) 1.000 (1 0,0375 1) 1.037,5M C i t= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

3,75%; 1.000; 11.000 0,0375 1 37,5;1.037,5

i C tI C i tM I C

= = == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= + =

7%; 1.000; 15 /121.000 0,07 (15 /12) 87,5;

i C tI

= = == ⋅ ⋅ =

1.087,5M C I= + =

Principali regimi finanziari: lo sconto commerciale

Nel regime finanziario dello sconto commerciale è lo sconto ad essere proporzionale al tempo, la regola è perciò: Utilizzando le notazioni consuete abbiamo:

27

( )d t d t= ⋅ ( ) 1 ( ) 1( ) ( )

v t d t d tD t M d t M d t

= − = − ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

( ) ( ) (1 )C t M v t M d t= ⋅ = ⋅ − ⋅


Tenendo conto della regola d(t)=d.t ricaviamo le altre grandezze.

28

1 1( ) ;( ) 1

( ) 1( )1 ( ) 1 1 ( 1)1

1

r tv t d t

i td t d t i tii t

id t d t t iti

= =− ⋅

⋅ ⋅ ⋅+ = = = =− − ⋅ − − ⋅ − ⋅ +


Lo sconto commerciale presenta un limite di applicabilità: t <1/d. Infatti per t >1/d il regime perde di significato. Come si vede dal grafico, l’andamento del fattore di capitalizzazione è un’iperbole che presenta un asintoto in corrispondenza di t=1/d. Si parla di incoerenza finanziaria per t>1/d: lo sconto supererebbe il capitale a scadenza e il fattore di attualizzazione diventerebbe negativo. Questo regime finanziario è detto anche capitalizzazione iperbolica.

29

0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

10

12

14

1/d t

r(t)

1( )1

r td t

=− ⋅

t 1/d

1 v(t)

( ) 1 ( )v t d t= −

Principali regimi finanziari: l’interesse composto

È il regime finanziario considerato fondamentale, rende gli interessi fruttiferi nello stesso istante che si producono, l’interesse si cumula sul capitale e forma altro interesse. Come già sappiamo l’unità di capitale investita produce nell’unità di tempo un montante pari a 1+i. Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni, il montante al termine del secondo periodo sarà uguale a quello al termine del primo, capitalizzato a sua volta mediante lo stesso fattore Considerando genericamente t periodi, la regola su cui si basa questo regime finanziario è

30

(1) 1r i= +

2(2) (1) (1 ) (1 )r r i i= ⋅ + = +

( ) (1 )tr t i= +


Le grandezze che ricaviamo sono:

31

( ) (1 )

( ) ( ) (1 )

( ) ( ) 1 (1 ) 1

t

t

t

r t i

M t C r t C i

i t r t i

= +

= ⋅ = ⋅ +

= − = + −

1( ) (1 )(1 )

1( )(1 )

1 (1 ) 1( ) 1 ( ) 1(1 ) (1 )

tt

t

t

t t

v t ii

C M v t Mi

id t v ti i

−= = ++

= ⋅ = ⋅+

+ −= − = − =

+ +


Ad esempio consideriamo i seguenti valori: C=1.000, n=4, i=6%. C(0)=1.000 C(1)=1.000+0,06⋅1.000=1.060 C(2)=1.060+0,06⋅1.060=1.123,6 C(3)=1.123.6+0,06⋅1.123,6=1.191,02 C(4)=1.191,02+0,06⋅1.191,02=1.262,48

32

I

I I

I

C

I I

I

C

I I

C

I

C C

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4…

Confronto fra i principali regimi finanziari Il grafico seguente mette in evidenza l’andamento del montante nei tre regimi finanziari studiati. Indichiamo con: MIS il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse

semplice; MIC il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse

composto; MSC il montante prodotto nel regime finanziario dello sconto

commerciale. Notiamo che se il periodo d’investimento è inferiore all’anno è più conveniente investire nel regime finanziario dell’interesse semplice, mentre per periodi superiori all’anno a parità di tempo, il fattore di capitalizzazione è superiore nel regime finanziario dello sconto commerciale. In t=1, i fattori di capitalizzazione sono tutti uguali cioè r(1) = 1+i, infatti le tre curve si intersecano in t=1.

33

Confronto fra i principali regimi finanziari

34

Sconto commerciale

Interesse composto

Interesse semplice

1/d t

1

1

r(t)

Il grafico mostra l’andamento del montante nei tre regimi visti.

Confronto fra i principali regimi finanziari

Riepilogando, dal grafico si evince che:

35

per 0<t<1 MIS > MIC> MSC

per t>1 MSC > MIC> MIS

per t=1 MSC = MIC= MIS

Definizioni fondamentali: operazioni finanziarie Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive date di esigibilità. Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante una coppia di vettori ad n componenti reali x/t dove x = {x0,…,xn} rappresenta il vettore dei pagamenti (e/o incassi); e t = {t0,…,tn} rappresenta le scadenze, ordinate in senso crescente. Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli dai pagamenti veri e propri usando il segno algebrico opposto. Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie x’/t’ e x”/t” come quella operazione finanziaria x/t ottenuta con lo scadenzario unione t=t’ U t” e sommando algebricamente i pagamenti che cadono alle stesse date. Ad esempio sommando x’/t’= {-95,100}/{0,1} con x”/t”={100,-3,-103}/ {0,1/2,1} si ottiene x/t= {5,-3,-3} / {0,1/2,1}.

36

Conclusioni In questo modulo abbiamo introdotto le operazioni

finanziarie.

Abbiamo affrontato le caratteristiche dei principali regimi finanziari: l’interesse semplice, lo sconto commerciale, l’interesse composto.

Abbiamo definito e imparato a calcolare le grandezze

fondamentali quali i fattori di montante e di sconto, i tassi d’interesse e di sconto.

37

Principali regimi finanziari

Legge dell’interesse

semplice

Legge dell’interesse

composto

Legge dello

sconto commerciale

Legge di capitalizzazione

lineare


esponenziale


iperbolica

In ciascun periodo di capitalizzazione

l’interesse è calcolato sempre sul capitale

iniziale.

Alla fine di ciascun periodo l’interesse

generato entra a far parte del capitale.

L’interesse e il montante hanno un andamento

quadratico.

Presenter

Presentation Notes

I principali regimi finanziari sono l’interesse semplice, lo sconto commerciale, l’interesse composto. Il regime finanziario dell’interesse semplice è caratterizzato dal fatto che l’interesse non entra a far parte del capitale nei periodi successivi, perciò l’interesse è calcolato sempre sul capitale iniziale; l’interesse prodotto è proporzionale al tempo quindi l’interesse e il montante hanno un andamento lineare. Nel regime dello sconto commerciale è lo sconto ad essere proporzionale al tempo, il montante e l’interesse hanno un andamento quadratico, perciò questo regime viene chiamato anche legge della capitalizzazione iperbolica. Nel regime finanziario dell’interesse composto, l’interesse prodotto in ciascun periodo entra a far parte del capitale e produce altro interesse, il montante e l’interesse hanno quindi un andamento esponenziale.

Argomenti Obiettivi. Introduzione. Tassi equivalenti. Il tasso nominale d’interesse. Il tasso istantaneo. La legge esponenziale. Forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse). Valore di un’operazione finanziaria in base alla legge

esponenziale. Operazioni eque. Proprietà funzionali della legge esponenziale. Proprietà funzionali della legge esponenziale: la

scindibilità. Scomposizione di operazioni finanziarie.

40

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono:

• comprendere il significato dell’equivalenza tra tassi d’interesse;

• conoscere le modalità di applicazione della legge esponenziale alla matematica finanziaria;

• analizzare le variabili fondamentali nel caso del regime esponenziale;

• conoscere il significato di forza di interesse e le variabili che da essa derivano;

• riconoscere un’operazione finanziaria equa; • analizzare le quattro proprietà funzionali della legge

esponenziale; • approfondire la legge finanziaria scindibile; • analizzare le operazioni finanziarie mediante la loro

scomposizione. 41

Introduzione In questo modulo utilizzeremo un’importante funzione reale di variabile reale, molto utilizzata sia in matematica che in altre scienze: la funzione esponenziale. Nella matematica finanziaria tale funzione è indispensabile, in via generale, per esprimere il montante e il valore attuale di un capitale rispetto al tempo nel regime dell’interesse composto. La conoscenza della funzione esponenziale e della sua rappresentazione grafica è uno strumento semplice, ma fondamentale, per costruirne il modello matematico che serva a studiare l’andamento di alcune variabili finanziarie fondamentali. Nella trattazione che segue, indicheremo col simbolo “log” o “ln” il logaritmo naturale, cioè il logaritmo in base “e”, essendo e=2,718281828459… un numero irrazionale chiamato costante di Nepero, dal nome del matematico del secolo XVI che ne studiò le particolari caratteristiche. Utilizzeremo quindi funzioni esponenziali in cui la base non è genericamente un numero a > 0, ma proprio la costante e.

42

Tassi equivalenti

Le leggi di capitalizzazione valgono sia se il tasso è annuo, sia se il tasso è relativo ad un periodo temporale pari ad una frazione di anno, purché il tempo sia calcolato assumendo come unità di misura il periodo di capitalizzazione.

43

Due tassi sono equivalenti in un prefissato regime di capitalizzazione se, applicati a capitali uguali per la stessa durata, producono montanti uguali.

Tassi equivalenti

Regime finanziario dell’interesse semplice. L’equivalenza dei tassi può essere studiata in tutti i regimi finanziari. Consideriamo il regime finanziario dell’interesse semplice: r(t) = 1+i.t. Se esprimiamo il tempo in anni, per il tasso effettivo annuo scriviamo Poiché un semestre è uguale a ½ di anno il tasso semestrale equivalente risulta In generale il tasso periodale i1/m (m rappresenta le frazioni di anno) è legato al tasso annuo i dalla relazione Per esempio il tasso quadrimestrale (3 volte in un anno) i1/3 equivalente al tasso annuo i=6% è i1/3 = i/3=0,02 44

( )i t i t= ⋅

1/ 21(1/ 2)2

i i i= = ⋅

1/1(1/ )mi i m im

= = ⋅

Tassi equivalenti

Legge degli interessi composti. Indichiamo con i1/m il tasso periodale, m rappresenta il numero di frazioni in un anno; e i il tasso annuale.

45

Quando i tassi sono equivalenti

1/1/ (1 ) 1m

mi i= + −

1/(1 ) 1mmi i= + − Passare da un tasso periodale ad un

Tasso equivalente annuo

Passare da un tasso annuo ad un tasso equivalente periodale

1/1 (1 )mmi i+ = +

Tassi equivalenti

Esempi. La ricerca dei tassi periodali è utile per confrontare operazioni finanziarie espresse su scale temporali differenti.

46

12

13

14

112

i ( )

i ( )

i ( )

i ( )

tasso semestrale

tasso quadrimestrale

tasso trimestrale

tasso mensile

Partendo dal tasso annuo i=15% trovare i corrispondenti tassi: semestrale,quadrimestrale, trimestrale e mensile

1/212

1/313

1/414

1/121

12

i (1 0,15) 1 0,07238

i (1 0,15) 1 0,04769

i (1 0,15) 1 0,03556

i (1 0,15) 1 0,01172

= + − =

= + − =

= + − =

= + − =

Il tasso nominale d’interesse

Prendiamo in considerazione il regime finanziario dell’interesse composto e valutiamo la situazione in cui investiamo un capitale C, ma l’interesse via via prodotto è corrisposto con una prefissata periodicità, ad esempio m volte in un anno. L’interesse maturato è staccato e messo a disposizione dell’investitore. All’inizio di ogni m-esimo di anno il capitale a frutto ammonta esattamente a C e alla fine di ogni m-esimo di anno l’interesse maturato è

47

( ) (1 )tr t i= +

1/ mI C i= ⋅


Su ogni unità di capitale investita l’investitore si trova ad aver riscosso m rate di ammontare i1/m , ciascuna pagata al termine di 1/m di anno.

48

1/m 2/m 1 t

r(t)

1


Quello che abbiamo definito è il tasso nominale convertibile m volte in un anno indicato con J(m).

49

Valido per ogni regime finanziario

( )1/( ) 1 1mJ m m i = ⋅ + −

nel regime dell’interesse composto

1/1/ (1 ) 1m

mi i= + −

1/( ) mJ m m i= ⋅

Il tasso nominale d’interesse Andamento di J(m) a partire da un tasso prefissato i. 100 è un valore significativo perché molto grande.

50

J(m)

δ

m

m J(m)

1 0,2000 2 0,1909 3 0,1880 4 0,1865 5 0,1857 6 0,1851 …. …. 100 0,1825

Al tendere di m all’infinito la funzione presenta un asintoto orizzontale.


Risultano utili le seguenti formule inverse:

51

1/( ) mJ m m i= ⋅ ( )1/( ) 1 1mJ m m i = ⋅ + −

( )1/( ) 1 1 mJ m im

+ = +

1/( )

mJ mi

m=

( )1 1mJ mi

m = + −

Il tasso istantaneo Al crescere di m, aumentando il numero delle rate corrisposte in un anno, si abbrevia l’intervallo tra una rata e l’altra, anticipando il pagamento delle rate, si paga nominalmente di meno. Se consideriamo il tasso nominale d’interesse J(m) e facciamo tendere m all’infinito, otteniamo: Il valore δ è noto come tasso istantaneo o tasso nominale annuo d’interesse convertibile infinite volte in un anno. La retta y=δ è un asintoto orizzontale della funzione J(m), come si può vedere dal grafico precedente. Al tendere di m all’infinito le rate si trasformano in un flusso continuo e uniforme durante tutto l’anno per un ammontare nominale pari a δ. 52

1/lim ( ) lim (1 ) 1 log(1 )m

m mJ m m i iδ

→+∞ →+∞ = ⋅ + − = = +

Il tasso istantaneo

53

1/1/

1/2

2

(1 ) 1 0lim ( ) lim (1 ) 1 lim 1 0

Teorema di De L'Hospital:1(1 ) log(1 )

lim 1

lim ( )

log(

log )

1 )1

(1

mm

m m m

m

m

m

iJ m m

J m

m

i

i

m

i ii

m

→+∞ →+∞ →+∞

→

→+

+∞

∞

+ − = ⋅

=

+ − = =

−+ ⋅ + ⋅

⋅ +−

+

=

⇒

La legge esponenziale

Se gli interessi formatisi istantaneamente venissero staccati e reinvestiti al tasso effettivo i (regime finanziario dell’interesse composto) per tutto il resto dell’anno, il montante percepito alla fine sarà esattamente pari a i. Esistono alcune relazioni notevoli basate su tasso δ.

54

1i eδ= −

log(1 )

1i

e e e iδ δ+

= → = +

(1 ) ( )t te i r tδ ⋅ = + =


Come si può notare è la legge di capitalizzazione dell’interesse composto. Mediante l’utilizzo dei tassi istantanei le formule fondamentali della legge degli interessi composti possono riscriversi: Il regime dell’interesse composto è detto anche della capitalizzazione esponenziale o legge esponenziale.

55

(1 )ti+

tM C eδ ⋅= ⋅tC M e δ− ⋅= ⋅

capitalizzazione attualizzazione

( ) tr t eδ ⋅= ( ) tv t e δ− ⋅=


Prendiamo in considerazione la legge esponenziale avendo supposto δ reale e positivo. Per qualunque valore del tempo t, la quantità eδ t rappresenta il valore in t di un euro investito all’istante 0. Per t=0 l’uguaglianza è verificata in quanto e0 =1. Generalizzando: M(t) è, quindi, il montante di C, secondo la legge esponenziale all’istante t>0.

( ) tr t eδ ⋅=

56

( ) tM t C eδ ⋅= ⋅

1 euro eδ t euro

t=0 t


57

M(t) è il montante di C calcolato in t.

C è il valore attuale di M(t) calcolato in 0.

equivale a

C M(t) C M(t)

Forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse)

La forza d’interesse è una nuova grandezza. Consideriamo la generica legge di produzione del montante ad una variabile r(t). Assegnato un capitale C, l’interesse che risulta prodotto in un periodo infinitesimale di tempo, tra t e t+∆t è dato dalla differenza fra i montanti calcolati nei due periodi: la differenza è l’interesse prodotto nel periodo infinitesimo ∆t

58

t t+∆t

0t∆ >

( ) ( )M t t C r t t+ ∆ = ⋅ + ∆

( ) ( )M t C r t= ⋅

( ) ( ) ( )M t M t t M t∆ = + ∆ −


Se la funzione r(t) è derivabile in t , il suo incremento può approssimarsi con il differenziale calcolato nello stesso punto, otteniamo quindi:

59

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

M t M t t M tM t C r t t r t

∆ = + ∆ −

∆ = ⋅ + ∆ −

( ) ( )( )( )

r t t r tM t Mr t

+ ∆ −∆ = ⋅

( )MCr t

=

'( )( )( )

r tM t M dtr t

∆ ⋅

( ) ( ) ( )M t M t t d tδ∆ = ⋅ ⋅

Ricordando che:


Abbiamo posto Possiamo concludere dicendo che se il differenziale di r(t) può sostituirsi al suo incremento effettivo, l’interesse prodotto nell’intervallo di tempo ∆t è direttamente proporzionale all’ammontare della somma accumulata all’inizio dell’intervallo, M(t), e alla lunghezza dell’intervallo dt. Definiamo l’interesse prodotto durante un periodo di tempo infinitesimale (t, t+dt) da un capitale pari a 1 in t. La quantità prende il nome di forza d’ interesse o intensità istantanea d’interesse. Avremo perciò per un capitale unitario:

60

'( )( ) lo g ( )( )

r t dt r tr t dt

δ = =

( )tδ

( )tδ

( , ) ( )I t t dt t dtδ+ ⋅


Possiamo affermare che la forza d’interesse rappresenta un fattore di proporzionalità nella produzione del montante. Abbiamo stabilito che la forza d’interesse è la derivata logaritmica della legge di capitalizzazione: se allora Usando gli esponenziali:

61

'( )( ) lo g ( )( )

r t dt r tr t dt

δ = = 00

( ) [log ( )] log ( )t

ts d s r s r tδ = =∫

0

( )log ( )

t

s dsr te e

δ∫= 0

( )

( )

t

s ds

r t eδ∫

=


Abbiamo visto che data la forza d’interesse possiamo risalire alla legge di capitalizzazione. Vediamo ora la forza d’interesse nei principali regimi finanziari. Notiamo che nell’interesse semplice la forza d’interesse è una funzione decrescente, nella capitalizzazione iperbolica una funzione crescente, mentre nella legge dell’ interesse composto la forza d’interesse è una costante. 62

( )r t 11 d t− ⋅

(1 )ti+

1 i t+ ⋅ Interesse semplice

Sconto commerciale

Interesse composto

( )1

iti t

δ =+ ⋅

( )1

dtd t

δ =− ⋅

( ) log(1 )t iδ = +


Esempio. Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è dedurne il fattore di capitalizzazione. La legge di capitalizzazione è Osserviamo che nel calcolo dell’integrale, abbiamo indicato con s la variabile di integrazione in modo da non creare confusione con l’epoca finale t. 63

22( ) 0,055

1ttt

δ =+

0

( )

( )

t

s ds

r t eδ∫

=


( )( )( )

2 20 0 0

2 2

0

0,0552

2 2( ) 0,055 0,0551 1

0,055 log 1 0,055 log 1 log1

log 1

t t t

t

s ss ds ds dss s

s t

t

δ = = ⋅ =+ +

= ⋅ + = ⋅ + − =

= +

∫ ∫ ∫

64

( ) ( )0,0552

0

( ) 0,055log 1 2( ) 1

t

s dstr t e e t

δ+∫

= = = +

Calcoliamo preliminarmente l’integrale della forza d’interesse:


Esempio. Data la forza d’interesse , calcolare il montante di 100 dopo tre periodi se il tasso di rendimento è il 5%. Calcoliamo prima l’integrale che ci permette di risalire alla legge di capitalizzazione e quindi il montante.

65

(t) / ( 1)i tδ = +

( )0

0 0

1 log 1 log( 1) log1 log( 1)1 1

t tti ds i ds i s i t i t

s s= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + − = ⋅ + + +∫ ∫

log( 1)( ) i tr t e ⋅ +=

log( 1) 0,05 log 4( ) ( ) 100 100 107,177i tM t C r t e e⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Valore di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale

Consideriamo un’operazione finanziaria x/t={x1, x2,…, xn}/ {t1,t2,…, tn} e valutiamo, secondo la legge esponenziale con intensità δ assegnata, il valore attuale riferito all’istante t=0 dell’importo generico xk: Definiamo il valore attuale dell’operazione finanziaria x, la somma dei valori attuali di ogni singolo flusso: o anche:

66

(0, ) 1, 2, ,ktk kA x x e k nδ− ⋅= ⋅ =

( )1 1

(0, ) 0, k

n nt

k kk k

A x A x x e δ− ⋅

= =

= = ⋅∑ ∑

( )1

(0, ) 1 kn

tk

kA x x i −

=

= ⋅ +∑

Valore di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale

Considerando un istante generico t>0 possiamo capitalizzare il valore attuale A(0,x) da 0 a t mediante il fattore eδ.t: per ottenere il valore, non più attuale ma in t, di x. Sostituendo in quest’ultima uguaglianza la definizione di valore attuale si ottiene:

67

xn

t1 tn x2… 0

t2… x1

( )( , ) 0, tM t x A x eδ ⋅= ⋅

( )

1 1( , ) (1 )k k

n nt t t t

k kk k

M t x x e x iδ ⋅ − −

= =

= ⋅ = ⋅ +∑ ∑

Operazioni eque

Un’operazione finanziaria x si dice equa al tempo t, conformemente alla legge esponenziale adottata, se M(t,x) = 0. Il significato di equità dipende, quindi, dalla legge esponenziale adottata e, a priori, dall’istante t; intuitivamente possiamo dire che un’operazione non può essere equa se ogni elemento xk è positivo o negativo. Deve esistere almeno un importo xk che presenta un segno diverso dagli altri importi. A titolo di esempio, costruiamo una operazione equa partendo dall’operazione: {3 ; 103} / {0,25 ; 0,75} secondo la legge esponenziale il cui tasso annuo è i=5%. Per fare ciò calcoliamo il valore attuale A(0,x): A(0,x) = 3 ⋅ 1,05-0,25 + 103 ⋅1,05-0,75 = 2,9636 + 99,2991 =102,2627 e “costruiamo” appositamente l’operazione equa: {-102,2627 ; 3 ; 103} / {0 ; 0,25 ; 0,75} aggiungendo all’operazione data proprio il valore attuale trovato.

68

Proprietà funzionali della legge esponenziale

Invece di considerare una generica legge di capitalizzazione, consideriamo in particolare la legge di capitalizzazione esponenziale. Per essa valgono le seguenti proprietà funzionali: 1 – Proprietà invariantiva. 2 – Proprietà additiva.

69

Se due operazioni finanziarie sono eque in un medesimo istante, secondo la stessa legge esponenziale, anche l’operazione finanziaria somma è equa allo stesso istante.

Se un’operazione finanziaria è equa all’istante t secondo una assegnata legge esponenziale, lo è in qualsiasi altro istante.


3 – Proprietà di uniformità nel tempo. 4 – Proprietà di scindibilità.

70

La somma di due operazioni eque in due istanti diversi secondo una medesima legge esponenziale, è un’operazione equa, secondo la stessa legge, in un qualsiasi istante.

Se un’operazione finanziaria è equa all’istante t secondo una assegnata legge esponenziale, l’operazione avente tutte le scadenze traslate di un intervallo di lunghezza τ è equa nell’istante t+τ conformemente alla stessa legge.


Chiaramente tali proprietà non sono sempre verificate se si cambia legge di capitalizzazione. Commentiamole una per una. La prima proprietà sostanzialmente esprime che l’equità non cambia se cambiamo l’istante t di osservazione. Ciò si dimostra semplicemente riconducendo il valore M(t’,x) al prodotto di M(t,x) (pari a zero) moltiplicato una costante positiva. La seconda proprietà è intuitivamente semplice, e si dimostra sfruttando la proprietà additiva delle sommatorie. La terza proprietà esprime il concetto secondo il quale traslando un’operazione finanziaria, essa rimane equa rispetto alla medesima legge. La quarta proprietà è il risultato combinato della prima e della seconda proprietà, e si può dimostrare che coincide con la seguente proprietà dei fattori di sconto:

71

Proprietà funzionali della legge esponenziale: la scindibilità

v(t0,t2)= v(t0,t1).v(t1,t2) con t0<t1<t2 Questa è chiamata equazione funzionale della scindibilità. Ricordiamo ora che una legge di capitalizzazione si dice “scindibile” se il montante ottenuto da un capitale C all’epoca t1+ t2 al tasso i è uguale al montante ottenuto dallo stesso capitale C all’epoca t1 al tasso i, capitalizzato ulteriormente fino all’epoca t2.

72

0 t1 t1+t2

C M1 M2

0 t1+t2

C M

La scindibilità

In generale una legge di capitalizzazione è scindibile se date le 3 epoche x, y, z (x< y< z): Significa che se capitalizzo in un unico tempo o spezzo l’operazione il risultato non cambia. Consideriamo innanzitutto il regime esponenziale e calcoliamo sia il montante M, ottenuto capitalizzando C per il tempo t1 e capitalizzando il risultato ancora per il tempo t2, che il montante M2, ottenuto capitalizzando C per il tempo t1+t2: Perciò M=M2.

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2

1 22

1 1 1

1

t t t t

t t

M C i i C i

M C i

+

+

= ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

= ⋅ +

73

o in maniera equivalente

( , ) ( , ) ( , )r x z r x y r y z= ⋅ ( , ) ( , ) ( , )v x z v x y v y z= ⋅

La scindibilità

Quindi giungiamo ad un importante risultato: la legge di capitalizzazione esponenziale è scindibile. Consideriamo ora il regime dell’interesse semplice e calcoliamo M e M2. M2=C.(1+i.t1).(1+i.t2)=C.(1+i.t1+i.t2+i2.t1

.t.2)

M=C.[1+i.(t1+t2)]=C.(1+i.t1+i.t2) Da cui si ha M2>M. Quindi la legge della capitalizzazione lineare non è scindibile. La terza proprietà funzionale si esprime anche nel seguente modo: In conclusione l’unica legge di capitalizzazione uniforme e scindibile è la legge esponenziale. La verifica di ciò è semplice assumendo il fattore di sconto come v(t)=exp(-δ.t) con la condizione v(0)=1. 74

La scindibilità Esiste una legge molto forte che lega scindibilità e forza d’interesse. Teorema per le leggi ad una variabile.

75

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge di capitalizzazione sia scindibile è che la sua forza d’interesse sia una costante, ossia non dipenda da t.

Interesse semplice

Sconto commerciale

Interesse composto

( )1

iti t

δ =+ ⋅

( ) log(1 )t iδ = +

( )1

dtd t

δ =− ⋅

È una costante infatti è scindibile

Scomposizione di operazioni finanziarie Può risultare comodo scomporre un’operazione finanziaria x/t nella somma di due o più operazioni finanziarie più semplici: ad esempio si possono separare gli importi xk positivi da quelli negativi ed ottenere rispettivamente un’operazione degli incassi y/t ed un’operazione dei pagamenti in senso stretto z/t. Nell’ipotesi in cui la x/t sia equa si dovrà avere:

M(t,y)=-M(t,z) in quanto M(t,x)=M(t,y)+M(t,z)=0. Ad esempio scomponiamo la

x/t= {-10,577; 11 ; -99; 102,96} / {0 ; 1 ; 2 ; 3} equa conformemente alla legge esponenziale al tasso annuo i=4%. Gli incassi sono rappresentati dal vettore

y/t={0;11;0;102,96}/{0;1;2;3} mentre i pagamenti sono rappresentati dal vettore

z/t={-10,577;0;-99;0}/{0;1;2;3} 76

Scomposizione di operazioni finanziarie Calcoliamo ora i valori in t=0: A(0,y)=11⋅1,04-1 + 102,96⋅1,04-3=10,577 + 91,531 = 102,108 A(0,z)=-10,577 - 99⋅1,04-2= -10,577 -91,531= -102,108. Ovviamente, per l’equità ipotizzata, A(0,y)= - A(0,z). Un altro modo di scomporre un’operazione finanziaria è considerare gli importi fino ad un istante t separati da quelli successivi, in modo che:

M(t,x)= M’(t,x) + V(t,x) avendo chiamato “montante in t dell’operazione” la quantità ed avendo chiamato “valore residuo in t” la quantità

( ) ( )

/' , k

k

t tk

k t tM t x x eδ ⋅ −

<

= ⋅∑

( ) ( )

/, k

k

t tk

k t tV t x x e δ− ⋅ −

>

= ⋅∑77

Scomposizione di operazioni finanziarie

Il valore M’ è chiaramente la somma dei montanti di tutti gli importi xk fino a t, in t; così come il valore V è la somma dei valori attuali in t degli importi successivi a t. Nell’ipotesi in cui x/t sia equa, in qualunque istante t deve essere:

M’(t,x)=-V(t,x) Infatti M(t,x)=M’(t,x)+V(t,x)=0 e dalla seconda uguaglianza si ottiene la tesi.

78

0 t1 t

V M

t2 tn

Scomposizione di operazioni finanziarie Esempio. Calcoliamo il montante ed il valore residuo in t=1 dell’operazione finanziaria x/t={-100;2;2;2;102}/{0;0,5;1;1,5;2} valutata secondo la legge esponenziale di intensità δ=0,04. M’(1,x)= -100 e0,04.1 +2 e0,04.0,5 +2 = -104,08108 + 2,04040 +2= =-100,04068 V(1,x)= 2 e-0,04.0,5 +102 e-0,04.1= 1,9604 + 98,0005 = 99,9609 Osserviamo che il montante non è uguale al valore residuo in t=1, in quanto manca l’ipotesi di equità. Al contrario, consideriamo l’intensità δ=0,0396 che rende x/t equa. Tale intensità corrisponde ad un tasso annuo i=0,0404 oppure ad un tasso semestrale equivalente del 2%. Calcoliamo di nuovo M’ e V: M’(1,x)= -100 e0,0396.1 +2 e0,0396.0,5 +2 = -104,04 + 2,04 +2= -100 V(1,x)= 2 e-0,0396.0,5 +102 e-0,0396.1= 1,9608 + 98,0392 = 100

79

Conclusioni Abbiamo formalizzato il concetto di equivalenza fra tassi

d’interesse, sia nel regime composto che in quello semplice. Abbiamo definito il tasso nominale annuo per arrivare al tasso

istantaneo e individuare la funzione esponenziale nell’ambito della matematica finanziaria, descrivendo le grandezze fondamentali associate.

Abbiamo introdotto un nuovo fondamentale argomento che è la forza d’interesse.

Abbiamo definito il valore attuale al tempo generico t di un’operazione finanziaria valutata secondo il regime esponenziale, per poi definire il concetto di operazione equa.

Abbiamo descritto le proprietà della legge esponenziale mediante lo studio delle quattro proprietà funzionali della legge stessa, approfondendo in particolare la scindibilità.

Abbiamo infine imparato a scomporre un’operazione finanziaria in due modi diversi, in relazione al concetto di equità nel regime esponenziale.

80


Proprietà funzionali

Proprietà invariantiva

Proprietà additiva

Proprietà dell’uniformità

Proprietà di scindibilità

Il regime finanziario

dell’interesse composto è scindibile

Il regime finanziario dello

sconto commerciale non è

scindibile

Il regime finanziario

dell’interesse semplice

non è scindibile

Teorema per le leggi a una variabile

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge di capitalizzazione sia scindibile è che la sua forza d’interesse sia una costante, ossia non dipenda da t

Ha una forza

d’interesse costante

Presenter

Presentation Notes

Per la legge esponenziale valgono le quattro proprietà funzionali: invariantiva, additiva, uniformità e scindibilità. In particolare la proprietà di scindibilità è molto importante, precisamente, se un regime finanziario è scindibile, capitalizzare in un unico tempo o spezzare l’operazione, non fa variare il risultato. Fra le leggi di capitalizzazione studiate è scindibile la legge dell’interesse composto, mentre non lo sono la legge degli interessi semplici e lo sconto commerciale. Infine, si sottolinea l’esistenza di un legge molto forte che lega scindibilità e forza d’interesse, questa legge dice che un regime finanziario è scindibile se la sua forza di interesse è una costante.

Esercizio 1

Calcolare tasso di interesse, tasso di sconto e fattore di attualizzazione corrispondenti ad un fattore di capitalizzazione r =1,10

84

1 1,10 1 0,101 1 0,9091

1,101 0,80 0,09091 1

i r

vr

d v

= − = − =

= = =

= − = = −

Formulario

1 111

111

1 111 1 1

1

r iv d

d vi rd v

i rd vi r

v dr i

= = + =−

−= − = =−−= = = −

+

= = = −+

85

Esercizio 2

Calcolare tasso d’interesse e di sconto e fattore di anticipazione corrispondenti al fattore di capitalizzazione r = 1,25.

86

1,251 0,25 25%1 1,25 1 0,2 20%

1,251 0,80

ri r i

rd dr

vr

== − = → =

− −= = = → =

= =

87

Esercizio 3

Calcolare il tasso d’interesse ed i fattori di capitalizzazione e di anticipazione corrispondenti al tasso di sconto del 18%.

88

18% 0,180,18 0,2195 21,95%

1 1 0,181 1,2195

11 0,82

d ddi i

d

rd

v d

= → =

= = = → =− −

= =−

= − =

89

Esercizio 4

Qual è il tasso d’interesse anticipato corrispondente:

(a) al 12% posticipato? (b) al 7% posticipato?

90

0,12( ) 0,1071 10,71%1 1 0,12

0,07( ) 0,0654 6,54%1 0,07

ia d di

b d d

= = = → =+ +

= = → =+

91

Esercizio 5

Qual è il tasso d’interesse posticipato corrispondente:

(a) al 12% anticipato? (b) al 7% anticipato?

92

0,12( ) 0,136 13,64%1 1 0,12

0,07( ) 0,07526 7,53%1 0,07

da i id

b i i

= = = → =− −

= = → =−

93

Esercizio 6

Avete la possibilità di stipulare un prestito per l’ammontare di capitale C, con la scelta se pagare l’interesse anticipatamente al tasso del 9%, o posticipatamente al tasso dell’11%. Quale alternativa scegliete, se contate d’investire C al tasso del 12% ?

94

Interesse anticipato:

conviene

Interesse posticipato:

95

(1 0,09) 1,12 0,0192C C C⋅ − ⋅ − = ⋅

1,12 ( 0,11 ) 0,01C C C C⋅ − + ⋅ = ⋅

Esercizio 7

Avete la possibilità di stipulare un prestito per l’ammontare di capitale C, con la scelta se pagare l’interesse anticipatamente al tasso del 9%, o posticipatamente al tasso dell’11%. Quale alternativa scegliete, se contate d’investire C al tasso del 24% ?

96

Interesse anticipato:

Interesse posticipato:

conviene

97

(1 0,09) 1,24 0,1284C C C⋅ − ⋅ − = ⋅

1,24 ( 0,11 ) 0,13C C C C⋅ − + ⋅ = ⋅

Esercizio 8

Quanto deve rendere l’investimento di cui ai due esercizi precedenti, perché le alternative ivi in esame risultino equivalenti ?

98

Indichiamo con x il tasso incognito:

99

(1 0,09) ( 0,11 )(0,91 1) ( 1,11)

0,91 1 1,11

0,09 0,11 1,2 tasso 22,22%

C x C x C C Cx C x C

x x

x x

⋅ − ⋅ − = ⋅ − + ⋅⋅ − ⋅ = − ⋅

→ ⋅ − = −

→ ⋅ = → = → =

Esercizio 9

Supponiamo di avere una somma di $100.000 da investire per un certo periodo di tempo e che il tasso effettivo d’interesse per l’operazione considerata sia del 6%. Determinare l’interesse prodotto e il capitale disponibile a scadenza (montante).

100

100.0000,06

100.000 0,06 6.000100.000 6.000 106.000

oppure(1 ) 100.000 (1 0,06) 106.000

CiI C iM C I

M C r C i

=== ⋅ = ⋅ =

= + = + =

= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + =

101

Esercizio 10

Abbiamo investito $100.000 per un certo periodo di tempo e al termine del periodo abbiamo riscosso $120.000. Determinare a quale tasso effettivo d’interesse relativo al periodo considerato è stata effettuata l’operazione.

102

120.000; 100.000120.000 100.000 20.000

20.000 0,20 20%100.000

oppure120.000 1,2100.000

1 1,2 1 0,2 20%

M CI M C

Ii iC

MrC

i r i

= == − = − =

= = = → =

= = =

= − = − = → =

103

Esercizio 11

Dobbiamo riscuotere $1.000.000 fra un dato periodo di tempo supponendo che il tasso effettivo di interesse per l’operazione considerata sia del 7%. Determinare quale somma ci sarebbe anticipata in sostituzione del nostro credito a scadenza e quale è il tasso effettivo di sconto.

104

1.000.000; 0,071.000.000 934.579

1 1 0,070,07 0,0654

1 1,07oppure

1.000.000 934.579 65.42165.421 0,0654

1.000.000

M iMC M v

iid

i

D M CDdM

= =

= ⋅ = = =+ +

= = =+

= − = − =

→ = = =

105

Esercizio 12

In sostituzione di un debito scadente fra un anno di $500.000 ci viene richiesta oggi una somma di $470.000. Supponendo che il tasso effettivo annuo d’interesse per l’operazione considerata è, sul mercato, del 5%, determinare se l’operazione è per noi conveniente e qual è il tasso effettivo di sconto dell’operazione.

106

Si ha C = 470.000, M = 500.000. Se investissimo 470.000 al tasso di mercato avremo alla scadenza: E poiché tale importo non è sufficiente

per pagare il debito, ne segue che l’operazione è conveniente.

107

' (1 )470.000 (1 0,05) 493.500

M C r C i= ⋅ = ⋅ + == ⋅ + =

500.000 470.000 30.00030.000 0,06 6%

500.0000,06 0,0638

1 0,94tasso mercato

1500.000 476.190 470.0001 0,05

D M CDd dMdi

d

C

= − = − =

= = = → =

= = =−

→ = ⋅ = >+

108

Esercizio 13

Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di 1.000 euro, impiegate al tasso (annuo) e per il periodo indicati:

(a) al 3,75% per un anno; (b) al 7% per 15 mesi; (c) al 9,25% per 120 giorni; (d) al 10,50% dal 12 aprile 1987 al 6 luglio

1987;

109

( ) 1.000 0,0375 1 37,51.037,5

( ) 1.000 0,07 (15 /12) 87,5; 1.087,5

( ) 1.000 0,0925 (120 / 360) 30,83; 1.030,831.000 0,0925 (120 / 365) 30,41; 1.030,41

( ) 1.000 0,105 (85 / 360) 24,791.000 0

a IM I C

b I M

c I MI M

d II

= ⋅ ⋅ == + =

= ⋅ ⋅ = =

= ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ == ⋅ ,105 (85 / 365) 24,45

1.000 0,105 (84 / 360) 24,501.000

IM I

⋅ == ⋅ ⋅ =

= +

110

Esercizio 14

Calcolare a quale tasso (annuo) d’interesse: (a) il capitale di 1.250 produce un interesse di

84,375 in un anno; (b) il capitale di 800 produce un montante di 900 in

3 anni; (c) il capitale di 2.000 produce un interesse di

226,667 in 16 mesi; (d) il capitale di 2.400 produce un montante di

3.000 in 8 mesi; (e) un capitale generico C raddoppia in 2 anni.

111

( ) 1 1

( ) 0,0675 6,75%

( ) 0,0416 4,17% ( 3)( ) 0,085 8,5% ( 16 /12)( ) 0,375 37,5% ( 8 /12)

1 2( ) 1 0,5 50%2

I t MiC t t C

a

b tc td t

Ce iC

= = ⋅ − ⋅ →

→ =→ =→ =

= ⋅ − = →

112

Esercizio 15

Calcolare in quanto tempo, al tasso d’interesse del 7,50% annuo:

(a) un capitale di 3.500 produce un interesse di 350;

(b) un capitale di 2.500 produce un montante di 3.000;

(c) un capitale generico C raddoppia.

113

1 1 0,075

( )1,3 16 mesi

( ) 2,6 32 mesi1 2( ) 1 13,3 160 mesi

0,075

I Mt ii C i C

a

bCc t

C

= = ⋅ − = ⋅ →

→

= ⋅ − = →

114

Esercizio 16

Calcolare il capitale da investire oggi al 9,50% annuo per avere:

(a) un montante di 1.000 tra 14 mesi; (b) un montante di 600 tra 75 giorni; (c) un interesse di 100 tra 6 mesi.

115

0,0951

1.000( ) 900,231 0,095 (14 /12)

600( ) 588,361 0,095 (75 / 360)

588,51anno civile100( ) 2.105,26

0,095 (6 /12)

M IC ii t i t

a C

b C

C

c C

= = =+ ⋅ ⋅

= =+ ⋅

= =+ ⋅

=

= =⋅

116

Esercizio 17

Calcolare il tasso: (a) semestrale equivalente al 10% annuo; (b) quadrimestrale equivalente al 10%

annuo; (c) mensile equivalente al 10% annuo; (d) quindicinale equivalente al 10%

trimestrale; (e) annuale equivalente al 10% bimestrale.

117

1( ) 5%21( ) 3,33%31( ) 0,83%

121( ) 4 1,67%24

( ) 6 60%

s

q

m

qi

a

a i i

b i i

c i i

d i i

e i i

= →

= →

= →

= →

= →

118

Esercizio 18

Calcolare il tasso annuo di sconto d associato:

(a) al tasso d’interesse del 10% annuo; (b) al tasso d’interesse del 6% semestrale; (c) al tasso d’interesse del 12% per un

periodo di 15 mesi.

119

( )1

0,1( ) 0,0909 9,09%1 0,1

0,06 2( ) 0,1071 10,71%1 0,06 2

0,12 (12 /15)( ) 0,08759 8,76%1 0,12 (12 /15)

i td ti t

a d

b d

c d

⋅=

+ ⋅

= = →+

⋅= = →

+ ⋅⋅

= = →+ ⋅

120

Esercizio 19

Calcolare il tasso di sconto: (a) semestrale corrispondente al tasso di

sconto dell’11% annuo; (b) annuale corrispondente al tasso di sconto

del 2% mensile.

121

( )1 ( 1)

0,11 0,5( ) 0,058201 5,82%1 (0,5 1) 0,11(1/12)( ) 0,02 0,19672 19,67%

1 (1/12 1)

d td tt d

a d

db dd

⋅=

+ − ⋅⋅

= = →+ − ⋅

⋅= ⇒ = →

+ − ⋅

122

Esercizio 20

Calcolare il valore attuale dei capitali appresso indicati, secondo i tassi e le scadenze per ciascuno specificati:

(a) 1.250 euro fra 3 mesi, tasso d’interesse 10% semestrale;

(b) 3.000 euro fra 6 mesi, tasso d’interesse 14% annuo;

(c) 1.750 euro fra 9 mesi, tasso di sconto 9% annuo;

(d) 2.400 euro fra un anno, tasso di sconto 5% semestrale.

123

11.250( ) 1.190,48

1 0,1 2 (3/12)3.000( ) 2.803,74

1 0,14 (6 /12)1.750( ) 1.629,16

1 (9 /12)0,09con 0,0989

1 1 0,09

KPi t

a P

b P

c Pidi

d

=+ ⋅

= =+ ⋅ ⋅

= =+ ⋅

= =+ ⋅

= = =− −

124

2.400( ) 2.171,431

1 (1/ 2)0,05 0,05 0,095242 1 (1/ 2)

0,1053

d Pi

dd dd

i

= =+

⋅ = → = → = − ⋅ ⇒ =

125

Esercizio 21

Calcolare il valore attuale oggi, al tasso d’interesse dell’8% semestrale, delle seguenti posizioni debitorie:

(a) 4.500 euro dovuti tra un anno, con l’interesse del 10% annuo;

(b) 5.000 euro dovuti tra 9 mesi, interesse 9% annuo;

(c) 6.000 euro dovuti tra 10 mesi, interesse 8% semestrale;

(d) 4.500 euro dovuti tra un anno, interesse del 16% annuo.

126

(1/ 2) 0,08 0,161

( ) 4.500 (1 0,1) 4.9504.950 4.267,24

1 0,16( ) 5.000 (1 0,09 9 /12) 5.337,5

5.337,5 4.765,631 0,16 (9 /12)

KP i ii t

a M

P

b M

P

= = → =+ ⋅

= ⋅ + =

→ = =+

= ⋅ + ⋅ =

→ = =+ ⋅

127

( ) 6.000 (1 0,08 2 10 /12) 6.8006.800 6.000

1 0,16 (10 /12)( ) 4.500 (1 0,16) 5.220

5.220 4.5001 0,16

c M

P

d M

P

= ⋅ + ⋅ ⋅ =

→ = =+ ⋅

= ⋅ + =

→ = =+

128

Esercizio 22

Viene stipulato un prestito per 5.000 euro, da restituire dopo 9 mesi con l’interesse del 12% annuo. Calcolare il valore attuale dopo 6 mesi della somma dovuta, usando il tasso d’interesse del 10% annuo.

129

Somma dovuta:

Valore attuale dopo 6 mesi = valore anticipato di 3 mesi della somma 5.450:

130

5.000 (1 0,12 9 /12) 5.450M = ⋅ + ⋅ =

5.450 5.317,071 0,1 (3 /12)

P = =+ ⋅

Esercizio 23

Si impiegano 1.500 euro per 15 mesi al 15%. Qual è il montante finale:

(a) se non si da luogo a capitalizzazione intermedia dell’interesse;

(b) se l’interesse prodotto viene capitalizzato a metà periodo;

(c) se l’interesse prodotto viene capitalizzato dopo 5 mesi;

(d) se l’interesse prodotto viene capitalizzato dopo 10 mesi;

(e) se l’interesse prodotto viene capitalizzato ogni 5 mesi.

131

2

3

( ) 1.500 (1 0,15 15 /12) 1.781,25( ) 1.500 (1 0,15 (15 /12) 0,5) 1.794,43( ) 1.500 (1 0,15 5 /12) (1 0,15 10 /12) 1.792,97( ) 1.500 (1 0,15 10 /12) (1 0,15 5 /12) 1.792,97( ) 1.500 (1 0,15 5 /12) 1.7

a Mb Mc Md Me M

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = 99,19

132

Esercizio 24

Calcolare a quale tasso annuo d’interesse semplice posticipato corrisponde:

(a) un interesse anticipato di 160 euro su un capitale di 8.000 prestato per 3 mesi;

(b) un interesse anticipato di 125 euro su un capitale di 12.500 prestato per 45 giorni.

133

C = capitale meno interesse anticipato

134

( )I tiC t

=⋅

160( ) 0,0816 8,16%7.840 0,25

125( ) 0,0808 8,08%12.375 (45 / 360)

a i

b i

= = →⋅

= = →⋅

IL REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE

135

Esercizio 25

Calcolare sconto e valore attuale per un capitale a scadenza K=1.000, per il tasso annuo di sconto e l’intervallo di tempo indicati:

(a) d=10%, t=1 anno (b) d=12%, t=8 mesi (c) d=9,50%, t=14 mesi (d) d=10,25%, t=90 giorni

136

1.000( ) 1000 0,1 1 100; 900( ) 1.000 0,12 (8 /12) 80; 920( ) 1.000 0,095 (14 /12) 110,83; 889,17( ) 1.000 0,1025 (90 / 360) 25,63; 974,37anno civile : 25,27; 974,73

Ka D Pb D Pc D Pd D P

D P

== ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = =

= =

137

Esercizio 26

Calcolare il tasso annuo di sconto in base al quale:

(a) 1.000 è il valore attuale di 1.300 disponibili tra 8 mesi;

(b) 1.000 è lo sconto necessario per anticipare di un anno un capitale di 10.000;

(c) il valore attuale di un capitale C disponibile tra 18 mesi è la metà di C.

138

(1 )( )1.000 1.300 (1 8 /12) 0,3462 34,62%( )1.000 10.000 1 10%

1( ) (1 18 /12) 0,3 33,33%2

P K d ta d db d d

c C C d d

= ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ → = →= ⋅ ⋅ → =

= ⋅ − ⋅ → = →

139

Esercizio 27

Una banca concede prestiti a breve termine al tasso annuo dell’8% d’interesse semplice anticipato. Calcolare la somma che si riscuote in effetti contraendo un prestito di:

(a) 8.000 euro a 3 mesi; (b) 12.500 euro a 45 giorni; (c) 7.500 euro dal 10 marzo al 15 maggio

dello stesso anno (per b e c, convenzioni commerciali).

140

( ) 0,08 8.000 (1 0,08 3 /12) 7.840( ) 12.500 (1 0,08 45 / 360) 12.375( ) 7.500 (1 0,08 65 / 360) 7.391,67

a d Pb Pc P

= ⇒ = ⋅ − ⋅ == ⋅ − ⋅ == ⋅ − ⋅ =

141

Esercizio 28

Una banca concede prestiti al tasso del 9,25% d’interesse semplice anticipato. Calcolare quale somma deve restituire a scadenza il debitore, e quale tasso annuo d’interesse semplice posticipato gli è stato applicato, se riceve:

(a) 3.500 euro per 7 mesi (b) 8.000 euro per 90 giorni

142

0,09251

3.500( ) 3.699,631 0,0925 (7 /12)

199,63199,63 0,09777 9,78%3.500 (7 /12)

8.000( ) 8.189,381 0,0925 (90 / 360)

189,38189,38 0,09468 9,47%8.000 (90 / 360)

PK dd t

a K

I i

b K

I i

= =− ⋅

= =− ⋅

⇒ = → = = →⋅

= =− ⋅

⇒ = → = = →⋅

143

Esercizio 29

Calcolare il tasso annuo d’interesse associato:

(a) al tasso di sconto del 10% annuo; (b) al tasso di sconto del 6% semestrale; (c) al tasso di sconto del 5% per 5 mesi.

144

0,1( ) annuale : 0,1 11,11%1 1 0,1

( ) (1/ 2) 0,06 1/ 2 0,120,12 0,1364 13,64%

1 1 0,12( ) (5 ) 0,05 (5 /12) 0,12 13,64%

ia di

b d d did

ic d m d d i

= = = →− −

= = ⋅ → =

= = = →− −

= = ⋅ → = → =

145

Esercizio 30

Calcolare il montante di 1.750 euro dopo 3 mesi in capitalizzazione iperbolica, se il tasso annuo di sconto semplice è il 12,50%.

146

( )1 1( ) 1,032258

1 1 0,125 3/121.750 ( ) 1.806,45

M C r t

r td t

M r t

= ⋅

= = =− ⋅ − ⋅

→ = ⋅ =

147

IL REGIME DELL’INTERESSE COMPOSTO

148

Esercizio 31

Calcolare il montante e l’interesse prodotti (nel regime dell’interesse composto) da ciascuno degli investimenti che seguono:

(a) 1.200 euro al 13% annuo per 3 anni e 4 mesi;

(b) 950 euro al 10% annuo per 3 mesi; (c) 2.500 euro al 7,50% semestrale per un anno

e 8 mesi; (d) 1.000 euro al 4% annuo per 21 anni; (e) 7.500 euro per 2 anni e 6 mesi, al tasso

istantaneo del 7,50 %.

149

3 4/12

3/12

1 8/12

21

( ) (1 ) 1.200 (1 0,13) 1.803,471.803,47 1.200 603,47

( ) 950 (1 0,1) 972,91; 22,91

( ) (1/ 2) 0,075 1 1 0,1556252500 (1 0,155625) 3.181,52 681,52

( ) 1.000 (1 0,04) 2.

ta M C iIb M I

c i i iM Id M

+

+

= ⋅ + = ⋅ + == − =

= ⋅ + = =

= = + − → =

= ⋅ + = → =

= ⋅ + =

2,5

278,77 1.278,77( ) 0,075 0,07788

7.500 (1 0,07788) 9.046,73 1.546,73

Ie i

M Iδ

→ == → =

= ⋅ + = → =

150

Esercizio 32

Calcolare i seguenti tassi equivalenti: 1) mensile, equivalente al 20% annuo; 2) trimestrale, equivalente al 15% annuo; 3) per il periodo di 8 mesi, equivalente al

18% annuo; 4) annuo, equivalente al 9% bimestrale; 5) annuo, equivalente al 17,50% per 9

mesi; 6) annuo, equivalente al 10% semestrale;

151

7) nominale annuo pagabile due volte, equivalente al 14% annuo;

8) nominale annuo pagabile due volte, equivalente al 7% semestrale;

9) annuo, equivalente al 12% nominale annuo pagabile 3 volte;

10) istantaneo, equivalente al 9% annuo; 11) istantaneo, equivalente al 6% quadrimestrale;

152

12) annuo, equivalente al 10% istantaneo; 13) semestrale, equivalente al 12% istantaneo.

153

121/12 1/12

41/4 1/4

12/88/12 8/12

6

12/9

1) (1 ) 1 0,20 0,0153 1,53%

2) (1 ) 1 0,15 0,03555 3,56%

3) (1 ) 1 0,18 0,11666 11,67%

4) (1 0,09) 1 0,677100 67,71%5) (1 0,175) 1 0,239891 23,99%

i i

i i

i i

i ii i

+ = + → = →

+ = + → = →

+ = + → = →

+ = + → = →

+ = + → = →

154

2

2

1/3

6) (1 0,10) 1 0,21 21%7) 0,14 (1 (2) / 2) 1 (2) 0,135415 13,54%8) ( ) / 0,07 (2) / 2 (2) 0,14 14%

9) (1 0,12 / 3) 1 0,124864 12,49%10) log(1 0,09) 0,086177 8,62%

m

i ij j

i j m m j j

iδ

+ = + → = →

= + − → = →= → = → = →

= + − = →= + = →

155

3

0,12

21/2 1/2

11) (1 0,06) 1 0,191016log(1 ) 0,17480 17,48%

12) 1 0,105170 10,52%13) 1 0,12749(1 ) 1 0,061836 6,18%

i ii

i e ii ei i i

δ

δ+ = + → = →

= + = →

= − → = →

= − =

+ = + → = →

156

Esercizio 33

Calcolare il tempo necessario per generare:

(a) un montante di 5.000 euro da un capitale di 4.000 impiegato al 8% annuo;

(b) un montante di 4.000 euro da un capitale di 2.500 impiegato al 5% semestrale;

(c) un montante 2C da un capitale C impiegato al 12,50% annuo;

(d) un interesse di 1.000 da un capitale di 3.500 impiegato al 10% annuo; 157

( )

2

( ) 5.000 4.000 (1 0,08) 2,90( ) (1 0,05) 1 0,10254.000 2.500 (1 0,1025) 4,82( ) 2 (1,125) 5,88

( )1.000 3.500 (1 0,10) 1 2,64

t

t

t

t

a tb i i

tc C C t

d t

= ⋅ + → =

+ = + → =

= ⋅ + → =

= ⋅ → =

= ⋅ + − → =

158

Esercizio 34

Se il tasso d’interesse è l’11% annuo quale capitale bisogna investire per assicurarsi un gettito d’interesse staccati di 1.000 euro mensili?

159

/12

0,11 0,10436( 1) con 1/12

1.000 ( 1) 114.487,29

t

iI C e t

C e C

δ

δ

δ⋅

= → =

= ⋅ − =

⇒ = ⋅ − → =

160

Esercizio 35

Se il tasso d’interesse è il 6% semestrale, quale capitale bisogna investire per assicurarsi un gettito d’interessi staccati di 1.500 euro ogni due mesi ?

161

21/ 2

/ 6

0,06 (1 0,06) 10,1236 0,11653( 1) per 2 /12

1.500 ( 1) 76.480,58

t

i ii

I C e tC e C

δ

δ

δ⋅

= → + = +→ = → =

= ⋅ − =

⇒ = ⋅ − → =

162

Esercizio 36

Calcolare in base ai tassi d’interesse o di sconto di volta in volta indicati, il valor attuale dei seguenti capitali, dovuti alle rispettive scadenze:

(a) 1.450 euro tra un anno, i=12,50%; (b) 2.000 euro tra 15 mesi, i=10%; (c) 2.500 euro tra 9 mesi, d=13%; (d) 950 euro tra 2 anni e 4 mesi, d=15%; (e) 3.000 euro tra un anno e mezzo, j(2)=15%; (f) 5.000 euro tra 2 anni e 9 mesi, (tasso

istantaneo di sconto).

163

12,50%δ =

1

15/12

9/12

28/12

( ) ( )(1) (1 0,125) 1.288,89

( ) 2.000 (1 0,1) 1.775,37( ) 2.500 (1 0,13) 2.252,06( ) 950 (1 0,15) 650,18

a P K v tv Pb Pc Pd P

−

−

= ⋅

= + → =

= ⋅ + =

= ⋅ − =

= ⋅ − =

164

1,5

1/ 22

33/12

( ) 3.000 (1 )(2) 0,15 0,075

(1 0,075) 1 0,155625 2.414,88( ) 5.000 (1 )

0,125 0,1331483.545,53

e P ij i

i i Pf P i

iPδ

−

−

= ⋅ += → =

+ = + → = ⇒ =

= ⋅ += → ==

165

Esercizio 37

Se il tasso d’interesse vigente è del 9,50% annuo, conviene:

(a) pagare 3.000 euro oggi, o 300 oggi e 3.000 tra un anno ?

(b) pagare 2.500 euro oggi, o 1.500 tra 6 mesi e 1.500 tra un anno?

166

i = 0,095 (a) conviene prima alternativa (b) Valore attuale di 1.500 tra 6 mesi:

167

1

1

(1) (1,095 )3.000 (1,095) 2.739,73

300 2.739,73 3.039,73

vP

−

−

=

= ⋅ =+ =

1/ 21.500 (1,095) 1.433,46P −= ⋅ =

1.500 tra un anno: conviene la prima

168

11.500 (1,095) 1.369,871.433,46 1.369,87 2.803,32tot

PP

−= ⋅ == + =

Esercizio 38

Un acquisto viene regolato pagando 2.500 euro subito, e due rate semestrali di 3.000 ciascuna. Se il tasso di sconto è il 9%, quale sarebbe stato il prezzo in contanti del bene acquistato?

169

2.500 subito + 2 rate semestrali di 3.000, con d = 0,09. Valore attuale delle rate? 3.000 dopo 6 mesi:

3.000 dopo 1 anno:

Totale: 2.500 + 2.861,82 + 2.730 =

= 8.091,82

170

1/ 23.000 (1 0,09) 2.861,82P = ⋅ − =

13.000 (1 0,09) 2.730P = ⋅ − =

Esercizio 39

Investite 1.000 euro per 20 mesi, al tasso del 12% nominale pagabile 3 volte l’anno. Quale montante ricavate al termine, se ogni disponibilità ulteriore vi rende il 10% l’anno?

171

5 rate in 20 mesi. ammontare di ciascuna rata:

5 rate 200 Interesse prodotto dalle rate:

172

(3) 0,12 0,124864 0,11766j i δ= → = → =

1.000 0,04 40R = ⋅ =

16/12 1 8/12 4 /1240 (1,1 1,1 1,1 1,1 ) 173,3356173,3356 4 40 13,3356

200 13,33561.213,34

tot

tot

IIM C I

⋅ + + + == − ⋅ =

= +

= + =

173

Esercizio 40

Investite 2.500 euro per due anni, al tasso del 10% nominale pagabile due volte l’anno. Quale montante ricavate al termine , se ogni disponibilità ulteriore vi rende il 3% quadrimestrale?

174

Interesse staccato ogni semestre:

4 rate 500 Le prime 3 rate vengono capitalizzate con

175

1/ 2(2) 0,1 0,05j i= → =

2.500 0,05 125⋅ =

1/33

0,03

(1 0,03) 1 0,092727

i

i i

=

→ + = + → =

Montante delle prime 3 rate:

176

3/ 2 1 1/ 2125 (1,093 1,093 1,093 ) 410,043 125 410,04 35,041535,042.500 535,04 3.035,04

tot

MIIM

= ⋅ + + == − ⋅ + =

=

= + =

Esercizio 41

Se il tasso annuo d’interesse è il 10,50% trovare il montante, in capitalizzazione mista, di una somma di 8.000 euro giacente in un deposito bancario dal 15 ottobre 1984 al 6 aprile 1987.

177

Capitalizzazione mista, i = 0,105; C = 8.000 (1) 15 ott. 84 31 dic. 84:

(2) 2 anni:

(3) 1 gen. 87 6 apr. 87:

178

1( ) 1 0,105 (77 /365)r t = + ⋅2

2 ( ) 1,105r t =

3( ) 1 0,105 (96 /365)r t = + ⋅

1 2 38.000 10.260,31M r r r= ⋅ ⋅ ⋅ =

Esercizio 42

Verificare se sono scindibili le seguenti leggi finanziarie

179

( )

( )( )2 2

( ) ( , ) 1 1 exp( )( ) ( , ) 1 log(1 )

( ) ( , ) exp 0,5

a r x y i x yb r x y i y x

c r x y y x

= + ⋅ − −

= + ⋅ + −

= ⋅ −

( )

[ ]

( ) log 1 1 No1

( ) log 1 log(1 )

1 No1 log(1 ) 1

x yx y

x y

i ea i ey i i e

b i y xyi

i y x y x

δ

δ

−−

−

∂ ⋅ = + ⋅ − = ∂ + − ⋅∂

= + ⋅ + − =∂

⋅+ ⋅ + − + −

180

( ) ( )2 21

222 1( ) log Si2

y xc e y x y

y yδ

− ∂ ∂ = = − = ∂ ∂

181

Esercizio 43

Si consideri un capitale che, al tempo t = 0,4 ammonta a 3.500 euro. Calcolarne il montante di proseguimento in t = 1,2 se esso rappresenta a sua volta il montante di un operazione iniziata in t = 0,1:

(a) nel RFIS, tasso annuo d’interesse 8,50%; (b) nel RFIC, tasso annuo d’interesse 8,50%.

182

( )

1,10,3

3.500; 0,4( ) 0,085

3.500 1 0,085 (1,2 0,1) 3.732,081 0,085 (0,4 0,1)

( ) 0,0853.500 (1 0,085) 3.736,04

(1 0,085)

C ta i

M

b i

M

= ==

→ = ⋅ + ⋅ − =+ ⋅ −

=

→ = ⋅ + =+

183

Esercizio 44

Calcolare il montante che si produce in un anno e due mesi investendo un capitale di 1.250 se:

184

( ) ( ) 0,1 ( : anni)( ) ( ) 0,1 ( : semestri)( ) ( ) 0,08 (primo anno)

0,12 (successivamente, : anni)( ) ( ) 1 exp( ) ( : anni)

a t tb t tc t

td t t t

δδδ

δ

===== − −

0( )

0,1 7 / 6

0,1 (7 / 6) 2

? 7 / 6 1.250

( )( ) ( ) 0,1

1.250 1.404,68( ) ( ) 0,1

1.250 1.578,50

ts ds

M t C

M t C ea t

M eb t

M e

δ

δ

δ

⋅

⋅ ⋅

= = =

∫= ⋅=

→ = ⋅ ==

→ = ⋅ =

185

( )7 / 6 7 / 6

0 0

(0,08 0,12 1/ 6)

1

0,4781

( ) ( ) 0,08; ( ) 0,121.250 1.381,46

( ) ( ) 1

1.250 1.2501.250 2.016,20

s s

t

e ds s e

c t tM e

d t e

M e ee

δ δ

δ− −

+ ⋅

−

− +

= =

→ = ⋅ =

= −

∫→ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

186

FORZA D’INTERESSE

187

Esercizio 45

Un operazione finanziaria produce interessi in base ad un tasso istantaneo d’interesse pari a

Calcolare dopo quanto tempo raddoppia un capitale iniziale di 1.000.000 investito a tali condizioni; verificare inoltre il tempo necessario alla formazione di un montante pari a 2.320.000.

188

0,09.δ =

log 22 7,7016

2.320.0002.320.000log log1.000.000 9,35070,09

t t

t

M C e e t

MM

M Ce tC

δ δ

δ

δ

δ

⋅ ⋅

⋅

= ⋅ ⇒ = ⇒ = =

=

⇒ = ⇒ = = =

189

Esercizio 46

Assegnata la forza d’interesse calcolare il montante prodotto in un anno e due mesi da un capitale iniziale di 1.250.000 euro.

190

( ) 0, 4 0,05 tt eδ = + ⋅

14/12

0 0( ) ( )

14/12 14/12 14/12

00 0

14/12 0,577

( ) 1.250.000

( ) (0, 4 0,05 ) 0, 4 0,05

140,4 0,05 0,05 0,577 1,78112

1.250.000 1,781 2.226.372,87

ts ds s ds

s s

M t C e e

s ds e ds s e

e e

M

δ δ

δ

∫ ∫= ⋅ = ⋅

= + ⋅ = ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ − = → =

⇒ = ⋅ =

∫ ∫

191

Esercizio 47

Data la forza d’interesse :

1. esplicitare la formula della legge di capitalizzazione;

2. calcolare il valore in t=0 di uno zero coupon bond che paga 100 dopo 8 mesi se i=6%.

192

2( )1 2

iti t

δ =+ ⋅

[ ]

0( )

0 0 0

0

( ) ( )2( ) 2

1 2 1 2log |1 2 | log(1 2 )

( ) 1 2

ts ds

t t t

t

M t C r t C ei dss ds ds ii s i s

i s i t

r t i t

δ

δ

∫= ⋅ = ⋅

= = ⋅ =+ ⋅ + ⋅

= + ⋅ = + ⋅

⇒ = + ⋅

∫ ∫ ∫

193

0( ) log(1 2 )

21003

1( )1 2

1100 92,5921 2 0,063

ts ds i t

P v

v t e ei t

P

δ− − + ⋅

= ⋅

∫= = =+ ⋅

= ⋅ =+ ⋅ ⋅

194

Esercizio 48

Data la seguente forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse)

, calcolare il montante di 100 dopo tre anni se il tasso i è pari al 6%.

195

( )t iδ =

0( )

3 0,18

0

( ) ( )

( )

0,06 0,18 1,1972

100 1,1972 119,72

ts ds

M t C r t

r t e

ds e

M

δ

= ⋅

∫=

= ⇒ =

⇒ = ⋅ =∫

196

Esercizio 49

Data la seguente forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse)

, calcolare il montante di 100 dopo tre anni se il tasso i è pari al 10%.

197

( ) log(1 / 2)t iδ = +

0( )

3 0,14637

0

( ) ( )

( )( ) log(1 0,05) 0,04879

0,04879 0,14637 1,1576

100 1,1576 115,76

ts ds

M t C r t

r t et

ds e

M

δ

δ

= ⋅

∫== + =

= ⇒ =

⇒ = ⋅ =∫

198

Esercizio 50

Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è , calcolare il montante di 100 dopo tre anni se e .

199

( )t tδ α β= + ⋅0,02α =

0,10β =

0( )

33 2

00

0,51

( ) ( )

( )

0,10(0,02 0,10 ) 0,02 0,512

1,6653100 1,6653 166,53

ts ds

M t C r t

r t e

t dt t t

eM

δ

= ⋅

∫=

+ = + = ⇒ =⇒ = ⋅ =

∫

200

Esercizio 51

Data la forza d’interesse calcolare il montante di 100 dopo tre

periodi se il tasso di rendimento è il 5%.

201

( )1

itt

δ =+

[ ]3 3

00

0,06931

0,05 0,05 log | 1| 0,05 log 4 0,069311

1,0718107,18

dt tteM

= ⋅ + = ⋅ =+

⇒ =⇒ =

∫

202

Esercizio 52

Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è dedurne il fattore di capitalizzazione.

203

2

2( ) 0,0551

ttt

δ = ⋅+

( ) ( )( )

22 00

0,0552 2

0,0552

20,055 0,055 log |1 |1

0,055 log 1 log 1

( ) 1

t ts ds ss

t t

r t t

⋅ = ⋅ + = +

= ⋅ + = +

⇒ = +

∫

204

Esercizio 53

Un operazione finanziaria, a fronte di un investimento unitario consente di ottenere all’epoca t un montante pari a

Calcolare la forza d’interesse corrispondente.

205

1,2 22

tt⋅ ++

Per definizione avremo:

206

0

0

( )

( )

0

( )1, 2 2

21,2 2log ( )

2

t

t

s ds

s ds

t

M t C et e

tt s ds

t

δ

δ

δ

∫= ⋅

⋅ + ∫→ =+

⋅ + → = + ∫

Per cui derivando membro a membro:

207

21, 2 ( 2) 1 (1,2 2) 2( )

( 2) (1,2 2)0,4

( 2) (1,2 2)

t t ttt t

t t

δ ⋅ + − ⋅ ⋅ + += ⋅ =

+ ⋅ +

=+ ⋅ ⋅ +

Esercizio 54

La forza di interesse corrispondente ad un ipotetico regime finanziario è:

Calcolare la legge di capitalizzazione corrispondente e verificare se la stessa sia scindibile.

208

( ) 2ttδ =

0( )

0 00

2 1log 2

( )

2 2 1( ) 2log 2 log 2

( )

t

t

s ds

ts tt t s

r t e

s ds ds

r t e

δ

δ

−

∫=

−= = =

⇒ =

∫ ∫

209

La legge non è scindibile in quanto dipende da t.

210

( )tδ

Esercizio 55

Data la seguente forza d’interesse (intensità istantanea di interesse)

a) scrivere l’equazione del fattore di capitalizzazione;

b) calcolare il valore attuale di un importo pari a 500 disponibile dopo 4 anni se il tasso i è pari al 5%.

211

( ) 2

0,81

i ttt

δ ⋅ ⋅=

+

( ) ( )( )

( )

0( )

2 20 0 0

2 2

00,42

0,42

( )0,8 2( ) 0, 41 1

0,4 log 1 0, 4 log 1

log 1

( ) 1

ts ds

t t t

t

i

i

r t ei s ss ds ds i dss s

i s i t

t

r t t

δ

δ

⋅

⋅

∫=⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ =+ +

= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =

= +

⇒ = +

∫ ∫ ∫

212

Calcolo del valore attuale:

213

( )0,42

0,02

1( )1

500 500 472,45617 1,0583

iv tt

P

⋅⇒ =+

= = =

MODULO 2

LE RENDITE

214

Argomenti

Obiettivi. Introduzione. Definizioni preliminari. Rendita (immediata) posticipata di durata n. Rendita perpetua posticipata. Rendita (immediata) anticipata di durata n. Rendita perpetua anticipata. Rendita differita di t anni. Rendite frazionate. Problemi relativi alle rendite.

215

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono: capire il concetto di rendita e conoscere i criteri

di classificazione delle rendite certe; saper valutare una rendita calcolando il valore

attuale e il montante; saper ricondurre un problema riguardante le

rendite frazionate al caso delle rendite annue; risolvere problemi relativi alle rendite, quali

ricerca del tasso, della durata, della rata.

216

Introduzione

Molte operazioni finanziarie comportano la valutazione di più capitali la cui esigibilità avviene in epoche diverse; in matematica finanziaria questo insieme di capitali è denominato sinteticamente rendita. Se i capitali, detti rate della rendita, sono di importo uguale, per la determinazione della rendita utilizzeremo funzioni basate sulla somma di progressioni aritmetiche o geometriche che evitano molti calcoli ripetitivi. Se, invece, la rendita è costituita da capitali di importi diversi, per la valutazione si dovranno scontare o capitalizzare i vari capitali secondo l’epoca scelta per la valutazione. In questa modulo ci occuperemo soprattutto delle rendite a rata costante valutate nel regime dell’interesse composto, in quanto molto significative in ambito economico (finanziamenti, mutui, leasing,…), al punto che per esse sono state in passato costruite delle tavole numeriche. Oggi è sufficiente utilizzare una calcolatrice dotata della funzione esponenziale, o ancor meglio un foglio elettronico.

217

Definizioni preliminari Una rendita è una operazione finanziaria r definita come una successione di capitali disponibili (cioè da pagare o da riscuotere) a determinate scadenze; tali capitali sono detti rate (o termini) della rendita. Esempi di rendite:

le rate di affitto di un immobile pagate dal locatario; i dividendi che un azionista riceve a scadenze fissate; le rate di un mutuo contratto per l’acquisto di un bene; lo stipendio che riceve il lavoratore dipendente; le quote mensili versate per la sottoscrizione di un fondo

comune di investimento; Le rendite possono essere classificate secondo più criteri, per cui una rendita è ben definita quando, oltre a conoscerne i dati numerici, sono note esattamente le sue caratteristiche come specificato nella tabella che segue

218

Definizioni preliminari

Criterio Classificazione

Periodicità della rata Rendita annua Rendita frazionata Rendita poliennale

Differimento, o meno, della prima rata

Rendita posticipata Rendita anticipata

Differimento di t anni della prima rata

Rendita immediata Rendita differita

Durata della rendita Rendita temporanea Rendita perpetua

219


Analizziamo i criteri separatamente: innanzitutto considereremo le rendite annue (rate con periodicità annuale). Dopo tratteremo quelle frazionate (periodicità = frazione d’anno). Infine, le rendite poliennali riguardano il caso in cui l’intervallo temporale tra le rate è maggiore di un anno. Per analizzare il secondo criterio osserviamo la seguente figura:

220

t1 tn t0

t2 tn t0=t1

rendita posticipata

rendita anticipata


Per convenzione t0 rappresenta la data dell’inizio della rendita e t1 la data di pagamento della prima rata. Se t0 = t1 -1 allora la rendita si dice posticipata; se t0 = t1 allora la rendita si dice anticipata. Per analizzare il terzo criterio osserviamo la seguente figura:

221

t=0

t1 tn t0

t0 tn t1

rendita immediata

rendita differita t=0

t

Definizioni preliminari La rendita si dice immediata se t0=0, differita di t anni se t0=t. Il quarto criterio è riferito al numero n delle rate xh. La rendita si dice temporanea se il numero n è finito; la rendita si dice perpetua se il numero delle rate è infinito. Per convenzione la durata della rendita è il numero n=tn-t1+1. Un problema fondamentale che si presenta è quello di valutare una rendita, cioè quello di determinare un capitale unico equivalente a tutte le rate in un prefissato regime finanziario ad un certo tasso. L’importo di tale capitale è detto valore della rendita e dipende dall’epoca in cui si fa la valutazione. Le valutazioni più importanti sono:

222

il valore attuale di una rendita se la valutazione è fatta in un’epoca che precede tutte le scadenze delle rate o coincide con la prima

il montante di una rendita se la valutazione è fatta in un’epoca successiva a tutte le scadenze delle rate o coincidente con l’ultima.

Rendita (immediata) posticipata di durata n Una rendita immediata posticipata annua di durata n è una rendita r tale che: t0=0 t1=t0+1 xh=R per ogni h=1,2,…,n; th=k per ogni h=1,2,…,n; Valutandola secondo la legge esponenziale al tasso i, il suo valore attuale è: cioè la somma dei valori attuali di ogni rata. Tale sommatoria è composta da n termini in progressione geometrica di ragione v.

( )1 1 1

1n n n

h h hh h

h h hA x i x v R v−

= = =

= ⋅ + = ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑

223

0 t1 t2 t3 … tn-1 tn

R R R R R

Rendita (immediata) posticipata di durata n

Si può dimostrare, tramite semplici passaggi algebrici, che: Il simbolo appena introdotto si legge “a figurato n al tasso i”, e per la definizione del fattore di sconto v, si ha:

224

nnh

n ih

vv v av1

11

;

n

n i n i

ia A R a

i

1 1


Per calcolare il montante le rate saranno capitalizzate. La prima è capitalizzata per n-1 anni, la seconda per n-2 anni,…, l’ultima è pagata nell’istante scelto per il calcolo del valore del capitale: La lettera S per convenzione indica che si tratta di un montante. Ricordiamo che il fattore di capitalizzazione è r =(1+i)t. Se consideriamo il montante di una rendita di rata R=1:

1 2(1 ) (1 ) ... (1 )n nS R i R i R i R

225

1 2(1 ) (1 ) ... (1 ) 1n nn is i i i− −= + + + + + + +


Si tratta della somma di n termini in progressione geometrica di ragione (1+i) che ha come primo termine uno:

rappresenta la formula compatta del montante di una rendita unitaria, tale simbolo si legge “s figurato n al tasso i”. Il montante della rendita a rata costante sarà quindi:

1 (1 ) 1= =n n

n i

r isi i

226

n iS R s= ⋅


Esempio. Sia una rendita immediata posticipata con n=4, R=5 euro, calcoliamo il valore attuale nei seguenti casi: i=4%; i=3%; 44

4 0,041

44

4 0,031

1 1,04(4%) 5 1,04 5 5 18,14950,04

1 1,03(3%) 5 1,03 5 5 18,58550,03

h

h

h

h

A a

A a

227


Il calcolo di a figurato 4 al tasso 4% può essere effettuato sia manualmente mediante l’uso della funzione esponenziale, sia con l’ausilio delle tavole finanziarie, che con un foglio elettronico. Ad esempio si può utilizzare la funzione Excel

VA(tasso_int;periodi;pagam;val_futuro;tipo)

in cui l’argomento è composto rispettivamente dal tasso di periodo, dal numero di periodi, dall’ammontare della rata costante, dal valore futuro dopo l’ultima rata (di solito pari a zero), e dal tipo di pagamento, anticipato o posticipato. La funzione fornisce direttamente il valore attuale.

228


Calcoliamo ora il valore attuale per i=4%: Nel caso i=3% notiamo che A=18,5855; ciò significa che: diminuendo il tasso di interesse, a parità di altre condizioni, il valore attuale aumenta. Ciò perché ogni rata è “scontata” per lo stesso periodo, ma ad un tasso minore.

229

0 1 2 3 4

i=4%

t 4,8077

5 5 5 5

4,6228 4,4449 4,2740

18,1495


Esempio: calcoliamo ora il montante di una rendita con rata R=35; n=5; i=12%. Si ottiene lo stesso risultato calcolando il montante direttamente, ossia sommando i montanti di ciascuna rata come chiarisce la figura:

230

5

5

(1 0,12) 135 35 222,34970,12iS s + −

= ⋅ = ⋅ =

0 1 2 3 4 5 55,073 49,172

43,904 39,2 35 222,3497

35 35 35 35 35

i=12% t

Rendita perpetua posticipata

Consideriamo una rendita perpetua, ossia formata da un numero illimitato di rate. Non è facile trovare esempi di rendite perpetue; tuttavia in passato sono stati emessi Buoni fruttiferi irredimibili, cioè titoli di Stato che, a fronte della mancanza di restituzione del capitale, fornivano una rendita perpetua di cedole. Il valore attuale di una rendita unitaria perpetua posticipata (“a figurato infinito al tasso i”), si ottiene calcolando il limite, per n∞, del valore attuale di una rendita temporanea: essendo v<1. In tal modo il valore attuale di una rendita perpetua r con rata R costante è:

1 1lim limn

i n in n

va ai i∞ →∞ →∞

−= = =

231

RAi

=

Rendita (immediata) anticipata di durata n

Analogamente a quanto visto prima, una rendita immediata anticipata annua di durata n è una rendita r in cui: t0=0 t1=t0 (unica differenza rispetto al caso posticipato); xh=R per ogni h=1,2,…,n; th=h-1 per ogni h=1,2,…,n. Valutandola secondo la legge esponenziale al tasso i, il suo valore attuale è: cioè la somma dei valori attuali di ogni rata al tempo t0.

( ) ( )1 1 1

1 1 1 11

n n n nh h h h

h hh h h h

RA x i x v R v vv

− − − −

= = = =

= ⋅ + = ⋅ = ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ ∑

232

0=t1 t2 t3 … tn-2 tn-1

R R R R R

Rendita (immediata) anticipata di durata n La rendita unitaria immediata anticipata è: si legge “a anticipato figurato n al tasso i”, il valore attuale della rendita temporanea immediata anticipata è:

Come già detto nel caso posticipato, i valori di “a anticipato” si possono calcolare direttamente con la funzione esponenziale, si possono reperire sulle tavole finanziarie oppure si possono calcolare mediante la funzione Excel

VA(tasso_int;periodi;pagam;val_futuro;tipo) descritta precedentemente.

1 (1 )n

n i n i

va i ad

233

n iA R a


Il montante di una rendita anticipata è la somma dei montanti di ciascuna rata al tempo tn. Definiamo ora la formula compatta del montante della rendita unitaria anticipata: Il montante della rendita temporanea immediata anticipata è

234

1 2n n nS R r R r R r R r− −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

(1 ) 1 (1 )n

n i n i

is i sd

+ −= = + ⋅

n iS R s


Ad esempio calcoliamo il valore attuale di una rendita costituita da 5 rate annue di 100 euro ciascuna, valutata al tasso i=2,5% ed al tasso i=3,5%. I calcoli, anche qui, si possono fare sia con le tavole finanziarie, sia con l’uso del calcolo esponenziale, che con l’uso di Excel.

5

5 0,025

1 1 1,025100 (1 ) 100 1,025 100 476,19740,025

nvA i ai

5

5 0,035

1 1 1,035100 (1 ) 100 1,035 100 467,30790,035

nvA i ai

235


Calcolando i valori attuali di ogni singola rata osserviamo che la prima rata non viene attualizzata: Se la rendita fosse per ipotesi posticipata, per calcolarne il valore attuale basterebbe attualizzarla secondo il fattore v=(1+i)-1.

236

0 1 2 3 4

i=2,5%

t

97,5610

100 100 100 100

95,1814 92,8599 90,5951

476,1974

100

100,000

Rendita perpetua anticipata Il valore attuale di una rendita perpetua anticipata a rate costanti è uguale alla somma della rata R col valore attuale della stessa rendita, però posticipata: Infatti, considerando la rendita perpetua anticipata unitaria, il valore attuale è: dal momento che la rendita perpetua anticipata è pari a quella posticipata, capitalizzata per un anno, cioè capitalizzata secondo il fattore (1+i). Ad esempio, volendo valutare al tasso i=3% una rendita perpetua anticipata di rata R=12 euro, si ha: 1212 12 400 412

0,03A = + = + =

( ) 1 11 1 1i ia i ai i∞ ∞

= + ⋅ = + = +

237

RA Ri

= +

Rendita differita di t anni Può capitare che l’inizio della rendita, inteso come il tempo t0 in cui viene pagata la prima rata, sia differito di t anni. In tal caso il calcolo del valore attuale secondo una legge di capitalizzazione assegnata è molto semplice: basta scontare secondo un fattore vt il valore attuale della rendita immediata corrispondente a quella data. Riepiloghiamo ora le rendite già viste, nell’ipotesi di un differimento di t anni della prima rata: a) rendita temporanea differita posticipata. t0 = t; t1 = t+1; . . . th = t+h (h=1,…,n);

238

t1=t+1 t2 t3 … tt+n-1 tt+n

R R R R R

0 t1=t+1 t2 t3 … tt+n-1 tt+n

R R R R R

0

Rendita differita di t anni Il suo valore attuale è: Nelle tavole finanziarie si trova il simbolo che si legge “a figurato n al tasso i differito t”. Il valore attuale prende la seguente forma: e si può dimostrare che vale la seguente relazione: Quest’ultima esprime che una rendita di durata n differita di t anni, equivale ad una rendita immediata di durata t+n privata delle prime t rate (che equivalgono ad una rendita immediata di durata t).

t t t n tn iA R v R v R v R v a1 2

/t

t n i n ia v a

239

/t n i t n i t ia a a

/t n iA R a

Rendita differita di t anni

b) rendita temporanea differita anticipata. t0 = t1 = t; t2 = t+1; . . . th = t+h-1 (h=1,…,n); Il valore attuale è: Nelle tavole finanziarie si trova il simbolo che si legge “a anticipato, figurato n al tasso i differito t”. Il valore attuale assume la seguente forma:

1 1t t t n tn iA R v R v R v R v a

/t

t n i n ia v a

240 /t n iA R a

Rendite frazionate

Prendiamo ora in considerazione il caso delle rendite frazionate, ed in particolare quello in cui la distanza temporale tra le rate è pari ad 1/m di anno. Supponendo una rendita posticipata rm, essa sarà costituita da rate costanti R’=R/m, di durata m⋅n e periodicità 1/m. Lo studio di essa si riconduce al caso di una rendita annua, dopo aver posto:

241

( )( )

1/1/

1/1/

1/

1 1

1 1

mm

mm

m

i i

d d

mδδ

= + −

= − −

=

Rendite frazionate

Il valore attuale, considerando la nuova scala temporale, è: Si può anche esprimere il valore attuale della rendita frazionata mediante l’uso dei valori della corrispondente rendita annua: Il valore attuale di una rendita frazionata di rata annua unitaria è: Ad esempio calcoliamo il valore attuale di una rendita posticipata di durata quinquennale e rata annua R=48 euro pagabile mensilmente, valutata al tasso i=3%.

1/1/

1/

1/

1 (1 )' ; mm

m nm

im n i m nm

iA R a ai

( )

( )n i

nm va

j m1

242

1/

1 1( )

n n

m

R v vA Rm i j m

Rendite frazionate

Prima di procedere al calcolo dobbiamo “tradurre” i dati per la rendita r12: R’=R/12=4 euro, m.n=12⋅5=60, i1/12=(1+0,03)1/12−1=0,002466 Si può arrivare allo stesso risultato:

51 (1 0,03)48 222,83212 0,002466

A−− +

= ⋅ =⋅

1/

601 (1 0,002466)' 4 222,8320,002466mm n iA R a

243

Rendite frazionate

Analogamente possiamo pervenire al calcolo del montante: La formula del montante di una rendita unitaria frazionata in m-esimi di anno (esprimendo il tempo in anni) è: Il montante di una rendita a rata costante è:

//

/

/

( )' ; mm

m nm

im n i m nm

iS R s si11

1

1

1 1

244

( ) (1 ) 1( )

nm

n i

isj m

+ −=

( )mn iS R s= ⋅

Problemi relativi alle rendite

Tutte le formule ricavate precedentemente sono state impostate in modo da fornire montante o valore attuale di una rendita caratterizzata secondo la legge esponenziale, il tasso d’interesse, la durata e la rata. Queste formule possono essere utilizzate in senso generale; note tre delle quattro grandezze in questione, si può ricavare la quarta. Se per esempio prendiamo in considerazione: Questa formula ci fornisce il valore attuale della rendita A noti R, n ed i. Ma se noi conoscessimo A, n ed i potremo ricavare il valore della rata R.

n iA R a

245


Ricerca della durata. Il calcolo di n in funzione di A, i e R non presenta grosse difficoltà: Abbiamo moltiplicato primo e secondo membro per i, si nota subito che la nostra incognita si trova all’esponente. E’ necessario ricorrere ai logaritmi per esplicitare n, il passaggio successivo sarà perciò:

1 1

nn

n i

v AA R a R i vi R

1 log log log 1

log 1 log 1

log log(1 )

n nA Av i v n v iR R

A Ai iR Rnv i

= − ⋅ ⇒ = ⋅ = − ⋅

− ⋅ − ⋅ ⇒ = = −

+ 246


Esempio. Un capitale di 8.500 euro è depositato in un fondo che rende in ragione del 10,50% annuo. Si prelevano dal fondo 2.000 euro ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza? Dal problema ricaviamo i seguenti dati: R=2.000; i=10,5%; A=8.500; dobbiamo trovare la durata n. Per esplicitare n ricorriamo alla formula che abbiamo ricavato prima: Il capitale si estingue dopo 5,92 anni.

0,105

12.000 2.000

0,105

n

n

vA a

8.500log 1 log 1 0,1050,591042.000 5,92

log(1 ) log(1,105) 0,09985

A iRni

− ⋅ − ⋅ − = − = − = − =+

247


Ricerca della rata. Determiniamo la rata conoscendo A, n ed i. Partendo sempre dalla formula del valore attuale Si esplicita la R e si trova direttamente il valore della rata. Esempio calcolare la rata R di una rendita caratterizzata da A=354,595; i =0,024695; n = 8.

n in i

AA R a Ra

8354,595 354,595 49,39

1 (1,024695) 7,179470,024695

n i

ARa

248


Ricerca del tasso d’interesse. Alla determinazione del tasso sono connesse maggiori difficoltà rispetto ai problemi precedenti. Questo tipo di problema è di notevole rilievo pratico, ad esempio quando si deve verificare la convenienza di un investimento, ma questo aspetto verrà chiarito in seguito. Le difficoltà di calcolo si incontrano in quanto quasi mai arriviamo ad una formula operativa che ci fornisce il risultato esatto del tasso di interesse, ma è necessario ricorrere a metodi approssimativi. Se consideriamo la seguente rendita: A=1.000, R=350, n=5, e dobbiamo cercare il tasso a cui è stato valutato A Non posso calcolare i direttamente. Un metodo approssimativo per il calcolo del tasso è l’interpolazione lineare.

51 (1 )350n i

iA R ai

249


Interpolazione. Consideriamo la seguente operazione finanziaria: Possiamo scriverla in questa modo: che rappresenta l’equazione di equilibrio tra entrate e uscite.

250

0 1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3 103 -98,8

6598,8 3 103 (1 )ia i −= ⋅ + ⋅ +


Devo cercare il tasso che sostituito nell’equazione mi dia 98,8. Indico come sempre il valore attuale A = 98,8. Procedo per tentativi, ipotizzando tassi via via crescenti finché trovo quello giusto. IL TASSO è COMPRESO FRA QUESTI DUE VALORI

i% A

2% 2,5% 3%

3,5% 4%

105,6014 102,7541

100 97,3357 94,7579

251


Come abbiamo visto anche dai calcoli effettuati il valore attuale di una rendita diminuisce all’aumentare del tasso:

252

100

98,897,3357

0 1i i i

A

i

lim 0n iia

→+∞=


Abbiamo osservato che il tasso è compreso fra il 3% e il 3,5% che chiamo rispettivamente i0 e i1; indico A0 il valore che trovo sostituendo i0 nell’equazione, e A1 invece il valore che trovo sostituendo i1. i0 = 0,03 A0= 100 i = ? A = 98,8 i1 = 0,035 A = 97,3357

253


Un valore approssimato del tasso sarà fornito dalla seguente formula Sostituendo i dati troveremo: Il tasso cercato è 3,22%.

254

1 00 0

1 0

( )i ii i A AA A

−+ ⋅ −

−

0,035 0,030,03 (98,8 100) 0,03225297,3357 100

i −+ ⋅ − =

−

Conclusioni In questo modulo abbiamo analizzato le caratteristiche delle

rendite finanziarie certe, in termini di durata, differimento e periodicità.

Da sottolineare l’importanza della simbologia adottata nello studio delle rendite, il simbolo “a figurato n al tasso i” e “s figurato n al tasso i” sono d’uso comune per individuare valore attuale e montante di rendite unitarie.

Abbiamo visto diversi esempi di calcolo del valore attuale e del montante di una rendita e risolto alcuni problemi relativi alla ricerca della durata, del tasso e della rata.

Fra i problemi relativi alle rendite abbiamo esaminato la ricerca

del tasso d’interesse mediante interpolazione, un problema molto importante nella matematica finanziaria.

255

Rendite certe

Temporanee

Posticipate

Immediate

Rata costante

Annue

Perpetue

Anticipate

Differite

Rata variabile

Frazionate

Legge esponenziale

Durata

Tasso d’interesse

Rata

Valore attuale o montante

Note tre di queste quattro grandezze è possibile ricavare la quarta

Mensili Semestrali Trimestrali

…

Presenter

Presentation Notes

Una rendita è un’ operazione finanziaria definita come una successione di pagamenti scadenzati nel tempo. Identifichiamo ora alcune tipologie di rendita: le rendite temporanee hanno una durata finita e si differenziano da quelle perpetue che hanno un numero illimitato di rate; le rendite immediate pagano la prima rata subito, mentre per le rendite differite il pagamento è previsto dopo t anni; le rendite posticipate pagano la prima rata al termine del generico anno e si contrappongono alle rendite anticipate le cui rate sono pagate all’inizio dell’anno; le rendite possono essere a rata annua o a rate corrisposte in frazioni di anno, per esempio rate mensili, semestrali o trimestrali; le rendite infine possono essere a rata variabile o costante. Specifichiamo che il valore attuale e il montante di una rendita sono stati determinati sulla base della legge esponenziale conoscendo la rata, il tasso d’interesse e la durata. Questi elementi sono fra loro collegati, pertanto conoscendo tre delle quattro grandezze: valore attuale(o montante), rata, tasso, durata, è possibile ricavare la quarta.

Esercizio 1

Calcolare quale versamento semestrale (posticipato) per 5 anni porta ad accumulare un capitale di 8.500 euro, se il tasso d’interesse è il 7,50% annuo.

258

( )21/2 1/2

( ) 1/

1/10

5 1/2

1/2

8.500, 2, 5, 0,075?

1 1,075 0,0368

1 (1 )8.500 (1 )

1 (1 )8.500 (1 )

718,47

n mm n m

n im

M m n iR

i i

iR s R ii

iR ii

R

− ⋅

−

= = = ==

+ = → =

− += ⋅ = ⋅ + ⋅

− +⇒ = ⋅ + ⋅

⇒ =

259

Possiamo alternativamente ricondurci a rate non frazionate:

260

( )

1/ 2

21/ 2 1/ 2

1/ 210 0,0368

1/ 210

8.500, 10, 0,075?

1 1,075 0,0368

(1 ) 18.500

(1,0368) 1 11,830,0368

718,47

n

n i

M n iR

i i

iR s R s Ri

R R

R

= = ==

+ = → =

+ −= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

−= ⋅ = ⋅

⇒ =

Esercizio 2

Calcolare, al tasso d’interesse dell’8% annuo, l’ammontare della rata mensile posticipata il cui pagamento equivale a quello di 3.600 euro alla fine dell’anno.

261

121/12 1/12

12( ) 1 1/12

1/12

3.600, 12, 1, 0,08?

(1 ) 1,08 0,0064

1 (1 )3.600 (1,08)

289,53

mn i

M m n iR

i i

iR s Ri

R

−

= = = ==

+ = ⇒ =

− += ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ =

262

Esercizio 3

Calcolare, al tasso d’interesse del 9,50% annuo, la rata semestrale che, corrisposta anticipatamente per 5 anni, equivale al pagamento di una rata annua posticipata di 1.800 euro per 12 anni.

263

21/2 1/2

10(2) 1/2 1/25

1/212

(1 ) 1,095 0,0464225

1 (1 )1,095

1 1,0951.8000,095

8,2224 12.570,9109 1.528,85

i

i i

iR a Ri

R R

−

−

+ = ⇒ =

− +⋅ = ⋅ ⋅ =

−= ⋅

⇒ ⋅ = → =

264

Esercizio 4

Una rendita è costituita dai seguenti flussi: - 100.000 disponibili tra 1 anno e 4 mesi; - 200.000 disponibili tra 2 anni; - 250.000 disponibili tra 3 anni e 2 mesi. Calcolare valore attuale e montante dei flussi al tasso del 12% annuo nonché la rata costante che, sostituita alle rate variabili, fornirebbe gli stessi risultati.

265

Il valore attuale della rendita (aperiodica a rate variabili) si ottiene sommando i valori attuali delle singole rate. Ossia:

266

(1 4/12) 1,31

22

(3 2/12) 3,163

100.000 (1 0,12) 100.000 1,12 85.977200.000 (1 0,12) 159.439

250.000 (1 0,12) 250.000 1,12174.616

85.977 159.439 174.616 420.032

AA

A

A

− + −

−

− + −

= ⋅ + = ⋅ =

= ⋅ + =

= ⋅ + = ⋅ ==⇒ = + + =

Possiamo ricavare il montante della rendita capitalizzando il valore attuale:

La rata costante da sostituire dovrà verificare:

267

(3 2 /12)420.032 (1 0,12) 601.367M += ⋅ + =

1,3 2 3,16420.032 (1,12) (1,12) (1,12)178.040

R R RR

− − −= ⋅ + ⋅ + ⋅⇒ =

Esercizio 5

A fronte di un investimento si può contare su cinque entrate costanti posticipate di importo pari a 50.000.000 euro, la prima delle quali tra 3 anni. Calcolare il valore dell’investimento utilizzando un tasso del 15% annuo.

268

Il valore ad oggi dell’investimento risulta il valore attuale di una rendita posticipata differita di 2 anni

269

25 0,15

5

50.000.000 (1 0,15)

1 (1 0,15)50.000.000 0,756140,15

50.000.000 0,75614 3,35213 126.733.979

A a−

−

= ⋅ + ⋅ =

− += ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

Esercizio 6

Due rendite sono cosi strutturate: - la prima prevede il pagamento di rate

frazionate quadrimestralmente per una durata di 7 anni.

- La seconda il versamento di importi annui di importo pari a 2.000.000 euro per una analoga durata.

Calcolare quale rata frazionata rende

equivalenti le due alternative utilizzando il tasso del 12,5% annuo.

270

Calcoliamo il valore attuale della seconda rendita:

271

7 0,125

7

2.000.000

1 (1 0,125)2.000.0000,125

1 0,438462.000.000 8.984.6400,125

A a−

= ⋅ =

− += ⋅ =

−= ⋅ =

Le due rendite sono equivalenti se hanno lo stesso valore attuale.

Imponiamo quindi l’uguaglianza (con l’incognita R) calcolando preliminarmente il tasso quadrimestrale:

272

1/31/3 (1 0,125) 1 0,04004i = + − =

21 0,04004

21

8.984.640

1 (1 0,04004)0,04004

0,56152 640.6620,04004

R a

R

R R

−

= ⋅ =

− += ⋅ =

= ⋅ ⇒ =

273

Esercizio 7

Un risparmiatore versa su un fondo ad accumulazione una somma annua di 10.000.000 euro con lo scopo di costituire un capitale pari a 90.000.000 euro.

Calcolare: - a quale tasso deve maturare il montante della

rendita per ottenere il capitale desiderato dopo 7 anni;

- dopo quanti anni si costituirebbe il capitale se il tasso riconosciuto fosse del 2% inferiore a quello calcolato precedentemente.

274

L’equazione che fornisce il tasso è:

Con i=8% il montante prodotto dall’investimento è pari a 89.228.034; utilizzando invece, il tasso del 9% il montante è pari a 92.004.347. Procediamo quindi per interpolazione prendendo come riferimento questi due tassi.

275

7(1 ) 110.000.000 90.000.000ii

+ −⋅ =

Applicando la formula del montante:

si ottiene:

276

0,080,09 0,08 (90.000.000 89.228.034)

92.004.347 89.228.0340,08278

i = +−

+ ⋅ −−

(1 ) 1n

n i

iM R s Ri

+ −= ⋅ = ⋅

(1 ) 1 1 (1 )

log 1 log(1 )

90.000.000 0,06278log 1 log 110.000.000

log(1 ) log(1 0,06278)0,4479 7,35470,0609

n nM i M ii iR R

M i n iR

M iRn

i

⋅ ⋅= + − ⇒ + = +

⋅ ⇒ + = ⋅ +

⋅ ⋅ + + ⇒ = =

+ +

= =

277

Esercizio 8

Una partita di merce viene pagata in 8 rate mensili di cui:

- le prime due pari al 20% del prezzo per contanti, fissato in 1.000.000 euro, corrisposte in via anticipata immediata;

- le rimanenti costanti e versate regolarmente a partire dal termine del terzo mese.

Calcolare le rate in questione se l’operazione viene effettuata al tasso del 15% annuo.

278

Lo schema dei flussi per l’operazione in oggetto è:

Il tasso mensile è:

279

1/121/12 (1,15) 1 0,011715i = − =

L’importo della rata si ottiene risolvendo l’equazione:

280

22 0,011715 6 0,011715

2

2 0,011715

6

6 0,011715

1.000.000 200.000 (1,011715)

1 (1 0,011715)(1 0,011715) 1,98840,011715

1 (1 0,011715) 5,76150,011715

107.006

a R a

a

a

R

−

−

−

= ⋅ + ⋅ ⋅

− += + ⋅ =

− += =

⇒ =

Esercizio 9

Un individuo di 40 anni d’età sottoscrive un contratto che gli assicura una rendita perpetua posticipata annua a partire dall’età di 65 anni. Ipotizzando che la rata della rendita sia di £ 2.000.000 e che il tasso di riferimento sia del 4% calcolare quale sarà l’importo complessivo che l’individuo dovrà versare oggi a fronte della prestazione indicata. L’operatore dispone, inoltre, di una seconda alternativa: versare 10 rate annue posticipate invece dell’importo unico calcolato al punto precedente; calcolare l’importo delle rate in questione.

281

Il valore attuale della rendita perpetua posticipata annua è:

Il valore attuale di tale somma all’epoca 0 sarà:

L’importo delle rate della seconda alternativa d’investimento si ottiene eguagliando il v.a. di 10 rate costanti posticipate:

282

2.000.000 50.000.0000,04

RAi

= = =

25(1 ) 50.000.000 (1 0,04) 18.755.840nA C i − −= ⋅ + = ⋅ + =

10

10 0,04

1 (1 0,04)18.755.8400,04

8,11092.312.425

R a R

RR

−− += ⋅ = ⋅ =

= ⋅⇒ =

283

Esercizio 10

Un operazione finanziaria prevede flussi bimestrali che variano in progressione aritmetica di primo termine 250.000 ed ultimo di £ 400.000 e durata un anno. Calcolare il montante di tale operazione finanziaria al tasso del 12%. Ricalcolare il valore in questione nel caso in cui la progressione delle rate fosse di tipo geometrico.

284

Ricaviamo le rate. Determiniamo la ragione della progressione:

La successione delle rate sarà: 250.000; 280.000; 310.000; 340.000; 370.000; 400.000.

Calcoliamo il montante capitalizzando ciascuna rata utilizzando il tasso bimestrale:

285

1 6250.000; 400.000R R= =

1400.000 250.000( 1) 30.000

5nR R n D D −= + − ⋅ ⇒ = =

1/ 61/ 6

5 4 3

2

(1,12) 1 0,01906

25 (1,01906) 28 (1,01906) 31 (1,01906)10.000

34 (1,01906) 37 (1,01906) 40 203,49182.034.918

iM

M

= − =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + =⇒ =

286

Se le rate variano in progressione geometrica si ha:

Il montante si trova sempre capitalizzando ciascuna rata utilizzando il tasso bimestrale:

287

1/55

6 1400.000 1,09856250.000

R R q q = ⋅ ⇒ = =

5 4

2 3 3 2

4 5

25 (1,01906) 25 (1,01906)10.00025 (1,01906) 25 (1,01906)

25 (1,01906) 25 200,54782.005.478

M q

q qq q

= ⋅ + ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ =⇒

288

Esercizio 11

Una rendita è costituita dai seguenti flussi: 100 disponibili tra 1 anno e 2 mesi; 150 disponibili tra 2 anni e 4 mesi. Calcolare valore attuale e montante della rendita al 10 % nonché la rata costante che, sostituita alle rate variabili, fornirebbe gli stessi risultati.

289

(1 2 /12) (2 4 /12)

(2 4 /12)

(1 2 /12) (2 4 /12)

100 (1 0,10) 150 (1 0,10)209,567

209,567 (1 0,10) 261,762209,567 (1 0,10) (1 0,10)1,6954 123,612

P

MR R

R R

− + − +

+

− + − +

= ⋅ + + ⋅ + ==

= ⋅ + =

= ⋅ + + ⋅ + =⋅ → =

290

Esercizio 12

Sia data una rendita perpetua, a rata costante anticipata R = 15 euro pagabile all’inizio di ogni anno. Determinare l’intensità istantanea semestrale della legge esponenziale che rende equa l’operazione di acquisto della rendita al prezzo P = 120 euro e calcolare il valore attuale della rendita in base a tale legge esponenziale. Determinare inoltre la variazione che deve subire il prezzo della rendita affinché l’operazione di acquisto abbia un tasso interno di rendimento semestrale del 20%.

291

δ

P∆

Per tali rendite si ha:

Si deduce

292

1 11

11 0,142857

iP R Ri i

P RiR i P R

+ = ⋅ = ⋅ +

⇒ − = ⇒ = =−

( )1/2

*1/2

1 1 0,069045

log 1 0,066766

i i

iδ

= + − =

⇒ = + =

Dall’equazione di equilibrio

dove si ricava:

293

11P P Ri

+ ∆ = ⋅ +

( )21/21 1 0,44i i= + − =

11 70,9091P R Pi

∆ = ⋅ + − = −

Esercizio 13

Sia dato il flusso di importi monetari , esigibile secondo lo scadenzario , ove

e anni. Calcolare il tasso interno di rendimento i*

dell’operazione finanziaria x/t. Supponendo di volere posticipare la data di esigibilità dell’ultima posta di anni, si determini in modo che l’operazione finanziaria abbia un tasso interno di rendimento del 7%.

294

{ }0 1 2; ;x x x x={ }0 1 2; ;t t t t=

{ }90;5;100x = − { }0;1;2,5t =

2t∆2t∆

{ }0 1 2 2/ ; ;x t t t t+ ∆

L’equazione di equilibrio è

Per interpolazione: Dato il nuovo TIR, l’equazione di equilibrio è:

295

0 1 20 1 2

0 1 2,5

(1 ) (1 ) (1 ) 0

90 (1 ) 5 (1 ) 100 (1 ) 0

t t tx TIR x TIR x TIR

TIR TIR TIR

− − −

− − −

⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =

− ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =

0,0656TIR =

0 1 2 2

0 12 2

( )0 1 2

( ) 0 1

2

(1 ) (1 ) (1 ) 0

(1 ) (1 )(1 )

t t t t

t tt t

x TIR x TIR x TIR

x TIR x TIRTIRx

− − − +∆

− −− +∆

⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =

⋅ + + ⋅ +⇒ + = −

Si deduce:

296

0 1

0 1

2 2

0 1

2

0 1

22 2

2

( ) log(1 )

(1 ) (1 )log

(1 ) (1 )log

log(1 )0,154726

t t

t t

t t TIR

x TIR x TIRx

x TIR x TIRx

t tTIR

t

− −

− −

− + ∆ ⋅ + =

⋅ + + ⋅ += −

⋅ + + ⋅ +

− ⇒ ∆ = − −

+⇒ ∆ = −

Esercizio 14

Si consideri una rendita trentennale, a rata costante posticipata di R = 50 euro pagabile annualmente. Determinare il prezzo P, in modo che l’operazione finanziaria di acquisto della rendita a tale prezzo risulti equa secondo la legge esponenziale di intensità istantanea ; si calcoli inoltre il tasso interno di rendimento i* di tale operazione finanziaria. Determinare infine la variazione che subisce il TIR nell’ipotesi che, a parità di rata e prezzo, le rendita divenga perpetua.

297

10,075 anniδ −=

*i∆

Il TIR dell’operazione è:

Il prezzo è dato quindi da

Nel caso di una rendita perpetua, si ha:

Infine la variazione del tasso è:

298

1 7,788%TIR i eδ= = − =

50 11,4863 574,315n TIR

P R a= ⋅ = ⋅ =

** 0,08706R RP i

i P= ⇒ = =

* 0,918%i i i∆ = − = −

Esercizio 15

Una rendita è costituita dai seguenti flussi: 100 disponibili tra 1 anno e 2 mesi; 150 disponibili tra 2 anni e 4 mesi. Calcolare valore attuale e montante della rendita al 10 % nonché la rata costante che, sostituita alle rate variabili, fornirebbe gli stessi risultati.

299

(1 2 /12) (2 4 /12)

(2 4 /12)

(1 2 /12) (2 4 /12)

100 (1 0,10) 150 (1 0,10)209,567

209,567 (1 0,10) 261,762209,567 (1 0,10) (1 0,10)1,6954 123,612

P

MR R

R R

− + − +

+

− + − +

= ⋅ + + ⋅ + ==

= ⋅ + =

= ⋅ + + ⋅ + =⋅ → =

300

Esercizio 16

Un individuo possiede un appartamento che affitta percependo al termine di ogni mese 550 Euro. Tale somma viene in parte consumata e per il 40% versata in un c/c bancario che rende il 4,5% annuo.

Calcolare il montante che tale individuo accumula dopo 2 anni.

Calcolare quale sarebbe il montante dopo 2 anni se alla fine del primo anno l’affitto aumentasse del 10% e contemporaneamente la banca diminuisse il rendimento annuo del c/c di mezzo punto percentuale.

301

L’importo versato ogni mese sul c/c è pari a mentre il tasso mensile equivalente al 4,5% annuo è Il montante dopo 2 anni vale perciò:

Nella seconda ipotesi, il tasso dopo un anno diventa j=4%; il tasso mensile equivalente sarà:

Il montante dopo due anni si può scrivere come la somma di due termini:

550 0,4 220⋅ =

1/121/12 1,045 1 0,003675.i = − =

1/1224(2) 220 5.509,27

iM s= ⋅ =

1/121/12 1,04 1 0,003274j = − =

1/12 1/12

1/12 1/12

12 12

12 12

'(2) 220 (1 ) (220 1,1)

220 1,04 242 5.758,64i j

i j

M s j s

s s

= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ =302

Il primo termine rappresenta il montante all’epoca uno capitalizzato fino all’epoca due col nuovo tasso; il secondo termine rappresenta il montante delle ultime 12 rate (rivalutate) calcolato col nuovo tasso.

303

Esercizio 17

Una polizza assicurativa prevede entrate che formano una rendita frazionata (in semestri) ventennale, differita di 15 anni la cui rata annua costante espressa in moneta corrente è 1.200 Euro. Sapendo che l’inflazione è il 2% calcolare il prezzo (tecnicamente premio) della polizza nell’ipotesi di un tasso di interesse i pari al 5%.

304

La polizza prevede delle rate semestrali costanti pari a 600 Euro (in moneta corrente). Siccome la rendita è differita di 15 anni, la rata costante dovrà essere rivalutata per il tasso d’inflazione, ossia:

Abbiamo perciò 40 rate semestrali. Il tasso semestrale equivalente è

Il premio della polizza si ottiene come valore attuale di una rendita frazionata differita:

15600 (1 0,02) 807,52R = ⋅ + =

1/2 1,05 1 0,0246951.i = − =

( ) 401/215

1/2

1 1(1 ) 9.800,97

iP i R

i

−− − +

= + ⋅ ⋅ =

305

Esercizio 18

Un'azienda ha in corso i seguenti finanziamenti. A) Deve restituire 1 milione di Euro versando 10

rate annue di importo pari a 129.504,6. B) Deve restituire 0,75 milioni di Euro versando 7

rate annue di importo pari a 134.351,3. Una finanziaria gli offre la possibilità di

ristrutturare i debiti sostituendoli con il versamento di 15 rate annue costanti che comportano in termini di tasso un aggravio dell'1%.

Calcolare la rata in questione.

306

Lo scadenzario del finanziamento A è:

Lo scadenzario del finanziamento B è:

Lo scadenzario del debito complessivo è:

(1.000.000; 129.504,6; 129.504,6; 129.504,6; 129.504,6; 129.504,6;129.504,6; 129.504,6; 129.504,6; 129.504,6; 129.504,6) /

(0;1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9;10)

− − − − −− − − − −

(750.000; 134.351,3; 134.351,3; 134.351,3; 134.351,3; 134.351,3;134.351,3; 134.351,3; 0; 0; 0) / (0;1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9;10)

− − − − −− −

(1.750.000; 263.855,9; 263.855,9; 263.855,9; 263.855,9; 263.855,9;263.855,9; 263.855,9; 129.504,6; 129.504,6; 129.504,6) /

(0;1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9;10)

− − − − −− − − − −

307

Il tasso di costo (indicato con i) si ottiene risolvendo la seguente equazione di equilibrio finanziario:

Utilizzando il metodo dell’interpolazione lineare, abbiamo .

Il versamento di 15 rate costanti equivalenti (di importo R) dovrà perciò soddisfare la relazione:

77 3

1.750.000 263.855,9 129.504,6 (1 )i i

a i a−= ⋅ + ⋅ + ⋅

5,36%i

15 0,0636

15 0,0636

1.750.000

1.750.000 1.750.000 184.464,699,4869

R a

Ra

= ⋅

⇒ = = =

308

Esercizio 19

Un lavoratore vuole costituirsi una rendita aggiuntiva per la sua durata di vita post pensionamento (stimata in 20 anni) con rata annua pari a 3.600 euro.

Sapendo che oggi ha 35 anni, guadagna 25.000 euro l’anno e che andrà in pensione a 65 anni calcolare quale percentuale di stipendio deve versare al fondo pensione se lo stesso accumula i capitali al rendimento annuo del 4,5%.

309

Dobbiamo imporre che il montante della rendita costituita dai contributi calcolato all’epoca 30 (ossia quando l’individuo compie 65 anni) coincida con il valore attuale (calcolato sempre alla stessa epoca) della rendita data dalla pensione.

Se indichiamo con X il valore incognito del contributo, avremo l’equazione di equilibrio:

Da qui possiamo ricavare X e di conseguenza la frazione richiesta:

20 0 ,045

30 0 ,045 20 0 ,045

30 0 ,045

3.6003.600 767,59

aX s a X

s⋅

⋅ = ⋅ ⇒ = =

3,07%25.000

X=

310

Esercizio 20

Un individuo possiede un immobile che rende ogni mese 450 Euro e gli costa, mediamente, 450 euro (posticipate annue) ogni anno per spese di manutenzione; sia i canoni che le spese si rivalutano annualmente per inflazione.

L’individuo vorrebbe vendere l’immobile e chiede ad un esperto di calcolarne il valore nell’ipotesi che egli possa percepire i canoni di affitto per altri 40 anni.

L’esperto calcola il valore ipotizzando un’inflazione del 2% annuo ed un tasso di attualizzazione del 5,5%.

Quale valore comunica l’esperto all’individuo?

311

Posto i=2%, il tasso mensile equivalente è

Il reddito netto dopo un anno è

Tenendo conto dell’inflazione, il reddito netto all’anno generico n (con ) è dato da:

il cui valore attuale al tasso j=5,5% è

( )1/121/12 1 1 0,00165i i= + − =

1/1212(1) 450 450 4.999,32

iV s= ⋅ − =

1 40n≤ ≤1( ) (1) (1 )nV n V i −= ⋅ +

1( ) ( ) (1 ) (1) (1 ) (1 )

(1) (1) 1(1 ) (1 )1 1 1

n n na

nn n

V n V n j V i j

V V ii ji i j

− − −

−

= ⋅ + = ⋅ + ⋅ + =

+= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + +

312

Il valore finale è dato da:

Ricordiamo la formula per la somma di una serie geometrica di ragione R:

Nel nostro caso, posto , avremo

40 40

1 1

(1) 1( )1 1

n

an n

V iV V ni j= =

+= = ⋅ + +

∑ ∑

1

1

m nnk

k m

R RRR

+

=

−=

−∑11

iRj

+=

+

41(1) 105.790,921 1V R RV

i R−

= ⋅ =+ −

313

MODULO 3

GLI AMMORTAMENTI

314

Argomenti Obiettivi. Introduzione. Il piano d’ammortamento. L’ammortamento francese. L’ammortamento italiano (uniforme). L’ammortamento tedesco. Piani con preammortamento. L’ammortamento a rimborso unico. Piani d’ammortamento a periodicità frazionata. La valutazione dei prestiti. Appendice: Le operazioni di rendita nell’aspetto

dinamico.

315

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono: saper utilizzare lo strumento del piano

d’ammortamento per descrivere in maniera chiara ed esplicita il processo di rimborso di un prestito;

quantificare nelle varie tipologie d’ammortamento rata, debito residuo, quota capitale e quota interesse;

riuscire a valutare un prestito a una determinata epoca, distinguendo tra usufrutto e nuda proprietà.

316

Introduzione

Il problema generale dell’ammortamento di un prestito riguarda le modalità di rimborso del prestito. Se un operatore A presta ad un operatore B, una somma S che costituisce l’ammontare del prestito, B si impegna a restituirlo entro n anni secondo tempi di rimborso stabiliti. Si stabilisce, inoltre, che l’operatore B s’impegni a pagare l’interesse sulla somma ancora dovuta, ad un tasso di remunerazione i. A può scegliere di restituire il prestito in un’unica soluzione, o versando delle rate periodiche e così via. In questo modulo vedremo le possibili modalità di rimborso, studieremo quindi i diversi piani d’ammortamento.

317

Il piano d’ammortamento

318

Il piano d’ammortamento è uno schema in cui vengono elaborati importi da pagare in n anni, per

estinguere un debito.


Ad esempio se accendiamo un mutuo, dobbiamo azzerare gradualmente il debito. Forniamo la simbologia che sarà utilizzata. S C1, C2,… Ch,…, Cn Ih

319

Importo prestato

Quote capitale ovvero le frazioni del capitale prestato che m’impegno a restituire.

i Tasso di remunerazione del prestito Quote interesse, che misurano il costo del prestito anno per anno

Il piano d’ammortamento Abbiamo visto che Ih rappresenta il costo del prestito anno per anno. Infatti non pago solo la quota capitale, ma anche la quota interessi perciò all’epoca h pagherò una rata Rh pari a

La quota d’interesse è proporzionale a due elementi: 1. il tasso d’interesse; 2. il capitale avuto a disposizione nell’anno, al termine del

quale viene pagata la quota interesse.

320

h h hR C I= + Rata dell’ammortamento: ciò che pago nel generico anno.


321

1

2 1

3 1 2

( )( )( )

= ⋅= ⋅ −= ⋅ − −

I i SI i S CI i S C C

Costo per il primo anno

Costo per il secondo anno

Così via via per tutti gli anni

Debito residuo all’epoca h hD

Quello che non ho ancora restituito del capitale prestato


Come si calcola il debito residuo?

322

1 2h h h nD C C C+ += + + +

1 2h hD S C C C= − − − −

Visione prospettiva:

Visione retrospettiva

Guardo al futuro: sommo le quote che non ho ancora restituito

Guardo al passato: sottraggo dal prestito iniziale le quote già pagate

1−= ⋅h hI D i Quota interesse.

Debito residuo all’epoca precedente


Le grandezze appena introdotte si rappresentano mediante delle tabelle; le colonne della tabella riportano i valori dell’anno, dell’ammontare della rata, delle quote capitale ed interesse e del debito residuo: Si inizia a compilare l’ultima colonna della prima riga col debito iniziale, si prosegue andando a capo e riportando in ogni riga (cioè per ogni h) gli elementi della rata e del debito residuo.

323

h Rh Ch Ih Dh

L’ammortamento francese

Si finisce con l’ultima riga in cui l’ultima colonna deve essere zero, per l’ipotesi di chiusura sull’estinzione del debito al pagamento dell’ultima rata. Tale metodo risulta molto utile sia a livello operativo che per analizzare la dinamica dell’operazione finanziaria in maniera chiara ed esplicita. Ora seguono alcuni esempi particolarmente diffusi e significativi.

1° caso: ammortamento francese (o a rate costanti posticipate)

I dati a nostra disposizione sono: 1- il debito totale da rimborsare S; 2- il numero delle rate n; 3- il tasso di valutazione i. Caratterizzato da una rata costante che è data da I dati sono: S=100 euro, n=4, i=3%.

324

n i

SRa

=


I passi da effettuare sono: nella prima riga scrivere 100 nell’ultima colonna e zero nelle altre

colonne; scrivere le 4 rate costanti nella seconda colonna; calcolare l’interesse contenuto nella prima rata con la relazione

Ih=i⋅Dh-1 cioè I1= 0,03⋅100=3.0000 e scriverlo alla seconda riga quarta colonna;

sottrarre l’interesse I1 così calcolato dalla rata R per ottenere la quota capitale C1 da scrivere alla seconda riga terza colonna;

sottrarre dal debito precedente D0 la quota capitale appena trovata e scrivere il risultato alla seconda riga quinta colonna (D1).

325

k Rk 0 1 2 3 4

0 26,9027 26,9027 26,9027 26,9027

0 23,9027 24,6198 25,3584 26,1191

0 3,0000 2,2829 1,5443 0,7836

100,0000 76,0973 51,4775 26,1191 0,0000

h Rh Ch Ih Dh


Il calcolo della terza riga è identico a quello della seconda adeguando gli importi. L’ultima riga finisce con l’importo residuo pari a zero, per la condizione di chiusura. Leggendo le colonne si osserva che: l’ultima colonna descrive l’ammortamento del prestito come

debito residuo; la penultima colonna descrive l’andamento decrescente degli

interessi, proprio perché calcolati sul debito residuo che decresce; la terzultima colonna descrive l’andamento crescente delle quote

capitale, le quali abbattono il debito residuo per il periodo successivo; in questo tipo d’ammortamento esse sono in progressione geometrica di ragione (1+i). 326


Infatti, per ogni h: e si può dimostrare che, per ogni h: Quindi per calcolare le quote capitale si può sfruttare questa proprietà.

327

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1

11 1h h h h h h h

h h h

C D D D i D R D i D R

i D D C i+ + − −

−

= − = + ⋅ − − + ⋅ − =

= + ⋅ − = ⋅ +

( )

1 1

1 1

11

n nn h n h

h h n ih h

n hh h

C R v C R v R a S

I R C R v

− + − +

= =

− +

= ⋅ → = ⋅ = ⋅ =

= − = ⋅ −

∑ ∑

L’ammortamento italiano (uniforme) 2° caso: ammortamento a quote capitale costanti (uniforme o italiano) E’ un caso semplice, vale la regola Ch=S/n ; procedendo con i dati dell’esempio precedente otteniamo il seguente piano d’ammortamento: In questo caso calcoliamo prima le quote capitali, quindi il debito residuo per ciascuna epoca in modo da poter riempire la colonna delle quote interessi. Infine si calcolano le rate come somma della quota capitale e la quota interesse:

R1 = C1+I1 ,…, Rh = Ch+Ih 328

k Rk 0 1 2 3 4

0 28,0000 27,2500 26,5000 25,7500

0 25,0000 25,0000 25,0000 25,0000

0,0000 3,0000 2,2500 1,5000 0,7500

100,0000 75,0000 50,0000 25,0000 0,0000

h Rh Ch Ih Dh

L’ammortamento tedesco

3° caso: ammortamento tedesco (o a interessi anticipati) L’ammortamento tedesco non è un tipo di piano a se stante, può essere applicato a tutti i tipi di piano. Si tratta di un ammortamento che paga gli interessi anticipati, ossia gli interessi sono pagati all’inizio dell’anno (periodo). La prima quota interessi sarà pagata all’epoca 0, mentre la prima quota capitale all’epoca 1. Vediamo un esempio di ammortamento francese con ammortamento tedesco; utilizziamo gli stessi dati numerici dell’esempio precedente. Il calcolo della rata porta a:

329

1

4 0,03

100 1,03 97,0874 26,11913,7171

n i

v SRa a

−⋅ ⋅= = = =


I passi da effettuare sono: in prima riga scrivere 100 nell’ultima colonna; 2,9126

nella penultima colonna quale interesse anticipato contenuto nella prima rata, e zero nelle altre colonne;

scrivere le 4 rate costanti nella seconda colonna; calcolare il debito residuo in 1 : D1= (D0 – R).(1+i) =73,8809⋅1,03= 76,0973 e

scriverlo alla seconda riga quinta colonna; calcolare l’interesse I2 della seconda rata applicando il

tasso anticipato d=2,9126% a D2 e scrivere il risultato alla seconda riga quarta colonna;

sottrarre I2 dalla rata per ottenere C2=23,9027 da scrivere alla seconda riga terza colonna.

330


Il calcolo della terza riga è identico a quello della seconda, adeguando gli importi. L’ultima riga finisce con l’importo residuo pari a zero, per la condizione di chiusura, e gli interessi contenuti nell’ultima rata sono pari a zero, dal momento che il debito viene estinto con interessi anticipati.

331

k Rk 0 1 2 3 4

2,9126 26,1191 26,1191 26,1191 26,1191

0 23,9027 24,6198 25,3584 26,1191

2,9126 2,2164 1,4993 0,7607 0,0000

100,0000 76,0973 51,4775 26,1191 0,0000

h Rh Ch Ih Dh


Analizzando brevemente le colonne, osserviamo che l’andamento delle quote è uguale al caso posticipato; ovviamente la rata è inferiore in quanto i pagamenti sono tutti anticipati di un anno, e conseguentemente le quote interessi sono più basse rispetto al caso posticipato. Inoltre la prima rata è diversa dalle altre dato che all’epoca 0 viene pagata solo la quota interesse ma non la quota capitale.

332

Piani con preammortamento

4° caso: piani con preammortamento Le parti, contrattualmente, possono stabilire un periodo di preammortamento, nel quale vengono corrisposti solo gli interessi a titolo di differimento dell’ammortamento vero e proprio, nel quale normalmente le rate pagano sia interessi che debito. Le rate di preammortamento sono costituite solo dalla quota interessi Ih=i.S. Ad esempio, se poniamo un preammortamento di 3 anni nel caso precedente: a seguire fino al tempo h=7.

333

k Rk 0 1 2 3 4

0 3,0000 3,0000 3,0000

28,0000

0 0,0000 0,0000 0,0000

25,0000

0,0000 3,0000 3,0000 3,0000 3,0000

100,0000 100,0000 100,0000 100,0000 75,0000

h Rh Ch Ih Dh

L’ammortamento a rimborso unico 5° caso: ammortamento a rimborso unico In questo caso il debito iniziale S viene restituito alla fine del prestito, e le rate, posticipate, sono costituite dalla sola quota interessi. Possiamo ricondurre tale caso al precedente, assumendo le rate Rh=i⋅S, h=1,…,n-1 quali rate di preammortamento, e l’ultima rata Rn= S+i.S quale ammortamento mediante unica rata. Ad esempio, con S=100, i=2,5% e n=4:

334

h Rk 0 1 2 3 4

0 2,5000 2,5000 2,5000

102,5000

0 0,0000 0,0000 0,0000

100,0000

0,0000 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000

100,0000 100,0000 100,0000 100,0000

0,0000

h Rh Ch Ih Dh

Piani d’ammortamento a periodicità frazionata 6° caso: piani di ammortamento con periodicità frazionata In questo caso il tempo è espresso solitamente in sottomultipli di anno, per cui basta calcolare il tasso equivalente al tasso annuo assegnato. Ad esempio scriviamo il piano di ammortamento francese di un prestito di S=200 euro rimborsabile in tre anni con rate posticipate semestrali valutate al tasso annuo i=4%.

335

k Rk 0 1 2 3 4

0 35,6811 35,6811 35,6811 35,6811

0 31,7211 32,3491 32,9897 33,6429

0 3,9600 3,3319 2,6914 2,0382

200,0000 168,2789 135,9298 102,9401 69,2973

h Rh Ch Ih Dh

5 6

35,6811 34,3090 1,3721 34,9883 35,6811 34,9883 0,6928 0,0000

1/2 6 0,01981,04 1 1,98%; 200 / 35,6811i R a= − = = =

La valutazione dei prestiti L’ammontare nominale dei debiti rappresenta una misura approssimativa del reale peso di un contratto di prestito. Questo infatti dipende sostanzialmente dal tasso di remunerazione e dal piano d’ammortamento previsto. È necessario perciò, “valutare” un prestito tenendo conto di tutte le sue caratteristiche. Chiamiamo valore del prestito al tempo t e al tasso di valutazione j, la somma dei valori attuali in t di tutte le rate previste dal piano d’ammortamento non ancora effettuate. I valori attuali vanno calcolati al tasso j fissato da chi valuta il prestito. Il valore complessivo del prestito sarà: Tenendo conto che le rate sono costituite dalla somma della quota interesse e quota capitale possiamo riscrivere:

336

( ) ( )

1(1 )

h

nj t h

tt h

A R j − −

= +

= ⋅ +∑

La valutazione dei prestiti

La somma dei valori attuali delle quote capitale residue in un certo istante h e al tasso j, prende il nome di nuda proprietà, mentre la somma dei valori attuali delle quote interesse residue si chiama usufrutto. Nuda proprietà: Usufrutto: Valore complessivo del prestito

337

( ) ( ) ( )

1 1(1 ) (1 )

n nj t h t h

h t tt h t h

A C j I j− − − −

= + = +

= ⋅ + + ⋅ +∑ ∑

( ) ( )

1(1 )

nj t h

h tt h

P C j − −

= +

= ⋅ +∑( ) ( )

1(1 )

nj t h

h tt h

U I j − −

= +

= ⋅ +∑

( ) ( ) ( )j j jh h hA P U= +


Esempio: dato il seguente piano d’ammortamento calcolare il valore complessivo del prestito, l’usufrutto e la nuda proprietà al tasso di valutazione del 9% all’epoca 2. h=2; j=0,09; n=5

338

h Ch Ih Rh Dh 0 1 2 3 4 5

- 50.000 100.000 200.000 400.000 800.000

- 116.250 112.500 105.000 90.000 60.000

- 166.250 212.500 305.000 490.000 860.000

1.550.000 1.500.000 1.400.000 1.200.000 800.000

-


Valore complessivo del prestito: Nuda proprietà: Usufrutto: Sommando usufrutto e nuda proprietà otteniamo lo stesso valore complessivo del prestito

339

5(0,09) ( ) 1 2 32

2 1(0,09)2

(1 ) 305.000 (1,09) 490.000 (1,09) 860.000 (1,09)

1.356.317,503

t ht

tA R j

A

− − − − −

= +

= ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

3 542 2 3 1.137.905,020

1,09 1,09 1,09C CCP = + + =

3 542 2 3 218.412,483

(1 0,09) (1 0,09) (1 0,09)I IIU = + + =

+ + +

(0,09) (0,09) (0,09)2 2 2 1.137.905,020 218.412,483 1.356.317,503A P U= + = + =

La valutazione dei prestiti Esempio. Consideriamo ora un ammortamento a rimborso unico il cui debito iniziale è pari a 1.000.000 di euro, le rate sono annuali al tasso del 9,25% e la durata è 20. Si calcoli l’usufrutto e la nuda proprietà del prestito al tasso di valutazione del 12% all’epoca 6. Essendo un piano d’ammortamento a rimborso unico, le quote capitale sono tutte nulle tranne l’ultima C20 =1.000.000. Calcoliamo la nuda proprietà attualizzando all’epoca 6 l’unica quota capitale al tasso j=12%: Il debito residuo è sempre costante fino all’epoca 20 (in cui si estingue), conseguentemente le quote interesse saranno sempre costanti e pari a

I = 1.000.000⋅0,0925=92.500. (il che equivale ad una rendita a rata costante).

340

(0,12) (20 6)6 1.000.000 1,12 204.619,81P − −= ⋅ =


L’usufrutto sarà calcolato attualizzando all’epoca 6 tutte le successive quote interesse:

341

(0,12 )6 14 0,1292.500 613.105,56n h jU I a a

−= ⋅ = ⋅ =

Appendice: le operazioni di rendita nell’aspetto dinamico

Consideriamo un’operazione finanziaria costituita da un importo S nell’istante t0 e da n importi Rh (h=1,2,…,n) pagabili rispettivamente agli istanti th con segno opposto a quello di S. Possiamo schematizzare così l’operazione dal punto di vista del soggetto che investe la somma S:

342

t0

t1 t2 t3 … tn-1 tn

Rn Rn-1 R1 R2 R3

S


Sostanzialmente si tratta di un’operazione di scambio, di investimento o di indebitamento per la controparte, in cui inizialmente si investe la somma S in t0=0, per riscuotere la rendita delle rate Rh:

x/t={-S, R1, R2, R3, …,Rn-1, Rn}/{0,t1,…,tn} E’ interessante analizzare l’andamento delle quantità montante (Mh) e valore residuo (Vh), assegnata una legge di valutazione esponenziale al tasso annuo i: il montante in th dell’operazione è la somma dei montanti

di ciascuna rata pagata fino a quell’istante: il valore residuo in th dell’operazione è la somma dei valori attuali di ciascuna rata successiva a quell’istante:

( ) ( )

11 0,1, ,

nt h

h tt h

V R i h n− −

= +

= − ⋅ + =∑

343

( ) ( )1

1 1 0,1, ,h

h h th t

tM S i R i h n−

=

= ⋅ + − ⋅ + =∑


Il valore dell’operazione, nell’istante h, è dato dalla somma: A(h,x)=Mh+Vh h=0,…,n

Se poniamo come ipotesi che l’importo iniziale S sia proprio pari al valore attuale, secondo la legge di valutazione esponenziale, delle rate Rh in t=0 (detta “condizione di chiusura”), si può dimostrare che Mh+Vh=0 per h=0,…,n, cioè che l’operazione è equa secondo il tasso i. Si è quindi ottenuto il risultato seguente: secondo la legge di valutazione esponenziale al tasso i.

( )1

1n

hh

hS R i −

=

= ⋅ +∑

344

Contrarre il debito S in t=0

pagare n rate Rh, h=1,…,n equivale a


In qualunque istante h, Mh è un numero positivo che esprime il debito residuo, decrescente fino al valore nullo per t=n, perciò in seguito verrà indicato con Dh. Il valore Vh= - Dh è sempre negativo, ed è ovviamente nullo in t=n. Per studiare l’andamento di tali grandezze al variare di t, è opportuno scrivere la seguente relazione:

Dh = Dh-1.(1+i) – Rh h=1,2,…,n

la quale esprime che il debito in h è pari al debito in h-1 capitalizzato di un periodo tramite il fattore (1+i), meno la rata in h (col segno meno in quanto essa viene pagata).

345

Debito in h

Debito in h-1

capitalizzato per un periodo

meno la rata pagata in h =


Analizziamo ora l’evoluzione di Dh in cinque casi piuttosto ricorrenti. 1° caso: rendita posticipata a rata costante. D0=S =-V0=R⋅an¬i D1=D0+i⋅D0-R =-V1=R⋅an-1¬i D2=D1+i⋅D1-R =-V2=R⋅an-2¬i … Dh=Dh-1+i⋅Dh-1-R =-Vh=R⋅an-h¬i … Dn=Dn-1+i⋅Dn-1-R =-Vn=R⋅a0¬i=0 La prima colonna descrive l’evoluzione del montante, a partire dal momento iniziale in cui esso coincide col debito totale, a seguire fino all’istante generico in cui il montante in h (debito residuo in h) è il debito precedente Dh-1 più l’interesse i⋅Dh-1 calcolato sul debito precedente, meno la rata pagata in h.

346


La seconda colonna esprime il debito residuo non più partendo dal debito precedente (metodo retrospettivo) ma in funzione delle rate non ancora scadute (metodo prospettivo) attualizzate. Per aver supposto la condizione di equità l’ultima riga è Dn= - Vn=0. Osserviamo che Vh= - R.an-h¬i esprime che nell’istante generico il debito residuo è sempre pari alla somma dei valori in h delle n-h rate ancora non scadute. R=(Dh-1-Dh) + i⋅Dh-1 Quest’ultima ci suggerisce di dividere la rata in due quote:

347

n iS R a

0 th …

Ch

Ih R=Ch+Ih


denominate rispettivamente quota capitale e quota interessi: Ch=Dh-1-Dh (quota capitale)

Ih= i.Dh-1 (quota interessi) Siamo giunti ad un importante risultato: in un’operazione di ammortamento di un debito mediante rate costanti, ogni rata si scinde in due componenti: la quota capitale, che serve a ridurre e poi estinguere il debito, e la quota interessi, quale prezzo da pagare per aver fruito del prolungamento dell’operazione di indebitamento. La condizione di equità, abbiamo già visto, fa sì che alla fine del processo il debito sia nullo. Ciò si ritrova sommando tutte le quote capitale:

( )1 01 1

1 D 0

n n

h h h n nh hn

h nh

C D D D D S D

C S

−= =

=

= − = − = −

= ⇔ =

∑ ∑

∑348


Osservazione: le quote capitale in una rendita posticipata a rata costante sono in progressione geometrica di ragione (1+i). Infatti, per ogni h: e si può dimostrare che, per ogni h: Il debito residuo all’epoca h lo troviamo anche attualizzando le rate residue all’epoca h:

( )1

11

n hh

n hh h

C R v

I R C R v

− +

− +

= ⋅

= − = ⋅ −

349

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1

11 1h h h h h h h

h h h

C D D D i D R D i D R

i D D C i+ + − −

−

= − = + ⋅ − − + ⋅ − =

= + ⋅ − = ⋅ +

h n h iD R a−

= ⋅


2° caso: rendita anticipata a rata costante. In tal caso valgono le stesse considerazioni fatte nel caso precedente, salvo opportune modifiche alle formule, considerando, nel calcolo dei montanti Dh, che le rate siano pagate un istante infinitesimo successivo a h: D0=S =-V0=R.än¬i D1=(D0 - R).(1+i) =-V1=R.än-1¬i Dh=(Dh-1 – R).(1+i) =-Vh=R.än-h¬i … Dn=(Dn-1-R).(1+i) =-Vn=R.ä0¬i=0

350


All’istante h il montante Dh si costruisce capitalizzando con il fattore (1+i) il montante precedente Dh-1 decurtato della rata pagata in h-1. Scriviamo: v.Dh=Dh-1-R e, esplicitando la rata e ricordando che v=1-d:

R=(Dh-1-Dh) + dDh= Ch+Ih

Quindi anche in questo caso la rata si può pensare composta da due elementi: la quota capitale Ch ancora come differenza dei montanti, e la quota interessi Ih stavolta come tasso anticipato d applicato al montante in h.

351


Osservazione: le quote capitale in una rendita anticipata a rata costante sono in progressione geometrica di ragione (1+i). Infatti, per ogni h: e si può dimostrare che, per ogni h:

( )1

n hh

n hh h

C R v

I R C R v

−

−

= ⋅

= − = ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 2

1 2

1 1

1 1h h h h h

h h h

C D D D R i D R i

i D D C i+ − − −

− −

= − = − ⋅ + − − ⋅ + =

= + ⋅ − = ⋅ +

352


3° caso: rendita posticipata a rate variabili. Lo schema è simile al primo caso, con la differenza che i valori Vh non sono pari al valore attuale di una rendita a rate costanti: D0=S =-V0 D1=D0+i.D0-R1 =-V1 D2=D1+i.D1-R2 =-V2 … Dh=Dh-1+i.Dh-1-Rh =-Vh … Dn=Dn-1+i.Dn-1-Rn =-Vn=0

353


Ponendo per ipotesi che il pagamento della rata finale estingue il debito, si ha: Si può dimostrare che, siccome la quota interessi è calcolata moltiplicando per i il debito in h-1, la variazione di rata Rh-Rh-1 incide solo sulla quota capitale.

( ) ( )

11 0,1, ,

nt h

h ht h

V R i h n− −

= +

= − ⋅ + =∑

354


4° caso: rendita anticipata a rate variabili. Considerando, come nel secondo caso, che nel calcolo dei montanti Dh le rate siano pagate convenzionalmente in un istante infinitesimo successivo a h: D0=S =-V0 D1=(D0 – R1).(1+i) =-V1 D2=(D1 – R2).(1+i) =-V2 … Dh=(Dh-1 – Rh).(1+i) =-Vh … Dn=(Dn-1-Rn).(1+i) =-Vn=0

355


Per la condizione di rimborso del debito al termine del processo, il valore residuo è: e valgono le stesse considerazioni fatte nel terzo caso.

356

( ) ( )1

11 0,1, ,

nt h

h tt h

V R i h n− − −

= +

= − ⋅ + =∑


5° caso: rendita posticipata a quote capitale costanti. Questo caso può essere considerato come applicazione del terzo tipo appena visto. L’ipotesi di base consiste in:

Ch = C = S/n cioè la quota capitale è costante e pari al debito iniziale diviso il numero delle rate. Cerchiamo la rata, sempre come somma della quota capitale con la quota interessi. Il debito residuo in h è pari al debito iniziale diminuito di h volte C:

Dh = S - h⋅C = S - h⋅S/n = S( 1 - h/n) h=1,…,n La quota interesse in h è pari al montante precedente moltiplicato il tasso i:

Ih = i Dh-1 = i.S [1-(h-1)/n] h=1,…,n e la rata sarà la somma delle due quote:

Rh = C + Ih = S/n + i.S [1-(h-1)/n] = S/n [1+i. (n-h+1)] h=1,…,n Si può dimostrare che le rate sono in progressione geometrica di ragione –i.S/n.

357

Conclusioni Conosciamo diverse modalità di rimborso di un prestito, a quote

capitali costanti, a rata costante, con interessi anticipati, a rimborso unico, con preammortamento o a quote capitale qualsiasi; dati tasso d’interesse, durata e ammontare del debito, siamo in grado di stendere un piano d’ammortamento;

Infine abbiamo affrontato il problema della valutazione dei prestiti, calcolando il valore complessivo del prestito ad una data epoca e ad un determinato tasso, tale valore è stato scomposto in usufrutto e nuda proprietà;

Per chi volesse approfondire, in appendice abbiamo analizzato l’evoluzione delle quote capitale ed interesse, nonché del debito residuo che ci ha portato a costruire lo schema di ammortamento di un prestito.

358

Piano d’ammortamento

Descrive dinamicamente il processo di estinzione

del debito quantificando: Quota interesse

Quota capitale

Ammortamento francese

Ammortamento italiano

Ammortamento tedesco

Ammortamento a rimborso unico

Debito residuo

Rate costanti

Quote capitale costanti

Interessi anticipati

Unica quota capitale

l’ultimo anno

Rata

Presenter

Presentation Notes

Il piano d’ammortamento è uno schema che descrive il processo di estinzione di un debito, esso quantifica la quota del capitale che periodicamente ci si impegna a restituire; la quota interesse, ossia il costo del prestito per ciascun periodo e il debito residuo. La somma della quota interesse e della quota capitale costituisce la rata, ciò che effettivamente viene pagato ogni periodo. Esistono diverse forme di rimborso di un debito, quando le annualità sono corrisposte dal debitore tutte dello stesso ammontare, parliamo di ammortamento francese; l’ammortamento italiano è invece caratterizzato da quote capitale costanti; quando si parla di ammortamento tedesco ci si può riferire a una qualunque tipologia d’ammortamento in cui gli interessi vengono pagati anticipatamente; il rimborso può infine avvenire pagando l’ultimo anno una quota unica pari al debito e periodicamente verranno corrisposti solo gli interessi.

Esercizio 1

Un istituto di credito ha concesso un prestito di £ 60.000.000 da restituire in 5 anni con quote capitali costanti al tasso d’interesse annuo del 10%. Stendere il relativo piano d’ammortamento.

361

60.000.000 12.000.0005

( )( ) ( 1)

( ) ( )

QC

DR n S n QCQI n DR n iR n QC QI n

= =

= − ⋅= − ⋅

= +

362

363

n QC QI Rata DR

1 12.000.000 6.000.000 18.000.000 48.000.000

2 12.000.000 4.800.000 16.800.000 36.000.000

3 12.000.000 3.600.000 15.600.000 24.000.000

4 12.000.000 2.400.000 14.400.000 12.000.000

5 12.000.000 1.200.000 13.200.000 0

Esercizio 2

Un individuo si accorda per restituire un importo di 100 milioni mediante il versamento di 10 rate costanti di un ammortamento francese al tasso del 5%.

Dopo 5 rate versate regolarmente sospende completamente il versamento delle successive due; a questo punto si accorda per restituire il prestito nei tempi previsti versando ulteriori 3 rate di un ammortamento francese condotto sul nuovo valore del debito D’ all’8%.

364

Calcolare: a) l’importo del debito residuo all’epoca 5; b) l’importo di D’ all’epoca 7; c) l’importo delle ultime 3 rate; d) il tasso di costo dell’operazione

complessiva (utilizzare come soglie dell’interpolazione i tassi del 5% e dell’8%).

365

Abbiamo un ammortamento francese con n=10; C=100.000.000; i=5%. Rata e debito residuo sono dati da:

366

10 0,05

5 5 0,05

100.000.000 100.000.000 12.950.5167,7217

4,3295 56.069.259

Ra

DR R a R

= = =

= ⋅ = ⋅ =

Il debito residuo D’ si ottiene capitalizzando per due anni:

Importo delle ultime 3 rate:

367

25' (1,05) 61.816.358D D= ⋅ =

3 0,08

'' 23.986.818DRa

= =

75 3

5 37

0 0

1 1

100.000.000 (1 ) '

1 (1 ) 1 (1 )12.950.516 (1 ) 23.986.818

0,05 102.492.1220,08 87.776.905

i iR a i R a

i iii i

i Ai A

−

− −−

= ⋅ + + ⋅ ⋅ =

− + − += ⋅ + + ⋅ ⋅

= → == → =

368

1 00 0

1 0

( )

0,050,08 0,05 (100.000.000 102.492.122)

87.776.905 102.492.1220,05508

(esatto: 0,054604)

i ii i A AA A

i

−= + ⋅ −

−→ = +

−⋅ − =

−=

369

Esercizio 3

Un individuo si accorda per restituire un importo di 100 milioni mediante il versamento di 10 rate di un ammortamento italiano al tasso del 6%.

Dopo 3 rate versate regolarmente sospende completamente il versamento delle successive tre; a questo punto si accorda per restituire il prestito nei tempi previsti versando ulteriori 4 rate di un ammortamento francese condotto sul nuovo valore del debito D’ all’8%.

370

Calcolare: a) l’importo del debito residuo all’epoca 3; b) l’importo di D’ all’epoca 6; c) l’importo delle ultime 4 rate; d) il tasso di costo dell’operazione

complessiva (utilizzare come soglie dell’interpolazione i tassi del 6% e dell’8%).

371

Ammortamento italiano con n=10; i=6%; C=100.000.000

Il debito residuo è dato da:

D’ si ottiene capitalizzando per 3 anni (nessuna rata pagata)

372

3 (10 3) 70.000.00010CD = ⋅ − =

33' (1,06) 83.371.120D D= ⋅ =

Abbiamo un nuovo ammortamento francese con n=4; i=8%; C=D’

La rata è data da:

373

4 0,08

83.371.120 83.371.120 25.171.4523,31213

Ra

= = =

1 2 31 2 3

64

1

2

3

0 0

1 1

100.000.000 (1 ) (1 ) (1 )(1 )

16.000.00015.400.00014.800.000

0,06 102.714.5350,08 92.304.448

i

R i R i R iR i a

RRRi Ai A

− − −

−

= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +

+ ⋅ + ⋅

===

= → == → =

374

1 00 0

1 0

( )

0,060,08 0,06 (100.000.000 102.714.535)

92.304.448 102.714.5350,0652152

(esatto: 0,0649098)

i ii i A AA A

i

−= + ⋅ −

−→ = +

−⋅ − =

−=

375

Esercizio 4

Un individuo prende a prestito 150.000 euro che si impegna a restituire in 20 anni versando rate di un ammortamento francese al tasso del 7,10%. Dopo 12 anni, l’individuo sospende i pagamenti delle sole quote capitali per 4 anni mentre paga regolarmente il “servizio del debito” ovvero gli interessi sul debito rimasto in ulteriori 4 anni versando rate di un ammortamento francese al 10% annuo.

376

Calcolare: 1) la rata inizialmente stabilita tra le parti; 2) il debito all’epoca 12; 3) il debito all’epoca 16 su cui viene

ricalcolata la nuova rata al 10%; 4) il tasso di costo dell’intera operazione

(per interpolazione).

377

Ammortamento francese con C=150.000; n=20; i=7,10.

378

20 0,071

12 8 0,071

16 12

' 16

4 0,1

150.000 14.269,210,5122

14.269,2 5,9482 84.876,3

84.876,3 26.7763,17

CRa

DR R a

DR DRDRRa

= = =

= ⋅ = ⋅ =

=

= = =

Quote interessi: Tasso di costo

379

12 0,071 6.026,2I DR= ⋅ =

12 ' 1612 4 4

0 0

1 1

1 00 0

1 0

150.000 (1 ) (1 )

0,071 151.8740,10 121.784

( ) 0,07281

(esatto: 0,07253)

i i iR a I i a R i a

i Ai A

i ii i A A iA A

− −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= → == → =

−= + − → =

−

Esercizio 5

Un’azienda si finanzia emettendo un prestito obbligazionario dell’importo di 1.000.000 di euro che si impegna a rimborsare mediante un ammortamento a rimborso unico, con rate annuali al 9,25% in 20 anni.

Calcolare nuda proprietà ed usufrutto del prestito al tasso di valutazione del 12% all’epoca 6.

380

Elementi del piano d’ammortamento:

381

0 19( )

1.000.000 20( ) 1.000.000 0,0925 92.500

92.500 19( )

1.092.500 20

1.000.000 19( )

0 20

nQC n

nQI n

nR n

n

nDR n

n

≤= =

= ⋅ =

≤= =

≤= =

146

6 14 0,12

1.000.000 (1 0,12) 204.619,8292.500 92.500 6,6281 613.105,56

NU a

−= ⋅ + == ⋅ = ⋅ =

382

Esercizio 6

Dato un ammortamento francese per un importo iniziale pari a 100.000 euro, di durata 10 anni, realizzato al tasso del 10% annuo d’interesse mediante il versamento di rate trimestrali calcolare la rata ed il debito residuo dopo 3 anni e mezzo.

383

Ammortamento francese rate trimestrali.

C=100.000; n=10; i=10% Calcoliamo tasso trimestrale e rata

(abbiamo un totale di 40 rate):

384

41/4 1/4

40 0,02411

(1 ) 1 1,10 0,02411100.000 3.924,39

i i i

Ra

+ = + = → =

= =

Il debito residuo dopo 3 anni e mezzo (dopo 14 rate) si ottiene dalla formula:

385

1/43,5 40 14 3.924,39 19,1507

75.155,0463

h n h i

i

DR R a

DR R a−

−

= ⋅

⇒ = ⋅ = ⋅ =

=

Esercizio 7

Un prestito di 100.000 viene ammortizzato con otto rate annue posticipate. Il tasso effettivo è del 10%. Le prime tre rate sono uguali. Ciascuna delle successive è pari al doppio di quella iniziale.

Calcolare: 1. l’importo della rata iniziale R; 2. il debito residuo all’epoca 6, dopo aver

corrisposto la rata.

386

Somma dei valori attuali delle rate

387

( )( )

33 0,10 5 0,10

33 0,10 5 0,10

33 0,10 5 0,10

100.000 2 (1,10)

100.000 2 (1,10)

100.000 / 2 (1,10)

12.220,46

R a R a

a a R

R a a

R

−

−

−

= ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅

→

Il debito residuo all’epoca 6 si ottiene attualizzando le rimanenti rate:

388

6 2 0,10

2

2

1 1,102 12.220,46 42.418,110,10

DR R a−

= ⋅ =

−= ⋅ ⋅ =

Esercizio 8

Un individuo prende a prestito 200.000 euro che si impegna a restituire in 15 anni mediante il versamento di rate trimestrali costanti posticipate al tasso i=9%. Calcolare:

1) la rata trimestrale; 2) il debito residuo dopo 5 anni; 3) il valore del prestito dopo 10 anni al

tasso annuo di valutazione j=i+0,02.

389

Abbiamo complessivamente 60 rate, calcoliamo preliminarmente il tasso trimestrale:

390

1/41/4 1/4

60

60 0,02178

60 0,02178

(1 ) 1 0,02178

1 (1,02178) 33,31140,02178

200.000 6.003,95

i i i

a

Ra

−

= + − → =

−= =

⇒ = =

Debito residuo dopo 5 anni somma dei valori attuali delle 40 rate rimanenti:

391

5 40 0,02178

40

40 0,02178

5

1 (1,02178) 26,52150,02178

6.003,95 26,5215 159.233,49

DR R a

a

DR

−

= ⋅

−= =

→ = ⋅ =

1/41/4

10 20 0,02643

20

20 0,02643

10

0,02 0,11(1,11) 1 0,02643

1 (1,02643) 15,38020,02643

92.341,66

j ij

VA R a

a

VA

−

= + =

= − == ⋅

−= =

→ =

392

Esercizio 9

Un individuo prende a prestito 150.000 euro che si impegna a restituire in 10 anni mediante il versamento di rate costanti quadrimestrali al 9% annuo d’interesse.

Dopo 6 anni inizia per il debitore un periodo di difficoltà finanziaria che lo conduce a pagare i soli interessi per il settimo anno e nulla per l’ottavo.

A questo punto si accorda per estinguere il prestito nei tempi inizialmente previsti mediante il versamento di rate ancora costanti e quadrimestrali calcolate all’11% effettivo annuo.

393

Calcolare:

1. la rata del primo ammortamento (quello iniziale);

2. il debito su cui viene ricalcolata la nuova rata (all’epoca 8);

3. il tasso di costo dell’operazione complessiva (ovviamente compreso tra i due tassi di remunerazione).

394

Ammortamento francese rate quadrimestrali.

C=150.000; n=10; i=9%. Calcoliamo tasso quadrimestrale e rata


395

31/3 1/3

30 0,02914

(1 ) 1 1,09 0,02914150.000 7.568,30

i i i

Ra

+ = + = → =

= =

Il debito residuo dopo 6 anni (dopo 18 rate) si ottiene dalla formula:

396

1/36 30 18 7.568,30 10,0052

75.722,02

h n h i

i

DR R a

DR R a−

−

= ⋅

⇒ = ⋅ = ⋅ =

=

Il DR al termine del settimo anno è lo stesso (solo quota interessi), al termine dell’ottavo si ottiene capitalizzando per un anno (nessun pagamento)

397

7 6

8 6(1 ) 1,09 75.722,0282.537,00

DR DRDR i DR

== + ⋅ = ⋅ =

=

La rata del nuovo ammortamento è data da:

Ammortamento francese rate quadrimestrali

C=82.537,00; n=2; i=11%. Calcoliamo tasso quadrimestrale e rata


398

31/3 1/3

6 0,0354

(1 ) 1 1,11 0,035482.535,7' 15.509,87

i i i

Ra

+ = + = → =

= =

1/3 1/3

1/3

181/318 3

241/3 6

6 1/3

150.000 (1 )

' (1 )

7.568,30' 15.509,87

75.722,02 0,02914 2.206,73

i i

i

R a I i a

R i a

RRI DR i

−

−

= ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅

==

= ⋅ = ⋅ =

399

0 0

1 1

1 00 0

1 0

0,02914 150.8650,0354 138.606

( )

0,029140,0354 0,02914 (150.000 150.865)138.606 150.865

0,029582 0,091396(esatto: 0,029555 0,091313)

i Ai A

i ii i A AA A

i

ii

= → == → =

−= + ⋅ −

−→ = +

−⋅ − =

−= → =

→ =400

Esercizio 10

Un individuo si accorda per restituire un importo di 500 mila euro mediante il versamento di rate costanti semestrali per 10 anni al tasso effettivo annuo di interesse del 7%.

Dopo le prime 10 rate semestrali versate regolarmente il debitore incontra un periodo di difficoltà finanziarie nel quale paga solo gli interessi per 2 semestri e sospende completamente il versamento delle rate per altri due semestri; a questo punto si accorda per restituire il prestito nei tempi previsti versando rate semestrali di un nuovo ammortamento francese condotto sul nuovo valore del debito D’ al tasso annuo del 10%.

401

Calcolare: a) l’importo del debito residuo in

corrispondenza dell’ultima epoca in cui i pagamenti avvengono regolarmente;

b) l’importo di D’; c) l’importo delle nuove rate

“ricontrattate”; d) il tasso di costo su base annua

dell’operazione complessiva.

402

Calcoliamo i tassi bimestrali

Rata del primo ammortamento:

403

1/ 2

1/ 2

0,07 0,0344080,10 0,048809

i ii i

= → == → =

20 0,034408

500.000 34.992,99Ra

= =

Debiti residui:

404

10 10 0,034408

12 10

14 12

11 12 10 1/2

34.992,99 8,34148 291.890,26

(1 ) 312.322,5810.043,94

D R a

D DD i DI I D i

= ⋅ = ⋅ =

== + ⋅ =

= = ⋅ =

Calcolo delle nuove rate:

Equazione del tasso di costo:

405

6 0,048809

312.322,58 312.322,58' 61.299,115,09508

Ra

= = =

1010 2

146

500.000 (1 )

' (1 )j j

j

R a I j a

R j a

−

−

= ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅

0 0

1 1

1 00 0

1 0

0,034408 509.3170,048809 443.663

( )

0,0344080,048809 0,034408 (500.000 509.317)

443.663 509.3170,036452 7,423%

(esatto: 7,387%)

i Ai A

i ii i A AA A

= → == → =

−= + − =

−= +

−− =

−= →

406

Esercizio 11

Un’azienda pone in essere un investimento che a fronte di un’uscita immediata di 10.000 euro assicura 7 entrate di 1.900 euro ciascuna.

Per l’importo iniziale l’azienda si finanzia al 50% con capitale che ha già a disposizione e per il restante 50% mediante un prestito che si impegna a restituire versando 5 rate di un ammortamento francese al 7%.

Calcolare: a) i flussi netti dell’operazione che si trovano

sull’asse dei tempi; b) il tasso di rendimento dell’operazione

complessiva.

407

Prima operazione: (-10.000;1.900;1.900; 1.900; 1.900;

1.900; 1.900; 1.900)/(0;1;2;3;4;5;6;7) Seconda operazione: ammortamento

francese al 7% di un importo di 5.000 in 5 anni.

Rata dell’ammortamento:

408

5 0,07

5.000 5.000 1.219,454,1002

Ra

= = =

Scadenzario della seconda operazione: (5.000,-1.219,45; -1.219,45; -1.219,45; -1.219,45; -1.219,45;0;0)

/(0;1;2;3;4;5;6;7) Flussi netti: (-5.000;680,55; 680,55; 680,55; 680,55;

680,55;1.900;1.900) Tasso di rendimento dell’operazione:

409

55 2

0 0

1 1

1 00 0

1 0

5.000 680,55 1.900 (1 )

0,09 4.819,380,07 5.239,66

( )

0,07 0,090,09 (5.000 4.819)5.239,66 4.819,38

0,081387(esatto: 8,1108%)

i ia i a

i Ai A

i ii i A AA A

−= ⋅ + ⋅ + ⋅

= → == → =

−= + − =

−−

= + − =−

=

410

Esercizio 12

Il creditore di un ammortamento di un importo di 100.000 euro che si è convenuto di restituire in 10 anni mediante il versamento di rate di un ammortamento italiano al 10%, cede all’epoca 6 i futuri incassi ad un terzo soggetto che paga un prezzo tale da garantirsi un rendimento lordo dall’operazione del 13%.

Calcolare: a) il prezzo pagato dal terzo soggetto; b) il rendimento netto che il terzo soggetto realizza

dall’operazione se le quote interessi che incasserà sono gravate da una tassazione del 20% (ovvero se delle future quote interessi il 20% viene perduto per la presenza di tasse).

411

Piano ammortamento dall’epoca 7

N QI QC Rata

7 4.000 10.000 14.000

8 3.000 10.000 13.000

9 2.000 10.000 12.000

10 1.000 10.000 11.000

412

Prezzo pagato: nuovo piano d’ammortamento con una

tassazione del 20% sulle quote interessi:

413

2 3 414.000 13.000 12.000 11.000 37.633,4

1,13 (1,13) (1,13) (1,13)P = + + + =

N QI QC Rata

7 3.200 10.000 13.200

8 2.400 10.000 12.400

9 1.600 10.000 11.600

10 800 10.000 10.800

414

Equazione per il rendimento netto:

Interpolazione:

415

2 3 413.200 12.400 11.600 10.800 37.633,4

1 (1 ) (1 ) (1 )i i i i+ + + =

+ + + +

0 0

1 1

0,13 36.055,70,10 38.339,7

i Ai A

= → == → =

1 00 0

1 0

( )

0,10 0,130,13 (37.633,4 36.055,7)38.339,7 36.055,7

0,109277(esatto: 10,8952%)

i ii i A AA A

−= + − =

−−

= + − =−

=

416

Esercizio 13: completare il seguente piano d’ammortamento

anni QC QI Rata DR

0 10.000

1 2.000 1.000 3.000 8.000

2 3.000 800 3.800 5.000

3 5.000 500 5.500 0

417

Rimane da determinare il tasso d’interesse:

418

10.000 1.000 0,1010%

i i⋅ = → =→

Esercizio 14

Un capitale di 5 milioni di euro viene ammortizzato al tasso annuo del 10% con rate costanti pagabili annualmente, in 3 anni e 65 giorni, con una rata di preammortamento pagabile dopo un anno e 65 giorni. Assumendo per l’anno la durata civile (365 giorni), compilare il piano d’ammortamento richiesto indicando gli importi in euro.

419

Tasso d’interesse i* relativo al periodo indicato:

La prima quota interessi vale quindi:

Le rate all’epoca 2 e 3 sono date da:

420

365 65 365 65365 365* (1 ) 1 (1 0,1) 1 0,11883i i

+ +

= + − = + − =

(1) * 594.148,48QI D i= ⋅ =

2

5.000.000(2) (3) 2.880.952,381,7355

i

DR Ra

= = = =

Piano completo:

421

Rata Q.C. Q.I. D.R. 1 594.148,48 0 594.148,48 5.000.000,00 2 2.880.952,38 2.380.952,38 500.000,00 2.619.047,62 3 2.880.952,38 2.619.047,62 261.904,76 0

Esercizio 15

Si consideri l’ammortamento di 2.000 euro in 8 anni a rata costante R, pagabile alla metà e alla fine di ogni anno. Si determini R in modo che il tasso interno di rendimento dell’operazione di ammortamento risulti del 15%. Indicare inoltre, relativamente all’ultima rata del piano d’ammortamento, la decomposizione in quota capitale C e in quota interesse I.

422

Il tasso di rendimento semestrale è dato da

Dall’equazione di equilibrio

si deduce la rata

423

1/2 1 1 0,0724i i= + − =

1/22n iD R a= ⋅

1/22

2.000 215,06689,2994

n i

DRa

= = =

La quota capitale vale:

La quota interesse vale:

424

1/2

( ) 200,55081

RQC n R vi

= ⋅ = =+

( ) (1 ) 14,5160QI n R v= ⋅ − =

Esercizio 16

Determinare il numero minimo di semestralità con le quali si può ammortizzare al tasso annuo i=5% un debito S = 30.000 se si è in grado di pagare in futuro non più di 1.000 alla fine di ogni semestre. Determinare inoltre il valore della rata.

425

Dalla relazione:

con si ricava:

Di conseguenza, n è il massimo intero

contenuto in n*, ossia n = 56

426

1/2

*1/2

*1/2

1 (1 ) n

n i

iS R a Ri

−− += ⋅ = ⋅

1/2 1 1 0,0247i i= + − =

( )1/2

1/2

log 1* 55,3537

log 1

S iRn

i

− ⋅ = − =

+

Il valore della rata è:

427

1/2

30.000 994,557630,1642

n i

SRa

= = =

Esercizio 17 Un’azienda pone in essere un investimento che gli costa

oggi 10.000 e fornisce entrate pari a 7.000 il primo anno e 8.000 il secondo.

Per l’importo iniziale di 10.000 l’azienda si finanzia in base a due possibili alternative:

I) un ammortamento a rimborso unico al 15% con contestuale reinvestimento degli importi netti in entrata al 13%;

II) mediante rimborso graduale nel quale utilizza gli importi in entrata per pagare le rate ed estinguere il debito più rapidamente possibile.

Calcolare: a) quale delle alternative di finanziamento è più

conveniente per l’impresa (suggerimento: utilizzare i saldi netti finali delle operazioni);

b) il tasso implicito della sola operazione di investimento. 428

La prima operazione di investimento ha per scadenzario:

Consideriamo l’alternativa I). Il piano d’ammortamento a rimborso unico prevede il

pagamento di una quota interesse all’epoca uno pari a mentre all’epoca due abbiamo il

pagamento dell’interesse e del capitale preso a prestito, ossia complessivamente 11.500.

Lo scadenzario sarà quindi:

Il saldo delle due operazioni A ed R1 sarà quindi:

L’importo disponibile all’epoca uno può essere reinvestito al 13%, perciò il saldo finale all’epoca due sarà:

429

: ( 10.000;7.000;8.000) / (0;1,2)A −

10.000 0,15 1.500⋅ =

1 (10.000; 1.500; 11.500) / (0;1;2)R = − −

1 : (0;5.500; 3.500)S −

5.500 1,13 3.500 2.715⋅ − =

Consideriamo l’alternativa II). Abbiamo il seguente piano d’ammortamento (rimborso di

un debito di 10.000 al tasso del 15%):

La prima entrata di 7.000 è utilizzata come prima rata. La quota interesse vale , di conseguenza la prima quota capitale vale .

Il debito residuo all’epoca uno è Potremo perciò dedurre la quota interesse all’epoca due:

430

n QC QI R DR 0 10.000 1 5.500 1.500 7.000 4.500 2 4.500 675 5.175 0

10.000 0,15 1.500⋅ =7.000 1.500 5.500− =

10.000 5.500 4.500.− =

4.500 0,15 675⋅ =

431

La quota capitale all’epoca due dovrà essere pari a 4.500 (debito residuo all’epoca uno) mentre la rata da pagare all’epoca due sarà: .

Tenendo conto dell’entrata di 8.000, all’epoca due, il saldo netto sarà:

L’alternativa II) risulta quindi più vantaggiosa, in quanto produce all’epoca due un saldo netto maggiore.

Il tasso dell’operazione di investimento si ottiene risolvendo l’equazione di equilibrio finanziario (dividendo tutti gli importi per 1.000 e tralasciando la soluzione negativa):

4.500 675 5.175+ =

8.000 5.1 275 .825− =

2 7 3698 7 10 0 0,763116

1 1 31,05%

v v v

iv

− ++ − = → = =

⇒ = −

Esercizio 18

Un individuo ottiene un prestito personale di Euro 20.000 che deve restituire in 11 rate semestrali mediante un ammortamento francese al tasso dell’8% annuo.

Dopo un anno e mezzo ha la possibilità di ottenere un finanziamento da parte di un altro istituto di credito al tasso agevolato del 4,5% annuo. Decide di accedervi per rimborsare anticipatamente l’80% del debito residuo del finanziamento che ha in corso.

Calcolare il nuovo debito residuo e la nuova rata del primo finanziamento dopo che avviene il rimborso parziale. Calcolare inoltre la rata del finanziamento agevolato sapendo che viene applicato un ammortamento francese con rate semestrali e che tale ammortamento scade contemporaneamente all’altro.

432

Il tasso semestrale equivalente è

La rata dell’ammortamento iniziale è

Di conseguenza, il debito residuo dopo un anno e mezzo (quando mancano ancora otto rate) vale

Il nuovo debito residuo sarà perciò

433

1/2 1 1 0,03923i i= + − =

1/211

20.000 2.273,52i

Ra

= =

1/28(1,5) 15.355,8

iD R a= ⋅ =

'(1,5) 0,20 (1,5) 3.071,15D D= ⋅ =

La nuova rata del primo finanziamento si ottiene dalla seguente formula:

Prima di calcolare la rata del nuovo finanziamento, determiniamo il nuovo tasso semestrale equivalente. Si ha:

Si ottiene perciò:

434

1/28

'(1,5)ˆ 454,703i

DRa

= =

1/2 1 1 0,02225.j j= + − =

1/28

0,8 (1,5) 1.693,29j

DRa⋅

= =

Esercizio 19

Un soggetto ha iniziato due anni fa a restituire due debiti: il primo di 300.000 a fronte del quale paga rate costanti pari a 50.000 per 8 anni, ed il secondo di 500.000 a fronte del quale paga rate di 75.000 per 8 anni.

Oggi vuole unificare le due posizioni debitorie in modo di estinguere ciò che resta da pagare mediante il versamento di rate di un ammortamento francese decennale condotto ad un tasso che rende lo scambio finanziariamente equivalente. Calcolare la rata di tale nuovo ammortamento.

435

I due debiti prevedono nel complesso un importo di 800.000 con rimborso di rate costanti pari a 125.000 per 8 anni. Il tasso di costo complessivo per il debitore si ottiene risolvendo l’equazione di equilibrio finanziario:

La soluzione (per interpolazione) è .

Il debitore ha pagato all’epoca uno una rata complessiva pari a 125.000 mentre dall’epoca due paga una rata costante (per dieci anni) tale da rendere le seconda alternativa equivalente. 436

81 (1 )800.000 125.000 .ii

−− += ⋅

5,24%i

La condizione è perciò:

437

101 11 (1 )800.000 125.000 (1 ) (1 )

118.771,99 7,250955681.228,01 93.950,117,250955

ii R ii

R

R

−− −− +

= ⋅ + + ⋅ ⋅ + =

= + ⋅

→ = =

Esercizio 20

Un prestito di Euro 450.000 è restituito in 3 anni mediante un ammortamento tedesco che prevede quote capitali costanti semestrali ed è condotto al 7% effettivo annuo. Calcolare nuda proprietà ed usufrutto all’8% all’epoca 1,25.

438

439

1/2 1 1 0,0344i i= + − =

( ) 11/2 1/21 0,9667v i −= + =

1/2 1/21 0,0333d v= − =

Tasso semestrale equivalente:

Fattore di sconto:

Tasso di sconto:

Piano d’ammortamento completo:

N (semestri)

Quote capitale

Quote interessi Rata Debito residuo

0 0 14.968,58 14.968,58 450.000

1 75.000 12.473,82 87.473,82 375.000

2 75.000 9.979,05 84.979,05 300.000

3 75.000 7.484,29 82.484,29 225.000

4 75.000 4.989,53 79.989,53 150.000

5 75.000 2.494,76 77.494,76 75.000

6 75.000 0 75.000,00 0

Il calcolo di nuda proprietà ed usufrutto al tasso j=8% sarà perciò:

440

1,25 0,25 0,75 1,25 1,75

1,25 0,25 0,75 1,25

75.000 75.000 75.000 75.000 278.034,92(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 7.484,29 4.989,53 2.494,76 14.317,29(1 ) (1 ) (1 )

Nj j j j

Uj j j

= + + + =+ + + +

= + + =+ + +

MODULO 4

ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN CONDIZIONI DETERMINISTICHE

(OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE)

441

Argomenti Obiettivi. Introduzione. L’omogeneità delle operazioni finanziarie. Il valore attuale netto (VAN). Il tasso interno di rendimento (TIR). Ricerca del TIR: metodo dell’interpolazione lineare. Il caso dei pagamenti non periodici. Il criterio del TIR. Il periodo di recupero (payback period). Appendice: uso del foglio elettronico per il calcolo del VAN. Appendice: uso del foglio elettronico per il payback period. Appendice: il caso dei pagamenti periodici (cenni al metodo

di Newton). Appendice: il caso dei pagamenti periodici (uso del foglio

elettronico). Appendice: il TAEG e il TAN.

442

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono: conoscere le metodologie di calcolo più comuni

nella scelta tra due o più investimenti; risolvere semplici calcoli per trovare il TIR e il

VAN e dare un giudizio di convenienza sulle operazioni finanziarie in base ai risultati;

analizzare le differenze ed i punti di forza/debolezza dei criteri del VAN e del TIR;

conoscere il semplice metodo del periodo di recupero.

443

Introduzione

Quando ci si trova a dover confrontare operazioni finanziarie diverse allo scopo di giudicare sulla loro convenienza economica, spesso si fa ricorso alla determinazione di un criterio che tenga conto degli aspetti monetari e temporali delle operazioni stesse. Nella matematica finanziaria si utilizzano vari metodi, i quali possono essere utilizzati anche assieme, per selezionare la scelta più conveniente senza commettere errori di valutazione. In questo modulo ci proponiamo di fornire semplicemente gli opportuni algoritmi relativi al criterio del valore attuale netto, o VAN, al criterio del tasso di rendimento interno, o TIR, e al criterio del periodo di recupero, o Payback period. Inoltre faremo un approfondimento relativamente al caso particolare e frequente dei pagamenti periodici, mediante l’utilizzo del metodo di Newton per la ricerca del tasso di rendimento interno.

444

L’omogeneità delle operazioni finanziarie

Qualunque criterio si utilizzi per valutare la convenienza economica delle operazioni finanziarie, occorre che queste siano omogenee fra loro per poter essere confrontate. Per chiarire il concetto consideriamo alcuni investimenti:

I1 = {-100, 40, 50, 60} / {0, 1, 2, 3}

I2 = {-80, 38, 48, 35} / {0, 1, 2, 3}

I3 = {-100, 30, 10, 40, 20} / {0, 1, 2, 3, 4}

445

L’omogeneità delle operazioni finanziarie

Se il nostro problema è individuare l’operazione finanziaria più conveniente tra I1 e I2 , ci rendiamo conto che l’ impostazione non è corretta, infatti le due alternative d’investimento richiedono esborsi iniziali diversi. Anche un confronto fra l’investimento I1 e l’investimento I3 non può essere effettuato, nonostante le due operazioni prevedano lo stesso esborso iniziale, la loro scadenza è diversa. Come già detto tutto ciò vale indipendentemente dal criterio utilizzato per valutare le operazioni finanziarie. In conclusione, affinchè le operazioni finanziarie siano correttamente confrontate fra loro, è necessario che siano caratterizzate quanto meno dallo stesso esborso iniziale e dalla stessa durata.

446

Il valore attuale netto (VAN)

Consideriamo un’operazione finanziaria x / t = {x0, x1, x2, x3, …,xn-1, xn} / {t0,t1,…,tn}

in cui gli importi xk possono assumere sia valori positivi che negativi. Definiamo il VAN (valore attuale netto) di tale operazione finanziaria in base ad un certo tasso j, come la somma dei valori attuali dei valori xk in t0. Osserviamo che tale valore è relativo all’istante t0 e dipende anche dalla scelta del tasso di valutazione j. Intuitivamente, qualora chiamassimo costi i valori xk negativi, e ricavi i valori xk positivi, il VAN dell’operazione finanziaria x/t, in base ad un certo tasso j, è uguale alla differenza tra il valore attuale dei ricavi ed il valore attuale dei costi: ovviamente tra due operazioni finanziarie confrontabili sceglieremo quella che fornisce il VAN più elevato. Il VAN viene anche denominato REA (risultato economico attualizzato).

447

0

0

1 kn

t tk

k

VAN x j

Il valore attuale netto (VAN) Ad esempio calcoliamo il VAN in t=0 al tasso j=2% delle seguenti due operazioni finanziarie:

x / t = {-100;10;10;10;110} / {0;1;2;3;4} x’ / t = {-100;20;10;9;100} / {0;1,5;2;3,5;4}

VAN= -100 +10⋅1,02-1 +10⋅1,02-2 +10⋅1,02-3 +110⋅1,02-4 = 30,46183 VAN’= -100 +20⋅1,02-1,5 +10⋅1,02-2 +9⋅1,02-3,5 +100⋅1,02-4 = 29,80823 Possiamo quindi stabilire che, assegnato il tasso di valutazione j=2%, la prima operazione è più conveniente in quanto il VAN è più alto rispetto alla seconda. Osserviamo che il risultato dipende strettamente dal tasso scelto: infatti se utilizzassimo il tasso j=8%, il risultato sarebbe completamente diverso:

VAN= 6,624254; VAN’=6,770615

La seconda operazione risulta ora più conveniente.

448

Il valore attuale netto (VAN)

Il criterio del VAN per la scelta tra due o più investimenti ha due limiti principali alla sua applicazione: Il secondo può essere risolto, come vedremo, mediante l’uso dei tassi a termine, cioè considerando la presenza di tassi diversi per le diverse scadenze.

449

1) la scelta del tasso di valutazione j, essendo legata a considerazioni non del tutto oggettive, condiziona fortemente il risultato;

2) l’ipotesi di un tasso di valutazione costante nel periodo di osservazione è troppo restrittiva se pensiamo che nella realtà le variazioni di tasso possono essere rilevanti nel tempo.

Il tasso interno di rendimento (TIR)

Assegnata una operazione finanziaria x/t di importi xh alle scadenze th con h=0,1,…,n, definiamo tasso interno di rendimento (TIR) di x, il tasso di interesse i* della legge di capitalizzazione esponenziale per cui l’operazione assegnata risulti equa. Per definizione, quindi, il TIR è la soluzione i* della seguente equazione nell’incognita i: Siccome il primo membro non è altro che il VAN dell’operazione x/t, si può definire semplicemente il TIR come quell’unico tasso che annulla il VAN. D’ora in poi, senza perdita di generalità, assumeremo come istante iniziale t0 l’origine dell’asse delle ascisse, e scriveremo l’equazione del TIR nella incognita v=(1+i)-1. In tal modo scriveremo:

450

0

0

1 0kn

t tk

k

x i

0

0k

nt

kk

x v

Il tasso interno di rendimento (TIR) E’ opportuno notare che un’operazione finanziaria potrebbe non essere dotata di TIR; ciò avviene quando l’equazione del TIR non ammette soluzioni reali positive oppure ne ammette più di una. Esiste un teorema (Norstrom) che fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza del TIR: Sostanzialmente se il primo pagamento è inferiore alla somma dei successivi incassi, il TIR esiste ed è significativo.

451

x0 < 0 xk > 0 k = 1,2,…,n

l’operazione finanziaria possiede un unico TIR

positivo n

kk

x x01


Consideriamo ora il caso dei pagamenti periodici, assumendo come periodo unitario l’anno. Essendo tk=k, l’equazione del TIR diventa cioè un’equazione algebrica di grado n nell’incognita v. Per il teorema fondamentale dell’algebra il polinomio pn(v) al primo membro è scomponibile nel modo seguente: I numeri complessi r1, r2, …, rh, sono le radici del polinomio, mentre gli esponenti (molteplicità delle radici) sono tali che n=m1+m2+…+mh.

L’unico caso che interessa dal punto di vista finanziario è quello secondo cui il polinomio dato ammette l’unica radice (detta anche “zero”) compresa tra 0 e 1, in quanto trattasi di un tasso d’interesse.

0

0n

kk

k

x v

hn

m m mkk n h

k

x v x v r v r v r1 2

1 20

452


Teorema di Cartesio: se chiamiamo N il numero delle variazioni nella successione dei segni dei coefficienti di pn(v), ed h il numero delle radici positive di pn(v) = 0 (contate con molteplicità), allora si ha N = h. Grazie a questo teorema, se poniamo N=0 (nessun cambio di segno dei coefficienti – importi tutti positivi o tutti negativi) allora h=0 ossia non ci sono soluzioni per il polinomio (non esiste il TIR). Se poniamo ad esempio N=1, allora h=1 perciò esiste una soluzione positiva. Si è ottenuto il seguente risultato: Condizione sufficiente affinché l’equazione del TIR ammetta un’unica soluzione positiva è che gli importi x0,…, xn, cambino segno solo una volta. In sostanza è il caso del pagamento seguito dagli incassi (investimento in senso stretto) oppure dell’incasso seguito dai pagamenti (finanziamento in senso stretto).

453


Consideriamo un’operazione finanziaria molto semplice: lo ZCB. Sia P il prezzo d’acquisto, n la durata e C il valore nominale. x0=-P x1= 0 … xn-1= 0 xn= C Il polinomio pn(v) si scrive: -P+C.vn=0 e la soluzione è immediata:

1

*

1

* 1

n

n

PvC

CiP

454


Ora, siccome il tasso nel periodo temporale [0,n] è definito come j*=(C-P)/P

si ottiene 1+ j*=C/P, perciò: Affinché il tasso i* sia positivo deve essere C/P>1, ossia C>P: il prezzo d’acquisto dev’essere inferiore al valore nominale. Graficamente, la funzione y=C.vn è monotona crescente ed interseca la retta orizzontale y=P in un solo punto di coordinate (v*,P).

1

* *1 1ni j

455 0

P

v* v

f(v)


Esempio: sia data la seguente operazione finanziaria x / t = {-100;10;110} / {0;1;2}

di cui si vuole calcolare il TIR. Per il teorema di Norstrom x1+ x2>- x0 per cui il TIR esiste. Scriviamo allora il polinomio p(v): le cui radici sono: (abbiamo scartato la radice negativa in quanto priva di significato). Da ciò ne segue un tasso interno di rendimento:

i*=1/v* -1=0,1 che coincide col tasso cedolare del titolo (investimento).

2110 10 100 0v v

*1,2

5 25 11.000 5 105 100110 110 110

v

456


Nell’esempio precedente il TIR coincide esattamente col tasso cedolare in quanto, per come abbiamo definito l’operazione x/t, il prezzo d’acquisto del titolo era alla pari. Nella più comune ipotesi in cui il prezzo non è alla pari, il TIR fornisce l’effettivo rendimento del titolo, a prescindere dal tasso percentuale delle cedole, tenendo conto dell’aggio o del disaggio sull’acquisto iniziale. In generale, per un titolo obbligazionario:

457

Acquisto sopra la pari

TIR < tasso cedolare

Acquisto alla pari TIR = tasso cedolare

Acquisto sotto la pari

TIR > tasso cedolare


Calcoliamo ora il TIR dei seguenti titoli obbligazionari: x / t = {-98,5,105} / {0,1,2}

x’ / t = {-102,5,105} / {0,1,2} Il primo caso riguarda un acquisto sotto la pari, il secondo riguarda il caso dell’acquisto sopra la pari. Scriviamo allora le due equazioni del TIR: di cui troviamo le radici:

2105 5 98 0v v 2105 ' 5 ' 102 0v v

458

*

*

5 25 41.160 5 202,94 197,94 0,94257210 210 210

5 25 42.840 5 207,04 202,04' 0,96209210 210 210

v

v


Ricaviamo infine i TIR: Ritroviamo, quindi, che il titolo acquistato sotto la pari ha un rendimento maggiore del tasso cedolare (5% in questo caso), acquistato sopra la pari ha un rendimento minore del tasso cedolare. Nella letteratura anglosassone, come anche in molte calcolatrici finanziarie, il tasso interno di rendimento viene designato con la sigla IRR: internal rate of return.

**

**

1 11 1 6,093%0,94257

1 1' 1 1 3,094%' 0,96209

iv

iv

459

TIR tasso interno di rendimento

IRR internal rate of return =

Ricerca del TIR: il metodo dell’interpolazione lineare

L’equazione per la ricerca del TIR porta spesso ad equazioni algebriche di grado elevato le cui soluzioni si trovano con metodi di approssimazione. Consideriamo la seguente operazione finanziaria:

x / t = {-99,2; 4; 4; 4; 104} / {0;1;2;3;4} Il TIR si ottiene risolvendo la seguente equazione di equilibrio fra entrate e uscite (per il teorema di Norstrom, sappiamo che la soluzione esiste): Devo cercare il tasso che sostituito nell’equazione mi dia 99,2 Indico X0 = A = 99,2.

( ) ( ) ( )2 3 4199,2 4 (1 ) 4 1 4 1 104 1i i i i− − −−= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

460


Procedo per tentativi, ipotizzando tassi via via crescenti, troverò quello giusto. IL TIR È COMPRESO FRA QUESTI DUE VALORI.

i% A

2,5% 3%

3,5% 4%

4,5% 5%

105,64 103,72 101,84

100 98,206 96,454

461


Abbiamo osservato che il TIR è compreso fra il 4% e il 4,5%. Indico queste soglie rispettivamente i0 e i1, indico A0 il valore che trovo sostituendo i0 nell’equazione, e A1 invece il valore che trovo sostituendo i1.

462

i0 = 0,04 A0 =100 i = ? A = 99,2 i1 = 0,045 A1 =98,206

Ricerca del TIR: Il metodo dell’interpolazione lineare

Applichiamo la formula dell’interpolazione lineare:

Si ottiene:

463

( )1 00 0

1 0

i ii i A AA A

−≅ + ⋅ −

−

0,045 0,040,04 (99,2 100) 0,042298,206 100

i −≅ + ⋅ − =

−

Il caso dei pagamenti non periodici

Affrontiamo ora il caso del calcolo del TIR in presenza di pagamenti non periodici, vale a dire quando lo scadenzario presenta intervalli temporali diversi tra loro. In ogni caso esiste il massimo comun denominatore q delle scadenze tk , che determina il “nuovo” periodo da tenere in considerazione, trasformando l’operazione assegnata in una nuova operazione con scadenzario nk=tk

.q. Ad esempio, l’operazione x’ / t = {-100;20;10;9;100} / {0;1,5;2;3,5;4} già vista prima, può essere trasformata considerando i semestri anziché gli anni. In tal modo avremo:

(q=2) x’ / t = {-100;0;0;20;10;0;0;9;100} / {0;1;2;3;4;5;6;7;8} e potremo utilizzare l’equazione del TIR valida per i pagamenti periodici. Notiamo che il grado dell’equazione che determina il TIR aumenta passando da n a n.q, e l’incognita è il fattore di periodo vq . Sarà necessario, una volta trovata la soluzione vq

* , ricavare il TIR su base annua mediante le seguenti relazioni:

464

v*=(vq*)q i*=(1+ iq*)q - 1


Come esempio consideriamo tre importi x0, x1, x2, pagabili alle scadenze t0=0, t1=1/3, t2=3/2; ciò equivale a dire che i periodi sono un quadrimestre e tre semestri. Il massimo comun denominatore tra 2 e 3 è q=6, vale a dire che trasponiamo lo scadenzario in termini di bimestri:

x/t={x0;0; x1;0;0;0;0;0; x2}/{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} L’equazione del TIR si può scrivere: Si è ottenuta un’equazione algebrica, la cui soluzione è v*.

1 33 2

0 1 2 0x x v x v

465


Si ricava poi il fattore di sconto annuo v* ed infine il TIR tramite la ben nota i*=1/v* -1.

Consideriamo ora un altro esempio, utile per valutare il rendimento effettivo di un titolo obbligazionario acquistato sotto la pari. Sia dato un BTP con vita residua pari a sette anni al momento dello stacco della cedola semestrale I, tasso nominale netto 3%, prezzo P=96,50 e valore nominale C=100. Il tasso netto semestrale è i1/2 =1,0300,5-1=1,489% per cui I=1,489. Il TIR semestrale soddisfa quindi la seguente equazione: che preferiamo cercare tramite la funzione excel TIR.COST: i1/2

* =1,7735%; i*=(1+ i1/2

* )2 -1 = 3,578% Ovviamente il TIR è maggiore del tasso nominale in quanto P<C.

14 14* *

1/2 1/21

1, 489 1 100 1 96,5k

k

i i

466

Il criterio del TIR

Il criterio del TIR appena enunciato, data la sua semplicità, non ha bisogno di particolari commenti; inoltre, in generale, possiamo asserire che:

467

Tra due operazioni di investimento (finanziamento) dotate di TIR, è conveniente scegliere quella con il tasso interno di

rendimento maggiore (risp. di costo minore).

Una operazione di investimento (finanziamento) dotata di TIR può essere eseguita se il suo tasso interno di rendimento è

maggiore (risp. minore) di un tasso di riferimento prefissato, al quale si ritiene di poter altrimenti investire le proprie

disponibilità (risp. al quale si ritiene di potersi altrimenti finanziare)

Il criterio del TIR

Nel secondo enunciato del criterio del TIR viene implicitamente messa in risalto l’esistenza di un tasso unico costante per una durata anche notevole, con cui il valutatore opera la scelta. Ciò, purtroppo, rappresenta un limite in quanto il tasso di riferimento è arbitrario; inoltre è ipotizzato costante per tutta la durata dell’operazione. Questi limiti sono gli stessi già visti per il VAN. Osservazione. Se due operazioni di investimento A e B hanno rispettivamente un TIR del 4% e 5%, perché possiamo preferire la B, supponendole nello stesso contesto finanziario? In altre parole, a parità di altre condizioni, nello stesso ambiente finanziario è difficile pensare che coesistano due operazioni con TIR differenti: quella sconveniente non avrebbe modo di esistere. Esistono, però, casi in cui effettivamente il TIR può essere d’aiuto.

468

Il periodo di recupero (payback period) Il periodo di recupero (in inglese payback period, o PBP), è definito come quel periodo necessario ad un investimento per recuperare il capitale complessivamente impiegato. Nella definizione appena data si può notare che tale criterio viene utilizzato per lo più negli investimenti, per i quali si osserva il cumulo, o somma, degli importi alle varie epoche: quando il cumulo assume definitivamente un valore positivo, la relativa epoca è il PBP. Ad esempio consideriamo la seguente operazione finanziaria:

x / t = {-100;20;30;40;40;-80;100;100} / {0;1;2;3;4;5;6;7} In t=4 il cumulo degli importi assume un valore positivo; poi, però, in t=5 torna negativo. Il PBP è t=6. Si tratta di un criterio molto semplice per valutare gli investimenti in due casi:

469

Scelta tra due o più investimenti: quello che presenta il PBP minore.

Scelta dell’investimento che presenta il PBP inferiore ad

uno standard.

Il periodo di recupero (payback period)

Per superare almeno il primo limite si può calcolare il cumulo degli importi attualizzati all’epoca t=0 secondo un tasso di valutazione prestabilito; poco o nulla si può fare in merito alle quantità successive al PBP, in quanto il criterio è di tipo “temporale” e non quantitativo.

470

Limiti del PBP

Non considera gli importi successivi al PBP: una

operazione finanziaria con PBP breve e incassi futuri”minimi” viene

preferita ad una con PBP più lungo ma incassi

futuri “ingenti”.

Non tiene conto dell’aspetto temporale

dell’operazione finanziaria: è come

se il tasso di valutazione fosse

nullo.

Appendice: uso del foglio elettronico per il calcolo del VAN

La funzione Excel che ne automatizza il calcolo prende lo stesso nome: VAN. Tale funzione calcola il valore attuale netto di un investimento utilizzando un tasso di sconto e una serie di pagamenti (valori negativi) e di entrate (valori positivi). La sintassi è la seguente: Le variabili hanno il seguente significato: tasso_int è il tasso di sconto durante uno dei periodi. valore1, valore2, ... sono gli argomenti da 1 a 29 che rappresentano i pagamenti e le entrate. N.B. valore1, valore2, ... si considerano a distanze di tempo regolari e al termine di ogni periodo. Si può inserire un intervallo.

471

VAN(tasso_int;valore1;valore2; ...)


Osservazione: l'investimento VAN inizia in anticipo di un periodo sulla data del flusso di cassa immesso come valore1 e termina con l'ultimo flusso di cassa dell'elenco. Il calcolo VAN si basa sui flussi di cassa futuri. Se il primo flusso di cassa si verifica all'inizio del primo periodo occorre aggiungere il primo valore al risultato VAN anziché includerlo negli argomenti dei valori. In questo esempio la funzione VAN calcola il valore attuale netto degli importi da 50 euro (celle F1,…,J1), al tasso del 5% (cella C1). Per il calcolo del VAN si è poi sottratto il valore di 200 euro (cella E1), già riferito all’epoca t=0.

472


Nel caso in cui le scadenze non siano equidistanti, sarà necessario introdurre importi nulli opportuni in modo tale da ottenere uno scadenzario costituito dal minimo comune multiplo di tutte le scadenze. In tal modo anche il tasso dovrà essere convertito all’unità periodale scelta. Ad esempio, se l’operazione fosse la seguente:

x / t = {-100;5;5;5;105} / {0;1,5;2;3,5;4} i=4% annuo possiamo rappresentare la stessa operazione in semestri:

x’ / t = {-100;0;0;5;5;0;0;5;105} / {0;1;2;3;4;5;6;7;8} i1/2=1,98% sem.

ed applicare la funzione excel già vista. La funzione excel VAN purtroppo non ci aiuta nel caso in cui il tasso di valutazione non è costante. Bisognerà allora costruire, sempre mediante l’aiuto del foglio elettronico, una tabella in cui ad ogni epoca t corrisponde una riga costituita dall’importo in scadenza, dal tasso riferito all’epoca t, dal fattore di attualizzazione che tiene conto dei tassi fino a t, e dall’importo attualizzato in t=0 (v. esempio seguente).

473


474

Appendice: uso del foglio elettronico per il payback period

Ecco un esempio per rappresentare tramite il foglio elettronico Excel l’evoluzione del cumulo e l’identificazione del periodo di recupero di un investimento: Il periodo di recupero è t=6, in quanto in t=4 il cumulo è temporaneamente positivo.

475

Appendice: il caso dei pagamenti periodici (metodo di Newton)

Nel caso generale di n incassi xk per k=1,2,…,n equidistanziati e successivi all’esborso iniziale x0=P l’equazione del TIR si può scrivere: per cui trovarne le soluzioni equivale a risolvere il seguente sistema: La funzione f(v) è dotata di derivata prima e seconda positive, essendo polinomi in v (>0) a coefficienti positivi. Inoltre è

1

( )n

kk

k

y P

y f v x v

1

nk

kk

x v P

476 1

(0) 0 (1) lim ( )n

k vk

f f x f v

Appendice: Il caso dei pagamenti periodici (metodo di Newton)

La funzione f(v) è allora continua, strettamente crescente e convessa. La ricerca delle soluzioni è generalmente difficile utilizzando metodi algebrici; tuttavia esiste il metodo detto di Newton, o delle tangenti, quale metodo numerico iterativo che fornisce in maniera semplice la soluzione, mediante un algoritmo, a meno di un errore stimato. Ne illustriamo il procedimento.

477

0

P

v* v

f(v)


Si sceglie un valore iniziale v0 maggiore di v* senza perdita di generalità. Essendo f(v) strettamente crescente e convessa, la tangente in (v0,f(v0)) interseca y=P in un punto di ascissa v1 interno all’intervallo (v*,v0). Il valore v1 approssima v* meglio del valore v0. Si prosegue con v2 iterando il procedimento n volte finché vn-vn-1<ε con ε piccolo a piacere.

478

0

P

v* v

f(v)

v1 v0 v2


La formula che di volta in volta fornisce il valore di v approssimato si ricava imponendo che il coefficiente angolare della tangente, pari alla derivata di f in vn, è uguale al rapporto tra l’incremento f(vn)-P e l’incremento vn-vn+1: Scegliendo il valore iniziale v0 minore di v* il procedimento non cambia: dalla figura che segue si capisce che la successione delle ascisse v0, v1, v2, … converge alla soluzione v*.

f'

f (algoritmo di Newton)

'

nn

n n

nn n

n

v Pf v

v vv P

v vf v

1

1

479


Nella pratica si otterrà una successione di valori numerici che approssima il valore cercato con un errore che può essere stimato. Ad esempio, scelto ε=0,5 x 10-5 si ottiene un valore di v* esatto fino alla quinta cifra decimale.

480

0

P

v* v

f(v)

v1 v0 v2


Come esempio consideriamo un titolo obbligazionario acquistato subito dopo lo stacco della cedola annuale al prezzo P=98,50, siano I=3 le cinque cedole nette residue e sia C=100 il valore di rimborso. Si può riassumere tale operazione nel seguente modo: x0=-98; x1= 3; x2= 3; x3= 3; x4= 3; x5= 103 Determiniamo la soluzione del sistema:

555

1

981( ) 3 1001

kk

k

yvy f v x v v vv

481


Scegliamo il punto iniziale v0=0,85 ed utilizziamo la formula di Newton per 5 volte: v0 = 0,85 v1 = v0 - [f(v0)-P] / f ’(v0)= 1,003616 v2 = v1 - [f(v1)-P] / f ’(v1)= 0,970172 v3 = v2 - [f(v2)-P] / f ’(v2)= 0,967779 v4 = v3 - [f(v3)-P] / f ’(v3)= 0,967767 v5 = v4 - [f(v4)-P] / f ’(v4)= 0,967767 Chiaramente se utilizzassimo più cifre dopo la virgola, gli ultimi due risultati sarebbero diversi, ma comunque molto vicini. Il TIR è allora i*=3,33%. Se avessimo scelto un punto iniziale maggiore di 0,967767 ma diverso da 1, il risultato sarebbe stato lo stesso.

482

Appendice: il caso dei pagamenti periodici (uso del foglio elettronico)

Nella pratica si usa spesso la funzione di excel TIR.COST che fornisce il tasso d’interesse di rendimento di un’operazione finanziaria. La sua sintassi è la seguente:

TIR.COST(val;ipotesi) val è un vettore che contiene gli importi di cui si desidera calcolare il tasso di rendimento interno. Tale vettore deve contenere almeno un valore positivo e uno negativo e deve rispettare la successione dei valori per interpretare l'ordine di successione dei flussi di cassa. ipotesi è un numero che si suppone vicino al risultato di TIR.COST, e serve per stabilire, come per il metodo di Newton, il punto iniziale del processo iterativo che esegue il calcolo della funzione TIR.COST. Iniziando con il valore ipotesi, la funzione TIR.COST applica il metodo delle iterazioni fino a quando la precisione del risultato non rientra nello 0,00001%.

483

Appendice: il caso dei pagamenti periodici (uso del foglio elettronico)

Nella figura seguente abbiamo utilizzato i valori dell’esempio precedente, organizzati in sequenza dalla cella B2 alla cella G2. Per il calcolo del TIR, la funzione TIR.COST ha come argomenti il vettore degli importi ed il valore 1,2 scelto arbitrariamente. Il risultato, come si vede, è praticamente uguale a quello ottenuto col metodo di Newton, tenendo conto che il tasso trovato si riferisce alla distanza temporale (costante) tra i pagamenti. Sostanzialmente se l’intervallo tra i pagamenti fosse semestrale, anche il valore della funzione TIR.COST sarebbe riferito ad un tasso semestrale, da convertire annualmente.

484

Appendice: il TAEG e il TAN

Il tasso annuo effettivo globale (T.A.E.G.) è definito come quel tasso annuo che rende uguali la somma del valore attuale di tutti gli importi che compongono un finanziamento erogato dal creditore con la somma del valore attuale di tutte le rate di rimborso. In altre parole il TAEG rende nullo il VAN; è proprio la definizione del TIR:

Tale definizione è espressa nel Decreto Ministeriale dell’8 luglio 1991, in applicazione della legge 141/91, per consentire al consumatore di leggere un parametro di confronto attendibile ed efficace nella scelta di un’operazione di credito al consumo. Lo stesso DM definisce, poi, un altro parametro di lettura che è il TAN o Tasso Annuo Netto, che è uguale al TAEG, ma tiene conto anche delle spese relative al finanziamento, cioè non relative all’acquisto.

485

TAEG = TIR


In generale si ha: e vale il segno di uguaglianza solo nel caso in cui le spese siano nulle. A titolo di esempio, consideriamo un finanziamento per l’acquisto di un bene durevole con valore pari a 12.000 euro, rimborsabili mediante 12 rate mensili posticipate di importo 1.000 euro, e sia pari a 150 euro il costo per l’istruttoria del finanziamento. Chiaramente il TAEG è nullo, essendo la somma delle rate pari al finanziamento ottenuto. Il legislatore, al fine di obbligare gli operatori ad avere un comportamento trasparente, ha imposto l’uso del TAN nelle comunicazioni pubblicitarie, per cui il consumatore ha la possibilità di tener conto di tutte le variabili che condizionano la scelta. Considerando anche il “costo iniziale” di 150 euro, allora si potrà calcolare il TAN:

486

TAEG ≥ TAN


Mediante la funzione Excel TIR.COST troviamo il valore i1/12

*=0,001941 ed infine il TIR annuo:

i*=(1+ i1/12* )12 -1 = 2,3536%

Il consumatore può allora stimare con certezza le offerte sul mercato per valutare quella più conveniente: in questo esempio è preferibile un finanziamento a costi zero e tasso 2% (TAEG e TAN pari al due percento).

12

*1/12

k=1

1.000 1 150 12.000k

i

487

Conclusioni Prima di analizzare i vari criteri di analisi degli investimenti si è chiarito

che per effettuare il confronto fra operazioni finanziarie queste devono essere omogenee.

Fra i criteri di scelta di investimento, i più importanti sono il TIR e il VAN dei quali abbiamo analizzato i vantaggi e gli svantaggi che tali metodi recano nel confronto tra due operazioni finanziarie, abbiamo imparato a calcolarli e dare un giudizio di convenienza su un finanziamento utilizzando entrambi i metodi.

Come metodo di ricerca del TIR abbiamo visto l’interpolazione lineare, che avevamo utilizzato anche per la ricerca del tasso nelle rendite.

Infine abbiamo descritto il metodo del tempo di recupero, semplice ma molto utilizzato nonostante i suoi limiti.

Come approfondimento sono stati inseriti alcuni argomenti in appendice: il metodo di Newton, l’utilizzo delle funzioni elementari di Excel per calcolare sia il VAN che il TIR (TIR.COST). Si sono proposti anche TAN ed il TAEG, due indicatori molto utili per la scelta tra due finanziamenti.

488

Criteri di valutazione degli investimenti

VAN

PBP TIR

Tasso interno di rendimento

Valore attuale netto

Periodo di recupero

Dipende fortemente dal tasso(costante) di valutazione utilizzato

Ci sono operazioni

finanziarie che non hanno TIR

Non è un criterio finanziario

Omogeneità delle operazioni

finanziarie

Presenter

Presentation Notes

I criteri di scelta di investimenti più importanti sono il TIR, il VAN e il periodo di recupero chiamato anche payback period, ognuno dei quali associa ad ogni possibilità di investimento, un indice di convenienza per poter scegliere poi quello maggiormente vantaggioso. Ciascuno di questi criteri presenta vantaggi ma anche dei limiti, il VAN ad esempio è un criterio soggettivo, influenzato dal tasso di valutazione scelto, cambiando tale tasso si potrebbero ottenere risultati diversi. Per quanto riguarda il TIR, dobbiamo sottolineare che esistono operazioni finanziarie che non ne sono dotate, questo quando l’equazione che lo definisce non ammette soluzioni. È necessario puntualizzare che qualunque criterio si utilizzi per l’analisi, affinché il confronto tra due investimenti sia legittimo, occorre che questi abbiano almeno la stessa durata e lo stesso esborso iniziale, si parla quindi di omogeneità delle operazioni finanziarie.

Esercizio 1

Calcolare il TIR di un investimento che si ottiene comprando 1.000 titoli descritti dal seguente scadenzario: (-98; 5; 5; 5; 5; 105)/(0; 1; 2; 3; 4; 5)

nel caso in cui metà del capitale necessario per l’acquisto sia frutto di un prestito che viene rimborsato in 5 anni a rimborso unico al tasso del 3% annuo.

491

Metà del capitale: 49 Quote interesse: Scadenzario del prestito:

Flussi netti:

492

49 0.03 1,47⋅ =

( )( )49; 1,47; 1,47; 1,47; 1,47; 1,47; 50,47 /

0;1;2;3;4;5

− − − − − −

( )( )

49;3,53;3,53;3,53;3,53;54,53 /

0;1;2;3;4;5

−

Equazione di equilibrio:

493

( )

54

0 0

1 1

1 00 0

1 0

49,3 3,53 54,53 (1 )

7% 50,89% 46,9

7,77%

ia i

i Ai A

i ii i A A iA A

−= ⋅ + ⋅ +

= → == → =

−= + ⋅ − →

−

Esercizio 2

Un intermediario finanziario acquista due unità dell’operazione finanziaria (P1; 5; 105)/(0; 1; 2) e tre unità dell’operazione finanziaria

(P2; 4; 4; 4; 104)/(0; 1; 2; 3; 4). Sapendo che la forza d’interesse vigente sul

mercato è calcolare: 1. i prezzi delle due operazioni finanziarie; 2. il TIR dell’operazione complessiva.

494

( ) 220,055

1tt

tδ = ⋅

+

( ) ( )( )( )

22 00

0,0552 2

0,0552

0,0552

20,055 0,055 log |1 |1

0,055 log 1 log 1

( ) 1

( ) 1

t ts ds ss

t t

r t t

v t t−

⋅ = ⋅ + = +

= ⋅ + = +

⇒ = +

⇒ = +

∫

495

Prezzi:

496

1

2

0,055

0,055

0,055

0,055

5 (1) 105 (2) 100,924 (1) 4 (2) 4 (3) 104 (4) 100,03

con:(1) 2 0,9626(2) 5 0,9153(3) 10 0,8810(4) 17 0,8557

P v vP v v v v

vvvv

−

−

−

−

= ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= =

= =

= =

= =

Operazione complessiva:

Scadenzario:


497

1 22 3 502,81P P P= ⋅ + ⋅ =

( ) ( )502,81;22 ;222 ;12 ;312 / 0;1;2;3;4−

2 3 4502,81 22 222 12 3121

1

v v v v

vi

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

=+

( )

0 0

1 1

1 00 0

1 0

4% 504,205% 489,88

0,04097%

i Ai A

i ii i A A iA A

= → == → =

−= + ⋅ − →

−

498

Esercizio 3

Un azienda deve attivare un progetto di investimento da scegliere tra i seguenti:

a) prevede il versamento immediato di 30.000.000, un ulteriore versamento di 4.000.000 dopo un anno e entrate di 45.000.000 tra due anni;

b) prevede un uscita immediata di 50.000.000 e una sola entrata di 70.000.000 dopo due anni.

499

Calcolare, trascurando operazioni integrative:

1) quale progetto risulta migliore utilizzando il criterio del TIR;

2) quali valori del tasso di valutazione, utilizzando il criterio del VAN, avrebbero condotto ad una scelta identica a quella fatta seguendo il criterio del TIR.

500

Scadenzario delle due operazioni: A: (-30;-4;45)/(0;1;2) B: (-50;0;70)/(0;1;2) Calcolo del TIR: Operazione A:

501

2 4 16 5.400 4 73,645 4 30 090 90

0,8621 0,1597

1

v v v

v

v ii

± + ±− − = → = =

→ =

= ⇒ =+

Operazione B:

Operazione B più conveniente. Per la seconda parte si impone:

502

2 7070 50 0 1 0,183250

v i− = → = − =

2 2 270 50 45 4 30 25 4 20 00,818; 0,978

v v v v vv

− > − − → + − >⇒ = −

Soddisfatta per valori esterni

503

0,8181 10,818 1 0,2225

1 0,818

v

i ii

>

> → + < → <+

Esercizio 4

Un azienda industriale ricorre per l’acquisto di un attrezzatura il cui prezzo di listino è di 50.000.000 alla seguente formula di pagamento: versamento anticipato del 20% del prezzo e contemporaneo pagamento delle spese di gestione della pratica ammontanti a 300.000, versamento immediato posticipato di 12 canoni (rate) bimestrali costanti ed infine, insieme all’ultimo canone, pagamento del valore residuo del bene prefissato al 3,5% del prezzo di listino.

504

Calcolare, sapendo che il tasso di equilibrio dell’operazione è pari al 20%:

1) l’importo del canone; 2) quale sarebbe stato il prezzo di listino se

il canone fosse risultato di 4.000.000 (rimanendo invariate le spese di gestione, il versamento anticipato pari al 20% di 50.000.000 e il valore residuo).

505

Il tasso di equilibrio è il 20 % per cui

506

16

212

50.000.000 0,20 50.000.000 300.0001.750.000 (1 )

3.886.000

iC a i

C

−

= ⋅ + +

+ ⋅ + ⋅ +

→ =

In presenza di canone bimestrale di 4.000.000 prezzo di listino 51.129.238

507

Esercizio 5

Una operazione di leasing prevede l’acquisto di un automezzo del valore di 15.000 alle seguenti condizioni:

- durata 5 anni; - 54 canoni mensili di 300 euro; - oltre ai versamenti anticipati mensili, un

maxicanone di 6 mensilità pagato in via immediata anticipata.

Calcolare: - il tasso di costo dell’operazione descritta;

- il tasso di costo in caso di versamenti anticipati regolari ed in assenza di maxi canone.

508

L’equazione di equilibrio finanziario è:

Risolviamo per interpolazione

Si ottiene:

Tasso di costo su base annua

509

1/12 1/1254 5415.000 6 300 300 44

i ia a= ⋅ + ⋅ ⇒ =

0 0

1 1

0,006 46,28430,010 41,9844

i Ai A

= → =

= → =

( )1 01/12 0 0

1 0

0,008125i ii i A AA A

−+ ⋅ − =

−

121,008125 1 0,101976i = − =

Seconda alternativa:

Risolviamo per interpolazione:

Si ottiene:

Tasso di costo su base annua

510

1/12 1/1260 6015.000 300 50

i ia a= ⋅ ⇒ =

0 0

1 1

0,004 53,46190,008 47,8842

i Ai A

= → =

= → =

( )1 01/12 0 0

1 0

0,006483i ii i A AA A

−+ ⋅ − =

−

121,006483 1 0,08063i = − =

Esercizio 6 Un investitore deve confrontare due operazioni: - la prima costa 100 e offre entrate di 30 per i

primi 3 anni e 45 all’epoca 4; - la seconda costa 100 e offre entrate di 40 per i

primi tre anni. L’operazione integrativa che consente di rendere

omogenee le due alternative consiste nel reinvestire gli importi intermedi della seconda operazione fino all’epoca 4 al 7%.

Calcolare: - quale delle due operazioni finanziarie è

conveniente; - quale tasso di reinvestimento rende

equivalenti le due operazioni in base al criterio del TIR.

511

Scadenzari delle due operazioni:

L’operazione integrativa è:

Scadenzario della seconda operazione:

TIR della prima operazione:

512

1

2

: ( 100;30;30;30;45) / (0;1;2;3;4): ( 100;40;40;40) / (0;1;2;3)

θθ

−−

( )3 240 1,07 1,07 1,07 137,598⋅ + + =

2 : ( 100;0;0;0;137,598) / (0;1;2;3;4)θ −

4 3 2

1

45 30 30 30 100con (1 )

v v v vv i −

+ + + =

= +


Formula dell’interpolazione:

Seconda operazione:

513

0 0

1 1

0,85 89,090,95 117,95

v Av A

= → =

= → =

( )1 00 0

1 01

0,8878

1 0,1264 (esatta: 0,1229)

v vv v A AA A

i v i−

−+ ⋅ − =

−

⇒ = − = =

1/44

1

100137,598 100 0,9233137,598

1 0,08306

v v

i v−

= → = =

⇒ = − =

La prima operazione è più vantaggiosa, avendo un rendimento maggiore della seconda.

Tasso di reinvestimento:

Si trova per interpolazione:

514

( )3 2 4

3 2

40 (1 ) (1 ) (1 ) 1,1229 100

(1 ) (1 ) (1 ) 3,9747

i i i

i i i

−⋅ + + + + + ⋅ =

⇒ + + + + + =

0,1474i

Esercizio 7 Un soggetto prende a prestito 200.000 euro

per attivare un’impresa ed aggiunge un uguale importo di capitale proprio.

Ritiene che i redditi che produrrà saranno pari a 60.000 euro l’anno per un decennio.

Considerando che il prestito è rimborsato in ammortamento francese al 7% calcolare il TIR dell’operazione.

Calcolare a quale tasso i’ avrebbe dovuto prendere a prestito le somme in oggetto se avesse desiderato un TIR maggiore dell’1% di quello precedentemente individuato. 515

Lo scadenzario della prima operazione è:

Rata della seconda operazione:

Lo scadenzario della seconda operazione è:

Lo scadenzario dell’operazione complessiva è:

516

( 400.000; 60.000; ; 60.000) / (0;1; ;10)− + +

10 0,07

200.000 28.475,5Ra

= =

( 200.000; ; ; ) / (0;1; ;10)R R+ − −

( 200.000; 31.524,5; ; 31.524,5) / (0;1; ;10)− + +



Ipotizziamo ora

517

10200.000 31.524,5

ia= ⋅

( )

0 0

1 1

1 00 0

1 0

0,09 202.3130,10 193.704

0,092687

(tasso esatto 9,2621%)

i Ai A

i ii i A AA A

i

= → =

= → =−

+ ⋅ − =−

=

10,2621% TIR =

Le entrate incognite X dell’operazione complessiva:

Rate del nuovo ammortamento francese

Il nuovo tasso i’ dovrà soddisfare:

Per interpolazione:

518

10 0,10262110 0,102621

200.000200.000 32.916,5X a Xa

= ⋅ → = =

' 60.000 32.916,5 27.083,5R = − =

10 '10 '

200.000 200.00027.083,5 7,384627.083,5i

i

aa

= → = =

' 5,93%i =

Esercizio 8

Siano date le seguenti due operazioni di investimento: I1 = (-100; 30; 40; 30; 50) / (0; 1; 2; 3; 4);

I2 = (-80; 25; 30; 60) / (0; 1; 2; 3). Per integrare I2 sul mercato è presente la

seguente operazione integrativa: I3 = (-20; 1; 1; 21) / (0; 1; 2; 3)

ed i flussi intermedi possono essere reinvestiti al tasso j.

Calcolare il valore di j che rende equivalenti le due alternative.

519

Le due operazioni I1 e I2 non sono omogenee perché non hanno la stessa durata e non presentano lo stesso esborso iniziale.

L’integrazione di I2 con I3 consente di ottenere lo stesso esborso iniziale:

I2+I3 = (-100; 26; 31; 81) / (0; 1; 2; 3). I flussi intermedi possono essere reinvestiti al

tasso j perciò si ottiene all’epoca 4:

Possiamo ora utilizzare il criterio del TIR. Il TIR della prima operazione si ottiene risolvendo l’equazione di equilibrio. 520

3 2 126 (1 ) 31 (1 ) 81 (1 ) .M j j j= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

Si ottiene: con Il metodo dell’interpolazione fornisce .

Imponiamo che anche la seconda operazione

(con le due integrazioni precedenti) abbia lo stesso TIR. Dovremo imporre la condizione

Risolviamo nuovamente per interpolazione. Si ottiene: .

521

2 3 4100 30 40 30 50v v v v= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1(1 ) .v TIR −= +

17,13%TIR

( )4

3 2 1

100 1 188,2271

26 (1 ) 31 (1 ) 81 (1 ) 188,2271.

M TIR

j j j

= ⋅ + =

⇒ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =

20,54%j

Esercizio 9

Un impianto del valore di 1.150.000 Euro può essere finanziato da un’azienda in due modalità alternative: il pagamento di 5 rate pari a 325.000 immediate

anticipate in cui sono comprese spese di manutenzione; il pagamento di 5 rate di 250.000 immediate anticipate

in cui non sono comprese dette spese di manutenzione.

Sapendo che le spese di manutenzione si presentano all’epoca 2 e 4 e che sono ciascuna pari a 200.000 valutare la convenienza tra le due alternative di finanziamento.

Individuare inoltre il valore delle spese di manutenzione che rende indifferente le due alternative.

522

La prima alternativa prevede un’entrata di 1.150.000 all’epoca zero ed il seguente flusso di uscite:

Il saldo netto sarà perciò:

Il TIR si ottiene risolvendo l’equazione di equilibrio:

Si ottiene per interpolazione . La seconda alternativa prevede un’entrata di

1.150.000 all’epoca zero ed i seguenti flussi di uscite:

523

( 325.000; 325.000; 325.000; 325.000; 325.000) / (0;1; 2; 3; 4)− − − − −

( 825.000; 325.000; 325.000; 325.000; 325.000) / (0;1; 2; 3; 4)+ − − − −

4825.000 325.000

ia= ⋅

1 21,04%TIR

( 250.000; 250.000; 250.000; 250.000; 250.000) / (0;1; 2; 3; 4)(0; 0; 200.000; 0; 200.000) / (0;1; 2; 3; 4)− − − − −

− −

Il saldo netto sarà perciò:

Il TIR si ottiene risolvendo l’equazione di equilibrio:

Si ottiene per interpolazione . La seconda alternativa è perciò più conveniente.

Supponiamo ora che le spese di manutenzione

abbiano un valore incognito .

524

( 900.000; 250.000; 450.000; 250.000; 450.000) / (0;1; 2; 3; 4)+ − − − −

2 3 4

250.000 450.000 250.000 450.000900.0001 (1 ) (1 ) (1 )i i i i

= + + ++ + + +

2 19,03%TIR

α

Lo scadenzario della seconda alternativa sarà quindi:

Imponiamo che il TIR dell’operazione sia 21,04%. Avremo:

Si ottiene un’equazione di primo grado in che ha per soluzione

525

( 900.000; 250.000; 250.000 ; 250.000; 250.000 )/(0;1; 2; 3; 4)

α α+ − − − − − −

2 3 4

250.000 250.000 250.000 250.000900.0001,2104 1,2104 1,2104 1,2104

α α+ += + + +

α231.090.α =

MODULO 5

OBBLIGAZIONI, STRUTTURA DEI TASSI, ARBITRAGGIO

526

Argomenti Obiettivi. Introduzione. Titoli obbligazionari. Titoli obbligazionari a cedola nulla: zero coupon bond. Titoli obbligazionari a cedola fissa. Le ipotesi caratteristiche del mercato: non frizionalità,

competitività, assenza di arbitraggi. Contratti a pronti, contratti a termine (forward). Tassi d’interesse a pronti. Struttura a termine dei tassi e relazione di coerenza. Prezzo di mercato. Struttura dei tassi piatta. Violazione della relazione di coerenza; arbitraggio. Appendice: approfondimenti sui contratti a termine

(forward).

527

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono: conoscere le caratteristiche dei titoli

obbligazionari, in particolare i titoli a cedola fissa e i titoli a cedola nulla;

conoscere la definizione di contratto a pronti e a termine e la relazione di coerenza;

desumere la struttura dei tassi d’interesse a pronti e a termine;

saper congegnare una strategia d’arbitraggio.

528

Introduzione

Il tasso di valutazione che un operatore razionale dovrebbe utilizzare per stimare una operazione finanziaria corrisponde a quello in base al quale egli impiega normalmente le sue disponibilità. Ciò accade in un preciso istante e, soprattutto, sulla base di un orizzonte temporale ben preciso a scelta dell’operatore. Però se cambiamo la durata dell’investimento, o del finanziamento, notiamo che nel mercato dei capitali il tasso d’interesse varia sensibilmente; il “tasso di mercato” non è unico, ma dipende dalla durata presa in considerazione. Inoltre, presupponendo che i tassi d’interesse non sono costanti col passare del tempo, è rilevante sapere se l’operazione finanziaria inizia subito (ed allora si avrà un tasso detto “a pronti”) oppure se l’operazione inizia in un istante successivo a quello di pattuizione (tasso “a termine”). In questo modulo affronteremo le grandezze finanziarie sia in un contratto a pronti che in un contratto a termine, e ne troveremo le relazioni fondamentali.

529

Titoli obbligazionari

Nell’ambito dei prestiti divisi figurano i cosiddetti prestiti obbligazionari, mediante i quali enti pubblici o privati accedono ad ingenti finanziamenti collocando quote del prestito emesso a soggetti investitori, che divengono titolari dei diritti connessi alle quote detenute. Un titolo obbligazionario può essere acquistato dal proponente in fase di emissione (mercato primario) oppure successivamente da altri investitori (mercato secondario); in entrambi i casi si paga un prezzo d’acquisto P che garantisce contrattualmente un flusso di incassi futuro.

530


Nei paragrafi successivi tratteremo due tipi di obbligazioni: quelle senza cedola e quelle con cedola costante.

531


Titoli a cedola nulla Titoli a cedola fissa Titoli a cedola variabile

Titoli obbligazionari a cedola nulla: zero coupon bond

Uno “zero coupon bond” è un titolo senza cedole, a capitalizzazione integrale. A fronte del prezzo P, pagato dall’acquirente nell’istante corrente t0, viene garantito in un istante successivo t1 il rimborso di un importo fissato maggiore del prezzo pagato. La scadenza t1 viene detta “maturity” e rappresenta il momento in cui il prestito si esaurisce col rimborso del capitale x1=C, noto come valore facciale o valore nominale (VN). L’acquisto di un titolo zero coupon bond (ZCB) può essere così formalizzato:

z ={-x0, x1} / {t0, t1} con x1 >x0 e t0< t1. Il valore attuale dello ZCB coincide col suo prezzo:

532

t0 t1

-x0 x1

A(t) = P


Il guadagno per l’investitore corrisponde alla differenza tra x1 e x0, x0 rappresenta il prezzo d’acquisto P. Ad esempio consideriamo uno ZCB

z1= {-97,50; 100} / {0; 0,5} con t in anni. Calcoliamo il TIR : Esempio. Consideriamo un importante caso di ZCB: i BOT emessi dallo Stato italiano ogni 15 giorni circa, nelle durate di 3 mesi, 6 mesi e 12 mesi mediante asta indetta dal Ministero del Tesoro. Essi sono caratterizzati da un interesse implicito, rappresentato dalla differenza tra il costo di acquisto e il valore nominale del titolo, detto scarto di emissione.

533

212 10097,5 100 (1 ) 1 5,1939%

97,5i i

− = ⋅ + → = − =


Ci riferiamo ad un valore nominale (VN) pari a 100, anche se nella pratica si possono acquistare solo multipli del taglio minimo di mille euro. Secondo il nostro sistema fiscale agli interessi pagati dal titolo viene applicata un’imposta sostitutiva del 12,50%, nel caso di un acquirente che non svolga attività di impresa. In sostanza l’imposta incide sul prezzo d’emissione innalzandolo di

∆P = 0,125 ⋅ ∆A = 0,125 ⋅ (VN – P) Prendendo alcuni dati dai quotidiani economici del settore si rileva che all’asta del 12 Ottobre 2004 il prezzo del BOT 3m è 99,501, la ritenuta è 0,062375 ed il prezzo netto di aggiudicazione è 99,563 con una vita residua di τ=92 giorni. Possiamo allora calcolare le grandezze fondamentali: j(0,92)=(100 – 99,501 )/99,501=0,005015=0,5015% tasso “lordo” j’(0,92)=(100 – 99,563)/99,563=0,004385=0,4385% tasso “netto”

534

Titoli obbligazionari a cedola fissa

Un titolo obbligazionario a cedola fissa garantisce al titolare l’incasso di importi periodici, le cedole, ed in concomitanza dell’ultimo periodo il rimborso del valore facciale o capitale. Il titolo è caratterizzato dalle seguenti grandezze : Con I indichiamo la cedola, che si calcola sul valore nominale.

535

P prezzo d’acquisto VN valore nominale

VR valore di rimborso J(m) tasso nominale

n scadenza


Esempio: P = 97; VN = 100; VR = 101; n = 3; J(2) = 0,06 È un’obbligazione che paga cedole semestrali. I = J(2).100 = 0,06.100 = 6 Schema dei flussi:

536

3 al primo semestre

3 al secondo semestre

2 3 3/2 1/2 1 5/2 0

– 97 3 101+3 3 3 3 3


A differenza degli ZCB, i titoli a cedola fissa possono essere acquistati alla pari, sotto la pari e sopra la pari. Nella pratica vengono utilizzate le seguenti definizioni:

Casi possibili Alla pari P = VN = 100 per convenzione

Sotto la pari P < VN Sopra la pari P > VN

537

VNI

i = è il tasso cedolare. Può essere lordo oppure netto.


La differenza VN – P, qualora sia positiva, è chiamata scarto o premio d’emissione. Nella pratica la differenza VN – P viene denominata:

538

somma cedoleVN

è il tasso nominale (annuo).

Aggio d’emissione

se VN>P

Disaggio d’emissione

se VN<P


Nella maggioranza dei casi il titolo obbligazionario viene acquistato in un istante successivo a quello di emissione, per cui il capitale C ha già maturato una quota della cedola che verrà pagata successivamente al tempo t (cedola in corso). Tale quota è nota come rateo di interesse, ed è così definita:

539

0 n

-P

C+I

t0 t1

acquisto

n-1

I I I I

maturazione del rateo

t

00 1

1 0

cont tR I t t tt t

−= ⋅ < <

−


Conseguenza di tale definizione è che il rateo non è altro che l’interesse semplice generato dal capitale C al tasso nominale annuo I/τC nel periodo (t-t0): Indicando con τ il periodo (costante) tra una cedola e quella successiva, Naturalmente 0≤R≤I, ed il valore di R dipende linearmente da t.

540

R = 0 se acquistiamo il titolo subito dopo lo stacco della cedola

R = I se acquistiamo il titolo subito

prima lo stacco della cedola

0 < R < I se acquistiamo il titolo tra una

cedola e la successiva

( ) 00

1 0

t tIR C t t IC t tτ

−= ⋅ − = ⋅

⋅ −


Il soggetto che acquista l’obbligazione paga al venditore la quota R di interessi maturati fino all’istante t; successivamente, all’incasso della cedola in corso, egli riceverà I. Però, nelle quotazioni ufficiali del mercato secondario delle obbligazioni, in genere è indicato il cosiddetto “corso secco” Q=P-R, al posto del corso “tel quel” effettivamente poi pagato. Ciò avviene per rendere confrontabili due titoli le cui scadenze non coincidono, in quanto la diversa cedola in corso potrebbe rendere difficile la valutazione dei titoli stessi.

541

Corso secco Corso tel quel

è il prezzo che non tiene conto del rateo maturato

è pari al corso secco più il rateo maturato

Titoli obbligazionari a cedola fissa Sulle cedole è applicata un’imposta sostitutiva, nel caso di acquirente che non svolge attività di impresa, pari al 12,50%; anche sulla differenza VN-P (premio di emissione o plusvalenza) è applicata l’imposta sostitutiva del 12,50% alla scadenza. Nel calcolo del rateo si conteggiano i giorni sulla base dell’anno commerciale, compresi il primo e l’ultimo giorno del periodo di maturazione. Poniamo ad esempio il BTP quinquennale emesso il 15.04.04 (codice ISIN IT0003652077) scadente il 15.04.09. Il tasso nominale è 3% ed il prezzo di emissione 98,62. Alla data del 20.10.04 il titolo secco al MTA era 99,60 con vita residua di 4 anni e 174 giorni. Il tasso cedolare è pari all’1,50%, la cedola lorda 1,50 euro e la cedola netta 1,50 ⋅ (1 – 0,125) = 1,3125. Qualora l’investitore porti il titolo fino alla scadenza, il valore di rimborso, oltre all’ultima cedola netta, sarà: 100 – 0,125 ⋅(100-99,60) = 100 – 0,05 = 99,95 Il rateo al 20.10.04 è R = I ⋅ 6/180 = 1,3125 ⋅ 0,03333 = 0,04375 euro, per cui l’investitore ha pagato il prezzo P = 99,64375 542

Le ipotesi caratteristiche del mercato: non frizionalità, competitività, assenza di arbitraggi

I concetti fondamentali della matematica finanziaria saranno ora inseriti nel contesto di un mercato ideale. L’emissione e lo scambio dei titoli (o contratti) finanziari avviene attraverso il cosiddetto mercato dei capitali, un termine dal significato molto ampio, che possiamo caratterizzare come l’insieme dei prodotti finanziari oggetto di emissione e di scambio ed il sistema degli “attori” che a diverso titolo agiscono nel mercato. In questa sede tralasciamo sia l’aspetto delle norme, consuetudini e disposizioni che regolano le emissioni e gli scambi dei titoli, che l’insieme delle strutture mediante le quali avvengono le negoziazioni dei prodotti finanziari, prediligendo come oggetto di studio i titoli obbligazionari. Sono le ipotesi di funzionamento del mercato che determinano il prezzo di un titolo obbligazionario, anziché una legge di equivalenza finanziaria astratta.

543


Al fine di descrivere formalmente le leggi che governano il mercato obbligazionario poniamo alcune ipotesi fondamentali:

544

Ipotesi di non

frizionalità

Non ci sono costi di transazione né prelievi fiscali

I titoli sono infinitamente divisibili (non esiste né il minimo né il massimo negoziabile)

E’ possibile detenere quote negative di titoli (short sales o vendite allo scoperto)

Non esiste rischio di insolvenza (default risk), i contratti verranno sicuramente onorati.


545

Ipotesi di competitività

Tutti gli operatori hanno opinioni conformi e perseguono la massimizzazione del profitto: nella

scelta di due quantità monetarie preferiscono sempre, a parità di altre condizioni, il possesso

della quantità maggiore

Nessun operatore, con la sua attività di transazione, è in grado di influenzare il prezzo dei titoli (price taker). Vendendo (o comprando) grandi quantità

dello stesso titolo, il prezzo di mercato non scende (o sale).

Tutti gli operatori hanno opinioni conformi e perseguono la massimizzazione del profitto: nella

scelta di due quantità monetarie preferiscono sempre, a parità di altre condizioni, il possesso

della quantità maggiore

Nessun operatore, con la sua attività di transazione, è in grado di influenzare il prezzo dei titoli (price taker). Vendendo (o comprando) grandi quantità

dello stesso titolo, il prezzo di mercato non scende (o sale).

Assenza di arbitraggi

E’ preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che ciò comporti alcuna

assunzione di rischio

Contratti a pronti, contratti a termine (forward)

Ipotizziamo che nel mercato appena descritto esistano due tipologie di operazioni finanziarie: operazioni a pronti e a termine. Operazione a pronti: Operazione a termine:

546

È un’operazione finanziaria conclusa in t0 che prevede lo scambio di un importo x0 in t0 con un altro importo xn in tn.

È un’operazione finanziaria conclusa in t0 che prevede lo scambio di un importo xh in th con un altro importo xn in tn.

Contratti a pronti, contratti a termine (forward)

Lo schema delle due operazioni finanziarie è il seguente. Operazione a pronti (x0, xn) / (t0, tn) Operazione a termine (0, xh, xn) / (t0, th, tn) N.B. Per indicare lo schema delle operazioni finanziarie si possono usare indifferentemente le parentesi tonde o graffe.

547

t0

xn x0

tn

t0

xn 0

tn

xh

th

Nell’operazione finanziaria a termine all’epoca t0 non c’è scambio di denaro, ma solo l’accordo.

Tassi d’interesse a pronti

Sia disponibile nel mercato uno ZCB (x0, xn) / (t0, tn) , che paga xn all’epoca tn e costa oggi x0, l’investitore potrà capitalizzare le sue risorse secondo il fattore di capitalizzazione: Per convenzione ci riferiamo al regime finanziario dell’interesse composto: Simmetricamente possiamo ricavare il valore attuale

548

( ) ( ) 0

0 0, 1 , nt tn nm t t i t t

−= +

( ) ( ) 0( )00 0, 1 , nt t

n nn

xv t t i t tx

− −= = +

( )00

, nn

xm t tx

=


Indicheremo tasso d’interesse a pronti o tasso spot il tasso espresso su base periodale:

549

( )0 , ni t t

Partendo dal montante

Partendo dal valore attuale

Tasso istantaneo a pronti:

( ) ( ) 0

1

0 0, , 1nt tn ni t t v t t −

−= −

( ) ( ) 0

1

0 0, , 1nt tn ni t t m t t −= −

( ) ( ) ( )0 0 00 0

1 1, log , log ,n n nn n

h t t m t t v t tt t t t

= = −− −

Tassi d’interesse a pronti Esempio: dato il seguente ZCB determinare il tasso spot. Abbiamo trovato il tasso a pronti. Tra l’epoca 0 e l’epoca 1 il tasso di riferimento è i=5,0505%.

550

1 ( 99;104) /(0;1)z = −0

104 – 99

1

0

1

0

104(0,1) 1 1 0,05050599

nt tnxi

x

− = − = − =


Vediamo un altro esempio: dato il seguente ZCB determinare il tasso spot. Dall’epoca 0 all’epoca 2 il tasso di riferimento è i=3,962%. Siamo in un’ottica in cui i tassi variano nel tempo.

551

2 ( 99;107) /(0;2)z = −

0

1 12

0 99(0,2) 1 1 0,03962107

nt t

n

xix

− −− = − = − =

Struttura a termine dei tassi e relazione di coerenza

L di ibili à di ZCB l di d i diLa disponibilità di ZCB per le diverse scadenze, ci permette di calcolare i tassi spot per le diverse durate, una volta noti tali valori si può ricavare la curva continua che esprime la struttura dei tassi a termine.Sotto l’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, in un contesto di mercato ideale, secondo cui intuitivamente è ,preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che ciò comporti alcuna assunzione di rischio è possibile formulare la cosiddetta relazione di coerenza che possiamocosiddetta relazione di coerenza che possiamo formalizzare come segue:

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , , ) conh h hm t t m t t m t t t t t t 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , , ) con n h h n h nm t t m t t m t t t t t t

oppure:

5520 0 0 0( , ) ( , ) ( , , ) con n h h n h nv t t v t t v t t t t t t


La grandezza indica la somma che si riceve in tn, pagando 1 all’epoca th, in base al contratto stipulato in t0. In base alla relazione vista possiamo affermare che il tasso valutato in t0, relativo al periodo compreso fra th e tn sarà:

553

( )0 , ,h nm t t t

Tasso a termine o tasso forward

Tale tasso prende il nome di:

( ) ( ) ( )1 1

0 0 0, , , , 1 , , 1n h n ht t t th n h n h ni t t t m t t t v t t t −

− −= − = −


D t di i t t i l l i di è lDa un punto di vista teorico la relazione di coerenza è la scindibilità traslata nel mercato dei capitali.

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , , ) con n h h n h nm t t m t t m t t t t t t

I due fattori di montante sono uguali, infatti siamo in concorrenza perfetta. Per la legge dell’unico prezzo, due prodotti finanziariamente equivalenti devono avere lo stesso prezzo

0 0 0 0( ) ( ) ( )n h h n h n

finanziariamente equivalenti devono avere lo stesso prezzo.

0( , )nm t t

t0

1

t

xh

th

1 xh

0 tnh

0 0( , ) ( , , )h h nm t t m t t t

554t0 tnth


Dalla relazione di coerenza deriviamo: Alcune relazioni notevoli:

555

( ) ( )( )

00

0

,, ,

,n

h nh

m t tm t t t

m t t=

( ) ( ) ( )0 0, , 1 , , n ht t

h n h nm t t t i t t t−

= +

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

1, , 1 , ,, ,

n ht th n h n

h n

v t t t i t t tm t t t

− −= = +


f dI tassi forward saranno:

1/0 0, , , , 1n ht t

h n h ni t t t m t t t

Il tasso istantaneo a termine sarà:

0 0 01 1, , log , , log , ,h n h n h nh t t t m t t t v t t t

t t t t

n h n ht t t t

556

Prezzo di mercato

Nell’ottica in cui stiamo lavorando, non parliamo più di valore attuale ma di prezzo delle operazioni finanziarie. Consideriamo la seguente obbligazione: B = (P, 10, 10, 110)/(0, 1, 2 ,3) dove P è il prezzo incognito dell’obbligazione. Il prezzo sarà dato da: Conoscendo:

557

0 1 2 3

10 110 10

10 (0,1) 10 (0,2) 110 (0,3)P v v v= ⋅ + ⋅ + ⋅

(0,1) 0,9091(0,2) 0,8403(0,3) 0,8000

vvv

===

Prezzo di mercato

possiamo calcolare il prezzo dell’obbligazione.

558

10 0,9091 10 0,8403 110 0,8000 105,4940P = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Il valore di mercato dell’obbligazione descritta,

derivante dalle condizioni di mercato

Esempi

Esempio: in un certo momento il mercato è formato da tre ZCB Ricavare, da queste informazioni, la struttura dei tassi esplicitando sia i tassi a pronti che i tassi a termine.

559

1

2

3

(100;120) / (0;1)(100;130) / (0;2)(100;145) / (0;3)

zzz

===

1

2

3

120(0;1) 1,2100

130(0;2) 1,3100

145(0;3) 1,45100

Z m

Z m

Z m

→ = =

→ = =

→ = =

Dai tre ZCB abbiamo individuato i fattori di montante a pronti.

Esempi

Tassi a pronti Tassi a termine

560

[ ]

[ ]

1/2

1/3

(0,1) (0;1) 1 0,20

(0,2) (0;2) 1 0,14017

(0,3) (0;3) 1 0,13185

i m

i m

i m

= − =

= − =

= − =

1 12 2

(0;0;1) (0;1) 0,2

(0;2) 1,3(0;1;2) 1 1 0,0833(0;1) 1,2

(0;3) 1,45(0;2;3) 1 1 0,11538(0;2) 1,3

(0;3) 1,45(0;1;3) 1 1 0,09924(0;1) 1,2

i i

mim

mim

mim

= =

= − = − =

= − = − =

= − = − =

Struttura dei tassi piatta

Osserviamo che nell’ipotesi in cui i tassi spot fossero uguali, si avrebbero tassi forward costanti; in questo caso si parla di struttura piatta dei tassi di interesse, la curva dei tassi a pronti è una retta orizzontale.

Questo caso, in cui il tasso di rendimento non

dipende dalla durata dell’investimento, corrisponde alla situazione in cui vi sarebbe in ogni istante, un unico “tasso di mercato”, qualunque sia la scadenza.

561

Esempio

Siano i titoli descritti dagli scadenzari seguenti:

b1: (0,828; 1) / (0; 3) b2: (0; 0,85; 1) / (0; 1; 3)

b3: (0,96; 1) / (0; 1)

562

Violazione della relazione di coerenza; arbitraggio

Appurare se in base a queste operazioni è verificata la relazione di coerenza, qualora così non fosse, porre in essere una strategia d’arbitraggio.

563

0,96 0,85 0,828(0,1) ; (0,1,3) ; (0,3)1 1 1

v v v= = =

0 0 0( , ) ( , ) ( , , )n h h nv t t v t t v t t t= ⋅

(0,3) (0,1) (0,1,3)v v v= ⋅

0,828 0,96 0,85 0,816 > ⋅ =

La relazione di coerenza non è verificata.

È possibile congegnare una strategia di arbitraggio.


Strategia: compro l’operazione finanziaria meno costosa e vendo quella più costosa. Vendo b1 e compro quella composta da b2 e b3. Vendo una unità di b1 che costa 0,828 e paga 1 in 3: all’epoca 0 avrò quindi un introito: +0,828; all’epoca 3 un’uscita pari a – 1. Acquisto una unità di b2 che costa 0,85 in 1 e rimborsa 1 in 3, all’epoca 0 non succede nulla, all’epoca 1 avrò un’uscita: – 0,85 e all’epoca 3 un’entrata pari al rimborso: +1. Del titolo b3 acquisto una quota pari a 0,85⋅0,96 = 0,816; all’epoca 0 avrò un’uscita dovuta all’acquisto della quota di b3 : – 0,816 e all’epoca 1 il rimborso che sarà pari 0,85. All’epoca 0 avrò così un saldo positivo pari a 0,828 – 0,816 = 0,012, come si evidenzia anche dal seguente prospetto.

564


Prospetto delle entrate e delle uscite:

565

EPOCHE 0 1 3

v(0, 1) – 0,816 + 0,85 0

v(0, 1, 3) 0 – 0,85 +1

v(0, 3) + 0,828 0 – 1

Saldo netto +0,012 0 0

Arbitraggio

Violazione della relazione di coerenza:

Possibilità di ARBITRAGGIO (combinazione di operazioni finanziarie che consente di ottenere saldi netti positivi ad ogni epoca ossia “guadagno senza esborso”).

Nel seguente modo:

566

0 0 0( , ) ( , ) ( , , )n h h nv t t v t t v t t t> ⋅

Arbitraggio

Investire un importo pari a nell’operazione a pronti relativa al periodo

e nell’immediato reinvestimento dell’importo resosi disponibile in nell’operazione a termine relativa alle tre epoche

Finanziamento mediante la vendita dell’operazione a pronti relativa al periodo

567

( ) ( )0 0, , ,h h nv t t v t t t⋅

( )0 , ht t( )0 , ,h nv t t t ht

( )0 , , ;h nt t t

( )0 , .nt t

568

epoche

1. pronti 0

op.ter. 0 1

2. pronti 0 -1

Saldo netto

>0 0 0

0t ht nt

0 0( , ) ( , , )h h nv t t v t t t− ⋅

0( , )nv t t+

0( , , )h nv t t t+

0( , , )h nv t t t−

Appendice: approfondimenti sui contratti a termine (forward)

Consideriamo i seguenti 4 titoli obbligazionari disponibili sul mercato negli istanti {0; 1; 2; 3; 4}

z1 = { -93; 100; 0; 0; 0} z2 = {-88; 0; 100; 0; 0}

z3 = {-101; 10; 10; 110; 0} z4 = {-89; 0; 0; 10; 110}

e ricaviamo la struttura dei tassi a pronti e a termine, i loro TIR nonché il prezzo di un titolo z5 che garantisce il flusso {0; 10; 0; 110} / {1;2;3;4}. Con il titolo z1 si ottiene: v(0,1)=93/100=0,93 i(0,1)=v(0,1)-1 – 1 = 7,5269% Con il titolo z2 si ottiene: v(0,2)=88/100=0,88 i(0,2)=v(0,2)-½ – 1 = 6,6004%

569


Per trovare i(0,3) e i(0,4) bisogna utilizzare i risultati già trovati: 101=10.v(0,1) + 10.v(0,2) + 110.v(0,3) + 0.v(0,4) 101 = 9,3 + 8,8 + 110.v(0,3) v(0,3)=82,9/110=0,75363 i(0,3)=0,75363-1/3 – 1 = 9,8872% 89 = 10.v(0,3) + 110. v(0,4) v(0,4) = 0,74058 i(0,4)=0,74058-1/4 – 1 = 7,79708%

570


Utilizziamo la relazione per i tassi a termine:

571

0 00

0 0

0

1, ( , )1 , ,1, , ,,

n nh n

h n h

h

v t t m t t m t t tv t t t m t t

v t t


Troviamo i seguenti valori numerici: i(0,0,1) = i(0,1)= 0,075269 i(0,1,2) = m(0,2)/m(0,1) -1 = 1,13636/ 1,075269 – 1 = 0,056818 i(0,2,3) = m(0,3)/m(0,2) -1 = 1,326911/ 1,13636 – 1 = 0,167685 i(0,3,4) = m(0,4)/m(0,3) -1 = 1,350293/ 1,326911 – 1 =0,017621 Per calcolare i TIR dei primi due titoli: TIR(z1) = i(0,1) = 0,075269 TIR(z2) = i(0,2) = 0,066004 mentre per calcolare i TIR degli altri due titoli bisogna impostare due equazioni algebriche di grado rispettivamente 3 e 4:

101 = 10v + 10v2 + 110v3 89 = 10v3 + 110v4

572


Attraverso il metodo di Newton si trova: v* = 0,91245 (prima equazione) v* = 0,92657 (seconda equazione) Infine il prezzo del titolo z5 si ricava impostando la seguente relazione: P = 10 v(0,2) + 110 v(0,4) = 8,8 + 81,4638 = 90,2638 In appendice all’esempio precedente poniamo per ipotesi che sia venduto un contratto forward sul titolo z4 con consegna in t=2. Si vuole conoscere il prezzo P4 pattuito in t=0:

P4 = 10 v(0,2,3) + 110 v(0,2,4) Dobbiamo prima trovare i prezzi a termine dei ZCB unitari: v(0,2,3) = v(0,3) / v(0,2) = 0,75363 / 0,88 = 0,8564 v(0,2,4) = v(0,4) / v(0,2) = 0,74058 / 0,88 = 0,84157 P4 = 10 x 0,8564 + 110 x 0,84157 = 101,1365

573


Infine, proseguendo con i dati dell’esempio precedente, si vuole cercare una strategia di arbitraggio che si verrebbe a creare nell’ipotesi in cui il prezzo P4 sia più basso di un euro (P4’ = 100,1365) rispetto al prezzo determinato nel rispetto della coerenza del mercato. Ovviamente l’investitore valuta positivamente il prezzo più basso, e sfrutta tale condizione per trarre un profitto. Per cercare la strategia di portafoglio più opportuna, denominiamo con

π1= numero di titoli z1 da acquistare o vendere; π2= numero di titoli z2 da acquistare o vendere; π3= numero di titoli z3 da acquistare o vendere; π4= numero di titoli z4 da acquistare o vendere;

ed inoltre il titolo da acquistare è z’4 = { 0; 0; -100,1365; 10; 110}

574


Impostiamo ora un sistema di 4 equazioni e 4 incognite (πi) imponendo che negli istanti 1, 2, 3, 4 il risultato netto sia nullo. Il profitto si realizzerà in t=0. La soluzione è molto agevole: si inizia con l’ultima riga e si ricava π4=-1. Poi si sostituisce il valore trovato nella terza riga, e si trova il valore π3=0.

575

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

100 0 10 0 0 ( 1)0 100 10 0 100,1365 ( 2)0 0 110 10 10 ( 3)0 0 0 110 110 ( 4)

tt

tt

titolo z1 titolo z2 titolo z3 titolo z4 titolo z’4


Infine si ha π2=1,001365 e π1=0. La strategia è quindi: acquisto di 1 titolo z’4; vendita di 1 titolo z4; acquisto di 1,001365 titoli z2; e la tabella dei payoff si presenta così:

576

0 4

acquisto z’4

vendita z4

acquisto z2 0

-110

0 0

0

2 1 3

100,1365

0 0

0 0 -100,1365 10 110

89 0 -10 -88,12012 0

0 0,87988


Come risultato finale si ha che l’opportunità di arbitraggio apertasi sul mercato a causa della minor valutazione del titolo z4 rispetto al valore “coerente”, ha portato alla creazione di un profitto pari a 0,87988 al tempo 0. La risoluzione del sistema risulta più agevole, nel caso generale, utilizzando le funzioni Excel relative alle matrici. Vediamo lo stesso esempio:

577


I coefficienti delle equazioni del sistema sono inseriti nelle celle C3:F6. I termini noti delle equazioni del sistema sono inseriti nelle celle H3:H6. La soluzione si trova nelle celle C9:C12, ed è ottenuta evidenziando le celle C9:C12 e scrivendo la seguente formula:

=matr.prodotto (matr.inversa(C3:F6);H3:H6) ed infine confermando con Crtl+Shift+Enter, anziché solo Enter (questo perché in Excel le formule che restituiscono matrici devono essere immesse come formule “matrice”). Sostanzialmente il vettore dei risultati viene ottenuto mediante il prodotto tra la matrice inversa dei coefficienti (C3:F6) ed il vettore dei termini noti (H3:H6). In merito alla sintassi delle formule utilizzate, bisogna ricordare che: matr.inversa utilizza solo matrici “quadrate” (stesso numero di righe e colonne); matr.prodotto ha come argomento due matrici tali che il numero di colonne della prima deve coincidere con il numero di righe nella seconda. 578

Appendice: il metodo del “Bootstrap”

Fase preliminare – introduzione. Al fine di procedere con l’esposizione del metodo del

Bootstrap è necessario ricordare cosa si intende per struttura dei tassi d’interesse nelle sue due accezioni spot e forward.

La struttura a pronti (spot) dei tassi d’interesse. Si definisce a pronti un’operazione finanziaria in cui è

possibile scambiare un importo x0 in t0 con un altro importo xn in tn.

Se nel mercato è disponibile un titolo (zero coupon bond) che restituisce un importo xn a scadenza a seguito di un esborso iniziale (prezzo del titolo) pari a x0 , allora esiste per questa operazione un tasso di interesse a pronti tra 0 ed n.

579

Il metodo del “Bootstrap”

Fase preliminare - La struttura a termine (forward) dei tassi d’interesse.

Si definisce a termine un’operazione finanziaria conclusa in t0 che prevede lo scambio

di un importo xh in th con un importo xn in tn. Data una struttura spot dei tassi d’interesse è

possibile ricavare la loro struttura a termine (forward).

Una struttura a termine dei tassi di interesse è utile per effettuare valutazioni di strutture a tasso fisso come le obbligazioni o gli swaps.

580


Fase preliminare - Tasso interno di rendimento (Internal Rate of Return).

E’ quel tasso unico che sostituito agli n tassi di periodo di un’operazione finanziaria che genera n flussi monetari certi (positivi e negativi), verifica l’uguaglianza tra il prezzo dell’operazione in questione ed i flussi di importi monetari appena definiti.

L’IRR permette di rappresentare un’operazione articolata in flussi distribuiti su varie scadenze con un solo indice di redditività.

Il tasso interno di rendimento può essere utilizzato per esprimere il rendimento di un’obbligazione; calcolare il valore attuale di una serie di flussi; calcolare il montante a scadenza di un flusso o di una serie di flussi; valutare la redditività di un investimento.

581


Il “bootstrap” e la sua esigenza ai fini operativi. Se esiste un mercato in cui ad ogni scadenza è

univocamente associato un tasso interno di rendimento (IRR), come quello degli swaps, è possibile ricavare la corrispondente struttura di tassi zero coupon.

La struttura di tassi zero coupon è funzione del tempo in quanto il tasso è riferito alla sola data della scadenza del titolo.

Per tasso zero coupon ad n anni si intende il rendimento di un titolo di durata n anni senza flussi cedolari intermedi

582


Dati due istanti t ed s (con t<s) il prezzo in t di un

titolo che rimborsa 1 in s e non ha flussi intermedi sia definito come v(t,s).

Introduciamo, dunque, il rendimento del tasso zero coupon espresso su base annuale sapendo che è il rendimento di periodo del titolo in oggetto

583

1 ( , ) 11 1 1( , ) ( , )

s szcv t si

v t s v t s−

= + − = −1 ( , )( , )v t s

v t s−


Il Bootstrap. Data una curva di tassi swaps è possibile ricavare

la corrispondente curva di tassi zero coupon. Tale processo, detto di bootstrapping, viene

avviato partendo dalla seguente ipotesi iniziale

Tale tasso iniziale è definito tasso di bootstrap. Il tasso swap ad un anno coincide proprio col tasso zc ad un anno, in quanto non vi sono flussi cedolari intermedi

1 zc1 IR

584

11 zcIRR i=


Il Bootstrap. Attraverso una impostazione di tipo ricorsivo è possibile,

partendo dal tasso di bootstrap, ricavare i tassi zero coupon per le scadenze successive, nel modo che segue:

585

( )

( ) ( )

2

1 2

3

1 2 3

2 22 2

3 3 33 2 3

1 1

1 1 1

n

zczc zc

zczc zc zc

n zc

IRR K IRRP ii i

IRR IRR K IRRP ii i i

P i

+= + ⇒

+ +

+= + + ⇒

+ + +

⇒


Il Bootstrap. L’espressione di un tasso zero coupon per la scadenza

j è la seguente:

586

( )1

1

11

1 1j

i

jzc jj i

j zci

IRRi

IRR i− −

=

+= −

− ⋅ +∑


Aspetti operativi. Il metodo del bootstrap richiede la completezza

della curva dei tassi swap (irs) di partenza. Si deve disporre, cioè, di un tasso swap in corrispondenza di tutte le scadenza per le quali necessitiamo dei tassi zero coupon.

Accade, però, dal punto di vista operativo, che tale condizione di completezza della curva dei tassi di partenza non sia rispettata.

A tal fine, visto il limite operativo di cui sopra, si utilizzano molto spesso tecniche di interpolazione per colmare i vuoti della curva di base oppure applicate ai tassi zc finali.

587

Appendice: il metodo della regressione polinomiale

Aspetti operativi. Dati di input: rendimenti (TIR) e duration di bot e btp

alla data di riferimento. I TIR sono da intendersi approssimazioni dei tassi

spot (a pronti) e le duration dei tempi corrispondenti. Tramite la regressione polinomiale esprimiamo una

funzione che lega il tasso al tempo.

588

Conclusioni Questo modulo introduce le caratteristiche di due fondamentali

titoli obbligazionari, i titoli a cedola fissa e i titoli a cedola nulla. Abbiamo introdotto la variabilità dei tassi d’interesse, inserendo i

concetti cardine della matematica finanziaria in un contesto in cui è il mercato a formare il prezzo dei titoli obbligazionari.

Ipotizzando un mercato ideale, si è desunta la struttura a pronti e a termine dei tassi d’interesse.

Abbiamo descritto l’ipotesi di coerenza del mercato, quale condizione per l’impossibilità degli arbitraggi in un contesto in cui non si può trarre profitto senza assumere rischio.

Ipotizzando la violazione della relazione di coerenza, abbiamo imparato a porre in essere una strategia d’arbitraggio.

Infine, in appendice, è stato inserito un approfondimento relativo ai contratti a termine, il metodo del bootstrap e il metodo della regressione polinomiale.

589

MERCATO IDEALE

Non frizionalità Competitività

Assenza di arbitraggi

Ipotesi fondamentali

STRUTTURA DEL MERCATO

Struttura per scadenza a

termine

Struttura per scadenza a

pronti

E’ preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che

ciò comporti alcuna assunzione di rischio

La relazione di coerenza fra operazioni a pronti e a termine, garantita dall’ipotesi di non arbitraggio, fornisce la struttura dei tassi

Presenter

Presentation Notes

Gli argomenti della matematica finanziaria sono inseriti in un contesto in cui i tassi d’interesse sono desunti dall’andamento del mercato. Questo è un mercato ideale, basato su alcune ipotesi fondamentali: ipotesi di non frizionalità per cui non ci sono imposte e costi di transazione, non c’è rischio d’insolvenza, c’è possibilità di vendite allo scoperto e infinita divisibilità dei titoli; ipotesi di competitività per cui gli operatori sono price taker e perseguono tutti la massimizzazione del profitto; infine l’ipotesi di non arbitraggio impedisce di realizzare profitti senza assumere rischi. Questa ultima importantissima ipotesi garantisce la relazione di coerenza fra operazioni a pronti e a termine che permette di ricavare la struttura per scadenza dei tassi.

Esercizio 1

Dati i tre titoli

Estrapolare la struttura dei tassi a pronti e a termine.

592

1

2

1

( 99;104) /(0;1)( 99;107) /(0;2)( 99;4;4;104) /(0;1;2;3)

zzb

= −= −= −

1

1/ 22

3

1/ 3

104(0,1) (0,1) (0,1) 1 0,050599107(0,2) (0,2) (0,2) 1 0,0396299

99 4 (0,1) 4 (0,2) 104 (0,3)(0,3) 0,879725(0,3) (0,3) 1 0,043641

z r i r

z r i r

z v v vvi v −

→ = → = − =

→ = → = − =

→ = ⋅ + ⋅ + ⋅

→ =

→ = − =

593

(0,1) 99 /104(0,1,2) 1 1 0,02885(0,2) 99 /107(0,2) 99 /107(0,2,3) 1 1 0,05173(0,3) 0,879725

vivviv

= − = − =

= − = − =

594

Esercizio 2

Sapendo che, sul nostro mercato finanziario di riferimento, v(0; 1) = 0,94 e v(0; 1; 3) = 0,86 verificare se la presenza di uno zero coupon bond unitario z1 = (-0,83; 1) / (0; 3) apre possibilità di arbitraggio e, eventualmente, calcolare il profitto realizzabile impostando una strategia con saldo positivo in t = 0.

595

La conoscenza dello zcb (-0,83;1)/(0;3) consente di determinare v(0;3)=0,83

Siccome

Possibilità di arbitraggio. Saldo: 0,83-0,8084=0,0216.

596

(0;1) (0;1;3) 0,8084 0,83v v⋅ = ≠

597

0 1 3

1. O.F. 0,83 0 -1

2 O.F. 0 -0,86 1

3 O.F. -0,8084 0,86 0

Saldo 0,0216 0 0

1 O.F. vendita dell’operazione più costosa;

2 O.F. acquisto a termine; 3 O.F. acquisto a pronti.

598

Esercizio 3

Sia dato un titolo a cedola fissa x di valore nominale 100 euro, vita a scadenza 10 anni, cedola annuale e quotato alla pari. Sapendo che il TIR di x è uguale a 11,5% calcolare la cedola C del titolo e il valore attuale rispetto a tale tasso.

599

Dall’equazione di equilibrio:

si deduce il valore della cedola

600

(1 ) nn i

VN C a VN i −= ⋅ + ⋅ +

( )1 (1 )11,5

n

n i

VN iC

a

−⋅ − += =

Esercizio 4

Sia dato un titolo a cedola fissa x di valore facciale 110 euro, vita a scadenza 12 anni, cedola annuale di 12 euro e quotato alla pari. Calcolarne il TIR ed il valore attuale rispetto a tale tasso.

601

Dall’equazione di equilibrio:

si ottiene con un metodo di approssimazione:

602

1212

(1 )

1 (1 ) (1 )

1 (1 )110 12 110 (1 )

nn i

nn

VN C a VN i

iC VN ii

i ii

−

−−

−−

= ⋅ + ⋅ + =

− += ⋅ + ⋅ +

− +⇒ = ⋅ + ⋅ +

10,9091%i TIR= =

Esercizio 5

Sia dato un titolo a cedola fissa x di valore nominale 100 euro, vita a scadenza 2 anni, cedola annuale del 12% nominale e prezzo P=97,5 euro. Calcolarne il TIR e il valore attuale W(0,x) secondo la legge esponenziale individuata dal TIR. Determinare inoltre la quantità di cui bisogna decrementare il prezzo affinché il TIR risulti uguale al 15%.

603

P∆

L’equazione di equilibrio:

consente di trovare TIR = 13,509%. La nuova equazione di equilibrio è:

604

1 2

1 2

(1 ) ( ) (1 )97,5 12 (1 ) 112 (1 )P x TIR VN x TIR

TIR TIR

− −

− −

= ⋅ + + + ⋅ +

= ⋅ + + ⋅ +

1 2

1 2

(1 ) ( ) (1 )97,5 12 (1 0,15) 112 (1 0,15)

2,3771

P P x TIR VN x TIRP

P

− −

− −

+ ∆ = ⋅ + + + ⋅ +

⇒ + ∆ = ⋅ + + ⋅ +⇒ ∆ = −

Esercizio 6

Sia dato un titolo a cedola fissa trimestrale del 10% nominale annuo, vita a scadenza 15 anni e capitale di rimborso 100 euro. Calcolarne il TIR su base annua in caso di aggiudicazione alla pari. Sapendo inoltre che le cedole di tale titolo sono gravate di una ritenuta fiscale del 12,5%, calcolarne il TIR su base annua al netto della ritenuta fiscale. Determinare infine con quale prezzo di aggiudicazione P si ottiene un TIR (lordo) del 12% su base annua.

605

Ricaviamo il tasso trimestrale:

Il TIR in caso di aggiudicazione alla pari è:

Le cedole lorde sono date da:

Le cedole al netto delle ritenute fiscali sono:

606

1/4(4) 0,0254

ji = =

4 41/4(1 ) 1 (1,025) 1 0,1038TIR i i= = + − = − =

1/4 100 0,025 2,5C VR i= ⋅ = ⋅ =

' (1 tasso) 2,1875C C= ⋅ − =

Il TIR netto i* si ottiene risolvendo l’equazione di equilibrio:

Mediante interpolazione si ottiene (su base annua)

607

( )

( ) ( )

1/4

41/44 *

60601/4

1/41/4

' 1 *

1 1 *100 2,1875 100 1 **

nn i

VR C a VR i

i ii

−

−−

= ⋅ + ⋅ +

− += ⋅ + ⋅ +

* 9,041%.i =

Il prezzo P con un TIR lordo j* si ottiene dopo aver ricavato

dalla relazione

608

1/41/4* (1 *) 1 0,0287j j= + − =

( )

( ) ( )

1/4

41/44 *

60601/4

1/41/4

1 *

1 1 *2,5 100 1 * 89,3708*

nn j

P C a VR j

j jj

−

−−

= ⋅ + ⋅ +

− += ⋅ + ⋅ + =

Esercizio 7

Data la seguente forza d’interesse (intensità istantanea di interesse):

Calcolare il prezzo di una obbligazione che paga cedole annue di 4 e rimborsa il capitale alla pari dopo tre anni (con i = 5%).

Calcolare il TIR di detta obbligazione in caso di reinvestimento dei flussi intermedi al 6% in capitalizzazione composta.

609

( )5 5

itt i

δ =+ ⋅ ⋅

Fattore di sconto:

Integrale della forza d’interesse:

610

0

( )

( )

t

s ds

v t eδ−∫

=

( ) ( )( )

( )

0 0 0

0

1/5

1 5( )5 5 5 5 5

1 1log 5 5 log 5 5 log55 51 5 5log log 15 5

t t t

t

i is ds ds dss i s i

s i t i

t i t i

δ ⋅= = ⋅ =

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ − =

+ ⋅ ⋅= ⋅ = + ⋅

∫ ∫ ∫

Avremo perciò:

Ossia:

Calcolo del valore attuale:

611

( ) ( )1/5 1/5( ) 1 1 0,05v t t i t− −= + ⋅ = + ⋅

(1) 0,9903(2) 0,9811(3) 0,9724

vvv

===

( ;4;4;104) / (0;1;2;3)4 (1) 4 (2) 104 (3) 109,02

PP v v v= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Reinvestimento flussi intermedi all’epoca tre:

Nuovo scadenzario:

Calcolo del TIR:

612

23 4 1,06 4 1,06 104 112,73V = ⋅ + ⋅ + =

3( ;0;0; ) / (0;1;2;3)P V

1/33 3

3 (1 ) 1 0,011234VP V i iP

− = ⋅ + ⇒ = − =

Esercizio 8

Compro 10 zero coupon bond ad un anno che costano 97,51 e rimborsano 100 a scadenza nonché 25 obbligazioni biennali che pagano cedole annue al 4% e rimborsano il capitale a 101.

Sapendo che il mio TIR complessivo è il 4,5% calcolare il prezzo delle obbligazioni.

Calcolare quale sarebbe stato il TIR complessivo se il prezzo delle obbligazioni fosse stato pari a 100.

613

Scadenzario dei due titoli:

Scadenzario dell’operazione complessiva:

Prezzo delle obbligazioni:

614

1

2

: (97,51;100) / (0;1): ( ;4;105) / (0;1; 2)

zz P

: (975,1 25 ;1.100; 2.625) / (0;1; 2)Pθ +

21.100 2.625975,1 25 99,25291,045 1,045

P P+ = + → =

Nuovo TIR (con prezzo pari a 100):

Si ottiene

L’altra soluzione non è accettabile.

615

22.625 1.100 3.475,1 0v v⋅ + ⋅ − =

10,959984 1 0,041684v iv

= → = − =

1,38v = −

Esercizio 9

Un investitore compra un’obbligazione che garantisce una rendita perpetua con rate semestrali di 200 la prima delle quali scade tra 3 mesi.

Gli viene offerto di cedere l’obbligazione in cambio di due pagamenti di 4.000 uno all’epoca t ed uno l’anno dopo.

Calcolare l’epoca t che rende equivalenti le due operazioni (tasso annuo i = 10%).

616

Valore attuale della prima rendita (perpetua e anticipata):

Valore attuale dei due pagamenti:

Imponiamo l’equivalenza:

617

1/41

2001,10 4.196,431,10 1

VA = ⋅ =−

( )1

2

1

4.000 1,10 4.000 1,10

4.000 1,10 1,10 1 7.636,36 1,10

t t

t t

VA − − −

− − −

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ + = ⋅

1 2.VA VA=

Si ottiene:

618

7.636,36 1,10 4.196,434.196,43log7.636,36 6,2815

log1,10

t

t

−⋅ =

⇒ = − =

MODULO 6

DURATION E IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

619

Argomenti Obiettivi. Introduzione. Indici temporali di un flusso di pagamenti:

scadenza e vita a scadenza. Indici temporali di un flusso di pagamenti: la

scadenza media aritmetica. Indici temporali di un flusso di pagamenti: la

duration, la duration con struttura piatta. La duration come indice di sensibilità di un

titolo. Duration e dispersione di portafogli. Indici di variabilità di un flusso di pagamenti. Appendice: Il caso di rendite a rate costanti.

621

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono:

conoscere gli indici temporali di un flusso di importi;

conoscere i limiti e le peculiarità degli indici temporali, in relazione alla struttura dei tassi;

saper individuare e interpretare la durata media finanziaria (duration);

conoscere la definizione di duration di secondo ordine;

saper interpretare gli indici di variabilità di un flusso di pagamenti per studiare la funzione andamento dei prezzi.

622

Introduzione

Nel valutare la convenienza di una operazione finanziaria, l’approccio più comune consiste nell’associare alle operazioni stesse una funzione di valore (anche detta funzione di utilità) che ne misuri la convenienza o meno. il problema della valutazione e della scelta si traduce in un problema di programmazione matematica. Le più note funzioni di utilità sono il valore attuale, il montante, il TIR, il payback period e la durata media finanziaria (d.m.f.). In questa sezione introdurremo la d.m.f. come la media ponderata delle scadenze di un’obbligazione. Vedremo come in regime di capitalizzazione composta la d.m.f. misura la sensibilità del valore di una obbligazione alle variazioni del tasso di valutazione.

623

Indici temporali di un flusso di pagamenti: scadenza e vita a scadenza

Consideriamo un flusso di importi non tutti nulli pagabili a determinate scadenze:

x/t = {x1, x2,…, xn} / {t1, t2,…, tn} Definiamo operazione finanziaria l’acquisto o la vendita in t (t≤t1≤t2≤…≤tn) del titolo che garantisce il flusso x/t. Si vogliono trovare alcuni indici temporali sintetici che possano aiutare a descrivere la natura dell’operazione finanziaria; il più semplice ed immediato è il valore tn denominato “scadenza” o “maturity”. Maggiore significato lo ha la quantità tn – t, definita “vita a scadenza” o “time to maturity”, che esprime la differenza tra tn e l’epoca che indica l’istante di osservazione. Si tratta di indicatori che presentano molti limiti in quanto trascurano i pagamenti intermedi.

624

t tn

xn

… t1 t2

x2 x1

Indici temporali di un flusso di pagamenti: la scadenza media aritmetica

Un indicatore temporale più sofisticato è la “scadenza media aritmetica” definita come segue: Tale indicatore, seppur più significativo dei due precedenti, incontra un limite nel non considerare la legge finanziaria sottostante.

1

1

n

k kk

n

kk

t xd

x

625

Indici temporali di un flusso di pagamenti: la duration, la duration con struttura piatta

Si vuole calcolare la scadenza media aritmetica del titolo

x/t = {100; 150; 200} / {1; 1,5; 2,5}

Per calcolare la scadenza media:

626

100 150 2001 + 1,5 + 2,5 = 1,83450 450 450

d


Consideriamo l’operazione finanziaria x/t così come definita in precedenza, nonché la struttura dei tassi a pronti v(t0 ,tn). La “durata media finanziaria”, o duration, o d.m.f., ipotizzando l’istante di valutazione l’epoca iniziale (t0=0); di x/t è definita come:

627

1

1

0

0

n

k k kk

n

k kk

t x v tD

x v t

,

,

La durata media finanziaria o duration, è la media ponderata delle scadenze, utilizza come pesi i valori attuali degli importi corrispondenti alle scadenze predette, pertanto il risultato è una scadenza.


La stessa formula può essere riscritta : La durata media finanziaria è espressa in unità di tempo, quindi se le generiche epoche sono espresse in anni, anche la duration sarà espressa in anni. È detta anche duration di primo ordine.

628

1

1

1 0,

1 0,

k

k

n tk k k

kn t

k kk

t x i tD

x i t


Nell’ipotesi in cui si abbia una struttura dei tassi piatta, quindi tutti i tassi sono uguali e pari ad i, la duration assume la seguente formula: Oppure utilizzando il tasso istantaneo: 629

Le due equazioni rappresentano La flat yield curve duration

ˆ

k

k

nt

k kk

nt

kk

t x iD

x i

1

1

1

1

ˆk

k

nt

k kk

nt

kk

t x eD

x e

1

1


Prima di passare ad alcuni esempi numerici sul calcolo della durata media finanziaria, elenchiamone alcune proprietà notevoli.

630

Se il tasso cresce, il valore attuale diminuisce e anche i pesi, di conseguenza anche la duration.

La duration di uno zcb è pari alla sua vita residua e non dipende (se non eccezionalmente) dal tasso di valutazione i (i titoli a duration più elevata sono gli zcb).

Per un titolo con cedole la d.m.f è inferiore alla vita residua e tanto più piccola quanto maggiore è il peso delle cedole rispetto al valore di rimborso.


All’aumentare del valore delle cedole la D diminuisce. Se consideriamo le seguenti operazioni finanziarie B1 e B2 e indichiamo le corrispondenti duration D1 e D2

631

0 1 2 3

10 110 10

0 1 2 3

20 110 20

B1

B2

D2 < D1


Calcolare la duration del seguente titolo:

b1 = (-99; 5; 5; 105) / (0; 1; 2; 3) se v(0, 1) = 0,95; v(0, 2) = 0,90 e v(0, 3) = 0,85

632

,

,

n

k k kk

n

k kk

t x v tD

x v t

1

1

0

0

1 5 (0,1) 2 5 (0,2) 3 105 (0,3) 281,5 2,85795 (0,1) 5 (0,2) 105 (0,3) 98,5v v vD

v v v⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= = =⋅ + ⋅ + ⋅


Esempio di calcolo della duration con struttura dei tassi piatta. Consideriamo un’obbligazione:

b = (-700; 320; 500)/(0; 1; 3) con i =10,5%. Calcolare la d.m.f

633

1 3

1 3

1 320 (1 0,105) 3 500 (1 0,105) 1.401,34 2,1227320 (1 0,105) 500 (1 0,105) 660,17

D− −

− −

⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ += = =

⋅ + + ⋅ +

k

k

nt

k kk

nt

kk

t x iD

x i

1

1

1

1

La duration come indicatore di sensibilità del valore del titolo

Osserviamo che nella formula della duration il denominatore rappresenta il prezzo del titolo, infatti, è la somma dei valori attuali degli importi del titolo, ad un certo tasso di valutazione. Indichiamolo con V(i):

634

( ) kn

tk

k

V i x i1

1

( ) k

nt

kk

V x e1

oppure

Rappresenta il valore di mercato del titolo.


Determiniamo l’andamento di V rispetto al tasso i.

635

Se il tasso aumenta, V diminuisce Se il tasso diminuisce, V aumenta

( ) kn

tk

k

V i x i1

1

V(i)

i


Sia l’obbligazione: b = (V; 5; 5; 105)/(0; 1; 2; 3) e un tasso i=5%. Calcoliamo il prezzo del titolo: Ipotizziamo ora un aumento del tasso, che dal 5% passa al 6%: Vediamo che il valore del titolo è diminuito. Se i=4%, V(4%) = 102,78 ossia il prezzo aumenta.

636

2 3

5 5 105(5%) 1001,05 1,05 1,05

V = + + =

2 3

5 5 105(6%) 97,331,06 1,06 1,06

V = + + =


Consideriamo Se deriviamo V rispetto al tasso il risultato è:

637

( ) kn

tk

k

V i x i1

1

( ) k

nt

kk

V x e1

ˆ

1dV D Vdi i

= − ⋅+

ˆdV D Vdδ

= − ⋅

La derivata esprime che a seguito di una variazione del tasso, avremo una variazione del prezzo V, la duration si configura come un fattore di proporzionalità che lega la variazione del prezzo a quella del tasso effettivo i o del tasso istantaneo δ


638

La duration è una misura di rischiosità del titolo (o di sensibilità del valore del titolo)

A parità di valore tra due titoli aventi diversa duration, quello con duration più elevata sarà più volatile, ovvero cambiamenti nei tassi si ripercuoteranno maggiormente sul suo valore.


Esempio. Consideriamo due obbligazioni b1 e b2 che hanno prezzo e duration pari a: V1 = 100 D1 = 2 V2 = 100 D2 = 3 Ipotizziamo un aumento del tasso: i’= 6%

639

1%i∆ =ˆ

1DV V i

i∆ = − ⋅ ⋅ ∆

+

12 100 0,01 1,905

1 0,05V∆ = − ⋅ ⋅ = −

+

23 100 0,01 2,857

1 0,05V∆ = − ⋅ ⋅ = −

+

i = 5%


Il titolo con duration maggiore ha subito una variazione più alta (a parità di prezzo).

640

1 1 1(6%) (5%) 100 ( 1,905) 98,095V V V= + ∆ = + − =

2 2 2(6%) (5%) 100 ( 2,857) 97,143V V V= + ∆ = + − =


Esempio. Un titolo obbligazionario possiede duration pari a 4,1; quota sul mercato 102,1 ed il tasso i(0, t) è riassunto da una struttura piatta con i(0, t) = i = 0,045. Calcolare la variazione del prezzo a seguito della variazione negativa di un punto percentuale del tasso.

641

4,1 102,1 ( 0,01) 4,00581 0,045

V∆ = − ⋅ ⋅ − = ++

ˆ

1DV V i

i∆ = − ⋅ ⋅ ∆

+

( )V V i=

' 102,1 4,0058 106,1058V V V= + ∆ = + =

Duration e dispersione di portafogli

Nell’attuazione di una strategia di portafoglio composto da obbligazioni, è molto utile osservare il comportamento della “duration di secondo ordine”, così definita: La duration di secondo ordine è, quindi, definita come quella “semplice” (di primo ordine), con la sostanziale differenza che al numeratore troviamo i quadrati delle scadenze.

642

,

,

n

k k kk

n

k kk

t x v tD

x v t

2

2 1

1

0

0


Oppure utilizzando una struttura dei tassi piatta:

643

( )

( )

k

k

nt

k kk

nt

kk

t x iD

x i

2

2 1

1

1

1

k

k

nt

k kk

nt

kk

t x eD

x e

2

2 1

1


Nel caso di un solo valore xk≠0 la duration di 2° ordine coinciderebbe col quadrato della scadenza. L’approfondimento dell’interpretazione di questo indice avverrà più avanti.

644

La duration di 2° ordine è una misura di dispersione temporale del flusso x rispetto a t.


Esempio. Calcolare la duration di secondo ordine (dispersione) del seguente titolo: b1 = (-99; 5; 5; 105) / (0; 1; 2; 3) se v(0; 1) = 0,95; v(0; 2) = 0,90 e v(0; 3) = 0,85

645

(2) 1 5 (0,1) 4 5 (0,2) 9 105 (0,3) 826 8,38585 (0,1) 5 (0,2) 105 (0,3) 98,5v v vD

v v v⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= = =⋅ + ⋅ + ⋅

( )

( )

k

k

nt

k kk

nt

kk

t x iD

x i

2

2 1

1

1

1

Indici di variabilità di un flusso di pagamenti

In un mercato in cui la struttura dei tassi è piatta al livello i, il prezzo di un titolo

x/t = {x1, x2,…, xn} / {t1, t2,…, tn} oltre che dalle caratteristiche del titolo e dal tempo t, dipende dal parametro i. Assumendo che x/t non abbia pagamenti negativi, al tempo t=0 la funzione valore può essere considerata come funzione di i, oppure del tasso istantaneo δ.

646

kn

tk

k

V i x i1

1

( ) k

nt

kk

V x e1


Ipotizzando che il mercato evolve per strutture piatte, ossia successivamente ad un tempo t la struttura cambia livello rimanendo sempre piatta. Vogliamo studiare i prezzi V(i) oppure V(δ) ed altri indici ad essi collegati. Innanzitutto valgono le seguenti condizioni:

647

limn

k ik

V i V x V i1

0 0 0

limn

k ik

V V x V1

0 0 0


Scriviamo ora le derivate prima e seconda rispetto alle variabili i e δ:

648

1

2

2 21

-

1

-2

1

' 1+i1

'' 1 1(1 ) (1 )

'

''

k

k k

k

k

nt k

kk

nt tk k

k kk

nt

k kk

nt

k kk

tV i xi

t tV i x i x ii i

V t x e

V t x e


Attraverso la derivata del prezzo ricaviamo i principali indici di variabilità rispetto alle variabili i e δ. La variazione relativa (o semielasticità) è definita dal rapporto tra la derivata prima del prezzo ed il prezzo stesso:

derivata logaritmica del prezzo V.

649

( )( )'V i

V i( )( )'V

Vδδ


La variazione relativa si può interpretare quindi come la misura della rapidità di variazione per unità di capitale. Effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame tra la semielasticità e la duration del titolo: L’elasticità è definita come prodotto tra la semielasticità e la variabile i (o δ):

650

( )( )'V i

iV i

⋅( )( )'V

Vδ

δδ

⋅

( )( )( )( )

' 1 ˆ1

' ˆ

V iD

V i i

VD

Vδδ

= −+

= −

È detta anche MODIFIED DURATION

Indici di variabilità di un flusso di pagamenti Anche per l’elasticità, effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame con la duration del titolo: La convexity (o convessità semplice) è definita come rapporto tra la derivata seconda della funzione prezzo e la funzione stessa: E’ una misura della convessità per unità di capitale.

651

( )( )( )( )

' ˆ1

' ˆ

V i ii DV i i

VD

Vδ

δ δδ

⋅ = − ⋅+

⋅ = − ⋅

( )( )"V i

V i( )( )"V

Vδδ


Per la convexity, effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame con le duration del primo e del secondo ordine del titolo: Osserviamo che la convexity funzione dell’intensità δ è esattamente pari alla duration di secondo ordine. La convessità relativa è definita come rapporto tra la derivata seconda della funzione prezzo e la derivata prima della stessa:

652

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

22

2

" 1 ˆ ˆ1

" ˆ

V iD D

V i i

VD

Vδδ

= ⋅ + +

=

( )( )

"'

V iV i

( )( )

"'

VV

δδ

Indici di variabilità di un flusso di pagamenti Questo indice, detto anche volatility convexity, misura la convessità del prezzo rispetto all’unità di variazione del prezzo. Effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame della convessità relativa con le duration del primo e del secondo ordine del titolo: Osserviamo che la convessità relativa, funzione dell’intensità δ, è esattamente pari al rapporto tra la duration di secondo ordine e quella di primo ordine, col segno opposto.

653

( )( )

( )

( )( )

( )

2

2

ˆ" 1 1ˆ' 1ˆ"ˆ'

V i DV i i D

V DV D

δδ

= − ⋅ + +

= −


Come esempio consideriamo l’obbligazione (t in anni): x/t = {3; 3; 3; 3; 103} / {1; 2; 3; 4; 5}

in un mercato in cui la struttura dei tassi è piatta al tasso i=3% (essendo i = I/VN, il prezzo è V(i)=100). L’intensità di rendimento è

δ = log(1,03) = 0,02956 Il valore della duration di primo ordine in t=0:

D = 4,717 Il calcolo della duration del secondo ordine porta al valore D(2)=23,028. Calcoliamo la semielasticità: 654

( )( )

( )( )

' '1 4,717 4,58 4,7171,03

V i VV i V

δδ

= − ⋅ = − = −


Elasticità: Convexity: Convessità relativa:

655

( )( )( )( )

' 10,03 4,717 0,1371,03

'0,02956 4,717 0,139

V ii

V i

VV

δδ

δ

⋅ = − ⋅ ⋅ = −

⋅ = − ⋅ = −

( )( )

( )( )2

" "1 (23,028 4,717) 26,152 23,0281,03

V i VV i V

δδ

= ⋅ + = =

( )( )

( )( )

" "1 23,028 23,028 1 5,711 4,882' 1,03 4,717 ' 4,717

V i VV i V

δδ

= − ⋅ + = − = − = −

Appendice: il caso di rendite a rate costanti

Affrontiamo ora il caso di una rendita r immediata posticipata costituita da n rate R annue. Per semplicità poniamo t=0. In questo caso si ha:

xk= R tk= k

e supponendo che la struttura dei tassi sia piatta, la duration è: (la rata R, essendo costante, può essere portata fuori dai segni di sommatoria, e si semplifica sia al numeratore che al denominatore, quindi la duration non dipende dall’importo della rata).

656

,

k

k

k iD

i

10

1

n

k=1n

k=1

r

Appendice : il caso di rendite a rate costanti Effettuando alcuni passaggi algebrici si giunge ad un’espressione semplice della duration, in termini del fattore di sconto v o del tasso i: Si possono così ottenere importanti relazioni tra la duration e il tasso e la durata n della rendita:

657

10,1 110,

1 1

n

n

n

n vDv vi nD

i i

r

r

All’aumentare del tasso di valutazione (i) la duration decresce.

All’aumentare del numero delle rate (n) la duration cresce.

Appendice : Il caso di rendite a rate costanti

La crescita della duration all’aumentare della durata ha però un limite: essendo la duration tende al valore limite (1+i)/i. In altre parole il grafico della duration presenta un asintoto orizzontale y=(1+i)/i che è interpretabile come la duration della rendita perpetua. Ad esempio la duration di una rendita immediata posticipata annua costituita da 5 rate e valutata al tasso i=6% è:

D(0,r) = 1,06/0,06 – 5/(1,065-1) = 17,6667 – 14,7830 = 2,8837

Ora cambiamo i valori di n e i, ed osserviamo le variazioni della duration: n=12 i=6% D(0,r) = 5,8113 se n cresce la duration aumenta n=5 i=12% D(0,r) = 2,7746 se i cresce la duration diminuisce

658

lim nn

ni

01 1

Appendice : Il caso di rendite a rate costanti

Rappresentiamo ora graficamente l’andamento della duration nei due casi appena visti nell’esempio, con i=6% e i=12%:

659

0

9.33

17.67

10 n (anni)

6%

D (anni)

90 80 70 60 50 20 30 40

12%

Conclusioni In questa sezione abbiamo introdotto gli indici temporali

per valutare i flussi di pagamenti, ed in particolare le obbligazioni, nel loro aspetto temporale;

Abbiamo considerato sia indici grossolani che indici più complessi, che tengano conto della struttura dei tassi e della distribuzione nel tempo degli importi;

Abbiamo scoperto, tramite gli indici di variabilità, che non tutti i titoli sono sensibili allo stesso modo ad una variazione della struttura piatta dei tassi;

Abbiamo osservato che i titoli che presentano una

duration maggiore sono più sensibili alle oscillazioni del tasso di mercato.

660

INDICATORI DI SENSIBILITA’ SEMIELASTICITA’

ELASTICITA’

CONVEXITY

DURATION DI PRIMO ORDINE

Sono indici quantitativi che esprimono la

variazione del prezzo al variare del tasso o

dell’intensità CONVESSITA’

RELATIVA

( )( )'V i

V i

( )( )'V i

iV i

⋅

( )( )"V i

V i

ˆ

1dV D Vdi i

= − ⋅+

( )( )

"'

V iV i

Presenter

Presentation Notes

Proseguendo, parliamo di indicatori di sensibilità, dei quali ricordiamo la semielasticità, data dalla derivata prima del prezzo rispetto al tasso diviso il prezzo stesso. Se moltiplichiamo per il tasso la semielasticità, troviamo l’elasticità. La convexity (o convessità semplice) è definita come rapporto tra la derivata seconda della funzione prezzo e la funzione stessa. La convessità relativa è definita come rapporto tra la derivata seconda della funzione prezzo e la derivata prima della stessa. Da sottolineare come la duration di primo ordine oltre ad essere un indice temporale è anche una misura di sensibilità del prezzo del titolo, infatti, osservando la formula si evince che la duration si configura come un fattore di proporzionalità che collega la variazione del prezzo a quella del tasso.

662

L’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA: GESTIONE DEL RISCHIO TASSO

Argomenti

Obiettivi. Introduzione. Il portafoglio titoli. Cenni di immunizzazione classica. Ipotesi basilare dell’immunizzazione classica. Esercizi.

663

Obiettivi

Gli obiettivi di questo modulo sono: conoscere il concetto di portafoglio titoli; comprendere il significato di immunizzazione

finanziaria; saper interpretare geometricamente le tre

condizioni che servono per immunizzare un portafoglio;

riuscire a risolvere un problema di calcolo delle quote di titoli che immunizzano un portafoglio con una sola o più uscite.

664

Introduzione

L’immunizzazione finanziaria è una tecnica di gestione del portafoglio. Esempio: un’assicurazione stima di dover sostenere un’uscita ad una determinata epoca; il risk manager può acquistare dei titoli con opportune quote per garantirsi la disponibilità finanziaria alla data prevista. L’immunizzazione finanziaria classica è una situazione teorica, si basa su determinate ipotesi. Introdurremo dapprima il concetto di portafoglio titoli; in seguito vedremo i vincoli da rispettare per costruire un portafoglio immunizzato, dandone anche un’interpretazione geometrica.

665

Il portafoglio titoli

Introduciamo il concetto di portafoglio titoli. Definiamo “portafoglio titoli” un insieme s di titoli, ciascuno posseduto in base ad una quota di composizione πj . Indichiamo:

666

s numero di titoli nel portafoglio j il generico titolo importo pagato (offerto) dal j-esimo titolo all’epoca tk πj quota di detenzione del j-esimo titolo

( )jkx


Vediamo subito un esempio: 3 titoli

667

0 1 2 10 110

0 1 2 3

20 20 20

0 1 2 3

5 105 5

J=1

J=2

J=3

(2)3 20=x (1)

1 10=x (1)2 110=x

0 1 2 30; 1; 2; 3t t t t= = = =

(3)2 5=x


Esempio: dati i seguenti titoli e le relative quote di composizione calcolare l’entrata complessiva del portafoglio all’epoca tk

668

0 1

100

0 1 2 5 105

0 1 2 3

10 110 10

J=1

J=2

J=3

π1 =2

π2=1

π3=1/2


La somma degli importi relativi ai singoli titoli ponderati con le quote di composizione e riferiti all’epoca k sarà indicata con Θk; in formule: Tornando al nostro esempio:

669

3( ) (1) (2) (3)

1 1 1 1 2 1 3 11

jj

jx x x xθ π π π π

=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑12 100 1 5 10 2102

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( )

1

sj

k j kj

xθ π=

= ⋅∑


212 0 1 105 10 1102

θ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

670

312 0 1 0 110 552

θ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Il portafoglio è descritto dal seguente scadenzario:

0 1 2 3

210 55 110


I concetti visti prima possono facilmente essere estesi a un portafoglio. Determiniamo la duration di primo ordine del portafoglio appena costruito, ipotizzando una struttura dei tassi piatta:

671

1

1

1

1

k

k

n t

k kk

n t

kk

t x iD

x i

1 2 3

1 2 3

1 210 (1 ) 2 110 (1 ) 3 55 (1 )

210 (1 ) 110 (1 ) 55 (1 )

i i iD

i i i

Cenni di immunizzazione classica

Introduciamo ora l’immunizzazione finanziaria classica quale tecnica di gestione del portafoglio; lavorando sotto certe ipotesi dobbiamo costruire un portafoglio in entrata che “copra”, immunizzi, un portafoglio in uscita. Immunizzare significa garantire disponibilità finanziaria in un certo periodo. Per prima cosa consideriamo una serie di uscite non nulle: Consideriamo anche un portafoglio di entrate:

672

1 2 1 2( , , , , , ) / ( , , , , , )k n k nu u u u t t t t

1 2 1 2( , , , , , ) / ( , , , , , )k m k mt t t tθ θ θ θ


Ricordando che si deve costruire un portafoglio scegliendo le quote di composizione dei titoli , in modo che valgano determinate condizioni. Inoltre la struttura dei tassi d’interesse deve essere esprimibile tramite un tasso uniperiodale effettivo pari ad i o ad una intensità istantanea costante pari a δ.

673

( )

1

sj

k j kj

xθ π=

= ⋅∑

jπ ∈


In queste condizioni è possibile dimostrare che se si scelgono le quote di composizione dei titoli del portafoglio Θ in modo che siano rispettate contemporaneamente le seguenti condizioni: allora il valore netto del portafoglio, a seguito di una variazione dei tassi d’interesse, sarà sempre non negativo, a patto che la variazione della curva dei tassi avvenga per “shift additivo” . 674

(2) (2)

(0, ) (0, )(0, ) (0, )

(0, ) (0, )

V V uD D uD D u

θθ

θ

= = ≥


Riscriviamo le tre condizioni:

675

2 2

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

k k

k k

k k

k k

k k

t tk k

k kt t

k k k kk k

t tk k

k kt t

k k k kk k

t tk k

k k

i u i

t i t u i

i u i

t i t u i

i u i

θ

θ

θ

θ

θ

− −

− −

− −

− −

− −

⋅ + = ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +=

⋅ + ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +≥

⋅ + ⋅ +

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

Vincolo di bilancio

Vincolo di duration

Vincolo di dispersione


Analizzando le condizioni riscontriamo che la prima da rispettare è il vincolo di bilancio, ovvero il valore attuale delle entrate deve essere uguale al valore attuale delle uscite; la seconda è il vincolo di duration, la duration delle entrate deve essere uguale alla duration delle uscite; la terza è il vincolo di dispersione e impone che la duration di secondo ordine delle entrate sia maggiore o uguale a quella delle uscite.

676

un portafoglio che rispetti questi tre vincoli è un portafoglio immunizzato


Illustriamo le tre condizioni geometricamente.

677

V(i)

i

V*

i*

(0, )V θ

(0, )V ui’ i’’

Si può notare come la curva delle entrate V(0, Θ) sia sempre sopra la curva delle uscite V(0, u),sia se i tassi aumentano passando da i* a i’, o diminuiscano passando da i* a i’’. Si nota inoltre che nel punto (i*, V*) le due curve sono tangenti.


Ipotizziamo una struttura di tassi piatta con un tasso effettivo pari a i. Ipotizziamo ancora di comprare quote del portafoglio in entrata in modo opportuno.

Come si nota dal grafico, in corrispondenza di i* , il valore attuale delle uscite è uguale al valore attuale delle entrate; inoltre, in corrispondenza di i* le due curve sono tangenti. Si hanno le seguenti proprietà:

678

(0, ) (0, ) *V V u Vθ = =

(0, ) (0, )dV dV udi di

θ=

Le due curve sono tangenti in i*: hanno la stessa derivata prima in quel punto.


Si vede ancora dal grafico che la curva delle entrate sta sopra la curva delle uscite, questo significa che è più convessa di , vale a dire:

679

(0, )V θ (0, )V u

se

se

i u

i u

θ

θ

>

>

2 2

2 2(0, ) (0, )d V d V u

di diθ

≥

Osservando il grafico, si evince che ipotizzando un aumento dei tassi da i*

a i’ il valore del portafoglio delle entrate sarà comunque maggiore del

valore del portafoglio in uscita. Simmetricamente, varrà lo stesso se il

tasso diminuisce da i* a i’’.


Riepilogando:

680

(0, ) (0, )V V uθ = Rappresenta il vincolo di bilancio

(0, ) (0, )dV dV udi di

θ= (0, ) (0, )D D uθ = Rappresenta il vincolo

di duration

2 2

2 2

(0, ) (0, )d V d V udi di

θ≥ (2) (2)(0, ) (0, )D D uθ ≥

Rappresenta il vincolo di dispersione


Nella maggior parte dei casi, il rispetto delle tre condizioni imposte non esaurisce i gradi di libertà del problema; in effetti possiamo avere un numero di variabili decisionali maggiore di 3. Si può procedere imponendo delle condizioni aggiuntive, ad esempio impostando un problema di ottimo vincolato.

Ipotizzando che gli s titoli abbiano un prezzo Pj:

681

(2) (2)

min

(0, ) (0, )(0, ) (0, )

(0, ) (0, )

j jj

P

V V uD D uD D u

π

θθ

θ

= =

≥

∑ Individua quote di detenzione dei singoli titoli che minimizzano il prezzo del portafoglio in entrata e rispettano i tre vincoli. In altri termini, tra tutti gli infiniti portafogli Θ che rispettano i vincoli, individua quello a costo minimo.

Ipotesi basilare dell’immunizzazione classica L’immunizzazione finanziaria classica si basa sull’ipotesi fondamentale che la struttura dei tassi evolve solo per shift additivi , questo significa che quando cambiano i tassi non cambia la struttura. Vediamo graficamente alcuni esempi.

682

t1 t2

i*

i

t Struttura dei tassi piatta, come si nota dal grafico i tassi variano, ma la struttura rimane la stessa.

Ipotesi basilare dell’immunizzazione classica

683

t1 t2

i*

i

t

Non abbiamo più tassi piatti. I tassi sono variabili, ma la struttura rimane la stessa, le curve si muovono parallelamente.

Ipotesi basilare dell’immunizzazione classica

684

i*

i

t

Esempio di shift non additivi. Quando la curva dei tassi si sposta per shift non additivi potrebbe non reggere la condizione di convessità.

Esempi Vediamo ora dei casi pratici per la costruzione di un portafoglio immunizzato. Esempio 1. Calcolare le quote dei titoli z1 e z2 che immunizzano un portafoglio composto da un’uscita L = 500 che si verifica in t = 2 essendo z1 e z2 i seguenti: z1 = (-95; 100) / (0; 1) z2 = (-96; 110) / (0; 3) ed essendo il tasso di mercato costante e pari al 5%. Partendo dai prezzi dei due titoli calcolare anche il costo del portafoglio di attività. Soluzione. Dobbiamo costruire i vincoli e fare in modo che siano rispettati contemporaneamente, procediamo con ordine e impostiamo il vincolo di bilancio. 685

Una precisazione riguarda il vincolo di dispersione: quando l’uscita prevista è unica, come in questo caso, per il teorema di Fisher–Weil, un portafoglio è immunizzato se rispetta solo il vincolo di bilancio e il vincolo di duration. Imposteremo come segue il problema: Ci poniamo in un’ottica in cui l’evoluzione dei tassi avviene per shift additivi. Costruiamo il vincolo di bilancio. Indichiamo con α la quota del primo titolo z1 e con β la quota del titolo z2.

686

Teorema di Fisher – Weil (0, ) (0, )(0, ) (0, )

V V uD D u

θθ

= =

Prima condizione: VINCOLO DI BILANCIO. Il valore attuale delle entrate è uguale al valore attuale delle uscite.

687

(0, ) (0, )(1 ) (1 )k kt t

k kk k

V V ui u i

θ

θ − −

= ⇔

⋅ + = ⋅ +∑ ∑

1 3

2

(0, ) 100 (1 0,05) 110 (1 0,05)95,23810 95,02214

(0, ) 500 (1 0,05) 453,51474

V

V u

θ α βα β

− −

−

= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + == ⋅ + ⋅

= ⋅ + =

Vincolo di bilancio: Seconda condizione: VINCOLO DI DURATION.

688

95,23810 95,02214 453,51474α β⋅ + ⋅ =

(0, ) (0, )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

k k

k k

t tk k k k

k kt t

k kk k

D D u

t i t u i

i u i

θ

θ

θ

− −

− −

=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +=

⋅ + ⋅ +

∑ ∑∑ ∑

Dal vincolo di bilancio sappiamo che:

689

(1 ) 453,51474ktk

kiθ −⋅ + =∑

1 31 100 1,05 3 110 1,05(0, )453,51474

95,23810 285,06641453,51474

D α βθ

α β

− −⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅=

sostituirlo al denominatore

(0, ) 2D u =

Vincolo di duration: Semplificando: Affinché le due condizioni vengano rispettate contemporaneamente dobbiamo metterle a sistema.

690

95,23810 285,06641 2453,51474

α β⋅ + ⋅=

0,21000 0,62857 2α β⋅ + ⋅ =

Si tratta di un sistema lineare con due incognite. Lo risolviamo per sostituzione.

691

95,23810 95,02214 453,514740,21000 0,62857 2

α βα β

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

453,51474 95,02214 4,76191 0,9977395,23810

0,21000 0,62857 2

βα β

α β

− ⋅ = = − ⋅ ⋅ + ⋅ =

692

4,76191 0,99773(4,76191 0,99773) 0,21000 0,62857 2α β

β β= − ⋅

− ⋅ ⋅ + ⋅ =

4,76191 0,99773(1 0,20952) 0,62857 2α β

β β= − ⋅

− ⋅ + ⋅ =

0,41905 1 2,386364,76191 (2,38636 0,99773) 2,38095

β βα

⋅ = → = = − ⋅ =

Otteniamo quindi le seguenti quote dei due titoli: Ora dobbiamo trovare il costo del portafoglio: Z1 costa 95, e ne compriamo 2,38095; z2 costa 96 e ne compriamo 2,38636; Il costo del portafoglio sarà:

693

α = 2,38095 β = 2,38636

95 962,38095 95 2,38636 96 455,2814

C α β= ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ =

Esempio 2. Calcolare le quote dei titoli z1 e z2 che immunizzano un portafoglio composto da un’uscita L = 2.000 che si verifica in t = 2 essendo z1 e z2 i seguenti: z1 = (-101; 110) / (0; 1) z2 = (-100,1; 10; 10; 110) / (0; 1; 2; 3) ed essendo il tasso di mercato costante e pari al 9%. Soluzione. Anche in questo caso applichiamo il teorema di Fisher – Weil

694

Impostiamo il vincolo di bilancio

695

2(0, ) 2.000 (1 0,09) 1.683,3500V u −= ⋅ + =

100,9174 102,5313 1.683,3500α β⋅ + ⋅ =

Vincolo di bilancio:

(1 ) (1 )k kt tk k

k ki u iθ − −⋅ + = ⋅ +∑ ∑

1 1 2 3(0, ) 110 (1,09) 10 (1,09) 10 (1,09) 110 (1,09)100,9174 102,5313

V θ α β β βα β

− − − −= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅ + ⋅

sappiamo che (1 ) 1.683,3500ktk

kiθ −⋅ + =∑

696

Seconda condizione: VINCOLO di DURATION

(0, ) (0, )D D uθ =

1 1 2 3

(0, )1 110 1,09 1 10 1,09 2 10 1,09 3 110 1,09

1.683,3500100,9174 280,8285

1.683,3500

D θ

α β β β

α β

− − − −

=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅=

(0, ) 2D u =

Semplifichiamo:

697

100,9174 280,8285 21.683,3500

α β⋅ + ⋅=

VINCOLO di DURATION

0,0599 0,1668 2α β⋅ + ⋅ =

Mettiamo a sistema le due condizioni e risolviamo per sostituzione.

698

100,9174 102,5313 1.683,35000,0599 0,1668 2

α βα β

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

1.683,3500 102,5313 16,6806 1,0160100,9174

(16,6806 1,0160) 0,0599 0,1668 2

βα β

β β

− ⋅ = = − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

1 0,0609 0,1668 2β β− ⋅ + ⋅ =

0,1059 2 1 9,4413β β⋅ = − → =

699

16,6806 1,016

16,6806 9,4413 1,016 7,0883

α β

α

= − ⋅ →

= − ⋅ =

α = 7,0883 β = 9,4413

Abbiamo trovato le quote di composizione dei titoli z1 e z2 che immunizzano il portafoglio composto da un’uscita all’epoca due.

Appendice: dimostrazione teorema di Fisher-Weil

Teorema. (Fisher-Weil) Supponiamo di avere un importo L>0 disponibile all'epoca

T>0 ed un flusso di importi non negativi disponibili alle epoche . Data l'intensità istantanea d'interesse supponiamo che L e X abbiano lo stesso valore attuale all'epoca zero rispetto alla struttura data:

Supponiamo inoltre che tra l'epoca zero e l'epoca uno l'intensità subisce uno shift additivo aleatorio , ossia:

700

1( ,..., )nX x x=1( ,..., )nt t

(0, )tδ

(0, ) (0, )V X V Lδ δ=

(0, )tδ γ

(0 , ) (0, ) con 0 0 1t tδ δ γ∗ + += + < <

I valori attuali di L e X calcolati all'epoca 0+ rispetto alla nuova intensità soddisfano la condizione

se e solo se L e X hanno la stessa duration all'epoca zero ossia

Iniziamo la dimostrazione ponendo per semplicità:

Il valore attuale del flusso è dato da:

dove abbiamo posto

701

(0 , ) (0 , )V X V Lδ δ∗ ∗

+ +≥

1 (0, ) .D X Tδ =

(0, ) log(1 )t iδ δ= = +

1(0, ) i

nt

ii

V X x vδ=

= ∑ ⋅

1(1 ) .v i e δ− −= + =

Per quanto riguarda l'uscita L abbiamo:

Il vincolo di bilancio può essere riformulato (all'epoca zero) nel modo seguente:

con Per effetto dello shift additivo avremo:

Perciò:

702

(0, ) .TV L L vδ = ⋅

1

1 1

1 1 1i

i i

nt n n

i t T T tii iT

i i

x vZ x v x rL LL v

− −=

= =

⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

∑∑ ∑

1 1 .r v i−= = +δ δ γ∗ = +

( )log(1 ) log log(1 ) logi r i rγ γ∗ ∗+ = = + + = +

log logr re e eγ∗

= ⋅

Si ottiene finalmente ossia .

Il nuovo valore della quantità Z definita prima è:

Perciò diventa una funzione di , , con

Calcoliamo le derivate:

703

r r eγ∗ = ⋅ 1 (1 )i e iγ∗+ = ⋅ +

1

1 ( ) ( )i

nT t

ii

Z x r e ZLγ γ−∗ ∗

== ⋅ ⋅ ⋅ =∑

γ ( )Z Z γ∗ ∗=(0) 1.Z Z∗ = =

1

2 22

1

1( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

i

i

nT t

i ii

nT t

i ii

d Z x T t r ed L

d Z x T t r eLd

γ

γ

γγ

γγ

−∗

=

−∗

=

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

∑

∑

La derivata seconda è non negativa per cui la funzione è convessa. Affinché si abbia

occorre determinare sotto quale condizione sia . A questo proposito è sufficiente mostrare che la derivata

prima di si annulla per (in effetti, tenendo conto della convessità, la funzione avrebbe quindi un minimo assoluto in ).

704

( )Z γ∗

(0 , ) (0 , )V X V Lδ δ∗ ∗

+ +≥

( ) 1Z γ∗ >

( )Z γ∗ 0γ =( )Z γ∗

0γ =

La condizione richiesta si scrive:

Ossia:

705

0

1

1 1

1(0) ( ) ( )

1 1(1 ) (1 ) 0

i

i i

nT t

i ii

n nT t T t

i i ii i

d Z x T t r ed L

x T i x t iL L

γ−∗

=

− −

= =

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + =

∑

∑ ∑

1 1(1 ) (1 )

0(1 ) (1 )

i i

n nt t

i i ii i

T T

x T i x t i

L i L i

− −

= =− −

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +− =

⋅ + ⋅ +

∑ ∑

Possiamo riscriverla in virtù del vincolo di bilancio:

Abbiamo ottenuto in questo modo la definizione della duration, ossia :

706

1 1

1 1

(1 ) (1 )0

(1 ) (1 )

i i

i i

n nt t

i i ii i

n nt t

i ii i

x T i x t i

x i x i

− −

= =

− −

= =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +− =

⋅ + ⋅ +

∑ ∑

∑ ∑

1 (0, )D X Tδ =

Conclusioni Abbiamo introdotto il concetto di portafoglio titoli ed esteso

il concetto di duration visto in precedenza, al caso di un portafoglio.

Abbiamo illustrato il concetto di immunizzazione finanziaria classica, individuato i vincoli da rispettare per immunizzare un portafoglio in uscita, accennando brevemente al caso in cui le variabili siano maggiori rispetto ai vincoli.

Si è fornita un’interpretazione geometrica dei vincoli di bilancio, di duration, di dispersione.

Infine sono stati risolti due problemi pratici riguardo la costruzione di un portafoglio immunizzato.

707

IMMUNIZZAZIONE CLASSICA

(0, ) (0, )V V uθ =

(0, ) (0, )D D uθ =

(2) (2)(0, ) (0, )D D uθ ≥

VINCOLO DI BILANCIO

VINCOLO DI DURATION

VINCOLO DI DISPERSIONE

La struttura dei tassi evolve solo per shift additivi.

IPOTESI BASILARE DELL’IMMUNIZZAZIONE

CLASSICA

Le tre condizioni devono

essere verificate contemporaneamente

Presenter

Presentation Notes

L’immunizzazione finanziaria è una tecnica di gestione del portafoglio, immunizzare significa garantire disponibilità finanziaria in un certo periodo. Per costruire un portafoglio immunizzato è necessario rispettare contemporaneamente tre condizioni, il vincolo di bilancio ossia il valore attuale delle entrate deve essere uguale al valore attuale delle uscite; il vincolo di duration, ovvero la duration delle entrate deve essere uguale alla duration delle uscite; il vincolo di dispersione invece impone che la duration di secondo ordine delle entrate sia maggiore o uguale alla duration di secondo ordine delle uscite. Da non dimenticare che l’immunizzazione finanziaria classica si basa sull’ipotesi fondamentale che la struttura dei tassi evolve, si modifica, solo per shift additivi, questo significa che quando cambiano i tassi non cambia la struttura.

ESERCIZI

709

Esercizio 1

Siano date le due attività e l’unica passività L:

Calcolare le quote ed il costo del portafoglio che immunizzano la passività sapendo che il tasso di mercato è il 6%.

710

1 2,z z

1

2

( 99;105) /(0;1)( 190;225) /(0;3)(0;0;150;0) /(0;1;2;3)

zzL

= −= −=

Vincolo di BILANCIO:

Composizione portafoglio entrate:

711

(0, ) (0, )(1 ) (1 )k kt t

k kk k

V V ui u i

θ

θ − −

= ⇔

⋅ + = ⋅ +∑ ∑

1 2 (105 ;0;225 ) /(1;2;3)z zα β α β⋅ + ⋅ →

Calcolo valori attuali: Prima condizione:

712

1 3

2

(0, ) 105 1,06 225 1,0699,0566 188,9143(0, ) 150 1,06 133,4995

V

V u

θ α βα β

− −

−

= ⋅ + ⋅= +

= ⋅ =

99,0566 188,9143 133,4995α β+ =

Vincolo di DURATION

713

1 3

(0, ) (0, )(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

1 105 1,06 3 225 1,06(0, )133,4995

k k

k k

t tk k k k

k kt t

k kk k

D D ut i t u i

i u i

D

θ

θ

θ

α βθ

− −

− −

− −

= ⇔

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +=

⋅ + ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

∑ ∑∑ ∑

Si ottiene:

Duration uscita: seconda condizione:

714

1 3

(0, ) 0,742 4,24531 105 1,06 3 225 1,06(0, )

133,4995

D

D

θ α β

α βθ− −

= +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

(0, ) 2D u =

0,7420 4,2453 2α β+ =

Risolviamo il sistema:

Costo del portafoglio:

715

99,0566 188,9143 133,49950,7420 4,2453 2

0,6738 0,3533

α βα β

α β

+ = + =⇒ = =

0,6738 99 0,3533 190 133,8332C = ⋅ + ⋅ =

Esercizio 2

Siano dati i seguenti 3 titoli obbligazionari (i cui prezzi coincidono con i valori teorici):

b1 = (-96,01; 4; 104)/(0; 1; 2) b2 = (-96,85; 5; 5; 105)/(0; 1; 2; 3)

b3 = (-95,92; 5; 5; 5; 105)/(0; 1; 2; 3; 4) Sapendo che la struttura dei tassi di mercato è

piatta ed è espressa da un tasso istantaneo δ pari al 5% calcolare le quote del portafoglio formato dai tre titoli b1, b2, b3 che immunizzano il vettore di uscite

(0; 100; 0; 100; 0)/(0; 1; 2; 3; 4) nell’ipotesi in cui si desideri avere una duration di

2° ordine dell’attivo pari a 1,2 volte quella del passivo.

716

Ricerca del tasso:

717

0,05

0,05 log(1 )1 0,05127

1 1 0,951231 1,05127

ii e

vi

δ = = +

⇒ = − =

⇒ = = =+

Vincolo di BILANCIO:

718

(0, ) (0, ) k kt tk k

k kV V u v u vθ θ= ⇔ ⋅ = ⋅∑ ∑

2 2 3

2 3 4 3

(4 104 ) (5 5 105 )(5 5 5 105 ) 100 100

97,9081 99,6547 99,5506 181,1940

v v v v vv v v v v v

α β

γα β γ

⋅ + + ⋅ + + +

+ ⋅ + + + = ⋅ + ⋅⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Vincolo di DURATION

719

3

3

3

(0, ) (0, )

100 3 100(0, )100 100

100 3 100 1,9500181,1940

k k

k k

t tk k k k

k kt t

k kk k

t v t u vD D u

v u v

v vD uv v

v v

θθ

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇔ =

⋅ ⋅

⋅ + ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅

=

∑ ∑∑ ∑

2

3 4 2

2 3 2 3 4

(4 5 5 ) 2 (104 5 5 )(0, )181,1940

3 (105 5 ) 420 (4 208 )181,1940 181,1940

(5 10 315 ) (5 10 15 420 )181,1940

1,0597 1,5725 2,0452 1,9500

v vD

v v v v

v v v v v v v

α β γ α β γθ

β γ γ α

β γ

α β γ

+ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= +

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ++ = +

⋅ + + + ⋅ + + ++

⇒ + + =

720

Vincolo di dispersione:

721

(2) (2)

2 2

3(2)

3

(0, ) 1,2 (0, )

1,2

100 9 100(0, ) 4,8002100 100

k k

k k

t tk k k k

k kt t

k kk k

D D ut v t u v

v u v

v vD uv v

θ

θ

θ

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅

⋅ ⋅

⋅ + ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅

∑ ∑∑ ∑

2(2)

3 4 2

2 3 2 3 4

(4 5 5 ) 4 (104 5 5 )(0, )181,1940

9 (105 5 ) 1.680 (4 416 )181,1940 181,1940

(5 20 945 ) (5 20 45 1.680 )181,1940

2,0984 4,6151 7,93102,0984 4,6151 7,93

v vD

v v v v

v v v v v v v

α β γ α β γθ

β γ γ α

β γ

α β γα β

+ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= +

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ++ = +

⋅ + + + ⋅ + + ++

= + +⇒ + + 10 1,2 4,8002 5,7602γ = ⋅ =

722

Tre condizioni sistema

723

97,9081 99,6547 99,5506 181,19401,0597 1,5725 2,0452 1,95002,0984 4,6151 7,9310 5,7602

97,9081 99,6547 99,5506 181,19401,0178 1,0168 1,8506

α β γα β γα β γ

α β γα β γ

+ + = + + = + + =→ = − − +→ = − − +

0,4939 0,9677 0,0112,4793 5,7973 1,8769

0,4939 0,9677 0,0111,9593 0,022

2,4793( 1,9593 0,022) 5,7973 1,87692,1288 4,1489 3,9088

β γβ γ

β γβ γ

γ γγ β α

+ = − + =→ = − −→ = − −⇒ − − + =⇒ = → = − → =

724

Esercizio 3

Calcolare le quote dei titoli z1 e z2 che immunizzano un portafoglio composto da un’uscita L = 200 che si verifica in t = 2 essendo z1 e z2 i seguenti

z1 = (-100; 110) / (0; 1) z2 = (-100; 130) / (0; 3) ed essendo il tasso di mercato costante e pari al

5%. Partendo dai prezzi (che, come si vede, sono pari

a 100) dei due titoli calcolare anche il costo del portafoglio di attività.

725

Scadenzario del portafoglio di attività:

Vincolo di bilancio:

726

(110 ;0;130 ) /(1;2;3)α β

3 2

(0, ) (0, )110 130 200

1con 0,95241,05

104,7619 112,2989 181,4059

V V uv v v

v

θ

α β

α β

= ⇔

⋅ + ⋅ = ⋅

= =

+ =

Vincolo di duration:

risolvere il sistema:

727

3 2

(0, ) (0, )1 110 3 130 2 200

181,4059 181,4059104,7619 336,8967 362,8118

D D uv v v

θ

α β

α β

= ⇔

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

+ =

104,7619 112,2989 181,4059104,7619 336,8967 362,8118

(336,8967 112,2989) 362,8118 181,4059

0,8077

104,7619 181,4059 112,2989

0,8658

α βα β

β

β

α β

α

+ = + =⇒ − ⋅ = −

⇒ =

⇒ = −

⇒ =

728

Costo del portafoglio di attività:

Valore del portafoglio di attività all’epoca 2:

729

100 100

100 (0,8077 0,8658) 167,35

P α β= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + =

2130110 (1 )1

V iiβα= ⋅ + +

+

2Grafico di in funzione di V i

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

200.05

200.1

200.15

200.2

730

Esercizio 4

La struttura dei tassi a pronti è espressa sul mercato dalla seguente equazione:

Calcolare la duration di primo e second’ordine del titolo (-98; 10; 10; 110)/(0; 1; 2; 3). Calcolare i tassi a termine i(0, t-1, t) per

t=1, 2, 3. Calcolare il fattore di montante m(0, 1, 3)

espresso su base annua.

731

(0, ) 0,06 0,005 ( 1)i t t= − ⋅ −

2

3

(0,1) 0,06(0,1) 0,943396

(0,2) 0,06 0,005 0,055(0,2) (0,947867) 0,898452

(0,3) 0,06 0,01 0,05(0,3) (0,952381) 0,863838

iv

iv

iv

=→ =

= − =

→ = == − =

→ = =

732

(2)

10 (0,1) 2 10 (0,2) 3 110 (0,3) 2,754510 (0,1) 10 (0,2) 110 (0,3)10 (0,1) 4 10 (0,2) 9 110 (0,3) 7,9387

10 (0,1) 10 (0,2) 110 (0,3)

v v vDv v vv v vD

v v v

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= =⋅ + ⋅ + ⋅

733

[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ]

[ ]

2

3

2

32

1/ 2

1 (0;2)1 (0;1;2) (0;1;2) 0,05

1 (0;1)

1 (0;3)1 (0;2;3) (0;2;3) 0,0401

1 (0;2)

1 (0;3)1 (0;1;3) (0;1;3) 0,045

1 (0;1)

(0;1;3) (0;1;3) 1 (0;1;3) 1,092099

ii i

i

ii i

i

ii i

i

i m m

++ = → =

+

++ = → =

+

++ = → =

+

= − → =

734

Esercizio 5

In un certo momento il mercato è formato da quattro ZCB aventi tutti, all’istante di valutazione, prezzo pari a 100 e dotati delle seguente caratteristiche:

il primo vita residua 1 anno e valore di rimborso 120;

il secondo vita residua 2 anni e valore di rimborso 130;

il terzo vita residua 3 anni e valore di rimborso 145;

il quarto vita residua 4 anni e valore di rimborso 155.

735

Ricavare, da queste informazioni, la struttura dei tassi esplicitando sia i tassi a pronti che i tassi a termine ed indicare il prezzo di un obbligazione che paga cedole al 10% annuo per 3 anni e viene rimborsata all’epoca 3 se il valore nominale del titolo è pari a 100.

Calcolare, inoltre, la durata media finanziaria di tale obbligazione in base alla struttura dei tassi individuata.

736

[ ]

[ ]

1

2

1/ 2

3

1/ 3

120(0,1) 1,2100

(0,1) (0,1) 1 0,20130(0,2) 1,3100

(0,2) (0,2) 1 0,1402145(0,3) 1,45100

(0,3) (0,3) 1 0,1319

Z m

i m

Z m

i m

Z m

i m

→ = =

→ = − =

→ = =

→ = − =

→ = =

→ = − =

737

[ ]

4

1/ 4

155(0,4) 1,55100

(0,4) (0,4) 1 0,1158(0,2) 1,3(0;1;2) 1 1 0,0833(0,1) 1,2(0,3) 1,45(0;2;3) 1 1 0,1154(0,2) 1,3(0,4) 1,55(0;3;4) 1 1 0,0690(0,3) 1,45

Z m

i mmimmimmim

→ = =

→ = − =

= − = − =

= − = − =

= − = − =

738

Prezzo dell’obbligazione:

Duration:

739

1 1 110 (1,2) 10 (1,3) 110 (1,45) 91,888P − − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

1 1 11 10 (1,2) 2 10 (1,3) 3 110 (1,45)91,888

2,7349

D− − −⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

=

Esercizio 6

In un determinato istante la struttura dei tassi a termine sul mercato, valutata all’epoca t=0, è la seguente: i(0;1)=0,10; i(0;1;2)=0,11; i(0;2;3)=0,12; i(0;3;4)=0,125.

Un operatore ha a disposizione due titoli: uno ZCB che garantisce 163,0474 tra 4 anni; una obbligazione che paga cedole annuali del

15% e verrà rimborsata alla pari tra 4 anni. Calcolare i prezzi e le durate medie finanziarie

dei due titoli.

740

0

163,0474 105,9809(1,10) (1,11) (1,12) (1,125)15 15 15

1,10 (1,10) (1,11) (1,10) (1,11) (1,12)115 111,6402

(1,10) (1,11) (1,12) (1,125)

zP

P

= =⋅ ⋅ ⋅

= + + +⋅ ⋅ ⋅

+ =⋅ ⋅ ⋅

741

0

15 15 151 2 31,10 (1,10) (1,11) (1,10) (1,11) (1,12)

111,64021154

370,1130(1,10) (1,11) (1,12) (1,125) 3,3152111,6402 111,6402

D⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅= +

⋅⋅ ⋅ ⋅+ = =

742

4zD =

Esercizio 7

Dati i seguenti tre titoli obbligazionari: z1 = (-100; 105) / (0; 1) z2 = (-95; 5; 105) / (0; 1; 2) z3 = (-95; 8; 8; 102) / (0; 1; 2; 3) Determinare i tassi a pronti e a termine e calcolare il prezzo P e la duration del second’ordine della seguente obbligazione: b1 = (P; 5; 10; 120) / (0; 1; 2; 3)

743

1

21/ 2

105(0,1) 1,05100

(0,1) (0,1) 1 0,05 5%95 5 (0,1) 105 (0,2) (0,2) 0,8594

(0,2) (0,2) 1 0,078698 7,8698%

z m

i mz v v v

i v −

→ = =

→ = − = →→ = ⋅ + ⋅ → =

→ = − = →

744

3

1/ 3

95 8 (0,1) 8 (0,2) 102 (0,3)(0,3) 0,7893(0,3) (0,3) 1 0,082076 8,2076%

z v v vvi v −

→ = ⋅ + ⋅ + ⋅

→ =

→ = − = →

745

Tassi a termine:

746

(0,1) 100/105(0,1,2) 1 1 0,108179(0,2) 0,8594(0,2) 0,8594(0,2,3) 1 1 0,088866(0,3) 0,7893

(0,1)(0,1,3) 1 9,848%(0,3)

vivviv

viv

= − = − =

= − = − =

= − =

Prezzo e duration:

747

1

2

5 (0,1) 10 (0,2) 120 (0,3) 108,06861 5 (0,1) 2 10 (0,2) 3 120 (0,3) 2,8323

108,06861 5 (0,1) 4 10 (0,2) 9 120 (0,3) 8,2499

108,0686

P v v vv v vD

v v vD

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= =

Esercizio 8

Dato un titolo fornito di Duration pari a 3 e prezzo pari a 99 calcolare il suo presumibile cambiamento di valore a seguito di una variazione positiva dei tassi di mercato del 2% a partire da un livello corrente del 5%.

748

Applichiamo la nota relazione:

749

( )

3 99 0,021 1,05

5,6571

V V i

DV V ii

V

=

∆ = − ⋅ ⋅ ∆ = − ⋅ ⋅+

⇒ ∆ = −

Esercizio 9

Un titolo costa 99,5, ha TIR pari al 5,42% e la sua duration è pari a 2,34 anni. Calcolare la presumibile variazione del suo prezzo a seguito di un incremento del tasso di un punto percentuale.

750

Applichiamo la nota relazione:

751

( )

2,34 99,5 0,011 1,0542

2,2086

V V i

DV V ii

V

=

∆ = − ⋅ ⋅ ∆ = − ⋅ ⋅+

⇒ ∆ = −

Esercizio 10

Sia dato un bullet bond x1 con valore facciale 100 euro, maturity 2 anni, cedole pagabili semestralmente al tasso nominale annuo i=14%. Con riferimento ad una struttura dei tassi a pronti su base annua data da i(0;0,5)=10,25%, i(0;1)=10,5%, i(0;1,5)=11%, i(0;2)=10,75%, determinare la duration del titolo x1. Indicato poi con x il portafoglio composto da una quota a=3 del titolo x1 e da una quota b di uno zero coupon bond x2 che paga 100 euro in t=1, determinare b in modo che D(0;x)=1,3.

752

Il tasso semestrale è dato da

Valore delle cedole: Si ottiene lo scadenzario: Calcolo della duration:

753

1/2(2) 0,072

Ji = =

1/2 7C VF i= ⋅ ={ } { }7,7,7,107 / 0,5;1;1,5;2

( )( )[ ]

( )[ ]1

1 0,0,

1 0,

k

k

tk k k

kt

k kk

t i tD x

i t

ϑ

ϑ

−

−

⋅ ⋅ +=

⋅ +

∑∑

Numeratore:

Denominatore:

Risultato:

Lo scadenzario del portafoglio è:

754

0,5 1

1,5 2

7 0,5 (1,1025) 7 1 (1,105)7 1,5 (1,11) 107 2 (1,1075)

− −

− −

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

0,5 1 1,5 27 (1,1025) 7 (1,105) 7 (1,11) 107 (1,1075)− − − −⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1(0, ) 1,8180D x =

{ } { }21;21 100 ;21;321 / 0,5;1;1,5;2b t+ ⋅ =

Risolvendo l’equazione in b:

Si trova:

755

0,5 1 1,5 2

0,5 1 1,5 221 0,5 (1,1025) (100 21) 1 (1,105) 21 1,5 (1,11) 321 2 (1,1075)

21 (1,1025) (100 21) (1,105) 21 (1,11) 321 (1,1075)1,3

bb

− − − −

− − − −

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

=

6,080687b =

MODULO 7

TEORIA CLASSICA DELLE OPZIONI

756

Definizioni generali

Un derivato è un prodotto finanziario il cui valore dipende dal valore di un altro prodotto (chiamato sottostante). Esamineremo il caso di opzioni su azioni (ossia il sottostante è costituito da titoli azionari rischiosi).

Definiamo un'opzione di tipo call (put) come un contratto finanziario che consente, dietro pagamento di un premio C, di acquistare (vendere) un titolo azionario predefinito (il nostro sottostante) a un prezzo predeterminato K (strike price o prezzo d'esercizio) a una scadenza T prefissata.

Il sottostante, il prezzo d'esercizio e la scadenza fanno parte del contratto stesso.

757

Il pay-off

Opzione di tipo europeo se il diritto può essere esercitato solo alla scadenza T, oppure di tipo americano se il diritto può essere esercitato anche entro la scadenza T.

L'acquirente della call eserciterà il suo diritto solo se il valore a scadenza dell'azione sarà maggiore rispetto allo strike price K (rialzista). In caso di esercizio, il profitto lordo a scadenza (pay-off) sarà uguale alla differenza positiva

, diversamente questa differenza vale zero. Si ha:

Il compratore della call ("buyer") ha potenzialità

di guadagno molto elevato, la perdita è limitata. 758

TA

TA K−

( )Max ;0T TC A K= −

Il pay-off Profitto netto: . Esempio con

759

TC C− 10 e 5.C K= =

Il pay-off

L'acquirente della put eserciterà il suo diritto solo se il valore a scadenza dell'azione sarà minore rispetto allo strike price K (ribassista). In caso di esercizio, il profitto lordo a scadenza (pay-off) sarà uguale alla differenza positiva

, diversamente questa differenza vale zero. Si ha:

Il seller guadagna al massimo il prezzo pagato

dal compratore. Per quanto riguarda il buyer, la perdita massima è il prezzo pagato ma ci sono notevoli possibilità di guadagno.

760

TA

TK A−

( )Max ;0T TP K A= −

Il pay-off Profitto netto: . Esempio con

761

TP P− 10 e 15.P K= =

Esempio

Sia un'opzione call a tre mesi sul titolo alpha con euro e euro. Se il valore a

scadenza dell'azione è , il pay-off vale In questo caso l'esercizio dell'opzione conviene.

Se il valore a scadenza dell'azione è il pay-off vale

In questo caso l'esercizio dell'opzione non conviene.

762

5K =0 4,9A =6TA =

( )Max 6 5;0 1.TC = − =

4,5TA =( )Max 4,5 5;0 0.TC = − =

Esempio

Sia un'opzione put a un mese sul titolo beta con euro e euro. Se il valore a scadenza

dell'azione è , il pay-off vale In questo caso l'esercizio dell'opzione conviene.

Se il valore a scadenza dell'azione è il pay-off vale

In questo caso l'esercizio dell'opzione non conviene.

763

3,5K =0 3A =2TA =

( )Max 3,5 2;0 1,5.TP = − =

4TA =( )Max 3,5 4;0 0.TP = − =

Portfolio insurance

Sia un portafoglio costituito da un’azione e un'opzione put che ha per sottostante quell'azione. Valore a scadenza:

Esaminiamo le seguenti possibilità:

il valore a scadenza del nostro portafoglio non scende mai al di sotto dello strike price K. Abbiamo costruito in questo modo uno strumento di copertura del rischio chiamato portfolio insurance.

764

( )Max ;0T T TV A K A= + −

0T T T T

T T T T

A K V A AA K V A K A K

≥ ⇒ = + =< ⇒ = + − =

Relazione di parità

Sia un portafoglio costituito da un’azione, un'opzione put e un’opzione call (con quota ) che hanno per sottostante quell'azione. Valore a scadenza:

Esaminiamo le seguenti possibilità:

Il valore a scadenza è sempre K (portafoglio non

rischioso). Per evitare opportunità di arbitraggio, il valore attuale del portafoglio dovrà essere uguale al valore attuale di K al tasso risk free.

765

1−

( ) ( )Max ;0 Max ;0T T T TV A K A A K= + − − −

00

T T T T

T T T T

A K V A A KA K V A

KK KA

≥ ⇒ = + − + =< ⇒ = + − − =

Relazione di parità

Avremo perciò:

relazione di parità call-put. Possiamo dedurre il prezzo della put P da quello

della call C (e viceversa).

766

f

KA P Cr

+ − =

Pricing

Obiettivo della teoria delle opzioni: determinare il prezzo del contratto.

Per questo, dovremo stabilire la dinamica del prezzo del sottostante.

Vedremo a tal proposito due modelli di valutazione delle opzioni:

modello discreto (Cox-Ross-Rubinstein) modello continuo (Black&Scholes)

767

768

VALUTAZIONE DELLE OPZIONI: MODELLO

COx-ROSS-RUBINSTEIN

Ipotesi del modello

Il modello di pricing più semplice, chiamato modello binomiale di Cox-Ross-Rubinstein (modello “CRR”, 1979) ipotizza che in un singolo periodo il corso azionario con prezzo iniziale A possa avere solamente due movimenti: a rialzo ( con il fattore di rialzo ), o a ribasso ( con il fattore di ribasso ).

Dopo due periodi potremo avere due rialzi, due ribassi oppure un rialzo e un ribasso (o viceversa).

Dopo n periodi potremo avere n+1 possibili valori a scadenza per il sottostante.

769

TA A u= ⋅ 1u >TA A d= ⋅ 1d <

Albero binomiale

Evoluzione del sottostante:

770

A

A u⋅

A d⋅

2A u⋅

A u d⋅ ⋅

2A d⋅0T =

2T =1T =

Pay-off

A ogni possibile valore del sottostante potremo associare un pay-off.

Per l'opzione call avremo dopo un periodo:

Dopo due periodi avremo tre possibili payoff:

Dopo n periodi avremo n+1 pay-off. 771

( )( )

Max ;0

Max ;0u

d

C A u K

C A d K

= ⋅ −

= ⋅ −

( )( )( )

2

2

Max ;0

Max ;0

Max ;0 .

uu

dd

ud

C A u K

C A d K

C A u d K

= ⋅ −

= ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

Portafoglio replicante

Sia un titolo risk free che rende il tasso i, con scadenzario

Costruiamo un portafoglio costituito da una quota a di titoli azionari e da una quota b di titoli risk free.

Imponiamo che il valore del portafoglio alla scadenza T abbia lo stesso valore di un'opzione call (scritta sullo stesso titolo azionario) in caso di rialzo e ribasso:

Un portafoglio con questa proprietà è chiamato portafoglio replicante.

772

(1;1 ) / (0; )i T+

Π

(1 )(1 )

u

d

a A u b i Ca A d b i C

⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ + =

Portafoglio replicante

Le soluzioni del sistema sono:

Per la legge dell’unico prezzo, il prezzo dell’opzione dovrà coincidere con quello del portafoglio:

773

( ) (1 ) ( )u d d uC C u C d Ca b

A u d i u d− ⋅ − ⋅

= =⋅ − + ⋅ −

( )( ) (1 ) ( )

(1(1 ( )

1

))

u d d u

u d d u

C C u C d CAA u d i u d

C C i u C

C a A b

d Ci u d

− ⋅ − ⋅= ⋅ + =

⋅ − + ⋅ −

− ⋅ + + ⋅ − ⋅=

+ ⋅

+ ⋅

−

= ⋅

Pricing

Poniamo: La formula precedente si può riscrivere:

il prezzo dell'opzione è la media ponderata dei pay-off, attualizzata al tasso risk free.

Stesso procedimento per la put (adattando i pay-off).

Il coefficiente è compreso tra zero e uno, perciò lo possiamo interpretare come una probabilità.

774

1 i du d

π + −=

−

(1 )1

u dC CCi

π π⋅ + − ⋅=

+

π

Probabilità risk-neutral

Dalla definizione di si deduce:

è tale da rendere il valore atteso del

rendimento azionario (il primo membro) pari al tasso risk free (il secondo membro).

775

π

(1 ) 1u d iπ π⋅ + ⋅ − = +

π

Esempio

Determinare il prezzo di un'opzione call nel caso uniperiodale con i dati seguenti: A = 80, K = 79,5,

i = 10%, u = 1,20 e d = 0,90. Determiniamo i pay-off:

l'esercizio dell'opzione è conveniente solo in caso di

rialzo. Probabilità risk neutral:

776

( )( )

Max 80 1,20 79,5;0 16,5

Max 80 0,90 79,5;0 0u

d

C

C

= ⋅ − =

= ⋅ − =

1 0,10 0,90 0,66671,20 0,90

π + −= =

−

Esempio

Avremo perciò:

Quote del portafoglio replicante:

Prezzo dell'opzione (formula equivalente):

777

0,66 16,5 0 101,10

C ⋅ += =

16,5 0 0,6875( ) 80 0,30

0 0,90 16,5 45(1 ) ( ) 1,10 0,30

u d

d u

C CaA u du C d Cb

i u d

− −= = =

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ − ⋅

= = = −+ ⋅ − ⋅

0,6875 80 45 10C = ⋅ − =

Caso multiperiodale Caso biperiodale: tre possibili valori a scadenza del corso

azionario. probabilità di un doppio rialzo;

probabilità di un doppio ribasso;

probabilità di rialzo/ribasso. Prezzo dell'opzione call:

Opzione call "in the money" se il corso azionario è superiore allo strike (possibilità di guadagnare); "out of the money" se il corso azionario è inferiore allo strike (non è conveniente); "at the money" se sono identici corso azionario e strike. Caso della put: le definizioni “in the money” e “out of the money” sono invertite. 778

2π2(1 )π−

2 (1 )π π⋅ −

2 2

2

2 (1 ) (1 )(1 )

uu ud ddC C CCi

π π π π⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅=

+

Caso multiperiodale

Dopo n periodi, il valore del sottostante è con h rialzi e n-h ribassi ( ).

Possibili pay-off a scadenza:

Possibili traiettorie che collegano il nodo di partenza

con il generico nodo finale (con h rialzi e n-h ribassi) sono pari al numero di combinazioni di h oggetti in un insieme di n, ossia il coefficiente binomiale:

779

h n hnA A u d −= ⋅ ⋅ 0 h n≤ ≤

( )( )

Max ;0

Max ;0

h n hh

h n hh

C A u d K

P K A u d

−

−

= ⋅ ⋅ −

= − ⋅ ⋅

!!( )!

n nh h n h

= −

Caso multiperiodaleNumero di traiettorie dopo 6 periodi: Numero di traiettorie dopo 6 periodi:

11, 1

1, 2, 11, 3, 3, 1

1, 4, 6, 4, 11 5 10 10 5 11, 5, 10, 10, 5, 1

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

780

Caso multiperiodale

Probabilità di ottenere h rialzi e n-h ribassi pari a

Valore dell’opzione dato dal valore atteso dei payoff, attualizzato per n periodi al tasso risk free (generalizzazione del caso biperiodale):

781

(1 )h n hπ π −⋅ −

( )

( )

0

0

Max ;0 (1 )

(1 )

Max ;0 (1 )

(1 )

nh n h h n h

hn

nh n h h n h

hn

nA u d K

hC

in

K A u dh

Pi

π π

π π

− −

=

− −

=

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

=+

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

=+

∑

∑

782

INTEREST RATE SwAP

Introduzione

• Financial derivatives: derivati relativi ad entità finanziarie (valuta, tasso di interesse, indice finanziario);

• Commodities derivatives: derivati su merci o materie prime (metallo prezioso);

• Credit derivatives: derivati tradizionali che coprono il rischio di credito (Das 1998, 9).

783

Sono considerati “derivati” quei contratti che insistono su elementi di altri schemi negoziali (quali valute, tassi di interessi, tassi di cambio, indici di borsa) e il cui valore economico deriva dal valore del titolo sottostante o degli altri elementi di riferimento.

(Banca d’Italia Circolare 29 marzo 1988, n. 4; Circolare 21 aprile 1999, n. 299)

I derivati si possono suddividere in:

Introduzione

• contratti futures su strumenti finanziari, tassi d’interesse, valute, mercati e relativi indici, anche quando l’esecuzione avvenga attraverso il pagamento di differenziali in contanti;

• contratti di scambio a pronti e a termine (swaps) su tassi di interesse, valute, merci, mercati e relativi indici, anche quando l’esecuzione avvenga attraverso il pagamento di differenziali in contanti;

• contratti a termine collegati a strumenti finanziari, tassi d’interesse, valute, merci e relativi indici … ;

• contratti di opzione per acquistare o vendere strumenti indicati sopra e relativi indici, nonché contratti di opzione su valute, tassi, merci e relativi indici;

• combinazioni di contratti o indici.

(Art. 1, 2° comma, f), g), h), i), j) TUF)

784

Per “strumenti finanziari” si intendono:

Introduzione FUNZIONE: possibilità di negoziare i rischi connessi alle fluttuazioni

delle variabili di mercato - c.d. rischi finanziari - (riducendoli o addirittura amplificandoli) separatamente dall’operazione che li ha originati.

785

• Funzione di copertura (hedging): copertura verso un evento futuro e incerto, quale la fluttuazione di valore di un bene. E’ modello di tutela finanziaria che richiama quello assicurativo. (Es: Previsione di rialzo del titolo X (oggi 100) in 3 mesi: contratto future, i.e. acquisto di X al prezzo di 100 da eseguirsi a 3m)

• Funzione speculativa (trading): sulla base di previsioni circa

l’andamento di variabili finanziarie rilevanti, si pone in essere un derivato con il solo scopo di ottenere profitti a breve. (Es: Se a 3m il titolo quota 120, l’operatore, che ha pagato 100, lo vende a pronti e lucra la differenza di 20)

Interest Rate Swap

786

L’IRS è un accordo contrattuale tra sue soggetti che si impegnano a scambiarsi un importo monetario avente natura di interesse per un certo numero di periodi. Tale importo è pari alla differenza esistente, alle date prestabilite, tra l’interesse prodotto da un tasso variabile e un tasso fisso concordato, entrambi riferiti ad un capitale nozionale o teorico.

Definizione

Finalità

L’IRS può essere utilizzato per trasformare una passività a tasso variabile in una passività a tasso fisso. In questo modo l’impresa si copre dal rischio di un aumento dei tassi d’interesse. Perde tuttavia la possibilità di beneficiare di un’eventuale loro riduzione.

Interest Rate Swap

787

Alfa

Tasso di interesse fisso

Finanziamento a tasso variabile

(Libor)

Tasso di int. variabile (Libor)

Alfa e Gamma: contratto di finanziamento a tasso variabile (Libor) Alfa e Beta: contratto di swap

Gamma

Beta

Interest Rate Swap

Gli elementi del contratto IRS sono:

• tasso fisso o tasso IRS rappresenta il prezzo dello swap; • capitale nozionale: capitale teorico sul quale calcolare i flussi di

interesse oggetto dello scambio; • tasso variabile di riferimento; • fixing date: data di rilevazione del tasso di riferimento; • periodicità degli scambi di flussi di interessi; • maturity date: data di scadenza del contratto; • importo da scambiare detto differenziale è determinato da:

788

( )360sggTV TF N ∆ = − ⋅ ⋅

Interest Rate Swap

Esistono tre tipi di Interest Rate Swap:

789

• Coupon swap: contratto con il quale due parti si scambiano un flusso di interessi a tasso fisso ed uno a tasso variabile nella solita valuta (floating-to-fixed swap);

• Basis swap: contratto con il quale due parti si scambiano flussi di interessi entrambi a tasso variabile nella solita valuta (floating-to-floating swap);

• Cross-currency interest rate swap: contratto con il quale due parti si scambiano due flussi di interessi denominati in due diverse valute (fixed-to-fixed swap).

Tasso variabile di riferimento Libor

Libor: tasso di riferimento europeo al quale le banche si prestano denaro tra loro, spesso durante la notte (in batch notturno), dopo la chiusura dei mercati. Esso è maggiore del tasso di sconto che gli istituti di credito pagano per un prestito alla banca centrale.

Interest Rate Swap

790

Payoff derivante dall’acquisto di un IRS a tasso fisso (k). Il contratto prevede il pagamento di un tasso fisso in cambio di un tasso variabile. La sottoscrizione risulterà conveniente nell’ipotesi in cui il tasso variabile sia superiore al tasso fisso concordato

Effetto combinato dei flussi derivanti da un indebitamento a tasso variabile e dall’acquisto di un IRS a tasso fisso comparato al flusso derivante dal finanziamento a tasso variabile senza copertura

Interest Rate Swap

Esempio Si consideri uno swap a 3 anni stipulato il 1° marzo 2006 in cui la società

Alfa si impegna a pagare alla società Beta un tasso fisso del 5% annuo su un nozionale di 100 milioni di euro e in cambio la società Beta si impegna a pagare alla società Alfa il Libor a 6 mesi sullo stesso nozionale.

791

Alfa

5% annuo (2,5% semestrale) su N

Libor/2 su N

Beta

Interest Rate Swap

Il primo scambio avviene il 1° settembre 2006. • Tasso fisso annuo 5%. • Libor a 6 mesi 4,2% (osservato tra 1° marzo 2006 e 1° settembre 2006).

792

Alfa

0,5*5%*100 = 2,5 mil.

0,5*4,2%*100 = 2,1 mil.

Beta

Interest Rate Swap

Cash Flow Fisso (in milioni)

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1 2 3 4 5 6 7

Semestri

Cash

Flo

w

Cash Flow Variabile (in milioni)

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

1 2 3 4 5 6 7

Semestri

Cash

Flo

w

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 2 3 4 5 6 7

Sald

o

Semestri

Saldo (in milioni)

793

Interest Rate Swap Conversione di una passività a tasso fisso in una a tasso variabile e viceversa. Supponiamo che la società Beta si finanzia per 100 milioni di euro al Libor +

80 bp e stipula uno swap con Alfa per convertire la propria passività in un prestito a tasso fisso (5%). Dopo aver stipulato lo swap la società Beta ha tre insiemi di pagamenti per interessi:

• paga il Libor + 80 bp ai finanziatori esterni; • riceve il Libor in base alle condizioni fissate dallo swap; • paga il 5% annuo in base alle condizioni fissate nello swap. L’effetto finale è che la società Beta paga un tasso fisso del 5,8% annuo. Supponiamo che la società Alfa si finanzia per 100 milioni di euro ad un tasso

fisso del 5,2% e stipula uno swap con Beta per convertire la passività a tasso fisso in una a tasso variabile. Dopo aver stipulato lo swap la società Beta ha tre insiemi di pagamenti per interessi:

• paga il 5,2% ai finanziatori esterni; • paga il Libor in base alle condizioni fissate nello swap; • riceve il 5% annuo in base alle condizioni fissate nello swap.

L’effetto finale è che la società Alfa paga il Libor + 0,2%. 794

Interest Rate Swap

795

Alfa

Libor

5%

Beta Libor + 0,8%

5,2%

F I N A N Z I A T O R I

F I N A N Z I A T O R I

Interest Rate Swap Supponiamo che la società Beta abbia un portafoglio di obbligazioni a tre

anni, con valore nominale pari a 100 milioni di euro e un tasso di rendimento pari al 4,7% annuo. Dopo aver stipulato uno swap con la società Alfa la società Beta avrà tre insiemi di pagamenti per interessi:

• riceve il 4,7% annuo sulle obbligazioni; • riceve il Libor in base alle condizioni fissate dallo swap; • paga il 5% annuo in base alle condizioni fissate nello swap. L’effetto finale è che la società Beta riceve il Libor – 0,3%. Supponiamo che la società Alfa abbia effettuato un investimento che

rende il Libor – 0,25% e che stipuli uno swap con Beta. Dopo aver stipulato lo swap la società Alfa avrà tre insiemi di pagamenti per interessi:

• riceve il Libor – 0,25%; • paga il Libor in base alle condizioni fissate nello swap; • riceve il 5% annuo in base alle condizioni fissate nello swap.

L’effetto finale è che la società Alfa riceve un tasso fisso del 4,75%.

796

Interest Rate Swap

797

Alfa

Libor

5%

Beta 4,7%

Libor – 0,25%

I N V E S T I M E N T O

O B B L I G A Z I O N I

Interest Rate Swap

• Il ruolo dell’intermediario.

•Solitamente due società non finanziarie non entrano in contatto tra loro direttamente per stipulare uno swap, ma si avvalgono di un intermediario finanziario.

•Generalmente gli swap fisso per variabile su tassi di interesse sono strutturati in maniera tale che l’istituzione finanziaria guadagni circa 3 bp per ogni coppia di swap di segno opposto

798

Interest Rate Swap

Swap per trasformare passività con intermediario

799

Alfa 5,015%

Libor – 0,25%

Interm. Alfa 4,985%

Libor Libor

4,7% Obbl. Inv.

Alfa 5,015% 5,2%

Interm. Alfa 4,985%

Libor Libor Libor + 0,8%

Obbl.

Inv.

Swap per trasformare attività con intermediario

Esercizio 1

Valutare mediante il modello CRR una opzione put che scade tra un anno essendo l’evoluzione del prezzo del sottostante guidata da un processo binomiale moltiplicativo caratterizzato dai parametri u = 1,2 e d = 0,9 nell’ipotesi in cui il prezzo di esercizio è pari a 100, il corso azionario all’epoca iniziale è 101 ed il tasso risk free annuo è il 5,5%.

Calcolare le quote di composizione del portafoglio replicante.

801

I dati sono: A=101; K=100; u=1,2; d=0,9; i=0,055.

Calcolo dei payoff:

802

( ;0) (100 101 1,2;0)( 21,2;0) 0

( ;0) (100 101 0,9;0)(9,1;0) 9,1

u

d

P Max K A u MaxMax

P Max K A d MaxMax

= − ⋅ = − ⋅ == − =

= − ⋅ = − ⋅ == =

Portafoglio “replicante” risk free (fornisce stesso risultato dell’opzione nei due casi di rialzo e ribasso) portafoglio misto con quote di composizione a (quota azionaria) e b (quota ZCB).

Le quote si ottengono dal sistema:

803

(1 )(1 )

u

d

A u a i b PA d a i b P

⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ =

Le cui soluzioni sono:

Prezzo del portafoglio:

804

9,1 0,30033( ) 101 0,3

1,2 9,1 34,50237(1 ) ( ) 1,055 0,3

u d

d u

P PaA u du P d Pb

i u d

− −= = = −

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ ⋅

= = =+ ⋅ − ⋅

0,30033 101 34,50237 4,169036P a A b= ⋅ + = − ⋅ + =

Osservazione. Formula alternativa per trovare il prezzo:

805

(1 )1

dove1

u dP PPi

i du d

π π

π

⋅ + − ⋅=

+

+ −=

−

Esercizio 2

Valutare, mediante il modello binomiale di CRR, una opzione call dotata delle seguenti caratteristiche: - prezzo corrente del sottostante pari a 10; - strike price pari a 9,5; - tasso risk free pari a 0,05; - fattore binomiale moltiplicativo u pari 1,1; - fattore binomiale moltiplicativo d pari 0,9; - durata uniperiodale. Calcolare, inoltre, le quote di composizione a e b del portafoglio replicante.

806

I dati sono: A=10; K=9,5; u=1,1; d=0,9; i=0,05.

Calcolo dei payoff:

807

( ;0) (10 1,1 9,5;0)(1,5;0) 1,5

( ;0) (10 0,9 9,5;0)( 0,5;0) 0

u

d

C Max A u K MaxMax

C Max A d K MaxMax

= ⋅ − = ⋅ − == =

= ⋅ − = ⋅ − == − =

Portafoglio “replicante” riskfree (fornisce stesso risultato dell’opzione nei due casi di rialzo e ribasso) portafoglio misto con quote di composizione a (quota azionaria) e b (quota ZCB).

Le quote si ottengono dal sistema:

808

(1 )(1 )

u

d

A u a i b CA d a i b C

⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ =

Le cui soluzioni sono:

Prezzo del portafoglio:

809

1,5 0,75( ) 10 0,2

0,9 1,5 6,42857(1 ) ( ) 1,05 0,2

u d

d u

C CaA u du C d Cb

i u d

−= = =

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ − ⋅

= = = −+ ⋅ − ⋅

0,75 10 6,42857 1,07143P a A b= ⋅ + = ⋅ − =

Osservazione. Formula alternativa per trovare il prezzo:

810

(1 )1

dove1

u dC CPi

i du d

π π

π

⋅ + − ⋅=

+

+ −=

−

Esercizio 3

Valutare, mediante il modello binomiale di CRR, una opzione put dotata delle seguenti caratteristiche: - prezzo corrente del sottostante pari a 5; - strike price pari a 4,5; - tasso risk free pari a 0,05 - fattore binomiale moltiplicativo u pari 1,25; - fattore binomiale moltiplicativo d pari 0,9; - durata biperiodale.

811

Dati:

Calcolo dei pay-off:

812

5 4,5 0,052 1,25 0,9

A K iT u d

= = == = =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2

;0 4,5 5 1,25 ;0

3,3125;0 0

;0 4,5 5 1,25 0,9;0

1,125;0 0

;0 4,5 5 0,9 ;0

0,45;0 0,45

uu

ud

dd

P Max K A u Max

Max

P Max K A u d Max

Max

P Max K A d Max

Max

= − ⋅ = − ⋅ =

= − =

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =

= − =

= − ⋅ = − ⋅ =

= =

Probabilità neutralizzate:

Valore dell’opzione:

P=0,1333

813

1 1,05 0,9 0,42861,25 0,9

i du d

π + − −= = =

− −

2 2

22 (1 ) (1 )

(1 )uu ud ddP P PP

iπ π π π⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅

=+

Caso dell’opzione call:

814

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2

;0 5 1,25 4,5;0

3,3125;0 3,3125

;0 5 1,25 0,9 4,5;0

1,125;0 1,125

;0 5 0,9 4,5;0

0,45;0 01,0516

uu

ud

dd

C Max A u K Max

Max

C Max A u d K Max

Max

C Max A d K Max

MaxC

= ⋅ − = ⋅ − =

= =

= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =

= =

= ⋅ − = ⋅ − =

= − =

→ =

Esercizio 4

Un intermediario finanziario possiede 100 azioni della società A e 75 della società B il cui valore unitario è rispettivamente 10 e 15 Euro.

Per coprirsi a due anni dal rischio di mercato compra un pari numero di put sulle due tipologie di azioni; le put in oggetto hanno strike price pari al 90% del valore corrente delle azioni. Le altre ipotesi del calcolo sono le seguenti: tasso risk free pari al 5%; rialzo e ribasso dell’azione A in un periodo pari a +/- 15%; rialzo e ribasso dell’azione B in un periodo pari a +/- 10%; le due azioni si muovono solo contemporaneamente al rialzo o contemporaneamente al ribasso.

815

Calcolare: i possibili tassi di rendimento in tutti i casi

possibili (considerando il costo della copertura); il tasso di rendimento atteso (utilizzando come

probabilità quelle risk neutral); il valore a scadenza del portafoglio assicurato

(azioni + put) in tutti i casi possibili.

816

Determiniamo il valore delle opzioni put per le due tipologie di azioni.

Per quanto riguarda la società A, i dati sono:

I possibili valori a scadenza dell’azione della società A con i relativi payoff saranno (nell’ambito del modello binomiale biperiodale):

817

0 10; 10 0,90 9; 5%; 1,15; 0,85AA K i u d= = ⋅ = = = =

( )( )( )

20

02

0

Max ;0 013,2259,775 Max ;0 0

7,225 Max ;0 1,775

Auu A uuuuA

T ud ud A ud

Add dd A dd

P K AA A uA A A u d P K A

A A d P K A

= − = = ⋅ == = ⋅ ⋅ = ⇒ = − = = ⋅ = = − =

La probabilità risk neutral vale:

Il valore della put con sottostante A vale perciò:

Per quanto riguarda la società B, i dati sono i seguenti:

818

1 1,05 0,85 0,66670,30A

i du d

π + − −= = =

−

( ) ( )22

2

2 1 10,1789

(1 )

A A AA uu A A ud A ddA P P P

Pi

π π π π⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅= =

+

0 15; 15 0,90 13,5; 5%; 1,10; 0,90BB K i u d= = ⋅ = = = =

I possibili valori a scadenza dell’azione della società B con i relativi payoff saranno:

La probabilità risk neutral vale

819

( )( )( )

20

02

0

Max ;0 018,1514,85 Max ;0 0

12,15 Max ;0 1,35

Buu B uuuuB

T ud ud B ud

Bdd dd B dd

P K BB B uB B B u d P K B

B B d P K B

= − = = ⋅ == = ⋅ ⋅ = ⇒ = − = = ⋅ = = − =

1 1,05 0,90 0,750,20B

i du d

π + − −= = =

−

Il valore della put con sottostante B vale perciò:

Il costo della copertura tenendo conto delle quote vale:

Il prezzo all’epoca zero del portafoglio (tenendo conto della copertura) è:

Il valore a scadenza del portafoglio assicurato sarà dato dalla somma del valore a scadenza delle azioni con il valore a scadenza delle opzioni (ossia il loro pay-off).

820

( ) ( )22

2

2 1 10,0765

(1 )

B B BB uu B B ud B ddB P P P

Pi

π π π π⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅= =

+

23,63A BC P Pα β= ⋅ + ⋅ =

0 100 10 75 15 23,63 2.148,63V = ⋅ + ⋅ + =

Di conseguenza:

Esaminiamo tutti i casi possibili (tenendo conto che le due azioni si muovono solo contemporaneamente al rialzo o contemporaneamente al ribasso):

821

( ) ( )Max ;0 Max ;0T T A T T B TV A K A B K Bα α β β= ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

( ) 100 (13,225 0) 75 (18,15 0) 2.683,75( ) 100 (9,775 0) 75 (14,85 0) 2.091,25( ) 100 (7,225 1,775) 75 (12,15 1,35) 1.912,50

T

T

T

V uuV udV dd

= ⋅ + + ⋅ + == ⋅ + + ⋅ + == ⋅ + + ⋅ + =

I rendimenti netti nei tre casi valgono:

Il valore atteso del portafoglio a scadenza è:

822

0

0

0

( )( ) 1 11,76%

( )( ) 1 1,34%

( )( ) 1 5,65%

T

T

T

V uuR uuV

V udR udV

V ddR ddV

= − =

= − = −

= − = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

22

100 2 1 1

75 2 1 1

2.368,86

A A Aatt A uu uu A A ud ud A dd dd

B B BB uu uu B B ud ud B dd dd

V A P A P A P

B P B P B P

π π π π

π π π π

= ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ + + − ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ + + − ⋅ + =

=

Infine, il rendimento netto atteso è:

823

0

( ) 1 5,00%attVR attV

= − =

Esercizio 5

Il portafoglio di un investitore è composto di 520 azioni della società A e un pari numero di opzioni put sulle azioni A. Sapendo che l’azione quota oggi Euro 1,39, lo strike price della put è fissato a Euro 0,9, la scadenza è fissata a 3 anni, il tasso risk free è il 2% e che u=+10% e d=-20%, calcolare:

il valore del portafoglio oggi; i valori a scadenza del portafoglio in tutti i casi

possibili; il valore atteso di portafoglio.

824

I fattori di rialzo e ribasso valgono rispettivamente u=1,10 e d=0,80.

Determiniamo i valori a scadenza (T=3) e i relativi payoff del sottostante:

La probabilità risk neutral vale:

825

( )( )( )( )

3

2

2

3

max ;0 01,8501max ;0 01,3455max ;0 00,9786

0,7117 max ;0 0,1883

uuu uuuuuu

uud uuduud

udd uddudd

ddd ddd ddd

P K AA A uP K AA A u dP K AA A u d

A A d P K A

= − = = ⋅ =

= − == ⋅ ⋅ = ⇒ = − == ⋅ ⋅ = = ⋅ = = − =

1 0,7333 73,33%i du d

π + −= = →

−

Il prezzo dell’opzione put:

Il valore del portafoglio all’epoca zero si ottiene sommando al prezzo del sottostante il prezzo dell’opzione (per il numero di quote):

Il valore all’epoca tre del portafoglio si ottiene sommando al valore a scadenza del sottostante il valore dell’opzione (ossia il suo payoff), nei quattro percorsi aleatori possibili:

826

3 2 2 3

3

3 (1 ) 3 (1 ) (1 ) 0,003365(1 )

uuu uud udd dddP P P PPi

π π π π π π⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅= =

+

0 520 ( ) 724,55V A P= ⋅ + =

( )( )( )( )

3

3

3

3

( ) 520 962,05

( ) 520 699,67

( ) 520 508,85

( ) 520 468,00

uuu uuu

uud uud

udd udd

ddd ddd

V uuu A P

V uud A P

V udd A P

V ddd A P

= ⋅ + =

= ⋅ + =

= ⋅ + =

= ⋅ + =

Infine, il valore atteso del portafoglio è:

con rendimento atteso:

827

3 2 23 3 3 3

33

( ) ( ) 3 (1 ) ( ) 3 (1 ) ( )

(1 ) ( ) 768,90

V att V uuu V uud V udd

V ddd

π π π π π

π

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

+ − ⋅ =

3

0

( ) 1 2%attVR attV

= − =

Università di Cagliari Facoltà di Scienze MM.FF.NN. · Il rapporto tra il capitale iniziale e il...

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