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TRATTAMENTO DEI SEGNALIper la Laurea Magistrale in

Fisica

Dott. Silvia Maria Alessio - Dipartimento di Fisica GeneraleUniversita di Torino - Anno Accademico 2010/2011

7 giugno 2011



Indice

I Concetti teorici di base 7

1 Segnali e sistemi a tempo discreto 8

1.1 Nozioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Segnali a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Semplici manipolazioni su segnali a tempo discreto . . . . 10

1.2.2 Alcuni segnali speciali utili nel seguito . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Segnali deterministici e segnali casuali . . . . . . . . . . . 18

1.3 Sistemi lineari invarianti nel tempo (LTI) . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Risposta all’impulso di un sistema LTI . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 Esempio di convoluzione lineare . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 Interconnessioni di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4 Conseguenze sulla risposta all’impulso di un sistema LTI,derivanti dai vincoli di stabilita e causalita . . . . . . . . 25

1.3.5 Sistemi FIR e I IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.6 Equazioni lineari alle differenze (LCCDE) . . . . . . . . . 28

1.3.7 Esempi di equazioni lineari alle differenze . . . . . . . . . 29

1.3.8 Le soluzioni di una LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.9 Esempio: dalla LCCDE alla risposta all’impulso . . . . . 31

1.3.10 Autovalori ed autofunzioni dei sistemi LTI . . . . . . . . . 33

2



INDICE 3

2 Trasformate di segnali a tempo discreto 36

2.1 Trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.1 Esempi di Trasformate z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.2 Trasformate z razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.3 Inversione della Trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.4 Trasformata z convergente sul cerchio unitario . . . . . . 43

2.1.5 Proprieta della Trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.6 Funzione di trasferimento di un sistema LTI . . . . . . . . 46

2.1.7 Sequenza di uscita di un sistema LTI . . . . . . . . . . . . 48

2.1.8 Strutture per la realizzazione di sistemi LTI . . . . . . . . 48

2.1.9 Poli e zeri di H (z): forme alternative per H (z) razionali . 52

2.1.10 Sistema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) . . . . . . . . . 57

2.2.1 Antitrasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.2 Esempio di DTFT che converge in media . . . . . . . . . 61

2.2.3 Spettri a righe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.4 Periodicita dello spettro di x[n] . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.5 Proprieta della DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2.6 La DTFT di una sequenza causale di lunghezza finita . . 69

2.3 Discrete Fourier Series (DFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.1 Alcune proprieta della DFS . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.3.2 Campionamento nel dominio della frequenza e aliasing neldominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4 Trasformata di Fourier Discreta (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4.1 Riassunto delle relazioni di DFS e DFT . . . . . . . . . . 80

2.4.2 Esempio di relazione fra DTFT, DFS e DFT di una sequenza 81



4 INDICE

2.4.3 Alcune proprieta della DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.4.4 Convoluzione circolare e convoluzione lineare . . . . . . . 89

2.4.5 L’algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) . . . . . . . . 95

2.4.6 Applicazioni della FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Il campionamento dei segnali analogici 101

3.1 Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 Ricostruzione del segnale continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3 Aliasing e filtro anti-aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4 Principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.5 Segnali analogici a supporto limitato in tempo e frequenza . . . . 117

3.6 Relazioni tra le variabili frequenziali . . . . . . . . . . . . . . . . 120

II Introduzione ai filtri numerici 123

4 Caratteristiche dei filtri numerici 124

4.1 Nozioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2 La risposta di ampiezza dei filtri numerici . . . . . . . . . . . . . 125

4.3 La risposta di fase dei filtri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 Progetto di filtri numerici 136

5.1 Considerazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2 Specifiche dei filtri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2.1 Vincoli sulla risposta di ampiezza . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2.2 Vincoli sulla risposta di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3 Selezione del tipo di filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4 Selezione del metodo di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148



INDICE 5

5.5 Criteri di approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.6 Caratteristiche dei filtri FIR a fase lineare . . . . . . . . . . . . . 152

5.6.1 Fattorizzazione della risposta a fase nulla . . . . . . . . . 154

5.6.2 Zeri della funzione di trasferimento dei filtri FIR a GLP . 158

5.6.3 Rappresentazione alternativa di G(ω) . . . . . . . . . . . 159

5.7 Approssimazioni equiripple per filtri FIR a GLP . . . . . . . . . 160

5.8 Stima a priori dell’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.9 Procedimento iterativo per filtri ottimi . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.10 Proprieta dei filtri FIR ottimi secondo il criterio minimax . . . . 175

5.11 Il metodo minimax per i filtri passa-banda . . . . . . . . . . . . . 180

5.12 Cenni sul progetto di filtri IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.13 Attuazione del filtraggio numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.14 Filtraggio a fase nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.15 Tecnica di filtraggio con decimazione . . . . . . . . . . . . . . . . 183

III Analisi spettrale stazionaria 190

6 Segnali deterministici: spettro di energia 191

6.1 Correlazione di segnali a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 191

6.2 Il teorema di Wiener - Khinchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.3 Analisi di Fourier tramite DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.3.1 Effetto del windowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.3.2 Effetto del campionamento spettrale . . . . . . . . . . . . 204

6.4 Le finestre classiche e le loro caratteristiche . . . . . . . . . . . . 208

6.5 La finestra di Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213



6 INDICE

7 L’approccio statistico all’analisi dei segnali 217

IV Analisi spettrale evolutiva 218

8 La Short Time Fourier Transform (STFT) 219

9 La Trasformata Continua di Wavelet (CWT) 220



Parte I

Concetti teorici di base

7



Capitolo 1

Segnali e sistemi a tempo

discreto

1.1 Nozioni preliminari

Elenchiamo alcune definizioni e concetti preliminari.

• Segnale = insieme di valori di una variabile, esprimente la variazione diuna grandezza fisica in qualche dominio (per esempio tempo o spazio).

• x = x(t) con t e x continui rappresenta un segnale analogico.

La misura o campionamento con passo T c costante di un segnale analogico(Fig. 1.1) conduce a una

• sequenza di numeri reali (o complessi) che chiamiamo segnale a tempo

discreto

x = x[n] = x(nT c)

dove n = tempo discreto (numero di campioni, adimensionale).

• Elaborazione, analisi del segnale = insieme di tecniche atte a rappresentareil segnale, eventualmente a trasformarlo e ad estrarre l’informazione cheesso contiene riguardo allo stato o al comportamento del sistema fisico dacui deriva.

• L’elaborazione di un segnale a tempo discreto tramite un sistema digitaleche usa un’aritmetica a precisione finita trasforma il segnale a tempo di-screto in un segnale numerico o digitale, discreto in tempo e in ampiezzax, ma noi non ci occuperemo di questo: nella nostra trattazione il tempoe discreto ma x e continua.

• Scopo dell’elaborazione ed analisi:

8



1.2. SEGNALI A TEMPO DISCRETO 9

t

x ( t )

Figura 1.1: Un segnale analogico ed il suo campionamento

– estrarre parametri caratteristici del segnale

– separare un segnale “utile” dal “rumore”

– modificare il segnale per presentarlo in una forma piu facilmenteinterpretabile ecc...

• L’analisi avviene nei domini duali

– del tempo e

– della frequenza

ed e spesso facilitata da elaborazione/i (trasformazione/i) operate da un

• sistema a tempo discreto: un operatore che “mappa” una sequenza diingresso (input) in una sequenza di uscita (output), ossia

segnale di input ⇒ sistema a tempo discreto ⇒ segnale di output .

Si noti che “sistema” e un termine mutuato dall’hardware; per noi

sistema = operatore matematico, algoritmo software.

1.2 Segnali a tempo discreto

• Segnale:

x[n] n(−∞, +∞)

con n intero.

Il segnale x[n], reale o complesso, esiste solo per valori interi di n; altrovenon e definito. Se ottenuto campionando, x[n] = x(nT c) con

T c = intervallo di campionamento.

Tipicamente i segnali a tempo discreto vengono graficati con “stem plot”simili a quello in Fig. 1.2.



10 CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

x [ n ]

Figura 1.2: Esempio di stem plot

• Energia del segnale:

E =+∞

n=−∞

|x[n]|2.

Puo essere finita o infinita.

I segnali con E finita sono detti segnali di energia (energy signals).

• Molti segnali che non hanno E finita hanno pero potenza media finita

(power signals):

P = limN →∞

1

2N + 1

+∞n=−∞

|x[n]|2.

Se E e finita, P e nulla.

• Un segnale periodico e un segnale per cui per ogni n

x[n + N ] = x[n]

ed il suo periodo e il minimo N per cui la relazione vale.

Un segnale periodico ha E infinita per n(−∞, +∞) mentre e finita l’ener-

gia su un un singolo periodo, N −1

n=0 |x[n]

|2.

La potenza media di un segnale periodico e finita ed uguale alla potenzamedia su un singolo periodo, 1

N

N −1n=0 |x[n]|2.

1.2.1 Semplici manipolazioni su segnali a tempo discreto

Trasformazioni della variabile indipendente n:

1. n ⇒ n − k con k intero: traslazione (Fig. 1.3).




−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

x [ n ]

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

x [ n −

3 ]

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

n

x [ n +

2 ]

Figura 1.3: Esempi di traslazioni di un segnale a tempo discreto. Per rendere benvisibile la trasformazione e stato impiegato il colore rosso per alcuni campioni

k > 0: ritardo (traslazione a destra) di k unita di tempo discreto.k < 0: anticipo (traslazione a sinistra) di k unita di tempo discreto.

2. n ⇒ −n: riflessione del segnale attorno a n = 0 cioe attorno all’originedei tempi discreti ( folding ; Fig. 1.4).

3. n ⇒ k − n: notando che x[−n] = x[0 − n] si comprende che si tratta diriflessione del segnale attorno a n = k (Fig. 1.5).

k > 0: riflessione con ritardo (traslazione a destra di x[−n]).

k < 0: riflessione con anticipo (traslazione a sinistra di x[−n]).

Si osservi che k − n = −(n − k): l’operazione si puo effettuare ancheformando dapprima x[n−k] e poi eseguendo un folding attorno a n−k = 0,

ossia attorno a n = k.

4. n ⇒ kdecn con kdec intero: decimazione del segnale (Fig. 1.6).

1.2.2 Alcuni segnali speciali utili nel seguito

• Impulso discreto o impulso unitario o δ discreta (Fig. 1.7):

δ[n] =

1 n = 0

0 altrove.




−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

x [ n ]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4n

x [ − n ]

Figura 1.4: Esempio di riflessione di un segnale a tempo discreto. Per rendereben visibile la trasformazione sono stati impiegati colori differenti per alcunicampioni

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

x [ n ]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

x [ − n ]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

x [ 2 −

n ]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

n

x [ n −

2 ]

Figura 1.5: Esempio di riflessione di un segnale a tempo discreto attorno an = k. La sequenza x[n] e disegnata rovesciata, coll’origine dei tempi traslataa n = k. Per rendere ben visibile la trasformazione e stato impiegato il colorerosso per alcuni campioni




−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

x [ n ]

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

n

x [ 2 n ]

Figura 1.6: Esempio di decimazione. Per rendere ben visibile la trasformazionee stato impiegato il colore rosso per alcuni campioni

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

1

n

δ [ n ]

Figura 1.7: Impulso discreto

• Impulso discreto ritardato: δ[n − k] (Fig. 1.8).Qualsiasi segnale discreto e esprimibile come somma di campioni unitariscalati e ritardati:

x[n] =+∞

k=−∞

x[k]δ[n − k] =+∞

k=−∞

x[n − k]δ[k].

• Gradino unitario discreto (Fig. 1.9):

u[n] =

1 n ≥ 0

0 n < 0.




−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

1

n

δ [ n −

3 ]

Figura 1.8: Impulso discreto ritardato

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

1

n

u [ n ]

Figura 1.9: Gradino unitario

Il gradino unitario e utile per definire le cosiddette sequenze causali : se-

quenze per cui x[n] = 0 per n < 0.I segnali u[n] e δ[n] sono legati:

u[n] =

nk=−∞

δ[k] =

∞k=0

δ[n − k]

δ[n] = u[n] − u[n − 1].

• Sinusoide discreta : e comodo derivarla da una sinusoide continua, pen-sando di campionarla a passo costante T c.




Ad esempio prendiamo una sinusoide con ampiezza unitaria, fase iniziale

nulla, frequenza f e periodo T = 1/f :

x(t) = sin (2πf t)

x[n] = sin (2πfnT c).

Definendo la frequenza adimensionale o “normalizzata ”

ν = f T c = T c/T

si ottiene

x[n] = sin(2πνn) = sin (ωn)

con ω = 2πν = pulsazione o frequenza angolare “discreta”, dove con la

parola “discreta” si intende “per segnali a tempo discreto”:

[ω]=radianti/campione (angolo, adimensionale),

[ν ] = cicli/campione (adimensionale),

[n] = campioni (adimensionale).

Una sinusoide a tempo discreto non e sempre periodica: lo e se la sua ν erazionale.

Per la periodicita con periodo N occorre che sia x[n] = x[n + N ], ossia

sin[2πν (n + N )] = sin (2πνn)

e questo e vero se e solo se esiste un intero k tale che 2πνN = 2πk, il chee possibile se e solo se

ν = k/N

e quindi anche 1/ν = T /T c = N/k, ossia

kT = N T c;

e inoltre

ω = 2πk/N.

La lunghezza del periodo e pari al denominatore di ν = k/N dopo ridu-zione a rapporto di numeri primi fra loro.

Se T /T c = N/k non e solo razionale ma intero, allora un singolo periodoT della sinusoide analogica contiene un numero intero di intervalli T c dicampionamento (Fig. 1.10). Il caso piu generale di T /T c = N/k razionaleinvece comporta che ci vogliano k periodi T per contenere esattamente N intervalli T c (Fig. 1.11).

Per tutte le ν = k/N con N fissato, il periodo e sempre N nel discreto: sinoti che nel discreto il periodo non e l’inverso della frequenza (N = 1/ν )!




t

x ( t )

Figura 1.10: Sinusoide discreta con T /T c intero

t

x ( t )

Figura 1.11: Sinusoide discreta con T /T c razionale

La generica sinusoide discreta periodica e dunque

x[n] = sin

2π

N kn

e presenta fase simmetrica in k (frequenza) e n (tempo).

Se ora pensiamo ad un k variabile, cioe ad un set di sinusoidi di variafrequenza, si ha periodicita con periodo N anche in k (oltreche in n).

Si ha dunque periodicita in ν con periodo N/N = 1 e periodicita in ωcon periodo 2πN/N = 2π; in altri termini, due sinusoidi discrete con ωseparate di un multiplo di 2π sono indistinguibili, com’e evidente poichesin [(2πk + ω)n] = sin (ωn).

Da quanto detto comprendiamo che la variabile frequenza e intrinseca-




mente discreta ed associata a periodicita, in ogni rappresentazione che si

basi su un set di sinusoidi periodiche a tempo discreto.

Come per rappresentare x[n] periodica con periodo N bastano N valori din, ad esempio n = 0, N − 1, cosı per esprimere tutte le possibili distintesinusoidi periodiche con periodo N bastano N valori di k, ad esempiok = 0, N − 1.

Per comodita di calcolo e spesso utile rappresentare seni e coseni realimediante combinazioni di esponenziali complessi, del tipo

x[n] = ejωn = cos(ωn) + j sin(ωn) j =√−1

con

sin(ωn) =1

2 j (ejωn

− e−jωn

)

cos(ωn) =1

2(ejωn + e−jωn ).

Per gli esponenziali complessi valgono proprieta analoghe a quelle dellesinusoidi.

Nel seguito, “segnale sinusoidale discreto” e “segnale esponenziale com-plesso discreto” sono considerati termini sostanzialmente equivalenti edusati indifferentemente.

Le N sinusoidi o gli N esponenziali complessi distinguibili sono detti sinu-

soidi ed esponenziali complessi in relazione armonica tra loro: come det-to, hanno frequenze multiple, secondo un fattore intero k, della frequenza

fondamentale (positiva, razionale)

ν 0 = 1/N

associata alla periodicita fissata, N .

Possiamo quindi scrivere tali N sinusoidi come

xk[n] = ej2πkν0n = ej 2πN kn

o equivalentemente come

xk[n] = sin (2πkν 0n) = sin

2πN

kn

.

L’indice intero k puo assumere N valori: in generale k = n0, n0 + N − 1e di solito k = 0, N − 1. Si noti che la scelta k = 1, N sarebbe del tuttoequivalente ma la notazione piu usata e quella in cui nel set e inclusa lafrequenza zero.

Tutte le ν = kN condividono con ν 0 la periodicita nel tempo con periodo

N .

Riassumendo:




– periodicita in n con periodo N ⇒ 0 ≤ n ≤ N − 1,

– periodicita in k con periodo N ⇒ 0 ≤ k ≤ N − 1,– periodicita in ν con periodo 1 ⇒ 0 ≤ ν < 1,

– periodicita in ω con periodo 2π ⇒ 0 ≤ ω < 2π.

Alternativa: k = − N 2

, N 2

− 1 che e adatta nel caso di N pari, ad esempiouna potenza intera di 2 come nella FFT, v. sottosezione 2.4.5.

Tale scelta comporta −π ≤ ω < π e −12

≤ ν < 12

, intervalli del tuttoequivalenti a quelli prima citati.

In conclusione:

– per lavorare con sinusoidi discrete basta un intervallo di ω di ampiezza2π. Scegliamo l’intervallo (−π, π); allora

– ogni sinusoide discreta con |ω| > π ossia |ν | > 12 e indistinguibile (“e

alias di”) un’altra sinusoide in |ω| < π.

– Possiamo stabilire che la “massima” frequenza per una sinusoide di-screta e ω = ±π (corrispondente a ν = ± 1

2) mentre la “minima”

frequenza e ω = 0 (o ω = 2π). Si noti la differenza dal caso analogi-co, in cui −∞ < f < ∞ e le “alte frequenze” sono prossime a ±∞,le basse sono adiacenti a zero.

– Le frequenze ∈ (−π, π) sono rappresentative di tutte le sinusoididiscrete esistenti (intervallo principale o fondamentale).

– Del tutto equivalente e esprimere l’intervallo fondamentale come (0, 2π).

1.2.3 Segnali deterministici e segnali casuali

Elaborare ed analizzare un segnale richiede l’assunzione di un modello del se-gnale, ossia di una sua descrizione matematica.

Se una descrizione univoca e possibile usando una formula matematica od unaregola ben definita, il segnale e detto deterministico: i suoi valori passati epresenti sono noti e quelli futuri sono esattamente predicibili.

Se non si sa dare una tale descrizione o se la descrizione e troppo complicataper essere utile si adotta un punto di vista diverso, che implica che il segnalenon evolva in modo esattamente predicibile e debba essere trattato con metodistatistici (medie, probabilita). Un tale segnale e detto casuale o random .

Ad esempio, tipicamente le sequenze derivanti da misure ripetute di grandezzefisiche sono da intendersi come segnali di questo tipo.

La distinzione e talvolta sottile: ad esempio, anche una somma di segnali perio-dici puo essere trattata come random se le fasi sono casuali e vi e del “rumore”sovrapposto ai segnali stessi.



1.3. SISTEMI LINEARI INVARIANTI NEL TEMPO (LTI) 19

Nella prima parte del corso tratteremo segnali deterministici; in seguito passe-

remo all’approccio statistico per i segnali casuali.

1.3 Sistemi lineari invarianti nel tempo (LTI)

Un sistema e una trasformazione univoca che mappa una sequenza di input inuna di output:

input x[n] ⇒ operatore T ⇒ output y[n]

ossiay[n] = T x[n]

(algoritmo che dato x[n] determina y[n]).

In generale, y[n] per un qualsiasi n = n0 dipende dai valori di x[n] a tutti gli n.

Come esempi di sistemi possiamo citare i filtri numerici di cui parleremo inseguito, dei quali un tipo molto semplice e l’operatore media mobile

y[n] =1

M 1 + M 2 + 1

+M 2

k=−M 1

x[n − k].

Classi di sistemi vengono poi definite ponendo dei vincoli sulle proprieta dellatrasformazione T ·.

1. Linearita : T · = L ·se L ax1[n] + bx2[n] = aL x1[n] + bL x2[n]con a, b costanti arbitrarie.

La linearita comporta

• l’additivita

•l’omogeneita (le costanti possono essere portate fuori dal segno L

·).

Esempi di sistemi lineari:

• la media mobile

• l’accumulatore y[n] =n

k=−∞ x[k]

• il ritardatore y[n] = x[n − n0]

• ecc...

Esempio di un sistema non lineare:




• il quadratore y[n] = x[n]2 (per x[n] reale).

Questo sistema e anche privo di memoria perche y[n] dipende solodal valore contemporaneo dell’input, x[n].

2. Invarianza nel tempo o alla traslazione (sistemi LTI = Linear Time Inva-riant):

se valendo y[n] = L x[n] vale anche y[n−k] = L x[n − k], con k interoqualsiasi, il sistema e LTI.

I sistemi LTI hanno importantissime applicazioni nell’elaborazione nume-rica dei segnali.

Esempi di sistemi LTI:

• tutti quelli lineari citati in precedenza .

Esempio di sistema non invariante:

• il decimatore (downsampler), y[n] = x[M n] con M intero qualsiasi.

Per vedere la non invarianza alla traslazione di questo sistema defi-niamo x1[n] = x[n − k] e sia y1[n] l’output o risposta corrispondente:y1[n] = x1[Mn] = x[M n − k].

Ma y[n − k] = x[M (n − k)] = x[M n − M k] = y1[n]:con un input traslato di k non si ha un’uscita traslata di k, se nonnel caso banale di M = 1.

3. Causalita :

un sistema e causale se per ogni scelta di n0, l’output y[n0] dipende solodai valori dell’input per n ≤ n0: il sistema non anticipa l’output.

Esempi di sistemi causali e non causali:

•il ritardatore y[n] = x[n

−n0] e causale se n0

≥0 (caso che implica

ritardo) e non causale se n0 < 0 (caso che implica anticipo)

• la media mobile y[n] = 1M 1+M 2+1

+M 2k=−M 1

x[n − k] e causale se−M 1 ≥ 0 e M 2 ≥ 0

• l’accumulatore y[n] =n

k=−∞ x[k] e causale

• il quadratore y[n] = x[n]2 e causale

• il decimatore y[n] = x[M n] e causale se M > 1 (ad esempio y[1] =x[M ]).

4. Stabilita :




un sistema e stabile secondo la definizione BIBO (Bounded Input, Boun-

ded Output) se e solo se un input limitato produce un output limitato:per ogni n,|x[n]| ≤ A ≤ ∞ ⇒ |y[n]| ≤ BA ≤ ∞

dove A e B sono costanti positive e finite.

Si noti che la stabilita e una proprieta del sistema e non dell’input, quindila relazione BIBO deve valere per un qualsiasi input limitato.

Esempi di sistemi stabili:

• la media mobile

•il ritardatore

• il decimatore

• il quadratore.

Esempio di sistema non stabile:

• l’accumulatore.

Per verificare che un sistema non e BIBO ci basta trovare un inputlimitato per il quale non si ha stabilita. Nel caso dell’accumulatore,se x[n] = u[n],

y[n] =

nk=−∞

x[k] =0 n < 0

n + 1 n ≥ 0.

Ma la quantita n+1 pur essendo finita non e limitata perche non esisteun B > 0 fissato finito tale che n+1 ≤ BA ≤ ∞ per ogni n. Pertantol’accumulatore non e un sistema stabile secondo la definizione BIBO.

1.3.1 Risposta all’impulso di un sistema LTI

Definendo, ammesso che esista per il sistema in esame, la risposta all’impulso

come

h[n] = L δ[n]e ricordando che x[n] =

+∞k=−∞ x[k]δ[n − k], possiamo esprimere mediante h[n]

la “risposta” (output, uscita) del sistema LTI ad un input qualsiasi:

y[n] = L x[n] = L

+∞

k=−∞

x[k]δ[n − k]

da cui per la linearita

y[n] =+∞

k=−∞

x[k]L δ[n − k]




e infine per l’invarianza alla traslazione

y[n] =+∞

k=−∞

x[k]h[n − k] ≡ x[n] ∗ h[n] =+∞

k=−∞

x[n − k]h[k] ≡ h[n] ∗ x[n]

che definisce la convoluzione lineare di x[n] e h[n], operazione per la quale valela proprieta commutativa.

Da questa formula, y[n] appare influenzato da tutti gli x[n] passati, presenti efuturi se h[n] = 0 per n ∈ (−∞, +∞): in generale dunque non si ha causalita.

La sequenza h[n] caratterizza completamente il sistema LTI nel dominio deltempo.

Se le sequenze da convolvere, sebbene formalmente di durata infinita, sono per onulle al di fuori di un certo intervallo finito di valori di n: x[n] = 0 per 0 ≤ n ≤N 1 − 1, h[n] = 0 per 0 ≤ n ≤ N 2 − 1, allora la somma di convoluzione ha limitifiniti e la durata effettiva di y[n] = h[n] ∗ x[n] e a sua volta finita: y[n] = 0 per0 ≤ n ≤ N 1 + N 2 − 2 (durata effettiva N 1 + N 2 − 1).

1.3.2 Esempio di convoluzione lineare

Facciamo un esempio di calcolo di una convoluzione lineare nel caso di duesequenze causali non identicamente nulle solo in 0

≤n

≤N 1

−1 = 12 e 0

≤n

≤N 2 − 1 = 4 rispettivamente.

La procedura per ottenere y[n] =+∞

k=−∞ x[k]h[n − k] e la seguente:

1. fissare un valore n = n0 del tempo discreto per il quale si desidera calcolarey[n]

2. rovesciare h[k] per ottenere h[−k] (k = 0, N 2 − 1)

3. traslare h[−k] di n0 campioni a destra (sinistra) per n0 > 0 (n0 < 0) perottenere h[n0 − k]

4. moltiplicare campione per campione x[k] per h[n0 − k] per ottenere unasequenza prodotto vn0

[k] = x[k]h[n0 − k]

5. sommare tutti i valori di vn0[k] (solo un numero finito di essi sara non

nullo) per avere y[n = n0]

6. ripetere per ogni n = n0 (solo un numero finito di valori di y[n0] saradiverso da zero).

Il campione y[n0] e nullo quando tutti i valori di vn0[k] sono nulli per quel dato

valore n0: quindi determinare la durata effettiva di y[n] equivale a determinare




0 1 2 3 4

k

h [ k ]

Figura 1.12: Esempio di calcolo di una convoluzione lineare: la sequenza h[k]

in quale intervallo di valori di n0 la sequenza vn0[k] ha tutti valori nulli. Il pro-

cedimento, nel caso della risposta all’impulso mostrata in Fig. 1.12, e illustratain Fig. 1.13. Nell’esempio, N 1 = 13 e N 2 = 5.

Dalla Fig. 1.13 si evince che tutti i termini prodotto sono nulli per n0 ≤ −1 en0 ≥ N 1 + N 2 − 1, quindi y[n] = 0 per 0 ≤ n ≤ N 1 + N 2 − 2: y[n] ha durataeffettiva pari a N 1 + N 2 − 1, come prima affermato.

All’interno di tale intervallo 0 ≤ n ≤ N 1+N 2−2 sono pero presenti dei transitoriiniziale e finale. I valori di n esenti dai transitori vanno da n0 − N 2 + 1 = 0,ossia n = n0 = N 2 − 1, a n = n0 = N 1 − 1; quindi la lunghezza totale dellaconvoluzione esente da transitori e N 1 − N 2 + 1.

I limiti finiti della

k nella convoluzione precedente hanno valori che dipendonoda n0. Infatti per un certo valore n0 di n, e con k variabile, i termini della

k

sono diversi da zero se contemporaneamente

0 ≤ k ≤ N 1 − 1

0 ≤ n − k ≤ N 2 − 1 ⇒ −N 2 + 1 ≤ k − n ≤ 0.

Possiamo riassumere le due condizioni scrivendo

max(0, n − N 2 + 1) ≤ k ≤ min(N 1 − 1, n)

per cui la somma di convoluzione assume la forma con limiti finiti

y[n] =

min(N 1−1,n)k=max(0,n−N 2+1)

x[k]h[n − k].

Nel nostro esempio, per n = n0 = 1 avremmo con N 1 = 13 e N 2 = 5 i limitimax(0, 1 − 5 + 1) = 0 e min(12, 1) = 1 per cui y[1] =

1k=0 x[k]h[n − k] =

x[0]h[1] + x[1]h[0], come illustrato in Fig. 1.14, ecc...



2

4

C A P I T O L O 1 . S E G

N A L I E S I S T E M I A T E M P O D I S C R E T O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

[ k ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h [ − 1 −

k ]

n0 = −1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h [ 9 −

k ]

n0 = 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k h [ N 1

+

N 2

−

1 −

k ]

n0 = N 1 + N 2 − 1 = 17

Figura 1.13: Esempio di calcolo di una convoluzione lineare: la sequenza x[n] (pannello superiore) e la sequea partire da diversi valori di n0. Per il calcolo di y[n0], moltiplicare ogni campione di x[n] compreso tra

campione corrispondente della sequenza rappresentata in uno dei pannelli inferiori e sommare.




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x [ k ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k

h [ 1 −

k ]

Figura 1.14: Limiti finiti della sommatoria nella convoluzione lineare dell’esem-pio precedente: caso del calcolo del campione y[n0 = 1]. I termini di prodottonon nulli si trovano tra le linee verticali rosse

1.3.3 Interconnessioni di sistemi LTI

• Sistemi LTI in cascata o in serie (Fig. 1.15, pannello a):

y[n] = (x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n]

x[n] ⇒ h1 ∗ h2 ⇒ y[n].

Vale la proprieta commutativa.

• Sistemi LTI in parallelo (Fig. 1.15, pannello b):

y[n] = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]

x[n] ⇒ h1 + h2 ⇒ y[n].

Vale la proprieta distributiva rispetto alla somma.

1.3.4 Conseguenze sulla risposta all’impulso di un sistemaLTI, derivanti dai vincoli di stabilita e causalita

1. Stabilita : imporre che |x[n]| ≤ A ≤ ∞ per ogni n dia |y[n]| ≤ BA ≤ ∞implica (condizione necessaria e sufficiente) che h[n] sia assolutamente

sommabile, ossia

S =k=+∞k=−∞

|h[k]| < ∞.




Figura 1.15: Interconnessioni di sistemi LTI in serie (a) ed in parallelo (b)

La condizione e sufficiente in quanto se S e finita, y[n] e limitato per uninput limitato:

|y[n]| = |k=+∞k=−∞

h[k]x[n − k]| =k=+∞k=−∞

|h[k]||x[n − k]|

e se

|x[n]

| ≤A allora

|y[n]

| ≤A k=+∞

k=−∞

|h[k]

|= AS , da cui si vede che

B = S non dipende dall’input x[n] ma solo da h[n].

Si puo poi mostrare che la condizione e anche necessaria perche se S = ∞si puo trovare un input limitato per il quale l’output non e limitato.

In un sistema stabile, un input di durata finita provoca sempre una rispo-sta a sua volta di durata finita, quindi transiente.

2. Causalita : imporre che y[n] per n = n0 dipenda solo da x[n] n ≤ n0 (valoripassati) implica che sia h[n] = 0 per n < 0.

Infatti

y[n0] =

k=+∞k=−∞

h[k]x[n0 − k] =

=k=−1

k=−∞

h[k]x[n0 − k] +k=+∞

k=0

h[k]x[n0 − k] =

= . . . h[−3]x[n0 + 3] + h[−2]x[n0 + 2] + h[−1]x[n0 + 1] + h[0]x[n0] +

+h[1]x[n0 − 1] + h[1]x[n0 − 1] + h[2]x[n0 − 2] + h[3]x[n0 − 3] . . .

da cui si vede chiaramente che se i valori futuri dell’input (. . . x[n0 + 3],x[n0+2] . . .) devono essere assenti in y[n0], deve valere la condizione h[n] =0 per n < 0.




La causalita porta a scrivere la convoluzione come

y[n] =+∞k=0

x[n − k]h[k] =n

k=−∞

x[k]h[n − k]

e se poi si ha pure un input causale,

y[n] =

nk=0

x[n − k]h[k] =

nk=0

x[k]h[n − k]

Se ne deduce che la somma di convoluzione e limitata tra 0 e n per unsistema causale con input causale, anche se x[n] e h[n] sono infinitamentelunghe.

Tale somma di convoluzione non e comunque realizzabile (calcolabile) inpratica, perche richiede la memorizzazione, al crescere di n, di un numeronon limitato di campioni delle sequenze x[n] e h[n].

Un sistema causale con un input causale da un output causale: infatti

...................

y[−1] = 0

y[0] = x[0]h[0]

y[1] = x[1]h[0] + x[0]h[1]

...................

1.3.5 Sistemi FIR e IIR

Consideriamo alcuni esempi di sistemi per introdurre la distinzione tra sistemiFIR (Finite Impulse Response) e IIR (Infinite Impulse Response).

• Media mobile:

h[n] =1

M 1 + M 2 + 1

+M 2k=−M 1

δ[n − k] =

1

M 1+M 2+1−M 1 ≤ n ≤ M 2

0 altrove.

Pertanto la risposta all’impulso del sistema ha lunghezza finita : si dice cheil sistema e FIR = Finite Impulse Response.

In questo caso e sempre S < ∞: un sistema FIR e sempre stabile.

Inoltre come gia sappiamo, il sistema e causale se −M 1 ≥ 0 e M 2 ≥ 0.

Si noti che in generale ogni sistema FIR non causale puo essere reso talemettendolo in cascata con un opportuno sistema ritardatore.




• Accumulatore:

h[n] =n

k=−∞

δ[k] =

1 n ≥ 00 n < 0

≡ u[n]

Pertanto la risposta all’impulso del sistema ha lunghezza infinita : si diceche il sistema e IIR = Infinite Impulse Response.

Poiche S =∞

n=0 u[n] = ∞, il sistema non e stabile.

• Tuttavia un sistema IIR puo anche essere stabile, ad esempio

h[n] = anu[n]

con |a| < 1 ha S =∞

n=0 |a|n = 11−|a|

< ∞.

Il sistema e inoltre causale, avendo h[n] = 0 per n < 0.

1.3.6 Equazioni lineari alle differenze (LCCDE)

Una importante sottoclasse di sistemi LTI e quella per cui si puo scrivere larelazione ingresso-uscita anche sotto la forma, in generale non esplicita, di unaequazione alle differenze, lineare ed a coefficienti costanti , di ordine N (equazio-

ne di recursione; nel seguito, LCCDE, acronimo di Linear Constant CoefficientsDifference Equation):

N

k=0

a′ky[n − k] =

M

r=0

b′rx[n − r].

Questa in realta non e una singola equazione ma un set di equazioni, una perogni n, in cui M e N in generale possono essere finiti o no.

Un sistema che soddisfa una LCCDE e un sistema LTI. Se i coefficienti non sonocostanti non si tratta invece di un sistema LTI.

Si noti che questa equazione in letteratura viene scritta in parecchi modi, leg-germente diversi fra loro:

1.N

k=0 aky[n − k] =M

r=0 brx[n − r]

con a0 = 1 (caso precedente);

2. idem con a0 normalizzato a 1 (v. sottosezione 1.3.8; e con riferimentoa quest’ultimo caso che per distinguere abbiamo usato apici (a′, b′) per icoefficienti nel primo caso);

3. y[n] =N

k=1 aky[n − k] +M

r=0 brx[n − r]

(a0 normalizzato a 1 come nel caso (2) ma con coefficienti ak cambiati disegno rispetto al caso (2));

4.N

k=0 aky[n − k] +M

r=0 brx[n − r] = 0

(coefficienti br cambiati di segno rispetto ai casi (1) e (2));

5. ecc...




1.3.7 Esempi di equazioni lineari alle differenze

• Accumulatore: y[n] =n

k=−∞ x[k].

Poiche y[n − 1] =n−1

k=−∞ x[k],

y[n] = y[n − 1] + x[n]

y[n] − y[n − 1] = x[n]

che e una LCCDE con N = 1, M = 0, a′0 = 1, a′1 = −1, b′0 = 1.

• Media mobile nel caso M 1 = 0, M 2 > 0 (sistema causale):

y[n] = 1M 2+1

M 2k=0 x[n − k]

che e una LCCDE con N = 0, M = M 2, a′0 = 1, b′k = 1M 2+1 con 0 ≤ k ≤M 2.

Pero lo stesso sistema puo essere rappresentato anche da una LCCDE diforma ricorsiva, cioe con N = 0:

y[n] − y[n − 1] =1

M 2 + 1

M 2

k=0

x[n − k] −M 2l=0

x[n − l − 1]

=

=1

M 2 + 1x[n] + x[n − 1] + . . . + x[n − M 2] − x[n − 1] − . . . − x[n − M 2 − 1] =

=1

M 2 + 1 x[n]

−x[n

−(M 2 + 1)]

che e una LCCDE con N = 1, M = M 2 + 1, a′0 = 1, a′1 = −1, b′0 =b′M 2+1 = 1

M 2+1e b′k = 0 altrimenti.

Questo caso illustra una proprieta generale dei sistemi LTI:

per rappresentare la relazione ingresso-uscita di un sistema LTI si puousare un numero illimitato di LCCDE distinte; uno stesso sistema puoessere posto in forma ricorsiva, oppure no.

1.3.8 Le soluzioni di una LCCDE

Abbiamo visto che per rappresentare la relazione ingresso-uscita di un sistemaLTI si puo usare un numero illimitato di LCCDE diverse.

D’altra parte, come nel caso delle equazioni differenziali lineari a coefficienticostanti che si trovano nella teoria dei sistemi analogici, anche nel caso discretouna LCCDE non identifica univocamente l’output y[n], cioe non esprime inmodo univoco la relazione ingresso-uscita di un sistema LTI.

Cio avviene perche data x[n], per y[n] esiste tutta una famiglia di soluzionidella LCCDE data: per un certo input particolare x p[n] di cui si sia trovato il




corrispondente output y p[n] soddisfacente la LCCDE, ogni

y[n] = y p[n] + yh[n],

dove yh[n] e una qualsiasi soluzione dell’omogenea associata

N k=0

a′ky[n − k] = 0,

soddisfera anch’esso la LCCDE.

La yh[n] in generale e poi un membro di una famiglia di soluzioni della forma

yh[n] =N

m=1

Amznm

dove gli Am sono N coefficienti a priori indeterminati e gli zm sono numericomplessi, radici (che per semplicita supporremo tutte distinte, cioe semplici)

del polinomio caratteristicoN

k=0 a′kzn−k.

Per vedere questo si assume che la soluzione abbia forma di potenza, cioe yh[n] =zn, e la si sostituisce nell’equazione omogenea:

N k=0

a′kzn−k = 0 = zn−N (a′0zN + a′1zN −1 + . . . + a′N −1z + a′N ).

La parte in parentesi e proprio il polinomio caratteristico, che ha grado N epossiede N radici in generale complesse zm, m = 1, N . Allora la soluzione piugenerale e

yh[n] = A1zn1 + A2zn

2 + . . . + AN znN

con coefficienti Am che sono poi da determinarsi mediante le condizioni inizialispecificate per il sistema.

Questo avendo supposto che tutte le radici fossero semplici. Se vi sono radicimultiple cambia un po’ la forma dei termini ad esse associati in yh[n], ma cisono comunque N coefficienti indeterminati.

Concludendo, possiamo affermare che una LCCDE rappresenta univocamente larelazione ingresso-uscita di un LTI solo se supponiamo di fissare la componenteomogenea adeguatamente, imponendo un qualche vincolo, col quale le condizioniiniziali (ausiliarie) dovranno essere consistenti.

Siccome i coefficienti indeterminati sono N , avremo bisogno di N condizioniausiliarie: i valori di y[n] per N valori di n, per esempio y[−1], y[−2], . . . y[−N ].Noti questi, si risolvera un set di N equazioni lineari per ottenere gli N coeffi-cienti Am; trovati questi si potra scrivere yh[n] e quindi l’output y[n] in modounivoco.

In alternativa, noti i valori iniziali di y[n], quelli successivi possono essere gene-rati univocamente per ricorrenza mediante la LCCDE, scritta ora nella forma




esplicita

y[n] = −N

k=1

a′ka′0

y[n − k] +M

r=0

b′ra′0

x[n − r] = −N

k=1

aky[n − k] +M

r=0

brx[n − r]

dove si e postoa′ka′0

= ak eb′ra′0

= br; in questa LCCDE, in generale ricorsiva, il

calcolo di y[n] coinvolge anche valori passati dell’output stesso.

Poiche siamo interessati a sistemi LTI, le condizioni ausiliarie devono essereconsistenti coi vincoli di linearita ed invarianza alla traslazione.

Cio pero non e un vincolo sufficiente per l’univocita della soluzione; ad esempio,in genere vi sono sistemi LTI sia causali, sia non causali che soddisfano la stessa

LCCDE. La causalita, allora, e in genere il vincolo scelto per rendere unica lasoluzione. Si parla in questo caso di condizioni iniziali di riposo: l’informazioneausiliaria e che se x[n] = 0 per n < n0 (e di solito si assume n0 = 0) allora anchey[n] = 0 per n < n0.

C’e un caso in cui non si ha recursione e quindi non sono richieste condizioniausiliarie: e il caso N = 0 ossia y[n] =

M k=0 bkx[n − k] che comporta che il

sistema sia FIR:

h[n] =

M k=0

bkδ[n − k] =

h[n] = bn 0 ≤ n ≤ M

h[n] = 0 altrove.

Cio non toglie che un FIR possa essere posto in forma ricorsiva (si ricordi l’e-sempio della media mobile); analogamente un sistema IIR puo essere posto informa non ricorsiva, ma allora M puo divenire infinito.

1.3.9 Esempio: dalla LCCDE alla risposta all’impulso

Facciamo un esempio di

• uso dell’equazione alle differenze per il calcolo della risposta all’impulso

•sistemi ricorsivi e non ricorsivi: uno stesso sistema LTI puo essere postoin entrambe le forme.

Consideriamo un sistema ricorsivo che esiste ed e unico: il sistema causale

y[n] − 1

2y[n − 1] = x[n] (N = 1, M = 0).

Scegliamo x[n] = δ[n], col che y[n] = h[n]:

h[n] − 1

2h[n − 1] = δ[n]




per ogni n; inoltre essendo il sistema scelto causale, h[n] = 0 per n < 0. In

particolare, in questo caso di N = 1 la condizione iniziale e h[−1] = 0. Ponendovia via n = 0, 1, 2, . . . si ha

h[0] − 1

2h[−1] = δ[0] = 1

h[1] − 1

2h[0] = δ[1] = 0 = h[1] − 1

2

da cui h[1] = 12

h[2] − 1

2h[1] = δ[2] = 0 = h[2] −

1

2

2

da cui h[2] = 122 ecc...

Si trova in generale

h[n] =

1

2

n

u[n].

Se invece prendiamo il sistema non ricorsivo

y[n] = x[n] +1

2x[n − 1] +

1

2

2

x[n − 2] + . . . +

1

2

k

x[n − k] + . . .

(N = 0, M = ∞),

con x[n] = δ[n] avremo

h[n] = δ[n]+1

2δ[n−1]+

1

2

2

δ[n−2]+. . .+

1

2

k

δ[n−k]+. . . =

12

nn ≥ 0

0 n < 0

ossia ancora una volta

h[n] =

1

2

n

u[n].

Ma se la risposta all’impulso e la stessa, i due sistemi LTI sono equivalenti (esono sistemi IIR).

Riassumendo:

• un sistema LTI che soddisfa una LCCDE e unico se e causale.

– Sistemi ricorsivi: almeno un ak = 0 con k = 0 (a0 = 1).

– Sistemi non ricorsivi: tutti gli ak = 0 con k = 0 (a0 = 1).

La distinzione riguarda il modo di scrivere la relazione ingresso-uscita enon il sistema in se; uno stesso sistema puo essere posto in forma ricorsivao non ricorsiva (ma in questo secondo caso se il sistema e IIR M puodivenire infinito).

• Definizioni basate sulla lunghezza di h[n]:




– Sistemi FIR = sistemi non ricorsivi (N = 0) con M finito.

Per essi y[n] =M

k=0 bkx[n − k] =+∞

k=−∞ h[k]x[n − k] da cui

h[k] =

bk 0 ≤ k ≤ M

0 altrove.

Un sistema FIR ha

∗ memoria finita;

∗ ordine M : l’ordine di un sistema FIR e pari al numero di cam-pioni passati dell’input che esso deve memorizzare per usarlinell’equazione alle differenze;

∗lunghezza finita M + 1.

– Sistemi IIR = sistemi ricorsivi (N = 0, M e N finiti) oppure nonricorsivi con M che puo divenire infinito.

Un sistema IIR ha

∗ memoria infinita: y[n] =+∞

k=−∞ h[k]x[n − k];

∗ ordine N : l’ordine di un sistema IIR e pari al numero di cam-pioni passati dell’output che esso deve memorizzare per usarlinell’equazione alle differenze.

1.3.10 Autovalori ed autofunzioni dei sistemi LTI

I sistemi LTI presentano autovalori ed autofunzioni.

Per vederlo prendiamo una variabile complessa z = rejω , dove r e il modulo eω la fase (angolo in radianti), e formiamo il segnale

x[n] = zn = rnejωn

che rappresenta una “spirale” nel cosiddetto piano z (Fig. 1.16) in cui e fissatoun riferimento cartesiano con la parte reale di z in ascisse e la parte immaginariadi z in ordinate. Mandiamo questo segnale in ingresso ad un sistema LTI: alloral’uscita sara

y[n] = L x[n] =+∞

k=−∞

x[n − k]h[k] =+∞

k=−∞

zn−kh[k] = zn +∞k=−∞

h[k]z−k

cioe

y[n] = znH (z)

dove

H (z) =+∞

k=−∞

h[k]z−k

rappresenta l’autovalore (complesso) corrispondente all’autofunzione zn.




Figura 1.16: Il piano z

Dato un certo z, H (z) e un numero complesso e l’espressione scritta rappresentala “ricetta” per ottenere l’output y[n] corrispondente a x[n] = zn per ogni valoredel tempo discreto.

L’espressione y[n] = znH (z) = x[n]H (z) ci dice che un segnale del tipo zn e unaautofunzione del sistema LTI, perche l’uscita corrispondente e ancora un segnaledel tipo zn, moltiplicato per il corrispondente autovalore H (z). Naturalmentela relazione scritta vale se per il valore di z considerato la serie che esprime H (z)

converge.

In generale, per ogni valore di z per cui la serie converge, la funzione H (z) ela trasformata z di h[n] (e un caso particolare di un tipo di trasformata cheesamineremo piu avanti) ed e detta funzione di trasferimento del sistema LTI .

Ammettiamo ora che H (z) converga per valori di z a modulo unitario: z = ejω .

Il luogo dei punti nel piano z tali che |z| = 1 e detto cerchio unitario (Fig. 1.17).Sul cerchio unitario, l’autofunzione e zn = ejωn , ossia un esponenziale complessoa tempo discreto con frequenza angolare ω.

Allora i valori della funzione di trasferimento H (z) sul cerchio unitario, indicati

come H (ejω ), costituiscono la risposta in frequenza del sistema LTI:

H (ejω ) =+∞

k=−∞

h[k]e−jωk

e H (ejω ), trasformata z di h[n] sul cerchio unitario, rappresenta la trasformata

di Fourier a tempo discreto (DTFT = Discrete Time Fourier Transform) di h[n](un caso particolare di un’altra trasformata esaminata in seguito).

Per una data ω, H (ejω ) e un numero complesso che descrive la variazione inampiezza e fase di un segnale esponenziale complesso a frequenza ω, quando e




elaborato da un sistema LTI.

Figura 1.17: Il cerchio unitario



Capitolo 2

Trasformate di segnali a

tempo discreto

2.1 Trasformata z

La trasformata z svolge in campo discreto il ruolo che la trasformata di Laplaceha in campo continuo: quello di permettere di rimpiazzare operazioni su segnalireali con operazioni su funzioni complesse; e uno strumento molto convenieneteperche consente di utilizzare il notevole bagaglio di teoremi della teoria dellefunzioni di variabile complessa nella soluzione di problemi di elaborazione deisegnali a tempo discreto.

Per una generica sequenza x[n], la trasformata z e definita come

X (z) =+∞

n=−∞

x[n]z−n

ed esiste per tutti i valori di z = rejω per cui la serie converge.

La X (z) e una serie di Laurent che converge in una corona circolareD

tale che

R− < |z| < R+

ed ivi rappresenta una funzione analitica, ossia una funzione continua di z do-tata di derivate di ogni ordine, anch’esse funzioni continue di z nella regione diconvergenza D (spesso indicata con l’acronimo ROC = Region of Convergence).Il raggio inferiore R− puo anche andare a zero, ed il raggio superiore R+ puoandare ad infinito. Esempi di ROC diverse sono riportati in Fig. 2.1.

Sequenze diverse possono avere la stessa X (z) con D diverse: specificando X (z)occorre specificare anche D affinche x[n] resti univocamente determinata.

36



2.1. TRASFORMATA Z 37

Figura 2.1: Esempi di regioni di convergenza della trasformata z

Esprimendo z in coordinate polari, la definizione di trasformata z diviene

X (z) = X (rejω ) =+∞

n=−∞

x[n](rejω )−n =+∞

n=−∞

x[n]r−ne−jωn

e si dimostra che tale serie converge in modo uniforme se x[n]r−n e assoluta-mente sommabile:

+∞n=−∞

|x[n]r−n

| < ∞.

Quindi la condizione di convergenza dipende solo da r, il che spiega perche laROC sia anulare centrata nell’origine nel piano z.

Si noti che:

• la definizione di X (z) comporta periodicita rispetto a ω con periodo 2π

• la condizione di convergenza implica energia finita per x[n]r−n ≡ xr[n],visto che

E =

+∞n=−∞

|xr[n]|2 ≤ +∞n=−∞

|xr[n]|2

.

La determinazione della ROC in sostanza e riconducibile allo studio di comex[n] → 0 per n → +∞ e n → −∞.

Ad esempio, se assumiamo che |x[n]| ≤ M −Rn− per n > 0 e |x[n]| ≤ M +Rn

+ pern < 0 (valore assoluto di x[n] limitato all’infinito da andamenti di potenza) eR+ > R−, allora c’e convergenza assoluta in R− < |z| < R+.

Per sequenze con |x[n]| < ∞, esaminiamo ora dei casi particolari.



38 CAPITOLO 2. TRASFORMATE DI SEGNALI A TEMPO DISCRETO

• Sequenze periodiche, x[n] = x[n + N ] (n ∈ (−∞, +∞): la trasformata z

non esiste.

• Sequenze monolatere destre, x[n] = 0 per n < n0 con n0 intero finito, percui X (z) =

+∞n=n0

x[n]z−n: D e l’esterno di un cerchio di raggio R−; sen0 ≥ 0 la sequenza e causale e si ha convergenza in z = ∞; se n0 < 0 nonsi ha convergenza in z = ∞.

Ad esempio, con n0 = 0 la sequenza e causale, x[n] = 0 per n < 0; alloraRn+ = 0 con n negativo, quindi R+ → ∞.

• Sequenze monolatere sinistre, x[n] = 0 per n > n0: per esse X (z) =n0

n=−∞ x[n]z−n =∞

n=−n0x[−n]zn. Percio D e l’interno di un cerchio

di raggio R+, con l’eccezione di z = 0 se n0 > 0.

Ad esempio, con n0 = 0, x[n] = 0 per n > 0; allora Rn− = 0 con n positivo,

quindi R− → 0.

• Sequenze bilatere: e il caso generale in cui X (z) =+∞

n=−∞ x[n]z−n =−1n=−∞ x[n]z−n +

+∞n=0 x[n]z−n di cui il primo addendo rappresenta una

sequenza monolatera sinistra con n0 = −1 ed il secondo una sequenzamonolatera destra con n0 = 0. Come illustrato nella Fig. 2.2, la primaconverge per |z| < R+ incluso z = 0 (pannello a), la seconda convergeper |z| > R− incluso z = ∞ (pannello b). Se R+ > R−, cio significaconvergenza in R− < |z| < R+.

•Sequenze di lunghezza finita, x[n] = 0 per n < n1 e n > n2 con n1, n2

interi finiti: per esse X (z) =

n2

n=n1x[n]z−n e quindi R+ → ∞, R− → 0.

Pertanto z puo assumere tutti i valori ad eccezione di z = 0 se n2 > 0e di z = ∞ se n1 < 0: si ha convergenza almeno in 0 < |z| < ∞, piu,eventualmente, z = 0 oppure z = ∞.

Figura 2.2: a) Regione di convergenza per una sequenza monolatera destra e b)regione di convergenza per una sequenza monolatera sinistra




2.1.1 Esempi di Trasformate z

• La trasformata z di δ[n] e 1:

+∞n=−∞

δ[n]z−n = δ[0]z0 = 1

per qualsiasi z.

• Consideriamo la sequenza

x[n] =

an n ≥ 0

0 n < 0

con a = costante: una sequenza causale scrivibile anche come

x[n] = anu[n].

La trasformata z e

X (z) =+∞n=0

anz−n =

=+∞n=0

(az−1)n =

=1

1 − az−1=

z

z − a

con la condizione di convergenza |az−1| < 1 ossia |z| > |a|, da cui dedu-

ciamo R− = |a|, R+ = ∞.• Consideriamo la sequenza

x[n] =

−an n < 0

0 n ≥ 0

con a = costante: una sequenza non causale scrivibile anche come

x[n] = −anu[−n − 1].

La trasformata z e

X (z) = −+∞

n=−∞

anu[−n − 1]z−n =

= −−1

n=−∞

(az−1)n = −+∞n=1

(za−1)n =

= 1 −+∞n=0

(za−1)n = 1 − 1

1 − za−1=

a − z − a

a − z=

z

z − a.

La trasformata e la stessa del caso precedente ma la ROC e diversa(Fig. 2.3): infatti la condizione di convergenza e |za−1| < 1 ossia |z| < |a|,da cui deduciamo R− = 0, R+ = |a|.Pur con la stessa trasformata, le due ROC diverse conducono a sequenzadiverse, di cui una sola causale.




Figura 2.3: a) Regione di convergenza per la sequenza monolatera causale eb) regione di convergenza per la sequenza monolatera non causale dell’esempioriportato nel testo

2.1.2 Trasformate z razionali

La trasformata z e particolarmente utile quando la somma di infiniti terminiche la definisce puo essere espressa in forma chiusa, cioe sommata ottenendouna formula matematica semplice.

La maggior parte delle trasformate z che si incontrano nella pratica sono funzionirazionali, cioe rapporti di polinomi: ogni segnale esprimibile come combinazionelineare di termini del tipo an con base in generale complessa ha una trasformataz razionale.

Non solo le trasformate z di vari segnali importanti, ma anche le funzioni ditrasferimento dei sistemi LTI a tempo discreto descritti da LCCDE sono funzionirazionali.

Le trasformate z razionali sono determinate, a meno di una costante moltipli-cativa, dai loro zeri (radici del polinomio numeratore) e dai loro poli (radici delpolinomio denominatore).

Si ricordi che un polinomio P (z) di grado p ha esattamente p radici, incluse lemolteplicita (alcune radici possono infatti essere coincidenti). Le radici sono ingenerale complesse ma, se i coefficienti del polinomio sono reali, esse appaionoin coppie complesso-coniugate: se λ e una radice di molteplicita n, anche λ∗ loe.

Per le trasformate z razionali la regione di convergenza e legata alla posizionedei poli, nel senso che la ROC non dovra contenere poli al suo interno.

La Fig. 2.4 mostra un esempio di schema di poli e zeri nel contesto del cerchio




unitario.

Figura 2.4: Esempio di schema di poli e zeri e cerchio unitario

Quali sono le ROC possibili in questo caso?

Dato un certo schema di poli e zeri di una H (z) razionale, come in Fig. 2.4,possono esserci varie scelte possibili per la ROC, ciascuna associata ad unadiversa sequenza, come illustrato in Fig. 2.5.

Naturalmente la causalita costituira un vincolo in grado di rendere unica lasoluzione: solo la sequenza monolatera destra sara causale.

2.1.3 Inversione della Trasformata z

Data una X (z) con la sua ROC D , come si risale alla sequenza x[n]?

Dal teorema integrale di Cauchy

x[n] =1

2πj C

X (z)zn−1dz

dove C e un percorso antiorario chiuso situato entro D e circondante l’originedel piano z.

Questo integrale in teoria puo essere valutato col teorema di Cauchy dei residui.

Se si limita l’attenzione al caso di interesse pratico in cui la serie che definisceX (z) assomma ad una funzione razionale, esprimibile come un rapporto di poli-nomi (e quindi, come si e visto, dotata di un numero finito di poli e zeri), si puoadottare una “tecnica di espansione in fratti semplici’, avente lo scopo di espri-mere X (z) come una combinazione lineare di termini piu facilmente invertibili,in particolare termini semplici di cui sia nota la trasformata inversa.




Figura 2.5: Regioni di convergenza associate ai poli e zeri mostrati in Fig. 2.4:a) sequenza monolatera destra, b) sequenza monolatera sinistra, c) sequenzabilatera, d) sequenza bilatera (diversa dalla precedente e l’unica che ammetteTrasformata di Fourier DTFT)

Non ci soffermiamo sull’argomento; notiamo solo che una trasformata z razionalepuo essere data sia sotto forma di rapporto di polinomi in z, sia come rapportodi polinomi in z−1, e una forma puo essere piu conveniente delll’altra ai finidell’inversione.

Per le sequenze causali, che contengono nella somma di definizione di X (z)solo potenze negative di z:

+∞n=0 x[n]z−n, la forma in z−1 e particolarmente

conveniente.

Un caso particolare in cui l’inversione e semplicissima e quello in cui X (z) edata come serie di potenze in z−1 con relativa ROC, perche allora e possibileun’inversione diretta:

+∞n=−∞

x[n]z−n =+∞

n=−∞

cnz−n

che porta a x[n] ≡ cn.

E talvolta utile espandere una X (z) data in forma chiusa in serie di potenze diz−1, cosı da poter effettuare l’inversione diretta.

Ad esempio, si consideri la trasformata z non razionale X (z) = log(1 + az−1)




con |z| > |a|.

Usando lo sviluppo in serie per log(1 + β ) valido per |β | < 1 si ottiene

X (z) =+∞n=1

(−1)n+1anz−n

n=

+∞n=−∞

x[n]z−n

che porta a concludere, per confronto diretto,

x[n] =

(−1)n+1 an

n n ≥ 1

0 n ≤ 0.

2.1.4 Trasformata z convergente sul cerchio unitario

Quando la trasformata z converge sul cerchio unitario C caratterizzato da |z| =r = 1, z = ejω (Fig. 2.6), X (z) su C diviene la Trasformata di Fourier a tempo

discreto (DTFT) di x[n]:

X (ejω ) =+∞

n=−∞

x[n]e−jωn .

Si noti che:

Figura 2.6: Il cerchio unitario C

• la x[n] e una sequenza ossia una funzione del tempo discreto mentre latrasformata e una funzione continua della variabile ω.

• X (ejω ) e periodica con periodo 2π:

X [ej(ω+2πk)] =+∞

n=−∞

x[n]e−j(ω+2πk)n =+∞

n=−∞

x[n]e−jωn e−j2πkn = X (ejω )




in quanto e−j2πkn = 1.

• X (ejω ) =

+∞n=−∞ x[n]e−jωn puo intendersi come lo sviluppo in serie di

Fourier della funzione continua X (ejω ), periodica nella variabile continuaω.

Far variare ω da −∞ a +∞ corrisponde a percorrere infinite volte il cerchiounitario (wrapping dell’asse ω).

• ejωn e ej(ω+2πk)n sono indistinguibili, quindi e ovvio che X (ejω ) debbaessere la stessa alle due frequenze; ad esempio, se si tratta della H (ejω ) diun sistema LTI, esso reagira ugualmente a due frequenze indistinguibili.

• Quando x[n] deriva da una x(t) analogica per campionamento a passocostante T c, possiamo legare le variabili frequenziali del tempo discreto (ω

e ν ) a quelle del tempo continuo (f [Hz] e Ω [rad/s]): f =Ω2π =

ω

2πT c =ν

T c .Il periodo di X (ejω ) e 2π in ω, 1 in ν , 1

T cin f , 2π

T cin Ω.

2.1.5 Proprieta della Trasformata z

Nota: qui e nel seguito indichiamo l’operazione di trasformata, che e una ope-razione reversibile, col simbolo simmetrico ⇐⇒; il contesto di volta in voltachiarisce di quale trasformata si tratti. Pertanto in questa sezione, ad esempio,⇐⇒ significa “il termine di destra e la trasformata z del termine di sinistra equello di sinistra e l’antitrasformata z del termine di destra”, ecc...

1. Linearita : date a e b costanti arbitrarie,

ax1[n] + bx2[n] ⇐⇒ aX 1(z) + bX 2(z)

e la regione di convergenza e al minimo l’intersezione delle regioni diconvergenza di X 1(z) e di X 2(z) (se la combinazione lineare e tale daintrodurre zeri che “cancellino” dei poli, la regione puo essere piu estesa).

2. Ritardo o traslazione: se y[n] = x[n − m], allora Y (z) = z−mX (z).

X (z) e Y (z) hanno la stessa regione di convergenza, salvo che per z = 0 ez = ∞. Infatti per m > 0 vengono introdotti dei poli nell’origine e deglizeri all’infinito; viceversa per m < 0.

3. Moltiplicazione per una sequenza del tipo an: dato a in generale complesso,

anx[n] ⇐⇒ X (z/a)

con regione di convergenza |a|Rx− < |z| < |a|Rx+, dove Rx− e Rx+

delimitano la regione di convergenza di X (z).

Le posizioni di poli e zeri vengono modificate di un fattore a:

• a reale (diverso da zero): compressione o espansione del piano z;

• a complesso, |a| = 1: rotazione del piano z.




4. Derivazione:

nx[n] ⇐⇒ −zdX (z)

dz

in Rx− < |z| < Rx+, eccetto la possibile cancellazione o aggiunta dellozero e dell’infinito.

5. Complesso-coniugazione:

x∗[n] ⇐⇒ X ∗(z∗)

in Rx− < |z| < Rx+.

6. Folding o rovesciamento temporale:

x[−n] ⇐⇒ X (1/z)

in 1/Rx+ < |z| < 1/Rx−.

7. Parte reale e parte immaginaria di una sequenza complessa :

ℜx[n] ⇐⇒ 1

2[X (z) + X ∗(z∗)]

ℑx[n] ⇐⇒ 1

2 j[X (z) − X ∗(z∗)]

al minimo in Rx− < |z| < Rx+.

8. Convoluzione (proprieta importantissima per la teoria dei sistemi LTI):

y[n] = x1[n] ∗ x2[x] ⇐⇒ Y (z) = X 1(z)X 2(z)

al minimo nell’intersezione delle regioni di convergenza di X 1(z) e X 2(z).

Se un polo di X 1(z) (o di X 2(z)) e cancellato da uno zero di X 2(z) (o diX 1(z)), la regione di convergenza di Y (z) puo essere piu estesa.

9. Teorema del valore iniziale: se x[n] e causale, x[0] = limz→∞ X (z).

10. Teorema del valore finale: se X (z) esiste per |z| > r e r < 1 (convergenzaanche sul cerchio unitario) allora x[n] → 0 per n → ∞.

Se X (z) e razionale ed e la trasformata z di una sequenza x[n] causale (ilche significa che X (z) converge all’esterno di un cerchio contenente tuttii suoi poli, che sono in numero finito) questa relazione e verificata se tuttii poli sono interni al cerchio unitario.

11. Teorema della convoluzione complessa : la trasformata z di un prodotto disequenze ha una forma del tipo “integrale di convoluzione” (tenuto contoche le trasformate z sono funzioni periodiche di ω con periodo 2π). Informule, data w[n] = x[n]y[n], si trova

w[n] = x[n]y[n] ⇐⇒ W (z) =1

2πj

C

X (z/v)Y (v)v−1dv




dove il percorso C , antiorario, deve essere scelto entro l’intersezione delle

regioni di convergenza di X (z/v) e Y (v); oppure, in alternativa,

w[n] = x[n]y[n] ⇐⇒ W (z) =1

2πj

C ′

X (v)Y (z/v)v−1dv

dove il percorso C ′, antiorario, deve essere scelto entro l’intersezione delleregioni di convergenza di X (v) e Y (z/v).

Scegliendo come percorso una circonferenza ed esprimendo le variabili informa polare, z = rejω , v = ρejθ , si trova

W (rejω ) =1

2π

+π

−π

X (ρejθ )Y

r

ρ

ej(ω−θ)

dθ

che rappresenta la convoluzione di X (rejω ) e Y (rejω ) come funzioni di ω,a parte i limiti di integrazione finiti. Si tratta in realta di una integrazionesu un periodo di X (z) e Y (z), che viene detta “convoluzione periodica” diX (z) con Y (z), convergente al minimo in Rx−Ry− < |z| < Rx+Ry+.

12. Relazione di Parseval per la Trasformata z:

+∞n=−∞

x[n]y∗[n] =1

2πj

C

X (v)Y ∗(1/v∗)v−1dv

dove il percorso C va scelto nell’intersezione delle regioni di convergen-za di X (v) e di Y ∗(1/v∗). Questa proprieta discende dal teorema dellaconvoluzione complessa applicato a w[n] = x[n]y∗[n].

Nel caso x[n] = y[n] la relazione esprime l’energia di x[n]:

+∞n=−∞

|x[n]|2 =1

2πj

C

X (v)X ∗(1/v∗)v−1dv.

Infine sul cerchio unitario (ammesso che su di esso vi sia convergenza) talerelazione diviene

+∞n=−∞

|x[n]|2 =1

2π

+π

−π

|X (ejω )|2dω,

che e la relazione di Parseval per la DTFT di x[n].

Quest’ultima e una relazione importante, molto utile nel seguito.

2.1.6 Funzione di trasferimento di un sistema LTI

Un sistema LTI che soddisfi ad una LCCDE di ordine finito ha una funzione ditrasferimento H (z) razionale, data da un rapporto di polinomi in z−1.

Prendiamo infatti

y[n] + a1y[n − 1] + . . . + aN y[n − N ] = b0x[n] + b1x[n − 1] + . . . + bM x[n − M ]




e trasformiamo ricordando la proprieta del ritardo:

Y (z)+a1Y (z)z−1+. . .+aN Y (z)z−N = b0X (z)+b1X (z)z−1+. . .+bM X (z)z−M

da cui

Y (z)/X (z) =b0 + b1z−1 + . . . + bM z

−M

1 + a1z−1 + . . . + aN z−N =

M r=0 brz−rN k=0 akz−k

=b(z)

a(z).

Ma per la proprieta di convoluzione della trasformata z,

y[n] = x[n] ∗ h[n] ⇐⇒ Y (z) = X (z)H (z),

quindiH (z) = Y (z)/X (z);

in conclusione,

H (z) =b0 + b1z−1 + . . . + bM z−M

1 + a1z−1 + . . . + aN z−N .

La corrispondente h[n] ha, in generale, durata infinita.

Riassumendo:

• H (z) e la trasformata z di h[n];

•H (z) e l’autovalore del sistema LTI, corrispondente all’autofunzione zn;

• H (z) e il rapporto tra la trasformata dell’uscita del sistema LTI e quelladell’ingresso, per un qualsiasi input x[n].

Commentiamo ancora quest’ultima relazione, H (z) = Y (z)/X (z).

Per derivarla dall’equazione alle differenze abbiamo assunto soltanto

• che il sistema fosse LTI

• che X (z) e Y (z) avessero ROC almeno in parte sovrapposte, per la con-vergenza di H (z).

Non abbiamo assunto che il sistema LTI fosse stabile e/o causale: in corrispon-denza di cio, dall’equazione alle differenze otteniamo H (z) ma non la sua ROCe quindi non viene univocamente determinata la sequenza h[n].

Cio e consistente col fatto che una LCCDE non identifica univocamente la rela-zione ingresso-uscita di un LTI se non in associazione con opportune condizionial contorno.

Pertanto, data una LCCDE, possono esserci per H (z) scelte diverse per la ROC,soddisfacenti il vincolo che si tratti di un anello delimitato da poli ma privo




di poli al suo interno, ed ognuna condurra ad una diversa h[n]. Se pero si

assume il vincolo di causalita, h[n] deve essere monolatera destra, quindi laROC deve estendersi all’esterno del polo piu esterno. Se si assume il vincolo distabilita, la ROC deve includere il cerchio unitario. Le due richieste non sononecessariamente compatibili: lo sono solo se tutti i poli di H (z) sono interni alcerchio unitario.

2.1.7 Sequenza di uscita di un sistema LTI

Data la funzione di trasferimento di un sistema LTI, H (z), con la sua ROC, econsiderata una sequenza di ingresso x[n], possiamo seguire, in linea di principio,diverse vie per ricavare la sequenza di uscita y[n].

1. Dominio del tempo discreto

• Convoluzione: si inverte H (z) per ottenere h[n] e poi si calcola

y[n] = x[n] ∗ h[n].

• Equazione alle differenze: dall’espressione di H (z) si deducono i valoridei coefficienti della LCCDE e da questa ricorsivamente si costruiscey[n].

2. Dominio delle trasformate

• Si trasforma x[n], ottenendo X (z). Si forma poi Y (z) = H (z)X (z) eda quest’ultima antitrasformando si ottiene y[n].

Si noti pero che mentre un sistema FIR e facilmente attuabile per via direttanel dominio del tempo tramite la convoluzione, che in quel caso implica soloaddizioni, moltiplicazioni e l’uso di un numero finito di locazioni di memoria,per un sistema IIR cio e impossibile. Si ricorrera dunque all’equazione alledifferenze (ricorsiva).

2.1.8 Strutture per la realizzazione di sistemi LTI

La relazione ingresso - uscita di un sistema LTI che obbedisca ad una LCCDEe quindi abbia una H (z) razionale (e che per l’unicita supporremo causale) eesprimibile come un algoritmo di calcolo che combini tra loro solo tre operazionifondamentali: addizione, ritardo e moltiplicazione per una costante. Tale algo-ritmo definisce la struttura interna del sistema, che viene rappresentata come undiagramma a blocchi consistente di interconnessioni di sommatori, ritardatoridi k passi temporali e moltiplicatori.

I simboli delle tre operazioni sono mostrati in Fig. 2.7. In particolare, i ritarda-tori ed i moltiplicatori sono essi stessi dei sistemi LTI “elementari” e per essi nel




Figura 2.7: Simboli dei sommatori, dei ritardatori e dei sommatori

simbolo geometrico (rettangolo, triangolo) sono inscritte le rispettive funzionidi trasferimento.

La funzione di trasferimento del moltiplicatore di un fattore a e H (z) = a.Infatti se y[n] = ax[n], posto x[n] = zn si ha y[n] = znH (z) = ax[n] = azn, dacui appunto H (z) = a.

La funzione di trasferimento del ritardatore di k passi temporali e H (z) = z−k.Infatti se y[n] = x[n − k], posto x[n] = zn si ha y[n] = znH (z) = x[n − k] =zn−k = znz−k, da cui appunto H (z) = z−k.

Per rappresentare con un diagramma a blocchi la piu generale LCCDE

y[n] = −N

k=1

aky[n − k] +M

k=0

bkx[n − k]

si introduce la sequenza ausiliaria v[n] =

M k=0 bkx[n − k], con cui si scrive

y[n] = − N k=1

aky[n − k] + v[n].

Ne risulta il diagramma mostrato in Fig. 2.8 e detto “forma diretta I”.

Questo diagramma di base puo poi essere modificato in una varieta di modi, sen-za cambiare la H (z). Ciascun riarrangiamento rappresenta un diverso algoritmocomputazionale per attuare lo stesso sistema.

Ad esempio, il precedente diagramma puo essere visto come “cascata” di duesistemi: uno che ha come input x[n] e come output v[n], l’altro che ha come




Figura 2.8: Forma diretta di tipo I

input v[n] e come output y[n]. Essendo entrambi sistemi LTI, l’ordine in cui siconsiderano puo essere invertito, per cui lo schema puo diventare quello mostratonella Fig. 2.9, dove per semplicita grafica si e posto M = N (cosa non restrittivaperche nel caso in cui sia M = N , alcuni coefficienti semplicemente sarannonulli). Il segnale w[n] nelle due catene centrali in Fig. 2.9 e lo stesso, per cuisi possono collassare le due catene in una sola: si ottiene cosı un diagramma(forma diretta II, Fig. 2.10) che ha il minimo numero di ritardi possibilie, che epari a max(N, M ). Una attuazione col numero minimo di ritardi e detta anche“in forma canonica”.

Altri riarrangiamenti possono ottenersi impiegando sottosistemi di ordine in-feriore in cascata o in parallelo. Tutte queste diverse forme corrispondono atrasformazioni lineari delle variabili nel set di equazioni che la LCCDE rappre-senta; poiche si tratta di equazioni lineari, tali trasformazioni conducono a setequivalenti.

E possibile un numero illimitato di trasformazioni!

Ognuna rappresenta una diversa struttura secondo la quale il sistema LTI pu oeffettivamente essere realizzato in software.

Si puo mostrare che ogni realizzazione di un sistema IIR deve essere ricorsiva sesi vuole avere, nella struttura, un numero finito di ritardi.




Figura 2.9: Una possibile forma in cui puo trasformarsi il diagramma precedente

Figura 2.10: Forma diretta di tipo II o forma diretta canonica




Nel caso di sistemi FIR,

y[n] =M

k=0

bkx[n − k] =M

k=0

h[k]x[n − k]

e le due forme dirette si riducono allo schema mostrato in Fig. 2.11. In al-

Figura 2.11: Forma cui si riducono le due forme dirette nel caso FIR

ternativa si possono avere forme in cui si mettono in cascata sezioni di ordine2.

Se poi la H (ejω ) del sistema considerato ha fase lineare (una caratteristica de-finita piu avanti), cio comporta, come vedremo, particolari simmetrie dei coef-ficienti h[n], col risultato che il numero di moltiplicatori puo essenzialmentedimezzarsi.

Lo studio delle strutture per la realizzazione di sistemi LTI e di interesse perchestrutture a priori equivalenti, per cio che concerne la relazione ingresso-uscita,quando i coefficienti e le variabili sono idealmente a precisione infinita (casoteorico), possono avere prestazioni molto diverse quando la precisione e limitata,come accade nelle attuazioni in software.

Infatti strutture diverse significano algoritmi software diversi, e quindi effettidiversi conseguenti alla rappresentazione con precisione finita dei coefficientih[n] ed al troncamento e/o arrotondamento nei calcoli intermedi.

Tali effetti rivestono tuttavia meno importanza per i sistemi FIR di quanto nonsucceda per i sistemi IIR, e poiche ci occuperemo quasi esclusivamente di sistemiFIR, ne tralasciamo lo studio.

2.1.9 Poli e zeri di H (z): forme alternative per H (z) razio-nali

Confrontando la condizione di stabilita di un sistema LTI,

k=+∞k=−∞

|h[k]| < ∞,




con quella che definisce la regione di convergenza di H (z),

k=+∞k=−∞

|h[k]||z−k| < ∞,

vediamo che se la regione di convergenza di H (z) comprende il cerchio unitario(|z| = 1), il sistema e stabile e vicersa.

Per un sistema causale e stabile la regione di convergenza comprende il cerchiounitario e tutto il piano z esterno a quest’ultimo, incluso z = ∞; tutti i polidi H (z) stanno entro il cerchio unitario, h[n] → 0 per n → ∞ (teorema delvalore finale) e la H (z) sul cerchio unitario, H (z)|z=ejω = H (ejω ) e la rispostain frequenza del sistema.

Gli zeri di H (z) invece possono essere ovunque.

• Si dimostra che una

H (z) =

M r=0 brz−rN k=0 akz−k

puo, ammesso che sia a0, b0 = 0, essere fattorizzata come

H (z) = A

M r=1(1 − wrz−1)N k=1(1 − pkz−1)

dove il fattore di scala A vale b0/a0. Ma poiche abbiamo posto a0 = 1,

A = b0.In questa espressione, al numeratore ciascun fattore da uno zero in z = wr

ed un polo in z = 0, a denominatore ciascun fattore da un polo in z = pk

ed uno zero in z = 0.

Se b0 = b1 = . . . = bM 1 = 0 si ha invece

H (z) = Bz−(M 1+1)

M −(M 1+1)r=1 (1 − wrz−1)N

k=1(1 − pkz−1)

dove il fattore di scala B vale bM 1+1/a0.

• Oltre a quella citata, e possibile un’altra forma di fattorizzazione, che si

ottiene esprimendo innanzi tutto H (z) come rapporto di polinomi in z,anziche in z−1 (cosa sempre possibile). Cio si realizza come segue.

Sia bM −r il primo coefficiente del numeratore b(z) di H (z), non nullo(r ≤ M ; per esempio r = M se b0 = 0). Allora, con a0 = 1,

H (z) =

zN−M (bM−rzr+...+bM )zN+a1zN−1+...+aN

N ≥ M, N − M ≥ 0,

bM−rzr+...+bMzM−N(zN+a1zN−1+...+aN )

N < M, M − N > 0.

Nel primo caso, il grado del numeratore e N − M + r con r ≤ M , quindiil grado del numeratore e ≤ N . Il grado del denominatore invece e N .




Nel secondo caso, il grado del numeratore e r ≤ M e quello del deno-

minatore e M (si noti che l’esponente M − N a denominatore e nonnegativo).

Pertanto in entrambi i casi il grado del numeratore non supera quello deldenominatore (“frazione propria”), come si addice ad un sistema causale(si ricordi che potenze positive di z sono associate ad anticipi, mentrepotenze negative sono associate a ritardi del segnale).

Se r = M (b0 = 0) i gradi del numeratore e del denominatore sono uguali(“frazione esattamente propria”), nel qual caso y[n] dipende non solo daivalori passati dell’ingresso ma anche dal valore contemporaneo x[n]; seb0 = 0 la y[n] dip ende solo dai valori passati dell’input ed il numeratore edi grado inferiore al numeratore (“frazione strettamente propria”).

L’espressione precedente viene poi opportunamente fattorizzata; ad esem-

pio, se b0 = 0, r = M , si puo scrivere H (z) come

H (z) = b0zN −M zM + (b1/b0)zM −1 + . . . + (bM /b0)

zN + a1zN −1 + . . . + aN

e quindi

H (z) = b0zN −M (z − w1)(z − w2) + . . . + (z − wM )

(z − p1)(z − p2) + . . . + (z − pN ).

In questa espressione, l’esponente N − M puo avere segno positivo onegativo o anche essere nullo.

Il fattore b0 viene spesso scritto come G (guadagno o gain): G = b0/a0 =b0 per a0 = 1.

Questa forma di H (z) viene detta forma fattorizzata o forma zero-pole-

gain .

Si ricordi che se i coefficienti sono reali, le radici wk e pk dei polinominumeratore e denominatore appaiono in coppie complesso-coniugate.

Dalla forma zero-pole-gain si vede che nel piano z, a z = 0 e z = ∞, H (z)ha M zeri e N poli, piu |N − M | zeri (se N ≥ M ) o poli (se N < M )nell’origine.

Pertanto al finito H (z) ha tanti zeri quanti sono i poli.

Cio permette di riscriverla come

H (z) = b0(z − w1)(z − w2) + . . . + (z − wL)

(z − p1)(z − p2) + . . . + (z − pL), L = max(N, M )

in cui alcuni wk e pk potranno essere nulli.

Si osservi inoltre che, naturalmente, ogni polo in z = 0 da uno zero az = ∞ ed ogni zero a z = 0 da un polo a z = ∞.

Abbiamo cosı lo schema presentato nella Tabella 2.1, dove “TOT” indicail numero totale di poli o zeri, esclusi quelli eventualmente presenti al-l’infinito. Il numero di questi ultimi e riportato in parentesi quadre, in



N ≤ M N < M z finito = 0 z = 0 [z = ∞] TOT z = 0 [z = ∞] TOT

ZERI M N − M N [M − N ] M POLI N [N

−M ] N M

−N M

Tabella 2.1: Numero di poli e zeri di H (z)




quanto come detto non rientra nel computo totale. Se non vi e alcuna

radice in comune fra numeratore e denominatore, si dice che H (z) e informa minima e il sistema non puo essere descritto da una LCCDE con N e M minori.

Dalla discussione fatta si comprende che a meno di un fattore di scala,H (z) e descritta da un diagramma di poli e zeri.

I sistemi FIR hanno N = 0 e presentano soltanto M zeri, oltre ad un polomultiplo nell’origine.

• Infine, un’altra forma talvolta usata per una H (z) razionale e quella in cuiessa viene scomposta in fratti semplici (partial fraction decomposition ).

Ad esempio, questo puo essere il punto di partenza se si desidera invertireuna H (z) razionale.

In questo caso supponiamo di partire da un rapporto di polinomi in z−1

in cui il numeratore e di grado M inferiore al grado N del denominatore.Se cosı non fosse, e fosse invece M ≥ N , si puo comunque riscrivere latrasformata come

H (z) = c0 + c1z−1 + . . . + cM −N z−(M −N ) + . . .

. . . +d0 + d1z−1 + . . . + dN −1z−(N −1)

1 + a1z−1 + . . . + aN −1z−N =

= c(z) +

d(z)

a(z) .

I coefficienti dei nuovi polinomi c(z) e d(z) possono essere ottenuti ugua-gliando i coefficienti delle potenze di z−1 in c(z)a(z) + d(z) = b(z) e risol-vendo il sistema ottenuto: si dimostra che vi e sempre un’unica soluzione.

La parte c(z), posto che sia presente, puo essere invertita direttamente; iltermine residuo viene scritto (supponiamo per semplicita che non vi sianopoli multipli) come

d(z)

a(z)=

d0 + d1z−1 + . . . + dN −1z−(N −1)

N i=1(1 − piz−1)

=N

k=1

Ak

1 − pkz−1

dove i pk sono gli zeri di a(z), cioe i poli di H (z), e gli Ak, detti “residui”di d(z)/a(z) nei poli, si trovano moltiplicando via via la relazione data perciascuno dei termini 1 − pkz−1 e poi sostituendo z = pk: si ottiene cosı

Ak =d0 p

N −1k + d1 p

N −2k + . . . + dN −1

i=k( pk − pi)

in cui i fattori del denominatore sono sicuramente tutti non nulli, avendosupposto di avere solo poli semplici.

La formula puo essere generalizzata al caso di poli multipli, anche se nellapratica tali casi sono assai rari; se r e un polo di molteplicita sr, si hanno



2.2. TRASFORMATA DI FOURIER A TEMPO DISCRETO (DTFT) 57

termini del tipo

Aj

1 − pjz−1+ Aj+1

(1 − pj z−1)2+ . . . + Aj+sr−1

(1 − pjz−1)sr.

Riassumendo, la scomposizione in fratti semplici di H (z) e

H (z) = c0 + c1z−1 + . . . + cM −N z−(M −N ) +

N k=1

Ak

1 − pkz−1

nel caso di soli poli semplici.

Sotto la forma cosı ottenuta, H (z) e immediatamente invertibile, perchele antitrasformate dei termini in gioco sono note; si ha

h[n] =M −N

i=0

ciδ[n − i] +N

k=1

Ak pnk

con n ≥ 0.

2.1.10 Sistema inverso

Dato un sistema LTI con funzione di trasferimento H (z), il sistema inverso eH i(z) tale che

G(z) = H (z)H i(z) = 1da cui

H i(z) =1

H (z).

Se x[n] e y[n] sono rispettivamente l’input e l’output del sistema H (z), alloraH i(z), con y[n] come input, restituira x[n] come output.

Se H (z) e stabile, H i(z) non lo e necessariamente: poiche i poli di H i(z) sonoevidentemente gli zeri di H (z) e viceversa, un sistema avra un inverso stabilese e solo se non solo i suoi poli ma anche i suoi zeri giacciono entro il cerchiounitario.

Naturalmente non tutti i sistemi hanno un inverso: ad esempio, un sistema deltipo “filtro passa-basso ideale” (Fig. 2.12) non ha inverso. Infatti non c’e mododi recuperare dall’output le componenti frequenziali di un segnale di ingressoche siano state completamente eliminate nel passaggio attraverso il sistema.

2.2 Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)

Esaminiamo ora piu in dettaglio la rappresentazione di segnali e sistemi neldominio della frequenza.




Abbiamo visto che i valori di z a modulo unitario, z = ejω , definiscono le sequen-

ze esponenziali complesse zn

= ejωn

, aventi la proprieta di passare attraversoun sistema LTI senza cambiare forma; l’uscita e ancora esponenziale complessaalla stessa frequenza dell’ingresso, con ampiezza e fase determinate dal sistema:

x[n] = zn||z|=1, ω=ω0⇒ y[n] = znH (z)||z|=1, ω=ω0

= ejω0nH (ejω0)

dove

• ejω0n e l’autofunzione del sistema LTI che corrisponde all’autovalore H (ejω0)

• l’insieme dei valori di H (ejω0) per tutti i possibili valori di ω0, cioe lafunzione H (ejω ), e la risposta in frequenza del sistema LTI, coincidentecon la DTFT di h[n]:

H (ejω ) = H (z)|z=ejω =+∞

n=−∞

h[n]e−jωn .

La risposta in frequenza

• esiste se il sistema e stabile

• descrive, frequenza per frequenza, la modulazione di ampiezza e di faseoperata dal sistema LTI sui segnali d’ingresso esponenziali complessi.

Passando al caso di una qualsiasi sequenza x[n], si definisce la trasformata di

Fourier a tempo discreto come

X (ejω ) =+∞

n=−∞

x[n]e−jω n

che e una quantita complessa periodica in ω con periodo 2π.

La DTFT e detta anche spettro di x[n]. Il modulo dello spettro e detto spettro

di ampiezza , la fase e detta spettro di fase.

La DTFT

•descrive la composizione di x[n] in termini di sinusoidi discrete di frequenze

angolari −π ≤ ω < π;

• esiste se x[n] e assolutamente sommabile:

+∞n=−∞

|x[n]| < ∞

e condizione sufficiente per avere convergenza uniforme della DTFT aduna funzione continua di ω, come evidente dal fatto che

|X (ejω )| =

+∞n=−∞

x[n]e−jωn

≤

+∞n=−∞

|x[n]|;




• e particolarmente utile per descrivere l’interazione di x[n] con i sistemi LTI,

a causa della proprieta degli esponenziali complessi di essere autofunzionidi tali sistemi;

• non esiste nel senso di convergenza uniforme se la ROC di X (z) non includeil cerchio unitario.

Vi sono dunque segnali e sistemi per i quali la trasformata di Fourier a tempodiscreto non converge ma la trasformata z esiste in qualche dominio (non conte-nente il cerchio unitario): un’ulteriore motivazione per introdurre la trasformataz.

La convergenza uniforme che si ha quando x[n] e assolutamente sommabile

significa che la serie converge uniformemente ad una funzione continua di ω.

Una sequenza assolutamente sommabile ha anche energia finita:

E (x) =+∞

n=−∞

|x[n]|2 ≤

+∞n=−∞

|x[n]|)2

.

Una sequenza ad energia finita puo invece non essere assolutamente sommabile.In questi casi, per avere ugualmente una rappresentazione tramite DTFT, siadottano differenti criteri di convergenza: ad esempio si accetta una convergenza

in media ad una funzione che puo avere delle discontinuita. In tal caso l’errore

quadratico medio tra la serie troncata e la funzione tendera zero al cresceredel numero di termini inclusi; nell’intorno delle discontinuita si avranno delleoscillazioni ( fenomeno di Gibbs; convergenza non uniforme).

Per le sequenze di questo tipo, esiste allora la trasformata di Fourier ma nonla trasformata z (infatti X (ejω ) non e continua e quindi non puo essere unafunzione analitica). In questo caso non e evidentemente corretto pensare allaDTFT come al valore assunto sul cerchio unitario dalla trasformata z.

Un tipico esempio e il filtro ideale passa-basso, mostrato nella Fig. 2.12, chepresenta discontinuita a ω = ±ωc.

2.2.1 Antitrasformata di Fourier

Poiche X (ejω ) e periodica, puo essere sviluppata in serie di Fourier:

X (ejω ) =+∞

n=−∞

cnejω n

con

cn =1

2π

−π

+π

X (ejω )e−jω ndω.




Figura 2.12: Risposta in frequenza H (ejω ) del filtro passa-basso ideale. Talerisposta ideale e reale (fase nulla).

Per confronto diretto con la definizione di DTFT,

X (ejω ) =+∞

n=−∞

x[n]e−jωn ,

deduciamo che x[n] = c−n e quindi

x[n] =1

2π

−π

+π

X (ejω )ejωn dω

in cui x[n] appare espressa come sovrapposizione di infiniti contributi frequen-ziali nell’intervallo −π ≤ ω < π.

Si noti che:

• la sequenza e discreta, quindi la trasformata di Fourier di x[n] contieneuna sommatoria;

• la trasformata e continua, quindi l’antitrasformata di Fourier contiene unintegrale continuo.

Si osservi inoltre che

• in ambito matematico e d’uso scrivere la trasformata con e+jωn

• in ambito ingegneristico e d’uso scrivere la trasformata con e−jωn

e questa e la convenzione normalmente seguita nella teoria dell’analisi dei se-gnali.




2.2.2 Esempio di DTFT che converge in media

Come esempio di DFT che converge in media esaminiamo il “filtro” ideale passa-basso (Fig. 2.12) definito come

H (ejω ) =

1 |ω| < ωc

0 ωc < |ω| ≤ π

che e una funzione reale, ossia ha fase nulla (non comporta alcun sfasamento tral’input e l’output del filtro). E periodica con periodo 2π e presenta discontinuitaa ω = ±ωc. La corrispondente risposta all’impulso e

h[n] =1

2π −ωc

+ωc

ejωn dω =sin(ωcn)

πn=

ωc

π

sin(ωcn)

ωc

n=

ωc

πSinc(ωcn/π)

con −∞ < n < +∞, dove si e indicato con Sinc(·) il seno cardinale, ossia lafunzione

Sinc(x) =

sin(πx)

πx se x = 0,

1 se x = 0.

La sequenza h[n] ha lunghezza infinita e non e causale; non si puo calcolarel’output ricorsivamente o non ricorsivamente; il filtro ideale passa-basso, per ilquale esiste la risposta in frequenza ma non la funzione di trasferimento, non ecomputazionalmente “realizzabile”.

La sequenza h[n] non e assolutamente sommabile:

+∞n=−∞

sin(ωcn)

πn

= ∞

e pertanto la DTFT di h[n],

H (ejω ) =+∞

n=−∞

sin(ωcn)

πne−jωn ,

non converge uniformemente per ogni ω (in corrispondenza del fatto che H (ejω )e discontinua in ω = ±ωc).

C’e pero convergenza in media, perche h[n] e sommabile al quadrato: quindiconsiderando la somma di un numero finito di termini,

H M (ejω ) ≡+M

n=−M

sin(ωcn)

πne−jωn ,

si ha che

limM →∞

+π

−π

|H (ejω ) − H M (ejω )|2dω = 0.

Tale convergenza non uniforme e caratterizzata dal fenomeno di Gibbs (Fig. 2.13).Analoghe considerazioni valgono per il passa-alto ideale (Fig. 2.14) definito da




ωc 0 +ωc +

0

1

ω H M

[ e x p ( j ω ) ]

M = 1

ωc 0 +ωc +

0

1

ω H M

[ e x p ( j ω ) ]

M = 3

ωc 0 +ωc +

0

1

ω H M

[ e x p ( j ω ) ]

M = 7

ωc 0 +ωc +

0

1

ω H M

[ e x p ( j ω ) ]

M = 19

Figura 2.13: Il fenomeno di Gibbs

H (ejω ) = 0 |ω| < ωc

1 ωc < |ω| ≤ π

Figura 2.14: Risposta in frequenza del filtro passa-alto ideale

e per gli altri filtri ideali “selettivi in frequenza”: il passa-banda ideale (Fig. 2.15)ed il ferma-banda ideale (Fig. 2.16).

2.2.3 Spettri a righe

E utile introdurre una rappresentazione di DTFT per sequenze che non sono neassolutamente sommabili, ne sommabili al quadrato.




Figura 2.15: Risposta in frequenza del filtro passa-banda ideale

Figura 2.16: Risposta in frequenza del filtro ferma-banda ideale

Si tratta di estensioni in cui si fa uso delle cosiddette funzioni generalizzate(Lighthill, 1958), di cui un esempio e la δ di Dirac.

Usando tali funzioni, il concetto di trasformata di Fourier puo essere estesorigorosamente alla classe delle sequenze esprimibili come somma di componentifrequenziali discrete

x[n] =

k

akejωkn,

con −∞ < n < +∞.

In particolare, si dimostra che x1[n] = ejω0n (esponenziale complesso di fre-quenza ω0) puo essere associata ad una trasformata di Fourier che e un trenodi impulsi periodico (Fig. 2.17, pannello a)

X 1(ejω ) =+∞

r=−∞

2πδ(ω − ω0 + 2πr)

(dove quella indicata e una delta di Dirac, funzione della variabile continua ω).

Allora ogni x[n] esprimibile come somma di componenti frequenziali discrete etrasformabile come

X (ejω ) =+∞

r=−∞

k

2πakδ(ω − ωk + 2πr).




Ogni δ in questa espressione rappresenta una singola linea spettrale a frequenza

ωk, per cui si puo dire che una sovrapposizione di segnali sinusoidali discretiproduce uno spettro “discreto” ossia a righe (Fig. 2.17, pannello b).

Figura 2.17: a) Spettro X 1(ejω ): treno di impulsi periodico; b) uno spettroX (ejω ) a righe

2.2.4 Periodicita dello spettro di x[n]

Facciamo qui delle considerazioni preliminari qualitative sulla ragione dellaperiodicita di X (ejω ).

Tale periodicita si comprende pensando ad una x[n] ottenuta per campionamen-to a passo T c costante di un segnale analogico x(t): x[n] = x(nT c) (Fig. 2.18).

Piu avanti tratteremo in dettaglio il processo del campionamento; per ora di-ciamo solo che e possibile dimostrare che

• se il campionamento e eseguito correttamente, a meno di un fattore T c latrasformata di Fourier analogica X (f ) di x(t) e la DTFT X (ejω ) di x[n]considerata su un periodo (cioe su −π ≤ ω < π) coincidono;

• il campionamento corretto risulta possibile se X (f ) e limitato in banda,ed esiste una relazione tra il limite di banda e il passo di campionamentonecessario; piu precisamente, X (f ) deve annullarsi fuori dall’intervallo− 1

2T c, + 1

2T c.




0

t

x ( t )

0

n

x [ n ]

Figura 2.18: a) Segnale analogico e b) suo campionamento a passo costante

L’intervallo di frequenze

−π ≤ ω < π

−π/T c ≤ Ω < π/T c

− 12T c

≤ f < + 12T c

include componenti di frequenza presenti nel segnale continuo d’origine, mentrela natura ripetitiva dello spettro e dovuta al processo stesso di campionamento.

Infatti il risultato di tale processo, ossia il segnale campionato, puo essere consi-derato formalmente come un segnale discreto - come fatto finora - oppure anchecome un segnale formalmente a tempo continuo, costituito da un insieme di im-pulsi scalati in ampiezza e ritardati, infinitamente stretti. D’altra parte, e notodalla teoria dei segnali analogici che piu un segnale analogico e concentrato neltempo, piu e esteso in frequenza (vedere Capitolo 3); quindi lo spettro di unsegnale infinitamente stretto nel tempo contiene contributi di tutte le frequenze.

Si comprende cosı perche X (ejω ) debba essere infinitamente esteso, anche nelcaso in cui derivi da un segnale analogico il cui spettro X (f ) e limitato fra − 1

2T c

e + 12T c

(Fig. 2.19).

2.2.5 Proprieta della DTFT

1. Linearita :ax1[n] + bx2[n] ⇐⇒ aX 1(ejω ) + bX 2(ejω )

dove a e b sono costanti arbitrarie.

2. Simmetria : le proprieta di simmetria sono importanti perche apportanosemplificazioni nei calcoli. Tralasciando per brevita il caso piu generale diuna sequenza complessa, per sequenze puramente reali si dimostra che




1

2T c0 + 1

2T c

f

X ( f )

3 2 0 + +2 +3

ω X [ e x p ( j ω ) ]

Figura 2.19: Spettri del segnale analogico e di quello campionato

• X (ejω ) = X ∗(e−jω ) (funzione coniugata simmetrica);

• ℜ[X (ejω )] e |X (ejω )| sono funzioni pari,ℑ[X (ejω )] e arg [X (ejω )] sono funzioni dispari;

pertanto ℜ[X (ejω )] e sviluppabile in serie di soli coseni e ℑ[X (ejω )]e sviluppabile in serie di soli seni:

ℜ[X (ejω )] =+∞

n=−∞

x[n]cos(ωn),

ℑ[X (ejω )] =+∞

n=−∞

x[n]sin(ωn);

• separando x[n] nelle sue parti pari e dispari, x[n] = xe[n] + xo[n], sihaxe[n] ⇐⇒ ℜ[X (ejω )],

xo[n] ⇐⇒ jℑ[X (ejω )],

dove le trasformate sono quindi, rispettivamente, puramente reale epuramente immaginaria.

3. Ritardo (proprieta che esprime il fatto che ritardando un segnale non sene altera la composizione in frequenza, ossia lo spettro di ampiezza noncambia):

y[n] = x[n − m] ⇐⇒ Y (ejω ) = e−jωm X (ejω ).




4. Folding o rovesciamento temporale:

x[−n] ⇐⇒ X (e−jω )

che e uguale, se x[n] e reale, a X ∗(ejω );

x∗[−n] ⇐⇒ X ∗e(jω).

5. Derivazione:

nx[n] ⇐⇒ jdX (ejω )

dt.


x∗[n] ⇐⇒ X ∗(e−jω ).

Se x[n] e reale, X ∗(e−jω ) = X (ejω )

⇐⇒x[n] = x∗[n] (com’e ovvio).

7. Convoluzione continua periodica :

w[n] = x[n]y[n] ⇐⇒ W (ejω ) =1

2π

+π

−π

X (ejω′

)Y [ej(ω−ω′)]dω′.

8. Convoluzione → prodotto:

y[n] = x[n] ∗ h[n] ⇐⇒ Y (ejω ) = X (ejω )H (ejω ).

9. Modulazione :ejαn x[n] ⇐⇒ X [ej(ω−α)]

(traslazione in frequenza).

10. Relazione di Parseval per la DTFT:+∞

n=−∞

x[n]y∗[n] =1

2π

+π

−π

X (ejω )Y ∗[ejω ]dω

e se x[n] = y[n]

+∞n=−∞

|x[n]|2 =1

2π

+π

−π

|X (ejω )|2dω

che esprime la conservazione dell’energia nel passaggio dal dominio deltempo a quello della frequenza e che ci sar a utile quando tratteremo lanormalizzazione spettrale.

11. Trasformata di una sequenza reale pari :

xe[n] = xe[−n] ⇐⇒ X e(ejω ) = xe[0] + 2+∞n=1

xe[n]cos(ωn)

con

arg[X e(ejω )] =

0 X e(ejω ) > 0

±π X e(ejω ) < 0

non definita X e(ejω ) = 0

e pertanto la trasformata di una sequenza reale pari e una funzione realee pari della frequenza.




12. Trasformata di una sequenza pari attorno ad un N s = 0 intero (Fig. 2.20):

x[n] = xe[n − N s] ⇐⇒ X (ejω ) = e−jωN sX e(ejω )

e ricordando che X e(ejω ) e una funzione reale e pari di ω, vediamo che

• X (ejω ) e X e(ejω ) hanno lo stesso modulo,

• arg[X (ejω )] = arg[X e(ejω)] − N sω.

Pertanto a parte i salti di ±π dovuti ai cambiamenti di segno di X e(ejω ),la fase di X (ejω ) e lineare in ω.

Questa proprieta e importante nel progetto di filtri numerici.

Analoghe proprieta valgono per N s semintero.

N s

x [ n ]

N s

x [ n ]

Figura 2.20: Segnale pari attorno ad un N s = 0 intero o semintero

13. Trasformata di una sequenza reale dispari :

xo[n] = −xo[−n] ⇐⇒ X o(ejω ) = 2 j+∞n=1

xo[n]sin(ωn)

con

|X o(ejω )| = 2

+∞

n=1

xo[n]sin(ωn)

,

arg[X o(ejω )] =

π/2 X o(ejω ) > 0

π/2 ± π X o(ejω ) < 0

non definita X o(ejω ) = 0

e pertanto la trasformata di una sequenza reale dispari e una funzioneimmaginaria e dispari della frequenza.

14. Trasformata di una sequenza dispari attorno ad un N s = 0 intero (Fig. 2.21):

x[n] = xo[n − N s] ⇐⇒ X (ejω ) = e−jωN sX o(ejω )

e ricordando X o(ejω ), funzione immaginaria e dispari di ω, vediamo che




• X (ejω ) e X o(ejω ) hanno lo stesso modulo,

• arg[X (ejω )] = arg[X o(ejω )] − N sω.

Pertanto a parte i salti di ±π dovuti ai cambiamenti di segno di X e(ejω ),la fase di X (ejω ) e lineare in ω.

Analoghe proprieta valgono per N s semintero.

N s

x [ n ]

N s

x [ n ]

Figura 2.21: Segnale dispari attorno ad un N s = 0 intero o semintero

2.2.6 La DTFT di una sequenza causale di lunghezza finita

Introduciamo qui in maniera qualitativa la Trasformata Discreta di Fourier(DFT = Discrete Fourier Transform), cui in seguito arriveremo attraverso unprocedimento piu rigoroso e che costituisce il principale strumento di analisi deisegnali discreti nel dominio della frequenza.

Un segnale discreto puo essere ricostruito, conoscendo la sua X (ejω ) ad ognifrequenza ω in (−π, +π), mediante la relazione di sintesi della DTFT.

Se pero il segnale ha durata finita : x[n] = 0 per 0 ≤ n ≤ N − 1, la conoscenzadi un numero finito di valori di X (ejω ) puo essere sufficiente, a patto di sceglierebene le ω alle quali effettuare le stime di X (ejω ).

Intuitivamente: la DTFT e una operazione lineare, quindi N valori di X (ejω )a N valori ωk di ω (con 0 ≤ k ≤ N − 1) forniscono N equazioni lineari nelle N incognite x[n] (con 0 ≤ n ≤ N −1); il sistema ha soluzione unica se la matrice deicoefficienti non e singolare. Percio se le ωk vengono scelte in modo da soddisfarequesto vincolo, i valori di x[n] possono essere calcolati univocamente.

I campioni X (ejω )|ω=ωk = X [k] costituiscono la DFT di x[n].




Risulta che una scelta opportuna delle ωk corrisponde ad una suddivisione di

(−π, +π) sul cerchio unitario in N parti uguali (Fig. 2.22):

ωk =2πk

N .

La DFT puo essere dunque vista come risultato di campionamento in frequen-

Figura 2.22: Campionamento della DTFT sul cerchio unitario: esempio conN=12

za della DTFT mediante N campioni equispaziati in frequenza nell’intervallo(

−π, +π) o, equivalentemente, in (0, 2π):

X [k] = X (ej 2πN k) =

N −1n=0

e−j 2πN kn

che rappresenta appunto il campionamento di una funzione continua di ω, pe-riodica con periodo 2π, ed e quindi una sequenza discreta come il segnale dipartenza.

La derivazione e l’interpretazione della DFT piu rigorosamente si ottengono coiseguenti passi logici:

• sequenza di lunghezza finita,

• estensione periodica della sequenza,

• Discrete Fourier Series (DFS) della sequenza periodica,

• DFT come singolo periodo estratto dalla DFS.

Tale procedimento mette in luce la fondamentale caratteristica della periodicitainsita nella DFT e le relative implicazioni nelle applicazioni pratiche.

Inoltre introducendo la DFS si viene a disporre del formalismo necessario per de-scrivere le proprieta della DFT e si comprende perche occorra prendere campioniequispaziati in frequenza.



2.3. DISCRETE FOURIER SERIES (DFS) 71

2.3 Discrete Fourier Series (DFS)

Discutiamo l’estensione periodica di una sequenza causale di lunghezza finita ela sua rappresentazione nel dominio della frequenza, che costituisce appunto laDFS.

Preso un segnale x[n] (0 ≤ n ≤ N − 1), consideriamo x p[n] ottenuta ripetendox[n] infinite volte sull’asse n senza sovrapposizioni: si tratta ovviamente di unasequenza periodica con periodo N .

La trasformata z e la trasformata di Fourier DTFT di x p[n] non esistono (ri-cordiamo infatti che le sequenze periodiche non ammettono trasformata z) mae possibile rappresentare x p[n] come Discrete Fourier Series (DFS), ossia come

sovrapposizione di N esponenziali complessi in relazione armonica fra loro.

Ricordando che nel discreto esistono solo N frequenze angolari distinte multipleintere di quella fondamentale associata alla periodicita (2π/N ), la relazione disintesi della DFS puo scriversi come

x p[n] =1

N

N −1k=0

X p[k]ej 2πN nk

(si noti la differenza rispetto al caso continuo, in cui si avrebbe una serie diinfiniti termini).

I coefficienti dello sviluppo sono ricavabili sfruttando l’ortogonalita del set degliesponenziali complessi: per m intero, si ha

1

N

N −1n=0

ej 2πN (k−r)n =

1 k − r = mN

0 altrove.

In tal modo si ottiene la relazione di analisi della DFS,

X p[k] =N −1n=0

x p[n]e−j 2πN kn.

Si ricordi che 2πN k = ωk e che x p[n] ≡ x[n] per n = 0, N − 1.

La DFS X p[k] puo essere interpretata come una sequenza di durata finita (0 ≤k ≤ N − 1) oppure come una sequenza periodica con periodo N , per k interoqualsiasi. Adottiamo la seconda interpretazione, atta ad ottenere una esattadualita fra i domini del tempo e della frequenza.

La sequenza X p[k] puo inoltre essere intesa come sequenza di campioni, presiequispaziati in angolo percorrendo infinite volte il cerchio unitario, di X (z), latrasformata z di x[n], che essendo x[n] di durata finita esiste certamente almenoper 0 < |z| < ∞.




2.3.1 Alcune proprieta della DFS

1. Linearita :ax p1[n] + bx p2[n] ⇐⇒ aX p1[k] + bX p2[k]

con a e b costanti arbitrarie.

2. Traslazione:x p[n − m] ⇐⇒ e−j 2π

N kmX p[k],

e+j 2πN klx p[n] ⇐⇒ X p[k − l].

Ogni traslazione di m2 campioni, con m2 > N , non e distinguibile da unaminore, di m1 campioni con 0 ≤ m1 ≤ N − 1, tale che m2 = m1 + rN conr intero.


x∗ p[−n] ⇐⇒ X ∗ p [−k].

4. Folding :x p[−n] ⇐⇒ X p[−k],

x∗ p[−n] ⇐⇒ X ∗ p [k].

5. Dualita :x p[n] ⇐⇒ X p[k] X p[n] ⇐⇒ Nx p[−k]

6. Simmetria : limitandoci ancora alle sole sequenze reali,

• la parte reale ed il modulo di X p[k] sono pari, la parte immaginariae la fase sono dispari;

• X p[k] = X ∗ p [−k].

7. Convoluzione periodica :

prese due sequenze x p1[n] e x p2[n] entrambe con periodo N e calcolatala loro DFS, quale sequenza corrisponde a (ossia e l’antitrasformata di)X p3[k] = X p1[k] · X p2[k]?

Si trova che

x p3[n] =N −1m=0

x p1[m]x p2[n − m] ≡ x p1[n] ⊗ x p2[n].

La sequenza x p3[n] e periodica ancora con periodo N , la sommatoria eestesa ad un solo periodo dei due fattori x p1[n] e x p2[n] ed il simbolo ⊗indica la “convoluzione periodica” delle due sequenze, la quale gode dellaproprieta commutativa.

In Fig. 2.23 e riportato un esempio di calcolo di convoluzione periodicae precisamente, per le due sequenze x p1[n] e x p2[n] di periodo N = 8 ivigraficate, il calcolo del campione x p3[2].



−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

x p 2 [ m

]

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

x p 1

[ m ]

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

x p 2 [ 2

−

m ]

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

m x p 1

[ 2 −

m ]

Figura 2.23: Esempio di convoluzione periodica: schema per il calcolo del campione n = 2 di x p3[n] = x

medesimo risultato moltiplicando tra loro campione per campione le due sequenze disegnate in verde, oppure




Il calcolo e fattibile in due modi, indicati in figura con colori diversi: nel

caso in cui si combinino le sequenze disegnate in blu, x p3[2] = 3 × 6 + 3 ×3 + 3×1 = 30, mentre nel caso in cui si combinino le sequenze disegnate inverde si arriva allo stesso valore calcolando x p3[2] = 3×3+6×3+3×1 = 30.

Analogamente sex p3[n] = x p1[n] · x p2[n]

si ha

X p3[k] =1

N

N −1l=0

X p1[l]X p2[k − l] ≡ 1

N X p1[k] ⊗ X p2[k].

2.3.2 Campionamento nel dominio della frequenza e alia-

sing nel dominio del tempo

Se x p[n] e una sovrapposizione di repliche non sovrapponentisi di una x[n] didurata finita N , X p[k] nell’intervallo 0 ≤ k ≤ N −1 rappresenta una sequenza diN campioni di X (z), presi percorrendo una volta il cerchio unitario. Ovviamentequesti sono anche campioni di X (ejω ).

Supponiamo ora di avere invece una sequenza aperiodica x[n] di lunghezza im-precisata, con DTFT X (ejω ), e di prendere un numero N fissato ad arbitrio dicampioni di X (ejω ) equispaziati in frequenza.

Consideriamo poi tali campioni come i coefficienti della DFS di una sequenzaperiodica x p[n] e calcoliamo quest’ultima tramite la relazione di sintesi dellaDFS. Che relazione esistera in generale tra x p[n] e x[n]?

Sappiamo che se x[n] ha lunghezza finita pari a N , x p[n] e una successione direpliche adiacenti di x[n] senza sovrapposizione; ma che succede se x[n] e piulunga, cioe ha lunghezza N ′ > N ?

Si dimostra che in generale

x p[n] =+∞

l=−∞

x[n + lN ]

con l intero, dove e inteso che x[·] = 0 per valori dell’indice esterni all’intervallo

chiuso (0, N ′ − 1).

Percio x p[n] e formato unendo un numero infinito di repliche di x[n] traslateogni volta di N ; se N ′ > N si ha sovrapposizione delle repliche adiacenti ela forma del segnale originario x[n] viene “corrotta”, nell’estensione periodicax p[n], dalla sovrapposizione delle code delle repliche contigue.

Questo fenomeno prende il nome di aliasing nel dominio del tempo.

Se invece N ′ ≤ N , le repliche adiacenti non si sovrappongono: se N ′ < N sonoseparate da zeri o al limite, se N ′ = N , sono giustapposte.



2.3. DISCRETE FOURIER SERIES (DFS) 75

Le Fig. 2.24, 2.25 e 2.26 mostrano, a partire da una certa sequenza di durata

N ′

= 9 (Fig. 2.24), due casi, uno senza aliasing nel tempo (N = 12, Fig. 2.25)e l’altro con aliasing nel tempo (N = 7, Fig. 2.26).

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n

x [ n ]

Figura 2.24: Sequenza x[n] con durata di N ′ = 9 campioni

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14

n

x [ n ]

Figura 2.25: Sequenza x p[n] priva di aliasing, ottenuta da x[n] della Fig. 2.24

con N = 12

Se N ′ > N , l’informazione contenuta in quegli N campioni di X (ejω ) si riveladunque insufficiente a ricostruire x[n]: sarebbero stati necessari N ′ > N cam-pioni; si e sottocampionato in frequenza e come risultato si e persa la capacita diricostruire il segnale originario. Se, e solo se, N ′ ≤ N , x[n] puo essere ricostruitaa partire da x p[n] estraendo un periodo (che e lungo N ).

Nel dominio delle trasformate, ci esprimeremo cosı: x[n] di lunghezza N ′ ≤ N puo essere rappresentata esattamente da N campioni di X (z) (ossia di X (ejω ))presi equispaziati sul cerchio unitario.




−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

n

x [ n ]

Figura 2.26: Sequenza x p[n] affetta da aliasing, ottenuta da x[n] della Fig. 2.24con N = 7

Si noti che l’aliasing nel tempo e evitabile, campionando con adeguata fittezzain ω, se e solo se la x[n] ha durata finita.

Per N ′ ≤ N , tutta la X (z), e quindi anche X (ejω ) per ogni ω, puo esserericostruita da quegli N campioni equispaziati in frequenza: non serve conoscereX (ejω ) a tutte le frequenza se la sequenza x[n] ha lunghezza finita.

Per la ricostruzione di X (z) dai suoi campioni si usa la formula di interpolazione

X (z) =1 − z−N

N

N −1k=0

X p[k]

1 − ej 2πN z−1

che per z = ejω fornisce

X (ejω ) =

N −1n=0

X p[k]Φ

ω − 2π

N k

con

Φ(ω) = e−jω N−1

2

sin(ω N 2

)

N sin( ω2

)≡ e−jω N−1

2 ΦD(ω)

dove ΦD(ω) e la funzione di Dirichlet (vedere le Fig. 2.27 e 2.28).

Ai nostri fini, questa formula di interpolazione ha importanza piu teorica chepratica.

2.4 Trasformata di Fourier Discreta (DFT)

Consideriamo una sequenza x[n] di lunghezza N , con trasformata campionatasu N punti (o anche una sequenza piu corta allungata a N con zeri). In questo



2.4. TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA (DFT) 77

π2

0 +π2

+ +3π2

+2 + 5π2

+3

0

1N = 5

ω

Φ D

( ω )

Figura 2.27: Funzione di Dirichlet nel caso N = 5. Per valori dispari di N , lafunzione ha periodo 2π.

0 + +2 +3 +4 +51

1N = 6

ω

Φ D

( ω )

Figura 2.28: Funzione di Dirichlet nel caso N = 6. Per valori pari di N , lafunzione ha periodo 4π.




caso

x p[n] =

+∞r=−∞

x[n + rN ]

e senza aliasing nel tempo e si puo scrivere

x p[n] = x[n modN ] ≡ x[[n]]N

dove n modN = n − [ nN ]N , con [ n

N ] che indica il piu grande intero ≤ nN con lo

stesso segno di nN .

Introducendo la sequenza rettangolare (Fig. 2.29)

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

n

R N

[ n ]

Figura 2.29: Sequenza rettangolare

RN [n] =

1 0 ≤ n ≤ N − 1

0 altrove

si puo scrivere l’estrazione di un periodo che restituisce x[n] come

x[n] = x p[n]RN [n]

che come richiesto da

x[n]

= 0 0 ≤ n ≤ N − 1

= 0 altrove.

Abbiamo stabilito che

x p[n] ⇐⇒ X p[k];

ora possiamo chiederci come definire una trasformata di Fourier di x[n], chesia una sequenza (scriviamola come X [k]) e non una funzione continua dellafrequenza come la DTFT. La sequenza X [k] sara la Trasformata di FourierDiscreta o Discrete Fourier Transform o DFT di x[n].




Mantenendo la dualita tempo-frequenza, si definisce X [k] estraendo un periodo

da X p[k]. Si scrive percio

X [k] = X p[k]RN [k]

la cui relazione inversa e

X p[k] = X [[k]]N .

Pertanto, riassumendo, le definizioni di DFT diretta (relazione di analisi dellaDFT) ed inversa (relazione di sintesi; antitrasformata di Fourier discreta o IDFT= Inverse Discrete Fourier Transform) sono rispettivamente

X [k] = N −1n=0 x[n]e−j 2π

N kn 0 ≤ k ≤ N − 1

0 altrove,

x[n] =

1

N

N −1k=0 X [k]e+j 2π

N kn 0 ≤ n ≤ N − 1

0 altrove.

Si tenga a mente che le sommatorie sono estese su (0, N − 1) e che in quell’in-tervallo x[n] ≡ x p[n], X [k] ≡ X p[k].

E da notare, inoltre, che:

1. come la DFS, la DFT X [k] e uguale a campioni di X (ejω ) presi equispaziati

durante un singolo giro lungo il cerchio unitario;

2. se x[n] e valutata tramite la DFT inversa per valori di n fuori dall’intervallo0 ≤ n ≤ N − 1, il risultato non sara 0 ma x p[n];

3. se X [k] e valutata tramite la DFT diretta per valori di k fuori dall’inter-vallo 0 ≤ k ≤ N − 1, il risultato non sara 0 ma X p[k].

Quindi la periodicita insita nella rappresentazione e sempre presente. Neldefinire la DFT semplicemente riconosciamo che siamo interessati ai valoridi x[n] solo per 0 ≤ n ≤ N − 1, perche x[n] in realta e nulla al di fuori ditale intervallo; e siamo interessati ai valori di X [k] solo per 0 ≤ k ≤ N −1,perche questi sono gli unici valori richiesti dalla DFT inversa.

4. DFT, IDFT sono simili e quindi uno stesso programma software puoattuarle entrambe:

DFT

X ∗[k]

N

∗=

N −1k=0

X ∗[k]

N e−j 2π

N kn

∗

=

=1

N

N −1k=0

X [k]e+j 2πN kn = IDFT X [k] ≡ x[n]

per cui se una routine, data x[n], fornisce X [k], con X∗[k]N

in input restituirax∗[n] che se x[n] e reale coincide con x[n].




5. Possiamo ora rivedere piu in dettaglio, anche se sempre qualitativamente,

il legame tra lo spettro di un segnale continuo x(t) e lo spettro del segnalea tempo discreto x[n] = x(nT c) ottenuto da x(t) per campionamento apasso costante T c (misure agli istanti tn = nT c).

Ora usiamo la DFT del segnale campionato per esprimerne le proprietaspettrali.

Ci chiediamo dunque quale sia il legame tra

X (f ) =

+∞−∞

x(t)e−j2πf tdt

(dove la trasformata e stata scritta col segno meno nell’esponente, secondola convenzione seguita in ambito ingegneristico) e X [k].

Qualitativamente,

X (f k) =

+∞−∞

x(t)e−j2πf ktdt ≈ T c

N −1n=0

x[n]e−j2πf ktn =

= T c

N −10

x[n]e−j 2πNT c

knT c = T cX [k].

Notiamo che

• a meno di un fattore T c i due spettri esprimono lo stesso contenuto;

• la DFT non dipende da T c cosı come x[n] “non conosce” T c;

• solo nel caso di x[n] ottenuta per campionamento di un segnale conti-nuo, T c e un parametro significativo che lega il caso discreto a quellocontinuo.

6. Il prendere campioni equispaziati in frequenza ha la sua ragione nellaforma della DFS (esponenziali in relazione armonica).

2.4.1 Riassunto delle relazioni di DFS e DFT

Raccogliamo qui, per uno sguardo d’insieme, le relazioni di DFS e DFT cheabbiamo scritto per una sequenza x[n] che sia diversa da zero in 0 ≤ n ≤ N − 1

e per un campiomento di X (ejω

) su N punti (assenza di aliasing nel dominiodel tempo). Si tratta di strumenti fondamentali per l’analisi dei segnali a tempodiscreto.

1. X [k] = X (ejω )|ω= 2πN k in 0 ≤ k ≤ N − 1

X [k] = 0 all’esterno dell’intervallo

2. x p[n] =+∞

m=−∞ x[n + mN ] = x[n modN ] in −∞ ≤ n ≤ +∞3. x[n] = x p[n]RN [n] in 0 ≤ n ≤ N − 1

x[n] = 0 all’esterno dell’intervallo




4. X p[k] = +∞m=−∞ X [k + mN ] = X [k modN ] in −∞ ≤ k ≤ +∞

5. X [k] = X p[k]RN [n] in 0 ≤ k ≤ N − 1


6. x p[n] = 1N

N −1k=0 X p[k]ej 2π

N kn in −∞ ≤ n ≤ +∞(DFS, sintesi)

7. x[n] = 1N

N −1k=0 X [k]ej 2π

N kn in 0 ≤ n ≤ N − 1

x[n] = 0 all’esterno dell’intervallo

(DFT, sintesi)

8. X p[k] = N −1n=0 x p[n]e−j 2π

N kn in

−∞ ≤k

≤+

∞(DFS, analisi)

9. X [k] =N −1

n=0 x[n]e−j 2πN kn in 0 ≤ k ≤ N − 1


(DFT, analisi).

Si noti che nelle relazioni n. 6 e 8, X p[k] e x p[n] possono essere sostituiti daX [k] e x[n] rispettivamente, perche le sommatorie sono estese da 0 a N − 1.

2.4.2 Esempio di relazione fra DTFT, DFS e DFT di unasequenza

Prendiamo un caso con x[n] che sia una sequenza causale reale di lunghezzafinita a simmetria pari attorno al campione n = N −1

2= 3 e generiamo la corri-

spondente sequenza periodica priva di aliasing nel tempo (si veda Fig. 2.30, incui N = 7).

Abbiamo visto che per una sequenza di lunghezza finita di questo tipo (realepari attorno ad un campione n = N s = 0), la DTFT, a parte il fattore lineare difase e−jωN s , e una funzione reale e pari della frequenza. Analoghe considerazionivalgono per la DFT e la DFS.

La Fig. 2.31 mostra X (ejω ), X [k] e X p[k] nella loro reciproca relazione.

Si puo notare come la DFT nella Fig. 2.31 dia un’immagine poco fedele dellaforma della DTFT: N = 7 campioni sono sufficienti a soddisfare i requisiti teoricima scarsi per rendere bene visivamente l’andamento della DFT.

Per migliorare la continuita visiva dei grafici si usa in effetti molto spesso unainterpolazione della DFT. In tal modo si rendono visibili piu dettagli ma nonsi ha piu informazione perche tutta l’informazione e contenuta negli N valori dix[n] di cui si dispone.




0 1 2 3 4 5 6

x [ n ]

−1 0−9 −8 −7 − 6 −5 − 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 1 3 1 4 15 16

n

x p

[ n ]

Figura 2.30: Esempio di sequenza reale causale pari di lunghezza finita N = 7e sua estensione periodica

0 +π2

+ +3π2

+2

DTFT

ω X [ e x p ( j ω ) ]

0 1 2 3 4 5 6

DFT

X [ k ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

DFS

k

X p

[ k ]

Figura 2.31: DTFT, DFT e DFS della sequenza con N = 7 mostrata in Fig. 2.30




Quel che si fa e semplicemente un infittimento del campionamento in frequenza,

ottenuto con la tecnica dell’aggiunta di zeri (padding ) al fondo della sequenzax[n].

Ad esempio, data x[n] (n = 0, N − 1) si forma

xz[n] =

x[n] n = 0, N − 1

0 n = N, 2N − 1.

La DTFT e X z(ejω ) = X (ejω ), ma xzp[n] = x p[n] e quindi anche X zp[k] = X p[k]e X z[k] = X [k]:

X z[k] = X z(ejω )|ω= 2π2N k = X (ejω )|ω= π

N k

con k = 0, 2N − 1.

Cosı il campionamento di X (ejω ) e il doppio piu fitto di prima.

Il padding e fattibile con un numero N z qualunque di zeri: se N diviene N +N z,il ∆ω fra i campioni della trasformata, originariamente pari a ∆ω = 2π

N , diviene∆ω′ = 2π

N +N z.

2.4.3 Alcune proprieta della DFT

Le proprieta della DFT si dimostrano passando attraverso le estensioni periodi-che delle varie sequenze coinvolte.

1. Linearita : se x1[n] ha durata N 1 e x2[n] ha durata N 2,

x3[n] = ax1[n] + bx2[n]

ha durata N 3 = max(N 1, N 2); calcolando tutte le DFT su almeno N 3punti (cioe allungando almeno la sequenza piu corta con zeri) si ha

X 3[k] = aX 1[k] + bX 2[k].

2. Traslazione circolare di una sequenza:quale operazione nel dominio del tempo corrisponde a moltiplicare i cam-pioni della DFT di una sequenza x[n], 0 ≤ n ≤ N − 1, per un fattore di

fase lineare, del tipo e−j 2πN km? Ossia: se X 1[k] = e−j 2π

N kmX [k], qual’e lasequenza x1[n]?

La sequenza x1[n] non corrisponde ad una traslazione lineare di x[n], edin effetti entrambe le sequenze x[n] e x1[n] sono confinate nell’interval-lo 0 ≤ n ≤ N − 1; invece x1[n] e ottenuta traslando x[n] in modo taleche quando un campione esce dall’intervallo (0, N − 1) ad una estremita,vi rientra all’altra estremita. Questo equivale a passare all’estensioneperiodica, traslare questa linearmente e poi estrarre un periodo.




Si visualizza bene l’operazione pensando alla sequenza x[n] disposta su una

superficie cilindrica, lungo una circonferenza ottenuta tagliando il cilindrocon un piano perpendicolare al suo asse. La circonferenza comprende esat-tamente N punti; x p[n] corrispondera allora a precorrere ripetutamentela circonferenza stessa; x1[n] si otterra ruotando il cilindro rispetto allaposizione precedente, assunta come riferimento.

Questa analogia geometrica riporta immediatamente alle quantita perio-diche associate alle sequenze coinvolte.

Nella Fig. 2.32 sono mostrate, dall’alto in basso, una sequenza, la suaestensione periodica, la traslazione di questa (di m = −2 nell’esempio) el’estrazione di un periodo.

0 1 2 3 4 5

x [ n ]

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x p

[ n ]

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −3 −2 −1 0 1 2 3 x p

[ n −

m ]

0 1 2 3 4 5

n

x 1 [ n ]

Figura 2.32: Passi per eseguire la traslazione circolare di una sequenza chenell’esempio e lunga N = 6

Gli stessi passi possono essere seguiti immaginando il cilindro (si vedanole Fig. 2.33 e 2.34). Nella Fig. 2.33, che e una vista assiale del cilin-dro stesso (circonferenza), e presente un cilindro interno coassiale (verde)con numeri verdi che indicano le posizioni originarie dei campioni di x[n](riferimento). Sul cilindro esterno giace la sequenza, originariamente inposizione identica al riferimento. La sequenza periodica x p[n] corrispondeal percorrere infinite volte la circonferenza.

Ora si ruoti il cilindro esterno di un angolo 2π mN rispetto al riferimento,

in verso orario ad esempio, diciamo di due posti (m = −2, Fig. 2.34): per-correndo infinite volte la circonferenza ora abbiamo x p[n − m] = x p[n + 2]e infine estraendo un periodo giungiamo alla sequenza traslata circolar-




mente,

x1[n] =

x[[n − m]]N RN [n] 0 ≤ n ≤ N − 10 altrove.

Figura 2.33: Passi per eseguire la traslazione circolare di una sequenza operandocon un cilindro: posizione iniziale della sequenza

Figura 2.34: Passi per eseguire la traslazione circolare di una sequenza (di m =−2) operando con un cilindro: posizione finale della sequenza

Analogamente si trova che se X 1[k] = X [[k − l]]N RN [k] (traslazione cir-

colare di l elementi della DFT), x1[n] = e+j 2πN lkx[n] (n = 0, N − 1).

3. Dualita : l’abbiamo gia esaminata in precedenza, nella sezione 2.4 (punton.4 della lista).

Se trasformando con la DFT una sequenza x[n] otteniamo la sequenzaX [k], che cosa otterremmo facendo la DFT della sequenza X [n] ricavatasemplicemente ribattezzando l’asse delle ascisse?




Ricordiamo che presa x p[n] = x[[n]]N , per la dualita della DFS si ha

x p[n] ⇐⇒ X p[k] e X p[n] ⇐⇒ N x p[−k]; ricordiamo inoltre che il legamecon la DFT di x[n] e X p[k] = X [[k]]N .

Consideriamo ora una sequenza fatta con i campioni della DFS di x p[n]:x p1[n] ≡ X p[n], che su un singolo periodo e x1[n] ≡ X [n].

I campioni della DFS di x p1[n] saranno X p1[k] = N x p[−k] e quindi laDFT di x1[n] sara

X 1[k] = N x p[−k]RN [k] = N x[[−k]]N RN [k].

In conclusione, se x[n] ⇐⇒ X [k] allora X [n] ⇐⇒ N x[[−k]]N RN [k] conk = (0, N − 1).

4. Simmetria : dalle proprieta di simmetria della DFS si ricavano quelle dellaDFT.

Limitandosi al caso di sequenze reali, si dimostra che

• la parte reale ed il modulo di X [k] sono pari, la parte immaginaria ela fase sono dispari;

• X [k] = X ∗[[−k]]N RN [k].

A proposito della seconda proprieta, notiamo che poiche p er k = 0, N − 1si ha [[−k]]N = N − k, si ha che per 0 ≤ k ≤ N − 1 vale

X [k] = X ∗[N − k]

e quindi|X [k]| = |X [N − k]|;

e siccome nei grafici si riportano i moduli delle trasformate, in essi c’esimmetria dei campioni attorno al punto k = N

2 , come si puo vedere inFig. 2.35 per un esempio in cui N = 8.

La Fig. 2.35 riporta nel pannello superiore |X [k]|, in quello centrale |X p[k]| =|X [[k]]N | = |X ∗[[k]]N | ed in quello inferiore |X p[−k]| = |X [[−k]]N | =|X ∗[[−k]]N |. I grafici nei due ultimi pannelli sono uguali, a causa dellasimmetria dei campioni di |X [k]| attorno al punto k = N

2= 4. E solo gra-

zie a tale simmetria che estraendo un periodo da |X p[−k]| (parte compresatra le linee rosse in figura) si riproduce

|X [k

]|.

Altre proprieta di simmetria per x[n] reale sono le seguenti:

• ℜX [k] = ℜX [[−k]]N RN [k] (essendo ℜX [k] pari),

• ℑX [k] = −ℑX [[−k]]N RN [k] (essendo ℑX [k] dispari),

• |X [k]| = |X [[−k]]N |RN [k] (essendo |X [k]| dispari),

• arg X [k] = − arg X [[−k]]N RN [k] (essendo arg X [k] dispari).

5. Teorema di Parseval per la DFT:




0 1 2 3 4 5 6 7

| X [ k ] |

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

| X p

[ k ] |

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k

| X p

[ − k ] |

Figura 2.35: Simmetria della DFT di una sequenza reale

partendo dalla definizione di X [k] si dimostra che

N −1n=0

|x[n]|2 =1

N

N −1k=0

|X [k]|2.

Si noti che il termine N a denominatore del secondo membro rappresentail numero di campioni di X [k], in quanto proviene dal ∆ω tra i campionifrequenziali. Se e stato fatto un padding di zeri, non coincidera con ilnumero di campioni della sequenza x[n]!

Per dati a media nulla, il primo membro rappresenta la varianza.

6. Convoluzione circolare di due sequenze di uguale durata finita N (as-

sunzione non restrittiva perche una o entrambe possono sempre venireallungate mediante aggiunta di zeri al fondo):

sex1[n] ⇐⇒ X 1[k]

ex2[n] ⇐⇒ X 2[k],

e se si formaX 3[k] = X 1[k] · X 2[k],

quale sequenza x3[n] si ottiene poi antitrasformando?




Si noti che essendo X 1[k] e X 2[k] ugualmente campionate in frequenza, ha

effettivamente senso scrivere il prodotto campione per campione che daorigine a X 3[k].

I calcoli mostrano che la sequenza x3[n], definita per 0 ≤ n ≤ N − 1, edata da

x3[n] = x p3[n]RN [n] =

N −1m=0

x p1[m]x p2[n − m]

RN [n] =

=

N −1m=0

x1[m] x2[[n − m]]N RN [m] ≡ x1[n]⊛ x2[n] = x2[n]⊛ x1[n].

Questa operazione, indicata dal simbolo ⊛, e detta convoluzione circolaredelle due sequenze x1[n] e x2[n] su N punti.

Per la dualita tempo-frequenza si ha anche, su N punti,

x1[n]x2[n] ⇐⇒ 1

N X 1[k]⊛X 2[k].

Nella convoluzione circolare, la seconda sequenza e “circolarmente rove-sciata nel tempo” e “traslata circolarmente nel tempo” di n posti rispettoalla prima sequenza: la convoluzione circolare e diversa dalla convoluzionelineare.

La convoluzione circolare in pratica e una convoluzione periodica, ma uti-lizzando la nozione di traslazione circolare ed eventualmente, come aiu-to alla visualizzazione, l’analogia del cilindro, non e necessario costruireeffettivamente le sequenze periodiche coinvolte.

Per capire tutti i passaggi, facciamo tuttavia un esempio di convoluzionecircolare su N punti con riferimento alle sequenze periodiche: prendiamo(Fig. 2.36, pannello a)

x1[n] = δ[n − 1] =

0 n = 0

1 n = 1

0 2 ≤ n ≤ N − 1

considerandola come una sequenza lunga N = 5 e supponiamo di voler-ne calcolare la convoluzione circolare con una sequenza x2[n] di ugualelunghezza, con la forma mostrata in Fig. 2.36, pannello b.

Costruiamo ora il campione a n = 0 di x3[n] = x1[n] ⊛ x2[n] (Fig. 2.37).Formiamo pertanto x2[[m]]N (pannello superiore) e poi x2[[0−m]]N (pan-nello inferiore); in seguito eseguiamo l’operazione x2[[0 − m]]N RN [m], chesignifica estrarre solo i campioni di x2[[0− m]]N compresi tra le linee rosseverticali in figura. Ora moltiplichiamo termine a termine la sequenza cosıottenta con x1[m] e sommiamo: otteniamo x3[0] = 5 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 +3 × 0 + 4 × 0 = 1.




0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

m

x 1 [ m ]

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

m

x 2 [ m ]

Figura 2.36: Due sequenze di cui calcolare la convoluzione circolare su N = 5punti

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

1

2

3

4

5

x 2 [ [ m ] ] N

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

1

2

3

4

5

m x 2 [ [ 0 −

m ] ] N

Figura 2.37: Passaggi per il calcolo del campione a n = 0 di x3[n] = x1[n]⊛x2[n]

Analogamente, per il campione x3[1] avremo (vedere Fig. 2.38) x3[1] = 5ecc..., fino a n = N

−1.

2.4.4 Convoluzione circolare e convoluzione lineare

Ancora riferendoci alla convoluzione circolare, per vedere bene la differenzatra questa e la convoluzione lineare facciamo un ulteriore esempio, utilizzandol’analogia del cilindro.

Si ricordi che presi x1[n] (0 ≤ n ≤ N 1 − 1) e x2[n] (0 ≤ n ≤ N 2 − 1), la




−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

1

2

3

4

5

x 2 [ [ m ] ] N

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

1

2

3

4

5

m x 2 [ [ 1 −

m ] ] N

Figura 2.38: Passaggi per il calcolo del campione a n = 1 di x3[n] = x1[n]⊛x2[n]

convoluzione lineare delle due sequenze e

x1[n] ∗ x2[n] = x′3[n] =

m2m=m1

x1[m]x2[n − m]

dove m1 e m2 sono i limiti finiti che la somma di convoluzione presenta nel casoin cui si convolvano due sequenze di durata finita (cfr. sottosezione 1.3.2).

Il prodotto che compare nella sommatoria e zero ogni volta che n < 0 oppuren > N 1 + N 2 − 2, cosı che la lunghezza di x′3[n] e N 1 + N 2 − 1.

Nel caso N 1 = N 2 = N che stiamo considerando, la convoluzione lineare e lunga2N − 1: non puo quindi coincidere con la convoluzione circolare su N punti, chee lunga N .

Prendiamo due sequenze con N = 6, uguali fra loro: x1[n] ≡ x2[n], con laforma mostrata in Fig. 2.39, e calcoliamone sia la convoluzione lineare, sia quellacircolare su N punti (quest’ultima utilizzando l’analogia del cilindro).

1. Convoluzione lineare: x′

3

[n] = x1[n]∗

x2[n].

Nella Fig. 2.40 sono rappresentate, scorrendo i pannelli dall’alto verso ilbasso:

• la prima sequenza;

• la seconda sequenza disegnata rovesciata a partire da n = 0 per ilcalcolo di x′3[0]. Un solo termine della sommatoria e diverso da zero:x′3[0] = 1 × 1 = 1;

• la seconda sequenza disegnata rovesciata a partire da n = 1 per ilcalcolo di x′3[1]. Due termini della sommatoria sono diversi da zero:x′3[1] = 1 × 1 + 1 × 1 = 2;




−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

n

x 1 [ n ] =

x 2 [ n ]

Figura 2.39: Le sequenze di esempio per il confronto fra convoluzione lineare ecircolare

• la seconda sequenza disegnata rovesciata a partire da n = 5 per ilcalcolo di x′3[5]. Sei termini della sommatoria sono diversi da zero:x′3[5] = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 = 6;

• la seconda sequenza disegnata rovesciata a partire da n = 6 per ilcalcolo di x′3[6]. Cinque termini della sommatoria sono diversi dazero: x′3[6] = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 = 5.

La forma risultante di x

′

3[n] e mostrata nella Fig. 2.41; la lunghezza e2N − 1 = 11.

2. Convoluzione circolare su N punti: x3[n] = x1[n]⊛ x2[n].

Immaginiamo due cilindri coassiali, uno per ogni sequenza.

Nella Fig. 2.42 e rappresentata, come esempio, la posizione del cilindrointerno rispetto a quello esterno, atta ad ottenere x3[2]; sono riportati ivalori degli indici. Per ottenere gli altri valori di x3[n] si fa ruotare ilcilindro interno rispetto a quello esterno.

L’analoga Fig. 2.43 riporta invece i valori dei campioni da moltiplicare fraloro. Il risultato e x3[2] = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 = 6dove i sei prodotti indicati corrispondono rispettivamente alle coppie A,

B, C, D, E e F in figura.Risulta quindi x3[2] = 6 = x′3[2] = 3 e si vede bene che cio e dovutoai termini D, E, F che sono assenti nella convoluzione lineare. E chiaroa questo punto che la differenza risiede nel fatto che nella convoluzionecircolare le code delle sequenze che escono dall’intervallo utile ad un suoestremo vi rientrano all’altro estremo, “corrompendo” cosı la convoluzionecircolare rispetto a quella lineare, che e quella di riferimento: si tratta insostanza di aliasing nel dominio del tempo, come si comprende pensandoal corrispondente campionamento in frequenza.

Infatti se il risultato della convoluzione lineare e lungo 2N − 1, deve essererappresentato da una DFT lunga 2N − 1 punti. Quest’ultima potra essere



9 2

C A P I T O L O 2 . T R A S F O R M A T

E D I S E G N A L I A T E M P O D I S C

R E T O

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0

1

x 1 [ m ]

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0

1

x 2 [ 0 −

m ]

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0

1

x 2 [ 1 −

m ]

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0

1

x 2 [ 5 −

m ]

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0

1

m

x 2 [ 6 −

m ]

Figura 2.40: Passaggi per il calcolo della convoluzione lineare delle due sequenze rettangolari




−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

1

2

3

4

5

6

n

x 3 ′ [ n ]

Figura 2.41: Risultato della convoluzione lineare delle due sequenze rettangolarimostrate sopra

Figura 2.42: Come disporre su due cilindri coassiali le sequenze x1[n] e x2[n]per ottenere il campione con n = 2 della convoluzione circolare su N = 6 punti.I numeri indicano valori dell’indice temporale m relativo alla sommatoria diconvoluzione circolare




Figura 2.43: Prodotti di valori dei campioni delle sequenze coinvolte, da eseguireper calcolare il campione a n = 2 della convoluzione circolare su N = 6 punti

vista come il prodotto termine a termine delle DFT delle singole sequenze“fattori”, se queste verranno calcolate ognuna su 2N − 1 punti.

In conclusione, la convoluzione lineare e quella circolare daranno lo stessorisultato se ogni sequenza da convolvere verra allungata con N

−1 zeri,

fino a lunghezza 2N − 1, necessaria a contenere la convoluzione lineare.

La Fig. 2.44 illustra la convoluzione circolare delle due sequenze in esame,calcolata con questo accorgimento: sia x′′3 [n] = x1[n] ⊛ x2[n] su 2N − 1punti.

Nella figura sono riportati i valori dei campioni delle sequenze ed i corri-spondenti indici (in nero). Si vede che x′′3 [2] = 3 = x′3[2] come richiesto.In questa condizione sara possibile calcolare una convoluzione lineare (chee poi quella utile nella pratica, per esempio nei filtraggi o nei calcoli dicorrelazioni tra sequenze, come vedremo in seguito) non direttamente matramite un prodotto di DFT, una trasformata per cui esistono efficienti

algoritmi di calcolo.

Si dovra:

• allungare le sequenze da convolvere con (almeno ) N − 1 zeri;

• calcolarne le DFT;

• farne il prodotto campione per campione;

• eseguire la DFT inversa del prodotto.

Se originariamente le due sequenze hanno lunghezza diversa (N 1, N 2),




Figura 2.44: Prodotti di valori dei campioni delle sequenze coinvolte, da eseguireper calcolare il campione a n = 2 della convoluzione circolare su 2N − 1 = 11punti (caso in cui la convoluzione circolare riproduce quella lineare)

bastera costruire due sequenze della stessa lunghezza M ≥ N 1 + N 2 − 1,aggiungendo a ciascuna un diverso numero di zeri.

Solo cosı X 3[k] = X 1[k]X 2[k] rappresentera la convoluzione lineare senza

aliasing nel tempo.

E ovvio, infine, che solo per sequenze di lunghezza finita si pu o calcola-re la convoluzione nel dominio della frequenza senza aliasing nel tempo.Questo e importante da tenere a mente: ad esempio la convoluzione diuna sequenza con la h[n] di un filtro IIR non e realizzabile.

2.4.5 L’algoritmo FFT (Fast Fourier Transform)

La Fast Fourier Transform e un algoritmo veloce per il calcolo della DFT; l’in-venzione di questo metodo efficiente ha reso la DFT interessante come strumentopratico di analisi delle sequenze di dati. Il primo lavoro importante sull’argo-mento risale al 1965 (Cooley, James W., e John W. Tukey, “An algorithm forthe machine calculation of complex Fourier series”, Math. Comput. 19, 297 –301, 1965).

La complessita del calcolo di una DFT su elaboratore si stima in termini dinumero di moltiplicazioni complesse da eseguire (si trascurano le addizioni).Poiche la quantita da calcolare e

N −1n=0

x[n]e−j 2πN kn




con k = 0, N − 1 e n = 0, N − 1, si devono eseguire N moltiplicazioni ×N

valori di n, per un totale di N 2

moltiplicazioni complesse, equivalenti a 4N 2

moltiplicazioni reali: per N “grande” questo puo creare problemi anche concomputers relativamente potenti.

Sfruttando le proprieta di simmetria e periodicita degli esponenziali complessisi puo aumentare l’efficienza del calcolo della DFT, riducendone la complessita:un tale modo ottimizzato di calcolare la DFT e chiamato in generale FFT (FastFourier Transform). In realta l’ottimizzazione puo essere ottenuta in piu modi,per cui esistono diverse varieta di FFT.

Come esempio esaminiamo il cosiddetto algoritmo di FFT con decimazione neltempo.

Supporremo che in input all’algoritmo vengano forniti dati in generale complessi.

Assumiamo che N sia pari (se non lo e bastera aggiungere uno zero al fondo):allora riordinando x[n] in modo tale da porre per primi tutti gli elementi diposto pari e poi tutti quelli di posto dispari, si puo esprimere la DFT originalesu N punti come combinazione lineare di 2 DFT da N/2 punti ciascuna, fatteseparatamente sugli elementi di posto pari e dispari. Il costo di combinazione edi N moltiplicazioni complesse e quindi la complessita si riduce a 2( N

2)2 + N .

Se poi N e uguale ad una potenza intera di 2, ossia N = 2ν dove ν e un intero,l’approccio precedente puo essere applicato ricorsivamente, fino ad avere unacombinazione lineare di DFT su 2 punti ciascuna.

In Fig. 2.45 vediamo, ad esempio, tutti i calcoli da eseguire per N = 8 = 23.Il calcolo e organizzato in ν = 3 stadi successivi ed in ogni stadio si devonocalcolare N/2 = 4 “farfalle”, dove con questo termine si indica l’elemento dibase dello schema, di cui un esempio e riportato in Fig. 2.46. In questi schemicompaiono, adiacenti ai vari rami del diagramma di flusso, dei “coefficienti ditrasmissione” W nN che sono potenze intere n-esime della quantita W N = e−j 2π

N .La loro presenza nel diagramma indica che passando in quel ramo, un datovalore numerico viene moltiplicato per il coefficiente specificato.

In ogni stadio m del calcolo (m = 1, ν ), a partire da una sequenza di N valori(che per m = 1 e quella di input e negli altri casi e l’uscita dello stadio preceden-te) viene generata un’altra sequenza di N valori. Nell’ultimo stadio la sequenzagenerata in uscita costituisce il risultato finale.

Per ogni stadio m possiamo indicare con X m[l] (l = 0, N − 1) la sequenza diingresso (ma solo per m = 1 questa coincidera con la sequenza originale) econ X m+1[l] (l = 0, N − 1) la sequenza di uscita (ma solo per m = ν questacoincidera con la DFT cercata).

Il calcolo di base e la generica farfalla del generico stadio m riportata in Fig. 2.47(pannello a). L’intero r puo assumere valori da 0 a N −2

2a seconda del valore di

m; p e q rappresentano valori di l nell’intervallo l = 0, N − 1.




Figura 2.45: Diagramma di flusso per il calcolo di una DFT su N = 8 punti,tramite l’algoritmo di FFT a decimazione nel tempo

Figura 2.46: Esempio di “farfalla’




Figura 2.47: a) Farfalla che richiede due moltiplicazioni complesse e b) farfallasemplificata che richiede una sola moltiplicazione complessa

Si hanno

• 2 moltiplicazioni per farfalla

• N 2 farfalle per stadio

• ν = log2(N ) stadi.

La complessita e dunque ridotta a N log2(N ) << N 2.

Risulta poi possibile un ulteriore risparmio di un fattore 2 nel numero dellemoltiplicazioni, modificando la farfalla di base in modo tale da avere un solo

coefficiente di trasmissione diverso da 1 (cosa possibile poiche W N2

N = e−j 2πN

N2 =

e−jπ =−

1).

Poiche la nuova farfalla (Fig. 2.47, pannello b) richiede soltanto una moltiplica-zione, la complessita finale e (N/2) log2 N .

Il risparmio realizzato e notevole: ad esempio con N = 1024 = 210, N 2 ≈1.05 × 106 mentre (N/2) log2 N = 1024

2× 10 ≈ 5.12 × 103.

Inoltre lo schema fa risparmiare anche sul numero di locazioni di memoria ne-cessarie. Potremmo pensare di aver bisogno di due registri di memoria, uno perl’input e l’altro per l’output di ogni stadio. Pero solo gli elementi p e q dell’inputsono richiesti per calcolare gli elementi p e q dell’output; sono quindi possibili




“calcoli sul posto”, cioe e necessario un solo set di N locazioni di memoria: ogni

sequenza in uscita ad un certo stadio ricopre le stesse locazioni di memoria cheprima ospitavano l’ingresso, ossia l’uscita dello stadio precedente.

Come gia accennato, esistono altri algoritmi di FFT, come ad esempio

• quello a decimazione in frequenza (in cui e la trasformata che viene divisain sottosequenze sempre piu corte);

• altri che sono stati studiati per N uguale ad un prodotto di fattori primi.Tali algoritmi comportano un aumento di complessita rispetto al casoN = 2ν . In tutti i casi di nostro interesse, e opportuno ricondursi aN = 2ν con un padding di zeri;

• altri specifici per x[n] reali: per una sequenza reale si puo compattarel’input in una sequenza complessa di lunghezza dimezzata che rechi nel-la parte reale i campioni di posto pari della sequenza reale originaria ein quella immaginaria i campioni di posto dispari. Usare semplicementeuna FFT per sequenze complesse ponendo in input ℑx[n] = 0 e menoefficiente;

• ecc...

2.4.6 Applicazioni della FFT

La FFT e utile per numerosissime applicazioni di elaborazione numerica deisegnali, tra cui

• calcolo della DFT di una sequenza,

• convoluzione e deconvoluzione di sequenze (la deconvoluzione e l’operazio-ne inversa alla convoluzione),

• stima dell’autocorrelazione e della cross-correlazione (v. Parte III),

• stima dello spettro di potenza di un segnale a tempo discreto di lunghezzafinita, visto come porzione di una realizzazione di un processo cauale (v.Parte III),

• ecc...

In tutti i casi di nostro interesse, la sequenza da trasformare e reale e quindi solometa della trasformata e essenziale, mentre il resto e ridondante e puo esseretrovato per simmetria, ricordando che X [k] = X ∗[N − k]. Pertanto si calcolaX [k] per k = 0, N

2e si deduce il resto per simmetria. Cio produce una ulteriore

riduzione di complessita.

Per una sequenza reale sono disponibili anche routines che calcolano i coefficientinon della trasformata esponenziale che abbiamo fin qui usato, ma di quella conseni e coseni, detta sviluppo trigonometrico discreto.




Per N pari (se non lo e aggiungiamo uno zero) lo sviluppo trigonometrico e

x[n] =1

N

a0 + (−1)naN/2 +

N/2−1k=1

ak cos

2π

N kn

+ bk sin

2π

N kn

con

a0 =

N −1n=0

x[n],

aN/2 =

N −1n=0

(−1)nx[n],

ak = 2

N −1n=0 x[n]cos

2π

N kn

= 2ℜX [k],

bk = 2

N −1n=0

x[n]sin

2π

N kn

= −2ℑX [k].



Capitolo 3

Il campionamento dei

segnali analogici

3.1 Teorema del campionamento

In questo capitolo trattiamo di segnali a tempo discreto visti come risultato dicampionamento (sampling) a passo costante di segnali analogici.

Quando si effettua il campionamento di un segnale analogico, passando da x(t)a x(nT c) = x[n], sorge il problema di definire quale T c occorra per rendererappresentativo il campionamento:

• se T c e troppo grande, si ha perdita di informazione sul dettaglio delsegnale;

• se T c e troppo piccolo, si deve immagazzinare ed elaborare un numero didati grande oltre il necessario.

Il passo di campionamento ottimale si determina mediante lo studio della rela-

zione tra la trasformata di Fourier del segnale continuo originale (“spettro” dix(t)) e quella del segnale campionato.

Il campionamento puo essere visto come una modulazione di ampiezza, in cuiun treno di impulsi

+∞i=−∞

δ(t − iT c)

si trasforma in un treno di impulsi modulati, come mostrato in Fig. 3.1.

Si noti che il segnale campionato e stato indicato come xs(t) (e non come x[n]):in questa trattazione risulta piu comodo usare il linguaggio e la notazione dei

101



102 CAPITOLO 3. IL CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI ANALOGICI

0

x ( t )

0 δ ( t −

i T c

)

0

t

x s

( t )

Figura 3.1: Il campionamento di un segnale analogico come modulazioned’ampiezza di un treno di impulsi

segnali a tempo continuo anche per gli impulsi. Pertanto ciascun impulso deltreno e una funzione continua δ di Dirac; il singolo impulso traslato δ(t − iT c)ha un’area unitaria concentrata in t = iT c. Per comodita di notazione, convieneassegnare un nome al segnale campionato visto come segnale analogico: appuntoxs(t) ≡ x(nT c). Si puo dunque scrivere il treno di impulsi modulati come

x(t)+∞

i=−∞

δ(t − iT c) = xs(t).

Passando alle trasformate di Fourier (nel dominio della frequenza continua), ilprodotto nel dominio del tempo (di x(t) col treno di impulsi) diviene una convo-luzione continua, ossia un integrale di convoluzione nel dominio della frequenza:detto ∆(f ) lo spettro del treno di impulsi, che vale

∆(f ) =1

T c

+∞i=−∞

δ

f − i

T c

,



3.1. TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO 103

si ha

X s(f ) = X (f ) ∗ ∆(f ) =

+∞

−∞

X (f − f ′)∆(f ′)df ′ =

=

+∞−∞

X (f − f ′)1

T c

+∞i=−∞

δ

f ′ − i

T c

df ′ =

=1

T c

+∞i=−∞

X

f − i

T c

,

dove l’ultimo passaggio e dovuto al fatto che lo scambio dell’integrale con lasommatoria e lecito in caso di convergenza.

Si noti come lo spettro del treno di impulsi sia ancora un treno di impulsi, questavolta nel dominio della frequenza (Fig. 3.2): cosı, a seguito del campionamento,

... 3/T c2/T c1/T c 0 1/T c 2/T c 3/T c...0

f

∆ ( f )

Figura 3.2: Spettro di un treno di impulsi

lo spettro del segnale diviene periodico.

Infatti lo spettro X (f ) del segnale analogico x(t) (Fig. 3.3), che supporremodotato di un generico limite di banda Bf :

X (f ) = 0, |f | > Bf ,

viene ripetuto infinite volte sull’asse delle frequenze ad intervalli di 1T c

[Hz],divenendo periodico in frequenza (Fig. 3.4).

Si noti che pur se formalmente X s(f ) e la trasformata di Fourier del segnale atempo continuo xs(t), essa coincide con X (ejω ) del segnale campionato intesocome una sequenza x[n]. L’unica differenza e che quest’ultima trasformata efunzione di ω (oppure di ν ) mentre la prima e funzione di f (o di Ω), percui nelle rappresentazioni grafiche i rispettivi assi delle ascisse (in f e ω) sonoscalati l’uno rispetto all’altro secondo 2πT cf = T cΩ = ω (Fig. 3.5). Questoscaling o normalizzazione in frequenza (il quale fa sı che f c = 1

T cdivenga ν c = 1




Bf 0 Bf 0

1

X ( f )

Figura 3.3: Spettro del segnale analogico

1/T c 1/(2T c) 0 1/(2T c) 1/T c0

1/T c

X s

( f )

Figura 3.4: Spettro del segnale campionato

o ωc = 2π) e la controparte del fatto che esiste una normalizzazione nel tempofra xs(t) e x[n]: infatti xs(t) ha i campioni separati di T c mentre x[n] li haseparati di 1; l’asse temporale e normalizzato per un fattore T c, cosı come neldominio della frequenza (intesa come f [Hz] nel caso analogico) l’asse delle ascissee normalizzato per un fattore f c = 1

T c.



3.1. TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO 105

2Bf T c 0 2Bf T c 0

1/T c

X [ e x p ( j ω ) ]

Figura 3.5: Spettro del segnale campionato rappresentato come X (ejω )

Quanto affermato si vede coi seguenti passaggi:

X s(f ) =

+∞−∞

xs(t)e−j2πf tdt =

=

+∞−∞

x(t)

+∞i=−∞

δ(t − iT c)

e−j2πf tdt =

= +∞−∞

+∞i=−∞

x(iT c)δ(t − iT c)

e−j2πf tdt =

=+∞

i=−∞

x(iT c)

+∞−∞

δ(t − iT c)e−j2πf tdt =

=+∞

i=−∞

x(iT c)e−j2πf (iT c)dt =

=+∞

i=−∞

x[i]e−jωi ≡ X (ejω ).

Se il segnale campionato deve rappresentare bene quello di partenza, le ripe-tizioni adiacenti degli spettri X (f ) non debbono sovrapposrsi: cioe non deveaccadere quanto rappresentato in Fig. 3.6.

Una situazione come quella della Fig. 3.6 e detta “aliasing nel dominio dellafrequenza”.

Chiamiamo “frequenza di Nyquist” la quantita

f Ny =1

2T c.




1/T c

1/(2T c) 0 1/(2T c) 1/T c

0

1/T c

X s

( f )

f a f b

Figura 3.6: Un caso in cui le ripetizioni adiacenti degli spettri di X (f ) si so-vrappongono parzialmente: nella zona di sovrapposizione lo spettro diviene parialla somma delle due “code” sovrapposte (linea rossa tratteggiata) ed e quin-di corrotto rispetto alla forma dello spettro vero. Sull’asse delle ascisse, 1

2T crappresenta la frequenza di Nyquist f N y

Come si vede dalla figura, in presenza di aliasing una certa frequenza f a del-lo spettro “vero” che si trovi all’esterno dell’intervallo (−f Ny , +f Ny ) diviene“alias” di (ossia indistinguibile da) un’altra frequenza f b appartenente all’inter-vallo (−f N y, +f N y).

Perche non si verifichi l’aliasing in frequenza e richiesto che il limite di bandaBf del segnale sia finito e che valga la relazione (detta “criterio di Nyquist”)

Bf <1

2T c≡ f N y

cioe

T c <1

2Bf .

Quanto esposto e il contenuto del cosiddetto Teorema del campionamento (Ny-quist, 1928; Shannon, 1949) 1 che si enuncia come segue: un segnale continuoche non contenga frequenze

|f |

> Bf puo, in linea di principio, essere ricostruitoa partire dalla sua versione campionata, se T c < 1

2Bf.

La frequenza di Nyquist e dunque la meta della minima frequenza di campio-namento f c = 1

T catta ad evitare l’aliasing; in altri termini, per evitarlo occor-

re prendere al minimo due campioni per ogni periodo T min della componentefrequenziale a frequenza piu alta Bf = 1

T minpresente nei dati: T min/T c > 2.

1Il Teorema del campionamento e noto come Teorema di Nyquist, ma poiche fu anche

formulato indipendentemente da E. T. Whittaker, da Vladimir Kotelnikov e da altri autori,

e pure noto come Teorema di Nyquist - Shannon - Kotelnikov, Whittaker - Shannon - Kotel-

nikov, Whittaker - Nyquist - Kotelnikov - Shannon, Whittaker - Kotelnikov - Shannon, etc.,

nonche come Teorema Cardinale della Teoria dell’Interpolazione.



3.2. RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE CONTINUO 107

L’aliasing nel dominio della frequenza e dunque evitabile se e solo se il segnale

ha banda limitata; cio e analogo al caso dell’aliasing nel dominio del tempo, chepuo essere evitato se e solo se la sequenza x[n], della quale si campiona la DTFTX (ejω ), e di durata finita.

Se un segnale a banda limitata viene campionato senza aliasing, con T c < 12Bf

, la

forma della trasformata di Fourier del segnale campionato nell’intervallo f N y ≤f < f N y sara identica a quella della trasformata di Fourier del segnale analogicooriginario, salvo la moltiplicazione dell’asse delle ordinate per 1

T c.

Quest’ultimo fatto si capisce ricordando che X s(f ) = 1T c

+∞i=−∞ X

f − i

T c

.

Poiche nel caso discreto usiamo ω = 2πν = 2πf T c = ΩT c oppure ν = f T c come

variabile frequenziale, si potra inoltre sostituire l’asse delle frequenze f con unasse ω oppure ν ; l’intervallo di interesse sara −π ≤ ω < π , o −0.5 ≤ ν < 0.5.

Prima di proseguire, esaminiamo esplicitamente il caso della sinusoide border-line, ossia il caso di una sinusoide data da

x(t) = cos(2πf 0t − φ0)

campionata esattamente con un T c = 12f 0

. Si ha aliasing?

• φ0 = 0: x[n] = cos(πn) = (−1)n e quindi sembra non esserci aliasing,ma...

• φ0 = π2

: x[n] = sin(πn) = 0 e quindi vi e aliasing.

Ne deduciamo che non e permesso campionare a frequenza 1T c

= 2f 0.

D’altra parte, poiche lo spettro di x(t) contiene una δ di Dirac a f = ±f 0,campionare a T c = 1

2f 0vıola il teorema di Nyquist.

3.2 Ricostruzione del segnale continuo

Sia ora T c il massimo periodo di campionamento che soddisfa il criterio diNyquist.

Per ricostruire in linea di principio il segnale continuo x(t) a partire dai suoicampioni xs(t) ≡ x[n] occorre un filtro analogico che trasmetta equamente tuttele componenti di X s(f ) in − 1

2T c≤ f < 1

2T ce scarti le altre.

Possiamo immaginare un sistema LTI analogico selettivo in frequenza comequello mostrato in Fig. 3.7, ossia una H (f ) ideale del tipo “porta rettangolare”che in quanto ideale sara reale (ossia non comportera nessun sfasamento tra ilsegnale di input e quello di output).




Il valore richiesto in banda passante e T c, per “compensare” il fattore 1T c

presente

nell’espressione di X s(f ).

1/(2T c) 0 +1/(2T c)0

T c

f

H ( f )

Figura 3.7: Filtro analogico ideale di ricostruzione: risposta in frequenza

La risposta all’impulso di un tale filtro analogico ideale di ricostruzione e

h(t) =

+∞−∞

H (f )ej2πf tdf =

= + 1

2T c

−

1

2T c

T cej2πf tdf =

= T c1

2πj t

ej2π 1

2T ct − e−j2π 1

2T c

=

= T c1

2πj t2 j sin

π

t

T c

≡

≡ Sinc

t

T c

=

sin(π tT c

)

π tT c

.

La funzione Sinc

tT c

e mostrata in Fig. 3.8, da cui si vede che essa passa per

lo zero ogni T c secondi.

Il segnale continuo ricostruito e dato da una convoluzione in campo continuo:

x(t) = xs(t) ∗ h(t) =

+∞−∞

xs(t′)h(t − t′)dt′ =

+∞−∞

xs(t′)sin

π t−t′

T c

π t−t′

T c

dt′.

La trattazione puo essere svolta anche in termini del segnale a tempo discretox[n] = x(nT c), anziche di xs(t), nel qual caso si trova

x(t) =+∞

n=−∞

x[n]sin

π t−nT c

T c

π t−nT c

T c

=+∞

n=−∞

x[n]Sinc

t − nT c

T c

.



3.2. RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE CONTINUO 109

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T c

h ( t )

Figura 3.8: Filtro analogico ideale di ricostruzione: risposta all’impulso

Dalle formule precedenti si vede che ciascun elemento del segnale campionatoproduce in output al filtro di ricostruzione una versione “pesata” del Sinc(t/T c).

Pertanto il valore di x(t) che si ottiene, per ricostruzione, in corrispondenzadi ogni t = nT c non e influenzato dai campioni adiacenti, perche h(t) passaper lo zero ad ogni multiplo di T c: dovendo essere x(nT c) = xs(nT c), la formad’onda ricostruita deve passare per tali punti e non lo farebbe se i contributi dei

campioni adiacenti non fossero nulli.

Un filtro ideale di questo tipo non e realizzabile; si puo al piu approssimarlo conun filtro meno squadrato, a fase lineare (con un output un po’ ritardato rispettoall’input), qualitativamente simile a quello di Fig. 3.9.

1/(2T c) 0 +1/(2T c)0

T c

f

| H ( f ) |

Figura 3.9: Modulo della risposta in frequenza di un filtro analogico diricostruzione realizzabile




Meglio ancora, si otterra un output piu somigliante a x(t) se si adottera una fre-

quenza di campionamento leggermente ridondante, ossia un T c < T c,max (doveT c,max e il massimo che soddisfa il criterio di Nyquist).

1/T c 0 1/T c0

1/T c

X s

( f )

Figura 3.10: Un caso di ricostruzione con un filtro realizzabile, in cui tra leripetizioni spettrali adiacenti resta una banda vuota che minimizza gli effetti delfatto che il filtro non e squadrato come quello ideale. Il modulo della risposta infrequenza del filtro (linea blu tratteggiata) e disegnata in unita arbitrarie. Lelinee verticali verdi delimitano le bande di sicurezza vuote

Infatti, come mostrato in Fig. 3.10, in questo caso rimane tra le ripetizionispettrali adiacenti una banda “di sicurezza” vuota (compresa tra le linee verdiin figura) cosı che il modulo della risposta in frequenza del filtro resta vicinaad 1 nella zona di interesse e discende praticamente a zero in corrispondenzadelle ripetizioni spettrali adiacenti, nonostante la presenza di una transizionerelativamente lenta da 1 a 0 di |H (f )| del filtro realizzabile.

3.3 Aliasing e filtro anti-aliasing

Se x(t) non e limitato in banda, cioe se il suo spettro non va a zero per |f | = Bf

con Bf finito, non si puo evitare l’aliasing, almeno non dopo aver campionato:tutte le volte che si campiona e poi si ricostruisce un segnale a banda illimitatasi ha aliasing.

Infatti il contenuto di informazione di un segnale privo di limite finito di bandanon puo essere catturato da un campionamento fatto a velocita finita. Conside-rando che tutti i segnali analogici limitati nel tempo sono illimitati in frequenza(v. sezione 3.5), il problema appare a prima vista insormontabile. In realta,nella pratica basta che entro un certo Bf cada “la maggior parte” dell’energiadel segnale.



3.3. ALIASING E FILTRO ANTI-ALIASING 111

Possiamo dunque superare il problema dell’aliasing soltanto:

• conoscendo il limite naturale di banda del segnale (anche nel senso appros-simato sopra indicato) e scegliendo correttamente T c in base al criterio diNyquist;

• imponendo un limite di banda, filtrando x(t) con un filtro analogico passa-basso prima di campionare (se cio e sperimentalmente possibile) e sceglien-do T c di conseguenza. L’errore di troncamento in frequenza risulta minoredell’errore causato dall’aliasing. Il filtro anti-aliasing analogico e ugualeal filtro di ricostruzione prima descritto.

Nella pratica si usera un fattore di sicurezza, scegliendo un T c di un 10%almeno piu basso di quello richiesto dal criterio di Nyquist.

Quando un segnale giunge nelle nostre mani gia campionato, per vedere seil campionamento e stato ben fatto guarderemo la forma dello spettro X s(f )nell’intervallo “di ricostruzione” (−f N y, +f N y): lo spettro tende a zero per |f | →f Ny ?

Se non e cosı e probabile che le componenti del segnale di frequenza |f | >f Ny siano state “riflesse” sull’intervallo principale. Questa e una situazionemolto comune: il rumore, tipicamente di alta frequenza, appiattisce lo spettroin vicinanza di f N y.

Facciamo ora un esempio di segnale sottocampionato. Gli effetti sono chiari

utilizzando un segnale sinusoidale, ossia una singola componente frequenzialeche appare nello spettro come una riga.

In Fig. 3.11, le due frecce continue blu descrivono lo spettro “vero” di un segnaleanalogico sinusoidale x(t) = sin(2πf 1t) con f 1= 5.5 kHz.

Se si sottocampiona, adottando un T c tale che f c = 1T c

= 8 kHz, la frequenza diNyquist assume un valore di 4 kHz, cosı che f 1 > f N y: f 1 e esterna alla bandadi ricostruzione e quindi non puo essere “vista”.

Il segnale apparira invece come una sinusoide ad una frequenza ±f 0 interna al-l’intervallo (−f Ny , +f Ny ), a causa dell’aliasing (si osservino le frecce tratteggia-te verde e rossa entro l’intervallo fondamentale, generate rispettivamente dalla

prima ripetizione dello spettro a destra, sul semiasse positivo delle frequenze,e dalla prima a sinista, sul semiasse negativo). Sottocampionando, quindi, ledue righe “vere” vengono eliminate e si generano nella banda (−f Ny , +f Ny ) duerighe false derivanti dalla periodicizzazione spettrale.

La frequenza f 0 vale 1T c

− f 1 = 8 - 5.5 = 2.5 kHz. In altri termini, f 1 = 1T c

− f 0e “alias” della frequenza f 0 compresa nell’intervallo fondamentale.

La prima ripetizione dello spettro sul semiasse positivo (frecce tratteggiate ver-di) non da solo la riga a 2.5 kHz, ma anche una seconda riga a 1

T c+ f 1 = 8

+ 5.5 kHz = 13.5 kHz = 2T c

− f 0, mentre la prima ripetizione dello spettro sul




Figura 3.11: Esempio di aliasing: un segnale analogico sinusoidale di frequenzaf 1 = 5.5 kHz viene sottocampionato adottando una frequenza di campionamentodi 8 kHz (frequenza di Nyquist: 4 kHz)

semiasse negativo (frecce tratteggiate rosse) non da solo la riga a -2.5 kHz, ma

anche una seconda riga a -13.5 kHz. Cosı anche 2T c − f 0 e alias di f 0.

L’aliasing e evidente anche nel dominio del tempo, come mostrato in Fig. 3.12.In realta, tutte le infinite ripetizioni spettrali sui due semiassi, e non solo le

t

x

( t )

Figura 3.12: Aliasing in frequenza visto nel dominio del tempo: la sinusoide a5.5 kHz (linea blu) se sottocampionata (con frequenza di campionamento di 8kHz) appare come una sinusoide a 2.5 kHz (linea verde)



3.4. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE 113

prime, generano degli alias di f 0. Limitandosi a considerare solo il semiasse

positivo, le frequenze che sono alias di una frequenza f 0 compresa nell’intervalloprincipale o fondamentale sono esprimibili come

f k =k

T c± f 0 = kf c ± f 0 = 2kf N y ± f 0

con k = (1, ∞) intero.

Cosı un numero infinito di sinusoidi a tempo continuo corrisponde allo stessosegnale a tempo discreto.

La situazione e ulteriormente illustrata dalla Fig. 3.13.

Figura 3.13: Il semiasse positivo delle frequenze con la posizione delle frequenzef k che sono alias di una f 0 compresa nell’intervallo principale. I punti A, B, C,D indicano multipli interi della frequenza di Nyquist

L’aliasing e chiamato pure “folding”(ossia ripiegamento) dello spettro, perchecorrisponde al ripiegamento su se stesso dell’asse f , come visualizzato nellaFig. 3.14: se l’asse di Fig. 3.13 viene piegato in corrispondenza dei punti A, B,C, D..., tutti gli alias di f 0 si allineano al di sopra di f 0.

Concludiamo la discussione dell’aliasing in frequenza con un ulteriore esempiografico di come le frequenze alias di f 0 si riflettono in f 0 (Fig. 3.15, 3.16 e 3.17).

3.4 Principio di indeterminazione

Avendo accennato nella discussione precedente alla relazione che esiste fra leestensioni di un segnale analogico nei domini duali del tempo e della frequenza,ed al concetto di limite di banda esatto o approssimato, inseriamo qui alcune




Figura 3.14: Il semiasse positivo delle frequenze ripiegato su se stesso ad ognimultiplo di f N y, con le frequenze f k che sono alias di una f 0 tutte allineate aldi sopra di quest’ultima

Figura 3.15: Una ulteriore rappresentazione dell’aliasing in frequenza: caso incui l’aliasing e dovuto alla prima ripetizione sul semiasse positivo



3.4. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE 115

Figura 3.16: Una ulteriore rappresentazione dell’aliasing in frequenza: caso in

cui l’aliasing e dovuto alla prima ripetizione sul semiasse negativo

Figura 3.17: Una ulteriore rappresentazione dell’aliasing in frequenza: caso incui l’aliasing e dovuto alla seconda ripetizione sul semiasse positivo

nozioni di teoria dei segnali analogici che illustrano questi punti in maggioredettaglio e che inoltre ci saranno utili in seguito, quando tratteremo la teoriadella Trasformata di Wavelet.

Come detto, le estensioni di un segnale analogico nei domini duali del tempoe della frequenza non sono indipendenti l’una dall’altra e per quantificare la

relazione tra esse si definiscono nella teoria dei segnali analogici, per un genericosegnale w(t), le quantita di seguito elencate:

1. centro

t∗ =

+∞−∞

tw2(t)dt +∞−∞

w2(t)dt.

Si noti che l’integrale a denominatore rappresenta l’energia del segna-le w(t), che formalmente ha durata infinita. Qualora il segnale fossecomplesso, nella formula ne comparirebbe il modulo quadro;




2. raggio o durata quadratica media o apertura

∆t =

+∞−∞

(t − t∗)2w2(t)dt +∞−∞

w2(t)dt;

3. larghezza quadratica media di banda

∆f =

+∞−∞

f 2|W (f )|2df +∞−∞

|W (f )|2df ,

dove l’integrale a denominatore rappresenta l’energia del segnale nel do-

minio della frequenza, che per la relazione di Parseval e uguale all’energianel dominio del tempo.

Si dimostra che

∆t∆f ≥ 1/(4π)

per un segnale qualsiasi (o per una qualsiasi “finestra temporale”, entit a intro-dotta nel seguito).

In quest’ultima formula, il segno di uguaglianza vale solo se l’andamento di

w(t) e di tipo gaussiano, cioe ∝ e−t2

2T 2 dove T e la semilarghezza a meta altez-

za (oppure puo trattarsi di una funzione oscillatoria modulata da una cupolagaussiana, come accade nella teoria delle wavelets).

La trasformata di Fourier di un segnale w(t) gaussiano e ancora una gaussiana,con una semilarghezza a meta altezza F legata alla analoga quantita T neldominio del tempo dalla relazione F T = 1/(2π). Poiche si trova che ∆t = T /

√2

e ∆f = F/√

2, se ne deduce appunto ∆t∆f = 1/(4π).

Talvolta il principio viene espresso in termini di frequenza angolare analogicaΩ = 2πf , divenendo ∆t∆Ω ≥ 1/2.

Pertanto, come anticipato in precedenza,

• un segnale molto concentrato nel tempo e a banda molto larga

• un segnale a banda stretta e molto disperso nel tempo.

Al limite, una pura sinusoide avra raggio infinito, un impulso istantaneo avralarghezza di banda infinita.

La Fig. 3.18 riporta, come esempio, segnali gaussiani di diversa larghezza a metaaltezza ed un segnale sinusoidale, accompagnati dai relativi spettri.



3.5. SEGNALI ANALOGICI A SUPPORTO LIMITATO IN TEMPO E FREQUENZA117

0 t

w ( t )

0 f

W ( f )

0 t s i n ( 2 π f 0 t )

f 0 0 +f 0 f

S p e t t r o

Figura 3.18: Segnali gaussiani e segnale sinusoidale (a sinistra) e relativi spettri(a destra)

3.5 Segnali analogici a supporto limitato in tem-po e frequenza

Un segnale a supporto limitato in tempo e illimitato in frequenza; un segnale asupporto limitato in frequenza e illimitato in tempo.

Per vedere questo consideriamo un segnale analogico a supporto temporale il-limitato x∞(t) e “osserviamolo” attraverso una porta rettangolare simmetrica pT (t) che ne ritaglia un segmento esteso tra −T /2 e +T /2, dove T e la larghezzadella porta (Fig. 3.19).

T 2

0 +T 2

0

1

t

p T ( t )

Figura 3.19: Porta rettangolare simmetrica di larghezza T




Il segnale risultante, x(t) = x∞(t) pT (t), ha supporto temporale limitato, come

la porta stessa.

La trasformata di Fourier di x(t) e

X (f ) = X ∞(f ) ∗ P T (f ) = X ∞(f ) ∗ sin(πf T )

πf ≡ X ∞(f ) ∗ T Sinc(f T )

dove il simbolo ∗ indica una convoluzione nel dominio della frequenza analogica,ossia un integrale di convoluzione. Poiche Sinc(·) ha supporto illimitato infrequenza, anche X (f ) lo ha.

Dalla formula precedente vediamo che la forma dello spettro di x(t), genericosegnale a supporto temporale limitato, e determinata - oltre che, ovviamente,

da X ∞(f ) - dalla forma dello spettro della porta. A sua volta, come mostratonelle Fig. 3.20, 3.21 e 3.22, P T (f ) varia al variare della larghezza della portatemporale.

Nelle figure citate e illustrato il comportamento della trasformata della portarettangolare, al variare della larghezza della porta stessa (T 0, 2T 0, 4T 0).

Si vede che man mano che la porta si allarga (il che significa non solo cheil suo supporto temporale cresce, ma anche che diviene meno concentrata neltempo) la trasformata “si restringe’, divenendo piu concentrata in frequenzaanche se il suo supporto temporale e comunque illimitato. Ad esempio, al

T 2

0 +T 2

0

1

t

p T ( t )

T = T 0

1

T 0 +1

T

0

T

f

P T

( f )

Figura 3.20: Porta rettangolare simmetrica di larghezza T 0 e sua trasformata

raddoppiare della larghezza della porta temporale pT , si dimezza la larghezzadel lobo principale di P T , in accordo con la proprieta di scaling della trasformatadi Fourier analogica:

x(kt) ⇐⇒ 1

|k|X (f /k)

con k = 1, 1/2, 1/4 . . .



3.5. SEGNALI ANALOGICI A SUPPORTO LIMITATO IN TEMPO E FREQUENZA119

T 2

0 +T 2

0

1

t

p T ( t )

T = 2T 0

1

T 0 + 1

T

0

T

f

P T

( f )

Figura 3.21: Porta rettangolare simmetrica di larghezza 2T 0 e sua trasformata

T 2

0 +T 2

0

1

t

p T ( t )

T = 4T 0

1

T 0 + 1

T

0

T

f

P T

( f

)

Figura 3.22: Porta rettangolare simmetrica di larghezza 4T 0 e sua trasformata

Vale anche l’inverso della proprieta: se il supporto temporale del segnale sirestringe, lo spettro si allarga. Ci serviremo di questa proprieta nella teoriadelle wavelets.

Si noti bene che i concetti di “supporto limitato” e “concentrazione” in tempo ofrequenza sono ben distinti ed e precisamente la seconda caratteristica ad essereoggetto del principio di indeterminazione.

• “Supporto limitato” significa che il segnale considerato e esattamente zeroal di fuori di un certo intervallo di tempo o frequenza.

• “Concentrazione” significa che la maggior parte dell’energia del segnale siconcentra in un certo intervallo, quantificabile con la durata quadraticamedia (o con la larghezza quadratica media di banda se siamo nel dominiodella frequenza).




La porta ha supporto limitato ed e anche concentrata in tempo.

Pertanto

1. il supporto del suo spettro e illimitato;

2. il suo spettro e relativamente poco concentrato in frequenza, e lo e tantomeno quanto piu aumenta la concentrazione temporale, ossia la “strettez-za” della porta.

Normalmente e sempre vero (non solo per la porta rettangolare) che un supportolimitato implica concentrazione, ma non e vero il contrario.

3.6 Relazioni tra le variabili frequenziali

Chiudiamo questa parte di base con un riepilogo delle relazioni che intercorronofra le variabili usate per i segnali a tempo continuo ed a tempo discreto neldominio della frequenza.

Il riferimento e sempre un segnale analogico che viene campionato: x[n] =x(nT c).

Abbiamo:

• ω = frequenza angolare (o pulsazione) “discreta”. E un angolo nel pianoz ed e quindi adimensionale. Si misura in rad/∆n;

• Ω = frequenza angolare (o pulsazione) analogica. Ha le dimensioni dell’in-verso di un tempo e si misura in rad/s. La relazione tra le due pulsazionie ω = ΩT c;

• ν = frequenza (“discreta”) adimensionale o “normalizzata”. E legata a ωda ν = ω

2π ;

• f = frequenza analogica. Ha le dimensioni dell’inverso di un tempo e si

misura in Hz = s−1

. La relazione tra le due frequenze e ν = f T c.

Esempio:

sin(Ωt) = sin(2πf t) = sin(2πfnT c) = sin

ω

T cnT c

= sin(ωn) = sin(2πνn).

La DTFT di un segnale discreto viene campionata ad ω equispaziate di

∆ω =2π

N ;



3.6. RELAZIONI TRA LE VARIABILI FREQUENZIALI 121

pertanto le frequenze angolari discrete di campionamento sono

ωk = k∆ω = 2πN

k.

La Fig. 3.23 illustra il legame tra i valori dell’indice frequenziale k (numero del-l’armonica) e quelli di ω. In corrispondenza ai valori di ωk, le ν sono equispaziate

Figura 3.23: I valori di k e di ω per il campionamento della DTFT di un segnalea tempo discreto

di

∆ν =1

N

e quindi

ν k = k∆ν =k

N .

Dato un certo T c, le frequenze analogiche di campionamento della DTFT sonoequispaziate di

∆f =1

N T c(inverso della durata del record) e quindi

f k = k∆f =k

NT c;

le pulsazioni analogiche sono separate di

∆Ω =1

2πN T c

per cui

Ωk = k∆Ω = k∆ω

T c=

k

2πN T c.




Veniamo ora alla periodicita di X (ejω ). L’elenco che segue riporta per ogni

variabile frequenziale i valori degli estremi dell’intervallo principale:

• in k, −N 2

≤ k < N 2

oppure 0 ≤ k < N ;

• in ω, −π ≤ ω < π oppure 0 ≤ ω < 2π;

• in ν , −0.5 ≤ ω < 0.5 oppure 0 ≤ ω < 1;

• in Ω, − πT c

≤ Ω < πT c

oppure 0 ≤ Ω < 2πT c

;

• in f , − 12T c

≤ f < 12T c

oppure 0 ≤ f < 1T c

.

Possiamo quindi anche porre:

• kNy = N 2

;

• ωNy = π [rad/∆n];

• ν Ny = 0.5 [cicli/∆n];

• ΩN y = πT c

[rad/s];

• f Ny = 12T c

[Hz].

La Fig. 3.24 chiarisce infine la precisa corrispondenza tra il numero dell’armonica

k ed i valori della frequenza f in Hz negli intervalli 0, 2f N y oppure −f Ny , f N y.

Figura 3.24: I valori di k e di f per il campionamento della DTFT di un segnalea tempo discreto



Parte II

Introduzione ai filtrinumerici

123



Capitolo 4

Caratteristiche dei filtri

numerici

4.1 Nozioni generali

Filtrare un segnale significa, genericamente, cambiarne le caratteristiche neldominio della frequenza. Una definizione formale e difficile da dare; megliocitare alcuni esempi di operazioni di filtraggio.

• Selezione in frequenza: se il segnale di ingresso contiene contributi fre-quenziali in certi intervalli di ω, si desidera modificare in uscita tali con-tributi, sopprimendo, ad esempio, quelli in una certa banda di frequen-za, esaltandone altri ecc... Per questo scopo si usano filtri selettivi in

frequenza .

• Operazioni speciali come, ad esempio, integrazione e differenziazione disegnali: si usano filtri speciali .

• Soppressione del rumore che contamina un segnale utile (denoising): perquesto scopo sono stati largamente usati in passato filtri numerici del

genere di quelli che descriveremo nel presente capitolo. Attualmente sonospesso preferite per il denoising altre tecniche, come quelle basate sullaTrasformata di Wavelet.

Noi ci occuperemo esclusivamente di filtri selettivi in frequenza, descrivendonele caratteristiche e studiandone un metodo di progetto di particolare interesse.

Limiteremo la nostra attenzione a filtri che siano sistemi LTI stabili , reali (cioecon risposta all’impulso reale) e causali , descrivibili mediante H (z) raziona-

li . Questi sistemi vengono indicati con l’acronimo RCSR, che sta appunto per“Reali-Causali-Stabili-Razionali”.

124



4.2. LA RISPOSTA DI AMPIEZZA DEI FILTRI NUMERICI 125

Si ricordi che per un filtro reale, H (ejω ) ha modulo pari e fase dispari; ci si puo

quindi limitare a considerare l’intervallo 0 ≤ ω ≤ π.

Un filtro in ambito discreto viene generalmente specificato dando la sua funzionedi trasferimento, che supponiamo sia razionale, con la relativa ROC; questoequivale a dare una LCCDE, unita, per esempio, a condizioni inziali di riposo.

Dato che il sistema considerato e stabile, H (z) converge sul cerchio unitario edivi rappresenta la risposta in frequenza H (ejω ) del sistema. Questo ammesso chesi tratti di funzioni continue, come accade per i filtri realizzabili nella pratica;i filtri ideali selettivi in frequenza, discontinui, rappresentano, come gia visto,casi particolari per cui la risposta in frequenza converge solo in media.

Della H (ejω ) si considerano separatamente:

• la risposta di ampiezza |H (ejω )|;• la risposta di fase.

Attenzione : anche in applicazioni riguardanti segnali continui campionati, T cnon gioca alcun ruolo nel progetto di filtri, che vengono specificati in terminidiscreti, in funzione di ω (o di ν ).

4.2 La risposta di ampiezza dei filtri numerici

Si tratta di una funzione reale della frequenza, intrinsecamente non negativa,che nei casi ideali potra avere dei punti di discontinuita di salto, mentre nei casireali (di applicazione pratica) dovra essere una funzione continua.

Per esprimere la risposta di ampiezza e graficarla si possono usare unit a normalio logaritmiche. In particolare, in questo secondo caso si usa riferirsi al moduloquadro di H (ejω ).

Il quadrato dell’ampiezza, |H (ejω )|2, viene espresso in dB (deciBel) come

10log10 |

H (ejω )|2 = 20log

10 |H (ejω )

|.

Si noti che zero dB corrispondono a |H (ejω )| = 1 e che |H (ejω )| = 10m

corrisponde a 20m [dB].

Inoltre |H (ejω )| = 2m corrisponde a circa 6m [dB] perche

20log10 2m = 20log10 2 · log2 2m ≃ 20 × 0.3 × m ≃ 6m.

Quando |H (ejω )| < 1, la corrispondente quantita in dB e negativa, come adesempio nella “banda di attenuazione” di un filtro selettivo in frequenza. Spesso



126 CAPITOLO 4. CARATTERISTICHE DEI FILTRI NUMERICI

allora si usa la stessa quantita cambiata di segno, ossia

−20log10 |H (ejω )|,detta attenuazione (in dB), che sara maggiore di zero se |H (ejω )| < 1.

Per esempio, |H (ejω )| = 0.0001 corrisponde ad una attenuazione di −20 ×(−4) = +80 dB.

Si osservi che la relazione ingresso-uscita di un LTI nel dominio della frequenza,

Y (ejω ) = H (ejω )X (ejω ),

diviene una somma in scala logaritmica, per cui la risposta di ampiezza in dB,aggiunta all’ampiezza in dB della trasformata di Fourier del segnale di input,

da l’ampiezza in dB della trasformata di Fourier del segnale di output.

Un filtro numerico selettivo in frequenza lascia passare certe componenti fre-quenziali del segnale di ingresso e ne attenua altre.

La sua risposta di ampiezza potra essere classificata in relazione a quattro pro-totipi fondamentali (ideali) di filtri selettivi: questi si rivelano non realizzabilinella pratica ma costituiscono un utile riferimento teorico.

Le risposte di ampiezza dei quattro prototipi ideali di filtri selettivi sono illustra-te, per ricapitolare, in Fig. 4.1. Un intervallo in cui la risposta desiderata e uni-taria viene chiamato banda passante; un intervallo in cui la risposta desiderata

e nulla viene chiamato banda attenuata (o banda oscura, o stoppata).

Si noti che dovendo parlare in generale di un filtro selettivo in frequenza, si parladi un passa-banda, perche il passa-banda riassume in se, come casi particolari,anche il passa-alto ed il passa-basso.

Casi piu generali comprenderanno filtri multibanda , con varie bande passanti edattenuate, in ognuna delle quali in genere si desidera che |H (ejω )| sia costante,ma non necessariamente unitaria.

Quello mostrato in Fig. 4.1 sara, in genere, l’andamento desiderato per la rispo-sta di ampiezza di un filtro che si intende costruire, ma nella realta nessun filtropuo avere caratteristiche cosı squadrate.

Infatti come conseguenza di un teorema, dovuto a Paley-Wiener e riguardantela risposta in frequenza di un filtro causale, |H (ejω )| puo valere zero a qualchevalore di ω isolato ma non su una banda continua finita di valori di ω; percontro, nessun filtro ideale puo essere causale.

Un filtro reale e causale (si usa il termine realizzabile ) avra |H (ejω )| di anda-mento non costante nelle bande passante ed attenuata (tipicamente, andamentomonotono crescente o decrescente, oppure andamento oscillante) e possiederauna banda di transizione di larghezza non nulla, interposta fra la banda passantee quella attenuata, in cui di solito si richiede andamento monotono.



Figura 4.1: I quattro prototipi ideali di filtro selettivo in frequenza: a) passa-basso, b) passa-alto, c) passa




Per quanto riguarda la risposta di fase, evidentemente un filtro ideale dovrebbe

implicare sfasamento nullo tra ingresso ed uscita, ma per un sistema causaleuna fase nulla per H (ejω ) e impossibile, per cui si accetta una fase non nulla,accontentandosi, quando possibile, di una dipendenza lineare della fase da ω.

Per comprendere le problematiche relative alla fase di H (ejω ), esaminiamo oral’argomento in modo generale.

4.3 La risposta di fase dei filtri numerici

1. Discontinuita di fase

Data una risposta in frequenza H (ejω ), che supponiamo appartenere adin sistema LTI RCSR, la risposta di fase ad una certa ω e l’angolo di fase

del numero H (ejω ), che, quando calcolato da un opportuno software, e ilvalore principale dell’angolo stesso, ossia l’angolo ∈ (−π, π) tale che

ψ(ω) = arg[H (ejω )]

arctan 2

ℑ[H (ejω )], ℜ[H (ejω )]

se |H (ejω )| = 0,

indefinita se |H (ejω )| = 0,

dove arctan 2(y, x) = θ e per definizione l’unico angolo θ ∈ (−π, π) per ilquale

cos θ =x

x2 + y2, sin θ =

y

x2 + y2.

Qualsiasi altro angolo legato al precedente da

∡H (ejω ) = arg[H (ejω )] + 2πr(ω),

dove r(ω) e un intero positivo o negativo che puo essere diverso per ogniω, dara, insieme ad |H (ejω )|, il corretto valore complesso di H (ejω ).

Ora, arg[H (ejω )] puo essere una funzione discontinua: per meglio dire,poiche il filtro e RCSR, H (ejω ) e una funzione continua e questo comportache anche ψ(ω) lo sia, eccetto in due casi:

(a) nei punti ω0 a cui ℜ[H (ejω )] < 0 e ℑ[H (ejω )] = 0 si ha ψ(ω0) = +πa causa della definizione di arctan 2. Percio se

ℑ[H (ejω )] a ω−0 o ω+

0

(o ad entrambe) e negativa, essendo ψ(ω+0 ) e/o ψ(ω−0 ) circa uguali a−π, si verifichera un salto di 2π (Fig. 4.2 e 4.3);

(b) nei punti ω0 in cui |H (ejω )| = 0, la fase non e definita.

Si dimostra che per funzioni H (ejω ) = H (z)|z=ejω razionali il numero dipunti di discontinuita di fase nell’intervallo principale di ω e necessaria-mente finito; nei punti di discontinuita il salto di fase e 2π (caso a) oppureπ (caso b).

Quest’ultimo salto di π e legato al fatto che |H (ejω )| e forzatamente nonnegativa, come mostrato in Fig. 4.4. La figura evidenzia gli zeri dellarisposta di ampiezza, che corrispondono a salti di π nella fase. Si puo



4.3. LA RISPOSTA DI FASE DEI FILTRI NUMERICI 129

Figura 4.2: L’intorno di ψ(ω0) in cui si verificano i salti di 2π

Figura 4.3: Tipico andamento del valore principale dell’angolo di fasearg[H (ejω )]




Figura 4.4: Zeri della risposta in frequenza, che corrispondono a salti di π nellafase

dimostrare che se un dato zero ha molteplicia m, allora se m e pari la faseresta continua, mentre se m e dispari la fase fa un salto di π.

Per ovviare a questi problemi, al posto di H (ejω ) = |H (ejω )|ejψ(ω) vieneusata la rappresentazione in fase continua

H (ejω ) = H (ω)ejφ(ω)

dove H (ω) e reale ma non necessariamente positiva e φ(ω) e continua.La funzione H (ω) viene chiamata funzione d’ampiezza e coincide con lacosiddetta risposta a fase nulla del filtro, nel senso che tutta l’informazionedi fase e contenuta nel termine non discontinuo ejφ(ω). La risposta a fasenulla e usata, tra l’altro, nella tecnica di progetto che esamineremo.

Le funzioni H (ω) e φ(ω) vengono costruite in modo tale da preservare lacontinuita di φ(ω) ad ogni punto di discontinuita di ψ(ω), inclusi quellicon salto di 2π. Il valore di φ(ω) viene reso unico imponendo la condizione0 ≤ φ(0) < π; naturalmente ora φ(ω) potra uscire dall’intervallo (−π, π).

Le Fig. 4.5 e 4.6 illustrano rispettivamente il modo per ovviare ad un saltodi π e quello per ovviare a salti di 2π mediante aggiunta a ψ(ω) di multipli

interi di 2π.

2. Fase lineare

Un filtro tale che

H (ejω ) = H (ω)e−jωτ

con τ =costante e detto a fase lineare in ω.

La costante τ = −φ(ω)/ω in generale e un numero reale che viene chiamatoritardo di fase [campioni].

In particolare, un filtro con H (ejω ) = e−jωτ e detto ritardatore ideale. Ilnome deriva dal fatto che un filtro (sia in generale un passa-banda) che




Figura 4.5: Come si puo ovviare ad un salto di π nella fase

Figura 4.6: Come si puo ovviare a salti di 2π nella fase




in banda passante abbia una tale risposta in frequenza applica un puro

ritardo al segnale di ingresso: posto infatti

H (ejω ) =

e−jωτ per ωc1 ≤ ω ≤ ωc2,

0 altrove,

cioe scelta una risposta in frequenza dotata di un modulo con andamentoideale costante a tratti (quindi non realizzabile ma valida come esempio), siavra, per un segnale con composizione frequenziale compresa nella bandapassante,

y[n] =1

2π

ωc2

ωc1

H (ejω )X (ejω )ejωn dω =

=1

2π ωc2

ωc1X (ejω )ejω(n−τ )dω =

= x[n − τ ].

Pertanto l’input e come l’output, ma ritardato di τ campioni: se τ e fra-zionario il sistema interpola a valori non interi del tempo discreto mentrese τ e intero si ha un semplice ritardo di τ passi. In ogni caso, il segnaledi uscita e una copia ritardata e non distorta del segnale di ingresso: siparla di assenza di distorsione di fase.

L’assenza di distorsione di fase e spesso auspicabile, per esempio nei casiin cui occorra confrontare il comportamento di due segnali in una certabanda. Infatti in tal caso per studiare relazioni di lead-lag (quale dei due

segnali “guida” (leads) le variazioni e quale “segue” (lags)?), e quindi -indefinitiva - relazioni di causa-effetto, e importante la fase relativa dellevarie componenti frequenziali dei due segnali. Per questa ragione, nonpotendo avere filtri realizzabili a fase nulla, si accettano volentieri filtricon fase lineare, in particolare con τ intero o semintero.

3. Fase lineare generalizzata

Talvolta e utile considerare fasi non strettamente proporzionali a ω macomunque lineari in ω:

φ(ω) = φ0 − ωτ g

con φ0 e τ g costanti.

Il corrispondente ritardatore ideale in (0, π) ha in questo caso risposta infrequenza

H (ejω ) =

ej(φ0−ωτ g) per ωc1 ≤ ω ≤ ωc2,

0 altrove,

ossia ancora una risposta in frequenza dotata di un modulo con andamentoideale costante a tratti, quindi non realizzabile ma utile come esempio.

In questo caso, anziche di ritardo di fase si parla per τ g di ritardo di gruppo

[campioni]; il concetto e legato all’effetto che il filtro ritardatore ha sullafase di un segnale a banda stretta, ossia un segnale modulato del tipo

x1[n] = x[n]cos(ω0n),




in cui x[n] e il segnale modulante o inviluppo e ω0 e la frequenza portante,

e la cui trasformata e diversa da zero solo nell’intorno di ω = ω0. I segnalimodulati sono importanti nell’ingegneria delle telecomunicazioni: spessoin quel campo si effettua l’operazione di passare da un segnale a bandarelativamente stretta x[n] a x1[n], in modo da “trasportare” lo spettro dix[n] nell’intorno di ω0 e permettergli cosı di passare attraverso una reteche consente il passaggio di frequenze prossime a ω0.

Supponiamo di applicare a x1[n] un ritardatore ideale la cui banda pas-sante contenga l’intorno di ω0 in cui giace lo spettro del segnale modulato.Si puo allora mostrare che l’uscita y[n] e ancora un segnale modulato, taleche l’inviluppo e una versione non distorta ma solo ritardata dell’invilup-po dell’ingresso. La costante di fase φ0 influenza la parte di frequenzaportante ma non l’inviluppo: precisamente si ha

y[n] = x[n − τ g] cos[ω0(n − τ g) + φ0].

Il ritardo di gruppo τ g dell’inviluppo del segnale a banda stretta, aventetrasformata di Fourier centrata su ω = ω0, e dato dalla pendenza della fasecontinua φ(ω) del ritardatore valutata nell’intorno della ω0 di interesse ecambiata di segno:

τ g = −dφ(ω)

dω.

Se τ g e intero, si ha un ritardo dell’output rispetto all’input di τ g campioni,mentre se e frazionario si ha interpolazione a valori frazionari del tempodiscreto.

Un sistema che ammette la rappresentazione in fase continua

H (ejω ) = H (ω)ej(φ0−ωτ g)

con φ0 e τ g costanti e detto a fase lineare generalizzata (GLP= GeneralizedLinear Phase).

4. Restrizioni sui filtri a GLP

La periodicita di H (ejω ) e la realta di h[n] impongono restrizioni suiparametri φ0 e τ g di un filtro RCSR a GLP.

• Poiche H (ejω ) e periodica con periodo 2π,

H (ω)ej(φ0−ωτ g) = H (ω + 2π)ej(φ0−ωτ g−2πτ g)

e quindiH (ω) = H (ω + 2π)e−j2πτ g .

Ora H (ω) deve essere reale; per questo e sufficiente che 2τ g sia intero,cioe che τ g sia intero o semi-intero.

Distinguiamo cosı i due casi:

(a) τ g intero: H (ω) = H (ω + 2π), ossia H (ω) periodica con periodo2π;

(b) τ g semi-intero: H (ω) = −H (ω + 2π), H (ω) = H (ω + 4π), ossiaH (ω) periodica con periodo 4π.




• Poiche h[n] e reale, H (e−jω ) = H ∗(ejω ); quindi

H (−ω)ej(φ0+ωτ g) = H (ω)e−j(φ0−ωτ g)

da cui

ej2φ0 =H (ω)

H (−ω).

Distinguiamo quindi i due casi:

(a) φ0 = 0: H (ω) = H (−ω), ossia H (ω) funzione pari e τ = τ g =costante;

(b) φ0 = π/2: H (ω) = −H (−ω), ossia H (ω) funzione dispari e τ g =costante.

Pertanto i filtri numerici reali a GLP esistono in quattro tipi:

• Tipo I, τ = τ g intero, φ0 = 0;• Tipo II, τ = τ g semi-intero, φ0 = 0;

• Tipo III, τ g intero, φ0 = π/2;

• Tipo IV, τ g semi-intero, φ0 = π/2;

di cui i primi due hanno ritardo di fase costante e gli ultimi due hannoritardo di gruppo costante.

La causalita impone poi ulteriori restrizioni sulla forma della rispostaall’impulso dei filtri a GLP.

Un filtro a GLP soddisfa H (ejω ) = H (ω)ej(φ0−ωτ g), per cui si ha

H (ω) = H (ejω )e−j(φ0−ωτ g).

Allora

• se φ0 = 0 (Tipi I e II)

h[2τ g − n] =1

2π

π

−π

H (ejω )ejω(2τ g−n)dω =

=1

2π

π

−π

H (ω)ejω(τ g−n)dω,

dove si e sostituita l’espressione H (ejω ) = H (ω)ej(φ0−ωτ g) nella primariga di equazione e poi si e tenuto conto del fatto che φ0 = 0 e che− jωτ g + 2 jωτ g − jωn = jω(τ g − n).

Complesso-coniugando l’espressione ottenuta (si ricordi che H (ω) e

reale e cosı h[n]) si ha

h[2τ g − n] =1

2π

π

−π

H (ω)ejω(n−τ g)dω =

=1

2π

π

−π

H (ejω )ejωn dω = h[n],

dove si e sostituito nella prima riga H (ω) = H (ejω )e−j(φ0−ωτ g) =H (ejω )ejωτ g .

Ma se il filtro e causale, h[n] = 0 per n < 0 e quindi anche h[n] = 0per n > 2τ g.

Se ne deduce che




– il filtro deve essere FIR,

– il suo ordine deve essere N − 1 = 2τ g,– la risposta all’impulso deve soddisfare la condizione di simmetria

h[n] = h[N − 1 − n].

Questa situazione e illustrata nella Fig. 4.7;

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

h [ n ]

τ g = 2

N − 1 = 2τ g = 4

Figura 4.7: Relazione tra τ g e ordine N − 1 di un filtro FIR: N − 1 = 2τ g

• se φ0 = π/2 (Tipi III e IV)

ejφ0 = ejπ/2 = + j e quindi H (ejω ) = + jH (ω)e−jωτ g per cui

h[2τ g − n] =1

2π

π

−π

H (ejω )ejω(2τ g−n)dω =

=j

2π

π

−π

H (ω)ejω(τ g−n)dω.

Complesso-coniugando l’espressione ottenuta si ha

h[2τ g − n] = − j

2π

π

−π

H (ω)ejω(n−τ g)dω =

= − 1

2π

π

−π

H (ejω )ejωn dω = −h[n].

Ma se il filtro e causale, h[n] = 0 per n < 0 e quindi anche h[n] = 0per n > 2τ g.

Se ne deduce che

– il filtro deve essere FIR,

– il suo ordine deve essere N − 1 = 2τ g,

– la risposta all’impulso deve soddisfare la condizione di antisim-

metria

h[n] = −h[N − 1 − n].

In conclusione, solo per filtri FIR e possibile la fase esattamente lineare olineare generalizzata.



Capitolo 5

Progetto di filtri numerici

5.1 Considerazioni preliminari

Il progetto di un filtro numerico e un processo che richiede tre passi fondamen-tali.

1. Specifica delle proprieta desiderate del sistema; per esempio, che si tratti di

un sistema LTI RCSR che opera un preciso tipo di selezione in frequenza;sulla risposta in frequenza verranno espressi vincoli sia di ampiezza sia,eventualmente, di fase.

2. Approssimazione di tali specifiche per mezzo di un opportuno sistema atempo discreto realizzabile.

Si tratta di scegliere un metodo di progetto che consenta di approssimareil filtro desiderato, soddisfacendone le specifiche secondo un determina-to criterio (che caratterizza il metodo di progetto scelto), con un filtrorealizzabile della minima complessita possibile (cioe col minimo ordine).

Questo passo implica:

• selezionare una classe di filtri atta ad approssimare la H (ejω ) desi-derata; ad esempio: filtri FIR a fase lineare (o lineare generalizzata);

• individuare un metodo di progetto atto a trovare, all’interno di taleclasse, il membro che meglio si adegua alle specifiche, secondo uncerto criterio e con complessita fissata;

• sintetizzare tale membro migliore, ottenendone la risposta all’impulsoo un’altra quantita caratterizzante che possa poi essere usata perfiltrare sequenze di dati;

• analizzare le prestazioni del filtro cosı progettato (e “correggere iltiro” se necessario).

136



5.2. SPECIFICHE DEI FILTRI NUMERICI 137

3. Attuazione del sistema, cioe messa in opera del filtraggio numerico, in

software e quindi usando una aritmetica a precisione finita.L’investigazione delle implicazioni dell’uso di aritmetica a precisione finitanei vari algoritmi di elaborazione numerica dei segnali esula dagli scopi diquesto corso.

5.2 Specifiche dei filtri numerici

5.2.1 Vincoli sulla risposta di ampiezza

I vincoli sulla risposta di ampiezza prendono la forma di un insieme di limiti di tolleranza .

La Fig. 5.1 illustra l’esempio delle specifiche per un passa-basso FIR, che ven-gono espresse dando i limiti di banda ω p e ωs, i valori desiderati di |H (ejω )| inbanda passante ed in banda oscura (qui uno e zero rispettivamente), le tolleran-ze δ p e δs. La curva blu rappresenta un esempio di |H (ejω )| che soddisfa talispecifiche, dette “assolute”. Si noti la banda di transizione interposta tra quellapassante e quella oscura, la cui larghezza non puo mai annullarsi, dovendo ilfiltro essere realizzabile.

Figura 5.1: Limiti di tolleranza per la risposta di ampiezza di un filtro FIR:esempio di un passa-basso

Notiamo per inciso che per i filtri IIR le specifiche possono essere date in modoun po’ diverso, come esemplificato in Fig. 5.2.

Le quantita δ p e δs rappresentano la massima deviazione consentita a |H (ejω )|,rispettivamente in banda passante ed oscura, rispetto alla risposta di ampiezzadesiderata.



138 CAPITOLO 5. PROGETTO DI FILTRI NUMERICI

Figura 5.2: Per i filtri IIR i limiti di tolleranza per la risposta d’ampiezza possonoessere specificati in modo diverso da quello utilizzato per i filtri FIR. In questoesempio, la risposta d’ampiezza e quella di un filtro di Chebishev di Tipo I

Nel caso dell’esempio passa-basso, possiamo formalizzare la risposta di ampiezzadesiderata come

|H d(ejω )| =

1 ω ∈ (0, ω p)

0 ω ∈ (ωs, π)

e le specifiche saranno1 − δ p ≤ |H (ejω )| ≤ 1 + δ p ω ∈ (0, ω p)

|H (ejω )| ≤ δs ω ∈ (ωs, π)

con ωs − ω p > 0 per la realizzabilita.

Nel caso di |H (ejω )| con andamento oscillante in banda passante e/o oscura (uncaso molto frequente), δ p e δs sono anche detti “ripple” in banda passante edattenuata, rispettivamente.

A volte si preferisce esprimere la risposta di ampiezza del filtro e le relativetolleranze in scala logaritmica, in dB; in tal caso si usano le quantita

r p = 20log10

1+δp1−δp

rs = −20log10(δs)

detti ripple in banda passante in dB e attenuazione in banda oscura in dB.Queste sono specifiche “relative”, nel senso che contengono al loro interno ivalori espliciti di |H d(ejω )|, ossia zero e uno.

La Fig. 5.3 illustra il significato delle specifiche relative. Riguardo alla bandapassante, si noti che talvolta si usa la quantita 20log10(1 + δ p), ossia la meta diquella sopra riportata.




Figura 5.3: Specifiche relative per la risposta di ampiezza di un filtro FIR indB: l’esempio del passa-basso

Poiche

loge(1 + δ p) ≃ δ p

loge(1 − δ p) ≃ −δ p,

si puo scrivere

20log10

1 + δ p

1 − δ p

= 20 [log10(1 + δ p) − log10(1 − δ p)] =

= 20 l og10 e [loge(1 + δ p) − loge(1 − δ p)] ≃≃ 20 log10 e · 2δ p

e quindi

r p ≃ (40 × 0.434)δ p ≃ 17.37δ p.

La relazione inversa e evidentemente

10rp/20 =1 + δ p

1 − δ p

da cui

δ p

1 + 10rp/20

= 10rp/20 − 1

e quindi in definitiva

δ p = 10rp/20−110rp/20+1

,

δs = 10−rs/20.




Esempio:

δ p = 0.095 → r p = 17.37 × 0.095 = 1.65rs = 30 dB → δs = 10−30/20 = 0.0316.

Finora ci si e limitati al caso in cui sono presenti soltanto una banda passanteed una oscura (passa-basso).

Nel caso piu generale vi saranno una o piu bande passanti ed una o piu bandeoscure (come, ad esempio, nel piu semplice passa-banda) e ciascuna banda avrale proprie tolleranze; la deviazione dal valore desiderato di |H (ejω )| concessa in

ogni banda (detta anche “errore” e quindi indicata con e p o es) potra dipendereda ω; quindi nell’insieme delle bande passanti (sia B p) scriveremo

|H dp(ejω )| − e p(ω) ≤ |H (ejω )| ≤ |H dp(ejω )| + e p(ω) per ω ∈ B p,

dove H dp(ejω ) e la risposta di ampiezza desiderata in B p, mentre nell’insiemedelle bande attenuate (sia Bs) scriveremo, assumendo che il valore desideratosia H ds(ejω ) = 0,

|H (ejω )| ≤ es(ω) per ω ∈ Bs.

Ai fini del progetto di filtri, risulta pero comodo esprimere i vincoli non separa-tamente per B p e Bs ma i maniera globale, con un’unica disequazione.

Per arrivare a questo, innanzi tutto si usano delle funzioni peso per gli errori inbanda passante ed oscura: fissate delle tolleranze massime δ p e δs si scrivono ledefinizioni

W p(ω) = δ p/e p(ω)

W s(ω) = δs/es(ω)

usando le quali le precedenti condizioni diventano−δ p ≤ W p(ω)

|H (ejω )| − |H dp(ejω )| ≤ δ p per ω ∈ B p,

W s(ω)|H (ejω )| ≤ δs per ω ∈ Bs.

A questo punto si scrive, insieme a

H d(ejω ) =

H dp(ejω ) per ω ∈ B p,

0 per ω ∈ Bs,

la funzione peso globale

W (ω) =

W p(ω) per ω ∈ B p,

(δ p/δs) W s(ω) per ω ∈ Bs

e introducendo la funzione di errore pesata

|E (ω)| = W (ω)

|H (ejω )| − |H d(ejω )|




si arriva a riscrivere globalmente

|E (ω)| ≤ ǫ per ω ∈ B = B p ∪ Bs

conǫ = δ p.

Il vincolo sulla funzione di errore pesata puo leggersi cosı: “Se il massimo valoredella funzione di errore pesata e minore o uguale a ǫ nell’unione delle bandepassanti ed oscure, allora |H (ejω )| soddisfa i criteri fissati.”

C’e poi da dire che nella maggioranza delle applicazioni gli errori non sonovariabili con ω nelle singole bande, per cui si puo porre e p = δ p = costante,es = δs = costante, e la risposta desiderata in banda passante e semplicemente

H dp(ejω ) = 1 = costante; allora potremo scrivere piu brevemente

H d(ejω ) =

1 per ω ∈ B p

0 per ω ∈ Bs

(la risposta desiderata e quella dei filtri ideali selettivi in frequenza) eW p(ω) = δ p/δ p = 1

W s(ω) = δs/δs = 1

(i pesi nelle bande passanti e oscure sono unitari).

Le specifiche si riducono cosı a−δ p ≤ |H (ejω )| − 1

≤ δ p per ω ∈ B p,

|H (ejω )| ≤ δs per ω ∈ Bs,

ossia 1 − δ p ≤ |H (ejω )| ≤ 1 + δ p per ω ∈ B p,

|H (ejω )| ≤ δs per ω ∈ Bs.

La funzione peso globale sara

W (ω) =1 per ω

∈B p

δ p/δs per ω ∈ Bs

e con la funzione di errore pesata

|E (ω)| = W (ω)|H (ejω )| − 1

scriveremo globalmente di nuovo

|E (ω)| ≤ ǫ per ω ∈ B = B p ∪ Bs

conǫ = δ p.




Oltre all’esempio del passa-basso gia esaminato, possiamo ora vedere, in Fig. 5.4,

il caso di un semplice passa-banda con una sola banda passante (e due bandeoscure). B p corrisponde aω p1 ≤ ω ≤ ω p2

mentre Bs corrisponde a 0 ≤ ω ≤ ωs1,

ωs2 ≤ ω ≤ π.

Figura 5.4: Limiti di tolleranza per la risposta di ampiezza di un filtro FIR:esempio di un passa-banda

5.2.2 Vincoli sulla risposta di fase

I vincoli sulla risposta di fase sono quelli imposti dai requisiti di causalit a e

stabilita (poli di H (z) entro il cerchio unitario) piu, in molte applicazioni (nonpotendosi avere fase nulla), la linearita di fase (per avere output senza distorsionedi fase).

Come gia detto, in caso di fase lineare la forma del segnale di input, determi-nata da certe componenti frequenziali contenute in B p, e preservata in output.Ricordiamo infatti che se

φ(ω) = −τ ω

con ritardo di fase τ = costante, se l’input e una singola componente frequenzialein banda passante, x[n] = ejωn , l’output e y[n] = ej(ωn−τ ω) = ejω(n−τ ) e quindie come l’input, solo ritardato di τ passi temporali.




Se un arbitrario input contiene molte componenti frequenziali in banda passante,

ognuna verra ritardata dello stesso ∆n = τ e quindi la forma del segnale verrapreservata. Si noti che ovviamente e importante la fase in banda passante; inbanda oscura le componenti frequenziali dell’input devono venire eliminate equindi la fase in banda oscura non conta.

Per certe applicazioni particolari, si richiede la fase lineare generalizzata. Adesempio, questo e il caso dei filtri di Hilbert, progettati per ruotare di π/2(un quarto di ciclo) la fase di ogni componente sinusoidale del segnale di inputinclusa nella banda passante.

I filtri di Hilbert trovano applicazione (per citare solo alcuni esempi) nei mo-dulatori e demodulatori, nell’elaborazione dei segnali vocali, nell’elaborazioni diimmagini in campo medico, ecc... nonche in metodi di analisi di campi scala-

ri spazio-temporali quali l’Analisi in Componenti Principali Complesse, usataanche in campo geofisico per rivelare disturbi in propagazione nel campo sca-lare studiato (ad esempio, potrebbe trattarsi di un campo di temperature, o diprecipitazioni).

Essenzialmente, i filtri di Hilbert sono utili ogni volta che risulta piu convenien-te elaborare, anziche il segnale reale originario, un segnale complesso da essoderivato in modo univoco, senza alterare le caratteristiche spettrali di partenza.Tale segnale complesso prende il nome di segnale analitico associato al segnalereale d’origine. Il filtro di Hilbert fornisce in questi casi il segnale in quadraturarispetto al segnale originario, necessario per costruire il segnale analitico: laparte reale del segnale analitico e il segnale reale di partenza mentre la parte

immaginaria si ottiene appunto facendo passare il segnale nel filtro di Hilbert.

Queste applicazioni esulano dagli scopi del corso. Nel seguito ci focalizzeremosui casi con fase strettamente lineare piuttosto che non lineare generalizzata:quindi la nostra attenzione andra ai Tipi I e II di filtri FIR a fase lineare. I filtridi Tipo III e IV, che tratteremo solo marginalmente, come gia detto servono perapprossimare filtri di Hilbert, oppure anche filtri differenziatori.

Qualora l’esatta linearita di fase non sia necessaria (o sia irraggiungibile, comenel caso della scelta di un filtro IIR, che puo anche avere fase quasi lineare, manon esattamente lineare) si potranno porre limiti di tolleranza sulla linearita difase stessa.

Si noti che l’accettazione di una fase lineare (al posto della desiderata fase nulla)di per se non rende necessariamente realizzabile un filtro “squadrato” come adesempio un passa-basso ideale: sostituire

H d(ejω ) =

1 per |ω| < ωc

0 per ωc < |ω| ≤ π

che ha una risposta all’impulso di lunghezza infinita non causale

hd[n] =sin(ωcn)

πn




con

H d(ejω ) =

e−jω τ per |ω| < ωc

0 per ωc < |ω| ≤ π

che ha risposta all’impulso

hd[n] =sin[ωc(n − τ )]

π(n − τ )

non risolve la situazione perche quest’ultimo filtro resta pur sempre dotato dirisposta all’impulso di lunghezza infinita non causale.

Apriamo a questo punto una piccola parentesi. Abbiamo ripetuto piu volte cheun filtro squadrato a fase nulla come ad esempio un passa-basso ideale non ecomputazionalmente realizzabile. Ad uno sguardo superficiale, pero, puo appa-rire possibilissimo applicare tale filtro ad una sequenza di dati: basta semplice-mente azzerare i coefficienti della DFT dei dati che corrispondono a frequenzeindesiderate e poi invertire la trasformata. Vero? O no?

No, falso. Questo procedimento di filtraggio, per quanto attraente a prima vista,non e concettualmente corretto per le seguenti ragioni.

Il filtro ideale a fase nulla corrisponde, nel dominio del tempo, ad una risposta

all’impulso che e una sequenza non causale di lunghezza infinita, di andamentoespresso dal seno cardinale (Sinc). Operando su un numero finito di campioni,noi di fatto tronchiamo questa sequenza di lunghezza infinita e cosı facendo, laeffettiva risposta in frequenza applicata ai dati (trasformata inversa della rispo-sta all’impulso troncata) e alterata dal fenomeno di Gibbs: forti oscillazioni,particolarmente forti in prossimita della discontinuita. Si tratta di un filtroeffettivo che non soddisfa alcuna specifica ragionevole. Infatti il troncamentodella risposta all’impulso corrisponde nel dominio della frequenza ad una convo-luzione continua periodica della risposta in frequenza ideale con la trasformatadi Fourier di una sequenza rettangolare. Il risultato e una versione deformatadella risposta in frequenza, a causa del fenomeno di Gibbs (il problema coincidecon quello della convergenza - che e una convergenza solo in media - della seriedi Fourier che rappresenta la risposta ideale).

I dati filtrati ottenuti con questo procedimento saranno viziati dall’uso di unfiltro che non soddisfa specifiche accettabili. Possiamo anche vedere il fenomenoda un’altra angolazione: moltiplicando la DFT dei dati per una porta rettango-lare operiamo quella che e la rappresentazione in frequenza della convoluzionedei dati col Sinc. Sinc ha durata infinita, ergo anche la convoluzione ha duratainfinita e percio non e rappresentabile con una DFT su un numero finito dipunti. Si ha quindi aliasing nel dominio del tempo.

Chiusa la parentesi, procediamo con le considerazioni sul progetto di filtri RCSRche debbono soddisfare date specifiche.



5.3. SELEZIONE DEL TIPO DI FILTRO 145

5.3 Selezione del tipo di filtro

Date le specifiche, bisogna decidere se approssimare H d(ejω ) con una funzio-ne razionale (tipica di un sistema IIR) o mediante un polinomio (tipico di unsistema FIR).

Noi dedicheremo la nostra attenzione ai filtri FIR, che

• possono avere fase esattamente lineare;

• sono sempre stabili;

• sono versatili perche per essi esistono eccellenti metodi di progetto, che

offrono grande versatilita nel riprodurre H d(ejω ) del tutto arbitrarie;

• presentano minore sensibilita nei confronti di realizzazioni con aritmetica aprecisione finita, rispetto ai filtri IIR; ad esempio hanno minore sensibilitaad errori di arrotondamento nei coefficienti;

• consentono di filtrare non ricorsivamente nel dominio del tempo, via con-voluzione oppure via equazione alle differenze, oppure ancora di filtrare neldominio della frequenza. Questa caratteristica non costituisce un elemen-to di preferenza rispetto ai filtri IIR, in quanto ai fini delle applicazioni dinostro interesse, filtrare ricorsivamente nel dominio del tempo via equa-zione alle differenze, come richiesto da un filtro IIR (si veda la sezione5.13) non e piu scomodo delle altre possibilita citate, offerte da un filtro

FIR ; tuttavia si tratta di una caratteristica peculiare dei filtri FIR e perquesta ragione e stata inserita nel presente elenco.

Per contro, i filtri FIR presentano anche svantaggi, tra cui:

• non esistono per essi equazioni di progetto in forma chiusa, cosa che invecespesso accade per i filtri IIR. Date le specifiche, non esiste cioe una for-mula in cui inserirle che fornisca immediatamente la risposta in frequenzadel filtro numerico progettato. Il progetto dei filtri FIR implica, comevedremo, procedimenti iterativi che richiedono potenti mezzi di calcolo;

•in genere approssimano date specifiche ad un ordine superiore rispetto a

quello di un analogo filtro IIR;

• normalmente non sono piatti in banda passante ma presentano oscillazio-ni, mentre un filtro IIR puo essere piatto, come il filtro passa-basso diButterworth riportato in Fig. 5.5.

Per riassumere, lo svantaggio piu notevole dei filtri IIR rispetto a quelli FIR stanel fatto che questi ultimi tipicamente a parita di specifiche hanno ordini piuelevati. Per contro, i filtri IIR hanno fase non lineare. Questo tuttavia non edrammatico, perche le applicazioni che ci interessano normalmente prevedonoche l’elaborazione dei dati sia effettuata “offline”: l’intera sequenza di dati e gia




Figura 5.5: Risposta di ampiezza di un filtro IIR passa-basso di Butterworth diordine 9

disponibile prima del filtraggio. Questo consente un approccio non causale afase nulla (come vedremo piu avanti) che elimina le distorsioni dovute alla fasenon lineare di un filtro IIR.

In conclusione, la scelta di occuparsi soltanto di filtri FIR, fatta in questo corso,

si basa sostanzialmente sulla versatilita del metodo di progetto minimax, dispo-nibile per i filtri FIR (non potendo trattare entrambi i filtri FIR e IIR per ovvielimitazioni di tempo).

Presa la decisione di approssimare H d(ejω ) con un polinomio, ossia con unsistema FIR, non sempre si ha la liberta scegliere liberamente tra i quattro Tipidi filtri FIR a fase lineare, ed in particolare tra i tipi I e II nel caso di filtri afase esattamente lineare adatti alla selezione in frequenza.

Per capire questo, riprendiamo quanto detto nella sezione 4.3, a propositodelle restrizioni che la causalita impone sui filtri a GLP. Abbiamo visto inquell’occasione che

1. φ0 = 0 (Tipi I e II): H (ω) e funzione pari di ω;

2. φ0 = π/2 (Tipi III e IV): H (ω) e funzione dispari di ω;

inoltre

1. τ g intero (Tipi I e III): H (ω) e periodica con periodo 2π;

2. τ g semi-intero (Tipi II e IV): H (ω) e periodica con periodo 4π.



5.3. SELEZIONE DEL TIPO DI FILTRO 147

Emerge cosı il quadro seguente, illustrato in Fig. 5.6:

1. Tipo I: H (ω) e periodica con periodo 2π ed e funzione pari di ω;

2. Tipo II: H (ω) e periodica con periodo 4π ed e funzione pari di ω;

3. Tipo III: H (ω) e periodica con periodo 2π ed e funzione dispari di ω;

4. Tipo IV: H (ω) e periodica con periodo 4π ed e funzione dispari di ω.

Tipo I1

0

1

H ( ω )

Tipo II1

0

1

H ( ω )

Tipo III

1

0

1

H ( ω )

Tipo IV

0 2 3 41

0

1

ωH

( ω )

Figura 5.6: Esempi di H (ω) per filtri dei Tipi I - II - III - IV. E mostratala diversa simmetria e periodicita di H (ω) nei quattro casi, caratteristiche cheimplicano che solo il Tipo I sia adatto a tutti i generi di selettivita in frequenza,mentre negli altri casi vi siano delle esclusioni

Osservando la Fig. 5.6, notiamo che

1. Tipo I: H (ω) presenta simmetria pari sia attorno a ω = 0, sia attorno aω = π, quindi e libera di assumere qualunque forma, quella di un passa-basso come quella di un passa-alto oppure di un passa-banda o di unferma-banda;

2. Tipo II: H (ω) presenta simmetria pari attorno a ω = 0 e attorno a ω = 2π,ma presenta simmetria dispari attorno a ω = π e attorno a ω = 3π. Aω = π dunque deve necessariamente essere nulla e quindi non puo assumerela forma di un passa-alto oppure di un ferma-banda;




3. Tipo III: H (ω) presenta simmetria dispari attorno a ω = 0 e attorno a

ω = π, punti in cui deve annullarsi. Pertanto non puo assumere la formadi un passa-basso, di un passa-alto oppure di un ferma-banda;

4. Tipo IV: H (ω) presenta simmetria dispari attorno a ω = 0 e attorno aω = 2π, mentre presenta simmetria pari attorno a ω = π e attorno aω = 3π. A ω = 0 deve necessariamente essere nulla e quindi non puoassumere la forma di un passa-basso oppure di un ferma-banda.

Ne concludiamo che mentre i filtri di Tipo I sono adatti per tutti i di selettivitain frequenza, i filtri di Tipo II possono essere usati solo per filtri passa-basso opassa-banda. Considerando poi che il tipo I ha ritardo intero, mentre il Tipo IIha ritardo semi-intero, se non vi sono indicazioni particolari di solito per i filtri

selettivi in frequenza ci si attiene al Tipo I (ordine pari).

5.4 Selezione del metodo di progetto

I metodi per progettare filtri FIR possono dividersi in due categorie:

1. metodi che richiedono solo calcoli relativamente semplici. Il piu noto e ilprogetto con l’uso di “finestre”, cui faremo tra breve un rapido cenno. Unaltro metodo e il progetto “least squares” (minimi quadrati). Questi me-todi danno buoni risultati ma non sono ottimali in termini di complessitadel filtro progettato.

2. metodi che si basano su ottimizzazioni numeriche e richiedono complicatisoftware di progetto. Il piu noto e il progetto “equiripple” o “minimax” cheesamineremo piu in dettaglio e che garantisce l’accordo con le specifichealla minima complessita possibile.

Un punto cruciale che determina la comodita d’uso di un metodo di progettoe la disponibilita di una qualche formula che consenta di stimare a priori conbuona approssimazione l’ordine del filtro necessario per adeguarsi a determinatespecifiche.

In generale, e intuitivo che quanto piu stringenti sono le specifiche che un filtrodeve soddisfare, piu elevato dovra essere il suo ordine: ad esempio, nel caso diun passa-banda FIR, piu questo dovra essere “buono” (cioe con piccolo ripple,grande attenuazione in banda oscura e banda di transizione stretta), piu l’ordinedovra essere elevato (il che comporta, tra l’altro, una h[n] piu lunga, piu calcolinel filtraggio e tratti piu estesi della sequenza di input “sprecati” nei transitoridella convoluzione con h[n]).

Fissando ad arbitrio specifiche ed ordine, potra facimente accadere che il filtroprogettato non abbia le caratteristiche desiderate. Si dovra allora modificarequalche parametro (normalmente, aumentare l’ordine del filtro) e ripetere fino



5.5. CRITERI DI APPROSSIMAZIONE 149

a soddisfazione. Una valutazione anche approssimativa dell’ordine richiesto per

adeguarsi a certe specifiche fissate nell’ambito di un dato metodo di progettopotra allora far risparmiare molto lavoro.

Tale stima a priori dell’ordine, che si basa su formule empiriche, e possibi-le nel metodo equiripple mentre e limitata ad un caso particolare nel meto-do con finestre: un ulteriore argomento a favore del metodo equiripple (oltreall’ottimalita).

5.5 Criteri di approssimazione

Alla base di un metodo di progetto sta la definizione di una misura di errore,tramite la quale giudicare la “vicinanza” di una certa risposta in frequenza aquella desiderata. Tale misura di errore caratterizza il metodo stesso.

Tre diverse misure di errore vengono usate normalmente nel progetto di filtrinumerici.

1. Progetti “minimax error”

I campioni di h[n], che sono anche i coefficienti della funzione di trasferi-mento del filtro, vengono ottimizzati in modo tale da minimizzare l’errore

massimo della risposta in frequenza del filtro progettato rispetto a quella

desiderata . La soluzione ottenuta e detta minimax o approssimazione diChebyshev.

La quantita da minimizzare e l’errore assoluto massimo in banda passan-te e/o in banda attenuata. Per capire il significato di questa quantita,fissiamo l’attenzione ad esempio sulla banda passante e supponiamo cheil filtro numerico che progettiamo abbia andamento oscillante, come inFig. 5.1. Allora dov’e che l’errore assoluto e massimo? Nei punti in cui larisposta d’ampiezza progettata tocca i limiti di tolleranza, ossia nei puntidi massimo e minimo relativo della risposta d’ampiezza: in altre parole,nei “picchi” della risposta di ampiezza. Quindi l’errore assoluto massimoin banda passante e un “errore di picco”, ed in effetti e proprio questal’espressione che si usa. Analoghe considerazioni valgono in banda oscura.

Dare i limiti di tollerenza significa specificare il valore massimo consentitoper per l’errore assoluto di picco; in base a cio si determina il minimoordine necessario per stare entro i limiti fissati. Si procede poi ad ottimiz-zare i coefficienti del filtro avente l’ordine minimo determinato, in mododa minimizzare effettivamente l’errore assoluto di picco in banda passantee/o in banda attenuata. Il risultato finale potra avere un errore assolutodi picco pari al valore massimo prefissato (limite di tolleranza) o un po’inferiore, a seconda che l’ordine minimo determinato fosse esattamentequello giusto o un po’ sovrabbondante.

In realta le formule empiriche per la determinazione dell’ordine minimosemmai lo sottostimano, quindi e probabile che al primo tentativo, pur




minimizzando, non si stia entro le specifiche. Allora si aumenta l’ordine e

si ripete finche l’errore minimizzato non scende sotto il limite di tolleran-za. Un’altra cosa da tener presente e che se l’ordine minimo determinatoempiricamente e dispari, ed invece si vuole un filtro di Tipo I, bisogneraalmeno aumentarlo di una unita per riportarsi ad ordine pari; e se lespecifiche vengono oltrepassate al primo tentativo ed occorre aumentareancora l’ordine, si dovra aumentarlo di due unita per volta, per restarenell’ambito di filtri di Tipo I.

I filtri ottenuti con questo procedimento risultano “equiripple”, ossia adoscillazione uniforme (dotati di oscillazioni in banda passante ed oscurache all’interno della singola banda sono tutte uguali fra loro). Da questofatto deriva, appunto, il termine equiripple: ripples tutti uguali.

2. Progetti “least squares”In questo caso viene minimizzato l’errore quadratico medio fra la rispostadesiderata e quella effettiva. L’errore che si considera e quello integratosul set di bande di frequenza di interesse (passanti e/o oscure); il fit pu oeventualmente essere pesato diversamente sulle varie bande.

Una variante detta “constrained least squares FIR filter design”, cioe conminimizzazione vincolata dell’errore quadratico medio, permette di effet-tuare la minimizzazione dell’errore integrato imponendo nel contempo li-miti superiore ed inferiore di errore per la risposta di ampiezza nelle variebande.

3. Altri progetti

Esistono anche tecniche di progetto piu semplici, che direttamente nonusano alcuno dei criteri citati: ad esempio la tecnica con uso di “finestre”.

Questo metodo parte da una generica risposta in frequenza desiderataH d(ejω ), ideale, che essendo una funzione periodica di ω con periodo 2π,puo essere sviluppata in serie di Fourier. I coefficienti dello sviluppo sonoi campioni della risposta all’impulso hd[n], non causale e di lunghezzainfinita.

Tale sequenza viene poi troncata per avere una approssimazione FIR equesto viene fatto inquadrandone una porzione di lunghezza finita in una“finestra” di forma opportuna, avente solo un numero finito di campioninon nulli. La finestra piu semplice e una sequenza rettangolare ma possono

essere impiegate anche finestre con discesa piu graduale ai bordi. Discu-teremo in seguito di finestre, quando sara necessario per la discussione dimetodi di stima spettrale nell’ambito dell’approccio statistico all’analisidei segnali (Parte III). Nel caso di uso di sequenza rettangolare, e solo inquello, la tecnica con finestre si inquadra nel secondo criterio di misurad’errore (quello least squares).

La hd[n] del progetto con finestre e una sequenza bilatera e come tale verrainquadrata in una finestra centrata su n = 0, ossia non causale; in seguitola risposta all’impulso verra ritardata per ottenere la causalita. In alter-nativa si puo incorporare un fattore di fase nella risposta ideale ed allorasi puo utilizzare direttamente una finestra causale per il troncamento.



5.5. CRITERI DI APPROSSIMAZIONE 151

Normalmente H d(ejω ) sara costante a tratti con discontinuita tra una

banda e l’altra (si pensi ai quattro generi di filtri ideali). La convergenzadella serie che rappresenta H d(ejω ) sara dunque da intendere in sensoquadratico medio ed ogni troncamento della serie stessa ad un numerofinito di termini coinvolgera il fenomeno di Gibbs. Pertanto la soluzione(la risposta in frequenza del filtro progettato) sara oscillante.

Lo svantaggio di tale metodo e che, come mostrato in Fig. 5.7, le oscilla-zioni in banda passante ed attenuata

• in ogni banda non sono equiripple, ma massime ai lati della disconti-nuita: in questo modo le specifiche vengono soddisfatte a due singolefrequenze ma sono decisamente eccessive alle altre frequenze;

•sono vincolate ad essere uguali in banda passante ed in banda at-tenuata: se, come di solito avviene, le specifiche sono piu stringentiin banda oscura (δs < δ p), si finisce per avere una accuratezza nonnecessaria in banda passante, il che fa crescere l’ordine del filtro.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

ω

| H [ e x

p ( j ω ) ] |

Figura 5.7: Esempio di un Filtro FIR passa-basso di Tipo I progettato colmetodo delle finestre. La finestra utilizzata e quella rettangolare e l’ordine eN − 1 = 28. Si nota il fatto che il filtro non e equiripple e che le oscillazionimassime, collocate ai lati della discontinuita della risposta in frequenza ideale,

hanno la stessa ampiezza in banda passante ed attenuata

E’ intuitivo che se l’errore di approssimazione viene distribuito unifor-memente in frequenza, e se i ripple nelle due bande vengono aggiustatiseparatamente, certe specifiche possono essere soddisfatte con un filtro diordine inferiore.

Questa considerazione qualitativa trova conferma rigorosa in un teore-ma detto “dell’alternanza” che sta alla base del progetto equiripple. Pri-ma di illustrare quest’ultimo metodo, dobbiamo tuttavia riconsiderare lecaratteristiche dei filtri FIR a fase lineare, per definire le quantita cheuseremo.




5.6 Caratteristiche dei filtri FIR a fase lineare

La funzione di trasferimento di un filtro FIR di ordine N −1 (lunghezza N dellarisposta all’impulso h[n]) e un polinomio in z−1 di grado pari all’ordine del filtro

H (z) =N −1n=0

h[n]z−n

e presenta

• N − 1 poli in z = 0,

• N − 1 zeri ovunque nel piano z al finito.

La risposta in frequenza

H (ejω ) =+∞

n=−∞

h[n]e−jωn

esiste certamente perche H (z) converge sul cerchio unitario, essendo la trasfor-mata z di una sequenza di lunghezza finita.

Poiche una sequenza di durata finita N e completamente specificata da N cam-pioni della sua trasformata di Fourier a tempo discreto, il progetto di un filtroFIR puo essere volto a trovare

• gli N campioni della sua h[n], necessari a effettuare filtraggi di sequenzenel dominio del tempo, oppure

• N campioni della sua H (ejω ), necessari a effettuare filtraggi di sequenzenel dominio della frequenza.

Abbiamo visto precedentemente che:

• per avere fase lineare (o lineare generalizzata), il filtro deve essere FIR egli h[n] devono soddisfare certe condizioni di simmetria;

• le caratteristiche in frequenza di un filtro a fase lineare sono preferenzial-mente espresse nella rappresentazione in fase continua, e quindi mediantela risposta a fase nulla H (ω), una quantita reale tale che

H (ejω ) = H (ω)ejφ(ω) = H (ω)ej(φ0−ωτ g)

con τ g = ritardo di gruppo = costante nei filtri a GLP.

A differenza di |H (ejω )|, H (ω) puo assumere valori sia positivi o nulli, sianegativi. In corrispondenza di cio, la fase φ(ω) non contiene piu i saltidi π che in ψ(ω) si trovavano in corrispondenza degli zeri di |H (ejω )| erisulta linearizzata (Fig. 5.8)



5.6. CARATTERISTICHE DEI FILTRI FIR A FASE LINEARE 153

Figura 5.8: Passaggio dalla risposta di ampiezza alla risposta a fase nulla: aquest’ultima e consentito di assumere valori negativi, ed in corrispondenza lafase viene linearizzata

• i filtri numerici RCSR a GLP esistono in quattro tipi.

1. Tipo I:

τ = τ g = N −12

= intero, quindi N − 1 pari, N dispari;

φ0 = 0, quindi h[n] = h[N − 1 − n].

2. Tipo II:

τ = τ g = N −12

= semi-intero, quindi N − 1 dispari, N pari;

φ0 = 0, quindi h[n] = h[N − 1 − n].

3. Tipo III:

τ g = N −12

= intero, quindi N − 1 pari, N dispari;

φ0 = π2 , quindi h[n] = −h[N − 1 − n].4. Tipo IV:

τ g = N −12

= semi-intero, quindi N − 1 dispari, N pari;

φ0 = π2

, quindi h[n] = −h[N − 1 − n].

Il centro di simmetria k = N −12

dei coefficienti h[n] e

– intero per i Tipi I e III,

– semi-intero per i Tipi II e IV, come si puo vedere in Fig. 5.9.




0 1 2 3 4

n

h [ n ]

N = 5

Tipo I

0 1 2 3

n

h [ n ]

N = 4

Tipo II

0 1 2 3 4

n

h [ n ]

N = 5

Tipo III

0 1 2 3

n

h [ n ]

N = 4

Tipo IV

Figura 5.9: Simmetria dei campioni della risposta all’impulso per i quattro tipidi filtri FIR a fase lineare e lineare generalizzata: esempi. Il centro di simmetria,indicato dalla linea nera tratteggiata in ciascun pannello, e k = N −1

2e puo essere

intero o semi-intero

5.6.1 Fattorizzazione della risposta a fase nulla

Ai fini del progetto, e utile unificare la relazione di simmetria dei coefficienti

per i quattro tipi di filtri, cosa che si ottiene come segue.

Per ciascuni dei quattro tipi, si puo fattorizzare H (z) come

H (z) = F (z) · G(z)

dove il termine F (z) ha forma funzionale fissa per ciascun tipo:

F (z) =

1 per il Tipo I1+z−1

2 per il Tipo II1−z−2

2per il Tipo III

1−z−1

2per il Tipo IV

e quindi viene detto “termine fisso”, mentre il termine G(z), detto “termineaggiustabile”,

G(z) =2M n=0

g[n]z−n




con

M =

N −1

2 per il Tipo IN 2

− 1 per il Tipo IIN −32

per il Tipo IIIN 2

− 1 per il Tipo IV,

contiene 2M + 1 coefficienti g[n] che sono diversi a seconda del particolare filtroconsiderato (cioe diversi a seconda delle specifiche) e sono quindi da determinarsiin base alle specifiche stesse (sono, appunto, “aggiustabili”).

Si noti che

• G(z) e esso stesso una funzione di trasferimento di Tipo I (nel senso cheper il Tipo I, F (z) = 1 e quindi H (z) ≡ G(z));

• e un polinomio in z−1 di grado 2M , quindi di grado pari (come pari el’ordine N − 1 per il Tipo I).

Ovviamente i coefficienti g[n] sono legati agli h[n] e quindi sono simmetrici,ma la fattorizzazione operata fa sı che la relazione di simmetria per i nuovicoefficienti g[n] sia unica per i quattro tipi:

g[2M − n] = g[n].

Con questo artificio, lo studio di un metodo di progetto pu o concentrarsi suG(z), cioe sul Tipo I; il metodo di progetto analogo per i filtri degli altri tre tipiviene ricondotto a quello per il Tipo I.

La Tabella 5.1 riporta la relazione tra i coefficienti h[n] ed i coefficienti g[n],diversa per ciascun tipo. In particolare, per il Tipo I si ha h[n] ≡ g[n].

La Fig. 5.10 illustra la relazione tra N , M e numero di coefficienti g[n] tra loroindipendenti, per i quattro tipi di filtri. Si noti che la convoluzione lineare peril filtraggio di un segnale di durata finita richiede solo M + 1 moltiplicazioniperche solo M + 1 coefficienti di h[n] sono indipendenti.

Per le proprieta di simmetria dei g[n] si puo scrivere, partendo dalla formulaG(z) =

2M n=0 g[n]z−n,

G(z) = z−M

g[M ] + g[M − 1](z + z−1) + . . . + g[0](zM + z−M )

che sul cerchio unitario (z = ejω ) da

G(z) = e−jM ωg[M ] + g[M − 1]2 cos ω + g[M − 2]2 cos(2ω) + . . . + g[0]2 cos(Mω).

Per ottenere quest’ultima espressione abbiamo sfruttato il fatto che, ad esempio,

z + z−1 = ejω + e−jω = cos ω + j sin ω + cos ω − j sin ω = 2 cos ω




coefficiente Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV

h[0] g[0] g[0]/2 g[0]/2 g[0]/2

h[1] g[1] g[1]+g[0]2 g[1]/2 g[1]−g[0]

2

h[n] g[n] g[n]+g[n−1]2

g[n]−g[n−2]2

g[n]−g[n−1]2

h[N − 2] g[N − 2] g[N −2]+g[N −3]2

− g[N −4]2

g[N −2]−g[N −3]2

h[N − 1] g[N − 1]g[N −2]

2 −g[N −3]

2 −g[N −2]

2

2M = N − 1 2M = N − 2 2M = N − 3 2M = N − 2

Tabella 5.1: Relazione tra i coefficienti h[n] ed i coefficienti g[n]

0 1 2 3 4

n

h [ n ]

N = 5

M = 2

Tipo I

0 1 2 3

n

h [ n ]

N = 4

M = 1

Tipo II

0 1 2 3 4

n

h [ n ]

N = 5

M = 1

Tipo III

0 1 2 3

n

h [ n ]

N = 4

M = 1

Tipo IV

Figura 5.10: Valore di M per ciascuno dei quattro tipi di filtri FIR a faselineare e lineare generalizzata: esempi. In rosso sono evidenziati i coefficientiindipendenti




e relazioni analoghe.

Lasciando da parte il fattore di fase, abbiamo dunque

G(ω) = g[M ] + g[M − 1]2 cos ω + g[M − 2]2 cos(2ω) + . . . + g[0]2 cos(Mω)

che puo essere riscritta come

G(ω) =M

n=0

a[n]cos(ωn)

avendo posto

a[n] =

2g[M − n] per n = 0

g[M ] per n = 0.

Analogamente, dopo alcuni passaggi si arriva a scrivere

F (z) =

1 per il Tipo I

e−j ω2 cos( ω

2) per il Tipo II

e−j(ω−π2) sin ω per il Tipo III

e−j(ω2−π

2) sin( ω

2) per il Tipo IV

da cui, lasciando da parte i fattori di fase,

F (ω) =

1 per il Tipo I

cos( ω2 ) per il Tipo II

sin ω per il Tipo III

sin( ω2

) per il Tipo IV.

Combinando le espressioni ottenute per G(ω) e F (ω) si ottiene la risposta a fasenulla,

H (ω) = F (ω) · G(ω).

Nell’espressione del termine aggiustabile G(ω) =M

n=0 a[n]cos(ωn) a questopunto rimangono solo M +1 coefficienti a[n] indipendenti tra loro e determinarlisara lo scopo del progetto.

Dalle stesse espressioni, riprendendo e mettendo insieme i fattori di fase primascartati, si deriva anche la forma del termine di fase:

φ(ω) =

− N −1

2ω per i Tipi I e II (fase strettamente lineare),

− N −12 ω + π

2 per i Tipi III e IV (fase lineare generalizzata).

Si ha quindi un semplice sfasamento o ritardo di N −12 campioni per i Tipi I

(ritardo intero) e II (ritardo semi-intero).

Come gia detto, normalmente si usano filtri dei Tipi I e II perche il ritardodi fase τ = −φ(ω)/ω = N −1

2e indipendente dalla frequenza, come desiderato




per preservare la forma del segnale; i filtri di Tipo II e IV sono usati per filtri

speciali.

Prima di passare oltre, notiamo che la forma dei termini con cui H (ω) e statafattorizzata e consistente con quanto detto in precedenza a proposito del fattoche solo i filtri di Tipo I sono adatti per tutti i tipi di selettivita in frequenza. Inparticolare, il comportamento di H (ω) a ω = 0 e ω = π e vincolato dal termineF (ω):

1. Tipo I: F (ω) = 1, quindi F (ω) non si annulla mai e lascia H (ω) libera diassumere qualunque forma;

2. Tipo II: F (ω) = cos( ω2

), quindi a ω = π si ha F (ω) = 0 e H (ω) = 0: il filtro

non puo assumere la forma di un passa-alto oppure di un ferma-banda;

3. Tipo III: F (ω) = sin ω, quindi a ω = 0 e ω = π si ha F (ω) = 0 eH (ω) = 0: il filtro non puo assumere la forma di un passa-basso, di unpassa-alto oppure di un ferma-banda;

4. Tipo IV: F (ω) = sin( ω2

), quindi a ω = 0 si ha F (ω) = 0 e H (ω) =0: il filtro non puo assumere la forma di un passa-basso oppure di unferma-banda.

5.6.2 Zeri della funzione di trasferimento dei filtri FIR a

GLP

Gli zeri di H (z) sono determinati sia da F (z), sia da G(z).

Per quanto concerne il termine fisso,

F (z) =

1 per il Tipo I: nessuno zero1+z−1

2 per il Tipo II: uno zero in z = −11−z−2

2per il Tipo III: due zeri in z = ±1

1−z−1

2per il Tipo IV: uno zero in z = +1.

Per gli zeri di G(z), si osserva che poiche

G(z) = z−M

g[M ] + g[M − 1](z + z−1) + . . . + g[0](zM + z−M )

,

G(z−1) = zM

g[M ] + g[M − 1](z−1 + z) + . . . + g[0](z−M + zM )

,

ossia

G(z−1) = z2M G(z).

Se ne deduce che G(z) e G(z−1) hanno gli stessi zeri (si ricordi che in z = 0 visono i poli).




Questa proprieta ha come conseguenza che gli zeri di G(z) appaiono in coppie

speculari: per un G(z) con coefficienti reali, gli zeri sono reali o appaiono incoppie in cui un membro e il complesso coniugato dell’altro.

Piu in dettaglio, come illustrato in Fig. 5.11, si hanno:

• quadrupletti non disposti sul cerchio unitario:

z = rie±jθi ; 1ri

e±jθi ;

• coppie complesso-coniugate sul cerchio unitario:

z = e±jθ′i ;

• coppie reciproche sull’asse reale:

z = r′i; 1r′i .

Figura 5.11: Zeri della funzione G(z): esempio

Questi sono anche gli zeri di una H (z) di Tipo I. Gli altri tipi presentano diffe-renze rispetto al Tipo I, per quanto concerne gli zeri, solo in z = ±1, a seconda

del tipo e quindi della forma di F (z).

5.6.3 Rappresentazione alternativa di G(ω)

La forma di G(ω) discussa finora e una p ossibile rappresentazione della rispostaa fase nulla dei filtri di Tipo I, che verra usata per il progetto minimax.

Un’altra rappresentazione di G(ω) utile nel medesimo contesto deriva dall’den-tita

cos(nω) = T n(cos ω)




dove

T n(x) = cos(n arccos x)e il Polinomio di Chebyshev di grado n in x.

Questi polinomi possono essere generati con la formula ricorsiva

T 0(x) = 1

T 1(x) = x

. . .

T n(x) = 2xT n−1(x) − T n−2(x).

Usando queste relazioni si puo scrivere cos(nω) come un polinomio di grado nin cos ω e quindi scrivere G(ω) come un polinomio di grado M in cos ω:

G(ω) =M

n=0

a[n] cos(ωn) =M

n=0

α[n]cosn ω,

dove i coefficienti α[n] sono, ovviamente, ricavabili dagli a[n] (a loro volta legatiai g[n], etc...).

5.7 Approssimazioni equiripple per filtri FIR a

GLP

Il metodo che ora descriveremo, detto “progetto di filtri equiripple” o “ad oscil-lazione uniforme” o “progetto minimax”, serve per progettare filtri FIR a GLPdi uno qualsiasi dei quattro tipi.

Il progetto si basa sulla fattorizzazione della risposta a fase nulla che abbiamostudiato, ossia sul fatto che si puo scrivere H (ω) = F (ω) · G(ω), dove solo G(ω)contiene coefficienti aggiustabili, da determinarsi a seconda delle specifiche delparticolare filtro considerato.

Lavorare sulla risposta a fase nulla, anziche sulla risposta di ampiezza, e comodoma non restrittivo: infatti conosciamo gia la risposta di fase e sappiamo a prioricome l’output del filtro sara ritardato rispetto all’input.

Il metodo serve proprio a determinare, in base alle specifiche espresse, i coef-ficienti a[n] o α[n] di G(ω) =

M n=0 a[n]cos(ωn) =

M n=0 α[n]cosn ω, per poi

risalire tramite i g[n] ai coefficienti h[n] della risposta all’impulso.

Dalla discussione precedente appare chiaro che possiamo limitarci a discutere ilTipo I, per il quale H (ω) = G(ω), essendo poi in grado di risalire ad H (ω) pergli altri tre tipi utilizzando la forma, nota, di F (ω), che differenzia il Tipo II,oppure III, oppure IV dal Tipo I.



5.7. APPROSSIMAZIONI EQUIRIPPLE PER FILTRI FIR A GLP 161

Illustriamo il metodo nel caso di un passa-basso di Tipo I. Il caso di un passa-alto

sarebbe perfettamente analogo; qualche differenza nasce considerando invece unpassa-banda o un ferma-banda, perche questi due generi di filtri presentano,rispetto al passa-basso, un numero diverso di bande. In seguito discuteremobrevemente le implicazioni di questo fatto.

Fissiamo dunque l’attenzione su un passa-basso di Tipo I, con ordine N −1 parie lunghezza N della risposta all’impulso dispari, che dovra soddisfare le speci-fiche mostrate, questa volta in termini di risposta a fase nulla, nella Fig. 5.12.L’esempio riportato ha N = 15 e M = N −1

2= 7.

0 ω p ωs

s

0

+s

1 p1

1 + p

ω

H ( ω )

Figura 5.12: Specifiche per il progetto di un passa-basso di Tipo I, con N = 15e M = 7. Le linee rosse rappresentano la risposta desiderata in banda passanteed in banda oscura, le linee verdi indicano i limiti di tolleranza e la curva blumostra la risposta a fase nulla di una approssimazione minimax che soddisfa lespecifiche

Si noti che, come gia detto, i vincoli vengono posti esclusivamente sulle bandepassante ed oscura; nella banda di transizione non si pongono vincoli su H (ω),ma la banda di transizione stessa deve avere larghezza non nulla perche il filtrosia realizzabile.

Poiche non e possibile fissare indipendentemente ciascuno dei cinque parametriM , ω p, ωs, δ p e δs, sono stati sviluppati algoritmi di progetto in cui alcunidi questi parametri sono fissati ed i rimanenti vengono ottimizzati con unaprocedura iterativa di minimizzazione dell’errore massimo su (0, ω p) e (ωs, π).




Noi considereremo l’approccio in cui si fissano M , ω p, ωs ed il rapporto κ =

δ p/δs, mentre l’effettivo valore di δ p (e quindi di δs) viene minimizzato.

Ripetiamo ancora una volta che:

• il metodo porta a costruire filtri ottimizzati secondo il criterio minimax,che risultano ottimi nel senso che si accordano alle specifiche col minimo

ordine possibile ad un filtro FIR a GLP;

• il progetto minimax ha caratteristiche di estrema efficienza nell’ottimizzarefiltri con specifiche arbitrarie su H (ω), tanto che la sua esistenza costituisceun argomento a favore dell’uso dei filtri FIR rispetto a quello dei filtri IIR;

• il procedimento consente di ottenere filtri selettivi in frequenza, in generale

multibanda, e filtri speciali; i primi sono di Tipo I o II, i secondi di TipoIII e IV;

• per i Tipi I e II usati per selezionare in frequenza, fissato l’ordine N − 1resta automaticamente determinato il valore di M ed il tipo (Tipo I sel’ordine e pari, Tipo II se e dispari).

Tra le molte varianti di cui si ha notizia in letteratura, l’algoritmo piu efficientedi progetto minimax e quello di Remez, detto multiple exchange algorithm perle ragioni che vedremo. Dell’algoritmo di Remez, il metodo di attuazione insoftware piu usato e quello di McClellan, Parks e Rabiner (algoritmo MPR).

Un parametro importante nel progetto e il numero di massimi e minimi lo-

cali che H (ω), oscillando (come si addice ad una sovrapposizione di coseni),raggiunge nell’intervallo 0 ≤ ω ≤ π.

La Fig. 5.13 mostra, per il nostro passa-basso, le frequenze a cui cadono i mas-simi ed i minimi locali, che nell’esempio sono anche frequenze a cui H (ω) e allimite della tolleranza d’errore. Inoltre H (ω) e al limite della tolleranza d’erroreanche in ω p e ωs: in totale abbiamo cosı 7 + 2 = M + 2 = 9 frequenze.

Per esaminare in generale la dipendenza del numero di massimi e minimi localidi H (ω) da M , si utilizza l’espressione di G(ω) come somma di potenze di cos ω:per il Tipo I

H (ω) = G(ω) =

M n=0

α[n]cosn

ω,

che essendo un polinomio trigonometrico di ordine M , puo avere al massimo

M − 1 massimi e minimi locali nell’intervallo aperto 0 < ω < π. Inoltre

dH (ω)

dω= − sin ω

M n=0

nα[n]cosn−1 ω = 0 per ω =

0

π

e quindi vi e sempre un massimo o un minimo a ω = 0 e ω = π.

Conclusione: si hanno al massimo M + 1 estremi locali di H (ω) nell’intervallochiuso 0 ≤ ω ≤ π. Non e detto pero a priori che i massimi siano tutti uguali




ω0 ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8

s

0

+s

1 p1

1 + p

ω

H ( ω )

Figura 5.13: Frequenze a cui H (ω) e al limite della tolleranza d’errore. Nell’e-sempio (filtro di Tipo I con M = 7) abbiamo M + 2 = 9 frequenze, numerateda 0 a M + 1 = 8, con ω0 = 0, ω3 = ω p, ω4 = ωs e ω8 = π

fra loro, e cosı i minimi; se un massimo o un minimo e piu piccolo degli altri, inquel punto H (ω) non arrivera al massimo della tolleranza d’errore.

Dobbiamo ora stabilire quali requisiti debba avere un filtro per essere ottimo.

L’algoritmo MPR consente di trovare i coefficienti di G(ω) =M

n=0 a[n] cos(ωn) =M n=0 α[n]cosn ω che minimizzano, in un sottoinsieme chiuso F di (0, π), il

valore assoluto di picco dell’errore:

ǫ = maxω∈F

|E (ω)|

doveE (ω) = W (ω)

G(ω) − H d(ω)

con W (ω) > 0 e H d(ω) continua in F , anche a tratti.

Le funzioni W (ω) e H d(ω) sono per G(ω) cio che W (ω) e H d(ω) sono per H (ω):

E (ω) = W (ω) [H (ω) − H d(ω)] =

= W (ω) [F (ω)G(ω) − H d(ω)] =

= W (ω)F (ω)

G(ω) − H d(ω)

F (ω)

=

= W (ω)

G(ω) − H d(ω)

,




con

W (ω) = W (ω)F (ω),

H d(ω) =H d(ω)

F (ω),

e servono per esprimere le specifiche in termini di G(ω).

L’insieme F include, nel nostro esempio di filtro passa-basso, sia la bandapassante, sia quella attenuata:

F = 0 ≤ ω ≤ ω p ∪ ωs ≤ ω ≤ π.

Riferendoci ancora all’esempio del passa-basso, si avra

H d(ω) =

1 per 0 ≤ ω ≤ ω p

0 per ωs ≤ ω ≤ π

e

W (ω) =

1 per 0 ≤ ω ≤ ω p

κ per ωs ≤ ω ≤ π

con κ = δ p/δs = rapporto tra le ampiezze di errore massimo in banda passanteed attenuata; si avra infine ǫ = δ p.

Per il Tipo I, F (ω) = 1, W (ω) = W (ω), H d(ω) = H d(ω).

L’operazione di minimizzazione di max |E (ω)| negli intervalli 0 ≤ ω ≤ ω p eωs ≤ ω ≤ π equivale dunque a minimizzare δ p (dopo averne fissato un valore apriori non superabile), fissati M , ω p, ωs ed il rapporto κ = δ p/δs.

L’algoritmo di Remez viene costruito sulla base di un teorema che esprime lecondizioni per l’ottimalita, secondo il criterio minimax, di un filtro FIR a GLP:il Teorema dell’Alternanza , il cui enunciato e il seguente.

“Dato F , un qualsiasi sottoinsieme chiuso dell’intervallo chiuso 0 ≤ ω ≤ π,affinche H (ω) sia l’unica migliore approssimazione di H d(ω) su F e necessario

e sufficiente che la funzione errore E (ω) presenti su F almeno M +2 alternanze,ossia punti ωi in cui il valore assoluto e massimo ed il segno e alterno:

E (ωi) = −E (ωi−1) = ± max |E (ω)| = ±ǫ

con 1 ≤ i ≤ M + 1 (totale: M + 2 punti, con indice da 0 a M + 1), ǫ > 0 e confrequenze

ω0 ≤ ω1 ≤ ω2 ≤ . . . ωM +1

contenute in F ”.

La Fig. 5.14 mostra le alternanze di errore nel caso del nostro esempio. IlTeorema dell’Alternanza e soddisfatto, essendoci M + 2 = 9 alternanze.

Si noti che




s

0/ = s

1 p1 + p

ω

H ( ω )

ω0 ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8

0

+

E ( ω )

Figura 5.14: Alternanze di errore E (ω) per la risposta H (ω) (punti sulla curvarossa). Nell’esempio (filtro di Tipo I con M = 7) abbiamo M +2 = 9 alternanze

• le ωi sono i punti di picco di |E (ω)|, ossia i punti in cui H (ω) e al limitedella tolleranza di errore;

• ω p e ωs sono sempre punti di massimo/minimo di E (ω), indipendente-mente da M , e quindi rientrano nel set delle ωi, mentre non sono punti dimassimo/minimo di H (ω).

Ora possiamo trarre le conclusioni:

• H (ω) puo avere al piu M − 1 massimi e minimi locali in 0 < ω < π; lostesso si dimostra essere vero negli intervalli aperti combinati 0 < ω < ω p,

ωs < ω < π; inoltre H (ω) ha sempre un massimo o minimo locale in ω = 0e ω = π; infine, in ω p e ωs si raggiunge il massimo della tolleranza, ossiaH (ω p) = 1 − δ p, H (ωs) = δs.

In totale, nel nostro esempio passa-basso, che ha due bande e quindi unsingolo valore di ω p ed un singolo valore di ωs, possono esserci al massimo

M − 1 + 2 + 2 = M + 3

frequenze a cui E (ω)| raggiunge il suo massimo;

• per il Teorema dell’Alternanza debbono esserci al minimo M +2 alternanze(massimi di |E (ω)| con segni alterni di E (ω)).




Quindi la migliore approssimazione H (ω) di H d(ω) produce una E (ω) con M +2

oppure M + 3 alternanze.

In ω p e ωs, |E (ω)| e sempre massimo, quindi restano, per |E (ω)|, M oppureM + 1 picchi dovuti ai massimi e minimi locali di H (ω); ω = 0 e ω = π possonoessere estremi della funzione d’errore

• entrambi, ed allora si hanno M + 3 oppure M + 2 alternanze,

• uno solo dei due, ed allora si hanno M + 2 alternanze.

Per chiarire questo punto, nella Fig. 5.15 sono mostrati tutti i casi possibili: per

M , κ e larghezza della banda di transizione fissati, si verificher a uno di questicasi a seconda del valore di ω p (e quindi di ωs, essendo fissata la larghezza dellabanda di transizione).

Nella Fig. 5.15, ω p assume quattro valori crescenti, ω p1 < ω p2 < ω p3 < ω p4

(ovviamente, fissando anche ω p la soluzione diviene unica).

1. Per ω p = ω p1, |E (ω)| e massimo in ω = π ed in altri M − 1 estremi localidi H (ω), ma non in ω = 0. Quindi M estremi di H (ω) rappresentanoestremi di |E (ω)| ed includendo ω p e ωs si hanno M + 2 alternanze diE (ω).

2. Per ω p = ω p2, |E (ω)| e massimo sia in ω = 0, sia in ω = π ed in altri M −1estremi locali di H (ω). Quindi M + 1 estremi di H (ω) rappresentanoestremi di |E (ω)| ed includendo ω p e ωs si hanno M + 3 alternanze diE (ω).

Questo e un filtro con oscillazione extra o extraripple.

3. Per ω p = ω p3, |E (ω)| e massimo in ω = 0 ed in altri M −1 estremi locali diH (ω) ma non in ω = π. Quindi M estremi di H (ω) rappresentano estremidi |E (ω)| ed includendo ω p e ωs si hanno M + 2 alternanze di E (ω).

4. Per ω p = ω p4, |E (ω)| e massimo sia in ω = 0, sia in ω = πed in altri M −2estremi locali di H (ω). Quindi M estremi di H (ω) rappresentano estremi

di |E (ω)| ed includendo ω p e ωs si hanno M + 2 alternanze di E (ω).

Dagli esempi fatti si capisce anche che se a priori non e detto che H (ω) sia equi-ripple, per soddisfare il Teorema dell’Alternanza H (ω) deve essere effetiivamente

equiripple, eccetto eventualmente a ω = 0 oppure ω = π.

Infatti se il nostro filtro venisse modificato come in Fig. 5.16, un picco (qui unminimo relativo) diverso dagli altri in posizione differente da ω = 0 oppure ω = πdarebbe luogo ad errori massimi contigui dello stesso segno; se ne potrebberocontare cosı soltanto 8 = M + 1 ed il Teorema dell’Alternanza non sarebbesoddisfatto.



ωp = ωp1

M + 2

0 ω p ωs s

0+s

1 p1 + p

ω

H ( ω )

ωp = ωM + 3

Filtro extra

0 ω p ωs

s0

+s

1 p1 + p

ω

ωp = ωp3

M + 2

0 ω p ωs s

0+s

1 p1 + p

ω

H ( ω )

ωp = ωM + 2

0 ω p ωs

s0

+s

1 p1 + p

ω

Figura 5.15: Come cambia la forma di H (ω) facendo crescere ω p (ω p1 < ω p2 < ω p3 < ω p4), mentre M , κ e fissi. In ogni riquadro e indicato il numero di alternanze; solo in un caso esso vale M + 3, identificando cosı u




M = 7

0 ω p ωs

s

0

+s

1 p

1 + p

ω

H ( ω )

Figura 5.16: Come un estremo relativo di H (ω) di entita diversa dagli altri,in una posizione diversa da ω = 0 oppure ω = π, da luogo ad errori massimiadiacenti dello stesso segno, cosı che il Teorema dell’Alternanza non e soddi-sfatto. In questo esempio (M = 7), un minimo meno profondo fa nascere due

errori massimi contigui dello stesso segno (cerchietti con crocetta) cosı che sene possono contare, ai fini delle alternanze, soltanto 8=M + 1 (cerchietti rossi):non abbastanza per soddisfare il teorema

Con una argomentazione simile si puo mostrare che ω p e ωs devono sempre essereincluse tra le ωi di errore massimo, come illustrato in Fig. 5.17. Infatti togliereuna delle due frequenze dal set significherebbe diminuire di due il numero dialternanze, come prima.

Considerazioni analoghe possono essere fatte per un passa-alto ma non valgononecessariamente per filtri passa-banda o multi-banda, che presentano un numeromaggiore di estremi di banda. Discuteremo questo tra poco.

La discussione precedente vale per il Tipo I. Per gli altri Tipi di filtri (II, III,IV), come gia detto, il problema di approssimazione polinomiale viene risoltoanalogamente, salvo poi tenere conto che F (ω) = 1 e quindi H (ω) = G(ω).



5.8. STIMA A PRIORI DELL’ORDINE 169

M = 7

0 ω p ωs

s

0

+s

1 p

1 + p

ω

H ( ω )

Figura 5.17: Perche ω p deve sempre essere inclusa tra le ωi di errore massimo:il caso di un ipotetico filtro in cui, ad esempio, ω p non e in posizione tale dadare errore massimo ma e un po’ inferiore (quadratino nero). Scomparendo ω p

dal set di ωi di errore massimo, si vengono ad avere due errori massimi contigui

dello stesso segno (cerchietti con crocetta). In tal modo si possono contare solo8=M +1 alternanze (cerchietti rossi): non abbastanza per soddisfare il Teoremadell’Alternanza

5.8 Stima a priori dell’ordine

Stimare a priori l’ordine necessario per soddisfare le specifiche, e quindi stimareM , e necessario perche l’ordine stesso e un parametro di input del progetto:il processo iterativo per ottenere un filtro ottimo comincia assegnando i valoriiniziali delle M + 2 frequenze ωi alle quali si suppone che |E (ω)| raggiunga ilsuo massimo.

Per il filtro passa-basso, Kaiser ha proposto una formula empirica per stimareapprossimativamente l’ordine richiesto in base a ∆ω = ωs−ω p, δ p e δs specificatia priori:

N =−20 log10

δ pδs − 13

2.324∆ω

dalla quale si comprende che a parita di tolleranze d’errore, l’ordine del filtrorichiesto varia inversamente a ∆ω.

Da questa stima si ricava poi M a seconda del tipo di filtro (I, II, III o IV).




A questo punto occorre far chiarezza su un’apparente contraddizione. Abbiamo

detto in precedenza che per progettare il filtro si fissano l’ordine, quindi M , ivalori di ω p, ωs ed il rapporto κ = δ p/δs, mentre l’effettivo valore di δ p (e quindidi δs) viene minimizzato. Ma per stimare l’ordine, vediamo ora che κ = δ p/δs

non basta, occorrono valori fissati a priori delle singole tolleranze δ p e δs.

Nella pratica si parte proprio fissando ω p, ωs, δ p e δs; si puo cosı, tramite laformula empirica, farsi un’idea dell’ordine necessario. In seguito, nel processodi ottimizzazione (che riceve in input l’ordine, i valori di ω p, ωs ed il rapportoκ = δ p/δs), il valore di ǫ = δ p viene minimizzato (e quindi anche il valore di δs,mantenendosi costante il rapporto κ = δ p/δs). Nella soluzione ottima l’errorefinale deve stare entro le δ p e δs prefissate; questo sara possibile solo se l’ordinee stato fissato sufficientemente alto. Se questo e vero, il lavoro di progetto eterminato ed il δ p effettivo, minimizzato, sara circa uguale o un po’ inferiore a

quello prefissato. Se invece la stima a priori dell’ordine era carente, la soluzioneottima debordera dalle specifiche prefissate. Allora si aumentera l’ordine finchela soluzione ottima soddisfa le richieste, ricordandosi che se si e partiti da ordinepari, per esempio, occorrera salire di due unita per rimanere nell’ambito di unfiltro di Tipo I.

Per ogni valore dell’ordine occorre dunque un processo di ottimizzazione ite-rativa ed e chiaro come stimare bene fin dall’inizio l’ordine richiesto facciarisparmiare tempo e mezzi di calcolo.

Il sofisticato software necessario per il progetto minimax e disponibile, ad esem-pio, in MATLAB.

5.9 Procedimento iterativo per filtri ottimi

Si trova notizia in letteratura di modi diversi per attuare l’algoritmo MPR.E’ istruttivo seguire una classica attuazione dell’algoritmo, per apprezzarnel’efficienza. Riferiamoci come sempre al passa-basso di Tipo I.

1. Si inizializza il processo assegnando M + 2 frequenze ωi (i = 0, M + 1) sucui si ipotizza che

|E (ω)

|raggiunga il suo massimo. Si noti che M + 2 e il

minimo possibile numero di alternanze richiesto dall’omonimo teorema. Leωi potranno essere scelte, ad esempio, equidistanti su F , salvo conteneresempre e comunque in posizioni contigue ω p e ωs, per cui se ωi=l = ω p,allora ωi=l+1 = ωs.

2. Per stimare l’errore nei punti ωi si scrivono M + 2 equazioni del tipo

E (ωi) = W (ωi)

G(ωi) − H d(ωi)

= (−1)iǫ.

Se ǫ venisse assunto positivo, come fatto finora, ω0 dovrebbe sicuramenteessere un massimo di E (ω), ω1 un minimo, ecc... per cui ωl = ω p do-vrebbe avere l dispari (in quanto in ω p l’errore e certamente minimo). In



5.9. PROCEDIMENTO ITERATIVO PER FILTRI OTTIMI 171

realta si consente a ǫ di essere sia positivo, sia negativo, cosı che ω0 non e

necessariamente un massimo ma puo pure essere un minimo, e cosı via.Il precedente sistema di M + 2 equazioni e equivalente a

W (ωi)

M

n=0

α[n]cosn(ωi) − H d(ωi)

= (−1)iǫ

le cui M + 2 incognite sono i coefficienti α[n] e ǫ, che deve venire mi-nimizzato. Per l’esempio del passa-basso che stiamo esaminando, piusemplicemente

1 ·

M n=0 α[n]cosn(ωi) − 1

= (−1)iǫ

κ· M

n=0α[n]cosn(ω

i)−

0 = (−

1)iǫ.

I parametri su cui giocare nel corso dell’ottimizzazione sono le ωi, chedevono essere determinate in modo tale che la soluzione, di sicuro ottimain partenza sull’insieme delle ωi, sia in effetti, alla fine, ottima su tutto F :in altri termini, ǫ alla fine deve essere l’errore massimo su tutto il dominioF .

Quando cio si verifica, le ωi sono - a parte ω p e ωs - effettivamente imassimi ed i minimi del “giusto” polinomio G(ω) con le “giuste” α[n].

3. In linea di principio, a questo punto si deve risolvere il sistema rispetto a ǫed alle α[n], determinando cosı il polinomio trigonometrico G(ω) = H (ω)

che ha i valori giusti alle frequenze ωi inizialmente fissate.Il polinomio cosı determinato passera per le ωi, ma in generale questenon saranno - o almeno non tutte saranno - esattamente le posizioni deimassimi e minimi locali del polinomio: questo perche l’errore di piccocalcolato e troppo piccolo; le assegnazioni iniziali delle ωi non andavanobene (com’e ovvio).

I massimi e minimi locali del polinomio in realta cadranno a certe altrefrequenze ωi.

4. Le posizioni ωi dei massimi e minimi locali del polinomio vengono deter-minate con accuratezza, stimando i valori del polinomio su un insiemefitto di punti. Le ωi, piu ω p e ω p che vengono tenuti fissi, vengono scelte

come nuove frequenze su cui ripetere la procedura. Questo e appunto l’ex-change step che da il nome di multiple exchange algorithm all’algoritmodi Remez.

Se c’e un massimo della funzione d’errore sia a ω = 0, sia a ω = π, nelnuovo set di frequenze ωi si inserisce quello che corrisponde all’errore piugrande.

Contemporaneamente, viene aggiornato il valore di picco dell’errore, checosı cresce rispetto al passo precedente.

5. Si itera finche ωi−ωi per tutte le i scende sotto un piccolo valore prefissatoe ǫ, dapprima crescente, si stabilizza.




6. Alla fine si ottiene la risposta in frequenza e la risposta all’impulso del

filtro ottimo.

Questi passaggi sono illustrati nelle Fig. 5.18, 5.19 e 5.20.

La Fig. 5.18 mostra la forma della risposta a fase nulla (il nostro polinomio) aivari stadi iterativi di una tipica procedura come quella descritta. Nell’esempio,che e quello di un passa-basso di Tipo I di ordine N − 1 = 20 con κ = 1,ω p = 0.4π e ∆ω = 0.1π, la convergenza avviene dopo 7 iterazioni e ad ogni stadiodi iterazione, le posizioni dei massimi e minimi locali del polinomio cambiano.

ω

H ( ω )

0

s0

+s

1 p1

1 + p

Iterazione 1Iterazione 2

Iterazione 3

Iterazione 4

Iterazione 5

Iterazione 6

Iterazione 7

Figura 5.18: Cambiamenti di forma della risposta a fase nulla nei vari stadi diiterazione dell’algoritmo di Remez per il progetto di un passa-basso di Tipo I diordine N − 1 = 20 con κ = 1, ω p = 0.4π e ∆ω = 0.1π. La convergenza avvienedopo 7 iterazioni

La Fig. 5.19 e un ingrandimento della banda passante del filtro, negli stadi diiterazione n. 2 (blu) e n. 3 (verde). Le frequenze di picco dell’iterazione n. 2sono visibili sulla curva polinomiale blu spessa (cerchietti e linee tratteggiateblu verticali). Le linee orizzontali blu sottili rappresentano il valore di ǫ perl’iterazione n. 2. Nell’iterazione successiva n. 3, tali frequenze di picco ven-gono assunte come nuove frequenze ωi a cui si suppone che il nuovo polinomioraggiunga le tolleranze di errore aggiornate (linee sottili orizzontali verdi). Inrealta il nuovo polinomio e la curva verde spessa, che non solo raggiunge masupera le tolleranze. I punti di intersezione del nuovo polinomio con le linee ditolleranza d’errore sono segnate dai quadratini rossi.



5.9. PROCEDIMENTO ITERATIVO PER FILTRI OTTIMI 173

Si noti che nemmeno la curva polinomiale verde dell’iterazione n. 3 ha i massimi

ed i minimi al “punto giusto” perche siamo ancora a stadi intermedi di iterazione:le iterazioni dovranno proseguire.

0

1 p

1

1 + p

ω

H ( ω )

Figura 5.19: Ingrandimento della banda passante del filtro di Fig. 5.18, neglistadi di iterazione n. 2 (blu) e 3 (verde). I quadratini rossi evidenziano comead un dato stadio di iterazione (sia il n.3) le frequenze di picco del polinomiodello stadio iterativo precedente (n. 2) vengano assunte come nuove frequenzealle quali si suppone che il polinomio raggiunga l’errore massimo. Allo stadion.3 non vi e ancora convergenza del processo, come si vede dal fatto che anchela nuova curva (verde) non ha i massimi ed i minimi nelle posizioni indicate daiquadratini rossi

Infine, la Fig. 5.20 e ancora un ingrandimento della banda passante del filtro,negli stadi di iterazione n. 1 (nero), n. 2 (blu), n. 3 (verde) e n. 4 (viola).

La figura e volta a mostrare come ad ogni passo iterativo l’errore massimocalcolato (linee orizzontali sottili) cresce. Nella figura si vede anche come vienecalcolato: guardando l’errore alla frequenza zero. La crescita dell’errore da unaiterazione alla successiva diverra via via piu lenta ad ogni iterazione, fino aquando l’errore non crescera piu e la convergenza sara raggiunta.

Quanto esposto sopra vale in linea di principio; in realta si sono trovati modiper alleggerire i calcoli.




0

1 p

1

1 + p

ω

H ( ω )

Figura 5.20: Ingrandimento della banda passante del filtro di Fig. 5.18, neglistadi di iterazione n. 1 (nero), n. 2 (blu), n.3 (verde) e n.4 (viola). Si noticome ad ogni passo iterativo l’errore massimo calcolato (linee orizzontali sottili)cresce

Ad esempio, si trova che ǫ nel sistema delle M + 2 equazioni scritte prima puoessere calcolato esplicitamente in funzione di tutti i valori di H d(ωi), W (ωi) edi una quantita

ηi =

M +1k=0

(cos ωi − cos ωk)−1

con k = i.

Questa quantita contiene le ωi, che, come visto, nei passi intermedi di iterazionenon saranno quelle “giuste”; come risultato l’errore calcolato sara troppo piccolo.

Una volta noto ǫ, per valutare G(ω) su ogni punto dell’insieme fitto di frequenzee quindi dedurre le nuove ωi per l’exchange step, non occorre risolvere il siste-ma, cioe trovare i coefficienti α[n] del polinomio: si puo usare una formula diinterpolazione di Lagrange basata sui valori G(ωi), che sono noti perche

G(ωi) = H d(ωi) +(−1)iǫ

W (ωi).

Quindi solo i valori finali delle α[n] (da cui ricavare gli h[n]) sono necessari.

Percio basta



5.10. PROPRIET A DEI FILTRI FIR OTTIMI SECONDO IL CRITERIO MINIMAX 175

1. partire da un set di ωi;

2. calcolare ηi, H d(ωi) e W (ωi) ad ogni i e valutare ǫ;

3. calcolare G(ωi), interpolare per avere G(ω) su un set fitto di frequenze elocalizzare i massimi/minimi di G(ω);

4. fissare le nuove ωi ed iterare dal punto n. 2 fino alla convergenza;

5. alla fine si risolvera il sistema per le α[n] o meglio, si fara una DFT inversadella H (ω) ottenuta, per avere direttamente gli h[n] del filtro, che ha il δ p

minore possibile per i fissati N , ω p, ∆ω e κ.

Saranno necessarie da 4 a 8 iterazioni per un passa-basso e 2-3 volte tanto perfiltri piu complessi.

Se la soluzione finale non rientra nelle tolleranze fissate a priori, bisognera salirecon l’ordine e ripetere la procedura.

5.10 Proprieta dei filtri FIR ottimi secondo ilcriterio minimax

E’ interessante esaminare la dipendenza dell’errore massimo ottimizzato dallafrequenza di taglio ω p, a parita di genere di filtro (sia come sempre un passa-

basso) ed a parita di valori di κ e ∆ω, per ordini diversi.

Il grafico che si ottiene e presentato in Fig. 5.21. Gli ordini considerati vannoda 8 a 11 (N da 9 a 12): si tratta quindi di Filtri sia di Tipo I (N = 9 e 11),sia di Tipo II (N = 10 e 12).

Le curve in Fig. 5.21 mostrano che al crescere di ω p, l’errore massimo raggiungeminimi locali.

Le curve relative ad ordini diversi si intersecano: quindi per certe ω p, un filtropiu corto (ad esempio N = 9) puo essere migliore (cioe avere un errore piupiccolo) di uno piu lungo (N = 10). Come mai? La ragione sta nel fatto cheN = 9 e N = 10 identificano filtri di tipo diverso (Tipo I e II). Naturalmenteun filtro con N = 9 non puo essere migliore, a parita di ω p, di un filtro conN = 11, che e dello stesso Tipo I.

Questo e ben visibile nella Fig. 5.22, dove ci si e ristretti a filtri di un solo tipo(Tipo I). Gli ordini rappresentati nella figura sono N −1 = 14, 16 e 18 (N = 15,17 e 19). Le curve non si intersecano.

Grafici come questo sono chiarificatori perche consentono di capire meglio comein certi casi emergano soluzioni extraripple ed in altri casi invece emerganosoluzioni normali (cfr. sezione 5.7). Allo scopo, esaminiamo un ingrandimentodi una parte della Fig. 5.22, mostrato in Fig. 5.23.




0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

ωp

ǫ

Tipo I, N=9, M=4

Tipo II, N=10, M=5

Tipo I, N=11, M=5

Tipo II, N=12, M=6

Figura 5.21: Come varia l’errore massimo in banda passante o oscura (in esempidi passa-basso con κ = 1) al variare della frequenza di taglio ω p, per vari valoridell’ordine (N − 1). Filtri di Tipo I e di Tipo II. Ampiezza della banda ditransizione pari a 0.2π

I quadratini colorati con colori differenti e marcati con le lettere A-F in Fig. 5.23rappresentano sei filtri, diversi fra loro soltanto per il preciso valore della fre-quenza di taglio ω p. Essi giacciono sulla curva blu in figura, e quindi hannoordine N − 1 = 16. Tuttavia le curve relative ad ordini diversi, pur non in-tersecandosi, nondimeno si toccano nei punti di minimo locale: ad esempio nelpunto C la curva blu di ordine 16 tocca quella rossa di ordine 18; nel punto Ela curva blu di ordine 16 tocca quella nera di ordine 14; nel punto F la curvablu di ordine 16 tocca di nuovo quella rossa di ordine 18. Che significato hannoi punti come C, E, F?

Il significato si evince dalla Fig. 5.24, che riporta le risposte a fase nulla diciascuno dei sei filtri A-F.

• Partiamo dal caso C (viola): si tratta di un filtro extraripple per l’ordine16, che presenta una risposta a fase nulla dotata di M + 1 estremi uguali.Il numero di alternanze e M +3. In effetti, tutti i minimi locali della curva

di un dato ordine in Fig. 5.22 corrispondono a filtri con oscillazione extra .

• Diminuendo ω p, ritroviamo il caso B (rosso): ora il numero di estremi eancora M + 1 ma l’estremo a ω = 0 ha entita minore degli altri estremi.Il numero di alternanze e M + 2 (soluzione normale).



5.10. PROPRIET A DEI FILTRI FIR OTTIMI SECONDO IL CRITERIO MINIMAX 177

0 0.2 0.4 0.6 0.80.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

ωp

ǫ

N=15, M=7

N=17, M=8

N=19, M=9

Figura 5.22: Filtri di Tipo I: come varia l’errore massimo in banda passante ooscura (in esempi di passa-basso con κ = 1) al variare della frequenza di taglioω p, per vari valori dell’ordine (N −1). Ampiezza della banda di transizione paria 0.1π. Il rettangolo verde delimita la zona del grafico che appare, ingrandita,

nella Fig. 5.23

• Diminuendo ancora ω p, giungiamo al caso A (arancio): il minimo in ω = 0che nel caso B era meno pronunciato degli altri ora e scomparso, lasciandoM estremi uguali e M + 2 alternanze.

• Ripartendo da C, aumentiamo ω p arrivando al caso D (marrone). Il nu-mero di estremi e ancora M +1 come in C ma l’estremo a ω = π ha entitaminore degli altri estremi. Il numero di alternanze e M + 2.

• Aumentando ancora ω p abbiamo il caso E (verde). L’estremo a ω = π

che in D aveva entita minore degli altri estremi e scomparso, lasciando M estremi uguali e M + 2 alternanze.

• Infine aumentando ulteriormente ω p troviamo il caso F (azzurro). In ω = 0e apparso un massimo uguale agli altri. Il numero di estremi e M + 1 edil numero di alternanze e M + 3: si tratta nuovamente di una soluzioneextraripple per l’ordine 16, come atteso visto che costituisce, come il puntoC, un minimo locale della curva di ordine 16 in Fig. 5.22.

I punti C e F in Fig. 5.22 pero appartengono anche all’ordine 18, mentre il puntoE appartiene anche all’ordine 14. Che succede in quei punti?




A

B

C

D

E

F

0.36 0.40 0.44 0.48 0.520.06

0.08

0.10

0.12

ωp

ǫ

Figura 5.23: Ingrandimento di una parte della Fig. 5.22, con identificazione disei filtri diversi (rappresentati con quadratini di differenti colori, contrassegnatidalle lettere da A a F), la cui risposta a fase nulla e mostrata nella Fig. 5.24

Succede che il filtro C e extraripple per l’ordine 16 ma e anche una soluzioneottima non extraripple per l’ordine 18.

Analogamente, il filtro F e extraripple per l’ordine 16 ma e anche una soluzioneottima non extraripple per l’ordine 18.

Quanto al filtro E, e una soluzione normale per l’ordine 16 ma e anche unasoluzione extraripple per l’ordine 14.

Tutto cio si spiega col fatto che - ad esempio - per l’ordine 18 il filtro progettatoha il primo e l’ultimo campione di h[n] nulli quando l’ordine 16 ha la soluzioneextraripple (come in C oppure F). Il filtro C e lo stesso se progettato sia fissandol’ordine a 16, sia fissandolo a 18; le risposte a fase nulla che si ottengono sonoidentiche e le risposte all’impulso pure, salvo il fatto che all’ordine 18 compareuno zero in piu a ciascuno dei due estremi della sequenza che rappresentava h[n]all’ordine 16.

I filtri di Tipo II hanno proprieta analoghe, salvo il fatto che la risposta infrequenza si annulla sempre a ω = π.



A

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

1

ω

H ( ω )

0 0.2 0.4 0.6 0

0

1

ω

C

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

1

ω

H ( ω )

0 0.2 0.4 0.6 0

0

1

ω

E

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

1

ω

H ( ω )

0 0.2 0.4 0.6 0

0

1

ω

Figura 5.24: Risposta a fase nulla di ciascuno dei sei filtri di Tipo I identificati dai quadratini di diverso colFig. 5.23. I colori delle curve e le lettere nei vari pannelli corrispondono a colori e lettere usati nella Figvariazioni di forma della risposta a fase nulla di un filtro passa-basso di Tipo I con ordine N − 1 = 16 (M =




5.11 Il metodo minimax per i filtri passa-banda

In precedenza abbiamo trattato il caso passa-basso che, come il passa-alto, hasolo due bande in cui minimizzare l’errore (bande di approssimazione).

Invece i passa-banda ed i ferma-banda hanno tre bande di approssimazione edil Teorema dell’Alternanza ha differenti implicazioni in questi casi.

Il teorema non fissa limiti sul numero di bande, per cui il numero minimo dialternanze resta M + 2. Pero se il passa-basso ha quattro limiti di banda (0,ω p, ωs, π), i filtri multibanda ne hanno di piu, ad esempio un passa-banda neha sei (0, ωs1, ω p1, ω p2, ωs2, π) e di conseguenza questi filtri possono arrivaread avere piu di M + 3 alternanze.

Cio significa che alcune affermazioni fatte per i passa-basso non sono piu valide:per esempio non e necessario che tutti i massimi ed i minimi locali di H (ω)cadano entro le bande di approssimazione, ma ci possono essere estremi locali checadono nelle bande di transizione, e l’approssimazione puo non essere equiripplenelle bande di approssimazione.

Naturalmente tali filtri sono ottimi nel senso del Teorema dell’Alternanza manelle applicazioni sono in genere ritenuti inaccettabili.

In generale, non vi e garanzia che le bande di transizione di un filtro multibandasiano monotone, perche l’algoritmo MPR le lascia del tutto libere da vincoli.

Pero quando una certa scelta dei parametri conduce a soluzioni non equiripple ocon bande di transizione non monotone in genere si riprogetta il filtro variandoun po’ l’ordine, oppure una o piu frequenze limite di banda, o ancora la funzionepeso dell’errore, fino ad ottenere una soluzione dall’andamento regolare.

5.12 Cenni sul progetto di filtri IIR

Come anticipato prima, in questo corso esamineremo solo progetti FIR; per iprogetti IIR ci limitiamo ad un cenno.

Il progetto IIR si basa sulle tecniche di progetto di filtri analogici. Tipicamente:

1. si sceglie un metodo per trasformare un dato filtro analogico in uno nu-merico avente risposta in frequenza simile;

2. si trasformano le specifiche del filtro numerico IIR voluto in altre, equiva-lenti, di un IIR analogico;

3. si progetta il filtro analogico in accordo con le specifiche trasformate (inmodo tale che, dopo la trasformazione da filtro analogico a filtro numerico,quest’ultimo soddisfi le proprie specifiche);



5.13. ATTUAZIONE DEL FILTRAGGIO NUMERICO 181

4. si converte il filtro analogico progettato nel filtro numerico equivalente.

Un vantaggio di questa procedura e che il progetto di filtri analogici e statostudiato a fondo ed e quindi ben “collaudato”; uno svantaggio e che il progettorisulta limitato ai tipi di base dei filtri selettivi in frequenza e manca di versati-lita. Il procedimento si basa sempre su un progetto passa-basso, al quale gli altritre generi di filtri (passa-alto, passa-banda e ferma-banda) vengono ricondottimediante “trasformazioni di frequenza”.

I filtri analogici piu noti sono:

1. di Butterworth (monotoni in banda passante ed oscura);

2. di Chebyshev (oscillanti in banda passante e monotoni in banda oscura:Tipo I; o viceversa: Tipo II);

3. ellittici (oscillanti in entrambe le bande).

Tra le procedure piu comuni per trasformare il filtro analogico in digitale citiamoinfine la “trasformazione bilineare” (limitandoci, pero, a citarla).

5.13 Attuazione del filtraggio numerico

1. Filtri FIR

• Il progetto determina h[n]. Si procede poi a filtrare nel dominio del

tempo mediante un programma software che attui la convoluzionelineare tra h[n] e la sequenza da filtrare x[n], a partire da un certon0 (tipicamente n0 = 0): la sequenza filtrata e

y[n] =

N −1k=0

x[k]h[n − k] =

N −1k=0

x[n − k]h[k].

Nel caso di fase lineare o lineare generalizzata, la simmetria di h[n]

consente di “risparmiare” sul numero di operazioni.

• Alternativamente, si puo filtrare nel dominio della frequenza .

Ricordiamo che data una sequenza x[n] (n = 0, N −1) ed una rispostaall’impulso h[n] (n = 0, N ′ − 1), la convoluzione lineare y[n] = x[n] ∗h[n] ha lunghezza N + N ′ − 1 (ossia y[n] ha indice n esteso da 0 aN + N ′ − 2).

Pertanto il filtraggio nel dominio della frequenza richiedera le seguentioperazioni:

(a) allungamento di x[n] con un padding di zeri fino a lunghezzaL ≥ N + N ′−1 e successiva DFT per ottenere X [k], k = 0, L−1;




(b) allungamento di h[n] con un padding di zeri fino a lunghezza

L ≥ N + N ′

−1 e successiva DFT per ottenere H [k], k = 0, L−1;(c) prodotto termine a termine delle due trasformate, ossia Y [k] =

X [k] · H [k], k = 0, L − 1;

(d) trasformata inversa di Y [k] per avere y[n], n = 0, L − 1. Se si escelto L > N + N ′ − 1, al fondo di y[n] ci saranno degli zeri chepossono poi venire eliminati.

Questo e un approccio apparentemente involuto, ma molto comodoe molto usato.

Si noti che se x[n] e reale, per avere una sequenza filtrata che siaanch’essa reale bisogna scegliere una H (ejω ) tale che sia H (e−jω ) =H ∗(ejω ). Questo e assicurato, ad esempio, nel caso di fase lineare, incui H (ejω ) = H (ω)ejφ con H (ω) reale.

2. Filtri IIR

• Il progetto determina

H (z) =

N k=0 bkz−kN k=0 akz−k

oppure, equivalentemente, l’equazione alle differenze (LCCDE)

y[n] =N

k=0

bkx[n − k] −N

k=1

aky[n − k].

La conoscenza dei coefficienti ak e bk consente di filtrare ricorsiva-mente nel dominio del tempo calcolando l’output y[n] a partire da undato valore n = n0 (tipicamente n0 = 0), per una sequenza di valoridi input partenti da n = n0, con un dato set di condizioni inizialiy[n], n = n0 − 1, n0 − 2, . . . n0 − N . In altre parole, per il calco-lo della sequenza filtrata i campioni dell’input antecedenti a n = n0

sono assunti nulli e per quelli dell’output antecedenti a n = n0 sidanno le condizioni iniziali, in numero uguale a N .

A causa degli inevitabili effetti dell’aritmetica a precisione finita, unfiltro IIR e sempre attuato come cascata di sezioni di ordine 2 (piu,eventualmente, una sezione di ordine 1).

5.14 Filtraggio a fase nulla

E’ disponibile una tecnica che consente di filtrare un segnale annullando il ritardodell’output rispetto all’input; complessivamente quindi il filtraggio e a fase nulla.La tecnica e detta “forward-reverse filtering” ossia, letteralmente, “filtraggio inavanti ed all’indietro”.

La fase complessivamente nulla si ottiene infatti filtrando dapprima (ad esempiotramite l’equazione alle differenze) il segnale “in avanti”, poi rovesciando la



5.15. TECNICA DI FILTRAGGIO CON DECIMAZIONE 183

sequenza filtrata e filtrandola nuovamente. La sequenza di output finale non

presenta sfasamento rispetto all’input e l’ordine del filtro si raddoppia.

Inoltre i transitori iniziali di ogni filtraggio vengono minimizzati con vari accor-gimenti, cosı che la serie filtrata ha la stessa lunghezza utile di quella iniziale.

Lo schema operativo del forward-reverse filtering e il seguente:

x[n] ⇒ h[n] ⇒ g[n];

g[−n] ⇒ h[n] ⇒ r[n];

y[n] = r[−n].

5.15 Tecnica di filtraggio con decimazione

In certe applicazioni di filtraggio puo sorgere la necessita di modificare la fre-quenza di campionamento, cosı da spostare la banda di frequenze discrete su cuiil filtro opera (ad esempio la banda passante di un filtro selettivo) da un certointervallo di frequenze analogiche ad un altro di interesse.

La Fig. 5.25 illustra appunto come gli estremi ωc1 e ωc2 della banda passantedi un filtro (in generale) passa-banda, che nel caso in cui ad essere filtratosia un segnale con passo di campionamento T c si traducono in un intervallo

passante di frequenze analogiche (f c1, f c2), si traducono invece in un diversointervallo passante (f ′c1, f ′c2) quando il passo di campionamento viene cambiato,assumendo il valore T ′c.

La variazione del passo di campionamento puo essere

• un aumento di T c, ossia una decimazione del segnale da filtrare (in inglese,downsampling), oppure

• una diminuzione di T c, ossia una interpolazione del segnale da filtrare(upsampling).

Ci limitiamo a trattare il primo caso, piu frequente nei casi pratici di nostrointeresse.

Prima di procedere osserviamo che ovviamente la questione puo essere consi-derata anche da un punto di vista diametralmente opposto: quello di cambiareil passo di campionamento per spostare un dato intervallo di frequenze analo-giche (quindi di periodi analogici - non dimentichiamo che i fisici “pensano”normalmente in termini di periodi e non di frequenze!) da un certo intervallodi frequenze adimensionali ad un altro. Tipico in questo senso e l’esempio diquando si desidera effettuare un filtraggio passa-basso molto “spinto”, che por-terebbe ad una banda passante tutta “schiacciata” presso lo zero dell’asse ω:




Figura 5.25: Un filtro numerico, ad esempio un passa-banda, ha una bandapassante (ωc1, ωc2) che, tradotta in frequenze analogiche f [Hz] quando il passodi campionamento vale T c, e (f c1, f c2). Se si cambia il passo di campionamento,portandolo ad un T ′c = T c, l’intervallo passante di frequenze analogiche diviene(f ′c1, f ′c2)

a volte si preferisce decimare preventivamente i dati, cosı da avere a che farecon una banda passante piu ampia in termini adimensionali. Questo permettedi gestire meglio il progetto, soprattutto in termini di ampiezza della banda ditransizione e quindi di ordine.

Ma possiamo decimare senza preoccuparci di nulla o dobbiamo prendere del-le precauzioni? Come al solito la risposta sta nello studio degli effetti delladecimazione nel dominio della frequenza.

Prendiamo dunque un segnale x[n] (n = 0, N − 1) e con una operazione che -ricordiamo - e lineare ma non invariante alla traslazione, decimiamolo con unfattore di decimazione kdec intero e maggiore di 1, ottenendo un segnale xd[n]:

xd[n] ≡ x[kdecn]

cosı che il passo di campionamento originario del segnale, T c, divenga T ′c =

kdecT c. La Fig. 5.26 riporta un esempio di decimazione.

Affinche xd[n] sia privo di aliasing, il segnale analogico x(t) da cui si immaginadi aver tratto x[n] deve essere limitato in banda, nell’intervallo − 1

2T ′c≤ f ≤ 1

2T ′c,

ossia −f ′Ny ≤ f ≤ f ′N y, avendo chiamato f ′Ny = 12T ′c

la frequenza di Nyquist del

segnale decimato.

Per evitare l’aliasing quindi il contenuto spettrale di X (ejω ) esterno a |f | =f ′Ny , posto che esista, deve venire rimosso filtrando x[n] con un filtro passa-basso numerico anti-aliasing prima della decimazione. Si noti che in termini difrequenze analogiche discrete, |f | = f ′N y = 1

2T ′c= 1

2kdecT csi traduce in |ω| =




0 20 40 60 80 100

n

x [ n ]

Figura 5.26: Esempio di decimazione di un fattore kdec intero (qui kdec = 8).In rosso sono evidenziati i campioni selezionati

2πT c2kdecT c = π

kdec : questa e la frequenza angolare di taglio che il passa-basso anti-aliasing deve avere.

Chiamiamo xf [n] il segnale di output del filtro anti-aliasing. Da xf [n] ricavere-mo poi xd[n] prendendo un dato ogni kdec dati: xd[n] = xf [kdecn].

Per studiare gli effetti della decimazione ci occorre lo spettro del segnale deci-mato. Si dimostra che

X d(ejω ) =1

kdec

kdec−1i=0

X f

ej(ω−2πi)/kdec

,

ossia che lo spettro del segnale decimato e la sovrapposizione di kdec immagini diX f (ejω ) traslate e scalate in frequenza (in inglese, “shifted and stretched”). L’o-perazione di stretching e rappresentata dalla divisione per kdec dell’argomentodell’esponenziale (espansione dell’asse delle frequenze di un fattore kdec); l’ope-razione di shifting e invece rappresentata dal termine ω − 2πi, il quale implicache due immagini adiacenti di X f (ejω ) scalate e traslate sono separate di 2π inω.

Notiamo la somiglianza di questa formula con quella che esprime il Teorema delCampionamento.




La forma di X d(ejω ) ci dice che per evitare l’aliasing, X f (ejω ) deve essere nullo

per

π

kdec < |ω| < π, cioe che, come detto sopra, il passa-basso ideale anti-alisingdeve avere il taglio in frequenza a ωc = π

kdec, ossia ν c = 1

2kdec, ossia ancora

f c = 12kdecT c

= f ′Ny .

Prima di proseguire, facciamo una piccola digressione.

La formula data per X d(ejω ) esprime una proprieta di scaling nel tempo dellaDTFT, analoga a quella della teoria di Fourier dei segnali analogici, che e laseguente: dato un segnale x(t) con trasformata di Fourier analogica F x(t) ≡X (f ) e presa una costante a reale non nulla, si ha

F

x(at)

=

1

|a|X

f

a .

Infatti l’espressione xf [kdecn] rappresenta proprio uno scaling nel tempo dixf [n], la cui controparte nel dominio della frequenza e appunto

X d(ejω ) =1

kdec

kdec−1i=0

X f

ej(ω−2πi)/kdec

,

formula analoga a quella sopra citata per segnali analogici.

Nel caso dei segnali analogici esiste anche una proprieta di scaling in frequenza:indicando con F

−1

·la trasformata inversa di Fourier in campo analogico,

1

|a|x

t

a

= F

−1 X (af )

ossia

F

1

|a|x

t

a

= X (af ).

• Per a = 1kdec

evidentemente si ricade nel caso precedente;

• il caso a < 1 ma non uguale all’inverso di un fattore intero non trovaimmediata corrispondenza in cio che si e visto nella teoria dei segnali a

tempo discreto; infine

• il caso a > 1 intero puo essere posto in analogia al caso discreto del-l’upsampling di un fattore intero kint, cioe al caso in cui si definisca un

segnale con T c ridotto - ossia un segnale interpolato - xi[n] = x

nkint

con

n = 0, ±kint, ±2kint, . . ..

L’interpolazione si ottiene con inserzione di zeri e successivo filtraggio conuno speciale filtro passa-basso.

Non ci soffermiamo oltre su questo argomento.




Tornando al caso della decimazione, abbiamo parlato delle caratteristiche che

deve avere il passa-basso anti-aliasing ideale, ma questo non e realizzabile. Do-vendosi accontentare di un passa-basso realizzabile con larghezza non nulla dellabanda di transizione, si applichera su ωc un fattore di sicurezza; ad esempio sipotra fare in modo che sia ωs, piuttosto che ω p, a coincidere con π

kdec.

Nelle Fig. 5.27, 5.28 e 5.29 e illustrato il processo di decimazione con e senzaaliasing nel dominio della frequenza.

In Fig. 5.27, prima della decimazione e stato applicato il filtro anti-aliasing, percui nell’intervallo (−π, π) lo spettro del segnale che viene decimato e diverso dazero solo in |ω| < π

kdec(pannello a; l’esempio e per kdec = 3). Questa e una

condizione di assenza di aliasing.

La forma scalata in frequenza di X f (ejω ) (pannello b, caso i = 0 ossia solostretching e nessuna traslazione) ha repliche che appaiono “stirate” rispetto allaforma dello spettro X f (ejω ), cosı che ora nell’intervallo principale lo spettrooccupa tutto l’intervallo stesso, (−π, π).

I pannelli c e d mostrano la traslazione associata allo stretching, per tutti glialtri casi di interesse, ossia i = 1 e i = 2 (si ricordi che nella formula per lospettro del segnale decimato compare una sommatoria su i = (0, kdec − 1)).

Infine, la forma di X d(ejω ) e visibile nel pannello e: questo spettro e dato dallasomma degli spettri nei pannelli b, c e d, moltiplicata per 1

kdec. Si noti l’effettiva

assenza di aliasing (la forma dello spettro X f (ejω ) e preservata).

In Fig. 5.28, invece, non e stato applicato alcun filtro anti-aliasing prima delladecimazione; si decima direttamente il segnale originario x[n] il cui spettro oc-cupa tutto l’intervallo principale (−π, π) (pannello a). Questa e una condizionedi aliasing.

La forma scalata in frequenza di X f (ejω ) (pannello b, caso i = 0; l’esempio eancora per kdec = 3) ora ha repliche che “debordano”, ad esempio la replicacentrata su ω = 0 occupa (−3π, 3π).

Passando ora alla Fig. 5.29, vediamo nel pannello in alto (b) ancora il caso i = 0e nei pannelli c e d i casi i = 1 e i = 2.

La forma di X d(ejω ) nel pannello e, somma degli spettri nei pannelli b, c e dmoltiplicata per 1

kdec, mostra l’aliasing: la forma dello spettro X f (ejω ) non e

piu riconoscibile.




Figura 5.27: Rappresentazione spettrale di un segnale a tempo discreto cheviene decimato con un fattore kdec, uguale a 3 in questo esempio, nel caso incui il segnale e a banda limitata (cioe ha spettro non nullo solo in una parte

dell’intervallo principale, |ω| < πkdec ). Condizione di assenza di aliasing

Figura 5.28: Rappresentazione spettrale di un segnale a tempo discreto cheviene decimato con un fattore kdec, nel caso in cui lo spettro del segnale primadella decimazione si estende su tutto l’intervallo principale. Lo spettro scalatoin frequenza di un fattore kdec deborda dall’intervallo principale




Figura 5.29: Rappresentazione spettrale di un segnale a tempo discreto cheviene decimato con un fattore kdec, nel caso in cui lo spettro del segnale primadella decimazione si estende su tutto l’intervallo principale (proseguimento diFig. 5.28). Quando si sommano le repliche traslate dello spettro scalato infrequenza, si verifica aliasing.



Parte III

Analisi spettrale stazionaria

190



Capitolo 6

Segnali deterministici:

spettro di energia

Continuando a riferirci ad un segnale deterministico x[n], ricordiamo di avernedefinito la DTFT, X (ejω ), quantita complessa che descrive il segnale nel do-mino della frequenza. Ricordiamo inoltre di avere definito l’energia del segnalecome E =

+∞n=−∞ |x[n]|2. Ci prepariamo ora ad introdurre una quantita reale

capace di descrivere la distribuzione in frequenza dell’energia del segnale con-siderato. La quantita che definiremo prende il nome di spettro di energia ed e

quella normalmente usata per esprimere la variabilita di un segnale in terminidi oscillazioni sinusoidali, ossia quella adottata per eseguire l’analisi di Fourier

dei segnali deterministici a tempo discreto.

Prima di procedere, ci serve introdurre e quantificare il concetto di correlazione.

6.1 Correlazione di segnali a tempo discreto

La correlazione e un’operazione matematicamente simile alla convoluzione, chesi esegue su due segnali quando si vuole misurarne il grado di somiglianza.

La correlazione fra due segnali (o di un segnale con se stesso, nel qual caso si par-la di autocorrelazione) ha importanti applicazioni, specie nel campo dei segnali

random , dove ne permette una rappresentazione spettrale altrimenti impossibile.

Supponiamo pero, per il momento, di rimanere nell’ambito deterministico edi avere due sequenze reali1 x[n] e y[n] di energia finita. Definiamo la cross-

1Qui e nel resto della Parte III ci riferiamo a segnali reali al fine di semplificare la notazione.

191



192 CAPITOLO 6. SEGNALI DETERMINISTICI: SPETTRO DI ENERGIA

correlazione o correlazione incrociata di x[n] con y[n] come

φxy[l] =+∞

n=−∞

x[n]y[n − l] =+∞

n=−∞

x[n + l]y[n]

dove l rappresenta un ritardo in termini di tempo discreto, detto lag .

Analogamente, la cross-correlazione di y[n] con x[n] sara

φyx[l] =+∞

n=−∞

y[n]x[n − l] =+∞

n=−∞

y[n + l]x[n].

Queste quantita possono essere maggiori, uguali o minori di zero ed esprimonoil fatto che le variazioni di una variabile “accompagnino” (o non accompagnino)quelle dell’altra. Ad esempio, φxy [l] sara “grande” se le variazioni di y[n − l]sono simili alle variazioni di x[n].

Se φxy[l] > 0 si parla propriamente di correlazione; se φxy[l] < 0 si parla dianticorrelazione (che esprime il fatto che mentre una variabile cresce, l’altradiminuisce e viceversa).

Poiche n − l con l > 0 implica ritardo, in φxy [l] si “appaia” la sequenza x[n]con la sequenza y[n] ritardata di n passi temporali; in φyx[l] si fa esattamenteil contrario. Quindi, ad esempio, una cross-correlazione positiva tra x[n] e y[n]a lag l > 0 significa che le variazioni di y[n] seguono quelle di x[n].

Dalle precedenti definizioni segue che

φxy [l] = φyx[−l]

e quindi le due cross-correlazioni danno la stessa informazione riguardo allasomiglianza dei segnali x[n] e y[n].

Ricordando la definizione di convoluzione lineare vediamo che φxy[l] e la convo-luzione lineare della prima sequenza per la seconda rovesciata temporalmente:

φxy [l] = x[l] ∗ y[−l].

Se y[n] ≡ x[n] abbiamo l’autocorrelazione:

φxx[l] =+∞

n=−∞

x[n]x[n − l] =+∞

n=−∞

x[n + l]x[n] = x[l] ∗ x[−l].

Tale grandezza in sostanza descrive come le variazioni di x[n] tendano a “ripe-tersi” dopo un certo tempo di ritardo. Ad esempio, e evidente che in ogni casoun segnale sara perfettamente correlato con se stesso a lag zero; se un segnalee correlato con se stesso ad un certo lag diverso da zero, significa che esistono



6.1. CORRELAZIONE DI SEGNALI A TEMPO DISCRETO 193

nel segnale patterns che si ripetono. Si intuisce come questo possa essere mes-

so in relazione con la presenza nel segnale di componenti periodiche, ossia conl’analisi di Fourier.

Tornando al caso generale di cross-correlazione di due segnali diversi, se x[n]e y[n] sono causali e di ugual durata finita N si ha evidentemente

φxy [l] =

N −|k|−1n=i

x[n]y[n − l]

e

φxx[l] =

N −|k|−1

n=i

x[n]x[n − l]

con i = l e k = 0 per l ≥ 0,

i = 0 e k = l per l < 0.

La sequenza di correlazione ha le seguenti proprieta:

1. l’autocorrelazione a lag zero rappresenta l’energia del segnale, ossia

φxx[0] =+∞

n=−∞

x[n]2

2. la cross correlazione non puo mai superare la radice quadrata del prodottodelle energie, ossia

φxy[l] ≤

φxx[0]φyy [0]

3. l’autocorrelazione e massima a lag zero perche un segnale combacia per-fettamente con se stesso a lag zero, ossia

φxx[l] ≤ φxx[0].

4. l’autocorrelazione e una funzione pari del lag e quindi e sufficiente calcolareφxx[l] per lag l

≥0 per conoscere l’intera sequenza di autocorrelazione,

ossiaφxy[l] = φyx[−l] → φxx[l] = φxx[−l].

Talvolta al posto di φxy[l] e φxx[l] si preferisce usare quantita normalizzate,dette rispettivamente coefficiente di cross-correlazione e coefficiente di autocor-

relazione :

ρxy[l] =φxy [l]

φxx[0]φyy [0]|ρxy [l]| ≤ 1,

ρxx[l] =φxx[l]

φxx[0]|ρxx[l]| ≤ 1.




Se le sequenze considerate sono periodiche con periodo N ed hanno quindi

energia infinita ma potenza media finita, si definisce la cross-correlazione come

φxy [l] = limM →∞

1

2M + 1

+M n=−M

x[n]y[n − l]

ed in modo analago l’autocorrelazione come

φxx[l] = limM →∞

1

2M + 1

+M n=−M

x[n]x[n − l].

Questi limiti coincidono con le medie su un singolo periodo dei cross-prodotti oprodotti incrociati :

φxy [l] =1N

N −1n=0

x[n]y[n − l],

φxx[l] =1

N

N −1n=0

x[n]x[n − l].

Tali sequenze sono a loro volta periodiche con periodo N .

Se un segnale x[n] con autocorrelazione nota φxx[l] viene elaborato da un sistemaLTI con risposta all’impulso h[n], e se y[n] e l’output, si ha

φyx[l] = y[l]

∗x[

−l] = h[l]

∗(x[l]

∗x[

−l]) = h[l]

∗φxx[l],

φxy [l] = x[l] ∗ y[−l] = (x[l] ∗ x[−l]) ∗ h[−l] = φxx[l] ∗ h[−l],

φyy [l] = y[l] ∗ y[−l] = (h[l] ∗ (x[l]) ∗ (h[−l] ∗ x[−l]) =

= (h[l] ∗ (h[−l]) ∗ (x[l] ∗ x[−l]) = φhh[l] ∗ φxx[l],

dove φhh[l] esiste se il sistema e stabile ossia se h[n] e assolutamente sommabile.

Dall’ultima relazione si evince che l’energia del segnale di output e data da

φyy [0] =+∞

k=−∞

φhh[k]φxx[k].

Queste formule si applicano sia a segnali di energia, sia a segnali di potenza.

6.2 Il teorema di Wiener - Khinchin

Dati due segnali di cui esista la DTFT,

x[n] ⇐⇒ X (ejω ), y[n] ⇐⇒ Y (ejω ),



6.3. ANALISI DI FOURIER TRAMITE DFT 195

si dimostra dalla proprieta di convoluzione della DTFT che

φxy [l] ⇐⇒ X (ejω )Y (e−jω ) ≡ spettro di densita di cross-energia

e nel caso y[n] ≡ x[n] reale

φxx[l] ⇐⇒ X (ejω )X (e−jω ) = X (ejω )X ∗(ejω ) =X (ejω )

2 ≡ spettro di densita di energia.

La quantitaX (ejω )

2, che descrive la distribuzione in frequenza dell’energiadel segnale, e uguale alla DTFT della sequenza di autocorrelazione: questo eil contenuto del teorema di Wiener - Khinchin 2. Si ricordi infatti che per larelazione di Parseval per la DTFT,

E =+∞

n=−∞

|x[n]|2 =1

2π

+π

−π

X (ejω )2 dω.

Lo spettro di densita di energia, o semplicemente spettro di energia , e il quadratodello spettro di ampiezza

X (ejω ) introdotto in precedenza.

6.3 Analisi di Fourier tramite DFT

Abbiamo visto che la distribuzione in frequenza dell’energia E di un segnale cheammette DTFT e descritta da

X (ejω )2, ossia dallo spettro di energia 3.

Tuttavia, nelle applicazioni pratiche,

• anche se il segnale considerato x[n] non ha intrinsecamente durata finita,noi riusciamo a misurarne solo un segmento v[n] con n = 0, N − 1;

• anche se e la DTFT del segnale originario che vorremmo conoscere peruna completa analisi spettrale (di Fourier), e la DFT del segmento v[n]che riusciamo a calcolare, ossia un numero finito di campioni frequenzialidella DTFT del segmento v[n] (campionamento spettrale).

L’operazione che a partire dal segnale originario x[n] infinitamente persisten-te conduce all’estrazione del segmento di lunghezza finita e descritta comewindowing o anche tapering .

Nell’elaborazione numerica dei segnali, una “window” (finestra), detta anche“taper” (dal verbo inglese to taper =assottigliare, affusolare, rastremare) e una

2Il nome del secondo autore del teorema, un matematico russo, e talvolta scritto anche

“Khintchine”.3La stessa informazione riguardo alla composizione frequenziale del segnale e, ovviamente,

offerta dal semplice modulo della DTFT, ossia dallo spettro di ampiezza.




sequenza identicamente nulla al di fuori di un dato intervallo di valori del tem-

po discreto. Ad esempio, una sequenza unitaria nell’intervallo scelto e nulla aldi fuori e detta “finestra rettangolare” (in altri contesti, anche “porta rettan-golare”, termini che descrivono la forma della sua rappresentazione grafica); iltermine taper e invece riservato a forme di finestra che decrescono piu o menogradualmente verso lo zero ai bordi, come il nome suggerisce.

Quando una sequenza x[n] viene moltiplicata per una finestra, il prodotto e zeroal di fuori dell’intervallo in cui la finestra non ha campioni nulli: tutto cio cherimane e la parte di x[n] “inquadrata nella finestra”. E’ questa operazione chechiamiamo, appunto, “windowing”.

Il concetto di finestra ha numerosissime applicazioni nell’analisi spettrale, nelprogetto di filtri (come gia accennato) ecc... Rimandiamo al fondo di questo

capitolo una breve rassegna delle finestre piu usate.

Per ora torniamo all’analisi di Fourier e proponiamoci di esaminare le conse-guenze, che si hanno quando si studia la X (ejω ) di un segnale tramite la DFTdi un suo segmento; conseguenze dovute al windowing ed al campionamentospettrale.

Questi argomenti vengono di solito discussi utilizzando segnali sinusoidali, anchese le conclusioni hanno validita generale e forniscono linee-guida utili ogni voltache si ha un’idea dei contributi frequenziali contenuti nel segnale esaminato.

Benche per essi la DTFT esista solo in senso “generalizzato”, i segnali sinusoidali

costituiscono infatti un importante riferimento teorico per testare algoritmi emetodi di analisi e studiare come essi funzionano nel dominio della frequenza.

Ricordiamo che la X (ejω ) di un segnale sinusoidale, ad esempio

x[n] = A cos(ω0n + θ)

con n ∈ (−∞, +∞), e una coppia di impulsi a ±ω0, che poi si ripete periodica-mente con periodo 2π.

In questo contesto

1. il windowing smussa ed allarga i picchi impulsivi della X (ejω ) teorica, cosıche le frequenze di picco sono definite meno esattamente e risulta ridottal’abilita nel risolvere (distinguere) segnali sinusoidali di frequenze vicine;

2. il campionamento spettrale potenzialmente da una visione poco accuratao addirittura ingannevole dell spettro “vero” del segnale sinusoidale.

Tutto questo puo essere compreso osservando che

• in accordo con la proprieta di convoluzione-prodotto della DTFT, il win-dowing (che nel dominio del tempo e una moltiplicazione) nel dominio




della frequenza corrisponde all’“osservare” non X (ejω ) ma la convoluzione

continua periodica dello spettro vero con la DTFT della finestra:

V (ejω ) =1

2π

+π

−π

X (ejω )W (ej[ω−θ])dθ;

lo spettro della finestra e a sua volta, tipicamente (come vedremo), unafunzione di ω che nell’intervallo fondamentale presenta un lobo princi-pale centrato sullo zero ed un certo numero di lobi laterali piu o menoaccentuati;

• la DFT di v[n], che e

V [k] =N −1

n=0

v[n]e−j 2πN kn

con k = 0, N − 1, corrisponde al prendere N campioni equispaziati inangolo di V (ejω ), ossia

V [k] = V (ejω )|ω= 2πN k.

Discutiamo ora separatamente gli effetti del windowing e del campionamentospettrale con alcuni esempi.

6.3.1 Effetto del windowing

Consideriamo il segnale

x[n] = A0 cos(ω0n + θ0) + A1 cos(ω1n + θ1)

con −∞ < n < +∞, composto da due sinusoidi reali di diversa frequenza edampiezza, e calcoliamo la DTFT di un suo segmento v[n], dato da

v[n] = A0w[n] cos(ω0n + θ0) + A1w[n]cos(ω1n + θ1)

dove w[n] e una generica finestra di lunghezza N .

Allo scopo riscriviamo v[n] come sovrapposizione di esponenziali complessi:

v[n] =A0

2w[n]e+jθ0e+jω0n +

A0

2w[n]e−jθ0e−jω0n +

+A1

2w[n]e+jθ1e+jω1n +

A1

2w[n]e−jθ1e−jω1n.

Possiamo cosı scrivere immediatamente

V (ejω ) =A0

2e+jθ0W [e+j(ω−ω0)] +

A0

2e−jθ0W [e+j(ω+ω0)] +

+A1

2e+jθ1W [e+j(ω−ω1)] +

A1

2e−jθ1W [e+j(ω+ω1)]




dove W [e+j(ω−ω0)] ha una massimo a ω = +ω0, W [e+j(ω+ω0)] ha una massimo

a ω = −ω0 ecc....

Il valore di ogni massimo e pari aN −1

n=0 w[n]. Infatti

W (ejω ) =+∞

n=−∞

w[n]e−jωn

comporta

W (ej0) =+∞

n=−∞

w[n] =N −1n=0

w[n].

In particolare, per una finestra rettangolare

w[n] =

1 0 ≤ n ≤ N − 1

0 altrove

si haN −1n=0

w[n] = N.

Vediamo cosı che V (ejω ) e uguale a W (ejω ) replicata a ±ω0 ed a ±ω1, con

ciascuna replica scalata per l’ampiezza (complessa) del corrispondente esponen-ziale complesso contenuto nel segnale. Ad esempio, la replica di W (ejω ) che sitrova a +ω0 e scalata per l’ampiezza complessa A0

2e+jθ0 .

Si noti che in V (ejω ) compaiono anche le fasi iniziali delle singole sinusoidi, maevidentemente se poi prendiamo il modulo di V (ejω ) (spettro di ampiezza) lefasi iniziali scompaiono.

Come appare graficamente questo spettro?

Proponiamoci di fare degli esempi con la finestra piu semplice possibile, quel-la rettangolare, e prima di procedere esaminiamo nei dettagli lo spettro dellafinestra rettangolare di lunghezza generica N .

Esso vale

W (ejω ) =

N −1n=0

e−jω n =1 − ejω N

1 − ejω= ejω N−1

2

sin(ωN/2)

sin(ω/2).

La fase e lineare; a parte il fattore di fase, si tratta di una funzione di Dirichlet.Il suo modulo e mostrato in Fig. 6.1 nel caso N = 8.




0 +0

N N = 8

| W [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.1: Modulo della trasformata DTFT della finestra rettangolare dilunghezza N = 8

Lo spettro presenta, come avevamo anticipato, un lobo principale ed un certonumero di lobi laterali piu piccoli, la cui entita decresce allontanandosi dal lobocentrale. Gran parte del contenuto spettrale e dunque concentrato attorno aω = 0.

Gli zeri si trovano a ω = 2πN m con m = ±1, ±2, ±3... e quindi il lobo centrale

va da − 2πN a +2π

N ; in altri termini, la sua larghezza alla base e 4πN = 1.57 rad.

L’altezza del lobo principale e N , come gia sappiamo.

I lobi laterali sono N 2

− 1 per parte e hanno il massimo a circa πN (2m + 1). Il

piu alto e il primo lobo laterale a fianco di quello principale, che si trova a ± 3πN

ed ha un’altezza di circa 2N 3π

. Pertanto il rapporto tra l’altezza del primo lobolaterale e quella del lobo principale e circa 2

3π che equivale a circa 13.5 dB.

Nell’esempio della Fig. 6.1, N = 8. Osserviamo ora come cambia la formavariando N : in Fig. 6.2 e illustrato il caso N = 64.

Si vede chiaramente l’effetto di un aumento di N : il lobo principale si stringe esi alza, i lobi laterali si fanno piu piccoli e numerosi. Ora il lobo centrale e largoalla base 4π

N ≃ 0.2 rad.

Ora torniamo alla forma dello spettro V (ejω ) e procediamo con gli esempirealativi all’uso di una finestra rettangolare.




0 +0

N N = 64

| W [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.2: Modulo della trasformata DTFT della finestra rettangolare dilunghezza N = 64

Consideriamo alcuni segnali composti con sinusoidi di frequenze ω0 ed ω1 chedifferiscono di ∆ω = ω1−ω0 diverse (ossia picchi spettrali diversamente separa-

ti). Riduciamo progressivamente ∆ω tenendo fissata la finestra e la sua durata.Osserviamo lo spettro di ampiezza del segnale v[n] (modulo della DTFT) neivari casi.

1. Fig. 6.3:

ω0 =2π

6, ω1 =

2π

3→ ∆ω =

2π

3≃ 2.09 rad ≫ 0.2 rad

A0 = 1, A1 = 0.75 → A0

A1=

3

4

In questo caso le due sinusoidi sono ben risolte. Le altezze dei picchi sonorispettivamente 32 e 24 e quindi riproducono correttamente il rapportodelle ampiezze delle due sinusoidi, ossia 3/4.

Si noti che il valore 32 deriva da A0

2 N con A0 = 1 e N = 64, ecc...

2. Fig. 6.4:

ω0 =2π

14, ω1 =

4π

15→ ∆ω ≃ 0.389 rad > 0.2 rad

A0 = 1, A1 = 0.75 → A0

A1=

3

4




0 0

8

16

24

32

∆ω = 2.09 rad

ω

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.3: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenentedue sinusoidi separate di un ∆ω molto superiore alla larghezza del lobo princi-pale della trasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza. I duepicchi spettrali sono molto ben risolti. Le altezze dei picchi spettrali stannonello stesso rapporto delle ampiezze delle sinusoidi componenti il segnale

Anche in questo caso le due sinusoidi sono risolte. Le altezze dei pic-chi sono approssimativamente 32 e 24 e quindi riproducono abbastanzacorrettamente il rapporto delle ampiezze delle due sinusoidi, ossia 3/4.

3. Fig. 6.5:

ω0 =2π

14, ω1 =

2π

12→ ∆ω ≃ 0.075 rad < 0.2 rad

A0 = 1, A1 = 0.75 → A0

A1=

3

4

In questo caso le due sinusoidi non sono piu ben risolte, a causa dell’al-

largamento degli originali picchi impulsivi. Inoltre i lobi laterali che sisommano sfasati influenzano l’altezza dei picchi, per cui il rapporto delleampiezze non e piu rispettato.

Tali fenomeni, che sono i principali effetti del windowing, sono descrittiparlando di

• ridotta risoluzione,

• leakage.

Il fenomeno del leakage e cosı chiamato perche consiste nel fatto che lacomponente a frequenza ω0 “si spande” (leaks) nelle vicinanze di ω1 eviceversa. Esso e dovuto soprattutto alla presenza ed importanza dei




0 0

8

16

24

32

∆ω = 0.389 rad

ω

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.4: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenentedue sinusoidi separate di un ∆ω maggiore della larghezza del lobo principaledella trasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza. I due picchispettrali sono risolti. Le altezze dei picchi spettrali stanno circa nello stessorapporto delle ampiezze delle sinusoidi componenti il segnale

lobi laterali, capaci di “diffondere” la potenza che competerebbe ad unadata sinusoide anche a frequenze molto lontane da quella della sinusoidestessa, ed e responsabile dell’alterazione dei corretti rapporti di ampiezzadei picchi.

Nel contempo si ha ridotta risoluzione, ossia ridotta capacita di separare(risolvere) sinusoidi vicine, a causa soprattutto della larghezza finita dellobo principale.

4. Fig. 6.6:

ω0 =2π

14, ω1 =

4π

25→ ∆ω ≃ 0.054 rad ≪ 0.2 rad

A0 = 1, A1 = 0.75 → A0

A1=

3

4

In quest’ultimo caso le due sinusoidi non sono piu risolte affatto a causadel prevalere degli effetti del windowing.

Abbiamo detto che la capacita di risolvere picchi vicini e dovuta soprattuttoalla larghezza finita del lobo principale.




0 0

8

16

24

32

∆ω = 0.075 rad

ω

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.5: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenentedue sinusoidi separate di un ∆ω inferiore alla larghezza del lobo principaledella trasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza. I due picchispettrali non sono ben risolti, seppure ancora individuabili, ed i rapporti dialtezza dei picchi non riproducono piu correttamente il rapporto di ampiezzedelle sinusoidi

Piu in dettaglio, la possibilita di distinguere i due picchi e effettivamente lega-ta in primo luogo al fatto che essi siano separati piu della larghezza del loboprincipale della trasformata della finestra, W (ejω ), ma intervengono anche altrifattori. A parita di separazione in frequenza, la risoluzione dipendera

• dal rapporto delle loro ampiezze (se un’ampiezza e molto piccola, il cor-rispondente picco - sia ad esempio ω1 - puo essere “sommerso” dai lobilaterali relativi all’altro picco ω0);

• dal fatto che la replica di W (ejω ) centrata sull’altra frequenza ω0 abbiamodulo sufficientemente piccolo nei pressi di ω1.

Indicativamente si trova che per una sufficiente risoluzione e richiesto che

20 log10A1

A0> altezza relativa dei lobi laterali di |W (ejω )| espressa in dB

dove con altezza relativa si indica l’altezza divisa per quella del lobo principale.

Da quanto detto deduciamo che e desiderabile

• che il lobo principale di |W (ejω )| sia stretto




0 0

8

16

24

32

∆ω = 0.054 rad

ω

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.6: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenentedue sinusoidi separate di un ∆ω molto inferiore alla larghezza del lobo principaledella trasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza. I due picchispettrali non sono risolti affatto

• che i lobi laterali siano bassi e decrescano rapidamente allontanandosi dallobo principale.

I nostri esempi riguardavano l’uso di una finestra rettangolare di lunghezza fis-sata. Usando finestre che vanno a zero piu gradualmente ai bordi, a parita dilunghezza si ottiene un abbassamento dei lobi laterali della trasformata dellafinestra, ma questo avviene al costo di allargare il lobo centrale (cfr. sezione6.4). In questo modo si ha meno leakage (che e dovuto soprattutto alla presenzaed importanza dei lobi laterali) ma si perde ulteriormente in risoluzione (fattorelegato soprattutto alla larghezza del lobo principale): la condizione sulla se-parazione in frequenza sara piu difficilmente soddisfatta. Naturalmente questo

effetto sfavorevole sara compensabile se siamo in grado di aumentare N , percheal crescere del numero di campioni la trasformata della finestra rettangolare di-viene sempre piu simile alla funzione impulsiva del caso ideale, come mostratoin Fig. 6.7.

6.3.2 Effetto del campionamento spettrale

Tale effetto e, ancora una volta, ben illustrato da un esempio.




0 +03264

128

256 N = 32

0 +03264

128

256 N = 64

0 +03264

128

256 N = 128

ω

| W

[ e x p ( j ω ) ] |

0 +03264

128

256 N = 256

Figura 6.7: Modulo della trasformata DTFT di finestre rettangolari di varie

lunghezze N . Al crescere di N la forma diviene sempre piu simile a quella diun impulso

Prendiamo di nuovo il segnale v[n] di N = 64 campioni, con

ω0 =2π

14, ω1 =

4π

15→ ∆ω ≃ 0.389 rad

A0 = 1, A1 = 0.75 → A0

A1=

3

4

e consideriamone la DTFT (Fig. 6.8, curva rossa) e la DFT calcolata su N = 64punti (Fig. 6.8, stem plot in nero).

La risoluzione e a priori sufficiente (nella DTFT i due picchi sono ben risolti)ma poiche i picchi della DTFT cadono fra un campione e l’altro della DFT, seosserviamo solo quest’ultima non siamo in grado di valutare correttamente nele frequenze delle sinusoidi contenute nel segnale, ne le loro ampiezze.

In generale, i picchi “veri” non coincideranno mai esattamente con una dellefrequenze di campionamento e questo potenzialmente dara una visione distortadella soggiacente DTFT del segnale.




0 0

8

16

24

32

∆ω = 0.389 rad

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.8: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenentedue sinusoidi separate di un ∆ω superiore alla larghezza del lobo principale dellatrasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza, cosı che la risolu-zione e sufficiente se si osserva la forma della DTFT (curva rossa). Pero quandosi prendono N = 64 campioni della DTFT calcolando la DFT della sequenzae si osservano soltanto quelli (stem plot in nero), il fatto che le frequenze delle

sinusoidi che compongono il segnale non coincidano con alcuna delle frequenzedi campionamento fa sı che il quadro risulti alterato. Le frequenze e le ampiezzedelle sinusoidi vengono stimate con scarsa accuratezza

Se mantenendo gli stessi parametri (N , A0, A1 e ∆ω) facciamo sı che questacoincidenza ci sia, la DFT del segnale ci appare molto diversa, come mostratoin Fig. 6.9.

In questo esempio,

ω0 =2π

16= 4

2π

64, ω1 =

2π

8= 8

2π

64→ ∆ω ≃ 0.389 rad

cosı che nella DFT su N = 64 punti, ω0 coincide con il quinto campionefrequenziale (k = 4) e ω1 coincide con il nono campione frequenziale (k = 8).

La DFT ora appare molto “pulita” e priva di contenuto spettrale a frequenzeangolari diverse da ω0 e ω1, ma questa e in gran parte una illusione dovuta al“povero” campionamento spettrale.

In realta c’e contenuto spettrale significativo a tutte le frequenze, come si verificafacilmente infittendo il campionamento in frequenza mediante un padding di zerifino a lunghezza di 128 punti (Fig. 6.10).




0 0

8

16

24

32

∆ω = 0.389 rad

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.9: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenen-te due sinusoidi separate di un ∆ω superiore alla larghezza del lobo principaledella trasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza, cosı che larisoluzione e sufficiente. La DTFT del segnale e rappresentata dalla curva ros-sa. Lo stem plot in nero rappresenta invece la DFT calcolata su N = 64 punti:un campionamento spettrale piuttosto povero. Cio nonostante, siccome le fre-

quenze delle sinusoidi componenti il segnale sono state scelte in modo tale da cadere esattamente a due delle frequenze di campionamento, la DFT appare (il-lusoriamente) riprodurre benissimo la forma di uno spettro piatto con due righespettrali. Non appare alcun contenuto spettrale a frequenze diverse da quelledelle sinusoidi presenti nei dati ed i campioni spettrali non nulli a tali frequenzedanno il valore esatto che corrisponde alle ampiezze delle sinusoidi

Sottolineiamo ancora una volta che cosı facendo non si migliora la risoluzione,che dipende solo dalla forma e dalla lunghezza della finestra, ma si vedonosemplicemente piu dettagli della soggiacente DTFT del segnale, entro i limitidella risoluzione di cui si dispone.

Il padding di zeri ed il conseguente oversampling dello spettro sono quasi sempreusati, per avere grafici piu leggibili: l’interpolazione in frequenza da una curvacontinua e liscia, sulla quale i picchi vengono localizzati meglio come posizioneed altezza.




0 0

8

16

24

32

∆ω = 0.389 rad

| V [ e x p ( j ω ) ] |

Figura 6.10: Spettro di ampiezza di un segnale di N = 64 campioni, contenentedue sinusoidi separate di un ∆ω superiore alla larghezza del lobo principale dellatrasformata della finestra rettangolare della stessa lunghezza, cosı che la risolu-zione e sufficiente. La DTFT del segnale e rappresentata dalla curva rossa. Lostem plot in nero rappresenta invece la DFT calcolata su N = 128 punti (tra-mite padding di zeri): essa rivela correttamente il contenuto spettrale presente

nella DTFT a tutte le frequenze

6.4 Le finestre classiche e le loro caratteristiche

Abbiamo prima accennato agli effetti dell’uso di finestre piu graduali di quel-la rettangolare. Concludiamo questo capitolo illustrando piu in dettaglio lecaratteristiche di tali finestre.

Le finestre piu note, oltre a quella rettangolare, sono quella di Bartlett (che coin-cide sostanzialmente con la cosiddetta finestra triangolare), quella di Von Hann ohanning, quella di Hamming e quella di Blackman. Le grandezze caratterizzanti

ogni finestra sono sempre

• la larghezza del lobo principale, espressa, in riferimento al caso di finestrarettangolare, come 4π

N η dove il valore di η dipende dalla finestra;

• l’altezza del piu alto lobo secondario rispetto a quello principale.

Queste finestre “storiche” o “classiche” sono state introdotte escogitando modiempirici per ridurre l’altezza relativa dei lobi laterali rispetto al caso di finestrarettangolare.



6.4. LE FINESTRE CLASSICHE E LE LORO CARATTERISTICHE 209

Le loro caratteristiche si discutono piu agevolmente osservando la forma del-

la trasformata in scala logaritmica (in dB), cosa che permette di visualizzarel’andamento dei parametri caratteristici al variare della finestra (Fig. 6.11).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Rettangolare

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Rettangolare, lungh. doppia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Bartlett

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Hann

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/π

Hamming

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/π

Blackman

Figura 6.11: Andamento della trasformata in scala logaritmica (dB) per va-rie finestre classiche. Tutti i pannelli mostrano la quantita 10log10 |W (ejω )|2 =20 log10 |W (ejω )|. Per agevolare il confronto tra le finestre, tale quantita per tut-te e stata normalizzata ad avere valore zero a frequenza zero. Questo significache il modulo della trasformata e ivi normalizzato a 1; cio corrisponde a norma-

lizzare i campioni di una data finestra a somma unitaria (anziche normalizzare icampioni a valore massimo unitario, come normalmente si fa). Tutte le finestrequi rappresentate hanno lunghezza di 51 campioni, meno quella rettangolare delpannello in alto a destra, che ha lunghezza doppia ossia 101

• Finestra rettangolare

La sua trasformata, gia vista in scala lineare, e rappresentata in scala didB in Fig. 6.11, primi due pannelli in alto. Si vede che il lobo principalee il piu stretto di tutte le finestre a parita di lunghezza (pannello in altoa sinistra). Il lobo secondario piu alto (prossimo a quello centrale) pero




e soltanto 13.5 dB sotto il lobo principale e la decrescita dei lobi laterali

allontanandosi dal lobo principale e lenta. Raddoppiando la lunghezzadella finestra (Fig. 6.11, pannello in alto a destra in confronto con quelloaccanto in alto a sinistra) il lobo principale si stringe ulteriormente ed ilnumero di lobi laterali aumenta ma l’attenuazione minima di 13.5 dB e ladecrescita lenta restano.

• Finestra di Bartlett

La sua trasformata e il quadrato (sempre non negativo, dunque) di quelladella finestra rettangolare, ed infatti la finestra di Bartlett e il risultatodella convoluzione di due finestre rettangolari.

Cio comporta una riduzione del livello relativo dei lobi laterali a circa -27dB (il doppio di -13.5 dB), come visibile ancora in Fig. 6.11. Nel contempopero il lobo principale si allarga a 8π

N , cioe si ha η = 2. La decrescita dei

lobi laterali resta piuttosto lenta.

Si noti che questa finestra, in contesti diversi, puo includere o no zeriagli estremi. E’ invalso l’uso di chiamare “finestra di Bartlett” quella cheinclude zeri agli estremi e “finestra triangolare” quella che non li include.

• Finestra di Von Hann o hanning

La sua trasformata e la somma di tre funzioni di Dirichlet traslate infrequenza, cosı da avere una parziale cancellazione dei lobi laterali. Lafunzione “centrale” ha peso 1/2 e quelle laterali 1/4 ciascuna.

Si ha una discesa dei lobi laterali a -32 dB rispetto al lobo principale,mentre la larghezza del lobo principale resta a 8π

N (η = 2). La decrescita

dei lobi laterali e rapida.• Finestra di Hamming

Qui vengono sovrapposte tre funzioni di Dirichlet con pesi diversi, deter-minati per tentativi cosı da minimizzare l’altezza del piu pronunciato lobolaterale. Si adottano cosı i pesi 0.54 per la funzione centrale e 0.23 perquelle laterali.

Si ottiene una discesa dei lobi laterali al livello relativo di circa -43 dBmentre la larghezza del lobo principale resta a 8π

N (η = 2). In questo casoil lobo laterale piu alto non e il piu centrale. L’attenuazione e notevolema la decrescita dei lobi laterali e lenta.

•Finestra di Blackman

Questa finestra usa cinque funzioni di Dirichlet variamente pesate in mododa ridurre ulteriormente l’altezza dei lobi laterali (ma non e ottimizzatain questo senso).

Si ottiene una discesa dei lobi laterali al livello relativo di circa -57 dB mala larghezza del lobo principale aumenta a 12π

N (η = 3). Si ha moltissimaattenuazione e la decrescita dei lobi laterali e abbastanza rapida ma il lobocentrale e piu largo che in tutte le altre finestre.

La Tabella 6.1 riporta la forma funzionale delle finestre che abbiamo citato.Poiche nei vari contesti in cui tali finestre trovano applicazione e a volte richiesta



6.4. LE FINESTRE CLASSICHE E LE LORO CARATTERISTICHE 211

la forma causale della finestra stessa, altre volte la forma non causale simmetrica

attorno all’origine, nella Tabella sono riportate entrambe le forme. In tutti icasi, l’unico parametro libero e la lunghezza.

Per una finestra in forma non causale, la lunghezza N e sempre dispari. Peruna forma causale N puo essere sia pari sia dispari, ma se e pari ovviamenteil massimo cade ad un valore semi-intero dell’indice. Le forme causali date intabella si intendono per N dispari. Le finestre sono normalizzate in modo daavere 1 come valore massimo.

La Fig. 6.12 mostra la forma delle stesse finestre.

Si noti che i grafici sono tracciati come se si trattasse di funzioni continue din, per chiarezza visiva, ma naturalmente si tratta di sequenze definite solo per

valori interi di n.

Si noti inoltre che tutte hanno zeri agli estremi, tranne la finestra di Hamming.Le finestre sono normalizzate in modo da avere 1 come valore massimo.

0 (N 1)/2 N 0

1

n

w [ n ]

Figura 6.12: Andamento temporale delle piu note finestre graduali classiche,nella loro forma causale. Finestra rettangolare: rosso; finestra di Bartlett: verde;finestra hanning: blu; finestra di Hamming: magenta; finestra di Blackman:nero

Le finestre classiche “affusolate” sono spesso usate, al posto della finestra ret-tangolare, per l’analisi spettrale (non solo di segnali deterministici ma anche disegnali casuali, la cui analisi spettrale si svolge con metodi trattati nella ParteIII).

Da quanto abbiamo detto del comportamento delle finestre classiche nel dominiodella frequenza, in questa sezione, e degli effetti del windowing, nella sezioneprecedente, si comprende che non esiste la finestra migliore in assoluto perl’analisi spettrale e la scelta della finestra e il risultato di un compromesso: se eimportante la risoluzione e si vuole quindi che la larghezza del lobo principaledella trasformata della finestra sia minima a parita di lunghezza si usera la



2 1 2

C A

P I T O L O 6 . S E G N A L I D E T E R M

I N I S T I C I : S P E T T R O D I E N E R G I A

Finestra Forma non causale Forma causale

−M ≤ n ≤M 0 ≤ n ≤ N − 1

Bartlett 1 − |n|/M 2n/(N − 1) per 0 ≤ n ≤ (N −

2 − 2n/(N − 1) per (N − 1)/2 ≤ n

Hann 1

2

1 + cos

πn

M

1

2

1 − cos

2πn

N −1

Hamming 0.54 + 0.46 cosπn

M

0.54 − 0.46 cos

2πn

N −1

Blackman 0.42 + 0.5cosπn

M

+ 0.08cos

2πn

M

0.42 − 0.5cos

2πn

N −1

+ 0.08 cos

N

Tabella 6.1: Forma funzionale delle piu note finestre graduali classiche, nella loro forma causal



6.5. LA FINESTRA DI KAISER 213

finestra rettangolare; se e importante minimizzare il leakage e si vuole quindi

che i lobi laterali siano molto attenuati e rapidamente decrescenti allontanandosidal lobo principale, allora le finestre di Von Hann, Hamming e Blackman sarannole piu interessanti.

6.5 La finestra di Kaiser

Oltre alle classiche finestre citate prima, ne esistono molte altre. Ad esempio,Kaiser ha proposto un’altra finestra piu moderna e flessibile, basata su crite-ri di ottimalita (mira al meglio sotto un certo punto di vista, nel rispetto dicerti vincoli). In particolare, la finestra di Kaiser minimizza la larghezza del

lobo principale sotto la condizione di tenere fissa la lunghezza della finestra e dinon far superare all’energia nei lobi laterali una certa percentuale dell’energiatotale dello spettro. L’energia nei lobi laterali e definita calcolando l’integra-le del modulo quadro della trasformata della finestra su (0, π), con esclusionedell’intervallo di frequenze che compete al lobo principale.

I valori che si ottengono per i campioni di w[n] dipendono, oltre che (ovviamente)dalla lunghezza della finestra, dall’energia concessa ai lobi laterali.

La soluzione del problema di ottimizzazione di Kaiser e esprimibile mediate lafunzione di Bessel modificata di ordine zero, data dalla serie

I 0(x) =

∞k=0

xk

2kk!

.

La finestra di Kaiser di lunghezza N e data infatti dall’espressione

w[n] =

I 0

α

1 − (|2n − N + 1|/N − 1)

2

I 0(α)

dove il parametro α, che questa finestra ha in piu rispetto alle finestre classiche,serve per regolare la larghezza del lobo principale e l’altezza dei lobi laterali: alcrescere di α il lobo principale si allarga ed i lobi laterali si abbassano, a paritadi lunghezza. Il caso α = 0 riporta alla finestra rettangolare.

Invece far crescere la lunghezza tenendo α costante fa decrescere la larghezzadel lobo principale ma non influenza l’altezza massima dei lobi laterali.

La finestra di Kaiser e particolarmente addatta per il progetto di filtri con usodi finestre. Infatti mediante simulazioni numeriche condotte su un intervallo dicondizioni molto ampio, Kaiser ha trovato delle formule empiriche che permetto-no di determinare a priori con discreta approssimazione quale forma e lunghezzadella finestra siano richieste, per restare entro certe specifiche prefissate per ilfiltro da progettarsi con la tecnica con finestre. Con le finestre classiche invece




si deve andare per tentativi, rendendo il lavoro piu lungo. Naturalmente l’uso

della finestra di Kaiser non sposta i limiti intrinseci del progetto con finestre,cui abbiamo in precedenza accennato.

La Fig. 6.13 mostra la forma della finestra di Kaiser al variare del parametro α.

0 (N 1)/2 N 0

1

n

w [ n ]

0

1.5

2.54

5

7

Figura 6.13: Andamento temporale della finestra di Kaiser, per vari valori delparametro α

Si nota, al crescere di α, l’accentuazione del tapering, ossia della velocita didiscesa della finestra verso lo zero agli estremi.

La Fig. 6.14 mostra il modulo quadro della trasformata della finestra di Kaiserin dB, al variare del parametro α.

Si trova che la larghezza del lobo principale in rapporto a quella del casorettangolare cresce circa linearmente con α, come mostrato in Fig. 6.15.

Anche il livello relativo dei lobi laterali in dB varia circa linearmente con α,come si vede in Fig. 6.16.



6.5. LA FINESTRA DI KAISER 215

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/π

2 0 l o g 1 0

| W [ e x p ( j ω ) ] |

0

1.5

2.5

4

5

7

Figura 6.14: Andamento della trasformata in scala logaritmica (dB) della fi-nestra di Kaiser per vari valori del parametro α. Anche in questo caso si enormalizzato in tutti i casi il modulo della trasformata a 1 nell’origine dellefrequenze. Tutte le finestre qui rappresentate hanno lunghezza di 51 campioni

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

α

N ∆ ω / ( 4 π )

Figura 6.15: Andamento della larghezza ∆ω del lobo principale della finestradi Kaiser, in funzione del parametro α. In ordinate e riportato precisamenteN ∆ω/4π ossia il rapporto tra ∆ω e l’analoga quantita che caratterizza la finestrarettangolare, 4π/N




0 2 4 6 8 10−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

α

L

i v e l l o

r e l a t i v o

l o b i l a t . ( d B )

Figura 6.16: Andamento del rapporto tra l’altezza in dB del piu alto lobo lateralee l’altezza in dB del lobo principale, per finestre di Kaiser con vari valori delparametro α



Capitolo 7

L’approccio statistico

all’analisi dei segnali

217



Parte IV

Analisi spettrale evolutiva

218



Capitolo 8

La Short Time Fourier

Transform (STFT)

219



Capitolo 9

La Trasformata Continua di

Wavelet (CWT)

220

TS Dispense

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