Transformações de Funções de

Transferências Analógicas para Digitais

e Transformações Espectrais

Projeto de Filtros IIR

Introdução

• Métodos mais usados para obtenção de funções de transferência de filtros digitais 𝐺(𝑧) a partir das de filtros analógicos 𝐻 𝑠 :

Invariância ao impulso

Transformação Bilinear

Invariância ao Impulso

• Dada a função de transferência 𝐻(𝑠) de um filtro analógico, sua resposta ao impulso é

ℎ 𝑡 = ℒ−1 𝐻(𝑠)

• Amostrando ℎ(𝑡), com período de amostragem 𝑇, tem-se:

𝑔 𝑛 = 𝑇ℎ 𝑛𝑇 , 𝑛 = 0,1,2,⋯

• A função de transferência do filtro digital é então dada por

𝐺 𝑧 = 𝒵 𝑔(𝑛)

Invariância ao Impulso

• Sabemos que a relação entre a CTFT do sinal analógico ℎ 𝑡 e a DTFT do sinal digital 𝑔 𝑛 é:

𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑗𝜔

𝑇+ 𝑗

2𝜋𝑛

𝑇

∞

𝑛=−∞

• Se 𝐻 𝑗Ω = 0 para Ω > 2𝜋/𝑇, então não haverá distorção na resposta em frequência do filtro digital, ou seja, esta terá a mesma forma (ripples) da do filtro analógico, respeitando a relação linear entre a frequência analógica Ω e digital 𝜔:

𝜔 = Ω𝑇

Invariância ao Impulso

Invariância ao Impulso

• A função de transferência de um filtro analógico de ordem 𝑁 pode ser escrita como:

𝐻 𝑠 = 𝐴𝑘

𝑠 − 𝛼𝑘

𝑁

𝑘=1

sendo sua resposta ao impulso dada por

ℎ 𝑡 = 𝐴𝑘𝑒𝛼𝑘𝑡𝑢(𝑡)

𝑁

𝑘=1

Invariância ao Impulso

• O filtro digital obtido pelo método da invariância ao impulso terá resposta ao impulso

𝑔 𝑛 = 𝑇. ℎ 𝑛𝑇 = 𝑇 𝐴𝑘𝑒𝛼𝑘𝑛𝑇𝑢(𝑛)

𝑁

𝑘=1

e função de transferência

𝐺 𝑧 = 𝑇 𝐴𝑘

1 − 𝑒𝛼𝑘𝑇𝑧−1

𝑁

𝑘=1

Invariância ao Impulso

• O filtro digital obtido pelo método da invariância ao impulso terá resposta ao impulso

𝑔 𝑛 = 𝑇ℎ 𝑛𝑇 = 𝑇 𝐴𝑘𝑒𝛼𝑘𝑛𝑇𝑢(𝑛)

𝑁

𝑘=1

e função de transferência

𝐺 𝑧 = 𝑇 𝐴𝑘

1 − 𝑒𝛼𝑘𝑇𝑧−1

𝑁

𝑘=1

Invariância ao Impulso

• Portanto, partindo de um filtro analógico estável, onde ℛℯ{𝛼𝑘} < 0, 𝑘 = 1, ⋯ ,𝑁, o filtro digital obtido pelo método da invariância ao impulso será também estável, pois:

𝑒𝛼𝑘𝑇 = 𝑒ℛℯ{𝛼𝑘}𝑇+𝑗ℐ𝓂{𝛼𝑘}𝑇 = 𝑒ℛℯ{𝛼𝑘}𝑇 < 1

• A resposta em frequência do filtro digital ( 𝜔 ≤ 𝜋)

terá a mesma forma da do filtro analógico ( Ω ≤𝜋/𝑇) se

𝐻(𝑗Ω) Ω≥𝜋/𝑇

≈ 0

Transformação Bilinear

• No método da transformação bilinear, faz-se um mapeamento do domínio 𝑠 para o domínio 𝑧, através da transformação:

𝑠 =2

𝑇

1 − 𝑧−1

1 + 𝑧−1

• A função de transferência do filtro digital é dada por

𝐺 𝑧 = 𝐻(𝑠) 𝑠=

2𝑇

1−𝑧−1

1+𝑧−1

Transformação Bilinear

• Portanto, no método da transformação bilinear, um ponto no

plano 𝑠 é mapeado em um único ponto no plano 𝑧. • Fazendo-se 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔 e s = 𝜎 + 𝑗Ω, temos:

𝜎 + 𝑗Ω =2

𝑇

𝑟𝑒𝑗𝜔 − 1

𝑟𝑒𝑗𝜔 + 1=

2

𝑇

(𝑟2−1) + 𝑗2𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜔

𝑟𝑒𝑗𝜔 + 1 2

𝑟 < 1 ⟺ 𝜎 < 0, ou seja, o semiplano lateral esquerdo do

plano 𝑠 é mapeado dentro do círculo unitário no plano 𝑧. 𝑟 > 1 ⟺ 𝜎 > 0, ou seja, o semiplano lateral direito do

plano 𝑠 é mapeado fora do círculo unitário no plano 𝑧. 𝑟 = 1 ⟺ 𝜎 = 0, ou seja, o eixo imaginário do plano 𝑠 é

mapeado sobre a circunferência unitária no plano 𝑧.

Transformação Bilinear

• O mapeamento entre as frequências analógica e digital é obtido

fazendo 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔 e s = 𝑗Ω:

𝑗Ω =2

𝑇

𝑒𝑗𝜔 − 1

𝑒𝑗𝜔 + 1=

2

𝑇

𝑗𝑒𝑗𝜔/2𝑠𝑒𝑛 𝜔/2

𝑒𝑗𝜔/2cos(𝜔/2)=

2

𝑇jtan(𝜔/2)

ou seja, o mapeamento é não-linear:

𝛺 =2

𝑇𝑡𝑎𝑛(𝜔/2)

O eixo imaginário do plano s é inteiramente mapeado uma só vez sobre o círculo unitário no plano 𝑧.

Transformação Bilinear

Distorção introduzida pelo mapeamento bilinear nas especificações do filtro:

Exemplo

Exemplo: O filtro analógico passa-baixas Butterworth de 1a. ordem com frequência de corte Ω𝑐 = 1 tem função de transferência:

𝐻(𝑠) =1

𝑠 + 1

Encontre a função de transferência dos filtros digitais passa-baixas com frequência de corte 𝜔𝑐 = 𝜋/8 obtidos pelos métodos da invariância ao impulso e da transformação bilinear . (i) Método da invariância ao impulso:

𝐺 𝑧 =𝑇

1 − 𝑒𝛼𝑇𝑧−1

sendo 𝛼 = −1 (polo de 𝐻(𝑠)) e 𝑇 escolhido tal que

𝜔𝑐 = Ω𝑐𝑇

ou seja, 𝑇 = 𝜋/8.

Exemplo

Portanto, a função de transferência resultante é

𝐺 𝑧 =𝜋/8

1 − 𝑒−𝜋/8𝑧−1=

0,3927

1 − 0,6752𝑧−1

Para verificar se não há distorção significativa na resposta em frequência (devido à amostragem de ℎ(𝑛)), devemos calcular o ganho máximo de 𝐻 𝑠 para frequências acima de Ω = 𝜋/𝑇. Como a aproximação de Butterworth é monotonicamente decrescente, basta calcular

𝐻 𝑗𝜋/𝑇 = 𝐻 𝑗8 = 0,3927 65 = 0,0487 Podemos concluir que haverá uma diferença não desprezível na resposta em frequência do filtro digital em relação à do filtro analógico.

Exemplo

(ii) Método da transformação bilinear:

Do mapeamento não-linear entre as frequências analógica e digital temos:

𝑇 =2

Ω𝑐tan

𝜔𝑐

2= 2 tan

𝜋

16= 0,3978

Portanto, fazendo

𝑠 =2

0,3978

1 − 𝑧−1

1 + 𝑧−1

em 𝐻(𝑠), obtemos a função de transferência

𝐺 𝑧 =1 + 𝑧−1

6,0273 − 4,0273𝑧−1

Exemplo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4M

agnitude

frequência

Invariância ao Impulso

Transformação Bilinear

Transformações Espectrais

• Transformações em frequência são usadas para obter, a partir de uma função de transferência passa-baixas digital 𝐻𝐿𝑃(𝑧), filtros passa-altas, passa-banda, rejeita-faixa, ou passa-baixas com diferente faixa de passagem 𝐻(𝑧).

• Faz-se 𝑧 = 𝑔 𝑧 em 𝐻𝐿𝑃 𝑧 , ou seja: 𝐻 𝑧 = 𝐻𝐿𝑃(𝑔(𝑧)).

• O mapeamento deve ser tal que uma função racional estável

𝐻𝐿𝑃 𝑧 seja transformada numa função também racional e estável 𝐻 𝑧 , o que implica que:

𝑔 𝑧 seja uma função racional de 𝑧 O interior do círculo unitário no plano𝑧 seja mapeado no

interior do círculo unitário no plano 𝑧 Pontos sobre o círculo unitário no plano𝑧 sejam mapeados

sobre o círculo unitário no plano 𝑧

Transformações Espectrais

• Sejam 𝜃 e 𝜔 as variáveis de frequência nos planos 𝑧 e 𝑧, ou

seja, nos respectivos círculos unitários temos 𝑧 = 𝑒𝑗𝜃 e 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔.

• Para que a terceira condição seja atendida, é necessário que

𝑒𝑗𝜃 = 𝑔(𝑒𝑗𝜔) 𝑒𝑗∠𝑔(𝑒𝑗𝜔)

𝑔(𝑒𝑗𝜔) = 1 e ∠𝑔 𝑒𝑗𝜔 = 𝜃 ⟹ 𝑔(𝑧): função passa-tudo

Forma geral de 𝑔(𝑧) passa-tudo:

𝑔 𝑧 = ± 𝑧 − 𝛼𝑘

1 − 𝛼𝑘𝑧

𝑁

𝑘=1

Transformações Espectrais

• A escolha de valores apropriados de 𝑁 e 𝛼𝑘 leva a uma variedade de mapeamentos.

• As funções 𝑔 𝑧 utilizadas para o mapeamento de uma função

passa-baixas em funções passa-baixa (de diferente frequência de corte), passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa são dadas a seguir.

Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em passa-baixas com

frequência de corte 𝜔𝑐:

𝑔 𝑧 =𝑧 − 𝛼

1 − 𝛼𝑧

sendo

𝛼 =𝑠𝑒𝑛

𝜃𝑐 − 𝜔𝑐2

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 + 𝜔𝑐

2

Transformações Espectrais

Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em passa-altas com frequência de corte 𝜔𝑐:

𝑔 𝑧 = −𝑧 − 𝛼

1 − 𝛼𝑧

sendo

𝛼 =𝑐𝑜𝑠

𝜔𝑐 + 𝜃𝑐2

𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 − 𝜃𝑐

2

Transformações Espectrais

Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em passa-faixa com frequências de corte 𝜔1 e 𝜔2:

𝑔 𝑧 = −𝑧2 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2

1 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2𝑧2

sendo

𝛽1 =−2𝛼𝐾

𝐾 + 1, 𝛽2 =

𝐾 − 1

𝐾 + 1

𝐾 = 𝑐𝑜𝑡𝜔2 − 𝜔1

2𝑡𝑎𝑛

𝜃𝑐

2

𝛼 =𝑐𝑜𝑠

𝜔2 + 𝜔12

𝑐𝑜𝑠𝜔2 − 𝜔1

2

Transformações Espectrais

Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em rejeita-faixa com frequências de corte 𝜔1 e 𝜔2:

𝑔 𝑧 =𝑧2 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2

1 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2𝑧2

sendo

𝛽1 =−2𝛼

𝐾 + 1, 𝛽2 =

1 − 𝐾

𝐾 + 1

𝐾 = 𝑐𝑜𝑡𝜔2 − 𝜔1

2𝑡𝑎𝑛

𝜃𝑐

2

𝛼 =𝑐𝑜𝑠

𝜔2 + 𝜔12

𝑐𝑜𝑠𝜔2 − 𝜔1

2

Transformações Espectrais

• Exemplo 1: Obter um filtro passa-altas com frequência de corte 𝜔𝑐 = 𝜋/2 a partir da função passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 = 𝜋/8:

𝐻𝐿𝑃 𝑧 =1 + 𝑧−1

6,0273 − 4,0273𝑧−1

Basta substituir a variável 𝑧 em 𝐻𝐿𝑃 𝑧 por

𝑔 𝑧 = −𝑧 − 𝛼

1 − 𝛼𝑧

com

𝛼 =𝑐𝑜𝑠

𝜋/2 + 𝜋/82

𝑐𝑜𝑠𝜋/2 − 𝜋/8

2

= 0,6682

Transformações Espectrais

• Exemplo 2: Obter um filtro passa-faixa com frequências de corte 𝜔1 = 0,2𝜋 e 𝜔2 = 0,6𝜋 a partir da função passa-baixas do exemplo 1.

Basta substituir a variável 𝑧 em 𝐻𝐿𝑃 𝑧 por

𝑔 𝑧 = −𝑧2 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2

1 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2𝑧2

com

𝛼 =𝑐𝑜𝑠 0,4𝜋

𝑐𝑜𝑠 0,2𝜋= 0,3820, 𝐾 = 𝑐𝑜𝑡 0,2𝜋 𝑡𝑎𝑛

𝜋

16= 0,2738

𝛽1 =−2𝛼𝐾

𝐾 + 1= −0,1642, 𝛽2 =

𝐾 − 1

𝐾 + 1= −0,5701