Elettrotecnica 1 - Principi

G. CHITARIN F. GNESOTTO M. GUARNIERI

A. MASCHIO A. STELLA

LETTROTECNICA

- RINCIPI 2.0

B [Tesla]

1.5

1.

o.

-3000 -2000 -1000 1000 2000 3000

H [A/m]

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G. Chitarin F. Gnesotto M. Guarnieri A. Maschio A. Stella

LETTROTECNICA

1 - PRINCIPI

§;:: ~ SOCIETÀ EDITRICE ~~ ESCULAPID

ISBN 978-88-9385-050-6

Prima edizione: Settembre 2017

Ristampa: Giugno 2018

Responsabile produzione: Alessandro Parenti Redazione: Carlotta Lenzi e Laura Tondelli

Le fotocopie per uso personale ( cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esen1pio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e sinrili) l'editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre un nUinero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso di Porta Ro1nana, n. 108 - 20122 Milano e-mail: [email protected] - sito: http://www.clearedi.org.

------------- -------SOCIETÀ EDITRICE ESCULAPID

40131 Bologna - Via U. Terracini 30 -Tel. 051-63.40.113 - Fax 051-63.41.136

www.editrice-esculapio.it

Prefazione

Questo volume si rivolge agli studenti universitari della Scuola di Ingegneria ed è specificamente orientato agli allievi dei corsi di Laurea Triennale che comprendono un insegnainento di Elettrotecnica o di Teoria dei Circuiti. Il testo, nato dall'esperienza accumulata dagli autori in molti anni di insegnamento accademico, affronta la parte più generale e metodologica dell'Ingegneria Elettrica, trattando in modo integrato i fenomeni elettrici e magnetici e le reti elettriche.

In particolare in questo volume vengono trattati i feno1neni di conduzione, i campi dielettrici e i campi magnetici, stazionari e quasi-stazionari, partendo da rapidi richiami delle leggi fisiche fondamentali, secondo l'approccio deduttivo che, dalle proprietà sperimentali, perviene ai fondainenti della sintesi maxwelliana; nello stesso spirito, i bipoli e i doppi bipoli sono dedotti come 1nodelli di dispositivi fisici, secondo l'approccio "dai campi ai circuiti", evidenziandole caratteristiche e i limiti di applicabilità del "modello reti elettriche". Queste vengono trattate con maggior dettaglio nei regimi stazionario e sinusoidale e, assai più sinteticamente, nel regime comunque variabile.

I metodi e gli strumenti matematici necessari nello studio dei ca1npi e delle reti elettriche si presuppongono noti dai corsi di Matematica e di Fisica. Peraltro, nel testo sono brevemente riprese le proprietà fondamentali dell'elettromagnetismo e quelle del calcolo complesso.

Le proprietà matematiche dei campi scalari e vettoriali, necessari allo studio dei campi elettromagnetici, sono breven1ente richiamate in Appendice A. In armonia con le raccomandazioni degli organismi di unificazione internazionale, le dilnensioni fisiche sono espresse nel Sistema Internazionale di misura (SI), le cui principali unità sono richiamate in Appendice B.

Abbiamo cercato di presentare la materia in mairiera chiara, ma sufficientemente articolata per pern1ettere all'allievo di acquisire il linguaggio ed i 1netodi dell'Elettrotecnica; abbiamo pertanto scelto di evitare un approccio eccessivamente sintetico, che avrebbe finito per banalizzare o rendere oscuri i concetti.

I:articolazione dei capitoli è intesa a facilitare la selezione degli argomenti che il docente desidera operare in funzione del percorso formativo desiderato.

Per gli insegnamenti di Elettrotecnica che comprendono gli argomenti più applicativi, è in corso di preparazione un secondo volume, che tratterà i principali tipi di 1nacchine elettriche: trasformatori di potenza e speciali; convertitori statici;

IV Prefazione

macchine rotanti alimentate in corrente alternata e continua; azionamenti elettrici; infine, verranno trattati i sistemi elettrici di potenza, con attenzione al rapido sviluppo delle fonti energetiche sostenibili e con particolare riferimento agli unpianti elettrici utilizzatori a tensioni inferiori a 1000 V e alle loro problematiche di sicurezza.

Desideriamo infine testimoniare la nostra riconoscenza ai proff. Lorenzo Marenesi, Luciano Merigliano e Gaetano Malesani, che in molteplici forme hanno contribuito a costruire un bagaglio culturale al quale abbiamo ampiamente attinto.

Gli autori

Gli autori ringraziano il collega Daniele Desideri per i numerosi e utilissimi commenti e suggerimenti.

Indice

1 CARICHE ELETTRICHE E CORRENTI ELETTRICHE

1.1 Cariche elettriche ................................................................................................ 1

1.1.1 Densità di carica ............... ....... ...... ....... ....... ....... .................... .................... . 1 1.1.2 Cariche puntiformi ........... ....... ........................... ............. .............. ............. . 2

1.2 Correnti elettriche ................................................................................. .............. 2

1.2.1 Intensità di corrente elettrica ......... .................................. ...... .............. ....... 2 1.2.2 Densità di corrente elettrica .... ....... ........................... ....... ........................... 3 1.2.3 Corrente nei conduttori filiformi ... ........................... ........................... ....... 4 1.2.4 Legge di continuità ........... ....... ....... .................... .............. ...... ..................... 5

1.2.4.1 Campo di corrente solenoidale ............ .............. ................................. 5

1.3 Amperometro ....................................................................................................... 6

2 CAMPO ELETTRICO E TENSIONE ELETTRICA

2.1 Campo elettrico coulombiano .. ....... ....... .................... ....... ....... .......................... . 7

2 .1.1 Legge di Coulomb ........................................................................................ 7 2.1.2 Campo elettrostatico di una carica puntiforme ......... ....... ....... ....... ............ 8 2.1.3 Proprietà del campo elettrostatico .............................................................. 8

2.2 Campo di potenziale elettrico scalare .... ............. .............. ....... ...... .............. ....... 9

2. 3 Campo elettrico .......... ....... ....... ....... ............. ....... ....... .................... .................... . 9

2. 4 Tensione elettrica ......... ............. ....... ....... ............. ....... ....... ....... ...... ................... 1 O

2.4.1 Tensione elettrica e differenza di potenziale ............................................ 11

2. 5 Voltn1etro ............................................................. .................... ....... ....... ............ 12

3.1 3.2

3 INTRODUZIONE ALLO STUDIO DELLE RETI ELETTRICHE

Reti elettriche .................................................................................................... . B. 1· I .. 1po 1 e ettr1c1 ................................................................................................... .

13 14

3.2.1 Proprietà fondamentali .................. .................... ....... ....... ............. ............ 14

VI Indice

3.2.2 Convenzioni per tensione e corrente su un bipala e potenza elettrica scambiata da un bi polo ............... ...... .............. .................... .............. .............. ... 14

3.3 n-poli ........ .. ....................................... ................................................................. 16

3. 3 .1 .Proprietà fondamentali ...... ....... ............. .............. ............. ..................... ... 16 3.4 m-bipoli ............ .................................................................................................. 16

3.4.1 Porta elettrica ............................. ............. .............. ..................................... 16 3.4.2 m-bipolo ..................................................................................................... 17

3.5 Doppi bi poli ....................................................................................................... 17

4 FENOMENI DI CONDUZIONE E RESISTORI

4 .1 Leggi di Ohm e di Joule .............................................. ............. .............. ............ 19

4.1.1 Resistenza elettrica e Legge di O hm ............ ............................................. 19 4.1.2 Effetto Joule ........ .............. ....... ...... .............. ....... ...................................... . 4.1.3 Bilancio energetico e potenza elettrica fon1ita ........................................ .

20 20

4 .2 Resistività e conducibilità dei materiali ....... ....... ............. .............. .................. 21

4.2.1 Classificazione dei 1nateriali .......... ........................................................... 21

4.2 .1.1 Superconduttori ....... ....... ....... ............. .............. ....... ............. ............ 21 4.2.1.2 Metalli ......... .............. .............. ........................................................... 22 4. 2 .1. 3 Soluzioni elettrolitiche ................. ....... ....... .............. ............. ....... .... 2 2 4.2.1.4 Semiconduttori ......... .............. ........................................................... 22 4.2.1.5 Isolanti .......................................... .............. ............. .............. ............ 23

4.3 Relazione costitutiva del campo di corrente 24

4.3 .1 Potenza specifica dissipata ..... ......................................... ......................... 24

4.4 Resistenza di conduttori con geometria particolare ......................................... 25

4.4.1 Conduttore filiforme ................ ......................................... .............. ........... 25 4.4.2 Conduttore cilindrico .............. ....... .................... ....... ....... ......................... 26 4.4. 3 Conduttore sferico ............ ....... ....... ............. ....... ....... ....... ............. ............ 26

4.5 Resistore ......... ............. .............. ....... .................................................................. 27

4.5.1 Resistori lineari ................ ....... ....... ............. .............. ....... ............. ............ 28 4.5.2 Resistori non lineari ......... .............. ........................................ .............. ..... 28

4.6 Dimensionamento termico di un resistore .............................. ......................... 28

• 5 GENERATORI ELETTRICI

5 .1 Forze elettriche specifiche generatrici .......... .................................................... 31 5 .2 Generatori elettrici ...... .............. ....... ...... ....... ....... ....... ............. .............. ............ 31

5.2.1 Comportamento a vuoto dei generatori: forza elettron1otrice ............... ... 32

5.2.1.1 Forza elettromotrice - f.e .m ........... ....... ....... ........................... ....... .... 32

5.2.2 Comportamento a carico dei generatori ...... .............. ....... .............. .......... 33

INDICE VII

5.2.2.1 Resistenza interna ............................................................................. 34

5 .3 Bilanci di potenza dei generatori ...................................................................... 34 5.4 Tipi di generatori elettrici .. .. ............ .. ........... .. ................... .. ........... .. ............ .. .. 35

5. 4 .1 Generatori elettrochimici .. ... ................. .. ..... .. ..... .. ..... ...... ... .... .. ..... ... ... .. ... 3 5 5.4.2 Generatori fotovoltaici .............................................................................. 36 5.4.3 Generatori termoelettrici ... .. .... ... ........... .. ..... .. ..... .. .................. .. .... ... ..... .. .. 36 5.4.4 Generatori piezoelettrici ....................... ....... ............. ....... ....... ....... ........... 36 5. 4. 5 Generatori elettromeccanici .................. ... .... .. ..... .. ........... .. ..... .. ..... ... .... .... 3 6

• 6 BIPOLI, DOPPI BIPOLI E POTENZA ELETTRICA

6.1 Bipoli ..................... ............................................................................................. 39

6.1.1 Introduzione .............................................................................................. 39 6.1.2 Definizione di bipoli elementari .... .................... ....... ....... ............. ............ 40 6 .1. 3 Caratteristica esterna dei bipoli ..... ........................... ....... ............. ............ 41 6.1.4 Bi poli particolari ....... .............. ............. ....... ........................... ................... 42

6.2 Potenza elettrica ......... .............. ....... ............. .............. ....................................... 45

6.2.1 Potenza elettrica scambiata ad una porta ................. ....... ....... .................. 45 6.2.2 Convenzioni delle potenze elettriche .......... ............................................. 45

6.2.2.1 Convenzione degli utilizzatori. ..... .............. ............. .............. ....... .... 46 6.2.2.2 Convenzione dei generatori ... ....... .............. ............. .............. ....... .... 46

6.2.3 Potenza scambiata da un m-bipolo e da un n-polo ......... ....... ....... ....... .... 46

6.2.3.1 Potenza scambiata da un m-bipolo con il resto della rete ..... ...... .... 46 6.2.3.2 Potenza scambiata da un n-polo ... .............. ............. .............. ....... .... 46

6.2.4 Lavoro elettrico ... ... ........... .. ..... ............. .. ..... .. .... .. ............ ... ....................... 47 6.2.5 Wattnletro ........... .................... ....... ....... ....... ...... .................... .............. ...... 48 6.2.6 Contatore ................................ ....... .................... .................... .................... 48

' 7 PROPRIETA GENERALI DELLE RETI ELETTRICHE

7 .1 Introduzione alle reti elettriche ...... ....... ............. .............. ....... ......................... 49 7 .2 Topologia delle reti elettriche ... ...... ....... ........................... ...... ..................... ..... 49

7.3 Leggi di Kirchhoff .............................................................................................. 52

7. 3 .1 Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC) ....... ....... ....... ....... .............. ...... .... 5 2 7. 3. 2 Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT) ................................................... 5 3

7.4 Sistemi di equazioni topologiche ...................................................................... 54

7 .4.1 Sistemi di equazioni LKT indipendenti ................................................... 54 7 .4.2 Sistemi di equazioni LKC indipendenti ................................................... 54 7 .4.3 Numero totale di equazioni topologiche indipendenti ............................ 54

7. 5 Conservazione delle potenze elettriche ........ ....... ....... ............. ....... ............. ..... 5 6

VIII Indice

a 8 RETI IN REGIME STAZIONARIO

8.1 Bi poli in serie .......................................................................... .......................... 5 7

8.1.1 Serie di due bipoli generici ..... ....... ........................................ ................... 57 8.1 .2 Serie di un generatore ideale di tensione e di un resistore ..... ....... .......... 58 8.1.3 Serie di uno o più resistori ...... ....... ............. .. ............ ....... ....... .............. .... 59

8.1.3.1 Partitore di tensione resistivo ........................... ............. .............. ..... 59

8.2 Bi poli in parallelo .................................. .............. .................... ....... ............. ...... 60

8.2.1 Parallelo di due bi poli generici .............................................. ................... 60 8.2.2 Parallelo di un generatore ideale di corrente e di un resistore ...... ...... .... 60 8.2.3 Parallelo di r·esistori ... ............. .. ..... ....... ....... ....... .................... ................... 61

8.2.3.1 Partitore di corrente resistivo ............... ............. ................................ 62

8.3 Reti di resistori: resistenza equivalente ad una coppia di tern1inali ........... .... 62

8.3 .1 Poligoni e stelle di resistori ..... .................... ...... ........................................ 63

8.3.1.1 Formule della trasformazione triangolo-stella ................................. 63 8.3.1.2 Formule della trasformazione stella-triangolo ................................. 64

8.4 Metodi di analisi delle reti lineari .. .................................................................. 64

8.4.1 Metodo della sovrapposizione degli effetti .............................................. 65 8.4.2 Metodo delle correnti di anello .................. ................................ .............. 68 8.4.3 Metodo dei potenziali ai nodi. ...... .............. ...... ..................... ................... 70 8.4.4 Osservazioni ....... ....... ............. ....... ....... ....... ............. .............. ................... 72

8.5 Proprietà delle reti lineari ........ ....... ............. ....... ....... ....................................... 72

8.5.1 Proprietà di sostituzione di un bipolo ........ ....... ....................................... 72 8.5.2 Teoremi dei generatori equivalenti ........................................................... 72

8.5.2.1 Generatore di tensione equivalente (Teorema di Thévenin) ....... .... 72 8.5.2.2 Generatore di corrente equivalente (Teore1na di Norton) ................ 75 8.5.2.3 Osservazioni .......................... .............. .................... ....... ............. ...... 77

8.6 Rendin1ento ed adattamento del carico ......................................... ................... 77

8.6.1 Rendimento di un generatore elettrico ............................ ......................... 77 8.6.2 Massimo trasferimento di potenza ................... .............. .............. ............ 79

a 9 FENOMENI DIELETTRICI E CONDENSATORE

9.1 :?roprietà fondainentali ....... ........................................ ....... ....... ............. ............ 81

9.1 .1 Spostamento elettrico e relazione costitutiva del campo dielettrico ....... 81 9.1.2 Espressioni di D in materiale uniforn1e .................................................... 81 9.1.3 Legge di Gauss .... ....... .............. ...... ....... ....... ....... .................... ................... 82 9.1.4 Polarizzazione e rigidità dielettrica nei materiali isolanti ...... ....... ....... ... 83

9.2 Condensatore .............. ....... .................... ....... ....... ...... .............. ....... ................... 86 9.2.1 Capacità del condensatore ...... ...... .. ............ ....... .............. ...... ... ... ........... .. 86 9. 2. 2 Condensatore piano con dielettrico uniforme .......................................... 8 6 9.2.3 Altri esempi di condensatori ............................. .............. ............. ............ 87

I NDICE IX

9.2.3.1 Condensatore piano con due dielettrici sovrapposti ....................... 87 9.2.3.2 Condensatore piano con due dielettrici affiancati ........................... 88 9. 2. 3. 3 Condensatore cilindrico ..... ..................... .............. ............. .............. . 88 9. 2. 3 .4 Condensatore sferico ... .............. .................................. ....... ....... ....... . 89 9.2.3.5 Linea bifilare ........ ....... ....... ............. ....... ....... .................... ................ 90

9.3 Bi polo condensatore ............................................... ....... ............. ....... ............. ... 90

9.3.1 Definizione di bipolo condensatore .......................................................... 90 9.3.2 Bi polo condensatore in regime stazionario ........................ ...... ................ 93 9.3.3 Carica e scarica del condensatore ................................. ........................... . 93

9.3.3.1 Carica del condensatore con generatore di f.e.m. costante ...... ....... . 93 9.3.3.2 Scarica del condensatore ... ....... ....... ........................... ....... ....... ....... . 95

9.4 Serie e parallelo di condensatori ....... .................... ....... .................................... 96

9.4.1 Condensatori in serie ..................................... .................... ....... ............. ... 96 9. 4. 2 Condensatori in parallelo .......... .. ............ ....... ...... .. ............ ....... ................ 9 7

9.5 Energia elettros tatica ..... ....... ....... ....... ............. ....... ....... .................................... 97

9.5.1 Energia inunagazzinata nel condensatore ........................................ ....... . 97

9.5.1.1 Lavoro assorbito durante la carica ... ....... ............. ....... ....... ....... ....... . 97 9. 5 .1. 2 Rendimento di carica .. ....... ............. ....... ....... ............. .............. ......... 98 9.5.1.3 Lavoro erogato durante la scarica .... .............. .................................. . 99

9.5.2 Densità di energia elettrostatica ........ .............. ....... ....... ...... .............. ....... . 99

9.6 Sollecitazioni n1eccaniche ... ....... ....... .................... ......................................... 100 9. 7 Feno1neni dissipativi nei dielettrici .............................. .................................. 101

9. 7 .1 Perdite dielettriche .............. .................... ....... ....... ............. .............. ....... 1 O 1

9.8 Corrente di spostainento ...... ....... ....... ...... ....... ....... ....... .................... .............. 101

a 1 O FENOMENI MAGNETICI ED INDUTTORI

10.1 Proprietà fondamentali ........... ....... ....... ............. ....... ....... ....... ...... ................. 103

10.1.1 Induzione magnetica ....... ...... ....... ........................... ....... ....................... 103

10.1.1.1 Legge di Biot-Savart ...... .. .............................................................. 104

10.1.2 Flusso di i11duzione ........ ....... ...... .. ............ ....... ....... ....... ....................... 105 1 O .1. 3 Flusso concatenato ......... ....... ....... .................... ....... ....... ...... ................. 106

10.1.3.1 Flusso concatenato con un circuito elettrico .. .............. ....... ....... . 106 10.1.3.2 Flusso concatenato con N spire filiformi ........ ...... ........ ....... ...... .. 106

10.1.4 Legge di Faraday-Nemnann .......... ........................... ....... ....... ............. ... 106

10.1.4.1 Legge di Lenz .......... ....... ....... .................... ....... ....... ...... ................. 108

10.1.5 Campo elettrico indotto ............... ........................... ....... ............. .......... 108

10.1.5.1 Cainpo elettrico ....... .................... ....... ....... ............. .. ............ ....... .. 109

10.1.6 Campo magnetico e relazione costitutiva .. .............. ....... ...................... 109

10.1.6.1 Legge di Biot-Savart per il campo magnetico ............................... 110 10.1.7 Legge di Alnpère ........................... .................... ....... ....... ............. .......... 110

X Indice

10.1. 7 .1 Legge di Ampère-Maxwell ............................................................ 112

10.1.8 Permeabilità magnetica dei materiali ................................................... 113

10.1.8.1 Materiali diamagnetici e materiali paramagnetici ................. ...... 113 1 O .1. 8 .2 Materiali ferromagnetici ........ .............. .............. ........................... 113

10.2 II1duttori ......................................................................................... ............... . 118

10.2.1 II1duttore isolato - autoinduttanza ................................... .............. ....... 118 10.2.2 Induttore toroidale ........................................................................ ........ 119 10.2.3 mduttori con altre configurazioni di campo 1nagnetico ......... ....... ...... 120

10.2.3.1 mduttori solenoidali infiniti o lunghi ..................... .............. ....... 120 10.2.3.2 Solenoide corto ....................................................... .............. ........ 122 10.2.3.3 Conduttore cilindrico massiccio ........................ .................... ....... 122 10.2.3.3 Linea bifilare ................................................................................. 123

10.2.4 Mutuo lllduttore ................................................................................... . 124

10.2.4.1 Flussi concatenati totali ........................................... .............. ....... 126

10.3 Bi polo e doppio bi polo induttore ................................................................. . 126

1 O. 3 .1 Definizione di bi polo induttore ............ ............. .............. ..................... 126 10.3.2 Definizione di doppio bipolo induttore ................................................ 128 10.3 .3 mduttori in regime stazionario ............................................................. 129 10.3.4 Carica e scarica dell'induttore .............................................................. 129

10.3.4.1 Carica dell'i11duttore .............. .............. .............. ...... .............. ....... 129 10.3.4.2 Scarica dell'lllduttore ........................... .............. ........................... 131

10.4 Jla.rallelo e serie di induttori ................................ ......................................... . 132

1 O .4.1 II1duttori in pai~allelo ............................................................................. 13 2 10.4.2 Induttori in serie ............................ ............................................... ........ 133

10.5 Energia magnetica ....... ............. .............. ....... ........................................ ........ 134

10.5.1 Energia immagazzinata nell'induttore isolato ...................................... 134

1 O. 5 .1.1 Lavoro assorbito durante la carica ............... ................................. 13 4 10.5.1.2 Lavoro erogato durante la scarica .. .............. ................................. 134

10.5 .2 Energia magnetica di due induttori ................................................ ...... 135

10.5.2.1 Energia 1nagnetica di n induttori ................................................. 136

1 O. 5 .3 Densità di energia magnetica ................................................................ 136 10.5.4 Perdite per isteresi ............. ............. ....... ................................................ 138

10.5.4.1 Formula di Steinmetz .............................................................. ...... 139

10.6 Sollecitazioni meccaniche negli induttori. ................................................... 139

1 O. 6 .1 Solenoide rettilineo ............................................................................... 140 10.6.2 Conduttori rettilinei indefiniti (linea bifilare) ..... .................... ....... ...... 140

• 11 CIRCUITI MAGNETICI

11.1 Tubi di flusso dell'induzione magnetica ................................ ....................... 141

11.1.1 Tubo di flusso ................. ....................................................................... 141

INDICE Xl

11.2 Riluttanza dei tubi di flusso di B .................................................................. 142

11. 2 .1 Tensione magnetica ............................................. .. ........... ... ........... .. ..... 142 11.2.2 Riluttanza di un tubo di flusso ............................................................. 142 11.2.3 Riluttanza di tubi di flusso chiusi: legge di Hopkinson e induttanza di un induttore ............... ....... ....... ....... ............. ....... ......................................... 143

11. 3 Nucleo ferromagnetico .................................................................................. 144

11.3.1 Utilizzo dei 1nateriali ferromagnetici .................. .............. .................... 144 11.3.2 Traferro .. .............. .............. .............. .................... ....... ....... ...... ....... ....... 145

11.3.2.1 Rifrazione del campo magnetico .. ........ ...... ........ ...... .............. ...... 146 11.3.2.2 Riluttanza del traferro ........................... .. ..... .. ..... ...... .. ............ .. .... 147 11.3.2.3 Energia magnetica nel traferro ...................................................... 147 11.3.2.4 Pressione magnetica al traferro ..................................................... 147

11.4 Circuiti 1nagnetici ...................... .. ..... ...... ... ........... .. ..... .. ............ .. .... .. ............ 148

11.4.1 Leggi dei circuiti magnetici. .................................................................. 149

11.4.1.1 Legge di Ohm per i circuiti magnetici .......................................... 149 11.4.1.2 Legge di Hopkinson - forza magnetomotrice ................................ 149 11.4.1.3 Prima legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici ......................... 149 11.4.1.4 Seconda legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici .................... 150 11.4.1.5 Analogie tra circuiti elettrici e magnetici .......... ........................... 150

11.4.2 Analisi dei circuiti magnetici .. ....... ........................... ............. .............. 151

11.4.3 Circuiti n1agnetici con magneti permanenti ......................................... 151

11.4.3.1 Analisi di un circuito con magnete permanente ...... .................... 152

a 12 PRINCIPI DI ELETTROMECCANICA

12.1 Forza elettro1notrice mozionale .................................................................. ... 155

12.1.0.1 Forza elettrica specifica 111ozionale ........................ ....................... 155

12.1.0.2 Forza di Lorentz ................................................................... .......... 156

12.2 Forze ponderomotrici elettrodinamiche ....................................................... 156

12.2.0.1 Interazione tra can1pi di induzione magnetica e di corrente ....... 156 12.2.0.2 Interazione tra induzione e corrente filiforme: legge dell'interazione elementare elettromagnetica ............................................ 157

12.3 Principi di conversione elettron1eccanica .................................................... 157

12.3.0.1 Bilanci di potenza nei conduttori filifornri .... .............................. 158

12.4 Schen1a di n1acchina elettrica lineare ........ .............. .................... .............. ... 159

13 FUNZIONI SINUSOIDALI E FASORI

13.1 Fu.nzioni sinusoidali . .. ..... .. ..... .. ..... ...... .. ..... .. ..... .. ..... .. .................. .. ............... 161

13.1.1 Valore medio in una semionda .... ...... .................... ............................... 162 13.1.2 Valore efficace ................ .. ..... .. ..... .. ........... .. ..... ... .... .. ..... .. ........... .......... 162

Xli Indice

13.1.3 Fattore di forma .................................................................................... . 163

13.2 Funzioni sinusoidali isofrequenziali ..... ....... .......................... .............. ........ 163 13.3 Trasformata di Steinmetz - fasori. ................. ................................................ 164

13. 3 .1 Definizione di fasore ............................................................................. 164

13.3.1.1.Precisazioni .. ..... .. ..... .. ..... ........................................ .. ............ .. ...... 165 13.3.1.2 Espressioni dei fasori .................................................................... 165 13.3.1.3 Rappresentazione grafica dei fasori. ............................................. 166

13.3.2 Operazioni fondamentali sui fasori ...................................................... 167

13.3.2.1 Somma ........................................................................... .. ............. . 167 13.3.2.2 Prodotto per uno scalare k .................. ....... .............. .................... . 168 13.3.2.3 Prodotto per l'im1naginario jro ............................................................ 169 13.3.2.4 Osservazioni .................................................................................. 170

13. 3. 3 Al tre operazioni su sinusoidi e su fasori. ............................................. 170

13.3.3.1 Prodotto di un fasore per il coniugato di un secondo fasore ....... 170 13.3.3.2 Rapporto tra fasori, operatori complessi ........... ...... .............. ....... 171

13.4 Uso dei fasori nell'analisi delle reti in regime sinusoidale .......................... 171

13.4.1 Diagrainma fasoriale ... .......................... .............. ............. ..................... . 172

• 14 RETI IN REGIME SINUSOIDALE

14.1 Generalità .................. .. ............ .. .................. ... .... .. ..... ............. .. ............ .. ........ 173 14.2 Bipala in regime sinusoidale e potenza ........................................................ 174

14.2.1 Tensione, corrente e sfasamento ......... .................................................. 174 14.2.2 Potenza istantanea scainbiata ad una porta .......................................... 175 14.2.3 Potenza attiva (reale} ............. .. .............................................. .. .............. 176 14.2.4 Potenza apparente, potenza reattiva e fattore di potenza ........... ......... 176 14.2.5 Potenza complessa ................. .. ..... .. ......................... .. ..... ............. .. ........ 177

14. 3 Strumenti di misura in regime sinusoidale ....... .................... ....... ................ 178

14.3.1 Strwnenti a valore efficace ................................................................ ... 178

14. 3 .1.1 Voltmetro a valore efficace .......... ....... ....... .................................. .. 17 8 14.3.1.2 Amperometro a valore efficace .... ...... .............. ....... ....... ....... ...... .. 178

14.3 .2 Strmnenti misuratori di potenza e lavoro elettrico .............................. 178

14.3.2.1 Wattmetro a valore medio .................. ........................................... 178 14.3.2.2 Determinazione della potenza apparente ...................... ....... ....... . 179 14.3.2.3 Determinazione della potenza reattiva ..... ............. ..................... .. 179 14.3.2.4 Contatore ................ .. ..... .. ..... .. .................. ....... .. ..... ...... .. ............... 179

14.4 Bipoli ideali in regime sinusoidale ............................................................... 180

14.4.1 Generatori ideali in regime sinusoidale .... .................... ....... ................ 180

14.4.1.1 Generatore ideale di tensione sinusoidale ................................... 180 14.4.1.2 Generatore ideale di corrente sinusoidale .................................... 180

INDICE Xlii

14.4.2 Bipoli passivi ideali in regime sinusoidale .......................................... 181

14.4.2.1 Resistore ideale passivo ................................................................ 181 14.4.2.2 Induttore ideale .. ............ ............................................................... 182 14. 4 .2. 3 Condensatore ideale ...................................................................... 18 3

14.5 Impedenza .......... .. ........... .. ..... .. ......................... .. ..... ... ........................ .......... 186

14.5.0.1 Potenze assorbite da un bipala di iI11pedenza Z .................................... 187 14.5.0.2 Impedenze dei bipoli passivi ideali ......... .............. ....... ................ 187

14.5.1 Ammettenza .......................................................................................... 187

14.5 .1.1 Ammettenze dei bi poli passivi ideali. .......................................... 188

14.6 Leggi di Kirchhoff in forma sin1bolica .......................................................... 189

14.6.1 Legge di Kirchhoff ai fasori delle correnti - LKC ..... ....... ....... .............. . 189 14.6.2 Legge di Kirchhoff ai fasori delle tensioni - LKT .... ....... ....... ....... ....... . 189

14.7 Reti di bipoli passivi ...................................................................................... 190

14.7.1 Serie di bipoli passivi ............................................................................ 190 14.7.2 Parallelo cli bipoli passivi ...................................................................... 191 14.7.3 Triangoli e stelle di bipoli passivi. ........................................................ 192

14. 7 .3 .1 Formule della trasformazione triangolo-stella ............................. 193 14. 7.3.2 Formule della trasformazione stella-triangolo ....... ............. ......... 193

14. 7 .4 Sintesi serie e sintesi parallelo di bi poli passivi ..... ....... ....... .............. . 194

14. 7 .4.1 Sintesi serie ................................................................................... 194 14.7.4.2 Sintesi parallelo ............................................................................ 195

14.8 Rete siinbolica ........... ........................... ............. .. ..... .. ..... .. ........... .. ............ .. . 196 14.9 Conservazione delle potenze complesse .... ....... ....... ............. ....... ....... ......... 198 14 .1 O Metodi e teoremi della rete silnbolica ........................................................ 199

14.1 O .1 Metodi di analisi della rete simbolica ..... .............. ....... ....... ............... 199

14.10.1.1 Metodo della sovrapposizione degli effetti ... ....... ....... .............. . 199 14.10.1.2 Metodo delle correnti di anello .................................................. 199 14.1 O .1. 3 Metodo dei potenziali ai nodi. ......... .............. ....... ....... ............... 200

14.10.2 Teoremi per la rete siinbolica ..... ......................................................... 200

14.10.2.1 Proprietà di sostituzione silnbolica ............................................ 200 14.1 O. 2. 2 Teore1na di Thévenin simbolico ................................................. 200 14.10.2.3 Teorema di Norton siinbolico .......... .................... ....... ....... ......... 201

14.11 Comportamento in frequenza e risonanza elettrica ...... ....... ............. ......... 202

14.11.1 Riso11anza serie .................................................................................... 202

14.11.1.1 Co1nportamento iI1 frequenza .......... ....... ....... ....... ...... .............. .. 202 14.11.1.2 Funzionamento in risonanza .... ....... ...... .............. ....... ................ 204

14.11.2 Risonanza parallelo o antirisonanza ................................................... 205

14.11.2.1 Co1nportamento iI1 frequenza .......... ....... ....... ....... ...... .............. .. 205 14.11. 2 .2 Funzionamento in antirisonanza ..... ...... .............. ....... ....... ......... 207

14.12 Nuclei ferromagnetici in regime sinusoidale ........ .............. ....... ................ 208

XIV Indice

14.12.1 Correnti parassite ............................................................................... . 208

14.12.1.1 Nuclei di lamierini ........ ....... ....... ................................................ 210

14.12.2 Induttori con nuclei ferromagnetici .............................. ..................... 211

14.13 Mutui induttori in regime siI1usoidale ...................................................... . 212 14.14 Effetto pelle ............... .............. ...... .................... .............. ............. .. ............. . 213

14.14.1 Analisi se1nplificata ........ ... .... ............. .............. ............. ....... .............. . 214

15 RETI TRIFASI

15.1 Generalità .................. .............. ....... ...... .............. ....... ............. .............. .......... 217

15.1.1 Definizioni ........................................................ ..................................... 217 15.1.2 Terne trifasi e reti trifasi .............................................................. .......... 218

15.1.2.1 Terne simmetriche cli f.e.m . ........ ....... ....... .............. ............. ......... 218 15 .1.2. 2 Collegamenti generatori-utilizzatori .. ............. ....... ....... ................ 219

15 .1. 3 Terne di tensioni trifasi .. ....... ....... ........................................ ................. 221

15.1 .3.1 Terne di tensioni di fase o stellate ..... .............. ....... .............. ........ 221 15.1 .3.2 Terne di tensioni di linea o concatenate ...................................... 221 15.1 .3.3 Relazioni tra tensioni stellate e concatenate ......... ....................... 222

15.2 Generatori e carichi trifasi ..... ....... ....... ........................................ ................. 223

15.2.1 Generatori trifasi ............ ....... ...... .. ............ ....... .............. ...... ................. 223

15.2.1.1 Generatori trifasi con collegamento a stella con neutro ............. . 223 15.2.1.2 Generatori trifasi con collegamento a stella senza neutro ........... 223 15.2.1.3 Generatori trifasi con collegamento a triangolo ............ ............... 224

15.2.2 Car-ichi o utenze trifasi ... ....... ...... .............. ....... ........................... .......... 224

15.3 Terne di correnti ................................................ ....... ............. .............. .......... 225

15.3 .0.1 Terne di correnti di linea ..... ........................... ....... ....................... 225 15.3 .0.2 Terne di correnti delle fasi interne .... ............. ....... ....... ................ 225 15.3 .0.3 Relazioni tra terne di corrente ........... ....... ....... ....... ....... ....... ........ 226

15.4 Analisi delle reti trifasi simmetriche ed equilibrate ...... .............. ............. ... 227

15.4.0.1 Reti a quattro fili: collegamenti a stella con neutro di

generatore e carico (Yn-YnJ ....... ....... ....... ....... .................... ....... ....... ....... .. 227

15.4.0.2 Reti a tre fili: collegamenti a stella di generatore e carico (Y-Y) .. 228 15.4.0.3 Reti a tre fili: collegamenti a triangolo di generatore e carico (D-DJ ............ ....... .............. ...... ....... ....... ........................... ................. 229 15.4.0.4 Reti a tre fili: collegainento a triangolo del generatore e a stella del carico (D-Y) ......................... ....... ....... .................... ....... ....... ....... .. 230 15.4.0.5 Reti a tre fili: collegainento a stella del generatore e a triangolo del carico (Y-D) ...... ............. ....... ....... ....... ............. .............. ....... .. 230

15 .4 .1 Rete ridotta monofase ............ ....... ........................... ....... ....................... 2 31

I NDICE xv

15.5 Potenza nei sistemi trifasi ............................................................................. 232 15.5.1 Sistemi a quattro fili .............................................................................. 232

15.5.1.1 Potenza istantanea trifase .......... ....... ......................................... ... 233 15.5.1.2 Potenze attiva, reattiva, apparente e co1nplessa trifasi ................ 234

15.5.2 Sistemi a tre fili .. ..... .. .................. .. ............ ........................... ................. 234

15.6 Rifasamento del carico .................................................................................. 235

• 16 RETI IN REGIME VARIABILE

16.1 Generalità ..... .. ........... .. ............ .. ..... ...... ... .... .. ..... .. ..... ..................................... 239 16.2 Istante critico e condizioni iniziali ............................................................... 239 16.3 Equazione differenziale ingresso - uscita ..................................................... 240 16.4 Soluzione dell'equazione omogenea ...................................... ....... ................ 242

16. 4. O .1 Equazione caratteristica ....... ........................... ....... ....................... 242 16.4.0.2 Modi naturali del circuito ........... ....... ....... ............. ..................... .. 243 16. 4. O. 3 Frequenze generalizzate naturali .................................................. 244 16.4.0.4 Costanti di tempo ... ....................................................................... 244

16.5 Soluzione particolare .................................................................................... 245

16.5.0.1 lng:I'esso Cisoidale ... ...... ....... ....... ....... .................... ....... ....... ....... .. 245 16. 5. O. 2 Trasformata Cisoidale ... ....... .................... ....... ....... ....................... 246 16.5.0.3 Funzione di trasferimento .... .. ................. ... ..... .. .... .. ..... ... ........... .. . 247 16.5.0.4 Soluzione particolare nel caso di più ingressi ............................. 248

16.6 Soluzione completa della rete ....... ...... .............. ....... ....... ....... ...... ................. 249 16. 7 Esempio di soluzione di reti in regune variabile ............ ....... ....................... 249

16.7 .1 Generatore di tensione sinusoidale con carico ohmico-induttivo ....... 249 16.7.2 Generatore di tensione costante con carico ohinico-capacitivo--induttivo ................... .. ..... .. ........... .. ..... .. ..... .. ..... ........................... ................. 251

16. 7 .2.1 Caso sovrasmorzato ..... .................................................................. 253 16.7.2.2 Caso criticamente smorzato .......................................................... 254 16. 7. 2. 3 Caso sottosmorzato .............. ....... ....... .................... ....... ....... ....... .. 25 6

• APPENDICE A RICHIAMI DI ANALISI VETTORIALE

A.1 Cainpi scalari e vettoriali ......... .. ..... ...... ... ........... .. ..... .............. ...... .. ............... 259 A.2 Regione di definizione ............. .. ..... .. .... ... ........... .. ..... .............. ...... .. ............... 259

A. 2 .1 Geo1netria delle regioni .... ...... ....... ........................... ....... ....................... 2 5 9

A. 2 .1.1 Regioni connesse ..... ....... ....... ........................... ....... ...... ................. 260 A.2.1.2 Regioni a connessione lineare semplice .... ............. ....... .............. .. 260 A.2.1.3 Regioni a connessione superficiale semplice ......... ....... ....... ....... .. 260

A.2.2 Superfici di livello e linee vettoriali .. .................... ....... ....... ............. .......... 261

XVI Indice

A.2.2.1 Superfici di livello ........... ... ..... .. .... .. ...... .. .... .. ..... ... ........... .. ............ 261 A.2.2.2 LiI1ee vettoriali ........... ... .... .. ........... ... ........... ................................... 261

A.3 Operazioni algebriche ed integro-differenziali. ... .............. .................... ........ 262

A.3.1 Prodotto interno ed esterno .................................................................... 262 A.3.2 Derivata direzionale di un campo scalare ... .............. ............................ 262 A.3.3 Integrale di linea e circuitazione di un campo vettoriale ..................... 263 A.3.4 Flusso e flusso uscente di Uil cainpo vettoriale ... ....... ....... .............. ...... 263 A.3.5 Integrale di vollillle di un campo scalare ............. ....... ...... .............. ....... 264 A.3.6 Regola della vite destrogira ............. ....... ...... .............. ....... ............. ........ 264

A.4 Operatori differenziali .... ........... .. ..... ... ........... .. ........................ ... ........... .. ..... . 264

A.4.1 Gradiente di un campo scalare .............................................................. 264 A.4.2 Rotore di un campo vettoriale ......... ....... ....... ............. .............. .............. 265 A.4.3 Divergenza di un campo vettoriale ........................................................ 265 A.4.4 Laplaciano di un campo scalare e di un campo vettoriale .................... 267 A. 4. 5 Operatori differenziali del secondo ordine .... ....... ....... .................... ...... 2 68

A.5 Operatore Nabla .............................................................................................. 269 A.6 Identità notevoli .............................................................................................. 269

A.6.1 Identità differenziali .......... .. ............ .. ..... ... ..................................... ... ..... 269 A.6.2 Identità integrali ... .. ................. ... ..... .. .... .. ..... ... ........... ... .... .. ........... ... ..... 2-70

A.6.2.1 Teorema del gradiente .................... ... .... .. .................. ... .... .. ..... ....... 270 A. 6 .2. 2 Teorema del rotore ( di Stokes) ....................................................... 2 70 A.6.2.3 Teorema della divergenza (di Gauss) ........... ....... ...... ....... ....... ....... 270 A.6.2.4 Integrale di vollillle del prodotto interno (v00,isxv.0 i) ......... ....... ..... 270 A.6.2.5 Variazione temporale del flusso attraverso una superficie in movin1ento .... ...... .............. ............. ....... ....... ....... ...... ....... ........ ...... ....... ....... 271

A.7 Campi con proprietà notevoli ......................................................................... 271

A. 7 .1 Campi conservativi e campi irrotazionali. ..... ....... ..................... ....... ..... 271 A.7.2 Campi conservativi del flusso e campi solenoidali ................... ....... ..... 272 A.7.3 Campi irrotazionali e solenoidali ..... .................... ....... ....... ....... ............. 273 A.7.4 Campi vettoriali generici - Teorema di decomposizione { di Clebsh-Helmholtz) .... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ....... .............. ...... .............. 273

A. 8 Equazioni cli Poisson e Laplace ...................................................................... 2 7 4

A .8.1 Equazione di Poisson scalare ........... .. ......................... .. ..... .. ..... .. ..... .. .... 274 A.8.2 Equazione di Poisson vettoriale ....... ............. .............. ....... ....... ....... ...... 274 A.8.3 Equazione di Laplace scalare e vettoriale .............................................. 275

A. 9 Concetti topologici ........ ... .... .. ..... .. ..... ...... .. ..... .. ..... ... ... ... ............ ... ................. 2 7 5

A. 9.1 Mezzi che occupano la regione \R ................................................................ 275 A .9.2 Tubi di flusso di un campo vettoriale solenoidale ................................ 276

A.9.3 Rifrazione ............ .. ..... .. ..... .. ........... ... .... .. ..... .. ..... ...... ... .... .. ...... .. .... .. ..... ....... 277

A.9.9.1 Rifrazione di un campo solenoidale ed uno irrotazionale ................. 277

I NDICE XVII

a APPENDICE B SISTEMA DI MISURA INTERNAZIONALE-SI

B.1 Unità fondamentali .................................................... ............. .............. .......... 281 B.1.1 Unità derivate ..... .............. .............. .................... ....... ....... ...... ....... .......... 282 B.1.2 Multipli e sottomultipli ... ....... ...... .............. ....... .............. ....................... 282

a APPENDICE C ALFABETO GRECO

C.1 Alfabeto Greco ............ .............. ....... ........................... .................... ................. 285

a INDICE ANALITICO

Indice analitico .... .................... .............. ............. ....... ...... .............. ....... ................. 287

Capitolo

CARICHE ELETTRICHE E CORRENTI ELETTRICHE

1.1 CARICHE ELETTRICHE

Le cariche elettriche consentono di descrivere le forze di interazione che si 1nanifestano tra corpi solidi ( o particelle) attribuendo a ciascuno di essi una ca1ica elettrica q. Poiché queste forze (dette elettrostatiche o coulombiane) sono di attrazione oppure di repulsione, si considerano due tipi di cariche elettriche: quelle positive q+ (rappresentate da un numero positivo: q+ > O) e quelle negative q- (rappresentate da un numero negativo: q-< O); cariche di segno uguale si respingono, cariche di segno opposto si attraggono. La forza su ciascun corpo è legata alla quantità di carica co1nplessiva in esso contenuta, pari alla som1na algebrica delle cariche positive e negative: q= q+ + q-. Nel Sistema Internazionale di misura (SI) le cariche elettriche hanno dilnensione fisica di coulomb [C], pari ad ampere per secondo [A s].

A livello microscopico le cariche elettriche assumono valori discreti, risultando 1nultiple della carica elementare che vale e - 1,6021 · 10-19 C (corrispondente alla carica del protone e al modulo della carica dell'elettrone).

1.1.1 Densità di carica

Come la massa, la carica può essere considerata, a seconda dei casi, concentrata (puntiforme) o distribuita in un volume o su una superficie. Si definisce densità volumica di carica Pc (in un punto P) il lilnite del rapporto tra la carica q e il volume ,: che la contiene (Fig. 1.1.1 .1):

+ + -Pc(P,t) = li1n q = liln q q

. ~-> () 't ·'t-> o 't (1.1.1 .1)

Analogamente, si definisce densità superficiale di carica c;c (in un punto P) il rapporto tra la carica q e l'area della superficie S che la contiene (Fig. 1.1.1.2):

+ -c;c(P,t) = li1n q = lim q + q

S->OS S->0 S (1.1.1.2)

Poiché sia Pc che c;csono funzioni di P, esse sono rappresentabili come campi scalari.

2 Capitolo 1

Figura 1.1.1.1 Figura 1.1.1.2

1.1.2 Cariche puntiformi

Se una carica elettrica è contenuta in un volume avente dimensioni lineari trascurabili rispetto alla distanza tra la carica stessa e tutte le altre cariche, è lecito considerare tale carica come carica localizzata in un punto q(P, t).

1.2 CORRENTI ELETTRICHE

Le cariche elettriche che possono fare spostamenti 1nacroscopici e dare luogo a separazioni macroscopiche di carica sono dette cariche libere. Esse sono presenti (come cariche positive o negative) in tutti i materiali (solidi, liquidi o gassosi) in misura maggiore o 1ninore. Si possono considerare qui11di la carica libera q1, la densità di carica libera volumica p, e superficiale crr

Il moto delle cariche elettriche libere dà luogo a correnti elettriche. Si distinguono due tipi fondamentali di correnti elettriche: quelle di conduzione e quelle di convezione.

Le correnti elettriche di maggiore interesse sono le correnti di conduzione. Esse si manifestano nei materiali solidi quando le cariche libere, non essendo vincolate, possono muoversi all'interno del reticolo cristallino.

Le correnti di convezione sono dovute a portatori di carica (corpi o particelle elettricamente carichi) che si 1nuovono portando con sé anche le cariche elettriche su essi depositate. Queste possono essere libere o meno. Correnti di convezione possono prodursi in particolare nelle soluzioni elettrolitiche per il moto di ioni (particelle elettricamente cariche).

Nei gas, in opportune condizioni di temperatura e di pressione, le molecole possono essere ionizzate, cioè scisse in ioni positivi ed elettroni; questi portatori di carica si possono mettere in moto producendo una corrente di convezione e ulteriori ionizzazioni.

1.2.1 Intensità di corrente elettrica

Considerata una superficie S orientata dal versore nor1nale n , l'intensità di corrente elettrica (o corrente elettrica) è pari al rapporto tra la carica netta tlq = tlq+ + tlq- che transita attraverso S nel verso di n (Fig. 1.2.1.1) e l'intervallo di te1npo tlt in cui il transito è avvenuto:

CARICHE ELETTRICHE E CORRENTI ELETTRICHE 3

i(t} = lim t:,. q = dq .ol40 t:,.t dt

(1.2.1.1}

La corrente elettrica è una grandezza scalare con carattere integrale, in generale variabile nel tempo e, a parità di moto delle cariche, dipende dalla superficie S e dalla sua orientazione (dal versore normale n}; in particolare invertendo l'orientazione (sostituendo n con -n) il nun1ero reale che la esprime inverte il proprio segno.

Figura 1.2.1.1

La corrente elettrica ha dilnensione fisica di ampere [A], che è grandezza fondamentale del SI (si veda l'Appendice B).

1.2.2 Densità di corrente elettrica La descrizione locale (in ogni punto P ed in ogni istante t} del moto delle cariche

è fornita dal vettore densità di corrente elettrica J(P, t}. Considerando che, in generale, le cariche di segno opposto si muovono di moto diverso tra loro (la densità di carica positiva Pc+ con una sua velocità vP+ e la densità di carica negativa Pc- con una sua velocità vr-), la densità di corrente elettrica è data dalla seguente sonuna vettoriale:

(1.2.2.1)

Il vettore J(P, t}, essendo funzione del punto P, costituisce un campo vettoriale detto campo di corrente. Il suo modulo ha dimensione fisica di coulomb su secondo su metro quadro, vale a dire di ampere su metro quadro [A/m2

).

Dato che le cariche dei due segni hanno, in generale, velocità diversa, la densità di corrente può essere non nulla anche nei punti in cui è nulla la densità di carica: Pc= Pc+ +Pc- = O. Ad esempio nei metalli, anche se elettricamente neutri, si inanifesta corrente elettrica quando in essi migrano gli elettroni liberi 1nentre restano ferini i nuclei, dotati di carica positiva e legati al reticolo cristallino assieme agli elettroni ad essi legati. Invece nelle soluzioni elettrolitiche e nei gas ionizzati, pur elettricamente neutri, la corrente elettrica è dovuta sia agli ioni positivi che agli ioni negativi, che si muovono con velocità diverse.

4 Capitolo 1

Si può dimostrare che la corrente i(t) attraverso la superficie S orientata da n rappresenta il flusso della densità di corrente attraverso tale superficie (Fig. 1.2.2.2):

i (t) = J J · n dS s

(1.2.2.2)

Il J

s dS

Figura 1.2.2.2

1.2.3 Corrente nei conduttori filiformi

Spesso il moto delle cariche elettriche avviene in volumi conduttori' filifonni, caratterizzati da una dilnensione geometrica (la lunghezza e, Fig. 1.2.3.1) molto maggiore delle altre due (che si considerano trascurabili). In essi il vettore densità di corrente / può essere considerato parallelo al versore t (tangente punto per punto nel conduttore). Scegliendo una sezione di misura Sin modo che il relativo versore nonnale n coincida con t, otteniamo che la corrente i attraverso la sezione S del conduttore, orientata da t, vale:

i =JS , 1 J =- t s (1.2.3.1)

(scegliendo il versore t con verso discorde rispetto a / , risulta ovviamente i= - JS ). Il versore t che indica il verso di misura prende il nome di riferimento di corrente.

t

s

o Figura 1.2 .3.1

1 I 1nateriali conduttori (quali sono i metalli e le soluzioni elettrolitiche) saranno descritti nel Capitolo 4.

CARICHE ELETTRICHE E CORRENTI ELETTRICHE 5

1.2.4 Legge di continuità

La definizione (1.2.1.1) è valida anche per superfici chiuse Se. Con riferin1ento al volume ,: racchiuso dalla superficie chiusa Se, per il principio di conservazione della carica elettrica la carica t.q,,.c che esce da ,: nell'intervallo t.t, transitando attraverso Se, è uguale alla conte1nporanea diminuzione della carica contenuta in ,:: t.q""" =-t.qioL' Utilizzando la ( 1. 2 .1.1) possiamo dunque esprimere la legge di continuità in for1na integrale:

· _ dqusc _ dqiot 1 - ~= - -~~ use dt dt (1.2.4.1)

Per la (1.2.2.2) la corrente uscente i use è pari al flusso di/ attraverso Se; app licando anche il teorema della divergenza si deduce che:

i""° = J. J · n••L dS = f div] d,: 'fs,. ~ (1.2.4.2)

dove n.,.1 è il versore nonnale uscente dalla superficie Se. Inoltre, se la carica qillL è

distribuita in ,: con la densità volumica Pc, si ha qwL = tp0d-c e quindi il terzo mem

bro della (1.2.4.1) può riscriversi come:

- dqu,L = _ _!J p d,: = f- ape d't dt dt ' e • at

(1.2.4.3)

uguagliando le (1.2.4.2) e (1.2.4.3) si deduce la legge di continuità in forma locale:

div]=- òpc at

(1.2.4.4)

Questa mostra come il campo vettoriale della densità di corrente e il campo scalare della densità di carica non siano indipendenti l'uno dall'altro; in particolare il primo diverge o converge ("nasce" o "muore") nei punti in cui il secondo varia nel tempo (diminuisce o aumenta rispettivamente); questi punti sono detti anche sorgenti o pozzi del cainpo di corrente.

1.2.4. 1 Campo di corrente solenoidale

Dalla (1 .2.4.4) si deduce che, se il campo della densità di carica Pc è costante nel tempo, il camp o di corrente è solenoidale (ha divergenza ovunque nulla):

div/ = O (1.2.4.5)

In particolare questa proprietà è verificata iI1 condizioni stazionarie ( quando è costante nel tempo anche il campo / , oltre che p

0J e nelle regioni dove la densità di

carica elettrica è nulla Pc = Pc++ Pc- = O. Un cainpo di corrente solenoidale ha linee vettoriali prive di sorgenti e di pozzi:

perciò esse sono chiuse. Un tale campo gode di proprietà fondamentali che saranno illustrate nel seguito.

6 Capitolo 1

a 1.3 AMPEROMETRO I.;intensità di corrente elettrica nei conduttori filiformi viene misurata con lo

strumento detto amperometro, che co1nprende due morsetti e un visualizzatore; esso viene rappresentato con il simbolo di Figura 1.3. la. I due morsetti sono inarcati diversainente: uno col segno + (o con il colore rosso) e l'altro col segno - (o con il colore nero) . La connessione al conduttore del quale si intende misurare la corrente elettrica viene effettuata tagliando il conduttore in una sezione S (Fig. 1.3.lb) e connettendo ciascuno dei due capi così creati ad uno dei morsetti; per una corretta lettura del segno della corrente, il versore t deve entrare nel morsetto contrassegnato + e uscire dal morsetto contrassegnato - (Fig. 1.3.lc). Il visualizzatore ( che può essere una lancetta mobile lungo una scala graduata, un display digitale, uno schenno oscilloscopico, ... ) indica la corrente, che deve intendersi relativa alla sezione S del conduttore con il riferilnento di corrente t che va dal morsetto + al morsetto - .

I.;amperometro si dice ideale se non modifica l'intensità di corrente relativa alla sezione in cui è inserito, cioè non ostacola minilna1nente il 1noto delle cariche elettriche. Inoltre esso indica, istante per istante, l 'intensità di corrente in valore e segno, per quanto rapidainente essa vari.

a) b)

t

Figura 1.3.1

Capitolo

CAMPO ELETTRICO E TENSIONE ELETTRICA

2.1 CAMPO ELETTRICO COULOMBIANO

Il comportamento di un materiale inserito in 1111 campo vettoriale viene caratterizzato dalle seguenti proprietà: il materiale è detto uniforme se è omogeneo (le sue proprietà non variano da punto a punto}, isotropo (le sue proprietà non dipendono dalla direzione del campo} e lineare (le sue proprietà non dipendono dall'intensità del can1po}.

2.1.1 Legge di Coulomb

q Q

Figura 2.1 .1

!}esperienza di Coulomb dimostra che, in un materiale unifor1ne, una carica puntiforme q posta nel punto Q esercita su una carica "di prova" lìq posta in un generico punto P posto a distanza rQP da Q (Fig. 2.1.1} la forza M c, esprimibile con la seguente relazione, nota come legge di Coulomb:

1 qt:,,q t:,,F,, (P} = - 2 UQP

41tf. i'6P (2.1.1}

uQP è il versore della retta passante per P e Q e orientato da Q a P ed e è la permittività del materiale in cui sono poste le cariche; f. ha dimensione fisica di fai·ad su metro [F/m] (ove si pone farad: [F]=[C2/J]}. Il vuoto ha permittività f.0 -8,85 · 10-12 F/m; ogni altro materiale presenta permittività dielettrica maggiore, sicché a parità di altre

8 Capitolo 2

condizioni l'interazione è attenuata rispetto a quella nel vuoto'. In base alla (2.1.1) la forza è attrattiva se le due cariche sono discordi e repulsiva nel caso contrario.

2.1.2 Campo elettrostatico di una carica puntiforme

Piuttosto che la forza M c, conviene considerare la forza elettrica specifica coulombiana così definita:

(2.1.2)

che risulta pari a:

(2.1.3)

Il vettore Ec(P) è indipendente da llq; essendo inoltre funzione del punto P, costituisce un campo vettoriale detto campo elettrostatico, (oppure campo elettrico coulombiano). In generale esso è prodotto da cariche elettriche, puntiformi o distribuite; in particolare la (2.1.3) esprime il campo elettrostatico prodotto dalla carica puntiforme q posta nel punto Q del materiale uniforme avente permittività dielettrica e.

Il cainpo elettrico ha dimensione fisica di newton su coulomb (N/C], unità di misura che viene più spesso espressa come volt su metro [V/m) (ove si pone volt: [V] = Uf C]

11).

2.1.3 Proprietà del campo elettrostatico

Proprietà fondamentale del campo elettrostatico è di essere sempre conservativo: la sua circuitazione su qualsiasi linea chiusa è sempre nulla, ovvero il suo integrale di lli1ea su qualsiasi linea aperta dipende solo dalla posizione dagli estre1ni della linea e non dal percorso su cui essa si sviluppa. Tale proprietà è sen1pre verificata, qualsiasi sia la distribuzione di carica che produce il campo e di qualsiasi natura siano i mezzi in cui esso si sviluppa (quindi anche se non uniformi). In particolare essa può essere facilinente verificata sull'espressione (2.1.3) di Ec. In quanto conservativo il campo elettrostatico presenta anche le seguenti proprietà'" (si veda in appendice§ A.7.1):

- Ec è ovunque e sempre irrotazionale:

rot Ec = O (2.1.4)

Ec è esprimibile tramite il gradiente di un opportuno campo scalare U(P) detto potenziale elettrico:

Ec =-gradU

1 Sulla permittività dielettrica e sul significato del farad si tornerà nel Capitolo 9. n Il significato del volt sarà reso evidente più avanti in questo capitolo.

(2.1.5)

m Si osservino le analogie con il cainpo gravitazionale, che è pure conservativo, per il quale le interazioni tra le masse rispondono a leggi analoghe a quelle qui illustrate per le cariche elettriche; la principale differenza sta nel fatto che le masse sono sempre positive mentre le cariche no.

CAMPO ELITTRICO E TENSIONE ELETTRICA 9

- l'integrale di linea di E0 lungo qualsiasi linea che si sviluppa tra i punti A e B è pari alla differenza tra i valori che il potenziale elettrico U assume in A e B:

J: Ec · t df = f: -gradU · t df = U(A)-U(B) (2.1.6)

a 2.2 CAMPO DI POTENZIALE ELETTRICO SCALARE

Il campo di potenziale elettrico scalare U(P), introdotto nelle (2.1.5) e (2.1.6), è una funzione scalare definita in ogni punto P a meno di una quantità costante: normalmente si attribuisce a questa il valore che rende nullo U all'infinito.

La (2.1.6) mostra che la differenza tra i valori assunti dal potenziale nei punti A e B è pari all'integrale di linea del campo elettrostatico tra A e B. Imponendo che il potenziale elettrico all'infinito sia nullo, si ottiene che U(P) è uguale all'integrale di linea del campo elettrostatico tra P e l'infinito. La (2.1.6) indica anche che il potenziale elettrico ha diinensione fisica di volt [V].

Le superfici di livello del potenziale elettrico ( cioè i luoghi dei punti nei quali U assu1ne lo stesso valore) sono dette superfici equipotenziali: per la (2.1.5) il campo elettrostatico è sempre ortogonale a tali superfici ed è diretto dalle superfici a potenziale maggiore verso quelle a potenziale 1ninore.

2.3 CAMPO ELETTRICO

La totale forza elettrica specifica sperimentabile da una carica elettrica "di prova" !J.q ferma e priva di supporto materiale costituisce il campo elettrico E(P,t), in generale non conservativo:

E (p ) ~

1. /J...F. (P, t) _ d.F., (P, t)

' t - 1m --"--'----'- - -"-'-----'-ilq~o !J.q dq

(2.3.1)

Al pari della forza llF. che agisce su !J.q a prescindere dalla presenza di supporti n1ateriali, il campo elettrico E trae origine soltanto da fenomeni elettromagnetici, ossia da altre cariche elettriche che possono anche essere in moto e dare luogo ad accumuli variabili nel tempoIV.

In particolare si considerano le seguenti situazioni.

- Condizione elettrostatica: si verifica quando tutte le cariche sono ferme nello spazio (Pc= cost. e / =O); allora il campo elettrico coincide con quello elettrostatico, E=Ec.

- Condizione stazionaria: si verifica quando le cariche si muovono con velocità costante e la densità di carica rinlane costante (p" = cost. e / = cost.); pure in questo caso il campo elettrico coiI1cide con quello elettrostatico, E = Ec.

iv La carica di prova può sperilnentare anche forze che agiscono sul supporto materiale ove essa è eventualmente collocata: si ottengono così forze elettriche specifiche di natura non elettromagnetica che pure hanno rilevanza nei fenomeni elettrici e che saranno considerate nel Capitolo 5.

10 Capitolo 2

- Condizioni variabili generiche: si verificano quando la densità di carica ed il campo di corrente variano nel tempo con legge qualsiasi; allora il campo elettrostatico costituisce solo un addendo, conservativo, del campo elettrico, perché questo comprende anche un secondo addendo non conservativo: il campo elettJico indotto E1 che sarà considerato nel Capitolo 10. Quando le distribuzioni di carica variano nel tempo esprimendosi come q(Q,t) o Pc(Q,t) o crc(Q,t), pure variabile risulta il campo elettrostatico Ec(P,t) che è sempre ad esse associato come indicato in§ 2.1. Le proprietà suddette sono sintetizzate in Tabella 2.3.1 .

condizioni elettrostatica stazionaria (iJ/ /iJt=O) (!=O)

campo elettrico E=Ec E=Ec

Tabella 2 .3.1

• 2.4 TENSIONE ELETTRICA

generiche

E=Ec+E1

La tensione elettrica è definita come l'integrale di linea del campo elettrico E (§ 2.3) lungo la linea e, aperta o chiusa, orientata dal versore t (Fig. 2.4.1):

v(t) = f 1. E (P,t) · t cl.e v. (2.4.1)

La tensione elettrica è un numero 1·eale che, a parità di campo elettrico, dipende dalla linea e e dalla sua orientazione (dal versore tangente t ); in particolare invertendo l'orientazione (sostituendo t con - t) la grandezza scalare che esprime

' v{t) inverte il proprio segno. E anche evidente che se E varia nel tempo, variabile risulta anche la tensione elettrica.

a) B b)

e

A

V

e

"' 1/

Figura 2 .4.1

e)

e V

"t I V

/---...E

v Questa espressione assume che la linea e sia ferma, altr i1nenti alla tensione contribuisce anche un addendo che trae origine da una forza elettrica specifica associata al moto della linea, della quale si tratterà nei Capitoli 10 e 12.

CAMPO ELITTRICO E TENSIONE ELETTRICA 11

Nel caso in cui la linea sia aperta e orientata da A a B (Fig. 2.4.la), si scrive:

V AD = f D E· t d.e A,f.

(2.4.2)

i pedici ordinati A e B in v AB specificano che la linea è orientata da A verso B (il versore t è diretto da A a B).Tuttavia spesso, invece di usare i pedici, si indica l'orientazione ponendo un segno + vicino al punto di inizio della linea (Fig. 2.4.lb); a livello i11ternazionale trova in1piego anche il riferilnento a mezzo di una freccia (Fig. 2.4.lc), la cui orientazione rispetto ai punti iniziale e finale A e B cambia però da paese a paese; in questa trattazione si preferisce usare il riferiinento + ovvero i pedici ordinati del tipo AB per evitare equivoci con i riferin1enti delle correnti.

Tenuto conto che il cainpo elettrico è una forza elettrica specifica prodotta da fenomeni elettromagnetici, la tensione elettrica rappresenta il lavoro elettrico specifico svolto da tali forze lungo la linea f:

v = f dF • . t d.e = _i_ f F . t df = dC. I. dq dq ,. • dq

(2.4 .3)

Al pari del potenziale elettrico, la tensione ha dimensione fisica di volt [V], unità di misura omogenea a joule su coulomb UIC].

2.4.1 Tensione elettrica e differenza di potenziale

Si consideri una regione ove il campo elettrico sia conservativo in quanto costituito dal solo addendo elettrostatico, E=Ec. Per ogni linea e appartenente a tale regione la tensione elettrica non dipende da e, ma solo dalla collocazione dei suoi estremi A e B. Infatti, essendo Ec conservativo, in accordo con la (2.1.6) si ha:

(2.4.4)

che n1ostra come la tensione elettrica in un campo conse1vativo sia pari alla differenza tra i valori che il potenziale elettrico U assume in A e B. Pertanto nelle condizioni suddette la tensione elettrica è detta differenza di potenziale (d.d.p.).

Se U(A) = U(B) la tensione tra A e B è nulla. In particolare in un cainpo conservativo sono nulle la tensione lungo qualunque linea chiusa e la tensione tra qualunque coppia di punti appartenenti alla stessa superficie equipotenziale vi_

Dato che il potenziale elettrico è nullo all'infinito, il potenziale U(P) nel punto P rappresenta la tensione tra il punto P e l'infinito, pari al lavoro elettrico specifico che le forze del cainpo elettrostatico Ec svolgerebbero per portare una carica dal punto P all'infmito.

"' Si vedano le proprietà dei campi conservativi richiamate in§ A.7.1.

12 Capitolo 2

a 2.5 VOLTMETRO

a) b) A

P-

Figura 2 .5.1

Le tensioni elettriche si misurano con lo strumento chiamato voltmetro, rappresentato in Figura 2.5. la; esso comprende due conduttori filiformi flessibili ( detti anche "cordoni") che terminano in due "puntali" (P+ e P-) e sono marcati diversamente: uno col segno + e l'altro con il segno -; lo strumento con1prende anche un visualizzatore che può essere una lancetta mobile lungo una scala graduata, un display digitale, uno schermo oscilloscopico, ... .

Per misurare la tensione elettrica relativa alla linea e orientata da A a B (Fig. 2.5. lb), i due conduttori vanno adagiati sulla linea e (Fig. 2.5. lc), con i puntali p+ nel punto A e p- nel punto B: così il visualizzatore indica la tensione definita dalla (2.4.2).

Il voltmetro ideale con la sua presenza non modifica il campo elettrico e non provoca alcun moto di cariche elettriche lungo i suoi conduttori. Inoltre indica, istante per istante, la tensione in valore e segno, per quanto rapidamente essa vari.

' E evidente che se il campo elettrico è conservativo e quindi la tensione elet-trica dipende solo dai punti estre1ni A e B della linea e, il percorso dei conduttori del voltn1etro è ininfluente ed importa solo la posizione dei puntali. Se invece il campo elettrico non è conservativo il percorso dei conduttori determina il valore della tensione.

Capitolo

INTRODUZIONE ALLO STUDIO DELLE RETI ELETTRICHE

3.1 RETI ELETTRICHE

Una rete elettrica costituisce il modello semplificato di un qualsiasi sistema in cui avvengono fenomeni di tipo elettrico. La rete è costituita da contenitori chiusi (a fonna di "scatolette") forniti in generale di n "terminali" elettrici. In base al numero n di terminali, i contenitori sono detti "bipoli" (se hanno 2 termù1ali) o in generale "n-poli".

I terminali dei contenitori (bipoli on-poli) sono collegati tra di loro da conduttori "ideali", lungo i quali può fluire corrente elettrica. Un esempio di rete è mostrato in Figura 3 .1.1, dove sono rappresentati alcuni contenitori dotati di 2 tenninali (bipoli) e un contenitore dotato di 4 terminali (quadripolo).

Figura 3.1.1

Le ipotesi fondamentali alla base del modello della rete elettrica, la cui giustificazione verrà data nel seguito, sono: 1. lungo i conduttori la carica elettrica si muove liberamente e i conduttori sono

equipotenziali (il campo elettrico lungo i conduttori è nullo); 2. lo spazio all'esterno dei bipoli (o n-poli) e dei conduttori è isolante (la densità

di corrente è nulla); 3. all'esterno dei bipoli (on-poli) il campo elettrico è conservativo; 4. all'esterno dei bipoli (on-poli) non vi è accUinulo di carica.

14 Capitolo 3

Nel seguito verranno considerate quasi esclusivamente "scatolette" dotate di due soli terminali, ossia bipoli. I bipoli potranno rappresentare elementi circuitali diversi, come resistori, condensatori, induttori, generatori, ecc.; in ogni caso un qualsiasi bipolo è completamente identificato dalla relazione tensione-corrente che viene a stabilirsi ai suoi terminali. In generale ve i dipendono dal te1npo e possono essere legati da un'equazione algebrica o differenziale lineare (bipoli lineari) oppure no.

Per una qualsiasi rete di bipoli, si definiscono i seguenti ele1nenti topologici:

- nodo: punto di giunzione in cui convergono aln1eno 2 conduttori; - lato: tratto di rete tra due nodi consecutivi, co1nprendente almeno un bipolo ; - maglia: insieme di lati (bipoli) che costituiscono un percorso chiuso all'interno

della rete.

a 3.2 BIPOLI ELETTRICI

3.2.1 Proprietà fondamentali

I bipoli hanno le seguenti proprietà fondamentali, conseguenze delle proprietà enunciate nei capitoli precedenti:

a. la corrente entrante ad un terminale (vale a dire relativa al riferimento entrante nel bipolo) è uguale alla corrente uscente all'altro terminale (vale a dire relativa al riferimento uscente dal bipolo), ovvero la somma delle correnti entranti nel bipala è nulla. In altre parole, il campo di corrente è solenoidale;

b. la tensione tra i due terminali è una differenza di potenziale; in altre parole, il campo elettrico al di fuori del bipala è conservativo. Un generico bipolo si rappresenta con il simbolo di Figura 3.2.1.1.

A - Bipala

B -

Figura 3.2.1.1

3.2.2 Convenzioni per tensione e corrente su un bipolo e potenza elettrica scambiata da un bipolo

I riferimenti di tensione e di corrente ai terminali di un bipolo possono essere fissati in modo arbitrario. Per evitare errori, è conveniente indicare al più presto sul circuito i riferimenti scelti sia per la tensione che per la corrente e non modificarli successivainente.

A seconda dell'orientazione reciproca dei riferimenti di tensone e di corrente, su ciascun bipolo sono possibili solo due combinazioni (convenzioni di segno): la convenzione del generatore (Fig. 3.2.2.1) e la convenzione dell'utilizzatore (Fig. 3.2.2.2).

Con la convenzione dell'utilizzatore, il riferiinento di corrente entra nel terminale contrassegnato positivo per la tensione.

) NTRODUZIONE ALLO STUDIO DELLE RETI ELETTRICHE 15

A A

V V

' B B


Con la convenzione del generatore, il riferimento di corrente esce dal ter1ninale contrassegnato positivo per la tensione.

Considerando un generico bipolo, il prodotto dei valori della corrente e della tensione (che coincide con la differenza di potenziale per l' ipotesi fatta), misurati ai tern1inali A e B, vale:

dCAB dq d,CAB dq -dt = dt = p

(3.2.1)

dove il termine p ha le dimensioni di una potenza. Nei bipoli convenzionati da generatore, il prodotto p viene definito potenza

uscente, in quelli convenzionati da utilizzatore p è definito potenza entrante. In entran1bi i casi i valori di p possono essere positivi o negativi, in dipendenza dai valori div ed i.

Nell'uso comune, adottato nel seguito, nei bipoli convenzionati da generatore la potenza uscente positiva viene anche detta potenza erogata; nei bipoli convenzionati da utilizzatore la potenza entrante positiva viene anche detta potenza assorbita.

In un bipolo su cui si sia applicata la convenzione dell'utilizzatore, CAB è il lavoro svolto delle forze elettriche conservative agenti sulle cariche, nel momento in cui queste stanno fluendo da A a B attraverso il bi polo.

Pertanto, il prodotto v ABi = dLAB/dt è pari al lavoro netto svolto dal can1po elettrico sulle cariche all' interno del bipolo per unità di tempo, ovvero alla potenza elettrica entrante nel bipolo.

Viceversa, per un bipolo a cui sia applicata la convenzione del generatore, il prodotto v AB i è pari alla potenza elettrica uscente dal bi polo.

Sia w(-i:) l'energia assorbita da un bipolo, secondo la relazione:

' w(-i:) = J v(t)i(t)dt (3.2.2)

.... il bipolo si dice passivo se w(i:)> O, qualunque sia l' istante 1: considerato: ciò equivale a dire che un bipolo passivo non è in grado di erogare potenza convertendola da forn1e di energia non elettrica (ad es.: n1eccanica, termica, chimica, vedi Cap. 5).

16 Capitolo 3

a 3.3 N-POLI

. /1 •-

Figura 3.3.1

Esistono componenti elettrici nei quali sono presenti più tubi di flusso (§ A.9.2.) della corrente, oppure tubi ramificati (Fig. 3.3.1). Un tale componente presenta n (e non solo due) sezioni ter1ninali Si (i= 1 ... n) attraverso le quali avviene la conduzione di corrente elettrica e quindi esso è schematizzabile con un n-polo che presenta n tenninali ( o poli), uno per ogni sezione Si. Si parla specificamente di tripolo se n = 3 (Fig. 3.3.1), di quadrupolo se n = 4, ecc.

Un n-polo han correnti ai ternùnali, la deternùnazione delle quali richiede di averne fissato i riferimenti; tra ogni coppia di terminali è presente una tensione della quale deve essere fissato il riferimento.

3.3.1 Proprietà fondamentali Gli n-poli hanno le seguenti proprietà fondamentali, generalizzazioni delle ana

loghe proprietà già enunciate per i bipoli:

a. è nulla la somma delle correnti uscenti ai tenninali (vale a dire tutte relative ai riferimenti uscenti dall' n-polo);

b. la tensione tra una qualsiasi coppia di tenninali è una differenza di potenziale.

a 3.4 M-BIPOLI

3.4.1 Porta elettrica

Si dice porta elettrica (porta) di un n-polo una coppia di ter1ninali in cui la corrente entrante ad uno dei due terminali è uguale alla corrente uscente all'altro terminale: in tal modo un unico valore definisce le correnti di entrambi i tenninali; si parla dunque di corrente di porta. La tensione fra i due terminali viene chiamata tensione di porta; la loro completa deternùnazione richiede che siano assegnati i relativi riferimenti.

) NTRODUZIONE ALLO STUDIO DELLE RETI ELETTRICHE 17

3.4.2 m-bipolo Si dice m-bipolo un n-polo (con n pari) i cui n terminali sono raggruppati in

m = n/2 ben definite porte. Si parla specificamente di bipolo se m = 1, di doppio bipolo se m = 2, di triplo bipolo se m = 3, ecc.

Le grandezze elettriche che si considerano in un m-bipolo sono le m tensioni di porta e le m correnti di porta; esse verificano se1npre le proprietà di un n-polo enunciate in§ 3.3.1. Invece non si considerano, e generalmente non interessano, le tensioni esistenti fra terminali di porte diverse.

3.5 DOPPI BIPOLI

ii(t) h(t) - -+ +

V ,(t) vi( t)

Figura 3.5.1

In un doppio bipolo si individuano 2 tensioni di porta e 2 correnti di porta (Fig. 3.5.1) . Non si considerano, e generalmente non interessano, le tensioni esistenti fra terminali delle due porte. In generale il comportan1ento di un doppio bipolo è caratterizzato da una coppia di equazioni tra le due tensioni e le due correnti di porta: esse impongono due vincoli alle quattro grandezze elettriche e lasciano loro due gradi di libertà. Il caso più importante di doppio bipolo è rappresentato dal trasformatore, di cui si tratterà diffusamente nel secondo volume.

Capitolo

FENOMENI DI CONDUZIONE E RESISTORI

• 4.1 LEGGI DI OHM E DI JOULE

La corrente elettrica, ossia il moto delle cariche elettriche, dipende dalle forze elettriche che agiscono sulle cariche stesse. Tali sono le forze elettromagnetiche, alle quali è associato il campo elettrico; altri tipi di forze saranno descritti nel Capitolo 5.

In questo capitolo si considera la corrente elettrica di conduzione descritta dal campo J che si manifesta nei materiali per effetto del ca1npo elettrico E. Per semplicità di trattazione, conviene porsi in condizioni stazionarie, nelle quali il campo di corrente è solenoidale (div/ = O) ed il campo elettrico è conservativo (E = Ec)'.

4.1.1 Resistenza elettrica e Legge di Ohm

Un conduttore cilindrico omogeneo di sezione normale S collegato ad un generatore elettricon è sede di un campo di corrente pn al quale corrisponde la corrente I, costante nel tempo; tra due punti del conduttore posti a distanza e, che individuano le sezioni nonnali SA e Sa, si misura la d.d.p. V (Fig. 4.1.1.1). In tali condizioni si osserva che esiste una relazione di proporzionalità diretta tra i valori di I e V; si può quindi definire il parametro:

V R =

I (4.1.1.1)

che è detto resistenza elettrica ed ha dimensione fisica di ohm [Q], quantità omogenea a [V/A]. Valgono quindi le seguenti relazioni, che espriinono la legge di Ohm:

V=RI e 1

I= - V=GV R

(4.1.1.2)

1 Tuttavia gran parte delle proprietà dedotte in ipotesi stazionarie sono applicabili anche in condizioni variabili, come si avrà modo di precisare successivamente. n Il co1nportamento del generatore elettrico sarà illustrato nel Capitolo 5. m Si assume che il cilindro confini il ca1npo di corrente, in modo che le linee vettoriali di J non ne attraversino la superficie laterale: quindi in esso si sviluppa un tratto di tubo di flusso del ca1npo di corrente (si veda § A.9.2).

20 Capitolo 4

ove G = 1/R è la conduttanza elettrica, con dimensione fisica di siemens [S], pari a (fr1

] , ovvero a [A/V]. I parametri Re G sono caratteristici del tratto di cilli1dro tra le sezioni SA e S0 •

~-----~+ A

+ generatore elettdco

+ V

Figura 4.1.1.1

.. I

Ec J

+ + e

Con riferimento a quanto detto nel Capitolo 3, il conduttore di Figura 4.1.1.1 può essere considerato come un bipolo elettrico a cui è applicata la convenzione dell'utilizzatore.

4.1 .2 Effetto Joule

I.:esperienza di Joule diinostra che nella condizione precedente il cilindro percorso da corrente si riscalda e dunque è sede di dissipazioni (effetto Joule). Si osserva che il tratto di cilindro hu1go e, avente resistenza R e percorso dalla corrente I costante, dissipa la potenza Pc1, avente dimensione fisica di watt [\IV]:

(4.1.2.1)

4.1.3 Bilancio energetico e potenza elettrica fornita

La potenza dissipata P<l, espressa dalla (4.1.2.1), coi11cide con la potenza elettrica P. assorbita dal tratto di cilindro (e proveniente dal generatore elettrico). Per la 4.1.1.2 si può anche scrivere:

(4.1.3.1)

FENOMENI DI CONDUZIONE E RESISTORI 21

' ' a 4.2 RESISTIVITA E CONDUCIBILITA DEI MATERIALI

I parametri R e G dipendono dalla sezione normale S e dalla lunghezza f del tratto di cilindro di Figura 4.1.1.1 in base alle seguenti relazioniIV:

s s G =r -=-

R. p R. (4.2.1)

il paran1etro p, caratteristico del materiale che costituisce il cilindro, è detto resistività e ha dimensione fisica di ohm·metro [Qm]. Il suo reciproco y= 1/p è detto conducibilità e ha dilnensione fisica di siemens/metro [S/m].

La maggior parte dei materiali presenta legame lineare tra tensione e corrente, ovvero ha resistività costante per diversi valori di corrente e tensione (a parità di altre condizioni fisiche, in particolare della temperatura); ma esistono anche materiali non linerui, che presentano resistività variabile al variare della corrente.

Peraltro la resistività risulta funzione della te1nperatura; se le variazioni sono limitate (in genere alcune decine di gradi), tale dipendenza può essere ritenuta lineare ed espressa dalla relazione:

p = p0(l + a.(0- 0o)) (4.2.2)

in cui 0 è la temperatura effettiva mentre 00

è la temperatura alla quale la resistività vale p

0 e a, è detto coefficiente di temperatura, caratteristico del materiale.

4.2.1 Classificazione dei materiali La resistività può assumere valori molto diversi da materiale a materiale ed in

relazione a ciò i diversi materiali vengono classificati come è delineato nel seguito.

4.2.1.1 Superconduttori

I superconduttori del I tipo sono metalli puri (Hg, Pb, Sn, Nb, In) che, a te1nperature di pochi Kelvin, presentano resistività nulla; tuttavia tale proprietà viene persa appena il materiale è immerso in un debole campo magnetico o percorso da una densità di corrente anche piccola.

I superconduttori del II tipo sono leghe particolari (Nb-Ti, Nba·Sn, Nb:{·Al, Mg-B2)

che 1nantengono resistività nulla fino a ca1npi 1nagnetici di diversi Tesla e densità di corrente fino a diversi k.Nmm2

• Sono quindi utilizzati per realizzare magneti ad alto campo nei dispositivi per la Risonanza Magnetica Nucleare (per diagnostica medica e per analisi chimiche), negli acceleratori di particelle e negli esperimenti di confinamento di plas1ni ad alta ten1peratura (Tokamak).

Alcuni 1nateriali ceramici contenenti terre rare (YBa2Cua07 e BilSr2 CaCu20 8)

sono denominati superconduttori ad alta temperature in quanto assumono tale proprietà già a temperature dell'ordine di 77 K (temperatura di ebollizione dell'azoto liquido). Questi materiali tuttavia hanno lilniti di campo e di corrente piuttosto bassi e quindi hanno finora trovato minori applicazioni.

iv A rigore è necessario che SA e S8 siano sufficientemente lontane dalle estre1nità del cilindro, in 1nodo che le disuniforn1ità dei ca1npi ad esse dovute siano trascurabili nel tratto di lunghezza .e.

22 Capitolo 4

4.2.1.2 Metalli

I metalli sono i materiali più utilizzati per realizzare la conduzione elettrica, nei quali la corrente è generalmente dovuta al "gas di elettroni liberi", costituito dagli elettroni periferici, 1neno vincolati dai legami atonùci, che possono muoversi nell'ambito del reticolo cristallino del metallo. Le forze elettriche modificano lo stato cinetico dovuto all'agitazione termica (disordinato, caratterizzato cioè da velocità inedia nulla) provocando una debole velocità ordinata degli elettroni liberi, che dà luogo a corrente elettrica. Ad esempio la velocità di agitazione termica può essere dell'ordine di 105 m/s mentre la velocità media di migrazione può essere dell'ordine di 10-3 m/s.

Ottimi conduttori, importanti per le frequenti applicazioni, sono rame e alluminio (le cui resistività valgono circa 1,8 · 10-s Qm e 2,6 · lo-8 nm, rispettivamente, a temperatura ambiente); all'estremo opposto stanno alcuni tipi di leghe per elemen· ti riscaldanti usati nei forni elettrici (ad es.: nichel-cromo), che presentano resistività dell'ordine di 1 · 10-11 nm. Nei metalli la resistività au1nenta con la temperatura (il coefficiente a è positivo).

Esistono anche materiali conduttori non 1netallici, ad esempio la grafite, che ha resistività compresa tra 4 · 10-5 nin e 20 · 10-11 nn1 e coefficiente a negativo.

4.2. 1.3 Soluzioni elettrolitiche

Un elettrolita è una soluzione chinùca nella quale una parte delle molecole è scissa in ioni dotati di carica elettrica positiva e negativa (portatori di carica). Le forze elettriche provocano il moto ordinato di ciascuno dei due tipi di ioni nel volmne dell'elettrolita, dando luogo a corrente elettrica.

Alcm1e soluzioni elettrolitiche presentano notevole interesse applicativo (nei generatori elettrochimici, negli impianti di produzione di metalli per elettrolisi, in processi industriali elettrochimici per il trattamento delle superfici) e presentano resistività relativamente basse, fino a 3 · 10-2 nm. Vanno citate anche l'acqua di mare (p-0,3 0111) e l'acqua dolce (non demineralizzata) (p <::: 100 0111).

4.2. 1.4 Semiconduttori

I semiconduttori, quali il germanio ed il silicio (tetravalenti quanto ai legami chinùci), presentano resistività che sono rispettivainente di 0,47 Qm e di 2300 nm. Questa può essere notevolmente ridotta se essi vengono "drogati" mediante l'inserzione nel reticolo cristallino di atomi pentavalenti (fosforo, arsenico, antimonio), o trivalenti (allmninio, boro, iridio). Gli atomi pentavalenti dispongono di cinque elettroni esterni, quattro dei quali vengono legati al reticolo mentre il quinto resta libero (conduzione per elettroni o di tipo N); gli atonù trivalenti dispongono di tre elettroni esterni, e quindi sono in difetto di un elettrone di legame. Questo difetto di elettrone (o lacuna) costituisce una carica libera fittizia positiva (conduzione per lacune o di tipo P). I senùconduttori drogati hanno importanza primaria nelle applicazioni elettroniche, essendo i materiali fondamentali unpiegati nell'elettronica dello stato solido.


Materiali Po [O.m]

Conduttori

Alluminio 2,6 . 10-8 4,2 · 10

- 3

Argento 1,6 . 10-8 4 . 10-3

Costantana 4 ,9 . 10-7 2 . 10-5

Ferro 1,0 . 10-7 6 . 10-3

Manganina - 7 3,5 + 5 · 10

- 5 0,2 + 5 · 10

Mercurio - 7 9,4 · 10 8,9 · 10-4

Oro 2,4 · 10--8 3,4 . 10-3

Piombo - 7 1,9 · 10

- 3 4,2 · 10

Rame --8 1,8 · 10 4 ,2 . 10-3

Tungsteno 5,5 . 10-8 4 ,2 . 10-3

Semi conduttori

Germanio puro 0,47 -48 · 10 - 3

Silicio puro 2300 - 3 -75 · 10

Isolanti

Bachelite 9 50 · 10

Marino 108

Mica 1011

+ 1014

Olio minerale 1014

Polietilene 101:l

Porcellana 3 · 10 12

Resina epossidica 11 10

Quarzo 1012 + 1015

Vetro ordinario 9 . 1010

Tabella 4.2.1.1 Resistività p0 a 20°C e coefficiente di temperatura o. di alcuni materiali.

4.2. 1.5 Isolanti

Gli isolanti sono materiali con resistività dell'ordine di 108 Uin o superiore. Tra essi hanno interesse applicativo gli oli minerali, i vetri, il quarzo, le ceramiche e svariate sostanze plastiche. Dato che la resistività degli isolanti è enorn1emente

24 Capitolo 4

maggiore di quella di conduttori e se1niconduttori, anche di 10 7 20 ordini di grandezza, iI1 molte applicazioni si può asswnere, con ottima approssimazione, che gli isolanti abbiano conducibilità nulla: y1s = O.

La Tabella 4.2.1.1 presenta la resistività di alcuni 1nateriali di uso frequente.

a 4.3 RELAZIONE COSTITUTIVA DEL CAMPO DI CORRENTE

Nel cilmdretto conduttore di Figura 4.3.1, con sezione dS e lunghezza de infinitesiine, la tensione è espriinibile co1ne dV=Ecde, la resistenza come pde/dS e la corrente come clJ JdS. Pertanto la priina delle (4.1.1.2) si riscrive come:

V+dV

J

V dS

Figura 4 .3.1

di E di= p - JdS

e dS (4.3.1)

cte

da questa si deduce la relazione scalare E

0 = pf, che è generalizzabile in forma vet

toriale; inoltre, se il campo elettrico non è solamente quello coulon1biano E0 , si deve considerare il campo elettrico E = E0 + E;, (2.3.1), ottenendo:

E = p], J =y E (4.3.2)

La (4.3.2) è detta relazione costitutiva del campo di corrente, o legge di Ohm alle grandezze specifiche. In questa forma essa vale nei materiali ove sono presenti solo forze elettriche associate al campo elettrico E; la sua espressione più generale sarà data nel § 5.2.

Per quanto detto nel § 4.2.1.5 sulla conducibilità dei materiali isolanti, per i quali si assun1e Y ;s = O, la densità di corrente che m essi si sviluppa può essere trascurata rispetto a quella dei materiali conduttori e semiconduttori. Perciò u tilizzando un materiale conduttore ( o semiconduttore) circondato da un materiale isolante, si ottiene un campo di corrente perfettamente confinato (o canalizzato) in essov.

4.3.1 Potenza specifica dissipata La (4.1.2.1) può essere applicata anche al cilindretto di sezione dS e lrmghezza

de infmitesiine di Figura 4.3.1, dotato di resistenza pde/dS, e percorso da corrente mfinitesima clJ = JdS; la potenza infmitesiina messo dissipata vale:

(4.3.1.1)

v In tale ipotesi risulta giu stificata l'assunzione, fatta in § 4.1.1, che il cilindro conduttore di Figura 4.1.1.1 sia un tratto di tubo di flusso.

quindi, essendo d't = df dS il volume del cilli1dretto, si ricava la potenza specifica dissipata punto per punto in un materiale conduttore:

Pd = Pf 2 (4.3.1.2)

con dimensione fisica di watt su metro cubo [W/m:1).

• 4.4 RESISTENZA DI CONDUTTORI CON GEOMETRIA PARTICOLARE

A seconda delle geometrie del tubo di flusso di / , si possono ottenere diversi tipi di conduttori.

4.4.1 Conduttore filiforme Si consideri un conduttore di sezione S, avente dimensione trasversale 1nolto

minore della lunghezza e, realizzato con un 1nateriale omogeneo ed isotropo avente resistività p e immerso in un 111ezzo con conducibilità nulla (Fig. 4.4.1.1).

Se la sezione S è costante, la densità di corrente J risulta unifonne lungo e, e così anche il campo elettrico E. Sotto queste ipotesi si avrà allora che la tensione ai capi del conduttore vale:

f I .e V = E·t<lf = E f= pff= p - f= p - I

I. s s

La resistenza del conduttore filiforme risulta così:

e

linee vettoriali

V .e R=- = p -

1 S

linee vettoriali

I

d I

r I A l ....

Figura 4.4.1 .1 Figura 4.4.1.2

(4.4.1.1)

(4.4.1.2)

p

---I I

r I BI ....

26 Capitolo 4

4.4.2 Conduttore cilindrico

Si consideri un materiale conduttore uniforme di resistività p, posto tra due superfici cilindriche coassiali perfettamente conduttrici di raggio rA e r8 , tra cui sia applicata una tensione V(Fig. 4.4.1.2). La corrente passante attraverso una superficie cilindrica di raggio r e lunghezza e, coassiale con gli elettrodi, è data dalla 1.2.2.2.

Per ragioni di simmetria, il vettore densità di corrente / ha direzione radiale e modulo uniforme su una qualunque superficie cilindrica S, per cui:

I = 2nr.f.J (4.4.2.1)

e quindi:

I (4.4.2.2) J = ll,.

2nr.e

Inoltre:

pJ E = pJ = 2nr.e u, (4.4.2.3)

Per calcolare la tensione V ai capi del resistore, si deve integrare E lungo una linea che va dall'elettrodo interno a quello esterno. Date le condizioni di simmetria, conviene considerare un percorso radiale tra rA e r8 :

n '• ,.. p I p I r V = fE·td.f.= f E·u,dr = f --'--- dr = - In..JL

A 2nr.f. 2n.f. rA

f,4 rA

(4.4.2.4)

La resistenza di un resistore cilindrico risulta così:

(4.4.2.5)

4.4.3 Conduttore sferico

Si consideri un materiale conduttore uniforme di resistività p, posto tra due superfici sferiche concentriche perfettamente conduttrici di raggio rA e r8 , tra cui sia applicata una tensione V (Fig. 4.4.3.1). La corrente passante attraverso una superficie sferica di raggio r, concentrica agli elettrodi, sarà data dalla 1.2.2.2.

Per ragioni di simmetria, il vettore densità di corrente / avrà direzione radiale e n1odulo uniforme su una qualunque superficie sferica S, per cui:

(4.4.3.1)

e quindi:

I J = 2 u,

4nr (4.4.3.2)


Inoltre:

pl E =

2 u,

47tl' (4.4.3.3)

Per calcolare la tensione V ai capi del resistore, si deve integrare E lungo una linea che va dall'elettrodo interno a quello esterno. Date le condizioni di silnmetria, conviene considerare un percorso radiale tra rA era:

a 'Ìl 'Ìl p[ p[(l 1) V = f E · t de = J E · u,dr = J 2 dr = - - --

A 'A 'A 47tl' 47t r A fa (4.4.3.4)

La resistenza di un resistore sferico risulta così:

R = V =E_(~-~) I 4n rA ra

(4.4.3.5)

Se il raggio esterno r0 tende all'infinito, la resistenza risulta R = p . Un esem-4itr

pio (relativo però ad un semispazio, per cui il valore di resistenza devi essere mol-tiplicato per 2) è il dispersore di terra mostrato in Figura 4.4.3.2.

-.._-d>-_. I

I I

rAI rB o l--t~ .. 1~, .. ~

Figura 4.4.3.1

• 4.5 RESISTORE

. . . . . . . . .

. ............. -./ ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p

Figura 4 .4.3.2

Si chiama resistore un co1nponente specificamente costruito per verificare la legge di Ohm, anche in condizioni variabili, cosicché la relazione tensione-corrente è in ogni istante esprilnibile come v(t) = R i(t), ovvero i(t) = G v(t). In tali componenti le superfici estreme SA e Sa costituiscono i terminali (o morsetti), che permettono la connessione con altri componenti. Corrente e tensione sono riferite ad essi, per cui si parla di corrente ai ter1ninali e di tensione ai terminali.

A seconda dei materiali conduttori i1npiegati, la resistività e quindi la resistenza R possono essere indipendenti o meno da tensione e corrente: si hanno rispettivan1ente resistori lineari e resistori non lineari.

28 Capitolo 4

4.5.1 Resistori lineari

Tipicamente lineari sono i resistori metallici; tali sono ad esempio:

- i resistori impiegati nelle stufe e nei forni elettrici, in grado di dissipare potenze anche di molti kilowatt;

- i resistori più o meno piccoli che trovano impiego nei circuiti di segnale, tipicamente in grado di dissipare potenze di frazioni di watt;

- le lainpade ad incandescenza.

4.5.2 Resistori non lineari

Ese1npi di resistori non lineari sono i seguenti:

- varistori: sono realizzati in genere con ossido di zinco ed utilizzati come elementi di protezione dei dispositivi elettrici;

- diodi raddrizzatori: presentano resistenza bassissima per tensioni e correnti positive e resistenza elevatissima per tensioni e correnti negative;

- tubi a scarica, che utilizzano gas ionizzati a bassa pressione, come ad esen1pio le lainpade fluorescenti e quelle a vapori.

• 4.6 DIMENSIONAMENTO TERMICO DI UN RESISTORE

Si consideri un resistore di resistenza R percorso da una corrente I. Per il principio di conservazione dell'energia, la potenza dissipata entro il resistore per effetto Joule (R/2) , andrà in parte ad aumentare la te1nperatura del conduttore stesso (cm d0/dt) e in parte verrà s1naltita verso l'ainbiente circostante. Spesso quest'ultima è prevalentemente dovuta al fenomeno della convezione (À. L 0).

Nell'ipotesi che il resistore sia isotermo, di solito ben verificata, data la buona conducibilità termica dei conduttori elettrici, la relazione che esprime questo bilaI1cio energetico è:

2 de P=Rl =À.L0+c 1n

dt

dove: À. = coefficiente di scambio termico (W /m2 K]; L = superficie di scambio termico (m2

];

e= sovratemperatura rispetto all'ainbiente [K]; c = capacità termica specifica U!Kg K]; m = massa [kg].

(4.6.1)

Raggiunto il regime termico stazionario, per cui la temperatura resta costante, si avrà che:

(4.6.2)


Dato che la temperatura è normalmente limitata (per ese1npio dalle caratteristiche dell'isolante che circonda il conduttore), anche la corrente I che percorre il resistore dovrà essere limitata. Per un filo di sezione circolare, la superficie di scambio termico con l'ambiente (t) corrisponde alla superficie laterale, per cui si ha a regilne:

0 = p.e _.!_ 1 12 nr2 À 21trf

dove: r = raggio del conduttore [ m]; p = resistività del conduttore [Om]; e= lunghezza del conduttore [m].

In termini di densità di corrente, l'espressione precedente diventa:

0 = p 1 1t2r4J2 À. 2 n2r3

da cui si ricava la 111assilna densità di corrente ammessa:

J= {zie v~

(4.6.3)

(4.6.4)

(4.6.5)

Si noti che la densità di corrente ammessa J dipende dalla sovratemperatura massilna am111essa 0, dal coefficiente di scambio termico con l'ambiente À, dal raggio r e dalla resistività p del conduttore. Una volta fissata la sovratemperatura ammessa 0 ( che di solito dipende dall'isolante utilizzato) e determiIIato il coefficiente di scambio termico À (che dipende dalle condizioni di iIIstallazione), per un dato conduttore la densità di corrente am1nessa J è tanto maggiore quanto più piccolo è il raggio r del conduttore stesso e quanto minore è la resistività del materiale.

Capitolo

GENERATORI ELETTRICI

5.1 FORZE ELETTRICHE SPECIFICHE GENERATRICI

Nel Capitolo 4 è stata considerata la relazione (4.1.1.2), V= RI, che caratterizza tratti di tubo di flusso del campo di corrente stazionario, nei quali la tensione V è una d.d.p. associata al campo coulombiano. In queste condizioni il campo di corrente J presenta linee vettoriali chiuse (perché div/ = O). Co111e visto nel§ 4.1.2, al campo di corrente sono associati effetti dissipativi i quali, in condizione stazionaria, devono essere compensati da opportune forze che mantengono il moto delle cariche, sviluppando una potenza pari a quella dissipata. Allora le forze agenti non possono essere soltanto quelle associate al can1po coulombiano perché questo è conservativo e quindi non co1npie lavoro su percorsi chiusi, co1ne sono le linee vettoriali di /. Dunque per mantenere un campo di cor1·ente stazionario è necessario che compaiano anche forze non conservative almeno in alcuni tratti del tubo di flusso.

Una tale forza non conservativa può avere origine da feno1neni di natura non solo elettro1nagnetica, ma anche chimica, ternlica, ecc ... e può agire sui supporti materiali delle cariche, a differenza del campo elettrico visto in § 2.3 che agisce solo sulle cariche elettriche. Analogainente a quanto fatto per la forza coulombiana iI1 (2.1.2), gli effetti di una forza non conservativa sono espriinibili per n1ezzo di una forza elettrica specifica generatrice Eg(P.t), ottenuta rapportando la forza alla

. . . carica su cui agisce:

( ) F

8 (P,t)

E0 P,t = -=---o q

(5.1.1)

• 5.2 GENERATORI ELETTRICI

I componenti in cui si sviluppano forze elettriche specifiche generatrici sono detti generatori elettrici (o semplicemente generatori). Essi sono sedi di interazioni tra i fenomeni elettrici e fenomeni di altra natura, che realizzai10 la generazione di energia elettrica attraverso la conversione da altre forme di energia (meccanica, chinlica, ternlica ecc.) e viceversa.

32 Capitolo 5

Aj_ + + + + +

I 1 f Ec E" V " ' Ec e

~

- -B

Figura 5.2.1 .1

5.2.1 Comportamento a vuoto dei generatori: forza elettromotrice

I generatori elettrici sono dotati di terminali ( o morsetti) che consentono la connessione con altri componenti elettrici. Le forze generatrici che si manifestano al loro interno agiscono sulle cariche elettriche separando quelle di segno opposto ed accumulandole in prossimità dei ter1ninali. Un terminale presenta accumulo di carica positiva e l'altro di carica negativa (Fig. 5.2.1.1).

Tali accumuli di carica danno a loro volta luogo ad un campo elettrico coulombiano che, dentro al generatore, si oppone alle forze specifiche generatrici che hanno causato la separazione delle cariche. Tale campo coulombiano si estende anche alla regione esterna al generatore creando tra i morsetti una tensione (d.d.p.) misurabile con un voltmetro posto esternamente al generatore.

In assenza di corrente elettrica attraverso i terminali (il generatore si dice "a vuoto") punto per punto dentro al generatore si crea una situazione di equilibrio tra forza specifica generatrice Es e campo coulombiano Ec:

E =-E S e (5.2.1.1)

5.2.1. 1 Forza elettromotrice - f.e.m

Considerando la Figura 5.2.1.1, la forza elettromotrice' (o f.e.m.) è definita come l'integrale della forza specifica generatrice Es lungo una linea e, interna al bipolo e orientata da B ad A secondo il versore t :

e(t) ~ JA Es · t di (5.2.1.2) B,t

1 Il termine 'forza elettromotrice' a rigore è Ìlnproprio perché essa, al pari della tensione, esprime un lavoro per unità di carica; tuttavia tale no1ne è universalmente diffuso ed accettato.

GENERATORI ELETTRICI 33

La f.e.1n. così definita è positiva se le forze generatrici E6

tendono a "spingere" le cariche positive da B ad A all'interno del bipolo. Utilizzando le (5.2.1.2), (5.2.1.1), e considerando che Ec è conservativo, per cui il suo integrale può essere calcolato anche lungo una linea e esterna al bipolo, si ottiene:

e = JA Eg · t di,= JA - Ec · t df = f 8 Ec · t di = V0

(5.2.1.3) B,f. B,f. A,f.

quindi, la f.e.n1. del bipolo generatore è uguale alla sua tensione a vuoto, misurata dal voltJnetro tra i suoi terminali A e B.

e=v o (5.2.1.4)

La f.e.1n. e è una proprietà del generatore; essa, con1e la tensione, ha dimensioni di volt [V] ed è espressa da un numero reale dotato di segno che dipende da come sono poste le inarcature + e - ai tenninali. In relazione alla proprietà illustrata, i generatori elettrici sono spesso detti generatori di f e.m . .

Se le forze generatrici sono costanti nel te1npo (reginie stazionario), tali risultano pure la forza elettromotrice e la tensione a vuoto e si pone:

E=V o (5.2.1.5)

si parla allora di generatori di f e.m. continue. Esistono anche generatori di f.e.1n. variabili, in particolare generatori di f e.m. sinusoidali, se la loro f.e.m. varia nel tempo con legge sinusoidale. Per ora vengono presi in considerazione i prinli; sugli ultiini si tornerà nel Capitolo 14.

In regime stazionario le n1arcature dei terminali sono di norma poste in modo che la f.e.m. e la tensione a vuoto risultino positive. Se la tensione tra i terminali è positiva, le forze coulombiane tendono a muovere le cariche positive dal terminale con marcatura + a quello con marcatura -. Dato che le forze generatrici agiscono nel verso opposto, si deduce che se la f e.m. è positiva le forze generatrici tendono a produrre un accumulo di cariche positive in corrispondenza del morsetto con marcatura + e viceversa.

5.2.2 Comportamento a carico dei generatori

+

•1

Eg V J • Ec E

y

Figura 5.2.2.1

34 Capitolo 5

Se un generatore elettrico viene percorso da una corrente I si dice che esso è a carico11 • In condizioni stazionarie il generatore individua tra i suoi ter1ninali un tronco di tubo di flusso caratterizzato dalla corrente I che, con il riferimento di Figura 5.2.2.lm, entra al tern1inale B (-) ed esce dal terminale A(+ ). In tali condizioni la tensione tra i morsetti differisce della tensione a vuoto e quindi dalla f.e.m.: E= V

0 ;é V.

La differenza tra la tensione a vuoto e quella a carico, V0

- V= E-V, dipende direttamente dall'intensità di corrente I, iI1 modo analogo a quanto si riscontra nel resistore tra tensione e corrente.

5.2.2.1 Resistenza interna

Pertanto, siinilmente a quanto stabilisce la (4.1.1.2) per il resistore, dato che all'interno del generatore si hanno fenomeni dissipativi legati al passaggio di corrente, si definisce resistenza interna R; del generatore il coefficiente di proporzionalità tra la corrente I e la differenza E-V in modo che sia:

E- V=RJ owero V= E- R/ (5 .2.2.1)

Questa relazione caratterizza il comportan1ento esterno del generatore: essa qualifica le sue interazioni elettriche con i co1nponenti ai quali è connesso. I valori di R; ed E definiscono il legame tra d.d.p. V e corrente I ai morsetti del generatore, aprescindere dalla conoscenza dettagliata delle distribuzioni di J, E0 e E

6 al suo iI1terno .

• 5.3 BILANCI DI POTENZA DEI GENERATORI

In un generatore, sede di corrente I, è dissipata la potenza Pa = R;Ii, analogamente a quanto avviene in un resistore.

La f.e.1n. E, al pari della tensione, ha significato di lavoro per unità di carica [J/C); si tratta del lavoro specifico eseguito dalle forze generatrici all'inten10 del generatore. Quindi moltiplicando la f.e.m. per la corrente (che ha significato di carica transitata nell'unità di te1npo [C/s)), si ottiene una quantità che ha significato di lavoro nell'unità di tempo U/s) = [\I\T], vale a dire potenza. Con i riferiinenti assunti per tensione e corrente (Fig. 5.2.2.1), tale prodotto espriine la potenza elettrica generata:

P = El g (5.3 .1)

se f.e.m. e corrente hanno segni concordi, essa risulta positiva e corrisponde a potenza elettrica che il generatore trasferisce alle cariche nel momento in cui lo attraversano; in caso contrario essa risulta negativa e corrisponde ad una potenza elettrica che le cariche cedono al bipolo (in questo caso quindi nel generatore entra potenza elettrica positiva).

n Ciò richiede che ai terminali siano collegati dispositivi conduttori che permettono il moto delle cariche elettriche oltr e i ter1ninali stessi. m Si osservi che il riferimento di corrente entra dal riferimento - ed esce dal riferimento + di tensione, contrariamente a quanto si è assunto per il resistore nel Capitolo 4.

Dato che anche nel generatore si hanno fenomeni dissipativi, la potenza elettrica erogata dal generatore P. è la differenza tra potenza generata nel generatore P

6 e

la potenza ivi dissipata P<l ovvero:

P =P -Pa =EI-R.l2 =(E-R. I1I = VI ù g , , J (5.3.2)

Infine, la (5.3.1) esprin1e una proprietà integrale, in quanto riferita all' intero volume occupato dal generatore. Considerando un elemento infinitesimo di volume si arriva ad esprimere la potenza specifica generata come:

(5.3.3)

• 5.4 TIPI DI GENERATORI ELETTRICI

Alcuni dei tipi più importanti di generatori di f.e.n1. sono brevemente descritti qui di seguito.

5.4.1 Generatori elettrochimici

Nei generatori elettrochimici si sviluppano f.e.1n., dette fe.1n. elettrochimiche, per effetto di reazioni chimiche nelle quali l'energia di legame chimico viene convertita in energia elettrica.

Essi discendono dalla pila di Volta e consistono di un conduttore di I classe (metallo) ed uno di II classe (elettrolita); più coppie di tali conduttori possono essere "ilnpilate'' una di seguito all'altra, per formare una pila. Le f.e.m. dei generatori elettrochimici sono costanti nel tempo (entro opportuni intervalli temporali, cioè finché la pila è sufficientemente carica).

Si distinguono due tipi fondamentali di generatori elettrochimici. Il primo è costituito dalle pile a secco. In esse, allorché sono sedi di corrente elettrica, si altera lentamente lo stato fisico della zona di contatto tra i diversi conduttori con conseguente formazione di unafe.m. di polarizzazione che si oppone a quella della pila tendendo ad annullarne gli effetti, finché la pila stessa risulta scarica. Esse producono tipicamente f.e.m. di 1,5 V, 4,5 V e 9 V (a seconda del nrunero di coppie conduttrici ilnpilate) e possono erogare deboli correnti (meno di 1 ampere); sono d'uso comune e trovano vastissimo impiego.

Il secondo tipo di generatore elettrochimico è costituito dagli accumulatori ricaricabili. Essi vengono preventivamente caricati ilnmettendovi energia elettrica che viene convertita in energia di legame chimico per mezzo di una reazione elettrochimica; si sviluppa così un fenomeno di polarizzazione con cui si crea la f.e .m . del generatore. Successivainente, con processo chimico opposto, l'energia di lega-1ne può essere riconvertita in energia elettrica che è erogata dall'accumulatore; in tal modo questo si scarica. Tra i numerosi tipi di accumulatori ricaricabili, sono di vastissin10 ilnpiego due categorie:

36 Capitolo 5

a. Gli accu1nulatori al Piombo-Acido, che producono tipicamente f.e.1n. di 2 V per cella e sono utilizzati nei veicoli stradali e ferroviari; essi possono erogare correnti di molte decine fino a qualche centinaio di ampere.

b. Gli accumulatori agli ioni di Litio, che producono tipicamente f.e.n1 di 3,6 V per cella, sono larghissimamente utilizzati nei PC portatili, nei telefoni cellulari, smartphone e tablet e nei veicoli elettrici e ibridi. La tecnologia di questo tipo di generatori è in rapidissima evoluzione e si ritiene che essi potranno avere un'importanza fondainentale come accumulatori di energia nelle reti elettriche alimentate da fonti di energia rinnovabile.

5.4.2 Generatori fotovoltaici

Sono insiemi di fotodiodi, ognuno dei quali è costituito da due strati semiconduttori affiancati, in Silicio, uno con drogaggio trivalente (di tipo p) e uno pentavalente (di tipo n). Esposto al flusso di fotoni provenienti dal sole o da altra fonte luminosa, il fotodiodo converte parte della potenza luminosa incidente in potenza elettrica. Il funzionamento dettagliato e gli schemi elettrici equivalenti saranno trattati nel secondo volume. I fotodiodi sono oggi largainente utilizzati per realizzare i pannelli fotovoltaici .

5.4.3 Generatori termoelettrici

Sono dispositivi costituiti da una giunzione tra due metalli diversi tra i quali si manifesta una debole f.e.m., detta fe.m. termoelettrica, cl1e è funzione della temperatura cui è posta la giunzione. Vengono usati nel campo delle misure come trasduttori di temperatura (termocoppie): misurando la f.e.m. si può risalire alla temperatura del corpo con cui la giunzione è messa in contatto. Sono generatori utilizzabili in applicazioni di segnale e di piccola potenza.

5.4.4 Generatori piezoelettrici

Certe sostanze (ad esempio il quarzo), quando vengono sollecitate meccanicamente, mairifestano f.e.m. dette f.e.m. piezoelettriche che possono essere di valore elevato (alcuni chilovolt) ma con correnti sempre molto modeste e di tipo impulsivo. Trovano impiego prevalente nelle apparecchiature elettroniche ( oscillatori, microfoni), ma sono anche utilizzati nei comuni accendigas piezoelettrici per generare piccole scariche elettriche in aria. Si tratta quindi di generatori non utilizzabili nelle applicazioni di potenza.

5.4.5 Generatori elettromeccanici

I generatori elettromeccairici sono macchine rotanti dotate di una parte fissa (statore) e di una parte mobile (rotore). In esse avviene la conversione elettromeccairica, con la quale l'energia meccanica, fornita da un motore primo (una turbina ad acqua, a vapore o a gas oppure un 1notore a combustione interna), che mantiene in rotazione il rotore, viene convertita in energia elettrica. Le f.e.m. sviluppate


ai morsetti sono nella maggioranza dei casi sinusoidali, raggiungono tipicamente alcuni chilovolt e sono associate ad elevate correnti (alcuni chiloampere). Queste n1acchine, che hanno importanza fonda1nentale nella produzione di energia elettrica, saranno trattate nel secondo volume.

Capitolo

BIPOLI, DOPPI BIPOLI E POTENZA ELETTRICA

6.1 BIPOLI

6.1.1 Introduzione

Al Capitolo 4 si è visto che un resistore è un componente elettrico a due morsetti costruito con materiali conduttori e privo di f.e.m., caratterizzato delle seguenti relazioni tra tensione e corrente ai morsetti:

V =RI, l = G V (6.1.1.1)

se R e G sono costanti al variare di tensione e corrente si parla di resistore ideale o lineare.

Analogamente al Capitolo 5 si è visto che un generatore è pure un componente elettrico a due morsetti costruito con materiali conduttori e, a differenza del resistore, dotato di f.e.m . . Esso è caratterizzato della seguente relazione tra tensione e corrente ai morsetti:

V=E- R/ (6.1.1.2)

questa può essere invertita, ricavando J = EIR;-V/R1, ovvero:

(6.1.1.3)

ove si è posto:

(6.1.1.4)

J è detta corrente impressa dal generatore e corrisponde alla corrente ai morsetti quando la d.d.p. tra essi è nulla; G; è la conduttanza del generatore. La relazione così ottenuta esprime il legame tra tensione e corrente i11 modo equivalente alla (6.1 .1.2).

' E anche utile defrnire il generatore ideale di tensione, che verifica la relazione:

V =E \::Il (6.1.1.5)

un generatore reale che presenta "caduta di tensione resistiva" R;I trascurabile (R;I <<E) è approssilnabile con tale generatore ideale di tensione.

40 Capitolo 6

Dualmente è utile definire il generatore ideale di corrente, che verifica la relazione:

I=J vv (6.1.1.6)

un generatore reale per il quale è G;V <<J è approssimabile con tale generatore ideale di corrente.

6.1.2 Definizione di bipoli elementari Tutti gli elementi sopra descritti rientrano nella definizione di bipala data nel

Capitolo 3. Ognuno dei bipoli sopra descritti è rappresentato da un simbolo specifico. Così per il resistore si usa il simbolo di Figura 6 .1.2. la o ba seconda che esso sia lineare o meno.

a) b)

+ V + V

I I

Figura 6.1 .2 .1

E E +

- +

I .. V+ I .. V+

Figura 6.1.2 .2

Invece per rappresentare un generatore ideale di tensione si usa uno dei simboli di Figura 6.1.2.2 e per rappresentare un generatore ideale di corrente uno dei simboli di Figura 6.1.2.3. Si vedrà più oltre come possa essere rappresentato un generatore non ideale facendo uso dei simboli appena introdotti.

J J .. I ...

I .. V+ I .. V+

Figura 6.1.2.3

8 IPOLI, DOPPI BIPOLI E POTENZA ELITTRICA 41

' E di fondamentale importanza tenere bene a mente che le relazioni di resisto-re (6.1.1.1), generatore (6.1.1.2) - (6.1.1.3) e generatore ideale (6.1.1.5) - (6.1.1.6) considerano correnti e tensioni per le quali sono stati preventivan1ente fissati i riferimenti (simbolo ~ e shnboli + e-, rispettivamente). In particolare le (6.1.1.1) considerano la combinazione di riferimenti di Figura 6.1.2.1 (in accordo con le deduzioni del Cap. 4), mentre le (6.1.1.2) - (6.1.1 .6) considerano la combmazione di riferm1enti delle Figure 6.1.2.2 e 6.1.2.3 (in accordo con le deduzioni del Cap. 5).

6.1.3 Caratteristica esterna dei bipoli

Il comportainento elettrico di un bipolo generico è definito dalla relazione che esso presenta tra tensione e corrente ai morsetti. Tale relazione è chiamata caratteristica esterna del bipolo. Quando tensione e corrente sono stazionarie, la relazione è detta caratteristica statica esterna del bipolo: i legai1ù illustrati in § 6.1.1 ne sono degli esempi. Tale caratteristica può essere rappresentata da una curva del piano V,! ovvero del piano I, V.

a) V b) V

I L----- 1

Figura 6.1.3.1

Ad esempio un resistore lineare ha caratteristica statica rettilinea passante per l'origme degli assi (Fig. 6.1.3.la). In Figura 6.1.3.lb è invece 111ostrata una caratteristica non lineare, tipica di un diodo raddrizzatore. Poichè il resistore è un bipolo passivo, la sua caratteristica occupa soltanto il I e il III quadrante.

a) V

b) V

I I

Figura 6.1 .3.2

42 Capitolo 6

Un generatore avente E ed R costanti non nulle (ovvero J e G costanti non nulle) ha caratteristica statica rettilinea non passante per l'origine (Fig. 6.1.3.2a); un generatore generico può avere caratteristica statica quale quella indicata in Figura 6.1.3.2b; un generatore ideale di tensione costante ed un generatore ideale di corrente costante hanno caratteristica statica rettilinea rispettivamente parallela all'asse delle correnti e delle tensioni (Fig. 6.1.3.3).

a) b) V V

I

E

I I . J

Figura 6.1 .3.3

6.1.4 Bipoli particolari Casi limite di resistore e generatore sono costituiti dai seguenti bipoli.

- Il cortocircuito (Fig. 6.1.4.1), che ha equazione

V= O VI (6.1.4.1)

corrisponde ad un resistore con resistenza nulla (R = O), ovvero ad un generatore ideale di tensione con f.e.m. nulla (E= O); esso viene utilizzato per schematizzare resistori di resistenza molto piccola rispetto a quella degli altri resistori con cui interagiscono, così da poter essere trascurata.

- Il circuito aperto (Fig. 6.1.4.2), che ha equazione

I = O 'ltV (6.1.4.2)

corrisponde ad un resistore con conduttanza nulla (G = O), ovvero ad un generatore ideale di corrente con corrente impressa nulla (J = O); esso viene utilizzato per schematizzare resistori di resistenza molto grande rispetto a quella degli altri resistori con cui interagiscono, così da poter essere considerata infinita.

I ... + V

• • • •

Figura 6.1.4 .1 Figura 6.1.4.2

Si incontreranno anche i due seguenti bipoli:

l'interruttore che chiude (Fig. 6.1.4.3), che è un bipolo che si presenta inizialmente come circuito aperto e che ad un certo istante t* "commuta" trasformandosi in cortocircuito;

- l'interruttore che apre (Fig. 6.1.4.4), che è un bipolo che si presenta iniziahnente come cortocircuito e che ad un certo istante t* "commuta" trasformandosi in circuito aperto.

t=t* t=t*

I ' ... • I ... •

+ V + V

Figura 6.1 .4.3 Figura 6.1.4.4

Con questi due bipoli si schematizzano componenti elettrici in cui la commutazione può avvenire in vari modi. Ad ese1npio può avvenire a seguito di un intervento meccanico che pone in contatto o allontana due parti conduttrici, ciascuna connessa ad un morsetto (interruttori meccanici), che in molti casi agiscono sia in chiusura che in apertura. Oppure la commutazione può avvenire a seguito della variazione di stato fisico di opportune giunzioni tra se1niconduttori (interruttori elettronici, quali sono diodi, transistor, tiristori, SCR) .

- il diodo a semiconduttore (o a giunzione, o pn), molto diffuso sia nei sistemi elettrici ed elettronici di potenza che in quelli di segnale. Si rappresenta con i simboli di Fig. 6.1.4.5a e b ed è costituito da due strati semiconduttori sovrapposti, in Silicio, uno con drogaggio trivalente ( di tipo p) e uno pentavalente ( di tipo n); un terminale, l'anodo (a), è connesso allo strato p e l'altro, il catodo (c), allo strato n . La conduzione nei due versi non è simmetrica: applicando una modesta tensione V> O (tensione diretta) il diodo va in conduzione, ovvero presenta una corrente I> O (corrente diretta); il valore massimo di corrente diretta tollerato dal diodo costituisce la corrente no1ninale 1

0• Viceversa applicando

una tensione V< O (inversa) il diodo si pone in interdizione, ovvero presenta corrente I< O (inversa) estremamente piccola, almeno finché il modulo della tensione inversa non supera la tensione nominale V

0; oltre V" si ha un brusco

au1nento del modulo della corrente inversa, ossia una scarica, normalmente distruttiva.

Ogni diodo è caratterizzato dalla sua 10

e dalla sua V0

• La relazione tra tensione e corrente si presenta co1ne in Figura 6.1.4.5c 1, in cui V,10 = 0,3 + 0,6 V, e 11 è 1o-i1 + 10-1 I". La Figura 6.1.4.6 mostra alcuni tipi di diodi di larga applicazione.

1 Diversamente dalle Figura 6.1.3.1, la Figura 6.1.4.Sc presenta la tensione in ordinata e la corrente in ascissa; le due modalità di rappresentazione sono ugualmente legitti1ne e nel caso del diodo si fa tipica1nente ricorso alla seconda.

44 Capitolo 6

l

a) b) e) conduzione

I ... I ... VdO V ' a e a c

• ' li interdizione

+ V + V

Figura 6.1.4.5

b)

a)

" 11 I I ,1111 I l'II I llllillljlllllllll 1111111111111111111

11 • 15 ~ n 16 l~

Figura 6.1.4.6 Diodi a semiconduttore con prestazioni crescenti: a) per applicazioni di segnale o piccola potenza (tensione di qualche volt e corrente dell'ordine dell'ampere); b) per applicazioni di potenza elevata (tensione di centinaia volt e corrente dell'ordine del chiloampere).

a) b) l

l • • N • V

+ V

Figura 6.1.4.7

- Il diodo ideale: nella maggior parte delle applicazioni il legame non lineare tra tensione e corrente di Figura 6.1.4.5c può essere approssimato con la spezzata di Figura 6.1.4. 7b: è questo un andamento ideale, e pertanto viene definito diodo ideale il co1nponente che si comporta in tal modo; il simbolo con cui esso


viene rappresentato è illustrato in Figura 6.1.4.7a. Un diodo ideale è equivalente ad un cortocircuito nella fase di conduzione e ad un circuito aperto nella fase di interdizione.

6.2 POTENZA ELETTRICA

6.2.1 Potenza elettrica scambiata ad una porta

Si è già visto che la potenza elettrica in gioco ai tenninali di un bipolo (e più in generale ad una porta elettrica) è pari al prodotto di tensione per corrente. In regime stazionario la potenza scambiata ad una porta elettrica dotata di tensione V e corrente I vale dunque:

P ~ VI (6.5.1.1)

più in generale, in regime variabile, la potenza istantanea scambiata ad una porta elettrica dotata di tensione v( t) e corrente i ( t) vale:

p(t) ! v(t)i(t) (6.5.1.2)

Tale prodotto ha dimensione fisica di watt [W], essendo [V][A] = [W]. Frequente è l'uso dei multipli (chilowatt [k\lV], megawatt [MW]) nei sistemi di produzione, trasmissione e utilizzazione dell'energia elettrica, e dei sottomultipli (milli-\,vatt [mW], microwatt [µW]) nei circuiti elettronici ed il1 generale nei sistemi per l'elaborazione di segnali.

6.2.2 Convenzioni delle potenze elettriche a) b) e) d)

/ h Ìh1 Ì1,' .. .. .. .. + +

V h Vh' Vh

+

Figura 6.2.2.1

Per stabilire se la potenza scan1biata alla porta 11-esiina entra o esce da essa è necessario fissare i riferimenti di tensione e corrente. Dalla combinazione dei due riferiinenti si possono avere le quattro diverse situazioni rappresentate in Figura 6.2.2.1.

Dato che l'inversione del riferimento di tensione e/o corrente comporta l'inversione del segno della stessa tensione e/o corrente (vh(t) =-vh'(t), ih(t) =-ih'(t)), ai fini della determinazione del segno nel prodotto tensione-corrente i casi a) e b) sono equivalenti fra loro (e così pure i casi c) ed)): infatti si passa dall'uno all'altro invertendo conte1nporaneamente i riferiinenti di tensione e di corrente.

I casi a) e b) corrispondono alla convenzione degli utilizzatori. I casi c) e d) a quella dei generatori, definite nel Capitolo 3.

46 Capitolo 6

6.2.2.1 Convenzione degli utilizzatori

Se per la porta si usa la convenzione degli utilizzatori (la porta è convenzionata da utilizzatore), la potenza Ph = v1,i11 è entrante alla porta h-esima.

Se risulta P1i > O, allora la porta h-esima assorbe potenza elettrica positiva; se viceversa risulta p11 < O, allora la porta eroga potenza elettrica positiva.

Con tale convenzione in un resistore è sempre p 11 > O, in quanto esso può solo assorbire e dissipare potenza elettrica. Invece in un generatore è Pi.< O se esso sta erogando potenza elettrica; è p11 > O se ne sta assorbendo.

6.2.2.2 Convenzione dei generatori

Se per la porta si usa la convenzione dei generatori (la porta è convenzionata da generatore), la potenza p11 = vhih è uscente alla porta h-esin1a.

Se risulta Ph > O, allora la porta h-esima eroga potenza elettrica positiva; se viceversa risulta Ph < O, allora la porta assorbe potenza elettrica positiva.

Con tale convenzione in un resistore è sempre Pb < O. Invece in un generatore è Ph > O se esso sta erogando potenza elettrica; è p11 < O se ne sta assorbendo.

6.2.3 Potenza scambiata da un m-bipolo e da un n-polo

6.2.3.1 Potenza scambiata da un m-bipolo con il resto della rete

La totale potenza scan1biata da un m-bipolo con il resto della rete avente tutte le 1n porte convenzionate allo stesso modo risulta espressa da:

(6.2.3.1)

se si è usata la convenzione degli utilizzatori, p(t) rappresenta la totale potenza entrante nell'm-bipolo; se si è usata la convenzione dei generatori, p(t) rappresenta la totale potenza elettrica uscente dall'm-bipolo.

6.2.3.2 Potenza scambiata da un n-polo

Per esprimere la potenza scambiata da un n-polo, si può considerare questo come un m-bipolo, il cui nwnero di porte è m=n-1, ciascuna essendo definita tra il 1norsetto h-esimo ( 1 < h < n -1) ed il morsetto n-esilno: tale assunzione è legittima in quanto, per la proprietà delle correnti di n-polo, la corrente entrante al morsetto n-esimo (morsetto comune) è pari all'opposto della so1nma delle correnti entranti a tutti gli altri morsetti:

l\·1

in=- I,ib (6.2.3.2) h=1

e può quindi essere considerata come la corrente di ritorno delle n -1 porte aventi corrente i 11 e tensione v110 • Con tale assunzione la potenza scambiata risulta ancora espressa dalla (6.2.3.1).


E SEMPI

. . li l2

i(t) • • • + +

o o VI V 2

+ V(t) •


Il bipolo di Figura 6.2.3.1 risulta convenzionato da utilizzatore e quindi il prodotto di tensione e corrente indica la potenza entrante. Se la tensione vale v=-120 V e la corrente i =-0,5 A, la potenzap = 60 W, positiva, è assorbita dal bipolo. Se invece la tensione vale v =-160 V e la corrente i= 0,4 A, la potenza p =-64 W è negativa: il bipolo sta erogando 64 W al circuito cui è connesso.

Il doppio bipolo di Figura 6.2.3.2 risulta convenzionato da utilizzatore alla porta 1 e da generatore alla porta 2. Tensioni e correnti valgono: V1 = 100 V, V2 = 30 V, 11 = 6 A, 12 = 2 A. Esso dunque assorbe la potenza P1 = 600 W alla porta 1 ed eroga la potenzaP2 = 60 W alla porta 2 (ovvero assorbe alla porta 2 -P2 =-60 W); la potenza complessivainente assorbita dal doppio bi polo vale P = P1 - P2 = 540 W.

6.2.4 Lavoro elettrico

Analogamente a quanto avviene per potenza e lavoro meccanici, il lavoro elettrico /1[, scambiato nell'intervallo di tempo /1t ad una porta elettrica è:

tiC =f p(t)dt = J v(t)i(t)dt M &L

(6.2.4.1)

In regime stazionario la potenza è costante nel tempo e quindi il lavoro elettrico scambiato nell'intervallo temporale /1t si riduce a:

tiC = f P dt = P /1t = V l /1t ,l.l

(6.2.4.2)

Co1ne la potenza, il lavoro è entrante o uscente dalla porta a seconda che questa sia convenzionata da utilizzatore o da generatore. Il lavoro elettrico ha dimensione fisica di joule [J], dato che [W][s] = UJ. Frequente è l'uso dei 1nultipli (kilojoule [kJ], megajoule [MJ], gigajoule [GJ]) nei sistemi di produzione, trasmissione e utilizzazione dell'energia elettrica, e dei sottomultipli (1nillijoule [mJ], microjoule [µJ]) nei circuiti elettronici ed in generale nei sistemi per l'elaborazione di segnali. ' E usatissimo il kilo'\>vattora, dove 1 kilowattora = 3.6 MJ. Il totale lavoro elettrico /1L scambiato dall'm-bipolo nell'intervallo di tempo /1t, se tutte le m porte recano la medesima convenzione (degli utilizzatori o dei generatori) risulta espresso dalla somma dei lavori scainbiati alle m porte.

48 Capitolo 6

6.2.5 Wattmetro

i(t) ~ V

V(t)

Figura 6.2.5.1

La potenza elettrica scambiata ad una porta si n1isura con lo strumento detto wattmetro, che è dotato di quattro morsetti, due dei quali vengono chiamati morsetti amperometrici e due morsetti voltmetrici; i morsetti amperometrici, contrassegnati l'uno con + e l'altro con-, vengono inseriti "in serie" nel circuito come nel caso dell'amperometro; ai morsetti volbnetrici, pure contrassegnati con + e con-, fanno capo due conduttori che terminano in due puntali, come per il voltmetro, i quali vengono posti nei punti tra i quali si intende considerare la d.d.p.; lo strumento è dotato anche di un sisten1a di visualizzazione ( che può essere una lancetta mobile lungo una scala graduata, un display digitale, uno schermo oscilloscopico, ... ) che indica la potenza. Esso si schematizza con il simbolo di Figura 6.2.5.1, ove sono indicati i riferinlenti di corrente e tensione corrispondenti alle inarcature dei morsetti: nell'esempio di figura tali riferimenti impongono la convenzione degli utilizzatori al bipolo di destra, e quindi lo strumento 1nisura la potenza entrante in esso.

Il wattmetro ideale presenta sempre tensione nulla tra i morsetti amperometrici e corrente nulla ai morsetti volbnetrici, cosicché la sua inserzione non modifica il funzionamento del circuito; inoltre esso indica istante per istante la potenza scambiata anche se questa varia molto rapidamente e qualsiasi segno essa assuma.

6.2.6 Contatore

Il lavoro elettrico /1.[, scambiato nell'intervallo di tempo /1t = t2 -li ad una porta elettrica (6.2.4.1) viene nùsurato con uno strumento detto contatore, che consiste in un wattmetro integratore. Esso ha un'enorme ilnportanza per la fatturazione dei consunù elettrici.

Anch'esso presenta quattro morsetti, per i quali valgono le stesse considerazioni di § 6.2.5.

Se la porta rappresenta un'utenza elettrica e i morsetti del contatore sono collegati in modo che la porta abbia la convenzione dell'utilizzatore, il contatore nùsura il lavoro elettrico assorbito dall'utenza dall'istante t

1 ( detto "istante della lettura

iniziale" in fattura) all'istante t2 ( detto "istante della lettura finale" in fattura) .

Capitolo

PROPRIETÀ GENERALI DELLE RETI ELETTRICHE

a 7.1 INTRODUZIONE ALLE RETI ELETTRICHE Una rete elettrica è costituita in generale da n-poli, tra cui in particolare anche

bipoli, i cui terminali sono connessi tra loro mediante conduttori ideali equipotenziali. Nel seguito faremo specifican1ente riferimento alle reti di bipoli e mostreremo che, conoscendo le equazioni che descrivono il legame tra tensione e corrente in ciascun bipolo e le interconnessioni esistenti tra i bipoli, è possibile risolvere la rete, ovvero determinare le tensioni e le correnti su tutti i bipoli. Per pervenire alla soluzione è possibile procedere in modo sistematico, applicando leggi e metodi di analisi che saranno illustrati in questo e nel seguente capitolo. I ragionamenti presentati sono facilmente estendibili alle reti di m-bipoli.

a 7.2 TOPOLOGIA DELLE RETI ELETTRICHE La topologia di una rete è essenzialmente la descrizione delle interconnessioni

esistenti tra i bipoli della rete. Tale descrizione è fondata sui seguenti concetti di base:

- lato: tratto di rete che rappresenta un bipolo con i conduttori ideali diretta111ente collegati ai suoi terminali; il lato può essere orientato. Il numero dei lati di una rete coincide con quello dei bipoli e viene indicato con e.

- nodo: punto di interconnessione tra due o più lati (bipoli) della rete; può essere orientato definendo un riferimento coerente (ad es.: uscente) per la 1nisura delle correnti su ciascuno dei lati ad esso interconnessi. Il numero di nodi di una rete viene indicato con n.

- grafo: descrizione grafica della rete, ottenuta indicando i nodi per mezzo di punti ed i lati per mezzo di segmenti curvilinei.

- maglia: insieme di lati, tra loro connessi direttainente, tali da costituire un percorso chiuso nel grafo che tocca ciascun nodo una sola volta; una maglia può essere orientata definendo un'orientazione del percorso (ad es.: in verso orario) coerente con il riferimento delle tensioni su ciascuno dei lati che la costituiscono.

- anello: una maglia che orla una superficie non contenente ele1nenti del grafo. - insieme di taglio: insieme di lati che attraversano (ovvero "sono tagliati da") la

superficie che contorna un volume arbitrario che include uno o più nodi del grafo; una superficie di taglio può essere orientata definendo un'orientazione della superficie (ad ese1npo uscente dal volume) coerente con i riferimenti delle correnti su ciascuno dei lati che lo costituiscono.

50 Capitolo 7

EsEMPio: descrizione grafica di una rete di bipoli mediante grafo costituito da nodi e lati

/ nodo

Figura 7.2.1

ESEMPIO: maglia Tra gli esempi di Figura 7.2.2 l'insieme dei lati in grassetto definisce una maglia soltanto nel caso a).

a) b)

Figura 7.2 .2

EsEMPio: insieme di taglio

e)

In Figura 7.2.3 i lati (disegnati in grassetto), che attraversano la superficie Se del volu1ne rappresentato in grigio costituiscono un insieme di taglio. Nel caso b) i lati dell'insieme di taglio concorrono in un nodo.

a) b)

Figura 7.2.3

- Albero: insieme di lati che collegano tutti i nodi del grafo senza formare alcuna maglia. In un grafo si possono definire più alberi. Se il grafo han nodi, il numero e. di lati di ogni suo albero è:

I, = n - 1 a (7.2.1)

PROPRIETÀ GENERALI DELLE RETI ELETTRICHE 51

E SEMPIO: albero In Figura 7.2.4 i sottografi a), b), c) ed) sono esempi di alberi del grafo rappresentato in alto a sinistra.

a) b)

Ns Ns

e) d)

N

N

Ns Ns Figura 7.2.4

Coalbero: insieme di lati complementari ad un dato albero. Si possono definire tanti coalberi quanti sono gli alberi. Se il grafo han nodi ed .e lati, il numero .e

0

di lati di qualunque coalbero è:

.e =t- .e = f- (n-1) (7.2.2) e •

E SEMPIO: coalbero In Figura 7.2.5 sono rappresentati i coalberi corrispondenti agli alberi a), b), c) ed) del grafo di Figura 7.2.4.

a) b)

e} d)

N --~

Figura 7.2.5

52 Capitolo 7

I concetti di base descritti si applicano anche nel caso in cui le reti contengano, oltre a bipoli, anche m-bipoli: è sufficiente che in questi ulti11ù si associ un lato ad ogni porta .

• 7.3 LEGGI DI KIRCHHOFF

Come descritto nel Cap. 3, la definizione degli n-poli nelle reti elettriche si basa sulle seguenti due ipotesi:

a. la somma delle correnti uscenti dai terminali (vale a dire tutte misurate con riferimenti uscenti dal n-polo) è nulla;

b. la tensione tra una qualsiasi coppia di terminali è una differenza di potenziale.

Tenendo conto delle proprietà dei campi vettoriali e del prmcipio di conservazione delle cariche elettriche, queste ipotesi equivalgono a stabilire che:

1. la co1Tente netta attraverso qualunque supezficie "chiusa" che non "tagli" alcun bipolo è sempre nulla, grazie al fatto che il campo di densità di corrente è solenoidale all'esterno dei bipoli;

2. la tensione lungo un qualunque percorso chiuso che non attraversi alcun bipolo è sempre nulla, grazie al fatto che il campo elettrico è conservativo all'esterno dei bipoli.

Queste due affer1nazioni, dette leggi di Kirchhoff, essenzialmente espri1nono le ipotesi fondamentali alla base dello studio delle reti elettriche e da esse discende gran parte delle loro proprietà.

Vale la pena di notare che esistono sistemi fisici che non possono essere descritti mediante bipoli coerenti con tali definizioni e che quindi tali siste1ni non possono essere descritti mediante una rete elettrica.

7.3.1 Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC)

La LKC ( o pri1na legge di Kirchhoff) può essere espressa affermando che, in una rete di n-poli, la somma algebrica delle correnti dei lati appartenenti ad un qualsiasi insieme di taglio orientato è uguale a zero in ogni istante:

r i(t) = o lnsiB1nA di

(7.3.1.1) taglio {ClriAnL.ato)

E SEMPIO!

Per gli msiemi di taglio Ì11 Figura 7.3.1.1, orientati in verso uscente (versore n), la LKC si scrive:

(7.3.1.2)

Questa equazione è soddisfatta ad esempio dai valori i1

= 16 A, i2 = -25 A e

i :{ = -9 A. Orientare l'msieme di taglio nel verso opposto (versore n entrante) equivale a cambiare tutti i segni, ottenendo un'equazione equivalente.


a) . l i

~

. 12

~-

Figura 7.3.1.1

7.3.2 Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT)

53

b)

. l 3 ...

La LKT ( o seconda legge di Kirchhoff) può essere espressa affern1ando che, in una rete di n-poli, la somma algebrica delle tensioni dei lati appartenenti ad una qualsiasi maglia orientata è uguale a zero in ogni istante:

E SEMPIO!

I: v(t) = o ma_glia (Onénl.ata)

(7.3.2.1)

Per la maglia di Figura 7.3.2.1, orientata nel verso indicato dalla freccia ricurva (orario), la LKT si scrive:

(7.3.2.2)

Questa equazione è soddisfatta ad esempio dai valori: v1 = 100 V, v2 = 240 V, v3 = - 200 V e v4 = -60 V. Orientare la maglia nel verso opposto (antiorario) equivale a cambiare tutti i segni ottenendo un'equazione equivalente.

+

v;

+ +

+

Figura 7.3.2 .1

54 Capitolo 7

a 7.4 SISTEMI DI EQUAZIONI TOPOLOGICHE

Le equazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff (LKT e LKC) sono dette equazioni topologiche della rete, in quanto descrivono essenziahnente le interconnessioni tra i bipoli.

Per risolvere una rete, ovvero per determinarne tutte le tensioni e tutte le correnti dei lati, conviene scrivere llll sistema costituito da tutte le possibili equazioni topologiche tra loro indipendenti.

7.4.1 Sistemi di equazioni LKT indipendenti

Scelto (a piacere) un albero della rete, per ciascun lato del corrispondente coalbero possiamo individuare una maglia composta solainente da quel lato di coalbero e da uno o più lati dell'albero. Tali maglie sono in nUinero pari a m = Cc = C-e. = C-(n-1) e ciascuna di esse contiene un lato che, per costruzione, non appartiene alle altre maglie. Se ne ottiene quindi un siste1na di m equazioni LKT indipendenti tra loro:

I v(t)=O perciascunadellem=C-(n-l)n1aglie (7.4.1.1) maoJia (orfenLat.a)

poiché in una rete possono essere individuati più alberi e relativi coalberi, è possibile scegliere tra più sistemi di m equazioni indipendenti nelle tensioni. Se la rete è piana ( cioè avente grafo che può essere disegnato su un piano senza che i lati si intersechino), le equazioni LKT scritte per gli anelli del grafo costituiscono un sistema di equazioni indipendenti tra loro.

7.4.2 Sistemi di equazioni LKC indipendenti

Scelto (a piacere) un albero della rete, per ciascun ramo di albero possiamo individuare un insieme di taglio, composto da un solo lato dell'albero e da uno o più lati del coalbero. Tali insiemi di taglio sono in numero pari a e. =n-1, quanti sono i lati di albero, e ciascuno di essi contiene un lato che, per costruzione, non appartiene agli altri insiemi di taglio. Se ne ottiene quindi un sistema di n-1 equazioni LKC indipendenti tra loro:

I i(t) = O, per ciascuno deglin-1 insiemi di taglio; (7.4.2.1) it)siBtné di Laglio (oriéolalo)

poiché in una rete possono essere individuati più alberi e relativi coalberi, è possibile scegliere tra più sistemi di n -1 equazioni indipendenti nelle correnti.

7.4.3 Numero totale di equazioni topologiche indipendenti

Tenendo conto di quanto sopra, per una rete elettrica possono essere scritte complessivamente m + n-1 = ec +e.= C equazioni topologiche indipendenti:

I i(t) = O, per ciascuno degli n-1 insiemi di taglio; (7.4.3.1) iosiBrtlé di Laglfo (oriénlalo)


I: v(t) = O, per ciascuna delle m = e-(n - 1) maglie; maglia (otìéOLala)

55

(7.4.3.2)

poiché queste equazioni sono di natura topologica, per la loro scrittura è conveniente utilizzare il grafo della rete.

EsEMPIO

a) .;1/'"-,j ~-+ .. - - 7

b)

1/ .r,~ + -+ • - ,~ 7 I

e)

5 - • I + 5 • +

-~ i~ /2 + ~~ js /2 + 4 +±- 3 4 ++ - 3

Figura 7.4.3.1

Il grafo di Figura 7 .4.3 .1 ha e = 8 lati e n = 5 nodi. Gli n-1 = 4 lati di un albero sono evidenziati con tratto più grosso, il coalbero relativo ha m = 4 lati.

Le 1n = 4 maglie, costruite su tale coalbero sono (Fig. 7.4.3.lb)

- maglia a: lato di coalbero 1, lati di albero 5 e 6; - maglia b: lato di coalbero 7, lati di albero 2 e 6; - maglia c: lato di coalbero 8, lati di albero 2, 3 e 6; - maglia d: lato di coalbero 4, lati di albero 2, 3, 5 e 6.

Gli n - 1 = 4 insie1ni di taglio, costruiti sull'albero sono (Fig. 7 .4.3. lc)

- insie1ne di taglio A: lato di albero 5, lati di coalbero 1 e 4 ; - insieme di taglio B: lato di albero 6, lati di coalbero 1, 4, 7 e 8; - insien1e di taglio C: lato di albero 2, lati di coalbero 4, 7 e 8; - insieme di taglio D: lato di albero 3, lati di coalbero 4 e 8.

Ovviamente sono lecite anche altre scelte di albero e coalbero, sempre di n-1 = 4 e m = 4 lati.

56 Capitolo 7

a 7.5 CONSERVAZIONE DELLE POTENZE ELETTRICHE

In una rete elettrica di bipoli, in conseguenza delle LKC e LKT, la somma delle potenze (definite su tutti i bipoli con la convenzione degli utilizzatori) è nulla in ogni istante:

(7.5.1)

La medesiina proprietà vale anche definendo tutte le potenze con la convenzione dei generatori. La (7.5.1) con1porta che alcuni bipoli effettivamente assorbano potenza, mentre altri ne eroghino. Se alcuni bipoli recano la convenzione dei generatori ed altri quella degli utilizzatori, la (7.5.1) si riscrive come:

L b P •• (t) = Lb P •• (t) (7.5.2)

ovvero la so1nma delle potenze erogate dai bipoli "convenzionati" da generatori è uguale alla somma delle potenze assorbite dai bipoli "convenzionati" da utilizzatori.

Se tutti i bipoli sono convenzionati da u tilizzatori, la potenza assorbita dal bipolo h-esiino che si appoggia ai nodi re s può essere scritta come:

(7.5.3)

avendo espresso la tensione sul bipolo vh(t) = U,-U. (differenza dei potenziali ai nodi r ed s) e la corrente sul bi polo ih (t) = i,., misurata dal nodo r verso il nodo s.

La somma su tutti i lati della rete si ottiene sommando in r ed in s su tutti i nodi della rete (e dividendo per due, perché la doppia sommatoria di nodo considera ciascun bipolo due volte):

(7.5.4)

distribuendo e permutando le due somn1atorie di nodo, si ottiene:

, I. 1 (°"" U °"u , , n U , n · ) O "--h=t P b = Z "--r=t r "--s=t 1,s - "--s=t s "--r=t 1,.s = (7.5.5)

infatti le due sommatorie delle correnti i,., la prima in s e la seconda in r, costituiscono le somme delle correnti rispettivamente entranti nel nodo s e uscenti dal nodo r: per la LKC esse sono entrambe nulle.

La conservazione delle potenze vale anche per le reti di m-bipoli.

Capitolo

RETI IN REGIME STAZIONARIO

In questo capitolo si descrivono le proprietà delle reti di resistori, generatori di tensione costante e generatori di corrente costante in regùne stazionario, nelle quali le tensioni e le correnti sono tutte costanti: v{t) =Ve i(t) = I.

Si considerano inizialmente reti risultanti da connessioni semplici di bipoli, che sono utili anche nell'analisi di reti più complesse.

8.1 BIPOLI IN SERIE

8.1.1 Serie di due bipoli generici

A .. 1s + +

Vi 81

-Vs + I N

Vs

V1

I Vi 8 2 --------,,f---------~

--B


Due bipoli B1 e B2 sono considerati in serie se un terminale di entrambi è connesso ad uno stesso nodo N cui non converge alcun altro collegamento. Quindi, con i riferimenti indicati in Figura. 8.1.1.1, dalla LKC risulta:

Is=I1 =I2 (8.1.1.1)

dalla LKT si ottiene inoltre che per le tensioni vale la relazione:

Vs=V1+V2 (8.1.1.2)

58 Capitolo 8

Queste equazioni indicano che i due bipoli possono essere considerati come un unico "bipolo serie", la cui caratteristica esterna (relazione tra V.5 e IsJ si ottiene so1nmando le tensioni di B1 e B2 a parità di corrente. In Figura 8 .1.1.2 si vede che la caratteristica del bipolo serie può anche essere ottenuta per via grafica, operando sulle caratteristiche esterne dei singoli bipoli.

Si osservi che non tutti i bipoli possono essere connessi in serie: ad esempio, due generatori ideali di corrente aventi correnti impresse f 1 e J2 diverse tra loro non possono essere posti in serie, perché la (8.1.1.1) non può essere verificata. Lo stesso vale per un generatore ideale di corrente (J # O) ed un circuito aperto.

8.1.2 Serie di un generatore ideale di tensione e di un resistore

Un caso importante è costituito dalla serie di un generatore ideale di tensione costante E e di un resistore con resistenza R (Fig. 8.1.2.1).

.... 11 12 /1 • Vi / , ~ - V,

8 + + ~ +-

o o -o + +

V1-E V2= R 12 Vs ls

~

E

Figura 8 .1 .2.1

Con i riferimenti indicati, la LKC diviene /5 = /1 = -12• Esprimendo nella LKT le tensioni per mezzo della rispettiva equazione di bipolo si ottiene anche:

(8.1.2.1)

I:ultimo membro mostra che la caratteristica esterna (V:5, / 5) del bipolo serie esprin1e essenzialmente la relazione tensione-corrente di un generatore elettrico avente f.e.m. pari a E e resistenza pari a R. Quando E e R sono costanti si ottiene un generatore lineare di tensione.

Se il riferimento per la misura della corrente 15 viene rovesciato (/5 '=-/5) , l'equazione diventa ovviainente: Vs= E + R 15 ' .

R ETI IN REGIME STAZIONARIO 59

8.1.3 Serie di uno o più resistori

Is R1 + R2 vk+ Rk + Rf .... + - - - -···---WVv +

... ... ... Vs l k

Figura 8.1 .3.1

Il procedi.Inento sopra descritto può essere facilmente generalizzato al caso di .f, bipoli in serie. Nel caso in cui questi siano tutti resistori ( convenzionati co1ne in Fig. 8.1.3.1), per il k-esimo resistore si ha:

(8.1.3.1)

mentre la LKT e la LKC impongono:

(8.1.3.2)

(8.1.3.3)

da queste si ricava:

(8.1.3.4)

Tale relazione mostra che il bipala serie è un resistore avente resistenza uguale alla somma delle resistenze:

(8.1.3 .5)

8. 1.3.1 Partitore di tensione resistivo

Dalle precedenti relazioni si ricava che la tensione della serie v. si ripartisce su ciascun resistore in modo proporzionale alla sua resistenza:

(8.1.3.6)

:[;ultima espressione è nota come formula del partitore di tensione resistivo.

60 Capitolo 8

a 8.2 BIPOLI IN PARALLELO

8.2.1 Parallelo di due bipoli generici

A - ~ + lp lp

+ +

Vp Vi B1 111 V2 B2

' 12

li

' - - 12

- V - .....

B

Figura 8 .2 .1.1 Figura 8.2.1.2

Due bipoli B1 e B2 sono considerati in parallelo se le coppie di terminali di entrambi i bipoli sono collegati alla stessa coppia di nodi A e B. Quindi, con i riferimenti indicati in Fig 8 .2.1.1, dalla LKT risulta:

v;,=V1=V2 (8.2.1 .1)

dalla LKC si ottiene inoltre che per le correnti vale la relazione:

IP=I1 + I2 (8.2 .1.2)

Queste due equazioni indicano che i due bipoli possono essere considerati co1ne un unico "bi polo parallelo", la cui caratteristica esterna (legame tra v;, e 1i,) può essere ottenuta sonunando le correnti di B1 e B2 a parità di tensione. In Figura 8.2.1.2 si vede che la caratteristica del bipolo parallelo può anche essere ottenuta per via grafica, operando sulle caratteristiche esterne dei singoli bipoli.

Si osservi che non tutti i bipoli possono essere connessi in parallelo: ad esempio, due generatori ideali di tensione aventi f.e.m. E1 e E2 diverse tra loro non possono essere posti in parallelo, perché la (8.2.1.1) non può essere verificata. Lo stesso vale per un generatore ideale di tensione ( con E :;,t O) ed un cortocircuito.

8.2.2 Parallelo di un generatore ideale di corrente e di un resistore

Un caso in1portante è costituito dal parallelo di un generatore ideale di corrente costante J e di un resistore con conduttanza G (Fig. 8 .2.2.1) .

Con i riferimenti indicati, la LKT diviene VP = V1

= - V2

• Esprimendo nella LKC la corrente dei singoli bipoli per n1ezzo della rispettiva equazione di bipolo si ottiene:

(8.2.2.1)

R ETI IN REGIME STAZIONARIO

0-----1: I :---o-Vi + +

J

Vi

]p

Figura 8 .2.2.1

61

]p

.... + Vp

Vp

:[;ultimo membro 1nostra che la caratteristica esterna (Vp, IP) del bipala parallelo esprime essenzialn1ente la relazione tensione-corrente di un generatore elettrico avente corrente impressa pari a] e conduttanza pari a G; pertanto questo può essere schematizzato con il parallelo suddetto. Quando J e G sono costanti si ottiene un generatore lineare di corrente.

Se il riferimento per la misura della tensione VP viene rovesciato (Vp' =-~ ,), l'equazione diventa ovviamente: IP= J + G ½,-

8.2.3 Parallelo di resistori

/p +

+ + + +

Vp vk

Gt G, G2 Gk

' ' - l - l l -· Figura 8.2 .3.1

Il procedilnento sopra descritto può essere facilmente generalizzato al caso di .f, bipoli in parallelo. Nel caso in cui questi siano resistori (convenzionati come in Fig. 8.2.3.1) per il k-esiI110 resistore si ha:

lk = Gk Vk (8.2.3.1)

mentre la LKC e la LKT impongono:

62 Capitolo 8

(8.2.3.2)

(8.2.3.3)


IP =(I f=1Gk ) VP=Gpv;, con Gp=I f=1Gk = I {=1; (8.2.3.4) k

Tale relazione mostra che il bipala parallelo è un resistore avente resistenza uguale al reciproco della somma dei reciproci delle resistenze:

1 RI, = 1

...,.1. L-k=1R

k

8.2.3. 1 Partitore di corrente resistivo

(8.2.3.5)

Le precedenti relazioni con1portano che la corrente del parallelo IP si ripartisce su ciascun resistore proporzionaln1ente alla sua conduttanza:

I - G V. - G V - G Ii, - I Gk k- kk- k p- k--p I.

GP I i;=1Gh (8.2.3.6)

I;ultima espressione è nota come formula del partitore di corrente resistivo.

8.3 RETI DI RESISTORI: RESISTENZA EQUIVALENTE AD UNA COPPIA DI TERMINALI Consideriamo una rete generica, di cui siano accessibili i terminali A e B. La

rete può sempre essere contenuta all'interno di una superficie chiusa, da cui fuoriescono solainente i terminali A e B e quindi può essere considerata come un bipala a tutti gli effetti. Vogliai110 determinare la caratteristica esterna di questo bipala .

[ I - • A '-- A+ + >

-'V\/v- V 4 • R eq=R i

B - • B

Figura 8 .3.1

In particolare consideriaino il caso di reti passitre (Fig. 8.3.1), costituite esclusivamente da resistori, per le quali la caratteristica esterna è sempre del tipo:

V=R1I, I=G1 V (8.3.1)

RETI IN REGIME STAZIONARIO 63

ove R; e G; sono denominati rispettivamente resistenza interna e conduttanza interna della rete alla porta AB. Tale relazione mostra che il comportainento della rete passiva tra A e B è equivalente a quello di un bipolo resistore con resistenza equivalente R,,q = R;, ovvero con conduttanza equivalente Goq = G;; infatti questo impone tra la tensione e la corrente alla porta AB il medesimo legame della rete. Due esempi di resistenza equivalente di reti passive sono costituiti dalla serie e dal parallelo di resistori. Più in generale, molte reti di resistori presentano topologie che consentono di ricavare la resistenza equivalente applicando in successione soltanto le riduzioni serie e parallelo.

8.3.1 Poligoni e stelle di resistori

Esistono reti di resistori che non sono riducibili ad un resistore equivalente per mezzo di sole riduzioni serie e parallelo. Ciò avviene in particolare quando esse contengono gruppi di resistori collegati a poligono o a stella, in particolare a triangolo Fig. 8.3.1.la) o a stella a tre vertici (Fig. 8.3.1.lb).

a) A b)

A

R CA RAB

Re

B e B

Figura 8.3.1.1

In questi casi si possono applicare le trasformazioni triangolo-stella oppure stella-triangolo. La prima consiste nel sostituire il triangolo dato con la stella a tre vertici equivalente, tale da presentare legami tra tensioni e correnti ai tre nodi identiche a quelle del triai1golo dato. Il secondo tipo di trasformazione consiste nel sostituire la stella a tre vertici data con il triangolo equivalente, tale da presentare legami tra le tensioni e le correnti ai tre nodi uguali a quelli della stella data. Nella trasformazione triangolo-stella si crea un nodo (il nodo O detto centro stella); nella trasformazione stella-triai1golo il centro stella viene eliminato.

8.3. 1. 1 Formule della trasformazione triangolo-stella

Si può din1ostrare che i resistori della stella (Fig. 8.3.1.lb) equivalente al triangolo dato (Fig. 8.3.1.la) devono avere i seguenti valori di resistenza:

64 Capitolo 8

(8.3.1.1)

8.3.1.2 Formule della trasformazione stella-triangolo

Si può pure dimostrare che i resistori del triangolo equivalente alla stella data devono avere i seguenti valori di resistenza.

(8.3.1.2)

Nel caso particolare in cui le resistenze dei lati della stella siano tra loro uguali (pari a R ;J, anche le resistenze dei lati del triangolo sono tra loro uguali (pari a R,i), e viceversa, risultando:

(8.3.1.3)

• 8.4 METODI DI ANALISI DELLE RETI LINEARI

Per risolvere una rete elettrica costituita da f bi poli ( o lati) occorre determinare tensioni e correnti su ciascuno dei bipoli, ovvero Zf grandezze incognite. A tal fine sono necesarie 2.e equazioni indipendenti.

Come illustrato nel Capitolo 7, sulla base dalla struttura delle interconnessioni (topologia della rete) e delle leggi di Ki_rchhoff, è possibile scrivere .e equazioni indipendenti:

I vb = O ma.glia (orleolala)

L iuSiQJl:\8 d i taglio (c,rientato)

. . m equaz1on1

=> .e equazioni topologiche n -1 equazioni

(8.4.1)

Le altre f equazioni sono costituite dalle caratteristiche esterne (legame tra V ed I) degli f bipoli (tipologi_a della rete). Se questi sono generatori ideali di tensione, ge

neratori ideali di corrente e resistori ideali, essi impongono le seguenti equazioni:

R ETI IN REGIME STAZIONARIO

V = E

I =J gen. ideali di tensione

gen. ideali di corrente ~ I, equazioni tipologiche

V - R I = O resistori ideali

65

(8.4.2)

ove i parametri E, J e R sono costanti; la rete così costituita è detta rete lineare. Le (8.4.1) e (8.4.2) costituiscono un sistema di 2.€ equazioni lineai-i indipendenti in 21, incognite (le tensioni V e le correnti I). Il sistema può quindi sempre essere scritto in forma matriciale come:

(8.4.3)

In generale, la matrice [A] risulta invertibile, salvo casi in cui le caratteristiche dei bipoli siano palesemente incongruenti con le LKT ed LKC, co1ne quello in cui vi siano generatori di tensione in parallelo o generatori di corrente in serie, nei quali la matrice [A] risulta singolare. Esclusa tale eventualità, il sistema di equazioni ammette soluzione unica, espriinibile come:

(8.4.4)

Questo metodo di soluzione richiede di risolvere un sistema di equazioni avente rango pari al doppio del numero di lati presenti nella rete (2l ) e quindi è applicabile manualmente solo nel caso in cui il nun1ero di lati sia molto limitato; tuttavia esso è iinportante, perchè da esso discendono 1netodi di analisi che permettono di pervenire alla soluzione trasforn1ando il problema complessivo in sotto-problemi molto più semplici da risolvere, anche manualmente. Nel seguito si illustrano tre di tali metodi.

8.4.1 Metodo della sovrapposizione degli effetti I:equazione (8.4.4) essenziahnente stabilisce che la tensione Vola corrente I su

ciascuno dei lati è espriinibile mediante una co1nbinazione lineare delle tensioni dei generatori ideali E e delle correnti dei generatori ideali J presenti nella rete.

Se nella rete sono presenti r generatori ideali di tensione (E1, E2, ••• , E,) e s generatori ideali d i corrente 1/1, fv ... , f.), la tensione e la corrente del generico lato h-esiino sono esprimibili come:

ovvero

ove:

V hE, = aW< Ek è la tensione prodotta nel lato h dal solo generatore E1

Vi,,, = R1ik ] 1 è la tensione prodotta nel lato h dal solo generatore Jk;

analogamente:

(8.4.1.1)

66

IhE, = Ghk Ek è la corrente prodotta nel lato h dal solo generatore Ek

/ h ,. = Phkf k è la corrente prodotta nel lato h dal solo generatore Jk.

Capitolo 8

Quindi per determinare la tensione (o la corrente) su un qualunque lato della rete occorre:

- calcolare la tensione (o la corrente) sul lato considerato, ottenuta attivando un solo generatore (E o JJ , con tutti gli altri generatori spenti (E= O, J = O);

- ripetere il calcolo per tutti i generatori (E o J) , attivandone uno per volta; - som1nare gli effetti.

Osservazioni Un generatore di tensione "spento" corrisponde all'equazione V= E= O e quindi

"spegnere" un generatore di tensione equivale a sostituirlo con un cortocircuito. Un generatore di corrente "spento" corrisponde all'equazione I= J = O e quindi

"spegnere" un generatore di corrente equivale a sostituirlo con un circuito aperto. Nell'applicazione del metodo della sovrapposizione degli effetti occorre risol

vere tante reti quanti sono i generatori ideali presenti nella rete originale, perciò questo metodo risulta piuttosto laborioso; tuttavia, dato che in ciascuna di tali reti agisce un solo generatore, la soluzione della singola rete è notevolmente se1nplificata ed il procedin1ento co1nplessivo può essere talvolta più agevole della soluzione diretta del sistema delle (8.4.1) e (8.4.2) scritte per la rete completa.

La sovrapposizione degli effetti vale per qualunque bipolo di una rete di bipoli lineari, quindi anche per le correnti dei generatori di tensione e per le tensioni dei generatori di corrente presenti nella rete.

La sovrapposizione degli effetti non vale per le potenze erogate o assorbite da una rete di bipoli lineari, in quanto la potenza elettrica scambiata, essendo il prodotto di tensione per corrente, non è una funzione lineare.

Esempio Si vuole applicare il metodo della sovrapposizione degli effetti alla rete di Fi

gura 8.4.1.1. per calcolare la tensione V2 , la corrente /2 e la potenza assorbita dal resistore R2•

J

'

Figura 8.4.1.1

+ E


a) b)

J ·----hE li.J

' ' Figura 8.4.1.2

Per fare agire il solo generatore di tensione, si spegne il generatore di corrente, sostituendolo con un circuito aperto ed ottenendo la rete di Figura 8.4.1.2a, ove la resistenza equivalente ai terminali del generatore di tensione è pari alla serie di Ri e R2• Applicando anche la formula del partitore di tensione si ottengono corrente e tensione in R1 :

E E _ R 2 I = - - V. - --E ZE RRR' ZE RR s 1+2 1+ 2 (8.4.1.2)

Per fare invece agire il solo generatore di corrente, si spegne il generatore di tensione, sostituendolo con un cortocircuito ed ottenendo la rete di Figura 8.4.l.2b, ove la resistenza equivalente ai terminali del generatore di corrente è pari al parallelo di R

1 e R

1• Applicando anche il partitore di corrente si ottengono corrente e

tensione in R1 :

(8.4.1.3)

Son1Illando i due contributi si ricavano la corrente e la tensione incognite della rete di Figura 8.4.1.1:

I _ I I _ E + R1f V. -V. V. _ R2(E + R1J} 2 - 2E + 2/ ---~, z- 2E + 2,-~~-~-

R1 + R2 . R1 + Rz (8.4.1.4)

Ovviamente queste verificano la relazione V2 = RJ2 • La potenza assorbita dal resistore R2 vale:

P =R I z=R (E + R1/)2 = R2Ez + RzR1z/2 + 2R1 R2E J 2 2 2 2 2

R1 + R2 (R1 + R2) (8.4.1.5)

si può facil111ente verificare che la potenza non può essere calcolata come so111ma delle potenze assorbite da R2 quando agiscono singolarmente E e J, le quali risulterebbero pari a:

68 Capitolo 8

(8.4.1.6)

8.4.2 Metodo delle correnti di anello

Il metodo delle correnti di anello consente di ridurre il 11umero di equazioni necessarie a risolvere una rete, utilizzando con1e incognite un insie1ne di correnti, dette anche "correnti cicliche", che soddisfa "intrinsecamente" tutte le n-1 equazioni LKC.

Scelto un sistema di m = .e- (n -1) maglie della rete indipendenti tra loro, per ogni maglia si considera una corrente virtuale, che ne percorre tutti i lati, 'richiudendosi' su sè stessa. Se la rete è piana, co1ne nella maggior parte dei casi e in tutti gli esempi successivi, è conveniente utilizzare come sistema di maglie indipendenti il sistema degli anelli. Le m correnti sono dette "correnti di anello".

Figura 8.4.2 .1

JAr, allora essa vale:

IA,, IA. , IA ... , IA ' t m •1

(8.4.2.1)

Conviene scegliere una orientazione coerente (ad esempio oraria) per la corrente in tutti gli anelli (Fig. 8.4.2.1).

La corrente di ciascun lato della rete risulta allora esprimibile come differenza tra le correnti dei due anelli a cui il lato appartiene (se il lato sta all'interno della rete) oppure come corrente di un solo anello (se il lato sta sul bordo della rete). Ad esempio, se il lato generico li-esimo appartiene agli anelli A, ed A. e la sua corrente 11, ha riferilnento concorde con quello di

lh =IAr- IAs (8.4.2.2)

Se ciascuno dei bipoli della rete è un bipolo rappresentabile come generatore lineare di tensione, descritto da una equazione caratteristica del tipo: Vh = Eh - Rh Jh, si può scrivere:

(8.4.2.3)

Questo è possibile per tutti i lati, esclusi quelli costituiti da un generatore ideale di corrente, vedi § 8.4.4. l;equazione LKT di ciascuno degli m anelli diventa allora:

(8.4.2.4)

Riordinando i termini si ricava il seguente sistema di m equazioni, in cui le incognite sono le m correnti cicliche:

(8.4.2.5)

dove lA , lA , .. . lA sono le correnti degli anelli 1, 2, ... m e inoltre: 1 2 m

- RA , RA , ... RA sono la so1nma delle resistenze dei lati di ciascun anello ( de-11 • 22 " mm • d. 11 ") nommate autores1stenze 1 ane o ;

- RA , RA , .. . RA sono la resistenza del lato comune agli anelli 1 ed r, agli anelli 1r 2r mr

2 ed r, .... agli anelli m ed r ( denon1inate "mutue resistenze tra anelli"); - EA, EA, ... EA sono la sonuna algebrica delle tensioni dei generatori di tensione

prisenli lungo gli anelli 1, 2, ... m (denominate ''fe.m. di anello").

Le tensioni sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza dell'anello, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto.

La soluzione del siste1na di m equazioni (8.4.2.5) consente di deter1ninare le correnti di anello. Le correnti dei lati possono poi essere calcolate con la (8.4.2.2) e le tensioni di ciascun lato con le equazioni di bipolo.

Esempio Per la rete di Figura 8.4.2.2 sugli anelli Ai, A2 e A._1 si scrivono le seguenti equazioni:

(R1 +R2)lA. - R 2l Az =E, -E6

(R2+R3+R4)1A, - R 21A, - R 41A"=E:1-E4

R41A, - R41A, =E4+E5+E(\

(8.4.2.6)

Una volta risolto il sistema e determinate le tre correnti di anello lA , lA e lA , 1 2 3

da queste si ottengono le correnti dei lati per mezzo di equazioni analoghe a quelle considerate per l'esempio di Figura 8 .4.2.1:

l , = 1A1' l :1 = 1A2' 15 = 1A3' 12 = lA2-lA1' 1. = 1A3 -lA2' 16 = 1A3 -lA1.

- + E J

+

E,, I ! ' I / j/ R 2 I ,: R3 2

'1 E6 E4 l 3

I R -I ' + + - -.. .. I<, ,... l ,s /4

- 15 Es+ -Figura 8.4.2.2

70 Capitolo 8

8.4.3 Metodo dei potenziali ai nodi Il metodo dei potenziali ai nodi consente di ridurre il numero di equazioni ne

cessarie a risolvere una rete, utilizzando come incognite un insieme di tensioni sui bi poli che soddisfa "intrinsecainente" tutte le f -(n - 1) equazioni LKT.

Si assegna potenziale zero ad un nodo arbitrario (nodo di massa o di riferimento) ad esempio al nodo n-esimo: U,, = O, e su ciascuno degli altri (n-1) nodi della rete si considerano i potenziali relativi a tale riferimento (Fig. 8.4.3.1):

U1, U2, U3, • • • • U11_ 2, U11_ 1 (8.4.3.1)

Le tensioni di ciascun lato della rete risultano allora esprimibili come d ifferenze di potenziale, sicché la tensione Vb del lato h-esimo che fa capo ai nodi N, ed N. è:

Vb=VrS= U, - U. (8.4.3.2)

Figura 8.4.3.1

Supponiaino anche che ciascuno dei bipoli della rete possa essere rappresentato con1e un generatore lineare di corrente, descritto da una equazione caratteristica del tipo: Jh = Jh- Gh v;,. Questo è possibile per tutti i lati, esclusi quelli costituiti da un generatore ideale di tensione, vedi § 8.4.4. Esprimendo la tensione Vh come differenza dei potenziali dei nodi a cui esso è collegato, si ottiene che la corrente Jh su un generico lato della rete vale:

Jh = fh-~ (U,-U.) (8.4.3.3)

I:equazione LKC per ciascuno degli n-1 nodi diventa allora:

IJh = Ilh - IGb v;, =Ilh - I Gh (U, -U.)=o h h h h h

(8.4.3.4)

Riordinando i termini, si ricava il seguente sistema di n -1 equazioni, in cui le incognite sono gli n -1 potenziali dei nodi:

GNu U, - L ~•,;,12 GN,, U r J N,

G U - " 11•1 G U -J Nzz 2 ~r=1 Nzr r- Nz

r*Z (8.4.3.5)

G U - I;".:.2 G U J Ncn·l)(n· t} n·1 r-1 N cn·t), 1 N(n, i}


dove U1, Uv ... U,,_1 sono i potenziali dei nodi 1, 2, ... n-1 e inoltre:

GN , GN , ... GN sono la somma delle conduttanze dei lati che toccano il 11 zz (n-1)(st- 1)

nodo 1, 2, ... n-1 (cteno1ninate "autoconduttanze di nodo"); - ~ , ~ , ... GN sono le conduttanze tra le coppie di nodi 1 e r, 2 e r, ... n -1 e

1r Zr ~n--t)r r (denominate' mutue conduttanze tra nodi");

- JN, JN , ... JN sono la somma algebrica delle correnti dei generatori di corrente 1 z (n- 11.

collegati ai nodi 1, 2, n-1 (denominate "correnti impresse di nodo").

Le correnti sono prese con segno positivo se il riferimento di corrente è diretto verso il nodo, con segno negativo nel caso opposto.

La soluzione delle n-1 equazioni (8.4.3.5) consente di determinare i potenziali ai nodi della rete. Le tensioni dei lati possono poi essere calcolate con la (8.4.3.2) e le correnti di ciascun lato con le equazioni di bipolo.

ESEMPIO

.. 1i ~ 13

I N2 I + v, + V3

t!2 ~ ti, l 3 I G2 V2 ~ - 14 ' ~ - J6 + I

N, N4 I + ~ N-,,

15- t,,.- 1 • + v6 4

I 15 V5 +

Figura 8.4.3.2

Nella rete di Figura 8.4.3.2, posto uguale a zero il potenziale del nodo N4, U4 = O, si scrive il seguente sistema di equazioni nei potenziali ai nodi N1, N2 , N:{:

(G1 +G5)U,-G1 ('2 - G5 [/2 J,-fs+f6 (G, +G2 +G3)('2- G, U,- G3[/2=-J1 +J3 (G3 +G4 +G5 ) U:1-G5 U,-Gal:.'2 =-fa-!4 +fs

(8.4.3.6)

Una volta risolto il sistema e deter1ninati i tre potenziali dei nodi, U1 , U2 e U:{• da questi si ottengono le tensioni dei lati per mezzo delle (8.4.3.2): V1 =U1 -U2 ,

Vz = U2 , ½{ = U2 - U3 , V4 = - U3 , V5 = U1 - U:i e V6 = U1 •

72 Capitolo 8

8.4.4 Osservazioni Il metodo delle co1Tenti di anello, che conduce ad un sistema ridotto di m equa

zioni, e il metodo dei potenziali ai nodi, che conduce ad un sistema ridotto di n -1 equazioni, permettono entrambi di calcolare le tensioni e correnti di tutti i lati di una rete di bipoli lineari.

La scelta di quale dei due usare può essere indifferente quando sia m = n-1 e la rete non presenti alcun lato costituito da un solo generatore ideale ( di tensione o corrente). Altrimenti conviene scegliere il metodo che conduce al sistema con minor numero di equazioni.

I metodi delle Correnti di Anello e dei Potenziali ai Nodi non sono direttamente applicabili se nella rete ci sono lati "anomali", costituiti rispettivamente da un semplice generatore ideale di corrente o da un semplice generatore ideale di tensione.

Infatti, un generatore ideale di corrente, avente equazione del tipo l1, = Jh (valore noto e costante), non è rappresentabile 1nediante un generatore ideale di tensione con resistenza in serie.

Tuttavia un generatore ideale di corrente ùnpone un vincolo sulle correnti degli anelli di cui fa parte, espresso da una equazione del tipo: 111 = IAJ-I AJ = / 11•

Quindi, considerando come mcognita supplementare la tensione Vh sul generatore del lato "anomalo" e aggiungendo tale equazione alle R. -(n -1} equazioni per le correnti di anello, è sempre possibile calcolare la corrente di ciascun anello, oltre che la tensione sul generatore nel lato "anomalo".

Analogamente, un generatore ideale di tensione, avente equazione del tipo v;, = Eh (valore noto e costante}, non è rappresentabile mediante un generatore ideale di corrente con resistenza in parallelo.

Tuttavia un generatore ideale di tensione ùnpone un vincolo sui potenziali dei nodi a cui è collegato, espresso da una equazione del tipo: Vh = UN;- UN; = Eh.

Quindi, considerando co1ne mcognita supple1nentare la corrente Ih sul generatore del lato "anomalo" e aggiungendo tale equazione alle n-1 equazioni per i potenziali ai nodi, è se1npre possibile calcolare i potenziali di ciascun nodo, oltre che la corrente sul generatore nel lato "anomalo".

' • 8.5 PROPRIETA DELLE RETI LINEARI

8.5.1 Proprietà di sostituzione di un bipolo Consideriamo un qualunque lato di una rete di R. bipoli lineari, e mdichiamo

con v;, ed Ih rispettivamente la tensione e la corrente su quel lato. ' E facile constatare che, se il lato considerato viene "sostituito" con un generato-

re ideale di tensione con Eh = V11 ( oppure con un generatore ideale di corrente con l1i = 111}, nel sistema di 2f. equazioni della rete tutto rùnane invariato, eccetto l'equazione caratteristica ½, = ½Jlh} o Ih = l 11(Vh} relativa al lato considerato. Tuttavia, la nuova equazione amn1ette ancora la coppia tensione-corrente (½" li,} identica alla precedente, di conseguenza, avendo il sistema di equazioni soluzione unica, sia prima che dopo la sostituzione, ne risulta che le tensioni e le correnti di tutti i bipoli rimangono invariate.


8.5.2 Teoremi dei generatori equivalenti

Se di una rete si considerano accessibili due soli nodi A e B, essa costituisce un bipala avente tenninali A e B. I teoremi dei generatori equivalenti affermano che, se la rete è lineare, tale bipala presenta ai terminali il medesimo comportamento di un singolo generatore lineare.

8.5.2. 1 Generatore di tensione equivalente (Teorema di Thévenin)

Enunciato

A I --,~

~ -+

+ -' I ' V .. I E eq

--' ,--

B

Figura 8.5.2.1

A l --+

V

B

Il comportamento di una qualU11que rete di bipoli lineari in termini di tensione V e corrente I ai ternlinali A e B è equivalente quello di un bipala costituito da un generatore ideale di tensione Eoq in serie con un resistore di resistenza R...i (vedi Fig. 8.5.2.1) aventi i seguenti valori:

E"'I = v;> = tensione a vuoto tra A e B

R"'I = ¼ = resistenza equivalente / oc

La resistenza equivalente R...i risulta pari al rapporto tra tensione a vuoto V0 e corrente di cortocircuito Ice ai terminali AB.

La caratteristica esterna del bipala è quindi descritta da una retta passante per la coppia di punti (V= v;>' I= O) e (V= O, I= I,,J , avente equazione: V(I) = Eoq-¾I, come 1nostrato in Figura 8.5.2.2.

La resistenza equivalente R...i coincide con la

Vo=Eeq

o

V

V(I)=Ecq- R,q/

Figura 8.5.2.2

(8.5.2.1)

I

74 Capitolo 8

resistenza interna della rete che risulta tra i nodi A e B quando tutti i generatori ideali di tensione e di corrente sono spenti.

Dimostrazione a)

-w.tv-

--Q)--e-

A

+

TI

-B

l ...

e

b)

A l

-w.tv- +

--Q)- V

-e-B

Figura 8.5.2.3

Si consideri un bipolo qualsiasi C connesso ai nodi A e B della rete e siano V e I i valori di tensione e corrente che in tale condizione sono presenti tra A e B, con i riferimenti indicati in Figura 8.5.2.3a.

In base alla proprietà di sostituzione, il bipolo C può essere sostituito con un generatore ideale di corrente avente corrente impressa J = I , come in Figura 8.5.2.3b, senza modificare tensioni e correnti nel circuito. La nuova rete è lineare, perciò, applicando la sovrapposizione degli effetti, la tensione V della rete di Figura 8.5.2.3b può essere espressa come:

V= V'+ V" (8.5.2.2)

dove V' è la tensione prodotta tra A e B quando J = O e tutti i generatori interni alla rete sono accesi (Fig. 8.5.2.4a) mentre V" è la tensione prodotta tra A e B dal generatore ideale di corrente J quando tutti i generatori interni alla rete sono spenti (Fig. 8.5.2.4 b).

a) b)

A A I ..,

---w.tv- + +

-(i)- v· + R•q

-e-V" - i .!=/

B B

Figura 8 .5.2.4

Il primo dei due addendi, V coincide con la tensione a vuoto della rete 17c1 tra i tenninali A e B; il secondo risulta V' =-./R.q. Si ottiene quindi:

(8.5.2.3)

Questa relazione esprime il fatto che la caratteristica esterna (V,J) della rete data, vista dai terminali A e B, è rettilinea e coincide con quella di un generatore lineare di tensione costituito dalla serie di un generatore ideale di tensione Eoq = 17c1 e di llll resistore R"'l = R; (Fig. 8.5.2.1), che è l'enunciato del teore111a di Thévenin.


I parametri v;1 e~ (tensione a vuoto e resistenza equivalente), sono specifici della rete ai nodi A e B e non dipendono dal particolare b ipolo esterno considerato. Quindi, in qualsiasi altra condizione di funziona1nento, tensione V e corrente I sono legate dalla relazione (8.5.2.3) in cui V

0 e~ non can1biano.

La (8.5.2.3) vale anche quando tra i terminali A e B è collegato un cortocircuito: in tal caso si ha V= O, e I= !oc; allora l'equazione (8.5.2.3) diventa O= V

0-~ !oc, da

cui si ottiene che R..ci = V Jloc ovvero la resistenza equivalente è pari al rapporto tra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito.

Esempio La rete di Figura 8.5.2.5a è uguale a quella di Figura 8.4 .1.1, alla quale è stata

applicata la sovrapposizione degli effetti. Si vuole qui determinarne il generatore equivalente di Thévenin ai nodi A e B. La tensione E"'! è pari alla tensione a vuoto tra A e B, che è la tensione V2 espressa ili (8.4.1.4). Inoltre la resistenza R..ci è pari alla resistenza R; che appare tra gli stessi terminali avendo azzerato la f.e.m. e la corrente Ìlllpresse dai due generatori: si ottiene la rete passiva di Figura 8.5.2.5b che presenta tra A e B resistenza pari al parallelo di R1 e Rz. Si ha qumdi:

(8.5.2.4)

a) b) .----- - -i-- 1-- -.-- A A

J ·---'----- ------- ... B B

Figura 8.5.2.5

8.5.2.2 Generatore di corrente equivalente (Teorema di Norton)

I I A .. A ..

------W/v- + + j

I .. V Jeq - Ge V

-B B

Figura 8.5.2.6

76 Capitolo 8

Enunciato Il comportamento di una qualunque rete di bipoli lineari il1 termmi di tensione

V e corre11te I ai terminali A e B è equivalente a quello di un bipolo costituito da un generatore ideale di corrente / oq in parallelo con una conduttanza Goq (vedi Fig. 8.5.2.6) aventi i seguenti valori:

Joq =Ice = corrente di cortocircuito tra A e B

G = 1cc = 1 = conduttanza equivalente

•q V. R o oq

(8.5.2 .5)

La corrente Ice è la corrente ai terminali A e B quando essi sono collegati da un cortocircuito. La conduttanza equivalente G°" risulta pari al rapporto tra corrente di cortocircuito Ice e tensione a vuoto \/;1 ai terminali AB.

La caratteristica esterna del bipolo è quindi descritta da una retta passante per

V

l(V) l eq - G,q V

o

Figura 8.5.2.7

Dimostrazione

I

la coppia di punti (V= v;l' I= O) e (V= O, !=Ice), avente equazione I(V) = J"" - G"" V, come mostrato in Figura 8.5.2.7.

La conduttanza equiva-lente G°" coincide con la conduttanza mterna della rete che risulta tra i nodi A e B quando tutti i generatori ideali di tensione e di corrente sono spenti ed è il reciproco della resistenza equivalente: G°" = 1/R°".

Il teorema di Norton può essere dimostrato in modo duale a quello seguito per il teorema di Thévenm, oppure, m modo più immediato, utilizzando lo stesso teoren1a di Thévenm. Infatti il generatore lmeare di tensione di Thévenm equivalente alla rete tra i nodi A e B può essere trasformato in generatore l ineare di corrente; in tal modo dalla (8.5.2.3) si ottiene:

I= Ice-G; V= J.,1-G°" V (8.5.2.6)

in cui / oq =Ice = \/;1 !Roq e G°" = 111\.q, m accordo con le (8.5.2.5).

Esempio La rete di Figura 8.5.2.8a è uguale a quella di Figura 8.5.2.5a (della quale si è

calcolato il generatore equivalente di Thévelllll tra i nodi A e B) e di Figura 8.4.1.1 (cui è stata applicata la sovrapposizione degli effetti). Si vuole qui deter1ninarne il generatore equivalente di Norton tra A e B. La corrente il11pressa / oq è pari alla corrente di cortocircuito tra A e B, che è la corrente Ice della rete di Figura 8.5.2.8b.


Questa può essere determinata considerando che il parallelo del resistore Rl con il cortocircuito è un cortocircuito, per cui R

2 si può eliminare dalla rete. Il resistore

Ri è sottoposto alla tensione E, per cui applicando la LKC la corrente di cortocircuito è espressa dalla (8.5.2.7). La conduttanza Goq è pari alla conduttanza G1 che appare tra A e B avendo azzerato le grandezze impresse dai due generatori: si ottiene ancora la rete passiva di Figura 8.5.2 .5b che presenta tra A e B il parallelo di R1 e R2 • Si ha quindi:

a) + E ......---...----1- 1--.- A

-

1 1 G = G-=- + -oq I

R1 Rz

b) ,--------1 -

-

(8.5.2.7)

+ E A

' ~------------ 8 .__ __ ...._ _____ .._... B

Figura 8.5.2.8

Considerando la f.e.m. equivalente di Thévenin espressa dalla (8.5.2.4) per la medesima rete alla medesima porta, si verifica che valgono le relazioni:

Eoq = v;1 = R2 (E+ R1 /) R1 = R2 R1 =R.= _!_ J.'I I ce R1 + R2 E+R1f R1+ R2 , Gi

8.5.2.3 Osservazioni

(8.5.2.8)

I.;utilità dei generatori equivalenti di Thévenin e di Norton risiede nel fatto che, una volta noti E"'1 e Roq o f "'1 e G"'J' per qualsiasi condizione di lavoro la rete può essere sostituita con il generatore equivalente. Ovviamente, cambiando i terminali A e B nella la stessa rete, si ottengono generatori equivalenti diversi, con tensioni a vuoto, correnti di cortocircuito, resistenze e conduttanze interne diverse.

' E in1portante notare anche che i generatori equivalenti di Thévenin e Norton rappresentano il funzionamento della rete considerata solo dal punto di vista della caratteristica esterna (V,1) ai terminali, ma non sono certamente rappresentativi degli scaJnbi energetici interni alla rete considerata.

a 8.6 RENDIMENTO ED ADATTAMENTO DEL CARICO

8.6.1 Rendimento di un generatore elettrico

Si consideri un generatore lineare costituito da un generatore ideale di f e.m E e da una resistore (resistenza interna) R;, connesso ad un u tilizzatore ("carico") rappresentabile con un resistore di resistenza R

0 (Fig. 8.6.1). Con i riferimenti indicati,

la corrente e la tensione ai terminali, in funzione di E, R1 e R0

, risultano espresse dalle seguenti relazioni:

78 Capitolo 8

+

+

I E I V

Figura 8.6.1

(8.6.1)

la potenza scambiata (erogata dal generatore e assorbita dall'utilizzatore) è

R E2

P =VI = " 2 = P(R" ) (8.6.2)

(Ri+R")

1nentre la potenza generata nel generatore e quella in esso dissipata sono rispettivamente.

(8.6.3)

ovviamente è P6-Pc1 = P, in accordo con la conservazione delle potenze.

Si definisce rendimento del generatore il rapporto tra la potenza che esso eroga P e la potenza che genera:

(8.6.4)

V 'l p

E - ----------- I

J;;_ I p..._, -

2 2 2

Pl'lW'll.

4 I I

o I« /~,; o }u. In·

2 2 CRu Y>) (Ru R, ) (R u~ O) (Ru :,,) (R u R, ) (R ua O)

Figura 8.6.2

Per un dato generatore ( cioè fissati E e R;), le quantità I, V, P, P 't Pd e 11 dipendono solo dalla resistenza R,, dell'utilizzatore, che può variare tra oo (circuito aperto, cui corrisponde I= O) a O (cortocircuito, cui corrisponde I= Ice). Le grandezze V, P, Pg, Pd e 11 possono anche essere espresse in funzione della corrente I, variabile appunto tra O e l"''' presentando gli andamenti illustrati dalle quattro curve di Figura 8.6.2:

- curva 1:

curva 2: curva 3: curva 4:

tensione ai ter1ninali: rendimento: potenza generata: potenza dissipata: potenza erogata:

V=E-R; I; 11 = 1-R; I/E; P =E I· s ' pd = Ri fl; P=EI-R.i [1

•

Se il generatore è invece costituito da un generatore ideale di corrente J in parallelo con una resistenza R;, si ha:

potenza generata potenza dissipata potenza erogata rendimento

ps = VJ, P<1= V2/R;, P=VJ-V2/R; 11 = 1-V/(R; J)

8.6.2 Massimo trasferimento di potenza

Si vuole detenninare ora il valore R" per il quale la potenza trasferita al carico è massilna (condizione di adattamento del carico). Calcolando la derivata della potenza P(R,,) (eq. 8.6.2) si ottiene che la potenza trasferita è massin1a quando la resistenza del carico è uguale alla resistenza interna del generatore:

(8.6.5)

come n1ostrato dalla curva in Figura 8.6.2: in tale situazione la tensione vale V= Yc/2 e la corrente vale I= Iccf2, la potenza dissipata uguaglia quella erogata ed è pari a E 1/ (4R;) e il rendin1ento vale 0,5.

Questo risultato vale anche quando il carico R,, è alimentato da una generica ' rete lineare collegata ai nodi A e B. E sufficiente rappresentare la rete mediante

il generatore equivalente di Thévenin, con E.,1 = V0 (tensione a vuoto) e resisten

za equivalente Roq = R; (resistenza interna alla porta AB): l'adattamento si ottiene ancora quando R,, = R; = Roq e la potenza corrispondentemente trasferita vale Pmax = V0

2/(4R;). Tuttavia nulla si può dire sul rendi111ento, in quanto il generatore equivalente non è significativo della rete reale dal punto di vista energetico.

Esempio Nella rete di Figura 8.6.3 (pagina seguente) sia R1 = R1 = R. È facile ottenere

il generatore equivalente secondo Thévenin, i cui parametri valgono Eoq = E/2 e Roq = R/2. Pertanto la condizione di massilno trasferilnento di potenza al resistore Ru si ottiene quando Ru = R.,

1 = R/2 e si ha allora:

E z E2 P= • <i - -

4R•q 8R (8.6.6)

80 Capitolo 8

A A I - ~ V

R, +

f !Ri >

I E V Ru ! <

fg ~

- B

Figura 8.6.3

In queste condizioni la corrente erogata dal generatore E vale Js = 3E/( 4R) e quindi la potenza generata e il rendimento valgono:

3E2 P l P =El = - 11=- = - =0 166 s s 4R ' Ps 6 '

(8.6.7)

Capitolo

FENOMENI DIELETTRICI

E CONDENSATORE

' • 9.1 PROPRIETA FONDAMENTALI

9.1.1 Spostamento elettrico e relazione costitutiva del campo dielettrico

Ovunque sia presente un campo elettrico E(P,t), è utile considerare anche un campo vettoriale denominato spostamento elettrico D(P,t) che è legato al crunpo E(P,t) dalla relazione costitutiva del campo dielettrico:

D (P,t) = eE(P,t) (9.1.1.1)

Il parametro e (già introdotto in § 2 .1) viene detto permittività dielettrica ed il suo valore dipende punto per punto dal tipo di materiale. Avendo e diinensione di farad/met.J·o [F/m) (ovvero [CNm]), lo sposta1nento elettrico ha diinensione di coulomb su metro quadro (C/m2

].

Si dicono dielettrici i feno1neni descritti dai crunpi E(P,t) e D(P,t) che avvengono tipicamente nei materiali isolanti, ovvero materiali aventi conducibilità praticamente nulla, sicché in presenza di campo elettrico E la densità di corrente di conduzione / risulta trascurabile. Nei materiali uniformi (vedi § 2.1} la permittività è uno scalare costante (E e D sono paralleli ed hanno intensità proporzionali): e è detta in tal caso costante dielettrica.

9.1.2 Espressioni di D in materiale uniforme

Lo spostamento elettrico in un materiale uniforme è proporzionale al campo elettrico. A titolo di esempio, il campo D(P) prodotto in un materiale uniforme da una carica libera puntiforme q situata nel punto Q è, per la (2.1.3):

D(P) = q 11,.. 41t fop 2 -\.lp

(9.1.2.1}

ove rQP è la distanza tra i punti Q e P e uQP è il versore diretto da Q verso P.

82 Capitolo 9

9.1.3 Legge di Gauss

D ~ ,4 n cst

dS

q

Figura 9.1.3.1

Utilizzando la 9.1.2.1, e considerando una superficie chiusa Se, si può verificare che il flusso uscente del campo vettoriale D è uguale alla carica elettrica libera contenuta all'interno di S0•

In effetti questa proprietà rimane valida anche se il campo D si sviluppa in materiali non uniformi e costituisce la legge di Gauss: il flusso di D uscente da una qualsiasi supeeficie chiusa Se è pari alla carica libera q contenuta nel volume 't racchiuso da Se (Fig. 9.1.3.1):

(9.1.3.1)

ove n.,.L è il versore normale uscente da Se. Se la carica libera è distribuita nel volume 't con densità di carica volumica Pc,

si ha anche q = J,ped't, da cui, applicando il teorema della divergenza (si veda in appendice la relazione A.6.2.4), si ottiene la seguente espressione locale della legge di Gauss:

divD = Pc (9.1.3.2)

Questa equazione indica che le linee vettoriali di D hanno sorgenti ("nascono") ove Pc> O e pozzi ("muoiono") ove Pc< O.

Il campo vettoriale D assume un chiaro significato fisico sulla superficie esterna di corpi conduttori in condizioni elettrostatiche (cioè in assenza di moto delle cariche elettriche: / =O).

In ogni punto interno del corpo conduttore il cainpo coulombiano, Ee= p/ =O, e quindi lo spostamento elettrico, D =sEe= O sono nulli (Fig. 9.1.4.1); perciò nei punti interni è nulla anche la sua divergenza. Per la (9.1.3.2) è Pe= O. Pertanto la carica libera q può solo addensarsi sulla superficie I del corpo conduttore, con una densità superficiale cre.

FENOMENI DIELETTRICI E CONDENSATORE 83

y=O

yf.O

D y=O

L 'nest

E O

Figura 9.1.4.1

Sempre per la condizione E0= 0, non vi è tensione tra i p1111ti del corpo condut

tore, sicché tutti i suoi punti presentano lo stesso valore di potenziale elettrico; in particolare la sua superficie costituisce una superficie equipotenziale. Di conseguenza i campi E e D esterni al corpo conduttore nascono o muoiono su I con direzione ortogonale in ogni punto. Un dischetto infinitesimo di base dI e altezza trascurabile contiene la carica dq = cr

0dI, mentre il flusso di D uscente dal dischet

to si riduce al solo contributo attraverso la sua base rivolta al dielettrico, che vale D·n.,.LdI = DdI ( essendo n .. L il versore nonnale rivolto verso l'esterno, parallelo a D}. Per la (9.1 .3.1} tale flusso è uguale alla carica contenuta: DdI = dq; deve quindi essere D = 0 0 • Dato che D e n .. L sono paralleli o antiparalleli, questa relazione può essere riscritta in forma vettoriale come:

(9.1.3.3}

La relazione evidenzia che D nasce dal conduttore ed è rivolto verso l'esterno se 0

0 > O (sorgente} oppure è rivolto al conduttore, ove muore, se crc < O (pozzo).

Corrispondentemente sulla superficie conduttrice il ca1npo elettrostatico vale E0 = (crje}n.,,t·

9.1.4 Polarizzazione e rigidità dielettrica nei materiali isolanti Definito come sposta.Jllento elettrico nel vuoto il vettore D0(P,t} legato al caIIlpo

elettrostatico E0(P,t):

(9.1.4.1}

il vettore D(P,t} in un materiale isolante qualsiasi, sempre nel punto P, può essere espresso come:

D(P,t} = eE0 (P,t} =e0 e,Ec(P,t}= e0 Ee(P,t} + P(P,t} = D0 (P,t} + P(P,t} (9.1.4.2}

dove il vettore P(P,t) viene detto polarizzazione del materiale isolante nel punto P ed e,= e/ e0 (rapporto tra la pennittività dielettrica del materiale e quella del vuoto} viene detta permittività dielettrica relativa dell'isolante.

84 Capitolo 9

Il vettore P rappresenta il modo in cui un particolare materiale isolante "reagisce" alla presenza di un campo elettrico applicato al suo interno. In particolare i materiali isolanti si suddividono in:

- sostanze polari: le molecole sono caratterizzate dal fatto che, anche in assenza di campo elettrico Ec, il baricentro della carica positiva ( + q) non coincide con quello della carica negativa (-q). In assenza di campo elettrico, questi dipoli elettrici sono disposti casualmente, mentre in presenza di E

0 i dipoli si

orientano tutti allo stesso modo, dando luogo ad un addensamento di cariche negative di fronte alla superficie con carica positiva e viceversa cosicché P può essere>> D

O e perciò E>> e

0;

- sostanze non polari: in assenza di campo elettrico, il baricentro della carica positiva ( + q) e negativa (-q) coincidono, ma il campo elettrico li fa separare, con un effetto qualitativamente silnile al precedente ma quantitativamente molto inferiore.

Per entrambi i tipi di materiali, risulta E,> 1 e quindi, a parità di campo elettrico E

0 (o di tensione V applicata) il vettore spostamento elettrico D nel materiale

risulta maggiore di quello che si avrebbe nel vuoto. Viceversa, a parità di vettore spostamento D, il campo elettrico E

0 nel materiale risulta inferiore a quello che si

avrebbe nel vuoto. ' E importante notare che il materiale rimane isolante solo fino a che il modulo

del campo elettrico E0 rin1ane al di sotto di un determinato valore, definito rigidità dielettrica del materiale. Qualora tale valore venga superato, hanno inizio feno1neni di conduzione analoghi a quelli dei materiali conduttori, con alterazioni della struttura chilnica (in genere irreversibili) del materiale stesso.

Valori della rigidità dielettrica e della pennittività dielettrica relativa per alcune sostanze isolanti di largo uso sono riportati nella Tabella 9.1.4.1.

Rigidità Permittività Tipologia Sostanza dielettrica dielettrica

[kV/mm] relativa

Gas Aria 2,6-:- 3,2 1

Azoto (Nz) 3,3 1

Anidride carbonica (C02) 2,9 1

Esafluoruro di zolfo (SF6) 8,9 1

Liquidi Acqua distillata 7 80

Olio minerale 25 2,2

Olio sintetico 20 5,5

Olio siliconico 10 2,8


Solidi Bachelite 10 5

Carta 6 2

Mica 120 5+8

Ceramici e vetri Allumina (Al203) 14 10

Porcellana al quarzo 20 + 40 6

Titanato di Bario (BaTi03) 2,5 + 15 2000+10000

Zirconato-Titanato di Piombo 8 + 16 300 + 6000 (PZT}

Vetro 10 + 50 4,5 + 7

Resine Resine acriliche 18 + 22 3,5 +4,5 termoplastiche

Resine polian1nùdiche 16 + 18 3+4

Policarbonato 15 +20 3,5 + 4

Polietilene: bassa densità 20 +25 2,3 alta densità 20 2,3 reticolato 20 +25 2,4

Polietilene tereftalato (PET} film 280 + 300 3,2 (Mylar®)

Polipropilene 20 +35 2,2 + 2,6

Politetrafluoroetilene 15 + 25 2,3 + 2,6 (PTFE - Teflon®) 85 + 175 3,2 +4,5 PTFE film

Polivinilcloruro (PVC}: rigido 20 + 50 3+4 flessibile 10 5,5 film 72 4+8

Resine Resine epossidiche 15 +20 3,5 + 5 termoindurenti

Resine poliestere 10 +20 3 + 4,5

Resine siliconiche 22 2,7 + 3

Elastomeri Gonuna naturale 24+ 32 2,3 + 3

Gonuna sintetica 24 + 32 3 + 3,5 (stirene-butadiene}

Gonuna siliconica 16 4,5

Elastomeri poliuretanici 25+35 6 + 7,5

Tabella 9.1.4.1 Rigidità dielettrica e permittività dielettrica relativa di alcune sostanze isolanti.

86

9.2 CONDENSATORE

T ,\

n

,\Il

Figura 9.2.1

t

-

Capitolo 9

Un condensatore è costituito da due corpi conduttori -cA e i:8 di forma qualsiasi, chian1ati armature, tra i quali sono interposti uno o più materiali dielettrici (Fig. 9.2.1). Sulle due armature sono depositate due cariche elettriche libere qA e q8 = -qA, le quali si trovano distribuite sulle superfici, SA e S8 , secondo distribuzioni superficiali crr.A e cr

0.n tali che:

(9.2.1)

si assume pure che nessuna altra carica interagisca con qA e q0 • Costituendo le arn1ature due superfici equipotenziali ed essendo il campo conservativo, la tensione tra due punti generici A e B delle due armature:

f Ec · t de 1. ..

(9.2.2)

è pari ad una d.d.p., indipendente dalla linea di integrazione; essa è anche indipendente dalla specifica collocazione di A e B su SA ed S8 • Quindi la (9 .2.2) esprime la d.d.p. tra le armature del condensatore.

9.2.1 Capacità del condensatore

Il legame esistente tra le cariche qA = -q0 depositate sulle armature, che producono i campi Ec e D, e la differenza di potenziale v AB può essere definito dal rapporto:

C :_ qA = qD = q (9.2.1.1) VAB VBA V

che è detto capacità del condensatore. Essa ha dimensione fisica di coulomb su volt [CN], unità di misura che si esprime i11 farad [F]. Tale para1netro caratterizza il condensatore; C risulta sempre positiva poiché, con i riferimenti posti, i rapporti della (9.2.1 .1) hanno se1npre numeratore e denomi11atore di uguale segno; inoltre nelle ipotesi di linearità dei materiali e di indefonnabilità del condensatore, C è costante, ossia indipendente da cariche e d.d.p ..

9.2.2 Condensatore piano con dielettrico uniforme

Consideriamo il condensatore piano costituito da due conduttori piani e paralleli (detti armature), perfettamente affacciati e di uguale superficie (SA= S8 = S)


a) + b)

/,, SA I a

f, cA

s A ,,,_

/ · ~~ + + ~ E:=

v + + llAB + -

..... . ~ ~ E / I . ' "' i ,,, • '' • 1 • "' Su a

cB

SB E

-

Figura 9.2.2 .1

avente dimensioni lineari molto maggiori della distanza e; tra le armature è interposto un materiale dielettrico uniforme avente permittività dielettrica E (Fig. 9.2.2.1a).

Grazie alla simmetria piana dell'oggetto, i campi D e E possono essere assunti uniformi nel volume dielettrico fra le armature, con linee vettoriali ad esse ortogonali (Fig. 9.2.2.1b). Per la (9.1.3.3) sono pure uniformi le distribuzioni di carica su SA e S8, crc.A = qA/S =-q0 /S = -crr.s· Lo spostamento elettrico sulla superficie SA vale D = crcAnAB e, per l'ipotesi di uniformità, presenta questo stesso valore in ogni punto interno al dielettrico. Dato che il campo elettrico, pure uniforme, vale E = D/e, la d .d.p. (9.2.2) vale v AB= Ef = cr

0.Af/e =qAf/(Se). Applicando la (9.2.1.1) si ottiene la

capacità del condensatore piano:

9.2.3 Altri esempi di condensatori

9.2.3. 1 Condensatore piano con due dielettrici sovrapposti

Esso equivale a 2 condensatori in serie (Fig. 9.2.3.1a)

(9.2.2.1)

(9.2.3.1)

La capacità C è dunque pari al reciproco della sonuna dei reciproci delle capacità C1 e C2 dei due condensatori entrambi di superficie S e con dielettrici diversi.

Dato che D1 = D21 risulta E1 = E2 e2/e1, ovvero il campo elettrico è maggiore nel dielettrico con E inferiore. Poiché tipican1ente gli isolanti con migliore rigidità dielettrica hanno un'elevata per1nittività (vedi Tab. 9.1.4 .1), se il condensatore non è correttamente progettato vi è il rischio che venga superata la rigidità dielettrica del materiale con E minore.

88 Capitolo 9

a) + b) + s

e I

Figura 9.2.3.1

9.2.3.2 Condensatore piano con due dielettrici affiancati

Esso equivale a 2 condensatori in parallelo (Fig. 9.2.3.lb), perciò la sua capacità risulta:

(9.2.3.2)

La capacità C è dunque pari alla somma delle capacità C1 e C2 dei due condensatori entrambi di spessore i e con dielettrici diversi. In questo caso il campo elettrico è uguale nei due materiali.

9.2.3.3 Condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico ha armature realizzate con due lamine conduttrici cilindriche e coassiali, aventi superfici SA e S8 , di raggio rA e r0 (con r0 > rA) ed altezza co1nune h, tra le quali è interposto un materiale dielettrico che ha permittività s uniforme (Fig. 9.2.3.2). Data la simmetria cilindrica dell'oggetto e trascurando gli effetti di bordo, le distribuzioni di carica sulle due armature risultano uniformi, le linee vettoriali sono radiali e le superfici equipotenziali sono superfici cilindriche coassiali. Per la legge di Gauss, sulla superficie equipotenziale di raggio r co1npreso tra rA e r0 lo spostamento elettrico ha modulo D(r) = qJ(2nrh); quindi il campo elettrico ha modulo E(r) = qJ(2nrhs). Nulli sono i ca1npi per r < rA e r > r8 • La d.d.p. tra le armature si ottiene integrando E(r) tra rA e r8 : si ottiene v AB= (qJ21ths)ln(rJrJ. Da questa si deduce:

e= qA = 21tzh

v AB ln(rs/rA) (9.2.3.3)

Dalla (9.2.3.3) si deduce (qJ21ths) = v dln(r8 /rA) e quindi, sostituendo nell'espressione E(r) = qJ(2nrhs):

FENOMENI DIELETTRICI E CONDENSATORE

E( r) = __ v=AB'--

r In (r8 /r.0

89

(9.2.3.4)

che fornisce il modulo del campo elettrico in funzione dir, nota che sia la d.d.p. applicata al condensatore. Esso è massimo in corrispondenza del raggio interno, per r = rA, ove vale Ema.x = E(rA) = v ,u/r Aln(rJr A).

9.2.3.4 Condensatore sferico

Un condensatore sferico ha armature realizzate con due lamine conduttrici sferiche e concentriche, aventi superfici SA e S8 , di raggio rA e r8 (con r0 >rJ, tra le quali è interposto un materiale dielettrico che ha permittività s uniforme (Fig. 9.2.3.3). Un forellino nel dielettrico e nell'armatura esterna consente il passaggio di un sottile terminale per l'adduzione della carica all'armatura interna. Grazie alla simmetria sferica, possiamo affermare che le cariche presenti su SA e S8 sono distribuite uniformemente, che le linee vettoriali sono radiali e che le superfici equipotenziali sono superfici sferiche concentriche. Per la legge di Gauss, sulla superficie equipotenziale di raggio r compreso tra rA e r0 lo spostamento elettrico ha modulo D(r) =qJ (4nr2

); quindi il campo elettrico ha modulo E(r) =qJ(4nr2s). Nulli sono i campi per r < rA e r > r8 • La d.d.p. tra le armature si ottiene integrando E(r) trar A e r8 : si ottiene vAB = (qJ41ts)(rA-1-r8- 1). Da questa si deduce:

linee vettoriali

Sn

I I I I I I I I I I I L I

Figura 9.2.3.2

I I

r I B1 ...

C = qA = 41tS

vAB (r~ -r~)

linee vettoriali b

(9.2.3.5)

._-d:_...- I I

r I Al

Q I ._1

Figura 9.2.3.3

r B ..

90 Capitolo 9

Dalla (9.2.3.5) si deduce (qJ4na) =vAJll'(rA-1 -r0 - 1) e quindi, sostituendo nell'espressione E(r) = qJ(4nr2a):

V E(r) = AB

r 2 (2_ _ _!_) rA rn

(9.2.3.6)

che esprime il modulo del campo elettrico in funzione di r, nota che sia la d.d.p. applicata al condensatore. Esso è massimo in corrispondenza del raggio interno, per r = rA, ove vale E max= E(r J = v AB r0 /rA(r0 -rJ.

Le (9.2.3.5) e (9.2.3.6) valgono anche per r0 talmente grande da poter essere ritenuto infinito rispetto a rA. In particolare la (9.2.3.6) diventa, essendo UA il potenziale della sfera di raggio rA, dovuto alla carica qA ivi presente (UA = vA.,):

E(r) =VA; rA = u ~ rA r r

(9.2.3.7)

che esprime il 1nodulo del campo elettrico in funzione del potenziale della sfera di raggio rA. Esso è massimo per r = rA, ove vale Emax = E(rJ = UA/rA. In particolare, a parità di potenziale applicato, quanto più piccolo è il raggio, tanto più elevato è il campo elettrico massi1110. Questo comportamento è in accordo con la tendenza del campo elettrico ad intensificarsi in corrispondenza delle superfici dei corpi conduttori a piccolo raggio di curvatura ("punte").

9.2.3.5 Linea bifilare

Sono frequenti, peraltro, situazioni in cui le armature tra cui è applicata una d.d.p. non delimitano, neppure approssimativamente, la regione dello spazio in cui si sviluppa il campo dielettrico. Un esempio in1portante è costituito da una linea bifilare, che è realizzata con due conduttori cilindrici, rettilinei e paralleli di lunghezza e e raggio r

0 piccolo rispetto alla distanza h tra i loro assi, immersi in

un materiale dielettrico uniforme. Essi costituiscono un condensatore di capacità:

(9.2.3.8)

• 9.3 BIPOLO CONDENSATORE

9.3.1 Definizione di bipolo condensatore

Nel condensatore le cariche elettriche sulle armature e la tensione tra esse possono variare nel tempo: a tal fine le annature devono essere dotate di terminali attraverso i quali è possibile l'adduzione delle cariche, Figura 9.3.1.1. Assumendo che il campo elettrico sia sempre coulombiano (tale situazione viene definita condizione variabile quasi-elettrostatica) valgono le seguenti considerazioni.


s p

S• e

Sa qA qB: - qA

j A (t + -,:A ,: i 8(l)

+ 8

Figura 9.3.1.1

a. Correnti ai tenninali: considerate due superfici chiuse S0

e S'c• che racchiudono completamente le due armature A e B rispettivamente, tagliandone i relativi tenninali, per la legge di continuità risulta che:

iA (t) = dqA (t) dt

(9.3.1.1)

(9.3.1.2)

Assumendo che iA(t) =ia(t) =i(t), ossia la corrente entrante ad un terminale è se1npre uguale a quella uscente all'altro ter1ninale, co1ne deve essere in un bipolo (§ 3.2.1) si vede che la carica totale contenuta in tale superficie è nulla in ogni istante, q8(t) + qA(t) = O; esternamente al bipolo la corrente appare solenoidale, benché sulle due armature ciò non sia vero.

b. Tensione tra i tenninali: v AD(t) è dovuta al solo campo coulombiano E0 come deve essere la tensione v(t) ai terminali di un bipolo.

Quindi nelle ipotesi suddette il condensatore è schematizzabile come un bipolo; tenuto conto della (9.2.1.1) e nell' ipotesi che C sia costante, la (9.3.1.1) ilnpone che tensione e corrente risultino vincolate dalle relazioni:

92

i(t) + + v(t)

Figura 9.3.1 .2

a)

... ... -

Capitolo 9

i(t) = C dv(t) , v(t) = v(O) +2 C' i(t')dt' dt c Jo

(9.3.1.3)

la seconda essendo ottenuta per integrazione dalla prima dall'istante iniziale t = O in cui la tensione vale v(O), che costituisce la tensione iniziale (valore iniziale) del condensatore. Queste equazioni, ricavate assumendo la convenzione degli utilizzatori, caratterizzano il bipolo capacitivo, o bipolo condensatore (rappresentato con il simbolo di Fig. 9.3.1.2) e permettono di descriverne il comportamento circuitale.

Le due equazioni dimostrano che il legame tensione-corrente di un condensatore è univocamente definito, a partire dall'istante iniziale t = O, se è noto, oltre alla capacità C, il valore iniziale della tensione v(O): solo così dalla corrente è deducibile la tensione in funzione del te1npo.

b)

I 111 I Il 11 I Il 11111 111111 I Q 1 Il ., 1l

e)

Figura 9.3.1.3: a) condensatori per tensioni di alcuni volt, adatti a applicazioni di segnale; b) con· densatori per tensioni di centinaia e migliaia di volt; c) condensatori ele ttrolitici per tensioni di alcuni volt.

9.3.2 Bipolo condensatore in regime stazionario

Un condensatore è in regilne stazionario se v(t) =V= costante e i(t) =I= costante. Dovendo comunque valere le (9.3.1.3), dalla prima di esse, i(t) = Cdv(t)/dt, si ottiene:

i(t) =I= O (9.3.2.1)

Questa indica che in regime stazionario un condensatore si co1nporta come un circuito aperto: ai fini della determinazione delle tensioni e correnti stazionarie degli altri n-poli della rete, ad esso può essere sostituito un circuito aperto, semplificando così la rete e le relative equazioni.

Diverso è però lo stato energetico dei due bipoli: come vedremo il condensatore ilnmagazzina energia, mentre nessuna energia è ilnmagazzinata nel circuito aperto.

9.3.3 Carica e scarica del condensatore

9.3.3.1 Carica del condensatore con generatore di f.e.m. costante

R i(t) I - .. - V s ,2 + - + +

, I , v(t) Ei e '- ~

-

Figura 9.3.3.1

Nel circuito di Figura 9.3.3.1, per t < O il commutatore S sia in posizione 2 e il circuito sia a riposo (v(t) = O e i(t) = O). All'istante t = O il commutatore S conlllluta da 2 a 1. Si vogliono determinare gli andamenti di v(t) e di i(t) per t > O. Con i riferilnenti assunti, per t >Ola LKT impone E= vR + v. Essendo vR =Rie la corrente i(t) esprilnibile con la prima delle (9.3.1.3), si ottiene:

E = RC dv(t) +v(t) dt

(9.3.3.1)

Questa è un'equazione differenziale lineare di primo ordine a coefficienti costanti, che ha come integrale particolare vi>(t) = E; l'equazione caratteristica associata è O= RCs + 1, che ha radice s =-1/RC, e quindi l'integrale generale dell'omogenea vale v

0(t) = Ke-ti(RCl, dove K è una costante di integrazione da deter1ninarsi.

La soluzione generale della (9.3.3.1) è dunque:

I

v(t) = E + K e -Re (9.3.3.2)

94 Capitolo 9

La (9.3.3.2), come la (9.3.3.1) di cui è soluzione, vale per t > O. La costante K va calcolata determinando la condizione iniziale, cioè v(o+). Sappiamo che v(o-) = O; se v(o+J fosse c;t. O, si avrebbe una variazione finita di tensione in un in

tervallo infinitesiino (ovvero un "gradino di tensione") che implicherebbe, in base alla prima delle (9.3.1.3), una corrente infinita ("in1pulso di corrente"). Ciò non è possibile per la presenza del resistore R. Perciò v(o+) = O. La (9.3.3.2) in t = o+ fornisce v(o+) =E+ K = O, da cui si deduce K = -E. Si ha dunque:

A v,i E

E R

v(t) = E( 1-e RE) '(t) _ C dv(t) _ E -.Jc I - _...c...c. _ _ e

dt R

L --..JL_=::::::::::=====---____:t• T

Figura 9.3.3.2

(9.3.3.3)

(9.3.3.4)

Gli andamenti di v(t) e i(t) sono descritti dalle funzioni esponenziali rappresentate in Figura 9.3.3 .2, che assun1e E positiva. Entrainbe le curve sono goven1ate dalla costante:

T=RC (9.3.3.5)

omogenea con un tempo, che è detta costante di tempo. La tensione del condensatore raggiunge il valore finale E in un tempo infinito;

in pratica, trascorso 1111 intervallo di te1npo Llt pari a 4-5 volte T, la tensione differisce da E per circa 1'1 % e la corrente è ridotta a circa 1'1 % del valore iniziale E/R. Pertanto si può assumere che la carica avvenga in un tempo finito e si parla quindi di transitorio di carica alla fine del quale viene raggiunta la condizione stazionaria con v= E e i= O, in accordo con la (9.3.2.1): la costante di tempo determina l'ordine di grandezza della durata del transitorio.

Si può anche verificare che in un intervallo di tempo uguale a T la tensione v(t) raggiunge il 63% del valore finale E mentre la corrente i(t) è ridotta del 63% rispetto al valore iniziale i(O) = E/R. Inoltre se tutto il processo evolvesse con la 1ne-

desima velocità che presenta per t = O, i valori di regin1e sarebbero raggiunti in un intervallo di tempo pari a T (le tangenti in t = O alle curve esponenziali intercettano i rispettivi asintoti in U11 tempo pari a T, vedi Fig. 9.3.3.2). Il valore della resistenza R influenza il valore iniziale della corrente E/R e la costante di tempo T, ma non la tensione fu1ale del condensatore.

9.3.3.2 Scarica del condensatore

Per t < O il circuito di Figura 9.3 .3.1 sia a regm1e stazionario con il conunutatore Sin posizione 1 (v{t) = E e i(t) = O). All'istante t = O, S commuta da 1 a 2 . Procedendo in modo analogo al caso precedente si ottiene:

E

- E R

. V, l

l

v(t) =Ee RE

E _.!... i(t) =-- e RC

R

Figura 9.3.3.3

(9.3.3.6)

(9.3.3.7)

t

Gli andamenti di v(t) e i(t) sono rappresentati in Figura 9.3.3.3. Anche il pro

cesso di scarica è governato dalla costante di tempo T e può considerarsi concluso

in un intervallo di tempo pari a 4 .;- 5 volte T; alla fine viene raggiunta una nuova

condizione stazionaria con tensione e corrente nulle (circuito a riposo con conden

satore scarico).

96 Capitolo 9

a 9.4 SERIE E PARALLELO DI CONDENSATORI

9.4.1 Condensatori in serie

A ... i • (t) - ... Ì I (t)

+ + A is (t)

e, T v ,(t) +

V s (t) s \I s (t)

+ C2 V2(t)

B B

• l 2(1)


I due condensatori aventi capacità C1 e C2 di Figura 9.4.1.1 vengono collegati in serie alla chiusura dell'interruttore S (per comodità si pone in tale istante l'origine dei ten1pi: t = O). Si vuole individuare il legame che tale serie iI11pone tra la tensione v.(t) e la corrente i.(t), ovvero quale bipolo equivalente appare connesso ai 1norsetti A e B. Con i riferimenti indicati, le LKT e LKC impongono per t > O:

(9.4.1.1)

(9.4.1.2)

Co111binando queste con la seconda delle (9.3.1.3), si ottiene, per t > O:

(9.4.1.3)

ove si è posto:

(9.4.1.4)

ed anche v.(o) = v1(0) + v2(0), che corrisponde alla (9.4.1.1) valutata in t = O. I:equazione (9.4.1.3) è soddisfatta dal condensatore di Figura 9.4.1.2, carico alla tensione v.(o) per t = O.

Si può concludere che due condensatori di capacità C1 e C2 posti in serie equivalgono ad un unico condensatore con capacità c. pari al reciproco della somma dei reciproci delle singole capacità e con valore iniziale v.(O) pari alla somma algebrica dei singoli valori iniziali. Tali risultati si possono facilmente estendere al caso di n condensatori in serie.


9.4.2 Condensatori in parallelo Ìp (t)

A .. S1

A ip (tl .. + +

Vp (I) + V i (I) + V 2(1) V p(t)

ci C1

+ i J (t)

B B


I due condensatori aventi capacità Ct e C2 di Figura 9 .4.2.1 vengono collegati in parallelo alla chiusura degli interruttori St e S2 (per co1nodità si pone in tale istante l'origine dei tempi: t = O). Interessa individuare il legame che tale parallelo iinpone tra la corrente i

1,(t) e la tensione v

1,(t), ovvero quale bipolo equivalente appare con

nesso ai morsetti A e B. Con i riferimenti indicati, le LKT e LKC iinpongono per t > O:

il.(t} = i t(t} + i2(t} (9.4.2.1)

v1,(t ) = vt(t} = v2(t ) (9.4.2.2)

Con1binando queste con la prima delle (9.3.1.3), si ottiene, per t > O:

i (t} = C dvt (t} + C. dv2(t) = (C +C. ) dv1,(t) = C dv"(t) p 1 dt 2 dt 1 2 dt p dt

(9.4.2.3)

ove si è posto:

(9.4.2.4)

I.:equazione (9.4.2.3) è soddisfatta dal condensatore di Figura 9 .4.2.2, la cui tensione iniziale vale vp(O) = vt(O} = v2(0}, che corrisponde alla (9.4.2.2) valutata in t = O.

Si può concludere cl1e due condensatori di capacità et e C2 posti in parallelo equivalgono ad un unico condensatore con capacità e,, pari alla somma delle singole capacità e con valore iniziale vp(O} uguale a quello di ciascun condensatore. Tali risultati si possono facilmente estendere al caso di n condensatori in parallelo .

• 9.5 ENERGIA ELETTROSTATICA

9.5.1 Energia immagazzinata nel condensatore

9.5.1. 1 Lavoro assorbito durante la carica

Nel circuito di Figura 9 .3 .3.1, durante il processo di carica (Fig. 9 .3.3.2} il generatore, convenzionato da generatore, eroga la potenza PE(t) = Ei(t}, mentre il condensatore ed il resistore, convenzionati da util izzatori, assorbono rispettivamente le potenze Pc(t) = v{t)i(t) e PR(t) = vR(t)i(t); è sempre verificato il bilancio delle po-

98 Capitolo 9

tenze PE(t) = Pc(t) + PR(t). Integrando le potenze nel tempo per tutta la durata del processo di carica si ottengono i lavori rispettivamente erogato ed assorbiti dai tre bipoli. Dalla (9.3.1.1) si deduce che la variazione infinitesima di carica accumulata sulle armature si può esprimere come dq = idt e quindi il lavoro assorbito dal condensatore vale:

i"' ' iQ iQ q l Q2 4 = v1dt = v dq = - dq =--• o o oc 2C (9.5.1.1)

ove Q indica la carica finale accumulata sulle armature del condensatore, che vale Q = q(oo) = Cv(oo) = CV, ove V= v(oo) = E. :[;ultimo membro n1ostra che Cc non dipende da come variano tensione e corrente, ma è funzione solo della carica finale, ovvero dello stato finale del condensatore. Si tratta quindi di lavoro conservativo, corrispondente ad energia im111agazzinata W e• che è detta energia elettrostatica o coulombiana o capacitiva, con dùnensione fisica di joule U). Più in generale l'energia immagazzinata nel condensatore in ogni istante, pari al lavoro assorbito fino a tale istante, è funzione dello stato del condensatore, ossia di q(t) = Cv(t); essa è detta funzione di stato e si può esprimere come:

(9.5.1.2)

Tali espressioni valgono se il condensatore ha comportamento lineare, ossia se la sua capacità non varia al variare di tensione e carica.

9.5.1.2 Rendimento di carica

Nel processo di carica il generatore ideale di tensione eroga il lavoro:

4 = f: Eidt = E s: idt = E f0Q dq = EQ = CE2

(9.5.1.3)

Il lavoro assorbito dal resistore può essere ricavato dal bilancio energetico:

2 1 z 1 2 /' = C. - /' = CE - - CE =- CE -'-'R E ----C 2 2 (9.5.1.4)

Questa relazione 111ostra che il lavoro assorbito e dissipato dal resistore risulta uguale al lavoro assorbito ed Ìlllmagazzinato dal condensatore.

Le relazioni precedenti mostrano che l'energia immagazzinata nel condensatore, il lavoro erogato dal generatore e quello dissipato dal resistore risultano indipendenti dal valore della resistenza R. Tale è pure il "rendimento di carica" W cl Cp_ che vale 0,5.

Va precisato che le considerazioni sul lavoro erogato dal generatore e sul rendimento di carica valgono per il particolare circuito di alÌlllentazione qui considerato, costituito da un generatore ideale di tensione costante.


9.5. 1.3 Lavoro erogato durante la scarica

Poichè alla fine del processo di scarica la tensione sul condensatore è nulla, il lavoro Le' che il condensatore eroga durante la scarica è uguale al lavoro Le che era stato assorbito durante la fase di carica (9.5.1.1): ciò conferma che questo viene im1nagazzinato in 1nodo conservativo e quindi corrisponde effettivamente ad energia capacitiva. Dal bilancio energetico durante la scarica si ricava immediatamente che tale energia viene totalmente assorbita e dissipata dal resistore.

9.5.2 Densità di energia elettrostatica Le espressioni (9.5.1.2) associano l'energia elettrostatica alle cariche elettriche e

' alle differenze di potenziale elettrico. E però possibile esprimere tale energia anche in funzione dei campi vettoriali D ed Ee. A tal fine si può considerare un condensatore generico nel cui dielettrico si evidenzia un tubo di flusso di D di sezione normale infinitesiina dS (Fig. 9.5.2.1).

dS

V+dV

Figura 9.5.2 .1

Considerando che un qualunque elemento di tubo di flusso di sezione dS e lunghezza df equivale ad un condensatore infinitesiino avente carica dq e tensione dv, l'energia Ìll esso immagazzinata, Ìll base all'ultiina delle (9.5.1.2), vale dWe = dqdv/2 = DdSEedf/2. Rapportando questa al volume d-r = dSdf del condensatore infinitesimo si deduce la densità di energia elettrostatica, con diinensione fisica di joule su metro cubo U/m3

] :

w (P) li di,tz = 1 DE = 1 D2

= 1 s E 2

e d-r 2 e 2 f. 2 e (9.5.2.1)

100 Capitolo 9

I;energia elettrostatica totale si ottiene integrando tale densità in tutto il volume -c0 ove si sviluppano i ca1npi D ed Ec:

Wc = J, w0 (P)d-c o

(9.5.2.2)

Questa espressione fornisce il medesimo risultato delle (9.5.1.2) per qualsiasi geometria del condensatore, perciò il modello descritto in Figura 9.5.2.1 è corretto; d'altra parte, si potrebbe utilizzare in modo altrettanto corretto un modello in cui l'energia elettrostatica sia tutta localizzata sulle cariche elettriche.

Le (9.5.2.1) e (9.5.2.2) indicano anche che l'energia elettrostatica è sempre presente quando co1npaiono i campi Ec e D e dunque essa non deve pensarsi associata soltanto ai componenti a due armature definiti condensatori in§ 9.2.

a 9.6 SOLLECITAZIONI MECCANICHE

Si consideri un condensatore alimentato da una qualunque rete elettrica e "deformabile"; sia ds un generico spostamento infinitesimo di uno degli oggetti che compongono il condensatore, ad esempio una delle armature, e sia F. la componente, nella direzione e nel verso dello spostan1ento ds, della forza esercitata dal campo elettrostatico contro la reazione vincolare che trattiene l'oggetto considerato. In queste condizioni la capacità del condensatore C può variare.

In termini di bilancio energetico, il lavoro fornito dalla rete elettrica cui è connesso il condensatore (dW

8) è pari alla variazione di energia elettrostatica nel con

densatore (dW0) più il lavoro virtuale fatto per spostare l'armatura del tratto ds per

effetto della forza F. :

Calcolando separatamente i vari termini:

dW = vidt = vdq = q dq s e

dW0 = ¼ d (q2/C) = q dq/C-¼ (q/C)2 dC

e dunque:

F. ds = ¼ (q/C)2 dC

si ottiene che la forza F. di origine elettrostatica vale:

F. =¼ vl ac/as

(9.6.1)

(9.6.2)

(9.6.3)

(9.6.4)

(9.6.5)

Quando il valore della capacità C aumenta, la forza F. è positiva. In altre parole, la forza elettrostatica F. agisce sugli oggetti che formano il condensatore nel verso che tende ad aumentare la capacità.


a 9.7 FENOMENI DISSIPATIVI NEI DIELETTRICI

9.7.1 Perdite dielettriche

I materiali dielettrici reali presentano un co1nportamento che differisce per vari aspetti da quello assunto per il dielettrico ideale descritto nei precedenti paragrafi.

Anzitutto i materiali dielettrici non hanno conducibilità rigorosamente nulla (si veda la Tab. 4.2.1.1) per cui in essi al campo elettrico Ec è associato, oltre allo spostamento elettrico D = eEc, anche un "debole" cainpo di corrente di conduzione J = yEc. I relativi fenomeni dissipativi spiegano perché i condensatori reali tendono a scaricarsi lentamente anche quando i loro terminali sono isolati.

Maggiore rilevanza hanno i fenon1eni di perdite dielettriche che si 1nanifestano in vari materiali dielettrici quando in essi sono presenti campi elettrici che variano periodicamente nel tempo con frequenza elevata. Si tratta di fenomeni dissipativi che possono venire ricondotti a co1nportamenti isteretici dipendenti dalla frequenza dei campi applicati. Infatti esistono materiali che possono essere considerati non isteretici a basse frequenze, ma devono invece essere considerati tali a frequenze sufficiente1nente alte. In particolare taluni materiali a frequenze tra 1 e 100 MHz sono sedi di marcate perdite dielettriche: tale feno1neno è sfruttato in alcuni processi industriali per ottenere riscaldamenti atti a produrre termofusione, sigillature, essiccazioni di fibre tessili, ecc.

a 9.8 CORRENTE DI SPOSTAMENTO

Al § 9.3 si è visto che la corrente i entrante nell'armatura A del condensatore è pari alla derivata della carica q, depositata sulla superficie della stessa ar1natura con densità superficiale crc. Quindi l'equazione di continuità(§ 1.2.4) tra la densità di corrente nell'armatura A e la densità di carica sulla sua superficie SA si scrive come J = (àcrj àt)n (Fig. 9.8.1). In accordo con tale relazione, le linee vettoriali del

éSL

campo di corrente muoiono sulla superficie, ove contemporaneamente aumenta la densità di carica. Peraltro sulla stessa superficie vale la relazione (9.1.4.1): crJl ... t = D, essendo D lo spostamento elettrico uscente dalla faccia di SA rivolta al dielettrico; derivando nel tempo questa relazione si ottiene (àcrj àt) n .. L = àD/àt: nel dielettrico è presente il campo vettoriale àD/àt, le cui linee nascono dalla superficie ove aumenta la densità di carica. Dalle due relazioni ottenute si deduce che sui punti della superficie vale l'uguaglianza:

armatura/\.

condutlore

Figura 9.8.1

dieleilrico

ÒI

102

J =aD òt

Capitolo 9

(9.8.1)

essendo i due vettori presenti sulle due facce di SA rivolte rispettivamente al conduttore ed al dielettrico. In altre parole ove muoiono le linee vettoriali di / nascono quelle di aD/at: quest'ultimo vettore prolunga la densità di corrente oltre la regione conduttrice, nella regione dielettrica: esso costituisce il campo della densità di corrente di spostamento; il suo integrale di superficie è detto intensità di corrente di spostamento.

Si può dunque definire il campo densità di corrente totale:

aD J ,(P,t) = J +

òt (9.8.2)

che non ha né sorgenti né pozzi perché ad un pozzo del primo addendo corrisponde una sorgente del secondo (e viceversa). Il campo / 1 è dunque solenoidale; infatti, ricordando che valgono la (1.2.4.4), div/ =-apj at, e la (9.1.3.2), divD = p

0, si ricava:

d . J d . J d . aD òp0 òpc 0 l V = l V + l V - = - - · + - = I ot òt òt (9.8.3)

essendo solenoidale in tutto lo spazio, / 1 è conservativo del flusso (si veda § A.7.2.1) . I;integrale di superficie di / 1 viene chiamato corrente totale; attraverso una superficie chiusa generica questa è sempre nulla.

La corrente di spostamento si sviluppa sia nei materiali isolanti che nei n1ateriali conduttori, dato che anche in questi ultimi è presente il campo sposta1nento elettrico. Ma, mentre nei primi essa può avere ilnportanza determinante, nei secondi è invece trascurabile rispetto a quella di conduzione, a meno che le variazioni dei fenomeni non siano estremamente rapide.

La densità di corrente di spostamento produce gli stessi effetti magnetici della densità di corrente di conduzione ed è alla base di fenomeni elettromagnetici importanti e con vaste applicazioni (onde elettro1nagnetiche).

Capitolo

FENOMENI MAGNETICI ED INDUTTORI

' 10.1 PROPRIET A FONDAMENTALI

10.1.1 Induzione magnetica

. l l

~ llzt

- ~ ur i2/ r u 'l.2 - ----~

Figura 10.1 .1.1

Nella disposizione speriinentale di Figura 10.1.1.1 (esperienza di Ampère), i due conduttori filiformi e rettilinei e, e c2 sono inunersi in un materiale uniforme e posti paralleli a distanza r 1nolto minore della loro lunghezza f (f >>r). Si verifica che, quando c1 e c2 sono percorsi dalle correnti i 1 e iv sui conduttori si manifestano forze repulsive o attrattive; in particolare la forza che agisce sul tratto 1!,.f di c2 è espriI1ribile come:

(10.1.1.1)

ove il parametro µ è chiamato permeabilità magnetica, con diinensione fisica di newton su ampere quadrato (N/A2

] , (più con1unemente si usa come unità henry su 1netro [H/m], avendo definito, co1ne si vedrà in seguito henry: [H]=U/A2]=[0s]).

La defurizione di µ consente il collegainento tra grandezze meccaniche ed elettriche.

104 Capitolo 10

Una forza M' uguale, n1a orientata secondo un versore u, avente verso opposto, si manifesta su qualunque tratto t..f del conduttore c1 •

La forza M'è repulsiva se, come indicato in figura, i1 e i2 sono concordi rispetto ai riferimenti di misura u,1 e u,2 ; sarebbe invece attrattiva se una delle due correnti avesse segno opposto'.

Si assume che la forza M' origini dal fatto che una corrente produce effetti a distanza, esprimibili per mezzo di un cru11po vettoriale, detto induzione magnetica ed indicato con B; in particolare nel caso di Figura 10.1.1.1 la corrente i1 produce il campo B1 che permette di riscrivere la (10.1.1.1) co1ne:

(10.1 .1.2)

Il modulo di B ha d imensione fisica di newton su ampere per metro [N/Aln], unità di 111isura che prende il non1e di tesla [T]; si verifica che tale unità è anche pari a volt per secondo su metro quadro [Vs/m2

).

In generale ogni corrente, sia in conduttori filiformi che distribuita nelle tre di-1nensioni, produce induzione 1nagnetica nello spazio circostante; B dipende sempre dalla forma del conduttore e dal materiale circostante.

Le espressioni sopra riportate valgono anche se le correnti i1 e i2 sono variabili nel tempo.

1 O. 1.1. 1 Legge di Biot-Savart

Dalle (10.1.1.1) e (10.1.1.2) si ricava che il crunpo B prodotto da un condu ttore filiforme rettilineo iinmerso in materiale uniforme (Fig. 10.1.1.2) è esprimibile con la seguente relazione, nota co1ne legge di Biot-Savart:

. µ J B(P) =--u

21t r <p (10.1.1 .3)

essendo ucp il versore azimutale associato dalla regola della vite destrogira al versore u,, che costituisce il riferiinento di i .

Figura 10.1.1.2 1 È proprio la (10.1 .1 .1) che definisce l'ampere, unità fonda1nen tale del SI, come intensità di corrente che applicata ad entrambi i conduttori aventi la geo1netria indicata e posti n el vuoto a distanza di un 1netro, produce in ciascun loro tratto lungo un metro una forza di intensità 2 · 10-1 N .

FENOMENI MAGNETICI ED INDUTTORI 105

10.1.2 Flusso di induzione

Quantità associata all'induzione 1nagnetica è il suo flusso (flusso di induzione) attraverso una generica superficie S, orientata dal versore normale n :

cp(t) .i f B-ndS s (10.1.2.1)

che ha dimensione fisica di tesla per metro quadro [Tm2], pari a volt per secondo [Vs), unità di misura che prende il nome di weber [Wb].

Proprietà fondamentale del campo di induzione magnetica B è che il flusso di induzione cp attraverso qualunque superficie chiusa Se è sempre nullo:

J- B· n dS = O 'f sr. (10.1.2.2)

in altre parole, si dice che il vettore B è conservativo del flusso (Fig. 10.1.2.1). Tale proprietà può essere constatata analiticamente se è nota l'espressione di B; in particolare questa verifica può essere eseguita senza troppe difficoltà per il campo B espresso dalla legge di Biot-Savart.

Applicando il teore1na della divergenza alla (10.1.2.2) (si veda la (A.6.2.4)), si deduce che l'induzione magnetica è ovunque solenoidale:

divB = O (10.1.2.3)

Le equazioni (10.1.2.2) e (10.1.2.3) esprimono, in forma integrale e differenziale rispettivamente, la proprietà fondamentale del cainpo B. Per esse le linee vettoriali di B non haimo né sorgenti né pozzi e quindi o sono chiuse o si estendono all'infinito.

B

dS

n. =-n' e~L -

Figura 10.1.2.1 Figura 10.1.2 .2

106 Capitolo 10

Considerate due superfici aperte S1 e S2 aventi per orlo la medesima linea chiusa ec (Fig. 10 .1.2.2), la loro unione costituisce una superficie chiusa Se, attraverso la quale il flusso di induzione uscente è nullo, per la (10.1.2.2). Separando l'integrale sulle superfici S1 e S2, si ottiene:

(10.1.2.4)

ove cp1 e q>2 sono i flussi di induzione attraverso S1 e Sv orientate concordemente, ossia dai versori Ili= n..,,L e n2 = -n .. t, entrambi associati al versore t di fc dalla stessa regola della vite destrogira. Dunque è <p1 = q>2 ; più in generale, sono tra loro uguali i flussi di induzione q>; attraverso tutte le superfici aperte S; che hanno per orlo la medesima linea chiusa ec e che sono orientate in modo concorde.

10.1.3 Flusso concatenato Grazie al fatto che B è conservativo del flusso, è lecito associare il flusso di in

duzione q> attraverso una superficie aperta S alla linea ec (orientata dal versore t ) che costituisce l'orlo della superficie piuttosto che alla superficie stessa. Dato che le linee vettoriali di B non hanno né sorgenti né pozzi, esse sono chiuse: solo quelle che si concatenano attorno a ec (come anelli di una catena) danno luogo al flusso di induzione q> definito dalla (10.1.2.1}; per tale ragione questo è chiamato più specificamente flusso (di induzione) concatenato con la linea chiusa ec ed è indicato con q>c.

Il flusso concatenato con una data linea chiusa ec può essere valutato attraverso una qualunque superficie aperta che abbia per orlo ec· Quando la linea chiusa giace in un piano risulta vantaggioso eseguire il calcolo attraverso la stessa superficie piana orlata da ec.

1 O. 1.3.1 Flusso concatenato con un circuito elettrico

Spesso interessa determinare il flusso concatenato con un circuito elettrico (semplice) costituito da uno o più conduttori disposti in 1nodo da formare un percorso chiuso. Quando i conduttori sono filifor1ni, si può ritenere che essi materializzino una linea chiusa fc: ad un tale circuito elettrico è pertanto associabile un ben definito flusso concatenato.

10.1.3.2 Flusso concatenato con N spire filiformi

Se il conduttore filiforme è costituito da N spire vicine tra loro ed avvolte nello stesso senso, si può ritenere che ciascuna spira concateni, con buona approssimazione, lo stesso flusso <p., così da poter scrivere:

(10.1.3.1}

10.1.4 Legge di Faraday-Neumann

I.:esperienza di Fàraday-rlenry (Figura 10.1.4.1} mostra che in una spira conduttrice filiforme disposta lungo una linea chiusa ec con terminali a piccola distanza, qualunque variazione temporale del flusso di induzione q>c( t) concatenato con la

spira ti l ifom1e ,.,,----..... s V

+

+

--Z::.::t Figura 10.1.4.1

spira produce una forza elettromotrice indotta e,.c(t), 1nisurabile da un voltmetro. Il fenomeno è noto come induzione elettromagnetica. Il legame tra f.e.m. indotta e flusso concatenato è espresso dalla legge di Faraday-Neumann, o legge di FaradayHenry:

dcp0 (t) d J e (t) = - · = - - B·ndS te dt dt S

(10.1.4.1)

Si assume che il versore normale n per la valutazione di <pc(t) e il versore t tangente a f

0 siano associati dalla regola della vite destrogira e anche che t e i riferi

n1enti + e - della f.e.m. siano associati dalla convenzione dei generatori ( come in figura); S è una generica superficie aperta che ha f

0 per orlo.

La legge di Faraday-Neumann vale per qualsiasi variazione temporale del flusso concatenato <p

0(t), prodotta tanto dalla variazione nel te1npo di B(P,t) che dalle

deformazioni o movimenti rigidi della linea fc(t), cosicché tale f.e.m. indotta può essere sco1nposta nella somma di due addendi:

e (t) = - d<pc(t) = - a<pc(t) t, dt 8t l = COSL

e

8<pc(t) (10.1.4.2)

e utilizzando la proprietà vettoriale (A.6.2. 7) è possibile esplicitare ciascuno di essi nel seguente modo:

- il pruno addendo, detto f e.m. trasformatorica e1(t), è determinato dalle varia

zioni te1nporali di B (P,t), un1naginando fisse la configurazione e la posizione di ec; esso vale:

(10.1.4.3)

- il secondo addendo, detto fe .m. mozionale em(t), è deternlinato dalle variazioni temporali di ec e quindi delle superfici che essa orla, assumendo costante B; esso vale:

108 Capitolo 10

(10.1.4.4)

essendo V e la velocità del generico trattino de della linea .ec. Più oltre in questo capitolo sarà trattata la prima di queste f.e.m., e,, mentre la seconda sarà esaminata nel Capitolo 12.

10.1.4. 1 Legge di Lenz

Si assuma ora che la linea chiusa ec che concatena 'Pc(t) sia costituita da una spira conduttrice filiforme chiusa in cortocircuito (Fig. 10.1.4.2). Ad esempio si può

B pensare che la spira sia ferma

.. t

spira co,tocircuitata

ed indeformabile e che cpc(t) vari perché il modulo di B de· cresce nel tempo. Con i versori normale n e tangente t indicati, associati dalla regola della vite destrogira, il flusso concatenato <flc risulta positivo e decrescente, ossia la sua derivata è negativa.

Per la legge di Faraday-NeuFigura 10.1.4.2 mam1, nella spira si induce la

f.e.m. e,.0

positiva rispetto al riferimento individuato dal versore t , tale cioè da produrre nella stessa spira una corrente i. positiva rispetto al riferimento individuato da t. Tale corrente a sua volta produce un campo di induzione B. il cui verso è associato al versore di i., cioè a t , dalla regola della vite destrogira: B. risulta perciò concorde al versore n, ovvero al cainpo B, e tende quindi a compensare il decremento di cpc(t). Se la spira avesse resistenza 11ulla, la compensazione sarebbe perfetta e il flusso concatenato complessivo rimarrebbe costante.

Tale osservazione corrisponde alla legge di Lenz, secondo la quale ogni vruiazione del flusso concatenato produce un effetto che si oppone alla propria causa, ossia che è tale da ridurre la variazione di flusso stesso.

10.1.5 Campo elettrico indotto La f.e.m. trasformatorica e,(t) di (10.1.4.3) implica l'esistenza di una forza elet

trica specifica E1(P,t) distribuita lungo ec, tale che la sua circuitazione sia pari alla f.e.m. stessa, come avviene per la f.e.m. dei generatori elettrici esaininati in§ 5.2.1:

J. E. (P t) · t de = e = -f aB · n dS 'ft, I 1 I S at (10.1.5.1)

In base al teorema di Stokes (A.6.2.3), l'integrale a pruno membro risulta uguale al flusso del rotore di E

1 attraverso una superficie S orlata da Cc; si ricava così:


f rot E. · n dS = -J òB · n dS s l s al: (10.1.5.2)

da questa, valida per qualsiasi S, si deduce la proprietà fondainentale del cainpo elettrico indotto Ei:

òB rotE. =--' al:

(10.1.5.3)

La (10.1.5 .3) indica che la/orza elettrica specifica Ei ha origine elettromagnetica e costituisce un cainpo vettoriale intimainen te legato alla variazione temporale del vettore i11duzione magnetica B. Il ca.111po Ei non è conservativo, come mostra la (10.1.5.1) e ha rotore non nullo, come d'altronde indica la (10.1.5.3), nelle regioni in cui l'induzione magnetica non è costante nel tempo ( aBJat ;é O). Ei è il campo elettrico indotto (in quanto è associato ai fenomeni di induzione magnetica) al quale si è accennato in§ 2.3, indicandolo come co1nponente non conservativa del ca.111po elettrico.

10.1.5.1 Campo elettrico

Al § 2.3 è stato introdotto il campo elettrico E(P,t), costituito dai due addendi, coulombiano e indotto:

E(P,t) = E0 + E; (10.1 .5.4)

definendolo come la sola forza specifica che può essere sperimentata da una carica libera in quiete nel vuoto.

Applicando il rotore al ca.111po elettrico (10.1.5.4) e tenendo conto che E0 è irrotazionale, si ottiene:

òB rot E = rot E. = - -

' al:

che costituisce la seconda equazione di Maxwell.

(10.1.5.5)

Le precedenti espressioni confermano anche che il cainpo elettrico si riduce al solo ca.111po coulombiano allorché B = O ed in condizioni stazionarie ( quando aBJat = O). Ciò può avvenire anche in condizioni variabili, limitatainente a regioni ove sia B = o ( ovvero aB Jat = O).

10.1.6 Campo magnetico e relazione costitutiva

Nei punti dello spazio ove è presente il cainpo di induzione magnetica B(P,t) , si considera anche il campo vettoriale denominato campo magnetico H(P,t) , che al prin10 è legato dalla relazione costitutiva:

B(P,t) = µ H(P,t) (10.1 .6 .1)

oveµ è la permeabilità magnetica del materiale, già introdotta con la (10.1 .1.1). Avendoµ dimensione di [H/m]. il campo magnetico ha dimensione di ampere su metro [Nm].

110 Capitolo 10

10.1.6.1 Legge di Biot-Savart per il campo magnetico

In base alla (10.1 .6.1) ed alla legge di Biot-Savart (10.1.1.3), il campo magnetico che un conduttore filiforme rettilineo, immerso in 1nateriale uniforme, con corrente i produce in un punto P a distanza r dal suo asse, 1nolto 1ninore della sua lunghezza (f>>r, Fig. 10.1.1.2), vale:

B i H (P) = - = - u

µ 2 nr 'I'

che è nota co1ne legge Biot-Savart per il campo magnetico.

10.1.7 Legge di Ampère

(10.1.6.2)

Utilizzando l'espressione (10.1.6.2) e considerando una generica linea chiusa Cc, si può verificare che in un materiale uniforme, la circuitazione del campo vettoriale H è pari alla corrente i concatenata da Cc.

La proprietà fondamentale del campo 1nagnetico H, valida in generale per qualsiasi distribuzione di corrente, anche in materiali non unifor1ni, è espressa dalla seguente relazione:

f H · t di = i(t) I. r.

(10.1.7.1)

Tale proprietà può essere assunta a definizione del campo H, e costituisce la legge di Ampère o legge di circuitazione: la circuitazione del campo H lungo una qualsiasi linea chiusa Cc è pari alla corrente di conduzione solenoidale i(t) concatenata con Cc (Fig. 10.1.7.la).

a) l>)

J

t t

H H Figura 10.1 .7.1

Essa richiede che il versore n che stabilisce il riferimento della corrente i(t) sia associato con la regola della vite destrogira al versore t tangente a Cc, in base al quale è eseguita la circuitazione del campo magnetico.


a) b) J

Figura 10.1 .7.2

La corrente elettrica può n1anifestarsi in conduttori filiformi ( co1ne in Fig. 10.1.7.la) ma può anche costituire un campo tridimensionale di corrente (Fig. 10.1.7.lb). In ogni caso la corrente i(t) deve intendersi valutata attraverso qualunque superficie aperta S orlata da ec.

La legge di Ampère vale per qualunque campo di corrente, (filiforme o tridimensionale) purché esso sia solenoidale in tutto lo spazio: div/ = O. Solo in tal caso i(t) assu1ne un unico valore, qualsiasi sia la superficie S orlata da ec. Tale condizione è sen1pre verificata in regime stazionario, come visto in § 1.2; per questo la legge di Ampère vale sempre in condizioni di correnti stazionarie, ovvero in condizioni magnetostatiche. Essa vale anche quando il campo di corrente, pur variando nel tempo, si mantiene solenoidale; si parla allora di condizioni quasi-magnetostatiche. In tali situazioni le linee di / sono cm use e si concatenano con ec come evidenziano le Figure 10.1.7.Za-b.

Hanno particolare interesse i casi nei quali un conduttore filifonne percorso dalla corrente i è avvolto N volte attorno alla linea ec, in modo che la corrente totale concatenata da ec (cioè la corrente attraverso qualsiasi superficie S orlata da eJ è Ni (Fig. 10.1.7.3); si scrive allora:

~ H -tdR = Ni I.,

(10.1.7.2)

il prodotto Ni si esprime in amperspire [As], unità di misura omogenea all'ampere.

Se invece consideriamo un campo tridimensionale di corrente con densità / , la corrente concatenata da ec può essere espressa come i= f5J · n dS e si può scrivere:

1> H ·t dR = f J·ndS (10.1.7.3) fr; s

t

Figura 10.1.7.3

112 Capitolo 10

applicando a questa il teorema di Stokes (A.6.2.3) si deduce la seguente relazione, che esprime la legge di Ampère in forma locale:

rotH = J (10.1 .7.4)

Il campo 1nagnetico pertanto non è irrotazionale in tutto lo spazio e le sue linee vettoriali hanno vortici ove J .t= O. Dovendo valere l'identità vettoriale div rolli= O (vera per qualsiasi campo vettoriale, si veda§ A.4.5), la (10.1.7.4) implica divJ= O e quindi conferma che la densità di corrente deve essere solenoidale perché valga la legge di Ampère.

Solo nel caso che il materiale sia uniforme, ossia se la permeabilità µ non varia da punto a punto, per l'induzione magnetica valgono la proprietà rotB = µJ ( analoga alla (10.1.7.4)) e la relativa relazione integrale (analoga alla (10.1.7.1)).

10.1.7.1 Legge di Ampère-Maxwe/1

In condizioni di can1pi rapidamente variabili nel te1npo, in cui viene n1eno l'ipotesi quasi-magnetostatica, la corrente di conduzione non è più solenoidale, e quindi la corrente concatenata della relazione integrale (10.1.7.1) non risulta univocainente determinata. Anche la relazione differenziale (10.1.7.4) risulta inconsitente, perché è sen1pre divrotH=O mentre per la densità di corrente vale la legge di continuità (1.2.4.3): divJ =-iJpj àt.

In queste condizioni la (10.1.7.4) viene sostituita dalla seguente relazione, chiamata legge di Ampère-Maxwell o prima equazione di Maxwell:

òD rotH = J +- = ] 1 ot

(10.1.7.5)

che si ottiene dalla (10.1.7.4) sostituendo alla densità di corrente di conduzione la densità di corrente totale J, = J + àD/at, descritta in § 9.8, che è sempre solenoidale. La (10.1.7.5) costituisce la generalizzazione della legge di Ampère. Analogamente nella relazione integrale (10.1.7.1) la corrente di conduzione deve essere sostituita con la corrente totale, pure definita in § 9.8.

Tale relazione indica che anche la corrente di spostamento è in grado di produrre effetti magnetici. Peraltro il suo contributo è rilevante nei fenomeni che si sviluppano completamente in materiali isolanti (ove y- o e quindi J-o) ed anche in materiali conduttori, se le variazioni dei fenomeni sono sufficientemente rapide, in modo che iJD/àt sia confrontabile con J. Queste condizioni corrispondono alla radiazione e propagazione di onde elettro1nagnetiche, nelle quali campi elettrici e n1agnetici sono aspetti inscindibili, quando le rapidità di variazione delle tensioni, delle correnti e dei campi sono 1nolto elevate ("alte frequenze") . L' esposizione di questi fenomeni, tipici dei trasmettitori e ricevitori di onde elettron1agnetiche, esula dai limiti di questa trattazione.

Nelle applicazioni usuali relative alla produzione, trasmissione e utilizzo dell'energia elettrica, la corrente di spostamento è invece molto minore di quella di conduzione, sicché è lecito trascurarne gli effetti magnetici e ritenere valida la legge di Ampère: si suole parlare allora di fenomeni magnetici lentamente vanabili, ovvero quasi-magnetostatici.


10.1.8 Permeabilità magnetica dei materiali

La permeabilità magnetica µ caratterizza il con1portamento n1agnetico dei diversi materiali. Nei materiali uniformi la permeabilità è uno scalare costante (H e B sono paralleli ed hanno intensità proporzionali); così in particolare si comporta il vuoto, la cui permeabilità magnetica, indicata con µ

0, vale:

µo = 41t . 10-1 H m

(10.1.8.1}

Per un generico materiale si considera spesso, invece che la permeabilità magnetica µ, il suo valore rapportato alla permeabilità del vuoto µ

0:

(10.1.8.2)

che è un parametro adiinensionale detto permeabilità magnetica relativa.

10.1.8.1 Materiali diamagnetici e materiali paramagnetici

Alcuni materiali hanno per1neabilità magnetica relativa costante e poco minore di uno (materiali diamagnetici); altri hanno permeabilità n1agnetica relativa costante e di poco maggiore di uno (materiali paramagnetici); in particolare è praticamente unitaria la permeabilità magnetica relativa dell'aria. Si tratta di materiali uniformi; essi sono talvolta chiamati anche materiali amagnetici; in molte applicazioni la loro permeabilità relativa può essere assunta pari all'unità.

10.1.8.2 Materiali ferromagnetici

Molto diverso è il caso dei materiali ferromagnetici che possono avere per1neabilità magnetica relativa molto maggiore di uno, n1a fortemente variabile in funzione di B e H, essendo essi non lineari e isteretici, ed alcuni anche anisotropi11; inoltre la loro permeabilità è anche funzione della temperatura. Nonostante tali comporta1nenti, questi materiali sono frequentemente iinpiegati nei dispositivi elettrici, proprio grazie agli elevati valori di permeabilità che possono presentare.

B B g ·-·-·-·

H

H

Figura 10.1 .8.1

n In quest'ultimo caso il comportamento varia in funzione delle direzioni dei campi, sicchè il legame tra B e H ha natura tensoriale (si veda§ A.9.1).

114 Capitolo 10

Curva di prima magnetizzazione. Se, a partire da condizioni di riposo (H = O, B = O), si applica ad un materiale ferromagnetico un campo magnetico H con orientazione costante e modulo crescente, l' induzione risulta pure crescente; la relativa curva B = B(H), monotona, prende il nome di curva di prima magnetizzazione; essa presenta il tipico andamento non lineare dovuto ai feno1neni di saturazione (Fig. 10.1.8.1). Per valori n1odesti di H la curva ha pendenza elevata e crescente; aun1entando H la curva presenta un "ginoccliio '', ove B = Bs (Fig. 10.1.8.1); per valori di H ancora 1naggiori la curva B = B(H) riduce gradualmente la propria pendenza, diventando rettilinea con pendenza dB/dH = µ

0 al disopra del valore

B = B. (induzione di saturazione). In figura è pure sche1natizzato l'andamento della penneabilità µ(H), che ha un 1nassimo intorno al "ginocchio" e tende a µ" per H tendente all'infinito.

Cicli di isteresi. Al 1nateriale ferromagnetico siano ora applicati i campi HM e BM (Fig. 10.1.8.2); riducendo il campo magnetico fino ad annullarlo, l'induzione non si annulla, ma raggiunge il valore B, < BM, detto induzione residua. Per ridurre ulteriormente l'induzione è necessario invertire il verso del campo magnetico, applicando valori H < O. :[;induzione si annulla quando si raggiunge il valore -Hc (essendo Hc il campo magnetico coercitivo).

a) B

- HM

- B,

- --·-·-- ·-·-·-·-·-· - .B M

b)

Figura 10.1.8.2

B

I i !H

Quando, aumentando ulteriormente il modulo di H, si raggiunge il valore - HM, l'induzione assume il valore -BM. Se si fanno variare ciclicamente i due campi tra valori estremi opposti HM e - H M, la curva H,B descrive un ciclo di isteresi simmetrico, che presenta tipicamente la forma di Figura 10.1.8.Za. Se invece il campo magnetico è fatto variare ciclicamente tra valori estremi non opposti, si realizza un ciclo di isteresi dissimmetrico, quali quelli esemplificati in Figura 10.1 .8.Zb.

Per caratterizzare i materiali ferromagnetici si ricorre generalmente alle seguenti curve:

curva di prima magnetizzazione, descritta più sopra, in cui si individuano la permeabilità massima µmax e, qualitativainente, l'induzione al ginocchio B = B

6•

- curva dei vertici dei cicli di isteresi simmetrici (Fig. 10.1.8.3), vale a dire il luogo dei punti (HM, BJ di Fig. 10.1.8.2a), ottenuti per diverse ainpiezze del ciclo d'isteresi; essa risulta di poco diversa dalla precedente. Per i materiali anisotropi, oltre che isteretici, tali curve sono date per l'orientazione di B e H secondo la quale essi sono paralleli e presentano le più alte permeabilità.

Si può anche fare riferimento ai valori di parainetri caratteristici quali quelli indicati nelle Tabelle 10.1.8.1 e 10.1.8.2:

- pern1eabilità relativa massima µ,-max• desunta dalla curva di prima magnetizza-. z1one;

induzione di saturazione, pure desunta dalla curva di prima 1nagnetizzazione; - magnetizzazione residua B~ desunta dal ciclo di isteresi più an1pio; - campo magnetico coercitivo Hc, pure desunto dal ciclo di isteresi più ampio.

B

H

Figura 10.1.8.3

A parità di intervallo di variazione del cainpo magnetico, i diversi materiali ferromagnetici presentano cicli di isteresi con intervalli di variazione dell'induzione più o meno estesi e con aree del ciclo di isteresi più o meno ainpie. Ai vari comportainenti corrispondono diversi valori di B, e Hc: quanto maggiori essi sono, tanto più ai11pi sono i cicli di isteresi sim1netrici e tanto maggiori sono i tratti che si sviluppano nel 2° e 4° quadrante, ove Be Hhanno segno discorde (e quindi i cainpi vettoriali hanno verso opposto) e la permeabilità magnetica è negativa.

Si dicono materiali ferromagnetici dolci quelli con cicli d'isteresi di area più stretta e materiali ferromagnetici duri quelli con cicli d'isteresi di area più ampia. I primi vengono utilizzati per produrre induzioni ben canalizzate con relativan1ente poche ainperspire. I secondi sono adatti ad essere usati come magneti permanenti, allorché presentano induzione e cainpo magnetico opposti (ovveroµ< O) e relativainente intensi, potendo così dar luogo a flussi di induzione in assenza di correnti di conduzione.

116 Capitolo 10

Le caratteristiche di materiali magnetici dolci sono riportate in Tabella 10.1.8.1, mentre in Tabella 10.1.8.2 sono elencate le caratteristiche di n1ateriali magnetici duri.

µr-max Hc [A/m] I Bs [T]

Leghe magnetiche dolci

Fe puro (massiccio} 30 103 12 2,15

Fe 64% - Ni 36% 8 103 8 2,1

Fe (46+32}% - Ni (54+68}% 125 10:{ 1,2 0,80

Fe 49% - Co 49% - V 2% 7 103 950 2,35

Lamierini Fe-Si

Fe 85% -Al 5,% - Si 9,6% 120 103 18 1,1

Isotropi Si 1% 4103 64 2,0

Isotropi Si (1,7+2,7}% 6 10:{ 64+80 1,95

Isotropi Si (3,4+4,3}% (4 + 10) 103 24+48 1,9

A grano orientato Si 3, 1 % (50 + 60} 103 7 2 ,03

Ferriti dolci

MnO - ZnO - Fe203 3 + 100 0,3 + 0,5

NiO - ZnO - Fe203 16 + 1600 0,1 + 0 ,4

Tabella 10.1.8.1 Parametri magnetici di alcuni materiali ferromagnetici dolci


Hc [kA/m] Br [T]

Leghe magnetiche dure

Alnico 220 isotropo (Al 6% - Ni 13% - Co 24% 80 0,62

- Cu 3% - Ti 5% oltre Fe)

Alnico 500 anisotropo (Al 8% - Ni 14% - Co

23% - Cu 3% oltre Fe) 50 1,2

Ticonal 360 anis. (Ti 1,5% - Co 24% - Ni 14% -

Al 8,5% - Cu 3% oltre Fe) 570 1,07

CrFeCo (Co 10% - Cr 10% oltre Fe) 20 0 ,9

Vicalloy (Co 50% - V 14% oltre Fe) 23 0,97

Ferriti dure

Ferrite Ba isotropa 132 0,21

Ferrite Ba anisotropa 190 0,39

Ferrite Sr anisotropa 260 0 ,34

Composti di terre rare

Samario-cobalto (S1nCos) 650 + 700 0,9

Samario-cobalto (S1n2Co11) 720 1,1

Neodiinio-ferro-boro (NdFeB) 800 1,3

Tabella 10.1 .8.2 Parametri magnetici di alcuni materiali ferromagnetici duri

Osservazione I 1nateriali ferron1agnetici sono utilizzati in moltissiine apparecchiature elettri

che (strmnenti di misura, trasfor1natori di piccola e grande potenza, motori elettrici e 1nacchine elettriche rotanti), per ottenere induzioni ben canalizzate fino a circa 2 T. A valori più elevati di induzione si 1nanifestano marcatamente i feno1neni di saturazione che ne rendono meno vantaggioso l'iinpiego.

Induzioni più grandi vengono ottenute, solo in 1nacchine speciali, per la ricerca scientifica o per diagnostica medica, senza l'uso di 1nateriali magnetici; in

118 Capitolo 10

tali macchine si possono raggiungere circa 4 - 5 T se i conduttori sono realizzati in rame o alluminio, i quali, essendo soggetti ad elevate dissipazioni per effetto Joule e ad elevate sollecitazioni elettrodinamiche, richiedono adeguati sistemi di smaltiinento del calore dissipato (ad ese1npio per n1ezzo di circolazione di acqua) e di supporto meccanico. Induzioni fino a circa 10 - 12 T vengono ottenute solo per mezzo di magneti costituiti da 1nateriali superconduttori, i quali richiedono iinpianti criogenici in grado di raffreddarli a temperature di pochi K e robustissime strutture di sostegno.

10.2 INDUTTORI

Un induttore (o circuito induttore) è costituito da un conduttore, che per semplicità iinmaginiamo filifor1ne, il cui asse longitudinale si sviluppa lungo una linea e di for1na qualsiasi e i cui estre1ni (terminali) sono posti molto vicini, quasi a coincidere, in modo che il conduttore praticamente materializzi la linea chiusa ec -e. A questa, e quindi all'induttore, si può associare il flusso concatenato Cf>c(t), definito in§ 10.1.3.1:

q,c(t) ! f s B(t) · n dS (10.2.1)

ove S è la generica superficie aperta orientata da n che si appoggia a ec. Il campo di induzione B e quindi il flusso concatenato cpc(t) sono prodotti dal

la corrente i(t) dell'induttore stesso o anche dalle correnti di altri conduttori; si assume in ogni caso che la situazione sia magnetostatica o quasi-magnetostatica, ovvero che le correnti siano co1nunque solenoidali.

10.2.1 Induttore isolato - autoinduttanza

8

n

induthue

Figura 10.2.1.1

Si assuma per ora che le linee vettoriali di B che deter1ninano il flusso cpc(t) concatenato con il circuito induttore siano dovute alla sola corrente solenoidale i(t) dell'induttore stesso (Fig. 10.2.1.1). In tale situazione si dice che l'induttore è magneticamente isolato, perché non concatena alcuna linea di B prodotta da altre sorgenti; 'Pc(t) è detto flusso di autoinduzione o flusso autoconcatenato.

Allora l'induzione B è funzione, oltre che della permeabilità 1nagnetica dei n1ateriali, soltanto della corrente i e della geometria del conduttore. Analoga dipendenza presenta il flusso concatenato 'Pc· Allora, scelto come riferimento di i il versore tangente t, associato al versore n dalla regola della vite destrogira, si può definire il rapporto:

L ! 'Pc(t) i(t)

(10.2.1.1)

che è detto induttanza o autoinduttanza o coefficiente di autoinduzione, ed ha dimensione fisica di weber su ampere [Wb/A], unità di 1nisura che si esprime in henry [H]. Tale parametro caratterizza il circuito induttore; in assenza di materiali isteretici, L risulta sempre positiva poiché, con i riferimenti posti, 'Pc e i hanno sempre lo stesso segno; inoltre nelle ipotesi di linearità dei materiali e di indeformabilità dell'induttore, L è costante, ossia indipendente da <pc e i.

L'induttanza può essere determinata sperimentalmente tramite la (10.2.1.1), variando la corrente e misurando i valori della corrente stessa e del corrispondente flusso concatenato; per configurazioni semplici, essa può essere valutata analitica-1nente, come illustrato nel seguito.

10.2.2 Induttore toroidale

a)

i(t) ..

b) B <<=OJ

I r,..,.,JI I I I

I I rm I r (Il

.,_1 1 4

rm - ro rm+ r o

Figura 10.2.2.1

r

120 Capitolo 10

:[;induttore o avvolgimento toroidale costituisce un caso particolarn1ente semplice di induttore: esso è costituito da un supporto toroidale (una ciambella di raggio n1aggiore medio rm e raggio minore r0 ) realizzato con un n1ateriale uniforme (Fig. 10.2.2. la); su esso un conduttore filiforme è avvolto uniformemente in N spire fittamente impaccate, come se ciascuna giacesse in un piano radiale (a differenza di quanto mostra la figura, per ragioni di chiarezza grafica). Il conduttore è percorso dalla corrente i(t).

Considerando la silnmetria cilindrica rispetto all'asse centrale del toro, le linee vettoriali di H e B sono circonferenze coassiali con il toro, lungo le quali H è costante in modulo e ad esse tangente. La sua circuitazione lungo tali circonferenze vale H 2n re, per la legge di Ampère (10.1.7.2), è pari alle amperspire concatenate; quindi se la circonferenza si sviluppa entro il volume toroidale, esso concatena comunque Ni ainperspire e si ha:

Ni H = --u<p,

2nr (10.2.2.1)

se invece la circonferenza si sviluppa fuori del toro, esso concatena amperspire nulle e si ha H = O e B = O. I:andamento di B in funzione dir sul piano di simmetria equatoriale z = O è mostrato in Figura 10.2.2. lb. Il verso di B dipende dal segno di i: se questa è positiva le linee di B haIIBo, i11 figura, senso antiorario, in accordo con la (10.2.2.1). :[;induzione lungo la circonferenza di raggio rm che costituisce l'asse toroidale si ottiene dalla (10.2.2.1) per r = rm:

µNi B = µH = -'----U'!' (10.2.2.2)

2n rm

Se il toro è "snello", ossia se r0 <<rm, al suo interno B risulta approssimativa-

1nente uniforme e pari al valore espresso dalla (10.2.2.2). Il flusso cp.=J5B-ndS concatenato da ciascuna spira può essere valutato attraverso la superficie piana S = nr0

2 orlata dalla spira; dato che su S B è ortogonale oltre che uniforme, si può scrivere semplicemente cp. = SE. Per la (10.1.3.1) il flusso concatenato dall'intero avvolgimento è allora cp

0 = Ncp. = NSB. Sostituendo il modulo di B espresso dalla

(10.2.2.2), e dividendo per la corrente i si ottiene:

L = cpc = _N_S_B_ . 1 1

µSN2

21trm

10.2.3 Induttori con altre configurazioni di campo magnetico

10.2.3. 1 Induttori solenoidali infiniti o lunghi

(10.2.2.3)

Un induttore o avvolgimento solenoidale (o semplicemente solenoide) è costituito da un supporto cilindrico di lunghezza f, e raggio r

0, in n1ateriale uniforme

su cui sono uniforme1nente avvolte N spire filiformi ( con densità lineare n = N/f, omogenea lungo f), strettamente serrate tra loro, aventi corrente i (Fig. 10.2.3.la). Se la lunghezza e tende a oo, esso può considerarsi caso li1nite dell'avvolgi1nento toroidale con rJ r

0~ 00.


In questa ipotesi si può ritenere che il campo H presenti simmetria assiale, con lli1ee vettoriali rette e parallele all'asse z. Poiché B è conservativo del flusso, il flusso che attraversa la sezione S del solenoide è uguale a quello relativo alle linee di B che si richiudono all'esterno del solenoide, su una sezione estesa fino all'infinito e quindi >>S; perciò si può ritenere che B, e quindi H, siano nulli, esternamente al solenoide. La circuitazione di H lungo percorsi rettangolari di lunghezza 2(h + d) (Fig. 10.2.3. la) concatena la corrente hni; inoltre il lato h interno al solenoide contribuisce alla circuitazione con l'addendo Hh, mentre i due lati d danno contributo nullo (perché hanno sviluppo ortogonale alle linee di H) e così pure il lato h esterno ( ove H = O). Pertanto si ha, iI1 ogni punto interno al solenoide:

a) ~ e

r

h cp d ~------

H ~- - ·- - · ·- - · . - · . - ·1---f.-t--+-·I-· ·- . ·-· . ·- - · ·- - · ·-·- ·- --11+---l~ z

Ì(t)

Figura 10.2 .3.1

H = n i u, B = µ H = µ n i u, (10.2.3.1) '

Il verso di H e B dipende dal segno di i: se questa è positiva le linee di H e B hanno, in figura, verso concorde a z, in accordo con la (10.2.3.1).

Solenoide lungo. Un solenoide è detto lungo se la lunghezza e è molto maggiore del raggio r0 (f>>r0); si può allora ritenere che, con buona approssimazione, esso dia luogo al suo interno e lontano dalle estremità alla medesiina distribuzione di campo del solenoide infinito, espressa dalla (10.2.3.1); alle estremità il campo è più debole e le linee vettoriali tendono a divergere, per richiudersi nello spazio circostante, sicché le spire prossime alle estremità concatenano un flusso minore di quelle centrali. Tuttavia, quanto più lungo è il solenoide, tanto più è trascurabile il campo esternamente ad esso e si può ritenere che tutte le N spire concatenino lo stesso flusso cp., il quale può essere valutato attraverso la superficie piana S = nr0

2;

dato che su S B è ortogonale oltre che uniforme, si può scrivere semplice111ente cp, = SB. Il flusso concatenato dall'intero avvolginlento è allora 'Pc= Ncp. = NSB. Sostituendo il modulo di B espresso dalla (10.2.3.1), e dividendo per la corrente i si ottiene:

µSN2

L = -'---f

(10.2.3.2)

che è tanto più accurata quanto più il solenoide è lungo.

122 Capitolo 10

10.2.3.2 Solenoide corto Se l'avvolgimento solenoidale è corto ( e è confrontabile con r

0) , la (10.2.3.2) non

è applicabile, perché non può essere trascurato il divergere delle linee di flusso alle estremità e il minor concatenamento delle spire estreme. Non è verificata dunque l'ipotesi su cui si basa la (10.2.3.2) e l'induttanza è inferiore a quella data da tale relazione. Essa può allora essere espressa come:

2

L =a. µSN ( ) 10.2.3.3 R,

ove il coefficiente a. è una funzione del rapporto e/2r0

, è sempre inferiore all'unità [a.(e/2r0 ) < 1) e tendente a uno per e/2r0 tendente a infinito; l'andamento di a. è rappresentato in Figura 10.2.3.2.

1

a 0 ,8 .-.-

I/ 0,6

I 0,4

I

0 ,2

o o [ 2 3 4 5 6 7

Figura 10.2.3.2

10.2.3.3 Conduttore cilindrico massiccio

a) • 2

( r ~ b)

•

- ,..... q,

/ Ì(I) • I

Figura 10.2.3.3

e12r(

8 9 IO

A H (r)

~ " ••

À H(r)

r -

r -

Un conduttore cilindrico ( con sezione circolare di raggio r0

e lunghezza infinita, percorso dalla corrente i) immerso in un 1nateriale magneticamente uniforme (Fig. 10.2.3.3a) presenta simmetria cilindrica e quindi pure a simmetria cilindrica deve essere il campo magnetico associato. Pertanto, utilizzando un sistema di coordinate cilindriche (r, z, cp), H deve variare nello spazio solo secondo la coordinata radiale re deve avere direzione azimutale (secondo la coordinata cp: H = Hq,).

Campo esterno al conduttore. Applicando la legge di Ampère ad una circonferenza di raggio r > r

0 coassiale con l'asse z si ottiene H2m = i, ovvero: H = i/2nr. Si

può anche scrivere la relazione vettoriale: .

1 H = --u r > r0 2nr 'I'

(10.2.3.4)

nella quale si riconosce la legge di Biot-Savart espressa per il campo magnetico.

Campo interno al conduttore. Internan1ente al conduttore, per raggi r < r0

, l'espressione del campo magnetico H (10.2.3.4) non vale perché la corrente concatenata con una circonferenza di raggio r non coincide con la corrente totale del conduttore i. Nella regione vorticosa occupata dal conduttore essa dipende dalle ipotesi che si fanno sulla distribuzione di densità di corrente. Se si suppone che la corrente sia distribuita uniformemente nella sezione del conduttore con densità J = i/nr0

2, la corrente concatenata dalla circonferenza di raggio r < r0 vale i' = Jnr2

, e quindi, per la legge di Ampère, il campo magnetico risulta (Fig. 10.2.3.3b):

H i nr2

ir = 7t ro 2 21t r uq, = 2n ro z uq, r < ro (10.2.3.5)

Se invece si suppone che la corrente i sia addensata sulla superficie del conduttore, il campo magnetico interno risulta nullo, in accordo con la legge di Ampère applicata a circonferenze di raggio r < r

0, che concatenano corrente nulla (Fig.

10.2.3.3c) .

10.2.3.3 Linea bifilare

Una linea bifilare è costituita da due conduttori cilindrici e paralleli con raggi r 0 uguali e piccoli rispetto alla distanza h tra i loro assi, inunersi in un materiale uniforme (Fig. 10.2.3.4). Si assmne che la linea abbia lunghezza e molto grande rispetto alla distanza (C>>h), e che i due conduttori siano percorsi da correnti uguali riferite a versi opposti. La linea può essere intesa come circuito induttore, inunaginando che ad una estrelnità i due Figura 10.2.3.4

124 Capitolo 10

conduttori siano cortocircuitati ed all'altra estremità facciano capo ai due tenninali posti vicini tra loro. :[;ipotesi f>> h permette di trascurare gli effetti di estremità dovuti ai raccordi.

Grazie alla linearità del materiale, il cainpo magnetico in ogi1i punto può essere ottenuto come somma di due contributi, dovuti alle correnti di ciascun conduttore cilindrico d i raggio r

0, come illustrato nell'ese1npio precedente.

Flusso concatenato. Il flusso concatenato dal circuito induttore costituito dalla linea bifilare può essere determinato con riferimento alla superficie rettangolare piana S = hf che ha per orlo gli assi dei conduttori ed i raccordi di estremità, sulla quale il cainpo è ortogonale. Al pari del campo magnetico, il flusso concatenato può essere scomposto nella somma dei contributi relativi al campo B = µH dovuto a ciascun conduttore. Poiché B è ortogonale a S, ciascun contributo si ottiene integrando il modulo dell'induzione µH sulla superficie S; si pone quindi dS = f dr e si integra per r compreso tra O e h. Conviene spezzare l' integrale in due parti: uno per r compreso tra O e r0 (relativo al campo iI1terno al conduttore) e l'altra tra r0 eh (relativo al campo esterno). Quest'ultimo fornisce, tenendo conto della (10.2.3.4):

. fh i .edr µi .e lnh cp = µ = -e ,;, 2nr 2n r

0

(10.2.3.7)

Il pruno integrale dipende invece dalla distribuzione di corrente dentro al conduttore, e dalla conseguente espressione del campo interno. Se si assume che la corrente i sia localizzata solo sulla superficie del conduttore, essendo nulla l'induzione interna, risulta nullo anche il relativo flusso. Se invece si assume che la corrente sia distribuita unifor1nemente sulla sezione del conduttore, il Cél.lllpo magnetico risulta espresso dalla (10.2.3.5) e il flusso relativo non è nullo. In tal caso, il flusso interno risulta concatenato solo "parzialn1ente" con la corrente i. Si può di.Inostrare che il flusso può essere ottenuto come media pesata su diversi tratti di linea f

0 e risulta espresso dalla relazione:

' µf i <pc = 81t (10.2.3.8)

Pertanto con corrente uniforme nei conduttori il flusso totale concatenato dalla liI1ea bifilare, pari al doppio del flusso attribuito ad un solo conduttore, vale:

.. , µ Ri ( h 1) <p0 = 2(<p0 + <pc) = - ln - + - (10.2.3.9) 7t r0 4

e il coefficiente di autoinduzione vale:

µ .e ( h 1) L = - ln- + -n r

0 4

(10.2.3.10)

10.2.4 Mutuo induttore Si considerino due induttori di geometria qualsiasi (Figura 10.2.4.1) e sia nulla

la corrente del pri.Ino (i1 = O) e non nulla quella del secondo (i2 :;,t O): allora può

induttore I

Figura 10.2.4.1

. / 1 ....-:: -

125

accadere che l'induzione B2' dovuta solo a i2

, presenti l inee vettoriali concatenate con l'induttore 1 oltre che con l'induttore 2. Reciprocamente, quando la corrente è nulla nel secondo induttore (i

2 = O) e non nulla nel primo {~#O), l'induzione

B1 , dovuta solo a i1, può presentare linee vettoriali concatenate con l'induttore 2 oltre che con l'induttore 1. In tal caso si dice che i due induttori sono mutuamente accoppiati.

Nella prima situazione l'induttore 1 concatena il flusso cp012 prodotto dalla cor· rente ii {flusso di mutua induzione), che dipende dal valore attuale di i2 ; quindi si può definire il rapporto:

(10.2.4.1)

che è detto mutua induttanza o coefficiente di mutua induzione tra l'induttore 1 e l'induttore 2.

Nella seconda situazione l'induttore 2 concatena il flusso <pc21 prodotto dalla corrente i

1 (flusso di mutua induzione), che dipende dal valore attuale di i

1; qUÌ11di

si può definire il rapporto:

M ~ <f>c21 (t) 21 - i,(t) (10.2.4.2)

che è detto mutua induttanza o coefficiente di mutua induzione tra l'induttore 2 e l'induttore 1.

126 Capitolo 10

Se i circuiti sono indeformabili e reciprocamente fissi ed il campo di induzione si sviluppa in materiali lineari, cpc1z è proporzionale a i2 e quindi M12 è costante; analogainente anche 'Pczi è proporzionale a i1 e quindi M 21 è pure costante. Inoltre, nell'ipotesi di materiale uniforme, i due coefficienti risultano uguali:

(10.2.4.3)

e quindi un unico coefficiente di mutua induzione M caratterizza il mutuo accoppiamento tra i due induttori; esso ha dimensione fisica di henry [H] e può risultare positivo o negativo a seconda dei riferimenti assunti per le due correnti.

10.2.4.1 Flussi concatenati totali

Quando si hanno correnti in entrambi gli induttori, i flussi che questi concatenano sono dovuti ad entrambe le correnti e, nelle ipotesi di linearità suddette,

. . possono espr1mers1 come:

{'Pc1 = <pc11 + 'Pc1z = 11 i1 + Miz

'Pcz = 'Pcz1 + <pczz = M i1 + 1 z iz (10.2.4 .4)

ove 1 1 e 1 2 sono i coefficienti di autoinduzione dei due induttori. Questa espressione può essere facilmente estesa al caso di n induttori mutuamente accoppiati.

• 10.3 BI POLO E DOPPIO BIPOLO INDUTTORE

10.3.1 Definizione di bipolo induttore Nell'induttore tanto la corrente che il flusso concatenato possono vai·iare nel

tempo. Si assun1a che il flusso concatenato sia prodotto soltanto dalla corrente

\/(l) + Ì(t)

A ~

Be;:_===:=±==\:=:\:===-/. t

Figura 10.3.1.1

nell'induttore e che la corrente rimanga sempre solenoidale (tale situazione viene detta condizione quasi-magnetostatica). Valgono allora le seguenti considerazioni.

a. Corrente ai terminali: in virtù dell'ipotesi quasi-magnetostaticai(t) è solenoidale, come deve essere la corrente ai ter1ninali di un bipolo.

b. Tensione tra i terminali: considerata una superficie chiusa S" che racchiude praticamente tutte le linee vettoriali dell' induzione prodotta dall'induttore e dalla quale fuoriescono soltanto i terminali A e B (Fig. 10.3.1.1), esternamente ad S

1,

l'induzione B è identicamente nulla e perciò il campo elettrico è puramente coulo1nbiano e quindi conservativo; pertanto la tensione v(t) tra i terminali A e B, 1nisurata lungo linee che si sviluppano esternamente a S", è una d.d.p., come deve avvenire ai terminali di un bipolo.

Dunque nelle ipotesi suddette l'induttore è schematizzabile come un bipala, del quale va ora definito il legame tra corrente e tensione.

Per la legge di Faraday-Neu1nann al variare del flusso concatenato appare tra i terminali la f.e.1n. e(t) = -dcpj dt (il riferimento del flusso autoconcatenato cp

0 è sta

bilito dal riferiinento della corrente i, che è rivolto da B verso A, come prevede la legge di Faraday-Neumann). Quindi, come nel caso di un generatore, all'induttore si applica la (5.2.2.1): v AB(t) = e(t)-Ri(t) =-dcpj dt, ove a secondo membro si è posta nulla la resistenza. Tale relazione assume la convenzione dei generatori; trattandosi però di un bipolo passivo, risulta più opportuno applicare la convenzione degli utilizzatori, rovesciando il riferimento della tensione in modo da considerare v = v8 A = - v AB; si ottiene quindi:

v(t) = dcpc(t) dt

(10.3.1.1)

Ricorrendo al legame <pc = Ll e considerando un induttore ideale in cui L non varia al variare della corrente, si deducono infine le relazioni seguenti:

v(t) = L di(t) dt '

i(t) = i(O) +2.f' v(t')dt' L o

(10.3.1.2)

la seconda essendo ottenuta per integrazione della priina dall' istante iniziale t = O iI1 cui la corrente vale i(O), che costituisce la corrente iniziale (valore iniziale) dell' induttore. Queste equazioni, che assumono la convenzione degli utilizzatori, caratterizzano il bipolo induttore (rappresentato con uno dei siinboli di Fig. 10.3.1.2) e permettono di descriverne il a) b) comportainento circuitale. Ì(t) ...

Le due equazioni dimo-o-: ---~ strano che il legame tensia- + ne-corrente di un induttore è univoca1nente defu1ito, a partire dall'istante iniziale t = O, se ne è noto, oltre all' induttanza L, il valore iniziale i(O): solo così dalla tensione è deducibile la corrente.

V(t)

Figura 10.3.1.2

i (t) ... :~---~I V(t)

128 Capitolo 10

Figura 10.3.1.3 induttori con nucleo ferromagnetico per correnti dell'ordine all'ampere.

10.3.2 Definizione di doppio bipolo induttore Con considerazioni analoghe alle precedenti si può dimostrare che due indut

tori 1nutuamente accoppiati, racchiusi in una superficie chiusa S1, (che ne contiene

praticamente tutte le linee vettoriali), da cui fuoriescono solo le due coppie di terminali, si comportano con1e un doppio bipolo, in cui ciascuna porta è costituita dai due terminali di ciascun induttore, essendo le due correnti solenoidali e le due tensioni pari a d.d.p . . Dalle (10.2.4.4) si deduce che, con le porte convenzionate da utilizzatori, i legami tra tensioni e correnti, ai1cora nell'ipotesi di resistenza nulla dei due induttori, sono:

(10.3.2.1)

Sono queste le relazioni del doppio bipolo induttivo (o mutuo induttore), che viene schematizzato con uno dei simboli di Figura 10.3.2.1.

a) i J (t) Ì 2<t) b) Ì I (l) i 2(t)

+ ... ... .... ... + + + v1(t) vi(t) v1(t) v2(t)

2 1 2

Figura 10.3.2.1


• ,.,,, .... , ...... ,, .. . .., .. , ...

- . .. -- -I

129

Figura 10.3.2.2 doppi bipoli induttiv i (trasformatori) di piccole dimensioni, per potenze modeste.

10.3.3 Induttori in regime stazionario

Un induttore è in regin1e stazionario se i(t) =I= costante e v(t) =V= costante. Dovendo comunque valere la prima delle (10.3.1.2), v(t) = Ldi(t)/dt, si ottengono le seguenti grandezze stazionarie:

i(t) = I, v(t) =V= O (10.3.3.1)

Queste indicano che in regime stazionario un induttore si comporta co1ne un cortocircuito: ai fini della determinazione delle tensioni e correnti degli altri elementi della rete, ad esso può essere sostituito un cortocircuito, semplificando così la rete e le relative equazioni.

Diverso è però lo stato energetico: come vedremo l'induttore immagazziI1a energia, mentre nessuna energia è immagazzinata nel cortocircuito.

Analogamente, in regime stazionario le porte di un doppio bipala induttivo equivalgono a due cortocircuiti.

10.3.4 Carica e scarica dell'induttore

10.3.4. 1 Carica de/l'induttore

+

E I

1

s 2 +

R

Figura 10.3.4.1

Ì(I) ...

L

+

V(t)

130 Capitolo 10

Nel circuito di Figura 10.3.4.1, per t < O il commutatore S sia in posizione 2 ed il circuito sia a riposo (i(t) = O e v(t) = O). All'istante t = O il commutatore S co1nmuta da 2 a 1. Si vogliono determinare gli andainenti di i(t) e di v(t) per t >O.Con i riferi-1nenti assunti, per t > O la LKT impone E= vR + v. Essendo vR = Ri e la tensione v(t) esprilnibile con la prima delle (10.3.1.2), si ottiene:

E =L~~t) + Ri(t) (10.3.4.1)

Questa è un'equazione differenziale lineare di primo ordine a coefficienti costanti che ha integrale particolare ip(t) = E/R = I; l'equazione caratteristica associata è O = Ls + R e ha radice s = -R/L; quindi l'integrale generale dell'omogenea vale i

0(t) = Ke-tlRILl, essendo K una costante da determinarsi. La soluzione generale della

(10.3.4.1) è dunque: E _R,

i(t) =-+ K e L R

(10.3.4.2)

La (10.3 .4 .2), come la (10.3 .4.1), vale per t > O. La costante K va calcolata determinando la condizione iniziale, cioè i(o+). Sappiaino che i(o-) = O; se i(o+) fosse :;= O, si avrebbe una variazione non nulla di corrente in un intervallo infinitesimo (ovvero un "gradino di corrente") che in1plicherebbe, in base alla prima delle (10.3.1.2), una tensione infinita ("impulso di tensione"). Ciò non è possibile perchè la tensione sul generatore e sul resistore sono certamente finite, perciò i(o+) = O. La (10.3.4.2) valutata in t = o+ fornisce i(O) =E/R + K = O, da cui si deduce K =-E/R. Si ottiene dunque:

i(t) = ! (1-e~') v(t) = L di(t) = E e-·}t

dt

(10.3.4.3)

(10.3.4.4)

Gli andainenti di i(t) e v(t) sono descritti dalle funzioni esponenziali rappresentate in Figura 10.3.4.2, tracciate nell' ipotesi E> O. Entran1be le curve sono governate dalla costante:

E

t

Figura 10.3.4.2

T ~.!:-_ R

131

(10.3.4.5)

01nogenea con un tempo, che è detta costante di tempo della curva esponenziale. La corrente dell'induttore raggiunge il valore finale I= E/Rin un tempo infinito;

in pratica, trascorso un intervallo di tempo 11t pari a 4-5 volte T la corrente differisce da J per circa 1'1 % e la tensione è ridotta a circa 1'1 % del valore iniziale E. Pertanto si può assumere che la carica avvenga in un tempo finito e si parla quindi di transitorio di carica, alla fine del quale viene raggiunta la condizione stazionaria con i= I e v= O, in accordo con la (10.3.3.1}: la costante di tempo determina l'ordine di grandezza della durata del transitorio.

' E anche facile verificare che in un intervallo di tempo uguale a T la corrente i(t) raggiunge il 63% di I mentre la tensione v(t) è ridotta del 63% rispetto al valore iniziale E. Inoltre se tutto il processo evolvesse con la medesilna velocità che presenta per t = O, i valori di regime sarebbero raggiU11ti in un intervallo di te1npo pari a T (le tangenti in t = O alle curve esponenziali intercettano i rispettivi asintoti in un tempo pari a T, vedi Fig. 10.3.4.2).

La resistenza R determina tanto il valore finale della corrente I= E/R che la costante di tempo T = L/R.

10.3.4.2 Scarica de/l'induttore

Per t < O il circuito di Figura 10.3.4.1 sia a regime stazionario con il cormnutatore S in posizione 1 (i(t) = E/R = I e v(t) = O). All'istante t = O S commuta in 2. Procedendo in 1nodo analogo al caso precedente si ottiene:

Gli andamenti di v(t) e i(t) sono rappresentati in Figura 10.3.4.3. Anche il processo di scarica è governato dalla costante di te1npo T e ai fini pratici può considerarsi concluso in un intervallo di tempo pari a 4 + 5 T; alla fine viene raggiunta una nuova condizione stazionaria con corrente e tensione nulle ( cir-

..Rt i(t) = I e L

R - - L v(t) = -RI e L

V. I

1

cuito a riposo con induttore - RT

scarico).

(10.3.4.6}

(10.3 .4. 7)

t

Figura 10.3.4.3

132 Capitolo 10

a 10.4 PARALLELO E SERIE DI INDUTTORI

10.4.1 Induttori in parallelo

A 1 p(t) A. i p(t) .. .. + +

+ +

V p(tJ V 1

(t) L1 V! (t) L 2 \Jp (t) Lp

s Ì I (t) + Ì 2 (()

B B

Figura 10.4.1.1 Figura 10.4.1.2

Nel circuito di Figura 10.4.1.1, dopo l'apertura dell' interruttore S, ai tenninali A e B risulta connesso il parallelo dei due induttori aventi induttanza Li e ½ (per comodità si pone l'origine dei tempi, t = O, nell' istante di apertura). Interessa individuare il legame che tale parallelo impone tra la corrente i

1,(t) e la tensione v

1,(t),

ovvero quale bipolo equivalente appare connesso ai ter1ninali A e B. Con i riferin1enti indicati, le LKT e LKC impongono per t > O:

v1,(t) = v1(t) = v2(t)

ip(t) = i1(t) + i2(t)

Combinando queste con la seconda delle (10.3 .1.2), si ottiene, per t > O:

ip(t)= [i1 (0)+i2 (0)]+( : +: ) Jc:vp(t')dt' = ip(O) + z J~vp(t')dt' 1 2 p

ove si è posto:

L = 1 1' 1 1 - +-

11 1 2

(10.4.1.1)

(10.4.1.2)

(10.4.1.3)

(10.4.1.4)

ed anche ip(O) = i1(0) + i2(0), che corrisponde alla (10.4.1.2) valutata in t = O. ~equazione (10.4.1.3) è soddisfatta dall'induttore di Figura 10.4.1.2, carico alla corrente ip(O) per t = O.

Dunque due induttori di induttanza L1 e L2 posti in parallelo equivalgono ad un unico induttore con induttanza LPpari al reciproco della somma dei reciproci delle singole induttanze e con valore iniziale ip(O) pa1i alla somma algeb1ica dei singoli valori iniziali. Tali risultati si possono facilmente estendere al caso di n induttori in parallelo.


10.4.2 Induttori in serie

A is (t) ... + A i s (t)

+ ... V1 (t) Li S1 +

Vs (t)

.. i I (t) V s (t) Ls

+ "½ (t) L2 s 2

.. i 2 (t) B

B

Figura 10.4.2.1 Figura 10.4.2.2

Nel circuito di Figura 10.4.2.1, dopo l'apertura degli interruttori S.1 e Sv ai ter-1ninali A e B risulta connessa la serie dei due induttori aventi induttanza L1 e Li (per comodità si pone l'origine dei tempi, t = O, nell'istante di apertura). Interessa individuare il legame che tale serie in1pone tra la corrente i5(t) e la tensione v5(t), ovvero quale bipolo equivalente appare connesso ai ter1ninali A e B. Con i riferin1enti indicati, le LKT e LKC impongono per t > O:

(10.4.2.1)

(10.4.2.2)

Co1nbinando queste con la prima delle (10.3.1.2), si ottiene, per t> O:

(10.4.2.3)

ove si è posto:

Ls= L1 +L2 (10.4.2.4)

L'equazione (10.4.2.3) è soddisfatta dall'induttore di Figura 10.4.2.2, la cui corrente iniziale può essere posta uguale a i5(0) = i1(0) = i2(0), che corrisponde alla (10.4.2.2) valutata in t = O.

Si può concludere che due induttori di induttanza ½ e Li posti in serie equivalgono ad un unico induttore con induttanza Ls pari alla somma delle singole induttanze e con valore iniziale i5(0) pari. a quello di ciascun induttore. Tali risultati si possono facilmente estendere al caso di n induttori in serie.

134

a 10.5 ENERGIA MAGNETICA

10.5.1 Energia immagazzinata nell' induttore isolato

10.5. 1.1 Lavoro assorbito durante la carica

Capitolo 10

Nel circuito di Figura 10.3.4.1 l'induttore ed il resistore sono convenzionati da utilizzatori mentre il generatore di tensione è convenzionato da generatore. In ogni istante durante il processo di carica il generatore eroga la potenza p 8(t) = Ei(t), 1nentre l'induttore ed il resistore assorbono rispettivainente le potenze PL(t) = v(t) i(t) e PR(t) = vR(t)i(t); è se1npre verificato il bilancio delle potenze p 8(t) = PL(t) + PR(t). Integrando queste potenze nel tempo per tutta la durata del processo di carica si ottengono i lavori rispettivainente erogato ed assorbiti dai tre bipoli.

Dalla (10.3.1.1) si deduce che la variazione infinitesima di flusso concatenato si può esprimere come dcpc = vdt e quindi il lavoro assorbito dall'induttore vale:

2

r = f "'vidt = f<l>c idtn = J<l>c 'Pc dcp = 1 <l>c '-1. o o 'l'c o L e 2 L

(10.5.1.1)

ove <l>c indica il flusso concatenato finale, che vale <l>c = 'Pc(oo) = Ll(oo) = LI, ove I= i(oo) = E/R.

~ultimo membro mostra che CL non dipende da come variano tensione e corrente durante il processo di carica, ma è funzione solo del flusso concatenato finale, ovvero dello stato finale dell' induttore. Si tratta quindi di lavoro conservativo, corrispondente ad energia Wm, che viene assorbita, immagazzinata e che può essere restituita. Per tale ragione W.u è detta energia magnetica e ha dilnensione fisica di joule U].

Più in generale l'energia che in ogni istante è immagazzinata nell'induttore, pari al lavoro assorbito fino a tale istante, è funzione del corrispondente stato dell'induttore stesso, ossia di cpc(t) = Ll(t); essa è detta funzione di stnto e si può esprimere come:

(10.5.1.2)

Tale espressioni valgono se l'induttore ha comportainento lineare, vale a dire se la sua induttanza non varia al variare di corrente e flusso concatenato.

Se invece l'induttore non ha comportamento lineare, ma in esso non avvengono co1nunque fenomeni dissipativi, il lavoro che assorbe è ancora ilnmagazzinato in energia magnetica. In tal caso però le (10.5.1 .2) non sono valide e dalla terza delle (10.5.1.1) si deduce che l'energia magnetostatica è esprimibile come:

w = fq,, idcp m o <: (10.5.1.3)

10.5.1.2 Lavoro erogato durante la scarica

Poiché alla fine del processo di scarica la corrente nell' induttore è nulla, il lavoro C{ che l'induttore eroga durante la scarica è uguale al lavoro CL che era stato assorbito durante la fase di carica (10.5 .1.1): ciò conferma che questo viene imma-

gazzinato in modo conservativo e quindi corrisponde effettivamente ad energia magnetica. Dal bilancio energetico durante la scarica si ricava im1nediatainente che tale energia viene totalmente assorbita e dissipata nel resistore.

10.5.2 Energia magnetica di due induttori

Analogamente a quanto visto in§ 10.5.1, l'energia magnetica assorbita da due induttori accoppiati è pari all'integrale della potenza complessiva assorbita durante tutto il processo di carica:

(10.5.2.1)

se i due induttori hanno comportamento lineare, per le (10.2.4.4) si ha: v1dt = d<pc1 = L1di1 + Mcli2 e v2 dt = dcpcz = Mcli1 + L2cli2 ; sostituendo nella (10.5.2.1) si ottiene la seguente espressione dell'energia 1nagnetica assorbita di due induttori accoppiati:

(10.5.2.2)

Dunque il mutuo concatenamento tra i due induttori corrisponde al termine Mii2 (positivo o negativo) che si aggiunge all'espressione dell'energia che si avrebbe con due induttori non accoppiati.

I:energia magnetica non può 1nai essere negativa; la geometria analitica impone che, affinché ciò sia vero, la (10.5.2.2), intesa come equazione di un paraboloide nelle variabili i1 e iv deve presentare ½ > O e 1z > O, come peraltro avviene sempre per gli induttori isolati; inoltre deve esserem:

(10.5.2.3)

Si definisce coefficiente di accoppiamento la seguente quantità adimensionale:

che, per la precedente condizione, risulta sempre:

- 1 < K <1

(10.5.2.4)

(10.5.2.5)

Se K = 1 oppure K = -1 si parla di accoppiamento perfetto; per K = O (M = O), si ritrova il caso dei circuiti magneticamente isolati.

Tenendo conto delle (10.2.4.4), la (10.5.2.2) può essere riscritta con1e:

W 1. 1.

m = 2

l1<pc1 + 2

lz{pcz (10.5.2.6)

m Se i2 = O la condizione W., > O comporta L, > O; se i, = O la condizione W., > O comporta L2 > O. Per ogni altro valore delle correnti si può dividere W., per i,2, ottenendo ancora una forma quadratica non negativa, il cui discriminante deve essere (M'- L,L2) < O.

136 Capitolo 10

10.5.2.1 Energia magnetica di n induttori

Nel caso di n induttori accoppiati, con procedimento analogo al precedente, si ottiene:

w = "'? 1J'l'd j l d'". = "'? 11 j l '" . m L.,1= 0

't'c::1 L..i 1:: 2

't"c1 (10.5.2.7)

ove il secondo membro vale anche nel caso di induttori non lineari, ma comunque non dissipativi; l'ultimo membro vale solo se gli induttori hanno comportamento liI1eare.

10.5.3 Densità di energia magnetica Le espressioni ( 1 O. 5 .1 . 2) e successive associano l'energia magnetica alle corren-,

ti elettriche ed ai flussi concatenati. E però possibile esprùnere tale energia anche in funzione dei ca1npi vettoriali B e H. A tal fine si può considerare, per semplicità, l'mduttore isolato di Figura 10.5.3.1, formato da una sola spira: il flusso concatenato c può essere espresso come flusso di B attraverso la superficie "sen1plice" S che si appoggia alla spira ed alla quale B è ortogonale iI1 ogni punto: c = fsB · ndS. I.:areola dS individua un tubo di flusso chiuso di sezione infinitesima dS avente per asse una lmea vettoriale di lunghezza ec concatenata con l'induttore. Per la legge di Ampère tale linea verifica la relazione i = ~ H . t d.e .

Utilizzando tali espressioni di c e i, l'ultimo membro della (10.5 .1.2), valido in ipotesi di linearità ed isotropia del materiale, può essere riscritto come:

B

dS l>-'<l de

Figura 10.5.3.1

1 . 1 I ~ f BH W = - m 1 = - B ·ndS H ·td.e = - d't ,n 2 't'C 2 .5 I. t 2 (10.5.3.1)

ove l'ultima uguaglianza si ottiene raccogliendo l'integrale di superficie e quello di lmea nell'integrale di volume e tenendo conto che per costruzione n =t, sicché B·nH-t = B ·H = BH; l'elemento infmitesùno di volume vale d't = dSdf .

La (10.5.3.1) presenta l'energia magnetica come somma di infiniti contributi dWm = (BH/2)d1: associati ai volumi infinitesin1i di:. Si può pertanto definire la densità di energia magnetica, con dimensione di joule su metro cubo U/n13J:

dWm HB B2 µH2

=-=-= d-i; 2 2µ 2

(10.5.3.2)

Le (10.5.3.1) e (10.5.3.2), pur essendo state dedotte nel caso di un semplice induttore isolato, valgono più in generale per le distribuzioni di cainpo prodotte da induttori accoppiati, purché il sistema presenti comportamento lineare ed isotropo.

I.:ultimo membro della (10.5.3.1) indica una modalità di calcolo dell'energia diversa dalle espressioni date in§ 10.5.1. Il risultato dei due calcoli è lo stesso per qualsiasi geo1netria dell'induttore, perciò il modello descritto in Figura 10.5.3.1 è corretto; d'altra parte, si potrebbe utilizzare in 1nodo altrettanto corretto un modello in cui l'energia magnetica sia tutta localizzata nei conduttori percorsi da corrente.

La (10.5.3.1) può essere utilizzata per determinare l'induttanza dell'induttore, in modo alternativo a quelli indicati in § 10.2. Infatti, se sono noti la distribuzione dei campi e anche la corrente i o il flusso autoconcatenato <Pc, si può calcolare l'energia dell'induttore per mezzo di tale relazione e qui11di, utilizzando una delle (10.5.1.2), ricavare l'induttanza.

Se il sistema non è lineare, perché sono presenti materiali che presentano fenomeni di saturazione, ma sono co1nunque escluse dissipazioni di lavoro, perché non esistono o sono trascurabili i fenomeni di isteresi magnetica, le (10.5.3.2) non valgono e, in loro luogo, dalla (10.5.1.3) si deduce che la densità di energia magnetostatica vale:

(10.5.3.3)

a) B b) B

H H

1nezzo non I ineare n1ezzo I i ncarc

Figura 10.5.3.1

138 Capitolo 10

Questa espressione consente un'interpretazione grafica nel piano H,B che rappresenta la relazione costitutiva: infatti wm risulta proporzionale all'area in grigio di Figura 10.5.3. la. La medesiina considerazione vale per la (10.5.3.2), relativa ai materiali lineari (Figura 1 O. 5. 3 .1 b).

10.5.4 Perdite per isteresi

Se i campi vettoriali H e B si sviluppano, anche parzialmente, in materiali isteretici, la (10.5.1.3) non costituisce una forma conservativa e reversibile, corrispondente ad energia 1nagnetostatica; si tratta soltanto del lavoro CL assorbito per "caricare" l'induttore. Analogamente, l'integrale JHdB di (10.5.3.3) in un materiale isteretico non costituisce densità di energia magnetostatica, 1na solo densità di lavoro assorbito per creare il can1po magnetico.

densità di lavoro densi1à di lavoro densità d i lavoro assorbito durante reso durancc la dissipato in un

a) la •carica" b) "scarica" e) ciclo

B B 1B H' B' '

O.B" lavoro dissipato

H H H

Figura 10.5.4 .1

h1 particolare, iinmaginando di partire dalla condizione di campi nulli [B=O e H =O], quando essi vengono incrementati fino alle intensità H,B', in JHdB si ha H > O e dB > O: quindi tale integrale esprime la densità volumica di lavoro effettivamente assorbito per costruire il campo, rappresentato dall'area in grigio di Fig. 10.5.4. la).

Se a questo punto i campi vengono ridotti fino ad annullare il campo 1nagnetico, si hanno variazioni dB < O 1nentre riinane H> O: quindi ora è JHdB < O, ovvero il lavoro viene restituito dal campo. Nei materiali ferromagnetici, che sono isteretici, questo secondo processo segue una curva diversa da quella precedente, raggiungendo il punto O,B" (Figura 10.5.4.lb) e quindi, in particolare, la densità di lavoro reso (pari all'area in grigio scuro) è minore della densità di lavoro precedentemente assorbito; il bilancio di densità di lavoro nei due processi, rappresentato dall'area in grigio chiaro di figura, costituisce densità di lavoro non reso e quindi dissipato.

Percorrendo un intero ciclo d'isteresi siinmetrico a partire dal punto HB' e valutando i segni di dB e H nei vari tratti, si verifica facihnente che ad ogni ciclo di iste-


resi viene dissipata una densità di lavoro corrispondente all'area del ciclo stesso (Fig. 10.5.4. lc}; quindi un materiale ferromagnetico sottoposto a condizioni di funzionamento cicliche è sede di dissipazioni, dette perdite per isteresi.

10.5.4.1 Formula di Steinmetz

La densità di lavoro dissipato .Cist• con dimensione fisica di U/ma], essendo rappresentata dall'area del ciclo di isteresi, è tanto maggiore quanto più ampia ne è l'area. Essa può essere valutata ricorrendo all'espressione e1npirica nota come formula di Steinmetz:

(10.5.4.1)

ove 11 è un coefficiente dimensionale che dipende dal tipo di n1ateriale ferromagnetico e a è una costante compresa tra 1,6 e 2, che dipende dal valore massùno dell'mduzione BM, essendo tanto maggiore quai1do più questo è elevato.

Se si eseguono f cicli al secondo, la densità di potenza dissipata per isteresi, con dimensione fisica di [W/m:{], vale Pist = f .CisL' ovvero:

(10.5.4.2}

:J 10.6 SOLLECITAZIONI MECCANICHE NEGLI INDUTTORI

Il ca1npo magnetico produce forze e sollecitazioni n1eccaiùche sui corpi percorsi da correnti, analogamente alle forze elettrostatiche, prodotte dal campo elettrico sui corpi dotati di carica elettrica (v. par. 9.8}.

Le forze di origme magnetica sono 1nolto più intense di quelle di origine elettrostatica e trovano perciò ainpie applicazioni m numerosi dispositivi, come sarà illustrato nel secondo volume. D'altro canto tali forze devono essere accuratamente calcolate per il dimensionamento meccaiùco dei co1nponenti.

Si consideri un mduttore alin1entato da una rete elettrica qualsiasi e "deformabile"; sia ds una qualunque deformazione virtuale infmitesima dell'mduttore e F. la componente m direzione e verso di dç della forza esercitata dal campo magnetico sull'mduttore percorso da corrente. In queste condizioni occorre tener conto che l'induttanza dell'mduttore L non riI11ane costante ma può essere espressa in funzione della defor1nazione considerata come L = L(s}.

Il bilancio energetico si può scrivere, analogamente a quanto descritto nel§ 9.6 :

(10.6.1)

Calcolando separatamente i vari termini, dovuti alla deformazione dell'mduttore, tenendo conto dell'equazione caratteristica del bipolo mduttore con convenzione dell'utilizzatore (10.3.1 .1} si ottiene:

dWg = vidt = idcpc (10.6.2}

140 Capitolo 10

dW =.!_ d( cpc2

)= '" 2 l L

e ricavando F5 dalla (10.6.1):

id<p _.!_(cpc)2

dL e 2 L

F ds=dW -dW = 1 (<pc )

2

dL= 1

i 2dL s s rn 2 L 2

(10.6.3)

(10.6.4)

Si ottiene che la forza di origine elettromagnetica, detta forza elettrodinamica, vale:

(10.6.6)

e risulta positiva nella direzione e verso per i quali il coefficiente di autoinduzione L(s) aU1nenta; in altri termini, tale forza tende ad accrescere l'induttanza dell'induttore.

Si riporta ora di seguito il calcolo della forza precedentemente definita per alcuni casi con geometrie particolari.

10.6.1 Solenoide rettilineo

La forza elettrodinamica è data dalla (10.6.6); il coefficiente di autoinduzione si calcola con la (10.2.3.2) per cui le forze tendono:

- ad aumentareµ (attrazione di materiali ferro1nagnetici che si trovino nelle vici-nanze del solenoide);

- ad aumentare il numero di spire (tendenza del solenoide ad "autoavvolgersi"); - ad aumentare la sezione; - ad accorciare il solenoide.

10.6.2 Conduttori rettilinei indefiniti (linea bifilare)

La forza elettrodina1nica è ancora data dalla (10.6.6) e l'induttanza L è data dalla (10.2.3.10).

Ipotizzando un incremento infinitesimo della distanza h tra i conduttori pari a dh si ha, sostituendo il valore di L:

F. = ,! 12 8L = ,! j 2 µ0.f _E,,! = µ0f i2

h 2 òh 2 1t h r 2nh (10.6.2.1)

La forza è positiva, quindi tende ad allontanare un conduttore dall'altro. Si noti che questa relazione è alla base della definizione di Amp ère nel Sistema Internazionale.

Capitolo

CIRCUITI MAGNETICI

• 11.1 TUBI DI FLUSSO DELL'INDUZIONE MAGNETICA

11 .1.1 Tubo di flusso

Un tubo di flusso del vettore induzione magnetica B (vedi A.9.2) è un volume a forma di manica, delimitato da:

- una arbitraria superficie di "ingresso" SA, avente bordo costituito da una linea chiusa y;

- una superficie laterale Su che si appoggia a y ed è ovunque tangente alle linee di campo di induzione B;

- una superficie di "uscita" Sn, avente bordo costituto da una linea chiusa y' giacente sulla superficie SL.

SB

Un

Figura 11.1.1.1

La superficie Sn può anche coincidere con SA . In tal caso si parla di tubo di flusso chiuso.

Il flusso attraverso la superficie laterale SL risulta nullo, perchè B è sempre tangente alla superficie laterale SL' Quindi, essendo B conservativo del flusso, il flusso entrante attraverso la superficie di ingresso SA coincide con quello uscente attraverso la superficie di uscita Sn. Tale grandezza, che risulta costante anche per qualunque sezione S del tubo considerata, viene denominata portata del tubo di flusso:

142 Capitolo 11

q:,, = f B . n dS = f B. n dS = f B. n dS Js,4 Jsn Js (11.1.1.1)

Il concetto di tubo di flusso e di portata è importante per determinare il flusso concatenato con un induttore.

Ad ese1npio, nel capitolo precedente si è visto che l'induttore toroidale produce induzione magnetica le cui linee vettoriali sono circonferenze coassiali, contenute nel volun1e toroidale delimitato dall' avvolgimento; in ogni punto esterno il campo è invece nullo. Quindi il volume interno al toro costituisce un tubo di flusso chiuso dell'induzione magnetica.

Considerazioni simili valgono per qualsiasi altro induttore: infatti seguendo le linee vettoriali di B è sempre possibile individuare un tubo di flusso chiuso. In generale, tuttavia, la geometria di tale tubo di flusso non è di facile individuazione, anche in casi relativamente semplici, quali quelli del solenoide corto o della linea bifilare .

• 11.2 RILUTTANZA DEI TUBI DI FLUSSO DI 8

11 .2.1 Tensione magnetica In riferimento alla Figura 11.1.1.1, risulta utile definire l'integrale di H lungo

una linea generica C:

\Jf1. (t) = f,. H ·tcU (11.2.1.1)

che è chiamato "tensione magnetica" per la sua analogia (puramente formale) con la tensione elettrica Ve(t), anche se non ha alcun significato di lavoro di una forza.

Nel caso particolare in cui la linea e sia chiusa, la tensione 1nagnetica costituisce la circuitazione del ca111po magnetico e quindi, in condizioni quasi-magnetostatiche, è pari alla corrente di conduzione concatenata, in accordo con la legge di Ampère (10.1.7.1). Pertanto, in generale la tensione 1nagnetica non è conservativa.

La tensione 1nagnetica ha dimensione fisica di ampere [A], trattandosi di grandezza 01nogenea con una corrente elettrica.

11 .2.2 Riluttanza di un tubo di flusso Consideriamo un tratto di tubo di flusso generico non contenente correnti e

il1dividuiaino due superfici SA e S8 ortogonali punto per punto alle linee vettoriali dell'induzione B. La tensione magnetica tra un punto A e un punto B posizionati rispettivamente sulle due superfici ad una distanza e tra loro, può essere espressa come:

\JIAa = J H ·td.e= f B ·tdf I.AD f.AB µ (11.2.2.1)

Poichè dentro al tubo di flusso non ci sono correnti, si ha rotH = J = O, e quindi il campo magnetico H è irrotazionale. Poiché il tubo di flusso è un donùnio a connessione lineare semplice (vedi A.2.1), in esso H è anche conservativo, quindi la tensione magnetica è indipendente dalla linea di integrazione ed anche dalla

C IRCUITI MAGNETICI 143

specifica collocazione di A e B sulle rispettive superfici, perché ciascuna di esse è ortogonale alle linee vettoriali; per semplificare i calcoli è conveniente scegliere come linea di integrazione una linea di ca1npo.

Dunque la tensione magnetica 'I' AB è proprietà del tratto di tubo di flusso, al pari della portata. Possiamo allora definire riluttanza del tratto di tubo di flusso da SA a S0 il rapporto tra tensione magnetica 'I' AB e portata cp1:

R = "'AB <p,

(11.2.2.2)

essa è funzione della geometria del tubo di flusso e della sua permeabilità, ma non dipende dall'intensità dei campi, se il materiale è lineare ( ossia se µ=costante) .

La riluttanza ha diinensione fisica di ampère su weber [A/Wb], ovvero di henry alla meno uno [H-1

]. Avendo assunto equiversi i versori t e n che definiscono 'I' AB e q:,1, la Rrisulta positiva se la permeabilità del materiale è positiva.

Se in un tubo di flusso l'induzione B e la permeabilità µ sono uniformi su ogni sezione S, la portata del tubo di flusso può essere espressa come: q>1 = J 5B · n dS = SB, da cui si ottiene: B = cp/ S.

Quindi la tensione magnetica tra A e B può essere espressa come:

f B f cp1 f d.e \Jf = - ·tdR= - d.e = cp -AD I.AD µ f./Jl µ s I 1.,.. µS (11.2.2.3)

da cui si deduce:

(11.2.2.4)

Se inoltre il tratto di tubo di flut,so ha sezione S e permeabilità µ costanti lungo il suo sviluppo assiale si ottiene anche:

R = "'AB =.eAD cpl µS (11.2.2.5)

11 .2.3 Riluttanza di tubi di flusso chius i: legge di Hopkinson e induttanza di un induttore

Dato che le linee vettoriali di B realizzano tubi di flusso chiusi, si può valutare anche la riluttanza Re= '1'J <p1 di un tubo di flusso chiuso, nel quale la tensione magnetica 'l'c è calcolata lungo una linea chiusa e

0 che si sviluppa lungo il tubo

stesso. In questo caso la tensione magnetica \Jlc costituisce la circuitazione del campo magnetico e quindi, per la legge di Ampère, essa coincide con la corrente di conduzione concatenata dal tubo di flusso chiuso. Se tale corrente è dovuta ad un induttore di N spire, tutte avvolte attorno al tubo di flusso e percorse dalla corrente i , si ha 'l'c = Ni e si può scrivere:

N i = X" <p1

che costituisce la legge di Hopkinson.

(11.2.3.1)

144 Capitolo 11

Poiché tutte le N spire dell'induttore concatenano lo stesso flusso, la precedente relazione pern1ette di esprin1ere il coefficiente di autoinduzione L dell'induttore che produce le an1perspire Ni in funzione della riluttanza 'R

0 del tubo di flusso

chiuso. Infatti si ha:

2

L- 'Pc _ N <Jl, _ 1V - - - - -i i ~

(11.2.3 .2)

11.3 NUCLEO FERROMAGNETICO

11.3.1 Utilizzo dei materiali ferromagnetici

Negli esempi sopra considerati, l'induzione magnetica si sviluppa in materiali uniformi, ovvero con permeabilità uguale in tutti i punti: in tali casi la canalizzazione dell'induzione dipende dalla geometria dei circuiti induttori.

Peraltro è anche possibile canalizzare le l inee vettoriali di B, prodotte da induttori di geometria generica, utilizzando materiali ad elevata permeabilità magnetica. Consideriamo ad esen1pio la Figura 11.3.1.1, in cui la regione grigia è costituita dal materiale 2 con permeabilità µ

2, circondato dal materiale 1 con permeabilità

µ, << µ.1 • Possiaino notare che due linee chiuse di lunghezza confrontabile f 1 e f v entrambe concatenate con l'induttore, la prima interamente contenuta nel materiale 1 e la seconda nel materiale 2, per la legge di Ampère presentano la medesima circuitazione di H e quindi la medesima il1tensità media di ca1npo magnetico: H1 - H2 • II1vece l'induzione B1 = µ,H1 nel materiale 1 ha modulo molto minore di quello di B2 = µp 2 nel materiale 2 .

...

Figura 11 .3.1 .1

C IRCUITI MAGNETICI

Figura 11.3.1.2 Nuclei ferromagnetici in ferrite e in nastro di acciaio al si licio di modeste dimensioni.

145

Nei 1nateriali ad elevata permeabilità si possono dunque ottenere in essi valori di induzione molto elevati, mentre nello spazio circostante l'induzione è assai più modesta, tanto da potersi talvolta trascurare. Si può allora ritenere che l' induzione sia canalizzata nel materiale ad elevata permeabilità, nel quale, essendo divB = O, si realizza un tubo di flusso dell'induzione, indipendentemente dalla geo1netria dei circuiti induttori.

I materiali ad elevata permeabilità cui si fa ricorso in questi casi sono i materiali ferromagnetici che, utilizzati con induzioni prossime o minori a Bs (induzione al ginocchio), possono presentare permeabilità relative anche 1nigliaia di volte maggiori dei materiali amagnetici, in particolare dell'aria. La loro natura isteretica comporta però svantaggi e complicazioni che saranno chiariti nel seguito. I.:insieme dei materiali ferromagnetici che, opportunamente disposti, permette la canalizzazione (più o meno con1pleta) delle linee vettoriali di B (come nel caso sche1natizzato in Fig. 11.3.1.1) viene spesso chiamato nucleo ferromagnetico .

11.3.2 Traferro

I nuclei ferromagnetici non sempre sono continui lungo tutto lo sviluppo delle linee vettoriali, perchè spesso è necessario o opportuno interromperli con un sottile spessore di materiale ainagnetico, tipicamente di aria, presentando localmente la geometria schematizzata in Figura 11.3.2.1. Esso è chiamato traferro e espansioni polari sono dette le parti ferromagnetiche che vi si affacciano.

146

2

e 1- _ - 1- - 1- - 1- _ ~½:~ ~ -,--,~ _,_ -l - I 2

Linee di B

mezzo ferro1nagnetico 2

Capitolo 11

traferro --1,1',1,1,I 1,1,,11 ..l ..l ..L ..L !t_ I I I

' ' ' ' '''' 'I ,1 l

mezzo ferro1nagDetico

Figura 11 .3.2.1

2

~· , , , r . ,

Linee di H

Si è visto che l'elevata permeabilità del nucleo impone che le linee vettoriali di B restino confinate al suo interno, senza disperdersi nello spazio circostante a bassa penneabilità. In effetti ciò avviene alle superfici laterali delle espansioni polari, dove le linee vettoriali più esterne si mantengono tangenti. Invece in corrispondenza a ciascuna superficie di espansione polare affacciata al traferro (superficie polare, SJ le linee non possono restare tangenti, ma sono forzate a "saltare" nel traferro per attraversarlo e rientrare nel nucleo sulla faccia opposta.

11.3.2.1 Rifrazione del campo magnetico

Nel passaggio da un materiale all'altro le linee vettoriali possono subire una brusca deviazione, detta rifrazione. Detti a 1 e a 2 gli angoli che le linee vettoriali for111ano con la normale alla superficie di discontinuità nel materiale 1 (traferro} e nel materiale 2 (espansione polare}, in virtù della proprietà divB = O sono uguali le componenti normali dell'induzione nei due n1ateriali: B1cosa1 = B1J. = B2cosa2 = B2 J.;

in virtù della proprietà rotH = O (non essendo presenti correnti sulla superficie di discontinuità} sono uguali le componenti tangenti del campo magnetico nei due materiali: H1 sen~ = H 111 = H 2sena2 = H 21r Dalle precedenti, utilizzando le relazioni B1 = ~1.iH1 e B2 = µzH2 , si deduce la legge di rifrazione, che lega gli angoli a 1 e a 2 alle permeabilità~ e µ.l:

8111 tan a 1 _ µ 1 _ B1J. - - -tanaz µ 2 B211

B2J.

(11.3.2.1}

In base ad essa, qualsiasi sia l'angolo di incidenza delle linee vettoriali nel materiale ad alta permeabilità, O< a 2 < n/2, se µ 2 >> µ1 l'angolo di incidenza nel materiale a bassa permeabilità tende a zero: a 1 -o (si veda§ A.9.3}. Tali condizioni si

verificano sulle superfici polari S1 del traferro, ove lit - µ0 e µ 2 = µ 1>> µ0 ; pertanto in

esso le linee vettoriali incidono normali e, essendo lo spessore piccolo (f 1<< Js: ), tendono a mantenersi rette senza subire 'spanciamenti' apprezzabili, come avverrebbe se il traferro fosse più ampio.

11.3.2.2 Riluttanza del traferro

Se lo spessore del traferro è piccolo rispetto alle dimensioni delle espansioni polari, esso è assimilabile ad un tratto del tubo di flusso di B a sezione costante S., dove le linee vettoriali rimangono ben confinate, analogamente a quanto avviene nei tratti ad elevata pern1eabilità. Quindi la riluttanza del traferro può essere valutata per n1ateriale della (11.2.3.6); se esso è in aria, che ha permeabilità pari a quella del vuoto, si ottiene:

(11.3.2.2)

Dato che nel traferro e nelle espansioni polari il flusso cp1 ha il medesimo valore

e le sezioni sono confrontabili, l'induzione è pressoché uniforme B1 - B6 invece, essendo µ

0 << µ1, il can1po magnetico H = B/µ risulta molto più intenso nel traferro

che nelle espansioni polari (come indica in Fig. 11.3.2.1 l'infittimento delle linee vettoriali di H).

11.3.2.3 Energia magnetica nel traferro

Dato che l'induzione ha intensità simile nel traferro e nelle parti ferron1agnetiche, mentre le permeabilità sono molto diverse, le densità di energia magnetica risultano 1nolto diverse:

B2 B2 W 1rafat ro = - >> Wf• rro = -

2µo 2µr (11.3.2.3)

dunque la densità di energia magnetica nelle parti ferromagnetiche è molto minore di quella nel traferro e può spesso essere trascurata rispetto a questa. Si può allora dire che l'energia è accumulata nei traferri e vale, per ciascuno di essi, avente volun1e s,.e,:

(11.3.2.4)

11.3.2.4 Pressione magnetica al traferro

Quando un'energia potenziale dipende da una coordinata spaziale, la sua derivata secondo tale coordinata fornisce la componente della forza in quella direzione. Tale proprietà fisica generale si applica anche all'energia magnetica del traferro. Derivando la (11.3.2.4) rispetto allo spessore del traferro e, si ottiene così la componente della forza ortogonale alla superficie del traferro:

148 Capitolo 11

F =aw .. ,n 8.f,

I

(11.3.2.5)

A questa forza può essere associata la pressione magnetica al traferro, con dimensione fisica di pascal [Pa):

F B2

P =~ =m s, 2µ0 (11.3 .2.6)

Tale pressione tende a minimizzare l'energia e quindi a ridurre lo spessore del traferro avvicinando le espansioni polari. Questa forza viene ad esempio utilizzata per la realizzazione di attuatori elettromagnetici, ad ese1npio gru per il sollevamento di materiale ferroso.

a 11.4 CIRCUITI MAGNETICI

Il cainpo di induzione magnetica B presenta notevoli analogie con il campo di corrente di conduzione stazionaria J. Anzitutto, essendo entrainbi i campi solenoidali, le loro linee vettoriali sono chiuse e dailllo luogo a tubi di flusso chiusi, semplici o ramificati. Inoltre, le linee vettoriali di entrainbi i campi possono essere ben canalizzate utilizzando, nel caso di J, materiali ad elevata conducibilità y2 (conduttori) circondati da altri a bassissima conducibilità y1 (isolanti) ovvero utilizzando, nel caso di B, materiali ad elevata permeabilità µ2 (ferromagnetici) circondati da altri a bassa permeabilità~ (amagnetici). In particolare i rapporti µj µ

1, che possono arrivare a 1oa-:- 10• (si vedano le Tab. 10.1.8.1 e 10.1.8.2), permet

tono una buona canalizzazione di B, pur essendo nettamente inferiori ai rapporti ottenibili yjy1 (Tab. 4.2.1.1).

II1 considerazione di tali analogie, come un campo di corrente solenoidale ben canalizzato costituisce un circuito elettrico (o rete elettrica), così un campo di induzione ben canalizzato è detto circuito magnetico (o rete magnetica). Esso è costituito da n1ateriali ferromagnetici che realizzano tratti di tubi di flusso di B, caratterizzati dalla loro riluttanza, e dalle amperspire prodotte da correnti di conduttori filiformi avvolti in più spire intorno ai vari tratti; un esempio di circuito 1nagnetico semplice è 1nostrato in Figura 11.4.1. I circuiti magnetici possono anche corrispondere a situazioni più complesse, che presentano ramificazioni dei tubi di flusso (Fig. 11.4.2).

N1

~ i(t)

Figura 11.4.1 Figura 11.4.2


I dispositivi che realizzano circuiti magnetici hanno lo scopo di stabilire una determinata "canalizzazione" del flusso di induzione (come ad esempio avviene nei trasformatori) oppure una determinata induzione magnetica in una prefissata sezione (come avviene nelle macchine elettriche rotanti) .

11.4.1 Leggi dei circuiti magnetici

11.4. 1.1 legge di Ohm per i circuiti magnetici

Co1ne in un tratto di tubo di J privo di f.e .1n. vale la legge di Ohm, V= RI, che lega tensione elettrica V a resistenza R e corrente I, così in un tratto di tubo di B vale l'analoga relazione (11.2.2.3), che lega tensione magnetica 'V a riluttanza Re portata cp, e che può essere riscritta come:

v = Rcp, (11.4.1.1)

' E evidente la corrispondenza tra resistenza e riluttanza, tra tensione elettrica e tensione magnetica, tra corrente e portata. In considerazione di tale analogia la (11.4.1.1) è detta legge di Ohn1 per i circuiti magnetici.

11.4.1 .2 legge di Hopkinson - forza magnetomotrice

Per un tubo di flusso chiuso semplice (non ramificato, co1ne quello illustrato in Fig. 11.4.1) di B sul quale sono avvolte N spire filiformi percorse dalla corrente i , la legge di Hopkinson (11.2.3.1), è simile alla relazione, E=Rel, che vale per un analogo tubo di flusso chiuso semplice di J; è evidente la corrispondenza tra la f.e.m. complessiva E del tubo chiuso di J e le amperspire complessive Ni concatenate dal tubo chiuso di B. Per tale ragione il prodotto Ni è anche detto forza magnetomotrice (f.m.m) del tubo di flusso.

Come nei circuiti elettrici i generatori di tensione tendono a produrre correnti positive rispetto al riferimento che va da morsetto - a morsetto + del generatore, così nei circuiti magnetici le f.m.1n. tendono a produrre flussi di induzione positivi rispetto al versore nor1nale che la regola della vite destrogira associa al riferimento di corrente della f.m.m ..

11.4.1.3 Prima legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici

In un circuito magnetico ramificato si può considerare una superficie chiusa Se che racchiude un nodo, ossia una regione delimitata da una superfice chiusa Se da cui escono più tratti di tubo di flusso (Fig. 11.4.1.1) . Dato che il flusso di induzione uscente da una superficie chiusa è sempre nullo, la som1na delle portate dei tratti uscenti dal nodo deve essere nulla:

ì:cp, = 0 I

(11.4.1.2)

la sommatoria è algebrica: dopo aver fissato il riferimento della portata per ciascun tratto, vengono sommate le portate che hanno riferi.Inento uscente dalla superficie e vanno sottratte quelle con riferimento entrante (o viceversa). La (11.4.1.2) viene detta prima legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici, per la sua analogia con la LKC delle reti elettriche.

150 Capitolo 11

I ),

---i~ T"-4.r-t:rk,-/.,..,,,,, + ' ....---

Figura 11.4.1 .1 Figura 11.4.1.2

11.4. 1.4 Seconda legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici

La legge di Hopkinson (11.2.3.1) si applica a circuiti non ramificati dotati di un'unica f.m.m. Ni. Se invece i circuiti magnetici sono complessi, presentando ramificazioni, in essi si può considerare un percorso chiuso formato da più tratti di tubo di flusso ( ossia da lati) ciascuno dotato di tensione magnetica 'V; ed eventualmente f.1n.m. Ni; proprie: tali tratti di tubo formano una maglia (Fig. 11.4.1.2). La legge di Ampère applicata ad una maglia fornisce allora:

I,Ni;(t) = I.'V1(t) (11.4.1.3)

ove 'V;= '.R,q,u, in base alla (11.4.1.1). Questa generalizza la (11 .2.3.1) ed è analoga alla LKT delle reti elettriche in regime stazionario, scritta nella forma LE= :EV. Pertanto questa è detta seconda legge di Ki1·chhoff per i circuiti magnetici.

Nella (11.4.1.3) le sommatorie sono algebriche, considerando in ciascun tratto della maglia la tensione magnetica 'V; e l'eventuale f.m.m. Ni1 secondo riferimenti coerenti.

11.4.1.5 Analogie tra circuiti elettrici e magnetici

La Tabella 11.4.1.1 riassume le analogie tra circuiti elettrici e circuiti magi1etici che sono state illustrate. Accanto a tali analogie sussistono peraltro importanti differenze. In particolare va notato che, dal un punto di vista energetico, 1nentre in un circuito elettrico in regilne stazionario avvengono dissipazioni oluniche di potenza, in un circuito magnetico in regime stazionario non si hanno dissipazioni. Inoltre il comportainento forte1nente non lineare dei materiali ferromagnetici comporta una 1naggiore complessità di analisi rispetto ai casi lineari, co1ne illustrato nel seguito.

' Circuiti elettrici Circuiti magnetici solenoidalità (linee cl1iuse) div J = O div B = O

canalizzazione buoni conduttori materiali ferromagnetici

portata dei tratti di tubo di I q>, flusso

tensione dei tratti di tubo di VR 'V flusso

parametro caratteristico dei R 'R tratti di tubo di flusso

legge di Oh.in VR = RI 'V = 'Rqi,

generatore E Ni

tubo di flusso chiuso E=R-J Ni = 'Rcqi, non ramificato

prima legge di Kirchhoff tl= o tq>1 = O

seconda legge di Kirchhoff LE= r.+vR "f,Ni = r, + 'V

Tabella 11 .4.1.1 Analogie tra circuiti elettrici e circuiti magnetici

11.4.2 Analisi dei circuiti magnetici Quando è necessario uno studio accurato del legame tra f.m.1n. e portate, è

opportuno suddividere il circuito in più tratti, ciascuno dei quali corrisponde con sufficiente approssiinazione alle ipotesi di tubo di flusso, in n1odo che ad esso sia applicabile con la voluta precisione la relazione 'V= '.Rq>1• Quando è nota la f.m.m. e bisogna determinare il flusso d'induzione, nei tratti ferromagnetici sorge un problema ulteriore. Infatti essi hanno permeabilità µ elevata, ma funzione di B: µ=µ(B).Pertanto la riluttanza 'R= µS/f può essere deterlllÌ11ata solo una volta che sia nota l' induzione B. Peraltro il flusso d'mduzione e quindi B si deterlllÌ11ano solo se è nota 'R, Ì11 base alla relazione cp1 = 'l'/'R. Per risolvere il proble1na si può ricorrere all'uso di metodi 11umerici basati su algoritmi iterativi.

11.4.3 Circuiti magnetici con magneti permanenti

In base alla legge di Hopkinson, Ni = 'Rcqit> Ì11 un circuito magnetico semplice può essere presente flusso, q>1 :;= O, anche in assenza di f.m.n1., Ni = O, purchè sia nulla la riluttanza del tubo chiuso, ~=O. Questo può avvenire in particolare se una parte del tubo di flusso (eventualmente comprendente un traferro) ha riluttanza positiva, ~>O, e il restante tratto ha riluttanza opposta e quindi negativa, 'Rm < O, Ì11 modo che sia ~ = ~ + 'Rm = O. Tratti di tubo a riluttanza negativa si possono realizzare utilizzando magneti permanenti, vale a dire materiali ferromagnetici dotati di isteresi, la cui caratteristica passa nel secondo o quarto quadrante, ove µ=BIH < O. Particolarmentre adatti a questo impiego sono i materiali ferromagnetici duri, che presentano valori elevati sia di campo magnetico coercitivo che di mduzione residua, permettendo di ottenere flussi di induzione e tensioni magnetiche significativi.

152 Capitolo 11

Circuiti magnetici realizzati con materiali ferromagnetici duri, tipica1nente basati su terre rare sinterizzate, sono utilizzati in vari dispositivi che richiedono flussi di i11duzione e potenze anche elevati e ingombri contenuti (ad esempio motori e generatori elettrici), con considerevoli vantaggi anche dal punto di vista energetico, grazie all'elhninazione degli avvolgimenti di eccitazione.

11.4.3. 1 Analisi di un circuito con magnete permanente

La Figura 11.4.3.1 rappresenta un circuito magnetico costituito da un 1nagnete permanente (m), da due materiali ad elevata permeabilità che costituiscono due espansioni polari uguali (p e p') e da un sottile traferro in aria (t). In prima approsshnazione si può supporre che il flusso <I\ sia perfettan1ente canalizzato nel circuito. Se le due espansioni polari sono 1nantenute lontane dalla saturazione, esse presentano permeabilità molto maggiore di quella dell'aria e qui11di riluttanza Rv molto minore di quella del traferro 'Rr, così da potersi assumere ~ + 2R/::'~Il comportaillento del circuito magnetico è quindi definito dalle riluttanze di traferro e di magnete pennanente 'Rrn che sono determi11abili rispettivéllllente come:

p

m , m

'11 t '11 +

+ t m I

+ cI>,

p'

Figura 11 .4.3.1 Figura 11.4.3.2

solo la prima delle quali è costante e nota a priori. Conseguentemente, le uniche tensioni magnetiche non nulle sono quelle di tali

due tratti, che per la (11.4.1.1), valgono:

(11.4.3.2)

La seconda di queste, ovvero il lega1ne tra la portata del circuito <I\ e la tensione magnetica del 1nagnete permanente, può essere deternùnata a partire dalla sua curva (H,B) per materiale di un semplice céllllbio delle scale degli assi coordinati, che consiste nel sostituire 'l'm = Hfm a H e <1>

1 = BSm a B ( curva "m'' di Fig. 11.4.4.2).

Inoltre, tenuto conto che non sono presenti f.m.m., la (11.4.1.3) hnpone che sia 'l'm + 'P

1 = O e quindi:

CIRCUITI MAGNETICI 153

(11 .4.3.3)

I valori 'I'm e <1)1 devono rispettare anche tale vincolo, che nel piano di Figura 11.4.3.2 rappresenta una retta passante per l'origine con coefficiente angolare negativo: la sua intersezione con la curva 1n individua il punto di lavoro.

Si noti che, mentre al traferro tensione magnetica 'f'1 e flusso <1) 1 hanno segno uguale (induzione e ca1npo 1nagnetico sono equiversi), nel magnete perma1nente H e B sono invece discordi.

I;ipotesi di perfetta canalizzazione del flusso comporta che l'induzione al traferro e quella nel magnete siano legate della relazione:

l = BLSI = B s = J'.ll l'U l'U (11.4.3.4)

mentre la (11.4.3.3) impone, a meno del segno, Rie,= H"'e m· Moltiplicando questa membro a membro con la (11.4.3.4) si ottiene:

(11.4.3.5)

ove 't1 = s,e, è il volume del traferro e 'tm = smem quello del magnete permanente. Si deduce che, a parità di materiale utilizzato per quest'ultimo, il volume 'tm è minimo in corrispondenza del punto del secondo quadrante della caratteristica B,H che presenta il massimo prodotto IBmHm I, detto massimo prodotto di energia, che costituisce uno dei paran1etri fondamentali di questi 1nateriali e quindi è sempre riportato tra i dati fomiti dai produttori. Questa esigenza è particolarmente sentita quanto vengono utilizzati materiali di concezione recente che sono molto costosi.

Attualmente, il n1ateriale con il più elevato IBflm I (oltre 400 kJ/In:1) è la lega Neodimio-Ferro-Boro NdFeB, ma lo sviluppo è molto rapido a causa della forte richiesta di mercato.

Capitolo

PRINCIPI DI ELETTROMECCANICA

Questo capitolo introduce i principi fondamentali che stanno alla base della cosiddetta conversione elettromeccanica, il processo con cui una potenza meccanica viene convertita in potenza elettrica (nei generatori elettrici) oppure una potenza elettrica viene convertita in potenza meccanica (nei 1notori elettrici). In alcuni casi, il processo è reversibile, ossia la stessa 1nacchina può svolgere le due funzioni. Data l'importanza dell'argomento, esso verrà ampiamente sviluppato nel secondo volume .

• 12.1 FORZA ELETTROMOTRICE MOZIONALE

La f.e .m. e t.e indotta lungo una linea chiusa le in base alla legge di FaradayNeumann (definita in§ 10.1.4) può essere dovuta tanto alla variazione temporale dell' induzione 1nagnetica B che al moto della linea le; in particolare la (10.1.4.4) indica che il suo addendo associato al solo moto della linea vale:

em(t)=-&p,'.'t(t) =<j> (v ,. x B)·td.e 0 B=oo..o;L I.e

(12.1.1)

ove v t. è la velocità con cui si muove il tratto di della linea. Tale relazione evidenzia che la f.e.m. mozionale em(t) è una proprietà della linea ed ha origine dall'interazione tra il moto dei suoi punti e l'induzione magnetica.

12.1.0. 1 Forza elettrica specifica mozionale

La (12.1.1) può riscriversi come:

em (t) = 1 E"' · t d.e I. r.

ove si è introdotto il vettore:

Em (P,t) = v,. (P,t) x B(P, t)

(12.1.2)

(12.1.3)

che è detto forza elettrica specifica mozionale, perchè costituisce una forza elettrica specifica, analoga a Ec, E; e Eg, cui sono sottoposte le cariche elettriche presenti sulla linea le e in moto con essa. E"' è detta mozionale perché trae origine dal moto

156 Capitolo 12

della linea; essa è non conservativa (analogainente a E 1 e Es e diversamente da EJ, come indica la (12.1.2); inoltre non è un caI11po vettoriale, perché non si tratta di una proprietà dei punti dello spazio, dipendendo dalla velocità della linea le. Se la linea è materializzata da un conduttore filiforme in moto, la forza elettrica specifica E'" tende a muovere le cariche libere del conduttore lungo esso, dando origine ad una corrente elettrica di conduzione.

Le precedenti relazioni valgono anche se solo un tratto di linea è in moto: allora eu, e Ero si manifestano solo su esso. Pertanto si può definire e"' anche per una linea aperta .e. imn1ersa in campo B, i cui elementi (di versore tangente t) hanno velocità vt:

(12.1.4)

12. 1.0.2 Forza di Lorentz

Al vettore Em corrisponde la forza Fm = q E"'= q v1. xB avvertita dalla carica q vincolata alla linea ed in moto con essa a velocità vt.

Se, più in generale, si considera una carica q che si muove in caI11po magnetico con velocità vq liberamente ( e quindi non vincolata a muoversi insieme ad una linea) su essa agisce la forza di Lorentz:

FL(P,t) = q v <i (P,t) x B(P,t) (12.1.5)

ortogonale sia alla velocità che all'induzione e che pertanto produce accelerazioni che ne modificano la traiettoria.

• 12.2 FORZE PONDEROMOTRICI ELETTRODINAMICHE

Corrente elettrica e caI11po n1agnetico interagiscono producendo forze che tendono a muovere il conduttore sede di corrente. Tali forze sono dette ponderomotrici elettrodinamiche, perché risultano applicate ai conduttori ed hanno origine da cariche in moto, a differenza di quelle coulombiane che, manifestandosi anche sulle cariche ferme, sono denominate elettrostatiche.

12.2.0.1 Interazione tra campi di induzione magnetica e di corrente

Come visto in§ 1.2.2, la densità di corrente di conduzione è dovuta a cariche in moto secondo la relazione J =Pc+ vP + + Pc-vr-· Se il conduttore è fermo, le velocità di migrazione vr + e vr- coincidono con le velocità assolute delle cariche; allora si può usare la formula di Lorentz (12.1.5) per esprimere le forze agenti sulla carica positiva dq+ =Pc+ d't e su quella negativa dq- = Pc-d't, presenti nel volumetto d't del conduttore:

dF+ = dq+v+ x B = p+ v+ xB d-c ,n p e p

tl.f;; = dq- v ; x B = p: v ; xB d-c (12.2.1)

PRINCIPI DI ELITTROMECCANICA 157

La forza infinitesima complessiva che si sviluppa nel volumetto di: è pari alla loro somma:

(12.2.2)

Tale forza quindi dipende dal vettore densità di corrente J e ha natura ponderomotrice perché si trasferisce dalle cariche al conduttore. Si può dimostrare che, benché la (12.2.2) sia stata dedotta nell'ipotesi che il conduttore sia ferino, essa vale anche se il conduttore è in movimento.

Alla (12.2.2) corrisponde la densità di forza ponderomotrice (forza per unità di volmne):

.f.n(P,t) = ~' = Jx B (12.2.3)

che ha dimensione fisica di newton su metro cubo [N/m:1].

12.2.0.2 Interazione tra induzione e corrente filiforme: legge de/l'interazione elementare elettromagnetica

Nel caso di un conduttore filiforme di sezione normale S ed asse curvilineo I, orientato dal versore tangente t , avente corrente i, si può porre di: = S di, e J = (i/S) t , come visto in§ 1.2.3. La forza ponderomotrice (12.2.1) può allora essere riscritta come:

~ (P,t) = i t X B di, (12.2.4)

che risulta applicata al tratto di, di conduttore; il prodotto i t x B ha dimensione di forza per unità di lunghezza.

La (12.2.4) è detta legge dell 'interazione elementare elettromagnetica (o seconda legge dell'azione elementare di Laplace). Essa può essere utilizzata solo per valutare la forza dovuta all'interazione tra la corrente filiforme i e l'induzione B dovuta ad altre correnti o ad altre cause, ma 110n alla stessa corrente i del conduttore. Infatti il modello "conduttore filiforme" non è applicabile al calcolo del campo nei punti ad esso prossimi perchè l'induzione prodotta da i diverge in corrispondenza del conduttore filifonne. Se si vuole calcolare la forza ponderomotrice dovuta anche all'induzione prodotta dalla stessa corrente i è necessario rinunciare al modello "conduttore filiforme" ed applicare la (12.2.2) .

• 12.3 PRINCIPI DI CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

In un materiale conduttore percorso da corrente elettrica e in moto in un campo di induzione si manifestano sia la forza elettrica specifica mozionale Em, definita al§ 12.1, che la densità volumica di forza ponderomotrice f m, definita al § 12.2.

La forza elettrica specifica mozionale Em, che provoca il 1noto di cariche nel conduttore, interagisce con la densità di corrente J generando la densità di potenza elettrica n1ozionale, come stabilisce la (5.3.3):

158 Capitolo 12

Ps(P,t) = Em · J = v 1 xB -J (12.3.1)

La densità di forza ponderomotrice f m• applicata allo stesso conduttore, interagisce con la sua velocità v1 sviluppando, in accordo con le equazioni della 1neccanica, la densità di potenza meccanica:

Pm(P,t)=J.n ·V1. = J XB·v,. (12.3.2)

Dunque, in ogni istante ed in ogni punto del conduttore, la densità di potenza elettrica sviluppata Ps e la densità di potenza meccanica sviluppata Pm sono uguali ed opposte, ovvero:

Ps + Pru = E'" · J + /,0 • V 1. = O (12.3.3)

In altre parole, in ciascun elemento di un materiale conduttore in moto in campo di induzione magnetica e sede di corrente, la potenza meccanica sviluppata è uguale alla potenza elettrica mozionale assorbita, e viceversa. Integrando la (12.3.3) nel volume del conduttore si deduce un analogo bilancio complessivo:

(12.3.4)

12.3.0. 1 Bilanci di potenza nei conduttori filiformi

Frequentemente i conduttori sede di conversione elettromeccanica sono filiformi; in tal caso, utilizzando la forza ponderomotrice d.F1. (12.2.4), la (12.3.4) può essere riscritta in funzione della corrente i= Jx tS e della f.e.m. mozionale e"' (12.1.4):

(12 .3.5)

Dunque Ern è in grado di generare potenza elettrica (Ps> O) trasformandola da meccanica (P ru < O) e viceversa (Pg < O, P ru > O); Em costituisce la forza elettrica specifica generatrice propri.a dei generatori elettromeccanici, di cui si è parlato in § 5 .1

indicandola genericainente con Es. Le precedenti relazioni descrivono il principio della conversione elettromeccanica della potenza.

La conversione elettromeccanica della potenza richiede quindi che conduttori sede di corrente siano in moto in un cainpo di induzione magneti.ca. Le macchi.ne elettriche che realizzano questa condizione possono effettuare la conversione di potenza elettrica in meccanica, funzionando da motori elettrici; oppure possono realizzare la conversione opposta, funzionando da generatori elettrici; spesso la medesima macchina può realizzare entrainbi i tipi di funzionainento.

PRINCIPI DI ELITTROMECCANICA 159

a 12.4 SCHEMA DI MACCHINA ELETTRICA LINEARE

A A' . - ... I .

' ' • X X X X X X \s E,,, ve + .. B B I h I l Ee.t u .. jt Ec X X X X X X

~ ~

: ;: R

' . > .

' I I

B I ~ B'

Figura 12.4.1

Si consideri il dispositivo illustrato in Figura 12.4.1, costituito da due rotaie conduttrici parallele {di resistenza trascurabile) e distanti h una dall'altra, ad un'estre1nità delle quali può essere connesso un generatore lineare di tensione tramite l'interruttore S. In tutti i punti del piano tra le rotaie è presente un campo di induzione 1nagnetica B perpendicolare ad esso, uniforme nello spazio e costante nel tempo, entrante nel piano del foglio.

Sulle rotaie ed in contatto elettrico con esse si muove con velocità v,. una sbarretta conduttrice di resistenza trascurabile. In essa si manifesta la forza elettrica specifica mozionale E'"= v,. xB parallela all'asse della sbarretta e diretta verso l'alto e quindi l'intera sbarretta è sede della f.e.m. mozionale:

{12.4.1}

Funzionamento a vuoto Quando l'interruttore S è aperto non è possibile la circolazione di corrente, non

esistendo un circuito chiuso. Allora la forza specifica E01

crea una separazione di cariche libere, positive verso l'alto e negative verso il basso che producono a loro volta un campo coulombiano Ec = - Em, che invade tutta la regione circostante e in ogni punto della sbarretta bilancia la forza specifica n1ozionale. Si noti l'analogia con quanto avviene all'interno e all'intorno di un generatore elettrocl1inùco, §5.2.1.

Ai capi della sbarretta si manifesta quindi una d.d.p. a vuoto uguale alla f.e .m. {12.4.1}: vABo=e. Essendo nulla la corrente, Em ed e non sviluppano potenza elettrica e sulla sbarretta non agisce alcuna forza ponderomotrice di origine magnetica. Se i contatti A e B sono privi di attriti e se alla sbarretta non è applicata alcuna forza meccanica esterna, la sua velocità si mantiene costante.

Funzionamento a carico Se l'interruttore S è chiuso, nella sbarretta è presente ancora la f.e.m. (12.4.1) e

si forma un circuito elettrico la cui corrente vale:

160

Funzionamento da generatore

. e-E._" 1 = -----""-

R

Capitolo 12

(12.4.2)

Se e-E .. L >Osi ottiene i> O e la forza pondero1notrice F,. =it x Bh = iBhu ha verso opposto a v ,. cosicché ha azione frenante e la potenza meccanica risulta negativa, Pm = F,. · v,. = -iBhv1. < O: si tratta quindi di potenza meccanica assorbita dalla sbarretta.

La potenza elettrica generata è positiva Ps = e i> O. Dato che f.e.m. e corrente hanno riferimenti associati dalla convenzione dei generatori, si tratta di potenza elettrica generata nella sbarretta e trasn1essa ad altre parti del circuito attraverso la porta AB; essa risulta anche pari al prodotto v p.J, perché si è supposta nulla la resistenza della sbarretta (così f.e.m. e d.d.p. coincidono anche in presenza di corrente). Tenendo conto della (12.4.1), si verifica che vale il bilancio delle potenze:

P01 (t) + Pg(t) = - i Bv,. h + ei= O (12.4.3)

La sbarretta sta quindi funzionando da generatore elettrico: perché mantenga velocità costante è necessario che ad essa venga applicata la forza meccanica motrice FmoL =-F,., equiversa a v ,..

Funzionamento da motore Se e-E._,L <Osi ottiene i< O e la forza ponderomotrice F 1. ha verso concorde a V 1.

cosicché ha azione motrice e la potenza meccanica è positiva, Pm > O, mentre risulta negativa la potenza elettrica generata Ps <O.Vale ancora il bilancio (12.4.3), ove i due addendi hanno segi1i invertiti rispetto al caso precedente. Ciò significa che la sbarretta assorbe potenza elettrica fornita da altre parti del circuito, in questo caso dal generatore di tensione E._,t, e la converte in potenza 1neccanica. La sbarretta sta quindi funzionando da motore elettrico: perché 1nantenga velocità costante è necessario che ad essa venga applicata la forza 1neccanica resistente F"'. =-F1. , opposta a v 1. . In questo caso e prende il nome di forza controelettromotrice.

Capitolo

FUNZIONI SINUSOIDALI E FASORI

a 13.1 FUNZIONI SINUSOIDALI

o t ---1-------,-----\-------1------- --......

a t =-- -o (O

I I I I !.

Figura 13.1.1

I I I I

__ ..J

Una funzione sinusoidale del tempo (Fig.13.1.1) è esprimibile, in tutta generalità, come:

a(t) = AM sen(rot + a) (13.1.1)

ove:

- AM è l'ampiezza (con dimensione omogenea a quella di a), - ro è la pulsazione (con dimensione di radianti al secondo [rad/s)), - a è la fase iniziale (con dimensione di radianti [rad]).

I.:argomento (rot + a) è la fase istantanea (pure con dimensioni di radianti [rad)) 1•

Una funzione siI1usoidale è un caso particolare di funzione periodica, ossia di funzione che ripresenta il medesimo andamento a intervalli di tempo uguali e

1 La stessa funzione sinusoidale può anche venire espressa per mezzo del coseno, invece che del seno:

a(t) = A.,. cos( rot + o:-i) = AM cos(rot +o)

162 Capitolo 13

quindi verifica la condizione a(t) = a(t + nT), ove n è un intero qualsiasi e Tè una quantità con dimensione di secondi [s], detta periodo, che individua l' intervallo temporale in cui la funzione compie un intero ciclo. La frequenza f di una funzione periodica indica il numero di cicli che avvengono nell'unità di tempo ed ha dimensione fisica di hertz [Hz] (omogenea a [s-1

]); assai usati sono i multipli: chilohertz [kHz], megahertz [MHz] e gigahertz [GHz]. La frequenza risulta pari al reciproco del periodo f = 1/T.

Nel caso particolare della funzione sinusoidale, il periodo Tè definito dal tempo in cui l'argon1ento subisce un incremento di 21t radianti, ovvero roT = 2n; pertanto periodo, frequenza e pulsazione risultano tra loro così legate:

T = 2_ = 21t f (ù

1 (ù

' f =- = -T 2n

21t , ro = 21tf = -

T (13.1.2)

Per effetto della periodicità, la fase iniziale a viene generahnente espressa da un valore contenuto nell'intervallo compreso tra -n e + n. Ciò significa che l' istante t

0

in cui a(t) presenta lo zero più prossimo a t = O è espresso dall'equazione cot0

+ a= O e vale dunque t0 =-a/ro (in Fig. 13.1.1 si è assunto a>O e quindi risulta t0 <0).

13.1.1 Valore medio in una semionda

Il valore medio di una funzione sinusoidale, sul periodo T, è ovviamente nullo. Si definisce valore medio in una semionda Am la media del modulo in un periodo; per una funzione sinusoidale, esso vale:

(13.1.3)

esso è un numero reale positivo con la stessa dimensione fisica di a(t).

13.1.2 Valore efficace

Si definisce valore efficace A la sua media quadratica in un periodo; per una funzione sinusoidale esso vale:

A :_ ' ~ fT ci(t)dt = ~ - 0,707 AM 11 (13.1.4)

esso è un numero reale positivo con la stessa dimensione fisica di a(t). Il valore efficace assume notevole importanza nel qualificare una tensione o

una corrente sinusoidale: infatti per indicare i livelli di tensioni e di correnti sinusoidali, si usa precisarne i valori efficaci. Così, ad esempio, con l'espressione "tensione alten1ata di 220 V" si indica una tensione sinusoidale con valore efficace di 220 V: il suo valore massimo è circa 311 V.

n Il secondo 1nembro della (13.1.4) espriine la definizione generale di valore efficace, applicabile ad una funzione periodica qualsiasi.

FUNZIONI SINUSOIDALI E FASORI 163

13.1.3 Fattore di forma Si definisce fattore di farina kf il rapporto tra valore efficace e valore medio in

una semionda; per una funzione sinusoidale esso vale:

k 6 A 1t r = A,,, = 2Jz - 1,11 (13 .1.5)

Una funzione sinusoidale è univocamente determinata non appena ne siano fissate: - l'an1piezzaAM (o il valore efficace A, o il valor medio in una semiondaAui), - la pulsazione ro (o il periodo T, o la frequenza.f) , - la fase iniziale a.

a 13.2 FUNZIONI SINUSOIDALI ISOFREQUENZIALI

Funzioni sinusoidali dotate di uguale frequenza ( e quindi di uguale periodo e pulsazione) sono dette isofrequnziali.

o. - -(J)

B MI-----,.-'"'

A M f-,,.--....

o p

I 1- -I w I

I cp I I - I

(l) I

t

Figura 13.2.1

Accanto alla funzione sinusoidale a(t) espressa dalla (13.1.1), si consideri una seconda funzione sinusoidale b(t) isofrequenziale con a(t) (Fig.13.2.1):

b(t) =BMsen(rot+ p) (13.2 .1);

la differenza tra le fasi istantanee delle due sinusoidi risulta indipendente dall'istante temporale te pari alla differenza tra le due fasi iniziali:

cp ~ (rot+a) - (cot + P) = a-p (13.2.2)

Tale differenza di fase cp è detta sfasamento o più precisamente anticipo di fase di a(t) rispetto a b(t): un valore positivo di cp indica che a(t) "anticipa" su b(t), ovvero che b(t) "ritarda" su a(t), e viceversa. In particolare se:

164 Capitolo 13

- <p = O, (a= P), le due sinusoidi sono dette in fase; - <p = +n, (a= p + n}, le due sinusoidi sono dette in opposizione di fase; - <p = + n/2, (a= p + n/2), a(t} è detta in quadratura in anticipo su b(t}; - <p =-n/2, (a= P-n/2}, a(t} è detta in quadratura in ritardo su b(t}.

Funzioni sinusoidali isofrequenziali di frequenza nota costituiscono un insie-1ne nel quale ciascun elemento è univocamente individuato quando ne sono noti l'ampiezza AM ( o il valore efficace A o il valore medio in una semionda Am} e la fase iniziale a ( o la differenza di fase <p rispetto ad una sinusoide isofrequenziale di fase iniziale nota} .

• 13.3 TRASFORMATA DI STEINMETZ - FASORI Nell'analisi delle reti elettriche in regune sinusoidale si devono eseguire ope

razioni di addizione (e sottrazione), di moltiplicazione per uno scalare e di derivazione temporale su funzioni sinusoidali isofrequenziali, ad ese1npio tensioni e correnti. Si tratta di operazioni che, pur non presentando particolari difficoltà concettuali, non sono di agevole manipolazione e, quando il numero delle operazioni è elevato, la loro esecuzione può risultare onerosa.

Per semplificare il calcolo, risulta preferibile ricorrere ad un procedÌlllento alternativo che si basa sull'associare in modo biunivoco a ciascuna sinusoide isofrequenziale un opportuno numero complesso. Su tali numeri si eseguono operazioni matematiche corrispondenti a quelle sulle sinusoidi, ma di più semplice esecuzione.

13.3.1 Definizione di fasore Un numero complesso è definito da due valori reali: 1nodulo ed argo1nento ( ov

vero parte reale e coefficiente dell'Ìlllmaginario) e pertanto l' insieme dei numeri complessi presenta due gradi di libertà, al pari delle sinusoidi isofrequenziali. Si può allora stabilire una corrispondenza biunivoca tra sinusoidi isofrequenziali e numeri co1nplessi, associando alla sinusoide ( 13 .1.1):

a(t) = AM sen(rot + a)= .J2Asen(rot + a)

il nwnero complesso che ha:

- modulo pari al valore efficace A della sinusoide; - argomento pari alla sua fase iniziale a.

Quindi tale numero complesso in notazione polare si esprune come:

(13.3.1.1)

(13.3.1.2)

ove il simbolo e indica il nwnero di Nepero e il sÌlllbolo j l'unità imlnaginaria (vale a dire la radice quadrata di -1) m_

m Si usa apporre un trattino sul simbolo del nu1nero co1nplesso, invece che un punto, per ragioni che saranno chiarite nel seguito. Il simbolo j è preferito nelle scienze elettriche al simbolo i,

Con tale regola a ciascuna sinusoide isofrequenziale di pulsazione co nota (funzione reale del tempo) viene associato uno ed un solo numero complesso; viceversa, al numero complesso (13.3.1.2) è associata una ed una sola sinusoide di pulsazione nota. Per tale ragione la corrispondenza è biunivoca.

La trasformazione così definita è detta trasformazine (o trasformata) di Steinmetz o anche trasformata simbolica; i numeri complessi che essa produce sono detti fasori o rappresentazioni simboliche delle sinusoidi. Il 1nodulo di A

ha la stessa dimensione fisica di a(t) e del suo valore efficace A, mentre l'argomento si esprime sempre in radianti iv_

Ad una seconda funzione sinusoidale b(t) quale la (13.1.6), isofrequenziale con a(t), corrisponde il fasore:

(13.3.1.3)

che ha modulo pari al valor efficace B ed argomento pari alla fase iniziale p, an.alo-- -

gaine11te a quanto avviene per A . La differenza tra gli argomenti dei fasori A e B è pari a:

a-P=q> (13.3.1.4)

ovvero è pari allo sfasainento tra le due sinusoidi corrispondenti.

13.3. 1.1 Precisazioni

Benché nei fasori non appaia la pulsazione co, essi devono sempre ritenersi associati a funzioni sinusoidali isofrequenziali. Non ha significato considerare relazioni tra fasori rappresentativi di funzioni sinusoidali con diverse frequenze.

La trasformazione di Steinmetz può essere applicata analogainente alle funzioni sinusoidali espresse in coseno, tuttavia, per evitare errori nelle relazioni di fase, è opportuno che esse siano espresse allo stesso modo: o tutte in seno, oppure tutte . 1n coseno.

13.3. 1.2 Espressioni dei fasori

Finora i fasori, co1ne A , sono stati espressi in notazione polare ( o esponenziale: in termini di 1nodulo A ed argomento a). Tuttavia, come ogni numero co1nplesso, essi possono anche essere espressi in notazione cartesiana, ossia in termini di parte reale Agi e coefficiente dell'immaginario A3 , le relazioni tra le due espressioni essendo stabilite dalla formula di Eulero ei"=cosa+ jsena:

normalmente usato nelle scienze matematiche, per evitare equivoci con il simbolo riservato alle correnti. iv Alle sinusoidi isofrequenziali possono anche essere associate in modo biunivoco funzioni co1nplesse del tempo che hanno modulo pari al valore efficace delle sinusoidi e argo1nento pari alla loro fase istantanea:

A(t) = A ei<<>t+a) = A ei• ei<>t

quindi tali funzioni con1plesse corrispondono ai fasori (13.3.1 .2) moltiplicati per il fattore complesso el"'. La trattazione di tali funzioni risulta però più laboriosa.

166 Capitolo 13

- . A = Ae'a = A cosa. + jAsena. = A 91 + jA3 (13.3.1.5}

ove terzo e quarto membro costituiscono rispettivamente le notazioni tiigonometrica e cartesiana; valgono le relazioniv:

{A 91 = Acosa

A 3 = A sena.

Relazioni analoghe valgono per il fasore B :

B = Beffi = B cos j3 + j B sen j3 = Bjl! + j B'J

13.3.1.3 Rappresentazione grafica dei fasori

-B

A,

A

A :Il

Figura 13.3.1 .1 Figura 13.3.1.2

(13.3.1.6}

(13.3.1.7)

A

(t

Un numero co1nplesso, quale il fasore A , può essere rappresentato nel piano di Gauss, o piano complesso (Fig. 13.3 .1.1 ), riportandone la parte reale A91 in ascissa (asse reale) e il coefficiente dell'immaginario A3 in ordinata (asse immaginario}: in

tal modo al fasore A è associato in modo biunivoco il punto PA. Lo stesso fasore è anche rappresentato dal segmento orientato che va dall'origine degli assi O al punto P A: le coordinate polari A e a. del fasore costituiscono rispettivamente la lunghezza del segmento orientato e l'angolo di rotazione antioraria dal semiasse reale positivo; le coordinate cartesiane .Am e~ costituiscono le proiezioni del seg1nento orientato rispettivainente lungo l'asse reale e l'asse im1naginario. Poiché A ha dimensione fisica, la lunghezza del segmento (e delle sue proiezioni} deve essere tracciata nel rispetto di una scala delle lunghezze specificamente definita per tale dimensione fisica.

' E preferibile rappresentare il fasore per mezzo del seginento orientato, invece che per mezzo del punto PA, perché tale segmento può essere traslato nel piano complesso (senza modificarne la lunghezza e senza ruotarlo) rimanendo sen1pre v Nel determinare l'argomento a bisogna tener conto che esso va considerato su un dominio di 2n radianti [-n, + n]. Invece il codo1ninio della funzione arcotangente è l'intervallo [- n/2, + n/2], e quindi non copre tutto il do1ninio di a.

associato al 1nedesi1110 fasore: la lunghezza del segmento orientato rappresenta sempre il valore efficace della sinusoide associata al fasore mentre la sua orientazione angolare rappresenta sempre la fase iniziale della sinusoide.

Nello stesso piano complesso può essere tracciato anche il segmento orientato associato al fasore B, rappresentativo di una seconda sinusoide isofrequenzia}_e

con la prima (Fig. 13.3.1.2), il quale forma con A un angolo pari a <p = a.-p; per la (13.3.1.4) tale angolo è pari al_lo sfasamento tra le due sinusoidi corrispondenti

ai fasori A e B . La rappresentazione grafica dei fasori permette dunque anzitutto un'imn1ediata visualizzazione delle relazioni di fase esistenti tra le sinusoidi. In particolare se la sinusoide b(t) è in anticipo di fase su a(t) e quindi <p è negativo, il fasore B è rappresentato da un segmento ruotato in senso antiorario rispetto al

seginento che rappresenta A (come in Fig. 13 .3.1.2); se le due sinusoidi sono in quadratura i segmenti sono ortogonali; se le due sinusoidi sono in opposizione di fase i segmenti hanno ugual direzione e versi opposti.

Come i fasori, i segmenti orientati devono sempre ritenersi associati a funzioni sinusoidal_i isofrequenzial_i. Non ha senso tracciare nello stesso diagramma fasori rappresentativi di funzioni sinusoidali con diverse frequenze.

13.3.2 Operazioni fondamentali sui fasori Si tratta ora di individuare quali sono le operazioni eseguite sui fasori che corri

spondono alle operazioni di sonuna, moltiplicazione per uno scalare e derivazione temporale eseguite sulle funzioni sinusoidali.

13.3.2.1 Somma

So1nmando i fasori A e B, rappresentativi delle sinusoidi a(t) e b(t) si ottiene VI:

e

B

Figura 13.3.2.1

C = A+ B = (~ +B91 )+ j(A3 +B3 ) = C91 + jC3 (13.3.2.1)

v, La somma (o la sottrazione) di numeri complessi è di più agevole esecuzione ricorrendo alle notazioni cartesiane espresse in (13.3.1.5).

168 Capitolo 13

dunque il risultato è un nu1nero complesso che ha parte reale C91 uguale alla somma delle parti reali e parte immaginaria C3 uguale alla somma delle parti iinmaginarie, come evidenzia anche il diagramma fasoriale di Figura 13.3.2.1, quale si ottiene:

{C91 = Ccosy = A cosa+ Bcos/3

e e A B A (13.3.2.2)

:i= seny = sena+ senp

Le componenti cartesiane (13.3.2.2) sono uguali a quelle del fasore che si ottiene trasfon11ando la somma delle sinusoidi, c(t) = a(t) + b(t) vn_ Pertanto la sorm11a

dei fa.sori A e B , rappresentati~ delle sinusoidi a(t) e b(t), è il fasore C rappresentativo della sinusoide c(t) ottenuta dalla somma di a(t) e b(t); ovvero alla somma delle sinusoidi corrisponde la somma dei fasori .

13.3.2.2 Prodotto per uno scalare k

Moltiplicando il fasore A , rappresentativo della sinusoide a(t), per lo scalare k si ottiene VIII:

(13.3.2.3)

ove n =O se k > O e n = 1 se k < O; dunque il risultato è un numero complesso avente modulo Ce argomento y che valgono (Fig. 3.3.2.2):

C = lkl A, y -{

a se k > O

a +n se k < O (13.3.2.4)

È facile verificare che le componenti polari (13.3.2.4) sono uguali a quelle del fasore che si ottiene trasformando il prodotto per k della sinusoide, c(t) = ka(t).

Pertanto il prodotto per un scalare k del fasore A , rappresentativo della sinusoide

a(t), è il fasore C rappresentativo della sinusoide c(t) ottenuta dal prodotto per k di a(t); ovvero al prodotto per uno scalare delle sinusoidi corrisponde il prodotto per lo stesso scalare dei fasori.

vn Per eseguire tale som1na si può applicare la formula di addizione del seno ai due addendi e al risultato, ottenendo:

a(t) = JzAsen(rot +a) =JzAcosa senrot +JzAsenacosrot

b(t) =JzB sen(rot + 13) =JzBcosl3 senwt +.f2Bsen !3cosrot

c(t) =JzCsen(wt+y) =JzCcosy senrot+JzCsenycosrot

sommando le prime due e uguagliando alla terza si deduce:

che corrispondono alle (13.3.2.2) .

{Ccosr= Acosa+Bcosp Cseny = Asena+ Bsenp

vm Il prodotto tra numeri co1nplessi è di più agevole esecuzione ricorrendo alla notazione polare.

e (k>-0)

e (k<O)

Figura 13.3.2.2

13.3.2.3 Prodotto per l'immaginario j ro

Mltiplicando il fasore A , rappresentativo della sinusoide a{t), per l'iinmaginario jro, ove ro è la pulsazione delle sinusoidi si ottiene:

. ( ") - - ì - J a +-C = jroA = roA efa e 2 = roAe 2 = Ceir (13.3.2.5)

ove si è tenuto conto che j=ef"'2 : il fattore j determina un incremento dell'argomento di rc/2; dunque il risultato è un nmnero co1nplesso avente modulo Ce argomento y che valgono:

C=<oA, y= a+rc/2

11 <'l+ -

2

A

Figura 13.3.2.3

{13.3.2.6)

La rappresentazione grafica del prodotto {13.3.2.5) si ottiene moltiplicando per

ro la lunghezza del seg1nento orientato A e quindi ruotandolo di rc/2 in senso antiorario {Fig. 13.3.2.3). Avendo ro dimensione fisica di [rad/s], i n1oduli dei due fasori hanno dimensioni diverse ed i due segmenti vanno disegnati nel rispetto di due scale diverse.

' E facile verificare che le componenti polari { 13. 3 .2. 6) sono uguali a quelle del fasore che si ottiene trasformando la derivata temporale della sinusoide, c(t) = da(t)/dt IX_

rx La derivata temporale della sinusoide vale:

c(t) = d:t) = rnf2Acos(<ilt+ a) = Jzc sen(<ilt+y)

ove C = coA e y =a+ 1C/ 2 , che sono uguali alle (13.3.2.6).

170 Capitolo 13

Pertanto il prodotto per jro del fasore A , rappresentativo della sinusoide a(t), è il

fasore C rappresentativo della sinusoide c(t) che costituisce la derivata temporale di a(t); ovvero alla derivata temporale delle sinusoidi corrisponde il prodotto per jro dei fasori, ove ro è la pulsazione angolare delle sinusoidi.

13.3.2.4 Osservazioni

Da quanto appena illustrato discendono le seguenti proprietà:

a. rispetto alle operazioni di sonm1a, prodotto per scalare e derivata temporale, l' insieme delle sinusoidi isofrequenziali è chiuso, nel senso che i risultati sono funzioni che appartengono allo stesso insieme;

b. a tali tre operazioni corrispondono rispettivamente somma, prodotto per scalare e prodotto per jro eseguiti sui fasori rappresentativi;

c. rispetto a queste ultime operazioni pure l'insie1ne dei fasori è chiuso; d. per le proprietà relative alle operazioni di somma e prodotto per scalare la tra

sformata silnbolica è lineare; e. per la proprietà relativa alla derivazione la trasformata simbolica sostituisce al

sistema di operazioni algebrico-differenziali delle sinusoidi il sistema di operazioni algebriche in campo complesso dei fasori, che è di più agevole trattazione.

Da queste proprietà deriva il vantaggio di ricorrere ai fasori ed alle loro opera-zioni (calcolo simbolico) quando si devono analizzare le reti iI1 regilne sinusoidale. Inoltre l'espressione fonnale dei fasori è assai più concisa ed agevole di quella delle sinusoidi.

13.3.3 Altre operazioni su sinusoidi e su fasori Hanno ilnportanza anche due ulteriori operazioni eseguite sui fasori.

13.3.3.1 Prodotto di un fasore per il coniugato di un secondo fasore

Si considerino i fasori A e B rappresentativi delle sinusoidi a(t) e b(t). Il pro-- -. -

dotto di un fasore A per il coniugato B di B è il numero complesso x:

P = AB' = Af/"Be-f~ = ABef!a-~l = ABe1'1' =

= AB cos <p + jAB sen <p (13.3.3.1)

esso ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei fasori ed argomento uguale alla differenza tra gli argomenti; non rappresenta alcuna funzione sinusoidale e pertanto non è un fasore e per tale ragione su esso è stato apposto un punto e non un trattino.

x La moltiplicazione e la divisione tra nu1neri co1nplessi sono di più agevole esecuzione se eseguite sulle notazioni polari.

13.3.3.2 Rapporto tra fasori, operatori complessi

Tra fasori è possibile eseguire anche il rapporto, che _pur~ non trova corrispondenza diretta con le sinusoidi. Esprimendo i due fasori A e B in notazione polare si ottiene:

-· A A ·e •1 • 0 = ~ = -e' a-,, = Oe' 'P

B B (13.3,3.2)

anch'esso non è un fasore, non rappresentando una funzione sinusoidale. Si può anche scrivere:

(13,3,3,3)

che mostra come il numero complesso Ò 'opera' su B per produrre A : esso costi

tuisce quindi un operatore complesso. Il risultato dell'operazione, A, ha modulo

A= 0B e argomento a = () + <p. _ La rappresentazione grafica del segmento orientato che corrisponde al fasore A , ottenuto dalla (13.3.3.3), è immediata: si tratta di n1oltiplicare la lunghezza del

segmento che rappresenta B per O = I ò I e di incrementare il suo argo1nento di

un angolo pari a O, oraria nel caso contrario (Fig.13.3.3.1). Quando O ha dimensione fisica, i moduli

-dei due fasori A e B hanno dimensioni diverse ed i due segn1enti vanno disegnati nel rispetto di due scale diverse.

B

A

Figura.13,3.3.1

• 13.4 USO DEI FASORI NELL'ANALISI DELLE RETI IN REGIME SINUSOIDALE

Quando si studia una rete in regime sinusoidale, in cui tutte le tensioni e correnti hanno andamenti sinusoidali isofrequenziali, considerati i vantaggi precisati al punto 13.3.2.4, piuttosto che svolgere l'analisi nel dominio del tempo operando sulle sinusoidi, conviene operare in campo complesso ricorrendo ai fasori che rappresentano tanto le tensioni che le correnti sinusoidali isofrequenziali. Si segue allora il seguente procedimento.

172 Capitolo 13

1. Si trasformano le tensioni e le correnti sinusoidali note nei corrispondenti fasori; per evitare di introdurre errori di fase è necessario esprimere preventivamente tutte le sinusoidi in modo omogeneo, vale a dire o tutte in seno oppure tutte in coseno;

2. si esegue l'analisi della rete operéll1do in ca1npo complesso, cioè eseguendo sui fasori le operazioni algebriche precedente1nente illustrate, in modo da determinéll'e i fasori incogniti;

3. si anti-trasformano i fasori risultanti per dedurre le funzioni sinusoidali incognite ad essi associate.

13.4.1 Diagramma fasoriale Nell'analisi con i fasori risulta molto utile il diagramma fasoriale, che è costitu

ito dall'insieme delle loro rappresentazioni grafiche, disegnate nello stesso piano complesso e correttéllllente rapportate nei moduli e nelle relazioni angolari.

I fasori rappresentativi delle tensioni devono avere moduli tra loro in scala (avendo tutti dimensione di volt, devono essere dedotti dalla stessa scala metrica delle tensioni); invece tutti i fasori rappresentativi delle correnti devono avere moduli riferiti ad una loro scala (avendo tutti dimensione di éllllpere, devono essere dedotti dalla stessa scala metrica delle correnti). Le due scale sono ovviéllllente diverse e tra loro indipendenti.

Ricorrendo al diagréllllffia fasoriale è anche possibile eseguire l'analisi della rete per via grafica, però con una precisione in genere inferiore a quella ottenibile per via algebrica; peraltro il tracciéllllento del diagramma fasoriale è caratterizzato da una maggiore intuitività; in particolare tale diagran1IDa può costituire un'utile verifica dei risultati ottenuti per via algebrica.

Capitolo

RETI IN REGIME SINUSOIDALE

' 14.1 GENERALITA

Una rete elettrica è in regime sinusoidale quai1do tutte le tensioni e tutte le correnti variano nel tempo come sinusoidi isofrequenziali.

Dal pm1to di vista applicativo, i sistemi elettrici operanti in regime sinusoidale sono molto ilnportanti per la loro vasta diffusione. Ad esempio la grande 1naggiorai12a delle reti elettriche di potenza in cui si realizza la generazione, la trasmissione e l'utilizzazione dell'energia elettrica opera in regime sinusoidale in bassa frequenza con tensioni e correnti che possono essere molto elevate (Tab. 14.1.1). Ma i regilni sinusoidali sono ilnportanti anche nelle reti elettriche di segnale, le quali, destinate alla generazione, trasmissione, ed elaborazione delle informazioni, operano a frequenze che possono essere molto elevate, con tensioni e correnti nominali modeste o decisamente piccole.

Tipologia frequenze tensioni [Hz] [V]

Reti industriali di produzione, 50 + 60 102 + 106

trasmissione e utilizzazione

Applicazioni elettrotermiche 101 + 106 102 + 103

Riscaldamenti per perdite 106 104

dielettriche

Conversione statica dell'energia 102 + 105 102 + 104

elettrica

Applicazioni acustiche 101 + 104 10-3 + 102

Radio e tele diffusione, reti dati 104 + 1010

Tabella 14.1.1 Livell i indicativi di frequenza, tensione e corrente dei sistemi elettrici in regime periodico.

correnti [A]

10° + 104

103 + 105

102

101 +104

10- 11 + 101

174 Capitolo 14

Le reti elettriche in regime sinusoidale godono di notevoli proprietà che ne permettono l'analisi con metodi simili a quelli adottati per le reti in regime stazionario. Si precisa che, perché una rete funzioni in regime sinusoidale, cioè tutte le tensioni e correnti siano sinusoidali isofrequenziali, è necessario che la rete sia lineare, ossia che tutte le equazioni di rete siano equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Sotto tali condizioni, sono applicabili il metodo della sovrapposizione degli effetti e tutti i metodi che da esso derivano.

14.2 BIPOLO IN REGIME SINUSOIDALE E POTENZA

14.2.1 Tensione, corrente e sfasamento

+

i(t)

v(t)

___ .,. Figura 14.2.1

Si consideri un generico bipolo in regime sinusoidale e si scelga una conven-. z1one.

A prescindere dalla convenzione adottata (ad es: in Fig. 14.2.1 è mostrata quella dell'utilizzatore), tensione e corrente siano:

{v(t)= VM sen(rot+ a.)=v'z V sen(rot+ a.)

i(t)=IM sen(rot + /3)=v'z I sen(rot+ /3) (14.2.1.1)

ove Ve I sono i valori efficaci definiti dalla (13.1.4). Si indica con <p lo sfasamento tra tensione e corrente o, più precisamente, l'anticipo di fase della tensione sulla corrente (ovvero il ritardo di fase della corrente sulla tensione):

(14.2.1.2)

un valore positivo di 13) indica che la tensione è in anticipo sulla corrente (Fig. 14.2.2); invece un valore negativo di <p corrisponde a tensione in ritardo sulla corrente.

A tali tensione e corrente sono associati i seguenti fasori, come visto in§ 13.3.1, (Fig. 14.2.3):

{- . V=V e'u

I=I ei~ (14.2.1.3)

R ETI IN REGIME SINUSOIDALE

v(t)

,7 I I

<p/001 ....

Figura 14.2 .2

t .....

14.2.2 Potenza istantanea scambiata ad una porta

175

V

I

Figura 14.2.3

La potenza istantanea entrante nel bipolo convenzionato da utilizzatore è espressa dal prodotto':

p(t )=v(t)i(t)= VM sen(cot + a) IM sen(cot + P) (14.2.2.1)

che, utilizzando una delle formule trigonometriche di Werner11, può essere riscritta come:

VI VI p (t)= M M cos(a- P) - M M cos(2cot + a+ P) =

2 2 (14.2.2.2)

=VI coscp - VI cos (2cot + a+ P)

ove <p è lo sfasainento e V e I sono i valori efficaci. Tale potenza (Fig. 14.2.2) risulta uguale alla somma di due quantità. La prilna è costante:

(14.2.2.3)

la seconda è sinusoidale ed ha pulsazione angolare 2co; essa è detta potenza fluttuante:

p1(t)=-VI cos(2cot + a+ P) (14.2.2.4)

Pertanto la potenza istantanea p(t) = P oo.sL + p1(t) è una funzione periodica che in generale non è sinusoidale, a causa dell'addendo P co.sL· A causa della pulsazione 2co del secondo addendo, p(t) ha frequenza 2j doppia e periodo T/2 1netà di quelli 1 Se le (14.2.1.3) fossero relative a bipolo convenzionato da generatore, la (14.2.2.1) esprimerebbe la potenza uscente dal bipolo.

n Essa afferma l'uguaglianza: seme sen y= ~ [ cos ( x - y ) - cos ( x + y)] .

176 Capitolo 14

di v(t) e i(t). Dato che l'ampiezza della potenza fluttuante è VI> P0.o.,t' la potenza

istantanea in generale è positiva in certi iI1tervalli di tempo e negativa negli altri (Fig. 14.2.2).

14.2.3 Potenza attiva (reale)

Si definisce potenza attiva o potenza reale il valore medio in un periodo di una potenza periodica; in reginle sinusoidale si ottiene:

P -<l .!.J p(t)dt=Vlcosq,m T T

(14.2.3.1)

dato che la potenza fluttuante ha valore n1edio nullo in un periodo. Dunque la potenza attiva è uguale all'addendo costante (14.2.2.3) della potenza istantanea.

La potenza attiva è entrante se il bipala è convenzionato da utilizzatore, è uscente se il bipala è convenzionato da generatore.

Come la potenza istantanea, essa ha dimensione fisica di watt [W]. Inoltre è proporzionale, oltre che ai valori efficaci di tensione e corrente, al coseno dello sfasainento: è massima e pari a VI se tensione e corrente sono in fase; è minima e pari a - VI se tensione e corrente sono in opposizione di fase; è nulla se tensione e corrente sono in quadratura. Inoltre è positiva se -rc/2 < q, < rc/2 e negativa se rc/2 < q, < re o -re< qi < -rc/2.

Nota la potenza attiva P, il lavoro elettrico /j,C, assorbito in un intervallo di tempo fj,t = nT (multiplo del periodo T) può essere deter1ninato semplicen1ente come /j,C, = P/j,t = PnT. Più in generale il lavoro elettrico 6.C assorbito in un generico intervallo di tempo Lit>> T, vale t.C = Pflt, in quanto il contributo della potenza fluttuante risulta trascurabile. Dunque ricorrendo alla potenza attiva si detennina il lavoro scambiato senza integrare nel tempo la potenza istantanea.

Nelle applicazioni l'ipotesi /j,t>> T è sempre ben verificata. A titolo di esempio, in regime sinusoidale a frequenza industriale f = 50 Hz il periodo è T = 20 1ns. Intervalli di tempo anche solo di pochi secondi risultano molto maggiori di tale periodo; ad esempio iI1 fj,t = 20 s sono contenuti ben mille periodi.

14.2.4 Potenza apparente, potenza reattiva e fattore di potenza

Ricorrendo ai valori efficaci V e I e allo sfasamento q,, vengono anche definite la potenza apparente S e la potenza reattiva Q:

S~VI (14.2.4.1)

Q ~ Vlsen<p (14.2.4.2)

La potenza reattiva è entrante se il bipolo è convenzionato da utilizzatore, è uscente se il bipolo è convenzionato da ge11eratore.

A differenza della potenza attiva, la potenza reattiva e la potenza apparente non

m Il secondo n1embro della (14.2.3.1) esprime la definizione generale di potenza attiva, applicabile a qualsiasi potenza istantanea periodica.

RETI IN REGIME SINUSOIDALE 177

sono associate al lavoro sca1nbiato e per tale ragione non vengono espresse in watt, ma rispettivamente in voltampere [VA) e voltampere reattivi [VAR]; le tre unità sono co1nunque tra loro omogenee.

Potenza apparente e potenza reattiva sono di grande utilità nel caratterizzare il comportamento dei bipoli in regime sinusoidale. La potenza apparente è sempre positiva indipendente1nente dai riferiinenti adottati per tensione e corrente; essa non ha il significato energetico che l'analogo prodotto assume in regime stazionario.

Invece la potenza reattiva dipende, oltre che dai valori efficaci di tensione e corrente, dal loro sfasainento. Essa è pari a VI se la tensione è in quadratura in anticipo sulla corrente e pari a - VI se la tensione è in quadratura in ritardo sulla corrente; è nulla se tensione e corrente sono in fase o in opposizione di fase. Inoltre è positiva per tensione in anticipo sulla corrente (O< cp < n) e negativa per tensione in ritardo sulla corrente (-n < cp < O).

Potenza attiva, reattiva e apparente verificano le seguenti relazioni:

S=)P2 +Qz

P=Scoscp , Q=Ssencp

(14.2.4.3)

(14.2.4.4)

Il fattore 'coscp' che appare nella prima viene chiamato fattore di potenza:

p coscp= S (14.2.4.5)

esso esprime la quota parte della potenza apparente che dà luogo a potenza attiva (ossia a scambi di lavoro}.

14.2.5 Potenza complessa -

Si definisce potenza complessa il prodotto tra il fasore di tensione V e il co-

niugato 1· del fasore di corrente I, espressi dalle (14.2.1.3); in accordo con la (13.3.3.1}, essa vale:

(14.2.5.1)

Tenendo conto che VI= S, si ottiene:

S=S ei'P=S coscp + jSsencp=P + jQ (14.2.5.2)

dunque il n1odulo della potenza complessa è pari alla potenza apparente S e l'argon1ento è pari allo sfasamento cp; parte reale e coefficiente dell'iinmaginario sono rispettivan1ente uguali alla potenza attiva P ed alla potenza reattiva Q. Di qui l'u-

tilità della definizione di S , un numero complesso che da solo fornisce quattro informazioni importanti.

Se si è adottata la convenzione dell'utilizzatore la potenza complessa è entrante; con la convenzione del generatore la potenza complessa è uscente.

178

a 14.3 STRUMENTI DI MISURA IN REGIME SINUSOIDALE

14.3.1 Strumenti a valore efficace

14.3. 1.1 Voltmetro a valore efficace

Capitolo 14

In regime sinusoidale trova iinpiego uno strun1ento che misura il valore efficace V della tensione che si manifesta ai suoi morsetti: esso è detto voltmetro a valore efficace. Misurando una quantità intrinsecrunente positiva, i suoi morsetti non richiedono di essere distinti l'uno dall'altro e non recano specifiche marcature. Il modello idealizzato di tale stru1nento è detto voltmetro ideale a valore efficace. Esso, inserito tra due nodi di una rete elettrica, rileva il valore efficace V della d.d.p. tra i due nodi, assorbendo corrente nulla {Fig. 14.3.1.1) .

.. .. + A

V

Figura 14.3.1.1 Figura 14.3.1.2

14.3.1.2 Amperometro a valore efficace

In regime sinusoidale trova iinpiego uno strun1ento che misura il valore efficace I della corrente ai suoi morsetti: esso è detto amperometro a valore efficace. Misurando una quantità intrinsecrunente positiva, i suoi morsetti non richiedono di essere distinti l'uno dall'altro e non recano specifiche marcature. Il modello idealizzato di tale strumento è detto amperometro ideale a valore efficace. Esso, inserito in un lato di una rete elettrica, rileva il valore efficace I della corrente del lato, avendo tensione nulla tra i suoi morsetti {Fig. 14.3.1.2).

14.3.2 Strumenti misuratori di potenza e lavoro elettrico

14.3.2. 1 Wattmetro a valore medio

In regiine sinusoidale trova in1piego uno strumento che misura il valore medio della potenza scambiata ad una porta della rete, cioè la potenza attivaP = Vlcoscp: esso è detto wattmetro a valore medio e per esso si usa ancora il simbolo di Figura 14.3.2.1. Come per lo strUinento a valore istantaneo, sono sempre importanti le inarcature dei 1norsetti voltmetri ed runperon1etrici, dato che il segno della potenza attiva dipende dalla convenzione adottata.

R ETI IN REGIME SINUSOIDALE 179

Il modello idealizzato di tale strumento è detto wattmetro ideale a valore medio. Esso, inserito ad una porta di una rete elettrica, indica la potenza attiva P scambiata dalla porta (assorbita o erogata, a seconda della convenzione delle potenze associata alle marcature dei 1norsetti); inoltre esso non assorbe corrente ai morsetti voltinetrici e presenta tensione nulla tra i morsetti amperometrici.

.. w

-Figura 14.3.2.1

14.3.2.2 Determinazione della potenza apparente

La potenza apparente ad una porta è ottenuta moltiplicando le indicazioni di un voltinetro ed un amperometro a valori efficaci, opportunamente inseriti, in modo da ottenere: S = VI.

14.3.2.3 Determinazione della potenza reattiva

La potenza reattiva scambiata a una porta si calcola a partire dalle tre misure di tensione efficace, corrente efficace e potenza attiva appena introdotte:

Q=.J(VI)2 - P2 (14.3.2.1)

dove il segno di Q rimane indeterminato e deve essere individuato con altre n1isure o dalla conoscenza della rete che sta a valle della porta.

14.3.2.4 Contatore

Nelle reti in regime sinusoidale, il contatore (§ 6.2.6), è un watbnetro a valore medio integratore: collegato con la convenzione dell'utilizzatore alla porta di una rete elettrica in 1naniera del tutto analoga al wattlnetro di cui in § 14.3.2.1, esso misura il lavoro elettrico assorbito da quella porta dall'istante iniziale dell'integrazione (detto "data della lettura precedente" nelle fatture) all'istante finale dell' integrazione (detto "data della lettura attuale").

180 Capitolo 14

a 14.4 BIPOLI IDEALI IN REGIME SINUSOIDALE

I bipoli ideali funzionano in regime sinusoidale quando sono sottoposti a tensione e corrente entrambe sinusoidali.

14.4.1 Generatori ideali in regime sinusoidale

14.4. 1.1 Generatore ideale di tensione sinusoidale

Un generatore ideale di tensione sinusoidale (Fig. 14.4.1.1) è un bipolo che impone ai suoi morsetti la tensione sinusoidale:

v(t)=e(t)=EM sen(rot + a)=-fi. E sen(rot + a) (14.4.1.1)

indipendente1nente dalla corrente che lo attraversa; e(t) è detta forza elettromotrice (f.e.m.) sinusoidale impressa. Essendo il generatore in regime sinusoidale, la corrente (per la quale si assume in genere riferimento corrispondente alla convenzione dei generatori) è esprimibile come i(t) = IMsen(rot + P): essa, dipendendo anche dalla rete cui il generatore è connesso, non può essere precisata a priori, sicché

ampiezza IM --Jz I e fase iniziale p non sono note. Di conseguenza il generatore può sia erogare che assorbire tanto potenza attiva che potenza reattiva.

e(t) j(t) + ...

'\J < - + - + i(t) ... v(t) i(t) ... v(t)

Figura 14.4.1.1 Figura 14.4.1.2

14.4.1.2 Generatore ideale di corrente sinusoidale

Un generatore ideale di corrente sinusoidale (Fig. 14.4.1.2) è un bipolo che impone ai suoi morsetti la corrente sinusoidale:

i(t)=j(t)=JM sen(rot + P)=-lz J sen(rot + P) (14.4.1.2)

indipendente1nente dalla tensione che appare ai suoi morsetti; j(t) è detta corrente sinusoidale impressa. Essendo il generatore in regiine sinusoidale, la tensione (per la quale si assu1ne in genere riferimento corrispondente alla convenzione dei generatori) è esprimibile come v(t) = V~en(rot + a): essa, dipendendo anche dalla rete cui il generatore è connesso, non può essere precisata a priori, sicché ampiezza

VM =-fi. V e fase iniziale a non sono note. Di conseguenza il generatore può sia erogare che assorbire tanto potenza attiva che potenza reattiva.

RETI IN REGIME SINUSOIDALE

14.4.2 Bipoli passivi ideali in regime sinusoidale

14.4.2.1 Resistore ideale passivo

181

Un resistore ideale passivo, con resistenza R costante e positiva, convenzionato da utilizzatore (Fig. 14.4.2.la) verifica in qualsiasi condizione di funzionamento la relazione:

v(t) = Ri(t)

Tale legame in1pone che alla corrente sinusoidale:

ì(t) = IMsen( rot + 13)

a) b)

+ p(t)

-,- -

v(t) p t i(t) _ .,.. R

Figura 14.4.2.1

corrisponda la tensione sinusoidale (Fig. 14.4.2.lb):

v(t) = RI~en(rot + 13) = VMsen(rot + a)

(14.4.2.1)

(14.4.2.2)

e)

-V

(14.4.2.3)

Quindi tra ampiezze, valori efficaci e fasi iniziali di tensione e corrente valgono

le relazioni:

VM =~=R , a - l3=cp=O IM I

l'ultin1a indica che corrente e tensione sono in fase.

(14.4.2.4)

La potenza istantanea assorbita, che varia nel tempo come indica la curva p(t) di Figura 14.4.2.lb, ha valore massimo pari a 2VI ed è non negativa (infatti il resistore non può mai erogare potenza). Il fattore di potenza è unitario: coscp = 1, e quindi la potenza attiva assorbita coincide con la potenza apparente, mentre la potenza reattiva è nulla:

v-i P=S=VI=RI2=- Q= O R , (14.4.2.5)

Ricordando le espressioni della potenza assorbita da un resistore in regime stazionario ( 4.1. 3.1 ), le espressioni della potenza attiva mostrano che il valore efficace

182 Capitolo 14

di una corrente (tensione) è uguale a quel valore di corrente (tensione) costante che causa in un resistore lo stesso assorbimento di lavoro elettrico nel medesimo intervallo di ten1po D.t>> T. Questo è uno dei motivi del largo uso dei valori efficaci nelle reti in regiine sinusoidale e, più in generale, periodico.

I fasori di tensione e corrente sono esprimibili come 14.4.2.lc) e quindi il loro rapporto vale:

V= V ef'P= V =R I I I

V= V ei" e 7 =I ef~ (Fig.

(14.4.2.6)

quindi R= 1/G è l'operatore con1plesso che vincola i due fasori con la relazione

V=RI e che in questo caso si riduce ad un reale puro.

14.4.2.2 Induttore ideale

Un induttore ideale, con induttanza L costante, convenzionato da utilizzatore (Fig. 14.4.2.2a) verifica in qualsiasi condizione di funzionan1ento la relazione:

v(t)=L di(t) dt

Tale legame inlpone che alla corrente sinusoidale:

aJ b) .. +

v(t)

i(t) L

l p(t)

Figura 14.4.2.2

i(t) = IMsen( rot + 13)

corrisponda la tensione sinusoidale (Fig. 14.4.2.2b):

e)

v(t) = roUMsen(rot + 13 + n/2) = V~en(rot + a)

(14.4.2.7)

V

(14.4.2.8)

(14.4.2.9)

Quindi tra ampiezze, valori efficaci e fasi iniziali di tensione e corrente valgono le relazioni:

VM V - = - =roL IM I

(14.4.2.10)

l'ultin1a indica che la tensione è in quadratura in anticipo sulla corrente. Le ampiezze sono legate dal prodotto:

(14.4.2.11)

che è detto reattanza induttiva, la quale ha diinensione fisica di ohm [O], essendo omogenea a [Hs-1

].

La potenza istantanea assorbita, che varia nel tempo co1ne indica la curva p(t) di Figura 14.4.2.2b, è una funzione sinusoidale di ampiezza VI: in un quarto del periodo T essa è positiva e dà luogo a lavoro assorbito che è iinmagazzinato in forma di energia induttiva wL(t) = LP/2; tale energia è restituita nel quarto di periodo successivo, allorché la potenza è negativa, ovvero è effettivamente erogata. Il fattore di potenza è nullo: coscp = O, e quindi la potenza attiva assorbita è pure nulla, pur con tensione e corrente non nulle; inoltre, essendo sencp = 1, la potenza reattiva è positiva e coincide con la potenza apparente:

2 2 V

P= o , Q=S=VI= XLI = x L

Dalle espressioni precedenti si r icava anche:

I z Q= roL / 2 = roL ...M.... = ro WLM

2

(14.4.2.12)

(14.4.2.13)

dove WLM è il valore massimo assunto dall'energia induttiva wL 11egli istanti in cui il 1nodulo della corrente è massimo e pari a JM.

I fasori di tensione e corrente sono esprimibili come V= V e1" e I = I e1~ (Fig. 14.4.2.2c) e quindi il loro rapporto vale:

V V e''m V 1;2 • L ·x = = - •=- e = j <.0 = ] L I I I

(14.4.2.14)

quindi jXL è l'operatore complesso che vincola i due fasori con la relazione V= jXLI e che in questo caso si riduce ad un iinmaginario puro.

14.4.2.3 Condensatore ideale

Un condensatore ideale, con capacità C costante, convenzionato da utilizzatore (Fig. 14.4.2.3a) verifica in qualsiasi condizione di funzionamento la relazione:

i(t) = C dv(t) dt

Tale legame iinpone che alla tensione sinusoidale:

v(t) = VMsen(rot + a)

corrisponda la corrente sinusoidale (Fig. 14.4.2.3b):

(14.4.2.15)

(14.4.2.16)

184 Capitolo 14

a) e)

+ V

,·(t)

i(t) l ~ e /'

'

Figura 14.4.2.3

i(t) = roCVMsen(rot +a+ n/2) = /Msen( rot + 13) (14.4.2.17)

Quindi tra a1npiezze, valori efficaci e fasi iniziali di tensione e corrente valgono le relazioni:

vM _v _ 1 __ n ----- , a-j3-cp---1M I roC 2

(14.4.2.18)

l'ultin1a indica che la tensione è in quadratura in ritardo sulla corrente. Le relazioni tra a1npiezze e tra fasi iniziali inducono a definire il parametro:

,1 1 Xç=--

roC (14.4.2.19)

che è detto reattanza capacitiva e si nùsura in ohm [.Q] nel SI, essendo on1ogeneo a [F-1s].

La potenza istantanea assorbita, che varia nel tempo come indica la curva p(t) di Figura 14.4.2.3b, è sinusoidale di ampiezza VI: in un quarto del periodo Tessa è positiva e dà luogo a lavoro assorbito che è irmnagazzinato in forma di energia capacitiva wc(t) = CTfl/2; tale energia è restituita nel quarto di periodo successivo, allorché la potenza è negativa, ovvero è effettivamente erogata. Il fattore di potenza è nullo: coscp = O, e quindi la potenza attiva assorbita è pure nulla, pur con tensione e corrente non nulle; inoltre, essendo sencp =-1, la potenza reattiva è negativa e uguale all'opposto della potenza apparente:

V 2 IV

P=O , Q=-S=-VI=Xc l 2= X (14.4.2.20) e

Dalle espressioni precedenti si ricava anche:

V: 2 IQI =roC V2 =roC~ =roWcM 2

(14.4.2.21)

iv La potenza reattiva del condensatore, negativa, è espressa in funzione della reattanza in modo formalmente uguale a quella dell'induttore, positiva, grazie al valore negativo della reattanza capacitiva Xc·

dove Wcr,1 è il valore massimo assunto dall'energia capacitiva Wc negli istanti in cui il modulo della tensione è massimo e pari a VM.

I fasori di tensione e corrente sono esprimibili come V= V e1" e I = I ef~ (Fig. 14.4.2.3c) e quindi il loro rapporto vale:

V V J<1 V -Ji • 1 ·x = = - e = - e = - J- =J e I I I roC

(14.4.2.22)

quindi iXc è l'operatore complesso che vincola i due fasori con la relazione V= jXc I e che in questo caso si riduce ad un iinmaginario puro v_

La Tabella 14.4.2.1 riassume le principali relazioni del resistore ideale, dell'induttore ideale e del condensatore ideale in regime sinusoidale.

Proprietà resistore R induttore L condensatore C

caratteristica esterna v(t)=Ri(t) di(t) i(t)=C dv(t) v(t)=L dt dt

reattanza XL=roL 1 - X - - -e - C

V V: R IXd IXcl rapporto _ = _.M.

I IM

sfasamento cp o 7t 7t - - -2 2

2

potenza attiva P Rfl = ~ o o R

potenza reattiva Q o vz vz XJi= - Xcf= -

XL Xc

potenza apparente S v2

IXLIJ2 v2

IXclI2 v2

Rfl= - - -- -R IXLI IXcl

-V R jXL = jroL jXc = J rapporto = --I roC

-I 1 1 J 1

= jroC rapporto = -=G -- - -V R jXL roL JXc

Tabe lla 14.4.2 .1 Relazioni dei bipoli passivi ideali in regime sinusoidale (convenzionati da utilizzato ri)

" Si noti anche in questo caso la coincidenza forinale con l'analoga relazione di induttore.

186 Capitolo 14

a 14.5 IMPEDENZA

+ 0 ----1

-I

-V

.. 1----0

Nel§ 14.4 si è visto che nei bipoli passivi ideali resistore, induttore e condensatore i fasori rappresentativi di tensione e corrente sono vincolati da una relazione di proporzionalità in campo complesso attraverso operatori complessi che sono dati rispettivamente dal numero reale R e dai numeri im111aginari JXL e jXc,. Un'ana-

Figura 14.5.1 1 · 1· , · · f oga proporziona ita non esiste per i aso-ri rappresentativi di tensione e corrente di generatori ideali sinusoidali di tensione e corrente, visto che questi impongono uno dei due fasori mentre l'altro dipende dalla rete in cui il generatore viene inserito.

La proprietà, valida per resistori, induttori e condensatori, può essere estesa ad un generico bipolo lineare e passivo, vale a dire ad un bipolo in accordo con la (3 .2.2). Questo, convenzionato da utilizzatore (Fig. 14.5.1), ha tensione e corrente date dalle 14.2.1.1, rappresentate dai fasori dati dalla 14.2.1.3.

Essendo il bipolo passivo, la potenza attiva assorbita deve essere non negativa: P= Vlcos O e quindi lo sfasamento tra tensione e corrente <p = a-P deve verificare la seguente condizione di passività:

7t 7t -- < <p < -

2 2 (14.5.1)

Si definisce impedenza del bipolo lineare e passivo convenzionato da utilizzatore l'operatore complesso dato dal rapporto tra fasore di tensione e fasore di corrente:

· V V eì0 V ·e •1 • Z .a = =-~= - e1 a - p = Z e1'P I I eì~ I

(14.5.2)

quindi il modulo Z = I.il è pari al rapporto tra i valori efficaci di tensione e corrente

e l'argomento L Z è pari allo sfasamento: . \'1

LZ=<p (14.5.3)

La (14.5.2) esprime l'impedenza in forma polare: il modulo ha dimensione di ohm [O], mentre l'argon1ento, che va espresso in radianti, è adimensionale e deve rispettare i vincoli imposti dalla (14.5.1). :[;espressione cartesiana dell'impedenza, ovvero parte reale Zm e coefficiente dell'immaginario Z 3 ( entrambi con dimensione di ohm), si ottiene per mezzo della formula di Eulero:

Z= Z ei"'=Z ( cosq,+ j senq, )=Zm + jZ3 (14.5.4)

"' L'impedenza stabilisce una relazione tra i fasori di tensione e corrente; quando se ne considera il modulo soltanto si ottiene una relazione tra i valori efficaci di tensione e corrente, perdendo le infor1nazioni sulle relazioni di fase.

La (14.5.1) impone che la parte reale sia non negativa (½!>O), mentre il coefficiente dell'inunaginario può essere positivo, negativo o nullo. Ovvie sono le espressioni che permettono di dedurre le componenti polari da quelle cartesiane:

z <p= arctg ---2..

Z;n (14.5.5)

Per la (14.5.1), la determinazione dell'arcotangente non presenta complicazioni. In un bipolo passivo ideale, Z, <p, ½I e Z3 non dipendono dai valori efficaci di tensione e corrente né dai riferimenti di fase; essi dipendono invece dalla pulsazione ro, ovvero dalla frequenza f, come sarà chiarito nel seguito.

14.5.0.1 Potenze assorbite da un bipolo di impedenza t Ricorrendo alla potenza complessa, si arriva ad esprimere le potenze apparente,

attiva e reattiva assorbite dal bipolo co1ne:

S=Zl2

P=Zil!J2 =ZJ2coscp

Q=Z312 = Z 12 sencp

(14.5.6)

Dunque alla parte reale dell'impedenza è associato l'assorbimento di potenza attiva, 1nentre a quella inunaginaria si collega l'assorbimento di potenza reattiva.

14.5.0.2 Impedenze dei bipoli passivi ideali

Resistore, induttore e condensatore sono esempi di bipoli passivi per i quali l' ilnpedenza vale, rispettivamente:

. . ()

ZR=R e1 =R+ jO=R (14.5.1.7)

•• Z. X 12 O ·x . L L= Le = +] t =J ffi (14.5.1.8)

.• 1 . - J-; . . Z=IX l e 2 = 0+7X= - 1-c e e roC (14.5.1.9)

Essi sono casi particolari e quindi non è lecito affermare che, in generale, la parte reale dell'impedenza è una resistenza e cl1e la parte immaginaria dell'impedenza è una reattanza.

14.5.1 Ammettenza

Si definisce ammettenza del bipala lineare e passivo convenzionato da utilizzatore l'operatore complesso dato dal rapporto tra fasore di corrente e fasore di tensione:

-y " I =.!_ EJ<P-al = Y e-i'f'

V V (14.5.1 .1)

188 Capitolo 14

essa è il reciproco dell' impedenza; il modulo è pari al reciproco del modulo dell'impedenza, ovvero al rapporto tra i valori efficaci di corrente e tensione; l'argon1ento è pari all'opposto dell'argomento dell'in1pedenza, ovvero alla fase con cui la corrente anticipa sulla tensione:

IYl=Y= ~ = ~ (14.5.1.2) L Y =-<p

La (14.5.1.1) esprime l'ainmettenza in fonna polare; il modulo ha dimensione di siemens [S] . I:espressione cartesiana dell'an1mettenza, ovvero parte reale Y 91 e coefficiente dell' immaginario Y3 (entrainbi con dimensione di siemens), si ottengono per 1nezzo della formula di Eulero:

14.5.1.1 Ammettenze dei bipoli passivi ideali

Y _ COS(j)

91- z y = - sen cp

:i z

(14.5.1.3)

Resistore, induttore e condensatore sono esempi di bipoli passivi per i quali l'ainmettenza vale, rispettivamente:

• Y. 1 -hi .B . 1

L= - e = O+J L=- JXL (01

1 .• Y. -,2 . B . C

c=- e =O+] c=Jro Xc

(14.5.1.4)

(14.5.1.5)

(14.5.1.6)

Nelle due ultime relazioni compaiono i parainetri BL = -1/roL e Be= roC che sono detti rispettivainente suscettanza induttiva e suscettanza capacitiva; entrainbi si misurano in siemens, co1ne la conduttanza G. Le precedenti relazioni costituiscono casi particolari di aimnettenza e non è quindi lecito affermare che, in generale, la parte reale dell'ammettenza è una conduttanza (come avviene nella (14.5.1.4)) e che la parte immaginaria dell'ammettenza è una suscettanza (come avviene nelle (14.5.1.5) e (14.5.1.6)).

Relazioni e proprietà di impedenza ed animettenza sono riassunte in Tabella 14.5.1.1.

impedenza Z . ammettenza Y

-definizione V I

- -I V

n1odulo V VM Z = - = -

I IM Y= - = -I /M V VM

argomento cp=a-P -q>=P-a

parte reale Z<.ll = Zcos

coefficiente dell'immaginario Z3 = Zsencp Y3 =-Ysencp

Tabe lla 14.5.1 .1 Relazioni riassuntive delle relazioni di impedenza ed ammettenza.

14.6 LEGGI DI KIRCHHOFF IN FORMA SIMBOLICA

14.6.1 Legge di Kirchhoff ai fasori delle correnti - LKC -

In una rete in reginle sinusoidale, i fasori delle correnti I possono essere som-mati algebricamente in modo equivalente a come si sommano le correnti sinusoidali i(t), in virtù della proprietà di § 13.3.2.1; per i lati che formano un insieme di taglio vale quindi la Legge di Kirchhoff ai fason delle correnti - LKG - (o Primo Principio di Kirchhoff in forma simbolica):

'2:,l =O (14.6.1.1)

la sommatoria è algebrica: come nel dominio del tempo, le correnti vanno sommate o sottratte a seconda che abbiano riferimento concorde o discorde con l 'orientazione dell'insieme di taglio. Lo zero di secondo membro va inteso co1ne zero complesso (O+ jO).

14.6.2 Legge di Kirchhoff ai fasori delle tensioni - LKT

In una rete in regime sinusoidale, i fasori delle tensioni V possono essere sommati algebrica1nente in modo equivalente a come si sormnano le tensioni sinusoidali v{t), in virtù della proprietà di§ 13.3.2.1; per i lati che formano una maglia vale quindi la Legge di Kirchhoff ai fasori delle tensioni - LKI' - ( o Secondo principio di Kirchhoff in forma simbolica):

'2:,V=O (14.6.2.1)

la sorm11atoria è algebrica: come nel dominio del tempo, le tensioni vanno sommate o sottratte a seconda che abbiano riferiinento concorde o discorde con l'o-

190 Capitolo 14

rientazione della maglia. Lo zero di secondo me1nbro va inteso come zero complesso (O + jO) .

Osservazione Le equazioni di Kirchhoff in forma siinbolica devono tenere conto sia delle rela

zioni di ampiezza che di quelle di fase tra le tensioni e correnti; esse quindi devono essere scritte esclusivamente relatitre ai fasori; è errata la loro applicazione ai valori efficaci (o alle ampiezze).

14.7 RETI DI BIPOLI PASSIVI

14. 7 .1 Serie di bi poli passivi

I , + + + V; + .. I H 2 ~ ---~

• +• I n. t--

... V, J;

Figura 14.7.1 .1

La serie di n bipoli passivi (Figura 14.7.1.1) costituisce un bipolo passivo di cui può essere calcolata l'impedenza equivalente. Convenzionati tutti i bipoli da utilizzatori come in figura, la relazione di hnpedenza e la connessione Ì11 serie iinpongono le equazioni:

i= 1, ... n

i= 1, ... n


(14.7.1.1)

(14.7.1.2)

(14.7.1.3)

(14.7.1.4)

Quindi il bipolo equivalente alla serie ha hnpedenza pari alla som1na delle iinpedenze.

Esempio: serie RLC

La serie di un resistore (di resistenza R), un induttore (di reattanza XL= roL) ed un condensatore (di reattanza Xc =-1/roC, Fig. 14.7.1.2) equivale ad un bipolo le cui iinpedenza ed a1nmettenza sono:

(14.7 .1.5)

Le parti reali sono entrambe non negative: Z.91 ~ O e Y.91 > O, coerentemente con la condizione di passività; invece le parti immaginarie possono essere positive, negative o nulle:

Z.3 > o e Y.3 < o se XL+ Xc:> o, z.:i-< o e Y.:i- > o se XL+ Xc:< o, z.:i-= o e Y.:i- = o se XL+ Xc= o.

R

14.7.2 Parallelo di bipoli passivi

lp

Figura 14.7.1.2

--.... + ---------.-------.---+ +

Figura 14.7.2.1

Il--, e

+ +

V· I

Il parallelo di n bipoli passivi (Fig. 14.7.2.1) costituisce un bipolo passivo di cui può essere calcolata l'impedenza equivalente. Convenzionati tutti i bipoli da utilizzatori come in figura, la relazione di am1nettenza e la connessione in parallelo impongono le equazioni:

-[. = Y.1 V: I I

V.=V I p


i= 1, .. . n

i= 1, ... n

(14.7.2.1)

(14.7.2.2)

(14.7.2.3)

192

ovvero:

1 ..,1. "' 11 1 - . - - ~i- 1 - · ZP - Z;

Capitolo 14

(14.7.2.4)

(14.7.2.5)

Quindi il bipolo equivalente al parallelo ha impedenza pari al reciproco della somma dei reciproci delle impedenze.

Esempio: parallelo RLC

R Xc

Figura 14.7.2.2

Il parallelo di un resistore (di resistenza R), un induttore (di reattanza XL= roL) ed un condensatore (di reattanza Xc=-1/roC, Fig. 14.7.2.2) equivale ad un bipolo le cui anunettenza e impedenza sono:

ove si è posto:

2 _ 1 - 1

z p - Yp2 -( 1 )

2 ( 1 1 )

2

- +-+R XL Xc

14.7.3 Triangoli e stelle di bipoli passivi

(14.7.2.6)

(14.7.2.7)

Analogamente a quanto discusso nel§ 8.3.1, esistono reti di bipoli passivi che non sono riducibili ad un solo bipolo passivo, perché contengono bipoli collegati a stella o a poligono, in particolare a triangolo (Fig. 14.7.3.la) o a stella a tre vertici (Fig. 14.7.3.lb).

Si possono allora applicare le trasformazioni triangolo-stella oppure stellatriangolo. Nella trasformazione triangolo-stella si crea un nodo (il nodo O detto centro stella); nella trasformazione stella-triangolo il centro stella viene eliminato.


a) A A b) ____ , ___ _

Z;.w

o

e fl-----1 1---,- B

e B Figura 14.7.3.1

14.7.3.1 Formule della trasformazione triangolo-stella

Si di.mostra che le impedenze della stella (Fig. 14.7.3.lb) equivalente al triangolo dato (Fig. 14.7.3.la) devono avere i seguenti valori:

(14.7.3.1)

. . · Znc Z c.A Zc= . . .

Z An+Znc+ZcA

Le singole impedenze del triangolo equivalente non rappresentano singoli bipoli passivi fisicamente presenti e quindi esse possono avere parte reale negativa.

14.7.3.2 Formule della trasformazione stella-triangolo

Si dimostra pure che le in1pedenze del triangolo equivalente alla stella data devono avere i seguenti valori:

. . . . . . . ZA Zn + Zn Zc+ Zc ZA ZAB=--------

Zc

(14.7.3.2)

Anche in questo caso le impedenze del triangolo equivalente non rappresentano singoli bipoli passivi fisicamente presenti e quindi possono avere parte reale negativa.

194 Capitolo 14

Nel caso particolare in cui le hnpedenze dei lati del triangolo siano tra loro . uguali (e pari a Z,i ), anche le impedenze dei lati della stella sono tra loro uguali (e pari a Zy ) e viceversa, risultando:

. . Z,i = 3Zy (14.7.3.3)

14.7.4 Sintesi serie e sintesi parallelo di bipoli passivi Spesso si rappresenta un bipolo passivo generico per mezzo di una resistenza

ed una reattanza collegate in serie o in parallelo e tali da imporre tra tensione e corrente ai morsetti lo stesso legame del bipolo passivo, ovvero la stessa iinpedenza. Si realizza così la sintesi serie o parallelo; resistenza e reattanza della sintesi non corrispondono necessariamente ad un resistore e ad un induttore (o condensatore) effettiva1nente presenti nel bipolo.

14.7.4.1 Sintesi serie

a) b) .

+V z

+V Rs Xs

• • • Wlv • l I

Figura 14.7.4.1

Assunta nota l'impedenza Z = Zcoscp + jZsencp (Fig. 14.7.4.la), la sua sintesi serie è costituita da una resistenza R. ed una reattanza x. collegate in serie (Fig. 14.7.4.lb) di impedenza equivalente:

. z.=R. + jX. (14.7.4.1)

uguagliando parti reali e coefficienti dell'in1maginario si ottiene:

R.=Zcoscp , X.=Z sen cp (14. 7 .4.2)

Dunque la resistenza equivalente serie è uguale alla parte reale dell'impedenza e la reattanza equivalente serie è uguale al coefficiente dell 'imn1agi11ario. Se cp > O si ottiene x. > O, ovvero una reattanza induttiva XL; se invece cp <Osi ottiene x. < O, ovvero una reattanza capacitiva Xc;. R. e X. assorbono potenze attiva Rfl e reattiva x;i rispettiva1nente uguali a quelle dell'iinpedenza, espresse dalle (14.5.6). Il diagrainma fasoriale della sintesi serie di Figura 14.7.4.lb è rappresentato in Figura 14.7.4.2, nell'ipotesi x. > O.

14.7.4.2 Sintesi parallelo

a)

.

+ V z

• I

•

195

V

I

I

Figura 14.7.4.2

b)

+v ., ___ _ l

Figura 14.7.4.3

Assunta nota l'impedenza Z (Fig. 14.7.4.3a) e quindi anche l'ammettenza

Y = 1/Z= coscp/Z-j sen cp/Z in base alla (14.5.1.3), la sua sintesi parallelo è costituita da U11a resistenza RP ed una reattanza XP collegate in parallelo (Fig. 14.7.4.3b) di ammettenza equivalente:

· 1 1 Y =- +--,, R ·x p ' p

(14.7.4.3)

uguagliando parti reali e coefficienti dell'unmaginario si ottiene:

R = z J> COS(f>

X = z ' 1> sencp (14.7.4.4)

Dunque i valori R,, e XP dei due bipoli ideali in parallelo che sintetizzano una determinata impedenza sono diversi da quelli R. e x. dei due bipoli in serie che sintetizzano la stessa impedenza. Anche in questo caso se cp > O si ottiene X,, > O, ovvero una reattanza induttiva XL; se invece cp < O si ottiene X

1, < O, ovvero una

reattanza capacitiva Xc. R1, e XP assorbono potenze attiva VltRi, e reattiva VlfX,, ri

spettivamente uguali a quelle dell'impedenza. Il diagranuna fasoriale della sintesi parallelo di Figura 14. 7 .4.3b è rappresentato in Figura 14. 7 .4.4 nell'ipotesi ~ , >O.

196

V

• 14.8 RETE SIMBOLICA

V Rp

Figura 14. 7.4.4

Capitolo 14

Si è detto che impedenze o ammettenze permettono di rappresentare i bipoli passivi (resistori, induttori, condensatori e loro combinazioni) per mezzo delle relazioni simboliche:

V=ZI , I=YV (14.8.1)

Analogamente, i generatori ideali di tensione sinusoidale di equazione (14.4.1.1) sono rappresentati da relazioni shnboliche del tipo:

- - . V= E= Ee'" (14.8.2)

il bipolo simbolico governato da tale equazione è detto generatore ideale simbolico di tensione.

Così pure i generatori ideali di corrente sinusoidale di equazione (14.4.1.2) sono rappresentati da relazioni sh11boliche del tipo:

l =J =Je1~ (14.8.3)

il bipolo shnbolico governato da tale equazione è detto generatore ideale simbolico di corrente.

I I -I I . +

----. J ---1

+ • + z -

J ~-

'2~ - -E V '- , ~t .

y '- , V

- --- -- -

Figura 14.8.1 Figura 14.8.2


La serie di un generatore ideale simbolico di tensione e di un bipolo passivo di

impedenza Z è detta generatore lineare simbolico di tensione che, con le convenzioni di Figura 14.8.1, è governato dall'equazione:

V=E-ZI (14.8.4)

Dualmente, il parallelo di un generatore ideale simbolico di corrente e di un

bipolo passivo di ammettenza Y è detto generatore lineare simbolico di corrente che, con le convenzioni di Figura 14.8.2, è governato dall'equazione:

I J -YV (14.8.5)

Se Z ;é O e Y ;é O è sempre possibile trasformare un generatore lineare simbolico di tensione in un generatore lineare siinbolico di corrente e viceversa. Infatti se

Z ;é O, ponendo J=E/Z e Y=l/Z, la (14.8.5) rappresenta l'inversa della (14.8.4);

viceversa se Y ;é O ponendo E J /Y e Z=l/Y , la (14.8.4) rappresenta l'inversa della (14.8.5).

Pertanto per n1ezzo delle trasformate siinboliche, alla rete in regime sinusoidale si può associare una rete, detta rete simbolica, con lo stesso grafo della rete

originale e i cui lati, costituiti da bipoli siinbolici, presentano fasori di tensione V

e di corrente I . Tali fasori rispettano le leggi di Kirchhoff in forma simbolica, già espresse dalle (14.6.1) e (14.6.2):

(14.8.6)

'

' E vantaggioso svolgere l'analisi sulla rete simbolica invece che sulla rete reale, perché le operazioni algebriche in campo complesso, eseguite sui fasori, sono più semplici e n1aneggevoli delle corrispondenti operazioni trigono1netriche e differenziali effettuate sulle sinusoidi. La rete simbolica, essendo retta dalle suddette equazioni, è lineare in campo complesso, come la rete in regime stazionario esaminata nel Capitolo 8 è lineare in campo reale. Conseguentemente la rete simbolica gode di proprietà in campo co1nplesso formalmente uguali a quelle delle reti lineari in regime stazionario; per dedurre tali proprietà è sufficiente fare corrispondere alle correnti costanti i fasori di corrente, alle tensioni costanti i fasori di tensione, ai generatori di tensione costante i generatori simbolici di tensione, ai generatori di corrente costante i generatori simbolici di corrente, alle resistenze le impedenze e alle conduttanze le ammettenze (Tab. 14.8.1).

198 Capitolo 14

relazioni rete lineare in regime rete simbolica stazionario

LKC (n-1 equazioni) !,[=O Ll=O

LKT (m equazioni) !,V=O I:V=O

generatore ideale di - -V=E V=E

tensione

generatore ideale di - -I J I J

corrente

bipolo passivo V=RI ' I=GV V=ZI '

I=YV

generatore lineare - - . -V=E-RI V=E-ZI

di tensione

generatore lineare - - . -I J-GV I J-YV

di corrente

Tabella 14.8.1 Analogie tra rete lineare in regime stazionario e rete simbolica.

14.9 CONSERVAZIONE DELLE POTENZE COMPLESSE

Per ciascun bipolo della rete simbolica può essere considerata la potenza complessa entrante (se il bipolo è convenzionato da utilizzatore) o uscente (se il bipolo è convenzionato da generatore). Si può dilnostrare che per l'insieme dei bipoli della rete simbolica vale la conservazione delle potenze complesse; assmnendo che tutti i bipoli siano convenzionati allo stesso modo, essa si esprime come:

" I. v: 1' - " f. s -o L.. b= t b h - L..h= l h -

Sviluppando questa in fonna cartesiana si ottiene:

-.;- 1. s· _-.;- 1. (P. .Q J- {L'=1-Pi,= o ,;.,h= l h - ,;.,h= t h +' h - o ~ I. -

L h=1Qh- o

(14.9.1)

(14.9.2)

Vale dunque anche la conservazione delle potenze attive e delle potenze reattive nelle reti in regime sinusoidale VI'. Le (14.9.2) hanno iinportanza applicativa perché con esse è spesso possibile risolvere la rete senza ricorrere alle leggi di Kirchhoff e senza utilizzare i fasori.

v11 La prima di queste può anche dedursi dalla conservazione delle potenze istantanee, eseguendone l'integrazione te1nporale sul periodo. Invece la conservazione delle potenze reattive risulta n1eno ovvia. Non vale invece la conservazione delle potenze apparenti.


a 14.1 O METODI E TEOREMI DELLA RETE SIMBOLICA

Grazie alle analogie tra rete lineare in regin1e stazionario e rete simbolica, i 1netodi di analisi ed i teoremi delle reti lineari in regime stazionario si applicano in forma complessa alla rete simbolica. Essi sono richiainati nel seguito.

14.10.1 Metodi di analisi della rete simbolica

14.10.1. 1 Metodo della sovrapposizione degli effetti

Applicando il metodo della sovrapposizione degli effetti, in una rete simbolica: - ogni tensione simbolica di lato è uguale alla somma delle tensioni simboliche

che ciascun generatore ideale silnbolico produce nel lato quando sono annullate le grandezze in1presse da tutti gli altri generatori ideali simbolici;

- ogni corrente simbolica di lato è uguale alla so1nma delle correnti. simboliche che ciascun generatore ideale simbolico produce nel lato quando sono annullate le grandezze impresse da tutti gli altri generatori ideali simbolici.

Se nella rete sono presentir generatori ideali simbolici di tensione ( E1

, E2 , •• • , E,)

es generatori ideali simbolici di corrente ( 11

, 12

, ••• , 1. ), valgono quindi le equazioni:

{vh = :E~=1 V.iii, + I:t=1 V.,1, 11, = L ~=1 I hE, + :Et=l [hl,

- - -

(14.10.1.1)

ove V.,.rr è la tensione prodotta nel lato h dal solo generatore Ek e Vh1 è la tensione k - - k

ivi prodotta dal solo generatore l k; analogainente Ihi1, è la corrente prodotta nel lato h dal solo generatore Ek e !hl, è la corrente ivi prodotta dal solo generatore l k .

14. 10.1.2 Metodo delle correnti di anello

Se una rete simbolica comprende solo generatori ideali di tensione e bi.poli passivi, assegnate ai suoi m anelli le correnti di anello simboliche I A• (h = 1, ... m) con riferimenti tutti equiversi (ad esempio orari), tali m correnti possono essere determinate risolvendo il sistema di m equazioni alle correnti cicliche:

h=1 ... m (14.10.1.2)

ove:

zA., è l'autoimpedenza di anello h, pari alla somma delle impedenze dei lati che formano tale anello;

ZA., è la mutua impedenza tra gli anelli h e k, pari all'impedenza del lato che i due anelli hanno in comune;

EA. è lafe.m. simbolica di anello h, pari alla so1nma algebrica delle f.e.m. simboliche dei lati dell'anello (si sommano quelle che, percorrendo l'anello secondo il riferin1ento della corrente ciclica, sono attraversate dal riferimento - al + e si sottraggono quelle che sono attraversate dal riferimento + al-).

200 Capitolo 14

Se la rete simbolica comprende generatori ideali si111bolici di corrente, il 1netodo delle correnti di anello può essere applicato con generalizzazioni analoghe a quelle illustrate per le reti di bipoli ideali in regime stazionario.

14. 10.1.3 Metodo dei potenziali ai nodi

Se una rete simbolica comprende solo generatori ideali di corrente e bipoli passivi, assegnati a n-1 suoi nodi i potenziali simbolici Uh (h = 1, ... n - 1), avendo

assunto il nodo n-esimo con1e nodo di massa con potenziale nullo Un = O, tali n-1 potenziali possono essere determinati risolvendo il sistema di n-1 equazioni dei potenziali ai nodi:

. - . - -YN,. uh - Lk YN •• uk= JN, h = l ... n - 1 (14.10.1.3)

ove:

YN•• è l'autoammettenza di nodo h , pari alla somma delle allllnettenze dei lati che toccano tale nodo; .

- YN è la mutua ammettenza tra i nodi h e k, pari all'allllilettenza del lato che toc~a tali due nodi; -

- J N è la corrente simbolica impressa nel nodo h, pari alla sollllila algebrica delle co~enti impresse simboliche dei lati che toccano tale nodo (si som1nano quelle che hanno riferimento entrante nel nodo e si sottraggono quelle che hanno riferimento uscente).

Se la rete simbolica comprende generatori ideali sin1bolici di tensione, il metodo dei potenziali ai nodi può essere applicato con generalizzazioni analoghe a quelle illustrate per le reti di bipoli ideali in regime stazionario.

14.10.2 Teoremi per la rete simbolica

14. 10.2. 1 Proprietà di sostituzione simbolica

Siano V h e 111 la tensione e la corrente simboliche del generico lato h-esilno di una rete simbolica. Tale lato può essere sostituito con un generatore ideale simbolico di tensione con E= V h , oppure con un generatore ideale simbolico di corrente

- -con J = Ih : nella rete così 1nodificata correnti e tensioni simboliche dei lati sono identiche a quella della rete originale.

14.10.2.2 Teorema di Thévenin simbolico

Il teorema di Thévenin afferma che una rete simbolica tra i nodi A e B è equivalente ad un generatore lineare di tensione la cui f e.m. simbolica Eoq è pari al fasore di tensione a vuoto V

0 e la cui impedenza Zoq è pari all' impedenza interna

Z; della rete alla porta AB, owero al rapporto tra tensione a vuoto V0

e corrente di cortocil·cuito Jr.e alla porta AB:


-. . V Z = Z = - o

"" i -Joc {14.10.2.1)

Tale enunciato assume che la rete simbolica ed il generatore lineare siinbolico di tensione siano convenzionati da generatori come nelle Figure 14.10.2.la e b. Con impedenza interna Z; della rete alla porta AB, si intende l'impedenza risultante alla porta AB quando la rete è resa passiva, essendo stati azzerati tutti i suoi generatori ideali siinbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti iinpresse).

a) b) I I_ ..

I I

' ' Zcq

+ +

V :21 - -E eq V

-i--- B -

Figura 14.10.2.1

14. 10.2.3 Teorema di Norton simbolico

e)

A -l cq

-

j0....,\ --)

- --

B

.

l • +

Yeq V

-

A

B

Il teorema di Norton afferma che una rete simbolica tra i nodi A e B è equivalente ad un generatore lineare simbolico di corrente la cui corrente imp1·essa simbolica J"" è pari al fasore di corrente di cortocircuito Ice e la cui ammettenza Y"" è pari all'ammettenza interna Y; della rete alla porta AB, ovvero al rapporto tra corrente di cortocircuito J

0r. e tensione a vuoto V

0 alla porta AB:

-. . I Y - '' - cc eq- 11-~

V,, (14.10.2.2)

Tale enunciato assume che la rete siinbolica ed il generatore lineare simbolico di tensione siano convenzionati da generatori come nelle Figure 14.10.2.la e c. Con ammettenza interna della rete Y; alla porta AB si intende l'ammettenza risultante alla porta AB quando la rete è resa passiva, essendo stati azzerati tutti i generatori ideali sin1bolici di tensione e di corrente {sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni iinpresse e delle correnti iinpresse).

Di ovvia deduzione sono le equivalenze tra il generatore equivalente simbolico secondo Thévenin e quello secondo Norton, le quali d'altronde corrispondono alle generali equivalenze tra generatori lineari simbolici di tensione e generatori lineari siinbolici di corrente, indicate in § 14.8.

202 Capitolo 14

a 14.11 COMPORTAMENTO IN FREQUENZA E RISONANZA ELETTRICA

14.11.1 Risonanza serie

i(t) .. R

+ + VR(t) +

v(t) 1,1,(t) L

Vc(t) +

e Figura 14.11.1.1

Il bipala a destra dei terminali di Figura 14.11.1.1, costituito dalla serie del resistore di resistenza R, dell'induttore di induttanza L e del condensatore di capacità C, è alimentato alla tensione sinusoidale v{t) = VMsenrot. La sua ilnpedenza risulta:

. ·( 1 ) Z=R+J roL - roC

modulo ed argomento valgono:

1

Z (ro)= R2+(roL - ro1c)2, cp(ro)= arctg roL R-ro-C

14. 11. 1. 1 Comportamento in frequenza

z

z

Wo

cp

rt -2

(0

1t

2

IM

VM R

Figura 14.11.1.2

(14.11.1.1)

(14.11.1.2)

(l)

Dato che le reattanze XL= roL e Xc= - 1/roC dipendono da ro = 2nf, sono funzioni della pulsazione ro sia il n1odulo Z(ro) che l'argomento cp(ro) ("comporta1nento in frequenza") . Conseguentemente, a parità di valore efficace della tensione applicata

v(t), risultano funzione dico anche lo sfasamento cp(co) della corrente i(t) rispetto a v(t) e la sua ampiezza IM = VJZ(co). A seconda del valore della pulsazione cosi ha che (Fig. 14.11.1.2):

alla pulsazione co0 per la quale le due reattanze si uguagliano, co0L- l/co0C = O, il modulo dell'impedenza assume il valore minimo Z(ro

0) = R, mentre l'argon1ento

è nullo: cp(co0

) =O.Tale situazione viene chiamata condizione di risonanza serie e la corrispondente pulsazione:

1 (i) =~=

o JLc (14.11.1.3)

prende il nome di pulsazione di risonanza; a questa pulsazione la corrente è in fase con la tensione ed ha ampiezza IM = VM/R.

- Per u> < <il0

la reattanza capacitiva prevale su quella induttiva e la serie si comporta co1ne un circuito RC; al decrescere di co il modulo di Z aumenta sino a divergere, mentre l'argomento si mantiene negativo, decrescendo fino a -re/2:

lim Z(<il) = 00 ~ limcp(<o) = - re ~o w-->0 2

(14.11.1.4)

la corrente è in anticipo di fase sulla tensione e al ridursi dico l'ampiezza decresce tendendo a zero.

- Per co > ro0

, la reattanza induttiva prevale su quella capacitiva e la serie si comporta come un circuito RL; al crescere di co il modulo di Z aumenta sino a divergere, 1nentre l'argomento si mantiene positivo e cresce tendendo a re/2:

I z I R

lim Z(co) = 00 ~ limcp(co) = re ©4«> W4«> 2

(14.11.1.5)

la corrente è in ritardo di fase sulla tensione e al crescere dico l'runpiezza decresce tendendo pure a zero.

Per caratterizzare il circuito si definisce il fattore di merito:

©o

Qo & ~ l= coiL = <ilo~R

Qo=0,2

5

<p

1t

2

-~ ~~-~ 2 Qo=0,2

Figura 14.11.1.3

(14.11.1.6)

(i)o (i)

204 Capitolo 14

IM RJ I

(O

Figura 14.11 .1.4

che costituisce un indice della selettività del circuito: quanto maggiore è °'1, tanto più marcate risultano le variazioni di Z(m) e cp(m) nell'intorno di m

0 (Fig. 14.11.1.3).

Corrispondentemente quanto maggiore è °'l' tanto più piccato è l'ét11damento dell'ampiezza della corrente IM = VJ Z(m) ; in particolare a parità di Ce Le al variare di R si ottengono andan1enti come quelli illustrati in Figura 14.11.1.4.

14.11. 1.2 Funzionamento in risonanza

V = -} 1 J e Wo C

I

Figura 14.11 .1.5

In risonanza si ottiene il diagramma fasoriale di Figura 14.11.1.5. I fasori delle tensioni VL sull'induttore e Ve sul condensatore risultano uguali in modulo e in opposizione di fase, compensandosi perfettamente; la tensione totale della serie - -V coincide quindi con la tensione sul resistore VR ed è in fase con la corrente. La serie, comportandosi come un resistore di valore R, assorbe solo potenza attiva; risulta nulla la totale potenza reattiva assorbita perché l'induttore e il condensatore assorbono potenze reattive tra loro opposte:

Q= QL + Qc = XLI + Xci = m0 L - - I = O 2 2 ( 1 ) 2

m0 C (14.11.1.7)

Il fattore di merito °'1 può essere riscritto come:

Oo = m0 LI = ½. = Ve RI V V

(14.11.1.8)

esso quindi esprime il rapporto tra i valori efficaci ( o le ampiezze) delle tensioni sull'induttore VL (o sul condensatore Ve-) e della tensione di alimentazione V, alla


pulsazione di risonanza. Pertanto se R, Le C sono tali che Q1 > 1, le reattanze risultano maggiori della resistenza e l'ampiezza delle tensioni sul condensatore e sull'induttore è maggiore di quella della tensione applicata alla serie.

In alcuni casi (tipicamente nelle applicazioni di potenza), collegamenti serie con Q1>> 1 in risonanza causano la comparsa di tensioni interne molto maggiori di quelle applicate, tali da costituire condizioni potenzialmente pericolose sia per l'incolumità delle persone che per l 'integrità delle apparecchiature. In questi casi le risonanze serie devono essere evitate o perlomeno ne devono essere limitati gli effetti.

In altre applicazioni (tipicamente nelle applicazioni di segnale) si sfruttano i fenomeni di risonanza, ricorrendo a circuiti risonanti serie con fattori di merito molto elevati allo scopo di elevare il livello di tensioni estremamente basse.

14.11.2 Risonanza parallelo o antirisonanza Il bipolo a destra dei morsetti di Figura 14.11.2.1, costituito dal parallelo del re

i(t) - .,.. I +

ic(t) R

v(t) e

= t L

I

Figura 14.11.2.1

sistore di resistenza R, dell'induttore di induttanza L e del condensatore di capacità C, è alimentato alla tensione sinusoidale v{t) = VMsenrot. La sua impedenza risulta:

_!_ _j ( roc-2-) Z- ( 1 ) R ooL (14.11.2.1)

1-+j roc-2- __!,..+(roc-2-)2

R roL R2 roL

modulo e argomento valgono:

1 Z(ro)=--;:::=====

_!_+(roc-2-)2

' \ R2 roL

14. 11.2.1 Comportamento in frequenza

(14.11.2.2)

Anche in questo caso, dato che le reattanze XL= roL e Xc= -1/roC dipendono da ro = 2nf, sono funzioni della pulsazione a.I1golare ro sia il modulo Z(ro) che l'argo-1nento cp(ro). Conseguente1nente, a parità di valore efficace della tensione applicata v(t), risultano funzione di ro anche lo sfasamento cp(ro) della corrente i(t) rispetto a

206

z R

cp

Jt -------- - ? -

(0

-----=--=-.,.... J ri; - -------- ---- - ------- - -2

VM R

Figura 14.11.2.2

Capitolo 14

______ ::--,,._~------OOo 00

v(t) e la sua ampiezza JM= VM/Z(ro). A seconda dal valore della pulsazione angolare rosi ha che (Fig. 14.11.2.2):

alla pulsazione ro0 per la quale le due reattanze si uguagliano: ro0L- l / ro0C = O, il modulo dell'impedenza assume il valore massimo Z(ro

0) = R, mentre l'argo1nen

to è nullo: cp(ro0

) = O. Tale situazione viene chiamata condizione di risonanza parallelo o di antirisonanza e la corrispondente pulsazione angolare:

1 (1) =~=

o JLc (14.11.2.3)

prende ancora il nome di pulsazione angolare di risonanza; a questa pulsazione la corrente è in fase con la tensione ed ha runpiezza JM = V JR.

Per ro < ro0

la reattanza induttiva prevale su quella capacitiva ed il parallelo si co1nporta come un circuito RL; al decrescere di ro il modulo di Z decresce tendendo a zero, mentre l'argomento si mantiene positivo, crescendo fino a n/2:

liinZ(ro)=O ~ liinq{ro)=n w40 w40 2

(14.11.2 .4)

la corrente è in ritardo di fase sulla tensione e al ridursi di ro l'an1piezza aumenta fino a divergere.

Per ro > ro0

, la reattanza capacitiva prevale su quella induttiva ed il parallelo si con1porta co1ne un circuito RC; al crescere di ro il modulo di Z diminuisce tendendo a zero, 1nentre l'argomento si n1antiene negativo e decresce tendendo a-n/2:

lim Z(ro)=O o,->"'

~ lim cp( (1)) =- 7t (l)~ CQ 2

(14.11.2.5)

la corrente è in anticipo di fase sulla tensione e al crescere di ro l'ampiezza aumenta fino a divergere.


Anche in questo caso si definisce un fattore di merito:

Q I " R {e=@ CR= R o i/i o roo1

(14.11.2.6)

che costituisce un indice della selettività del circuito: quanto maggiore è Q/, tanto più marcate risultano le variazioni di Z(ro) e cp(ro) nell'intorno di 00

0• Corrispon

dentemente quanto maggiore è Oo', tanto più piccato è l'andamento dell'ampiezza della corrente IM= VJZ(ro).

14. 11.2.2 Funzionamento in antirisonanza

V

I=-} l V L C00 L

•

Figura 14.11.2.4

In antirisonanza si ottiene il diagramma fasoriale di Figura 14.11.2.4. I fasori delle correnti IL nell'induttore e le nel condensatore risultano uguali in modulo e in opposizione di fase, compensandosi perfettamente; la corrente totale del parallelo I coincide quindi con la corrente nel resistore JR ed è in fase con la tensione. Il parallelo, con1portandosi come un resistore di valore R, assorbe solo potenza attiva; risulta nulla la totale potenza reattiva assorbita perché l'induttore e il condensatore assorbono potenze reattive tra loro opposte:

Il fattore di merito Qi' può essere riscritto co1ne:

°'1 , = V R = IL = le 00

01 V I I

(14.11.2.7)

(14.11.2.8)

esso quindi esprime il rapporto tra i valori efficaci (o le ampiezze) delle correnti dell'induttore IL (o del condensatore le) e di alimentazione I, alla pulsazione di risonanza. Pertanto se R, L e C sono tali che Q/ > 1, le reattanze risultano minori della resistenza e l'ampiezza delle loro correnti è maggiore di quella della corrente assorbita dal parallelo.

208 Capitolo 14

In alcune applicazioni (tipican1ente nelle applicazioni di potenza), collegamenti parallelo con Q0' >> 1 in risonanza causano la comparsa di correnti interne molto maggiori di quelle assorbite, tali da costituire condizioni potenzialmente pericolose sia per l'incolumità delle persone che per l'integrità delle apparecchiature. In questi casi le risona11ze parallelo devono essere evitate o perlomeno ne devono essere lilnitati gli effetti.

In diverse applicazioni (sia di potenza che di segnale) si sfruttano i fenomeni di antirisonanza, ricorrendo a circuiti risonanti parallelo con fattore di inerito molto elevato allo scopo di elevare il livello della corrente. Un'applicazione fondainentale del fenomeno si realizza nello stadio di ingresso degli apparecchi radioriceventi per amplificare in maniera selettiva segnali estremamente deboli, trasmessi sotto forma di onde elettromagnetiche, discriminandoli da altri aventi frequenza diversa grazie alla selettività del circuito.

a 14.12 NUCLEI FERROMAGNETICI IN REGIME SINUSOIDALE

14.12.1 Correnti parassite

In un conduttore massiccio sottoposto ad induzione n1agnetica variabile nel tempo si manifestano f.e .m. indotte che danno origine ad un campo di corrente. Le correnti così indotte sono note come correnti parassite o correnti di Foucault e la potenza ohmica da esse dissipata costituisce le perdite per correnti parassite.

Questo fenomeno ha particolare rilevanza nei nuclei ferromagnetici (§ 11.3) costituiti da lamierini (sottili la1nine), che vengono ilnpiegati in molte macchine elettriche per canalizzare flussi di induzione sinusoidali. La determinazione rigorosa del campo di corrente, e quindi delle perdite, nel lamierino non è agevole ma, per illustrare iI1 modo semplice il fenomeno, si presenta qui nel seguito una trattazione approssimata.

Si consideri un lainierino di materiale conduttore di resistività p, lunghezza h , spessore se larghezza d con d>>s (Fig. 14.12.1.la). Il lamierino sia sottoposto ad un campo di induzione B(t) uniforme nello spazio, avente direzione ortogonale alla sezione normale A (di dimensioni sd) e modulo B(t) variabile nel tempo con legge sinusoidale:

B(t) = BM sen rot (14.12.1.1)

In accordo con la legge di Faraday-Neumann, lungo linee chiuse giacenti sulla generica sezione normale A si sviluppano forze elettromotrici e(t) = -d<J)j dt, essendo <Jlc(t) il flusso di B(t) concatenato con ciascuna linea. A tali f.e .m. corrisponde un campo elettrico indotto E;(P,t) ortogonale a B(t), le cui linee vettoriali, per ragioni di simmetria, haimo la geometria schematizzata in figura. Al cainpo elettrico indotto è associato anche un campo di corrente J (P,t) = E;(P,t)/p, che si sviluppa secondo le medesilne linee vettoriali. Queste definiscono un tubo di flusso chiuso di J(t) che si può asswnere di sezione nor1nale S-h(s/2) e lunghezza e-zd, essendo d>>s (Fig. 14.12.1.lb). La sua resistenza vale dunque:


R 4d R =p- =p

S hs

209

(14.12.1.2)

Il flusso cp(t) mediamente concatenato con tale tubo di flusso di J (P,t) può essere attribuito alla linea e (Fig. 14.12.1.lb) che è la "fibra media" del tubo di flusso. Si può quindi porre q> = (sd/2)B(t), a cui corrisponde la f.e.m. indotta sinusoidale:

(14.12.1.3)

che ha valore efficace E= E1/ .Jz = (sd/2)roBM/ .Jz . La potenza ohmica dissipata dalle correnti parassite nel tubo di flusso vale quindi:

(14.12.1.4)

Dividendo per il volume del lamierino -r = dsh, e tenuto conto che co = 2nf, si ottiene l'espressione della densità di potenza dissipata per correnti parassite.

Bp

con dimensione fisica di watt su metro cubo (W/m:1).

a) E(t)

B(t)

s A

d

b)

s e

Figura 14.12.1 .1

(14.12.1.5)

J (t)

210 Capitolo 14

Le approssimazioni introdotte influenzano il coefficiente nun1erico che appare a denonrinatore della (14.12.1.5), 1na non alterano la dipendenza dai parainetri fisici. Invece essa è valida per spessori s del lainierino tanto più sottili quanto più elevata è la frequenza f; infatti al crescere della frequenza crescono le f.e.m. indotte e quindi le stesse correnti parassite; l'induzione magnetica che queste a loro volta producono diviene confrontabile con l'induzione applicata B(t) e tende ad indebolirla al centro, per la legge di Lenz; di conseguenza l' induzione con1plessiva non risulta omogenea, come si è assunto nell'analisi.

14. 12. 1.1 Nuclei di lamierini

Nei dispositivi elettrici le dissipazioni di potenza devono essere adeguatainente linritate, sia perché esse sono economicamente onerose sia perché richiedono costosi sistenri di raffreddamento che, asportando il calore, prevengano sovratemperature pericolose.

Le perdite per correnti parassite che si sviluppano nelle maccl1ine elettriche possono essere limitate agendo sui parainetri fisici dai quali esse dipendono in base alla (14.12.1.5). Peraltro le macchine per la produzione, la trasformazione e l'utilizzo dell'energia elettrica funzionano generalmente a frequenza f imposta (50 o 60 Hz); inoltre, per sfruttare al meglio il 1nateriale ferromagnetico, conviene applicare ai loro circuiti magnetici induzioni massime BM elevate, senza entrare in saturazione: si adottano valori di BM prossùni all'induzione al ginocchio Bs (§ 10.1.8.2), ossia compresi tra 1 e 2 T.

Quindi i fattori sui quali è concretainente possibile agire per ridurre le perdite ' per correnti parassite sono la resistività p e lo spessore s dei lainierini. E possibile

accrescere la resistività, senza comprometterne le proprietà magnetiche e meccaniche, aggiungendo al ferro il silicio in quantità contenuta di norma tra 0,2% e 5% a seconda dall' impiego cui sono destinate le lanriere; il silicio comporta anche il vantaggio di ridurre l'area del ciclo di isteresi e quindi le relative perdite. Percentuali maggiori di quelle indicate vengono evitate perché renderebbero troppo fragile il lainierino.

Per quanto concerne lo spessore s, per applicazioni a 50 o 60 Hz si adottano valori compresi tra 0,35 e 0,5 mm: più lainierini reciprocamente isolati vengono sovrapposti e pressati fino ad ottenere la sezione norn1ale desiderata. I circuiti magnetici così ottenuti sono noti anche col nome di nuclei lamellati.

Tenuto conto della (10.4.4.2), la densità di potenza dissipata globalmente nei lainierùri, sia per isteresi che per correnti parassite, si può scrivere nella forma:

(14.12 .1.6)

dove le costanti 'l'J e 13 dipendono dal materiale di cui sono costituiti i lainierini. Se si assume per le perdite per isteresi la dipendenza quadratica dall'induzione e si fissano la frequenza e lo spessore, le perdite globali possono essere sinteticamente espresse come:

(14.12.1 .7)

Generalmente le perdite di un lainierino ferron1agnetico si qualificano per mezzo della potenza complessivaJ11ente dissipata per unità di massa anziché di volume: essa si ottiene dividendo la (14.12.1.7) per la densità del materiale. In particolare si definisce cifra di perdita di un materiale magnetico la potenza dissipata complessivamente per isteresi e correnti parassite in 1 kg di materiale, con induzione massima BM= 1 Te frequenza/= 50 Hz. Per i laJ11ierini usati nelle costruzioni elettromeccaniche, la cifra di perdita, che si determina sperimentalmente, varia nell'intervallo O, 5 + 3, 5 W / kg.

14.12.2 Induttori con nuclei ferromagnetici

I ....

+ +

V

Figura 14.12.2.1

Si consideri un avvolgimento di N spire di resistenza nulla che produce un flusso variabile <f>t(t) entro un circuito magnetico realizzato con materiale ferromagnetico (Fig. 14.12.2.1): in esso si manifestano perdite per isteresi e correnti parassite.

Se si assume che il materiale ferromagnetico abbia comportaJ11ento lineare, cioè lavori al di sotto del ginocchio della curva di magnetizzazione, il dispositivo funziona in regime sinusoidale, in quanto la corrente i(t) ed il flusso del circuito 1nagnetico <p.(t) sono sinusoidali; tali allora sono anche la forza magnetomotrice Ni(t), il flusso concatenato <pc(t) = N<p.(t) e la tensione ai capi dell'avvolgimento v(t) = dcpj dt. Il legaJ11e tra tensione e flusso concatenato, in forma fasoriale, assume l'espressione:

(14.12.2.1}

e quindi V e e sono in quadratura. Invece V e 7 non sono in quadratura ma, come illustra il diagramma fasoriale di Figura 14.12.2.2, sono sfasati di un angolo <p < rc/2, per dare luogo ad assorbimento di potenza attiva P = Vlcos<p pari alla potenza dissipata nel circuito 1nagnetico per isteresi e correnti parassite. La corrente dunque può essere sco1nposta in due addendi:

(14.12.2.2}

rispettivaJ11ente in fase e in quadratura con la tensione applicata. Si ha:

212 Capitolo 14

P= V Icosq>= V 10 (14.12.2.3)

Di conseguenza il rapporto tra V e I non è un'impedenza immaginaria pura, 1na un'in1pedenza complessa che, in base a quanto illustrato in§ 14.7.4 .2, conviene rappresentare 1nediante il parallelo della resistenza R, che assorbe la corrente I. e della reattanza XL= roL, che assorbe la corrente Iµ (Figura 14.12.2.3).

V I •

+ Ro X . L

I V la IS

. /µ <l>.

Figura 14.12.2.2 Figura 14.12 .2 .3

Per la (14.12.1.7), le perdite del circuito magnetico sono proporzionali al quadrato dell'induzione, ovvero al quadrato del flusso e quindi, per la (14.12.2.1), al quadrato della tensione. Tale dipendenza è correttamente descritta dalla resistenza R, di valore costante, che infatti assorbe la potenza attiva V1/R.

14.13 MUTUI INDUTTORI IN REGIME SINUSOIDALE

+ +

v,

Figura 14.13.1

Al§ 10.3.2 si è visto come due induttori 1nutuamente accoppiati costituiscono un doppio bipolo induttivo che, con le porte convenzionate da utilizzatori, è governato dalle equazioni (9.3.2.1):

v(t)=L d i1(t) + Mdi2(t) 1 1 dt dt

() =M di1 (t) L d i2 (t) V 2 t - '-- + 2 ---''--

dt dt

(14.13.1 .1)


Se tensioni e correnti h anno andamento sinusoidale, alle (14.13.1.1} può essere applicata la trasfor1nazione simbolica, ottenendo:

(14.13.1.2}

che sono le equazioni che vincolano i fasori di tensione e corrente nel doppio bipolo simbolico induttivo (Fig. 14.13.1}. In esse XL1 = roL1 è l'autoreattanza alla porta 1, XL2 = roL2 è l'autoreattanza alla porta 2 e XM = roM è la mutua reattanza tra le due porte.

Gli induttori accoppiati, rappresentati in regime sinusoidale dal doppio bipolo simbolico induttivo di Figura 14.13.1, trovano fondamentale impiego per studiare il comportamento dei trasformatori ad induzione, che permettono di interconnettere alle due porte reti aventi tensioni e correnti isofrequenziali ma di an1piezze diverse, consentendo in particolare il trasferimento di potenza elettrica da una rete all'altra (trasformatori di potenza}.

::J 14.14 EFFETTO PELLE

In un conduttore massiccio percorso da corrente variabile, in particolare sinusoidale, la densità di corrente non è uniforme nel volume, ma tende ad addensarsi verso l'esterno, dando luogo al fenomeno noto come effetto pelle.

Si din1ostra che in un conduttore cilindrico massiccio di raggio r0 percorso in direzione assiale da una corrente sinusoidale la densità di corrente J(P,t} ha modulo variabile nel tempo con andamento sinusoidale alla stessa frequenza f della corrente; l'ampiezzaJM della sinusoide dipende dal raggio rin modo quasi esponenziale (Fig. 14.14.1.la}, decrescendo dalla periferia (r = r

0} verso l'asse (r = O}.

a) b) r .4 • r

r () i-----::;=--

1· • o i-----W'-,1

J~,1 (r) --

I

Figura 14.14.1.1

La ripidità di variazione della funzione JM(r} è determinata dal parametro:

ò ,. 1

.Jn fµ y (14.14.1.1}

214 Capitolo 14

che ha la dimensione di una lunghezza ed è detto spessore di penetrazione; oltre che dalla frequenza fesso dipende dalle caratteristiche fisiche del materiale: per-1neabilità magneticaµ e conducibilità elettrica y. A titolo di esempio un conduttore cilindrico in ra1ne (µ = µ0 = 4n · 10-1 H/m, y = 5·107 S/m) presenta i seguenti spessori di penetrazione:

8 = 10 mm a frequenza industriale f = 50 Hz, 8 = 0,2 mm a f = 100 kHz, 8 = 7 µm a f = 100 MHz.

Se o>>r0

si può assumere che /M sia quasi uniforme sulla sezione; se invece 8 < r

0 negli strati interni posti a distanza .6.r > (4+ 5)8 dalla superficie del cilindro

l'ampiezza/M(r) è inferiore al 2 + 1% del valore massimo /M(r0

) e quindi può essere considerata praticamente nulla. Pertanto la parte interna del conduttore di fatto non è interessata da corrente elettrica.

La dison1ogenea distribuzione della densità di corrente nel conduttore causa anche dissipazioni ohmiche maggiori di quelle che si avrebbero con densità di corrente uniforme, quale si presenta in regime stazionario. Si può dimostrare che la potenza dissipata dalla distribuzione effettiva (Fig. 14.14.1.la) è pari a quella che si avrebbe se la densità di corrente fosse confinata entro uno strato superficiale di spessore d (Fig. 14.14.1.Zb) e ivi uniforme1nente distribuita.

I:effetto pelle si presenta anche in conduttori con geo1netrie diverse da quella esaminata, ove però lo spessore di penetrazione assun1e espressioni differenti dalla (14.14.1.1).

Per li1nitare l'effetto pelle si evitano conduttori massicci che abbiano dimensioni trasversali molto maggiori di 8: nelle linee di trasnùssione dell'energia si ricorre spesso a cavi costituiti da conduttori in rame nella parte esterna e con un'anima di acciaio in quella interna, con funzione esclusivan1ente meccanica; nelle grandi macchine elettriche si realizzano gli avvolgimenti con più conduttori in parallelo, reciprocan1ente isolati e periodican1ente trasposti in modo da fare loro occupare successivamente tutte le posizioni della sezione trasversale dell'avvolgimento cosicché il flusso concatenato sia lo stesso per ogni conduttore.

A frequenze più elevate, con1e ad esempio nelle applicazioni a radiofrequenza, lo spessore di penetrazione diviene così piccolo da rendere necessario l' impiego di conduttori costituiti da sottilissin1i fili, isolati ed intrecciati fra loro.

14.14.1 Analisi semplificata

Per illustrare in modo semplice l'effetto pelle, si possono considerare due conduttori tubolari coassiali di raggio diverso e dotati di resistenza Ri e R2 , connessi in parallelo alle estremità ed alimentati con tensione sinusoidale di valore efficace V e di pulsazione co (Fig. 14.14.1.Za).

Se si trascura l'effetto delle estremità (il che è certainente lecito se h >>r2),

si può ammettere che le correnti siano distribuite unifor1nemente in ciascuno dei due tubi, per 1notivi di siinmetria: allora tutte le linee vettoriali del campo di induzione sono rappresentate da circonferenze coassiali con i due cilindri. I coefficienti di auto e mutua induzione dei due tubi possono essere determinati

R ETI IN REGIME SINUSOIDALE 21 5

considerando il flusso cpi, relativo all'induzione presente tra i due tubi, e il flusso cp•, relativo all' induzione esterna ad essi (Fig. 14.14.1.Zb) .

La corrente i1 del tubo interno, da sola, produce induzione magnetica sia nello spazio compreso tra i due tubi che in quello esterno ad essi, ed il relativo flusso autoconcatenato può essere espresso come cpc11 = cp~ + cp~; il coefficiente di autoinduzione vale quindi:

a)

I

t i 12, ~

'--- I

+

V

- / ""-· ..._ i

I I

,...,_ ::

_J

h

-....., I

I r l l r

I 2 .,._ .... Figura 14.14.1.2

b)

... r 2

cp i

(14.14.1.2)

La corrente i2 del tubo esterno, da sola, produce induzione magnetica nella sola regione esterna ai due cilindri, con distribuzione uguale a quella che vi produce i1 ;

i flussi autoconcatenato e mutuamente concatenato sono quindi esprimibili co1ne <pc22 = cp~ e cpc, z = cp~. Pertanto i coefficienti di autoinduzione e 1nutua induzione risultano:

• L = cpc22 = <pz =L

2 , é

l z 12

• M= cpc12 = <r2 =L

• • • 12 l z

(14.14.1.3)

I due conduttori tubolari si comportano dunque come induttori 1nutamente ac-coppiati e resistivi (Fig. 14.14.1.3), le cui equazioni, in forma simbolica, sono:

{V=R1!1 + jroL1!1 + jroMI2 = R1! 1 + jroLJ1 + jroL. I1 + jroL0I2 - - _ - . - - . - . - (14.14.1.4) V=R2! 2 + ; roMI1 + ; roL2! 2 = R 2! 2 + ;roL0!1 + ;roL.I2

Capitolo

RETI TRIFASI

' • 15.1 GENERALITA

15.1.1 Definizioni Le reti trifasi sono reti elettriche in regiine sinusoidale con particolari siin1ne

trie nella topologia e nelle grandezze elettriche; sistemi trifasi, rappresentabili con reti trifasi, sono utilizzati negli impianti di generazione, distribuzione e trasmissione dell'energia elettrica in regime sinusoidale, essendo largamente preferiti a quelli monofasi quando sono in gioco elevate potenze elettriche, per i vantaggi economici e tecnologici che comportano. I sistemi trifasi sono un caso particolare dei sistemi polifasi, utilizzati in alcune applicazioni.

Si definisce sistema trifase simmetrico un insieme di tre grandezze sinusoidali isofrequenziali di uguale ampiezza, sfasate reciprocamente di un angolo pari a 2n/3:

C1i ( t )=Ji.Asen ( rot)

a2 ( t )=JZAsen (rot ~ 2; ) (15.1.1 .1)

a3 (t)=JZAsen( rot ~ 431t)

Il sisten1a si dice diretto se ciascuna grandezza risulta in ritardo di 2n/3 rispetto alla precedente (segni- nelle (15.1.1.1)), inverso se risulta in anticipo di 2n/3 (segni + nelle (15.1.1.1)).

Si verifica facilmente che in un sistema siinmetrico la somma delle grandezze è identicamente nulla in ogni istante:

" ~ a.(t) =O ~ 1=1 I (15.1.1.2)

e quindi pure i loro fasori rappresentativi hanno somma nulla:

(15.1.1.3)

Si possono anche considerare sistemi trifasi dissin1metrici; tuttavia nel seguito verranno trattati i soli sistemi simmetrici.

218

15.1.2 Terne trifasi e reti trifasi

15.1.2. 1 Terne simmetriche di f.e.m.

Eg1

o

-Eel -

terna si1nmetrica direHa

-Eg1

-Eg2

o Eg3

terna si,nmetrica inversa

Figura 15.1.2.1

Capitolo 15

-Eg2

Eg3

Egl

-Eg3

Una terna simmetrica di f.e.m applicate da tre generatori è rappresentabile me

diante le tre espressioni:

es1 ( t) =JzE6sen( rot)

es2 (t) =JzE6sen( rot+ 237t)

es3 (t)=JzEssen( rot+ ~1t) (15.1.2.1)

dove il segno - si utilizza per una terna diretta, il segno + per una terna inversa.

Come già osservato, eg1(t) + e62

(t) + eg3(t) = O e la terna dei fasori rappresentativi ve

rifica la condizione analoga:

- - -Eg1 + E62 + Es3 =0 (15.1.2.2)

RETI TRIFASI 219

I diagramnù fasoriali si presentano come in Figura 15.1.2.1, realizzando stelle equilatere, se i fasori vengono rappresentati a partire da un punto O co1nune, detto centro stella, ovvero triangoli equilateri.

15.1.2.2 Collegamenti generatori-utilizzatori

g l , ' ... I

J' E + l g lu z

'- ,) -- 12 . E82 , , + ?o 2u Z 2 - o

.,.e_ --

- 13 3u .

E83 - , + 3g Z 3 ,........, J' -

~-....

Figura 15.1.2.2

Si considerino tre semplici reti monofasi indipendenti (Fig. 15.1.2.2), ciascuna costituita da:

- un bipolo generatore ideale di f.e.m. sinusoidale, rappresentata dal proprio fasore Egì (i= 1, 2, 3);

- un bipolo utente o utilizzatore, caratterizzato da una propria impedenza Zì (i=l,2, 3);

- un doppio bipolo di interconnessione, che connette il generatore all'utenza e che nel caso in esame è costituito da una semplice linea bifilare ideale ( di impedenza nulla).

Le tre correnti sono rispettivamente:

(15.1.2.3)

In virtù della proprietà di sostituzione, le correnti e le tensioni non cambiano se, al posto dei tre conduttori di ritorno, se ne usa uno soltanto in comune, chia-

mato conduttore neutro o semplicemente neutro, avente corrente /0 = /1 + /2 + /3

(Fig. 15.1.2.3). Si realizza così una rete trifase a quattro fili, in cui il quadripolo di sinistra è ottenuto dalla connessione dei tre generatori e quello di destra dalla connessione delle tre impedenze.

220

-E 11 1 - + lg

' J' ,

E g2 + 2g J'

, --

E g3 - + 3g J' -

Og

li • -12

-13 _ ...

lo ... Figura 15.1.2 .3

Capitolo 15

-. l u z,

. 2u Z 2

. 3u Z J

Ou

Se le correnti (15.1 .2.3) hanno so1nma nulla, la corrente /0 del neutro risulta nulla:

In tal caso, ancora in base alla proprietà di sostituzione, il collegamento del neutro può essere aperto, ovvero il neutro può essere omesso del tutto, senza che tensioni e correnti cambino. Le reti così ottenute, con e senza neutro (Fig. 15.1.2.4), sono esempi di reti trifasi. I terminali e i conduttori indicati con i nun1eri 1, 2 e 3 sono detti di fase, mentre i terminali indicati con O sono detti di neutro, come il conduttore che li interconnette.

lg .lu

2g 2u generatore utente

I

3g 3u

Og Ou

sistema trifase a quattro fili o sistema trifase con neutro

I

lg lu - -

2g 2u generatore utente

3g 3u

sistema trifase a tre fì li o sistema trifase senza neutro

Figura 15.1.2.4

RETI TRIFASI 221

Pertanto in generale le reti trifasi possono presentare le seguenti tipologie:

- reti trifasi a quattro fili, o con neutro, costituite da quadrupoli interconnessi per n1ezzo di collegamenti a quattro fili;

- reti trifasi a tre fili, o senza neutro, costituite da tripoli interconnessi per n1ezzo di collegamenti a tre fili.

15.1.3 Terne di tensioni trifasi

Con1e detto in§ 15.1.1, un sistema trifase può essere diretto o inverso. Poiché per passare da un sistema diretto ad uno inverso e viceversa è sufficiente scambiare due fasi, nel seguito si tratteranno solo i siste1ni diretti.

15. 1.3.1 Terne di tensioni di fase o stellate

I

o

terna diretta di tensioni stellate

Figura 15.1.3.1

In un siste1na trifase a quattro fili (Fig.15.1 .2.4a), le tensioni tra ciascun terminale di fase 1, 2 e 3 ed il terminale di neutro O (centro stella) , rappresentate dai faso-

ri E1

, E2

, E3

, costituiscono la terna delle tensioni di fase. Per esse è consuetudine

usare il simbolo e(t), e quindi anche Eu, E, E per an1piezza, valor efficace e fasore, anche se, non trattandosi in generale di f.e.m. unpresse, tali notazioni possono risultare talora equivoche.

Nel diagramma fasoriale (Fig. 15.1.3 .1), è opportuno disporre a stella i tre fasori

E1 , E2 , E3 , applicandoli nello stesso punto O, che rappresenta il potenziale del centro stella O, mentre i vertici dei tre fasori rappresentano i potenziali dei terminali di fase l, 2, 3; per tale ragione le tensioni di fase vengono anche chiamate tensioni stellate.

15.1.3.2 Terne di tensioni di linea o concatenate

In un sistema trifase a quattro o a tre fili (Fig. 15.1 .2.4), le tensioni tra le coppie

di terminali di fase 1, 2, 3, rappresentate dai fasori \t; 2 , V23 , "11:11 , costituiscono la terna delle tensioni concatenate.

222 Capitolo 15

Nel diagramma fasoriale (Fig. 15.1.3.2), fissati i punti rappresentativi dei poten-- - -

ziali dei ter1ninali di fase 1, 2, 3, le tensioni concatenate, '7t2, V23 , ½H costituiscono un triangolo; le tensioni co11catenate vengono anche chiamate tensioni di linea, per il fatto che esse sono misurabili tra i conduttori di linea.

I

3 V23

tema di retta d i tensioni concatenate

Figura 15.1.3.2

15. 1.3.3 Relazioni tra tensioni stellate e concatenate

In base alla LKT, le tensioni concatenate possono essere ricavate come differenze tra le tensioni di fase:

(15.1.3.1)

Dunque le tensioni di linea sono sempre deducibili da quelle di fase. Viceversa è possibile ricavare le tensioni di fase da quelle di linea soltanto se entrambe le terne sono simmetriche, come evidenziano i diagrammi fasoriali di Figura 15.1.3 .3: in particolare il centro stella dei fasori di fase coincide necessariamente con il baricentro del triangolo equilatero formato dalla terna delle concatenate.

3

]

V 23

terne simmetriche dirette Figura 15.1.3.3

2

RETI TRIFASI 223

I diagrainmi evidenziano che le tensioni concatenate V,2 , V23 , '11:n sono in anticipo di rc/6 rispetto alle tensioni stellate E

1, E

2, E

3 • Si deduce inoltre che tra i valori

efficaci delle tensioni concatenate e delle tensioni stellate vale la relazione:

(15.1.3 .2)

• 15.2 GENERATORI E CARICHI TRIFASI

15.2.1 Generatori trifasi

In un generatore trifase (sia esso una macchina elettrica rotante, oppure ungeneratore equivalente) si presentano tre percorsi si11ùli che ne costituiscono le tre fasi interne. Assumeremo che queste siano schematizzabili come tre bipoli generatori ideali1 di tensioni sinusoidali che costituiscono una terna sùnmetrica con va-

lore efficace Es, i fasori delle quali sono Es,, Esz• Es3 • I possibili collegamenti delle fasi interne sono illustrati in Figura 15.2.1.1.

-&i +

~ , --

Ea! - + \..v'

--Ea, - + v' \ - , -

a)slella con neutro

2

3

o

E i1 + ~

-E": +

v'

Es' + v'

b) stella sen7a neutro

Figura 15.2.1.1

2 SI +

3

e) triangolo

15.2. 1. 1 Generatori trifasi con collegamento a stella con neutro

I

Es1 2

3

Se i tre generatori vengono collegati a stella e il centro stella è accessibile dall'esterno (simboli .A, o Yn), si ottiene un generatore trifase quadripolare (Fig. 15.2.1.la) che presenta tra i tenninali di fase e il neutro una terna shnmetrica di tensioni stellate con valore effcace E= Es; tra le coppie di terminali di fase è dispo-

nibile una terna silnmetrica di tensioni concatenate con valore efficace V= .J3 Es.

15.2. 1.2 Generatori trifasi con collegamento a stella senza neutro

Se i tre generatori vengono collegati a stella, ma il centro stella non è accessibile dall'esterno (sùnboli J.. o Y), si ottiene un generatore trifase tripolare (Fig. 15.2.1. lb) che presenta tra le coppie di terminali di fase una terna simmetrica di tensioni con-

catenate con valore efficace V= .J3 Es la terna di tensioni stellate non è disponibile. 1 Per se1nplicità si assumono trascurabili le ilnpedenze interne dei tre generatori.

224 Capitolo 15

15.2. 1.3 Generatori trifasi con collegamento a triangolo

Se infine i tre generatori vengono collegati a triangolo (simboli /1 o D), si ottiene un generatore trifase tripolare (Fig. 15.1.lc) che presenta tra i terminali di fase una terna simn1etrica di tensioni concatenate con valore efficace V= Es·

Pertanto, a parità di f.e.m . dei generatori, è possibile ottenere terne di tensione

concatenate con valori efficaci che differiscono per il fattore ..f3 , semplicemente cambiando i collegamenti tra le tre fasi interne.

15.2.2 Carichi o utenze trifasi

Un tripolo o quadripolo generico può presentare relazioni tensione-corrente alquanto con1plesse. La trattazione risulta considerevolmente semplificata se è possibile riconoscere tre percorsi interni (fasi interne), ciascw10 trattabile come

z I • •

• •

i. 2 • • • •

. z

3 • • • •

o

a) stella con neutro

I

2

3

z '

• z

z

. b) stella senza neutro

Figura 15.2.2.1

I _/

l<, . --2 • / - z -

_') ~-l

I 3 -"'

e) triangolo

bipolo, caratterizzati dalle impedenze .Z1 , .Z2 , Z:1 • Nel seguito ci si limita al caso ancora più semplice di carico equilibrato, ossia costituito da tre impedenze uguali:

• • • • Z1 =Z2 =Z3 =Z (15.2.2.1)

A seconda del collegamento delle tre impedenze si possono ottenere i tre seguenti casi:

- collegamento a stella con neutro: con collegamento a stella e centro stella accessibile si ottiene un carico trifase quadripolare (Fig. 15.2.2.la);

- collegamento a stella senza neutro: con collegamento a stella e centro stella inaccessibile si ottiene un carico trifase tripolare (Fig. 15.2.2.lb);

- collegamento a triangolo: con collegamento a triangolo si ottiene un carico trifase tripolare (Fig. 15.2.2.lc).

R ETI TRIFASI 225

a 15.3 TERNE DI CORRENTI

15.3.0 .1 Terne di correnti di linea

lg I, lu lg / 1 lu ....

2g 12 2u 2g / 2 2u generatore .... - utente generatore .... utente

-3g / ) 3u 3g / 3 3u .... .... Og lo Ou

I I

a) sistema tri fase a quattro fi li b) sistema tri fase a tre fi li

Figura 15.3.1 .1

Nei collegan1enti tra generatori e carichi si individua la terna delle correnti di

linea rappresentate dai fasori /1 , / 2 , / 3 , per le quali si assumono riferimenti concordi (Fig. 15.3.1.1). Se tale terna è simmetrica essa verifica la relazione:

{15.3.1.1)

Come indica la (15.1.2.4), nei sistemi a quattro fili (con neutro), ciò comporta

che la corrente del neutro, /0 , sia nulla11•

15.3.0.2 Terne di correnti delle fasi interne

Con1e si è visto, le fasi interne sia dei generatori che delle utenze possono essere collegate a stella o a triangolo (Fig. 15.3.1.2).

Nei collega1nenti a stella (con o senza neutro) le correnti delle fasi interne (Fig. 15.2.1.la-b e 15.2.2.la-b) coincidono con quelle ai terminali di fase, cioè con le correnti di linea (Fig. 15.3.1.2a-b).

Nei collegainenti a triangolo le correnti delle fasi interne differiscono dalle correnti di linea. In questo caso per indicare dette correnti è consuetudine usare il

siinbolo j(t), e quindi anche fM, J e J per ampiezza, valore efficace e fasore pur non trattandosi di correnti impresse (Fig. 15.3.1.2c}. Tali correnti, rappresentate

dai fasori ] 1 2 , fz:v l,11 , costituiscono la terna delle correnti delle fasi interne. Se è simmetrica essa verifica la relazione:

/ 1 2 + /23 + f:u =O (15.3.1.2)

n La (15.3.1.1) può non essere verificata nei sistemi dissimmetrici a quattro fili; essa invece è sempre vera nei sistemi dissilnmetrici a tre fili, in virtù della LKC.

226 Capitolo 15

- -/ , /1 ,, ... . ... . ... - • - • -11 l i

2 ... I I - • 2 ... I

• 2 ...

J 11 -

/3 I , h J?J

3 ... I I 3 ... , I 3 ... - I I - I I

o

a) stella con neutro b) stella senza neutro e) triangolo

Figura 15.3.1 .2

15.3.0.3 Relazioni tra terne di corrente

Per la LKC applicata a ciascun nodo di Figura 15.3.1.Zc, tra le terne delle correnti di linea e quelle di fase interna valgono le seguenti relazioni:

·- - -l1 / 12 - f :{1 - - -l2 /23 - /12 (15.3.1.3) - - -I:{ /31 - /23

teme simn1etriche dirette

Figura 15.3.1 .3

Se entra1nbe le terne sono simmetriche, non solo le correnti di linea sono deducibili da quelle di fase interna per mezzo delle (15.3.1.3), ma è vero anche l'inverso, potendosi ricavare le correnti delle fasi interne da quelle di linea, come evidenziano i diagr8.llln1i fasoriali di Figura 15.3.1.3. Essi mostrano che le correnti di linea

I1 , I2 , [ 3 sono in ritardo di n/6 rispetto alle correnti di fase interna ]12 , ] 23 , ] 31 •

RETI TRIFASI 227

Si deduce inoltre che tra i valori efficaci delle correnti di linea e quelli delle correnti delle fasi interne vale la relazione:

I=.J3 J (15.3.1.4}

15.4 ANALISI DELLE RETI TRIFASI SIMMETRICHE ED EQUILIBRATE

Reti trifasi possono essere ottenute connettendo tra loro uno dei generatori trifasi di Figura 15.2.1.1 con una delle utenze trifasi di Figura 15.2.2.1. Nel seguito si assumono generatori simmetrici e carichi equilibrati, che danno luogo a reti simmetriche ed equilibrate.

15.4.0.1 Reti a quattro fili: collegamenti a stella con neutro di generatore e carico (Yn- Yn)

11 -+ E.,. , lg lu z

J' ~ I I - ' ' , - -- 12 + E s2 2g 2u z

~ J' I I - I ' ' , - -- [ 3

. - + E o3 3g 3u z

~ ~ ' J' ' ' ,- - - I I

--

Og Io Ou .... I

Figura 15.4.1.1

I sistemi trifasi a quattro fili (Fig. 15.4.1.1} si ottengono con generatore e carico entrambi collegati a stella con neutro. Le fasi interne del carico sono sottoposte alla terna di tensioni di fase con valore efficace E= Es e sono percorse dalle correnti di linea, che valgono:

(15.4.1.1}

Dalle (15.4.1.1} risulta che, essendo simmetrica la terna di tensioni stellate applicata dal generatore, anche la terna di correnti di linea è simmetrica con valore efficace:

E E" I- - o - - - -z z

(15.4.1 .2}

228

teme dirette

Figura 15.4 .1.2

Capitolo 15

ogni corrente I; presenta il medesimo sfasamento cp rispetto dalla corrispondente

tensione di fase E; , pari all'argo1nento dell'impedenza Z (Fig. 15.4.1.2). Dato che la terna delle correnti è simmetrica, la corrente del neutro è nulla, in accordo con la (15.3.1.1).

Esempio Se la f.e.m. dei generatori ha valore efficace Es= 220 V, tale è pure il valore effi

cace delle tensioni stellate: E= 220 V. Se le in1pedenze hanno modulo Z = 100 n le correnti di linea hanno valore efficace I= 2,2 A.

15.4.0.2 Reti a tre fili : collegamenti a stella di generatore e carico (Y-Y)

Una rete trifase di questo tipo (Fig. 15.4.1.3) può pensarsi ottenuta dalla precedente rete a quattro fili eliminando il neutro: infatti in questa il collegamento del neutro, avendo corrente nulla, può essere elinlinato. Le condizioni di funzionan1ento rimangono inalterate e le singole in1pedenze di fase del carico sono sottoposte alla stessa terna di tensioni di fase dei generatori.

- -- 11 . + Et i lg l u z

7 ../' • I I - - I I

- -

o - 12 z - + E g2 2g 2u -

..J' \ . I I -, ' O'

- -- /3 . - + E s) 3g 3u z ... ..J' \ I I -, ' ' -

Figura 15.4 .1.3

R ETI TRIFASI 229

Osservazione Se nei siste1ni con collegamenti stella-stella il generatore ha tensioni dissimme

triche oppure, come accade più frequente1nente, il carico è squilibrato, come ad esempio nelle reti di distribuzione in bassa tensione, in assenza del neutro appare una differenza di potenziale tra i centri stella O' del carico e O del generatore e quindi le impedenze del carico risultano sottoposte a tensioni stellate diverse da quelle del generatore. Quindi, perché le impedenze di un carico squilibrato abbiano tensioni uguali a quelle del generatore, è indispensabile la presenza del neutro.

15.4.0.3 Reti a tre fili: collegamenti a triangolo di generatore e carico (D-D)

lg I , tu • ... z ] 12

~ E r-1 2g Ti 2u ~

hti D E83 ... z

+ fJ [3 E -i:2 3g 3u ] 23 ... •

z

Figura 15.4.1 .4

Nelle reti trifasi di questo tipo (Fig. 15.4.1.4), viene applicata al carico la terna delle tensioni concatenate con valore efficace V= Es, pari alle f.e.m. del generatore, e quindi le correnti delle fasi interne sono:

(15.4.1.3)

Queste indicano che, applicando il generatore trifase una terna si1mnetrica di tensioni concatenate, anche la terna di correnti di fase interna è silnmetrica. Inoltre, per le (15.3.1.3), anche la terna delle correnti di liI1ea è simmetrica. Tra i valori efficaci delle terne simmetriche di tensione e corrente valgono le relazioni:

Esempio

V E I=h J=h-=-J3-s z z (15.4.1.4)

Se la f.e.m. dei generatori ha valore efficace Es= 220 V, tale è il valore efficace delle tensioni concatenate: V= 220 V. Se le ilnpedenze hanno modulo Z = 100 n le correnti di fase interna hanno valore efficace J = 2,2 A e le correnti di linea hanno valore efficace I= 3,8 A.

230 Capitolo 15

15.4.0.4 Reti a tre fili: collegamento a triangolo del generatore e a stella del carico (D-Y)

lg l u z ' '

~,-I I -

E .. 1 -

1~ ) 2g 12 2u . o z - ... b JEg.,- ' ' I I I - + -+ I -f) -

!3 E r,1 3g Ju z /- ... ' ' - I I

Figura 15.4.1.5

Nelle reti trifasi di questo tipo (Fig. 15.4.1.5), le tensioni concatenate sono uguali alle f.e.m. del generatore trifase con valore efficace V= Es. Il carico si trova in condizioni di lavoro analoghe a quelle del caso 15.4.0.2: risultano simmetriche sia la terna di tensioni stellate applicata al carico che la terna delle correnti di linea. I loro valori efficaci valgono:

Esempio

_V _ Es E ----

../3 .J3' E V E

! = - = ~- = g

z hz J?.z (15.4.1.5)

Se la f.e.m. dei generatori ha valore efficace Es = 220 V, tale è pure il valore efficace delle tensioni concatenate: V= 220 V. Quindi alle impedenze del carico sono applicate tensioni stellate con valore efficace E= 127 V. Se le impedenze hanno modulo Z = 100 Q le correnti di linea hanno valore efficace I= 1,27 A.

15.4.0.5 Reti a tre fili: collegamento a stella del generatore e a triangolo del carico (Y-D )

l g I i l u •

+ E g 1 z • .J'

+ E g1 2g 12 2u • ... z .J' J311

!3 + Es;, 3g Ju ] ry3 ... z

Figura 15.4.1 .6

RETI TRIFASI 231

Nelle reti trifasi di questo tipo (Fig. 15.4.1.6), la terna sim1netrica delle tensioni stellate prodotta dal generatore dà luogo ad una terna di tensioni concatenate pure sim111etrica con valor efficace V= .fi E= .fi Eg, che risulta applicata al carico come nel caso 15.4.0.3: risultano sinunetriche sia la terna delle correnti di fase interna del carico che quella delle correnti di linea. I loro valori efficaci valgono:

V .fiE .fiEs J=-z =-z-=-z """'·

Esempio

~ Es l =v~ f =3-

Z (15 .4.1.6)

Se la f.e.m. dei generatori ha valore efficace Es = 220 V, il valore efficace delle tensioni concatenate vale: V= 380 V. Se le impedenze hanno modulo Z = 100 n le correnti di fase interna del carico hanno valore efficace J = 3,8 A e le correnti di linea hanno valore efficace I= 6,6 A.

15.4.1 Rete ridotta monofase

1, zb I ....

+ zc ~ E ò. 12 12 . z

fu.31 6 ..... b zc + ~ -

M23 /3 zb 3 ....

. z a

Figura 15.4.1.1

I.;analisi di una rete trifase simmetrica ed equilibrata si semplifica notevolmente facendo ricorso alla rete ridotta monofase. Allo scopo è sufficiente applicare la trasformazione triangolo-stella di impedenze, sostituendo alle utenze connesse a trian-

golo altrettante utenze di valore Zv = Z,i, I 3 connesse a stella ( come esemplificano le Fig. 15.4.1.1 e 15 .4.1.2). Inoltre ogni generatore con collegamento a triangolo va sostituito con un generatore con collegamento a stella; se il generatore con colle-

gainento a triangolo presenta tensioni concatenate E,i,12,E,i,23 ,E,i,3t (Fig. 15.4.1.1), il generatore equivalente con collegamento a stella deve avere le seguenti tensioni stellate (Fig. 15.4.1.2):

232

Ev I - + I J'

\. - -- 12 Ev2 + 2 J' D

\. --E v3 , + 3 [ 3

J' -\.

....

....

....

-- - . z a z a -- ~-

O'

Figura 15.4.1.2

- ]!!.

. z b

I

zb I

ib I

-za

--

- - e 6

Eyz = E l!,z3 ../3 '

Capitolo 15

z f3 e I I I

' ' '

i c/3 I I I O" ' ' '

Zc/3 I I I

' ' '

(15.4.1.1)

Nella rete trifase così ottenuta, tutti i centri stella dei generatori e dei carichi risultano equipotenziali e nulla cambia nelle tensioni e nelle correnti della rete se essi vengono connessi tra loro mediante un conduttore neutro ideale, di ilnpedenza nulla (Fig. 15.4.1.2); è allora possibile dedurre il co1nportamento della rete analizzando quello di una sola fase (Fig. 15.4.1.3) che, con il neutro, costituisce una rete ridotta monofase, il cui co1nportamento è indipendente da quello delle altre due fasi. Una volta risolta la rete per la fase 1, tensioni e correnti nelle fasi 2 e 3 avranno lo stesso valore efficace e saranno sfasate rispettivamente di 2n/3 e 4n/3 rispetto a quelle calcolate per la fase 1.

E o

YI - + J'' ... I I I I - , - ' ' \.

,. O"

- -- z a --

O' Figura 15.4.1.3

15.5 POTENZA NEI SISTEMI TRIFASI

15.5.1 Sistemi a quattro fili Per la valutazione della potenza scambiata nei sisteini trifasi a quattro fili ( anche

dissimmetrici e squilibrati) il quadrupolo (generatore o carico, Fig. 15.5.1.1) può essere considerato quale un triplo bipolo, le cui porte sono costituite dalle cop-

RETI TRIFASI 233

pie di terminali 1-0, 2-0 e 3-0: infatti, valendo la relazione i0(t} =i1(t} + i2(t} + i:1(t}, il neutro può essere considerato il terminale co1nune alle tre porte, che hanno tensioni uguali alle stellate e1(t}, e2(t}, ea(t}.

15.5.1 . 1 Potenza istantanea trifase

lg Ì I (t) lu ... 2g i2 (t) 2u

generatore utente

3g Ì 3 (l) 3u ... Og io (t) Ou

I ... I

Figura 15.5.1 .1

La potenza istantanea trifase uscente dal triplo bi polo di sinistra ed entrante nel triplo bipolo di destra di Figura 15.5.1.1 è dunque:

(15.5.1.1}

Se il sistema è simmetJico ed equilibrato, la terna delle tensioni stellate e la terna delle correnti di linea, tutte sfasate in ritardo dello stesso angolo cp rispetto alle corrispondenti tensioni stellate, sono esprimibili come:

e1 (t}=.JzE sen( c:ot)

e2(t)=.JzEsen(c:ot -

2

3n)

e:1(t)=.JzEsen(c:ot - :n)

i1

( t) = .,/zJ sen ( c:ot - q,)

i2 (t) = .,/zJ sen( c:ot-q>-2

3n)

i. (t) = .,/zJ sen (c:ot - q> -41t)

,l 3 (15.5.1.2)

La potenza istantanea, ottenuta sostituendo tali espressioni nella (15.5.1.1} e tenendo conto della (14.2.2.2), diviene:

p(t}=2EJ[ sen( c:ot)sen( c:ot-q>) + sen( c:ot-2

3n ) sen( c:ot-q>-

2;) +

+sen( c:ot- :n }sen (c:ot -q>-4; ) ] = (15.5.1.3}

= El [ 3cosq, - cos ( 2c:ot - q> )- cos( 2c:ot - cp - :n )- cos( 2c:ot - cp- B3n)]

234 Capitolo 15

Le tre sinusoidi a pulsazione 2ro a ultimo membro costituiscono una terna simmetrica diretta ed hanno quindi so1nma nulla in ogni istante, sicché la potenza istantanea si riduce al solo addendo costante:

p(t) = 3E l cos<p (15.5 .1.4)

Dunque la potenza istantanea in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è costante nel tempo, a differenza di quanto si verifica in un sistema 1nonofase.

15.5. 1.2 Potenze attiva, reattiva, apparente e complessa trifasi

La potenza attiva trifase ( o potenza reale trifase o, semplicemente, potenza trifase) è definita, analogamente al caso monofase, come valore medio in un periodo della potenza trifase istantanea. La misura si esegue sommando le letture di tre wattmetri aventi i morsetti amperometrici collegati alle tre fasi e i voltmetrici tra le rispettive fasi ed il neutro.

Nel caso di sistema simmetrico ed equilibrato, essa risulta uguale alla potenza istantanea:

P=p(t)=3E Icos<p=-,/3 V Icos<p (15.5.1.5)

ove (15.5.1.6)

la potenza apparente trifase è:

S=3 E l=-,/3 V I=)P2 + Q2

la potenza complessa trifase è:

(15.5.1.7)

. --* --. -- ,. S= 3E1 11 =3E2 12 = 3E:1 13 = P + j Q (15.5.1.8)

15.5.2 Sistemi a tre fili

l g i 1(t) l u ....

2g i2 (t) 2u

generatore l.-,..._-===~--

Figura 15.5.2.1

utente

Tutte le conclusioni del §15.5.1 valgono anche nei sistemi a tre fili siinmetrici ed equilibrati (Fig. 15.5.2.1), perché il neutro, anche se presente, ha corrente nulla e quindi sistemi a tre o quattro fili equilibrati e sillllnetrici si equivalgono anche relativamente alle potenze scan1biate.

Nei sistemi a tre fili (anche dissimmetrici e squilibrati) i tripoli generatori o utilizzatori possono essere considerati doppi bipoli (Fig. 15.5.2.1) aventi

RETI TRIFASI 235

per porte le coppie di terminali 1-2 e 3-2; infatti il terminale 2, avendo corrente i2(t) = -[i1(t) + i:it)), può essere considerato comune alle due porte che hanno tensioni v1 z(t) e v:i2(t). La potenza istantanea trifase uscente dal doppio bipala di sinistra ed entrante nel doppio bipala di destra è dunque:

(15.5.2.1)

Perciò per la misura di potenza attiva sono necessari solo due wattmetri, con i morsetti amperometrici collegati alle fasi 1 e 3 e quelli voltmetrici rispettivamente alle fasi 1-2 e 3-2 ("inserzione Aron"). La potenza attiva trasmessa è la somma algebrica delle due letture.

a 15.6 RIFASAMENTO DEL CARICO

Consideriamo un sistema trifase silnmetrico ed equilibrato. Il valore efficace della corrente di linea entrante nell'utenza (Fig. 15.6.1), in base a (15.5.1.7), può essere espresso come:

11 ... E p ---------- I

12 2 ... Q

] 3 utente 3 ...

Figura 15.6.1

(15.6.1)

A parità di valore efficace di tensione concatenata V e di potenza attiva assorbita P, esso è tanto maggiore quanto maggiore è la potenza reattiva Q = Ptancp, ossia quanto maggiore è lo sfasamento cp tra tensione stellata e corrente. Nei sistemi di distribuzione dell'energia elettrica è opportuno minimizzare tale corrente, dato che da essa dipendono:

- le perdite per effetto Joule nei componenti elettrici del sistema; - le "cadute di tensione" nei vari componenti elettrici; - le potenze apparenti, e quindi il dilnensionamento, delle macchine elettriche

impiegate.

236 Capitolo 15

a) - - b) I ' 1 li ... _ ... p E

I '1. '2 .:------2 ... ... Q cty' r· T ,, ,, -,,

~ I '3 /3 ,,

UlCRlC 3

_ .,,. I 1,, ,.1r2 + ],3

,, Jr T

Figura 15.6.2

' E possibile minilnizzare la corrente di linea, senza alterare l'assorbiinento del-la potenza attiva, riducendo la potenza reattiva globalmente assorbita mediante un carico puramente reattivo, connesso in parallelo in prossilnità dell'utente, che assorbe potenza reattiva Q, di segno opposto a quella Q dell'utente: così la totale potenza reattiva assorbita dalla linea diviene Q' = Q + Q, < Q (Fig. 15.6.Za).

La nuova corrente di linea I'= I +I,, somma di quella dell'utente I e di quella

del carico reattivo I, (Fig. 15.6.Zb, che si riferisce ad un carico ohmico-induttivo), risulta ridotta in modulo e sfasata rispetto alla tensione stellata di un angolo cp' minore del precedente valore <p. Per questo motivo l'accorgimento descritto viene comunemente chiamato rifasamento del carico o semplicemente rifasamento.

In funzione della potenza attiva e degli sfasamenti, le potenze reattive Q e Q' assorbite dalla liI1ea senza e con rifasamento possono essere espresse delle relazioni:

Q= Ptancp, Q ' =Ptancp'

e quindi la potenza reattiva Q, = Q' -Q risulta:

Q,=P(tan cp'-tan cp)

(15.6.2)

(15.6.3)

La diminuzione dello sfasamento comporta un aumento del fattore di potenza al valore coscp'.

Nella quasi totalità dei casi le utenze sono di tipo resistivo-induttivo (Q > O) e pertanto il rifasamento richiede una potenza reattiva di t ipo capacitivo Q, < O; a tal fine si utilizzano tre condensatori, che possono essere connessi tanto a stella (di capacità Cv e reattanza Xy=-1/coCy, Fig. 15.6.3a) che a triangolo (di capacità C,, e reattanza X,,=-l/coC,1, Fig. 15.6.3b). Dovendo comunque le terne di condensatori assorbire la potenza reattiva Q, definita dala (15.6.3), valgono le relazioni:

E2 2

Q =3- = - 3roCv E ' X ' y

v 2 2

Q =3- = - 3c.oC V r X "

" (15.6.4)

Uguagliando le due espressioni si trova Cy = 3C,1, in accordo anche con le formule della trasformazione stella-triangolo. La connessione a triangolo consente

RETI TRIFASI 237

dunque di impiegare condensatori di capacità Ct. tre volte minore rispetto a quelli di capacità Cy connessi a stella. Pertai1to nei sistemi di distribuzione viene generaln1ente preferita la connessione a triangolo.

Sviluppando per i sistemi n1onofase una trattazione analoga a quella sopra illustrata per i sistemi trifasi, si perverrebbe ad una espressione identica alla (15.6.3); va tuttavia segnalato che di norma si rifasano i carichi di potenza sufficientemente elevata da richiedere l'alimentazione trifase.

a) b)

p p

2 Q 2 Q

utente utente 3 3

c6 c6

Figura 15.6.3

Capitolo

RETI IN REGIME VARIABILE

' a 16.1 GENERALITA

Quando le tensioni e le correnti di una rete elettrica non sono tutte costanti nel tempo o sinusoidali, allora si dice che la rete si trova in regime variabile. Situazioni di questo tipo possono trarre origine da varie cause, fondan1entalmente riconducibili a due categorie:

- presenza nella rete di almeno un interruttore che apre o chiude un circuito in un particolare istante (istante critico);

- presenza nella rete di al1neno un generatore che imprime una tensione e(t) oppure una corrente j(t) variabile con andamento qualsiasi.

Nelle reti di potenza si 111anifestano tipicamente eventi del primo tipo, allorché ne viene modificata la configurazione (si parla di manovre di rete); nelle reti di segnale e nei circuiti di misura e di controllo sono frequenti anche eventi del secondo tipo.

a 16.2 ISTANTE CRITICO E CONDIZIONI INIZIALI

In generale, per risolvere il problema di determinare il comportamento di una rete in regilne variabile si assume che la rete si trovi in condizioni note fino ad un certo istante ( detto istante critico) nel quale la rete can1bia configurazione a seguito della chiusura e/o apertura di uno o più interruttori e/o dell'accensione o spegnimento di uno o più generatori di tensione o corrente.

Per semplicità si pone l'origme dei tempi t = O in tale istante. Pertanto nel seguito si assumono note tutte le tensioni v(t) e le correnti i(t) del circuito per t < O, fino al valore lilnite per t ~ o-.

In generale, nell'intorno dell'istante critico, a seguito del cambiamento di configurazione del circuito, le grandezze (tensioni e/o correnti) del circuito potrebbero subire discontinuità.

Tuttavia notiamo che le grandezze di stato nei bipoli con memoria, ovvero le tensioni sui condensatori e le correnti sugli induttori, non possono subire discontinuità.

240 Capitolo 16

La tensione su un condensatore vc(t) infatti, essendo variabile di stato direttamente legata all'energia elettrostatica immagazzinata 0.5Cvc2(t), non può presentare discontinuità, perché questa corrisponderebbe ad una variazione finita di carica (e di energia immagazzinata nel condensatore) in un tempo infinitesimo, e quindi ad una corrente istantanea ic(t) = C dvc(t)/dt tendente all'infinito.

Analogamente, la corrente su un induttore iL(t), essendo variabile di stato direttamente legata all'energia magnetica immagazzinata 0.5LlL2(t), non può presentare discontinuità, perché questa corrisponderebbe ad una variazione finita di flusso (e di energia immagazzinata nell'induttore) in un tempo infinitesimo, e quindi ad una tensione istantanea vL(t) = L diL(t)/dt tendente all'infinito.

Per poter descrivere in modo univoco il comporta1nento del circuito intorno all' istante critico, dobbiamo quindi scrivere rispettivamente, per ogni condensatore e per ogni induttore della rete:

Vc(o- ) = Vc(04) = Vc(O)

iL(o- ) = iL(04) = iL(O)

(16.2.1)

Tutte le altre tensioni e correnti nel circuito possono avere discontinuità nell'istante critico t = O.

• 16.3 EQUAZIONE DIFFERENZIALE INGRESSO - USCITA

Per detern1inare l'evoluzione delle grandezze di rete dopo l'istante critico (cioè per t > O) vanno considerate le equazioni delle LKT e LKC e le equazioni dei diversi tipi di bipolo che formano i lati della rete, espresse nelle loro forme più generali; da tali equazioni si deduce il seguente sistema di Z f equazioni algebrico-differenziali:

Li(t)=O

LV(t)=O

v(t)-Ri(t)=O

per n -1 insiemi di taglio indipendenti

per m maglie indipendenti

per ogni resistore

i(t)-C d~it) =O per ogni condensatore

v(t)- L ~~t) =O per ogni induttore

v(t) =e(t)

i(t) = j(t)

per ogni generatore ideale di tensione

per ogni generatore ideale di corrente

(16.3.1)

nel quale le incognite sono le Z f tensioni v(t) e correnti i(t) dei lati, mentre i termini noti sono le tensioni e(t) e le correnti j(t) impresse dai generatori. I coefficienti delle incognite sono costituiti dai parametri costanti +1, O, -R, -Ce -1. Si tratta quindi di un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Usualmente, la generica grandezza incognita viene chiamata uscita o risposta della rete ed indicata con y(t), mentre la generica grandezza impressa è detta ingresso della rete ed indicata con x(t). Per semplificare la trattazione si assume nel

RETI IN REGIME VA RIABILE 241

seguito che nella rete sia presente un solo ingresso x(t) (ossia un solo generatore ideale di tensione ovvero di corrente). L'estensione al caso di più ingressi è però immediata(§ 16.5.0.4). Dalle equazioni di rete del sistema (16.3.1) si può dedurre che l'uscita y{t) è soluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea di ordine p:

dp y(t) d~'·1ly(t) dy(t) aP , + ap.1 (ptl +···+a1 ~~+a0 y(t)=

dt1 dt . dt

dq x(t) dc'1•1lx(t) dx(t)

= bq dt'l + bcq-1) dt(q-1) + .... b1 dt + bo x(t)

(16.3.2)

Riscrivendo in forma compatta, si ottiene quindi l'equazione:

P d;y(t) q d;x(t) Ia. . = Ib. . i=O I dt' i=O 1 dt'

(16.3.3)

che costituisce il legame ingresso-uscita del circuito in cui:

la funzione a pruno membro è una combinazione lineare dell'uscita y{t) e delle sue derivate, fino all'ordine p; i coefficienti costanti a; (i= O, .. , p) dipendono dai coefficienti+ 1, O, R, Ce L del sistema (16.3.1), ossia dai parametri passivi e dalla topologia della rete;

- la funzione a secondo me111bro, che costituisce il termine noto, è con1binazione lineare dell'unico ingresso e delle sue derivate; i coefficienti costanti b; (i= O, ... , q) dipendono anch'essi dai coefficienti +1, O, R, Ce L del siste1na (16.3.1).

I.;equazione (16.3.3) è una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti di ordine p. I.;ordine p ed i coefficienti a; e b; variano a seconda dell'uscita considerata; tuttavia l'ordine p non supera mai il numero complessivo di condensatori ed induttori presenti nella rete e q non supera mai p. La soluzione completa y(t) di questa equazione può essere determinata come son1ma di due funzioni:

(16.3.4)

dove:

Yp(t) è una soluzione particolare dell'equazione differenziale (16.3 .3); y

0(t) è la soluzione dell'equazione omogenea associata ovvero della equazione

con ingresso nullo:

J> diy(t) I a; ; -O i=O dt

(16.3.5)

I.:equazione omogenea può essere evidentemente interpretata come equazione che descrive l'uscita y{t) dello stesso circuito, quando l' ingresso x(t) = O, ovvero è "spento".

Valgono le seguenti precisazioni. La soluzione particolare y

1,(t) dipende dai generatori, ossia dagli ingressi, e ov

viamente dai parametri dei bipoli passivi (R, Le C) del circuito. Essa è una qualsiasi funzione che verifica l'equazione (16.3.3):

se non sono presenti generatori, si ha x(t) = O, il secondo men1bro è nullo e la soluzione particolare è la funzione nulla;

242 Capitolo 16

- salvo casi specifici, la soluzione particolare normalmente non soddisfa le condizioni iniziali. La soluzione dell'equazione omogenea y

0(t) dipende solo dai bi poli passivi (R,

L e C) e non dai generatori del circuito ed è costituita in generale da p addendi. Come vedremo, questi addendi possono essere funzioni esponenziali decrescenti, funzioni sinusoidali o funzioni sinusoidali s1norzate, ciascuna moltiplicata per una costante di integrazione da determinarsi: - la soluzione dell'equazione omogenea associata contiene p costanti di integra

zione tali per cui la soluzione completa y(t) soddisfi le condizioni iniziali sui bipoli con memoria.

- le costanti di integrazione della y0 (t) si deterlninano imponendo che la funzione y(t) = y p(t)+ y

0(t) soddisfi tutte le condizioni iniziali, che devono essere

congruenti con i valori iniziali di tensione dei condensatori e di corrente degli induttori.

Nel seguito si esemplifica questo procedimento applicandolo ad alcune semplici reti.

a 16.4 SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE OMOGENEA

16.4.0. 1 Equazione caratteristica

La soluzione dell'equazione 01nogenea può essere determinata ipotizzando che la soluzione possa essere di tipo esponenziale, ovvero:

Yo(t) = Ye•t (16.4.1)

con Y ed s coefficienti costanti da determinarsi. Sostituendo tale espressione al posto della y(t) nella 16.3.5, possiamo verificare se tale ipotesi è confermata e quali debbano essere i valori delle costanti Y ed s. In questo modo si ottiene:

(16.4.2)

Considerando che la soluzione banale Y = O non interessa e che risulta sempre est ~ O, se ne deduce che il coefficiente incognito s deve essere soluzione dell'equa-

. z1one:

a si> +a sP·1 + .. ·+n s1 + a s6 = 0 p p-1 '"1 () (16.4.3)

Questa equazione è una equazione algebrica di grado p e viene detta equazione algebrica caratteristica (del circuito considerato). Le sue soluzioni sono gli zeri del polinomio caratteristico nella variabile s che costituisce il primo membro.

Essendo i coefficienti a ; tutti reali, per il teorema fondamentale dell'algebra, la (16.4.3) ha certamente p soluzioni (o radici):

(16.4.4)

Queste radici possono essere:

RETI IN REGIME VARIABILE 243

reali, distinte o eventualn1ente coincidenti (una radice può anche essere nulla) - complesse coniugate a coppie ( s; = cr; + jro; e S;+1 = cr; -jro;).

I valori delle radici s1, s21 ••• , sP dipendono dai coefficienti del polinomio caratteristico (16.4.3), e pertanto sono funzione dei parametri R dei resistori, C dei condensatori e L degli induttori e della topologia della rete.

Ciascuna delle radici s; fornisce una espressione del tipo y0

( t)= Y; e'"1, valida

per la soluzione dell'equazione omogenea. Ne consegue che anche la combinazione lineare di tutte le p possibili soluzioni:

(t)- Y s,L+ y s,L + + y s,1 Yo - 1 e 2 e .... P e (16.4.5)

costituisce una soluzione della stessa equazione omogenea. Le costanti Y; costituiscono le costanti di integrazione: essendo in totale p, esse garantiscono un grado di libertà per ciascun bipolo con memoria.

16.4.0.2 Modi naturali del circuito

In base a quanto appena esposto, la soluzione dell'equazione omogenea y0(t) è

costituita dalla somma di p addendi, detti modi naturali o caratteristici del circuito, ciascuno associato ad una delle radici (reali o complesse) del polinomio caratteristico.

Radici reali - Modi unidirezionali. Ad ogni radice reale s; = cr; corrisponde un

modo naturale di tipo esponenziale: y0

(t)= Y;e"'1 •

Se una radice reale è nulla, s1 = cr1 = O, la corrispondente soluzione si riduce ad una costante y

0(t) = Y;,

Nel caso in cui due radici s1 ed s,+t coincidano, si vede facilmente che le cor-

rispondenti soluzioni dell'equazione omogenea sono rispettivamente y O (t )= Y1e••1

(funzione esponenziale) e y0

( t) = 'Yi+1 te••1 (funzione rampa moltiplicata per funzio

ne esponenziale). Nel caso di radici aventi molteplicità maggiore di due, si aggiunge un termine

del tipo y 0 ( t)= Ys+k tke••1 per ciascun ulteriore grado di molteplicità. Si può dimostrare che per reti costituite da bipoli passivi R, L, C, tutte le radici

reali sono negative o nulle.

Radici complesse - Modi oscillanti (pseudo-armonici). Ad ogni coppia di radici complesse coniugate s1 = cr; + jro1 e s,+1 = cr;-jro1 corrisponde la funzione:

(t) Y (cr.+j,.,,), Y (cr. - /w, }t cr,ly jw,I cr,ly; - j ,,..1 Yo = ,e • ' + i+1e I I =e I ,e '+e' i+le I (16.4.6)

Sviluppando gli esponenziali con la formula di Eulero, si ottiene:

244 Capitolo 16

y O ( t) =e "i1Yi ( cos( roit )+ jsen ( roit) )+e "i

1Yi+1 ( cos ( roit )-j sen ( roit) )=

=e "i' (Yi + Y1+1 )cos( ro1t )+e "i' j (Yi-Yi+t )sen ( roit) (16.4.7)

e infine, considerando Yi e Y~+t due numeri complessi coniugati tra loro, si ottiene l'espressione sinusoidale reale:

(16.4.8)

con Ai e Bi costanti reali. Questa espressione mostra che due radici co111plesse coniugate si= cri + jroi e

si+t = cri-jroi corrispondono ad un modo naturale costituito dal prodotto di una funzione esponenziale e di una si11usoide. Questo tipo di funzioni viene denominato "cisoidale" e ovviamente comprende funzioni esponenziali, funzioni sinusoidali e costanti.

Si può dimostrare che per reti costituite da bipoli passivi R, L, C, tutte le radici complesse hanno parte reale negativa o nulla. Ne consegue che le soluzioni dell'equazione omogenea sono sinusoidi s1norzate o, al più, nel caso in cui la parte reale delle radici sia nulla (s1 =O + jroi e s1+1 = 0-jroJ, di ampiezza costante.

16.4.0.3 Frequenze generalizzate naturali

In base al ragionamento qui sopra riportato, la soluzione dell'equazione omogenea y

0( t) è sonlllla di diversi modi naturali espressi da funzioni cisoidali ( eventual

mente moltiplicate per una potenza del tempo se corrispondono a radici 111ultiple). Le radici si (i= 1, ... , p) dell'equazione caratteristica sono denomi11ate frequenze

(generalizzate) naturali dell'uscita, in quanto descrivono fenomeni che non sono dovuti all'azione di un ingresso, ma costituiscono proprietà intrinseche della rete.

Per una specifica uscita, il numero di frequenze proprie (considerando eventuahnente i gradi di n1olteplicità) è pari al grado p della relativa equazione differenziale.

16.4.0.4 Costanti di tempo

Per descrivere l'andamento esponenziale decrescente delle uscite naturali, si utilizzano spesso i parametri:

(16.4.9)

Questi para111etri sono detti costanti di tempo e, nel caso di una radice reale, consentono di riscrivere l'espressione dell'uscita nella forma:

L

( ) Y a. I y t,

Yo t = ie I = i e ' (16.4.10)

oppure, nel caso di una coppia di radici complesse coniugate: t -


Le costanti di tempo 't; evidenziano la rapidità con la quale i modi naturali del circuito decadono nel tempo. Si può constatare facilmente (Fig. 16.4.1.1) che dopo un intervallo di ten1po uguale a 't; l'uscita Y;(-c;) vale il 36,8% del valore iniziale Y;; dopo un intervallo di tempo pari a 4 't;, il valore residuo è inferiore all' 1% del valore iniziale.

Yi

t

4 't · l

Figura 16.4.1.1

a 16.5 SOLUZIONE PARTICOLARE

Il successivo passo nella soluzione dell'equazione differenziale (16.3.3) consiste nel calcolo della soluzione particolare. Una soluzione particolare è costituita da una qualsiasi funzione che verifichi l'equazione stessa, senza tener conto delle condizioni iniziali.

16.5.0.1 Ingresso Cisoidale

Per metterci in condizioni abbastanza generali, supponiamo che l'ingresso del circuito sia costituito da una funzione cisoidale x(t) del tipo:

x(t)=Xeo1sen( cot +a) (16.5.1)

X viene deno1ninata "ainpiezza" e a "fase iniziale". I coefficienti cr e co moltiplicativi del tempo t negli argomenti dell'esponenziale e del seno definiscono la rapidità di variazione della funzione cisoidale, e cioè la velocità di crescita o smorzainento del termine esponenziale e la pulsazione del tennine sinusoidale.

I coefficienti cr e co possono essere raggruppati nel parainetro complesso:

s=cr+jco (16.5.2)

che prende il non1e di frequenza generalizzata dell'ingresso. A seconda del suo valore, si presentano i seguenti casi particolari di cisoide:

- s=O + jO (cr=ro=O, o.=n/2) x(t) =X seno. =X: funzione costante nel tempo

246 Capitolo 16

- s=O+jco(cr=O)

x(t) =X sen(cot + a): funzione sinusoidale

- s=cr + jO (co=O, a.=n/2)

x(t) =X sena. e"1=X e"1: funzione esponenziale

Supponiaino ora che anche la soluzione particolare y1,(t) = y(t) (uscita) sia di

tipo cisoidale con frequenza generalizzata uguale a quella dell'ingresso, vale a dire del tipo:

y (t )= Ye"1sen ( cot + p) (16.5.3)

In tale ipotesi, ingresso e uscita avranno la stessa s = cr + jco frequenza generalizzata dell'ingresso, dipendente dal generatore x(t).

16.5.0.2 Trasformata Cisoidale

Definiamo ora la trasformata cisoidale, con la quale, alle funzioni cisoidali x(t) - -

e y(t), vengono associate le funzioni complesse X(t) e Y(t) ( dette funzioni trasfor-mate cisoidali) sulla base della corrispondenza biunivoca:

x(t) Xeo1sen(cot+a)

y( t) =Yeo1sen( cot+ P)

X ( t) xe( c,+Jw)l eÌ" xe•L eia

Y ( t) = Ye(cr+Jw)Lef/\ = Yest e' 11 (16.5.4)

La funzione trasformata risulta quindi essere una funzione co1nplessa pari al prodotto dell'ampiezza X (oppure Y), moltiplicata per l'esponenziale est

, con una fase iniziale a (oppure p).

Da questa definizione, notiamo che la trasformata della derivata di una funzione cisoidale risulta essere se1npre pari alla trasformata della funzione data moltiplicata per la frequenza generalizzata s.

La trasformata cisoidale risulta evidentemente una estensione della trasformata fasoriale utilizzata in regilne sinusoidale (il fasore corrispondente alla derivata temporale di una sinusoide risulta pari al fasore corrispondente alla sinusoide data moltiplicato per jro).

Anche per le trasformate cisoidali, la corrispondenza per le derivate può essere iterata alla derivata i-esima:

dfilx(t)

dt1 d(i) y ( t)

dti

d(i) ' . -dt1 (x e•1e10 ) = s'xe•Leja= s'X(t)

(ì)

!ti (Ye•Le111 ) = siYe"1ef11 = s1Y(t)

(16.5.5)

Applicando tale proprietà all'equazione differenziale (16.3.3), si ottiene:


J> lJ Ia; s;Y(t)= Lb; s1 X(t) (16.5.6) i=O i=O

QuiI1di, raccogliendo i termini comuni nelle sonunatorie, si può esplicitare la trasformata dell'uscita:

± b1 s;

Y(t)= i=O X(t)= w ( s )X(t) f a 1 s

1

i =O

16.5.0.3 Funzione di trasferimento

(16.5.7)

Dalla (16.5.7) si vede che la trasformata dell'uscita Y{t) è pari alla trasfor1na

ta dell'mgresso X {t) moltiplicata per il rapporto di due polmomi nella variabile s = cr + jro {frequenza generalizzata dell'ingresso). Tale rapporto di polmomi viene denominato funzione di trasferimento tra l'ingresso e l'uscita considerati:

q . l'. b1 s'

W(s)=-'--i="-o -p . L a1 s' i= O

(16.5.8)

La funzione W(s) consente di determmare facilmente la trasfor1nata cisoidale dell'uscita a partire dalla trasformata cisoidale dell'ingresso.

Infatti, dalla {16.5.7) si vede anche che, se siamo m grado di calcolare la funzione di trasferimento W(s), la trasformata della soluzione particolare risulta essere il prodotto tra la W(s) e la trasformata dell' ingresso. Qumdi l'uscita sarà certamente una funzione cisoidale avente esattainente la stessa frequenza generalizzata dell'iI1gresso s = cr + jro.

Nel caso in cui l'mgresso sia sinusoidale (frequenza generalizzata s =O+ jro), la soluzione particolare risulta essere una funzione smusoidale avente esattamente la stessa frequenza.

I.:ainpiezza dell'uscita risulta pari all'ampiezza dell'ingresso per il modulo di W(s). La fase miziale dell'uscita risulta pari alla fase iniziale dell'mgresso som1nata all'argomento di W(s).

Il 1netodo descritto per il calcolo dell'uscita particolare è evidentemente applicabile per ogni valore della frequenza generalizzata dell'mgresso cisoidale s = cr + jro, purché si possa determmare il valore della funzione di trasferimento W(s).

Si noti che il denommatore della funzione di trasferimento (16.5.8) coincide con il pri.Ino me1nbro dell'equazione algebrica caratteristica {16.4.3). Qumdi i poli dellaft1nzione di trasferimento sono le radici del denominatore di W(s) e coincidono con le radici della equazione algebrica caratteristica.

Di conseguenza, se la frequenza generalizzata dell'ingresso considerato s = cr + jro coincide con una delle radici della equazione algebrica caratteristica s t> s2 , ••• , si>

248 Capitolo 16

indicate in (16.4.4), la funzione di trasferimento W(s) diverge e il metodo appena descritto non è applicabile per il calcolo della soluzione particolare.

Il numero dei poli della W(s), coincidendo con il numero delle radici della equazione algebrica caratteristica, risulta pari a p, che, come visto nel paragrafo precedente, è l'ordine dell'equazione differenziale ingresso-uscita che descrive il circuito ed è pari o inferiore al numero di bipoli con memoria presenti.

Quando s =o + jro coincide con uno dei poli di W(s), la soluzione particolare non sarà più cisoidale e occorrerà quindi cercare una soluzione con altro metodo.

I valori di s =o + jro che annulla110 il numeratore di W(s) sono detti zeri della funzione di trasferimento; per tali valori di frequenza generalizzata di ingresso, l'uscita risulta identicamente nulla.

Utilizzando le trasformate cisoidali, la rete può essere studiata con il metodo simbolico generalizzato, simile a quello che utilizza i fasori delle reti in regiine sinusoidale, con la differenza che il numero irmnaginario jro che appare nel metodo fasoriale viene sostituito dalla frequenza generalizzata, ossia dal numero complesso s =o+ jro. Pertanto i bi poli passivi R, Le C vengono rappresentati dalle seguenti impedenze (e ammettenze) operatoriali:

ZR= R

ZL= sL Zc=l/(sC)

(16.5.9)

Si noti che, relativainente ad induttori e condensatori, per s = jro (o= O) si ritrovano le impedenze immaginarie del regime sinusoidale, mentre per s = O (o= O e ro = O) gli induttori si riducono a cortocircuiti (impedenze generalizzate nulle) ed i condensatori a circuiti aperti (iinpedenze generalizzate infinite), come avviene in regime stazionario.

Invece per o ;t: O e ro ;t: O induttori e condensatori presentano impedenze complesse (e non irmnaginarie pure).

La rete formata dalle impedenze generalizzate nella quale sono presenti le rappresentazioni complesse di ingressi ed uscite è detta rete operatoriale. Ad essa si applicano gli stessi 1netodi validi per i fasori nelle reti in regime sinusoidale ( che formalmente coincidono anche con quelli del regime stazionario), ad esen1pio: serie e parallelo di iinpedenze generalizzate, partitori di tensione e di corrente, generatori equivalenti etc. Tali metodi sono più semplici da usare e quindi la determinazione dell'integrale particolai·e risulta così agevolata.

Notiaino infine che, anche utilizzando le trasformate di Laplace, che non vengono qui sviluppate, ma sono applicabili ad ingressi e uscite del tutto generici, si ottiene la funzione di trasferiinento W( s) esattamente nella stessa forma di rapporto tra polinomi nella frequenza generalizzata s.

16.5.0.4 Soluzione particolare nel caso di più ingressi

Se nella rete agiscono più ingressi, grazie alla linearità del sistema, la soluzione particolare può essere determinata applicando la sovrapposizione degli effetti, cioè sommando le soluzioni particolari che co1npetono ai singoli ingressi, determinati come illustrato più sopra.

R ETI IN REGIME VA RIABILE 249

a 16.6 SOLUZIONE COMPLETA DELLA RETE

La soluzione completa (uscita della rete) è la som1na della soluzione dell'equazione 01nogenea e della soluzione particolare:

(16.6.1)

Tuttavia, co1ne visto in (§ 16.4), l'espressione della soluzione dell'equazione

omogenea: y O ( t) = Y1 es'L + Y

2 e•,L + .... + YP e"•1 comprende p costanti di integrazio

ne (Y,, Y2 • •• , ~), il cui valore per il momento non è ancora stato deterntinato. Queste costanti di integrazione possono essere calcolate imponendo che l'usci

ta con1pleta y(t) e le sue prime p-1 derivate, calcolate per t = O: , y(O)= Y,+Y2 + .... +YP+ Yp(O)

y ' (O)=s1 Y, +s2Y2 + .... +sPYP+ Yp'(O)

y"(O)=s/Y,+s22Y2+ .... +sP2YP+ Yp"(O)

(16.6.2)

' y(p-1) ( O )=s1 i>-1½ + s2 J>-tyz + .... +s Pp-1y P +yPCJ>-tl (O)

assumano valori coerenti con le p condizioni iniziali del circuito, costituite dai valori delle variabili di stato di tutti i bipoli con memoria presenti nella rete.

Quindi, utilizzando le equazioni del circuito per t > O e le condizioni iniziali (tensioni dei condensatori e correnti degli induttori), è possibile imporre p vincoli sull'andamento dell'uscita y(t). Si ottiene così un sisten1a di p equazioni con p incognite, che consente di determinare univocan1ente le p costanti di integrazione

(Y1, Y2 · · ·, y;,).

a 16.7 ESEMPIO DI SOLUZIONE DI RETI IN REGIME VARIABILE

16. 7.1 Generatore di tensione sinusoidale con carico ohmico-induttivo

s R i(t) A ~

V

+ + - + VR(t) ...

e(t) , IS, e-:, vL(t) '? L '-"

' j ,., -

Figura 16.7.1.1

250 Capitolo 16

Nel circuito di Figura 16. 7 .1.1 la tensione del generatore è sinusoidale: e(t) = EMsen(oot); per t < O l' interruttore S è aperto, e perciò l'induttore è scarico: iL(t) = O. All' istante t = O l'interruttore chiude. Si vogliono detern1inare gli andamenti di vL(t) e di i(t) per t > O.

Valore iniziale. Anzitutto è i(O-) = O; inoltre la corrente dell'induttore non ha discontinuità in t = O:

i(o+) = i(o-J = o (16.7 .1.1)

Equazione differenziale. Per t > O la LKT impone vR(t) + vL(t) = e(t); utilizzando la caratteristica del resistore e dell'induttore, questa si può riscrivere come Ri + L di/ dt = e(t), da cui:

L di(t) . 1 - - -'--'- + 1(t) = - e(t) R dt R

(16.7 .1.2)

Questa è un'equazione differenziale lineare di pruno ordine a coefficienti costanti del tipo (16.3.2), ove l'uscita incognita, y{t), è la corrente i(t); il termiI1e noto, ftt), è e(t)/R. I coefficienti dell'equazione sono L/R e 1 .

Soluzione particolare. Per risolvere tale equazione differenziale si cerca anzitutto un integrale particolare i

1,(t): dato che la tensione impressa è sinusoidale un inte

grale particolare è costituito dalla espressione che l'uscita assumerebbe se la rete fosse in regime sinusoidale. Quindi applicando il metodo simbolico si deduce:

- - 1 I = E--P R + j ooL

da questa, riportandosi nel do1ninio del tempo, si ottiene:

ip(t) = ~ EM sen (oot - arctg 001

) = JMsen (oot + P) R2 +(ooL)2 R

ove JM = EM e P = - arctg( 00R1 ) . ) R2 +(001 )2

(16. 7 .1.3)

(16. 7 .1.4)

Soluzione dell'omogenea associata. I.: equazione omogenea associata alla ( 16. 7. 1. 2) si ottiene da questa ponendo uguale a zero il termiI1e noto ftt); quindi è (R/1) di/ dt +i= O, la cui equazione caratteristica è (R/L)s + 1 = O che ha una radice reale negativa:

R 1 L s =-- =-- ove T = -

L T R (16.7 .1.5)

T, con dimensione fisica di secondi [s]. è la costante di tempo, che dipende esclusivan1ente dai parametri dei bipoli passivi, R e L. Quindi la soluzione generale dell'omogenea è:

I -(16.7.1.6)

R ETI IN REGIME VARIABILE 251

Costante di integrazione. La costante di integrazione I0

della (16.7.1.6) si determina imponendo la condizione iniziale all'integrale completo i(t) = ip(t ) + i

0(t): per

t ~ o+ questo deve essere uguale al valore iniziale i(o+) = O, precedentemente determinato:

IM senp + I0 = O ~ I0 = - IM senp

Soluzione completa. Quindi per t >O la corrente vale (Fig. 16.7.1.2): I

i (t) = IM sen ( rot + P)-(IM senP) e r

(16.7.1.7)

(16.7.1 .8)

da questa si può determinare la tensione dell'induttore, per 1nezzo della relazione vL(t) = Li/dt:

(R I sinp) e-t/T -M

I

vL(t)=roLlMcos ( rot + P) + (RIMsen P) e T

T

periodo di e( t) e degli addendi pennanent.i

Figura 16.7.1.2

(16.7.1.9)

t

Commenti. I parametri R e L determinano le soluzioni delle equazioni omogenee costituite da funzioni di tipo esponenziale smorzato (transitori), esauriti i quali rimangono solo gli ad dendi permanenti imposti dal generatore di tensione.

16. 7.2 Generatore di tensione costante con carico ohmico-capacitivoinduttivo

R

s +

E I

Figura 16.7.2.1

252 Capitolo 16

Nel circuito di Figura 16.7.2.1 il generatore ha tensione E costante; per t < O l'interruttore S è aperto e il condensatore è carico: ve(t) = Ve. All'istante t = O l' interruttore cl1iude. Si vogliono determinare gli andamenti di ve(t) e di i(t) per t > O.

Valori iniziali. La tensione del condensatore non presenta discontinuità in t = O. Per t < O è anche i(t) = O e quindi i(O--) = O; anche la corrente dell' induttore non presenta discontinuità in t = O:

(16.7.2.1)

Equazione differenziale. Per t > O si forma un anello E-R-L-C. Con i riferimenti assunti, la LKT impone vR(t) + vL(t) + ve(t) = E, che si può riscrivere come Ldi/dt + Ri + ve= E; la corrente può essere espressa come i(t) = Cdv J dt, che derivata fornisce di/dt = Cd2vc/dt2

; sostituendo queste nella precedente si ottiene:

LC d2ve(t) +RCdve(t) +v (t)=E dt2 dt e

(16.7.2.2)

se invece la relazione L di/dt + Ri + Ve = E viene derivata e moltiplicata per C, si ottiene LC d2i/dt2 + RCdi/dt + Cdvd dt = O; tenuto conto che Cdvd dt = i, questa si . .

r1scr1ve come:

LC d2 i~t) + RC ~(t) + i(t) = O

dt t (16. 7 .2.3)

Queste due equazioni differenziali, formalmente uguali, sono lineari di secondo ordine a coefficienti costanti del tipo (16.3.2), ove le uscite incognite y{t) sono rispettivamente la tensione ve(t) e la corrente i(t); il termine noto della prima è E, quello della seconda è nullo. I coefficienti di entrambe le equazioni sono LC, RC e 1. Nel seguito viene integrata la seconda delle due e dalla risposta i(t) così dedotta si ricava poi Ve(t).

Soluzione particolare. Dato che l'equazione è omogenea, una soluzione particolare è quella identicamente nulla.

Equazione algebrica caratteristica. :[;equazione algebrica caratteristica della (16.7.2.3) è LCs2 + RCs + 1 = O, che è di secondo grado ed ha due radici:

-RC±JR2C2-4LC R R2 I s1,2= 2LC =-2L ±, 4L2 - LC (16.7.2.4)

Definite:

T= 2L R '

la (16.7.2.4) diventa:

(16.7.2.5)

(16. 7 .2.6)


a seconda dei valori assU11ti day (maggiore, uguale o minore di uno) queste due radici possono essere reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate.

16.7.2.1 Caso sovrasmorzato

Si assun1a che y sia n1aggiore di uno. In tale ipotesi la (16.7.2.6) fornisce due radici reali negative distinte:

1 -ro0 ( y+Jy2

1) S1= ---Ti

1 - ro0 (r -Jy2

1)

(16.7 .2. 7)

Sz= ---Tz

'I'i e T2 , con dimensione fisica di secondi [s), sono due costanti di te1npo che dipendono esclusivamente dai parainetri dei bipoli passivi R, C e L.

Soluzione dell'equazione omogenea. Pertanto l'integrale dell'o1nogenea è:

I l - -i (t)= Y e 1ì + Y e 1ì o 1 2 (16.7.2.8)

Costanti di integrazione. Le costanti di integrazione Y1 e Y2 si deter1ninano iinponendo le condizioni iniziali all'integrale completo i(t) = iP(t) + i

0(t) = i

0(t). Per t~ o+

questo deve essere uguale al valore iniziale i(O+J = O, precedentemente determiI1ato; si deduce qumdi un primo vincolo:

(16.7.2.9)

La relazione Vc(t)=E-vL-vR=E-Ldi/dt-Ri pennette di espriinere la tensione del condensatore come:

L - L --( )

I ( J l vc(t)=E + Ti -R Y, e r, + T2

-R Y2 e r, (16.7.2.10)

per t-+O+ questa deve essere uguale al valore iniziale vc(o+) = Ve; si deduce quindi un secondo vrncolo:

::}

Soluzioni complete. Le espressioni per t > O della corrente e della tensione del condensatore (Fig. 16.7.2.2) possono essere riscritte co1ne:

(16.7 .2.12)

254 Capitolo 16

(16.7.2.13)

alle medesime espressioni si sarebbe pervenuti integrando la (16.7.2.2).

E

Vc(t)

Figura 16.7.2.2

Commenti. La soluzione è costituita da due esponenziali decrescenti: si dice che la risposta del circuito RLC è sovrasmorzata. I due esponenziali danno luogo ad un transitorio che si estingue nel tempo, potendosi considerare praticamente esaurito dopo un intervallo di tempo pari a circa 4 volte la 1naggiore delle due costanti di tempo, T1 • Le risposte non sono nulle per effetto sia del generatore di tensione E che del valore iniziale della tensione sul condensatore Ve. Se al posto del generatore ci fosse un cortocircuito, varrebbero ancora le espressioni precedenti, con E= O; a causa di Ve si avrebbe comunque un transitorio, che costituisce un'evoluzione libera, in quanto non soggetta all'azione di generatori.

16.7.2.2 Caso criticamente smorzato

Si assuma ora che i parametri passivi verifichino la relazione y uguale a uno. Valori iniziali, equazioni differenziali e integrali particolari sono i medesimi del caso precedente. La (16.7.2.6) fornisce invece due radici reali negative coincidenti:

R 1 S - ---1·2--2 L -- T (16.7.2.14)

T, con din1ensione fisica di secondi [s], è la costante di te1npo già definita in (16.7.2.5) e dipende esclusivamente dai parametri dei bipoli passivi R ed L.

Soluzione dell'equazione omogenea. Pertanto l'integrale dell'omogenea è:

I I - -(16.7.2.15)

R ETI IN REGIME VA RIABILE 255

Costanti di integrazione. Le due costanti di integrazione Y 1 e Y2 della (16.7.2.15) si determinano imponendo le condizioni iniziali all' integrale completo i(t) = i

1,(t) + i0 (t) = i0 (t) che, per t -4 o+, deve essere uguale al valore iniziale i(o+J = O;

si deduce quindi un primo vincolo:

y =O 1 (16.7.2.16)

Inoltre, come nel caso precedente, la tensione del condensatore può essere ricavata dalla relazione Vc(t) = E-vL -vR = E-Ldi/dt-Ri; tenendo conto della (16.7.2.13) si ottiene:

R _ I

Vc(t) =E --Y2 (T+t)e T 2

(16.7.2.17)

per t -4 0+ questa deve essere uguale al valore iniziale vc(o+) = Ve; si deduce quindi un secondo vincolo:

R E--YT=V,

2 2 e

sono così determinate le due costanti di integrazione Y1 e Y2 •

(16. 7 .2.18)

Soluzioni complete. Le espressioni per t > O della corrente e della tensione del condensatore risultano (Fig. 16.7.2.3):

E - V, - ' i(t) = e te T

L (16. 7 .2.19)

(16.7.2.20)

alle medesime espressioni si sarebbe pervenuti il1tegrando la (16.7.2.2).

Er-----~=-----------1

-t T

Figura 16.7.2.3

t ...

256 Capitolo 16

Commenti. La risposta del circuito RLC comprende un esponenziale con costante di tempo Te un esponenziale con la stessa costante di te1npo, moltiplicato per una rampa: si dice in questo caso che l'uscita è criticamente smorzata. I due addendi danno luogo ad un transitorio che può avere una sovraelongazione, ma si estingue nel tempo, potendosi considerare praticamente esaurito dopo un intervallo di tempo pari a circa 4 volte la costante di te1npo T. Le risposte non sono nulle sia per effetto del generatore di tensione E che del valore iniziale Ve. Se al posto del generatore ci fosse un cortocircuito, varrebbero ancora le espressioni precedenti, con E= O; a causa di Ve si avrebbe comunque un transitorio, che costituisce un'evoluzione libera, in quanto non soggetta all'azione di generatori.

16.7.2.3 Caso sottosmorzato

Si assuma ora che y sia minore di uno. Valori iniziali, equazioni differenziali e soluzioni particolari sono i medesilni del primo caso. La (16.7.2.6) fon1isce invece due radici complesse coniugate con parte reale negativa:

Tè la costante di tempo già vista in (16.7.2.5) e ù\, con dimensione fisica di [s-1] ,

è una pulsazione; entrambe dipendono esclusivamente dai parametri dei bipoli passivi R, C e L.

Integrale dell'omogenea. Pertanto l' integrale dell'omogenea è:

l l

(16. 7.2.22)

Costanti di integrazione. Le due costanti di integrazione Y1

e Y2

della (16.7.2.22) si determinano imponendo le condizioni iniziali all'integrale completo i(t) = i

1,(t) + i0 (t) = i0 (t), che per t-+ o+ deve essere uguale al valore iniziale i(o+) = O;

si deduce quindi un primo vincolo:

(16.7.2.23)

Inoltre come nel caso precedente, la tensione del condensatore può essere ricavata dalla relazione Ve(t) =E-vL -vR =E-Ldi/dt-Ri:

R _I

ve(t)=E - 2 Y, e r [sen(ro. t)+ro. Tcos(ù\t)] (16.7.2.24)

per t-+0+ questa deve essere uguale al valore iniziale ve(o+) = Ve; si deduce quindi un secondo vincolo:

E-Ve => Y1=--= ro,L

(16.7.2.25)

Soluzioni complete. Le espressioni per t > O della corrente e della tensione del condensatore (Fig. 16.7.2.4) possono essere riscritte come:

R ETI IN REGIME VARIABILE 257

E-V, -' i(t) = e e T sen( ro. t)

ro.L (16.7.2.26)

V: - E -~ Ve(t )=E + e e T [sen(ro. t)+ro.Tcos(ro.t)]

ro.T (16.7.2.27)

alle medesime espressioni si sarebbe pervenuti integrando la (16.7.2.2).

Vc(t) E ._ __ -- ---

i(t)

t !--T~\-v- --1/C.......:"-~=--.c::::::,......___===------- - +: ~ I ...

Figura 16.7.2.4

Commenti. La soluzione è oscillatoria s1norzata: si dice in questo caso che essa è sottosmorzata. Si verifica un transitorio che si estingue nel te1npo, potendosi considerare praticamente esaurito dopo un intervallo di tempo pari a circa 4 volte la costante di tempo T. Le risposte non sono nulle per effetto sia del generatore di tensione E che del valore iniziale Ve. Se al posto del generatore ci fosse un cortocircuito, varrebbero ancora le espressioni precedenti, con E= O; a causa di Ve si avrebbe comunque un transitorio, che costituisce un'evoluzione libera, in quanto non soggetta all'azione di generatori.

Appendice

RICHIAMI DI ANALISI VETTORIALE

I:analisi vettoriale considera quantità scalari e quantità vettoriali. Si assun1e di indicare con lettere normali le quantità scalari (a, A, a, A) e con lettere in grassetto (a, A, a., A) le quantità vettoriali.

A.1 CAMPI SCALARI E VETTORIALI

Una quantità scalare, indicata genericamente con "f', funzione del punto P di una regione tridimensionale \R e dell'istante temporale t:

f=f(P,t) (A.1.1)

costituisce un campo scalare. Ne è un esempio la temperatura dei punti di un corpo.

Così pure una quantità vettoriale, indicata genericamente con "v", funzione del punto P di una regione tridimensionale \R e dell'istante temporale t:

V= v(P, t) (A.1.2)

costituisce un campo vettoriale. Ne è un ese1npio la velocità dell'acqua nei punti di una condotta.

Valendo la dipendenza da t, i campi precedenti sono detti campi variabili. Talvolta si omette di evidenziare la dipendenza dalle variabili P e t, per sola semplicità di notazione, ma essa è sen1pre sottintesa. In talune situazioni si considerano campi scalari e vettoriali che non variano nel tempo: si parla allora di campi statici o stazionari e si usano i simboli j(P) = F(P) e v (P) = V(P) .

Nel seguito sono richiamate le principali proprietà dei cainpi scalari e vettoriali, utili nello studio dei fenomeni elettromagnetici.

• A.2 REGIONE DI DEFINIZIONE

A.2.1 Geometria delle regioni La regione \R in cui si manifesta il campo j(P,t) o v(P,t) può essere limitata

o illimitata.

260 Appendice A

A.2.1.1 Regioni connesse

La regione ffi viene detta connessa se, data una qualsiasi coppia di punti P1 e P2

entrambi appartenenti a 9i, esiste una linea .e1 2 che li unisce, la quale è tutta contenuta in 9i; se ciò non avviene ffi è detta non connessa.

A.2.1.2 Regioni a connessione lineare semplice

La regione 91 viene detta a connessione lineare semplice se, data una qualsiasi linea chiusa .ee e \lì, esiste una superficie il cui orlo è .ee, la quale è tutta contenuta in 9i. Se ciò non avviene ffi è detta a connessione lineare multipla. Se la regione ffi presenta fori passanti, essa non è a connessione lineare semplice.

A.2.1.3 Regioni a connessione superficiale semplice

La regione 9l vie11e detta a connessione superficiale semplice se, data una qualsiasi superficie chiusa Se e ffi, il volume il cui orlo è Se è tutto contenuto in ffi. Se ciò non avviene \lì è detta a connessione superficiale multipla. Se la regione 9l presenta cavità, essa non è a connessione superficiale semplice.

a)

a)

,

b)

Figura A.2.1.1

b)

Figura A.2.1.2

Figura A.2.1.3

Esempi Una sfera costituisce un esem

pio di regione connessa (Fig. A.2.1.la); l'unione di due sfere che non si intersecano è un esempio di regione non connessa (Fig. A.2.1.lb). Una sfera costituisce un esempio di regione a connessione lineare semplice (Fig. A.2.1.la). Una sfera privata di un volume cilindrico che l'attraversa da parte a parte è un esempio di regione a coru1essione lineare multipla (Fig. A.2.1.2a); lo stesso vale per un volume toroidale (Fig. A.2.l.2b).

Una sfera costituisce un esempio di regione a connessione superficiale semplice (Fig. A.2.1. la); lo stesso vale per un volUine toroidale (cioè il volume contenuto in una ciambella, Fig. A.2.l.2b). Una sfera privata di un volume sferico racchiuso in essa è un esempio di regione a connessione superficiale multipla (Fig. A.2.1.3).

R ICHIAMI DI ANALISI VITTORIALE

a A.2.2 SUPERFICI DI LIVELLO E LINEE VETTORIALI

A.2.2.1 Superfici di livello

Dato un campo scalare .f(P,t) e considerato un istante t, il luogo dei punti in cui .f(P,t) ha lo stesso valore: .f(P,t) = C(t) costituisce una superficie detta superficie di livello. Le diverse superfici di livello appartenenti alla regione \R differiscono tra loro per il valore C(t) che le caratterizza. Due diverse superfici di livello non si intersecano 1nai (Figura A.2.2.1), altrimenti .f(P,t) dovrebbe assumere due valori distinti per ogni punto P di intersezione.

A.2.2.2 Linee vettoriali

Figura A.2.2.1

261

Dato un campo vettoriale v(P,t), una linea che sia in ogni punto tangente a v(P,t) è detta linea vettoriale ( di flusso, di ca.in po). Due diverse linee vettoriali non si intersecano mai, perché altrimenti v(P,t) dovrebbe assumere due valori distinti per ogni punto P di intersezione (Fig. A.2.2.2).

Le linee vettoriali possono presentare tre diverse topologie:

a. possono formare linee chiuse; b. possono formare linee aperte di lunghezza finita, con inizio e fine; i punti di

inizio sono detti sorgenti, quelli di fine sono detti pozzi; c. possono formare linee di lunghezza infinita, senza inizio e/o fine, in quanto:

· o si estendono all'infinito occupando una regione illimitata; · oppure si sviluppano in una regione limitata, come accade per una linea di

lunghezza infinita avvolta a spirale su di una superficie toroidale.

\ \ \~

Figura A.2.2.2

262 Appendice A

a A.3 OPERAZIONI ALGEBRICHE ED INTEGRO-DIFFERENZIALI

A.3.1 Prodotto interno ed esterno

Operando sulle grandezze vettoriali si usano, tra gli altri, il prodotto interno ed il prodotto esterno, la silnbologia dei quali non risulta unificata. Si fa qui uso della simbologia più diffusa in letteratura:

- prodotto interno (scalare) tra a e b: - prodotto esterno (vettore) tra a e b:

c=a·b; c=a xb.

Si ricorda che valgono le seguenti proprietà:

a ·b=b ·a

a · (b +c) =(a · b)+(a · c)

a xb =-bxa

a x(b +c) = (a xb)+(a x c)

(a xb)x e= (a · c)b-(b · c)a

a x (b xc)= (a · c)b-(a·b)c

(a xb) · c = (c xa)- b = (b xc) ·a

(A.3.1.1)

(A.3.1.2)

(A.3.1.3)

(A.3.1.4)

(A.3.1.5)

(A.3 .1.6)

(A.3.1.7)

Si ricorda anche che il modulo del prodotto triplo misto (A.3.1.7) esprime il volume del parallelepipedo che ha per lati i tre vettori a, b e c.

A.3.2 Derivata direzionale di un campo scalare

In un campo scalare j(P,t) sia s U11a generica retta passante per P e orientata dal versore tangente t ; considerato un punto P' di tale retta che dista CPP' da P (Fig. A.3.2.1), si chiama derivata direzionale del campo in P secondo la direzione ed il verso di t il limite ( CPP' si riduce a P):

òf(P,t) ,. . f (P', t) - f(P,t) = lim-----~

f}.f, P,l P'-+P .f, PP'

(A.3.2.1)

Essa dipende dal punto P, dall'istante t ed anche dalla direzione e dal verso individuati da t. In qualsiasi direzione appartenente ad una superficie di livello del campo scalare la derivata direzionale di j(P,t) è nulla: a j/ae = o.

P' r

p t l PP'

Figura A.3.2.1

R ICHIAMI DI ANALISI VITTORIALE 263

A.3.3 Integrale di linea e circuitazione di un campo vettoriale

B t

p p

A

Figura A.3.3.1 Figura A.3.3.2

In un campo vettoriale v(P,t) sia .eAB una generica linea che si estende tra i punti A e B, orientata dal versore tangente t (rivolto da A a B, Fig. A.3.3.1); si chia1na integrale di linea del campo lungo .e AD la grandezza scalare:

r 1.A11(t),. f v(P,t) · t a.e t.,,n

(A.3.3.1)

il cui segno dipende dall'orientazione della linea, definita dagli estrenù ordinati A e B (ovvero da t).

Quando A e B coincidono, cosicché la linea .e0

è chiusa (e sempre orientata dal versore t, Fig. A.3.3.2), l'integrale di linea è detto circuitazione:

(A.3 .3.2)

A.3.4 Flusso e flusso uscente di un campo vettoriale

• p

Figura A.3.4.1 Figura A.3.4.2

264 Appendice A

In un can1po vettoriale v(P,t), considerata una superficie orientata S (di versore normale n , Fig. A.3.4.1), il flusso (o portata) del campo attraverso S nel verso di n è la grandezza scalare:

,5n (t) "'fsv(P,t) ·n dS (A.3.4.1)

il cui segno dipende dal versore n che orienta la superficie. Quando la superficie è chiusa, essa viene generalmente orientata dal versore

rivolto verso l'esterno n = n .,c (Fig. A.3.4.2); allora il flusso è detto uscente ed è espresso con1e:

(A.3.4.2)

A.3.5 Integrale di volume di un campo scalare

~integrale di volun1e di un campo scalare j(P,t) esteso ad un volume ,: è espresso come

0 , (t)"' f.f (P,t)d,: (A.3.5.1)

A.3.6 Regola della vite destrogira

Data una linea chiusa .ec, esistono infinite superfici aperte che hanno per orlo tale linea. Detta S una qualsiasi di tali superfici aperte, linea e superficie possono essere orientate, la prima dal versore tangente t e la seconda dal versore normale n . Si usa associare i due versori in modo che una vite destrogira che ruoti secondo il versore t contemporaneamente avanzi in modo concorde col versore n . Questa associazione di orientazioni costituisce la regola della vite destrogira, o del cavatappi.

::J A.4 OPERATORI DIFFERENZIALI

A.4.1 Gradiente di un campo scalare

Dato un punto P in un campo scalare j(P,t), individuato il versore t = u g,ed per il quale la derivata direzionale (A.3.2.1) in P è massima, si definisce gradiente del caJnpo il vettore grad.f(P,t) che ha: modulo pari a tale derivata direzionale massima e direzione e verso uguali a u gr•d:

grad f(P,t) " max {! } Ugrad (A.4.1.1)

il vettore gradiente è funzione di (P,t) soltanto e costituisce, a sua volta, un campo vettoriale. Valgono le seguenti proprietà:

1. il vettore gradiente (come pure le sue linee vettoriali) è ortogonale alle superfici di livello del campo scalare;

2. il vettore gradiente individua il verso di massima variazione del can1po scalare .f{P,t); il suo 1nodulo costituisce l' intensità di tale variazione.

La definizione (A.4.1.1) è intrinseca, non dipendendo dal sistema di coordinate adottato. In Tabella A.4.1 sono riportate le espressioni del gradiente in coordinate cartesiane [P = P(x,y,z)], in coordinate cilindriche [P = P(r,cp,z)] ed in coordinate sferiche [P = P(r,&,cp)], così con1e indicate in Figura A.4.3.2.

A.4.2 Rotore di un campo vettoriale

Dato un punto P in un campo vettoriale v(P,t) , si consideri una generica superficie aperta piana orientata S ( con n versore normale), contenente P, Fig. A.4.2.1: il suo orlo definisce una linea chiusa .e

0 (orientata dal versore t asso

ciato al versore n secondo la regola della vite destrogira). S permette di individuare univocamente la circuitazione r e

0(t) (A.3.3.2) e così pure il rapporto r,c(t)/S ed il suo limi

te per S~O (quando S si riduce al punto P):

lim r,.Jt) S-+O S

ec

t P. n

s V

Figura A.4.2.1

(A.4.2.1)

Tale limite dipende, oltre che da (P,t), anche dal versore n , ovvero dalla orientazione della superficie S. Individuato il versore n = u roL per il quale il liinite (A.4.2.1) è massimo, si definisce rotore di v(P,t) in (P,t) il vettore rot v (P,t) che ha: modulo pari al massimo di tale limite, direzione e verso uguali a quelli di u roL:

f v-td.e rot v(P,t) ~ max lim I.e u roL

s .... o s (A.4.2.2)

il vettore rotore risulta funzione di (P,t) soltanto e costituisce, a sua volta, un campo vettoriale.

La definizione (A.4.2.2) è intrinseca, non dipendendo dal sistema di coordinate adottato. In Tabella A.4.1 sono riportate le espressioni del rotore in coordinate cartesiane, in coordinate cilindriche ed in coordinate sferiche.

A.4.3 Divergenza di un campo vettoriale

Dato un punto P iI1 un campo vettoriale v(P,t), considerato un volume,: contenente P, il suo orlo definisce una superficie chiusa S

0 (orientata dal versore uscente

n , Fig. A.4.3.1):,: permette dunque di definire univocamente il flusso uscente <1>50 (A.3 .4.2) e così pure il rapporto <f.J5j 1:.

fl

Figura A.4.3.1

266 Appendice A

Si definisce divergenza del campo vettoriale in (P,t) lo scalare div v(P,t) dato dal limite di tale rapporto <P5 j't per 't~O (quando 't si riduce al punto P):

J-. v-n dS div v(P,t) ~ lim-'-'f=sc'---- (A.4.3.1)

't40 '[

che risulta funzione di (P,t) soltanto e costituisce, a sua volta, un campo scalare. Vale la seguente proprietà:

1. i punti ove divv > O costituiscono le sorgenti dove le linee vettoriali di v(P,t) nascono;

2. i punti ove divv < O costituiscono i pozzi dove le linee vettoriali di v(P,t) muoiono.

La definizione (A.4.3.1) è intrinseca, non dipendendo dal sistema di coordinate adottato.

In Tabella A.4.1 sono riportate le espressioni della divergenza in coordinate cartesiane, in coordinate cilindriche ed in coordinate sferiche.

I Coordinate cartesiane [P=P(x,y,z), con versori coordinati ux, uy, u2 ):

grad f(P,t) = fJf u + òf u , + òf u. òxx Ò5') az "

t (p t) (ÒV, ÒVY) (ÒVx ÒV2 ) (ÒVY ÒVx) ro v = - - -u + - - -u + - - -u.

' By az x az ax Y fJx By "

d. (P ) òv òvr òv IV V ,t =- X+- +- " ax By az

I Coordinate cilindriche [P = P(r,<p,z), con versori coordinati ur, up, Uz]:

grad f (P,t) = af u + 1 òf u + af u. ar r r acp 'P az ,

rot v (P,t) =(~ òv, - òv'P)u, +(òv,. - òv, )u + l , a(r v'P) - òv, )u, r 8cp az az ar 'I' r ar ocp

'

I Coordinate sferiche [P=P(r,~,cp), con versori coordinati ur, u~l, up]:

I

I

I

R ICHIAMI DI ANALISI VITTORIALE

1 o (v'<'senS) ÒVs rot v (P,t) = ---1 ---'-----'------'- - - u +

r senS òS òcp '

+ 1 av,_ ò(rsen&v'I') u +l(ò(rv8 )_av, )u r senS ocp or 8 r or òS "

di 1 o(r

2 v,) 1 ov<j) 1 ò(senSv8 ) v v (P, t) = -. ----'----'- + -------'- + ------'------'-

r2 or r senS oq> r senS 8S

Tabella A.4.1 Espressioni di Gradiente, Rotore e Divergenza

z

ltz

/

/ , ,

, /

/ , /

/

267

r

Coordinate carcesjane Coor,t inale cilindriche Coordjnate sferiche

Figura A.4.3.2

A.4.4 Laplaciano di un campo scalare e di un campo vettoriale

In un campo scalare j{P,t), il gradiente di j{P,t) costituisce, a sua volta, un campo

vettoriale, del quale può essere calcolata la divergenza; si ottiene così il Laplaciano del campo scalare .fl:P,t):

ti f (P,t) = v'2f (P,t) "div grad f (A.4.4.1)

In Tabella A.4.2 è riportata l 'espressione del Laplaciano di .flP,t) in coordinate

cartesiane, cilindriche e sferiche.

Analogamente, in un campo vettoriale v(P,t) , la divergenza di v(P,t) costituisce

un campo scalare, al quale può essere applicato il gradiente, mentre il rotore di v(P,t) costituisce un campo vettoriale, al quale può essere applicato pure il rotore;

si ottiene così il Laplaciano del campo vettoriale v(P,t):

268 Appendice A

~v(P,t ) =v'2v(P,t),. grad div v-rot rot v (A.4.4.2)

In Tabella A.4.2 è riportata l'espressione del Laplaciano di v(P,t) in coordinate cartesiane. Non valgono analoghe espressioni negli altri sistemi di coordinate.

Coordinate cartesiane [P = P(x,y,z)]:

Coordinate cilindriche [P = P(r,<p,z)]:

Coordinate sferiche [P = P(r,&,<p)]:

~! =-- r - +----- sen&- +----1 a ( 2 af) 1 a ( 8f ) 1 a2

f r2 ar f}r r

2sen& alt a& r2sen2 3, 8cp2

Tabella A.4.2 Espressioni dei Laplaciani

A.4.5 Operatori differenziali del secondo ordine

Combinando gli operatori del primo ordine (gradiente, rotore e divergenza) si ottengono gli operatori differenziali del secondo ordine ( dei quali i laplaciani di § A.4.4 costituiscono degli esempi). In Tabella A.4.3 sono riassunte le combinazioni possibili. Si osservi come due combinazioni diano risultato identican1ente nullo e quattro siano illecite.

I. gradf rotv divv

il

grad () illecito illecito grad div v

rot () rotgrad f = O rot rot v illecito

div () div gradf = tf div rot v = O illecito

Tabella A.4.3 Operatori del secondo ordine


a A.5 OPERATORE NABLA

Con riferin1ento alle coordinate cartesiane, l'operatore nabla (o anche "del") è il vettore formale definito come:

a a a V = -u +-u +-u.

OX. x oy Y oz ' (A.5.1)

per n1ezzo di esso gradiente, rotore, divergenza e laplaciani sono espressi dalle seguenti operazioni formali:

grad f = 'ilf; rot v = 'il x v ; div v = 'il· v

1:!>f = 'il·('il f); l:!>v = 'il('il·v) -V x (V x v ) (A.5.2)

In taluni testi, specialmente anglosassoni, le espressioni (A.5.2) sono talvolta usate anche con riferilnento a sistemi di coordinate non cartesiane: in tal caso V non ha più il significato espresso dalla (A.5.1) e le (A.5.2) hanno significato puramente formale.

' A.6 IDENTITA NOTEVOLI

A.6.1 Identità differenziali Valgono le seguenti identità (ai sono scalari costanti ed unifor1ni):

òf ò grad- = - gradf

òt òt

grad(f1fz) = !1 gradfz + fzgrad/ 1

av a rot- = -rotv

òt òt

rot (a,v1 +a2v2 )=a1 rotv1 +a2 rotv2

rot (fv) = frotv+gradfxv

d. av a d. IV- = - lVV

òt òt

div (fv) = f divv+gradf ·v

(A .. 6 .1.1)

(A.6.1.2)

(A.6.1 .3)

(A.6.1.4)

(A.6.1.5)

(A.6.1.6)

(A.6.1. 7)

(A.6.1.8)

(A.6.1. 9)

(A.6 .1.10)

270

of ò ò - =- òf

òt òt

A.6.2 Identità integrali

A.6.2.1 Teorema del gradiente

Appendice A

(A.6.1.11)

(A.6.1.12)

(A.6.1.13)

Dato un campo scalare .ftP,t), per qualsiasi linea aperta e tra A e B vale:

J: tgradf(P,t) · t dl = f (B,t) - f(A,t) (A.6.2.1)

Si ha anche, per qualsiasi volume ,; che ha per orlo la superficie chiusa Se di versore uscente nusc:

(A.6.2.2)

A.6.2.2 Teorema del rotore (di Stokes)

Dato un campo vettoriale v(P,t), per qualsiasi superficie aperta S orlata dalla linea chiusa .ee, associando al solito i rispettivi versori n e t secondo la regola della vite destrogira, vale:

f rotv(P,t) -n dS = J. v(P,t)·tdf SI. 'f tc

(A.6.2.3)

A.6.2.3 Teorema della divergenza (di Gauss)

Dato un campo vettoriale v(P,t), per qualsiasi volume ,;5 orlato dalla superficie chiusa Se, assumendo al solito per questa il versore uscente n

0 .. , , vale:

f divv (P,t) di;= f v (P,t) · n 0 ,cdS 'S Se,

(A.6.2.4)

A.6.2.4 Integrale di volume del prodotto interno (v 00

.. • v.01)

Dati un campo vettoriale conservativo v 000,(P,t) = -grad .ftP,t) ed un campo solenoidale v.01(P,t), uno dei quali almeno sia nullo fuori del volume limitato ,;v' si ha:

(A.6.2.5)

A.6.2.5 Variazione temporale del flusso attraverso una superficie in movimento

Dati un crunpo vettoriale v(P,t) ed una superficie S, di orlo .e0

, i cui punti sono in movimento con velocità s, la derivata temporale del flusso sn è data da:

dsn(t) =J [Bv +s-div v - rot(sx v)] ·n dS dt s 8t

(A.6.2.6)

applicando il teorema del rotore (A.6.2.2) al terzo addendo in parentesi quadra, e nell'ipotesi che il campo vettoriale sia solenoidale v.01 (P,t), in virtù della (A.6.2.3), si ha:

d<J) ( t) òv Sn =J ""1 -ndS - f(sxv ) ·td.€ dt S Òt t, sul

(A.6.2.7)

• A.7 CAMPI CON PROPRIETÀ NOTEVOLI

A.7.1 Campi conservativi e campi irrotazionali

Un campo vettoriale si dice conservativo nel dominio Q contenuto in ~ì se è nulla la sua circuitazione su qualsiasi linea chiusa .e

0 appartenente ad Q;

(A.7.1.1)

In modo equivalente un campo vettoriale si dice conservativo se il suo integrale di linea su qualsiasi linea aperta .eAD appartenente ad n non dipende dal percorso .e 1na solo dagli estrenù A e B ed è allora esprimibile come differenza tra i valori assunti in B ed A da un opportuno campo scalare, flP,t):

r ~(t) = r ~'(tJ = flB,t)-f(A,tJ (A. 7 .1.2)

Un campo vettoriale si dice irrotazionale nel dominio Q se ha rotore ovunque nullo in n:

rot vt,,(P,t) = O (A.7.1.3)

Valgono le seguenti proprietà:

1. un campo conservativo è sempre irrotazionale; 2. un campo irrotazionale è conservativo solo se il suo dominio Q è a connessione

lineare semplice. 3. un campo irrotazionale in tutto lo spazio è conservativo (perché tutto lo spazio

ha connessione lineare sen1plice, essendo privo di fori passanti). 4. un campo irrotazionale presenta, in generale, divergenza non nulla:

div v,rr(P,t) = g(P,t); g(P,t) costituisce la sorgente del campo vtrr(P,t) interna al do-1ninio n.

5. un campo vettoriale è conservativo se e solo se esso è il gradiente del caIUpo scalare flP,t) che appare nella (A.7.1.2); tale campo è definito a meno di una costante additiva arbitraria C.

272

Facendo riferimento al can1po opposto p(P,t) = - .f(P,t), si ha:

vc,,ns(P,t) =-grad p(P,t) =-grad[p(P,t) + C]

Appendice A

(A.7.1.4)

Combinando la (A.7.1.3) con la (A.7.1 .4) si ottiene l'identità rot grad p(P,t) = O, già indicata in§ A.4.5. La relazione integrale corrispondente alla (A.7.1.4) evidenzia che r Allt(t) può essere espresso come differenza tra i valori che il campo scalare p(P,t) assun1e in B ed in A (si veda anche la (A.6.2.1)):

r AB/. (t) = J Vcons (P,t)- t df = p(A,t)-p(B,t) t Ari

(A.7.1.5)

Il campo scalare p(P,t) è detto potenziale scalare del campo vettoriale v 000.(P,t) e anch'esso è definito a 1neno di una costante C. Se n è illimitato si usa fissare il valore di C = c. in modo che sia:

lim [ p '(P,t) + c.]= O P-+oo

(A.7.1 .6)

il campo p(P,t) + c. così ottenuto prende il no1ne di potenziale scalare assoluto'. Le superfici di livello di p(P,t) sono dette superfici equipotenziali e sono ortogonali alle linee vettoriali di v

00,,.(P,t); per tale caratterizzazione di linee vettoriali e super

fici equipotenziali il campo vc0.,.(P,t) viene anche detto lainellare; le linee vettoriali

non sono mai chiuse".

A.7.2 Campi conservativi del flusso e campi solenoidali Un campo vettoriale è conservativo del flusso nel dominio n contenuto in 9l

se è nullo il suo flusso uscente da qualsiasi superficie chiusa Se appartenente a n: (A. 7 .2.1)

In modo equivalente, un campo vettoriale è conservativo del flusso se il suo flusso attraverso una superficie aperta s,. appartenente ad n non dipende dalla superficie S ma solo dal suo orlo ec ed è allora esprimibile come circuitazione I'eclt) di un opportuno campo vettoriale, q (P,t):

<l>5c(t) = O, <D5,,(t) = <D5,.,(t) = reJt) (A.7.2.2)

Un campo vettoriale si dice solenoidale nel dominio n se ha divergenza ovunque nulla in n:

(A.7.2.3)

Valgono le seguenti proprietà:

1. un cainpo conservativo del flusso è sempre solenoidale; 2. un campo solenoidale è conservativo del flusso solo se il dominion. è a connes

sione superficiale se1nplice. 3. un cainpo solenoidale in tutto lo spazio è conservativo del flusso (perché tutto

lo spazio ha connessione superficiale semplice, essendo privo di cavità).

1 Nelle applicazioni elettro1nagnetiche la (A .7.1.6) co1nporta c.2 0. n Diversamente la (A.7.1 .1) non sarebbe verificata per f

0 coincidente con una linea vettoriale.

4. un campo solenoidale presenta, ingenerale, rotore non nullo: rotv.01(P,t)=w(P,t); w (P,t) costituisce la sorgente del campo v.01(P,t) interna al dominio Q.

5. un campo vettoriale è conservativo del flusso se e solo se esso è il rotore del campo vettoriale q (P,t) la cui circuitazione appare nella (A.7.2.2); tale campo è definito a meno di un campo vettoriale conservativo v c,rns(P.t) = gradj(P,t) 111 :

vc1(P.t) = rot q (P,t) = rot [ q'(P,t) + V 0011.(P,t)] (A. 7 .2.4)

Combinando la (A.7.2.3) con la (A.7.2.4) si ottiene l' identità div rot q (P,t) = O, già indicata in§ A.4.5. La relazione integrale corrispondente alla (A.7.2.4) evidenzia che st'(t) può essere espresso come circuitazione del campo vettoriale q (P,t) lungo la linea C

0 che orla St , come già espresso dalla (A.7.2.2) 1v:

<f> 5 ,.(t) = f v0r(P,t)- n dS = ~ q (P,t) ·tdJ SI. l ,.

(A.7.2.5)

Il campo vettoriale q (P,t) è detto potenziale vettore del ca1npo vettoriale v0r(P.t).

Quando Q è illimitato è consuetudine imporrev:

divq (P,t) = O (A. 7 .2.6)

Nel dominio Q le linee vettoriali di vcr(P,t) non possono avere né sorgenti né pozziv1: esse o sono chiuse oppure hanno lunghezza infinita oppure nascono e muoiono sul contorno di Q .

A.7.3 Campi irrotazionali e solenoidali

In un dominio linlitato Q può esistere un can1po vettoriale non nullo che sia contemporaneaine11te irrotazionale e solenoidale; tutte le sue linee vettoriali nascono e muoiono al di fuori di Q .

In un dominio illimitato Q un campo vettoriale fisico ( che corrisponde ad un fenomeno fisico reale) non identican1ente nullo non può essere ovunque irrotazionale e solenoidale.

A.7.4 Campi vettoriali generici - Teorema di decomposizione (di ClebshHelmholtz)

Di un campo vettoriale generico v(P,t), definito in un dominio illimitato Q a connessione lineare e superficiale semplici, si possono calcolare gli operatori rotore e divergenza:

rot v(P,t) = w(P,t) div v(P,t) = g(P, t ) (A. 7 .4.1)

il rotore w(P, t) è certamente solenoidale per la (A.7.2.3). Viceversa, dati i campi w.

0i(P,t) e g(P,t), è unico il cainpo v(P, t) fisico che soddisfa le (A.7.4.1); i campi g(P,t)

e w (P,t) costituiscono le sorgenti del cainpo v(P,t). Inoltre v(P,t) può essere decomposto in un unico modo nella so1nma di un ca1n-

m Il campo vettor iale conservativo vcoos ha rotore ovunque nullo: rotvcons"'O. IV I versor i n e t sono associati dalla regola della vite destrogira; il vettore vcons ha circuitazione nulla su qualsiasi linea chiusa. v Nelle applicazioni elettromagnetiche la (A.7.2.6) comporta v

000, (P,t) =O.

"' Diversamente non potrebbe essere verificata la (A.7.2.1).

274 Appendice A

po irrotazionale V;rr(P,t) =-grad p(P,t) e di un campo solenoidale v.01(P,t) = rot q(P,t), essendo p(P,t) il potenziale scalare e q(P, t) il potenziale vettore:

v(P,t) = v,rr(P,t) + v.0i(P,t) =-grad p(P,t) + rot q (P,t)

in cui i due addendi verificano le condizioni:

{rot v tr,(P,t) =O

div V1r,(P,t)=g(P,t) { r~t v.01 (P,tJ _ co(P,t) div v.01 (P,t)-O

• A.8 EQUAZIONI DI POISSON E LAPLACE

A.8.1 Equazione di Poisson scalare

(A. 7 .4.2)

(A.7.4.3)

Si consideri un campo vettoriale irrotazionale (incognito) che in un donlinio a connessione lineare semplice verifichi le condizioni:

rotv(P,t) = O divv(P,t) = g(P,t) (A.8.1.1)

il1 cui sia noto il campo scalare g(P,t); esprimendo il campo vettoriale irrotazionale in funzione del potenziale scalare, secondo la (A.7.1.4), dalla seconda si ottiene l'espressione del laplaciano del potenziale scalare (A.4.4.1), che costituisce un'equazione differenziale non omogenea:

8p(P,t) = divgrad p(P,t) = -g(P,t) (A.8.1.2)

tale equazione prende il nome di equazione di Poisson scalare; dalla sua soluzione si ottiene il potenziale scalare p(P,t) e, derivando questo secondo la (A.7.1.4), il campo vettoriale v(P,t).

A.8.2 Equazione di Poisson vettoriale

Si consideri un campo vettoriale solenoidale (incognito) che in un dominio a connessione superficiale semplice verifichi le condizioni:

divv(P,t) = O rotv(P,t) = w{P,t) (A.8.2.1)

in cui sia noto il campo vettoriale w(P,t); esprimendo il can1po vettoriale solenoidale in funzione del potenziale vettore, secondo la (A.7.2.4), dalla seconda si ottiene l'espressione del laplaciano del potenziale vettore (A.4.4.2), che costituisce un'equazione differenziale non omogenea:

8q(P,t)-grad div q (P,t) = - rotrotq(P,t) = - w(P,t) (A.8.2.2)

ilnponendo che il potenziale vettore sia solenoidale, co1ne indicato in (A.7.2.6), tale equazione diventa:

8 q (P,t)=- w(P,t) (A.8.2.3)

che prende il nome di equazione di Poisson vettoriale; dalla sua soluzione si ottiene il potenziale vettore q(P,t) e, derivando questo secondo la (A.7.2.4), il can1po vettoriale v(P, t).

A.8.3 Equazione di Laplace scalare e vettoriale

Si consideri un campo vettoriale (incognito) irrotazionale e solenoidale in un dominio connesso, tipicamente limitato per quanto detto in§ A.7.3:

rotv(P,t) = O divv(P,t) = O (A.8.3.1)

Se il don1inio è a connessione lineare semplice può essere espresso in funzione del potenziale scalare e, ripetendo le considerazioni del§ A.8.1, si ottiene l'equazione differenziale omogenea:

6p(P,t) = O (A.8.3.2)

che prende il nome di equazione di Laplace scalare. Se il dominio è a connessione superficiale semplice può essere espresso in funzione del potenziale vettore e, ripetendo le considerazioni del § A.8.2, si ottiene l'equazione differenziale omogenea:

6 q(P,t) = O (A.8.3.3)

che prende il nome di equazione di Laplace vettoriale. Se il dominio è a connessione lineare e superficiale se1nplice possono essere dedotte sia la (A.8.3.2) che la (A.8.3.3).

La funzione scalare che soddisfa la (A.8.3.2) e le componenti della funzione vettoriale che, in coordinate cartesiane, soddisfano la (A.8.3.3) sono dette funzioni armoniche. Le funzioni armoniche presentano proprietà notevoli; vanno segnalate le seguenti (dettaf.(P,t) la funzione ar1nonica):

a. il valore di una funzione armonica f.(P,t) in punto P è pari alla inedia dei suoi valori su qualsiasi superficie sferica centrata in P;

b. i massilni e minimi di una funzione armonica f.(P.t) stanno sul contorno del donùnio;

c. se una funzione armonicaf. (P,t) è costante sul contorno, lo è in tutto il dominio.

Le equazioni di Poisson e di Laplace non ammettono soluzioni uniche finché non sono fissate le condizioni al contorno. Non è possibile indicare un metodo generale di soluzione valido per ogni caso, invece la soluzione deve essere cercata in funzione delle caratteristiche specifiche del problen1a .

• A.9 CONCETTI TOPOLOGICI

A.9.1 Materiali che occupano la regione \R

Molti fenomeni fisici sono con1piutamene definiti per 1nezzo di due campi vettoriali v1(P,t) e v2(P,t). La regione in cui è presente il fenomeno può essere occupata dal vuoto o da materiali che si caratterizzano per i legami che stabiliscono tra i due campi. Tali legami, detti relazioni costitutive dei materiali, possono essere del tipo:

v1(P,t) = isz(P.t)v2(P,t)

ove compare il parametro del materiale, 1<1 z(P,t).

(A.9.1.1)

276 Appendice A

Un materiale si dice tempo-invariante se le sue proprietà non variano col tempo [1eizlP,t) = 1e1z(P)). Un n1ateriale si dice omogeneo se le sue proprietà sono le stesse in tutti i punti della regione 9i [1e,2(P,t) = 1e,2(t)], si dice isotropo se le sue proprietà non dipendono dalla direzione delle grandezze vettoriali, si dice lineare se tale risulta il legame che il parametro in considerazione stabilisce tra le due grandezze vettoriali. Per materiale uniforme si intende un materiale tempo-invariante, omogeneo, isotropo e lineare. Solo il vuoto è uniforme quanto a tutti i parametri che caratterizzano un campo fisico. Molti materiali, ma non tutti, possono essere ritenuti uniformi con buona approssimazione.

Alcuni 1nateriali presentano forte non-linearità ed addirittura il legan1e (A. 9 .1.1) può dar luogo a legami non univoci tra i valori dei campi v1(P,t) e v2(P,t), dipendendo forten1ente, oltre che dall'intensità dei can1pi, anche dalla loro "storia", vale a dire dall'evoluzione seguita dai campi vettoriali per giungere ai valori attuali: si tratta di 1nateriali isteretici (che danno cioè luogo ad isteresi).

Alcuni materiali non presentano parallelis1no tra i campi vettoriali v1(P,t) e v

2(P,t). Il legame costituivo assmne natura tensoriale, la sua descrizione richieden

do l'uso di un tensore ( di ordine 2, ovvero di 9 elementi ¾y• x = a,b,c e y = a,b,c), per 111ezzo del quale le tre componenti ortogonali del vettore v1(P,t) sono espresse in funzione delle tre componenti ortogonali del vettore v2(P,t) dalle relazioni:

Vta = lC•• Vza + lCabVzh + lCacVzc

Vtb = lCba Vza + lChbVzh + K1,cVzc

Vtc = 1Cca V2a + lCcbVzh + 1Coc Vzc

(A.9.1.2)

La relazione può essere sinteticamente espressa come v1 =1e,2v2 . Secondo la (A.9.1.2) ciascuna componente del vettore v2(P,t) dà luogo ad un contributo in ciascuna componente del vettore v1(P,t).

A.9.2 Tubi di flusso di un campo vettoriale solenoidale

SnA

Figura A.9.2 .1

Molte fenomenologie fisiche ( ed elettromagnetiche in particolare) sono descritte per mezzo di due campi vettoriali v1(P,t) e v2(P,t) , che si sviluppano nella regione \R, del pruno dei quali è definita la divergenza e del secondo il rotore.

Se il campo v1 (P,t) è solenoidale [div v1 = O] nella regione \R, si può considerare una linea chiusa Cc (non coincidente con una linea vettoriale): l'insie1ne delle linee vettoriali che la intersecano individua una superficie S,ai• nella quale è contenuto un volume chiamato tubo di flusso del vettore (Fig. A .9.2.1). Dato che il campo vettoriale v1 è solenoidale e che nessuna linea vettoriale attraversa S1al' la portata (f>s1(t) di v1 é la stessa per qualunque superficie di taglio Sl' cioè per qualsiasi superficie aperta che taglia tutte le linee del tubo di flusso, avendo per orlo una linea chiusa appartenente alla superficie s1• 1• La portata (1>5 1(t) è quindi grandezza caratterizzante il tubo di flusso.

Se il secondo campo vettoriale v2(P,t) è irrotazionale nel tubo di flusso

[rotv2(P,t) = O] esso ammette ivi superfici equipotenziali. Considerate due distinte superfici tappo SuA ed S08 appartenenti a superfici equipotenziali, queste delimitano un tratto o tronco di tubo di flusso: SuA ed SnB ne costituiscono i "tappi" terminali che, insieme alla superficie laterale del tubo s,.1, individuano il volume del tratto di tubo di flusso (Fig. A .9.2.1). Dato che il can1po vettoriale v2 (P,t) è irrotazionale e che SuA ed SnD sono equipotenziali, l'integrale di linea r AB(t) del campo v2(P,t) é lo stesso per qualunque linea CAB che va da un punto PA di SuA ad un punto PD di S

0D, rimanendo dentro al tronco di tubo di flusso (è cioè indipendente non

solo dallo sviluppo di e AB• 1na anche dalla collocazione dei punti estremi PA e PD, in S,lA e S0D, rispettivan1ente). ~integrale di linea r AB(t) è quindi grandezza caratterizzante il tronco di tubo di flusso.

Essendo il tronco di tubo di flusso caratterizzato dalle grandezze integrali <1)51(t) e r AB(t), risulta utile, in molte applicazioni, qualificarlo sinteticamente per mezzo del parametro:

(A.9.2.1)

se il materiale in cui si sviluppa il tubo di flusso è lineare e tempo invariante ma non necessariamente omogeneo, il rapporto R risulta indipendente dall'intensità dei campi v1 (P,t) e v2(P,t) e tempo invariante .

• A.9.3 RIFRAZIONE

Nella regione \R possono essere contenuti 1nateriali con diverso comportamento rispetto ai campi considerati e quindi diversi parametri caratteristici definiti in § A.9.1. La superficie di separazione :E tra due materiali diversi A e B costituisce allora una superficie di discontinuità sulla quale le linee vettoriali incidono subendo una brusca deflessione, ossia vengono rifratte.

A.9.9.1 Rifrazione di un campo solenoidale ed uno irrotazionale

Se il campo v1(P,t) è solenoidale su :E, allora deve avere componenti ortogonali a :E uguali sulle due facce A e B di :E (Fig. A.9.3. la):

278 Appendice A

(A.9.3.1)

Se v2 (P,t) è un campo irrotazionale su L, allora deve avere componenti tangenti a L uguali sulle due facce A e B di L (Fig. A.9.3.lb}:

(A.9.3.2)

Sulle due facce A e B la relazione costitutiva (A.9.1.1) tra v1(P,t) e v2(P,t) si scrive co1ne:

a)

L (,c11Qne)

~an

B A

r (sezione)

A B

(A .. 9.3.3)

b)

'E (sezione)

B A

Figura A.9.3.1

essendo K 12A e K 128 i parametri dei materiali A e B. Indicando con a e p gli angoli con cui i campi v1(P,t) e v

2(P,t) incidono su L nei materiali A e

B rispettivamente (vale a dire l'angolo che in ciascun 1nateriale formano con il versore norn1ale alla superficie L, Fig. A.9.3.2}, ed esprimendo la (A.9.3.1) come v1Acosa=v18 cosp e la (A.9.3.2) come v2Asen a= v28sen p, si ricava la legge di rifrazione:

(A.9.3.4)

Figura A.9.3.2 Se, ad esempio, ~ 28 > K1 2A le linee vet

toriali dei due campi incidono più ortogonali in A e più radenti in B (Fig.A.9.3.3). Se in particolare K 1 28 >>~2A e se le linee vettoriali nel materiale B incidono con

angoli qualsiasi ma non nulli (O< p < n/2}, allora le linee vettoriali nel materiale A tendono ad incidere ortogonalmente sulla superficie L.


a) E (sezione) b) E (sezione)

VlA

VIA

VI B

Figura A.9.3.3

Appendice I I

SISTEMA DI MISURA INTERNAZIONALE-SI

' • B.1 UNITA FONDAMENTALI

Il Sistema di Misura Internazionale SI considera sette unità fondamentali dalle quali sono dedotte tutte le altre unità derivate. Le sette unità di misura fondamentali sono:

1. metro: (simbolo m) è l'w1ità di misura della lunghezza ed è pari al cammino percorso dalla luce in vuoto in 1/299. 792.458 di secondo.

2. massa: il chilogrammo-massa (simbolo kg) è l'unità di 1nisura della massa ed è pari alla massa del campione di platino-iridio depositato presso il Laboratorio di Sèvres;

3. te1npo: il secondo (sin1bolo s) è l'unità di misura del tempo ed è pari a 9.192.631.770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione fra i due livelli iperfini del Cesio 133;

4. intensità di corrente elettrica: l'ampere (silnbolo A) è l'unità di misura dell'intensità della corrente elettrica ed è definito pari all'intensità di corrente elettrica che, mantenuta costante in due fili di sezione trascurabile, rettilinei, paralleli, infu1itamente lunghi e posti nel vuoto alla distanza di un metro, produce su ogni metro di lunghezza dei fili stessi la forza di attrazione o repulsione pari a 2 · 10-1 kaxm/s2 • o '

5. kelvin: (silnbolo K) è l'unità di 1nisura della temperatura termodinamica ed è la frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua.

6. candela: (simbolo cd) è l'unità di misura dell' intensità luminosa; è pari all'intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette radiazione monocromatica di frequenza 540·101 2 hertz e che ha un'intensità radiante in quella direzione di 1/683 watt per steradiante.

7. quantità di materia: la mole (siinbolo mol) è l'unità di misura della quantità di materia ed è pari alla quantità di materia che contiene tante entità elementari (atomi, 111olecole, ioni) quanti sono gli atomi contenuti in 0,012 kg dell'isotopo carbonio 12.

282 Appendice B

8.1.1 Unità derivate

Le leggi fisiche pennettono di dedurre da queste sette unità fondamentali tutte le altre unità che sono dette derivate, appunto. Ad esempio per quanto riguarda le quantità di interesse della dinamica sono dedotte le seguenti unità derivate.

- velocità: la velocità con cui si muove un corpo ha modulo pari alla derivata temporale dello spostamento: tale legge fisica impone che, dal punto di vista dimensionale, la velocità sia pari ad un rapporto tra lunghezza e tempo e pertanto essa ha dimensione di 1netro al secondo [m/s].

- accelerazione: l'accelerazione del moto, avendo modulo pari alla derivata temporale della velocità, ha dimensione fisica di metro al secondo quadrato (m/s2 ].

- forza: la forza necessaria ad accelerare un corpo, per la legge fondamentale della dinamica, è pari al prodotto di massa per accelerazione e pertanto essa ha dimensione di chilograinmo-massa per metro al secondo quadrato [kg·m/s2

] ,

unità che viene detta newton [N].

- lavoro: il lavoro, essendo pari all'integrale lineare della forza, ha dimensione di newton per metro [Nm], unità che viene detta joule U] '·

- energia: l'energia, essendo omogenea al lavoro, si misura pure in joule m. - potenza: la potenza, essendo data dal prodotto scalare tra forza e velocità ( ovve-

ro dalla derivata temporale del lavoro, o dell'energia), ha din1ensione di newton per metro al secondo, ovvero di joule al secondo: [N · 1n/s] = Uls ], unità che viene detta watt [W].

pressione: la pressione, essendo pari al limite del rapporto tra forza e superficie, ha diinensione di n ewton su metro quadro [N/m2

] , unità che viene detta pascal (Pa].

8.1.2 Multipli e sottomultipli

Quando si devono 1nisurare quantità piccole o grandi rispetto all'unità di misura, è opportuno usare, al posto di queste, i loro sottomultipli e multipli, rispettivamente, al fine di evitare valori numerici molto discosti da uno. Sono prevalentemente usati i sottomultipli e multipli che sono scalati di 10:1 e che si ottengono applicando alle unità i prefissi (e simboli) illustrati in Tabella B.1 :

1 Nella misura del lavoro elettrico trova impiego frequente il chilowattora [kWh]: esso non è proprio del SI ed è pari a: 1 kWh = 3600000 J (= 3,6 MJ), essendo definito dal lavoro prodotto dalla potenza di 1000 1,vatt (= 1 kW) applicata costantemente per il tempo di 1 ora (= 3600 s).

5 ISTEMA DI MISURA INTERNAZIONALE - SI 283

r simbolo fattore moltiplicativo

Sottomultipli

milli- [m-] 1er1

. [µ-] 1()4> nucro-

nano- [n-] 1()-9

. [p-] 10-12 pico-

femto- [f-] 10-1s

atto- [a-] 10-10

1\tfultipli

chilo- [k-] 103

mega- [M-] 106

. [G-] 109 giga-

tera- [T-] 1012

peta- [P-] 101s

exa- [E-] 1010

Tabella 8 .1

Appendice

ALFABETO GRECO

minuscola maiuscola alfa a A beta p B gamma y r delta 8 /:J,.

epsilon s E zeta ç z eta 11 H theta ~.e 0 iota t I kappa K K lambda À, A . M fil o mu µ

. N ni V

csi I; ~ .=. omicron o o

. TI pi 7t

ro p p . }: sigina cr, ç

tau ,; T ipsilon o upsilon \) Y,Y fi q>, $ chi X X .

'P psi \Jf

omega (O Q

Indice analitico

A

Accoppiamento perfetto 135 Accu1nulatore 35 Albero 50 Ammettenza 187

interna 201 Ampere 110; 112 Amperometro 6

a valore efficace 178 Amperspire 111 Ampiezza 161; 245 Analisi delle reti elettriche 164 Anello 49; 68; 199 Anodo 43 Antirisonanza 205; 207 Armature 86 Autoammettenza di nodo 200 Autoconduttanza di nodo 71 Autoimpedenza di anello 199 Autoinduttanza 118 Autoreattanza 213 Autoresistenza di anello 69 Avvolgiinento:

B

solenoidale 120; 122 toroidale 120

Bipolo 14; 72; 126; 174 condensatore 90; 93 induttore 126; 128 parallelo 60 serie 58

e

Calcolo simbolico 170 Campo:

conservativo 11 conservativo del flusso 105 dielettrico 81 irrotazionale 8 solenoidale 5 elettrostatico 8 di corrente 3; 5; 24 di corrente solenoidale 5 diinduzione1nagnetica 105; 156 elettrico 7; 9 109 elettrico coulombiano 7; 8 elettrico indotto 108; 109 elettrostatico 8 1nagnetico 109; 110; 120 scalare 5; 8 spostamento elettrico 81 vettoriale 3; 259; 263; 265; 267; 273

Capacità 86 Caratteristica:

di magnetizzazione 211 di traferro 152 esterna 41

Carica: elementare 1 libera 2 puntiforme 3

Carico 33; 77; 159; 227; 228; 229; 230; 235;249;251

equilibrato 224 Catodo 43

288

Centro stella 63; 193; 219 Ciclo 162

di isteresi 114; 138 Cifra di perdita 211 Circuitazione 110; 263 Circuito magnetico 148; 149

con 1nagneti permanenti 151 Circuito:

aperto 42 induttore 118 1nagnetico 148; 149; 150; 151

Coalbero 51 Coefficiente:

di accoppiamento 135 di autoinduzione 119 di mutua induzione 125 di temperatura 21

Collegamento: a stella con neutro 223; 227 a stella senza neutro 223 a triangolo 224; 230

Condensatore: cilindrico 88 ideale 183 piano 86; 87; 88 sferico 89

Condensatori: in parallelo 97 in serie 96

Condizione: elettrostatica 9 stazionaria 9 variabile quasi-elettrostatica 90 variab. quasi-n1agnetostatica 127

Conducibilità 21 Conduttanza:

elettrica 20 interna 63

Conduttore: cilindrico 26; 122 filiforme 25; 157 sferico 26

Connessione: lineare semplice 260 superficiale semplice 260

Conservazione: delle potenze complesse 198

Indice analitico

delle potenze elettriche 45; 56 Convenzione:

degli utilizzatori 46 dei generatori 46

Conversione elettro1neccanica 155; 157; 158 Coordinate:

cartesiane 166 cilindriche 123 sferiche 265

Corrente: ciclica 199 di anello 68; 199 di conduzione 2; 81 di convezione 2 di cortocircuito 73 di Foucault 208 di spostamento 101 elettrica 2; 3; 281 in1pressa 39 impressa di nodo 71 nei conduttori filiformi 4 simbolica impressa nel nodo 200 totale 102; 111

Cortocircuito 42 Costante:

di integrazione 251 di te1npo 94; 131 dielettrica 81 magnetica 113

Coulomb 7 Curva: dei vertici dei cicli di isteresi simmetrici 115 di prima magnetizzazione 114

D

D.d.p. 11 Densità:

di carica 1 di carica libera 2 di corrente di spostamento 102 di corrente elettrica 3

) NDICE ANALITICO

di corrente totale 102 di energia elettrostatica 99 di energia magnetica 136; 137 di forza ponderomotrice 157 di potenza dissipata per correnti parassite 209 di potenza elettrica 158 di potenza meccanica 158 di potenza dissipata per isteresi 139 superficiale di carica 1

Derivata direzionale 262 Diagrarmna fasoriale 172 Differenza di potenziale 11

Diodo: a semiconduttore 43 ideale 44 raddrizzatore 41

Divergenza 265; 266; 270 Doppio bipolo 17

induttore 126; 128

• E

Effetto: Joule 20 pelle 213

Elettrolita 22 Energia:

elettrostatica 97 induttiva 183 n1agnetica 134; 135; 136 n1agnetica nel traferro 147 n1agnetostatica 134

Equazione: di Laplace 275 di Maxwell 109; 112 di Poisson 274 dei potenziali ai nodi 70 delle correnti di anello 68 differenziale 240 topologica 54

Espansioni polari 145

• F

F.e.m. del generatore 35 di anello 69 indotta 107 n1ozionale 107 simbolica di anello 199 trasformatorica 107

F.m.m. 149 Farad 86 Fase 221

anticipo 163 iniziale 161 istantanea 161 interna 226

Fasore 164; 170 Fattore:

di forma 163 di merito 203 di potenza 176

Flusso 263 autoconcatenato 137 concatenato 106; 124 di autoinduzione 119 di induzione 105

Formula: di Steinmetz 139; 164

Forza: coercitiva 114 controelettromotrice 160 di Lorentz 156

289

elettrica specifica generatrice 31 elettrica specifica mozionale 155 elettrica specifica 9 elettromotrice 32; 155 elettromotrice mozionale 155 magnetomotrice 149 pondero1notrice elettrodinamica 156

Frequenza 162; 202; 203 Funzione:

periodica 161 sinusoidale 161

290

G

Generatore 39 di f.e.m. 93 elettrico 77 elettrochimico 35 elettromeccanico 36 fotovoltaico 36 ideale di corrente 60 ideale di corrente sinusoidale 180 ideale di tensione 39; 58 ideale di tensione sinusoidale 180 ideale simbolico di corrente 196 ideale siI11bolico di tensione 169 lineare di corrente 61; 76 lineare di tensione 58; 73 lineare sin1bolico 197 piezoelettrico 36 ter1noelettrico 36 trifase 223

Gradiente 264; 270 Grafo 49

a H

Henry 103

•• hnpedenza 186

interna 201 mduttanza 119 mduttore 118

ideale 182 solenoidale 120 toroidale 119

mduttori: in parallelo 132 in serie 133 mutuamente accoppiati 212

mduzione: al ginocchio 115 elettromagnetica 107 residua 114

mgresso 240

Indice analitico

msieme di taglio 49 mtegrale:

dell'o1nogenea 253 di l inea 263 di volu1ne 264; 270

mtensità di corrente elettrica 2; 281 mterruttore:

che apre 43 che chiude 43

Isofrequenziale 163 Isolante 13 Istante critico 239 Isteresi 114; 138

J

Joule 19

a L

Lacuna 22 Lamierini 208 Laplaciano 267 Lato 49 Lavoro elettrico 47 Legge:

di Ampère 110 di Ampère-Maxwell 112 di Biot-Savart 104; 110 di circuitazione 110 di continuità 5 di Coulomb 7 di Faraday-He11ry 107 di Faraday-Neumann 106; 107 di Gauss 82 di Hopkinson 143; 149 di Kirchhoff ai fasori 189 di Kirchhoff delle correnti 52 di Kirchhoff delle tensioni 53 di Lenz 108 di Ohm 19 di Oh1n alle grandezze spec. 24 di Ohm per i circuiti magnetici 149 dell'interazione elettromagnetica 157

) NDICE ANALITICO

Linea: bifilare 90; 123; 140 vettoriale 261

LKC 52; 54; 189 LKT 53; 54; 189

M

M-bipolo 17; 46 Macchina elettrica lineare 159 Macchina elettrica rotante 117; 149 Maglia 14; 49 Magnete permanente 152 Niateriale:

amagnetico 113; 145 conduttore 122; 57 diamagnetico 113 dielettrico 81 ferromagnetico 113; 144 ferromagnetico dolce 115 ferromagnetico duro 115 ferromagnetico 114 isolante 24 parainagnetico 113 semiconduttore 22

Nietodo: dei potenziali ai nodi 200 delle correnti di anello 68 della sovrapp. degli effetti 65; 199

Morsetto 6 Mutua:

ammettenza tra i nodi 200 conduttanza tra nodi 71 iinpedenza tra anelli 199 induttanza 125 reattanza 213 resistenza tra anelli 69

Mutuo induttore 124

N

N-polo 16 Nabla 269

Neutro 219 Nodo 14; 49

di massa 70 Nucleo:

o

lamellato 210 ferromagnetico 144

Ohm 19; 149 Operatore complesso 171 Opposizione di fase 164

p

Parallelo: di bipoli generici 60 di bipoli passivi 191; 194 di condensatori 96 di induttori 132 di resistori 61

Partitore: di corrente resistivo 62 di tensione resistivo 59

Perdite: dielettriche 101 per correnti parassite 208 per isteresi 138

Periodo 162

291

Permeabilità magnetica 103; 113 Permittività dielettrica 81 Pila:

di Volta 35 a secco 35

Polarizzazione 83 Poligono o stella di bipoli 192 Porta elettrica 16 Potenza:

apparente 176; 179; 234 apparente trifase 234 attiva 176; 234 attiva trifase 234 complessa 177 complessa trifase 234

292

dissipata per correnti parassite 209

elettrica 39; 45 elettrica erogata 35 elettrica generata 34 fluttuante 175 istantanea 175 istantanea trifase 233 reale 176

reale trifase 234 reattiva 176; 234 reattiva trifase 234 specifica dissipata 24

Potenziale: elettrico scalare 9

scalare 272 vettore 273 ai nodi 70

Pressione magnetica al traferro 147 Prima legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici 149

Principio: di Kirchhoff 189 di Kirchhoff in forma siinbolica 189

Propagazione 112 Proprietà di sostituzione 72; 200 Pulsazione 170

di risonanza 206

Quadratura 164 Quadrupolo 16 Quantità di carica 1

R

Radiazione 112 Rapporto:

tra fasori 171

Indice analitico

Rappresentazione simbolica 165 Reattanza:

capacitiva 184 induttiva 183

Regime stazionario 33; 57; 129 Regola della vite destrogira 104; 107;264 Relazione costitutiva:

del campo di corrente 24 del campo dielettrico 81 del campo n1agnetico 109 del materiale 275

Rendimento: del generatore 7 8 di carica 98

Resistenza: elettrica 19 interna 34; 63 interna del generatore 79

Resistività 21 Resistore 27

ideale o lineare 39 ideale passivo 181

Rete: elettrica 13; 49 lineare 65 magnetica 148 ridotta monofase 231 simbolica 196 sinunetrica ed equilibrata 22 7 trifase a quattro fili; o con neutro 219 trifase a tre fili; o senza neutro 228

Rifasan1ento del carico 235 Riferimento di tensione e corrente 45 Rifrazione 277

del campo n1agnetico 146 Rigidità dielettrica 83; 84 Riluttanza 142; 143; 147

Risonanza: parallelo 205 serie 202

) NDICE ANALITICO

Risposta 240 Rotore 265

s

Seconda: equazione di Maxwell 109 legge dell'azione elementare di Laplace 157 legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici 150

Secondo principio di Kirchhoff in forma silnbolica 189 Selettività 204; 207 Sen1iconduttore 24 Serie:

di bipoli generici 57 di bipoli passivi 190 di condensatori 96 di induttori 132 di resistori 59

Sfasainento 163 tra tensione e corrente 174

Sie1nens 20 Silnmetria 26 Sintesi:

parallelo di un'impedenza 195 serie di un'impedenza 194

Sistema: di maglie fondél.lllentali 68 trifase 217

Solenoide 120 Spessore di penetrazione 214 Spostél.lllento elettrico 81 Stella a tre vertici 63; 192 Superconduttore 21 Superficie:

di livello 261 equipotenziale 272 polare 147

Suscettanza: capacitiva 188 induttiva 188

• r

Taglio 49 Tensione:

a vuoto 33; 75 di linea 222 elettrica 7; 1 O n1agnetica 142 stellata 221; 222

Teorema: del gradiente 270

293

del generatore equivalente 73 del rotore (di Stokes) 270 della divergenza (di Gauss) 270 di deco1nposizione (di ClebshHelmholtz) 273 di Norton 75 di Norton sin1bolico 201 di Thévenin 73 di Thévenin simbolico 200

Terminale 14 Termocoppia 36 Terna:

delle correnti delle fasi interne 225 delle correnti di linea 225 delle tensioni concatenate 221 delle tensioni di fase 221 silnn1etrica di f.e.1n. 218

Tesla 104 Topologia 49 Traferro 145 Transistor 43 Transitorio di carica 94; 131 Trasformata silnbolica 165 Trasformatore 17 Trasfor1nazione di Steinmetz 165 Trasfor1nazione:

stella-triangolo 64 triangolo-stella 63

Triangolo 63; 224 Triplo bipolo 17 Tripolo 16 Tubo di flusso 141; 276

294

u

di B 142 diD 99 diJ 25

Uscita 240 della rete 249

Utilizzatore 77

V

Valore: efficace 162; 178 iniziale 92; 127 medio 162; 178

Varistore 28 Volt 8 Voltmetro 12

a valore efficace 17 8

w

Watt 20; 45 Wattlnetro 48

a valore medio 178 Weber 105

Indice analitico

Elettrotecnica 1 - Principi

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