I FASORI

Prerequisiti e strumenti matematici e fisici per l’elettronica delle telecomunicazioni

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I FASORI

RIEPILOGO

rappresentazione

somma di due complessi con al regola del parallelogramma

z = ρ cos θ + j ρ sin θ

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RIEPILOGO OPERAZIONI

somma

differenza

prodotto

rapporto

reciproco

radice

COMPLESSO CONIUGATO

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UNA APPLICAZIONE IMPORTANTE: IL FASORE

Definiamo

fasore o vettore di fase

un vettore sul piano complesso che ha per modulo il valore efficace della grandezza v(t) e

per angolo (o argomento) la fase di v(t) al tempo t=0.

ovvero:

un fasore è un numero complesso che indica la fase e l’ampiezza di una sinusoide

Si osservi che rappresenta il valore efficace della grandezza in esame e α è la

fase di v(t) all’istante t=0.effV

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UNA APPLICAZIONE IMPORTANTE: IL FASORE

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)cos()( 0 ψω += tEte

Ψ

ψjeE0

la proiezione del vettore v

sull’asse Re fornisce il valore

istantaneo del campo

vr

ωt

tjj eeE ωψ0

Re

Im

)cos()( 0 ψω += tEte

fasore

fasore rotante

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UNA APPLICAZIONE IMPORTANTE: IL FASORE

v(t) =V [cos (ωt +ϕ ) + j sin (ωt +ϕ )] numero complesso

tensione

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il fasore V rappresenta il modulo e la fase della sinusoide!

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IL FASORE

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esercizio: fasore

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calcolare il fasore di v(t)=V₀ sin(ω₀t+θ)

ricordando che cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β

)sin()cos( 0000)(

00 ϑωϑωϑω +++=+ tjVtVeV tj

)cos(}Re{)(__ 00)(

00 ϑωϑω +== + tVeVtvdiFasore tj

)sin()2

cos( 00 ϑωπϑω +=−+ tt

segue che

in fine

2000 )}sin(Re{_

πϑϑω

−=+= eVtVVFasore

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fasore: LINEARITA’ – funzioni isofrequenziali

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fasore: DERIVAZIONE

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fasore: INTEGRAZIONE

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fasore: QUANDO SI USA

Un circuito può essere analizzato nel dominio dei fasori quando tutti i segnali

(tensioni e correnti) sono sinusoidi alla stessa pulsazione ω

Tutti i generatori indipendenti funzionano alla pulsazione ω e il circuito include

solo elementi lineari

GRANDEZZE ISOFREQUENZIALI

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IMPEDENZA

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AMMETTENZA

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AMMETTENZA ed IMPEDENZA

R,L,C

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

i(t)=IM sin(ω0t+φ)

ω0t

pulsazione del generatore

corrente che

scorre nel

circuito

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

)cos( 0tRIv MR ω=

)cos( 200πωω += tLIv ML

)cos( 200

πωω

−= tC

Iv M

C

CLRG vvvv ++=

anticipo

ritardo

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

Potenza istantanea assorbita dal carico Resistivo

valor medio,

energia fornita

dal generatore e

dissipata dalla R

in un periodo

2

2

1)( MR RItp =

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

Potenza istantanea assorbita dal carico Reattivo

CLX

ωω 1−=

valor medio nullo,

il generatore in un

periodo non

fornisce energia al

circuito LC

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

BILANCIO ENERGETICO

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

BILANCIO ENERGETICO

ALLA RISONANZA

X=0 � ωL= 1/ ωC

il generatore fornisce solo Energia Attiva

c’è un palleggiamento di energia tra gli elementi

Reattivi

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

STUDIO TRAMITE FASORI

GRANDEZZA SINUSOIDALE FASORE

ASSOCIATO

i(t)=IM sin(ω0t+φ0)

)cos( 0tRIv MR ω=

)cos( 200πωω += tLIv ML

)cos( 200

πωω

−= tC

Iv M

C

IM ejφ

φ0

IM=IM ejφ

VR =RIM ejφ

VR

VL =ωLIM ej(φ+π/2)

VL

π/2

-π/2

VC =(IM/ωC)ej(φ-π/2)

VC

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

1φjM eII =

2φjM eVV =

IeZjXRZIV ψ=+== )( 21)( φφψ −==R

Xarctg

si definisce potenza complessa la quantità

jQPVIPC +== *

2

1

P = Potenza Attiva fornita dal generatore al carico [VA] = Volt Ampere

Q = Potenza Reattiva

valore massimo della potenza scambiata tra il generatore ed il carico reattivo

[VAR] = Volt Ampere Reattivi

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RICHIAMI SULLA POTENZA NEI CIRCUITI IN REGIME Sinusoidale

vG(t)=V0 sin(ω0t+φ)

i(t)=IM sin(ω0t+φ)

ω0t

pulsazione del generatore

corrente che

scorre nel

circuito

jQPVIPC +== *

2

1

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FINE

LEZIONE