Travi soggette a taglio e momento flettente

Quando i carichi o i momenti hanno vettori perpendicolari all’asse si parla di sollecitazioni su

travi o beams

Il piano di inflessione è quello ove

agiscono i carichi e che contiene la

linea d’asse indeformata e deformata

Lo scopo è di determinare le sollecitazioni che agiscono su ogni sezione lungo l’asse

Trave Incastrata a sbalzo

Cantilever beam Trave appoggiata a sbalzo

Beam with an overhang Trave semplicemente appoggiata

Simply supported beam

Spesso le travi sono classificate in funzione delle loro condizioni vincolari

Il passaggio dai vincoli fisici alla idealizzazione degli stessi nel modello va fatta

considerando le effettive condizioni di deformabilità locale

Il sistema di ancoraggio ad asola consente

piccoli spostamenti assiali carrello

Il fissaggio sulla parete sottile garantisce

l’impedimento della traslazione ma non la

locale rotazione cerniera

Il fissaggio rigido del piatto di base

garantisce il bloccaggio incastro

Le strutture a traliccio (travi sottili

rispetto ingombro struttura) sono

considerate come tutte incernierate

per effetto dei cedimenti vincolari –

dovuti anche a plasticità locale

CONCENTRATI: Se la zona di carico ha una piccola estensione

rispetto sviluppo assiale

In rapporto ai carichi applicati:

DISTRIBUITI: Se il carico è definito per unità di lunghezza q

q costante q variabile linearmente q(x) variabile in modo continuo

Calcolo delle reazioni vincolari

Sono immediatamente determinabili

solo per sistemi isostatici ai vincoli

esterni

pattino

Esempio di struttura composta: Struttura piana a due aste rigide

DETERMINAZIONE DELLE FORZE DI TAGLIO E DEL MOMENTO

Il metodo prevede di applicare le condizioni di equilibrio al corpo

libero, ossia avendo sostituito ai vincoli le forze vincolari

Si effettua un taglio in una generica sezione x e si impone l’equilibrio (ds o sn)

0vertF V x P

0xM M x Px

CONVENZIONE DEI SEGNI (secondo deformabilità)

I momenti sono positivi quando le fibre inferiori sono tese

Il taglio è positivo quando provoca sul materiale rotazione oraria

Metodo dell’equilibrio differenziale

Si effettua l’equilibrio di un elementino fermandosi ai

termini dei I ordine

Eq. Verticale:

0dV

q x dx V V dxdx

dVq x

dx

Quindi la derivata del taglio coincide con l’intensità carico

distribuito, per il segno dipende dalla convenzione di V

Eq. Momento

02

dx dMM V x dx q x dx M dx

dx

dM

V xdx

La derivata del momento flettente risulta pari all’azione del taglio V, il segno risulta dalle

convezioni adottate

Infinitesimo ord. superiore

Derivando la II e ricordando la I:

2

2

dV xd Mq x

dx dx

Assenza carico distribuito: taglio costante, momento

variabile linearmente

Carico distribuito costante: taglio lineare, momento

variabile quadraticamente

Carico distribuito potenza n: taglio potenza n+1,

momento potenza n+2

x polo eq.

DIAGRAMMI DEL TAGLIO E DEL MOMENTO FLETTENTE

La rappresentazione grafica è molto utile per determinare

le sezioni più sollecitate ove sarà opportuno effettuare le

verifiche strutturali

Calcolo reazioni vincolari

0AM 2

02

B

LR L Pa q 2

B

Pa LR q

L

2A

Pb LR q

L

0

( )x

a A aM x M V x dx 0

02

x

a

Pb LM x q qx dx

L

0 x a

Tracciamento dei diagrammi

0

( )x

a AV x R q x dx 2

a

Pb LV x q qx

L

a x L

( )x

b aa

V x V a P q x dx 2

b

Pa LV x q qx

L

2

2( )2 2 2 2

xx

b a ba

a

Pab aL q Pax Lx qxM x M a V x dx q a q

L L

2

2 2a

Pb L qM x q x x

L

0 0aM

2 2

2 2b

Pab Pa Pax Lx qxM x q

L L L 0bM L

2

b

Pa LV x q qx

L a x L

0 x a 2

2 2a

Pb L qM x q x x

L

Andamento del momento

Posto dalla parte fibre tese

2

a

Pb LV x q qx

L 0 x a

2A

Pb LR q

L

Andamento del taglio

2

Pa Lq

L

2B

Pa LR q

L

2

Pb Lq

L

0 0aM

Nelle posizioni estremali:

2

a

P qM a ab

L

Cerchiamo il massimo

all’interno del campo: 0

2a

Pb qLM x qx

L

max2

A

Pb Lx

qL

2

max2 2

a A

q Pb LM x

qL

Il massimo è in x=a se max

2A

Pb Lx a

qL

Andamento del momento a x L

Posto dalla parte fibre tese

2

b

P qM a ab

L

Nelle posizioni estremali:

0bM L

max2

B

L Pax

qL

2

max2 2

b B

q Pa LM x

qL

Cerchiamo il massimo

all’interno del campo: 0

2b

Pa qLM x qx

L

Il massimo è in x=a se max2

B

L Pax a

qL

2 2

2 2b

Pab Pa Pax Lx qxM x q

L L L

Il valore massimo del momento tra 0 e L potrà assumere quindi uno dei seguenti valori

max2

P qM ab

L

2

max2 2

q Pb LM

qL

2

max2 2

q Pa LM

qL

max se x a max se x a max se x a

Andamenti in altri Esempi

Strutture reticolari

Sia che si tratti di collegamenti

angolari, sia mediante perni, queste

strutture vengono schematizzate

mediante cerniere in quanto sotto

carico le giunzioni si comportano

come cerniere plastiche

Per verificare l’isostaticità occorre valutare i GdL. Per il loro calcolo risulta più agevole

considerare le cerniere come corpi rigidi e le aste (non si ha mai momento flettente se i

carichi sono applicati solo alle cerniere) come vincoli che sottraggono 1 GdL.

2 numero di cerniereGdL numero aste vincoli a terraGdV

La struttura sarà iperstatica se GdV > GdL, isostatica se GdV = Gdl, ipostatica GdV < GdL

39 cerniere = 78 GdL

75 aste + 3 vincoli = 78 GdV

La struttura è isostatica e non è labile in

quanto composta da tanti anelli chiusi

isostatici e ben vincolata a terra

Se si stacca un’asta in corrispondenza di un nodo i sostituendo al vincolo interno i carichi,

l’equilibrio alla rotazione in j dell’asta i-j impone che sia nulla la componente ortogonale Ti

Pertanto gli elementi si comportano come bielle (se rettilinee

aste) essendo possibili solo carichi congiungenti i perni, di

trazione (tiranti) oppure di compressione (puntoni)

Data questa caratteristica le strutture reticolari sono particolarmente interessanti

perché carichi di trazione/compressione utilizzano pienamente le sezioni resistenti

Nel calcolo si ipotizza l’assenza dell’attrito nei perni

Classico traliccio alta tensione

Telaio motociclistico a culla

Chassis autoveicolo da competizione

misto reticolare – piastre portanti

Prima vettura a scocca portante

Esempio - Risoluzione mediante il metodo dell’equilibrio dei nodi

Il primo passo è spesso la risoluzione dei vincoli esterni

1 50 4 2M R P

A ogni nodo si compongono vettorialmente le

forze esterne e quelle delle aste e si risolve per

una cerniera alla volta

5

1

2R P

1vR P

12

o

PR

1vR

1oR

5R

Cern. E

6 cos 04 2

PN

6 7sin 0

4

N N

6 7

2;

2 2

PN P N

Si possono già risolvere le aste 6 e 7, che subiscono azioni contrarie

rispetto a N6 e N7, e pertanto l’asta 6 è in compressione e la 7 in trazione.

5 4 cos 04

N N

4 7sin 04

N N

5 4

2;

2 2

PN N P

Considerando i versi impostati per N5 e N4 l’asta 5 è

compressa, la 4 tesa

Cern. C scelta perché sia minimo il numero di incognite

2 5 6cos cos 04 4

N N N

2 2N P

2

2 2 20

2 2 2 2

PN P

2 3 6sin sin 04 4

N N N P

32

P

N

3

2 2 22 0

2 2 2 P N P P

Considerando i versi impostati per N2 e N3, entrambe le aste 2 e 3 sono in compressione

Cern. D

12

P

N

L’ultima asta 1 si

trova in trazione

Cern. B Cern. A

L’ultima cerniera non ha incognite

e può essere utilizzata per verifica

Con carico P = 1 kN

Trazione

Compressione