E S E M P I D I M O D E L L I Z Z A Z I O N E

Trasformata di Laplace

Introduzione

La trasformata di Laplace si utilizza nel momento in cui è stata individuata la funzione di trasferimento

La F.d.T è una equazione differenziale nel tempo abbastanza difficile

Si ricorre alla trasformata di Laplace per passare dal dominio del tempo al dominio delle frequenze s

Il dominio s non è nel campo reale ma nel campo complesso s=α+jω

Procedimento

Per conoscere una F.d.t. nel dominio t si procede secondo i seguenti punti:

1. Si trasformano le variabili di ingresso dal dominio t al dominio s

2. Si trasformano le relazioni ingresso-uscita nel dominio s

3. Si determina la funzione di uscita in s4. Si antitrasforma la funzione di uscita dal dominio s

al dominio t

Risposta dei sistemi continui nel dominio del tempo

La risposta di un sistema nel dominio del tempo a un segnale dipende sia dalla funzione di trasferimento che dal segnale stesso

In genere, l’analisi di un sistema si fa analizzando la risposta a un gradino unitario come segnale di input

Come si vedrà in seguito

0

0

1( ) ( )

0per t t

u t grad tper t t

>= = <

1( )grad ts

=

Sistema di ordine zero

È un sistema senza memoria; è rappresentato da una funzione di trasferimento puramente algebrica anche nel dominio del tempo

È una rete puramente resistiva La funzione di trasferimento è una costante

Se il segnale di ingresso è un gradino unitario, la risposta sarà:

Come esempio si riporta un partitore di tensione

( )( )( )

( )

Y sG s kU s

g t k

= =

=

1( )

( )

U sskY ss

=

=

Risposta ad un gradino unitario

VoutR2

R1Vin=grad(t)

Vin=grad(t)

Vout=grad(t)

t0

t0

t

t

2

1 2out in

RV VR R

=+

Sistema del primo ordine

Il sistema è del primo ordine se in esso è presente un solo componente in grado di immagazzinare energia o materia o informazione

Nel dominio del tempo, il sistema è descritto da una equazione differenziale del primo ordine

La funzione di trasferimento

La risposta al gradino unitario Nel dominio del tempo

( )( )( )

Y s kG sU s s a

= =+

( )( )

kY ss s a

=+

( ) (1 )tky t e

aτ

−= −

Esempio di un sistema elettrico del primo ordine

1MHz

V20/5V

C10.1uF

R11k

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1( )( 1) ( ) . . . ( )( ) 1

i r c

c

ci c

ci c i c s

oc i

i

v v vQit

QQ CV Ri RCt

vv t RC v tt

vL v t RC v t v s sv s v st

v sv s s v s f d t G sv s s

τ

ττ

= +∆

=∆

∆= ⇒ =

∆∆

= +∆

∆ = + = = + ∆

+ = ⇒ = = =+

Se l’ingresso è un gradino k/s ( ) ( )1ckv s

s sτ=

+

Se si prende l’uscita su C conviene fare questequeste sostituzioni

τ=RC costante ditempo

Esempio di un sistema del primo ordine

1MHz

V20/5V

C10.1uF

R11k

Se si prende l’uscita su Rconviene fare questequeste sostituzioni

1out

i c

v RiQv Ri V Ri Ri idt

C t C

=∆

= + = + = +∆ ∫

È complesso calcolare laf.d.t

Anche in questo caso si fa la trasformata di Laplace

1( ) ( )

1( )

i

out outi out

v s Ri s isC

v vi v s vR sC R

= +

= → = +

1out

i

v sCv sRC

→ =+

Risposta ad un gradino unitario

Sistemi di secondo ordine

Si definisce sistema di secondo ordine, quel sistema con due costanti di tempo

Un esempio molto semplice è un circuito RLC Anche in questo caso, si analizza il sistema tramite

un ingresso a gradino Anche in questo caso si può scrivere:Vi(t)=Vr+Vc+VlSi analizza il sistema direttamente nel dominio delle

frequenze( )

1( )

i R L c

i

v s v v v

v s Ri sLisC

= + +

= + +

Sistema del II ordine

Supponiamo di voler prenderel’uscita sul condensatore

2

2

1 11 1

11

c

i

V sCV s LC sRCR sLsC

RLC s sL LC

= = =+ ++ +

= + +

Se si fanno le seguenti posizioni:

1

2

n

n

LCRL

ω

ζω

=

=

La funzione di trasferimento diventa:

( )2

2 22n

n n

G ss s

ωξω ω

=+ +

L1

R1

C1Vi(s)

Risposta al gradino

Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine

Td = tempo di ritardotempo per raggiungereil 50% del segnale

Ts = tempo di salitatempo per raggiungere

il 90% del segnaleTa = tempo di assestamentoS = sovraelongazionemassima

21

2

% 100

1p

n

S e

T

πξ

ξ

πω ξ

−

−=

=−

Tp

Dominio nel tempo Dominio di Laplacef(t) F(s)

a f(t) a F(s)δ(t) (impulse) 1

a (step) a/sat (ramp) a/s2

t n s n!/(n+1)

sin(ωt) ω/(ω2+s2)cos(ωt) s/(ω2+s2)

e (–at) 1/ (s+a)

sin h (ωt) ω/s2-ω2

cos h(ωt) s/(s2-ω2)

)!1(

1

−

−−

net atn

( )nas +1

d f(t)/d t s F(s)-f(0)

d2(t)/dt2

F(s)/s

F(t-θ) e-θsF(s)

( )te at ωcos−( )

( )2 2

s as a ω

+

+ +

( )sinate tω−( )2 2s a

ωω+ +

0

( )t

f t dt∫

20

( )( ) (0) tdf ts F s sF

dt =− −

Dominio nel tempo

Dominio di Laplace

Teorema del valor finale

Teorema del valore iniziale

Teorema della traslazione

0lim ( ) lim ( )t s

f t s F s→∞ →

= ⋅

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s+→ →∞

=

( ) ( )TsL f t T e F s−− =

Proprietà e trasformazioni

Semplice esempio

Qin CLRL

Qin portata in ingresso

QoutPortata in

uscita

h

d

Schema equivalente

Qout

QsQs=Qout-

Qin

Semplice esempio

La relazione ingresso-uscitanel dominio del tempo

inh h Qt A

ττ ∆+ =

∆

τ è l costante ditempo, A l’area

del serbatoio (vedi file

rappresentazione)

( ) ( ) inQsH s H sAs

ττ + =

Nel dominio delle frequenze

Derivata prima di una

variabile

Costante nel tempo

( )1

inQ AH ss s

τ

τ=

+( ) (1 )

tinQh t eA

ττ −

= −

antitrasformata

Semplice esempio

Il sistema è prettamenteMeccanico. Esso è formato da una massa M, una molladi costante elastica K e unouno smorzatore di costante b

Se il sistema è sollecitato da una forza F, può essere descritto dalla seguenteequazione . ..

F kx b x m x− − =

Se si fa un’analogia con un sistema elettrico allora: F=v, k=1/C, M=L, b=R

In conclusione…

Dominiodel tempo

Dominiodelle frequenze

R RC 1/sCL sL

Le componenti circuitalinel dominio del tempo edelle frequenze

Funzioni di trasferimento di uso più comune

2

2

1 ( )1 1

1

t

sk ks

tsk kts

δ⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

1

1 1 (1 )( )

(1 )( )

at

at

at

at

es a

k kes a

es s a a

k k es s a a

−

−

⇔+

⇔+

⇔ −+

⇔ −+

1 2

1 2 1 2 1 2

1 1(1 )

1(1 )

1 1(1 ) 1 1(1 )(1 )

t

t

t t

es s

k k es s

s e es s

τ

τ

τ τ

τ

τ

τ ττ

τ τ τ τ τ τ

−

−

− −

⇔ − +

⇔ − +

+ ⇔ − − − + + −