FENOMENI INTERFERENZIALI

•Interferenza tra onde e.m. prodotte da sorgenti coerenti sincrone;•Metodo dei fasori o dei vettori rotanti;•Interferenza tre onde e.m. prodotte da due sorgenti coerenti sincrone;•Interferenza tre onde e.m. prodotte da molte sorgenti coerenti sincrone.•Interferenza in lamine sottili;

Interferenza di onde e.m. prodotte da sorgenticoerenti sincrone

Prendiamo due onde e.m. generate dalle sorgentipuntiformi S1e S2 (saranno onde sferiche !) esupponiamo che l’onda abbia campo elettrico

2,1 ,0 itkrsinEE iii

Cioè le sorgenti hanno la stessa frequenza efase iniziale nulla.Ipotizziamo poi che le ampiezze E0,i non cambinocon la propagazione.

Quando le onde si incontrano nel punto P sisommano.

La somma è vettoriale e prendiamo campiE1 e E2 paralleli tra loro.

tkrsinEtkrsinEtPE 22,011,0 ),(

Come possiamo fare questa somma ?

Metodo dei fasori o dei vettori rotanti

L’ampiezza istantanea in un puntopreso come origine di un’onda e.m. del tipo

tkrsinEtPE ),( 01

può essere vista come la proiezione sull’asse delleordinate del vettore E0 che ruota con velocitàangolare intorno all’origine in cui è applicato:

tsinEtE )( 01

Se si considerano due onde nello stesso punto dellospazio con campo E parallelo si può ripetere ilragionamento per entrambe e ottenere che la lorosomma ER= E1+E2 vale:

tsinEtsinEEEER 0021

Dove è la differenza di fase (d.d.f.) fra le dueonde nel punto in cui si sommano.

2cos2

2

0

21

EE

tsinEEEER

2

2cos2 021

tsinEEEER

Se il campo nel punto P vale ER l’energia istantanea del campo in quel punti è proporzionale al quadrato del campo elettrico:

2

2cos2)( 2

2

02

21

tsinEEEtI

Se prendiamo di tale energia il valor medio IM

(che è la quantità che si misura o si vede se leonde sono luce visibile)

2

0

0 2cos2)(

1

EdttI

TI

T

M

da cui:

,...2,1,0 2max mmIM

,...2,1,0 )12(min mmIM (interferenza costruttiva)

(interferenza distruttiva)

Interferenza tra onde e.m prodotte da duesorgenti coerenti

Se abbiamo due sorgenti identiche di onde e.m.con la stessa frequenza , fase iniziale uguale enulla e campo parallelo (in questo caso le sorgentisono dette coerenti)

tkrsinAE

tkrsinAE

202

101

Nel punto P la somma delledue onde da un camporisultante ER

)(2

)(...con

2

2cos2

21

2121

021

rr

rrkkrkrfdd

tsinEEEER

L’intensità media, cioè la quantità media dienergia in P vale

2

210

2

0 2

)(cos2

2cos2

rrkEEIM

Se lo schermo è lontano, r1 e r2 sono paralleli

) (2

) ()(... 21 sinasinakrrkfdd

2

0

2

0

cos22

cos2

sina

Esinak

EIM

masinrr

masinIM

21

22

max

2)12(

)12(2

0

21

masinrr

masinIM

Differenza di cammino ottico

Si ha interferenza costruttiva se la differenza di cammino ottico percorso dalle onde è un multiplo intero della lunghezza d’ondamultiplo intero della lunghezza d’onda (comune); l’interferenza è distruttiva se la differenza di cammino ottico percorso dalle onde è un multiplo dispari di semi-multiplo dispari di semi-lunghezze d’onda lunghezze d’onda

,...2,1,0 m

Interferenza prodotta da N sorgenticoerenti sincrone

Utilizzando nuovamente il metodo dei vettori rotanti:

nel caso in cui tutti i vettori (che possono rappresentare il campo elettrico associato ad ogni onda) sono allineati, si avrà la massima ampiezza risultante possibile, cioèA=NA1 .Questo si ha per =2n

sina 2

221(max) NAI L’intensità totale è:

a

msin

Massima valore del campo elettrico risultante

,...2,1,0 m

Si avrà ampiezza nulla nel caso in cui tutti i vettori formano un poligono chiusoA=0 . Questo si ha per N=2m’

sina 2

'

Na

msin

Massimo valore del campo elettrico risultante

),....12(),12),......(1(),1,...(2,1,0' NNNNm

0(min) IL’intensità totale è:

Tra due massimi principali per cui

ci sono (N-1) zeri, per cui

tra due minimi ci deve comunque essere un

massimo, quindi ci saranno anche (N-2) massimi

secondari (di ampiezza esigua) tra i massimi

principali.

(max)a

msin

'

(min)Na

msin

Itot/N2I0

Riassumendo, se poniamo uno schermo a grande distanza dalle sorgenti osserviamo un serie di strisce luminose e strisce buie

Strisce buie

Strisce chiare

sina 2

'

Na

msin

),....12(),12),......(1(),1,...(2,1,0' NNNNm

sina 2

a

msin

,...2,1,0 m

Interferenza da lamine sottili

Lamine sottili in aria.Se facciamo riflettere della luce monocromatica difrequenza (cioè numero d’onda k) su una lamina di spessore d, osservando in riflessionevediamo che per alcuni valori di d abbiamo(i) dei massimi di intensità riflessaper altri valori di d abbiamo(ii) dei minimi di intensità riflessa.

Vediamo di spiegare il fenomeno

Prendiamo l’onda incidente FD, in D interferiscecon l’onda AB che, rifrattasi in B e subita unariflessione in C, si ricompone con l’onda incidentein D.

Si fa notare che le due onde che si sommano in Dfanno parte dello stesso fronte d’onda BB’ equesto assicura che la loro fase iniziale sia sempre la stessa. Cioè la coerenza è assicurata.

•Il fronte d’onda BB’ in D arriva con una fase kr. Dopo la riflessione sulla lamina di indice dirifrazione n, si ha uno cambiamento di della fase.La fase vale:

Fenomeno della riflessione vetrosa.Quando un’onda e.m. si riflette su una superficiedi indice di rifrazione superiore a quello del mezzoda cui proviene, l’onda riflessa subisce unosfasamento di .(Si ottiene questo dalle Eq. di Maxwell)

)'( DBkai

•La parte di onda che si rifrange in B arriva in Dcon la fase:

rmmr

akCDBCk

cos

)2()(

La differenza di fase tra le due onde quandointerferiscono in D vale:

r

mira

kfddcos

2...

Ricordiamo che quando

d.d.f. = 2m abbiamo interf. costruttiva

d.d.f. = (2m+1) abbiamo inter. distruttiva

d.d.f. = 2m abbiamo interf. costruttiva

d.d.f. = (2m+1) abbiamo inter. distruttiva

,...2,1,0 2

)12(cos

2

2cos

22

cos

22

cos

2...

mmna

ma

naa

kfdd

a

r

rarmrm

,...2,1 cos

2

)12(cos

22

cos

22...

mmna

ma

na

fdd

ar

rarm

Nel caso di interferenza costruttivainterferenza costruttivamassima riflessione, quindi minima trasmissione:

Nel caso di interferenza distruttivainterferenza distruttivaminima riflessione, quindi massima trasmissione:

na

m

Anelli di Newton

,...2,1,0 2

)12(2 mmna a

,...2,1 2 mmna a

interferenza costruttivainterferenza costruttiva

interferenza distruttivainterferenza distruttiva

Pellicole sottili su vetro

Sfasamentoin riflessione

Sfasamentoin riflessione

L’onda incidente ha fase: rka

L’onda rifratta ha fase: akrk ma 2

La diff. di fase vale, per incidenza normale:

anakfdda

m 22

2...

Interferenza costr.

aa

mnaman

2222

Interferenza distr.

2)12(2)12(2

2 a

a

mnaman