Lezione sul significato di misura

Perugia – 31 ottobre 2008Modulo_Nozioni fondamentali di un laboratorio

operativo

Inviare alla fabbrica le dimensioni di un ipod da costruire

Misurare le dimensioni dell’ipod

Ipod gigante !

Di chi è l’errore ?

Mancanza di unità di misura

Come convertire delle misure da un sistema di unità ad un altro

Mario: penso che dovremmo rimisurare l’ipod con una riga in pollici

Roberto: troppo lavoro Mario: possiamo riutilizzare le misure già

fatte ? Jim: e se andassero bene in cm ? In questo

caso sarebbe semplice perché moltiplicheremmo le misure per 0.1 per convertire da mm a cm

Roberto: come funziona ? Jim: sappiamo che ci sono 10 mm in 1 cm,

quindi 1mm=0.1cm. Per ogni mm abbiamo 0.1 cm, così, se moltiplichiamo il numero di mm per 0.1, otteniamo il numero di cm!

Roberto: vuoi dire che se la misura è 45 mm, la moltiplichi per il numero di cm equivalenti ad un mm ? 45x0.1=4.5 cm. Ok, ma in questo caso vogliono pollici non centimetri!

Mario: e se noi trovassimo quanti pollici ci sono in 1 mm ? Non potremmo fare la stessa cosa fatta per passare da mm a cm?

Jim: forse potremmo Roberto: così dovremmo moltiplicare la

lunghezza in mm per il numero di pollici che è equivalente ad 1mm . E’ la stessa cosa fatta per convertire un numero da mm a cm, ma è più utile perché è quello che ci è richiesto di fare.

Mario: allora possiamo usare una calcolatrice per fare questa conversione, senza dover rifare tutte le misure!

Jim: allora mettiamoci all’opera

Una misura ha un numero ed una unità Vale sempre la seguente regola:

numero1 x unità1 = numero2 x unità2 Ciò deriva immediatamente dal fatto che una

misura si riferisce a qualcosa di concreto che non può mutare la sua grandezza al cambiare della unità di misura.

Un ipod può stare nel nostra taschino in maniera confortevole sia che lo si misuri in mm che in pollici !

Un fattore di conversione è il numero per moltiplicare una misura per convertirla da un sistema di unità ad un altro

Dove trovare il fattore di conversione Molti libri di fisica hanno delle tabelle con

questi fattori di conversione Si può anche usare il motore di ricerca di

Google

Un fattore di conversione come frazione Ora che sapete che 1 millimetro è come

0.0393700787 pollici, dobbiamo fare un po’ di matematica

La chiave per convertire è trasformare il fattore di conversione in frazione :

Si può quindi moltiplicare la misura per questa frazione. Poiché il numeratore ed il denominatore di questa frazione sono della medesima grandezza, moltiplicare per la frazione è come moltiplicare per 1, e la grandezza della misura non cambia.

Moltiplicando per la frazione di conversione cambia invece l’unità di misura, ed è quello che vogliamo proprio fare !

11

70039370078.0

mm

pollici

Moltiplicare o dividere per la frazione di conversione ? Avremmo potuto nella frazione scrivere al

numeratore 1 mm e al denominatore il fattore di conversione perché il rapporto è sempre uguale a 1.

Quale delle due forme utilizziamo ? Quella che ci consente di ottenere la unità di

misura richiesta dalla conversione Per passare da mm a pollici devono semplificarsi i

mm nell’operazione che ha come operandi la misura in pollici e la frazione di conversione, pertanto uso la moltiplicazione e la frazione che ha i mm al denominatore:

10393700787.0

1

1

0393700787.0

pollici

mm

mm

pollici

pollicimm

pollicimmmm 362204722.2

1

0393700787.06060

Conversione delle misure dell’ipod da mm a pollici (inches)

Troppe cifre nella conversione delle misure Dopo aver convertito

tutte le misure da mm a pollici ed aver verificato che tutte le unità siano scritte per ogni misura, inviamo di nuovo il modello alla fabbrica

Ma c’è ancora un problema. Dalla fabbrica ci telefonano che non possono seguire le istruzioni del modello perché non sono capaci di costruire un oggetto al 0.000000001 pollice

Che cosa fare con numeri che hanno troppe cifre ? Il problema è che i numeri del modello

dell’ipod hanno troppe cifre! Nel modello la larghezza è espressa come 2.362204722 pollici

Ciò implica che avete misurato con una riga che è in grado di apprezzare fino alla 0.000000001 frazione di pollice ! Ma, a meno che abbiate una riga che possa misurare i singoli atomi, ciò non è possibile.

Cifre significative

Dovete decidere quante cifre nella vostra risposta sono significative.

La cifra più significativa è quella che dice di più su quanto è grande un numero, di solito la prima non nulla.

quante sono le cifre significative di un numero ? 1.000 ha 4 cifre significative 0.001 ha 1 cifra “ “ 40.00 ha 4 cifre “ “ 40.0 ha 3 cifre “ “ 040.0 ha 3 cifre “ “ 040.001 ha 5 cifre “ “ 040.000 ha 5 cifre “ “

La regola è: gli zeri davanti alla prima cifra non nulla non

vanno contati gli zeri dopo la virgola contano Tutte le altre cifre vanno conteggiate

Approssimare un numero con troppe cifre significative Poiché i numeri del modello dell’ipod hanno

troppe cifre è ragionevole arrotondarle ed eliminare quelle meno significative.

Se arrotondiamo 2.362204722 ad 1 cifra si ha 2perchè quel numero è più vicino a 2 che a 3.

Se lo arrotondiamo a 2 cifre si ha 2.4 perché è più vicino a 2.4 che a 2.3

Ma a quante cifre significative dobbiamo arrotondare le nostre misure ?

Le prime 3 cifre di un numero sono le più importanti

Regole di arrotondamento

Approssimazione nelle misure

Occorre sempre approssimare la misura alla divisione della scala più vicina

Errore nella misura

Ogni misura ha un errore (un’incertezza) associato ad essa

Quando arrotondiamo la misura alla divisione della scala più vicina alla lunghezza da misurare, significa che una misura di 7 mm potrebbe in realtà trovarsi in un intervallo da 6.5 mm fino a 7.5 mm

È importante sapere quanta è l’incertezza di una misura

la lunghezza di 7 mm è stata misurata con una riga che ha una divisione di scala di 1 mm oppure con un micrometro che ha una divisione di scala di 0.001 mm ?

Si può indicare il margine di errore con i numeri. La misura di 7mm fatta con la riga potrebbe essere più grande o più piccola di 0.5mm.

Si scrive 7.0 mm +- 0.5 mm L’errore è sempre la metà della

divisione di scala

L’errore della misura originale si propaga cambiando l’unità di misura

La grandezza della cosa sotto misura non cambia quando si converte in altre unità di misura

La grandezza dell’errore non cambia quando si converte in

altre unità di misura Nel nostro esempio bisogna

convertire anche l’errore da mm a pollici

Si approssima l’errore ad 1 sola cifra significativa

Poi si arrotonda la misura in pollici all’ultima cifra influenzata dall’errore (arrotonda al medesimo numero di cifre decimale dell’errore)

Se l’errore convertito diventa +-0.061842375 pollici si arrotonda a 0.06

Così una misura di 27 mm che si converte a 1.0106299213 pollici, si arrotonda a 1.01 +- 0.06 perché l’ultima cifra influenzata dall’errore è la cifra dei centesimi.

Approssimare le misure dell’ipod

Le misure dell’ipod in pollici con gli errori e le approssimazioni

Finalmente il modello è pronto con le giuste misure e la fabbrica è felice

Lo zero dà un’informazione supplementare Il numero di cifre significative di una misura

implica la grandezza dell’errore della misura. L’ultima cifra inclusa è quella che è incerta Se ad esempio la misura è 1.50 pollici +- 0.02

pollici, la lunghezza potrebbe essere 2 centesimi di pollici più grande o più piccola di 1.50 pollici. Scrivendo la misura come 1.50 implica correttamente che la cifra dei centesimi è incerta.

Se invece scrivessimo 1.5 pollici dedurremmo che la cifra incerta è quella dei decimi sbagliando

Quando scrivete una misura, dovete usare il numero giusto di cifre significativa Se scrivete una misura

1.5 pollici, assumete che è stata fatta al più vicino 0.1 pollice e che l’errore è +-0.05 pollici

Se scrivete una misura 1.50 pollici, assumete che è stata fatta al più vicino 0.01 pollice e che l’errore è +- 0.005 pollici

Pertanto se scrivete 1.5 quando avreste dovuto invece scrivere 1.50, ciò significa che la misura è dieci volte peggiore di quanto non lo sia in realtà