TRASFORMATE DI LAPLACEVariabile di Laplace ( ) 0 b s b H s m m La trasformata di Laplace permette di...

TRASFORMATE DI LAPLACETRASFORMATE DI LAPLACE

0)()()( UttUt t

INGRESSO CISOIDALEINGRESSO CISOIDALE

Gradino a)

)(cos)(0;00)()cos()(

1

1

tUtuUttUetu t

leEsp nenzia c)Sinusoide b)

)()(00)()cos()(0;0 1

tUtttUtu

t

edecrescent leEsponenzia c) )(cos)(0;0 1 tUetu t

smorzato ioOscillator d) )()cos()(0;0 1 ttUetu t

smorzato tu

st

INGRESSO CISOIDALEINGRESSO CISOIDALE0)()cos()( UttUetu t

s

1

)(

0)()cos()(

eUUjeUetu

UttUetujst

con 01 )()( UsHUbsbsbYeYety n

mmst

p

imentodi TrasferFunzione01

01

)( bsbsbsH

asasam

m

nn

p

imentodi Trasfer Funzione 01

)(asasa

sH nn

DIPENDE DALLE CARATTERISTICHE DELLA RETE E NON DALL’INGRESSODIPENDE DALLE CARATTERISTICHE DELLA RETE E NON DALL INGRESSO

0t stn

ti esUsHeeAty i )()()(

i 1

Risposta Risposta fRisposta

libera forzata

La risposta libera rappresenta il modo di evolvere nel tempo della rete La risposta libera rappresenta il modo di evolvere nel tempo della rete indipendentemente dall’ingressoLa risposta forzata evolve nel tempo come l’ingresso

FREQUENZE LIBEREFREQUENZE LIBERE

m Se ie i 0

e

t t d a converge libera risposta la

i

e tempo certo un dopo zero

t bil tl t R t forzata risposta sola la Rimane per

0

t

stabile ntesempliceme Rete sestabile nteassolutame Rete se

00

i

eie

instabile Rete se

stabile ntesempliceme Rete se0

0

i

i

eiei i

esinusoidal Ingresso se js 0simbolico Metodo Fasore U)H(jY

Per tempi molto grandi possiamo prescindere dall’origine dei p g p p gtempi e lavorare direttamente nel campo complesso

:immediata e' tempo del dominio al onericonversi La tjtj eUe u(t) eYe y(t) se

mmed ata e tempo del dom n o al oner convers La

Dimostrazione tjttjjstst eUeeUeeUeUetu )()()(

t

jjj

tjsentUeeUeeUeeUeUetu

)()(

)()cos()(

tst

dddutUeeUe

)cos( 0t per

ststst eUseeUdtdeeUe

dtd

dtdu

)(

stkk

k

eUsedt

ud

stqq

stp eYseydeYety

dt

;;)( qp dt

y ;;)(

I/O Relazione nella oSostituend ststm

mststn

n eUebeUsebeYeaeYsea 00

Dimostrazione (Cnt.)

eUebeUsebeYeaeYsea ststmm

ststnn 00

UbsbYasa

eUbsbeeYasaemn

stmm

stnn

)()(

)()( 00

c v d UsHUbsbY

UbsbYasam

m

mn

)(

)()(

0

00

c.v.d. UsHUasa

Y nn

)(0

ANALISI NEL DOMINIO DI LAPLACEANALISI NEL DOMINIO DI LAPLACE

)()()( sUsHsYjs

neConvoluzio di Teorema Laplace di Variabile

0)(

)()()(bsbsH

sUsHsYm

m

neConvoluzio di Teorema

La trasformata di Laplace permette di trasformare

0

)(asa n

n

La trasformata di Laplace permette di trasformaresistemi di equazioni integro-differenziali nel tempo insistemi algebrici nel dominio della variabile ss dettasistemi algebrici nel dominio della variabile ss, dettavariabile di Laplace

La trasformata di Laplace consente di calcolare larisposta di un circuito a (quasi) ogni tipo di eccitazionerisposta di un circuito a (quasi) ogni tipo di eccitazione,permettendo ad un tempo, di calcolare la risposta libera ela risposta forzata a partire da qualsivoglia condizionela risposta forzata, a partire da qualsivoglia condizioneiniziale

DEFINIZIONE DEFINIZIONE DIDI LL--TRASFORMATATRASFORMATA

è di atrasformatL Laper Sia

:f(t) ttfCf(t):R 00)(,

(*)

è di atrasformatL La

dtetftfLsF

:f(t)

st)()()(

s di funzione è atrasformat La . di funzione è : NOTA

jtf(t)0

aTrasformat-L della esistenza di Condizioni

c di valore qualche per

f mL

dttfe t )(

di valore qualunque per :essendo

te tj 10

:aconvergenz di Regione cse

gg

ESEMPIOESEMPIO: L: L--Trasformata del Gradino unitarioTrasformata del Gradino unitario

dtetftfLsF

ttf

st)()()(

)()( 1

ed

dtetftfLsF

TjTst

TstTst 11li11lilili

)()()(0

e

ees

ess

edte

T

TjT

T

st

TT

st

T11lim11limlimlim

00

esiste non limite il e diverge0 seee

eTjT

111

periodica è funzione la perchè esiste non limite il 0 se

esiste non limite il e diverge0 se

s

ees

e TjT

T

T 111lim

T per zero a tende 0 se

0 è aconvergenz di regione La

tL 1)( s

tL )(1

ESEMPIOESEMPIO: L: L--Trasformata della funzione esponenzialeTrasformata della funzione esponenziale

aetf at)( complessa o reale con

dtetfeLsF stat

)()(0

eedtedtee tas

T

Ttas

T

Ttas

T

Tstat

T

111lim)(

limlimlim )()(

)(

0

asasas TTTT )( 000

as

eL at

1

s che tali s di valori per solo genere, in calcolato, essere puo' aTrasformat-L la definisce che integraleL' : NOTA

e c aconvergenz di ascissa detta e'

pg ,,

c

c

0. vale aconvergenz di ascissal' esempio, per di caso Nel 1- )(t

come s1 funzione la considera si ente,impropriam Tuttavia,

aconvergenz di dominio al noappartengo non che s di valori per anche di atrasformat 1- )(t

garantire per necessaria e' 0t per 0f(t) che ipotesiL' :NOTA

gpp g

aTrasformat-L della unicità la garantire per necessaria e 0t per 0f(t) che ipotesiL :NOTA

:è di t sf m tti L F )(

DEFINIZIONE DI ANTIDEFINIZIONE DI ANTI--TRASFORMATATRASFORMATA

:è di atrasformatanti La

dFFLtf

sF

stj1

)(1)()(

)(

1

0t per esiste

dsesFj

sFLtf st

j1

)(2

)()( 1

0t per esiste

j retta una lungo eseguito è integraleL'j

di i ll con

retta una lungo eseguito è integraleL -j1

aconvergenz di regione nella

c 1

TRASFORMATA E ANTITRASFORMATA E ANTI--TRASFORMATATRASFORMATA

Proprietà di unicità

Se due funzioni f1(t) e f2(t) hanno la stessa L-trasformataallora deve essere: )()( tftf )()( 21 tftf

Esiste una corrispondenza biunivoca tra le funzionitrasformabili e le corrispondenti trasformate

)()( sFtf

PROPRIETA’ DELLE LPROPRIETA’ DELLE L--TRASFORMATETRASFORMATE )()()()(:LINEARITA' sFcsFctfctfcL 22112211

:integraledell' linearità dalla)()()()(:LINEARITA sFcsFctfctfcL

0

22112211 )()()()(

dtetfctfctfctfcL st

22112211

0

...)()()()(

dvcsFcsFcdtetfcdtetfc stst 00

111

seno Funzione della aTrasformat :Esempio

ee tjtj

21

1121

2sin

jsjsjjeeLtL

222222 sin221

stL

ssj

j

DERIVATA

PROPRIETA’ DELLE LPROPRIETA’ DELLE L--TRASFORMATE (TRASFORMATE (CntCnt.).)

)0()()( fssFtdfL

DERIVATA

)0()( fssF

dtL

T T

Tdf(t) :oneDimostrazi 0

0 0

)0()()()0(0

)()0()(limlim -st-sT

T

-st

T

dvcfssFssFf

dtetsffeTfdtedt

df(t)F(s)

...)0()()()0(0 dvcfssFssFf

PER RE RD NE D DER V E

)1()2()1(21 )0()0()0()0()()( nnnnn

n

fsffsfssFstfdL

SUPERIORE ORDINE DI DERIVATE

)()()(

)(

)0()0(....)0()0()(

k(k)

n

tfd

fsffsfssFsdt

L

d

0

)(0t

k(k)

dttfd)(f:dove

ESEMPIO IESEMPIO I3Hi( )

di

3Hi(t)

)(2463 1 tidtdi 6

24

24)(6)0()(3 sIisIs

18)(2 I

sAi 1)0(

8

1)(2 s

sIs

818

)( sssI

034)()(22

)(

21

2

ILisss

ssI

t 034)()( 21 tesILti t per

d PROPRIETA’ DELLE LPROPRIETA’ DELLE L--TRASFORMATE (TRASFORMATE (CntCnt.).)

s ad rispetto eDerivaziondF(s) tf(t)L

dsdF(s)

)()( dttef(t)d

dF(s)dtf(t)esF stst

d )()(

00

fLdf( )

dsst

c.v.d. )()(0

ttfLdtetf(t) st

neIntegraziosF)df(L

t )(

s0


oneDimostrazitt

0 00

dte)df()df(L st

)

:conpartiper Integrando

f( )dddf(( )t

1

)0

f(t)dtdudτf(τu(t)

1 es

vdtedv stst

)(11) dttfees

es

dτf(τ)df(L stststtt

c v d)(1)(1)(100

0000

sFdtetfdf

ss

st

0

c.v.d. )()()(000

sFs

dtetfs

dfs


:INIZALE VALORE DEL TEOREMAssFf

:INIZALE VALORE DEL TEOREMA )(lim)0( ssFf

s

)(lim)0(

:FINALE VALORE DEL TEOREMA f(t)ssFff(t) esiste se

:FINALE VALORE DEL TEOREMA lim)(lim)(lim

0 f( )ff( )

tst )()(

0


oneDimostrazi

)0()( dteddffssF

ddfL st

c v d lim )0()(0)0()(

)()(0

fssFfssFdt

fdt

c.v.d. lims

)0()(0)0()( fssFfssF

)0()()0()(lim 0 ffdfdtedffssF t

d )(li)(

)0()()0()(lim00

0

Ff

ffdfdtedt

fssFs

c.v.d. )(lim)(

0ssFf

s

TEMP NEL ETR L N DELL TE REM


)()()( 1 sFettfL s :TEMPO NEL ETRASLAZION DELLA TEOREMA

)()()( 1 settf

)()( 1 ttf )()( 1 ttf)()( 1 ttf )()( 1f

:oneDimostrazi

)()()()()(0

11 dtetfdtettfttfL stst

)()()()( )( dfdfdf

dxdtxttx

t

:ponendo

)()()()(0

)(

0

sFedxexfedxexfdtetf ssxsxsst

EsempioEsempio

tttf 11 )]2()([3)( esF

s233)(

ss

ESEMPIOESEMPIO: L: L--Trasformata dell’Impulso unitario (Trasformata dell’Impulso unitario (CntCnt.).)

Le L-trasformate permettono anche lo studio di segnali non rappresentabili da funzioni nel senso “classico” del termine. ppSi tratta in tal caso di distribuzioni

Esempio: Impulso di Dirac

Esempio: Impulso di Dirac

1)()(0

t

stst edtettL 0

0 t

ESEMPIOESEMPIO

)()()(

tsantsanstatnatn etdttdttttL

00

)(

01 )(

tsanstatnatn

sadtetdteettetL

)(1)(1 00

tsantsan etLndtetn

0

!)1(

nnn

assa

)()(22 )(

!)()1(

tsa

ntsan eL

asnetL

asnn

1)(!

nn

1)( nas

Trasformate notevoliTrasformate notevoli

PRODOTTO DI CONVOLUZIONEPRODOTTO DI CONVOLUZIONE

:neconvoluzio di prodottoo integrale prodotto definisce si , e funzioni due Date 21 (t)f(t)f

:neconvoluzio di prodotto

(t)f(t)f)d(tf)(f(t)ft

210

213 (t)f(t)f)d(tf)(f(t)f

u u l ' nc n lu i di p d tt d l L pl c di t sf m t L : TEOREMA

funzioni delle Laplace di etrasformat delle prodotto al uguale e neconvoluzio di prodotto del Laplace di atrasformat La

)()()( 213 sFsFsF

bsbsbsN m )(

ANTIANTI--TRASFORMAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALITRASFORMAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI

nmasasas

bsbsbsDsNsF n

nn

m

Sia01

11

01

)()()(

)()()(1)Caso pspspsD(s)semplici) (poli se con

)()()( 1) Caso 21

ji

n

jipppspspsD(s)

)()()()()()( :allora

1

1

1 n

n

n psR

psR

pspssNsF

residui :i

R

R

)(

1 tpi

i

i eRps

RL i

)()()()()(a)

residui deiCalcolo

1121 nnn pspsRpspsRsF

bticoefficienai Rdiin terminiticoefficien i oeguagliand)()(

)(a)

ii

1 npspssF

incogniten in equazionin ottengono sibcoe c edecoe c eoegu g d ii

ESEMPIO IESEMPIO I3Hi( )

Ai 1)0(

3Hi(t)

)(6

24

88 RR2)2(

82

8)( 212 s

RsR

sss

ssssI

31)()2(

2)2(2

221 RRRsRsR

ssssss

48231)(

)2()2()(

11

22121

RRRRR

sssRsRsI

)()34()(34)(

)(

2

11

tetisI t

)()34()(2

)( 1 tetiss

sI

ANTITRASFORMAZIONE ANTITRASFORMAZIONE DIDI FUNZIONI RAZIONALI (FUNZIONI RAZIONALI (CntCnt.).)

b)

residui dei Calcolo

)()()( R

RF j

b)

)()(lim)(

)()()(

sFpsRps

psRsFpsj

j

jiiii

)()(lim

sFpsR ipsii

:I Esempio2)2(

82

8)( 212

sR

sR

sss

ssssI

; 88

20)(

21

spp

68

428

28lim)(lim

001

ss

ssIsRss

34

32

68lim)()2(lim222

sssIsR

ss

c.v.d. 2

34)(

ss

sF


;

:coniugatecoppiein presenti sonoessicomplessi poli dicaso Nel*

1112111 pjpjp

; :sono residui I

; *

1112111

1112111

RjvuRjvuR

pjpjp

)( *

*1

1

1

psR

psRsF

; se 121

21

11

varctgvuM

psps

;1

11

ee

ug

jj

)( *11

pse

pseMsF

)cos(2

)( )()(1

1

1111*

11

tMeeeMeeMsFL

t

tjttjtjtpjtp

)cos(2 1 tMe

)(52)( diiditt

1Hi(t)

ESEMPIO ESEMPIO IIII

)(52)(0

1 diidt

t

)(5)(2)(1

ssIsIsIs

s2

1/5F

211)( 1 jp

sI

ssv(t)

21*52

)(1

2 jpsssI

0)0(;0)0( vi 111 j

jjsR

js 41

41

211lim

211

M2

41

41 2

ee ttjj 111

2442/2/

teteti

pse

psesI tt 2sin

21

22cos

412)(

41)( *

11


ip 1 tàmolteplici di polo un presente sia :Hp.Multipli Poli Caso2)

l

i

i

i

i

i

i

psR

psR

psR

sF ,2

2,1,

)(....

)()(......)(

...

l

l

ij

j

ji

iii

jsFpsdsd

jR

ppp

, ,....,1)()()!(

1

)()()(

:che dimostra Si ll

l

l

l

tpj

jiji

ps

i

i

jetRR

L

dsj1

,1 ,....,1

)!(

:che noti Si l

l

ii

jiji

RRsF

jj

Rps

L

2,1,

,

)(

,....,1)!1()(

:doppio) (polo 2 Se

che noti Si

l

l

ii

FRFdR

pspssF

22

2

)()()()(

)()(......)(

...:doppio) (polo 2 Se l

psiips

ii i

i

RR

sFpsRsFpsds

R 22,

21, )()()()(

tpi

tpi

i

i

i

i ii teReRps

Rps

RL 2,1,2

2,1,1

)()(

ANTIANTI--TRASFORMAZIONE TRASFORMAZIONE DIDI FUNZIONI RAZIONALI IMPROPRIEFUNZIONI RAZIONALI IMPROPRIE

)()()(

011

1

01 nmasasas

bsbsbsDsNsF n

nn

mm

Sia

)()()(

)()()(

sDsRsQ

sDsNsF

)()(

)(sRsR

sQ

propria razionale funzioneD(s) a inferiore grado di resto

nm seK costante una ad riduce si quoziente

)()]([)()()(

1 tKsQLsD

sR

propria razionale funzioneD(s) a inferiore grado di resto

)()]([Q

La funzione Q(s) si riduce ad una costante e la sua anti-trasformata è un impulso di area pari a K

La funzione razionale propria rimanente si può anti-f l l d i id itrasformare calcolandone i residui

ESEMPIOESEMPIOsssssss 14)34(4444 222

RRss

sssss

sssss

ssF

141434

14)34(34

44434

4)( 222

sR

sR

sss

sss

)1()3(1

)1)(3(141

34141 21

2

ssR

ssR

5,2)3(14;5,6

)1(14

21ss

sF

ss

5,25,61)(

)3()1( 13

tt eettfss

sF

5256)()()1()3(

1)(

3 eettf 5,25,6)()(

1/8Fi(t)ESEMPIO IIIESEMPIO III

t

v(t)

( ))(8)0()(414

0

divti

4

( )

14)(8)(412

0

ditit

V2)0(

)(8)(4120

diti

Vv 2)0(

)(8)(412 sII

3

)(8)(4s

sIs

23)(3)()2(

ssIsIs

)(3)( 12 teti t

E E E NOTA COME LE CONDIZIONI INIZIALI ENTRANO NEL CALCOLO IN MODO NATURALE

ESEMPIO IVESEMPIO IV1Hi(t)

2)( idtdit

)(2)0()(1 sIisIsdt

2

21)(

ssI

0)0( i)()( 1

2 tetis

t

)(

Nota:

0)0( iLo stato non si e’ conservato

1)0( iLo stato non si e conservato

L’unicità tra f(t) e F(s) permette di risolvere vari problemi ANALISI CIRCUITALEANALISI CIRCUITALE

L unicità tra f(t) e F(s) permette di risolvere vari problemi in questo modo:

Dominio del tempo Dominio di s

Descrizione del circuito nel D s i i d l i it l

Dominio del tempo Dominio di sTrasformazione

l d i i di Descrizione del circuito neldominio del tempo in terminidi equazioni differenziali

Descrizione del circuito neldominio di s in termini di

equazioni algebriche

nel dominio di s

q

RisoluzioneRi l i Risoluzionedelle equazioni

algebriche

Risoluzionedelle equazionidifferenziali

Soluzione nel dominio Soluzione del dominioSoluzione nel dominiodel tempo

Soluzione del dominiodi s

Trasformazione nel dominio del nel dominio del

tempo

ANALISI CIRCUITALEANALISI CIRCUITALE

I calcoli sono effettuati nell’ambito della teoria delle I calcoli sono effettuati nell ambito della teoria delle distribuzioni in modo da includere l’eventuale presenza di distribuzioni singolari nell’originedistribuzioni singolari nell origine

Le condizioni iniziali sono sempre le variabili di stato in 0-L mp

Tutte le F(s) possono essere anti-trasformate( ) p

Non e’ necessario ricavare la relazione I/O ma si possono pscrivere le equazioni topologiche e dei componenti nel dominio di s

EQUAZIONI DEI COMPONENTIEQUAZIONI DEI COMPONENTI

Generatore Indipendente ti sI Generatore Indipendente di tensione

H (t) L t f bil

tv

sV Hp: v(t) L-trasformabile

Generatore Indipendente di di corrente

Hp: a(t) L-trasformabile ta sA

Hp a(t) L trasformabile

Resistore ti sI

)()()()()()()()(

sVGsItvGtisIRsVtiRtv

tv R

sI

sV R)()()()( sVGsItvGti

Generatore di tensione il t t i tpilotato in corrente

)()()()( sIrsUtirtu

Generatore di corrente pilotato in tensionep otato n t ns on

)()()()( sVgsAtvgta )()()()( sVgsAtvgta

Condensatore

ti

sI1

sI

tv C sVCs1

V1

s

v 0 sV Cs 0Cv

)(

dtdvCti V

CsIsV 0)()( 0)()( VCsVsCsI

0)0( Vv ssC

)(0)()(

Induttore

sI ti sI

L

sI

tv L sVLs

sV Ls i 0 0Li

sV Lss

di

)0(

)(

IdtdiLtv

sI

sLsVsI 0)()( 0)()( ILsIsLsV

0)0( Ii ssL

Trasformatore ideale

)(2 ti)(1 ti

1)()( 21 tvntv1:n

)(1 tv )(2 tv

)(1)( 21 ti

nti

)(1 tv )(2 tv

n

)(sI)(sI

)()( 21 sVnsV1:n

)(2 sI)(1 sI

)(1)(

)()(

21

21

sIsI)(1 sV )(2 tV

)()( 21 sIn

sI

Induttori mutuamente accoppiati

M)(1 ti )(2 ti

101

2111 00)(

didi

I)( idtdiM

dtdiLtv

L1 L2

M

)(t )(tv

2022

21

2 00)( I)( idtdiL

dtdiMtv

1 L2)(1 tv )(2 tv

)(IM

)(1 sI )(2 sI

L1 L2)(1 sV )(2 sVM I20 L1 I10 L2 I20 M I10

102022212

201012111

)()()()()()(

MIILsIsLssMIsVMIILssMIsIsLsV

102022212 )()()( MIILsIsLssMIsV

Induttori mutuamente accoppiati

Mi’1 i’2 i2i1

L1 L2v1 v2I20 ·-1(t)I10 ·-1(t)

M)(1 sI )('1 sI )('2 sI )(2 sI

L1 L2

M

V (s))(sVI10 I20

V2(s))(1 sV s s

ESEMPIOESEMPIO: Generatore pilotato e poli multipli: Generatore pilotato e poli multipliH50 xv

Per t=0- lo stato del circuito è nullo. Calcolare la v (t) in risposta ad un

H5,0

2Calcolare la v0(t) in risposta ad un ingresso e(t) a gradino unitario.)(te F2xv5,1 0v

Il i it l d i i di L l è il tIl circuito nel dominio di Laplace è il seguente:

Applichiamo l’equilibrio ai nodi A e Bs5,0 xV

0250

)(

ABA VVs,

sEV A nodo)(sE

12V51 )(sV

A B

)(sEs2xV5,1 )(0 sV

025,12

BABAB sVVVVV B nodo

)(44 sEsVVs BA ssEsVV B

A

4

)(4

AB VVs 1 22 2

42

)(44

)(4)1(

sss

sEVs

sEsVVs BB

B

ESEMPIOESEMPIO: Generatore pilotato e poli multipli: Generatore pilotato e poli multipliH50 xv

Per t=0- lo stato del circuito è nullo. Calcolare la v (t) in risposta ad un

H5,0

2Calcolare la v0(t) in risposta ad un ingresso e(t) a gradino unitario.)(te F2xv5,1 0v

sR

sR

sR

sssVsV B 2

32120 222

4)()(

ssds

dsVdsdR

sR

s 22

20221 14421

24

sVR

ssdsdss sss

s

203

222

0

242

2

s

sVRs

s2

203 22

tettv t1

20 211

EQUAZIONI TOPOLOGICHEEQUAZIONI TOPOLOGICHE

AI COCICLI FONDAMENTALIAI COCICLI FONDAMENTALI

0)(0)( sIti 0)(0)( sIti

ALLE MAGLIE FONDAMENTALIALLE MAGLIE FONDAMENTALI

0)(0)( sVtv

ESEMPIOESEMPIO: Equilibrio ai nodi: Equilibrio ai nodi1 1

L’interruttore si apre per t=0. Il circuito è a regime per t < 0 0tF1vV12 1vIl circuito è a regime per t < 0.

Ricavare v(t).V12 F1

Per t < 0 il circuito è in regime stazionario:

1 1

VV1 1V

V1 = 0 per via del c.to-c.to.

1

1 p

Per determinare v applichiamo la regola del partitore di tensione:

)(611

112 VV

da cui 00;60 1 vv




Per t > 0 disegniamo il circuito nel dominio di Laplace scaricando ild tcondensatore.

1 11 ssVsV 6)(')(

Applichiamo

s1'V

12 1

Applichiamo l’analisi nodale al nodo 1

6612 ss s

s6 s

sVsVs

Vs

1

)6'('

1

6'12

ss111

6'66'66'612 sVsVsV16')1(6

16''6

16'6'12

s

sVVsss

sVsVVss

sVsVs

Vs




6'')12(666'')1()1(6 2222 sVsVsssssVsVsss

3804936

6')12(6'')12()()()(

222

VssssVsVsss

62.238.0

2493;0

)13(6)(' 3,212

ppsss

sV

622380)622)(380(6)(' 321

sR

sR

sR

ssssV

1)380(

67)622(

66)622)(380(

6

62.238.0)62.2)(38.0(

321

ssR

ssR

ssR

ssssss

)38.0()62.2()62.2)(38.0( 62,238,00 sss ssssss




17662.2

138.0

76)('

sss

sV

62.21

38.07126)(')(

sssssVsV

)(712)(

62.238.0

62,238,0 teetv

ssss

tt

)(712)( 1 teetv

ESEMPIOESEMPIO::H1 H75,0 ))(( VteH1

)( 34

))(( Vte12

)(ti)(te 3

t

Ricavare i(t) sapendo che il circuito è a regime per t < 0.

Per t < 0 il circuito è in regime stazionario:1I 2I

1234 AIAI 4

3123

412

2

I12

AIII 73

21

Da cui lo stato in t=0- è AiAi 4)0(7)0( 21


)( 34

))(( Vte12

)(ti)(te 3

t


Per t >0 il circuito nel dominio di Laplace è:s s75,0

1

Applichiamo l’equilibrio delle correnti al nodo 1 3V7 V3

)(

1

delle correnti al nodo 1 con il metodo dei potenziali nodali)(sI

34)(1 sI)(2 sI

ssVssVsVssVsVsV 36336)(48)(40)(303)()(7)(111

2111

ssVssVsVs

ss36336)(48)(40)(30

75,034 111


)( 34

))(( Vte12

)(ti)(te 3

t


1634012112

4840336336)(

221

sss

ssssV

3412

169

4003

2016340

3284

)()(

1634048403

2121

pssVsI

ssss

328)(

3493163404)(

21

2,12

RRssI

pss

93283328

)34()12()34)(12()(

sRsR

ssss

teetitt

134

12 93)(

41243434

2

12

1

ss

sR

sR teeti 144

)(

Legge di OHM generalizzataLegge di OHM generalizzata

)(sV

)(sI

)(sZ)()()( sIsZsV

)(sV )(sZ)()()( sVsYsI

)(sI

sL :bipoli di serie la per regole le Applicando

)(sVsC1

sCsLR

sIsVZ(s) 1)()(

RsCsI )(

:bipoli di parallelo il per regole le Applicando

sCsLRsV

sIY(s) 11

)()(

:bipoli di parallelo il per regole le Applicando)(sI

RLLCsRL

YsZ

sLRsV

211

1)(

1)(

)()(sV RsC

1sL

RsLLCssCsLR

sY 211)(

)(

ESEMPIOESEMPIO: Serie di Impedenze: Serie di Impedenze

0t

3 H1 )(ti

Ricavare la corrente i(t) per F5.0CvV1

Ricavare la corrente i(t) per t>0 sapendo che lo stato del

circuito in t=0- è nullo

Per t < 0 il circuito è scarico quindi: 0)0(;0)0( Cvi

Per t > 0 il circuito nel dominio della variabile di Laplace è il seguente:3 s )(sI3 s

2)(V

)(sI

1

Scriviamo l’equazione di Kirchhoffalle tensioni per l’unica maglia delcircuito:

s)(sVC

s1 circuito:

)(231 sIs

ss

Infatti i 3 bipoli sono in serie e si possono sommare le impedenze.

ESEMPIOESEMPIO: Serie di Impedenze: Serie di Impedenze

0t

3 H1 )(ti

Ricavare la corrente i(t) per F5.0CvV1

Ricavare la corrente i(t) per t>0 sapendo che lo stato del

circuito in t=0- è nullo

12

2893

2323

1)( 2,12

pss

s

s

ssI

)(

3

21

RRssI

ss

(2 poli semplici) 1212

)(

ssss

sI (2 poli semplici)

1111

11

121

12

1112

11

1

1

2

2

1

s

Rs

Rss

0)()(1

12

1)( 12

tteetiss

sI tt per

TEOREMI TEOREMI DIDI THEVENIN E NORTONTHEVENIN E NORTON

RETE

)(sI Rete attiva costituita da componenti li i t i i tiRETE

ATTIVA)(sV lineari tempo-invarianti

)(sI EQUIVALENTE CIRCUITALE

)(sV)(sZeq

THEVENINTHEVENIN )()()()( sEsIsZsV eqeq

EQUIVALENTE CIRCUITALE

)()(sEeq

THEVENINTHEVENIN )()()()( eqeq

Il duale è il teorema di Norton)(sI EQUIVALENTE CIRCUITALE

NORTONNORTON )(sVeqYeqA )()()()( sAsVsYsI eqeq )(

ESEMPIOESEMPIO: : TheveninThevenin2

8

0t

2

4 8

Li

V18F05,0Cv H4

4

Il tasto si apre per t=0. Il circuito è a regime per t < 0. Ricavare iL(t) per t > 0.Li

Per t < 0 il circuito è in regime stazionario:2

V18

38 8A4

LI

V18F05,0CV A

B

Applichiamo il teorema di Thevenin ai morsetti A-B888 4438

68)

384//2( THR VETH 12

24418


8

0t

2

4 8

Li

V18F05,0Cv H4

4


t < 0VVC 8

48812

4 8A

VvC 8)0(

48

AIL 184

12

LIV12 CVAiL 1)0(

L 84 B

Per t > 0 LI

208 Per t > 0 disegniamoil circuito

l d i i

s48s

20

8

844820

0448208

2

I

sIsss L

nel dominio di Laplace: s

84 844820 2 ssIss L


8

0t

2

4 8

Li

V18F05,0Cv H4

4


252

482084

22 sss

ssssIL

coniugati complessi poli 215112,1 jp

21212121

2 *

jsR

jsR

jsjsssIL

56,2645

42

421

2121221

212

21212121

jj

jjj

jjs

sR

jsjsjsjs

444212121 21 jjjjs js


8

0t

2

4 8

Li

V18F05,0Cv H4

4


)56,262cos(25)( teti t

L t

)(tiL

METODO DELLE CORRENTI CICLICHEMETODO DELLE CORRENTI CICLICHE )()()( sEsJsZ )()()( sEsJsZ

)(Z Impedenza propria della maglia i

M

M

ZZZZZZ

sZ

22221

11211

)( )()(

sZsZ

ji

ii Impedenza propria della maglia iImpedenza mutua tra le maglie i e jdella maglia i

MMMM ZZZ 21 M = l – (N - 1)

della maglia i

J

iv EE 11

MJ

JsJ

1

)( Correnti cicliche nelle maglie

iMvM EEsE )(

MJ

• Evi è la somma dei generatori di tensione nella maglia i, prese con segno +vi g g p gse concordi con il verso di Ji e viceversa

• Eii è la somma delle tensioni dovute ai generatori di corrente collegatiagli estremi dei lati della maglia i (prodotto della corrente peragli estremi dei lati della maglia i (prodotto della corrente perl'impedenza del ramo a cui è collegato) preso con il segno + se la cadutadi tensione provocata in quel ramo dalla sola corrente del generatore èp q gconcorde con Ji e viceversa

ESEMPIOESEMPIO: Metodo delle correnti cicliche: Metodo delle correnti ciclicheRR 2;1 1R Ri2R

VFCCRR

1001

2;1

21

21

1

)(t C 2i

2Ri

v

2

Calcolare vg(t) per t ≥ 0 in modo che i lti (t) δ (t)

Vvv CC 100 21 )(tvg 1C 22 Ri1Cv

C

2Cv

risulti vc2(t)=δ-1(t).

Il i it l d i i di L l è il t

2C

Il circuito nel dominio di Laplace è il seguente:

12RI2

)(sV 12 RIs

1

J)(sVg

s1 2R

J1

J2

l h l d d ll l h s1

s1

Applichiamo il metodo delle correnti cicliche, scegliendo le due finestre del circuito come maglie fondamentali.


VFCCRR

1001

2;1

21

21

1

)(t C 2i

2Ri

v

2

Calcolare vg(t) per t ≥ 0 in modo che risulti v 2(t)=δ 1(t)


C

2Cv

risulti vc2(t)=δ-1(t).2C

1

11111 s

VsVJ

ssg

g

22 2121

221J

s

IJss

ss

2

1111

222

VJ

Js

Is

ss R

222

1 1212221

1

ss

ssss

V

J

Jss

g

2 0Jss


VFCCRR

1001

2;1

21

21

1

)(t C 2i

2Ri

v

2



C

2Cv


11

11

111

Vs

Vs g

121

12

1012

2

ssV

sss

VsJ g

g

2112111111

12122

VsVssV

sss

122

12112

1211111)('1)( 222

s

VsssVs

ssV

ssJ

sssV

ssV ggg

CC

Dobbiamo imporre che s

sVC

12


VFCCRR

1001

2;1

21

21

1

)(t C 2i

2Ri

v

2



C

2Cv


s

sVC

12

ttttvs

Vs

Vs gg

g 222211221

1

sss 12

Si noti che i due impulsi nell’origine tengono conto del fatto che il Si noti che i due impulsi nell origine tengono conto del fatto che il condensatore C2 ha la stessa tensione (1V) prima e dopo l’istante iniziale, ma per ipotesi esso è un gradino e questo significa che il , p p g q gcondensatore si scarica e poi si ricarica istantaneamente.

METODO DEI POTENZIALI NODALIMETODO DEI POTENZIALI NODALI )()()( AUY )()()( sAsUsY

YYY )(Y A tt i d ll li i

1,22221

1,11211

)( N

N

YYYYYY

sY

)()(

sYsY

ji

ii Ammettenza propria della maglia iAmmettenza mutua tra lemaglie i e j della maglia i

1,12,11,1 NNNN YYY

maglie i e j della maglia i

11 vi AA

1U

Potenziali nodali

1,1,

)(

NvNi AAsA

1

)(

NUsU Potenziali nodali

Aij = somma delle correnti dei generatori di corrente che incidono sul

1,1, NvNi

Aij = somma delle correnti dei generatori di corrente che incidono sulnodo i, positivi se entranti.

Avi = correnti dovute ai generatori di tensione inseriti in latil d (f d l l ) lconvergenti nel nodo i (f.e.m. ammettenza del lato) positivi se il

generatore da solo fa circolare corrente entrante.

ESEMPIOESEMPIO: Metodo dei potenziali nodali: Metodo dei potenziali nodali2

)(1 ta F5,0 132v1v 2

32 )(2 taH5,0

2v

iVv 00;10

, 133 2

Determinare l’espressione di v2(t) sapendo che: tetattta

iVvt

L

12

211

1

2;200;10

2

2;2221

s

sAs

sAIl circuito nel dominio di Laplace è il seguente:2ss

21 1 2 2 2 2

50)(1 sA

s2

132V1V 2 3

2 )(2 sA2s

2V5,0

l h l d d l d l l d 1 l d 2Applichiamo il metodo dei potenziali nodali al nodo 1 e al nodo 2.


)(1 ta F5,0 132v1v 2

32 )(2 taH5,0

2v

iVv 00;10

, 133 2


iVvt

L

12

211

1

2;200;10

221

111 21 sVs

22

2

223

21

21

2222

2

1

V

s

V

23

222 12

sVVs

4412 22

2 sVss

21272212124

224

21

22

22

1221

ssss

ssVV

ssVVs

2

21267

22

3212

21

21121 sV

ssV

sVV

ssV


)(1 ta F5,0 132v1v 2

32 )(2 taH5,0

2v

iVv 00;10

, 133 2


iVvt

L

12

211

1

2;200;10

2212

24

267

22

22

VssV

4721217

22262

22

sVssssss

26226 22

sss

Vss

471221127 222

2819242912

264712

2621127 2

223

2

22

22

2

sVsss

ssssV

ssssss

2819 2 s 242912

281922

ssssV


)(1 ta F5,0 132v1v 2

32 )(2 taH5,0

2v

iVv 00;10

, 133 2


iVvt

L

12

211

1

2;200;10

73,021,154.021,124601,121,122912

28192,1

2

2

2 jjpsV

33,258,1

212

12

*221

2

2

RRRsV

sss

73,021,173,021,173,021,173,021,1,, 221

2 jsjssjsjssV

1671ssVR

8,844367,04349,00396,073,021,1

167,1

73,021,121

021

jsVjsR

ssVR

js

s

ttetv t1

21,12 8,8473,0cos87,0167,1

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO E FUNZIONE DI RETEFUNZIONE DI TRASFERIMENTO E FUNZIONE DI RETE

Si d finis FUNZIONE DI RETE il pp t f l L T sf d ll Si definisce FUNZIONE DI RETE il rapporto fra la L-Trasf. della risposta dovuta ad una data eccitazione (ingresso) e la L-Trasf. dell’ingresso: )(Yg

L’i s d ll f i di t ò ss f i di t )()()()()()(

sUsYsFsUsFsY

L’inverso della funzione di rete può non essere una funzione di rete, e non gode delle stesse proprietà

Per circuiti lineari tempo-invarianti vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Allora nel caso di più eccitazioni (ingressi) l’uscita si ottiene

m s mm d ll s it d t i si li i ssicome somma delle uscite dovute ai singoli ingressi

La funzione di rete si chiama FUNZIONE DI TRASFERIMENTO se f ml’ingresso e l’uscita si riferiscono a coppie di morsetti diversi

L f i di t si hi IMPEDENZA AMMETTENZA s i ss La funzione di rete si chiama IMPEDENZA o AMMETTENZA se ingresso e uscita si riferiscono alla stessa copia di morsetti (nel primo caso una deve essere una tensione e l’altra una corrente e viceversa nel secondo caso)

FUNZIONE FUNZIONE DIDI TRASFERIMENTO E FUNZIONE TRASFERIMENTO E FUNZIONE DIDI RETE (RETE (CntCnt.).)

Se Y(s)= Tensione; U(s)= Tensione F(s) Funz di TrasferimentoSe Y(s)= Tensione; U(s)= Tensione F(s) Funz. di Trasferimento

Se Y(s)= Tensione; U(s)= Corrente F(s) Impedenza ()

Se Y(s)= Corrente; U(s)= Tensione F(s) Ammettenza (S)

Se Y(s)= Corrente; U(s)= Corrente F(s) Funz. di Trasferimento

ESEMPIOESEMPIO: Sintesi di funzioni di trasferimento: Sintesi di funzioni di trasferimentoData la funzione di trasferimentoData la funzione di trasferimento

103

10)( 20

VsVsH

L)(tvi

RC tv0

Realizzare la funzione mediante il circuito di figura nei due casi:

103)( 2 sssVi

i

ga) R = 5Ω b) R = 1Ω

determinando in entrambi i casi i parametri L e C.

LCircuito nel dominio di Laplace

sL)(sVi R

sC1 sV0

R1Applicando la regola del partitore di tensione:

RLRLC

RsVRsRCR

sVR

sCsVsV iii

201

1

//1

RsLRLCssRCRsLR

sCsL

1//1


103

10)( 20

VsVsH

L)(tvi

RC tv0


103)( 2 sssVi

i

ga) R = 5Ω b) R = 1Ω


1 101

103

1011 2

2

0

ssssLC

sVsV

i

31

10LC

LCRC

ssi

3RC

Caso a) 111)

mFCCRC

11

7,661513

511

HLLLC

5,1107,66101101 3


103

10)( 20

VsVsH

L)(tvi

RC tv0


103)( 2 sssVi

i

ga) R = 5Ω b) R = 1Ω


1 101

103

1011 2

2

0

ssssLC

sVsV

i

31

10LC

LCRC

ssi

3RC

Caso b) 111)

mFCCRC

11

3,3331311

HLLLC

3,0103,33101101 3

RISPOSTA IMPULSIVARISPOSTA IMPULSIVA

Poniamo U(s)=1 Y(s)=H(s).1

Nel dominio di s, la risposta Y(s) coincide con la funzione di rete H(s), quando l’ingresso e’ uguale a 1 e poiché:

impulso )(1)( 11 tLUL impulsiva risposta

impulso )()()(

)(1)(11

11

thsFLsYL

tLsUL

pp)()()(

LA RISPOSTA IMPULSIVA E’ L’ANTITRASFORMATA DELLA CORRISPONDENTE FUNZIONE DI RETEDELLA CORRISPONDENTE FUNZIONE DI RETE

N h( ) ’ i d i l i d

RISPOSTA IMPULSIVA (RISPOSTA IMPULSIVA (CntCnt.).)

Nota h(t) e’ univocamente determinata la risposta ad ungenerico ingresso u(t):

(t) h(t)* (t)y(t)=h(t)*u(t)

i è l isp st (t) ’ l l p d tt di n l i ncioè la risposta y(t) e uguale al prodotto di convoluzionetra risposta impulsiva h(t) e funzione di ingresso u(t)DIMOSTRAZIONE:

)()()( sUsFsY

)(*)()()()()()()(

)()()(

11 tuthdtuhsUsFLsYLtyt

)()()()()()()()(0

tuthdtuhsUsFLsYLty

La funzione di rete può essere utilizzata solo in circuiti lineari tempo-invarianti

La risposta impulsiva può essere usata per qualunque circuito

STABILITA’ DI UN CIRCUITOSTABILITA’ DI UN CIRCUITO

f l b l d d ll’ Le frequenze libere sono le radici dell’equazione caratteristica Sono indipendenti dall’ingresso (si pone u(t)=0), se tutte le sono a parte reale negativa dopo un tempo se tutte le sono a parte reale negativa, dopo un tempo

sufficientemente lungo la risposta libera si attenua e l’uscita delcircuito segue l’ingressog g

m se la risposta liberaconverge a zero dopo un certo tempo. Per

ie i 0

e t RIMANE LA SOLA RISPOSTAFORZATA

se RETE ASSOLUTAMENTE STABILEse RETE SEMPLICEMENTE STABILE

ie i 0 0 ei se RETE SEMPLICEMENTE STABILE

se RETE INSTABILE 0 iei 0 iei

Un circuito è assolutamente stabile se, sottoposto a sollecitazioni didurata limitata, è in grado di ritornare alla situazione di riposo dopoche le sollecitazioni esterne sono cessate.

STABILITA’ DI UN STABILITA’ DI UN CIRCUITO (CIRCUITO (CntCnt.).)

Un circuito si dice assolutamente stabile quando tutte le suepossibili risposte impulsive tendono a zero al crescere del tempo

LA RISPOSTA IMPULSIVA E’ L’ANTITRASFORMATA DELLACORRISPONDENTE FUNZIONE DI RETECORRISPONDENTE FUNZIONE DI RETE

d ff ff héCondizione necessaria e sufficiente affinché unarisposta impulsiva tenda a zero al crescere del tempo èh l i d t f i di t bbi t tti i liche la corrispondente funzione di rete abbia tutti i poli

con parte reale negativa.

PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI DI RETEPROPRIETA’ DELLE FUNZIONI DI RETE

PER CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI A COSTANTI CONCENTRATE:CONCENTRATE:

OGNI FUNZIONE DI RETE E’ UNA FUNZIONE RAZIONALE A COEFFICIENTI REALI IN s

UN CIRCUITO E’ STABILE SE TUTTE LE SUE POSSIBILI RISPOSTE IMPULSIVE TENDONO A ZERO AL CRESCERE DEL TEMPOTEMPO

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHE’ UNA RISPOSTA IMPULSIVA TENDA A ZERO AL CRESCERE DEL TEMPO E’ CHE LA CORRISPONDENTE FUNZIONE DI RETE ABBIA TUTTI I POLI CON PARTE REALE NEGATIVAABBIA TUTTI I POLI CON PARTE REALE NEGATIVA

ESEMPIOESEMPIO: Stabilità: Stabilità1 I

I

Determinare per quali valori di β il circuito è stabile )(sv 1

I

s1di β il circuito è stabile. )(svg 1 ss

Semplifichiamo il circuito sostituendo al parallelo del resistore ed ll i d tt ’i d i l tdella induttanza un’impedenza equivalente

1

sszp

1 I

Applichiamo l’equilibrio delle correnti al nodo 1:

1 I

1 s

1

)(svg s1

1s0

111

11

gg VVsV

VV

1110 1

VVsVVVsVVV

11

1110 1111

sV

VsVVVsVVVg

ggg

ESEMPIOESEMPIO: Stabilità: Stabilità1 I

I

)(sv 1

I

s1Determinare per quali valori di β il circuito è stabile )(svg 1 s

sdi β il circuito è stabile.

La funzione di trasferimento ha un poloV1 1 pf f m p

Affinché il circuito sia stabile deve essere p < 0 da cui

gVp

Affinché il circuito sia stabile deve essere p1 < 0 da cui

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