Un Pò di matematica

Elemento infinitesimo di volume in coordinate sferiche

dV = dr ⋅ r sin(θ)dϕ ⋅ r dθ

Come si misurano gli angoli?Angoli piani: Radianti

Angoli solidi: Steradianti

Elemento infinitesimo di superficie

Angolo solido infinitesimo

dV = r2 sin(θ) dθ dϕ dr

dS = r2 sin(θ) dθ dϕ

dΩ = sin(θ) dθ dϕ

Cosa è un vettore?Non una qualunque terna di numeri può essere una grandezza vettoriale

Prodotto scalare

Prodotto vettoriale

Somma

A =B +C

s =B ⋅C

A =B ×C

Alcuni casi notevoli

A ×A = 0

A ⋅A ×B( ) = 0

A ⋅B ×C( ) = A ×

B( ) ⋅ C

A ×

B ×C( ) = B A ⋅ C( ) − C A ⋅ B( )

Risultato è un vettore

Risultato è un vettore

Risultato è uno scalare

Integrale

A = ρ r( )V∫ dv

Due integrali particolari:

Flusso:

Circolazione:

Φ =E ⋅ n

S∫ ds

La superficie S può essere chiusa oppure aperta

Normale alla superficieCampo vettoriale

A =E ⋅dl

Γ∫

Linea chiusa

Campo vettoriale

Elemento di linea

Elemento di superficie

f (r0 + Δr

) f (r0 ) +

∇ ⋅ f r( )( )r = r0 ⋅ Δr

Come sono connessi i valori di una funzione in due punti vicini tra loro?

Gradiente

f (r0 + Δr

) f (r0 ) + df (r )dx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ r = r0

Δx +df (r )dy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ r = r0

Δy +df (r )dz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ r = r0

Δz

Ha la struttura di un prodotto scalare

∇ =

ddx, ddy, ddz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Nabla

Il risultato è una grandezza vettoriale

Opera su di una funzione scalare

L’operatore differenziale nabla può essere applicato anche ad una grandezza vettoriale

Si definiscono in questo modo due operazioni

Divergenza

Rotore

∇ ⋅A =

ddx, ddy, ddz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅A =

ddxAx +

ddyAy +

ddzAz

Il risultato è una grandezza scalare

Il risultato è una grandezza vettoriale

∇ ×A =

ddx, ddy, ddz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟×A =

ddxAy −

ddyAx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i + .....

A ⋅ s = s ⋅

A

∇ ⋅ s ≠ s ⋅

∇invece

Spesso nabla si comporta come una normale grandezza vettoriale

Spesso, ma non sempre

∇ ⋅A ≠A ⋅∇

∇ ×A ≠A ×∇

ugualmente:

Derivate seconde dei campi

Se il campo è un campo scalare:

Se il campo è un campo vettoriale:

∇ ⋅∇Τ( )

∇ ×

∇Τ( )

Divergenza di un gradiente

Rotore di un gradiente

∇ ×

∇ ×A( )

∇ ⋅∇ ×A( )

∇∇ ⋅A( )

Rotore di un rotore

Divergenza di un rotore

Gradiente di una divergenza

∇ ⋅∇ ×A( ) = 0

∇ ×

∇Τ( ) = 0

Valgono le:

Si può mostrare che valgono pure le inverse

Se allora

∇ ×A = 0

A =∇T

∇ ⋅A = 0

A =∇ ×B

∇Φ ×

∇Ψ ≠ 0Notare tuttavia, ad esempio, che:

Divergenza di un gradiente

Rotore di un rotore

∇ ⋅∇Τ( )

∇ ×

∇ ×A( )

∇ ⋅∇Τ( ) = d 2

dx2T +

d 2

dy2T +

d 2

dz2T = ∇2T Associa ad uno scalare una

seconda grandezza scalare

Può essere applicata anche ad una grandezza vettoriale

∇2 A = ∇2Ax ,∇

2Ay ,∇2Az( )

∇ ×

∇ ×A( ) = ∇ ⋅

∇ ⋅A( ) − ∇2 A

Tre teoremi

1) Dato un campo scalare ‘s’, la differenza tra i valori assunti

dal campo in due punti qualsiasi può essere espressa

come:

s(β) − s(α ) =∇s( )

Γ

α→β

∫ ⋅dl

2) Teorema di Gauss

3) Teorema di Stokes

A ⋅ n ds

S∫ =

∇ ⋅A dv

V∫

A ⋅dl

Γ∫ =

∇ ×A( ) ⋅ n ds

S∫

Convenzione della regola della mano destra

Simmetria dei corpi e proprietà fisiche in punti correlati

Assumiamo che tutte le proprietà fisiche,

sia dei corpi che dello spazio che li

circonda, riflettano le proprietà di

simmetria del complesso di oggetti materiali che forma il

sistema.