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LE EQUAZIONI

Un'equazione è una uguaglianza fra due espressioni alfa-

numeriche (cioè dove compaiono lettere e numeri) che ci pone

una sola domanda:

“PER QUALE/I VALORE/I DI “x” L’UGUAGLIANZA DATA È VERA?”

ES.:

a)

sono equazioni lineari (o di primo grado): le “x” compaiono con esponente

“1” (non compare x2, x

3,�.) e non compaiono a denominatore (dove al

massimo compaiono numeri).

b)

sono equazioni fratte: le qui “x” compaiono a denominatore (possono

comparire anche a numeratore).

Torniamo alla domanda scritta in carattere rosso. Per i 4 esempi di

equazione riportati sopra, si può procedere in due modi:

1. Provare a sostituire di volta in volta valori diversi alla “x” scelti a casaccio

(1, -1, 3/4, -7/8, 51, -25,�..), fino a quando troviamo quello giusto che

rende vere le uguaglianze. Esempio, nella prima equazione tipo “a”, si

avrà:

e, sostituendo x = 1 si ha:

7 ⋅ (1) + 14 = -21 ⋅ (- 1 – 2) da cui:

7 + 14 = -21 ⋅ (-3) da cui:

21 = 63

Ma 21 non è uguale a 63, per cui x = 1 non è soluzione dell’equazione data.

2

Proviamo per x = -2:

e, sostituendo x = -2 si ha:

7 ⋅ (-2) + 14 = -21 ⋅ (- (-2) – 2) da cui:

-14 + 14 = -21 ⋅ (2 - 2) da cui:

0 = 0

Stavolta abbiamo azzeccato la soluzione giusta (x = -2) al secondo tentativo.

Ci è andata bene. Potrebbero volerci decine o centinaia o anche migliaia di

tentativi. E per di più parliamo di una equazione facile.

Allora, risolvere una equazione vuol dire:

2. non procedere per tentativi alla ricerca della soluzione, ma attuare tutte

quelle tecniche che ci porteranno direttamente alla “scoperta” di quel

valore di “x” che ci farà esclamare “Tombola”.

EQUAZIONI LINEARI

Come già detto, in questo tipo di equazioni le “x” compaiono con esponente

“1” (non compare x2, x

3,�.) e non compaiono a denominatore (dove al

massimo compaiono numeri). Riscriviamo:

Come le risolviamo? Cioè come troviamo quel valore di “x” in grado di

soddisfare le uguaglianze date? Intanto, una buona notizia: Nelle equazioni

lineari, se la soluzione esiste (perché non è detto che esista) questa è unica.

Poco fa, per la prima equazione avevamo trovato la soluzione x = -2:

7 ⋅ (- 2) + 14 = - 21 ⋅ (- (- 2) – 2)

- 14 + 14 = - 21 ⋅ (2 - 2)

0 = 0

3

Ecco, statene certi. Non ci sono altre “x” che sono “soluzioni” dell’equazione

data. Ecco, proprio così. In generale i valori di “x” che “soddisfano” una

equazione le chiamiamo “soluzioni dell’equazione”. E le equazioni lineari

hanno, al massimo, una ed una sola soluzione. Potrebbero anche non

esistere soluzioni. Vedremo�..

COME SI RISOLVE UN’EQUAZIONE LINEARE?

A tale scopo, il passaggio finale che farete durante lo svolgimento dei vostri

esercizi sarà sempre lo stesso. Portare tutti i termini con le “x” da un lato del

segno “=” e tutti i numeri (termini noti) dall’altro. Vi ricordo che tutto quello che

sta a sinistra del segno “=” si chiama primo membro, mentre tutto quello che

sta a destra si chiama secondo membro:

PRIMO MEMBRO = SECONDO MEMBRO

Ricordate che per “portare tutti i termini con le “x” da un lato del segno “=” e

tutti i numeri dall’altro” ci basterà applicare la nota “regola del trasporto”,

ovvero quella per cui, possiamo trasportare un termine da un membro all’altro

cambiandogli segno.

E, a seconda di come risulterà più conveniente, potrete portare tutti i termini

con la “x” a primo membro o a secondo membro (e viceversa i numeri).

Esempio, nell’equazione di poco fa si avrà:

eseguiamo le moltiplicazioni e togliamo le parentesi:

7x + 14 = 21x + 42

portiamo tutte le “x” a primo membro e tutti i numeri a secondo:

7x - 21x = 42 - 14

da cui, eseguendo le sottrazioni:

- 14x = 28

e, dividendo primo e secondo membro per -14 (secondo principio di

equivalenza):

4

−14�

−14=

28

−14

ovvero, semplificando:

��

�=

�

�

rimane così:

x = - 2

che è la soluzione trovata prima per tentativi.

Potevamo anche portare le “x” a secondo membro ed i numeri al primo:

7x + 14 = 21x + 42

14 – 42 = 21x - 7x

-28 = 14x

−28

14=14�

14

��

=

�

- 2 = x

che è come dire:

x = - 2

Attenzione ragazzi!

All’inizio del paragrafo ho detto che questo trasporto dal primo al secondo

membro e viceversa costituisce solo l’ultima fase di un procedimento che

vi porterà all’agognata meta, ovvero quella di trovare la soluzione giusta per

“x”. Prima di arrivare a ciò, dovrete districarvi fra una serie di “intralci” che

dovrete eliminare per poter raggiungere la meta. Io cercherò di fornirvi lo

strumento per avanzare in questa foresta. All'inizio, con poca pratica, avrete

solo le mani per farvi strada. Poi comparirà un coltellino. Poi un coltellaccio,

poi un'ascia. I più bravi di voi, e solo con molti esercizi svolti alle spalle, alla

fine avranno a disposizione un vero e proprio motosega per "disboscare"

un'equazione fino a ridurla all'osso. Svolgete esercizi a casa. Cercateli già

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svolti su internet. Se non farete nulla di tutto ciò, avrete sempre meno pratica

e senza questa tutto si complicherà.

“GLI INTRALCI”

I suddetti intralci saranno costituiti da:

1) Moltiplicazioni (o prodotti):

a) fra monomi;

b) fra monomi e polinomi;

c) fra polinomi;

2) Scomposizioni di polinomi con:

d) Raccoglimento a fattor comune totale (vedi dispensa specifica);

e) Raccoglimento a fattor comune parziale (vedi dispensa specifica);

f) Riconoscimento del prodotto notevole “quadrato di binomio” (vedi

dispensa specifica);

g) Riconoscimento del prodotto notevole “Somma per differenza”

(vedi dispensa specifica).

h) Metodo del “trinomio speciale” (vedi dispensa specifica);

i) Metodo di “Ruffini” (vedi dispensa specifica);

3) Necessità di applicazione della cosiddetta “Legge di annullamento del

prodotto”, che si basa sulla seguente semplice considerazione:

“se il prodotto fra due, tre, quattro,�.,cento numeri dà come

risultato zero, allora una cosa è certa: almeno uno di questi numeri

deve essere zero".

Altrimenti il risultato della moltiplicazione non "avrebbe motivo" di dare

zero. Se:

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ e ⋅ f = 0

allora dovrà accadere che:

o è a = 0

o è b = 0

o è c = 0

o è d = 0

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o è e = 0

o è f = 0

subito un esempio:

(x – 1) (x + 2) (x – 3) = 0 (1)

In tal caso, affinché il prodotto fra i tre binomi si annulli (cioè diventi “0”),

dovrà per forza accadere che:

(x – 1) = 0 ⇒ x = +1

oppure (x + 2) = 0 ⇒ x = -2

oppure (x – 3) = 0 ⇒ x = +3

abbiamo dunque trovato tre soluzioni per l’equazione data, ovvero tre

valori per “x” che rendono vera l’uguaglianza (1). Da notare come tale

uguaglianza non è lineare (è di terzo grado, infatti se eseguite tutte le

moltiplicazioni compariranno termini con x3), ma che, grazie alla legge

di annullamento del prodotto, l’abbiamo potuta scindere in tre diverse

equazioni lineari (in cui, ricordo, la x compare con esponente pari a 1)

indipendenti tra loro.

Per curiosità, una volta trovate le soluzioni dell’equazione, provate a

sostituire nella (1) i valori trovati alle “x” e verificate se il discorso

“torna”.

4) “Fastidiosa presenza” di “x” con esponenti superiori a 1 (x2, x3, x

6,�).

State tranquilli. Il prof. non è così cattivo. Stiamo studiando le equazioni

lineari. Non vi farò risolvere equazioni in cui compaiono fino alla fine

delle x con esponenti maggiori di 1. Non per il momento quanto meno.

Vedrete che alla fine tutte le x2 o x

3... si potranno “tagliare” e voi

rimarrete solo con le x con esponente 1. Oppure, grazie a qualche

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intelligente scomposizione riuscirete a risolvere il problema. Qualche

esempio:

a) x2 – x = 0 ⇒ x (x – 1) = 0

b) x2 – 1 = 0 ⇒ (x + 1) (x – 1) = 0 riconoscimento di un prodotto notevole

c) 2 (x + 1)2 - 4 = 2x

2 – x ⇒ 2 (x

2 + 1 + 2x) - 4 = 2x

2 - x ⇒ 2x

2 + 2 + 4x -

4 = 2x2 - x ⇒ 2x

2 + 4x - 2x

2 + x = 4 - 2 ⇒ 5x = 2 ⇒ x = 2/5

nell'esempio a) abbiamo applicato il cosiddetto “raccoglimento a fattor

comune totale”, ovvero, dopo aver “raccolto” la x in quanto divisore

comune tra i fattori x2 e x, ci si è presentato un prodotto fra un monomio

di primo grado (x) ed un binomio di primo grado (x - 1). A questo punto

l'equazione iniziale è facilmente risolvibile con la legge di annullamento

del prodotto:

x (x – 1) = 0 da cui:

x = 0

oppure

x - 1 = 0 ⇒ x = 1

nell'esempio b), invece dopo aver constatato di avere a che fare con

una “differenza di quadrati”, abbiamo riscritto l'equazione sotto forma di

prodotto fra due binomi di primo grado (x + 1) e (x - 1):

A questo punto l'equazione iniziale è facilmente risolvibile con la legge

di annullamento del prodotto:

(x + 1) (x – 1) = 0 da cui:

x + 1 = 0 ⇒ x = - 1

oppure

x - 1 = 0 ⇒ x = + 1

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Infine, nell'esempio c), dopo aver sviluppato il quadrato di binomio

(x + 1)2, ci siamo accorti che il termine ottenuto 2x

2 faceva il “paio” con

-2x2, eliminandosi a vicenda. Rimanevano dunque solo le "x" con

esponente 1.

EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE O IMPOSSIBILI

Nella pratica degli esercizi, talvolta, potrebbe capitare di incontrare delle

situazioni “ambigue”. Nulla di preoccupante. In questo piccolo paragrafo

spiegheremo “in soldoni” la differenza tra IDENTITÀ ed EQUAZIONI e

distingueremo i 3 casi in cui un’equazione risulterà essere determinata,

indeterminata o impossibile.

Come abbiamo visto, per quanto sia lunga l’espressione algebrica di

un’equazione, dopo aver eliminato tutti gli “intralci” descritti sopra e portate

tutte le x a sinistra di “=” (primo membro) e tutti i numeri a destra (secondo

membro), al penultimo passaggio ci ritroveremo con una uguaglianza del tipo:

ax = b (2)

da cui, ricavando x:

� =�

�

Es.:

3x = -6 ⇒ � =��

�= −2

Ma alcune volte potrebbero capitare dei casi in cui i valori di a e b nella (2)

sono tali da metterci il bastone in mezzo alle ruote. Vediamo i vari casi:

caso 1: a ≠ 0 ; b ≠ 0 ⇒ l’equazione è determinata e la soluzione la

troviamo con i metodi finora visti. Nulla di nuovo.

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caso 2: a ≠0 ; b = 0

Questo è un caso assolutamente rientrante nel caso precedente di equazione

determinata. Ho voluto separare questo caso perché parecchi studenti hanno

mostrato parecchie incertezze quando si sono ritrovati a trattare con una

uguaglianza del genere. Difatti la (2) diventerebbe:

ax = b ⇒ ax = 0

E allora? Ricordiamo che nel caso in esame si ha a ≠ 0 e facciamo un

esempio con dei numeri veri:

6x = 0 (3)

torniamo a riformulare la domanda introduttiva: “per quale valore di “x”,

l’uguaglianza data (cioè in questo caso ax = 0) è vera?”

A questa domanda possiamo rispondere in almeno due modi.

Il primo: secondo voi, in base alla “famosa” legge di annullamento del

prodotto, se 6x = 0 (che si legge “6 per x uguale a 0”), chi fra “6” e “x” dovrà

per forza essere pari a zero? Poiché “6” è “6” e non è “0” (a meno che non

siate voi a convincere il povero “6” che in realtà è uno “0”), ne deriva che

l’unico candidata ad essere pari a “0” può essere solo la “x”. Dunque

l’equazione 6x = 0 (e quindi anche ax = 0 con a ≠ 0) è determinata come nel

caso precedente ed ha come unica soluzione:

x = 0 .

Il secondo: se non siamo così “svegli” (solo per una mancanza di esercizio,

badate bene) da capire che nella faccenda c’entra la legge di annullamento

del prodotto, andiamo avanti nella risoluzione dell’equazione (3):

6x = 0 ⇒ � =�

�

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E quanto “0 fratto 6”? Sapete benissimo che può leggersi pure “0 diviso 6”. In

più di una verifica ho letto che sarebbe una divisione impossibile. Attenzione,

ragionate con la logica spicciola: “0 diviso 6”. Ipotizzate di avere in tasca 0 €

e di volerli dividere fra 6 vostri compagni. Che generosi che sareste. Forse i

vostri compagni vi manderanno a visitare quel Paese (“te c’hanno mai

mannato a quer Paese�..”). Però vi garantisco che l’operazione

matematicamente parlando ha un senso. È chiaro che ciascuno dei vostri

amici rimarrà a bocca asciutta perché se dividiamo il nulla fra più persone, a

ciascuno di essi andrà ancora il nulla. Cioè, in formula:

6x = 0 ⇒ � =�

�= 0

Dunque abbiamo nuovamente ottenuto la stessa unica soluzione possibile:

x = 0

caso 3: a = b = 0

In questo caso la (2) diventa

0x = 0 ⇒ 0 = 0

uguaglianza valida al di la dei valori numerici che potremmo mettere al posto

della x. Cioè l’uguaglianza iniziale vale per tutti i valori di x. Dunque non c’è

un particolare valore di x che rende vera l’uguaglianza. Tutti i numeri sostituiti

la rendono vera. Dunque le soluzioni sono infinite. In tal caso l’equazione

sarà indeterminata. Essa perde la denominazione di equazione ed assume

quella di Identità, ovvero di un’uguaglianza valida per ogni valore assegnato

all’incognita. Qualche esempio chiarirà meglio il concetto:

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Caso 3 - esempio 1:

x2(x3 - 1) + x(1 - x4) + x(x - 1) + x = x2 : x + x(x - 1) + x(1 - x)

eseguiamo le moltiplicazioni e le divisioni sia a sinistra che a destra

dell'uguale:

x5 - x2 + x - x5 + x2 - x + x = x + x2 - x + x - x2

sommiamo algebricamente tra loro i termini simili sia al primo membro che al

secondo (che si eliminano a vicenda), ottenendo:

x5 - x2 + x - x5 + x2 - x + x = x + x2 - x + x - x2

Alla fine rimane:

x = x (4)

Già si vede che l’uguaglianza ottenuta vale per ogni valore di x noi

sostituiamo. Ma facciamo i pignoli. Se trasportiamo la x dal secondo membro

al primo, cambiandole il segno, otteniamo un’uguaglianza nella forma (2) con

a = b = 0:

x – x = 0 ⇒ 0x = 0

Ma una tale uguaglianza è sempre valida, perché vuol dire che 0=0

(zero=zero). E ci mancherebbe che zero non fosse uguale a se stesso.

Trattasi dunque di identità, ovvero di un’uguaglianza sempre soddisfatta al di

là del valore assegnato all’incognita x.

N.B.: potevamo anche fermarci alla (4) per dire che si trattava di una identità.

Difatti anche l’uguaglianza x = x è una ovvietà che vale per ogni valore di x

(2=2, 5=5, 124=124, -6=-6, -12.5=-12.5, ecc.)

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Caso 3 - esempio 2:

(x + 1)2 - 2x = (x + 1)(x - 1) + 2

eseguiamo il quadrato di binomio (prodotto notevole) al primo membro ed al

secondo facciamo la somma di due monomi per la loro differenza (altro

prodotto notevole):

x2 + 2x + 1 - 2x = x

2 - 1 + 2

sommiamo algebricamente tra loro i termini simili sia a destra che a sinistra

dell'uguale ed otteniamo:

x2 + 1 = x

2 + 1

Che è una uguaglianza ovvia. E, senza bisogno di continuare per arrivare alla

forma (2), possiamo affermare che l’uguaglianza è ancora una identità.

caso 4: a = 0 ; b ≠ 0

In questo caso la (2) diventa

ax = b ⇒ 0x = b

E allora? Ricordiamo che nel caso in esame si ha b ≠ 0 e facciamo un

esempio con dei numeri veri:

0x = 6 (5)

Proseguendo senza astuzia, si otterrà:

0x = 6 ⇒ � =�

�=?

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E adesso? Come facciamo ad affrontare questo altro caso? Possiamo ancora

fare ragionamenti su somme di denaro distribuite fra compagni? Mmmm��

6 € da distribuire fra 0 persone? Non suona bene. La calcolatrice cosa ci

dice?

Maledetta, non ci viene tanto in aiuto! Ci dice solo che non è possibile ma

non ci spiega il perché. E allora che facciamo? Torniamo alla forma (5)

dell’equazione:

0x = 6

Se 0x = 6 (che si legge “0 per x uguale a 6”), dovrebbe esistere almeno un

numero da sostituire alla x al fine di rendere vera l’uguaglianza. In pratica

dovremmo trovare quel numero che moltiplicato per “0” dia “6” come risultato

del prodotto. Ma conoscete un numero che moltiplicato per “0” dia come

risultato “6” (o qualsiasi altro numero)? Non sforzatevi più di tanto.

Semplicemente non esiste. Possiamo dunque affermare che l’equazione (5)

non ammette soluzioni. Essa si definisce “impossibile”.

Un’equazione impossibile si può anche “creare” volutamente, ad esempio,

scrivendo un’uguaglianza palesemente assurda fra due espressioni

algebriche.

Vediamo qualche esempio:

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Caso 4 - Esempio 1

se diciamo: “sommando 2 ad un numero sconosciuto, otteniamo lo stesso

numero diminuito di 3. Qual è il numero incognito?”. Traducendo in algebra:

x + 2 = x – 3

è chiaro che le due informazioni al primo ed al secondo membro sono in

contrasto fra loro perché' ad un numero qualsiasi non possiamo una volta

aggiungere 2 ed un’altra togliere 3 e pretendere di ottenere due numeri

uguali. Risolvendo troveremo:

x + 2 = x – 3

x - x = -3 - 2

0x = -5

e, per quanto detto prima, l’equazione è impossibile.

Caso 4 - Esempio 2

Facciamo la seguente affermazione: “sommando 4 al quadrato di un numero

sconosciuto, otteniamo il risultato -5. Qual è il numero incognito?.

Traducendo in algebra:

x2 + 4 = – 5

Svolgendo si avrà:

x2 = – 5 – 4

x2 = – 9

Si, lo so cosa state pensando. Ma prof., qui compare una x di grado 2 e non è

una di quelle equazioni di 1° grado camuffate da equazioni di 2° grado. Qui

“sto” maledetto esponente “2” non riusciamo a farlo sparire. Cosa si fa? Avete

ragione. In parte, almeno. L’esponente 2 non c’è modo di farlo sparire. Ma

ragionate così. Dovete trovare quel numero che elevato a 2 dia come risultato

– 9. “-3” dirà qualcuno di voi fra i meno attenti. Quindi secondo alcuni di voi,

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-3 elevato al quadrato fa -9? Ricordiamo che qualsiasi numero elevato al

quadrato da come risultato un numero positivo in quanto esponente pari. Si

ha cioè:

(+3)2 = +9

(-3)2 = +9

Quindi è chiaro che non c’è verso a far diventare -9 il risultato di una potenza

alla seconda. Allora l’equazione:

x2 = – 9

è chiaramente impossibile

Esempio 3

Risolvere la seguente equazione:

(2x + 3)2 = 4x

2 + 7 + 12x

Svolgendo il quadrato di binomio al primo membro si ottiene:

4x2 + 9 + 12x = 4x

2 + 7 + 12x

Da cui, semplificando i termini simili:

4x2 + 9 + 12x = 4x

2 + 7 + 12x

Si ottiene:

9 = 7

Abbiamo finito. “9” non è “7”. E tanto meno “7” si sognerebbe mai di essere

“9”. Dunque l’equazione è impossibile. Anche portando il “7” al primo membro

e cambiandogli di segno, si avrebbe:

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9 - 7 = 0 ⇒ 2 = 0

E si dedurrebbe ancora che, poiché “2” non è “0” e “0” non è “2”, l’equazione

è impossibile.

N.B.: Non avete notato nulla? Quel burlone del prof. ha costruito nuovamente

ad arte una equazione impossibile. Difatti, l’uguaglianza

(2x + 3)2 = 4x

2 + 7 + 12x

È palesemente impossibile in quanto è un “quadrato di binomio sbagliato” in

cui al posto del “9” (quadrato di “3”) ho messo il “7”, appositamente per

mandare in tilt l’uguaglianza. E infatti, poiché la matematica non riusciamo a

fregarla, ha restituito un “rifiuto” alla nostra assurda richiesta (per quale valore

di “x”, l’uguaglianza data è vera?).

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RIEPILOGO SINTETICO TIPI DI EQUAZIONE

DETERMINATE, INDETERMINATE O IMPOSSIBILI

Dopo aver eliminato tutti gli “intralci” e portate tutte le x al primo membro e

tutti i numeri al secondo membro, al penultimo passaggio ci ritroveremo con

una uguaglianza del tipo:

ax = b ⇒ � =�

�

Ecco i quattro casi che ci possono capitare:

caso 1: a ≠ 0 ; b ≠ 0 ⇒ l’equazione è determinata e la soluzione vale:

� =�

�

E la soluzione è unica (cioè non ne esistono altre)

caso 2: a ≠0 ; b = 0 ⇒ l’equazione è determinata e la soluzione vale:

� =0

�= 0

E la soluzione è unica (cioè non ne esistono altre)

caso 3: a = b = 0 ⇒ l’equazione è indeterminata in quanto si riduce a:

0x = 0 ⇒ 0 = 0

E le soluzioni sono infinite

caso 4: a = 0 ; b ≠ 0 ⇒ l’equazione è impossibile in quanto si riduce a:

ax = b ⇒ 0x = b

E non esistono soluzioni