Unità 6

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Unità 6

I moti nel piano

Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

1. Vettore posizione e vettore spostamento

Per descrivere il moto di un punto materiale sul piano, servono:• un riferimento cartesiano;

• un metro per misurare le coordinate xp e y

p del

punto;• un cronometro per misurare i tempi.


Vettore posizione e vettore spostamento

Vettore posizione: individua il punto P della traiettoria in cui si trova il punto materiale ad un dato istante.

Vettore spostamento: è la variazione del vettore posizione in un intervallo di tempo.


Il vettore spostamento

Il vettore spostamento si determina sottraendo i due vettori posizione corrispondenti a due diversi istanti di tempo, t

1 e t

2.

Il vettore definisce direzione, verso e lunghezza dello spostamento.

Δrs

Δrs


Vettore spostamento in Δt molto brevi

Lo spostamento di un punto materiale durante un intervallo di tempo sempre più piccolo diventa un vettore tangente alla traiettoria.


2. Il vettore velocità

Nel moto di un punto materiale sul piano, le informazioni che riguardano la velocità sono:• la direzione (nella figura, la retta Bologna-Faenza);• il verso (da Faenza a Bologna);• il valore, o modulo, della velocità (30 km/h).


Il vettore velocità

Quindi la velocità è un vettore (il cui punto di applicazione non è rilevante) definito come:

Δt finito: velocità media Δt piccolissimo: velocità istantanea


Il vettore velocità

Il vettore velocità è ottenuto moltiplicando il vettore spostamento per il numero 1/Δt:

Perciò ha sempre il verso e la direzione dello spostamento e la velocità istantanea è tangente alla traiettoria.


3. Il vettore accelerazione

Definiamo il vettore accelerazione come:

Δt finito: accelerazione mediaΔt piccolissimo: accelerazione istantanea

Il vettore accelerazione ha sempre stessa direzione e verso del vettore Δ

rv


Direzione e verso del vettore accelerazione

In un moto su una curva, il vettore accelerazione è diretto sempre verso l'interno della curva.


Direzione e verso del vettore accelerazione

Nel moto rettilineo si ha accelerazione se cambia il valore scalare della velocità.

Nel moto in un piano si ha un vettore accelerazione non nullo se:

cambia il valore del vettore velocità cambia la direzione o/e il verso del vettore

velocità.

Il vettore accelerazione rappresenta la rapidità con cui varia il vettore velocità.


4. Il moto circolare uniforme

E' un moto in cui: la traiettoria è una circonferenza; il modulo (valore) della velocità non cambia;

il punto materiale percorre archi di circonferenza che sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati.

P .


Direzione del vettore velocità

Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel centro della traiettoria.


Periodo e frequenza Periodo (T): tempo impiegato a percorrere un giro completo di circonferenza (es. la lancetta dei secondi di un orologio ha un periodo di 60 s). Frequenza (f): numero di giri compiuti in un secondo (es. la lancetta dei secondi ha una frequenza di 1/60 Hz).


Il valore della velocità istantanea

Poiché nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante, il suo valore è dato dal rapporto Δs/Δt , dove:

Δs = la lunghezza della circonferenza = 2r e

Δt = il tempo impiegato a percorrerla = T


5. La velocità angolare

Consideriamo un satellite in moto circolare intorno alla Terra.


La velocità angolare

L'angolo si misura in radianti.

Definiamo velocità angolare il rapporto tra l'angolo al centro, Δ, ed il tempo necessario a spazzarlo, Δt.


L'angolo in radianti

La misura di un angolo, espressa in radianti, è il rapporto tra la lunghezza l dell'arco AB corrispondente ad e quella del raggio r della circonferenza:


Il valore della velocità angolare

Nel moto circolare uniforme gli angoli al centro spazzati dal raggio vettore sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati.

Per calcolare prendiamo Δ = 2 e Δt = T:

Quindi v si può scrivere:


6. L'accelerazione centripeta

Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità cambia continuamente in direzione e verso: quindi c'è un'accelerazione.

Essa è detta accelerazione centripeta perché è un vettore rivolto sempre verso il centro della circonferenza.

Si indica con il simbolo


L'accelerazione centripeta

Costruzione del vettore


Il valore dell'accelerazione centripeta

, da cui

Si dimostra che il modulo dell'accelerazione centripeta è:

poiché v = r,


Dimostrazione delle proprietà di ac

(1)

Il vettore velocità compie un giro completo ogni volta che il raggio vettore percorre un giro, quindi ha lo stesso periodo T.


Dimostrazione delle proprietà di ac(2)

Il vettore “velocità della velocità” rappresenta l'accelerazione centripeta.

La relazione tra a e v è la stessa che c'è tra v e r:


7. Il moto armonico

E' il moto di un punto che oscilla avanti e indietro lungo lo stesso tragitto. Esempi: l'altalena; una molla appesa al soffitto.


Il moto armonico

E' il movimento che si ottiene proiettando su un diametro il moto circolare uniforme di un punto.


Il grafico spazio-tempo del moto armonico

Foglio fermo Foglio in moto a v costante

Per ottenerlo, si può attaccare una penna al pesetto appeso alla molla e farla tracciare su un foglio che si srotola a velocità costante:


Il grafico spazio-tempo del moto armonico

Si ottiene un grafico periodico caratterizzato da: ampiezza: distanza del massimo spostamento dall'origine. periodo (T): durata di un'oscillazione completa. frequenza (f) : numero di oscillazioni in un secondo.


La legge del moto armonico

Il grafico periodico è quello della funzione cosinusoide:

• s: distanza del punto dall'origine.• r: raggio della circonferenza.• : velocità angolare del moto circolare o pulsazione del moto armonico.


La velocità istantanea

La velocità è massima al centro e diminuisce verso gli estremi (dove si annulla).

Il moto armonico è rettilineo non uniforme:


8. L'accelerazione del moto armonico

posizione velocità accelerazione

I vettori posizione, velocità e accelerazione del moto armonico sono le proiezioni dei rispettivi vettori nel moto circolare uniforme:


L'accelerazione del moto armonico

Il vettore accelerazione è proporzionale al vettore posizione ed ha sempre verso opposto.


L'accelerazione del moto armonico

Il segno meno nella formula vettoriale indica che i due vettori hanno sempre verso opposto.

I triangoli OPQ e LMP sono simili, perciò si può scrivere la proporzione:


9. Composizione di moti

Consideriamo una persona che si sposta su una nave in movimento:


Composizione di spostamenti e velocità

Se un corpo è soggetto a due spostamenti simultanei, lo spostamento complessivo è dato dalla somma vettoriale dei due spostamenti:

Per le velocità vale la stessa legge: dividendo la formula per Δt :

la velocità totale è la somma vettoriale delle velocità.


Composizione di velocità

Una ragazza che nuota in direzione perpendicolare alla spiaggia (fig.A), in presenza di corrente (fig.B) si muoverà seguendo una direzione obliqua (fig.C).

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