Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 1 Reti elettriche Una rete elettrica consiste in una opportuna...

Tor Vergata

M. Salerno 1Kirchhoff

Reti elettricheUna rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti

A volte invece che rete elettrica si utilizza la locuzione circuito elettrico.Nel presente contesto le due locuzioni sono quasi sinonimi.Ciò non è vero in generale.

Esempi

In elettronica si dice circuito elettronico e circuito integrato, ecc.

In telecomunicazioni, si dice circuito telefonico, circuito a due o a quattro fili, circuito di giunzione, per indicare singole connessioni operative. Invece, rete telefonica indica l’insieme dei circuiti usati in un certo ambito (p. es., rete telefonica interurbana).

In impiantistica, si dice rete elettrica di trasmissione o di distribuzione.

Una rete elettrica è ottenuta assegnandoi componenti , i nodi della rete e la tabella di connessione

Esempio: rete di 7 componenti e 5 nodi

Componenti

+

Nodi1 2 3 4 5

R1 1 2Vg 1 4L 4 5R2 3 5

C 2 3Ig 3 5T1 2 5T2 3 4

Tabella di connessione

La tabella di connessione descrive completamente la rete e viene impiegata, p.es., nei sistemi di analisi automatica.

Le reti elettriche possono essere estremamente complesse.P.es., nei circuiti integrati si possono avere reti con milioni di componenti e centinaia di migliaia di nodi

Ogni riga della tabella di connessione è detta ramo della rete

Si ha un ramo per ogni componente bipolare

Si hanno 2 rami per ogni componente 2-porte

Esempi:Il ramo L 4 5 corrisponde all’induttore

I rami T1 2 5T2 3 4 corrispondono al trasformatore

L’insieme dei fili di connessione è spesso detto schema di cablaggio. Tale schema è spesso utile per l’effettivo montaggio del circuito.Tuttavia lo schema di cablaggio è spesso di difficile lettura.

Si possono ottenere schemi elettrici semplificati disponendo opportunamente i nodi nel piano

1

2 34

5

+

Tor Vergata


Il grafo di una rete elettrica è uno schema di connessione che prescinde dai componenti usati

Grafo di una rete elettrica

Ramo

Nel grafo non sono indicati i componenti, ma solo i relativi rami, rappresentati da segmenti

Esempio+

Rete elettrica

1

2 34

5Grafo

I rami del grafo sono identificati con lettere o con numeri

a b

cd

e

f

g

h

Per ogni ramo occorre considerare una tensione e una corrente. Per tutti rami è usata la convenzione delle potenze entranti:

Ramo k-esimo +vk , ik

Per semplicità il segno della tensione non viene indicato:

Ramo k-esimovk , ik

Scegliendo per ogni ramo un verso arbitrario si ottiene il grafo orientato o schema topologico della reteGrafo orientato

orientato

Matrice di connessione [C ] ,

di dimensioni R x N con R = numero dei rami N = numero dei nodi

Cij = -1 se il ramo i esce dal nodo

j = 1 se il ramo i entra nel nodo j = 0 altrimentiEsempio: R = 8 ; N = 5

rami 1 -1 0 0 0-1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 -1

[C ] =

1 2 3 4 5

abc

def

g

h

nodi

Tor Vergata


Leggi di KirchhoffDato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff

Legge di Kirchhoff alle tensioni:La somma algebrica delle tensioni presenti su una maglia della rete è uguale a zero

Maglia: un insieme di rami che individua un percorso chiuso

Verso di maglia: l’ordine di percorrenza del percorso chiuso

Il segno della tensione è positivo (negativo) se il verso di ramo coincide (non coincide) con il verso di maglia

Esempi

Esempio

Grafo orientato

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Maglia abge

Esempio

Maglia abge

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

hVerso di maglia: orario

Legge di Kirchhoff alle tensioni

Va + Vb + Vg + Ve = 0

Esempio

Maglia hed

Maglia hed

Verso di maglia: orario


Vh - Ve – Vd = 0

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato

Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti

Esempio

Maglia abge

abge

Esempio : maglia

Va + Vb + Vg + Ve = 01

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Esempio gcd - Vg + Vc + Vd = 0

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

; gcdMaglia abge

Il ramo g è percorso dalle due maglie con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha

Va + Vb + Vc + Vd + Ve = 0

abcdeche è l’equazione alla maglia

Esempio

Maglia abge gcd+ = abcde

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Tor Vergata


Leggi di KirchhoffDato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff

Legge di Kirchhoff alle correnti:La somma algebrica delle correnti, che attraversano un taglio della rete, è uguale a zero

Taglio: un insieme di rami che divide la rete in due parti non connesse

Esempi

Esempio

Grafo orientato

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Taglio hdfgb

Esempio

Taglio hdfgb

Se si tagliano i rami individuati dal taglio, le sottoreti relative ai nodi [3,2,1] e ai nodi [4, 5] risultano separate

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si può assegnare un verso convenzionale al taglio, p. es., dai nodi [4, 5] ai nodi [3,2,1]

In molti casi un taglio separa un solo nodo da tutti gli altri

EsempiEsempio

Taglio aeh

Taglio aeh

Verso del taglio: dal nodo [2] ai nodi [1, 3, 4, 5]

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Taglio egfd

Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3]

Esempio

Taglio egfd

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Nella legge di Kirchhoff, il segno della corrente è positivo (negativo) se il verso di ramo è concorde (non concorde) con il verso del taglio

Esempi

Taglio egfdVerso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3]

- Ie + Ig - If + Id = 0

Esempio

Taglio hdfc

Taglio hdfcVerso del taglio: dai nodi [2,3,1,4] al nodo [5]

- Ih – Id + If + Ic = 0

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Taglio agcVerso del taglio: dai nodi [2,3,5] al nodo [1, 4]

Ia – Ig – Ic = 0

Esempio

Taglio agc

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato

Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti

Esempio: taglio

agc Ia – Ig – Ic = 0Esempio

Taglio agc ; aeh

aeh - Ia + Ie + Ih = 01

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Il ramo a appartiene ai due tagli con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha

- Ig – Ic + Ie + Ih = 0

Esempio

Taglio agc aeh+ = gcehche è l’equazione del taglio gceh

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Tor Vergata


Leggi di KirchhoffLe leggi di Kirchhoff dipendono dal grafo del circuito, ma non dipendono dai componenti presenti.Due circuiti diversi, aventi lo stesso grafo, soddisfano le stesse leggi di Kichhoff.

Le leggi di Kirchhoff si esprimono in generale nel modo seguente:

k k Vk = 0 ; k k Ik = 0 con k = 1, … R e k e k pari a +1, -1, 0

R: numero dei rami (si ha coefficiente zero quando una corrente o una tensione non appare in una certa legge di Kirchhoff)

Le leggi di Kirchhoff si esprimono con equazionilineari, algebriche (prive di operatori differenziali), omogenee (prive di termini noti)

Le leggi di Kirchhoff valgono nel dominio del tempo.Essendo equazioni lineari, algebriche, a coefficienti costanti, valgono anche in qualunque dominio trasformato, definito da operatori lineari.

Le leggi di Kirchhoff si esprimono, nei domini del tempo, dei fasori e di Laplace,nello stesso modo e con gli stessi coefficienti k e k :

k k vk(t) = 0 ; k k ik(t) = 0 (dominio del tempo)

k k V k = 0 ; k k I k = 0 (dominio dei fasori)

k k Vk(s) = 0 ; k k Ik(s) = 0 (dominio di Laplace)

I domini di interesse nella analisi delle reti sono:

dominio del tempo, grandezze elettriche vk(t) , ik(t) dominio dei fasori, grandezze elettriche V k , I k (per il regime permanente)

dominio di Laplace, grandezze elettriche Vk (s) , I k (s)

Tor Vergata


Albero, coalberoUn insieme indipendente

di Leggi di Kirchhoff è tale che:

nessuna Legge appartenente all’insieme è combinazione

delle altre

ogni ulteriore Legge è combinazione delle Leggi appartenenti all’insieme

Per individuare insiemiindipendenti di Leggi di Kirchhoff, il grafo orientato della rete viene suddiviso in due sottografi complementari,

detti AlberoAlbero e CoalberoCoalbero

Per l’analisi di una rete, occorre individuare :

Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni

Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti

Determinazione dell’Albero e del CoalberoSi tolgano alcuni rami dal grafo, in modo che:

non sia più presente nessuna maglia

il grafo rimanga connesso

Insieme dei rami residui: albero Insieme dei rami tolti: coalbero

Esempio

Esempio

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si può togliere qualsiasi ramo

Rami residui: abcdefgh Rami tolti: nessuno

Si tolga il ramo a

Rami residui: bcdefghRami tolti: a

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si può togliere qualsiasi ramo

eccetto il ramo b (altrimenti il nodo 1 non è più connesso al resto del grafo)

Si tolga il ramo e

Rami residui: bcdfghRami tolti: ae

Esempio

Si può togliere qualsiasi ramo ,

eccetto i rami bh

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si tolga il ramo f

Rami residui: bcdghRami tolti: aef

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si tolga il ramo d

Rami residui: bcghRami tolti: aefd

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Non si può togliere più alcun ramo

Albero: bcghCoalbero: aefd

R : numero dei ramiN : numero dei nodi

RA : numero dei rami dell’alberoRC : numero dei rami del coalbero

Nel caso dell’esempioRA = N – 1 = 4 ; RC = R – N + 1 = 4

[ in generale non risulta RA = RC ]

RA = 4 ; RC = 4 Nel caso generale, risulta:

RRCC = R – N + 1 = R – N + 1

RRAA = N – 1 = N – 1

Un numero di rami pari a N-1 permette di connettere N nodi, senza dare luogo

ad alcuna maglia

Albero: bcghCoalbero: aefd

Alcune coppie albero / coalbero

Esempio RA = 4 ; RC = 4

Albero: bcdhCoalbero: aefg

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Albero: bcdhCoalbero: aefg Esempio RA = 4 ; RC = 4

Albero: abefCoalbero: cdgh

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Albero: abefCoalbero: cdgh


Albero: abcdCoalbero: efgh

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h


Ai fini della presente trattazione tutte le coppie albero / coalbero sono equivalenti

Tor Vergata


Leggi alle tensioniSe si aggiunge all’albero un ramo Se si aggiunge all’albero un ramo del coalbero, si ottiene una magliadel coalbero, si ottiene una maglia

Tale ramo è detto

ramo di chiusura



Esempio

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si aggiunga il ramo e



1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

Si ottiene la maglia e abcd

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


Il ramo di chiusura fissa:il verso della maglia,il nome della maglia.


alla maglia (e)

Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0

Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo del

coalbero

magliaLegge di Kirchhoff

Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0(e )

EsempioVf + Vd = 0

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


(f )Esempio Vg – Vc – Vd = 0

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


(g )EsempioVh + Va + Vb + Vc = 0

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


(h )

Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni

Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine

(tensione del ramo di chiusura) non presente nelle altre

coalbero albero

Espressione generale dell’insieme Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Kirchhoff alle tensioni

[[VVC C ]] + + [[ AA ]] [[ VVA A ] ] = = [[00 ]]

[[VVC C ]] vettore colonna delle

tensioni del coalbero

[[VVA A ]] vettore colonna delle

tensioni dell’albero

[[ AA ]] matrice di RC righe e

RA colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0 Vh 1 1 1 0 Vd

Vg 0 0 -1 -1 Vc

Vf 0 0 0 1 Vb

Ve 1 1 1 1 Va + = [0 ]

Usando le notazioni matriciali

Vh Vd

Vg Vc

Vf Vb

Ve Va [VC ] = ; [VA ] =

1 1 1 0

0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =

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Leggi alle correntiSe si elimina un ramo dall’albero, Se si elimina un ramo dall’albero,

la rete si divide in due parti la rete si divide in due parti separate, separate,

che definiscono un taglioche definiscono un taglio

Esempio

Esempio

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


Si elimini il ramo a

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


Si ottiene il taglio a eh

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


Il ramo dell’albero fissa:il verso del taglio,il nome del taglio.

Legge di Kirchhoff alle correnti

per il taglio (a)

Ia – Ie – Ih = 0

Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo

dell’albero

taglioLegge di Kirchhoff

Ia - Ie - Ih = 0(a )Ib – Ie – Ih = 0

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


(b )Ic – Ie + Ig – Ih = 0Esempio

1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


(c )Id - Ie - If + Ig = 0

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


(d )Insieme indipendente di

Leggi di Kirchhoff alle correnti

Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine

(corrente del ramo dell’albero) non presente nelle altre

albero coalbero

Usando le notazioni matriciali

Id -1 -1 1 0 Ih

Ic -1 0 1 -1 Ig

Ib -1 0 0 -1 If

Ia -1 0 0 -1 Ie + = [0 ]

Espressione generale dell’insieme Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Kirchhoff alle correnti

[[IIA A ]] + + [[BB ]] [[ IIC C ] = [] = [0 0 ]]

[[IIA A ]] vettore colonna delle

correnti dell’albero

[[IIC C ]] vettore colonna delle

correnti del coalbero

[[BB ]] matrice di RA righe e

RC colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0

Id Ih

Ic Ig

Ib If

Ia Ie [IA ] = ; [IC ] =

-1 -1 1 0

-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =

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Variabili indipendenti

[[VVC C ]] = - = - [[ AA ] [ ] [ VVA A ]]

Leggi di Kirchhoff alle tensioniassegnate le tensioni dell’albero,

si possono calcolare le tensioni del coalbero

Poiché i soli rami dell’albero non definiscono alcuna maglia, le tensioni dei rami dell’albero

possono essere fissate arbitrariamente

Tensioni dell’albero: variabili indipendenti Le tensioni dei rami del coalbero non sono variabili indipendenti e

non possono essere fissate arbitrariamente

Rete di Tensioni: - generatori di tensione sui rami

dell’albero; - rami del coalbero aperti.

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4

Albero: abcd Coalbero: efgh

+ Va + Vb + Vc

+ Vd

Rete di Tensioni

[VC ] = - [ A ] [ VA ]

Le tensioni dei rami del coalbero si calcolano con l’espressione

Nella rete non circola alcuna corrente

[[IIA A ]] = - = - [[ BB ] [ ] [ IIC C ]]

Leggi di Kirchhoff alle correntiassegnate le correnti del coalbero,

si possono calcolare le correnti dell’albero

Poiché i soli rami del coalbero non definiscono alcun taglio,

le correnti dei rami del coalbero possono essere fissate

arbitrariamente

Correnti del coalbero: variabili indipendenti Le correnti dei rami dell’albero non sono variabili indipendenti e

non possono essere fissate arbitrariamente

Rete di Correnti: - generatori di corrente sui rami

del coalbero; - rami dell’albero in corto .

Esempio1

2 34

5

a b

cd

e

f

g

h

RA = 4 ; RC = 4


Ie +

If

+

+Ig

Ih +

Rete di Correnti

[IA ] = - [ B ] [ IC ]

Le correnti dei rami dell’albero si calcolano con l’espressione

Tutte le tensioni della rete sono nulle

[[IIA A ]] = - = - [[ BB ] [ ] [ IIC C ]]

Leggi di Kirchhoff

[[VVC C ]] = - = - [[ AA ] [ ] [ VVA A ]]assegnate

[VA ] e [IC ]

si possono calcolare [VC ] e [IA ]

Tensioni dei rami dell’albero + Correnti dei rami del coalbero :

insieme di variabili indipendenti , che possono essere fissate in modo

arbitrario

Rete di Kirchhoff : - generatori di tensione sui rami

dell’albero; - generatori di corrente sui rami

del coalbero.

La Rete di Kirchhoff è la sovrapposizione di una Rete di Tensionie una Rete di Correnti


Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff

Ie +

If

+

+Ig

Ih +

+ Va + Vb + Vc

1

2 34

5

+ Vd Una Rete di Kirchhoff è analizzabile

utilizzando esclusivamente le Leggi di Kirchhoff

Tor Vergata


Teorema di Tellegen

La Rete di Kirchhoff

è definita per ogni grafo, in corrispondenza a ogni coppia albero/coalbero

permette di analizzare molte proprietà topologhe delle reti, cioè proprietà che dipendono dalla connessione dei componenti, prescindendo dalla natura dei componenti stessi a) da una generica rete, note le tensioni dei rami dell’albero e le

correnti dei rami del coalbero La Rete di Kirchhoff può essere ottenuta: b) da due reti aventi lo stesso grafo, utilizzando

la Rete di Tensioni dalla prima rete e la Rete di Correnti dalla seconda rete

Per una Rete di Kirchhoff, si consideri la rete ottenuta disattivando tutti i generatori, eccetto il generatore di tensione i-esimo e il generatore di corrente j-esimo

Vi sonotre casi si veda

l’esempio



Ie +

If

+

+Ig

Ih +

+ Va + Vb + Vc

1

2 34

5

+ Vd

a) Coppia [ Va ; Ig ]Esempio RA = 4 ; RC = 4


+Ig

+ Va 1

2 34

5

cd

e

fh

Il taglio aeh , definito dal generatore di tensione, non attraversa la maglia gcd , definita dal generatore di corrente

Vg = 0 Vg = - Aga Va

Aga = 0

[VC ] = - [ A ] [ VA ][IA ] = - [ B ] [ IC ]

Si ricordi che

Ia = 0 Ia = - Bag Ig

Bag = 0

a) Aji = Bi j = 0

b) Coppia [ Va ; Ie ]Esempio RA = 4 ; RC = 4


+ Va 1

2 34

5

cd fh

Ie

+ g

Il taglio aeh attraversa la maglia eacd ;versi di Ve e Va discordi

Ve = - Va Ve = - Aea Va

Aea = 1Ia = Ie Ia = - Bae Ie

Bae = - 1

b) Aji = - Bi j = 1

c) Coppia [ Vc ; Ig ]Esempio RA = 4 ; RC = 4


1

2 34

5

d fh

e

a+Ig

+Vc

Il taglio cegh attraversa la maglia gcd ;versi di Vc e Vg concordi

Vg = Vc Vg = - Agc Vc

Agc = - 1Ic = - Ig Ic = - Bcg Ig

Bcg = 1

c) Aji = - Bi j = -1 Aji = - Bij

in ogni caso[ A ]T = - [ B ]

[.] T indica trasposizione



Ie +

If

+

+Ig

Ih +

+ Va + Vb + Vc

1

2 34

5

+ Vd

1 1 1 0

0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =

-1 -1 1 0

-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =

Le colonne di [ A ] corrispondono alle righe di [ B ] cambiate di segno (e viceversa)

1 1 1 0

0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =

-1 -1 1 0

-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =

1 1 1 0

0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =

-1 -1 1 0

-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =

1 1 1 0

0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =

-1 -1 1 0

-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =

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Teorema di TellegenPotenza assorbita da una rete di Kichhoff

[ A ]T = - [ B ]

R vk ik = 0

R pk = 0

In una rete di Kirchhoff:Somma prodotti tensione-corrente = 0

[somma su tutti i rami, stessa convenzione di segno]

Somma potenze assorbite = 0 [somma su tutti i rami]

Somma potenze assorbite = = somma potenze erogate

[somma sul sottoinsieme 1] [somma sul sottoinsieme 2]

Suddiviso l’insieme dei rami in due sottoinsiemi, 1 e 2, complementari

coalberoalbero

R = RA + RC numero rami

Rami dell’albero pi = vi ii

RA RA

pj = vj ij Rami del coalbero = [VC ]T [IC ]RC RC

vi ii + vj ij = 0

pi + pj = 0RA

RA RC

RC

= [VA ]T [IA ] = - [VA ]T [ B ] [IC ]

= - [VA ]T [ A ]T [IC ]

Si ricordi che[IA ] = - [ B ] [IC ]

[VC ] = - [ A ] [VA ]

[VC ]T = - [VA ]T [ A ]T

a) Rete di Kirchhoff ottenuta da una rete generica Conservazione della potenza :

R vk (t) ik (t) = 0 ; R pk (t) = 0

b) Rete di Kirchhoff ottenuta da due reti aventi lo stesso grafo

R vk ik = 0 Teorema di Tellegen : vk : tensioni della prima rete ik : correnti della seconda rete

Applicazioni: conservazione potenza complessa reciprocità delle reti calcolo della sensibilità rispetto ai valori dei componenti

Tor Vergata


Sistema di equilibrioAnalisi di una rete elettrica

Dati del problema Schema della rete:

R rami ; N nodi

Leggi alle tensioni R - N + 1 equazioni Leggi alle correnti

N – 1 equazioni

R equazioni

Leggi di Kirchhoff

Tipo e valore

dei componenti

Incognite

R tensioni

R correnti

Sistema diequilibrio

Equazioni di Kirchhoff

Algebriche lineari, omogenee, coeff. +1, -1

Equazioni dei componenti

Algebriche (circuiti senza memoria) e differenziali (circuiti con memoria) Lineari (circuiti lineari) e non lineari (circuiti non lineari)

Termini noti (generatori o condizioni iniziali)

2R equazioni

2R incognite

Esempio

1

2 34

5

+ Ra Fb +

Lc

+

Rd

+

Ce

+

Ff

+Tg

+

Th

+

Incognite , 16 funzioni del tempo:Va , Vb , Vc , Vd , Ve , Vf , Vg , Vh

Ia , Ib , Ic , Id , Ie , If , Ig , Ih

tensioni e correnti con pedici congruenti con quelli dei componenti

e secondo i versi indicati in figura

Quantità noteCostantiRa , Rd , Lc , Ce

Rapporto 1:n trasformatore Tg/Th

Funzioni del tempo:tensione impressagen. tensione Fb(t) ;corrente impressagen. corrente Ff (t) .

Leggi di Kirchhoff :

R = 8 equazioni

Albero abcd ; coalbero efgh

Vh 1 1 1 0 Vd

Vg 0 0 -1 -1 Vc

Vf 0 0 0 1 Vb

Ve 1 1 1 1 Va + = [0 ]

Id -1 -1 1 0 Ih

Ic -1 0 1 -1 Ig

Ib -1 0 0 -1 If

Ia -1 0 0 -1 Ie + = [0 ]

R = 8 equazioni

componentiVa = Ra Ia ; Vd = Rd Id resistori

Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) generatori

dIc

d t

Vc= Lc induttore

dVe

d t

Ie= Ce condensatore

trasformatore Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig

Tor Vergata


Complessità

Vh 1 1 1 0 Vd

Vg 0 0 -1 -1 Vc

Vf 0 0 0 1 Vb

Ve 1 1 1 1 Va + = [0 ]

Id -1 -1 1 0 Ih

Ic -1 0 1 -1 Ig

Ib -1 0 0 -1 If

Ia -1 0 0 -1 Ie + = [0 ]

Va = Ra Ia ; Vd = Rd Id res.

Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) gen.

dIc

d t

Vc= Lc induttore

dVe

d t

Ie= Ce condensatore

trasf. Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig

Complessità differenziale della rete : Or(ordine della rete)

Or = ordine dell’equazione differenziale risolvente:dopo opportuni passaggi algebrici, il sistema di equilibrio si può ridurre a un’unica equazione differenziale, il cui ordine è non superiore alla somma degli ordini delle equazioni del sistema

Si ha Or NC + NL + 2 NM

con NC = numero condensatoriNL = numero induttoriNM = numero induttori accoppiati

Nell’esempio: NC = 1; NL = 1; NM = 0

e pertanto Or 2

(da conciderazioni più approfondite si può vedere che in questo caso si ha esattamente Or = 2)

Complessità algebrica della rete: Ca

Ca = ordine algebrico del sistema di equilibrio: numero di equazioni = numero delle incognite

Si ha Ca 2 R ( R : numero dei rami )

Se Ca = 2 R il sistema risolvente è detto

…… sistema generale di equilibrio ….…( come nell’esempio, ove R = 8 e Ca = 16 )

Se Ca < 2 R il sistema risolvente è detto

…… sistema abbreviato di analisi…… p. es. analisi su base maglie…… …… analisi su base nodi…… ……(descritte nel seguito)

Tor Vergata


Equazioni alle maglie: Res., Gen. tensioneCaso elementare: rete di resistori e generatori di tensione

2. Scelta delle correnti del coalbero come incognite

3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2

R : n. dei rami ; N : n. dei nodinumero incognite : R – N + 1

numero equazioni : R – N + 1

Metodo abbreviato di analisiComplessità del sistema:

R – N + 1 << 2R

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio

1. Scelta coppia albero / coalbero

a b

d

Albero: abcd ; Coalbero: efgh

ef

g

h

1. Scelta coppia albero / coalbero2. Scelta delle correnti di coalbero come incogniteIe ; If ; Ig ; Ih

a b

cd

Ie Ig

Ih

If

3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando le incognite Ie ; If ; Ig ; Ih

Maglia: e abcd

a b

d


Ie Ig

Ih

If c

(Ra +Rc +Rd +Re ) Ie + Rd If - (Rc +Rd ) Ig + (Ra +Rc ) Ih = -Vb

resistenza totale di maglia = somma delle resistenze di maglia

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio

correnti Ie e If concordi sul ramo comune d

segno positivo resistenza in comune fra le maglie e / f

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio a b

cd


Ie Ig

Ih

If

somma resistenze in comune fra le maglie e / g

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio

correnti Ie e Ig discordi sui rami comuni c e d

segno negativo somma resistenze in comune

fra le maglie e / h

correnti Ie e Ih concordi sui rami comuni a e c

segno positivo

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio a b

cd


Ie Ig

Ih

If

a b

cd


Ie Ig

Ih

If

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio

+

+

+

+

somma delle tensioni sui rami resistivi della maglia (verso: convenzione potenza entrante)

somma delle tensioni impresse dai generatori presenti sulla maglia (convenzione potenza uscente)

+ segno positivo + segno negativo

caso attuale

+ segno negativo

Maglia: f d Rd Ie + Rd If - Rd Ig = -Vf

a b

cd


Ie Ig

Ih

If

Ra Vb

Rc Rd

Re

Vf

+Rg

+

Rh

Esempio

Maglia: g dc - (Rc +Rd ) Ie - Rd If + (Rc +Rd +Rg ) Ig - Rc Ih = 0

a b

cd


Ie Ig

Ih

If

Maglia: h abc (Ra +Rc ) Ie - Rc Ig + (Ra +Rc +Rh ) Ih = -Vb

a b

cd


Ie Ig

Ih

If

Equazioni alle maglie in forma matriciale

Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb

Rd Rd - Rd 0 If -Vf

- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0

Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb

=

a b

cd


Ie Ig

Ih

If

matrice dei coefficienti


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=

vettore delle incognite


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=

vettore dei termini noti


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=


diagonale principale

Ra+Rc+Rd+Re

resistenza totale

maglia e


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=Rd

resistenza totale

maglia f


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=Rc+Rd+Rg

resistenza totale

maglia g


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=Ra+Rc+Rh

resistenza totale

maglia h

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



elementi fuori dalla diagonale principale

Rd

resistenza comune

maglie e / f verso concorde

Rc+Rd

resistenza comune

maglie e / g verso discorde

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



Ra +Rc

resistenza comune

maglie e / h verso concorde

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



Rd

resistenza comune

maglie f / g verso discorde

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



nessuna

resistenza comune

maglie f / h

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



Rc

resistenza comune

maglie f / hverso discorde

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



La matrice dei coefficienti è

sempre simmetrica

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



termini noti

tensione impressa

sulla maglia e verso discorde

-Vb

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



tensione impressa

sulla maglia f verso discorde

-Vf

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



tensione impressa

sulla maglia g

nessunatensione impressa

sulla maglia h verso discorde

=


Rd Rd - Rd 0 If -Vf



-Vb

Tor Vergata


Equazioni alle maglie : gen. di corrente

Reti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente

assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati)

Analisi su base maglie

a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT)

b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT

c) Scrittura delle equazioni di vincolo

Ra Vg1

Rc Rd

Re

Ig1

+

Rh

Es. n° 1

Ig2

a) Identificazione della rete RT

Sostituire i generatori di corrente con generatori di tensione fittizi

Vx

+Simbolo

Nome e verso arbitrari

Ra Vg1

Rc Rd

Re

+

Rh

Rete RT

Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di corrente sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti)

+

+

Vx1

Vx2

b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT

Albero: adeg ; Coalbero: bcfh

c

a

d

ge

bb1) Scelta coppia albero / coalbero

fh

b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero

Albero: adeg ; Coalbero: bcfh

Ic

a

d

g

Ih

e

Ib

I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia nel caso della corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso precedentemente indicato

Ig1

b3) Equazioni alle maglie

(Ra+Re ) Ib - Re Ih = -Vg1 - Vx2 b(Rc+Rd ) Ic - Rd Ig1 - Rd Ih = - Vx2 c Rd Ic + Rd Ig1 + Rd Ih = Vx1 g1- Re Ib + Rd Ic + Rd Ig1 + (Rd+Re +Rh ) Ih = 0h

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 e Vx2 sono termini noti, mentre tutte le correnti sono incognite.

Per la rete data invece le tensioni Vx1 e Vx2 sono incognite.

Vx2

+Vx1 +

Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di correnteAlbero: adeg ; Coalbero: bcfh

Ic

a

d

g

Ih

Ig1

e

Ibc) Scrittura delle equazioni di vincolo

Equazioni alle maglie

Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti è sufficiente riconoscere che nel sistema di equazioni alle maglie il termine Ig1 é una quantità nota, mentre Vx1 è un’incognita.

Questa osservazione, che semplifica la soluzione del sistema, deriva dal fatto che

il generatore di corrente Ig1

é posto sul coalbero.

Il generatore di corrente Ig2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo.

Ig2

Ib

Ic

Risulta Ib + Ic = - Ig2

Equazioni di vincolo

Ib + Ic = - Ig2

Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + le equazioni di vincoloI generatori di corrente sul coalbero semplificano il sistema, sull’albero complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo

Nella scelta della coppia albero / coalbero, è conveniente scegliere, se possibile, un albero che non passi per i generatori di corrente

Incognite n. 5:Ib ; Ic ; Ih ; Vx1 ; Vx2

Equazioni n. 5

La rete RT, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata.

Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Vx1 e Vx2 , le equazioni alle

maglie e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della

sola rete iniziale.

Tor Vergata


Equazioni alle maglie : trasformatori idealiAnalisi su base maglie

a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT)

b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo

Ra Vg1

Rc Rd

Re

Ig1

+Es. n° 2

Tg

Th

Th : Tg = 1 : n


Sostituire il generatore di correntee i rami del trasformatorecon generatori di tensione fittizi

Vx

+Simbolo


Ra Vg1

Rc Rd

Re

+Rete RT

+

+

Vx1

+

Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare nomi abbinati con il nome del generatore di corrente (con verso coordinato con la corrente impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. il positivo dalla parte del segno ).

Vg

Vh


Albero: acdh ; Coalbero: befg

c

a

d

ge


fh

geb2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero


a

d

Ie

Ib

ch

Ig

Ig1I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per la corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso indicato. Per la corrente Ig conviene utilizzare la convenzione della potenza entrante, come nella definizione del trasformatore ideale


(Ra+Rc ) Ib - Rc Ig = Vg1 - Vhb

(Re+Rd ) Ie - Rd Ig1 + Rd Ig = - Vh e - Rd Ie + Rd Ig1 - Rd Ig = Vx1 g1- Rc Ib + Rd Ie - Rd Ig1 + (Rc+Rd ) Ig = - Vgg

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono termini noti.

Per la rete data le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono invece incognite.

Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di corrente e per il trasformatore.


Equazioni alle magliePer il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero.

1:n

V1 V2

+ +

I1 I2

V2 = n V1

I2 = - ( 1 / n ) I1

Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno

+

Vg +

Vh

Ig

Ih Vg = n Vh

Ig = - (1 / n) Ih

La variabile Ig appartiene al coalbero e quindi è già utilizzata nelle equazioni alle maglie. Non così per la corrente Ih , che deve essere espressa in funzione delle correnti del coalbero


a

d

IgIe Ig1

Ib

ch

Ib Ie

Ih = Ib + Ie


Vg = n Vh

Ig = - (1 / n) ( Ib + Ie )Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + equazioni di vincolo

Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare correnti (o

tensioni) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni alle maglie. L’introduzione di ulteriori variabili

richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni.

Incognite n. 6

Ib ; Ig ; Ie ; Vx1 ; Vg ; Vh

Equazioni n. 6

Tor Vergata


Equazioni alle maglie : gen. controllati




Ra Ig1

Rc Rd

Ie

Vf

Es. n° 3

Rg

Rh

Ie = k Vh +

Ig

+Vh

Vf = h Ig

Ra

Rc Rd Rh

Rete RT

Rg


Sostituire il generatore di corrente fisso e i rami controllati dei generatori controllati con generatori di tensione fittizi

Vx

+Simbolo


Vx1 +

Vf

+Ve

+

Al generatore di corrente fisso conviene abbinare un generatore di tensione fittizio con verso coordinato con la corrente impressa. Per il generatore controllato di tensione, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata.


Albero: aceh ; Coalbero: bdfg

c

a

d

ge


fh


Albero: aceh ; Coalbero: bdfg

a

Id Ifc

h

e

I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per le correnti Ig1 e Ig già indicate nel circuito iniziale, conviene conservare i nomi e i versi.

Ig1

Ig


(Ra+Rc+Rh ) Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rh ) Ig = Vx1 g1-RhIg1 + (Rd+Rh ) Id + Rh If - Rh Ig = - Ve d-RhIg1 + RhId + Rh If - Rh Ig = - Ve + Vf f(Rc+Rh ) Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rg +Rh ) Ih = Veg

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono termini noti.

Per la rete data invece le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono incognite.

Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo.Albero: aceh ; Coalbero: bdfg

a

IgId

Ig1

Ifc

h

e

Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero.


Equazioni alle maglie

Per il generatore controllato Ie : Ie = k Vh

Le grandezze Ie e Vh non sono utilizzate nelle equazioni alle maglie. Pertanto esse devono essere espresse in funzione delle variabili già utilizzate.

Ie

Id IfIg

Ie = - Id - If + Ig

Vh = Rh(Ig1 - Id - If + Ig )

Rh

Vh

+ Id Ig

IfIg1

Equazione di vincolo

- Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig )

- Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig )

Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig

Poiché le variabili Vf e Ig sono già utilizzate nelle equazioni alle maglie la seconda equazione di vincolo non deve essere modificata


Vf = h Ig

-Id - If + Ig = = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig )

Incognite n. 6

Id ; If ; Ig ; Vx1 ; Ve ; Vf

Equazioni n. 6

Tor Vergata


Equazioni alle maglie : nulloriAnalisi su base maglie



Ra Vg1

Rc Rd

Es. n° 4

Rg

Rh

+


Sostituire il nullatore con un corto circuito e il noratore con un generatore di tensione fittizio

Vx

+Simbolo


Ra

Rc Rd Rh

Rete RT

Rg

Vg1

+

Vf

+e

1 2

Il nome e il verso della tensione sul noratore sono arbitrari. È opportuno considerare

separati i nodi 1 e 2 , a cui è connesso il

ramo e , poiché sarà necessario considerare la corrente su tale ramo.


b1) Scelta coppia albero / coalbero

Albero: acfh ; Coalbero: bdeg

c

a

d

ge

b

fh


I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari.

Albero: acfh ; Coalbero: bdeg

c

a

fh

Ig

Id

IbIe


(Ra+Rc+Rh ) Ib + Rh Ie + Rc Ig = Vg1 b Rd Id = - Vf d Rh Ib + RhIe = - Vf e Rc Ib + (Rc+Rg ) Ig = Vfg

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui Vf è considerato un termine noto.

Per la rete data invece la tensione Vf , è incognita.

Occorre scrivere una opportuna equazione di vincolo.


Equazioni alle maglie Equazione di vincolo

L’unica equazione di vincolo deriva dal nullatore per il quale risulta

Ie = 0

L’equazione di vincolo permette di eliminare l’incognita Ie dalle equazioni alle maglie.

Incognite n. 4:Ib ; Id ; Ig ; Vf

Equazioni n. 4

Tor Vergata


Equazioni ai nodi: Res., Gen. di corrente

Caso elementare: rete di resistori e generatori di corrente1. Scelta di un nodo di riferimento

2. Scelta, come incognite, delle tensioni dei nodi (rispetto al nodo di riferimento)

3. Scrittura delle equazioni ai nodi, eccetto il nodo riferimento, utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2

R : n. dei rami ; N : n. dei nodinumero incognite : N - 1

numero equazioni : N - 1

Metodo abbreviato di analisi

Complessità del sistema: N - 1 << 2R

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio 3

2 14

5

1. Scelta di un nodo di riferimento

È stato scelto come riferimento il nodo 5

Tale nodo viene indicato con il simbolo di massa

2. Scelta delle tensioni dei nodi come incognite

E1 ; E2 ; E3 ; E4

E3

E2

E1 E4

E1 , E2 , E3 , E4 indicano le

tensioni dei nodi 1, 2, 3, 4 , rispetto al nodo di riferimento

3. Scrittura delle equazioni ai nodi utilizzando le incognite E1 ; E2 ; E3 ; E4

Nodo: 1 (Gd +Ge +Gg ) E1 - Ge E2 - Gg E4 = If

Attenzione!Le equazioni ai nodi esprimono equilibri di correnti, in funzioni di grandezze che sono tensioni.

Pertanto occorre utilizzare sempre le conduttanze dei resistori e cioè :

Ga = 1 / Ra ; Gc = 1 / Rc ; Gd = 1 / Rd

Ge = 1 / Re ; Gh = 1 / Rh

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

somma delle conduttanze dei resistori connessi al nodo 1

Il segno dei termini relativi a resistori disposti

fra coppie di nodi è sempre negativo

[somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 2

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

[somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 4

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

somma delle correnti uscenti dal nodo 1 attraverso i rami resistivi

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

somma delle correnti entanti nel nodo 1 e impresse dai generatori di corrente

segno positivo segno negativocaso

attualesegno positivo

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

- Ge E1 + (Ga +Ge +Gh ) E2 - Ga E3 = 0 Nodo: 2

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

- Ga E2 + Ga E3 = Ib Nodo: 3

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4

- Gg E1 + (Gc +Gg ) E4 = - Ib Nodo: 4

Equazioni ai nodi in forma matriciale

Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If

- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0

0 - Ga Ga 0 E3 Ib

- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib

=

Ra Ib

Rc Rd

Re

If

Rg

Rh

Esempio E3

E2

E1 E4





0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=

vettore delle incognite




0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=

vettore dei termini noti


=


diagonale principaleGd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If


0 - Ga Ga 0 E3 Ib


Gd+Ge+Gg

conduttanza totale

nodo 1


=



Ga+Ge+Gh

conduttanza totale

nodo 2



0 - Ga Ga 0 E3 Ib



=



Ga

conduttanza totale

nodo 3



0 - Ga Ga 0 E3 Ib



=



Gc+Gg

conduttanza totale

nodo 4



0 - Ga Ga 0 E3 Ib



=



0 - Ga Ga 0 E3 Ib






0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=

segno sempre negativo

Ge

conduttanza presente

fra i nodi 1 e 2





0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=nessuna


fra i nodi 1 e 3





0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=


Gg


fra i nodi 1 e 4





0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=


Ga


fra i nodi 2 e 3





0 - Ga Ga 0 E3 Ib


= conduttanza presente

fra i nodi 2 e 4


nessuna




0 - Ga Ga 0 E3 Ib


= conduttanza presente

fra i nodi 3 e 4


nessuna




0 - Ga Ga 0 E3 Ib


=La matrice dei coefficienti è

sempre simmetrica


=



0 - Ga Ga 0 E3 Ib


termini notiEquazioni ai nodi in forma matriciale

=



0 - Ga Ga 0 E3 Ib


termini noti

corrente impressa

nel nodo 1verso entrante

If


=



0 - Ga Ga 0 E3 Ib


termini noti

corrente impressa

nel nodo 2

nessuna


=



0 - Ga Ga 0 E3 Ib


termini noti

corrente impressa

nel nodo 3verso entrante

Ib


=



0 - Ga Ga 0 E3 Ib


termini noti

corrente impressa

nel nodo 4verso uscente

- Ib

Tor Vergata


Equazioni ai nodi : gen. di tensioneReti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente

assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati)

Analisi su base nodi

a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC)

b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC


a) Identificazione della rete RC

Sostituire i generatori di tensione con generatori di corrente fittizi

Ra Vg2

Rc Rd

Re

Vg1 Rh

Es. n° 1 +

+ Ig1

412

3

5

Ra

Rc Rd

Re

Rh

Rete RC

Ix

Simbolo


Ig1

Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di tensione sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti)

Ix2

Ix1

b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC

b1) Scelta nodo di riferimentob2) Identificazione delle tensioni di nodo

E3

E2 E4

I nomi delle tensioni di nodo sono arbitrari. Tuttavia nel caso della tensione Vg1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome indicato, invece di introdurre un nuovo nome

Vg1

b3) Equazioni ai nodi

(Gd+Ge ) Vg1 - Ge E2 = Ig1 + Ix1 1- Ge Vg1 + (Ga+Ge +Gh ) E2 - Ga E3 = 0 2 - Ga E2 + Ga E3 = Ix2 3Gc E4 = - Ig1 - Ix24

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 e Ix2 sono termini noti, mentre tutte le tensioni sono incognite.

Per le rete data invece le correnti Ix1 e Ix2 sono incognite.

Ix1

Ix2

Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di tensione


Equazioni ai nodiPer il generatore di tensione Vg1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti basta riconoscere che nel sistema di equazioni ai nodi il termine Vg1 è una quantità nota, mentre Ix1 è un’incognita.

Questa osservazione deriva dal fatto che

il generatore di tensione Vg1 è connesso al nodo di riferimento.

Il generatore di tensione Vg2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo.

Vg2

E3 E4

+

Risulta E3 - E4 = Vg2


E3 - E4 = Vg2

Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle

equazioni ai nodi +le equazioni di vincolo

I generatori di tensione connessi al nodo di riferimento semplificano il sistema, quelli non connessi a tale nodo complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo

È opportuno scegliere il nodo di riferimento in che sia

connesso alla maggior parte dei generatori di tensione

Incognite n. 5:

E2 ; E3 ; E4 ; Ix1 ; Ix2

Equazioni n. 5

La rete RC, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata.

Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Ix1 e Ix2 , le equazioni ai

nodi e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base

della sola rete iniziale.

Tor Vergata


Equazioni ai nodi : trasformatori ideali

Analisi su base nodi

a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC)



Ra Vg1

Rc Rd

Re

Ig1

+Es. n° 2

Tg

Th

Th : Tg = 1 : n

412

3

5


Sostituire il generatore di tensionee i rami del trasformatorecon generatori di corrente fittizi

Ix Simbolo


Ra

Rc Rd

Re

Rete RC

Ig1

Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare nomi abbinati con i nomi del generatore di tensione (con verso coordinato con la tensione impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. corrente entrante dalla parte del segno ).

Ix1

Ig

Ih


b1) Scelta del nodo di riferimento

E3

E2E1 E4

b2) Identificazione delle tensioni di nodob3) Equazioni ai nodi

(Gd+Ge ) E1 - Ge E2 = Ig1 - Ig1

- Ge E1 + (Ga+Ge ) E2 - Ga E3 = - Ih 2 - Ga E2 + Ga E3 = Ix1 3Gc E4 = - Ix1 + Ig4

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 , Ig e Ih sono termini noti.

Per la rete data invece le correnti Ix1 , Ig e Ih sono incognite.

Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di tensione e per il trasformatore.


Equazioni ai nodiPer il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno

1:n

V1 V2

+ +

I1 I2

V2 = n V1

I2 = - ( 1 / n ) I1

Ig

Ih

E2E1 E4

E1 - E4 = n E2

Ig = - (1/ n) Ih

Per il generatore di tensione Vg1

E3 - E4 = Vg1

Vg1

E3 E4

+

l’equazione di vincolo è la seguente:

Equazioni di vincoloE1 - E4 = n E2

Ig = - (1 / n) Ih

E3 - E4 = Vg1

Ih

Ig

Ix1

Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle equazioni ai nodi + equazioni di vincolo

Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare tensioni (o

correnti) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni ai nodi.

L’introduzione di ulteriori variabili richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni.

Incognite n. 6 : E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ig ; Ih ; Ix1 Equazioni n. 6 ;

Tor Vergata


Equazioni ai nodi : gen. controllati





Es. n° 3

Ie = k Vh

Vf = h Ig

Ra Ig1

Rc Rd Ie

Vf

Rg Rh

+

Ig

+Vh

Rete RC


Sostituire i rami controllati dei generatori controllati con generatori di corrente fittizi

Ix Simbolo


Ra Ig1

Rc Rd Rg

Rh

Ig

+

Vh

Per il generatore controllato di corrente, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata.

Ie

If


b1) Scelta del nodo di riferimento

412

3 E3

E2 E1 E4

b2) Identificazione delle tensioni di nodob3) Equazioni ai nodi

(Gd+Gg ) E1 - Gg E4 = Ie + If 1(Ga+Gh ) E2 - Ga E3 = - Ie 2- Ga E2 + Ga E3 = - Ig13- Gg E1 + (Gc+Gg ) E4 = Ig14

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, in cui le correnti Ie e If sono termini noti.

Per la rete data invece le correnti Ie e If sono incognite.

Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo.


Equazioni ai nodiPer il generatore controllato Ie : Ie = k Vh

Le grandezza Vh non è utilizzata nelle equazioni ai nodi. Però risulta Vh = - E2

Pertanto l’equazione di vincolo è la

seguente Ie = - k E2

Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig

Ie = - k E2

Le grandezze Vf e Ig non sono utilizzate nelle equazioni ai nodi.

Si ha Vf = E1 e Ig = Gg (E4 - E1 )Pertanto l’equazione di vincolo è :

E1 = h Gg (E4 - E1 )


Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo

E1 = h Gg (E4 - E1 ) Ie = - k E2

Incognite n. 6

E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ie ; If

Equazioni n. 6

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Equazioni ai nodi : nulloriAnalisi su base nodi




Es. n° 4 Ra

Rc Rd Rg

Rh

Vg1

+


Sostituire il nullatore con un circuito aperto, il noratore e il generatore di tensione con generatori di corrente fittizi

Ix Simbolo


Rete RC Ra

Rc Rd Rg

Rh

Al generatore di corrente fittizio relativo al generatore di tensione conviene dare nome e verso coordinati con quelli relativi alla tensione impressa. Il nome e il verso della corrente sul noratore sono arbitrari.

Ix1

IN


b1) Scelta del nodo di riferimentob2) Identificazione delle tensioni di nodo

412

3 E3

E2

E1 E4

b3) Equazioni ai nodi

(Gd+Gg ) E1 - Gg E4 = IN 1 (Ga+Gh ) E2 – Ga E3 = 0 2 - Ga E2 + Ga E3 = - Ix1 3 - Gg E1 + (Gc+Gg ) E4 = Ix14

Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC , in cui Ix1 e IN sono considerate termini noti.

Per la rete data invece le correnti Ix1 e IN sono incognite.

Occorre scrivere due opportune equazioni di vincolo.


Equazioni alle magliePer il generatore di tensione Vg1 si ha

E4 - E3 = Vg1 Vg1

E3 E4

+

E2 = E1

Per il nullatore si ha

E2 E1


Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo

E2 = E1 E4 - E3 = Vg1

Incognite n. 6

E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ix1 ; IN

Equazioni n. 6

Tor Vergata


Analisi nel dominio dei fasoriCircuiti senza Circuiti senza

memoria nel dominio memoria nel dominio del tempodel tempo

Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati

equazioni algebriche nel campo reale

Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati

Circuiti con Circuiti con memoria nel memoria nel

dominio dei fasoridominio dei fasori

equazioni algebriche nel

campo complesso

L’analisi di circuiti con memoriaè differente dall’analisi di circuiti senza memoria

ed è molto complessa

L’analisi di circuiti con memoria nel dominio dei fasoriè simile all’analisi di circuiti senza memoria

ma implica calcoli nel campo dei numeri complessi

Metodo di analisi nel dominio dei fasoriMetodo di analisi nel dominio dei fasori

Circuito in regime permanente: tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) del circuito sono di tipo sinusoidale

1. Determinare il circuito fittizio nel dominio dei fasori:sostituire tutte le grandezze impresse con i rispettivi fasori;determinare le impedenze (o le ammettenze) di tutti i

componenti reattivi

2. Analizzare il circuito nel dominio dei fasori

3. Determinare i fasori delle grandezze d’interesse (eventualmente determinare le rispettive funzioni nel tempo)

Tor Vergata


Equazioni alle maglie : fasori

vg1(t)

Cb R

Ca

ig1(t)

+

L

Esempio

vg1(t) = Vg1 cos ( t + )

ig1(t) = Ig1 cos ( t + )

Fasori delle grandezze impresse

V g1 = Vg1 e j

I g1 = Ig1 e j

Impedenze

Induttore j L

Condensatori 1 / j Ca ; 1 / j Cb

V g1

R I g1

+

Dominio dei fasori

jCa 1

jCb 1

jL

Dominio del tempo

Equazioni alle maglie nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RT : al posto del generatore di corrente si supponga la presenza di un generatore di tensione fittizio di tensione V x1

+

V x1

alberocoalbero

I ca I vg

I g1

Viene scelta una coppia albero / coalbero, in modo che il generatore di corrente si trovi sul coalbero. Le correnti di maglia sono I ca , I g1 , I vg

( jL + 1 / jCa + R ) I ca + R I g1 - R I vg = 0

R I ca + R I g1 - R I vg = V x1

- R I ca - R I g1 + ( 1 / jCb + R ) I vg = V g1

Non occorrono equazioni di vincolo, poiché I g1 si trova sul coalbero.

Le incognite sono : I ca , V x1 , I vg

Tor Vergata


Equazioni ai nodi : fasori

vg1(t)

Cb R

Ca

ig1(t)

+

L

Esempio

vg1(t) = Vg1 cos ( t + )

ig1(t) = Ig1 cos ( t + )

Fasori delle grandezze impresse

V g1 = Vg1 e j

I g1 = Ig1 e j

Ammettenze

Induttore 1 / j L

Condensatori j Ca ; j Cb

V g1

G I g1

+

Dominio dei fasori

jL 1

jCb

jCa

Dominio del tempo

Attenzione: nello scrivere le equazioni ai nodi, è necessario considerare le conduttanze dei resistori e le

ammettenze dei componenti reattivi.

Equazioni ai nodi nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RC : al posto del generatore di tensione si supponga la presenza di un generatore di corrente fittizio di tensione I x1

I x1 E 1

Viene scelto un nodo di riferimento, in modo che il generatore di tensione si trovi collegato a esso. Le tensioni di nodo sono E 1 , E 2 , V g1

E 2

V g1

nodo di riferimento

( jCa + 1 / jL ) E 1 - (1 / jL ) E 2 = 0

-(1 / jL ) E 1 + (1 / jL + G + jCb ) E 2 -

- jCb V g1 = - I g1- jCb E 2 + ( 1 / jCb ) V g1 = I x1

Non occorrono equazioni di vincolo.

Le incognite sono : E 1 , E 2 , I x1

Tor Vergata


Conservazione della potenzaNel dominio del tempo

Conservazione della potenza istantanea : R vk (t) ik (t) = 0Somma potenze assorbite = 0 [somma su tutti i rami]

Somma potenze assorbite [da tutti i componenti esclusi i generatori] = = somma potenze erogate [dai generatori]

In regime permanente Conservazione della potenza complessa : R P c =½ R V k I k* =

0Dimostrazione

Scelta una coppia albero / coalbero, si definisca una rete di Kirchhoff prendendo sull’albero i fasori delle tensioni e sul coalbero i coniugati dei fasori delle correnti. Applicando il teorema di Tellegen, si ottiene R V k I k* = 0 e quindi R P c = 0

Essendo P c =P a + j Q , si ha :Conservazione della potenza attiva :

R P a =½ R Re [V k I k* ]= 0

Conservazione della potenza reattiva :

R Q =½ R Im [V k I k* ]= 0

Somma potenze attive assorbite = 0 [somma su tutti i rami]

Somma potenze reattive assorbite = 0 [somma su tutti i rami]

Reti RLC + generatori

R L C gen.

Pa

Q

> 0 0 0 >=<0 0 > 0 < 0 >=<0

Si ricordi che: Somma potenze attive assorbite dai resistori ( > 0 ) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > 0 )

Somma potenze reattive assorbite dagli induttori ( > 0) + Somma potenze reattive assorbite dai condensatori (< 0) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > = < 0)

Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 1 Reti elettriche Una rete elettrica consiste in una opportuna...

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