Turbolenza: l'ultimo problema irrisolto della meccanica classica

Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011

TURBOLENZA:l’ultimo problema irrisoltodella meccanica classica

La comune esperienza della dispersione degli inquinanti,cosı come del fumo di sigaretta o del calore che saledall’asfalto, ci mostra il fenomeno della turbolenza:l’ultimo problema irrisolto della meccanica classica.

Gianni PAGNINIBorsista RAS

PO Sardegna FSE 2007-2013 sulla L.R. 7/2007“Promozione della ricerca scientifica e dell’innovazione tecnologica in Sardegna”

November 29, 2011


Cos’e la turbolenza?

“What is turbulence?Turbulence is like pornography.It is hard to define, but if you see it,you recognize it immediately.”

G. K. Vallis (Princeton University), 1999


La turbolenza in natura


La turbolenza in natura

... ma anche


La turbolenza nelle esperienze personali


La turbolenza nei processi industriali


La turbolenza nell’arte


La turbolenza il sabato sera a cena


La turbolenza la domenica mattina

“Dentro un raggio di soleche entra dalla finestra,talvolta vediamo la vita nell’aria.E la chiamiamo polvere.”

Stefano Benni(Margherita Dolcevita)


Turbolenza

I flussi che osserviamo in tutti questi processi sono flussiturbolenti, caratterizzati da una grande efficacia didispersione ed un moto irregolare ed impredicibile, maanche dalla presenza di strutture organizzate in vortici.

Fluttuazioni casuali con correlazione spaziale e temporalesovrapposte ad un moto medio.


Leonardo da Vinci (1452– 1519)Prima osservazione, descrizione edenominazione della turbolenza

“Observe the motion of the surface of the water,which resembles that of hair, which has two motions,of which one is caused by the weight of the hair,the other by the direction of the curls;thus the water has eddying motions,one part of which is due to the principal current,the other to the random and reverse motion.”


Turbolenza

Turbolento e il flusso di un fluido.

Un fluido e un mezzo continuo:sebbene esso sia composto da molecole, le sue proprietaintensive (quelle indipendenti dalle dimensioni del sistemacome la densita, la temperatura, la pressione e la velocita)sono definite per volumetti infinitamente piccoli e quindi siassume che esse varino con continuita da un punto ad un altro.

La natura molecolare del fluido non viene considerata ed ilfluido e visto come un mezzo continuo.


Turbolenza

Lo studio dei fluidi (acqua, aria) attiene al dominio della fisicaclassica;

non a quella relativistica, perche le velocita sono molto minoridi quella della luce,e non alla quantistica perche non riguarda processi alla scaladei costituenti della materia.

E’ un fenomeno percepibile con i nostri sensi nel nostro viverequotidiano.


F = m a

La dinamica dei mezzi continui e descritta della seconda leggedi Newton:

F = m a .


F = m a: Moto inerziale

F = 0 , quindi a = 0 ,

moto rettilineo uniforme

d2xdt2 = a = 0 ,

dxdt

= v = v0 ,

x = x0 + v0t .


F = m a: Caduta dei gravi

forza di gravita

F = Gm MR2 ,

a =Fm

= GMR2 = g ' 9, 8 m/s2 ,

F = m g .


F = m a: Caduta dei gravi

moto uniformemente accelerato

d2zdt2 = a = g ,

dzdt

= v = v0 + gt ,

z = z0 + v0t +12

gt2 .


F = m a: Forza elastica

F = −mω x ,

moto armonico

d2xdt2 = a =

Fm

= −ω2x ,

x = A cos(ωt + θ0) ,

dxdt

= v = −A ω sin(ωt + θ0) ,

d2xdt2 = a = −A ω2 cos(ωt + θ0) = −ω2x .


Dinamica di un volumetto di fluido

Approccio Euleriano:le caratteristiche del flusso sono determinate in un puntostabilito, es. anemometro. “Facile‘” sperimentalmente edutilizzato, in genere, nelle applicazioni ingegneristiche.



Approccio Lagrangiano:le caratteristiche del flusso sono determinate seguendo unaparticella di fluido lungo la sua traiettoria. Molto difficilesperimentalmente ed utilizzato, ad esempio,per la dispersione degli inquinanti.



v(t): velocita lagrangianau[x(t), t ]: velocita euleriana

dxi

dt= vi(t) = ui [x(t), t ] ,

d2xi

dt2 = ai =dui

dt=

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj.



Leonhard Euler, 1757

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj= −1

ρ

∂p∂xi

,

dove ρ e la densita e p(x, t) e la pressione.



Le forze di superficie che agiscono su una qualsiasi porzione difluido sono la forza di pressione e la forza viscosa, dovuteall’interazione tra molecole contigue.

A causa del carattere dissipativo della viscosita, e necessariofornire continuamente energia affinche il fluido rimanga in moto.

Le forze esterne possono essere la gravita oppure unqualunque meccanismo di agitazione meccanica,come per esempio un ventilatore.


Equazioni di Navier–Stokes

Claude-Louis M. H. Navier,Memoire sur les lois du mouvement des fluides,Mem. Acad. Roy. Sci. 6, 389–440 (1823)

George G. Stokes,On some cases of fluid motion,Trans. Camb. Phil.Soc. 8, 287–319 (1843)



... ma anche Cauchy nel 1823, Poisson nel 1829 eSaint-Venant nel 1837.

Olivier Darrigol, Between Hydrodynamics and Elasticity Theory:The First Five Births of the Navier–Stokes Equation. Arch. Hist.Exact Sci. 56, 95–150 (2002).



Equazioni di Navier–Stokes per un fluido incomprimibile:

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj= −1

ρ

∂p∂xi

+ ν∂2ui

∂xj∂xj,

∂ui

∂xi= 0 ,

dove ν e la viscosita cinematica.


Perche e un problema irrisolto?

A questo punto, definita l’equazione che governa il moto deifluidi, anche il problema della turbolenza risulta formalmenterisolto.

Tuttavia, ad eccezione di pochi casi particolari, ogni tentativo diottenere la soluzione delle equazioni di Navier–Stokes erisultato vano.

“L’aver scritto un’equazione non toglie al flusso dei fluidi il suofascino, il suo mistero o il suo potere di sorprenderci.”

R. Feynman (Nobel 1965)



La fisica ha seguito un percorso riduzionista:Lo studio di un fenomeno e riconducibile allo studio dei suoicostituenti

MOLECOLE → ATOMI → NUCLEI → QUARK → ?

Turbolenza e riduzionismo:Attualmente conosciamo meglio il nucleo atomico che il mototurbolento dell’aria attorno a noi.



Alcune date di confronto:

1872 Teoria cinetica dei gas di Boltzmann

1873 Equazioni di Maxwell del campo elettro-magnetico

1905 Teoria della relativita ristretta di Einstein

1916 Teoria della relativita generale di Einstein

1926 Equazione di Schrodinger per la meccanica quantistica

1927 Principio di indeterminazione di Heisenberg



“The underlying physical laws necessary for the mathematicaltheory of a large part of physics and the whole of chemistry arethus completely known, and the difficulty is only that the exactapplication of these laws leads to equations much tocomplicated to be soluble.”

P.A.M. Dirac (Nobel 1933)Proc. Roy. Soc. London 123 (1929), 714


Un problema da $ 1 000 000

The Millennium Prize Problems

Il 24 maggio 2000 sono stati banditi dall’Istituto di MatematicaClay, Cambridge (Massachusetts), 7 premi da 1 milione didollari ciascuno relativo alla soluzione dei piu importantiproblemi matematici ancora irrisolti.

Tra questi, la prova dell’esistenza della soluzione delleequazioni di Navier–Stokes in 3 dimensioni.

http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equations/

http://claymath.msri.org/navierstokes.mov


Un problema da $ 1 000 000EXISTENCE AND SMOOTHNESS OF THE

NAVIER–STOKES EQUATION

CHARLES L. FEFFERMAN

The Euler and Navier–Stokes equations describe the motion of a fluid in Rn

(n = 2 or 3). These equations are to be solved for an unknown velocity vectoru(x, t) = (ui(x, t))1≤i≤n ∈ Rn and pressure p(x, t) ∈ R, defined for position x ∈ Rn

and time t ≥ 0. We restrict attention here to incompressible fluids filling all of Rn.The Navier–Stokes equations are then given by

∂

∂tui +

n

j=1

uj∂ui

∂xj= ν∆ui −

∂p

∂xi+ fi(x, t) (x ∈ Rn, t ≥ 0),(1)

div u =n

i=1

∂ui

∂xi= 0 (x ∈ Rn, t ≥ 0)(2)

with initial conditions

(3) u(x, 0) = u(x) (x ∈ Rn).

Here, u(x) is a given, C∞ divergence-free vector field on Rn, fi(x, t) are the com-ponents of a given, externally applied force (e.g. gravity), ν is a positive coefficient

(the viscosity), and ∆ =n

i=1

∂2

∂x2i

is the Laplacian in the space variables. The Euler

equations are equations (1), (2), (3) with ν set equal to zero.Equation (1) is just Newton’s law f = ma for a fluid element subject to the ex-

ternal force f = (fi(x, t))1≤i≤n and to the forces arising from pressure and friction.Equation (2) just says that the fluid is incompressible. For physically reasonablesolutions, we want to make sure u(x, t) does not grow large as |x| →∞. Hence, wewill restrict attention to forces f and initial conditions u that satisfy

(4) |∂αx u(x)| ≤ CαK(1 + |x|)−K on Rn, for any α and K

and

(5) |∂αx ∂m

t f(x, t)| ≤ CαmK(1 + |x| + t)−K on Rn × [0,∞), for any α, m,K.

We accept a solution of (1), (2), (3) as physically reasonable only if it satisfies

(6) p, u ∈ C∞(Rn × [0,∞))

and

(7)

Rn

|u(x, t)|2dx < C for all t ≥ 0 (bounded energy).

Alternatively, to rule out problems at infinity, we may look for spatially periodicsolutions of (1), (2), (3). Thus, we assume that u(x), f(x, t) satisfy

(8) u(x + ej) = u(x), f(x + ej , t) = f(x, t) for 1 ≤ j ≤ n1


Quando si verifica la turbolenza?

The Royal Society is collaborating with JSTOR to digitize, preserve, and extend access toPhilosophical Transactions of the Royal Society of London.

www.jstor.org®

Phil. Trans. R. Soc. Lond. 174, 935–982 (1883)



The Royal Society is collaborating with JSTOR to digitize, preserve, and extend access toProceedings of the Royal Society of London.

www.jstor.org®

Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 186, 123–161 (1894)



∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj= −1

ρ

∂p∂xi

+ ν∂2ui

∂xj∂xj.

x → x L , u → u U , t → tLU

,

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj= −1

ρ

∂p∂xi

+ν

UL∂2ui

∂xj∂xj.

Re =ULν

, numero di Reynolds.



Re 1 (ν grande): moto laminareRe 1 (ν piccolo): moto turbolentoRe →∞ (ν → 0): turbolenza pienamente sviluppata

Re = 1.54 Re = 9.6

Re = 13.1 Re = 26

Re = 2000 Re = 100000


Quando arriva la turbolenza?

Deformazione ed allungamento di una linea materiale


Quando arriva la turbolenza?

In atmosfera: ν = 10−5m2/s, U ' 1m/s, L ' 103m

Re =ULν' 108 ,

nei mari: ν = 10−6m2/s, U ' 10−2m/s, L ' 104m

Re =ULν' 108 ,

in un tubo: ν = 10−6m2/s, U ' 1m/s, L ' 10−2m

Re =ULν' 104 ,


Teoria statistica delle turbolenza

Sebbene le proprieta dettagliate della velocita appaiono nonpredicibili, le sue caratteristiche statistiche sonoriproducibili.

Descrizione probabilistica della turbolenza (Taylor 1935, 1938).

Le equazioni di Navier–Stokes sono pero deterministiche:sebbene senza ancora una prova rigorosa, assegnate lecondizioni iniziali esiste una ed una sola soluzione per tutti itempi.


Teoria statistica delle turbolenza

Accontentandosi di un livello di conoscenza inferiore, epossibile ricorrere ad una descrizione statistica del mototurbolento, basata sulla soluzione di equazioni mediate, cherisulta utile per la comprensione di alcune applicazionispecifiche, ma con un alto prezzo da pagare in termini diattendibilita dei risultati.

Infatti mediando le equazioni del moto si introducono nuoveincognite che richiedono l’assunzione di modelli euristici perchiudere il problema.


Il problema della chiusura

Scomposizione di Reynolds (1895)

ui = Ui + u′i , 〈ui〉 = Ui , 〈u′

i 〉 = 0 ,

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj= −1

ρ

∂p∂xi

+ ν∂2ui

∂xj∂xj,

∂ui

∂xi= 0 ,

∂Ui

∂t+ Uj

∂Ui

∂xj+

∂〈u′i u

′j 〉

∂xj= −1

ρ

∂P∂xi

+ ν∂2Ui

∂xj∂xj,

∂Ui

∂xi= 0 ,

〈u′i u

′j 〉 =? , tensore degli sforzi di Reynolds .



∂〈u′i u

′j 〉

∂t+ · · ·+

∂〈u′i u

′j u

′k 〉

∂xk= . . . ,

〈u′i u

′j u

′k 〉 =?

Keller L.V. & Fridman A.A., Differentialgleichung fur dieturbulente bewegung einer kompressiblen flussigkeit. Proc. 1stIntern. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, 395–405.



Approssimazione di Boussinesq (1877, 1897)

−〈u′i u

′j 〉 = νt

(∂Ui

∂xj+

∂Uj

∂xi

)− 2

3

(K + νt

∂Uk

∂xk

)δij .

νt e la viscosita turbolenza e

K =12〈u′

i u′i 〉 e l’energia cinetica turbolenta.

Turbolenza da parete

−〈u′1u′

3〉 = νt∂U1

∂x3.


Fenomenologia della turbolenza

Lewis Fry Richardson (1922)


Fenomenologia della turbolenza (K41)

K41: teoria fenomenologica di A.N. Kolmogorov del 1941

Nel flusso turbolento si generano perturbazioni caratterizzatedalla dimensione del vortice; ogni perturbazione prendeenergia dal vortice di poco piu grande e la cede a quello dipoco piu piccolo fino ad arrivare ai vortici cosı piccoli per cui siattiva la dissipazione dell’energia in calore.

Questo intervallo e detto inerziale perche non dipende ne dalleforzanti ne dalla dissipazione ν.

In questo processo il moto dei vortici piu grandi non influenzadirettamente le fluttuazioni nei vortici piccoli, ma soloindirettamente attraverso il flusso di energia che definisce iltasso medio di energia cinetica dissipata.



Tasso medio di enegia cinetica dissipata

ε =12ν∑i,j

⟨(∂u′

i∂xj

+∂u′

j

∂xi

)2⟩=

U3

L.

Scale della dissipazione (scale di Kolmogorov):grandezza e velocita dei vortici piu piccoli

η =

(ν3

ε

)1/4

, vη = (νε)1/4 ,

Re =vηη

ν= 1 .



Analisi dimensionale: le uniche quantita significative sono ladimensione del vortice ` e l’energia cinetica dissipata ε.

Leggi di scala delle funzioni di struttura

δu = u(x + `)− u(x) ,

Sp(`) = 〈(δu‖(`))p〉 = Cp (ε`)p/3 ,

Cp costanti universali.



Osservazione di Landau (1944) sulla non universalita di Cp.Supponiamo che siano svolti N esperimenti e ciascuno siaindicizzato con i . Se le costanti Cp sono universali, cioe nondipendono dal singolo esperimento i , allora

Sip(`) = Cp(εi)

p/3`p/3 .

Eseguiamo la sovrapposizione dei risultati degli esperimenti

Sp(`) =1N

N∑i=1

Sip(`) , ε =

1N

N∑i=1

εi ,

otteniamo

Sp(`) = Cp

[1N

N∑i=1

(εi)p/3

]`p/3 = Cp

(1N

N∑i=1

εi

)p/3

`p/3 .



Quindi le costanti Cp sono universali,cioe non dipendono dal singolo esperimento i ,se e solo se

(1N

N∑i=1

εi

)p/3

=1N

N∑i=1

(εi)p/3 ,

che e verificata solamente quando p = 3.



Ma K41 e le equazioni di Navier–Stokes sono legate?

L’unico risultato esatto derivato dalle equazioni diNavier–Stokes e

S3(`) = 〈δu3‖(`)〉 = −4

5ε` ,

che in parte conferma K41.


Oltre K41

Intermittenza: Sp(`) = 〈δup‖ (`)〉 ∝ `ζp .

Modello multifrattale (Parisi & Frisch, 1985)

δu‖u0

∼(

`

`0

)h

,

Sp(`)

up0

=〈δup

‖ (`)〉

up0

∼∫

dµ(h)

(`

`0

)ph+3−D(h)

,

µ(h) e il peso dei differenti esponenti h, (`/`0)ph e il contributo

di δup‖ (`) mentre (`/`0)

3−D(h) e la probabilita che ci sia unadistanza ` in uno spazio di dimensione D(h).Nello spazio cartesiano tridimensionale D = 3 e h = 1/3 siottiene la teoria di Kolmogorov del 1941.


Finalmente i computer!

Il grande sviluppo dei mezzi di calcolo, verificatosi nell’ultimodecennio, ha reso possibile l’integrazione numerica delleequazioni di Navier–Stokes anche nel caso di flussi turbolenti.

Inoltre, grazie alla potenza dei moderni computer ed alle attualitecnologie di acquisizione di immagini, sono disponibili nuovipossibili approcci sperimentali basati sulla visualizzazionequantitativa del moto dei fluidi. I due approcci, quello numericoe quello sperimentale, nonostante alcune severe restrizioni elimitazioni, permettono l’acquisizione di una grande quantita didati, che opportunamente analizzati, anche in termini statistici,consentono di svelare aspetti interessanti della dinamica deimoti turbolenti.



Nel 1949 von Neumann predisse che l’avvento dei computeravrebbe rivoluzionato lo studio della turbolenza rendendopossibile simulare le equazioni di Navier–Stokes nel regimeturbolento.

La prima simulazione di turbolenza tridimensionale e statarealizzata da Orszag & Patterson nel 1972.

ANRV365-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46

0 1000 2000

HeAir

10

100

1000

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Year

R !

R!

H2O

SF610-1

10-2

10-3

10-4

10-5

" # (s

)

a b

Figure 2(a) Kolmogorov time !" versus microscale Reynolds number R# in highly turbulent flows suitable for Lagrangian measurements. Thewater data are from the experiment by La Porta et al. (2001) and Voth et al. (2002) (energy-injection scale L = 0.07 m, R# < 1000), airdata are from the experiment by Mydlarski & Warhaft (1998) (L = 0.5 m, R# < 1200), low-temperature helium data are fromexperiments by Tabeling et al. (1996) (L = 0.02 m, R# < 3000), and room-temperature compressed SF6 is estimated (L = 0.07 m,R# < 3500, p = 20 bar). Gray dashed lines indicate Reynolds numbers outside the limits of the current existing facilities. (b) The trendof R# versus year for state-of-the-art numerical simulations. Data are from Celani 2007, table 1.

limiting factor, owing to statistical requirements, is the necessity of creating huge databases thatcan be time-consuming to access. As a consequence, high-resolution computations often sufferfrom the limited number of large-scale eddy turnover times, which in turn may leave residualanisotropy on the largest scales (even with perfectly isotropic forcing schemes). The recent questfor the highest Reynolds number flow seems to conflict with accuracy requirements. When lookingat small-scale quantities (which are particularly intermittent, such as the acceleration), a betterresolved simulation (i.e., larger kmax·", where kmax is the largest resolved wave number in thesimulation) at a lower resolution (i.e., with a smaller number of collocation points) can be moreaccurate than a higher-resolution simulation with poorer accuracy at small scales (see Ishiharaet al. 2007, Schumacher 2007).

The numerical schemes in use today have been well tested; as for the interpolation schemes,their accuracy and impact on statistical quantities have been the subject of several investigations(Balachandar & Maxey 1989, Homann et al. 2007a, Rovelstad et al. 1994, Yeung & Pope 1988).

In recent years, much progress has been made in developing schemes capable of numericallyintegrating the dynamics of finite-size and inertial particles. Examples include simulations ofair bubbles in water using front-tracking techniques (e.g., see Unverdi & Tryggvason 1992),simulations of solid finite-size particles using the lattice Boltzmann method (Cate et al. 2004),and simulations using the Physalis method (Perrin & Hu 2006, Zhang & Prosperetti 2005) orresolving the full fluid dynamical interaction between the particle and the fluid (Burton & Eaton2005).

These methods will most likely become standard tools in the future, but presently, because oftheir higher numerical costs, they do not allow the simulation of the large number of particle tracksneeded for converged statistics. Therefore, most studies of the Lagrangian properties of turbu-lence trace point-like particles. Although this poses no problems for passive tracers, some level ofmodeling is necessary for particles; consequently, a validation of the models against experimentsis mandatory.

www.annualreviews.org • Particles in Turbulence 379

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Rλ =√

15 Re



Filamenti vorticosi


a b

1 mm

xy

z

0 16,000

Acceleration (m s–2)

Figure 3(a) A trajectory of a fluid tracer in a small-scale vortex filament in a turbulent flow from a numerical simulation at R! ! 280. Colors andarrows indicate the magnitude and direction of the velocity (see Biferale et al. 2004a, Toschi et al. 2005). (b) Trajectory of a high-acceleration event of a 46-µm-diameter tracer particle in turbulence at R! = 970 recorded at a frame rate of 70,000 frames per second.The position of the particle at each of the 278 frames is represented by a sphere. The colors represent the acceleration magnitude, asindicated by the scale. Figure reproduced from Voth et al., “Measurement of particle accelerations in fully developed turbulence,”J. Fluid Mech., 469:121–60, 2002, with permission of Cambridge University Press.

variations thereof ). When accelerations are averaged over a sliding window of !10" #, the acceler-ations (Toschi et al. 2005) and the joint acceleration-enstrophy probability distribution functions(PDFs) (Biferale et al. 2006) are unchanged for centripetal accelerations, whereas these quantitiesare changed when using longitudinal accelerations. This suggests a simple, but effective, way tohighlight the strong correlations between the observed tails in the acceleration distribution and thepresence of vortical structures in the Eulerian field. Braun et al. (2006) investigated the curvatureof Lagrangian trajectories, which is tightly linked to fluid particle accelerations. Xu et al. (2007a)measured experimentally curvature statistics of trajectories’ paths and compared them with Braunet al.’s (2006) DNS results. Xu et al. (2007a) found that the filtered curvature is correlated withvorticity and could be used as an indicator for structures in turbulence.

In the following section we restrict our discussion to the dynamics of fluid particles that areapproximated in experiments by small neutrally buoyant tracers. We review results on traceracceleration, the statistics of Lagrangian velocity differences, and LVSFs. We also present a cursoryreview on the multifractal (MF) model as a possible analytical framework and some of its recenttests in the context of Lagrangian turbulence. In the MF model, there is no concept of space andvortex filaments, but remarkably, it can reproduce the observed phenomenology of Lagrangiantracers. This finding seems to imply that what really is essential are only the statistical propertiesof vortex filaments that a model like the MF is able to reproduce.

3.1. AccelerationThe first experimental measurements of acceleration in highly turbulent flows used detector tech-nology modified from the CLEO III high-energy physics experiment (i.e., silicon strip detectors)(Mordant et al. 2004a, La Porta et al. 2001, Voth et al. 2001). The quality of the data from thatexperiment is still unsurpassed (see Figure 4a).

www.annualreviews.org • Particles in Turbulence 383

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60

!60 !40 !20 0 20 40 60

10–11

10–10

10–9

10–8

10–7

10–6

10–5

10–4

10–3

10–2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.004

0.008

0.012

0.016

0.020

–80 –40 0 40 80

0 10 20 30 40 5010!8

10!6

10!4

10–2

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

P(ã)

P(ã)

ã = a/<a2>1/2

ã4 P

(ã)

ã4 P

(ã)

ã

a/!a

a/!a

b

Experimental data

Beck-X2, q = 3/2

Beck-log, s2 = 3.0

Multifractal, µ = 0.25and n = 17.1

Reynolds (2003)

DNS data

Multifractal prediction

Kolmogorov prediction

a

Figure 4(a) Lin-log plot, comparing the experimental acceleration probability distribution function (PDF) with different models (Mordant et al.2004a). Blue circles represent experimental data; the purple dashed line denotes Beck-!2, q = 3/2 (Beck 2001); the orange dashed lineis the Beck-log, s2 = 3.0 (Beck 2003); the light blue line represents the multifractal model, µ = 0.25 and n = 17.1 (Arimitsu &Arimitsu 2004); and the red line is from Reynolds (2003). (Inset) Linear plot of a4 P (a) versus a = a/arms . Panel a courtesy of HaitaoXu. (b) Lin-log plot of the acceleration PDF. The crosses represent the direct numerical simulation (DNS) data, the solid line is themultifractal prediction, and the dashed line is a prediction based on Kolmogorov’s (1941) theory. The DNS statistics were calculatedalong the trajectories of 2 million particles, 3.6 ! 109 events in total. The statistical uncertainty in the PDF was quantified by assumingthat fluctuations grow similar to the square root of the number of events. (Inset) a4 P (a) for the DNS data (crosses) and the multifractalprediction. Panel b reprinted with permission from Biferale et al., “Multifractal statistics of Lagrangian velocity and acceleration inturbulence,” Phys. Rev. Lett., 93:064502 (2004). Copyright (2004) by the American Physical Society.

Other experimental techniques provided access to velocity increments along tracer trajectories:Velocity differences at very small time gaps provide a signal closely related to acceleration. Mordantet al. (2002) have performed pioneering measurements in these directions. The dramatic changeof PDF shape seen in Figure 5a provides an immediate impression of how strongly intermittentLagrangian turbulence is at small time increments.

Numerically, tracer acceleration has been measured in many investigations (Biferale & Toschi2005, Biferale et al. 2004a, Ishihara et al. 2007, Lee & Lee 2005, Yeung & Pope 1989). Figure 4bshows the results from a recent numerical simulation of Lagrangian tracers (Biferale et al. 2004a).The experimental and numerical data shown in Figure 4 are normalized but, as they correspondto two different Reynolds numbers, cannot be superimposed. Indeed both the variance and thewhole PDF of the acceleration carry an Re dependence (Biferale et al. 2004a).

Mordant et al. (2004a) carefully compared several theoretical models for the acceleration PDFagainst high–Reynolds number experimental data. Their results are shown in Figure 4a; the MFmodel provides the best fit to the experimental data. Although the acceleration is measured inexperiments by tracking a neutral particle, the local value of the acceleration is strictly an Eulerianquantity (equal to the material derivative of the velocity or the right-hand side of the Navier-Stokesequation), and the strongest contribution to the acceleration comes from the pressure gradient(Biferale & Toschi 2005, Vedula & Yeung 1999).

The MF formalism has been employed to describe the PDF of acceleration (Arimitsu &Arimitsu 2004, Biferale et al. 2004a, Chevillard et al. 2003) and the tightly related statistics of

384 Toschi · Bodenschatz

Ann

u. R

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Dall’invarianza di scala all’invarianza conforme: le lunghezzesono riscalate in modo non uniforme ma gli angoli sonoconservati.

In turbolenza bidimensionale, l’invarianza conforme vieneverificata lungo la cascata inversa per le isolinee di vorticita e ditemperatura nulla.

that such a loop ensemble has a conformal invariant scalinglimit, it should belong to the same universality class asloops in the O(2) model in the dense phase. By exploitingthe Coulomb gas representation of the latter system (withg ! 1, [17]) and general scaling arguments [16], it ispossible to derive analytically a set of scaling exponentsassociated to cluster and loop statistics. These include thefractal dimensions of clusters and loops, the power-lawexponents for the number of clusters of given mass, and the

number of loops of given length, radius of gyration, or area.In Fig. 3 such statistics are displayed for surface quasigeo-strophic turbulence and shown to be consistent with that ofthe O(2) model.

These results give a strong indication that zero-temperature isolines might be conformally invariant, i.e.,statistically equivalent to SLE! curves with the diffusivity! ! 4, as it is conjectured for the O(2) model. To verifydirectly this hypothesis, we proceeded as follows. First, weidentify putative SLE traces. After having isolated a zero-field line, we cut it by an arbitrarily placed straight line (toplay a role of real axis) and choose a piece of contourbetween two points of intersection at a distance larger thanl". A sample trace is shown in Fig. 4(a). This selectionprocedure, self-consistent for ! " 4, yields a set of curvesin the half-plane, which are expected in the scaling limit toconverge to so-called chordal SLE (i.e., joining two pointson the real axis). Second, we extract the Loewner driv-ing function from the trace. To this aim, let us consider

FIG. 2 (color online). Temperature clusters in the inversecascade of SQG turbulence. These are connected domains withpositive temperature. Negative temperature regions are black.

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10010-110-210-310-4

(a)

R

M

R15/8

101

100

10-1

10-2

10-3

10010-110-210-310-4

(b)

R

L

R3/2

101

102

103

104

10010-210-410-6

(c)

M

n(M

,!M

)

M-16/15

101

102

103

104

10110010-110-2

(d)

L

n(L,

!L)

L-4/3

101

102

103

104

10010-110-210-3

(e)

R

n(R

,!R

)

R-2

101

102

103

104

10010-210-4

(f)

A

n(A

,!A

)

A-1

FIG. 3 (color online). Cluster and loop statistics for SQGturbulence. (a) The average area M versus the radius of gyrationR. (b) The length of a loop (blue symbols) and its externallyaccessible perimeter which is obtained by subtraction of fjordswith necks smaller than lf (green symbols) versus R. (c) Numberof clusters of area between M and #M. (d) Number of loops oflength between L and #L. (e) Number of loops of radius betweenR and #R. (f) Number of loops of area between A and #A. In allfigures # ’ 1:1. The solid lines are the theoretical expectationsfor the O(2) model.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

10-3 10-2 10-1 1

" [T

(r)-

T(0

)]2 #

/ T2 rm

s

r

-6 -4 -2 0 2 4 6$r T/"( $r T)2#1/2

"($r T

)2 #1/2 P

($r T

)

FIG. 1 (color online). The second-order structure function oftemperature differences and, in the inset, probability densityfunctions for r ! 0:02, 0.04, 0.06 compared to a Gaussiandensity (solid line). Data have been obtained by direct numericalsimulations of (1) by a pseudospectral code in a fully periodic,square domain of size 1 with 40962 lattice points. Gaussianwhite-noise-in-time forcing f has correlation length lf # 1=200.The system is kept in a statistically stationary state by supple-menting (1) with a linear damping term $T=" that modelsbottom friction and extracts energy at very large scales l" / ",(l" ! 1=20–1=10 depending on ").

PRL 98, 024501 (2007) P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S week ending12 JANUARY 2007

024501-2


Turbolenza al CRS4

Combustione premiscelata turbolenta:

Rilevante nel contesto socio-economico perche legata alsettore industriale della produzione energetica.

Importante nella progettazione delle nuove tecnologie ad usoindustriale perche e un processo di combustione caratterizzatoda una bassa produzione di NOx e per questo fondamentaleper ridurre l’impatto ambientale.


Turbolenza al CRS4

Diversamente dalla ben nota combustione non premiscelata,dove il combustibile ed il comburente devono essere mescolatiaffinche la combustione inizi,

nella combustione premiscelata i reagenti sono mescolati alivello molecolare ed il processo di combustione puo essereinteso come la seguente reazione

Gas Fresco → Gas Combusto + Calore


Turbolenza al CRS4

La combustione premiscelata e descritta da una sola variabileadimensionale detta variabile di progresso.

Essa rappresenta la frazione di massa bruciata e vale 1 per ivolumi occupati solamente dai prodotti e 0 per i volumi occupatisolamente dai reagenti

c(x, t) =ρu/ρ− 1ρu/ρb − 1

, c(x, t) =T − Tu

Tb − Tu.


Turbolenza al CRS4


Turbolenza al CRS4

Il fronte della fiamma corrisponde all’interfaccia tra le frazioni direagente e di prodotto.

La fiamma viene deformata in volute dalla turbolenza che neaccresce la superficie.

La velocita di avanzamento della fiamma e proporzionale allasua superficie.


Turbolenza al CRS4

Computational Fluid Dynamics (CFD)

Risoluzione numerica delle equazioni di Reynolds conapplicazioni in campo industriale


Turbolenza al CRS4

Vladimir Zimont

(1977)∂c∂t

= Deq∂2c∂x2 + Ueq

∣∣∣∣∂c∂x

∣∣∣∣ ,

(1979) Ueq ' 〈u′2〉1/2Da1/4 , Da =τt

τc.

Il modello di Zimont e implementato in FLUENT/ANSYS.


Turbolenza al CRS4

Lagrangian Formulation of Turbulent Premixed Combustion

Gianni Pagnini and Ernesto BonomiCRS4, Polaris Building 1, 09010 Pula, Italy

(Received 4 November 2010; published 21 July 2011)

The Lagrangian point of view is adopted to study turbulent premixed combustion. The evolution of the

volume fraction of combustion products is established by the Reynolds transport theorem. It emerges that

the burned-mass fraction is led by the turbulent particle motion, by the flame front velocity, and by the mean

curvature of the flame front. A physical requirement connecting particle turbulent dispersion and flame front

velocity is obtained from equating the expansion rates of the flame front progression and of the unburned

particles spread. The resulting description compares favorably with experimental data. In the case of a zero-

curvature flame, with a non-Markovian parabolic model for turbulent dispersion, the formulation yields the

Zimont equation extended to all elapsed times and fully determined by turbulence characteristics. The exact

solution of the extended Zimont equation is calculated and analyzed to bring out different regimes.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.044503 PACS numbers: 47.70.Pq, 05.20.Jj, 47.27.!i

Turbulent premixed combustion is a challenging scien-tific field involving nonequilibrium phenomena and play-ing the main role in important industrial issues such asenergy production and engine design.

A Lagrangian point of view is here adopted, leading to adescription of turbulent premixed combustion which takesinto account, for all elapsed times, the turbulent dispersion,the volume consumption rate of reactants, and the flamemean curvature. The proposed approach generalizes andunifies classical literature approaches that are based on theso-called level-set method [1] or are based on the Zimontbalance equation, originally hinted at by Prudnikov [3],also known as Turbulent Flame Closure model [2].Moreover, the proposed formulation has the striking prop-erty to be compatible with every type of geometry and flowin an easier and more versatile way than previous ap-proaches, and it emerges to be easily modifiable to includemore detailed and correct physics. It is worth recalling thatthe Zimont equation was introduced on the basis of experi-mental observations and that a great effort has been under-taken to give a deeper theoretical foundation to it [2,4–6].The present Lagrangian formulation constitutes a reliabletheoretical support for the Zimont combustion model.

The process of turbulent premixed combustion is mainlycharacterized by flame propagation towards the unburnedregion and turbulent dispersion of the resultant productparticles. The combustion process is described by a singledimensionless scalar observable, denoted as averageprogress variable, 0 " c#x; t$ " 1, and representing theburned-mass fraction, i.e., the fraction of burned particleswhich are located in x at time t. The value c#x; t$ % 1describes the presence of only products and the valuec#x; t$ % 0 describes the presence of only reactants. Toavoid unnecessary mathematical difficulties, we considera constant-density mixture and a zero-mean turbulent ve-locity field. Molecular diffusion is also neglected.

In this Letter, the fresh mixture is intended to be a popu-lation of particles in turbulent motion that, in a statisticalsense, change from reactant to product when their averagepositions are hit by the flame. Let!#t$ be the portion of spacesurrounded by the flame surface; then those particles withaverage position hxi 2 !#t$ are marked as burned particles.The occurrence in x at time t of a particle transit is describedby a probability density function (PDF). Let p#x; tjx0$ be thePDF associated with a particle displacement where x0 is theinitial condition of a Lagrangian trajectory and, without lossof generality, let t % 0 be the ignition instant. With theassumption that particle trajectories are not affected by thechemical transformation, the average progress variablec#x; t$ turns out to be defined as the superposition of PDFsof burned particles, i.e., those p#x; tjx0$ with hxi 2 !#t$.For a zero-average velocity field, the particle average positionis hxi % x0 and then

c#x; t$ %Z!#t$

p#x; tjx0$dx0: (1)

The evolution law for the progress variable c#x; t$ is obtainedapplying Reynolds transport theorem to (1) which gives

@c

@t%

Z!#t$

@p

@tdx0 &

Z!#t$

rx0' (u#x0; t$p#x; tjx0$)dx0;

(2)

whererx0is the gradient with respect to x0 and u#x; t$ is the

expansion velocity field of !#t$.Let the turbulent dispersion be represented by the gen-

eral evolution equation

@p

@t% Ex(p); p#x; 0jx0$ % !#x! x0$; (3)

where the spatial operator Ex(') includes the particledisplacement statistics such as the variance "2#t$ % hkx!x0k2i=3.

PRL 107, 044503 (2011) P HY S I CA L R EV I EW LE T T E R Sweek ending22 JULY 2011

0031-9007=11=107(4)=044503(4) 044503-1 ! 2011 American Physical Society


Turbolenza al CRS4

Definizione Lagrangiana della variabile di progresso (a parole)

Una particella di reagente viene mutata in prodotto se la suaposizione media si trova all’interno del dominio il cui contorno ecostituito dalla superficie della fiamma.

La variabile di progresso, cioe la frazione di massa combustapresente in un punto ad un certo istante, e determinatadall’insime delle particelle prodotto che statisticamentepossono trovarsi il quel punto a quell’istante.


Turbolenza al CRS4

Definizione Lagrangiana della variabile di progresso(in formule)

p(x; t |x0) densita di probabilita delle particelle di reagenti,x0 posizione iniziale, se la velocita media e nulla x0 = 〈x〉,Ω(t) dominio racchiuso dalla superficie della fiamma

c(x, t) =

∫Ω(t)

p(x; t |x0) dx0 .


Turbolenza al CRS4

Teorema del trasporto di Reynolds

ddt

∫V

Ψ(x, t) dV =

∫V

∂Ψ

∂tdV +

∫S

Ψ u · nS dS ,

Teorema della divergenza∫S

Ψ u · nS dS =

∫V∇ · (u Ψ) dV .


Turbolenza al CRS4

Equazione per la variabile di progresso (1)

∂c∂t

=

∫Ω(t)

∂p∂t

dx0 +

∫Ω(t)

∇ · (u p) dx0 .


Turbolenza al CRS4

Modello non markoviano per la dispersione turbolenta

∂p∂t

= D(t)∇2p , p(x; 0|x0) = δ(x− x0) ,

dove

D(t) =12

dσ2

dt, σ2(t) =

13〈(x− x0)

2〉 ,

eD(t) =⇒ Deq = 〈u′2〉TL , t TL .


Turbolenza al CRS4

Definizione della velocita di combustione

Lf (t) = L0 +

∫ t

0u(Lf , τ) dτ ,

u(x, t) = U(κ, t) n , U(κ, 0) = 0 ,

dove n = −∇c/||∇c|| e la normale uscenta da Ωκ(x) = ∇ · n/2 indica la curvatura media della superficie di Ω.


Turbolenza al CRS4

Determinazione della velocita di combustione

L’espansione del volume racchiuso dalla fiamma e guidata dalladispersione delle particelle di reagente poiche determinal’incontro tra la fiamma e le particelle stesse.

Siccome il moto delle particelle e di andata e ritorno rispettoalla posizione media mentre l’avanzamento della fiamma eunidirezionale, un tempo doppio e necessario alla dispersionedelle particelle per raggiungere lo stesso tasso di espansionedel fronte di fiamma.


Turbolenza al CRS4


Turbolenza al CRS4

Relazione tra dispersione delle particelle ed avanzamento delfronte di fiamma nella direzione normale al fronte

1σ

dσ

dt=

12

1Lf − L0

dLf

dt,

oppureD(t)∫ t

0 D(ξ) dξ=

U(t)∫ t0 U(ξ) dξ

.


Turbolenza al CRS4

D(t)∫ t0 D(ξ) dξ

=U(t)∫ t

0 U(ξ) dξ,

∫ t

0[U(t)D(ξ)−D(t)U(ξ)] dξ = 0 ,

U(t)D(t)

=U(ξ)

D(ξ), 0 ≤ ξ ≤ t ,

U(t)D(t)

→Ueq

Deq=

1λ

.


Turbolenza al CRS4

Lf (t) = L0 +

∫ t

0U(τ) dτ ,

= L0 +1λ

∫ t

0D(τ) dτ ,

U(t)D(t)

=1λ

,

= L0 +σ2

2 λ.


Turbolenza al CRS4


Turbolenza al CRS4

Equazione per la variabile di progresso (2)

∂c∂t

= D(t)∇2c +

∫Ω(t)

u · ∇x0p dx0

+

∫Ω(t)

p

∂U∂κ∇x0κ · n + 2U(κ, t)κ(x0)

dx0 .

L’evoluzione della variabile di progresso e determinata da:la dispersione turbolenta,l’avanzamento della reazione chimica,la curvatura media del fronte.


Turbolenza al CRS4

Limite non diffusivo

Se la diffusione trascurabile, le particelle risultano congelate edil loro moto non dipende dal tempo p → δ(x− x0),l’equazione di evoluzione di c(x, t) diventa

∂c∂t

= U(κ, t) ||∇c|| ,

che corrisponde all’equazione di Hamilton–Jacobi che definisceil cosiddetto Level Set Method.J.A. Sethian & P. Smereka, Level Set Methods for fluid interfaces. Ann. Rev. Fluid Mech. 35, 341–372 (2003).


Turbolenza al CRS4

Limite di fronte piano

Quando la normale al fronte della fiamma n e assunta costante,allora la curvatura κ e nulla, il fronte risulta piano e si ottiene

∂c∂t

= D(t)∇2c + U(t) ||∇c|| ,

che nel caso asintotico t TL, poiche D(t) → Deq,corrisponde all’equazione di Zimont.


Turbolenza al CRS4

Soluzione esatta del modello di Zimont

c(x , t) =12

Erfc

[x − LR(t)√

2 σ(t)

]− Erfc

[x + LL(t)√

2 σ(t)

],

dove Erfc e la funzione complementare degli errori,LR e LL sono le posizioni del fronte di fiammarispettivamente a destra e a sinistra del punto di ignizione

dLR

dt= −dLL

dt= U(t) , Ω(t) = [−LL(t);+LR(t)] .


Turbolenza al CRS4


In buona compagniaEinstein (Nobel 1921): “Dopo aver risolto altri problemi dellafisica risolvero quello della turbolenza”.

Heisenberg (Nobel 1932): “When I meet God, I am going to askhim two questions: Why relativity? And why turbulence? I reallybelieve he will have an answer for the first.”

Kapitza (Nobel 1947)

Landau (Nobel 1962)

Subrahmanyan Chandrasekhar (Nobel 1983)

B. Mandelbrot

Ya. B. Zel’dovich


In buona compagnia

“Ormai sono diventato vecchio e quando moriro e saro inparadiso ci saranno due cose sulle quali spero in unchiarimento. Una e l’elettrodinamica quantistica e l’altra laturbolenza. Sulla prima sono piuttosto ottimista.”

Sir Horace Lamb


Bibliografia

A.S. Monin & A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, vol. 1.MIT Press (1971).

A.S. Monin & A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, vol. 2.MIT Press (1975).

U. Frisch, The Legacy of A. N. Kolmogorov. CambridgeUniversity Press (1996).


Ringraziamenti

Regione Autonoma della Sardegna

PO Sardegna FSE 2007-2013 sulla L.R. 7/2007“Promozione della ricerca scientifica e

dell’innovazione tecnologica in Sardegna”.

Turbolenza: l'ultimo problema irrisolto della meccanica classica

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