TRANSITORIO TRASFORMATE DI LAPLACE -...

Appunti a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, tutors del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici

Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari 1

Studio dei transitori con il metodo delle trasformate di Laplace

Appunti a cura dell’Ingg. Basoccu Gian Piero e Marras Luca

Tutors del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici A. A 2003/04 e 2004/05

Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari

(ultimo aggiornamento 11/02/2008)

Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05


STUDIO DEL TRANSITORIO CON IL METODO DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE

INTRODUZIONE Lo studio dei transitori nei circuiti di corrente comporta la risoluzione di equazioni integro-differenziali nel dominio del tempo di difficile risoluzione. Nella ipotesi di circuiti lineari (per i quali i parametri che caratterizzano il circuito, possono essere considerati costanti) il metodo delle traformate di Laplace consente di semplificare notevolmente la risoluzione di tali circuiti. Le funzioni f(t) integro-differenziali, definite nel dominio del tempo t, vengono trasformate nel dominio s (variabile di Laplace) in funzioni F(s) algebriche:

dominio t ⇒ dominio s f(t) ⇒ F(s).

La trasformata di Laplace consente di calcolare la risposta di un circuito a (quasi) ogni tipo di eccitazione, permettendo, di calcolare la risposta libera e la risposta forzata, a partire da qualsivoglia condizione iniziale.



La trasformata di Laplace permette di studiare funzioni f(t) definite per t≥0. Per le grandezze elettriche si assume che l’istante t=0 coincida con l’istante in cui ha inizio il fenomeno fisico che si intende studiare. Le condizioni sufficienti affinché esista la trasformata di Laplace della funzione f(t) sono: a) f(t)=0 per t < 0

f(t)≠0 per t ≥ 0, l'ipotesi che f(t) 0 per t 0 e' necessaria per garantire la unicità della L-Trasformata

= <

b) f(t) presenti un numero finito di discontinuità di prima

specie (derivata sinistra ≠ derivata destra in un punto), ossia sia continua tratto per tratto,

c) dtetf t∫∞

−

0

)( σ sia un integrale convergente.

Se tali condizioni sono verificate per la f(t), esiste la trasformata di Laplace F(s). Perl’applicazione della trasformata di Laplace ai circuiti, si supporrà: s= σ+jω



Per le funzioni di uso comune (trasformate notevoli) i valori delle F(s) sono riportati in tabelle.

La trasformata di Laplace è definita attraverso l’operatore di integrazione, per mezzo del quale l’integrale e la derivata nel dominio del tempo diventano rispettivamente una moltiplicazione e una divisione nel dominio di Laplace. In matematica e in particolare nell'analisi funzionale la Trasformata di Laplace di una funzione f (t ), definita per tutti i numeri reali t ≥ 0, è la funzione F (s ) così definita:

[ ]

[ ]

[ ]s1

s10

sedtedteu(t)u(t)LU(s)

(t)δu(t)f(t):Esempio

jσs di funzione e' F(s)

dseF(s)j2π1F(s)Lf(t)

:e' F(s) di atrasformatanti La

dtef(t)f(t)LF(s)

:e' f(t) di atrasformatL La0per t 0f(t) C,R:f(t) Sia

0

st

0

st

0

st

1

stjσ

jσ

1

0

st

00

00

=+=−

==⋅==

==

+=

⋅==

−

⋅==

−≤=→

∞−∞−

∞−

−

+

−

−

∞−

∫∫

∫

∫

ϖ

ϖ

ϖ



Proprietà delle trasformate:

1) Linearità La trasformata di Laplace è un operazione lineare,cioè:

2) Similitudine Se si sostituisce s a ks con k∈R+

∫∞

−=0

ks dt)t(fe)ks(F

se si effettua il cambiamento di variabile kt=τ

∫∞

−

=

0

s dk

fek1)ks(F τττ

da cui:

)ks(Fk

fk1

⇒

τ

)t(f)s(Fe

)t(f)s(Fn

1K

n

1K

αα ⇒

⇒∑∑



Traslazione dell’origine Se F(s) è la trasformata di f(t) , la trasformata f(t-k) con f(t-k)=0 per t>k è:

)s(Fe)kt(f ks−⇒− 3) Derivazione Se F(s) è l trasformata di f(t), la trasformata della derivata di ordine n di f(t) è data da:

)0(f...)0('fs)0(fs)s(Fs)t(f 2n1nnn ++−+− −−−−⇒ ossia:

∑=

+−−−⇒n

1i

1iinnn

n)0(fs)s(Fs

dt)t(fd .

Se f(t) è una serie

Nn )s(F)t(f con

)s(F)s(F)t(f)t(f

nn

0nn

0nn

∈⇒

=⇒= ∑∑∞

=

∞

=

ossia la trasformata di Laplace si ottiene facendo la trasformata di ciascun termine dello sviluppo in serie della funzione originale.



4) Integrazione Se F(s) è la trasformata di f(t), la trasformata dell’integrale di f(t) è dato da:

s)0(f

s)s(Fdt )t(f

1 +−+=∫



5) Teorema del valore iniziale: ( ) )s(Fslim0f

s ∞→

+ =

Il valore iniziale della funzione f(t) nel dominio del tempo, ossia f(0), è uguale al limite per s→∝ della corrispondente trasformata F(s) moltiplicata per s. Teorema del valore finale: ( ) )s(Fslimf

0s→=∞

Il valore finale della funzione f(t) nel dominio del tempo, ossia f(∝), è uguale al limite per s→0 della corrispondente trasformata F(s) moltiplicata per s. (Questa relazione può essere applicata soltanto quando tutte le radici del denominatore di sF(s) hanno parte reale negativa. Questa limitazione esclude dall’applicazione del teorema le funzioni applicate sinusoidali, poiché la funzione sinusoidale ha limite infinito indeterminato.)



Trasformate di Laplace

Tabella di conversione f(t) F(s) 1 1

s1

2 t

2s1

3 ate -

as1+

4 atte -

( )2as1+

5 tsinω 22s ω

ω+

6 tcosω

22ssω+

7 ( )θω +tsin 22scossins

ωθωθ

++

8 ( )θω +tcos 22ssincoss

ωθωθ

+-

9 tsine at ω-

( ) 22as ωω++

10 tcose at ω-

( ) 22asasω++

+

11 tsinhω 22s ω

ω-

12 tcoshω

22ssω-



13

dtdf

( ) ( )+0fssF -

14

n

n

dtfd

( ) ( )---n

1i- 0fssFs 1iinn=Σ

15

∫t

0

d)(f ττ

( )ssF

16 )t-f(t 1

( )sFe st1-

17 )t(fc)t(fc 2211 +

( ) ( )sFcsFc 2211 +

18

( ) ( ) τττ dtff 2

t

01 −∫

( ) ( )sFsF 21



Metodi basati sulla decomposizione Se la funzione trasformata è una funzione razionale:

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0

asa...sasabsb...sbsb

)s(D)s(N)s(F

++++++++

==−

−−

−

dove N(s) e D(s) polinomi nella variabile s e bi e ai numeri reali. Si deve scomporre D(s) per trovare le radici del polinomio:

rmm

2r2

1r1 )s.......()s()s()s(D ααα −−−=

con r1, r2,…,rm ordine di molteplicità dei singoli fattori e

∑=

=m

1ii (s)grado di Dr .

Le soluzioni di N(s) sono gli zeri e le soluzioni di D(s) sono i poli.



La funzione razionale può essere espressa come:

)ps(

)s(N)s(Fi

n

1i−∏

=

=

nel caso di poli

semplici:

n21i

n

1i

psK...

psB

psA

)ps(

)s(N)s(F−

++−

+−

=−∏

=

=

riducendo a denominatore comune si ottiene un polinomio a numeratore in funzione dei parametri A,B,…K ,che deve essere uguale a N(s), e dal confronto si determinano le relazioni per determinare i parametri A, B, …,K, oppure si moltiplica per (s-pi) l’uguaglianza:

ni ps

KKps

Bps

AsF−

+++++−

+−

=pi)-(s.........pi)-(s pi)-(s)( pi)-(s

21e

)( pi)-(s lim sFKipsi

→=



Se i poli sono multipli:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nr

n

nrnn

r

ncon

pspspssD

r

rn2

r

r2

r

r1

11

1n2

1

12

1

11

r

1i

12

21

1

p-s

k.....

p-sk

p-sk

.................................................. p-s

k....

p-sk

p-skF(s)

polinomio del grado n

)(....)()()(

1

++++

++

++++=

=

−⋅⋅−⋅−=

∑

per determinare k11, k12, ….,k1n1 si moltiplica F(s) per il termine di potenza più alto: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

−−

−++

+++=r

2i

n

1jj

j

ijn1n 111-n1,

2n1 12

1n111

n1

r1

11

111

ps

k p-skp-s k

......p-skp-s kF(s) p-s

si esegue quindi il calcolo delle derivate di F(s) sino all’ordine n1-1: F’(s), F’’(s) ,…., Fn1-1(s)



per s=pi il termine che contiene la sommatoria ∑∑i j

si

annulla. Si otterrà:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

=

=

=

→

→

→

2

n1

2

r-n1,

n1

1-n1,

n1n1,

'p-s!2

1limk

...

'p-slimk

'p-slimk

1

11

1

11

1

11

dssFd

dssFd

sF

ps

ps

ps

d) Se i poli sono complessi coniugati:

( )[ ] ( )( )[ ] ( )11111

11111

11

1

11

1

11

11

)(*

)(

*

φωα

φωαωαωα

ωα

ωα

−∠=+−=

∠=−−=

+−+

−−

−=

+=

ksFjsk

ksFjskjs

kjs

k

js

js

La trasformata inversa sarà del tipo:

[ ]( )[ ]( )111

1

1*

1

cos2

Re2

Re2

1

111

1*1

11

φωα

ωαφ

−=

==

==+

−

+−

−−−

tke

eek

ekekek

t

tjj

tststs



Trasformazioni delle relazioni costitutive dei componenti e loro circuiti equivalenti nel dominio di Laplace

Si considerino i diversi componenti distinti in tre categorie: • generatori indipendenti, • componenti senza memoria, • componenti con memoria .

Generatori indipendenti Possono essere generatori di corrente o di tensione caratterizzati dall’avere la grandezza impressa, rispettivamente corrente e tensione, coincidente con una funzione assegnata f(t). Se la f(t) è trasformabile si ha rispettivamente:

Dove le dimensioni di u(t) e di i(t) sono rispettivamente volt e ampere, mentre, in base all’operatore trasformata, le dimensioni di U(s) e I(s) sono rispettivamente volt×secondo e ampere×secondo. Infatti risulta che una trasformata ha le dimensioni della

grandezza originaria moltiplicata per il tempo.

+ +

u(t) U(s)

+

i(t)

+

I(s)

[ ] st

0

F(s) L f(t) f(t) e dt∞

−= = ⋅∫



Componenti senza memoria Le relazioni costitutive di tali componenti non contengono legami di tipo integro-differenziale nel dominio del tempo. Sono componenti senza memoria il resistore, i generatori controllati, il nullore e il trasformatore ideale. Tutte le loro relazioni costitutive possono essere trasferite nel dominio della variabile s senza alcuna modifica, sotto l’ipotesi di linearità e permanenza. I parametri relativi mantengono le dimensioni originarie. Per esempio R=U(s)/I(s) ha le dimensioni di Ω.



Componenti con memoria Tali componenti sono caratterizzati da relazioni costitutive di tipo integro-differenziale. La trasformata di Laplace permette di ridurre tali relazioni a semplici relazioni algebriche. Sono elementi con memoria il condensatore, l’induttore e gli induttori mutuamente accoppiati. Condensatore:

v(o-) rappresenta il valore iniziale della tensione ai capi del condensatore.



Induttore

i(o-) rappresenta il valore iniziale della corrente che percorre l’induttore all’istante iniziale.



Induttori mutuamente accoppiati

dove i1(o-) e i2(o-) rappresentano le correnti iniziali nell’induttore L1 e L2 rispettivamente.

Per i componenti con memoria le relazioni costitutive trasformate sono di tipo algebrico ma non sono omogenee per la presenza dei termini noti relativi alle condizioni iniziali. Le trasformate delle relazioni costitutive dei componenti con memoria convertono le operazione di derivazione e integrazione in operazioni di moltiplicazione e divisione rispettivamente, perciò i componenti fittizi nel dominio di s si comportano come se fossero senza memoria.

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