Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Serbatoi e tubi

Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Università di Basilicata

marco.vona@unibas.it http://www.unibas.it/utenti/vona/

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

Consideriamo untubo rettilineo, molto lungo di sezione circolarecostante, disposto orizzontalmente, pieno di un fluido in pressione

La pressione al centro del tubo vale

pRp γ=

2R

Le pareti del tubo sono soggette a una sollecitazione di trazionenella direzione trasversale ovvero nella direzione degli infinitianelli di cui può considerarsi composto

pRN =

Pertanto per effetto della pressione il raggio del tubo aumenta e ladeformazione vale:

pEs

N

E== σε

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

2R

sspessore del tubo

Ovviamente ciò è valido soltanto ad una certa distanza dallesezioni d’estremità

Studiamo ora il tratto d’estremità del tubo nell’ipotesi che siaincastrato perfettamente

l

Es

Rp

Es

NRRw

2

=== ε

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

Da una certa sezione in poi effetto del vincolo sarà trascurabile el’aumento del raggio sarà pari a:

Rε

Nel tratto compreso tra l’incastro d’estremità e tale sezionel’aumento del raggio sarà minore di

Rεe la generatrice del tubo assumerà una forma curva

Lontano dal vincolo di estremità la pressione p si scarica

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

Lontano dal vincolo di estremità la pressione p si scaricaintegralmente sugli anelli mentre in prossimità del vincolo stesso lapressione assorbita dagli anelli sarà pari a:

ppa <

La pressione residua

Viene assorbita dalle strisce longitudinali che si inflettono

as ppp −=

COMPORTAMENTO DEI TUBI

In conseguenza di questi semplici ragionamenti sembra evidentepoter distinguere nei tubi due diversi tipi di comportamento

A membrana: ovvero senza effetti flessionali ad una distanzasufficientedai vincolisufficientedai vincoli

Flessionale: ovvero in prossimità dei vincoli

Consideriamo ora un tubo di lunghezzal incastrato incorrispondenza delle sezioni d’estremità

COMPORTAMENTO DEI TUBI

l

Se 2R è il diametro d del tubo, se questo ha una lunghezzaminore di 2d , il comportamento a membrana (puramentemembranale) non si verifica in alcuna sezione ma si avrà uncomportamento di tipo flessionale

COMPORTAMENTO DEI TUBI

In tal caso il suo comportamento sarà ovunque di tipomembranale

Tubo privo di vincoli di estremità. Immaginiamo il tubo privo divincoli di estremità

In tal caso, sotto l’azione della pressione internap , subirà per tuttala sua lunghezza la deformazione ε

Per rispettare la congruenza occorre applicare alla estremità deltubo i tagli Q1 e Q2 e i momenti M1 e M2

l

COMPORTAMENTO DEI TUBI

Tubo privo di vincoli di estremità

Per ragioni di simmetria sarà:

l

Q Q

M1 M2

Q1 = Q2 e M1 = M2

In questa condizione di carico la pressione è ovunque nulla edunque il comportamento del tubo sarà ovunqueflessionale

Q1 Q2

COMPORTAMENTO DEI TUBI

In generale, il comportamento di un tubo può essere consideratocome la sovrapposizione di un comportamento a membrana dovutoalla pressione applicata al tubo privo dei vincoli e di uncomportamento flessionale dovuto alle reazioni dei vincoli,applicate sul tubo non soggetto alla pressione

Ragionamenti analoghipossono essere condottinel caso di serbatoicilindrici ad asse verticale

p

COMPORTAMENTO DEI SERBATOI

Il serbatoio si comporta come un tubo incastrato alla base, libero insommità, soggetto ad una pressionep variabile linearmente conla profondità

p

COMPORTAMENTO DEI TUBI

Sotto la pressione interna gli anelli si dilatano e, in assenza divincoli, il loro raggio aumenta linearmente con la profondità(comportamento di tipo membranale)

Al contrario il vincolo da luogo ad uncomportamento flessionaleche si smorza con la distanza dal vincolo stesso

p

L’EQUAZIONE DEI TUBI

M

Qdx

Nell’ipotesi che il carico applicato sia normale lungo unqualsiasi anello del tubo risultano in generale diverse da zero lecaratteristiche di sollecitazioneM , Mθθθθ , N e Q

Tutte le caratteristiche dellasollecitazione non nulle

dθθθθMθθθθ N

R

dx

p

sollecitazione non nulledipendono solo dall’ascissa xlungo le generatrici del tubo

Le equazioni di equilibrio nonidenticamente soddisfatte sonodue

L’EQUAZIONE DEI TUBI

M

Qdx

p

1. Equilibrio delle forzenella direzione dellanormale alla superficiemedia del tubo

( ) 0=−− ϑϑϑ NdxdQRddx

ddxRd

dθθθθMθθθθ N

R

pdx

2. Equilibrio dei momentiintorno alla direttrice

( ) 0=− dxMRddx

dQRdxd ϑϑ

L’EQUAZIONE DEI TUBI

M

Qdx

p

Semplificando si ottiene

=

=+

dx

dMQ

pdx

dQ

R

N

dθθθθMθθθθ N

R

p

Ovvero sostituendoQ

pdx

Md

R

N =+2

2

L’EQUAZIONE DEI TUBI

Dall’equazione di equilibriop

dx

Md

R

N =+2

2

È evidente che il caricop si suddivide in due parti dalle quali lacomponente:

R

Npa =

È assorbita dagli anelli (comportamento a membrana) mentre laparte:

2

2

dx

Mdps =

È assorbita dalle strisce (comportamento flessionale)

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

Le equazioni di collegamento sono tre ed esprimono lesollecitazioniM , Mθθθθ , N in funzione delle caratteristiche dideformazione

Tali deformazioni, per le ipotesi fatte e lontano dai vincoli, siriducono al solo spostamento radiale

Consideriamo lo spostamento

R

w

Consideriamo lo spostamentonormale alla superficie mediaw

La deformazione circonferenzialevale

R

w=ϑε

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

Ne consegue il valore della tensione normale in direzionelongitudinale

E poichérisulta:

∂∂+

∂∂

−=

2

2

2

2

21 y

w

x

wEzx ν

νσ

σσσσx

z

E poichérisulta:

02

2

≡∂∂

y

w2

2

2

2

dx

wd

x

w =∂∂

2

2

21 dx

wdEzx ν

σ−

=ϑ

R w

ϑRy =

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

La sollecitazione flessionale conseguente si determina perintegrazione tra i due estremi definiti dallo spessore del tubo

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2 112

1

1 dx

wdD

dx

wdEzzdz

dx

wdEzzdzM x =

−=

−== ∫∫

−− ννσ

δ

δ

δ

δ

Definiamo ora la tensione in direzionecirconferenziale θσ

( )xEνσσε ϑϑ −= 1

−+=+=

2

2

21 dx

wdz

R

wEE x ν

ννσεσ ϑϑ

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

Definiamo ora la tensione in direzionecirconferenziale θσ

zθσ

( )xEνσσε ϑϑ −= 1

−+=+=

2

2

21 dx

wdz

R

wEE x ν

ννσεσ ϑϑ

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

La tensione in direzionecirconferenzialepuò essere vista come lasomma di due differenti contributi: uno costante ed uno variabile

R

wE 2

2

21 dx

wdzE

νν−

zθσ

z z

Termine assiale Termine flessionale

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

Tensione in direzionecirconferenziale

zdzR

wEsdzN == ∫

−

2

2

δ

δϑσ

Mdx

wdEszdzM ν

νσ

δ

δϑϑ =

−== ∫

−2

2

2

32

2 112

1

dxνδ −− 2 112

Sostituendo le espressioni diN ed M nell’equazione di equilibriosi ottiene

pdx

Md

R

N =+2

2

pdx

wdD

dx

dw

R

Es =

+

2

2

2

2

2

L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI

Nel caso di tubo a spessore costante (D= cost) si ottiene

Equazione dei tubipdx

wdDw

R

Es =+4

4

2

L’equazionedei tubi è formalmenteanalogaall’equazionedellaL’equazionedei tubi è formalmenteanalogaall’equazionedellalinea elastica dellatrave su suolo elastico con k costante disottofondo e soggetta ad un caricop

pdx

wdEJkw =+

4

4

pEJ

STUDIO DEI TUBI

Lo studio dei tubi si riconduce allo studio di elementi solidigeometricamente assialsimmetrici di forma cilindrica, spessorecostante, soggetti a carichi agenti parallelamente al pianoortogonale all’asse di simmetria

Per tali ragioni la geometria si presta ad essere descritta incoordinatecilindricher , θθθθ e lcoordinatecilindricher , θθθθ e l

Generalmente il problema viene studiato come piano, ipotesi che sipuò ritenere valida soltanto per elementi sottili (h/r piccolo)

Le equazioni principali in coordinate cilindriche si ottengono daquelle in coordinate cartesiane

Nell’ipotesi che il carico esterno applicato sia normale alla SMecostante lungo un qualsiasi anello del tubo risultano in generalediverse da zero le caratteristiche di sollecitazione in direzioneradiale ed in direzione normale alla superficie laterale del genericoelemento di dimensionidr ed altezzah

STUDIO DEI TUBI

Le equazioni di equilibrio non identicamente soddisfatte sono due

( ) 0=⋅−−⋅ ϑϑϑ dNdxdxQRddx

dRdpdx

Equilibrio delle forze lungo la normale alla SM

STUDIO DEI TUBI

dx

( ) 0=−⋅ dxMRddx

ddxQRd ϑϑ

Equilibrio dei momenti intorno alla direttrice della SM

L’INTEGRALE GENERALE DELL’EQUAZIONE DEI TUBI

L’equazione dei tubi trasformata in forma canonica:

D

pw

DR

Es

dx

wd =+24

4

Si pone: ( ) 422

2

24

112 αν =−=RsDR

Es

( )sRRs

3.11322

4 2

≅−= να

(il numeratore varia tra 1.316 perν = 0 e 1.285 per ν = 0.3 )

L’equazione dei tubi diventa:D

pw

dx

wd =+ 44

4

4α

L’INTEGRALE GENERALE DELL’EQUAZIONE DEI TUBI

Si ipotizza che il carico esternop sia espresso da un polinomioin x di grado non superiore a 3 (nei casi praticip è costanteoppure lineare)

Quindi un integrale particolare (soluzione) dell’equazione nonomogenea è data da:

2

Es

pR

D

pw

2

44==

α

Il termine di membrana dovuto al caricop non è altro chel’integrale particolare della equazione non omogenea

Si deduce che è il termine di membrana poiché la sua derivata 4°corrisponde al caricops delle strisce e cioè al comportamentoflessionale