1Teoria dei Segnali

Modulazione di frequenza (FM)

Modulazione di frequenza e di faseSpettro FM per modulazione sinusoidaleSpettro FM completoBanda, indice di modulazione, deviazione di frequenzaFM a banda strettaGenerazione di un segnale FMDemodulazione di un segnale FM

2Teoria dei Segnali

Modulazione di frequenza e di fase Data un segnale sinusoidale, linformazione del segnale modulante pu

essere portata dalla fase e dalla frequenza, invece che dallampiezza.

Si definiscono fase instantanea e frequenza istantanea le due quantit:

Dal punto di vista della forma, in tutti e due i casi il segnale ad ampiezzacostante, e periodo variabile.

v(t) = Acos !0t +"(t)( )

! (t) ="0t +#(t) f (t) =1

2!

d" (t)

dt= f0 +

1

2!

d#(t)

dt

3Teoria dei Segnali

Relazione tra le mod. di frequenza e di fase Il segnale modulante pu andare a cambiare la fase o la frequenza istantanea

della portante:

PM: FM:

I corrispondenti modulatori avranno uno schema:

!

v(t) = A cos "0t + # k m(t)[ ]

!

v(t) = A cos["0t + # # k m($ )0

t

% d$ ]

m(t) Integratore Modulatore PMm(t) Integratore Modulatore PM vFM(t)

m(t) Derivatore Modulatore FM vPM(t)

!

f (t) =1

2"

d#(t)

dt= f0 +

$ k

2"

dm(t)

dt

!

f (t) =1

2"

d#(t)

dt= f0 +

$ $ k

2"m(t)

4Teoria dei Segnali

Modulazione FM con modulante sinusoidale Se il segnale m(t) un segnale a singola frequenza (coseno), la modulazione

FM produce il segnale modulato:

Sviluppando lintegrale:

Dove definisco un indice di modulazione ed una deviazione massima difrequenza rispettivamente come

!

v(t) = A cos "0t + # # k cos"mt d$0

t

%&

' ( (

)

* + +

!

v(t) = A cos "0t + # # k sin"mt

"m

$

% &

'

( ) = A cos "0t +* sin"mt( )

! ="f

fm"f =

# # k

2$

5Teoria dei Segnali

Spettro FM con segnale sinusoidale Supponendo un segnale modulante sinusoidale e una modulazione FM, si ha

I termini in seno e coseno sono periodici e quindi espandibili in serie diFourier:

Mettendo assieme le cose:

!

v(t) = A cos "0t +# sin"mt( ) = Acos"0t cos # sin"mt( )$ Asin"0t sin # sin"mt( )

sin ! sin"mt( ) = 2J1 !( )sin "mt( ) + 2J3 !( )sin 3"mt( ) + ...

cos ! sin"mt( ) = J0 !( ) + 2J2 !( )cos 2"mt( ) + 2J4 !( )cos 4"mt( ) + ...

!

v(t) = A J0 "( )cos #0t( )$ J1 "( ) cos #0 $#m( )t $ cos #0 +#m( )t[ ] + J2 "( ) cos #0 $ 2#m( )t $ cos #0 + 2#m( )t[ ] + ...( )

6Teoria dei Segnali

Componenti del segnale FM Le componenti del segnale dipendono dal valore di e dalle funzioni di

Bessel.

Per piccolo, la componente predominante quella a frequenza f0, perch Jo() pi alto di Jn():

conta molto la portante, e poco le bande laterali. Per molto grande, J0() pu essere molto piccolo, o anche nullo, mentre i

Jn() assumono valori differenti: contano molto le bande laterali e poco la portante (vantaggio su AM-DSB).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

J0()

J1()

J2()

7Teoria dei Segnali

Banda di un segnale FM Da quanto visto prima, il segnale FM (o PM) ha banda infinita!!!

Si definisce per una Banda di Carson, come la banda entro cui si ha il98% della potenza del segnale. Nel caso di un segnale modulantesinusoidale:

Si noti che, per grandi, la banda indipendente dal segnale e dallamodulazione (cio lo stesso ).

Bc = 2 !f + fm( ) = 2 " +1( ) fm

f2 !f

f2 !f

8Teoria dei Segnali

FM a banda stretta Se si suppone di avere un piccolo, si ottiene che:

Continuando nei conti:

Si noti che il segnale molto simile ad un segnale AM-DSB, con lunicadifferenza che ci sono un seno ed un coseno invece di due coseni.

Dunque: contano solo le frequenze laterali; la potenza concentrata sulla portante ( piccolo!); due segnali danno uno spettro che la somma degli spettri (linearit).!

v t( ) = Acos "0t( ) # Asin "0t( ) $ $ k m(%)d%0

t

&'

( )

*

+ ,

!

v(t) = A cos "0t +# sin"mt( ) $ Acos "0t( ) % cos(0)& Asin "0t( ) % # sin"mt

!

v(t) " A cos #0t( )$A%

2cos #0 $#m( )t( ) $ cos #0 +#m( )t( )( )

9Teoria dei Segnali

FM a banda larga Se il segnale a banda larga esiste una relazione tra banda e potenza, e si

pu suddividere meglio la potenza sulle bande laterali, ma la banda piampia.

La potenza complessiva di un segnale PM o FM infatti costante e pari aA2/2, visto che il segnale ha ampiezza costante e fase o frequenza variabile.

Cambia dunque, in funzione di , la suddivisione tra Jo() e gli altri Jn(), edunque la frazione di potenza monopolizzata dalla portante.

f2 !f

f2 !f

!

v(t) = A J0 "( )cos #0t( )$ J1 "( ) cos #0 $#m( )t $ cos #0 +#m( )t[ ] + J2 "( ) cos #0 $ 2#m( )t $ cos #0 + 2#m( )t[ ] + ...( )

!

Pv =A2

2=A2J0 "( )

2

2+ 2 #

A2J1 "( )

2

2+ 2 #

A2J2 "( )

2

2+ ...

10Teoria dei Segnali

Generatori di segnali FM Ci sono due metodi per generare un segnale FM:

diretto indiretto

Metodo diretto:

Metodo indiretto:

Cv

C0L

m(t)

!

v(t) " A cos #0t( ) $ cos(0)% Asin #0t( ) $ & sin#mt

!

v(t) = A cos 2"ft( ) ove f =1

L C0 +Cv(t)( )

PortanteSfasatore

di 90

Modulatorebilanciato

m(t)

+

-

11Teoria dei Segnali

Vantaggi e svantaggi dei due metodi Metodo diretto:

Collegamento diretto tra segnale modulante e frequenza risultante Alta linearit della relazione Alta stabilit della frequenza centrale Estremamente economico

Metodo indiretto: Collegamento indiretto Maggior robustezza Valido solo per piccoli Alta precisione nello sfasamento di 90

12Teoria dei Segnali

Moltiplicatori di frequenza Per utilizzare un modulatore diretto per ottenere segnali con grande, necessario

utilizzare un moltiplicatore di frequenza:

Se il segnale prima del moltiplicatore

con piccolo, dopo il moltiplicatore :

e lindice di modulazione aumentato, perch la deviazione massima di frequenza cambiata.

A cos n!0t + n" sin!mt[ ]

A cos!0t + " sin!mt[ ]

!

f = f0 +"f cos#mt

!

nf = nf0 + n"f cos#mt

13Teoria dei Segnali

Moltiplicatori in cascata

In uscita al modulatore NBFM abbiamo un segnale FM a banda stretta conportante f0 e indice .

Dopo il primo moltiplicatore in frequenza abbiamo un segnale FM conportante n1f0 e indice n1.

Dopo il mixer abbiamo due segnali FM: uno con (n1+n2)f0 e indice n1,laltro con |n1-n2|f0 e indice ancora n1.

Dopo il secondo moltiplicatore in frequenza abbiamo due segnali FM: unocon n3(n1+n2)f0 e indice n1n3, laltro con n3|n1- n2|f0 e indice n1n3.

*frequenza x n 1frequenza x n

3

O.L.freq = f'

0

frequenza x n2

filtro

passabanda

Modulatore

NBFM

s(t)

14Teoria dei Segnali

Demodulatori FM Il demodulatore FM costituito da tre parti: il limitatore, il discriminatore, il

demodulatore AM ad inviluppo.

Supponendo di avere in ingresso un segnale FM + rumore, dopo il limitatoresi avr

e, dopo il discriminatore (derivatore):

AL cos !0t + " " k m(# )d#0

t

$%

& ' '

(

) * *

!

" #0 + $ $ k m(t)( ) AL sin #0t + $ $ k m(% )d%0

t

&'

( ) )

*

+ , ,

Limitatore Discriminatore Demodulatore AM

!

A cos "0t + # # k m($ )d$0

t

%&

' ( (

)

* + + + n(t)

15Teoria dei Segnali

FM stereo Sistema compatibile con FM mono. FM a banda larga con f di 75 kHz (sistema USA) Segnale audio di alta qualit (6 kHz di banda)

S

o

m

m

a

t

o

r

e

Differenza

Somma

Moltiplica

f = 2 fO.L. =

19 KHz

out in

L(t)

R(t)