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Laplace laplace 1/30

Sistemas Contınuos

Sao sistemas cujas entradas e saıdas sao funcoes escalares (sinais reais ou complexos) contınuasno tempo.

Notacao: y(t) = G[x(t)], sendo x(t) a entrada e y(t) a saıda.

Sistemas Lineares

Um sistema e linear se satisfaz o princıpio da superposicao, isto e,

G[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1G[x1(t)] + a2G[x2(t)]

Exemplo 1

Considere o circuito mostrado na Figura 1 cujas equacoes sao

y1 = Cy +y

R; x = Ly1 + y

R

++

−− C

L

x y

y1

Figura 1: Circuito RLC.

Definindo o operador derivada no tempo p

p =d

dt⇒ p2 =

d2

dt2

tem-se

[

p2 +1

RCp +

1

LC

]

y =1

LCx

Para condicoes iniciais nulas, o sistema e linear e invariante no tempo.

A solucao para a entrada nula (sistema autonomo) depende das condicoes iniciais. Observeque, para parametros R, L e C positivos, a energia armazenada no circuito (magnetica eeletrica) decresce assintoticamente.

E =1

2Ly2

1 +1

2Cy2 ⇒ E = Ly1y1 + Cyy

substituindo as derivadas, obtem-se

E = −y2

R< 0 para y 6= 0


indicando que o sistema e estavel (tende ao ponto de equilıbrio y1 = y = 0). Observe quea derivada da energia e a potencia dissipada no resistor.

Os pontos de equilıbrio podem ser obtidos das equacoes de estado impondo-se que asderivadas das variaveis de estado sao nulas. Para a entrada x = 0, tem-se como ponto deequilıbrio y = 0, y1 = 0.

Exemplo 2

Considere um pendulo composto por uma haste rıgida sem peso, de comprimento ℓ, os-cilando em um plano vertical, sujeito ao atrito de friccao no engate e sustentando naextremidade livre uma massa m. Denotando por y o angulo com a vertical (em repouso,y = 0), tem-se a equacao

mℓy = −mgsen(y) − mby

sendo g a aceleracao da gravidade e b o coeficiente de atrito. A forca longitudinal na barrae dada por mg cos(y).

Trata-se de um sistema nao-linear estavel em relacao ao ponto de equilıbrio (y = 0), poisa energia (potencial mais cinetica), dada por

E = mg(ℓ − ℓ cos(y)) +1

2m(ℓy)2

possui derivada negativa para todo y e y 6= 0, dada por

E = −mbℓy2

Para pequenas variacoes em torno do ponto de equilıbrio y = 0, y = 0 tem-se sen(y) ≈ y,resultando na equacao linear

mℓy = −mgy − mby

Exemplo 3

Lorenz

Em 1963, Lorenz1 publicou o artigo “Deterministic nonperiodic flow”, no Journal of the

Atmospheric Sciences, mostrando que equacoes simples podem apresentar comportamen-tos imprevisıveis, denominados posteriormente de caoticos.

y1 = σ(y2 − y1)

y2 = ρy1 − y2 − y1y3

y3 = y1y2 − βy3

As equacoes representam comportamentos atmosfericos, sendo y1 ligado a velocidade dascorrentes de ar e y2, y3 associados as temperaturas. As contantes positivas sao o numerode Rayleigh ρ, o numero de Prandtl σ e uma razao β.

1Edward N. Lorenz, meteorologista do MIT (Massachusetts Institute of Technology).


Invariante no tempo

Um sistema e invariante no tempo se um deslocamento da entrada produzir igual deslocamentona saıda, isto e,

y(t − a) = G[x(t − a)]

para qualquer a real.

Definicao: Convolucao

Convolucao e a operacao

x1(t) ∗ x2(t) =

∫∞

−∞

x1(β)x2(t − β)dβ

Propriedade 1Comutativa

x1(t) ∗ x2(t) = x2(t) ∗ x1(t)

Prova:

x1(t) ∗ x2(t) =

∫ +∞

−∞

x1(t − β)x2(β)dβ =

∫ +∞

−∞

x1(α)x2(t − α)dα = x2(t) ∗ x1(t)

⋄

Propriedade 2Associativa

x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = (x1(t) ∗ x2(t)) ∗ x3(t)

Prova:

x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = x1(t) ∗(∫ +∞

−∞

x2(t − β)x3(β)dβ

)

=

=

∫ +∞

−∞

x1(t − α)

(∫ +∞

−∞

x2(α − β)x3(β)dβ

)

dα

integrando primeiro em α e depois em β, e trocando α − β por γ, tem-se

x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) =

∫ +∞

−∞

x3(β)

(∫ +∞

−∞

x1 ((t − β) − γ) x2(γ)dγ

)

︸︷︷︸

x1(t) ∗ x2(t)

∣∣∣∣∣t−β

dβ = x3(t) ∗ (x1(t) ∗ x2(t))

⋄


Propriedade 3Distributiva em relacao a soma

x1(t) ∗ [x2(t) + x3(t)] = x1(t) ∗ x2(t) + x1(t) ∗ x3(t)

Prova:

x1(t) ∗ [x2(t) + x3(t)] =

∫ +∞

−∞

x1(t − β)[x2(β) + x3(β)]dβ = x1(t) ∗ x2(t) + x1(t) ∗ x3(t)

⋄

Definicao: Funcao Degrau Unitario

u∆(t) =

0 , t ≤ 0

(1/∆)t , 0 < t ≤ ∆

1 , t > ∆

⇒ u(t) = lim∆→0+

u∆(t) =

u(t) = 0, t ≤ 0

u(t) = 1, t > 0

Definicao: Funcao Impulso Unitario

δ∆(t) =d

dtu∆(t) =

0 , t < 0

1/∆ , 0 < t < ∆

0 , t > ∆

=⇒ δ(t) = lim∆→0+

δ∆(t) =⇒ δ(t) =d

dtu(t)

Note que o impulso ocorre em 0+

u(0) = 0 ; u(0+) = limt→0+

u(t) = 1 ; δ(0) = 0

Propriedade 4

∫ +∞

−∞

f(t)δ(t)dt = f(0) , ∀ f(t) contınua em t = 0

Prova:

I =

∫ +∞

−∞

f(t)δ(t)dt = lim∆→0+

∫ +∞

−∞

f(t)δ∆(t)dt = lim∆→0+

∫ ∆

0

1

∆f(t)dt

Pelo teorema do valor medio, tem-se

∫ b

a

f(t)dt = f(c)(b − a) , c ∈ (a, b)

e, portanto,


I = lim∆→0+

1

∆f(y)(∆ − 0) , y ∈ (0, ∆)

I = lim∆ → 0+

y ∈ (0, ∆)

f(y) = f(0)

⋄

Associa-se a funcao impulso o valor de sua integral. Assim, o valor de f(t)δ(t) e igual a f(0).

A rigor, a “funcao” impulso nao pode ser calculada pontualmente. Apenas integrais envolvendoδ(t) podem ser avaliadas. Como consequencia

f(t) δ(t) = f(0) δ(t)

pois ambas tem o mesmo valor da integral.

Propriedade 5O impulso e o elemento neutro da convolucao.

Prova:

x(t) ∗ δ(t) =

∫∞

−∞

x(β)δ(t − β)dβ =

∫∞

−∞

x(t − α)δ(α)dα = x(t)

⋄Propriedade 6Deslocamento no tempo

x(t) ∗ δ(t − a) = x(t − a)

Prova:

∫∞

−∞

x(β)δ(t − a − β)dβ = x(t − a)

⋄Propriedade 7Convoluir com degrau e integrar

x(t) ∗ u(t) = Ix(t) =

∫ t

−∞

x(β)dβ

Prova:

x(t) ∗ u(t) =

∫ +∞

−∞

u(t − β)x(β)dβ =

∫ t

−∞

u(t − β)x(β)dβ +

∫ +∞

t

u(t − β)x(β)dβ

︸︷︷︸

= 0

=

∫ t

−∞

x(β)dβ

⋄


Propriedade 8

x(t) ∗∑

k

aku(t − bk) =∑

k

akIx(t − bk)

⋄

Exemplo 4

Considere x1(t) = u(t)− u(t− 1) e x2(t) = u(t + 1)− u(t− 1). A convolucao x1(t) ∗ x2(t)e dada por

x1(t) ∗ x2(t) = Ix1(t + 1) − Ix1

(t − 1) = Ix2(t) − Ix2

(t − 1)

Exemplo 5

A resposta impulsiva h(t) = G[δ(t)] do sistema

y(t) = G[x(t)] = exp(−t)

∫ t

−∞

x(β) exp(β)dβ =

∫ +∞

−∞

x(β) exp[−(t − β)]u(t − β)dβ

e dada por

h(t) = exp(−t)u(t)

Teorema: a saıda de um sistema linear invariante no tempo e a convolucao da respostaimpulsiva com a entrada, isto e

y(t) = G[x(t)] = h(t) ∗ x(t)

sendo h(t) = G[δ(t)] a resposta impulsiva do sistema.

Prova:

G[x(t)] = G[x(t) ∗ δ(t)] = G[∫ +∞

−∞

x(β)δ(t − β)dβ

]

=

∫ +∞

−∞

x(β)G [δ(t − β)]︸︷︷︸

h(t − β)

dβ =

=

∫ +∞

−∞

x(β)h(t − β)dβ = x(t) ∗ h(t) ¤

Definicao: Auto-funcao

Um sinal de entrada e denominado auto-funcao de um sistema se a saıda correspondente forigual ao sinal de entrada multiplicado por uma constante (em geral complexa).


Propriedade 9O sinal exp(st), s complexo pertencente ao domınio Ωh, e uma auto-funcao para sistemaslineares contınuos e invariantes no tempo.

Prova:

y(t) = exp(st) ∗ h(t) =

∫ +∞

−∞

h(β) exp[s(t − β)]dβ = H(s) exp(st)

com

H(s) =

∫ +∞

−∞

h(β) exp(−sβ)dβ

H(s) = L[h(t)] e a transformada bilateral de Laplace da funcao h(t). O domınio Ωh e o conjuntodos valores de s complexos para os quais a integral existe e e finita.

⋄

Propriedade 10Deslocamento em t

L[y(t) = x(t − τ)] = X(s) exp(−sτ) , Ωy = Ωx

Prova:

L[x(t − τ)] =

∫ +∞

−∞

x(t − τ) exp(−st)dt =

=

∫ +∞

−∞

x(β) exp[−s(β + τ)]dβ = exp(−sτ)

∫ +∞

−∞

x(β) exp(−sβ)dβ = L[x(t)] exp(−sτ)

⋄

Propriedade 11

L[x(t) = x1(t) ∗ x2(t)] = L[x1(t)]L[x2(t)] , Ωx = Ωx1∩ Ωx2

Prova:

L[x1(t) ∗ x2(t)] = L[∫ +∞

−∞

x1(t − β)x2(β)dβ]

=

∫ +∞

−∞

x2(β)[∫ +∞

−∞

x1(t − β) exp(−st)dt]

︸︷︷︸

X1(s) exp(−sβ)

dβ

= X1(s)

∫ +∞

−∞

x2(β) exp(−sβ)dβ = X1(s)X2(s)

⋄


Propriedade 12

L[exp(−at)u(t)] =1

s + a, s ∈

s ∈ C, Re(s + a) > 0

pois

H(s) =

∫ +∞

−∞

exp(−at)u(t) exp(−st)dt =1

s + a

∫ +∞

0

exp[−(s + a)t](s + a)dt =

=1

s + apara Re(s + a) > 0

⋄

Definicao: Funcao de transferencia

A relacao (temporal) entre saıda e entrada em um sistema linear invariante no tempo e dadapelo “ganho complexo” H(s) quando x(t) = exp(st)

y(t) = h(t) ∗ x(t) ; H(s) =

∫ +∞

−∞

h(t) exp(−st)dt s ∈ Ωh

H(s), tambem denominada funcao de transferencia do sistema, e a relacao entre as transfor-madas de Laplace da saıda Y (s) e da entrada X(s) para qualquer x(t)

Y (s) = H(s)X(s)

Exemplo 6

Circuito RC

Considere o circuito RC descrito na Figura 2.

x(t)

R+

+

−− C y(t)

Figura 2: Circuito RC.

A entrada e a fonte de tensao x(t) e a saıda y(t) e a tensao no capacitor. O circuito edescrito pela equacao

y +1

τy =

1

τx ; τ = RC

ou, usando o operador p =d

dt,

(

p +1

τ

)

y =1

τx


A funcao de transferencia e dada por

H(s) =1

τs + 1=

1

τ

1

s + 1/τ

Note que esta funcao de transferencia e a transformada de Laplace de

h(t) =1

τexp(−t/τ)u(t)

Exemplo 7

Considere o circuito da Figura 3, com τ1 = R1C1 = 1 e τ2 = R2C2 = 0.01.

N

I

x(t)

R1 R2+

+

−− C1 C2

y(t)

Figura 3: Circuito RC em cascata.


H(s) =Y (s)

X(s)= H1(s)H2(s) =

(1/τ1

s + 1/τ1

) (1/τ2

s + 1/τ2

)

=100

s2 + 101s + 100

Exemplo 8

Considere o circuito da Figura 4

x(t)

R1 R2+ +

+

− −− C1 C2 y(t)y1(t)

Figura 4: Circuito RC duplo.

x = R1(C1y1 + C2y) + y1 ; y1 = R2C2y + y



H(s) =Y (s)

X(s)=

1

R1C1R2C2s2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2)s + 1

Para R1 = C1 = 1, R2 = 1, C2 = 0.01, tem-se

H(s) =Y (s)

X(s)=

100

s2 + 102s + 100

Definicao: Resposta em frequencia

Se s = jω pertence ao domınio da funcao de transferencia do sistema linear invariante no tempoH(s), a resposta em frequencia do sistema e o valor de H(s) computado para s = jω.

A resposta em frequencia escreve-se como

M(ω) exp(jφ(ω)) = H(jω)

sendo M(ω) o modulo e φ(ω) a fase de H(jω)

Em geral, e desenhada na forma de modulo e fase (diagrama de Bode2) ou na forma polar, paraω ∈ [0, +∞). Representa a resposta em regime permanente de sistemas lineares invariantes notempo estaveis para entradas senoidais.

Propriedade 13Se h(t) e real, entao H∗(jω) = H(−jω), isto e M(ω) e uma funcao par e φ(ω) e uma funcaoımpar.

Prova:

H∗(jω) =

∫ +∞

−∞

h(t) exp(jωt)dt = H(−jω)

H(jω) = M(ω) exp(jφ(ω)) ⇒ H∗(jω) = M(ω) exp(−jφ(ω))

H(−jω) = M(−ω) exp(jφ(−ω))

Portanto, M(ω) = M(−ω) e −φ(ω) = φ(−ω).

⋄

Propriedade 14A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo com funcao de transferenciaH(s), com h(t) real e jω ∈ Ωh, para a entrada x(t) = cos(ωt), e

y(t) = M(ω) cos(ωt + φ(ω))

Prova:

2Hendrik Wade Bode, engenheiro eletricista americano do seculo XX.


y(t) = G[cos(ωt)] =1

2G[exp(jωt)] +

1

2G[exp(−jωt)] =

=1

2H(jω) exp(jωt) +

1

2H(−jω) exp(−jωt) =

=1

2M(ω) exp(jωt + jφ(ω)) +

1

2M(ω) exp(−jωt − jφ(ω)) = M(ω) cos(ωt + φ(ω))

⋄

Exemplo 9

Considere a linha de transmissao bifilar sem perdas descrita por

y(t) = x(t − T )

tambem conhecida como linha de atraso. A funcao de transferencia e dada por

H(s) = exp(−sT )

O modulo da resposta em frequencia H(jω) e M(ω) = 1 e a fase e φ(ω) = −ωT .

Propriedade 15A equacao diferencial

D(p)y(t) = N(p)x(t) , D(p) =m∑

k=0

αkpk ; N(p) =

ℓ∑

k=0

βkpk

com αm = 1, αk e βk coeficientes constantes e condicoes iniciais nulas descreve um sistemalinear invariante no tempo, cuja funcao de transferencia e

H(s) =N(s)

D(s)

pois, para a entrada x(t) = exp(st) tem-se a saıda y(t) = H(s) exp(st), e portanto

D(p)H(s) exp(st) = N(p) exp(st) ⇒ H(s)D(s) = N(s)

H(s) e uma funcao racional, ou seja, e dada pela razao de dois polinomios em s.

⋄

Definicao: zeros

Os zeros de uma funcao H(s), s complexo, sao os valores de s para os quais H(s) = 0. Amultiplicidade da raiz s e denominada de ordem do zero.

Definicao: polos


Os polos de uma funcao H(s), s complexo, sao os valores de s para os quais 1/H(s) = 0. Amultiplicidade da raiz e denominada de ordem do polo.

Em funcoes racionais, os polos sao as raızes do denominador e os zeros sao as raızes do nume-rador.

Exemplo 10

Circuito RC

O circuito RC do exemplo 6 e descrito pela funcao de transferencia

H(s) =1/τ

s + 1/τ

A resposta em frequencia e dada por

M(ω) =1

√

1 + (τω)2; φ(ω) = − arctan(τω)

Note que trata-se de um filtro passa-baixas, com a fase variando de 0 a −90 graus quandoa frequencia varia de zero a infinito e φ(1/τ) = −45 graus. O filtro RC possui um poloem s = −1/τ .

Transformada bilateral de Laplace

A transformada bilateral de Laplace da funcao x(t) e dada por

X(s) = L[x(t)] =

∫ +∞

−∞

x(t) exp(−st)dt

Propriedade 16Transformada do impulso

L[δ(t)] = 1 , para s ∈ C

pois

L[δ(t)] =

∫ +∞

−∞

δ(t) exp(−st)dt = 1

⋄

Propriedade 17Transformada do degrau

L[u(t)] =1

s, s ∈

s ∈ C, Re(s) > 0

pois


L[u(t)] =

∫ +∞

−∞

u(t) exp(−st)dt =

∫ +∞

0

exp(−st)dt = −1

sexp(−st)

∣∣∣

t=+∞

t=0=

1

s, para Re(s) > 0

⋄

Propriedade 18Transformada da exponencial

L[exp(λt)u(t)] =1

s − λ, s ∈

s ∈ C, Re(s − λ) > 0

pois

L[exp(λt)u(t)] =

∫ +∞

−∞

u(t) exp[(λ − s)t]dt =

∫ +∞

0

exp[(λ − s)t]dt =

=1

λ − sexp[(λ − s)t]

∣∣∣

t=+∞

t=0=

1

s − λ, para Re(s − λ) > 0

⋄

Exemplo 11

L[exp(jωt)u(t)] =1

s − jω, Re(s) > 0

L[exp(−jωt)u(t)] =1

s + jω, Re(s) > 0

Exemplo 12

L[cos(ωt)u(t)] =1

2L[exp(jωt)u(t)] +

1

2L[exp(−jωt)u(t)] =

=1

2

(1

s − jω+

1

s + jω

)

=s

s2 + ω2, Re(s) > 0

Exemplo 13

L[sen(ωt)u(t)] =1

2jL[exp(jωt)u(t)] − 1

2jL[exp(−jωt)u(t)] =

=1

2j

(1

s − jω− 1

s + jω

)

=ω

s2 + ω2, Re(s) > 0


Propriedade 19Transformada da integral

L[

y(t) =

∫ t

−∞

x(β)u(β)dβ = x(t) ∗ u(t)]

=1

sL[x(t)] , Ωy = Ωx ∩ s ∈ C : Re(s) > 0

Observe que a funcao y(t) vale zero para t < 0.

⋄

Exemplo 14

L[δ(t)] = 1

L[u(t)] =1

spois u(t) = Iδ(t) =

∫ t

−∞

δ(β)dβ , Re(s) > 0

L[tu(t)] =1

s2pois tu(t) = Iu(t) , Re(s) > 0

L[ t2

2u(t)

]

=1

s3, Re(s) > 0

L[ tn

n!u(t)

]

=1

sn+1, Re(s) > 0

Propriedade 20Deslocamento em s

L[y(t) = exp(−at)x(t)] = X(s + a) ; Ωy = Ωx deslocado para a esquerda de Re(a)

pois

L[exp(−at)x(t)] =

∫ +∞

−∞

exp(−at)x(t) exp(−st)dt =

∫ +∞

−∞

x(t) exp[−(s + a)t]dt

⋄

Exemplo 15

L[ tn

n!exp(−at)u(t)

]

=1

(s + a)n+1, Re(s + a) > 0


Exemplo 16

L[cos(ωt) exp(−at)u(t)] =s + a

(s + a)2 + ω2, Re(s + a) > 0

Exemplo 17

L[sen(ωt) exp(−at)u(t)] =ω

(s + a)2 + ω2, Re(s + a) > 0

Propriedade 21Derivada em s

L[y(t) = tnx(t)] = (−1)n dnX(s)

dsn; Ωy = Ωx

pois

X(s) = L[x(t)] =

∫ +∞

−∞

x(t) exp(−st)dt =⇒ dnX(s)

dsn= (−1)n

∫ +∞

−∞

tnx(t) exp(−st)dt

⋄

Exemplo 18

A integral de uma funcao x(t) pode ser computada atraves da transformada de LaplaceX(s) se s = 0 ∈ Ωx.

∫ +∞

−∞

x(t)dt = X(s)∣∣∣s=0

Para

x(t) = t2 exp(−3t)u(t)

tem-se

L[exp(−3t)u(t)] =1

s + 3⇒ L[t2 exp(−3t)u(t)] =

d2

ds2(s + 3)−1 = 2(s + 3)−3

Portanto,

∫ +∞

−∞

t2 exp(−3t)u(t)dt = 2(s + 3)−3∣∣∣s=0

=2

27


Esse mesmo resultado pode ser obtido de

L[t2u(t)] =2

s3

∣∣∣s=3

=2

27

Exemplo 19

Considere a equacao diferencial

y + y = 0 , y(0) = 1

Portanto

dy

y= −dt ⇒ y(t) = y(0) exp(−t) = exp(−t)

Note que a transformada de Laplace de y(t) nao e finita para nenhum s e, portanto,a transformada de Laplace nao seria um instrumento util para a resolucao de equacoesdiferenciais, mesmo as muito simples.

Essa dificuldade pode ser superada considerando-se que apenas os valores de y(t) parat ≥ 0 sao de interesse, uma vez que a condicao inicial e conhecida.

A funcao

y(t) = exp(−t)u(t)

tem transformada de Laplace e coincide com a solucao para t ≥ 0.

Transformada unilateral de Laplace

Considere a classe de sinais x(t) tais que x(t) = 0, t < 0 e x(0) e qualquer.

x(0) representa o limite a esquerda de 0, chamado de 0− na maioria dos livros. Para evitarambiguidade, o limite a direita sera chamado de 0+.

Portanto, para funcoes contınuas tem-se x(0−) = x(0) = x(0+) e, para funcoes descontınuas,x(0−) = x(0) 6= x(0+).

Exemplo 20

x1(t) = exp(−t)u(t) , x1(0) = 0

Em t = 0, x1(t) tem descontinuidade finita, pois x1(0+) = 1.

A funcao

y1(t) =

∫ t

−∞

x1(β)dβ = [1 − exp(−t)]u(t)


e contınua e pertence a mesma classe de funcoes.

y1(t) = exp(−t)u(t) + [1 − exp(−t)]δ(t) = exp(−t)u(t) = x1(t)

Exemplo 21

x2(t) = exp(−t)u(t) + 3δ(t) , x2(0) = 0

Em t = 0, x2(t) tem descontinuidade infinita.

A funcao

y2(t) =

∫ t

−∞

x2(β)dβ = [4 − exp(−t)]u(t)

nao e contınua, pois y2(0) = 0 e y2(0+) = 3 (descontinuidade finita). Tambem pertence a

mesma classe de funcoes.

y2(t) = exp(−t)u(t) + [4 − exp(−t)]δ(t) = exp(−t)u(t) + 3δ(t) = x2(t)

Para essa classe de funcoes, a transformada de Laplace e dada por

L[x(t)] =

∫ +∞

−∞

x(t) exp(−st)dt =

∫ +∞

0

x(t) exp(−st)dt

e e denominada transformada unilateral de Laplace.

Propriedade 22Transformada da derivada

L[x(t)] = sL[x(t)] − x(0)

Prova:

L[x(t)] =

∫ +∞

0

dx

dtexp(−st)dt =

∫ +∞

0

exp(−st)dx

Integrando por partes:

L[dx

dt

]

= x(t) exp(−st)∣∣∣

+∞

0−

∫ +∞

0

x(t)(−s) exp(−st)dt

Como s ∈ Ωx, tem-se limt→∞

x(t) exp(−st) = 0


L[x(t)] = s

∫ +∞

0

x(t) exp(−st)dt

︸︷︷︸

X(s)

−x(0) = sX(s) − x(0)

⋄

Exemplo 22

L[ d

dtu(t) = δ(t)

]

= 1

pois

sL[u(t)] − u(0) = s1

s− 0 = 1

Assim,

L[δ(t) =d

dtδ(t)] = s1 − δ(0) = s

L[

dn

dtnδ(t)

]

= sn

Propriedade 23Transformada da derivada segunda

L[x(t)] = s2L[x(t)] − sx(0) − x(0)

pois

L[x(t)] = L[y(t)] = sL[y(t)] − y(0) = sL[x(t)] − x(0) = s2L[x(t)] − sx(0) − x(0)

Genericamente:

L[

x(n)(t) =dnx

dtn

]

= snL[x(t)] −n−1∑

k=0

sn−k−1x(k)(0)

⋄

Transformada inversa de Laplace

A transformada bilateral de Laplace e dada por

X(s) =

∫ +∞

−∞

x(t) exp(−st)dt ; s ∈ Ωx

X(s) =

∫ +∞

−∞

[x(t) exp(−σt)] exp(−jωt)dt = F [x(t) exp(−σt)]


sendo F [x(t)] a transformada de Fourier de x(t). Portanto,

x(t) exp(−σt) =1

2π

∫ +∞

−∞

X(s) exp(jωt)dω

x(t) =1

2πj

∫ +∞

−∞

X(s) exp(st)jdω =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞

X(s) exp(st)ds

No caso unilateral,

X(s) =

∫ +∞

0

x(t) exp(−st)dt ; s ∈ Ωx

e a tranformada inversa e unica se x(t) = 0, t < 0.

A transformada inversa e uma integral complexa que pode ser calculada usando-se tecnicas deresıduo. Entretanto, no caso de funcoes X(s) racionais, o computo pode ser feito por inspecao.

Resolucao de equacoes diferenciais por transformada de Laplace

Exemplo 23

Considere a equacao diferencial

y + ay = 0 , y(0)

Aplicando Laplace, tem-se

sY (s) − y(0) + aY (s) = 0 ⇒ Y (s) =y(0)

s + a

cuja transformada inversa e

y(t) = y(0) exp(−at)u(t)

Exemplo 24

Resposta impulsiva3 do circuito RC

Considere o circuito RC descrito na Figura 5, com τ = RC.

cuja funcao de transferencia (transformada de Laplace da resposta impulsiva) e respostaimpulsiva sao dadas por

H(s) =1/τ

s + 1/τ⇒ h(t) =

1

τexp(−t/τ)u(t)

3Resposta impulsiva pressupoe condicoes iniciais nulas.


x(t)

R+

+

−− C y(t)

Figura 5: Circuito RC.

Note que, neste caso, a resposta impulsiva corresponde a solucao do circuito autonomocom a condicao inicial y(0) = 1/τ .

A funcao de transferencia da tensao medida no resistor e a correspondente resposta im-pulsiva sao dadas por

HR(s) =s

s + 1/τ= 1 − 1/τ

s + 1/τ⇒ h(t) = δ(t) − 1

τexp(−t/τ)u(t)

Observe que a resposta impulsiva pode conter impulsos.

Exemplo 25

Resposta ao degrau4 do circuito RC

Considere o circuito RC descrito na Figura 2, com τ = RC e funcao de transferencia dadapor

H(s) =1/τ

s + 1/τ

Para entrada a x(t) = u(t),

Y (s) = H(s)1

s=

1/τ

s(s + 1/τ)

Expandindo em fracoes parciais, tem-se

Y (s) =1/τ

s(s + 1/τ)=

1

s− 1

s + 1/τ

resultando na resposta ao degrau dada por

y(t) = [1 − exp(−t/τ)]u(t)

Observe que y(t) atinge aproximadamente 63% do valor final decorrido t = τ e 95% parat = 3τ , sendo τ denominado constante de tempo do sistema.

4Resposta ao degrau pressupoe condicoes iniciais nulas.


Para t ∈ [0, τ ] tem-se

y(t) ≈ t

τ

e essa aproximacao e usada experimentalmente para a medida da constante de tempo desistemas de primeira ordem.

A solucao de regime e dada por

limt→+∞

y(t) = 1

pois o ganho DC e unitario. Note que, pelo teorema do valor inicial (Propriedade 24),tem-se

limt→+∞

y(t) = lims→0

sY (s) = H(0)

A resposta ao degrau para a funcao de transferencia da tensao medida no resistor e dadapor

yR(s) =1

s + 1/τ⇒ yR(t) = exp(−t/τ)u(t)

e, em regime, yR(t) → 0.

Exemplo 26

Considere o circuito RC da Figura 2 com τ = RC = 1, excitado pela entrada x(t) =exp(−t)u(t) e condicao inicial nula.

Y (s) =1

s + 1

1

s + 1

Portanto,

y(t) = t exp(−t)u(t)

Propriedade 24Valor inicial

Para X(s) tal que Ωx = s ∈ C : Re(s) > a com a real, e x(0+) − x(0) finito:

x(0+) = limt→0+

x(t) = lims→+∞

sX(s)

Obs.: s → +∞ deve ser entendido como s = σ + jω, com ω qualquer e σ → +∞.

pois


sX(s) − x(0) = L[dx

dt

]

=

∫ +∞

0

dx

dtexp(−st)dt =

∫ 0+

0

dx

dtexp(−st)dt +

∫ +∞

0+

dx

dtexp(−st)dt

sX(s) − x(0) =

∫ 0+

0

dx

dtdt +

∫ +∞

0+

dx

dtexp(−st)dt = x(0+) − x(0) +

∫ +∞

0+

dx

dtexp(−st)dt

Para s → +∞, a integral

∫ +∞

0+

dx

dtexp(−st)dt vai a zero devido a existencia da transformada

da derivada. Portanto,

lims→+∞

sX(s) − x(0) = x(0+) − x(0) =⇒ lims→+∞

sX(s) = limt→0+

x(t)

⋄

Propriedade 25Valor final

Considere x(t) tal que limt→+∞ x(t) existe (ou seja, e finito), o que implica que X(s) possui nomaximo um polo em s = 0 e todos os demais com parte real negativa. Entao

limt→+∞

x(t) = lims→0

sX(s)

pois

sX(s)−x(0) = L[dx

dt

]

=

∫ +∞

0

dx

dtexp(−st)dt =⇒ lim

s→0sX(s)−x(0) =

∫ +∞

0

dx

dtdt = lim

t→+∞

x(t)−x(0)

⋄Exemplo 27

No exemplo 25 da resposta ao degrau do circuito RC,

sY (s) =1/τ

s + 1/τ=

0 inicial s → +∞1 final s → 0

sYR(s) =s

s + 1/τ=

1 inicial s → +∞0 final s → 0

Expansao em Fracoes Parciais

Seja a funcao racional em s descrita porN(s)

D(s)


Caso 1: Grau de N(s) < Grau de D(s)

a) D(s) nao tem raızes multiplas.

s + 1

s3 + s2 − 6s=

s + 1

s(s − 2)(s + 3)=

a

s+

b

s − 2+

c

s + 3

a = sN(s)

D(s)

∣∣∣∣s = 0

= −1

6; b = (s − 2)

N(s)

D(s)

∣∣∣∣s = 2

=3

10; c = (s + 3)

N(s)

D(s)

∣∣∣∣s = −3

= − 2

15

Alternativamente, e possıvel usar identidade polinomial para o calculo das constantes a deter-minar.

b) D(s) com raızes multiplas.

s + 1

s(s − 2)3=

a

s+

b

(s − 2)+

c

(s − 2)2+

d

(s − 2)3

a = sN(s)

D(s)

∣∣∣∣s = 0

= −1

8; d = (s − 2)3 N(s)

D(s)

∣∣∣∣s = 2

=3

2

c =d

ds

[

(s − 2)3N(s)

D(s)

]∣∣∣∣s = 2

=d

ds

[s + 1

s

]∣∣∣∣s = 2

= − 1

s2

∣∣∣∣s = 2

= −1

4

pois

d

ds

[a(s − 2)3

s+ b(s − 2)2 + c(s − 2) + d

]∣∣∣∣s = 2

= c

2b =d2

ds2

[

(s − 2)3N(s)

D(s)

]∣∣∣∣s = 2

=2

s3

∣∣∣∣s = 2

=1

4

pois

d2

ds2

[a(s − 2)3

s+ b(s − 2)2 + c(s − 2) + d

]∣∣∣∣s = 2

= 2b

Caso 2: Grau de N(s) ≥ Grau D(s)

Reduz-se ao caso anterior atraves de divisao de polinomios.

(s + 2)3

(s + 1)=

s3 + 6s2 + 12s + 8

s + 1

s3 + 6s2 + 12s + 8 / s + 1

s3 + s2 s2 + 5s + 7

5s2 + 12s + 85s2 + 5s

7s + 87s + 7

+ 1


(s + 2)3

s + 1= s2 + 5s + 7 +

1

s + 1

Exemplo 28

A transformada de Laplace da resposta impulsiva do sistema descrito pela equacao dife-rencial

y − 1y − 2y = −2x(t)

H(s) =−3

(s + 1)(s − 2)=

1

s + 1− 1

s − 2

Portanto,

h(t) = [exp(−t) − exp(2t)]u(t)

Note que lims→0 sH(s) = 0 nao corresponde ao valor h(+∞) pois uma das raızes daequacao caracterıstica e positiva. No entanto, o valor inicial h(0+) pode ser calculado porlims→+∞ sH(s) = 0.

Exemplo 29

Resposta a rampa5 do circuito RC

Considere o circuito RC descrito na Figura 2, com τ = RC e funcao de transferencia dadapor

H(s) =1/τ

s + 1/τ

Para entrada a x(t) = tu(t),

Y (s) = H(s)1

s2=

1/τ

s2(s + 1/τ)

Expandindo em fracoes parciais, tem-se

Y (s) =1/τ

s2(s + 1/τ)=

1

s2− τ

s− τ

s + 1/τ

resultando na resposta a rampa dada por

y(t) = [t − τ − τ exp(−t/τ)]u(t)

5Resposta a rampa pressupoe condicoes iniciais nulas.


Para t suficientemente grande (resposta em regime) tem-se

y(t) ≈ t − τ

indicando que o sistema de primeira ordem apresenta um erro de regime em relacao aentrada. Note que para sistemas com ganho DC diferente de 1, a inclinacao da rampa desaıda e distinta da inclinacao da rampa de entrada.

Exemplo 30

Sistema autonomo de segunda ordem

Considere o sistema dado por

(p2 + 2ξωnp + ω2n)y(t) = 0 , y(0) = a > 0 , y(0) = 0

com ωn > 0 e 0 < ξ < 1 (raızes complexas conjugadas). A transformada de LaplaceL[y(t)] = Y (s) e dada por

Y (s) =2aξωn + as

s2 + 2ξωns + ω2n

Completando o quadrado e colocando na forma padrao para transformada inversa de senoe cosseno, tem-se

Y (s) = αs + ξωn

(s + ξωn)2 + ω2d

+ βωd

(s + ξωn)2 + ω2d

com

α = a , β = aξ

√

1 − ξ2, ωd = ωn

√

1 − ξ2

resultando em

y(t) = a exp(−ξωnt)

[

cos(ωdt) +ξ

√

1 − ξ2sen(ωdt)

]

u(t)

Note que, para ξ = 0 (sistema sem amortecimento), a resposta e dada por y(t) =a cos(ωdt). Note tambem que a envoltoria da solucao comporta-se como um sistema deprimeira ordem cuja constante de tempo e

τ =1

ξωn


Exemplo 31

Pendulo linearizado

A equacao diferencial linear que descreve o movimento do pendulo em torno de y(t) = 0e dada por

mℓy = −mgseny − mby

resultando em

(

p2 +b

ℓp +

g

ℓ

)

y(t) = 0

Portanto,

ωn =

√g

ℓ, 2ξωn =

b

ℓ⇒ ξ =

b

2√

ℓg

Observe que, se b = 0 (pendulo nao amortecido), o perıodo de oscilacao e dado por

T = 2π

√

ℓ

g

Essa expressao foi obtida experimentalmente por Galileo Galilei6.

Exemplo 32

Circuito RLC

Considere o circuito RLC da Figura 6 para x(t) = 0 (circuito autonomo). A equacaodiferencial e dada por

[

p2 +1

RCp +

1

LC

]

y(t) = 0

Portanto,

ωn =1√LC

, 2ξωn =1

RC⇒ ξ =

1

2R

√

L

C

Observe que, para R → ∞ (circuito sem perdas), tem-se

T = 2π√

LC

Note tambem que a constante de tempo da envoltoria e τ = 2RC.

6Galileo Galilei, matematico italiano do seculo XVI.


R

++

−− C

L

x y

y1

Figura 6: Circuito RLC.

Exemplo 33

Resposta impulsiva de sistema de segunda ordem subamortecido


H(s) =ω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

com 0 < ξ < 1. Completando-se o quadrado no denominador, tem-se

H(s) =

(

ωn√

1 − ξ2

)

ωd

(s + ξωn)2 + ω2d

com a frequencia de oscilacao ωd dada por

ωd = ωn

√

1 − ξ2

resultando em

h(t) =

(

ωn√

1 − ξ2

)

exp(−ξωnt)sen(ωdt)u(t)

Esse resultado pode ser tambem obtido a partir da expansao em fracoes parciais de H(s),ou seja,

H(s) =a1

(s − λ1)+

a2

(s − λ2)

h(t) = [a1 exp(λ1t) + a2 exp(λ2t)]u(t)

com

λ∗

2 = λ1 = −ξωn + jωd , a∗2 = a1 = −jω2

n

2ωd

resultando em

h(t) =

(ω2

n

ωd

)

exp(−ξωnt)sen(ωdt)u(t)

A identificacao dos parametros de um sistema de segunda ordem subamortecido pode serfeita a partir da resposta impulsiva.


O perıodo T = 2π/ωd da senoide e obtido pelo computo do intervalo de tempo entre doiscruzamentos consecutivos com zero.

O parametro ξ e obtido da relacao entre dois picos consecutivos da senoide, chamada dedecremento logarıtmico, pois

exp[−ξωnkT ]

exp[−ξωn(k + 1)T ]= exp(ξωnT )

Observe que

ξωnT =2πξ

√

1 − ξ2

Exemplo 34

Resposta ao degrau de sistema de segunda ordem subamortecido


H(s) =ω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

com 0 < ξ < 1.

Para x(t) = u(t), tem-se

Y (s) =( ω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

)1

s=

1

s− s + 2ξωn

s2 + 2ξωns + ω2n

Completando-se os quadrados, tem-se

Y (s) =1

s− s + ξωn

(s + ξωn)2 + ω2d

− ξωn

ωd

ωd

(s + ξωn)2 + ω2d

resultando em

y(t) =

(

1 − exp(−ξωnt)

[

cos(ωdt) +ξ

√

1 − ξ2sen(ωdt)

])

u(t)

A resposta ao degrau passa por um primeiro pico (sobre-elevacao) que pode ser determi-nado da equacao y(t) = 0, resultando em

tpico = π/ωd , ypico = 1 + exp(−ξωnπ/ωd)

Esses parametros podem ser utilizados para a identificacao de sistemas de segunda ordem.

Note que o valor de regime (t → ∞) e igual ao valor da amplitude do degrau de entradapois o ganho DC do sistema e unitario (H(0) = 1).


Propriedade 26A resposta de um sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em resposta a entradanula e resposta as condicoes iniciais nulas.

pois

D(p)y(t) = N(p)x(t) ; y(0), y(0), . . . , y(n−1)(0)

resulta em

Y (s) = H(s)X(s) + CI(s)

⋄

Exemplo 35

Considere o circuito RC da Figura 2 com τ = RC = 1, excitado pela entrada x(t) =cos(−t)u(t) e condicao inicial y(0).

Y (s) =1

s + 1X(s) +

1

s + 1y(0)

Portanto,

Y (s) =s

(s + 1)(s2 + 1)+

y(0)

s + 1=

y(0) − 1/2

s + 1+

1

2

s + 1

s2 + 1

y(t) =

[

(y(0) − 1/2) exp(−t) +1

2cos(t) +

1

2sen(t)

]

u(t)

Note que a resposta y(t) contem termos transitorios devido a entrada e devido a condicaoinicial y(0).

Note ainda que, no exemplo, a condicao inicial y(0) = 1/2 anula o transitorio.

Propriedade 27A resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo racional estritamente proprio(grau do numerador menor que o do denominador) com polos de parte real negativa e funcaode transferencia

H(s) =N(s)

D(s)

e transitoria, ou seja, esvanece com o tempo

limt→+∞

h(t) = 0

Como s = 0 pertence a Ωh (polos de parte real negativa), tem-se

limt→+∞

h(t) = lims→0

sH(s) = 0


o que qualifica o comportamento de h(t) como assintoticamente estavel.

⋄

Propriedade 28A resposta persistente (ou em regime) de um sistema linear invariante no tempo racional es-tritamente proprio com polos de parte real negativa excitado por uma rampa com funcao detransferencia

H(s) =N(s)

D(s)

e dada por

yr(t) = H(0)tu(t) + H(0)u(t)

A propriedade pode ser verificada notando-se que

Y (s) =H(s)

s2=

a

s2+

b

s+

N1(s)

D(s)

com

a = H(0) , b =d

dsH(s)

∣∣∣s=0

resultando em

y(t) = H(0)tu(t) + H(0)u(t) + transitorio

Note que o erro de regime e nulo se H(0) = 1 e H(0) = 0.⋄

Exemplo 36

Um sistema de primeira ordem dado por

H(s) =a

s + a

com a > 0 nao segue a entrada x(t) = tu(t) em regime com erro nulo, pois H(0) = 1 masH(0) = −1/a 6= 0.

Um sistema de segunda ordem dado por

H(s) =as + b

s2 + as + b

com a > 0 e b > 0 segue a entrada rampa com erro de regime nulo.

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