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Analisi matematica I Monotonia e punti di estremo

© 2006 Politecnico di Torino 1

Calcolo differenziale

2

Monotonia e punti di estremo

Teorema di Rolle

Teorema di Lagrange

Prima formula dell’incremento finito

Seconda formula dell’incremento finito





4

Teorema di Rolle

f : [a, b] R

(a, b)f

f(a) = f(b)

∃x0 ∈ (a, b) : f 0(x0) = 0

→ continua

derivabile in ⇒

⇒



5

Teorema di Rolle

6

Dimostrazione

Per il Teorema di Weierstrass risulta

tali che

f([a, b]) = [m,M ] ⇒ ∃xm, xM ∈ [a, b]

f(xM) =M = maxx∈[a,b]

f(x)

f(xm) = m = minx∈[a,b]

f(x)



7

Dimostrazione

Se alloraDunque m =M f(x) = cost ,

f 0(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b)

∀x ∈ [a, b]

8

Dimostrazione

Se allora oppureDunque

m < M f(a) = f(b) < Mm < f(a) = f(b).

xM ∈ (a, b)

xm ∈ (a, b)

f 0(xM) = 0

f 0(xm) = 0

oppure ⇒ oppure

Teorema di Fermat




10

Teorema di Lagrange

f : [a, b] R

(a, b)f

→ continua

derivabile in⇒

⇒ ∃x0 ∈ (a, b) : f 0(x0) =f(b)− f(a)b− a

è detto punto di Lagrangex0



11

Teorema di Lagrange

12

Dimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliaria definita su

g(x) = f(x)− f(b)− f(a)b− a (x− a)

[a, b]



13

Dimostrazione

Risulta g : [a, b] R→ continua

g derivabile su (a, b) con

g0(x) = f 0(x)− f(b)− f(a)b− a

g(a) = f(a) = g(b)

14

Dimostrazione

Teorema diRolle

∃x0 ∈ (a, b) : g0(x0) = 0

0 = g0(x0) = f0(x0)−

f(b)− f(a)b− a

f 0(x0) =f(b)− f(a)b− a

⇒

⇒

⇒




16


Sia derivabile in Allora f x0.

f 0(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0



17


cioè

f(x)− f(x0)− f 0(x0)(x− x0) = o(x− x0) ,

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + o(x− x0) , x→ x0

x→ x0

limx→x0

µf(x)− f(x0)x− x0

− f 0(x0)¶= 0

limx→x0

f(x)− f(x0)− f 0(x0)(x− x0)x− x0

= 0⇔

⇔

⇔

18


Posto

la formula

può essere riscritta come

∆x = x− x0 , ∆f = f(x)− f(x0)

x→ x0f(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + o(x− x0) ,

∆f = f 0(x0)∆x+ o(∆x) , ∆x→ 0




20


Sia derivabile su intervallo aperto in siano con Allora ècontinua in e derivabile in

f I, Rx1, x2 ∈ I x1 < x2. f

[x1, x2] (x1, x2)

Teorema di Lagrange

⇒ ∃x ∈ (x1, x2) : f 0(x) =f(x2)− f(x1)x2 − x1

⇒ f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) ,x ∈ (x1, x2)



21


Se la formula diventa ∆x = x− x0 , ∆f = f(x)− f(x0)

∆f = f 0(x)∆x ,

x ∈ (x, x0) x ∈ (x0, x)oppure

f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) , x ∈ (x1, x2)




23

Proprietà

Sia derivabile su intervallo aperto in I,f R.

è costante su f 0(x) = 0 ,I ∀x ∈ If ⇔

24

Dimostrazione

Ricordiamo che

f è costante su I ⇔ f(x1) = f(x2) , ∀x1, x2 ∈ I⇒ Vero dalla definizione di derivata

⇐

= 0 · (x2 − x1) = 0f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) =

x1 < x2, ∃x ∈ (x1, x2) :∀x1, x2 ∈ I con



25

Dimostrazione

Ricordiamo che

f è costante su I ⇔ f(x1) = f(x2) , ∀x1, x2 ∈ I⇒ Vero dalla definizione di derivata

⇐ x1 < x2, ∃x ∈ (x1, x2) :

= 0 · (x2 − x1) = 0f(x2) = f(x1)

con

f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) =

⇒

26

Proprietà

Sia derivabile su intervallo aperto in I,f R.

f 0(x) ≥ 0 , ∀x ∈ I I⇔ è crescente suf



27

Ricordiamo che è crescente su se

Dimostrazione

f I ∀x1, x2 ∈ I ,x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2)⇒

28

Dimostrazione

∀x1, x2 ∈ I x1 < x2, ∃x ∈ (x1, x2) :con

f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) ≥ 0f(x2) ≥ f(x1)⇒

Per la seconda formula dell’incremento finito⇒



29

Dimostrazione

⇐ Sia crescente sux0 ∈ I ; f I

⇒ x− x0 f(x)− f(x0)e hanno lo stessosegno

⇒∆f

∆x=f(x)− f(x0)x− x0

≥ 0 , ∀x ∈ I

⇒ limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= f 0(x0) ≥ 0

30

Osservazione

Analogamente, vale:

Sia derivabile su intervallo aperto in I,f R

ff 0(x) ≤ 0 , ∀x ∈ I I⇔ è decrescente su



31

Proprietà

Sia derivabile su intervallo aperto in

Attenzione: non vale il viceversa!Ad esempio è strettamente crescente su ma

I,f R

f

∀x ∈ II

f 0(x) > 0 , ⇒

è strettamente crescente su

f(x) = x3

Rf 0(x) = 2x2 f 0(0) = 0e

32

Dimostrazione

Ricordiamo cheè strettamente crescente su se

Per la seconda formula dell’incremento finito, con

f I

f(x2) > f(x1)

∀x1, x2 ∈ I , x1 < x2

> 0

∃x ∈ (x1, x2) :

∀x1, x2 ∈ I ,x1 < x2 f(x1) < f(x2)⇒

⇒

f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1)



33

Proprietà

Sia derivabile su intervallo aperto in Sia con

Se in e in

f I,x0 ∈ I f 0(x0) = 0.

R.

f 0(x) ≥ 0 I−r (x0) f 0(x) ≤ 0 I+r (x0)

⇒ x0 fè punto di massimo (relativo) per

34

Proprietà

Sia derivabile su intervallo aperto in Sia con

Se in e in

f I,x0 ∈ I f 0(x0) = 0.

R.

f 0(x) ≤ 0 I−r (x0) f 0(x) ≥ 0 I+r (x0)

⇒ x0 fè punto di minimo (relativo) per



35

Esempio

Consideriamo

Risulta

dom f = Rf(x) = x2e−x ,

x1 = 0 , x2 = 2

f 0(x) = 2xe−x − x2e−x = x(2− x)e−xpunti critici per f

f 0(x) > 0 x(2− x) > 0 0 < x < 2⇔ ⇔

36

Esempio

Consideriamo

Risulta

dom f = Rf(x) = x2e−x ,

x1 = 0 , x2 = 2

f 0(x) = 2xe−x − x2e−x = x(2− x)e−xpunti critici per f

f 0(x) > 0 x(2− x) > 0 0 < x < 2⇔ ⇔crescente inf [0, 2]

f decrescente in e(−∞, 0] [2,+∞)



37

Esempio

punto di minimo assoluto conx1 = 0

x2 = 2 f(2) = 4/e2punto di massimo assoluto con

f(0) = 0

38

Esempio

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