Trave Su Suolo Elastico

Progetto di un telaio piano in c.a.: Progetto delle travi di

fondazione.

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08

a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008

Travi di Fondazione



Assunzioni di progetto

Per le combinazioni 2 e 3 i valori di calcolo delle sollecitazioni si ricavano assumendo glisforzi normali desunti dallanalisi ed i corrispondenti momenti resistenti amplificati per Rd.

)k(Ed,iN ( ))k(Ed,iRd)k(Ed,i NMM =

Combinazione 2 Combinazione 3

L

G

ei

=

==

+

=3

1i

)k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed

N

eNM

e

6

Le )k(Ed

+

=

=

L

e61

BL

N )k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed,t

6

Le )k(Ed >

=

=

Be2

L3

N2

)k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed,t

I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione

Progetto e Verifica delle armature



Considerazioni Preliminari

Avendo progettato la sezione trasversale, possibile passare a valutarne le caratteristichedella sollecitazione considerando anche la sua rigidezza flessionale EI nellambito dellateoria delle travi elastiche su suolo elastico alla Winkler.

GyG

EI

pw4w 4IV =+

EI

Bk4 04 =

B




Schema di Calcolo)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

fcls)k(

gt)k(

g)k(

d Agg ==

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

[1] [2] [3] [4]

Ad ogni nodo sono associate due componenti libere di spostamento:- traslazione verticale w;- rotazione j.

[ ]T5544332211 wwwww =s[ ]T5544332211 MVMVMVMVMV=F[ ]T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMV=F




Schema di Calcolo)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

[1] [2] [3] [4]

Nello spirito del metodo degli spostamenti possibile costruire una matrice di rigidezza che colleghi le azioni applicate agli spostamenti prodotti:

0FFKs =

Pr

o

g

e

t

t

o

e

V

e

r

i

f

i

c

a

d

e

l

l

e

a

r

m

a

t

u

r

e


Bozza del 21/05/2008

S

c

h

e

m

a

d

i

C

a

l

c

o

l

o

=K

1 2 3 4 5




Matrice di rigidezza del generico elemento e.

i jx

z,w

i wj

i j

l

i j

Ti

MiTj

Mj

s = ( )jjii ,w,,w f = ( )jjii MTMT ,,, ( ) xxxxxxxx ceAseAceAseAxw 4321 +++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxxx cseAcseAcseAcseAxwI +++= 4321

( )0wwi = ( )0Iwi =

( )lww j = ( )lw Ij =

s = G a

( ) ( ) ( ) ( )

++

lll

lll

lll

lll

ll

ll

ll

ll

csecsecsecse

cesecese

1010

a = G-1 s

a cura di Enzo Martinelli




Matrice di rigidezza del generico elemento e.

i jx

z,w

i wj

i j

l

i j

Ti

MiTj

Mj

s = ( )jjii ,w,,w f = ( )jjii MTMT ,,,

f=

( )( )( )( )

=

=

=

=

lx

lx

x

x

II

III

0II

0III

w

w

w

w

EI H= 2EI ( ) ( ) ( ) ( )

++

ll

ll

ll

ll

lll

lll

lll

lll

s2e c2e s2e c2e

cs2- cs2- cs2- cs2

0 2- 0 2 2 2 2 2

f = H a =(H G-1) s = K s

( ) xx2xx2xx2xx2 seA2ceAseA2ceA2xw 4321II ++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx3xxx3xxx3xxx3 cseA2cseA2cseA2cseA2xw 4321III ++=

(e)





Azioni di Incastro perfetto sul generico elemento

i jx

z,w

i wj

i j

l

i j

Ti

MiTj

Mj

=0s

( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

=

=

=

=

=

lp

lp 0p

0p

k1

w -

w

w -

w

I

I

I1

1

0I1

01

lx

lx

x

x

f0 = H a0 =H G-1 (-s0) = -K s0

f = K s - K s0 = K s + f0

(e)

(e)(e) (e)(e) (e)

Per lelemento generico vale la seguente relazione tra forze nodali e spostamenti nodali:




Espressioni sintetiche della matrice di rigidezza localei jx

z,w

i wj

i j

l

i j

Ti

MiTj

Mj

=

3

2

2

3

3

5

2

4

2

31

2

46

3

5

2

4

3

2

2

3

2

46

2

31

)e(

22

22

2

2

22

2

2

K

( )l2a senl2a senhbk1 += 0 ( )l2a senl2a senhbk2 = 0 ( )l2a cosl2a coshbk3 = 0 ( )la senla senhbk4 = 0 ( )lcosalsenhala senlcoshabk5 = 0

( )lcosalsenhalsenalcoshabk26 += 0

2lcos2alcosh2a1

+

=

E possibile definire una matrice di rigidezza locale per ogni elemento in funzione di:- uguale per tutti;- l dipendente dai singoli elementi.





Assemblaggio: elemento 1)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

=K

=

32

2

3

3

5

24

2

31246

3

5

24

32

2

3

246

2

31

)1(

22

22

2

2

22

2

2

K

l=L0





Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

[ ]=0F

l=L0

=0s

( )

( )( )

( )

=

=

=

=

=

0

q

0

q

k

1

w -

w

w -

w

lx

lx

x

x

I

1

1

0

I

1

01


[ ]T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMV=F




Vettore delle forze nodali applicate)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

[ ]T5544332211 MVMVMVMVMV=F

[ ]T)k(6,Ed)k(6,Ed)k(5,Ed)k(5,Ed)k(4,Ed)k(4,Ed)k( 00MNMNMN00=F

I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione a cura di Enzo Martinelli




Assemblaggio)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0





Soluzione


[ ]01 FFKs = Soluzione del sistema globaleEstrazione delle componenti di spostamenti locale e calcolo delle costanti di integrazione:

[ ] [ ])e(0)e(1)e()e(0)e()e(def ssGaaa =+= i jx

z,w

i wj

i j

l

i j

Ti

MiTj

Mj

( ) xxxxxxxx ceAseAceAseAxw 4321 +++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxxx cseAcseAcseAcseAxwI +++= 4321( ) xx2xx2xx2xx2 seA2ceAseA2ceA2xw 4321II ++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx3xxx3xxx3xxx3 cseA2cseA2cseA2cseA2xw 4321III ++=

Esempio Numerico


)k(Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

L0 L1 L2 L0

As=12.56 cm2

60

30

60

30

60

30

As=15.70 cm2 As=15.70 cm2

Combinazione 2kN 64.216N )2(Ed,4 =

)2(Ed,4cd

)2(4,c Nfyb8.0 =

mm 64.7933.113008.0

216640y )2(4,c =

=

s

sds

E

f00218.0

3064.79

0035.0' >=

=

( )( ) ( ) kNm 49.323303003911256264.794.030033.1164.793008.0

'd2

hfA2y4.0

2

hfyb8.0NMM sds

)2(4,ccd

)2(4,c

)2(Ed,4Rd

)2(Ed,4

=+=

=

+

==

kN 21.714N )2(Ed,5 = kN 10.524N)2(

Ed,6 =

kNm 00.471M )2(Ed,5 = kNm 23.382M)2(

Ed,6 =

Esempio Numerico


)k(Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

L0=100 L1=460 L2=590 L0=100

GyG

100

50

30

70

25

Caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione e della trave

cm 92.413025210050

15302525010050yG =

+

+=

( ) ( ) 42323G cm 56926281592.41302512

3025292.415010050

12

10050I =

+

++

=

MPa 18.2708510

f22000E

3.0ck

cm =

=

Nmm 105419.1105.69218.27085IEEI 1510Gcm ===

q

( ) m/kN 25.1600.250.250.3021.000.500.1qq tgd,t =+==2

m0 mm/N 0.14140001.0Bkk ===

1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106

9.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106

1.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106

9.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106





Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

=K

=)1(

K

l=L0=1.0 m k=1.4x104 kN/m2

EI=1.542x106 kNm2 =0.2182 m-1




Assemblaggio: elemento 1

=K

=0F

1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106 0 0 0 0 0 09.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8.12491.354148.12491.35414

000000

213917. 452638. 181898. 428129.452638. 1.35367106 428129. 660744.181898. 428129. 213917. 452638.428129. 660744. 452638. 1.35367106





Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

=K

=)2(

K

l=L1=4.6 m k=1.4x10-8 kN/m2

EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1





=K

=0F

1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.87219107 8.7995106 181898. 428129. 0 0 0 09.25097106 3.0837106 8.7995106 7.5214106 428129. 660744. 0 0 0 0

0 0 181898. 428129. 213917. 452638. 0 0 0 00 0 428129. 660744. 452638. 1.35367106 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8.12491.3541445.290627.093737.165728.4478

0000

120446. 290894. 79763.8 251063.290894. 1.07224106 251063. 502626.79763.8 251063. 120446. 290894.251063. 502626. 290894. 1.07224106





Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

=K

=)3(

K

l=L2=5.9 m k=1.4x10-8 kN/m2

EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1





=K

=0F

1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.87219107 8.7995106 181898. 428129. 0 0 0 09.25097106 3.0837106 8.7995106 7.5214106 428129. 660744. 0 0 0 0

0 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 00 0 428129. 660744. 161744. 2.42591106 251063. 502626. 0 00 0 0 0 79763.8 251063. 120446. 290894. 0 00 0 0 0 251063. 502626. 290894. 1.07224106 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8.12491.3541445.290627.093784.386317.784547.220646.2323

00

1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106

9.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106

1.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106

9.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106





Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

=K

=)4(

K

l=L0=1.0 m k=1.4x10-8 kN/m2

EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1





=K

=0F

1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.87219107 8.7995106 181898. 428129. 0 0 0 09.25097106 3.0837106 8.7995106 7.5214106 428129. 660744. 0 0 0 0

0 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 00 0 428129. 660744. 161744. 2.42591106 251063. 502626. 0 00 0 0 0 79763.8 251063. 1.86284107 8.96124106 1.8501107 9.25097106

0 0 0 0 251063. 502626. 8.96124106 7.23997106 9.25097106 3.0837106

0 0 0 0 0 0 1.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106

0 0 0 0 0 0 9.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106

8.12491.3541445.290627.093784.386317.784555.345544.87818.12491.35414




Vettore delle forze nodali)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM

)k(dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

0, 0, N4Ed, M4Ed, N5Ed, M5Ed, N6Ed, M6Ed, 0, 0=F=F

[ ]01 FFKs = 0.00 0.00 216.64 -323.49 714.21 -471.00 524.10 -382.23 0.00 0.00




Diagramma degli spostamenti

-6 -4 -2 2 4 6

-0.0175

-0.015

-0.0125

-0.01

-0.0075

-0.005

-0.0025

Trave elastica

Trave rigida




Diagramma del Taglio

-6 -4 -2 2 4 6

-400

-200

200

Trave elastica

Trave rigida

-6 -4 -2 2 4 6

-600

-400

-200

200

400

600




Diagramma del Momento Flettente

Trave elastica

Trave rigida

Trave Su Suolo Elastico

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