Un carico generico può essere considerato come una successione di impulsi di durata molto breve.

Consideriamo di questi impulsi quello che si genera al tempo di durata d ; l’effetto di questo impulso infinitesimo al tempo t (successivo a ) si ottiene dalla risposta al carico impulsivo:

tem

dFdx D

t

D

sen

F

td

carico

F(

t'x risposta

tt=t'+

dx()

RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE NON PERIODICA RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE NON PERIODICA NEL DOMINIO DEL TEMPONEL DOMINIO DEL TEMPO

t

Dt

D

dtem

Ftx

0sen

dteFm

txt

Dt

D

0sen

1

Questa è la porzione infinitesima di risposta che proviene dall’impulso infinitesimo applicato al tempo . La risposta totale prodotta dalla completa storia di carico si può ottenere sovrapponendo gli effetti dei singoli impulsi infinitesimi che si susseguono fra il tempo 0 ed il tempo t:

INTEGRALE DI DUHAMEL: rappresenta la risposta di un sistema SDOF smorzato ad una generica storia di carico F(t); poiché la derivazione è basata sul principio di sovrapposizione degli effetti, essa è valida solo per sistemi lineari.

ANALISI TIME-HISTORYSistema smorzato sottoposto ad un arbitrario movimento del suolo: equazione del moto:

RISPOSTA AL MOTO DEL SUOLO: RISPOSTA AL MOTO DEL SUOLO: ANALISI SISMICAANALISI SISMICA

0 kxxcxxm G Gxmkxxcxm

GxmtF

dtextxt

Dt

GD

0sen

1

Si può porre:

e assumere F(t) come somma di una serie di carichi impulsivi.Sostituendo nell'integrale di Duhamel:

(il segno - si può omettere: nell'analisi sismica non interessa il verso della risposta).

La risposta in termini di velocità si può ottenere derivando la (vibrazioni libere del sistema sottosmorzato) e applicando lo stesso procedimento:

Per le strutture degli edifici, ha valori bassi (dell'ordine del

5%), per cui e

1 12 D

tVdtextxt t

G

1

sen1

0

tVdtextxt t

G

0cos

arctg1

arctg2

tCety Dt cos

Gxmkxxcxm

xm

kx

m

cxx G

xxxxx G222

tVdtexxxt t

GG

0sin

L'accelerazione assoluta si può ricavare dalla eq. del moto in termini di spostamento relativo tra massa e sostegno, trascurando il termine legato allo smorzamento e sostituendovi l'espressione di x(t) desunta sopra:

sxmkuucum

Noto quindi il moto della struttura, è possibile calcolare le azioni interne necessarie per progettare e/o verificare una struttura.

Si possono seguire due strade:

• essendo noti gli spostamenti in ogni istante di tempo, si possono calcolare le rotazioni nei nodi degli elementi strutturali e, conoscendone le rigidezze, ricavare le caratteristiche della sollecitazione e gli sforzi;

• nota la rigidezza, è possibile definire, ad ogni istante di tempo, una forza statica equivalenteforza statica equivalente

tale che, applicata al sistema, induca spostamenti uguali a quelli calcolati risolvendo l'equazione del moto; le azioni interne sono quindi calcolate con una analisi statica della struttura soggetta alla forza equivalente

tkxFs

Il secondo metodo è spesso utilizzato nell'ingegneria sismica perché permette di utilizzare gli effetti del terremoto come dei carichi statici.

Ricordando che

maxxmxmkxF Gs 2

xxxxx G222

Ad ogni istante di tempo, la forza statica equivalente è pari al prodotto della massa per la pseudo-accelerazione a

SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICISPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI

Spesso, per la progettazione di strutture soggette a vibrazioni non a regime, più che l'andamento nel tempo interessa conoscere i valori massimi della risposta, in termini di spostamento, velocità o accelerazione.

Lo spostamento relativo raggiunge il valore massimo in corrispondenza del max dell'integrale nell'espressione di x(t) precedente. Per cui ponendo:

max0

sin dtexSt t

Gv

S S xd v 1

max

si ottiene il valore max dello spostamento:

spostamento spettrale

maxxSv

maxGva xxSS

S Sd a1

2

Sv è abbastanza vicino, anche se non esattamente uguale (è = per =0), al valore max della risposta in termini di velocità:

pseudo-velocità spettrale

pseudo-accelerazione spettrale

Il valore max della forza nell'organo elastico - ovvero il valore di taglio max alla base - vale:

f kS mS mSd d amax 2

Con riferimento alla registrazione di una componente di accelerazione relativa ad un terremoto, si possono ricavare, per un sistema ad un grado di libertà e per ogni coppia di valori del periodo proprio e del coefficiente di smorzamento, i valori di Sa, Sv e Sd.

E’ possibile rappresentare graficamente, per un dato accelerogramma, l’andamento di Sa, Sv e Sd in funzione del periodo proprio e per determinati valori del coefficiente di smorzamento.

Tali diagrammi sono chiamati rispettivamente

SPETTRO DI RISPOSTASPETTRO DI RISPOSTA

della pseudo-accelerazione, pseudo-velocità, spostamento

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4T [s]

sp

os

tam

en

to r

ela

tiv

o/x

g,m

ax

0%2%5%

Terremoto del Friuli 1976spettro di risposta normalizzato dello spostamento relativo

Terremoto del Friuli 1976spettro di risposta normalizzato della pseudo-velocità relativa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4T [s]

Ps

eu

do

ve

loc

ità

re

lati

va

/vg

,max

0%2%5%

si nota che da un certo valore di T in poi, la velocità rimane pressoché costante

Terremoto del Friuli 1976spettro di risposta normalizzato della pseudo-accelerazione assoluta

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4T [s]

Ps

eu

do

ac

ce

lera

zio

ne

as

so

luta

/ag

,max

0%2%5%

Gli spettri di risposta calcolati sulla base di un determinato accelerogramma presentano un andamento abbastanza irregolare che corrisponde ad effetti di risonanza locale, legati al contenuto in frequenza dell’accelerogramma. Queste irregolarità si attenuano passando a curve calcolate per smorzamenti via via maggiori.

Spettri di pseudo-accelerazioneSpettri di pseudo-accelerazione:

• per valori di periodo prossimi a 0, strutture molto rigide, l’accelerazione assoluta tende a coincidere con l’accelerazione del suolo (al limite uguale per T=0);

• le massime amplificazioni si hanno per valori del periodo abbastanza piccoli;

• per strutture molto deformabili, l'accelerazione max decresce e tende a 0.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4T [s]

Ps

eu

do

ac

ce

lera

zio

ne

as

so

luta

/ag

,max

0%2%5%

Spettri di spostamentoSpettri di spostamento:

• strutture molto rigide, periodi prossimi a 0, presentano spostamenti relativi al suolo piccoli (al limite nulli per T=0)

• l’accelerazione assoluta tende a coincidere con l’accelerazione del suolo;

• le massime amplificazioni si hanno per valori del periodo intermedi;

• per strutture molto deformabili, lo spostamento massimo tende a quello del terreno.

xG

x

spost. ass.=0

xG

spost. rel.=0

x

T=0 T=0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4T [s]

sp

os

tam

en

to r

ela

tiv

o/x

g,m

ax

0%2%5%

k

mW=mg

Noti il periodo proprio e il coefficiente di smorzamento di una struttura, la sua risposta massima può essere rilevata dallo spettro.

Trasformazione di un problema dinamico in uno statico:Trasformazione di un problema dinamico in uno statico:

dallo spettro, si può determinare la massima forza statica equivalente da applicare alla struttura per ricavarne gli effetti massimi.

add mSmSkSF 2max

g

S

W

mS

W

F aamax

W

g

TSF a max

k

mT 2

Sa/g

T

Sa

0,1 0,2 0,3 0,4

__ g

T